આ ગાણિતિક પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને, તમે અવેજી પદ્ધતિ અને ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બે ચલ સાથે બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલી શકો છો.

પ્રોગ્રામ માત્ર સમસ્યાનો જવાબ જ આપતો નથી, પરંતુ ઉકેલના પગલાંના સ્પષ્ટીકરણ સાથે બે રીતે વિગતવાર ઉકેલ પણ પૂરો પાડે છે: અવેજી પદ્ધતિ અને ઉમેરણ પદ્ધતિ.

આ પ્રોગ્રામ સામાન્ય શિક્ષણની શાળાઓમાં ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે પરીક્ષણો અને પરીક્ષાઓની તૈયારી કરતી વખતે, યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પહેલાં જ્ઞાનની ચકાસણી કરતી વખતે અને માતા-પિતા માટે ગણિત અને બીજગણિતની ઘણી સમસ્યાઓના ઉકેલને નિયંત્રિત કરવા માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે. અથવા કદાચ તમારા માટે શિક્ષકને ભાડે રાખવું અથવા નવા પાઠ્યપુસ્તકો ખરીદવા તે ખૂબ ખર્ચાળ છે? અથવા શું તમે તમારા ગણિત અથવા બીજગણિતનું હોમવર્ક શક્ય તેટલી ઝડપથી પૂર્ણ કરવા માંગો છો? આ કિસ્સામાં, તમે વિગતવાર ઉકેલો સાથે અમારા પ્રોગ્રામ્સનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો.

આ રીતે, તમે તમારી પોતાની તાલીમ અને/અથવા તમારા નાના ભાઈઓ અથવા બહેનોની તાલીમ લઈ શકો છો, જ્યારે સમસ્યાઓ ઉકેલવાના ક્ષેત્રમાં શિક્ષણનું સ્તર વધે છે.

સમીકરણો દાખલ કરવાના નિયમો

કોઈપણ લેટિન અક્ષર ચલ તરીકે કાર્ય કરી શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), વગેરે.

સમીકરણો દાખલ કરતી વખતે તમે કૌંસનો ઉપયોગ કરી શકો છો. આ કિસ્સામાં, સમીકરણો પ્રથમ સરળ કરવામાં આવે છે. સરળીકરણ પછીના સમીકરણો રેખીય હોવા જોઈએ, એટલે કે. તત્વોના ક્રમની ચોકસાઈ સાથે ax+by+c=0 ફોર્મનું.
ઉદાહરણ તરીકે: 6x+1 = 5(x+y)+2

સમીકરણોમાં, તમે માત્ર સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ જ નહીં, પણ દશાંશ અને સામાન્ય અપૂર્ણાંકના રૂપમાં અપૂર્ણાંકનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો.

દશાંશ અપૂર્ણાંક દાખલ કરવાના નિયમો.
દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ભાગોને પીરિયડ અથવા અલ્પવિરામ દ્વારા અલગ કરી શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે: 2.1n + 3.5m = 55

સામાન્ય અપૂર્ણાંક દાખલ કરવા માટેના નિયમો.
માત્ર સંપૂર્ણ સંખ્યા જ અપૂર્ણાંકના અંશ, છેદ અને પૂર્ણાંક ભાગ તરીકે કાર્ય કરી શકે છે.
છેદ નકારાત્મક ન હોઈ શકે.
સંખ્યાત્મક અપૂર્ણાંક દાખલ કરતી વખતે, અંશને વિભાજન ચિહ્ન દ્વારા છેદથી અલગ કરવામાં આવે છે: /
આખો ભાગ એમ્પરસેન્ડ ચિહ્ન દ્વારા અપૂર્ણાંકથી અલગ થયેલ છે: &

ઉદાહરણો.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

એવું જાણવા મળ્યું હતું કે આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે જરૂરી કેટલીક સ્ક્રિપ્ટો લોડ કરવામાં આવી ન હતી, અને પ્રોગ્રામ કામ કરી શકશે નહીં.
તમે AdBlock સક્ષમ કરેલ હોઈ શકે છે.
આ કિસ્સામાં, તેને અક્ષમ કરો અને પૃષ્ઠને તાજું કરો.

કારણ કે સમસ્યા હલ કરવા માટે ઘણા બધા લોકો તૈયાર છે, તમારી વિનંતી કતારમાં છે.
થોડીવારમાં ઉકેલ નીચે દેખાશે.
મહેરબાની કરી રાહ જુવો સેકન્ડ...

જો તમે ઉકેલમાં ભૂલ નોંધાઈ, પછી તમે આ વિશે ફીડબેક ફોર્મમાં લખી શકો છો.
ભૂલી ના જતા કયું કાર્ય સૂચવે છેતમે શું નક્કી કરો ક્ષેત્રોમાં દાખલ કરો.

અમારી રમતો, કોયડાઓ, અનુકરણકર્તાઓ:

થોડો સિદ્ધાંત.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી. અવેજી પદ્ધતિ

અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરતી વખતે ક્રિયાઓનો ક્રમ:
1) સિસ્ટમના કેટલાક સમીકરણમાંથી એક ચલને બીજાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરો;
2) પરિણામી અભિવ્યક્તિને આ ચલને બદલે સિસ્ટમના અન્ય સમીકરણમાં બદલો;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(એરે) \જમણે. $$

ચાલો પ્રથમ સમીકરણમાંથી x ની દ્રષ્ટિએ y વ્યક્ત કરીએ: y = 7-3x. અભિવ્યક્તિ 7-3x ને બીજા સમીકરણમાં y ને બદલે બદલીને, અમે સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(એરે) \right. $$

તે બતાવવાનું સરળ છે કે પ્રથમ અને બીજી સિસ્ટમમાં સમાન ઉકેલો છે. બીજી સિસ્ટમમાં, બીજા સમીકરણમાં માત્ર એક ચલ છે. ચાલો આ સમીકરણ હલ કરીએ:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

સમાનતા y=7-3x માં x ને બદલે નંબર 1 ને બદલીને, આપણે y નું અનુરૂપ મૂલ્ય શોધીએ છીએ:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

જોડી (1;4) - સિસ્ટમનો ઉકેલ

સમાન ઉકેલો ધરાવતા બે ચલોમાં સમીકરણોની સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે સમકક્ષ. સિસ્ટમો કે જેમાં ઉકેલો નથી તે પણ સમકક્ષ ગણવામાં આવે છે.

ઉમેરા દ્વારા રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી

ચાલો રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને હલ કરવાની બીજી રીત ધ્યાનમાં લઈએ - ઉમેરણ પદ્ધતિ. જ્યારે આ રીતે સિસ્ટમોને ઉકેલતી વખતે, તેમજ જ્યારે અવેજી દ્વારા ઉકેલવામાં આવે ત્યારે, અમે આ સિસ્ટમમાંથી બીજી, સમકક્ષ સિસ્ટમમાં જઈએ છીએ, જેમાં એક સમીકરણમાં ફક્ત એક જ ચલ હોય છે.

વધારાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરતી વખતે ક્રિયાઓનો ક્રમ:
1) સિસ્ટમ ટર્મના સમીકરણોને ટર્મ દ્વારા ગુણાકાર કરો, પરિબળો પસંદ કરો જેથી કરીને એક ચલના ગુણાંક વિરુદ્ધ સંખ્યાઓ બની જાય;
2) ટર્મ દ્વારા સિસ્ટમ સમીકરણો શબ્દની ડાબી અને જમણી બાજુઓ ઉમેરો;
3) પરિણામી સમીકરણને એક ચલ સાથે હલ કરો;
4) બીજા ચલનું અનુરૂપ મૂલ્ય શોધો.

ઉદાહરણ. ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(એરે) \right. $$

આ સિસ્ટમના સમીકરણોમાં, y ના ગુણાંક વિરોધી સંખ્યાઓ છે. ટર્મ દ્વારા સમીકરણો શબ્દની ડાબી અને જમણી બાજુઓ ઉમેરીને, આપણે એક ચલ 3x=33 સાથે સમીકરણ મેળવીએ છીએ. ચાલો સિસ્ટમના સમીકરણોમાંથી એકને બદલીએ, ઉદાહરણ તરીકે પ્રથમ એક, સમીકરણ 3x=33 સાથે. ચાલો સિસ્ટમ મેળવીએ
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(એરે) \right. $$

3x=33 સમીકરણ પરથી આપણે શોધીએ છીએ કે x=11. આ x મૂલ્યને સમીકરણ \(x-3y=38\) માં બદલવાથી આપણને ચલ y: \(11-3y=38\) સાથે સમીકરણ મળે છે. ચાલો આ સમીકરણ હલ કરીએ:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

આમ, અમે સરવાળો દ્વારા સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધી કાઢ્યો: \(x=11; y=-9\) અથવા \((11;-9)\)

એ હકીકતનો લાભ લઈને કે સિસ્ટમના સમીકરણોમાં y માટેના ગુણાંકો વિરુદ્ધ સંખ્યાઓ છે, અમે તેના ઉકેલને સમકક્ષ સિસ્ટમના ઉકેલમાં ઘટાડી દીધું છે (મૂળ સિસ્ટમના દરેક સમીકરણોની બંને બાજુઓનો સારાંશ આપીને), જેમાં એક સમીકરણોમાં માત્ર એક ચલ છે.

આ પાઠમાં આપણે સમીકરણોની પદ્ધતિને ઉકેલવાની પદ્ધતિનો અભ્યાસ કરવાનું ચાલુ રાખીશું, એટલે કે બીજગણિતીય ઉમેરણની પદ્ધતિ. પ્રથમ, ચાલો રેખીય સમીકરણો અને તેના સારનો ઉપયોગ કરીને આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ જોઈએ. ચાલો એ પણ યાદ રાખીએ કે સમીકરણોમાં ગુણાંકને કેવી રીતે સમાન કરવું. અને અમે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાબંધ સમસ્યાઓ હલ કરીશું.

વિષય: સમીકરણોની સિસ્ટમો

પાઠ: બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ

1. ઉદાહરણ તરીકે રેખીય પ્રણાલીઓનો ઉપયોગ કરીને બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ

ચાલો વિચાર કરીએ બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિરેખીય સિસ્ટમોના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને.

ઉદાહરણ 1. સિસ્ટમ ઉકેલો

જો આપણે આ બે સમીકરણો ઉમેરીએ, તો x માટે સમીકરણ છોડીને y રદ થાય છે.

જો આપણે પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરીએ, તો x એકબીજાને રદ કરે છે, અને આપણને y માટે સમીકરણ મળે છે. આ બીજગણિત ઉમેરણ પદ્ધતિનો અર્થ છે.

અમે સિસ્ટમ ઉકેલી અને બીજગણિત ઉમેરણની પદ્ધતિ યાદ રાખી. ચાલો તેના સારને પુનરાવર્તિત કરીએ: આપણે સમીકરણો ઉમેરી અને બાદબાકી કરી શકીએ છીએ, પરંતુ આપણે ખાતરી કરવી જોઈએ કે આપણને ફક્ત એક જ અજ્ઞાત સાથેનું સમીકરણ મળે.

2. ગુણાંકના પ્રારંભિક સમાનીકરણ સાથે બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ

ઉદાહરણ 2. સિસ્ટમ ઉકેલો

આ શબ્દ બંને સમીકરણોમાં હાજર છે, તેથી બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ અનુકૂળ છે. ચાલો પહેલા સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરીએ.

જવાબ: (2; -1).

આમ, સમીકરણોની સિસ્ટમનું પૃથ્થકરણ કર્યા પછી, તમે જોઈ શકો છો કે તે બીજગણિત ઉમેરણની પદ્ધતિ માટે અનુકૂળ છે, અને તેને લાગુ કરો.

ચાલો બીજી રેખીય સિસ્ટમનો વિચાર કરીએ.

3. નોનલાઇનર સિસ્ટમ્સનું સોલ્યુશન

ઉદાહરણ 3. સિસ્ટમ ઉકેલો

આપણે y થી છુટકારો મેળવવા માંગીએ છીએ, પરંતુ બે સમીકરણોમાં y ના ગુણાંક અલગ છે. ચાલો તેમને સમાન કરીએ, આ કરવા માટે, પ્રથમ સમીકરણને 3 વડે, બીજાને 4 વડે ગુણાકાર કરીએ.

ઉદાહરણ 4. સિસ્ટમ ઉકેલો

ચાલો x માટે ગુણાંક સમાન કરીએ

તમે તેને અલગ રીતે કરી શકો છો - y માટે ગુણાંક સમાન કરો.

અમે બીજગણિત ઉમેરણ પદ્ધતિને બે વાર લાગુ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલી.

બીજગણિત ઉમેરણ પદ્ધતિ બિનરેખીય સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે પણ લાગુ પડે છે.

ઉદાહરણ 5. સિસ્ટમ ઉકેલો

ચાલો આ સમીકરણો એકસાથે ઉમેરીએ અને આપણે y થી છુટકારો મેળવીશું.

બીજગણિત ઉમેરણ પદ્ધતિને બે વાર લાગુ કરીને સમાન પદ્ધતિને ઉકેલી શકાય છે. ચાલો એક સમીકરણમાંથી બીજા સમીકરણ ઉમેરી અને બાદ કરીએ.

ઉદાહરણ 6. સિસ્ટમ ઉકેલો

જવાબ:

ઉદાહરણ 7. સિસ્ટમ ઉકેલો

બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આપણે xy શબ્દમાંથી છુટકારો મેળવીશું. ચાલો પ્રથમ સમીકરણને વડે ગુણાકાર કરીએ.

પ્રથમ સમીકરણ યથાવત રહે છે, બીજાને બદલે આપણે બીજગણિતનો સરવાળો લખીએ છીએ.

જવાબ:

ઉદાહરણ 8. સિસ્ટમ ઉકેલો

સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરવા માટે બીજા સમીકરણને 2 વડે ગુણાકાર કરો.

અમારું કાર્ય ચાર સરળ સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે ઘટાડવામાં આવ્યું હતું.

4. નિષ્કર્ષ

અમે રેખીય અને બિનરેખીય સિસ્ટમો ઉકેલવાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને બીજગણિત ઉમેરણની પદ્ધતિની તપાસ કરી. હવે પછીના પાઠમાં આપણે નવા ચલોને રજૂ કરવાની પદ્ધતિ જોઈશું.

1. મોર્ડકોવિચ એ.જી. એટ અલજીબ્રા 9મી ગ્રેડ: પાઠ્યપુસ્તક. સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ.- ચોથી આવૃત્તિ. - એમ.: નેમોસીન, 2002.-192 પૃષ્ઠ: બીમાર.

2. મોર્ડકોવિચ એ.જી. એટ અલજીબ્રા 9મી ગ્રેડ: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક / એ.જી. મોર્ડકોવિચ, ટી.એન. - એમ.: નેમોસીન, 2002.-143 પૃષ્ઠ: બીમાર.

3. મકરીચેવ યુ. બીજગણિત. 9 મી ગ્રેડ: શૈક્ષણિક. સામાન્ય શિક્ષણના વિદ્યાર્થીઓ માટે. સંસ્થાઓ / યુ. એન. મકરીચેવ, એન. જી. મિંડ્યુક, કે. આઇ. નેશકોવ, આઇ. ઇ. ફેઓક્ટીસ્ટોવ. — 7મી આવૃત્તિ, રેવ. અને વધારાના - એમ.: નેમોસીન, 2008.

4. અલીમોવ એ., કોલ્યાગિન યુ., સિદોરોવ યુ. 9મા ધોરણ. 16મી આવૃત્તિ. - એમ., 2011. - 287 પૃ.

5. મોર્ડકોવિચ એ. જી. બીજગણિત. 9મા ધોરણ. 2 કલાકમાં ભાગ 1. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12મી આવૃત્તિ, ભૂંસી નાખેલી. - એમ.: 2010. - 224 પૃષ્ઠ: બીમાર.

6. બીજગણિત. 9મા ધોરણ. 2 ભાગોમાં ભાગ 2. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક / એ. જી. મોર્ડકોવિચ, એલ. એ. એલેકસાન્ડ્રોવા, ટી. એન. મિશુસ્ટીના અને અન્ય; એડ. એ.જી. મોર્ડકોવિચ. — 12મી આવૃત્તિ, રેવ. - એમ.: 2010.-223 પૃષ્ઠ: બીમાર.

1. કોલેજ વિભાગ. ગણિતમાં ru.

2. ઇન્ટરનેટ પ્રોજેક્ટ "કાર્યો".

3. શૈક્ષણિક પોર્ટલ “હું યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા હલ કરીશ”.

1. મોર્ડકોવિચ એ.જી. એટ અલજીબ્રા 9મી ગ્રેડ: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક / એ.જી. મોર્ડકોવિચ, ટી.એન. - એમ.: નેમોસીન, 2002.-143 પૃષ્ઠ: બીમાર. નંબર 125 - 127.

તમારે વિષય પર પાઠ યોજના ડાઉનલોડ કરવાની જરૂર છે » બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ?

આ વિડિઓ સાથે હું સમીકરણોની સિસ્ટમોને સમર્પિત પાઠોની શ્રેણી શરૂ કરું છું. આજે આપણે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા વિશે વાત કરીશું વધારાની પદ્ધતિ- આ સૌથી સરળ પદ્ધતિઓમાંની એક છે, પરંતુ તે જ સમયે સૌથી અસરકારક છે.

ઉમેરવાની પદ્ધતિમાં ત્રણ સરળ પગલાં શામેલ છે:

1. સિસ્ટમ જુઓ અને દરેક સમીકરણમાં સમાન (અથવા વિરુદ્ધ) ગુણાંક ધરાવતા ચલ પસંદ કરો;
2. એકબીજામાંથી સમીકરણોની બીજગણિત બાદબાકી (વિરોધી સંખ્યાઓ માટે - સરવાળો) કરો અને પછી સમાન શરતો લાવો;
3. બીજા પગલા પછી મેળવેલ નવા સમીકરણને ઉકેલો.

જો બધું યોગ્ય રીતે કરવામાં આવે, તો આઉટપુટ પર આપણને એક સમીકરણ મળશે એક ચલ સાથે- તેને હલ કરવું મુશ્કેલ નહીં હોય. પછી જે બાકી રહે છે તે મૂળ સિસ્ટમમાં મળેલા રુટને બદલવા અને અંતિમ જવાબ મેળવવાનું છે.

જો કે, વ્યવહારમાં બધું એટલું સરળ નથી. આના માટે ઘણા કારણો છે:

• ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવાથી સૂચિત થાય છે કે બધી રેખાઓમાં સમાન/વિરોધી ગુણાંક સાથેના ચલ હોવા જોઈએ. જો આ જરૂરિયાત પૂરી ન થાય તો શું કરવું?
• હંમેશા નહીં, દર્શાવેલ રીતે સમીકરણો ઉમેરી/બાદબાકી કર્યા પછી, આપણને એક સુંદર બાંધકામ મળે છે જે સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. શું કોઈક રીતે ગણતરીઓને સરળ બનાવવી અને ગણતરીઓને ઝડપી બનાવવી શક્ય છે?

આ પ્રશ્નોના જવાબ મેળવવા માટે, અને તે જ સમયે કેટલીક વધારાની સૂક્ષ્મતાને સમજવા માટે, જેમાં ઘણા વિદ્યાર્થીઓ નિષ્ફળ જાય છે, મારો વિડિઓ પાઠ જુઓ:

આ પાઠ સાથે આપણે સમીકરણોની પ્રણાલીઓને સમર્પિત વ્યાખ્યાનોની શ્રેણી શરૂ કરીએ છીએ. અને આપણે તેમાંના સૌથી સરળથી શરૂ કરીશું, એટલે કે જેમાં બે સમીકરણો અને બે ચલો છે. તેમાંના દરેક રેખીય હશે.

સિસ્ટમ્સ 7મા ધોરણની સામગ્રી છે, પરંતુ આ પાઠ ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે પણ ઉપયોગી થશે કે જેઓ આ વિષયના તેમના જ્ઞાનને આગળ વધારવા માંગે છે.

સામાન્ય રીતે, આવી સિસ્ટમોને હલ કરવા માટે બે પદ્ધતિઓ છે:

1. ઉમેરણ પદ્ધતિ;
2. એક ચલને બીજાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવાની પદ્ધતિ.

આજે આપણે પ્રથમ પદ્ધતિ સાથે વ્યવહાર કરીશું - આપણે બાદબાકી અને સરવાળાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું. પરંતુ આ કરવા માટે, તમારે નીચેની હકીકત સમજવાની જરૂર છે: એકવાર તમારી પાસે બે અથવા વધુ સમીકરણો હોય, તો તમે તેમાંથી કોઈપણ બે લઈ શકો છો અને તેમને એકબીજામાં ઉમેરી શકો છો. તેઓ સભ્ય દ્વારા સભ્ય ઉમેરવામાં આવે છે, એટલે કે. "X's" ને "X's" માં ઉમેરવામાં આવે છે અને સમાન આપવામાં આવે છે, "Y's" સાથે "Y's" ફરીથી સમાન હોય છે, અને સમાન ચિહ્નની જમણી બાજુએ જે છે તે પણ એકબીજા સાથે ઉમેરવામાં આવે છે, અને સમાન ચિહ્નો પણ ત્યાં આપવામાં આવે છે. .

આવા ષડયંત્રના પરિણામો એક નવું સમીકરણ હશે, જે, જો તેના મૂળ હશે, તો તે ચોક્કસપણે મૂળ સમીકરણના મૂળમાં હશે. તેથી, અમારું કાર્ય બાદબાકી અથવા સરવાળો એવી રીતે કરવાનું છે કે $x$ અથવા $y$ અદૃશ્ય થઈ જાય.

આ કેવી રીતે પ્રાપ્ત કરવું અને આ માટે કયા સાધનનો ઉપયોગ કરવો - અમે હવે આ વિશે વાત કરીશું.

ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીને સરળ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

તેથી, આપણે બે સરળ સમીકરણોના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનું શીખીએ છીએ.

કાર્ય નંબર 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

નોંધ કરો કે $y$ નો પ્રથમ સમીકરણમાં $-4$ અને બીજામાં $+4$ નો ગુણાંક છે. તેઓ પરસ્પર વિરોધી છે, તેથી એવું માનવું તાર્કિક છે કે જો આપણે તેમને ઉમેરીએ, તો પરિણામી રકમમાં "રમતો" પરસ્પર નાશ પામશે. તેને ઉમેરો અને મેળવો:

ચાલો સૌથી સરળ બાંધકામ હલ કરીએ:

સરસ, અમને "x" મળ્યો. હવે આપણે તેની સાથે શું કરવું જોઈએ? અમને તેને કોઈપણ સમીકરણોમાં બદલવાનો અધિકાર છે. ચાલો પહેલા અવેજી કરીએ:

\[-4y=12\left| :\left(-4 \જમણે) \જમણે.\]

જવાબ: $\left(2;-3 \જમણે)$.

સમસ્યા નંબર 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

અહીં પરિસ્થિતિ સંપૂર્ણપણે સમાન છે, ફક્ત "X's" સાથે. ચાલો તેમને ઉમેરીએ:

અમારી પાસે સૌથી સરળ રેખીય સમીકરણ છે, ચાલો તેને હલ કરીએ:

હવે ચાલો $x$ શોધીએ:

જવાબ: $\left(-3;3 \right)$.

મહત્વપૂર્ણ મુદ્દાઓ

તેથી, અમે ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની બે સરળ સિસ્ટમો ઉકેલી છે. મુખ્ય મુદ્દાઓ ફરીથી:

1. જો કોઈ એક ચલ માટે વિરોધી ગુણાંક હોય, તો સમીકરણમાં તમામ ચલો ઉમેરવા જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, તેમાંથી એકનો નાશ થશે.
2. અમે બીજા સમીકરણો શોધવા માટે કોઈપણ સિસ્ટમ સમીકરણોમાં મળેલા ચલને બદલીએ છીએ.
3. અંતિમ પ્રતિભાવ રેકોર્ડ વિવિધ રીતે રજૂ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ - $x=...,y=...$, અથવા બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સના સ્વરૂપમાં - $\left(...;... \right)$. બીજો વિકલ્પ પ્રાધાન્યક્ષમ છે. યાદ રાખવાની મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે પ્રથમ સંકલન $x$ છે, અને બીજું $y$ છે.
4. પોઈન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સના રૂપમાં જવાબ લખવાનો નિયમ હંમેશા લાગુ પડતો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે ચલો $x$ અને $y$ ન હોય ત્યારે તેનો ઉપયોગ કરી શકાતો નથી, પરંતુ, ઉદાહરણ તરીકે, $a$ અને $b$.

નીચેની સમસ્યાઓમાં આપણે બાદબાકીની તકનીકને ધ્યાનમાં લઈશું જ્યારે ગુણાંક વિરુદ્ધ ન હોય.

બાદબાકી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરળ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

કાર્ય નંબર 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

નોંધ કરો કે અહીં કોઈ વિરોધી ગુણાંક નથી, પરંતુ સમાન ગુણાંક છે. તેથી, અમે પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરીએ છીએ:

હવે આપણે $x$ ને કોઈપણ સિસ્ટમ સમીકરણોમાં બદલીએ છીએ. ચાલો પહેલા જઈએ:

જવાબ: $\left(2;5\જમણે)$.

સમસ્યા નંબર 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

અમે ફરીથી પ્રથમ અને બીજા સમીકરણમાં $x$ માટે $5$ નો સમાન ગુણાંક જોયો. તેથી, તે ધારવું તાર્કિક છે કે તમારે પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરવાની જરૂર છે:

અમે એક ચલની ગણતરી કરી છે. હવે ચાલો બીજું શોધીએ, ઉદાહરણ તરીકે, મૂલ્ય $y$ ને બીજા બાંધકામમાં બદલીને:

જવાબ: $\left(-3;-2 \right)$.

ઉકેલની ઘોંઘાટ

તો આપણે શું જોઈએ છીએ? અનિવાર્યપણે, યોજના અગાઉની સિસ્ટમોના ઉકેલથી અલગ નથી. ફરક એટલો જ છે કે આપણે સમીકરણો ઉમેરતા નથી, પણ બાદબાકી કરીએ છીએ. અમે બીજગણિત બાદબાકી કરી રહ્યા છીએ.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જલદી તમે બે અજ્ઞાતમાં બે સમીકરણો ધરાવતી સિસ્ટમ જોશો, તમારે પ્રથમ વસ્તુ જોવાની જરૂર છે તે ગુણાંક છે. જો તેઓ ગમે ત્યાં સમાન હોય, તો સમીકરણો બાદબાકી કરવામાં આવે છે, અને જો તેઓ વિરુદ્ધ હોય, તો ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે. આ હંમેશા કરવામાં આવે છે જેથી તેમાંથી એક અદૃશ્ય થઈ જાય, અને અંતિમ સમીકરણમાં, જે બાદબાકી પછી રહે છે, માત્ર એક ચલ રહે છે.

અલબત્ત, તે બધુ જ નથી. હવે આપણે એવી સિસ્ટમો પર વિચાર કરીશું કે જેમાં સમીકરણો સામાન્ય રીતે અસંગત હોય છે. તે. તેમાં એવા કોઈ ચલ નથી કે જે કાં તો સમાન હોય કે વિરુદ્ધ હોય. આ કિસ્સામાં, આવી સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે, વધારાની તકનીકનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, એટલે કે, દરેક સમીકરણોને વિશિષ્ટ ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવો. તેને કેવી રીતે શોધવું અને સામાન્ય રીતે આવી સિસ્ટમોને કેવી રીતે હલ કરવી, અમે હવે આ વિશે વાત કરીશું.

ગુણાંક વડે ગુણાકાર કરીને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

ઉદાહરણ #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

આપણે જોઈએ છીએ કે ન તો $x$ માટે અને ન તો $y$ માટે ગુણાંક માત્ર પરસ્પર વિરોધી જ નથી, પણ અન્ય સમીકરણ સાથે કોઈપણ રીતે સહસંબંધ ધરાવતા નથી. આ ગુણાંકો કોઈપણ રીતે અદૃશ્ય થઈ જશે નહીં, ભલે આપણે એકબીજામાંથી સમીકરણો ઉમેરીએ અથવા બાદ કરીએ. તેથી, ગુણાકાર લાગુ કરવો જરૂરી છે. ચાલો $y$ ચલથી છુટકારો મેળવવાનો પ્રયાસ કરીએ. આ કરવા માટે, અમે પ્રથમ સમીકરણને બીજા સમીકરણમાંથી $y$ ના ગુણાંક દ્વારા અને બીજા સમીકરણને પ્રથમ સમીકરણના $y$ ના ગુણાંક વડે ગુણાંક કરીએ છીએ, ચિહ્નને સ્પર્શ કર્યા વિના. અમે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને નવી સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

ચાલો તેને જોઈએ: $y$ પર ગુણાંક વિરુદ્ધ છે. આવી સ્થિતિમાં, ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. ચાલો ઉમેરીએ:

હવે આપણે $y$ શોધવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, પ્રથમ અભિવ્યક્તિમાં $x$ બદલો:

\[-9y=18\left| :\left(-9 \જમણે) \જમણે.\]

જવાબ: $\left(4;-2 \જમણે)$.

ઉદાહરણ નંબર 2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

ફરીથી, કોઈપણ ચલો માટેના ગુણાંક સુસંગત નથી. ચાલો $y$ ના ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરીએ:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \જમણે. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

અમારી નવી સિસ્ટમ પાછલી સિસ્ટમની સમકક્ષ છે, પરંતુ $y$ ના ગુણાંક પરસ્પર વિરુદ્ધ છે, અને તેથી અહીં વધારાની પદ્ધતિ લાગુ કરવી સરળ છે:

હવે ચાલો પહેલા સમીકરણમાં $x$ ને બદલીને $y$ શોધીએ:

જવાબ: $\left(-2;1 \જમણે)$.

ઉકેલની ઘોંઘાટ

અહીં મુખ્ય નિયમ નીચે મુજબ છે: અમે હંમેશા માત્ર હકારાત્મક સંખ્યાઓ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ - આ તમને બદલાતા ચિહ્નો સાથે સંકળાયેલ મૂર્ખ અને અપમાનજનક ભૂલોથી બચાવશે. સામાન્ય રીતે, ઉકેલ યોજના એકદમ સરળ છે:

1. અમે સિસ્ટમ જોઈએ છીએ અને દરેક સમીકરણનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
2. જો આપણે જોઈએ કે ન તો $y$ કે $x$ ગુણાંક સુસંગત છે, એટલે કે. તેઓ ન તો સમાન છે કે ન તો વિરુદ્ધ, પછી આપણે નીચે મુજબ કરીએ છીએ: આપણે ચલ પસંદ કરીએ છીએ જેમાંથી આપણે છૂટકારો મેળવવાની જરૂર છે, અને પછી આપણે આ સમીકરણોના ગુણાંકને જોઈએ છીએ. જો આપણે પ્રથમ સમીકરણને બીજામાંથી ગુણાંક વડે ગુણાકાર કરીએ, અને બીજાને અનુરૂપ રીતે, પ્રથમમાંથી ગુણાંક વડે ગુણાકાર કરીએ, તો અંતે આપણને એક સિસ્ટમ મળશે જે અગાઉના સમકક્ષ છે, અને $ ના ગુણાંક y$ સુસંગત રહેશે. અમારી બધી ક્રિયાઓ અથવા રૂપાંતરણનો હેતુ માત્ર એક સમીકરણમાં એક ચલ મેળવવાનો છે.
3. આપણે એક ચલ શોધીએ છીએ.
4. અમે સિસ્ટમના બે સમીકરણોમાંથી એકમાં મળેલા ચલને બદલીએ છીએ અને બીજું શોધીએ છીએ.
5. જો આપણી પાસે $x$ અને $y$ હોય તો અમે પોઈન્ટના કોઓર્ડિનેટ્સ સ્વરૂપે જવાબ લખીએ છીએ.

પરંતુ આવા સરળ અલ્ગોરિધમમાં પણ તેની પોતાની સૂક્ષ્મતા છે, ઉદાહરણ તરીકે, $x$ અથવા $y$ ના ગુણાંક અપૂર્ણાંક અને અન્ય "નીચ" સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે. હવે અમે આ કેસોને અલગથી ધ્યાનમાં લઈશું, કારણ કે તેમાં તમે પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમ મુજબ કંઈક અલગ રીતે કાર્ય કરી શકો છો.

અપૂર્ણાંક સાથે સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

ઉદાહરણ #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

પ્રથમ, નોંધ લો કે બીજા સમીકરણમાં અપૂર્ણાંકો છે. પરંતુ નોંધ લો કે તમે $4$ ને $0.8$ વડે ભાગી શકો છો. અમે $5$ પ્રાપ્ત કરીશું. ચાલો બીજા સમીકરણને $5$ વડે ગુણાકાર કરીએ:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

અમે એકબીજામાંથી સમીકરણો બાદ કરીએ છીએ:

અમને $n$ મળ્યું, હવે ચાલો $m$ ગણીએ:

જવાબ: $n=-4;m=5$

ઉદાહરણ નંબર 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \જમણે. \\\end(align )\ અધિકાર.\]

અહીં, અગાઉની સિસ્ટમની જેમ, અપૂર્ણાંક ગુણાંકો છે, પરંતુ કોઈપણ ચલ માટે ગુણાંક એકબીજા સાથે પૂર્ણાંક સંખ્યાની સંખ્યામાં ફિટ થતા નથી. તેથી, અમે પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. $p$ થી છુટકારો મેળવો:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

અમે બાદબાકી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

ચાલો બીજા બાંધકામમાં $k$ ને બદલીને $p$ શોધીએ:

જવાબ: $p=-4;k=-2$.

ઉકેલની ઘોંઘાટ

તે બધા ઓપ્ટિમાઇઝેશન છે. પ્રથમ સમીકરણમાં, આપણે કોઈ પણ વસ્તુથી ગુણાકાર કર્યો નથી, પરંતુ બીજા સમીકરણને $5$ વડે ગુણાકાર કર્યો છે. પરિણામે, અમે પ્રથમ ચલ માટે સુસંગત અને સમાન સમીકરણ પ્રાપ્ત કર્યું. બીજી સિસ્ટમમાં અમે પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમનું અનુસરણ કર્યું.

પરંતુ તમે તે સંખ્યાઓ કેવી રીતે શોધી શકશો જેના દ્વારા સમીકરણોનો ગુણાકાર કરવો? છેવટે, જો આપણે અપૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરીએ, તો આપણને નવા અપૂર્ણાંક મળે છે. તેથી, અપૂર્ણાંકનો એક એવી સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર થવો જોઈએ જે નવી પૂર્ણાંક આપશે, અને તે પછી ચલોનો પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમને અનુસરીને ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે.

નિષ્કર્ષમાં, હું તમારું ધ્યાન પ્રતિભાવ રેકોર્ડ કરવા માટેના ફોર્મેટ તરફ દોરવા માંગુ છું. મેં પહેલેથી જ કહ્યું તેમ, અહીં અમારી પાસે $x$ અને $y$ નથી, પરંતુ અન્ય મૂલ્યો હોવાથી, અમે ફોર્મના બિન-માનક સંકેતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

સમીકરણોની જટિલ સિસ્ટમોનું નિરાકરણ

આજના વિડિયો ટ્યુટોરીયલની અંતિમ નોંધ તરીકે, ચાલો ખરેખર જટિલ સિસ્ટમો જોઈએ. તેમની જટિલતા એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ હશે કે તેમની પાસે ડાબે અને જમણે બંને પર ચલ હશે. તેથી, તેમને ઉકેલવા માટે આપણે પ્રીપ્રોસેસિંગ લાગુ કરવું પડશે.

સિસ્ટમ નંબર 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \જમણે)-1=5\લેફ્ટ(2x-1 \જમણે)+8 \\\અંત(સંરેખિત) \જમણે.\]

દરેક સમીકરણ ચોક્કસ જટિલતા ધરાવે છે. તેથી, ચાલો દરેક અભિવ્યક્તિને નિયમિત રેખીય બાંધકામની જેમ ગણીએ.

કુલમાં, અમને અંતિમ સિસ્ટમ મળે છે, જે મૂળની સમકક્ષ છે:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

ચાલો $y$ ના ગુણાંક જોઈએ: $3$ બે વાર $6$ માં બંધબેસે છે, તો ચાલો પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણાકાર કરીએ:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

$y$ ના ગુણાંક હવે સમાન છે, તેથી આપણે પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરીએ: $$

હવે ચાલો $y$ શોધીએ:

જવાબ: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

સિસ્ટમ નંબર 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \જમણે -12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

ચાલો પ્રથમ અભિવ્યક્તિને પરિવર્તિત કરીએ:

ચાલો બીજા સાથે વ્યવહાર કરીએ:

\[-3\left(b-2a \જમણે)-12=2\left(a-5 \જમણે)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

કુલમાં, અમારી પ્રારંભિક સિસ્ટમ નીચેનું સ્વરૂપ લેશે:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

$a$ ના ગુણાંકને જોતા, આપણે જોઈએ છીએ કે પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

પ્રથમ બાંધકામમાંથી બીજાને બાદ કરો:

હવે ચાલો $a$ શોધીએ:

જવાબ: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

બસ એટલું જ. હું આશા રાખું છું કે આ વિડીયો ટ્યુટોરીયલ તમને આ મુશ્કેલ વિષયને સમજવામાં મદદ કરશે, એટલે કે સરળ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવામાં. ભવિષ્યમાં આ વિષય પર ઘણા વધુ પાઠ હશે: અમે વધુ જટિલ ઉદાહરણો જોઈશું, જ્યાં વધુ ચલો હશે, અને સમીકરણો પોતે બિનરેખીય હશે. તમને ફરી મલીસુ!

વિવિધ પ્રક્રિયાઓના ગાણિતિક મોડેલિંગ માટે આર્થિક ક્ષેત્રમાં સમીકરણોની સિસ્ટમોનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રોડક્શન મેનેજમેન્ટ અને પ્લાનિંગ, લોજિસ્ટિક્સ રૂટ્સ (ટ્રાન્સપોર્ટ પ્રોબ્લેમ) અથવા ઇક્વિપમેન્ટ પ્લેસમેન્ટની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે.

સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો ઉપયોગ માત્ર ગણિતમાં જ નહીં, પણ ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર અને જીવવિજ્ઞાનમાં પણ થાય છે, જ્યારે વસ્તીનું કદ શોધવાની સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં આવે છે.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ એ બે અથવા વધુ સમીકરણો છે જેમાં અનેક ચલ હોય છે જેના માટે સામાન્ય ઉકેલ શોધવો જરૂરી છે. સંખ્યાઓનો આવો ક્રમ કે જેના માટે તમામ સમીકરણો સાચી સમાનતા બને અથવા સાબિત કરે કે ક્રમ અસ્તિત્વમાં નથી.

રેખીય સમીકરણ

ax+by=c ફોર્મના સમીકરણોને રેખીય કહેવામાં આવે છે. હોદ્દો x, y એ અજ્ઞાત છે જેનું મૂલ્ય મળવું આવશ્યક છે, b, a એ ચલોના ગુણાંક છે, c એ સમીકરણનો મુક્ત શબ્દ છે.
કાવતરું ઘડીને સમીકરણ ઉકેલવું તે એક સીધી રેખા જેવું દેખાશે, જેનાં તમામ બિંદુઓ બહુપદીના ઉકેલો છે.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના પ્રકાર

સૌથી સરળ ઉદાહરણો બે ચલ X અને Y સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો તરીકે ગણવામાં આવે છે.

F1(x, y) = 0 અને F2(x, y) = 0, જ્યાં F1,2 ફંક્શન છે અને (x, y) ફંક્શન વેરિયેબલ છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો - આનો અર્થ એ છે કે મૂલ્યો (x, y) શોધવા કે જેના પર સિસ્ટમ સાચી સમાનતામાં ફેરવાય છે અથવા સ્થાપિત કરે છે કે x અને y ના યોગ્ય મૂલ્યો અસ્તિત્વમાં નથી.

મૂલ્યોની જોડી (x, y), જે બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે લખવામાં આવે છે, તેને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ કહેવામાં આવે છે.

જો સિસ્ટમમાં એક સામાન્ય ઉકેલ હોય અથવા કોઈ ઉકેલ અસ્તિત્વમાં ન હોય, તો તેને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે.

રેખીય સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીઓ એવી પ્રણાલીઓ છે જેની જમણી બાજુ શૂન્યની બરાબર છે. જો સમાન ચિહ્ન પછીના જમણા ભાગમાં મૂલ્ય હોય અથવા ફંક્શન દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે, તો આવી સિસ્ટમ વિજાતીય છે.

ચલોની સંખ્યા બે કરતા ઘણી વધારે હોઈ શકે છે, પછી આપણે ત્રણ અથવા વધુ ચલો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણ વિશે વાત કરવી જોઈએ.

જ્યારે પ્રણાલીઓનો સામનો કરવો પડે છે, ત્યારે શાળાના બાળકો ધારે છે કે સમીકરણોની સંખ્યા અનિવાર્યપણે અજ્ઞાતની સંખ્યા સાથે સુસંગત હોવી જોઈએ, પરંતુ આવું નથી. સિસ્ટમમાં સમીકરણોની સંખ્યા ચલ પર આધારિત નથી;

સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની સરળ અને જટિલ પદ્ધતિઓ

આવી સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે કોઈ સામાન્ય વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ નથી; બધી પદ્ધતિઓ સંખ્યાત્મક ઉકેલો પર આધારિત છે. શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં ક્રમચય, બીજગણિત ઉમેરો, અવેજીકરણ, તેમજ ગ્રાફિકલ અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિઓ, ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલ જેવી પદ્ધતિઓનું વિગતવાર વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે.

ઉકેલની પદ્ધતિઓ શીખવતી વખતે મુખ્ય કાર્ય એ શીખવવાનું છે કે સિસ્ટમનું યોગ્ય રીતે વિશ્લેષણ કેવી રીતે કરવું અને દરેક ઉદાહરણ માટે શ્રેષ્ઠ ઉકેલ અલ્ગોરિધમ શોધવું. મુખ્ય વસ્તુ એ દરેક પદ્ધતિ માટે નિયમો અને ક્રિયાઓની સિસ્ટમને યાદ રાખવાની નથી, પરંતુ ચોક્કસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાના સિદ્ધાંતોને સમજવાની છે.

7મા ધોરણના સામાન્ય શિક્ષણ અભ્યાસક્રમમાં રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓના ઉદાહરણોનું નિરાકરણ એકદમ સરળ છે અને ખૂબ જ વિગતવાર સમજાવવામાં આવ્યું છે. કોઈપણ ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકમાં આ વિભાગ પર પૂરતું ધ્યાન આપવામાં આવે છે. ગૌસ અને ક્રેમર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉદાહરણોને ઉકેલવા માટે ઉચ્ચ શિક્ષણના પ્રથમ વર્ષોમાં વધુ વિગતવાર અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોનું નિરાકરણ

અવેજી પદ્ધતિની ક્રિયાઓનો હેતુ બીજાની દ્રષ્ટિએ એક ચલના મૂલ્યને વ્યક્ત કરવાનો છે. અભિવ્યક્તિને બાકીના સમીકરણમાં બદલવામાં આવે છે, પછી તેને એક ચલ સાથેના સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે. સિસ્ટમમાં અજાણ્યાઓની સંખ્યાના આધારે ક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે

ચાલો અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વર્ગ 7 ની રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણનો ઉકેલ આપીએ:

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, ચલ x એ F(X) = 7 + Y દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવ્યો હતો. પરિણામી અભિવ્યક્તિ, X ની જગ્યાએ સિસ્ટમના 2જા સમીકરણમાં બદલાઈ, 2જી સમીકરણમાં એક ચલ Y મેળવવામાં મદદ કરી. . આ ઉદાહરણને ઉકેલવું સરળ છે અને તમને Y મૂલ્ય મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે.

અવેજી દ્વારા રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણને ઉકેલવું હંમેશા શક્ય નથી. સમીકરણો જટિલ હોઈ શકે છે અને બીજા અજ્ઞાતના સંદર્ભમાં ચલને વ્યક્ત કરવું વધુ ગણતરીઓ માટે ખૂબ બોજારૂપ હશે. જ્યારે સિસ્ટમમાં 3 થી વધુ અજાણ્યા હોય, ત્યારે અવેજી દ્વારા ઉકેલવું પણ અયોગ્ય છે.

રેખીય અસંગત સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણનો ઉકેલ:

બીજગણિત ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ

વધારાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોના ઉકેલો માટે શોધ કરતી વખતે, સમીકરણો શબ્દ દ્વારા શબ્દ ઉમેરવામાં આવે છે અને વિવિધ સંખ્યાઓ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. ગાણિતિક ક્રિયાઓનું અંતિમ ધ્યેય એ એક ચલમાં સમીકરણ છે.

આ પદ્ધતિના ઉપયોગ માટે પ્રેક્ટિસ અને અવલોકન જરૂરી છે. જ્યારે 3 અથવા વધુ ચલ હોય ત્યારે વધારાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી સરળ નથી. જ્યારે સમીકરણોમાં અપૂર્ણાંક અને દશાંશ હોય ત્યારે બીજગણિતીય ઉમેરો વાપરવા માટે અનુકૂળ છે.

ઉકેલ અલ્ગોરિધમ:

1. સમીકરણની બંને બાજુઓને ચોક્કસ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો. અંકગણિત કામગીરીના પરિણામે, ચલના ગુણાંકમાંથી એક 1 ની બરાબર થવો જોઈએ.
2. શબ્દ દ્વારા પરિણામી અભિવ્યક્તિ શબ્દ ઉમેરો અને અજ્ઞાતમાંથી એક શોધો.
3. બાકીના ચલ શોધવા માટે પરિણામી મૂલ્યને સિસ્ટમના 2જા સમીકરણમાં બદલો.

નવું ચલ રજૂ કરીને ઉકેલની પદ્ધતિ

જો સિસ્ટમને બે કરતાં વધુ સમીકરણો માટે ઉકેલ શોધવાની જરૂર હોય તો એક નવું ચલ રજૂ કરી શકાય છે.

પદ્ધતિનો ઉપયોગ નવા ચલ રજૂ કરીને સમીકરણોમાંથી એકને સરળ બનાવવા માટે થાય છે. નવા સમીકરણને રજૂ કરાયેલ અજાણ્યા માટે ઉકેલવામાં આવે છે, અને પરિણામી મૂલ્યનો ઉપયોગ મૂળ ચલ નક્કી કરવા માટે થાય છે.

ઉદાહરણ બતાવે છે કે નવું ચલ t રજૂ કરીને, સિસ્ટમના 1લા સમીકરણને પ્રમાણભૂત ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીમાં ઘટાડી શકાય તેવું શક્ય હતું. તમે ભેદભાવ શોધીને બહુપદી ઉકેલી શકો છો.

જાણીતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ભેદભાવનું મૂલ્ય શોધવાનું જરૂરી છે: D = b2 - 4*a*c, જ્યાં D એ ઇચ્છિત ભેદભાવ છે, b, a, c એ બહુપદીના પરિબળો છે. આપેલ ઉદાહરણમાં, a=1, b=16, c=39, તેથી D=100. જો ભેદભાવ શૂન્ય કરતાં મોટો હોય, તો બે ઉકેલો છે: t = -b±√D / 2*a, જો ભેદભાવ શૂન્ય કરતાં ઓછો હોય, તો ત્યાં એક ઉકેલ છે: x = -b / 2*a.

પરિણામી સિસ્ટમો માટે ઉકેલ ઉમેરા દ્વારા જોવા મળે છે.

સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે વિઝ્યુઅલ પદ્ધતિ

3 સમીકરણ સિસ્ટમો માટે યોગ્ય. પદ્ધતિમાં કોઓર્ડિનેટ અક્ષ પર સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ દરેક સમીકરણના ગ્રાફ બનાવવાનો સમાવેશ થાય છે. વળાંકોના આંતરછેદ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ હશે.

ગ્રાફિકલ પદ્ધતિમાં સંખ્યાબંધ ઘોંઘાટ છે. ચાલો દ્રશ્ય રીતે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવાના કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે, દરેક લીટી માટે બે પોઈન્ટ બનાવવામાં આવ્યા હતા, x ચલના મૂલ્યો મનસ્વી રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા: 0 અને 3. x ના મૂલ્યોના આધારે, y માટેના મૂલ્યો મળ્યા હતા: 3 અને 0. કોઓર્ડિનેટ્સ (0, 3) અને (3, 0) સાથેના બિંદુઓને ગ્રાફ પર ચિહ્નિત કરવામાં આવ્યા હતા અને એક રેખા દ્વારા જોડાયેલા હતા.

બીજા સમીકરણ માટે પગલાંઓનું પુનરાવર્તન કરવું આવશ્યક છે. રેખાઓના આંતરછેદનો બિંદુ એ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે.

નીચેના ઉદાહરણ માટે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ગ્રાફિકલ ઉકેલ શોધવાની જરૂર છે: 0.5x-y+2=0 અને 0.5x-y-1=0.

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે આલેખ સમાંતર છે અને તેમની સમગ્ર લંબાઈ સાથે છેદે નથી.

ઉદાહરણો 2 અને 3 માંથી સિસ્ટમો સમાન છે, પરંતુ જ્યારે બનાવવામાં આવે છે ત્યારે તે સ્પષ્ટ બને છે કે તેમના ઉકેલો અલગ છે. તે યાદ રાખવું જોઈએ કે સિસ્ટમમાં ઉકેલ છે કે નહીં તે કહેવું હંમેશા શક્ય નથી;

મેટ્રિક્સ અને તેની જાતો

મેટ્રિસિસનો ઉપયોગ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને સંક્ષિપ્તમાં લખવા માટે થાય છે. મેટ્રિક્સ એ સંખ્યાઓથી ભરેલું એક વિશિષ્ટ પ્રકારનું કોષ્ટક છે. n*m માં n - પંક્તિઓ અને m - કૉલમ છે.

જ્યારે કૉલમ અને પંક્તિઓની સંખ્યા સમાન હોય ત્યારે મેટ્રિક્સ ચોરસ હોય છે. મેટ્રિક્સ-વેક્ટર એ એક કૉલમનું મેટ્રિક્સ છે જેમાં પંક્તિઓની અસંખ્ય સંભવિત સંખ્યા છે. એક કર્ણ અને અન્ય શૂન્ય તત્વો સાથેના મેટ્રિક્સને ઓળખ કહેવામાં આવે છે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ એ એક મેટ્રિક્સ છે જેના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે મૂળ એક એકમ મેટ્રિક્સમાં ફેરવાય છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમને મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરવાના નિયમો

સમીકરણોની સિસ્ટમોના સંબંધમાં, સમીકરણોના ગુણાંક અને મુક્ત શરતો મેટ્રિક્સ નંબરો તરીકે લખવામાં આવે છે, એક સમીકરણ મેટ્રિક્સની એક પંક્તિ છે.

જો પંક્તિનું ઓછામાં ઓછું એક ઘટક શૂન્ય ન હોય તો મેટ્રિક્સ પંક્તિ બિનશૂન્ય હોવાનું કહેવાય છે. તેથી, જો કોઈપણ સમીકરણોમાં ચલોની સંખ્યા અલગ હોય, તો ગુમ થયેલ અજાણ્યાની જગ્યાએ શૂન્ય દાખલ કરવું જરૂરી છે.

મેટ્રિક્સ કૉલમ ચલોને સખત રીતે અનુરૂપ હોવા જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે ચલ x ના ગુણાંક ફક્ત એક કૉલમમાં લખી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે પ્રથમ, અજાણ્યા y નો ગુણાંક - ફક્ત બીજામાં.

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરતી વખતે, મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો ક્રમિક રીતે સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટેના વિકલ્પો

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટેનું સૂત્ર એકદમ સરળ છે: K -1 = 1 / |K|, જ્યાં K -1 એ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ છે, અને |K| મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક છે. |કે| શૂન્યની બરાબર ન હોવી જોઈએ, તો સિસ્ટમ પાસે ઉકેલ છે.

નિર્ણાયકને બે-બાય-બે મેટ્રિક્સ માટે સરળતાથી ગણવામાં આવે છે; તમારે ફક્ત વિકર્ણ તત્વોને એકબીજાથી ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. “ત્રણ બાય ત્રણ” વિકલ્પ માટે, એક સૂત્ર છે |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો, અથવા તમે યાદ રાખી શકો છો કે તમારે દરેક પંક્તિ અને દરેક કૉલમમાંથી એક ઘટક લેવાની જરૂર છે જેથી કરીને કાર્યમાં કૉલમ અને પંક્તિઓની સંખ્યાઓનું પુનરાવર્તન ન થાય.

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉદાહરણો ઉકેલવા

સોલ્યુશન શોધવાની મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ તમને મોટી સંખ્યામાં ચલ અને સમીકરણો સાથે સિસ્ટમો ઉકેલતી વખતે બોજારૂપ એન્ટ્રીઓ ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે.

ઉદાહરણમાં, a nm એ સમીકરણોના ગુણાંક છે, મેટ્રિક્સ એ વેક્ટર છે x n ચલ છે, અને b n એ મુક્ત પદો છે.

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોનું નિરાકરણ

ઉચ્ચ ગણિતમાં, ગૌસિયન પદ્ધતિનો ક્રેમર પદ્ધતિ સાથે અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, અને સિસ્ટમોના ઉકેલો શોધવાની પ્રક્રિયાને ગૌસ-ક્રેમર સોલ્યુશન પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ મોટી સંખ્યામાં રેખીય સમીકરણો ધરાવતી સિસ્ટમોના ચલોને શોધવા માટે થાય છે.

ગૌસ પદ્ધતિ અવેજી અને બીજગણિત ઉમેરા દ્વારા ઉકેલો જેવી જ છે, પરંતુ વધુ વ્યવસ્થિત છે. શાળા અભ્યાસક્રમમાં, ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલનો ઉપયોગ 3 અને 4 સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે થાય છે. પદ્ધતિનો હેતુ સિસ્ટમને ઊંધી ટ્રેપેઝોઇડના સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનો છે. બીજગણિત પરિવર્તન અને અવેજીના માધ્યમથી, એક ચલનું મૂલ્ય સિસ્ટમના સમીકરણોમાંથી એકમાં જોવા મળે છે. બીજું સમીકરણ 2 અજ્ઞાત સાથેની અભિવ્યક્તિ છે, જ્યારે 3 અને 4 અનુક્રમે 3 અને 4 ચલ સાથે છે.

સિસ્ટમને વર્ણવેલ સ્વરૂપમાં લાવ્યા પછી, વધુ ઉકેલને સિસ્ટમના સમીકરણોમાં જાણીતા ચલોના અનુક્રમિક અવેજીમાં ઘટાડવામાં આવે છે.

ધોરણ 7 માટે શાળાના પાઠ્યપુસ્તકોમાં, ગૌસ પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલનું ઉદાહરણ નીચે પ્રમાણે વર્ણવવામાં આવ્યું છે:

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, સ્ટેપ (3) પર બે સમીકરણો પ્રાપ્ત થયા: 3x 3 -2x 4 =11 અને 3x 3 +2x 4 =7. કોઈપણ સમીકરણો ઉકેલવાથી તમે એક ચલ x n શોધી શકશો.

પ્રમેય 5, જે ટેક્સ્ટમાં ઉલ્લેખિત છે, તે જણાવે છે કે જો સિસ્ટમના સમીકરણોમાંથી એકને સમકક્ષ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, તો પરિણામી સિસ્ટમ પણ મૂળ સમકક્ષ હશે.

ગૌસીયન પદ્ધતિ મધ્યમ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે સમજવી મુશ્કેલ છે, પરંતુ ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રના વર્ગોમાં અદ્યતન શિક્ષણ કાર્યક્રમોમાં નોંધાયેલા બાળકોની ચાતુર્ય વિકસાવવાની તે સૌથી રસપ્રદ રીતો પૈકીની એક છે.

રેકોર્ડીંગની સરળતા માટે, ગણતરીઓ સામાન્ય રીતે નીચે મુજબ કરવામાં આવે છે:

સમીકરણો અને મુક્ત શબ્દોના ગુણાંક મેટ્રિક્સના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે, જ્યાં મેટ્રિક્સની દરેક પંક્તિ સિસ્ટમના સમીકરણોમાંથી એકને અનુરૂપ હોય છે. સમીકરણની ડાબી બાજુને જમણી બાજુથી અલગ કરે છે. રોમન અંકો સિસ્ટમમાં સમીકરણોની સંખ્યા દર્શાવે છે.

પ્રથમ, જેની સાથે કામ કરવું છે તે મેટ્રિક્સ લખો, પછી એક પંક્તિ સાથે કરવામાં આવેલી બધી ક્રિયાઓ. પરિણામી મેટ્રિક્સ "તીર" ચિહ્ન પછી લખવામાં આવે છે અને પરિણામ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી જરૂરી બીજગણિત કામગીરી ચાલુ રાખવામાં આવે છે.

પરિણામ એક મેટ્રિક્સ હોવું જોઈએ જેમાં એક કર્ણ 1 ની બરાબર હોય, અને અન્ય તમામ ગુણાંક શૂન્ય સમાન હોય, એટલે કે, મેટ્રિક્સને એકમ સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે. આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ સંખ્યાઓ સાથે ગણતરી કરવાનું ભૂલવું જોઈએ નહીં.

આ રેકોર્ડિંગ પદ્ધતિ ઓછી બોજારૂપ છે અને અસંખ્ય અજાણ્યાઓને સૂચિબદ્ધ કરીને તમને વિચલિત ન થવા દે છે.

કોઈપણ ઉકેલ પદ્ધતિના મફત ઉપયોગ માટે કાળજી અને કેટલાક અનુભવની જરૂર પડશે. બધી પદ્ધતિઓ લાગુ પ્રકૃતિની નથી. ઉકેલો શોધવાની કેટલીક પદ્ધતિઓ માનવ પ્રવૃત્તિના ચોક્કસ ક્ષેત્રમાં વધુ પ્રાધાન્યક્ષમ છે, જ્યારે અન્ય શૈક્ષણિક હેતુઓ માટે અસ્તિત્વમાં છે.

OGBOU "સ્મોલેન્સ્કમાં વિશેષ શૈક્ષણિક જરૂરિયાતો ધરાવતા બાળકો માટેનું શિક્ષણ કેન્દ્ર"

અંતર શિક્ષણ માટે કેન્દ્ર

7મા ધોરણમાં બીજગણિત પાઠ

પાઠ વિષય: બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ.

1. 1. પાઠનો પ્રકાર: નવા જ્ઞાનની પ્રારંભિક રજૂઆતનો પાઠ.

પાઠનો હેતુ: અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવામાં જ્ઞાન અને કુશળતાના સંપાદનનું સ્તર નિયંત્રિત કરો; ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે કુશળતા અને ક્ષમતાઓ વિકસાવવી.

પાઠ હેતુઓ:

વિષય: ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બે ચલ વડે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાનું શીખો.

મેટાવિષય: જ્ઞાનાત્મક UUD: વિશ્લેષણ કરો (મુખ્ય વસ્તુને પ્રકાશિત કરો), ખ્યાલો વ્યાખ્યાયિત કરો, સામાન્યીકરણ કરો, તારણો દોરો. નિયમનકારી UUD: લક્ષ્ય નક્કી કરો, શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓમાં સમસ્યા. કોમ્યુનિકેટિવ UUD: તમારા અભિપ્રાય વ્યક્ત કરો, તેના કારણો આપીને. વ્યક્તિગત UUD: fશીખવા માટે સકારાત્મક પ્રેરણા બનાવવા માટે, પાઠ અને વિષય પ્રત્યે વિદ્યાર્થીનું હકારાત્મક ભાવનાત્મક વલણ બનાવવું.

કાર્યનું સ્વરૂપ: વ્યક્તિગત

પાઠનાં પગલાં:

1) સંસ્થાકીય તબક્કો.

આ વિષયની વિચારસરણી અને સમજણની અખંડિતતા તરફ વલણ બનાવીને વિષય પર વિદ્યાર્થીના કાર્યને ગોઠવો.

2. હોમવર્ક માટે સોંપેલ સામગ્રી પર વિદ્યાર્થીને પ્રશ્ન કરવો, જ્ઞાન અપડેટ કરવું.

હેતુ: હોમવર્ક દરમિયાન વિદ્યાર્થીના જ્ઞાનની ચકાસણી કરવી, ભૂલો ઓળખવી અને ભૂલો પર કામ કરવું. અગાઉના પાઠમાંથી સામગ્રીની સમીક્ષા કરો.

3. નવી સામગ્રીનો અભ્યાસ.

1). ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને હલ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો;

2). નવી પરિસ્થિતિઓમાં હાલના જ્ઞાનનો વિકાસ અને સુધારો;

3). નિયંત્રણ અને સ્વ-નિયંત્રણ કુશળતા કેળવો, સ્વતંત્રતા વિકસાવો.

http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

ધ્યેય: દ્રષ્ટિ સાચવો, વર્ગમાં કામ કરતી વખતે આંખનો થાક દૂર કરો.

5. અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીનું એકીકરણ

હેતુ: પાઠમાં મેળવેલા જ્ઞાન, કૌશલ્યો અને ક્ષમતાઓનું પરીક્ષણ કરવું

6. પાઠનો સારાંશ, હોમવર્ક વિશેની માહિતી, પ્રતિબિંબ.

પાઠની પ્રગતિ (ઇલેક્ટ્રોનિક Google દસ્તાવેજમાં કામ કરવું):

1. આજે હું વોલ્ટરના ફિલોસોફિકલ કોયડાથી પાઠ શરૂ કરવા માંગતો હતો.

સૌથી ઝડપી, પણ સૌથી ધીમું, સૌથી મોટું, પણ સૌથી નાનું, સૌથી લાંબુ અને ટૂંકું, સૌથી મોંઘું, પણ સસ્તું પણ આપણા દ્વારા મૂલ્યવાન શું છે?

સમય

ચાલો વિષય પરના મૂળભૂત ખ્યાલોને યાદ કરીએ:

આપણી સમક્ષ બે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે.

ચાલો યાદ કરીએ કે આપણે છેલ્લા પાઠમાં સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે હલ કરી.

અવેજી પદ્ધતિ

ફરી એકવાર, સોલ્વ કરેલી સિસ્ટમ પર ધ્યાન આપો અને મને કહો કે શા માટે આપણે અવેજી પદ્ધતિનો આશરો લીધા વિના સિસ્ટમના દરેક સમીકરણને હલ કરી શકતા નથી?

કારણ કે આ બે ચલોવાળી સિસ્ટમના સમીકરણો છે. આપણે માત્ર એક ચલ વડે સમીકરણો ઉકેલી શકીએ છીએ.

માત્ર એક ચલ સાથે સમીકરણ મેળવીને આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરી શક્યા.

3. અમે નીચેની સિસ્ટમને હલ કરવા આગળ વધીએ છીએ:

ચાલો એક સમીકરણ પસંદ કરીએ જેમાં એક ચલને બીજા દ્વારા વ્યક્ત કરવાનું અનુકૂળ હોય.

એવું કોઈ સમીકરણ નથી.

તે. આ સ્થિતિમાં, અગાઉ અભ્યાસ કરેલ પદ્ધતિ આપણા માટે યોગ્ય નથી. આ પરિસ્થિતિમાંથી બહાર નીકળવાનો રસ્તો શું છે?

નવી પદ્ધતિ શોધો.

ચાલો પાઠનો હેતુ ઘડવાનો પ્રયાસ કરીએ.

નવી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોને હલ કરવાનું શીખો.

નવી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોને કેવી રીતે હલ કરવી તે શીખવા માટે આપણે શું કરવાની જરૂર છે?

સમીકરણોની સિસ્ટમ, પૂર્ણ વ્યવહારુ કાર્યોને ઉકેલવા માટેના નિયમો (એલ્ગોરિધમ) જાણો

ચાલો એક નવી પદ્ધતિ વિકસાવવાનું શરૂ કરીએ.

પ્રથમ સિસ્ટમ ઉકેલ્યા પછી અમે જે નિષ્કર્ષ કાઢ્યો તેના પર ધ્યાન આપો. અમે એક ચલ સાથે રેખીય સમીકરણ મેળવ્યા પછી જ સિસ્ટમ ઉકેલવાનું શક્ય હતું.

સમીકરણોની સિસ્ટમ જુઓ અને આપેલ બે સમીકરણોમાંથી એક ચલ સાથે એક સમીકરણ કેવી રીતે મેળવવું તે વિશે વિચારો.

સમીકરણો ઉમેરો.

સમીકરણો ઉમેરવાનો અર્થ શું છે?

ડાબી બાજુઓનો સરવાળો, સમીકરણોની જમણી બાજુઓનો સરવાળો અલગથી કંપોઝ કરો અને પરિણામી સરવાળો કરો.

ચાલો પ્રયત્ન કરીએ. અમે મારી સાથે મળીને કામ કરીએ છીએ.

13x+14x+17y-17y=43+11

આપણે એક ચલ સાથે રેખીય સમીકરણ મેળવ્યું છે.

શું તમે સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરી છે?

સિસ્ટમનો ઉકેલ એ સંખ્યાઓની જોડી છે.

y કેવી રીતે શોધવી?

સિસ્ટમ સમીકરણમાં x ની મળેલી કિંમતને બદલો.

શું આપણે x ની કિંમતને કયા સમીકરણમાં બદલીએ તેનાથી કોઈ ફરક પડે છે?

આનો અર્થ એ છે કે x નું મળેલું મૂલ્ય આમાં બદલી શકાય છે...

સિસ્ટમનું કોઈપણ સમીકરણ.

અમે એક નવી પદ્ધતિથી પરિચિત થયા - બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિ.

સિસ્ટમ હલ કરતી વખતે, અમે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને ઉકેલવા માટેના અલ્ગોરિધમ વિશે ચર્ચા કરી.

અમે અલ્ગોરિધમની સમીક્ષા કરી છે. હવે ચાલો તેને સમસ્યાના ઉકેલ માટે લાગુ કરીએ.

સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવાની ક્ષમતા વ્યવહારમાં ઉપયોગી થઈ શકે છે.

ચાલો સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ:

ખેતરમાં ચિકન અને ઘેટાં છે. જો એકસાથે 19 માથા અને 46 પગ હોય તો બંનેમાંથી કેટલા છે?

કુલ મળીને 19 ચિકન અને ઘેટાં છે તે જાણીને, ચાલો પ્રથમ સમીકરણ બનાવીએ: x + y = 19

4x - ઘેટાંના પગની સંખ્યા

2у - મરઘીઓમાં પગની સંખ્યા

માત્ર 46 પગ છે તે જાણીને, ચાલો બીજું સમીકરણ બનાવીએ: 4x + 2y = 46

ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ:

ચાલો ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલીએ.

સમસ્યા! x અને y ની આગળના ગુણાંક સમાન નથી અને વિરુદ્ધ નથી! શુ કરવુ?

ચાલો બીજું ઉદાહરણ જોઈએ!

ચાલો આપણા અલ્ગોરિધમમાં એક વધુ પગલું ઉમેરીએ અને તેને પ્રથમ સ્થાને મૂકીએ: જો ચલોની સામેના ગુણાંક સમાન ન હોય અને વિરુદ્ધ ન હોય, તો આપણે કેટલાક ચલ માટે મોડ્યુલોને સમાન બનાવવાની જરૂર છે! અને પછી આપણે અલ્ગોરિધમ મુજબ કાર્ય કરીશું.

4. આંખો માટે ઇલેક્ટ્રોનિક શારીરિક તાલીમ: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. અમે નવી સામગ્રીને એકીકૃત કરીને, બીજગણિત ઉમેરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાને પૂર્ણ કરીએ છીએ અને ખેતરમાં કેટલા મરઘા અને ઘેટાં હતા તે શોધી કાઢીએ છીએ.

વધારાના કાર્યો:

6.

પ્રતિબિંબ.

હું વર્ગમાં મારા કામ માટે ગ્રેડ આપું છું -...

6. ઈન્ટરનેટ સંસાધનોનો ઉપયોગ:

શિક્ષણ માટે Google સેવાઓ

ગણિતના શિક્ષક સોકોલોવા એન.એન.