પરીક્ષાના પરિમાણો કેવી રીતે ઉકેલવા. પાછલા વર્ષોની યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના પરિમાણ સાથે સમસ્યાઓ

ફોર્મનું સમીકરણ f(x; a) = 0 કહેવાય છે ચલ સાથે સમીકરણ એક્સઅને પરિમાણ એ.

પરિમાણ સાથે સમીકરણ ઉકેલો એ- આનો અર્થ દરેક મૂલ્ય માટે થાય છે એમૂલ્યો શોધો એક્સ, આ સમીકરણને સંતોષે છે.

ઉદાહરણ 1. ઓહ= 0

ઉદાહરણ 2. ઓહ = એ

ઉદાહરણ 3.

x + 2 = ah
x – ah = -2
x(1 – a) = -2

જો 1 - એ= 0, એટલે કે. એ= 1, પછી એક્સ 0 = -2 કોઈ મૂળ નથી

જો 1 - એ 0, એટલે કે. એ 1, પછી એક્સ =

ઉદાહરણ 4.

(એ 2 – 1) એક્સ = 2એ 2 + એ – 3
(એ – 1)(એ + 1)એક્સ = 2(એ – 1)(એ – 1,5)
(એ – 1)(એ + 1)એક્સ = (1એ – 3)(એ – 1)

જો એ= 1, પછી 0 એક્સ = 0
એક્સ- કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા

જો એ= -1, પછી 0 એક્સ = -2
કોઈ મૂળ નથી

જો એ 1, એ-1, પછી એક્સ= (એકમાત્ર ઉકેલ).

આનો અર્થ એ છે કે દરેક માન્ય મૂલ્ય માટે એએક મૂલ્ય સાથે મેળ ખાય છે એક્સ.

દાખ્લા તરીકે:

જો એ= 5, પછી એક્સ = = ;

જો એ= 0, પછી એક્સ= 3, વગેરે.

1. ઓહ = એક્સ + 3

2. 4 + ઓહ = 3એક્સ – 1

3. એ = +

ખાતે એ= 1 કોઈ મૂળ નથી.

ખાતે એ= 3 કોઈ મૂળ નથી.

ખાતે એ = 1 એક્સ– સિવાય કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા એક્સ = 1

ખાતે એ = -1, એ= 0 કોઈ ઉકેલ નથી.

ખાતે એ = 0, એ= 2 કોઈ ઉકેલ નથી.

ખાતે એ = -3, એ = 0, 5, એ= -2 કોઈ ઉકેલ નથી

ખાતે એ = -સાથે, સાથે= 0 કોઈ ઉકેલ નથી.

પરિમાણ સાથે ચતુર્ભુજ સમીકરણો

ઉદાહરણ 1.સમીકરણ ઉકેલો

(એ – 1)એક્સ 2 = 2(2એ + 1)એક્સ + 4એ + 3 = 0

મુ એ = 1 6એક્સ + 7 = 0

ક્યારે એ 1, અમે તે પરિમાણ મૂલ્યોને પ્રકાશિત કરીએ છીએ કે જેના પર ડીશૂન્ય પર જાય છે.

ડી = (2(2 એ + 1)) 2 – 4(એ – 1)(4એ + 30 = 16એ 2 + 16એ + 4 – 4(4એ 2 + 3એ – 4એ – 3) = 16એ 2 + 16એ + 4 – 16એ 2 + 4એ + 12 = 20એ + 16

20એ + 16 = 0

20એ = -16

જો એ < -4/5, то ડી < 0, уравнение имеет действительный корень.

જો એ> -4/5 અને એ 1, પછી ડી > 0,

એક્સ =

જો એ= 4/5, પછી ડી = 0,

ઉદાહરણ 2.પરિમાણ a ના કયા મૂલ્યો પર સમીકરણ કરે છે

x 2 + 2( એ + 1)એક્સ + 9એ– 5 = 0 પાસે 2 અલગ-અલગ નકારાત્મક મૂળ છે?

ડી = 4( એ + 1) 2 – 4(9એ – 5) = 4એ 2 – 28એ + 24 = 4(એ – 1)(એ – 6)

4(એ – 1)(એ – 6) > 0

ટી દ્વારા: એક્સ 1 + એક્સ 2 = -2(એ + 1)
એક્સ 1 એક્સ 2 = 9એ – 5

શરતે એક્સ 1 < 0, એક્સ 2 < 0 то –2(એ + 1) < 0 и 9એ – 5 > 0

આખરે

4(એ – 1)(એ – 6) > 0 - 2(એ + 1) < 0 9એ – 5 > 0

એ < 1: а > 6 એ > - 1 એ > 5/9

(ચોખા. 1) < a < 1, либо a > 6

ઉદાહરણ 3.મૂલ્યો શોધો એ, જેના માટે આ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

x 2 – 2( એ – 1)એક્સ + 2એ + 1 = 0

ડી = 4( એ – 1) 2 – 4(2એ + 10 = 4એ 2 – 8એ + 4 – 8એ – 4 = 4એ 2 – 16એ

4એ 2 – 16 0

4એ(એ – 4) 0

A( એ – 4)) 0

A( એ – 4) = 0

a = 0 અથવા એ – 4 = 0
એ = 4

(ચોખા. 2)

જવાબ: એ 0 અને એ 4

ડિડેક્ટિક સામગ્રી

1. કયા મૂલ્ય પર એસમીકરણ ઓહ 2 – (એ + 1) એક્સ + 2એ– 1 = 0 પાસે એક મૂળ છે?

2. કયા મૂલ્ય પર એસમીકરણ ( એ + 2) એક્સ 2 + 2(એ + 2)એક્સ+ 2 = 0 પાસે એક મૂળ છે?

3. a ના કયા મૂલ્યો માટે સમીકરણ છે ( એ 2 – 6એ + 8) એક્સ 2 + (એ 2 – 4) એક્સ + (10 – 3એ – એ 2) = 0 બે કરતાં વધુ મૂળ ધરાવે છે?

4. a, સમીકરણ 2 ના કયા મૂલ્યો માટે એક્સ 2 + એક્સ – એ= 0 સમીકરણ 2 સાથે ઓછામાં ઓછું એક સામાન્ય મૂળ ધરાવે છે એક્સ 2 – 7એક્સ + 6 = 0?

5. સમીકરણના કયા મૂલ્યો માટે એક્સ 2 +ઓહ+ 1 = 0 અને એક્સ 2 + એક્સ + એ= 0 પાસે ઓછામાં ઓછું એક સામાન્ય મૂળ છે?

1. ક્યારે એ = - 1/7, એ = 0, એ = 1

2. ક્યારે એ = 0

3. ક્યારે એ = 2

4. ક્યારે એ = 10

5. ક્યારે એ = - 2

પરિમાણ સાથે ઘાતાંકીય સમીકરણો

ઉદાહરણ 1.તમામ મૂલ્યો શોધો એ, જેના માટે સમીકરણ

9 x - ( એ+ 2)*3 x-1/x +2 એ*3 -2/x = 0 (1) બરાબર બે મૂળ ધરાવે છે.

ઉકેલ. સમીકરણ (1) ની બંને બાજુઓને 3 2/x વડે ગુણાકાર કરવાથી, આપણે સમકક્ષ સમીકરણ મેળવીએ છીએ

3 2(x+1/x) – ( એ+ 2)*3 x+1/x + 2 એ = 0 (2)

ચાલો 3 x+1/x = ખાતે, પછી સમીકરણ (2) ફોર્મ લેશે ખાતે 2 – (એ + 2)ખાતે + 2એ= 0, અથવા

(ખાતે – 2)(ખાતે – એ) = 0, ક્યાંથી ખાતે 1 =2, ખાતે 2 = એ.

જો ખાતે= 2, એટલે કે. 3 x+1/x = 2 પછી એક્સ + 1/એક્સ= લોગ 3 2 , અથવા એક્સ 2 – એક્સલોગ 3 2 + 1 = 0.

આ સમીકરણનું કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી, કારણ કે તે ડી= લોગ 2 3 2 – 4< 0.

જો ખાતે = એ, એટલે કે 3 x+1/x = એતે એક્સ + 1/એક્સ= લોગ 3 એ, અથવા એક્સ 2 –એક્સલોગ 3 a + 1 = 0. (3)

સમીકરણ (3) જો અને માત્ર જો બરાબર બે મૂળ ધરાવે છે

D = લોગ 2 3 2 – 4 > 0, અથવા |લોગ 3 a| > 2.

જો લોગ 3 a > 2 હોય, તો પછી એ> 9, અને જો લોગ 3 એ< -2, то 0 < એ < 1/9.

જવાબ: 0< એ < 1/9, એ > 9.

ઉદાહરણ 2. a ના કયા મૂલ્યો પર સમીકરણ 2 2x છે – ( A - 3) 2 x – 3 એ= 0 પાસે ઉકેલો છે?

આપેલ સમીકરણમાં ઉકેલો મેળવવા માટે, તે સમીકરણ જરૂરી અને પૂરતું છે t 2 – (a - 3) t – 3a= 0 માં ઓછામાં ઓછું એક હકારાત્મક મૂળ હતું. ચાલો વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મૂળ શોધીએ: એક્સ 1 = -3, એક્સ 2 = એ = >

a એ હકારાત્મક સંખ્યા છે.

જવાબ: ક્યારે એ > 0

ડિડેક્ટિક સામગ્રી

1. a ના બધા મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણ છે

25 x - (2 એ+ 5)*5 x-1/x + 10 એ* 5 -2/x = 0 પાસે બરાબર 2 ઉકેલો છે.

2. a ના કયા મૂલ્યો માટે સમીકરણ છે

2 (a-1)x?+2(a+3)x+a = 1/4 પાસે એક મૂળ છે?

3. પરિમાણ a ના કયા મૂલ્યો માટે સમીકરણ કરે છે

4 x - (5 એ-3)2 x +4 એ 2 – 3એ= 0 પાસે અનન્ય ઉકેલ છે?

ઉદાહરણ 1.બધા મૂલ્યો શોધો એ, જેના માટે સમીકરણ

લોગ 4x (1 + ઓહ) = 1/2 (1)

એક અનન્ય ઉકેલ છે.

ઉકેલ. સમીકરણ (1) સમીકરણ સમકક્ષ છે

1 + ઓહ = 2એક્સખાતે એક્સ > 0, એક્સ 1/4 (3)

એક્સ = ખાતે

અય 2 - ખાતે + 1 = 0 (4)

(3)માંથી શરત (2) સંતુષ્ટ નથી.

દો એ 0, પછી એયુ 2 – 2ખાતે+ 1 = 0 વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે જો અને માત્ર જો ડી = 4 – 4એ 0, એટલે કે. ખાતે એ 1.અસમાનતા (3) ઉકેલવા માટે, ચાલો કાર્યોનું કાવતરું કરીએ ગેલિટ્સ્કી એમ.એલ., મોશકોવિચ એમ.એમ., શ્વાર્ટ્સબર્ડ એસ.આઈ.બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણના અભ્યાસક્રમનો ઊંડાણપૂર્વકનો અભ્યાસ. - એમ.: શિક્ષણ, 1990

MKOU "લોડેનોપોલસ્કાયા માધ્યમિક શાળા નંબર 68"

_________________________________________________________________________________________________________________________________

મોસ્કો પ્રદેશની બેઠકમાં ભાષણ

સમસ્યા હલ કરવાની પદ્ધતિઓ

પરિમાણો સાથે

પ્રોકુશેવા નતાલ્યા ગેન્નાદિવેના

Lodeynoye ધ્રુવ

2013-2014

પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા અને યુનિવર્સિટીઓમાં વધારાની સ્પર્ધાત્મક પરીક્ષાઓ બંનેમાં આપવામાં આવતી સમસ્યાઓમાં પરિમાણો સાથેની સમસ્યાઓ સૌથી મુશ્કેલ છે.

તેઓ તાર્કિક વિચારસરણી અને ગાણિતિક સંસ્કૃતિના નિર્માણમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. તેમને હલ કરતી વખતે ઊભી થતી મુશ્કેલીઓ એ હકીકતને કારણે છે કે પરિમાણો સાથેની દરેક સમસ્યા સામાન્ય સમસ્યાઓના સંપૂર્ણ વર્ગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જેમાંથી દરેક માટે ઉકેલ મેળવવો આવશ્યક છે.

જો સમીકરણ (અસમાનતા) માં કેટલાક ગુણાંક ચોક્કસ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો દ્વારા આપવામાં આવતાં નથી, પરંતુ અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે, તો તેને પરિમાણો કહેવામાં આવે છે, અને સમીકરણ (અસમાનતા) પેરામેટ્રિક છે.

નિયમ પ્રમાણે, અજ્ઞાતને લેટિન મૂળાક્ષરના છેલ્લા અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે: x, y, z, ..., અને પરિમાણો પ્રથમ દ્વારા: a, b, c, ...

પરિમાણો સાથે સમીકરણ (અસમાનતા) ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે પરિમાણોના ઉકેલોના કયા મૂલ્યો અસ્તિત્વમાં છે અને તે શું છે તે દર્શાવવું. સમાન પરિમાણો ધરાવતા બે સમીકરણો (અસમાનતા) સમકક્ષ કહેવાય છે જો:

a) તેઓ સમાન પરિમાણ મૂલ્યો માટે અર્થપૂર્ણ છે;

b) પ્રથમ સમીકરણ (અસમાનતા) નો દરેક ઉકેલ એ બીજા અને ઊલટું ઉકેલ છે.

સ્વાભાવિક રીતે, સમસ્યાઓનો આટલો નાનો વર્ગ ઘણાને મુખ્ય વસ્તુને સમજવાની મંજૂરી આપતું નથી: પરિમાણ, એક નિશ્ચિત પરંતુ અજાણી સંખ્યા હોવાને કારણે, દ્વિ પ્રકૃતિ ધરાવે છે. પ્રથમ, માનવામાં આવતી ખ્યાતિ તમને સંખ્યા તરીકે પરિમાણ સાથે "સંચાર" કરવાની મંજૂરી આપે છે, અને બીજું, સંદેશાવ્યવહારની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી તેની અસ્પષ્ટતા દ્વારા મર્યાદિત છે. આમ, પરિમાણ ધરાવતી અભિવ્યક્તિ દ્વારા ભાગાકાર કરવા અને આવા અભિવ્યક્તિઓમાંથી એક સમાન ડિગ્રીના મૂળને કાઢવા માટે પ્રારંભિક સંશોધનની જરૂર છે. સામાન્ય રીતે, આ અભ્યાસોના પરિણામો નિર્ણય અને જવાબ બંનેને પ્રભાવિત કરે છે.

આવી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કેવી રીતે શરૂ કરવું? પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓથી ડરશો નહીં. સૌ પ્રથમ, તમારે કોઈપણ સમીકરણ અથવા અસમાનતાને ઉકેલતી વખતે શું કરવામાં આવે છે તે કરવાની જરૂર છે - આપેલ સમીકરણ (અસમાનતા) ને સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડવું, જો શક્ય હોય તો: પરિબળ એક તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ, પરિબળ ત્રિકોણમિતિ બહુપદી, મોડ્યુલી, લોગરીધમ્સથી છુટકારો મેળવો, અને વગેરે. પછી તમારે કાર્યને ફરીથી અને ફરીથી કાળજીપૂર્વક વાંચવાની જરૂર છે.

પરિમાણ ધરાવતી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, એવી સમસ્યાઓ છે જેને બે મોટા વર્ગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. પ્રથમ વર્ગમાં એવી સમસ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે જેમાં પરિમાણના તમામ સંભવિત મૂલ્યો માટે અસમાનતા અથવા સમીકરણ ઉકેલવા જરૂરી છે. બીજા વર્ગમાં એવા કાર્યો શામેલ છે જેમાં તમામ સંભવિત ઉકેલો શોધવા જરૂરી નથી, પરંતુ ફક્ત તે જ જે કેટલીક વધારાની શરતોને સંતોષે છે.

શાળાના બાળકો માટે આવી સમસ્યાઓ હલ કરવાની સૌથી સમજી શકાય તેવી રીત એ છે કે પહેલા તમામ ઉકેલો શોધો અને પછી વધારાની શરતોને સંતોષે તે પસંદ કરો. પરંતુ આ હંમેશા શક્ય નથી. ત્યાં મોટી સંખ્યામાં સમસ્યાઓ છે જેમાં તમામ ઘણા ઉકેલો શોધવાનું અશક્ય છે, અને અમને તેમ કરવાનું કહેવામાં આવ્યું નથી. તેથી, અમારે આપેલ સમીકરણ અથવા અસમાનતાના ઉકેલોના સંપૂર્ણ સેટને અમારા નિકાલ વિના સમસ્યાનું નિરાકરણ કરવાનો માર્ગ શોધવો પડશે, ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ કાર્યોના ગુણધર્મોને જોવા માટે જે અમને પરવાનગી આપશે. ઉકેલોના ચોક્કસ સમૂહના અસ્તિત્વનું મૂલ્યાંકન કરો.

પરિમાણો સાથેના મુખ્ય પ્રકારનાં કાર્યો

પ્રકાર 1.સમીકરણો, અસમાનતાઓ, તેમની સિસ્ટમો અને સેટ કે જે કાં તો પેરામીટર (પેરામીટર્સ) ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે અથવા પૂર્વનિર્ધારિત સમૂહ સાથે સંબંધિત પરિમાણ મૂલ્યો માટે ઉકેલવા જોઈએ.

"પરિમાણો સાથેની સમસ્યાઓ" વિષયમાં નિપુણતા પ્રાપ્ત કરતી વખતે આ પ્રકારની સમસ્યા મૂળભૂત છે, કારણ કે રોકાણ કરેલ કાર્ય અન્ય તમામ મૂળભૂત પ્રકારની સમસ્યાઓ હલ કરવામાં સફળતા પૂર્વનિર્ધારિત કરે છે.

પ્રકાર 2.સમીકરણો, અસમાનતાઓ, તેમની સિસ્ટમો અને સેટ, જેના માટે પેરામીટર (પરિમાણો) ના મૂલ્યના આધારે ઉકેલોની સંખ્યા નક્કી કરવી જરૂરી છે.

અમે તમારું ધ્યાન એ હકીકત તરફ દોરીએ છીએ કે આ પ્રકારની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, આપેલ સમીકરણો, અસમાનતાઓ, તેમની પ્રણાલીઓ અને સંયોજનો વગેરેને હલ કરવાની અથવા આ ઉકેલો પ્રદાન કરવાની જરૂર નથી; મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, આવા બિનજરૂરી કાર્ય એ વ્યૂહાત્મક ભૂલ છે જે સમયનો બિનજરૂરી બગાડ તરફ દોરી જાય છે. જો કે, કોઈએ આને નિરપેક્ષ બનાવવું જોઈએ નહીં, કારણ કે કેટલીકવાર પ્રકાર 1 અનુસાર સીધો ઉકેલ એ પ્રકાર 2 ની સમસ્યા હલ કરતી વખતે જવાબ મેળવવાનો એકમાત્ર વાજબી રસ્તો છે.

પ્રકાર 3.સમીકરણો, અસમાનતાઓ, તેમની પ્રણાલીઓ અને સંગ્રહો, જેના માટે તે તમામ પરિમાણ મૂલ્યો શોધવાની જરૂર છે જેના માટે નિર્દિષ્ટ સમીકરણો, અસમાનતાઓ, તેમની સિસ્ટમો અને સંગ્રહોમાં આપેલ સંખ્યાબંધ ઉકેલો છે (ખાસ કરીને, તેમની પાસે નથી અથવા નથી. ઉકેલોની અસંખ્ય સંખ્યા).

તે જોવાનું સરળ છે કે પ્રકાર 3 સમસ્યાઓ અમુક અર્થમાં પ્રકાર 2 સમસ્યાઓના વિપરીત છે.

પ્રકાર 4.સમીકરણો, અસમાનતાઓ, તેમની સિસ્ટમો અને સમૂહો, જેના માટે, પરિમાણના આવશ્યક મૂલ્યો માટે, ઉકેલોનો સમૂહ વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં ઉલ્લેખિત શરતોને સંતોષે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, પરિમાણ મૂલ્યો શોધો કે જેના પર:

1) આપેલ અંતરાલમાંથી ચલના કોઈપણ મૂલ્ય માટે સમીકરણ સંતુષ્ટ છે;
2) પ્રથમ સમીકરણના ઉકેલોનો સમૂહ એ બીજા સમીકરણ વગેરેના ઉકેલોના સમૂહનો સબસેટ છે.

એક ટિપ્પણી. પરિમાણ સાથેની વિવિધ સમસ્યાઓ શાળાના ગણિતના સમગ્ર અભ્યાસક્રમ (બીજગણિત અને ભૂમિતિ બંને) ને આવરી લે છે, પરંતુ અંતિમ અને પ્રવેશ પરીક્ષાઓમાં તેમાંથી મોટાભાગની બહુમતી ચાર સૂચિબદ્ધ પ્રકારોમાંથી એકની છે, જેને આ કારણોસર મૂળભૂત કહેવામાં આવે છે.

પેરામીટર સાથેની સમસ્યાઓનો સૌથી વ્યાપક વર્ગ એક અજાણ્યા અને એક પરિમાણ સાથેની સમસ્યાઓ છે. આગળનો ફકરો આ ચોક્કસ વર્ગની સમસ્યાઓ હલ કરવાની મુખ્ય રીતો સૂચવે છે.

પરિમાણ સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ

પદ્ધતિ I(વિશ્લેષણાત્મક). આ કહેવાતા ડાયરેક્ટ સોલ્યુશનની એક પદ્ધતિ છે, જે પેરામીટર વિના સમસ્યાઓમાં જવાબ શોધવા માટે માનક પ્રક્રિયાઓનું પુનરાવર્તન કરે છે. કેટલીકવાર તેઓ કહે છે કે આ એક બળવાન પદ્ધતિ છે, સારા અર્થમાં, "ઘમંડી" ઉકેલ.

પદ્ધતિ II(ગ્રાફિક). કાર્ય પર આધાર રાખીને (ચલ સાથે xઅને પરિમાણ a) આલેખ ગણવામાં આવે છે અથવા સંકલન સમતલમાં ( x; y), અથવા કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં ( x; a).

એક ટિપ્પણી. પરિમાણ સાથે સમસ્યાઓ હલ કરવાની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિની અસાધારણ સ્પષ્ટતા અને સુંદરતા "પેરામીટર સાથેની સમસ્યાઓ" વિષયના વિદ્યાર્થીઓને એટલી મોહિત કરે છે કે તેઓ જાણીતી હકીકતને ભૂલીને, ઉકેલની અન્ય પદ્ધતિઓને અવગણવાનું શરૂ કરે છે: કોઈપણ વર્ગની સમસ્યાઓ માટે , તેમના લેખકો એક એવી રચના કરી શકે છે જે આ રીતે અને અન્ય રીતે પ્રચંડ મુશ્કેલીઓ સાથે તેજસ્વી રીતે હલ થાય છે. તેથી, અભ્યાસના પ્રારંભિક તબક્કે, પરિમાણ સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ગ્રાફિકલ તકનીકોથી પ્રારંભ કરવું જોખમી છે.

પદ્ધતિ III(પેરામીટર સંબંધિત નિર્ણય). આ રીતે હલ કરતી વખતે, ચલો xઅને aસમાન તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે અને ચલ કે જેના સંદર્ભમાં વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલ સરળ માનવામાં આવે છે તે પસંદ કરવામાં આવે છે. કુદરતી સરળીકરણ પછી, અમે ચલોના મૂળ અર્થ પર પાછા આવીએ છીએ xઅને aઅને ઉકેલ સમાપ્ત કરો.

ચાલો હવે પરિમાણ સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની આ પદ્ધતિઓ દર્શાવવા તરફ આગળ વધીએ.

1. રેખીય સમીકરણો અને પરિમાણો સાથે અસમાનતા

રેખીય કાર્ય: – ઢાળ ગુણાંક સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ . કોણીય ગુણાંક એ ધરીની સકારાત્મક દિશા તરફ સીધી રેખાના ઝોકના ખૂણાના સ્પર્શક સમાન છે .

ફોર્મના પરિમાણો સાથે રેખીય સમીકરણો

જો , સમીકરણ છે એકમાત્ર વસ્તુ ઉકેલ

જો , તે સમીકરણ કોઈ ઉકેલ નથી, ક્યારે , અને સમીકરણ છે અનંત ઘણા ઉકેલો, ક્યારે .

ઉદાહરણ 1.સમીકરણ ઉકેલો | x | = a .

ઉકેલ:

a > 0, => x 1.2 = ± a

a = 0, => x = 0

a < 0, =>ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી.

જવાબ: x 1.2 = ± aખાતે a > 0; x= 0 ખાતે a= 0; માટે કોઈ ઉકેલો નથી a < 0.

ઉદાહરણ 2.સમીકરણ ઉકેલો |3 – x | = a .

ઉકેલ:

a > 0, => 3 – x = ± a , => x= 3 ± a

a = 0, => 3 – x = 0. => x = 3

a < 0, =>ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી.

જવાબ: x 1.2 = 3 ± aખાતે a > 0; x= 3 વાગ્યે a= 0; માટે કોઈ ઉકેલો નથી a < 0.

ઉદાહરણ 3.સમીકરણ ઉકેલો m ² x – m = x + 1.

ઉકેલ:

m ² x – m = x + 1

m ² x – x = m + 1

(m² – 1)x = m + 1

જવાબ:
ખાતે m ≠ ± 1; x Є આરખાતે m= –1; માટે કોઈ ઉકેલો નથી m = 1.

ઉદાહરણ 4. એસમીકરણ ઉકેલો: ( a 2 – 4) x = a + 2 .

ઉકેલ:ચાલો ગુણાંકને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ. .

જો , સમીકરણ છે એકમાત્ર વસ્તુ ઉકેલ: .

જો , સમીકરણ કોઈ ઉકેલ નથી.

જો , પછી સમીકરણ છે અનંત ઘણા ઉકેલો .

ઉદાહરણ 6.બધા પરિમાણ મૂલ્યો માટે a સમીકરણ ઉકેલો:
.

ઉકેલ: ODZ: . આ સ્થિતિ હેઠળ, સમીકરણ નીચેના સમકક્ષ છે: . ચાલો તપાસીએ કે તમે ODZ થી સંબંધિત છો કે નહીં: , જો . જો , પછી સમીકરણ કોઈ ઉકેલ નથી.

ઉદાહરણ 7.બધા પરિમાણ મૂલ્યો માટે એસમીકરણ ઉકેલો: | એક્સ + 3| – a | x – 1| = 4.

ઉકેલ:ચાલો સંખ્યા રેખાને પોઈન્ટ દ્વારા 3 ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ કે જેના પર મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળના અભિવ્યક્તિઓ અદૃશ્ય થઈ જાય છે અને 3 સિસ્ટમો ઉકેલે છે:

1) , જો . જો ઉકેલ મળી જશે .

2) , જો . જે મળે છે તે જરૂરી અસમાનતાને સંતોષે છે, તેથી તેનો ઉકેલ છે . જો , પછી ઉકેલ કોઈપણ છે .

3) , જો . મળી નથીજરૂરી અસમાનતાને સંતોષે છે, તેથી, નથીજ્યારે ઉકેલ છે . જો , પછી ઉકેલ કોઈપણ x > 1 છે.

જવાબ: ખાતે; ;

ખાતેપી ; ri .

બધા માટે એક ઉકેલ પણ છેઉદાહરણ 8. એબધા શોધો x – 7a = 2 – 3, જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ 15 ના ઓછામાં ઓછા એક ઉકેલો + 6a કુહાડી 2 .

ઉકેલ:ઓછું . ચાલો દરેક માટે સમીકરણના ઉકેલો શોધીએ . , જો .

ચાલો અસમાનતાને હલ કરીએ:

જ્યારે સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી. : એÎ (–5 , 4) .

જવાબ આપો

પરિમાણો સાથે રેખીય અસમાનતા દાખ્લા તરીકે: અસમાનતા ઉકેલો: < kx .

જો b k
> 0, પછી b < 0, то
> 0, પછી b. જો kx= 0, પછી ક્યારે x Є આર> 0 ઉકેલ કોઈપણ છે
ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી.

, અને ક્યારે

ઉદાહરણ 1.બૉક્સમાં બાકીની અસમાનતાઓને તે જ રીતે ઉકેલો.
.

ઉકેલ:

પરિમાણ a ના તમામ મૂલ્યો માટે, અસમાનતા ઉકેલો x. જો કૌંસ પહેલા હોય
હકારાત્મક છે, એટલે કે. ખાતે
પરિમાણ a ના તમામ મૂલ્યો માટે, અસમાનતા ઉકેલો x, તે
હકારાત્મક છે, એટલે કે. ખાતે
નકારાત્મક, એટલે કે ખાતે a. જો

જવાબ:
ખાતે
;
ખાતે
;

= 0 અથવા a = , પછી કોઈ ઉકેલો નથી. aમાટે કોઈ ઉકેલો નથી

ઉદાહરણ 2= 0 અથવા a = . એ. બધા પરિમાણ મૂલ્યો માટે એક્સઅસમાનતા ઉકેલો | x + a| < 2a .

ઉકેલ:

મુ a– એ | – |< 0, т.е. решений нет. Пусть a >=0 આપણી પાસે ખોટી અસમાનતા 0 છે< –a 0, પછી x પર a < 2aબંને મોડ્યુલો માઈનસ સાથે વિસ્તૃત થાય છે અને આપણને ખોટી અસમાનતા 2 મળે છે x Є [– a ; a, એટલે કે ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી. જો x < 2a] , પછી પ્રથમ મોડ્યુલ માઈનસ સાથે અને બીજું વત્તા સાથે ખુલે છે અને આપણને અસમાનતા મળે છે -2 x > –a, એટલે કે x Є (– a ; a, એટલે કે, ઉકેલ કોઈપણ છે x > a]. જો a < 2aબંને મોડ્યુલ વત્તા સાથે ખુલે છે અને આપણને સાચી અસમાનતા -2 મળે છે x Є ( a, એટલે કે , ઉકેલ કોઈપણ છે a > 0 x Є (– a ; +∞).

દો a < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2a; +∞). બંને જવાબોને જોડીને, અમને તે મળે છે જ્યારે a < 0 решений нет.

જવાબ: x Є (– a. આમ, સાથે a; +∞) ખાતે
.

> 0, માટે કોઈ ઉકેલો નથીટિપ્પણી. એક્સજો તમે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર તરીકે બે સંખ્યાના તફાવતના મોડ્યુલસના ભૌમિતિક અર્થઘટનનો ઉપયોગ કરો તો આ સમસ્યાનો ઉકેલ ઝડપી અને સરળ છે. પછી ડાબી બાજુની અભિવ્યક્તિને બિંદુથી અંતરના તફાવત તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે એપોઈન્ટ સુધી એ .

ઉદાહરણ 3.ઉદાહરણ 8. એઅને -
, જેમાંના દરેક માટે અસમાનતાના તમામ ઉકેલો x – aઅસમાનતાને સંતોષો 2< 0.

ઉકેલ:

² + 5 અસમાનતાનો ઉકેલ |x | ≤ 2 એ સમૂહ છેએ x – aઅસમાનતાને સંતોષો 2< 0 является множество =[–2; 2], અને અસમાનતાનો ઉકેલ 2 = (–∞;
બી

જવાબ:). સમસ્યાની શરતોને સંતોષવા માટે, સમૂહ A સમૂહ B () માં સમાવવામાં આવે તે જરૂરી છે. આ સ્થિતિ સંતોષવામાં આવશે જો અને માત્ર જો.

ઉદાહરણ 4. a Є (–∞; –3)U (3; +∞).
a ના બધા મૂલ્યો શોધો જેના માટે અસમાનતા છે xદરેક માટે ચાલે છે

ઉકેલ:

સેગમેન્ટમાંથી.

–3a + 2 < 2a + 4
મૂળ વચ્ચેનો અપૂર્ણાંક શૂન્ય કરતાં ઓછો છે, તેથી તમારે એ શોધવાની જરૂર છે કે કયું મૂળ મોટું છે. a + 2 > 2a + 4
અને -3
x. આમ, સાથે a + 2; 2a+ 4) અને સેગમેન્ટમાંથી તમામ x માટે અસમાનતા રાખવા માટે, તે જરૂરી છે

મુ
xЄ (2 a + 4; –3a+ 2) અને જેથી અસમાનતા બધા માટે રહે xસેગમેન્ટમાંથી, તે જરૂરી છે કે

જ્યારે a = – (જ્યારે મૂળ એકરૂપ થાય છે) ત્યાં કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે આ કિસ્સામાં અસમાનતા સ્વરૂપ લે છે: .

જવાબ:
.

ઉદાહરણ 5. એઅસમાનતા તમામ નકારાત્મક મૂલ્યો માટે માન્ય છે એક્સ?

ઉકેલ:

પર ગુણાંક હોય તો કાર્ય એકવિધ રીતે વધે છે x બિન-નકારાત્મક, અને જો ગુણાંક પર હોય તો તે એકવિધ રીતે ઘટે છે xનકારાત્મક

ચાલો પર ગુણાંકનું ચિહ્ન શોધી કાઢીએ

a ≤ –3,

a ≥ 1; (a² + 2 a – 3) < 0 <=> –3 < a < 1.

a ≤ –3,

દો a≥ 1. પછી કાર્ય f (x ) એકવિધ રીતે ઘટતું નથી, અને સમસ્યાની સ્થિતિ સંતુષ્ટ થશે જો f (x ) ≤ 0 <=> 3a ² – a – 14 ≤ 0 <=>
.

a ≤ –3,

શરતો સાથે a≥ 1; અમને મળે છે:

ચાલો -3< a < 1. Тогда функция f (x ) એકવિધ રીતે ઘટે છે, અને સમસ્યાની સ્થિતિ ક્યારેય સંતુષ્ટ થઈ શકતી નથી.

જ્યારે સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.:
.

2. ચતુર્ભુજ સમીકરણો અને પરિમાણો સાથે અસમાનતા

ચતુર્ભુજ કાર્ય:
.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં, નીચેની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1. કયા મૂલ્યો પર a સમીકરણx ² – , જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ 15 ના ઓછામાં ઓછા એક ઉકેલો + 1 = 0 કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી?

ઉકેલ:

x ² – , જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ 15 ના ઓછામાં ઓછા એક ઉકેલો + 1 = 0

ડી = a ² – 4 1 =a ² – 4

a ² – 4< 0 + – +

( a – 2)( a + 2) < 0 –2 2

જ્યારે સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.: ખાતેa Є (–2; 2)

ઉદાહરણ 2.a ના કયા મૂલ્યો માટે સમીકરણ કરે છે એ (એક્સ ² – એક્સ + 1) = 3 એક્સ + 5 બે અલગ અલગ વાસ્તવિક મૂળ છે?

ઉકેલ:

એ (એક્સ ² – એક્સ + 1) = 3 એક્સ + 5, એ ≠ 0

ઓહ ² – આહ+ એ – 3 એક્સ – 5 = 0

ઓહ ² – ( એ + 3) એક્સ + એ – 5 = 0

ડી = ( a +3)² – 4a ( a – 5) = a ² +6a + 9 – 4 a ² + 20a = –3 a ² + 26a + 9

–3 a ² + 26 a + 9 > 0

3 a ² – 26a – 9 < 0

ડી = 26² – 4 3 (–9) = 784

a 1 =
; a 2 =
+ – +

0 9

જવાબ:ખાતેaЄ (–1/3; 0)યુ (0; 9)

ઉદાહરણ 3: સમીકરણ ઉકેલો
.

ઉકેલ:

ODZ: x ≠1, x ≠ a

x – 1 + x – a = 2, 2 x = 3 + a ,

1)
; 3 + a ≠ 2; a ≠ –1

2)
; 3 + a ≠ 2 a ; a ≠ 3

જવાબ:
ખાતેa Є (–∞; –1)યુ (–1; 3) યુ (3; +∞);

માટે કોઈ ઉકેલો નથીa = –1; 3.

ઉદાહરણ4 . સમીકરણ ઉકેલો | x ²–2 x –3 | = a .

ઉકેલ:

ચાલો કાર્યો જોઈએ y = | x ²–2 x –3 | અનેy = a .

મુ a < 0 કોઈ ઉકેલો નથી;
ખાતે a = 0 અને a> 4 બે ઉકેલો;
0 પર< a < 4 – четыре решения;
ખાતે a= 4 - ત્રણ ઉકેલો.

જવાબ:

ખાતે a < 0 нет решений;
ખાતે a= 0 અને a> 4 બે ઉકેલો;
0 પર< a < 4 – четыре решения;
ખાતે a= 4 - ત્રણ ઉકેલો.

ઉદાહરણ 5.બધા મૂલ્યો શોધો a , જે દરેક માટે સમીકરણ | x ²–( a +2) x +2 a | = | 3 x –6 |
બરાબર બે મૂળ ધરાવે છે. જો આવા મૂલ્યો a એક કરતાં વધુ, તમારા જવાબમાં તેમનું ઉત્પાદન દર્શાવો.

ઉકેલ:

ચાલો ચતુર્ભુજ ત્રિપદીનો વિસ્તાર કરીએ x ²–( a +2) x +2 a ગુણક દ્વારા.
;
;
;

અમને મળે છે | ( x –2)( x – a ) | = 3 | x –2 |.
આ સમીકરણ સમૂહની સમકક્ષ છે

તેથી, આ સમીકરણમાં બરાબર બે મૂળ છે જો a+ 3 = 2 અને a – 3 = 2.
અહીંથી આપણે શોધીએ છીએ કે ઇચ્છિત મૂલ્યો aછે a 1 = –1; a 2 = 5; a 1 · a 2 = –5.

જવાબ: –5.

ઉદાહરણ 6.બધા મૂલ્યો શોધો a , જેના માટે સમીકરણના મૂળ , જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ 15 ના ઓછામાં ઓછા એક ઉકેલો ² – 2( a + 1) x – a + 5 = 0 હકારાત્મક છે.

ઉકેલ:

ચેક પોઇન્ટ a= 0, કારણ કે સમીકરણના સારને બદલે છે.

1. a = 0 –2x + = 0;

જવાબ: a Є U .

ઉદાહરણ 7.મુશું પરિમાણ મૂલ્યો a સમીકરણ | x ² – 4 x + 3 | = , જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ 15 ના ઓછામાં ઓછા એક ઉકેલો 3 મૂળ ધરાવે છે.

ઉકેલ:

ચાલો ફંક્શન ગ્રાફ બનાવીએ y = | x ² – 4 x + 3 | અને y = , જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ 15 ના ઓછામાં ઓછા એક ઉકેલો .

કાર્ય સેગમેન્ટ પર આલેખાયેલ છે
.
જો ફંક્શનનો ગ્રાફ હોય તો આ સમીકરણમાં ત્રણ મૂળ હશે y = , જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ 15 ના ઓછામાં ઓછા એક ઉકેલોગ્રાફ માટે સ્પર્શક હશે y = x ²+ 4 x – 3 પર
સેગમેન્ટ

સ્પર્શક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે y = f (x 0 ) + f ’(x 0 )(x – x 0 ),



કારણ કે સ્પર્શક સમીકરણ y = a, આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ

કારણ કે x 0 Є ,

જવાબ:ખાતે a = 4 – 2
.

પરિમાણો સાથે ચતુર્ભુજ અસમાનતા

ઉદાહરણ.બધા પરિમાણ મૂલ્યો શોધો a , જેમાંથી દરેક માટે અસમાનતાઓના ઉકેલો વચ્ચે
લાઇન સેગમેન્ટ પર કોઈ બિંદુ નથી.

ઉકેલ:

પ્રથમ, ચાલો પરિમાણના તમામ મૂલ્યોની અસમાનતાને હલ કરીએ, અને પછી તે શોધીએ કે જેના માટે ઉકેલો વચ્ચે સેગમેન્ટનો એક પણ બિંદુ નથી. .
દો
, , જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ 15 ના ઓછામાં ઓછા એક ઉકેલો = t ²

t ≥ 0

ચલોના આવા રિપ્લેસમેન્ટ સાથે, અસમાનતાનું ODZ આપોઆપ કરવામાં આવે છે. xદ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે t, જો a≠ 0. તેથી, કેસ જ્યારે a = 0, અમે અલગથી વિચારણા કરીશું.
1.ચાલો a = 0, પછી એક્સ> 0, અને આપેલ સેગમેન્ટ એ ઉકેલ છે.
2.ચાલો a≠ 0, પછી
અને અસમાનતા
ફોર્મ લેશે
,

અસમાનતાનો ઉકેલ મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે a, તેથી આપણે બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લેવા પડશે.
1) જો a>0, પછી
ખાતે
, અથવા જૂના ચલોમાં,

સોલ્યુશનમાં આપેલ સેગમેન્ટનો એક પણ બિંદુ શામેલ નથી જો અને માત્ર જો શરતો પૂરી થાય a ≤ 7,

16a≥ 96. તેથી, a Є .
2). જો એ< 0, то
;
; tЄ (4 a ; a). કારણ કે t≥ 0, પછી કોઈ ઉકેલો નથી.

જવાબ: .

પરિમાણો સાથે અતાર્કિક સમીકરણો

અતાર્કિક સમીકરણો અને અસમાનતાઓને પરિમાણ સાથે હલ કરતી વખતે, સૌ પ્રથમ, સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ. બીજું, જો અસમાનતાની બંને બાજુ બિન-નકારાત્મક અભિવ્યક્તિ હોય, તો અસમાનતાની નિશાની જાળવી રાખીને આવી અસમાનતાને વર્ગીકૃત કરી શકાય છે.
ઘણા કિસ્સાઓમાં, અતાર્કિક સમીકરણો અને અસમાનતાઓ ચલોને બદલ્યા પછી ચતુર્ભુજ સમીકરણોમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1.સમીકરણ ઉકેલો
.

ઉકેલ:

ODZ: x + 1 ≥ 0, x ≥ –1, a ≥ 0.

x + 1 = a ².

જો x = a² – 1, પછી સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે.

જવાબ: x = a² – 1 ખાતે એ≥ 0; માટે કોઈ ઉકેલો નથી a < 0.

ઉદાહરણ 2: સમીકરણ ઉકેલો
.

ઉકેલ:

ODZ: x + 3 ≥ 0, x ≥ –3,

a–x ≥ 0; x ≤ a;

x + 3 = a–x,

2x = a – 3,

<=>
<=>
<=> a ≥ –3.

જવાબ:
ખાતે a≥ -3; માટે કોઈ ઉકેલો નથી a < –3.

ઉદાહરણ 3.સમીકરણ કેટલા મૂળ ધરાવે છે?
પરિમાણ મૂલ્યો પર આધાર રાખીને એ?

ઉકેલ:

સમીકરણના સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી: x Є [–2; 2]

ચાલો ફંક્શનના ગ્રાફ બનાવીએ. પ્રથમ કાર્યનો ગ્રાફ વર્તુળનો ઉપરનો અડધો ભાગ છે x² + y² = 4. બીજા ફંક્શનનો આલેખ એ પ્રથમ અને બીજા સંકલન કોણનો દ્વિભાજક છે. પ્રથમ ફંક્શનના ગ્રાફમાંથી, બીજાના ગ્રાફને બાદ કરો અને ફંક્શનનો ગ્રાફ મેળવો
. જો તમે બદલો ખાતેપર એ, તો ફંક્શનનો છેલ્લો આલેખ એ મૂળ સમીકરણને સંતોષતા બિંદુઓ (x; a)નો સમૂહ છે.

ગ્રાફ મુજબ આપણે જવાબ જોઈએ છીએ.

જવાબ:ખાતે એЄ (–∞; –2) U (1; +∞), કોઈ મૂળ નથી;

ખાતે એЄ [–2; 2), બે મૂળ;

ખાતે એ= 1, એક મૂળ.

ઉદાહરણ 4.કયા પરિમાણ મૂલ્યો પર એસમીકરણ
એક જ ઉકેલ છે?

ઉકેલ:

પદ્ધતિ 1 (વિશ્લેષણાત્મક):

જવાબ:

પદ્ધતિ 2 (ગ્રાફિકલ):

જવાબ:≥ -2 માટે સમીકરણ અનન્ય ઉકેલ ધરાવે છે

ઉદાહરણ 5.પરિમાણ a ના કયા મૂલ્યો માટે સમીકરણ = 2 + x એક અનન્ય ઉકેલ ધરાવે છે.

ઉકેલ:

ચાલો આ સમીકરણના ઉકેલના ગ્રાફિકલ સંસ્કરણને ધ્યાનમાં લઈએ, એટલે કે, આપણે બે કાર્યો બનાવીશું:
ખાતે 1 = 2 + એક્સઅને ખાતે 2 =

પ્રથમ કાર્ય રેખીય છે અને બિંદુઓ (0; 2) અને (–2; 0)માંથી પસાર થાય છે.
બીજા ફંક્શનના ગ્રાફમાં એક પરિમાણ છે. ચાલો પહેલા આ ફંક્શનના ગ્રાફ પર વિચાર કરીએ એ= 0 (ફિગ. 1). પરિમાણ મૂલ્ય બદલતી વખતે, ગ્રાફ અક્ષ સાથે આગળ વધશે ઓહડાબી બાજુના અનુરૂપ મૂલ્ય દ્વારા (ધન માટે એ) અથવા જમણી બાજુએ (નકારાત્મક માટે એ) (ફિગ. 2)

આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ક્યારે એ < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

જવાબ:ખાતે a≥ -2 સમીકરણ એક અનન્ય ઉકેલ ધરાવે છે.

પરિમાણો સાથે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો.

ઉદાહરણ 1.સમીકરણ ઉકેલો પાપ (– x + 2 x – 1) = kx + 1.

ઉકેલ:

કાર્યની વિચિત્રતાને જોતાં
, અમે આ સમીકરણને સમકક્ષ સુધી ઘટાડીએ છીએ
.

1. kx = –1

3. kx =–2

4. | kx + 1| > 1

ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી.

5. kxЄ(–1; 0)

6. kxЄ(–2; -1)

ઉદાહરણ 2.પેરામીટર p ના તમામ મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણ છે
કોઈ ઉકેલ નથી.

ઉકેલ:

ચાલો cos 2 વ્યક્ત કરીએ xદ્વારા sinx.

દો
પછી કાર્ય તમામ મૂલ્યો શોધવા માટે ઘટાડવામાં આવ્યું હતું પી, જેના માટે સમીકરણમાં [–1 પર કોઈ ઉકેલો નથી; 1]. સમીકરણ અલ્ગોરિધમિક રીતે હલ કરી શકાતું નથી, તેથી અમે ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યા હલ કરીશું. ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ લખીએ, અને હવે ડાબી બાજુના ગ્રાફનો સ્કેચ.
બિલ્ડ કરવા માટે સરળ.
જો સીધી રેખા હોય તો સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી y = પી+ 9 અંતરાલ પરના ગ્રાફને છેદતું નથી [–1; 1], એટલે કે.

જવાબ:પી Є (–∞; –9) U (17; +∞).

પરિમાણો સાથે સમીકરણોની સિસ્ટમો

પરિમાણો સાથે બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો

સમીકરણોની સિસ્ટમ

બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલો એ બે સીધી રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓ છે: અને .

ત્યાં 3 સંભવિત કેસ છે:

1. રેખાઓ સમાંતર નથી . પછી તેમના સામાન્ય વેક્ટર સમાંતર નથી, એટલે કે. . આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમ ધરાવે છે માત્ર નિર્ણય.

2. રેખાઓ સમાંતર છે અને એકરૂપ થતી નથી.પછી તેમના સામાન્ય વેક્ટર સમાંતર હોય છે, પરંતુ પાળી અલગ હોય છે, એટલે કે. .

આ બાબતે સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી .

3. સીધી રેખાઓ એકરૂપ થાય છે.પછી તેમના સામાન્ય વેક્ટર સમાંતર હોય છે અને પાળી એકરૂપ થાય છે, એટલે કે. . આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમ ધરાવે છે અનંત ઘણા ઉકેલો -રેખાના તમામ બિંદુઓ .

આ કાર્યનો હેતુ પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ હલ કરવાની વિવિધ રીતોનો અભ્યાસ કરવાનો છે. પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ હલ કરવાની ક્ષમતા અને ક્ષમતા સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓની નિપુણતા, સૈદ્ધાંતિક માહિતીની અર્થપૂર્ણ સમજ, તાર્કિક વિચારસરણીનું સ્તર અને જ્ઞાનાત્મક પ્રવૃત્તિને ઉત્તેજીત કરે છે. આ કૌશલ્યો વિકસાવવા માટે, લાંબા સમય સુધી પ્રયત્નો જરૂરી છે, તેથી જ ચોક્કસ વિજ્ઞાનના ઊંડાણપૂર્વક અભ્યાસ સાથે વિશિષ્ટ ગ્રેડ 10-11માં, "ગાણિતિક વ્યવહાર" કોર્સ રજૂ કરવામાં આવ્યો છે, જેનો એક ભાગ સમીકરણો અને અસમાનતાઓનું સમાધાન છે. પરિમાણો અભ્યાસક્રમ એ શાળાના અભ્યાસક્રમના ઘટકમાં સમાવિષ્ટ વિદ્યાશાખાઓમાંનો એક છે.

પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓનો સફળ અભ્યાસ વૈકલ્પિક અથવા વૈકલ્પિક અભ્યાસક્રમો દ્વારા અથવા વિષય પર ગ્રીડ પાછળના ઘટક દ્વારા મદદ કરી શકાય છે: "પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ."

ચાલો પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓના ચાર મોટા વર્ગોને ધ્યાનમાં લઈએ:

1. સમીકરણો, અસમાનતાઓ અને તેમની સિસ્ટમો કે જે કોઈપણ પરિમાણ મૂલ્ય માટે અથવા ચોક્કસ સમૂહને લગતા પરિમાણ મૂલ્યો માટે ઉકેલવા જોઈએ.
2. સમીકરણો, અસમાનતાઓ અને તેમની સિસ્ટમો કે જેના માટે પેરામીટરના મૂલ્યના આધારે ઉકેલોની સંખ્યા નક્કી કરવી જરૂરી છે.
3. સમીકરણો, અસમાનતાઓ અને તેમની સિસ્ટમો, જેના માટે તે તમામ પરિમાણ મૂલ્યો શોધવાની જરૂર છે જેના માટે ઉલ્લેખિત સમીકરણો (સિસ્ટમ્સ, અસમાનતાઓ) પાસે આપેલ સંખ્યાબંધ ઉકેલો છે.
4. સમીકરણો, અસમાનતાઓ અને તેમની સિસ્ટમો કે જેના માટે જરૂરી પરિમાણ મૂલ્યો માટે, ઉકેલોનો સમૂહ વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં આપેલ શરતોને સંતોષે છે.

પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ.

1. વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ.

આ એક સીધી ઉકેલ પદ્ધતિ છે જે પરિમાણ વિના સમસ્યાઓમાં જવાબ શોધવા માટે પ્રમાણભૂત પ્રક્રિયાઓનું પુનરાવર્તન કરે છે.

ઉદાહરણ 1: પરિમાણના તમામ મૂલ્યો શોધો a, જેના માટે સમીકરણ:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 માં વધુમાં વધુ એક રૂટ છે.

2 પર a– 1 = 0 આ સમીકરણ ચતુર્ભુજ નથી, તેથી કેસ a=1/2 અલગથી સૉર્ટ કરેલ છે.

જો a= 1/2, પછી સમીકરણ 1/2 સ્વરૂપ લે છે x– 2 = 0, તેનું એક મૂળ છે.

જો a≠ 1/2, પછી સમીકરણ ચતુર્ભુજ છે; તેના માટે વધુમાં વધુ એક મૂળ હોવું જરૂરી છે અને ભેદભાવ કરનાર માટે બિન-હકારાત્મક હોવું જરૂરી છે:

ડી= a 2 – 4(2a – 1)(2a – 3) = -15a 2 + 32a – 12;

અંતિમ જવાબ લખવા માટે, તમારે સમજવાની જરૂર છે

2. ગ્રાફિક પદ્ધતિ.

કાર્ય પર આધાર રાખીને (ચલ સાથે xઅને પરિમાણ a) કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં આલેખ ( x;y) અથવા પ્લેનમાં ( x;a).

ઉદાહરણ 2. દરેક પરિમાણ મૂલ્ય માટે aસમીકરણના ઉકેલોની સંખ્યા નક્કી કરો .

નોંધ કરો કે સમીકરણના ઉકેલોની સંખ્યા ફંક્શન ગ્રાફના આંતરછેદ બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી અને y = a.

કાર્યનો આલેખ ફિગ. 1 માં બતાવેલ છે.

y = aએક આડી રેખા છે. ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, તેના આધારે આંતરછેદ બિંદુઓની સંખ્યા નક્કી કરવી સરળ છે a(ઉદાહરણ તરીકે, ક્યારે a= 11 – આંતરછેદના બે બિંદુઓ; ખાતે a= 2 – આંતરછેદના આઠ બિંદુઓ).

જવાબ: ક્યારે a < 0 – решений нет; при a= 0 અને a= 25/4 - ચાર ઉકેલો; 0 પર< a < 6 – восемь решений; при a= 6 – સાત ઉકેલો; ખાતે

6 < a < 25/4 – шесть решений; при a> 25/4 - બે ઉકેલો.

3. પરિમાણના સંદર્ભમાં ઉકેલની પદ્ધતિ.

આ રીતે હલ કરતી વખતે, ચલો એક્સઅને એસમાન તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે, અને ચલ કે જેના સંદર્ભમાં વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલ સરળ બને છે તે પસંદ કરવામાં આવે છે. સરળીકરણ પછી, તમારે ચલોના મૂળ અર્થ પર પાછા ફરવાની જરૂર છે એક્સઅને એઅને ઉકેલ સમાપ્ત કરો.

ઉદાહરણ 3: પરિમાણના તમામ મૂલ્યો શોધો એ, જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ = - , જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ 15 ના ઓછામાં ઓછા એક ઉકેલો +3a+2 પાસે અનન્ય ઉકેલ છે.

આપણે ચલોને બદલીને આ સમીકરણ ઉકેલીશું. ચાલો = t , t≥ 0, પછી x = t 2 + 8 અને સમીકરણ બને છે ખાતે 2 +t + 5a– 2 = 0. હવે બધું શોધવાનો પડકાર છે એ, જેના માટે સમીકરણ ખાતે 2 +t + 5a– 2 = 0 પાસે અનન્ય બિન-નકારાત્મક ઉકેલ છે. આ નીચેના કેસોમાં થાય છે.

1) જો એ= 0, પછી સમીકરણમાં અનન્ય ઉકેલ છે t = 2.

પરિમાણો સાથે કેટલાક પ્રકારના સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવા.

પરિમાણો સાથેની સમસ્યાઓ તાર્કિક વિચારસરણીની રચનામાં અને સંશોધન કૌશલ્ય પ્રાપ્ત કરવામાં મદદ કરે છે.

દરેક સમસ્યાનો ઉકેલ અનોખો હોય છે અને તેને વ્યક્તિગત, બિન-માનક અભિગમની જરૂર હોય છે, કારણ કે આવી સમસ્યાઓ હલ કરવાનો કોઈ એક જ રસ્તો નથી.

સમસ્યા નંબર 1. પરિમાણના કયા મૂલ્યો પર kxશું સમીકરણને કોઈ મૂળ નથી?

કાર્ય નંબર 2. બધા પરિમાણ મૂલ્યો શોધો a, જેના માટે અસમાનતાના ઉકેલોનો સમૂહ છે:

નંબર 6 ધરાવે છે, અને તેમાં 6 લંબાઈના બે સેગમેન્ટ્સ પણ છે જેમાં કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી.

ચાલો અસમાનતાની બંને બાજુઓને પરિવર્તિત કરીએ.

અસમાનતાના ઉકેલોના સમૂહમાં નંબર 6 સમાવવા માટે, નીચેની શરત પૂરી કરવી જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે:

ફિગ.4

મુ a> અસમાનતાના ઉકેલોના 6 સેટ: .

અંતરાલ (0;5) માં લંબાઈ 6 નો કોઈ સેગમેન્ટ સમાવી શકાતો નથી. આનો અર્થ એ છે કે લંબાઈ 6 ના બે અસંબંધિત ભાગો અંતરાલ (5; a).

સમસ્યા નંબર 3. ફંક્શનને વ્યાખ્યાયિત કરવાના ક્ષેત્રમાં બધા હકારાત્મક પૂર્ણાંકો લો અને તેમને ઉમેરો. બધા મૂલ્યો શોધો કે જેના માટે આ સરવાળો 5 કરતા વધારે છે પરંતુ 10 કરતા ઓછો છે.

1) રેખીય અપૂર્ણાંક કાર્યનો આલેખ હાઇપરબોલ છે. શરતે x> 0. અમર્યાદિત વધારા સાથે એક્સઅપૂર્ણાંક એકવિધ રીતે ઘટે છે અને શૂન્યની નજીક પહોંચે છે, અને કાર્ય મૂલ્યો zવધારો અને અભિગમ 5. વધુમાં, z(0) = 1.

2) ડિગ્રીની વ્યાખ્યા દ્વારા, વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર D(y)અસમાનતાના ઉકેલોનો સમાવેશ થાય છે. મુ a= 1 આપણે એવી અસમાનતા મેળવીએ છીએ જેનો કોઈ ઉકેલ નથી. તેથી કાર્ય ખાતેક્યાંય વ્યાખ્યાયિત નથી.

3) 0 પર< a< 1 показательная функция с основанием એઘટે છે અને અસમાનતા અસમાનતા સમાન છે. કારણ કે x> 0, પછી z(x) > z(0) = 1. આનો અર્થ એ છે કે દરેક હકારાત્મક મૂલ્ય એક્સઅસમાનતાનો ઉકેલ છે. તેથી, આવા માટે એશરતમાં દર્શાવેલ રકમ શોધી શકાતી નથી.

4) ક્યારે a> આધાર સાથે 1 ઘાતાંકીય કાર્ય એવધે છે અને અસમાનતા અસમાનતા સમાન છે. જો a≥ 5, તો કોઈપણ ધન સંખ્યા એ તેનો ઉકેલ છે, અને શરતમાં ઉલ્લેખિત સરવાળો શોધી શકાતો નથી. જો 1< a < 5, то множество положительных решений – это интервал (0;x 0), ક્યાં a = z(x 0) .

5) પૂર્ણાંકો આ અંતરાલમાં એક પંક્તિમાં સ્થિત છે, 1 થી શરૂ થાય છે. ચાલો 1: 1 થી શરૂ કરીને, સળંગ કુદરતી સંખ્યાઓના સરવાળાની ગણતરી કરીએ; 1+2 = 3; 1+2+3 = 6; 1+2+3+4 = 10;... તેથી, દર્શાવેલ રકમ 5 કરતા વધારે અને 10 કરતા ઓછી હશે જો નંબર 3 અંતરાલ (0; x 0), અને નંબર 4 આ અંતરાલમાં રહેતો નથી. તેથી 3< x 0 ≤ 4. ત્યારથી તે વધે છે, પછી z(3) < z(x 0) ≤ z(4) .

અતાર્કિક સમીકરણો અને અસમાનતાઓ, તેમજ સમીકરણો, અસમાનતાઓ અને મોડ્યુલો ધરાવતી પ્રણાલીઓને ઉકેલવા અંગે ચર્ચા કરવામાં આવી છે. પરિશિષ્ટ 1.

પરિમાણો સાથેની સમસ્યાઓ જટિલ છે કારણ કે તેમને હલ કરવા માટે કોઈ એક અલ્ગોરિધમ નથી. આવી સમસ્યાઓની વિશિષ્ટતા એ છે કે, અજ્ઞાત જથ્થાઓ સાથે, તેમાં એવા પરિમાણો હોય છે કે જેની સંખ્યાત્મક કિંમતો ખાસ રીતે દર્શાવવામાં આવતી નથી, પરંતુ ચોક્કસ સંખ્યાત્મક સમૂહ પર જાણીતા અને નિર્દિષ્ટ ગણવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, પરિમાણ મૂલ્યો સમસ્યાને હલ કરવાના તાર્કિક અને તકનીકી અભ્યાસક્રમ અને જવાબના સ્વરૂપને નોંધપાત્ર રીતે પ્રભાવિત કરે છે.

આંકડા અનુસાર, ઘણા સ્નાતકો યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પર પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શરૂ કરતા નથી. FIPI મુજબ, માત્ર 10% સ્નાતકો આવી સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શરૂ કરે છે, અને તેમના સાચા ઉકેલની ટકાવારી ઓછી છે: 2-3%, તેથી શાળા દ્વારા પરિમાણો સાથેની સમસ્યાઓ સહિત મુશ્કેલ, બિન-માનક કાર્યોને હલ કરવા માટે કૌશલ્યનું સંપાદન. વિદ્યાર્થીઓ હજુ પણ સંબંધિત રહે છે.

1. પરિમાણ સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો

પરિમાણ સાથેના રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો સમીકરણોની સામાન્ય પ્રણાલીઓ જેવી જ મૂળભૂત પદ્ધતિઓ દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે: અવેજી પદ્ધતિ, સમીકરણો ઉમેરવાની પદ્ધતિ અને ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ. રેખીય પ્રણાલીઓના ગ્રાફિકલ અર્થઘટનનું જ્ઞાન મૂળની સંખ્યા અને તેમના અસ્તિત્વ વિશેના પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનું સરળ બનાવે છે.

ઉદાહરણ 1.

પરિમાણ a માટે તમામ મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલો નથી.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

ઉકેલ.

ચાલો આ કાર્યને હલ કરવાની ઘણી રીતો જોઈએ.

1 રસ્તો.અમે ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: જો x ની સામે ગુણાંકનો ગુણોત્તર y ની સામેના ગુણોત્તરના ગુણોત્તર જેટલો હોય તો સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી, પરંતુ મુક્ત શરતો (a/a 1 = b) ના ગુણોત્તર સમાન નથી /b 1 ≠ c/c 1). પછી અમારી પાસે છે:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 અથવા સિસ્ટમ

(અને 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.

પ્રથમ સમીકરણ a 2 = 4 થી, તેથી, ≠ 2 એ શરત ધ્યાનમાં લેતા, આપણને જવાબ મળે છે.

જવાબ: a = -2.

પદ્ધતિ 2.અમે અવેજી પદ્ધતિ દ્વારા હલ કરીએ છીએ.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

પ્રથમ સમીકરણમાં કૌંસમાંથી સામાન્ય પરિબળ y લીધા પછી, આપણને મળે છે:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

જો પ્રથમ સમીકરણ પાસે કોઈ ઉકેલો ન હોય તો સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલો નથી, એટલે કે

(અને 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

દેખીતી રીતે, a = ±2, પરંતુ બીજી શરતને ધ્યાનમાં લેતા, જવાબ માત્ર માઈનસ જવાબ સાથે આવે છે.

જવાબ: a = -2.

ઉદાહરણ 2.

પરિમાણ a માટે તમામ મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણોની સિસ્ટમમાં અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો છે.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

ઉકેલ.

ગુણધર્મ અનુસાર, જો x અને y ના ગુણોત્તર સમાન હોય, અને સિસ્ટમના મુક્ત સભ્યોના ગુણોત્તર સમાન હોય, તો તેની પાસે અસંખ્ય ઉકેલો છે (એટલે ​​કે a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). તેથી 8/a = a/2 = 2/1. પરિણામી સમીકરણોમાંથી દરેકને ઉકેલતા, આપણે શોધીએ છીએ કે આ ઉદાહરણમાં a = 4 એ જવાબ છે.

જવાબ: a = 4.

2. પરિમાણ સાથે તર્કસંગત સમીકરણોની સિસ્ટમો

ઉદાહરણ 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

ઉકેલ.

ચાલો સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને 2 વડે ગુણાકાર કરીએ:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

પ્રથમમાંથી બીજા સમીકરણને બાદ કરતાં, આપણને 5|x| મળે છે = 4 – એ. આ સમીકરણમાં a = 4 માટે અનન્ય ઉકેલ હશે. અન્ય કિસ્સાઓમાં, આ સમીકરણમાં બે ઉકેલો હશે (એ માટે< 4) или ни одного (при а > 4).

જવાબ: a = 4.

ઉદાહરણ 4.

પરિમાણ a ના તમામ મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ અનન્ય ઉકેલ ધરાવે છે.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

ઉકેલ.

અમે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ સિસ્ટમને હલ કરીશું. આમ, સિસ્ટમના બીજા સમીકરણનો આલેખ એક એકમ સેગમેન્ટ દ્વારા ઉપરની તરફ ઓય અક્ષ સાથે ઉભો થયેલો પેરાબોલા છે. પ્રથમ સમીકરણ y = -x રેખાની સમાંતર રેખાઓનો સમૂહ દર્શાવે છે (ચિત્ર 1). આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટપણે જોવા મળે છે કે જો સીધી રેખા y = -x + a એ કોઓર્ડિનેટ્સ (-0.5, 1.25) સાથેના બિંદુ પર પેરાબોલાની સ્પર્શક હોય તો સિસ્ટમ પાસે ઉકેલ છે. આ કોઓર્ડિનેટ્સને x અને y ને બદલે સીધી રેખા સમીકરણમાં બદલીને, આપણે પરિમાણ a નું મૂલ્ય શોધીએ છીએ:

1.25 = 0.5 + a;

જવાબ: a = 0.75.

ઉદાહરણ 5.

અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, પરિમાણ a ના કયા મૂલ્ય પર શોધો, સિસ્ટમ પાસે અનન્ય ઉકેલ છે.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

ઉકેલ.

પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણે y વ્યક્ત કરીએ છીએ અને તેને બીજામાં બદલીએ છીએ:

(y = કુહાડી – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.

ચાલો બીજા સમીકરણને kx = b ફોર્મમાં ઘટાડીએ, જેમાં k ≠ 0 માટે અનન્ય ઉકેલ હશે. અમારી પાસે છે:

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

અમે કૌંસના ઉત્પાદન તરીકે ચોરસ ત્રિપદી a 2 + 3a + 2 રજૂ કરીએ છીએ

(a + 2)(a + 1), અને ડાબી બાજુએ આપણે કૌંસમાંથી x લઈએ છીએ:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

દેખીતી રીતે, 2 + 3a શૂન્યની બરાબર ન હોવો જોઈએ, તેથી,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, જેનો અર્થ છે a ≠ 0 અને ≠ -3.

જવાબ: a ≠ 0; ≠ -3.

ઉદાહરણ 6.

ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, સિસ્ટમમાં વિશિષ્ટ ઉકેલ છે તે પરિમાણના કયા મૂલ્ય પર નિર્ધારિત કરો.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

ઉકેલ.

શરતના આધારે, અમે મૂળમાં કેન્દ્ર અને 3 એકમ સેગમેન્ટ્સની ત્રિજ્યા સાથે વર્તુળ બનાવીએ છીએ, આ તે છે જે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણ દ્વારા સ્પષ્ટ થયેલ છે

x 2 + y 2 = 9. સિસ્ટમનું બીજું સમીકરણ (y = |x| + a) એ તૂટેલી રેખા છે. ઉપયોગ કરીને આકૃતિ 2અમે વર્તુળને સંબંધિત તેના સ્થાનના તમામ સંભવિત કેસોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. તે જોવું સરળ છે કે a = 3.

જવાબ: a = 3.

હજુ પણ પ્રશ્નો છે? સમીકરણોની સિસ્ટમો કેવી રીતે હલ કરવી તે ખબર નથી?
શિક્ષક પાસેથી મદદ મેળવવા માટે -.
પ્રથમ પાઠ મફત છે!

blog.site, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, મૂળ સ્ત્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

1. કાર્ય.
કયા પરિમાણ મૂલ્યો પર aસમીકરણ ( a - 1)x 2 + 2x + a- શું 1 = 0 માં એક જ મૂળ છે?

1. ઉકેલ.
મુ a= 1 સમીકરણ 2 છે x= 0 અને દેખીતી રીતે એક જ મૂળ ધરાવે છે x= 0. જો aનંબર 1, તો આ સમીકરણ ચતુર્ભુજ છે અને તે પરિમાણ મૂલ્યો માટે એક જ મૂળ ધરાવે છે કે જેના પર ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીનો ભેદભાવ શૂન્ય બરાબર છે. ભેદભાવને શૂન્ય સાથે સરખાવીને, અમે પરિમાણ માટે સમીકરણ મેળવીએ છીએ a 4a 2 - 8a= 0, ક્યાંથી a= 0 અથવા a = 2.

1. જવાબ:સમીકરણમાં એક જ મૂળ છે aઓ (0; 1; 2).

2. કાર્ય.
બધા પરિમાણ મૂલ્યો શોધો a, જેના માટે સમીકરણ બે અલગ અલગ મૂળ ધરાવે છે x 2 +4, જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ 15 ના ઓછામાં ઓછા એક ઉકેલો+8a+3 = 0.
2. ઉકેલ.
સમીકરણ x 2 +4, જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ 15 ના ઓછામાં ઓછા એક ઉકેલો+8a+3 = 0 બે અલગ-અલગ મૂળ ધરાવે છે જો અને માત્ર જો ડી = 16a 2 -4(8a+3) > 0. આપણને મળે છે (4 ના સામાન્ય અવયવ દ્વારા ઘટાડા પછી) 4 a 2 -8a-3 > 0, ક્યાંથી

2. જવાબ:

3. કાર્ય.
તે જાણીતું છે
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) કાર્યનો આલેખ કરો f 1 (x) ખાતે a = 1.
b) કયા મૂલ્ય પર aકાર્ય આલેખ f 1 (x) અને f 2 (x) એક સામાન્ય બિંદુ છે?

3. ઉકેલ.
3.એ.ચાલો પરિવર્તન કરીએ f 1 (x) નીચેની રીતે
પર આ કાર્યનો ગ્રાફ a= 1 જમણી બાજુની આકૃતિમાં બતાવેલ છે.
3.બી.ચાલો તરત જ નોંધ લઈએ કે ફંક્શનના આલેખ y = અસમાનતા ઉકેલો:+kxઅને y = , જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ 15 ના ઓછામાં ઓછા એક ઉકેલો 2 +bx+c (aનંબર 0) એક બિંદુ પર છેદે છે જો અને માત્ર જો ચતુર્ભુજ સમીકરણ અસમાનતા ઉકેલો:+kx = , જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ 15 ના ઓછામાં ઓછા એક ઉકેલો 2 +bx+cએક જ મૂળ ધરાવે છે. દૃશ્યનો ઉપયોગ કરીને fની 1 3.એ, ચાલો સમીકરણના ભેદભાવની સમાનતા કરીએ a = 6x-x 2 -6 થી શૂન્ય. સમીકરણ 36-24-4 થી a= 0 આપણને મળે છે a= 3. સમીકરણ 2 સાથે તે જ કરો x-a = 6x-x 2 -6 આપણે શોધીશું a= 2. તે ચકાસવું સરળ છે કે આ પરિમાણ મૂલ્યો સમસ્યાની શરતોને સંતોષે છે. જવાબ: a= 2 અથવા a = 3.

4. કાર્ય.
બધા મૂલ્યો શોધો a, જેના માટે અસમાનતાના ઉકેલોનો સમૂહ x 2 -2, જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ 15 ના ઓછામાં ઓછા એક ઉકેલો-3a i 0 સેગમેન્ટ સમાવે છે.

4. ઉકેલ.
પેરાબોલા શિરોબિંદુનું પ્રથમ સંકલન f(x) = x 2 -2, જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ 15 ના ઓછામાં ઓછા એક ઉકેલો-3aની સમાન x 0 = a. ચતુર્ભુજ કાર્યના ગુણધર્મોમાંથી, સ્થિતિ f(x) і 0 સેગમેન્ટ પર ત્રણ સિસ્ટમોના સમૂહની સમકક્ષ છે
બરાબર બે ઉકેલો છે?

5. ઉકેલ.
ચાલો આ સમીકરણને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ x 2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. આ એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે; જો તેનો ભેદભાવ શૂન્ય કરતા વધારે હોય તો તેના બે ઉકેલો છે. ભેદભાવની ગણતરી કરતા, આપણે શોધીએ છીએ કે બરાબર બે મૂળની હાજરી માટેની સ્થિતિ અસમાનતાની પરિપૂર્ણતા છે. a 2 +a-6 > 0. અસમાનતા ઉકેલવાથી, આપણે શોધીએ છીએ a < -3 или a> 2. અસમાનતાઓમાં પ્રથમ, દેખીતી રીતે, કુદરતી સંખ્યામાં કોઈ ઉકેલો નથી, અને બીજાનો સૌથી નાનો કુદરતી ઉકેલ નંબર 3 છે.

5. જવાબ: 3.

6. સમસ્યા (10 કી)
બધા મૂલ્યો શોધો a, જેના માટે ફંક્શનનો ગ્રાફ અથવા, સ્પષ્ટ પરિવર્તનો પછી, a-2 = | 2-a| . છેલ્લું સમીકરણ અસમાનતાની સમકક્ષ છે a i 2.

6. જવાબ: aવિશે)