સમાન વેક્ટર કેવી રીતે બનાવવું. વેક્ટર્સ

2 માંથી પૃષ્ઠ 1

પ્રશ્ન 1.વેક્ટર શું છે? વેક્ટર કેવી રીતે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે?
જવાબ આપો.અમે નિર્દેશિત સેગમેન્ટને વેક્ટર કહીશું (ફિગ. 211). વેક્ટરની દિશા તેની શરૂઆત અને અંત દર્શાવીને નક્કી કરવામાં આવે છે. ચિત્રમાં, વેક્ટરની દિશા તીર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. વેક્ટર દર્શાવવા માટે આપણે લોઅરકેસ લેટિન અક્ષરો a, b, c, .... નો ઉપયોગ કરીશું. તમે વેક્ટરને તેની શરૂઆત અને અંત દર્શાવીને પણ દર્શાવી શકો છો. આ કિસ્સામાં, વેક્ટરની શરૂઆત પ્રથમ સ્થાને મૂકવામાં આવે છે. "વેક્ટર" શબ્દને બદલે, કેટલીકવાર વેક્ટરના અક્ષર હોદ્દાની ઉપર તીર અથવા રેખા મૂકવામાં આવે છે. આકૃતિ 211 માં વેક્ટરને નીચે પ્રમાણે સૂચિત કરી શકાય છે:

\(\overline(a)\), \(\overrightarrow(a)\) અથવા \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\).

પ્રશ્ન 2.કયા વેક્ટરને સમાન રીતે નિર્દેશિત (વિરુદ્ધ નિર્દેશિત) કહેવામાં આવે છે?
જવાબ આપો.વેક્ટર્સ \(\overline(AB)\) અને \(\overline(CD)\) એ સમાન રીતે નિર્દેશિત કહેવાય છે જો અર્ધ-રેખાઓ AB અને CD સમાન રીતે નિર્દેશિત કરવામાં આવે.
વેક્ટર્સ \(\overline(AB)\) અને \(\overline(CD)\) જો અર્ધ-રેખાઓ AB અને CD વિરુદ્ધ દિશામાન હોય તો તે વિરુદ્ધ દિશામાન કહેવાય છે.
આકૃતિ 212 માં, વેક્ટર્સ \(\overline(a)\) અને \(\overline(b)\) સમાન રીતે નિર્દેશિત છે, અને વેક્ટર \(\overline(a)\) અને \(\overline(c)\ ) વિરુદ્ધ નિર્દેશિત છે.

પ્રશ્ન 3.વેક્ટરની સંપૂર્ણ તીવ્રતા શું છે?
જવાબ આપો.વેક્ટરનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય (અથવા મોડ્યુલસ) એ વેક્ટરનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા સેગમેન્ટની લંબાઈ છે. વેક્ટરનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય \(\overline(a)\) |\(\overline(a)\)| દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 4.નલ વેક્ટર શું છે?
જવાબ આપો.વેક્ટરની શરૂઆત તેના અંત સાથે થઈ શકે છે. આવા વેક્ટરને આપણે શૂન્ય વેક્ટર કહીશું. શૂન્ય વેક્ટર ડૅશ (\(\overline(0)\)) સાથે શૂન્ય દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. તેઓ શૂન્ય વેક્ટરની દિશા વિશે વાત કરતા નથી. શૂન્ય વેક્ટરનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય શૂન્ય સમાન ગણવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 5.કયા વેક્ટરને સમાન કહેવામાં આવે છે?
જવાબ આપો.બે વેક્ટર સમાન હોવાનું કહેવાય છે જો તેઓને સમાંતર અનુવાદ દ્વારા જોડવામાં આવે. આનો અર્થ એ છે કે એક સમાંતર અનુવાદ છે જે એક વેક્ટરની શરૂઆત અને અંતને અનુક્રમે બીજા વેક્ટરની શરૂઆત અને અંત સુધી લઈ જાય છે.

પ્રશ્ન 6.સાબિત કરો કે સમાન વેક્ટર સમાન દિશા ધરાવે છે અને સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં સમાન છે. અને ઊલટું: સમાન રીતે નિર્દેશિત વેક્ટર જે સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં સમાન હોય છે તે સમાન હોય છે.
જવાબ આપો.સમાંતર અનુવાદ દરમિયાન, વેક્ટર તેની દિશા, તેમજ તેનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય જાળવી રાખે છે. આનો અર્થ એ છે કે સમાન વેક્ટર સમાન દિશાઓ ધરાવે છે અને સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં સમાન છે.
ચાલો \(\overline(AB)\) અને \(\overline(CD)\) સમાન રીતે નિર્દેશિત વેક્ટર હોઈએ, જે સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં સમાન હોય (ફિગ. 213). એક સમાંતર અનુવાદ જે બિંદુ C ને બિંદુ A પર ખસેડે છે તે અર્ધ-રેખા CD ને અર્ધ-લાઇન AB સાથે જોડે છે, કારણ કે તેમની દિશા સમાન છે. અને સેગમેન્ટ્સ AB અને CD સમાન હોવાથી, પછી બિંદુ D બિંદુ B સાથે એકરુપ થાય છે, એટલે કે. સમાંતર અનુવાદ વેક્ટર \(\overline(CD)\) ને વેક્ટર \(\overline(AB)\) માં રૂપાંતરિત કરે છે. આનો અર્થ એ છે કે વેક્ટર \(\overline(AB)\) અને \(\overline(CD)\) સમાન છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

પ્રશ્ન 7.સાબિત કરો કે કોઈપણ બિંદુથી તમે આપેલ વેક્ટરના સમાન વેક્ટરને પ્લોટ કરી શકો છો, અને માત્ર એક જ.
જવાબ આપો.સીડીને લીટી બનવા દો, અને વેક્ટર \(\ઓવરલાઈન(સીડી)\) લીટી સીડીનો ભાગ છે. સમાંતર સ્થાનાંતરણ દરમિયાન AB એ સીધી રેખા છે જેમાં સીધી રેખા CD જાય છે, \(\overline(AB)\) એ વેક્ટર છે જેમાં સમાંતર સ્થાનાંતરણ દરમિયાન વેક્ટર \(\overline(CD)\) જાય છે, અને તેથી વેક્ટર \(\ overline(AB)\) અને \(\overline(CD)\) સમાન છે, અને રેખાઓ AB અને CD સમાંતર છે (જુઓ ફિગ. 213). આપણે જાણીએ છીએ તેમ, આપેલ રેખા પર ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા, આપેલ રેખા (સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધ) ની સમાંતર વધુમાં વધુ એક સીધી રેખા દોરવાનું શક્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ A દ્વારા એક રેખા રેખા સીડીની સમાંતર દોરી શકાય છે. વેક્ટર \(\overline(AB)\) એ રેખા AB નો ભાગ હોવાથી, પછી બિંદુ A દ્વારા કોઈ એક વેક્ટર \(\overline(AB)\) દોરી શકે છે, જે વેક્ટર \(\overline(CD)\ ).

પ્રશ્ન 8.વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ શું છે? કોઓર્ડિનેટ્સ a 1, a 2 સાથે વેક્ટરનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય શું છે?
જવાબ આપો.ચાલો વેક્ટર \(\overline(a)\) નો આરંભ બિંદુ A 1 (x 1 ; y 1), અને અંતિમ બિંદુ A 2 (x 2 ; y 2) હોય. વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ \(\overline(a)\) એ સંખ્યાઓ હશે a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1. અમે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ વેક્ટરના અક્ષર હોદ્દાની બાજુમાં મૂકીશું, આ કિસ્સામાં \(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) અથવા ફક્ત \(\overline(a 1 ; a 2 ) )\). શૂન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શૂન્ય સમાન છે.
તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર દર્શાવતા સૂત્રમાંથી, તે અનુસરે છે કે 1, a 2 કોઓર્ડિનેટ સાથે વેક્ટરનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2)\) બરાબર છે.

પ્રશ્ન 9.સાબિત કરો કે સમાન વેક્ટર અનુક્રમે સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે, અને અનુક્રમે સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવતા વેક્ટર સમાન છે.
જવાબ આપો. A 1 (x 1 ; y 1) અને A 2 (x 2 ; y 2) એ વેક્ટરની શરૂઆત અને અંત થવા દો \(\overline(a)\). સમાંતર અનુવાદ દ્વારા વેક્ટર \(\overline(a)\) તેના સમાન વેક્ટર \(\overline(a)\) માંથી મેળવવામાં આવતો હોવાથી, તેની શરૂઆત અને અંત A" 1 (x 1 + c; y 1 હશે. + d) અનુક્રમે ), A" 2 (x 2 + c; y 2 ​​+ d). આ બતાવે છે કે બંને વેક્ટર \(\overline(a)\) અને \(\overline(a")\) ધરાવે છે. સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ: x 2 - x 1, y 2 - y 1.
ચાલો હવે કન્વર્સ સ્ટેટમેન્ટ સાબિત કરીએ. વેક્ટરના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ \(\overline(A 1 A 2 )\) અને \(\overline(A" 1 A" 2 )\) સમાન થવા દો. ચાલો સાબિત કરીએ કે વેક્ટર સમાન છે.
x" 1 અને y" 1 એ બિંદુ A" 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સ અને x" 2, y" 2 એ બિંદુ A" 2 ના કોઓર્ડિનેટ્સ બનવા દો. પ્રમેયની શરતો અનુસાર, x 2 - x 1 = x" 2 - x" 1, y 2 - y 1 = y" 2 - y" 1. તેથી x" 2 = x 2 + x" 1 - x 1, y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1. સૂત્રો દ્વારા આપવામાં આવેલ સમાંતર ટ્રાન્સફર

x" = x + x" 1 - x 1 , y" = y + y" 1 - y 1 ,

બિંદુ A 1 ને બિંદુ A" 1 માં સ્થાનાંતરિત કરે છે, અને બિંદુ A 2 થી બિંદુ A" 2, એટલે કે. વેક્ટર્સ \(\overline(A 1 A 2 )\) અને \(\overline(A" 1 A" 2 )\) સમાન છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

પ્રશ્ન 10.વેક્ટરનો સરવાળો વ્યાખ્યાયિત કરો.
જવાબ આપો. a 1 , a 2 અને b 1 , b 2 કોઓર્ડિનેટ સાથે \(\overline(a)\) અને \(\overline(b)\) નો સરવાળો વેક્ટર \(\overline(c)\) કહેવાય છે. સંકલન a 1 + b 1, a 2 + b a 2, એટલે કે.

\(\overline(a) (a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1 ; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).

વેક્ટર શું છે? વેક્ટરની વિભાવના ઊભી થાય છે જ્યાં આપણે એવા પદાર્થો સાથે વ્યવહાર કરવો પડે છે જે તીવ્રતા અને દિશા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે: ઉદાહરણ તરીકે, ઝડપ, બળ, દબાણ. આવા જથ્થાઓને વેક્ટર જથ્થા અથવા વેક્ટર કહેવામાં આવે છે. વેક્ટરની વિભાવના ઊભી થાય છે જ્યાં આપણે એવા પદાર્થો સાથે વ્યવહાર કરવો પડે છે જે તીવ્રતા અને દિશા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે: ઉદાહરણ તરીકે, ઝડપ, બળ, દબાણ. આવા જથ્થાઓને વેક્ટર જથ્થા અથવા વેક્ટર કહેવામાં આવે છે.

વેક્ટરનો ખ્યાલ મનસ્વી સેગમેન્ટનો વિચાર કરો. તમે તેના પર બે દિશાઓ સૂચવી શકો છો. દિશાઓમાંથી એક પસંદ કરવા માટે, અમે સેગમેન્ટના એક છેડાને BEGINNING અને બીજાને END કહીશું અને અમે ધારીશું કે સેગમેન્ટ શરૂઆતથી અંત સુધી નિર્દેશિત છે. વ્યાખ્યા. વ્યાખ્યા. એક સેગમેન્ટ કે જેના માટે તે સૂચવવામાં આવે છે કે તેના કયા છેડાને શરૂઆત માનવામાં આવે છે અને કયો અંત છે તેને નિર્દેશિત સેગમેન્ટ અથવા વેક્ટર કહેવામાં આવે છે. એક સેગમેન્ટ કે જેના માટે તે સૂચવવામાં આવે છે કે તેના કયા છેડાને શરૂઆત માનવામાં આવે છે અને કયો અંત છે તેને નિર્દેશિત સેગમેન્ટ અથવા વેક્ટર કહેવામાં આવે છે.

વેક્ટર વેક્ટરની વિભાવના ઘણીવાર એક લોઅરકેસ લેટિન અક્ષર દ્વારા તેની ઉપર એક તીર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે: વેક્ટર્સ ઘણીવાર એક લોઅરકેસ લેટિન અક્ષર દ્વારા તેની ઉપર એક તીર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે: પ્લેન પરનો કોઈપણ બિંદુ પણ વેક્ટર છે, જેને ZERO કહેવામાં આવે છે. શૂન્ય વેક્ટરની શરૂઆત તેના અંત સાથે એકરુપ છે: પ્લેન પરનો કોઈપણ બિંદુ પણ વેક્ટર છે, જેને ZERO કહેવામાં આવે છે. શૂન્ય વેક્ટરની શરૂઆત તેના અંત સાથે એકરુપ થાય છે: MM = 0. MM = 0. a b c M

વેક્ટરનો ખ્યાલ બિન-શૂન્ય વેક્ટર AB ની લંબાઈ અથવા મોડ્યુલસ એ સેગમેન્ટ AB ની લંબાઈ છે: બિન-શૂન્ય વેક્ટર AB ની લંબાઈ અથવા મોડ્યુલસ એ સેગમેન્ટ ABની લંબાઈ છે: AB = a = AB = 5 AB = a = AB = 5 s = 17 s = 17 શૂન્ય વેક્ટરની લંબાઈ શૂન્યની બરાબર ગણવામાં આવે છે : શૂન્ય વેક્ટરની લંબાઈ શૂન્યની બરાબર ગણવામાં આવે છે: MM = 0. MM = 0. a M VA s

શૂન્ય વેક્ટર્સ બિન-શૂન્ય વેક્ટર્સ જો તે સમાન રેખા પર અથવા સમાંતર રેખાઓ પર આવેલા હોય તો તેને કોલિનિયર કહેવામાં આવે છે. શૃંખલાકાર વેક્ટર્સ સહનિર્દેશક અથવા વિરુદ્ધ નિર્દેશિત હોઈ શકે છે. બિન-શૂન્ય વેક્ટર્સ જો તે સમાન રેખા પર અથવા સમાંતર રેખાઓ પર આવેલા હોય તો તેને કોલિનિયર કહેવામાં આવે છે. શૃંખલાકાર વેક્ટર્સ સહનિર્દેશક અથવા વિરુદ્ધ નિર્દેશિત હોઈ શકે છે. નલ વેક્ટરને કોઈપણ વેક્ટર માટે સમરેખા ગણવામાં આવે છે. નલ વેક્ટરને કોઈપણ વેક્ટર માટે સમરેખા ગણવામાં આવે છે. аb c d m n s L

આપેલ બિંદુ પરથી વેક્ટર જમા કરવું જો બિંદુ A એ વેક્ટર a ની શરૂઆત હોય, તો તેઓ કહે છે કે વેક્ટર a બિંદુ A થી મુલતવી રાખવામાં આવ્યો છે. જો બિંદુ A એ વેક્ટર a ની શરૂઆત છે, તો તેઓ કહે છે કે વેક્ટર a બિંદુ A થી મુલતવી રાખવામાં આવ્યો છે. વિધાન: કોઈપણ બિંદુ M થી તમે આપેલ વેક્ટર a, અને માત્ર એક વેક્ટરને અલગ કરી શકો છો. વિધાન: કોઈપણ બિંદુ M પરથી તમે આપેલ વેક્ટર a, અને માત્ર એક જ વેક્ટરને પ્લોટ કરી શકો છો. જુદા જુદા બિંદુઓથી પ્લોટ કરાયેલ સમાન વેક્ટર ઘણીવાર સમાન અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે વિવિધ બિંદુઓથી પ્લોટ કરાયેલ સમાન વેક્ટર ઘણીવાર સમાન અક્ષર A a M a દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

બે વેક્ટર્સનો સરવાળો એક ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લો: એક ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લો: પેટ્યા ઘરેથી (ડી) વાસ્યા (વી) ગયા, અને પછી સિનેમા (કે) ગયા. પેટ્યા ઘરેથી (ડી) વાસ્યા (વી) ગયા, અને પછી સિનેમા (કે) ગયા. આ બે હિલચાલના પરિણામે, જે વેક્ટર DV અને VK દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે, પેટ્યા બિંદુ D થી K તરફ ગયા, એટલે કે. વેક્ટર ડીકે તરફ: આ બે હિલચાલના પરિણામે, જેને વેક્ટર ડીવી અને વીકે દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે, પેટ્યા પોઈન્ટ ડીથી કે તરફ ખસેડવામાં આવ્યા છે, એટલે કે. વેક્ટર DK માટે: DK=DB+BK. DK=DB+BK. વેક્ટર DK ને DB અને BK વેક્ટરનો સરવાળો કહેવામાં આવે છે. ડી વી કે

બે વેક્ટરનો સરવાળો ત્રિકોણ નિયમ ચાલો a અને b બે વેક્ટર હોઈએ. ચાલો આ બિંદુ પરથી મનસ્વી બિંદુ A અને પ્લોટ AB = a ને ચિહ્નિત કરીએ, પછી બિંદુ B માંથી વેક્ટર BC = b પ્લોટ કરો. ચાલો a અને b ને બે વેક્ટર ગણીએ. ચાલો આ બિંદુ પરથી મનસ્વી બિંદુ A અને પ્લોટ AB = a ને ચિહ્નિત કરીએ, પછી બિંદુ B માંથી વેક્ટર BC = b પ્લોટ કરો. AC = a + b AC = a + b a b A a b B C
વિરોધી વેક્ટર ચાલો મનસ્વી નોનઝીરો વેક્ટર હોઈએ. ચાલો એક મનસ્વી બિન-શૂન્ય વેક્ટર હોઈએ. વ્યાખ્યા. વેક્ટર b ને વેક્ટરની વિરુદ્ધ કહેવામાં આવે છે જો a અને b ની લંબાઈ અને વિરુદ્ધ દિશાઓ સમાન હોય. a = AB, b = BA વેક્ટર c ની વિરુદ્ધ વેક્ટર નીચે પ્રમાણે સૂચવવામાં આવે છે: -c. દેખીતી રીતે, c+(-c)=0 અથવા AB+BA=0 A B a b c -c

વેક્ટર બાદબાકી વ્યાખ્યા. બે વેક્ટર a અને b નો તફાવત એ વેક્ટર છે જેનો સરવાળો વેક્ટર b સાથે વેક્ટર a જેટલો છે. વ્યાખ્યા. બે વેક્ટર a અને b નો તફાવત એ વેક્ટર છે જેનો સરવાળો વેક્ટર b સાથે વેક્ટર a જેટલો છે. પ્રમેય. કોઈપણ વેક્ટર a અને b માટે, સમાનતા a - b = a + (-b) સાચી છે. કાર્ય. વેક્ટર a અને b આપવામાં આવે છે. વેક્ટર a – b બાંધો. a a b -b a - b

અંતે, મેં આ વ્યાપક અને લાંબા સમયથી રાહ જોવાતી વિષય પર મારો હાથ મેળવ્યો. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ. પ્રથમ, ઉચ્ચ ગણિતના આ વિભાગ વિશે થોડું... ચોક્કસ તમને હવે અસંખ્ય પ્રમેય, તેમના પુરાવા, રેખાંકનો વગેરે સાથેનો શાળા ભૂમિતિનો અભ્યાસક્રમ યાદ હશે. શું છુપાવવું, વિદ્યાર્થીઓના નોંધપાત્ર પ્રમાણ માટે અપ્રિય અને ઘણીવાર અસ્પષ્ટ વિષય. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ, વિચિત્ર રીતે પૂરતી, વધુ રસપ્રદ અને સુલભ લાગે છે. વિશેષણ "વિશ્લેષણાત્મક" નો અર્થ શું છે? બે ક્લિચ કરેલા ગાણિતિક શબ્દસમૂહો તરત જ ધ્યાનમાં આવે છે: "ગ્રાફિકલ ઉકેલ પદ્ધતિ" અને "વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલ પદ્ધતિ." ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ, અલબત્ત, આલેખ અને રેખાંકનોના નિર્માણ સાથે સંકળાયેલ છે. વિશ્લેષણાત્મકસમાન પદ્ધતિસમસ્યાઓ ઉકેલવા સમાવેશ થાય છે મુખ્યત્વેબીજગણિત કામગીરી દ્વારા. આ સંદર્ભે, વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની લગભગ તમામ સમસ્યાઓ હલ કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ સરળ અને પારદર્શક છે, ઘણીવાર તે જરૂરી સૂત્રોને કાળજીપૂર્વક લાગુ કરવા માટે પૂરતું છે - અને જવાબ તૈયાર છે! ના, અલબત્ત, અમે ડ્રોઇંગ વિના આ બિલકુલ કરી શકીશું નહીં, અને આ ઉપરાંત, સામગ્રીની વધુ સારી સમજણ માટે, હું તેમને જરૂરિયાત કરતાં વધુ ટાંકવાનો પ્રયાસ કરીશ.

ભૂમિતિ પરના પાઠનો નવો ખોલવામાં આવેલ અભ્યાસક્રમ સૈદ્ધાંતિક રીતે સંપૂર્ણ હોવાનો ડોળ કરતો નથી; તે વ્યવહારિક સમસ્યાઓના ઉકેલ પર કેન્દ્રિત છે. હું મારા પ્રવચનોમાં ફક્ત તે જ સમાવીશ જે મારા દૃષ્ટિકોણથી વ્યવહારિક દ્રષ્ટિએ મહત્વપૂર્ણ છે. જો તમને કોઈપણ પેટા વિભાગ પર વધુ સંપૂર્ણ સહાયની જરૂર હોય, તો હું નીચેના તદ્દન સુલભ સાહિત્યની ભલામણ કરું છું:

1) એક વસ્તુ કે જે મજાક નથી, ઘણી પેઢીઓ તેનાથી પરિચિત છે: ભૂમિતિ પર શાળા પાઠ્યપુસ્તક, લેખકો - એલ.એસ. એટાનસ્યાન એન્ડ કંપની. આ શાળા લોકર રૂમ હેંગર પહેલેથી જ 20 (!) પુનઃપ્રિન્ટમાંથી પસાર થઈ ચૂક્યું છે, જે, અલબત્ત, મર્યાદા નથી.

2) 2 વોલ્યુમોમાં ભૂમિતિ. લેખકો એલ.એસ. અતાનાસ્યાન, બાઝીલેવ વી.ટી.. આ ઉચ્ચ શાળા માટેનું સાહિત્ય છે, તમારે જરૂર પડશે પ્રથમ વોલ્યુમ. ભાગ્યે જ અનુભવાતા કાર્યો મારી નજરથી દૂર થઈ શકે છે, અને ટ્યુટોરીયલ અમૂલ્ય મદદ પૂરી પાડશે.

બંને પુસ્તકો નિઃશુલ્ક ઑનલાઇન ડાઉનલોડ કરી શકાય છે. વધુમાં, તમે તૈયાર ઉકેલો સાથે મારા આર્કાઇવનો ઉપયોગ કરી શકો છો, જે પૃષ્ઠ પર મળી શકે છે ઉચ્ચ ગણિતમાં ઉદાહરણો ડાઉનલોડ કરો.

સાધનોમાં, હું ફરીથી મારા પોતાના વિકાસનો પ્રસ્તાવ મૂકું છું - સોફ્ટવેર પેકેજવિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિમાં, જે જીવનને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવશે અને ઘણો સમય બચાવશે.

એવું માનવામાં આવે છે કે વાચક મૂળભૂત ભૌમિતિક ખ્યાલો અને આકૃતિઓથી પરિચિત છે: બિંદુ, રેખા, સમતલ, ત્રિકોણ, સમાંતર, સમાંતર, સમઘન, વગેરે. કેટલાક પ્રમેય યાદ રાખવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, ઓછામાં ઓછું પાયથાગોરિયન પ્રમેય, પુનરાવર્તકોને નમસ્કાર)

અને હવે આપણે ક્રમિક રીતે વિચારણા કરીશું: વેક્ટરનો ખ્યાલ, વેક્ટર સાથેની ક્રિયાઓ, વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ. હું આગળ વાંચવાની ભલામણ કરું છું સૌથી મહત્વપૂર્ણ લેખ વેક્ટર્સનું ડોટ ઉત્પાદન, અને પણ વેક્ટર અને વેક્ટરનું મિશ્ર ઉત્પાદન. સ્થાનિક કાર્ય - આ સંદર્ભમાં સેગમેન્ટનું વિભાજન - પણ અનાવશ્યક રહેશે નહીં. ઉપરોક્ત માહિતીના આધારે, તમે માસ્ટર કરી શકો છો પ્લેનમાં રેખાનું સમીકરણસાથે ઉકેલોના સરળ ઉદાહરણો, જે પરવાનગી આપશે ભૂમિતિની સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શીખો. નીચેના લેખો પણ ઉપયોગી છે: અવકાશમાં પ્લેનનું સમીકરણ, અવકાશમાં રેખાના સમીકરણો, એક સીધી રેખા અને પ્લેન પરની મૂળભૂત સમસ્યાઓ, વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના અન્ય વિભાગો. સ્વાભાવિક રીતે, માર્ગમાં પ્રમાણભૂત કાર્યો ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે.

વેક્ટર ખ્યાલ. મુક્ત વેક્ટર

પ્રથમ, ચાલો વેક્ટરની શાળા વ્યાખ્યાનું પુનરાવર્તન કરીએ. વેક્ટરકહેવાય છે નિર્દેશિતએક સેગમેન્ટ કે જેના માટે તેની શરૂઆત અને અંત દર્શાવેલ છે:

આ કિસ્સામાં, સેગમેન્ટની શરૂઆત બિંદુ છે, સેગમેન્ટનો અંત બિંદુ છે. વેક્ટર પોતે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. દિશાઆવશ્યક છે, જો તમે તીરને સેગમેન્ટના બીજા છેડે ખસેડો છો, તો તમને વેક્ટર મળશે, અને આ પહેલેથી જ છે સંપૂર્ણપણે અલગ વેક્ટર. ભૌતિક શરીરની હિલચાલ સાથે વેક્ટરની વિભાવનાને ઓળખવા માટે તે અનુકૂળ છે: તમારે સંમત થવું આવશ્યક છે, સંસ્થાના દરવાજામાં પ્રવેશવું અથવા સંસ્થાના દરવાજા છોડવા સંપૂર્ણપણે અલગ વસ્તુઓ છે.

પ્લેન અથવા જગ્યાના વ્યક્તિગત બિંદુઓને કહેવાતા તરીકે ધ્યાનમાં લેવાનું અનુકૂળ છે શૂન્ય વેક્ટર. આવા વેક્ટર માટે, અંત અને શરૂઆત એકરૂપ થાય છે.

!!! નૉૅધ: અહીં અને આગળ, તમે ધારી શકો છો કે વેક્ટર એક જ પ્લેનમાં આવેલા છે અથવા તમે ધારી શકો છો કે તેઓ અવકાશમાં સ્થિત છે - પ્રસ્તુત સામગ્રીનો સાર પ્લેન અને જગ્યા બંને માટે માન્ય છે.

હોદ્દો:ઘણાએ તરત જ હોદ્દામાં તીર વિનાની લાકડી પર ધ્યાન આપ્યું અને કહ્યું, ટોચ પર એક તીર પણ છે! સાચું, તમે તેને તીર વડે લખી શકો છો: , પરંતુ તે પણ શક્ય છે એન્ટ્રી કે જેનો હું ભવિષ્યમાં ઉપયોગ કરીશ. શા માટે? દેખીતી રીતે, આ આદત વ્યવહારિક કારણોસર વિકસાવવામાં આવી હતી; શૈક્ષણિક સાહિત્યમાં, કેટલીકવાર તેઓ ક્યુનિફોર્મ લેખનથી બિલકુલ પરેશાન થતા નથી, પરંતુ બોલ્ડમાં અક્ષરોને પ્રકાશિત કરે છે: , તે સૂચવે છે કે આ એક વેક્ટર છે.

તે શૈલીશાસ્ત્ર હતું, અને હવે વેક્ટર લખવાની રીતો વિશે:

1) વેક્ટર્સ બે મોટા લેટિન અક્ષરોમાં લખી શકાય છે:
અને તેથી વધુ. આ કિસ્સામાં, પ્રથમ અક્ષર જરૂરીવેક્ટરના પ્રારંભિક બિંદુને સૂચવે છે, અને બીજો અક્ષર વેક્ટરના અંતિમ બિંદુને સૂચવે છે.

2) વેક્ટર નાના લેટિન અક્ષરોમાં પણ લખવામાં આવે છે:
ખાસ કરીને, અમારા વેક્ટરને નાના લેટિન અક્ષર દ્વારા સંક્ષિપ્તતા માટે ફરીથી ડિઝાઇન કરી શકાય છે.

લંબાઈઅથવા મોડ્યુલબિન-શૂન્ય વેક્ટરને સેગમેન્ટની લંબાઈ કહેવામાં આવે છે. શૂન્ય વેક્ટરની લંબાઈ શૂન્ય છે. તાર્કિક.

વેક્ટરની લંબાઈ મોડ્યુલસ ચિહ્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે: ,

વેક્ટરની લંબાઈ કેવી રીતે શોધવી તે શીખીશું (અથવા કોના પર આધાર રાખીને તેનું પુનરાવર્તન કરીશું) થોડી વાર પછી.

આ વેક્ટર વિશેની મૂળભૂત માહિતી હતી, જે તમામ શાળાના બાળકો માટે પરિચિત હતી. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિમાં, કહેવાતા મુક્ત વેક્ટર.

સરળ રીતે કહીએ તો - વેક્ટર કોઈપણ બિંદુ પરથી પ્લોટ કરી શકાય છે:

આપણે આવા વેક્ટર્સને સમાન કહેવા માટે ટેવાયેલા છીએ (સમાન વેક્ટરની વ્યાખ્યા નીચે આપવામાં આવશે), પરંતુ સંપૂર્ણ ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, તેઓ સમાન વેક્ટર છે અથવા મુક્ત વેક્ટર. શા માટે મફત? કારણ કે સમસ્યાઓ ઉકેલવા દરમિયાન, તમે આ અથવા તે વેક્ટરને પ્લેન અથવા જગ્યાના કોઈપણ બિંદુ સાથે "જોડી" શકો છો. આ એક ખૂબ જ સરસ લક્ષણ છે! મનસ્વી લંબાઈ અને દિશાના વેક્ટરની કલ્પના કરો - તેને અનંત સંખ્યામાં અને અવકાશના કોઈપણ બિંદુએ "ક્લોન" કરી શકાય છે, હકીકતમાં, તે દરેક જગ્યાએ અસ્તિત્વમાં છે. ત્યાં એક વિદ્યાર્થી કહે છે: દરેક લેક્ચરર વેક્ટર વિશે શાબ્દિક જવાબ આપે છે. છેવટે, તે માત્ર એક વિનોદી કવિતા નથી, બધું ગાણિતિક રીતે સાચું છે - વેક્ટર ત્યાં પણ જોડી શકાય છે. પરંતુ આનંદ કરવા માટે ઉતાવળ કરશો નહીં, તે વિદ્યાર્થીઓ પોતે જ છે જે ઘણીવાર પીડાય છે =)

તેથી, મુક્ત વેક્ટર- આ એક ટોળું સમાન નિર્દેશિત વિભાગો. ફકરાની શરૂઆતમાં આપેલ વેક્ટરની શાળાની વ્યાખ્યા: "નિર્દેશિત સેગમેન્ટને વેક્ટર કહેવામાં આવે છે..." સૂચવે છે ચોક્કસઆપેલ સેટમાંથી લેવામાં આવેલ નિર્દેશિત સેગમેન્ટ, જે પ્લેન અથવા જગ્યાના ચોક્કસ બિંદુ સાથે જોડાયેલ છે.

એ નોંધવું જોઈએ કે ભૌતિકશાસ્ત્રના દૃષ્ટિકોણથી, મુક્ત વેક્ટરની વિભાવના સામાન્ય રીતે ખોટી છે, અને વેક્ટરના એપ્લિકેશનનો મુદ્દો મહત્વપૂર્ણ છે. ખરેખર, નાક અથવા કપાળ પર સમાન બળનો સીધો ફટકો, જે મારા મૂર્ખ ઉદાહરણને વિકસાવવા માટે પૂરતો છે, તે વિવિધ પરિણામોનો સમાવેશ કરે છે. જો કે, મુક્તવેક્ટર્સ પણ vyshmat કોર્સમાં જોવા મળે છે (ત્યાં જશો નહીં :)).

વેક્ટર સાથેની ક્રિયાઓ. વેક્ટર્સની સમકક્ષતા

શાળા ભૂમિતિ અભ્યાસક્રમ વેક્ટર સાથેની સંખ્યાબંધ ક્રિયાઓ અને નિયમોને આવરી લે છે: ત્રિકોણના નિયમ પ્રમાણે સરવાળો, સમાંતર ચતુષ્કોણના નિયમ પ્રમાણે સરવાળો, વેક્ટર તફાવતનો નિયમ, સંખ્યા વડે વેક્ટરનો ગુણાકાર, વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન વગેરે.પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે, ચાલો બે નિયમોનું પુનરાવર્તન કરીએ જે ખાસ કરીને વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સુસંગત છે.

ત્રિકોણ નિયમનો ઉપયોગ કરીને વેક્ટર ઉમેરવાનો નિયમ

બે મનસ્વી બિન-શૂન્ય વેક્ટરને ધ્યાનમાં લો અને:

તમારે આ વેક્ટરનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે. હકીકત એ છે કે તમામ વેક્ટરને મુક્ત ગણવામાં આવે છે, અમે વેક્ટરને અલગ રાખીશું અંતવેક્ટર

વેક્ટરનો સરવાળો વેક્ટર છે. નિયમની વધુ સારી સમજણ માટે, તેમાં ભૌતિક અર્થ મૂકવાની સલાહ આપવામાં આવે છે: કેટલાક શરીરને વેક્ટર સાથે અને પછી વેક્ટર સાથે મુસાફરી કરવા દો. પછી વેક્ટર્સનો સરવાળો એ પરિણામી પાથનો વેક્ટર છે જેની શરૂઆત પ્રસ્થાન બિંદુથી અને અંત આગમન બિંદુ પર હોય છે. કોઈપણ સંખ્યાના વેક્ટરના સરવાળા માટે સમાન નિયમ ઘડવામાં આવે છે. જેમ તેઓ કહે છે, શરીર ઝિગઝેગ સાથે અથવા કદાચ ઓટોપાયલટ પર - સરવાળાના પરિણામી વેક્ટર સાથે તેના માર્ગે જઈ શકે છે.

માર્ગ દ્વારા, જો વેક્ટર થી મુલતવી રાખવામાં આવે છે શરૂ કર્યુંવેક્ટર, પછી આપણને સમકક્ષ મળે છે સમાંતરગ્રામ નિયમવેક્ટરનો ઉમેરો.

પ્રથમ, વેક્ટરની સમન્વયતા વિશે. બે વેક્ટર કહેવાય છે સમરેખા, જો તેઓ સમાન રેખા પર અથવા સમાંતર રેખાઓ પર આવેલા હોય. આશરે કહીએ તો, આપણે સમાંતર વેક્ટર વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. પરંતુ વિશેષણ "કોલિનિયર" હંમેશા તેનો ઉલ્લેખ કરતી વખતે વપરાય છે.

બે કોલિનિયર વેક્ટરની કલ્પના કરો. જો આ વેક્ટરના તીરો એક જ દિશામાં નિર્દેશિત હોય, તો આવા વેક્ટર કહેવામાં આવે છે સહ-નિર્દેશિત. જો તીર જુદી જુદી દિશામાં નિર્દેશ કરે છે, તો વેક્ટર હશે વિરુદ્ધ દિશાઓ.

હોદ્દો:વેક્ટર્સની સમકક્ષતા સામાન્ય સમાંતર પ્રતીક સાથે લખવામાં આવે છે: , જ્યારે વિગતો શક્ય છે: (વેક્ટર સહ-નિર્દેશિત છે) અથવા (વેક્ટર્સ વિરુદ્ધ નિર્દેશિત છે).

કામસંખ્યા પર બિન-શૂન્ય વેક્ટર એ એક વેક્ટર છે જેની લંબાઈ , અને વેક્ટર છે અને તે સહ-નિર્દેશિત છે અને તેની વિરુદ્ધ નિર્દેશિત છે.

વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાનો નિયમ ચિત્રની મદદથી સમજવો સરળ છે:

ચાલો તેને વધુ વિગતમાં જોઈએ:

1) દિશા. જો ગુણક નકારાત્મક હોય, તો વેક્ટર દિશા બદલી નાખે છેવિરુદ્ધ.

2) લંબાઈ. જો ગુણક અંદર અથવા ની અંદર સમાયેલ હોય, તો વેક્ટરની લંબાઈ ઘટે છે. આમ, વેક્ટરની લંબાઈ વેક્ટરની લંબાઈ કરતાં અડધી છે. જો ગુણકનું મોડ્યુલસ એક કરતા વધારે હોય, તો વેક્ટરની લંબાઈ વધે છેસમય માં.

3) મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે બધા વેક્ટર સમરેખા છે, જ્યારે એક વેક્ટર બીજા દ્વારા વ્યક્ત થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, . ઊલટું પણ સાચું છે: જો એક વેક્ટર બીજા દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે, તો આવા વેક્ટર આવશ્યકપણે સમરેખા હોવા જોઈએ. આમ: જો આપણે વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીએ, તો આપણને કોલિનિયર મળે છે(મૂળ સાથે સંબંધિત) વેક્ટર.

4) વેક્ટર સહ-નિર્દેશિત છે. વેક્ટર્સ અને સહ-નિર્દેશિત પણ છે. પ્રથમ જૂથનો કોઈપણ વેક્ટર બીજા જૂથના કોઈપણ વેક્ટરના સંદર્ભમાં વિરુદ્ધ રીતે નિર્દેશિત થાય છે.

કયા વેક્ટર સમાન છે?

બે વેક્ટર સમાન હોય છે જો તે એક જ દિશામાં હોય અને તેની લંબાઈ સમાન હોય. નોંધ કરો કે સહનિર્દેશકતા વેક્ટર્સની સમકક્ષતા સૂચવે છે. વ્યાખ્યા અચોક્કસ (રિડન્ડન્ટ) હશે જો આપણે એમ કહીએ: "બે વેક્ટર સમાન છે જો તેઓ સમરેખાકીય, સહદિશાત્મક અને સમાન લંબાઈ ધરાવતા હોય."

ફ્રી વેક્ટરની વિભાવનાના દૃષ્ટિકોણથી, સમાન વેક્ટર એ સમાન વેક્ટર છે, જેમ કે અગાઉના ફકરામાં ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

પ્લેન પર અને અવકાશમાં વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ કરે છે

પ્રથમ મુદ્દો એ પ્લેન પરના વેક્ટરને ધ્યાનમાં લેવાનો છે. ચાલો એક કાર્ટેશિયન લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીનું નિરૂપણ કરીએ અને તેને કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિમાંથી કાવતરું કરીએ. એકલુવેક્ટર અને:

વેક્ટર અને ઓર્થોગોનલ. ઓર્થોગોનલ = લંબ. હું ભલામણ કરું છું કે તમે ધીમે ધીમે શબ્દોની આદત પાડો: સમાંતરતા અને લંબરૂપતાને બદલે, અમે અનુક્રમે શબ્દોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ સમન્વયઅને ઓર્થોગોનાલિટી.

હોદ્દો:વેક્ટર્સની ઓર્થોગોનાલિટી સામાન્ય લંબતા પ્રતીક સાથે લખવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે: .

વિચારણા હેઠળના વેક્ટર્સ કહેવામાં આવે છે સંકલન વેક્ટરઅથવા orts. આ વેક્ટર રચાય છે આધારસપાટી પર. મને લાગે છે કે આધાર શું છે તે ઘણા લોકો માટે સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ છે, વધુ વિગતવાર માહિતી લેખમાં મળી શકે છે વેક્ટર્સની રેખીય (બિન) અવલંબન. વેક્ટર્સનો આધારસરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, કોઓર્ડિનેટ્સનો આધાર અને મૂળ સમગ્ર સિસ્ટમને વ્યાખ્યાયિત કરે છે - આ એક પ્રકારનો પાયો છે જેના પર સંપૂર્ણ અને સમૃદ્ધ ભૌમિતિક જીવન ઉકળે છે.

કેટલીકવાર બાંધવામાં આવેલ આધાર કહેવામાં આવે છે ઓર્થોનોર્મલપ્લેનનો આધાર: "ઓર્થો" - કારણ કે સંકલન વેક્ટર ઓર્થોગોનલ છે, વિશેષણ "સામાન્ય" નો અર્થ થાય છે એકમ, એટલે કે. આધાર વેક્ટરની લંબાઈ એક સમાન છે.

હોદ્દો:આધાર સામાન્ય રીતે કૌંસમાં લખવામાં આવે છે, જેની અંદર કડક ક્રમમાંઆધાર વેક્ટર્સ સૂચિબદ્ધ છે, ઉદાહરણ તરીકે: . વેક્ટર્સનું સંકલન કરો તે પ્રતિબંધિત છેફરીથી ગોઠવો.

કોઈપણપ્લેન વેક્ટર એકમાત્ર રસ્તોઆ રીતે વ્યક્ત:
, ક્યાં - સંખ્યાઓજેને કહેવામાં આવે છે વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સઆ આધાર પર. અને અભિવ્યક્તિ પોતે કહેવાય છે વેક્ટર વિઘટનઆધાર દ્વારા .

રાત્રિભોજન પીરસવામાં આવ્યું:

ચાલો મૂળાક્ષરના પ્રથમ અક્ષરથી શરૂઆત કરીએ: . ડ્રોઇંગ સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે કે વેક્ટરને આધારમાં વિઘટન કરતી વખતે, હમણાં જ ચર્ચા કરાયેલાનો ઉપયોગ થાય છે:
1) વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાનો નિયમ: અને ;
2) ત્રિકોણના નિયમ અનુસાર વેક્ટરનો ઉમેરો: .

હવે માનસિક રીતે પ્લેન પરના કોઈપણ અન્ય બિંદુથી વેક્ટરને કાવતરું કરો. તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે તેનો ક્ષય "નિરંતર તેને અનુસરશે." અહીં તે છે, વેક્ટરની સ્વતંત્રતા - વેક્ટર "પોતાની સાથે બધું વહન કરે છે." આ ગુણધર્મ, અલબત્ત, કોઈપણ વેક્ટર માટે સાચું છે. તે રમુજી છે કે મૂળ (મફત) વેક્ટરને મૂળમાંથી બનાવવું જરૂરી નથી, ઉદાહરણ તરીકે, નીચે ડાબી બાજુએ અને બીજું જમણી બાજુએ, અને કંઈપણ બદલાશે નહીં! સાચું, તમારે આ કરવાની જરૂર નથી, કારણ કે શિક્ષક પણ મૌલિકતા બતાવશે અને તમને અણધારી જગ્યાએ "ક્રેડિટ" દોરશે.

વેક્ટર વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવા માટેનો નિયમ બરાબર સમજાવે છે, વેક્ટરને બેઝ વેક્ટર સાથે સહ-નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે, વેક્ટરને બેઝ વેક્ટરની વિરુદ્ધ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે. આ વેક્ટર્સ માટે, કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી એક શૂન્ય સમાન છે, તમે તેને આના જેવું કાળજીપૂર્વક લખી શકો છો:


અને આધારભૂત વેક્ટર્સ, માર્ગ દ્વારા, આના જેવા છે: (હકીકતમાં, તેઓ પોતાના દ્વારા વ્યક્ત થાય છે).

અને અંતે: , . માર્ગ દ્વારા, વેક્ટર બાદબાકી શું છે અને મેં બાદબાકીના નિયમ વિશે શા માટે વાત કરી નથી? રેખીય બીજગણિતમાં ક્યાંક, મને યાદ નથી કે ક્યાં, મેં નોંધ્યું છે કે બાદબાકી એ સરવાળાનો વિશેષ કેસ છે. આમ, વેક્ટર "de" અને "e" ના વિસ્તરણ સરળતાથી સરવાળા તરીકે લખવામાં આવે છે: , . શરતોને ફરીથી ગોઠવો અને ડ્રોઇંગમાં જુઓ કે આ પરિસ્થિતિઓમાં ત્રિકોણના નિયમ અનુસાર વેક્ટરના સારા જૂના ઉમેરણ કેટલી સારી રીતે કાર્ય કરે છે.

ફોર્મનું માનવામાં આવેલું વિઘટન ક્યારેક વેક્ટર વિઘટન કહેવાય છે ઓર્ટ સિસ્ટમમાં(એટલે ​​​​કે એકમ વેક્ટરની સિસ્ટમમાં). પરંતુ વેક્ટર લખવાનો આ એકમાત્ર રસ્તો નથી, નીચેનો વિકલ્પ સામાન્ય છે:

અથવા સમાન ચિહ્ન સાથે:

આધાર વેક્ટર પોતે નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે: અને

એટલે કે, વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ કૌંસમાં દર્શાવેલ છે. વ્યવહારિક સમસ્યાઓમાં, ત્રણેય નોટેશન વિકલ્પોનો ઉપયોગ થાય છે.

મને બોલવું કે કેમ તે અંગે શંકા હતી, પરંતુ હું તેને કોઈપણ રીતે કહીશ: વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ ફરીથી ગોઠવી શકાતા નથી. સખત રીતે પ્રથમ સ્થાનેઅમે એકમ વેક્ટરને અનુરૂપ સંકલન લખીએ છીએ, સખત રીતે બીજા સ્થાનેઅમે એકમ વેક્ટરને અનુરૂપ સંકલન લખીએ છીએ. ખરેખર, અને બે અલગ-અલગ વેક્ટર છે.

અમે પ્લેનમાં કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી કાઢ્યા. હવે ચાલો ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં વેક્ટર જોઈએ, અહીં લગભગ બધું સમાન છે! તે માત્ર એક વધુ સંકલન ઉમેરશે. ત્રિ-પરિમાણીય રેખાંકનો બનાવવાનું મુશ્કેલ છે, તેથી હું મારી જાતને એક વેક્ટર સુધી મર્યાદિત કરીશ, જે સરળતા માટે હું મૂળથી અલગ કરીશ:

કોઈપણ 3D સ્પેસ વેક્ટર એકમાત્ર રસ્તોઓર્થોનોર્મલ ધોરણે વિસ્તૃત કરો:
, આ આધારમાં વેક્ટર (સંખ્યા) ના કોઓર્ડિનેટ્સ ક્યાં છે.

ચિત્રમાંથી ઉદાહરણ: . ચાલો જોઈએ કે વેક્ટર નિયમો અહીં કેવી રીતે કામ કરે છે. પ્રથમ, વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો: (લાલ તીર), (લીલો તીર) અને (રાસ્પબેરી એરો). બીજું, અહીં ઘણા ઉમેરવાનું ઉદાહરણ છે, આ કિસ્સામાં ત્રણ, વેક્ટર્સ: . સરવાળો વેક્ટર પ્રસ્થાનના પ્રારંભિક બિંદુ (વેક્ટરની શરૂઆત) થી શરૂ થાય છે અને આગમનના અંતિમ બિંદુ (વેક્ટરનો અંત) પર સમાપ્ત થાય છે.

ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશના તમામ વેક્ટર, કુદરતી રીતે, વેક્ટરને અન્ય કોઈપણ બિંદુથી અલગ રાખવાનો પ્રયાસ કરો, અને તમે સમજી શકશો કે તેનું વિઘટન "તેની સાથે રહેશે."

ફ્લેટ કેસ જેવું જ, લેખન ઉપરાંત કૌંસ સાથેના સંસ્કરણોનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે: ક્યાં તો .

જો વિસ્તરણમાં એક (અથવા બે) સંકલન વેક્ટર ખૂટે છે, તો શૂન્ય તેમની જગ્યાએ મૂકવામાં આવે છે. ઉદાહરણો:
વેક્ટર (ચોકસાઇપૂર્વક ) - ચાલો લખીએ;
વેક્ટર (ચોકસાઇપૂર્વક ) - ચાલો લખીએ;
વેક્ટર (ચોકસાઇપૂર્વક ) - ચાલો લખીએ.

આધાર વેક્ટર નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે:

આ, કદાચ, વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે જરૂરી તમામ ન્યૂનતમ સૈદ્ધાંતિક જ્ઞાન છે. ત્યાં ઘણી બધી શરતો અને વ્યાખ્યાઓ હોઈ શકે છે, તેથી હું ભલામણ કરું છું કે ટીપોટ્સ આ માહિતીને ફરીથી વાંચે અને સમજે. અને સામગ્રીને વધુ સારી રીતે આત્મસાત કરવા માટે સમય સમય પર મૂળભૂત પાઠનો સંદર્ભ લેવો કોઈપણ વાચક માટે ઉપયોગી થશે. સમકક્ષતા, ઓર્થોગોનાલિટી, ઓર્થોનોર્મલ આધાર, વેક્ટર વિઘટન - આ અને અન્ય ખ્યાલો ભવિષ્યમાં વારંવાર ઉપયોગમાં લેવાશે. હું એ નોંધવા માંગુ છું કે સાઇટ સામગ્રીઓ સૈદ્ધાંતિક કસોટી અથવા ભૂમિતિમાં બોલચાલ પાસ કરવા માટે પૂરતી નથી, કારણ કે મેં તમામ પ્રમેય (અને પુરાવા વિના) કાળજીપૂર્વક એન્ક્રિપ્ટ કર્યા છે - પ્રસ્તુતિની વૈજ્ઞાનિક શૈલીને નુકસાન પહોંચાડવા માટે, પરંતુ તમારા માટે એક વત્તા વિષયની સમજ. વિગતવાર સૈદ્ધાંતિક માહિતી મેળવવા માટે, કૃપા કરીને પ્રોફેસર અતાનાસ્યાનને નમન કરો.

અને અમે વ્યવહારુ ભાગ તરફ આગળ વધીએ છીએ:

વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની સૌથી સરળ સમસ્યાઓ.
કોઓર્ડિનેટ્સમાં વેક્ટર સાથેની ક્રિયાઓ

તે ખૂબ જ સલાહભર્યું છે કે કાર્યને કેવી રીતે હલ કરવું તે શીખવું કે જે સંપૂર્ણપણે આપમેળે ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે, અને સૂત્રો યાદ રાખવું, તમારે તેને હેતુસર યાદ રાખવાની પણ જરૂર નથી, તેઓ તેને જાતે જ યાદ રાખશે =) આ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની અન્ય સમસ્યાઓ સૌથી સરળ પ્રાથમિક ઉદાહરણો પર આધારિત છે, અને પ્યાદા ખાવામાં વધારાનો સમય પસાર કરવો તે હેરાન કરશે. . તમારા શર્ટ પરના ટોચના બટનો બાંધવાની જરૂર નથી, ઘણી વસ્તુઓ તમને શાળાથી પરિચિત છે.

સામગ્રીની રજૂઆત સમાંતર કોર્સને અનુસરશે - પ્લેન અને જગ્યા બંને માટે. કારણ કે તમામ સૂત્રો... તમે તમારા માટે જોશો.

બે બિંદુઓમાંથી વેક્ટર કેવી રીતે શોધવું?

જો પ્લેનના બે બિંદુઓ અને આપવામાં આવે છે, તો વેક્ટર પાસે નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ છે:

જો અવકાશમાં બે બિંદુઓ અને આપવામાં આવે, તો વેક્ટર પાસે નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ છે:

તે જ, વેક્ટરના અંતના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથીતમારે અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ બાદ કરવાની જરૂર છે વેક્ટરની શરૂઆત.

કસરત:સમાન બિંદુઓ માટે, વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટેના સૂત્રો લખો. પાઠના અંતે સૂત્રો.

ઉદાહરણ 1

પ્લેનના બે બિંદુઓ આપેલ છે અને . વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો

ઉકેલ:અનુરૂપ સૂત્ર અનુસાર:

વૈકલ્પિક રીતે, નીચેની એન્ટ્રીનો ઉપયોગ કરી શકાય છે:

સૌંદર્યશાસ્ત્રીઓ આ નક્કી કરશે:

અંગત રીતે, હું રેકોર્ડિંગના પ્રથમ સંસ્કરણનો ઉપયોગ કરું છું.

જવાબ:

શરત અનુસાર, ડ્રોઇંગ બનાવવી જરૂરી ન હતી (જે વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની સમસ્યાઓ માટે લાક્ષણિક છે), પરંતુ ડમી માટેના કેટલાક મુદ્દાઓને સ્પષ્ટ કરવા માટે, હું આળસુ નહીં રહીશ:

તમારે ચોક્કસપણે સમજવાની જરૂર છે બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ અને વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેનો તફાવત:

પોઈન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સ- આ લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં સામાન્ય કોઓર્ડિનેટ્સ છે. મને લાગે છે કે 5 થી 6ઠ્ઠા ધોરણથી કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર પોઈન્ટ કેવી રીતે બનાવવું તે દરેક જાણે છે. દરેક બિંદુ પ્લેન પર એક કડક સ્થાન ધરાવે છે, અને તેઓ ગમે ત્યાં ખસેડી શકાતા નથી.

વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ- આ કિસ્સામાં, આધાર અનુસાર તેનું વિસ્તરણ છે. કોઈપણ વેક્ટર મુક્ત છે, તેથી જો જરૂરી હોય તો, અમે તેને પ્લેનમાં કોઈ અન્ય બિંદુથી સરળતાથી દૂર ખસેડી શકીએ છીએ. તે રસપ્રદ છે કે વેક્ટર માટે તમારે અક્ષો અથવા લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ બનાવવાની જરૂર નથી, આ કિસ્સામાં તમારે ફક્ત એક આધારની જરૂર છે, આ કિસ્સામાં પ્લેનનો ઓર્થોનર્મલ આધાર.

પોઈન્ટના કોઓર્ડિનેટ્સ અને વેક્ટર્સના કોઓર્ડિનેટ્સના રેકોર્ડ સમાન લાગે છે: , અને કોઓર્ડિનેટ્સનો અર્થસંપૂર્ણપણે અલગ, અને તમારે આ તફાવતથી સારી રીતે વાકેફ હોવા જોઈએ. આ તફાવત, અલબત્ત, જગ્યા પર પણ લાગુ પડે છે.

બહેનો અને સજ્જનો, ચાલો હાથ ભરીએ:

ઉદાહરણ 2

a) પોઈન્ટ અને આપવામાં આવે છે. વેક્ટર્સ શોધો અને.
b) પોઈન્ટ આપવામાં આવે છે અને . વેક્ટર્સ શોધો અને.
c) પોઈન્ટ અને આપવામાં આવે છે. વેક્ટર્સ શોધો અને.
ડી) પોઈન્ટ આપવામાં આવે છે. વેક્ટર્સ શોધો .

કદાચ તે પૂરતું છે. આ તમારા માટે તમારા પોતાના પર નિર્ણય લેવા માટેના ઉદાહરણો છે, તેમની અવગણના ન કરવાનો પ્રયાસ કરો, તે ચૂકવશે ;-). રેખાંકનો બનાવવાની જરૂર નથી. પાઠના અંતે ઉકેલો અને જવાબો.

વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે શું મહત્વનું છે?માસ્ટરફુલ “બે વત્તા બે બરાબર શૂન્ય” ભૂલ કરવાનું ટાળવા માટે અત્યંત સાવચેત રહેવું મહત્વપૂર્ણ છે. જો મારાથી ભૂલ થઈ હોય તો હું તરત જ માફી માંગુ છું =)

સેગમેન્ટની લંબાઈ કેવી રીતે શોધવી?

લંબાઈ, જેમ કે પહેલેથી જ નોંધ્યું છે, મોડ્યુલસ ચિહ્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

જો સમતલના બે બિંદુઓ આપવામાં આવે છે અને, તો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સેગમેન્ટની લંબાઈની ગણતરી કરી શકાય છે.

જો અવકાશમાં બે બિંદુઓ અને આપવામાં આવે, તો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સેગમેન્ટની લંબાઈની ગણતરી કરી શકાય છે.

નૉૅધ: જો અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ સ્વેપ કરવામાં આવે તો સૂત્રો સાચા રહેશે: અને , પરંતુ પ્રથમ વિકલ્પ વધુ પ્રમાણભૂત છે

ઉદાહરણ 3

ઉકેલ:અનુરૂપ સૂત્ર અનુસાર:

જવાબ:

સ્પષ્ટતા માટે, હું એક ચિત્ર બનાવીશ

રેખાખંડ - આ વેક્ટર નથી, અને, અલબત્ત, તમે તેને ગમે ત્યાં ખસેડી શકતા નથી. વધુમાં, જો તમે સ્કેલ પર દોરો છો: 1 એકમ. = 1 સેમી (બે નોટબુક કોષો), પછી પરિણામી જવાબને સેગમેન્ટની લંબાઈ સીધી માપીને નિયમિત શાસક સાથે ચકાસી શકાય છે.

હા, ઉકેલ ટૂંકો છે, પરંતુ તેમાં કેટલાક વધુ મહત્વપૂર્ણ મુદ્દાઓ છે જે હું સ્પષ્ટ કરવા માંગુ છું:

પ્રથમ, જવાબમાં આપણે પરિમાણ મૂકીએ છીએ: "એકમો". શરત કહેતી નથી કે તે શું છે, મિલીમીટર, સેન્ટિમીટર, મીટર અથવા કિલોમીટર. તેથી, ગાણિતિક રીતે સાચો ઉકેલ એ સામાન્ય ફોર્મ્યુલેશન હશે: "એકમો" - "એકમો" તરીકે સંક્ષિપ્ત.

બીજું, ચાલો આપણે શાળાની સામગ્રીનું પુનરાવર્તન કરીએ, જે ફક્ત ધ્યાનમાં લેવાયેલા કાર્ય માટે જ ઉપયોગી નથી:

ની પર ધ્યાન આપો મહત્વપૂર્ણ તકનીક – મૂળની નીચેથી ગુણકને દૂર કરી રહ્યા છીએ. ગણતરીઓના પરિણામે, અમારી પાસે પરિણામ છે અને સારી ગાણિતિક શૈલીમાં પરિબળને મૂળની નીચેથી દૂર કરવાનો સમાવેશ થાય છે (જો શક્ય હોય તો). વધુ વિગતવાર પ્રક્રિયા આના જેવી લાગે છે: . અલબત્ત, જવાબને જેમ છે તેમ છોડી દેવો એ ભૂલ હશે નહીં - પરંતુ તે ચોક્કસપણે એક ખામી હશે અને શિક્ષકના ભાગ પર કટાક્ષ કરવા માટે એક વજનદાર દલીલ હશે.

અહીં અન્ય સામાન્ય કિસ્સાઓ છે:

ઘણીવાર મૂળ એકદમ મોટી સંખ્યામાં પેદા કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે. આવા કિસ્સાઓમાં શું કરવું? કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને, અમે તપાસીએ છીએ કે સંખ્યા 4 દ્વારા વિભાજ્ય છે કે કેમ: . હા, તે સંપૂર્ણપણે વિભાજિત કરવામાં આવ્યું હતું, આમ: . અથવા કદાચ સંખ્યાને ફરીથી 4 વડે ભાગી શકાય? . આમ: . સંખ્યાનો છેલ્લો અંક વિષમ છે, તેથી ત્રીજી વખત 4 વડે ભાગવું દેખીતી રીતે કામ કરશે નહીં. ચાલો નવ વડે ભાગવાનો પ્રયત્ન કરીએ: . પરિણામ સ્વરૂપ:
તૈયાર છે.

નિષ્કર્ષ:જો રુટ હેઠળ આપણને એવી સંખ્યા મળે છે જે સંપૂર્ણ રીતે કાઢી શકાતી નથી, તો પછી આપણે મૂળમાંથી પરિબળ દૂર કરવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ - કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને આપણે તપાસીએ છીએ કે સંખ્યા આના દ્વારા વિભાજ્ય છે કે કેમ: 4, 9, 16, 25, 36, 49, વગેરે.

વિવિધ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, મૂળનો વારંવાર સામનો કરવો પડે છે, જેથી શિક્ષકની ટિપ્પણીઓના આધારે તમારા ઉકેલોને અંતિમ સ્વરૂપ આપવામાં નીચા ગ્રેડ અને બિનજરૂરી સમસ્યાઓ ટાળવા માટે હંમેશા મૂળમાંથી પરિબળો કાઢવાનો પ્રયાસ કરો.

ચાલો વર્ગીકરણ મૂળ અને અન્ય શક્તિઓનું પણ પુનરાવર્તન કરીએ:

સામાન્ય સ્વરૂપમાં સત્તાઓ સાથે કામ કરવાના નિયમો શાળાના બીજગણિત પાઠ્યપુસ્તકમાં મળી શકે છે, પરંતુ મને લાગે છે કે આપેલા ઉદાહરણો પરથી, બધું અથવા લગભગ બધું પહેલેથી જ સ્પષ્ટ છે.

અવકાશમાં સેગમેન્ટ સાથે સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે કાર્ય:

ઉદાહરણ 4

પોઈન્ટ અને આપવામાં આવે છે. સેગમેન્ટની લંબાઈ શોધો.

ઉકેલ અને જવાબ પાઠના અંતે છે.

વેક્ટરની લંબાઈ કેવી રીતે શોધવી?

જો પ્લેન વેક્ટર આપવામાં આવે છે, તો તેની લંબાઈ સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે.

જો અવકાશ વેક્ટર આપવામાં આવે છે, તો તેની લંબાઈ સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે .

1. સામાન્ય જોગવાઈઓ

1.1. વ્યાપારી પ્રતિષ્ઠા જાળવવા અને ફેડરલ કાયદાનું પાલન સુનિશ્ચિત કરવા માટે, ફેડરલ સ્ટેટ ઇન્સ્ટિટ્યુશન સ્ટેટ રિસર્ચ ઇન્સ્ટિટ્યુટ ઑફ ટેક્નોલોજી "ઇન્ફોર્મિકા" (ત્યારબાદ કંપની તરીકે ઓળખવામાં આવે છે) વ્યક્તિગત પ્રક્રિયા અને સુરક્ષાની કાયદેસરતાને સુનિશ્ચિત કરવાનું સૌથી મહત્વપૂર્ણ કાર્ય માને છે. કંપનીની વ્યવસાય પ્રક્રિયાઓમાં વિષયોનો ડેટા.

1.2. આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, કંપનીએ વ્યક્તિગત ડેટા પ્રોટેક્શન સિસ્ટમની સમયાંતરે સમીક્ષા (મોનિટરિંગ) રજૂ કરી છે, તેનું સંચાલન કરે છે અને પસાર કરે છે.

1.3. કંપનીમાં વ્યક્તિગત ડેટાની પ્રક્રિયા નીચેના સિદ્ધાંતો પર આધારિત છે:

વ્યક્તિગત ડેટા અને અખંડિતતાની પ્રક્રિયાના હેતુઓ અને પદ્ધતિઓની કાયદેસરતા;

વ્યક્તિગત ડેટા એકત્રિત કરતી વખતે પૂર્વનિર્ધારિત અને જણાવેલ લક્ષ્યો સાથે વ્યક્તિગત ડેટા પર પ્રક્રિયા કરવાના હેતુઓનું પાલન, તેમજ કંપનીની સત્તાઓ સાથે;

પ્રોસેસ્ડ વ્યક્તિગત ડેટાના વોલ્યુમ અને પ્રકૃતિનો પત્રવ્યવહાર, વ્યક્તિગત ડેટાની પ્રક્રિયાના હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત ડેટાની પ્રક્રિયા કરવાની પદ્ધતિઓ;

વ્યક્તિગત ડેટાની વિશ્વસનીયતા, પ્રક્રિયાના હેતુઓ માટે તેમની સુસંગતતા અને પર્યાપ્તતા, વ્યક્તિગત ડેટાની પ્રક્રિયા કરવાની અસ્વીકાર્યતા કે જે વ્યક્તિગત ડેટા એકત્રિત કરવાના હેતુઓના સંબંધમાં અતિશય છે;

વ્યક્તિગત ડેટાની સુરક્ષાની ખાતરી કરવા માટે સંસ્થાકીય અને તકનીકી પગલાંની કાયદેસરતા;

તેમની પ્રક્રિયા દરમિયાન વ્યક્તિગત ડેટાની સુરક્ષા સુનિશ્ચિત કરવાના ક્ષેત્રમાં કંપનીના કર્મચારીઓના જ્ઞાનના સ્તરમાં સતત સુધારો;

વ્યક્તિગત ડેટા સંરક્ષણ પ્રણાલીમાં સતત સુધારણા માટે પ્રયત્નશીલ.

2. વ્યક્તિગત ડેટાની પ્રક્રિયા કરવાના હેતુઓ

2.1. વ્યક્તિગત ડેટાની પ્રક્રિયાના સિદ્ધાંતો અનુસાર, કંપનીએ પ્રક્રિયાની રચના અને હેતુઓ નક્કી કર્યા છે.

વ્યક્તિગત ડેટા પર પ્રક્રિયા કરવાના હેતુઓ:

નિષ્કર્ષ, સમર્થન, સુધારો, રોજગાર કરારની સમાપ્તિ, જે કંપની અને તેના કર્મચારીઓ વચ્ચેના મજૂર સંબંધોના ઉદભવ અથવા સમાપ્તિ માટેનો આધાર છે;

વિદ્યાર્થીઓ, માતાપિતા અને શિક્ષકો માટે એક પોર્ટલ, વ્યક્તિગત ખાતાની સેવાઓ પ્રદાન કરવી;

શીખવાના પરિણામોનો સંગ્રહ;

ફેડરલ કાયદા અને અન્ય નિયમનકારી કાનૂની કૃત્યો દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલ જવાબદારીઓની પરિપૂર્ણતા;

3. વ્યક્તિગત ડેટા પર પ્રક્રિયા કરવા માટેના નિયમો

3.1. કંપની ફક્ત તે જ વ્યક્તિગત ડેટા પર પ્રક્રિયા કરે છે જે ફેડરલ સ્ટેટ ઓટોનોમસ ઇન્સ્ટિટ્યુશન સ્ટેટ સાયન્ટિફિક રિસર્ચ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઑફ ટેક્નોલોજી "ઇન્ફોર્મિકા" માં પ્રક્રિયા કરાયેલ વ્યક્તિગત ડેટાની મંજૂર સૂચિમાં રજૂ કરવામાં આવે છે.

3.2. કંપની વ્યક્તિગત ડેટાની નીચેની શ્રેણીઓની પ્રક્રિયા કરવાની મંજૂરી આપતી નથી:

રેસ;

રાજકીય મંતવ્યો;

ફિલોસોફિકલ માન્યતાઓ;

આરોગ્યની સ્થિતિ વિશે;

ઘનિષ્ઠ જીવનની સ્થિતિ;

રાષ્ટ્રીયતા;

ધાર્મિક માન્યતાઓ.

3.3. કંપની બાયોમેટ્રિક વ્યક્તિગત ડેટા પર પ્રક્રિયા કરતી નથી (માહિતી કે જે વ્યક્તિની શારીરિક અને જૈવિક લાક્ષણિકતાઓ દર્શાવે છે, જેના આધારે વ્યક્તિ તેની ઓળખ સ્થાપિત કરી શકે છે).

3.4. કંપની વ્યક્તિગત ડેટાનું ક્રોસ-બોર્ડર ટ્રાન્સફર કરતી નથી (વ્યક્તિગત ડેટાનું વિદેશી રાજ્યના પ્રદેશમાં વિદેશી રાજ્યના સત્તા, વિદેશી વ્યક્તિ અથવા વિદેશી કાનૂની એન્ટિટીને ટ્રાન્સફર).

3.5. કંપની તેમના વ્યક્તિગત ડેટાની સ્વચાલિત પ્રક્રિયાના આધારે વ્યક્તિગત ડેટા વિષયોને લગતા નિર્ણયો લેવા પર પ્રતિબંધ મૂકે છે.

3.6. કંપની વિષયોના ગુનાહિત રેકોર્ડ પરના ડેટા પર પ્રક્રિયા કરતી નથી.

3.7. કંપની તેની પૂર્વ સંમતિ વિના સાર્વજનિક રૂપે ઉપલબ્ધ સ્ત્રોતોમાં વિષયના વ્યક્તિગત ડેટાને પ્રકાશિત કરતી નથી.

4. વ્યક્તિગત ડેટાની સુરક્ષાને સુનિશ્ચિત કરવા માટે અમલીકરણ આવશ્યકતાઓ

4.1. તેની પ્રક્રિયા દરમિયાન વ્યક્તિગત ડેટાની સુરક્ષા સુનિશ્ચિત કરવા માટે, કંપની પ્રક્રિયાના ક્ષેત્રમાં અને વ્યક્તિગત ડેટાની સુરક્ષાને સુનિશ્ચિત કરવાના ક્ષેત્રમાં રશિયન ફેડરેશનના નીચેના નિયમનકારી દસ્તાવેજોની આવશ્યકતાઓને લાગુ કરે છે:

27 જુલાઈ, 2006 નો ફેડરલ લૉ નંબર 152-FZ “વ્યક્તિગત ડેટા પર”;

નવેમ્બર 1, 2012 ના રશિયન ફેડરેશનની સરકારનો હુકમનામું N 1119 "વ્યક્તિગત ડેટા માહિતી પ્રણાલીઓમાં તેમની પ્રક્રિયા દરમિયાન વ્યક્તિગત ડેટાના રક્ષણ માટેની આવશ્યકતાઓની મંજૂરી પર";

15 સપ્ટેમ્બર, 2008 ના રોજ રશિયન ફેડરેશનની સરકારનો હુકમનામું નંબર 687 "ઓટોમેશન ટૂલ્સના ઉપયોગ વિના હાથ ધરવામાં આવેલા વ્યક્તિગત ડેટાની પ્રક્રિયાના વિશિષ્ટતાઓ પરના નિયમોની મંજૂરી પર";

18 ફેબ્રુઆરી, 2013 ના રશિયાના FSTEC નો આદેશ N 21 "વ્યક્તિગત ડેટા માહિતી પ્રણાલીઓમાં તેમની પ્રક્રિયા દરમિયાન વ્યક્તિગત ડેટાની સુરક્ષા સુનિશ્ચિત કરવા માટે સંસ્થાકીય અને તકનીકી પગલાંની રચના અને સામગ્રીની મંજૂરી પર";

વ્યક્તિગત ડેટા માહિતી પ્રણાલીઓમાં તેમની પ્રક્રિયા દરમિયાન વ્યક્તિગત ડેટાની સુરક્ષા માટેના જોખમોનું મૂળભૂત મોડેલ (રશિયાના FSTEC ના ડેપ્યુટી ડિરેક્ટર દ્વારા ફેબ્રુઆરી 15, 2008 ના રોજ મંજૂર);

વ્યક્તિગત ડેટા માહિતી પ્રણાલીઓમાં તેમની પ્રક્રિયા દરમિયાન વ્યક્તિગત ડેટાની સુરક્ષા માટે વર્તમાન જોખમો નક્કી કરવા માટેની પદ્ધતિ (રશિયાના FSTEC ના ડેપ્યુટી ડિરેક્ટર દ્વારા ફેબ્રુઆરી 14, 2008 ના રોજ મંજૂર).

4.2. કંપની વ્યક્તિગત ડેટા વિષયોને કારણે થતા નુકસાનનું મૂલ્યાંકન કરે છે અને વ્યક્તિગત ડેટાની સુરક્ષા માટેના જોખમોને ઓળખે છે. ઓળખાયેલ વર્તમાન ધમકીઓ અનુસાર, કંપની જરૂરી અને પર્યાપ્ત સંગઠનાત્મક અને તકનીકી પગલાં લાગુ કરે છે, જેમાં માહિતી સુરક્ષા સાધનોનો ઉપયોગ, અનધિકૃત ઍક્સેસની શોધ, વ્યક્તિગત ડેટાની પુનઃસ્થાપના, વ્યક્તિગત ડેટાની ઍક્સેસ માટે નિયમોની સ્થાપના, તેમજ દેખરેખ અને લાગુ કરેલ પગલાંની અસરકારકતાનું મૂલ્યાંકન.

4.3. કંપનીએ પ્રક્રિયા ગોઠવવા અને વ્યક્તિગત ડેટાની સુરક્ષા સુનિશ્ચિત કરવા માટે જવાબદાર વ્યક્તિઓની નિમણૂક કરી છે.

4.4. કંપનીનું સંચાલન જરૂરિયાતથી વાકેફ છે અને રશિયન ફેડરેશનના નિયમનકારી દસ્તાવેજોની આવશ્યકતાઓના સંદર્ભમાં અને દૃષ્ટિકોણથી ન્યાયી બંને રીતે કંપનીની મુખ્ય પ્રવૃત્તિઓના ભાગ રૂપે પ્રક્રિયા કરાયેલા વ્યક્તિગત ડેટા માટે સુરક્ષાના પર્યાપ્ત સ્તરની ખાતરી કરવામાં રસ ધરાવે છે. વ્યવસાયિક જોખમોનું મૂલ્યાંકન.

જી – 9મા ધોરણનો પાઠ નંબર 2

વિષય: વેક્ટરનો ખ્યાલ. વેક્ટરની સમાનતા. આપેલ બિંદુથી વેક્ટરમાં વિલંબ.

લક્ષ્યો:

વેક્ટર, તેની લંબાઈ, કોલિનિયર અને સમાન વેક્ટરનો ખ્યાલ રજૂ કરો;

વિદ્યાર્થીઓને વેક્ટર્સનું નિરૂપણ કરવા અને નિયુક્ત કરવાનું શીખવો, પ્લેનમાં કોઈપણ બિંદુથી આપેલ એક સમાન વેક્ટરનું કાવતરું બનાવવું;

સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનને એકીકૃત કરો;

મેમરી, ધ્યાન, ગાણિતિક વિચારસરણીનો વિકાસ કરો;

ખંત અને લક્ષ્યો અને ઉદ્દેશ્યો હાંસલ કરવાની ઇચ્છા વિકસાવો.

વર્ગો દરમિયાન.

સંસ્થાકીય પાસાઓ.

પાઠના વિષય અને ઉદ્દેશ્યોની વાતચીત કરો.

વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાન અને કૌશલ્યને અપડેટ કરવું.

1. હોમવર્ક પૂર્ણતા તપાસી રહ્યું છે. વણઉકેલાયેલા કાર્યોનું વિશ્લેષણ.

2. સૈદ્ધાંતિક માહિતી તપાસી રહી છે:

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ અને તેના ગુણધર્મો. ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો.

ત્રિકોણની મધ્યરેખા અને તેના ગુણધર્મોની વ્યાખ્યા.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય અને તેનું કન્વર્ઝ પ્રમેય.

ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટેનું સૂત્ર.

સમાંતરગ્રામની વિભાવના, સમાંતરગ્રામ, સમચતુર્ભુજ, લંબચોરસના ગુણધર્મો અને લાક્ષણિકતાઓ.

ટ્રેપેઝોઈડની વ્યાખ્યા, ટ્રેપેઝોઈડના પ્રકાર.

સમાંતરગ્રામનો વિસ્તાર, ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર.

નવી સામગ્રી શીખવી.

વિવિધ વેક્ટર પ્રસ્તુતિઓનો ઉપયોગ કરીને ટૂંકા વ્યાખ્યાન સ્વરૂપે ફકરા 76-78માં સામગ્રી પ્રસ્તુત કરો

1. વેક્ટર જથ્થાનો ખ્યાલ (અથવા ટૂંકમાં વેક્ટર).

2. ભૌતિકશાસ્ત્રના અભ્યાસક્રમના વિદ્યાર્થીઓ માટે જાણીતા વેક્ટર જથ્થાના ઉદાહરણો: બળ, સામગ્રી બિંદુનું વિસ્થાપન, ઝડપ અને અન્ય (પાઠ્યપુસ્તકની આકૃતિ 240).

3. વેક્ટરનું નિર્ધારણ (ફિગ. 241, 242).

4. વેક્ટર હોદ્દો - બે કેપિટલ લેટિન અક્ષરો તેમની ઉપર એક તીર સાથે, ઉદાહરણ તરીકે,, અથવા ઘણીવાર તેની ઉપર એક તીર સાથે એક લોઅરકેસ લેટિન અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:(ફિગ. 243, એ, બી).

5. શૂન્ય વેક્ટરનો ખ્યાલ: પ્લેન પરનો કોઈપણ બિંદુ પણ વેક્ટર છે; આ કિસ્સામાં વેક્ટરને શૂન્ય કહેવામાં આવે છે; માટે ઊભા:(ફિગ. 243, એ).

6. બિન-શૂન્ય વેક્ટરની લંબાઈ અથવા મોડ્યુલસ નક્કી કરવું. હોદ્દો:. શૂન્ય વેક્ટર લંબાઈ= 0.

7. આકૃતિ 243, a અને 243, b માં બતાવેલ વેક્ટરની લંબાઈ શોધો.

8. વ્યવહારુ કાર્યો પૂર્ણ કરો નંબર 738, 739.

9. શરીરની હિલચાલના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લો જેમાં તેના તમામ બિંદુઓ સમાન ગતિએ અને તે જ દિશામાં (પાઠ્યપુસ્તકના ફકરા 77 માંથી), ફિગમાં આગળ વધે છે. 244.

10. કોલિનિયર વેક્ટર્સનો ખ્યાલ રજૂ કરો (ફિગ. 245).

11. સહ-નિર્દેશિત વેક્ટર્સ અને વિપરીત રીતે નિર્દેશિત વેક્ટરની વિભાવનાઓની વ્યાખ્યા, તેમનું હોદ્દો (ફિગ. 246).

12. શૂન્ય વેક્ટર કોઈપણ વેક્ટર સાથે સહદિશાત્મક છે.

13. સમાન વેક્ટરની વ્યાખ્યા: જોઅને, તે.

14. અભિવ્યક્તિના અર્થની સમજૂતી: “વેક્ટરબિંદુ A થી વિલંબિત" (ફિગ. 247).

15. નિવેદનનો પુરાવો કે કોઈપણ બિંદુથી તમે આપેલ એકના સમાન વેક્ટર અને માત્ર એક જ (ફિગ. 248) બનાવી શકો છો.

16. વ્યવહારુ કાર્ય પૂર્ણ કરવું નંબર 743.

17. બોર્ડ પર ફિનિશ્ડ ડ્રોઇંગનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યા નંબર 749ને મૌખિક રીતે હલ કરો.

સમસ્યા ઉકેલવાની.

1. બોર્ડ પર અને નોટબુકમાં સમસ્યા નંબર 740 (a) ઉકેલો.

2. મૌખિક રીતે સમસ્યા નંબર 744 ઉકેલો.

3. સમસ્યા નંબર 742 ઉકેલો.

4. સમસ્યા નંબર 745 (પસંદગીપૂર્વક) ઉકેલો.

5. તૈયાર ડ્રોઇંગનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યા નંબર 746 ને મૌખિક રીતે હલ કરો.

6. સમસ્યા નંબર 750 માં પ્રત્યક્ષ નિવેદન સાબિત કરો:

પુરાવો

શરતે, પછી AB || CD, તેથી, સમાંતરગ્રામની મિલકત અનુસાર ABC એ સમાંતરગ્રામ છે, અને સમાંતરચતુષ્કોણના કર્ણને આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે સેગમેન્ટ્સ AD અને BC ના મધ્યબિંદુઓ એકરૂપ થાય છે.

નીચેની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે પુનરાવર્તન ગોઠવો - OGE (GIA)-2016 ટાસ્ક બેંક તરફથી પુનરાવર્તન માટેના કાર્યો:

№ 9, 10, 11, 12, 13 – “ભૂમિતિ” મોડ્યુલમાંથી; નંબર 24 – મોડ્યુલ “ભૂમિતિ” વિકલ્પ નંબર 3 ના ભાગ 2માંથી

પાઠ સારાંશ.

પાઠનો સારાંશ. ગુણ બનાવી રહ્યા છે.

§ 1 નો અભ્યાસ કરવાના પરિણામે, વિદ્યાર્થીઓએ વેક્ટર અને સમાન વેક્ટરની વ્યાખ્યાઓ જાણવી જોઈએ; વેક્ટર્સનું નિરૂપણ અને નિયુક્ત કરવામાં સમર્થ થાઓ, આપેલ બિંદુથી આપેલ એક સમાન વેક્ટરનું પ્લોટ કરો; નંબર 741-743 જેવી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ; 745-752.



ગૃહ કાર્ય: ફકરા 76-78 માં સામગ્રીનો અભ્યાસ કરો; પ્રશ્નોના જવાબ 1-6, પૃષ્ઠ. 213 પાઠ્યપુસ્તકો; સમસ્યાઓ ઉકેલો નંબર 747, 749, 751.