ચાર ચલો સાથે સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે હલ કરવી. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉદાહરણો: ઉકેલ પદ્ધતિ

કેસ જ્યારે સમીકરણોની સંખ્યા mવધુ ચલો n, ક્રમશઃ સમીકરણોમાંથી અજાણ્યાઓને દૂર કરીને કેસ તરફ દોરી જાય છે m= nઅથવા m n.

પહેલા કેસની ચર્ચા અગાઉ થઈ હતી. m nબીજા કિસ્સામાં, જ્યારે સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા કરતા ઓછી હોય છે m અને સમીકરણો સ્વતંત્ર છે, અલગ છે મુખ્ય ચલો n- m)અને ( બિન-મુખ્ય ચલો . મુખ્ય ચલો તે છે જે સ્થિતિને સંતોષે છે: નિર્ણાયક, આ ચલોના ગુણાંકથી બનેલો, શૂન્યની બરાબર નથી. મુખ્ય ચલોના વિવિધ જૂથો હોઈ શકે છે. આવા જૂથોની કુલ સંખ્યાએન nના સંયોજનોની સંખ્યા જેટલી m:

દ્વારા તત્વો જો સિસ્ટમમાં મૂળભૂત ચલોનું ઓછામાં ઓછું એક જૂથ હોય, તો આ સિસ્ટમ છે અનિશ્ચિત

, એટલે કે, તેના ઘણા ઉકેલો છે. જો સિસ્ટમ પાસે મૂળભૂત ચલોનું એક જૂથ નથી, તો સિસ્ટમ છે બિન-સંયુક્ત

, એટલે કે, તેની પાસે એક પણ ઉકેલ નથી.

એવા કિસ્સામાં જ્યારે સિસ્ટમમાં ઘણા ઉકેલો હોય છે, ત્યારે તેમાંથી મૂળભૂત ઉકેલો અલગ પડે છે. મૂળભૂત ઉકેલ એક ઉકેલ છે જેમાં નાના ચલો શૂન્યની બરાબર છે. સિસ્ટમ કરતાં વધુ નથી

મૂળભૂત ઉકેલો. સિસ્ટમ ઉકેલો વિભાજિત કરવામાં આવે છે સ્વીકાર્ય અને .

અસ્વીકાર્ય સ્વીકાર્ય

આ એવા ઉકેલો છે જેમાં તમામ ચલોની કિંમતો બિન-નકારાત્મક હોય છે. જો ચલનું ઓછામાં ઓછું એક મૂલ્ય નકારાત્મક હોય, તો ઉકેલ કહેવામાં આવે છે .

અસ્વીકાર્ય

ઉદાહરણ 4.5

સમીકરણોની સિસ્ટમના મૂળભૂત ઉકેલો શોધો

ચાલો મૂળભૂત ઉકેલોની સંખ્યા શોધીએ તેથી, સિસ્ટમના ઘણા ઉકેલોમાં ત્રણ કરતાં વધુ મૂળભૂત ઉકેલો નથી. ચાલો ત્રણમાંથી બે મુખ્ય ચલોને પ્રકાશિત કરીએ. ચાલો ધારીએ કે તે છેએક્સ તેથી, સિસ્ટમના ઘણા ઉકેલોમાં ત્રણ કરતાં વધુ મૂળભૂત ઉકેલો નથી. ચાલો ત્રણમાંથી બે મુખ્ય ચલોને પ્રકાશિત કરીએ. ચાલો ધારીએ કે તે છે 1 અને

2. ચાલો તેમના ગુણાંકમાંથી નિર્ણાયકને તપાસીએ તેથી, સિસ્ટમના ઘણા ઉકેલોમાં ત્રણ કરતાં વધુ મૂળભૂત ઉકેલો નથી. ચાલો ત્રણમાંથી બે મુખ્ય ચલોને પ્રકાશિત કરીએ. ચાલો ધારીએ કે તે છે 1 ,તેથી, સિસ્ટમના ઘણા ઉકેલોમાં ત્રણ કરતાં વધુ મૂળભૂત ઉકેલો નથી. ચાલો ત્રણમાંથી બે મુખ્ય ચલોને પ્રકાશિત કરીએ. ચાલો ધારીએ કે તે છેકારણ કે આ નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર નથી, તો પછી ચલ

2 મુખ્ય છે. હવે આપણે એમ માની લઈએએક્સ

3 =0. પછી અમે ફોર્મમાં સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ

,
.

ચાલો તેને ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ:

તેથી, સિસ્ટમના ઘણા ઉકેલોમાં ત્રણ કરતાં વધુ મૂળભૂત ઉકેલો નથી. ચાલો ત્રણમાંથી બે મુખ્ય ચલોને પ્રકાશિત કરીએ. ચાલો ધારીએ કે તે છે 1 =1,તેથી, સિસ્ટમના ઘણા ઉકેલોમાં ત્રણ કરતાં વધુ મૂળભૂત ઉકેલો નથી. ચાલો ત્રણમાંથી બે મુખ્ય ચલોને પ્રકાશિત કરીએ. ચાલો ધારીએ કે તે છે 2 =0,તેથી, સિસ્ટમના ઘણા ઉકેલોમાં ત્રણ કરતાં વધુ મૂળભૂત ઉકેલો નથી. ચાલો ત્રણમાંથી બે મુખ્ય ચલોને પ્રકાશિત કરીએ. ચાલો ધારીએ કે તે છે 3 =0 .

તેથી, પ્રથમ મૂળભૂત ઉકેલ ફોર્મ ધરાવે છે તેથી, સિસ્ટમના ઘણા ઉકેલોમાં ત્રણ કરતાં વધુ મૂળભૂત ઉકેલો નથી. ચાલો ત્રણમાંથી બે મુખ્ય ચલોને પ્રકાશિત કરીએ. ચાલો ધારીએ કે તે છેએક્સ તેથી, સિસ્ટમના ઘણા ઉકેલોમાં ત્રણ કરતાં વધુ મૂળભૂત ઉકેલો નથી. ચાલો ત્રણમાંથી બે મુખ્ય ચલોને પ્રકાશિત કરીએ. ચાલો ધારીએ કે તે છે 3 .

ચાલો હવે તપાસીએ કે વેરીએબલ મુખ્ય છે કે કેમ તેથી, સિસ્ટમના ઘણા ઉકેલોમાં ત્રણ કરતાં વધુ મૂળભૂત ઉકેલો નથી. ચાલો ત્રણમાંથી બે મુખ્ય ચલોને પ્રકાશિત કરીએ. ચાલો ધારીએ કે તે છેએક્સ તેથી, સિસ્ટમના ઘણા ઉકેલોમાં ત્રણ કરતાં વધુ મૂળભૂત ઉકેલો નથી. ચાલો ત્રણમાંથી બે મુખ્ય ચલોને પ્રકાશિત કરીએ. ચાલો ધારીએ કે તે છેઅમે તે મેળવીએ છીએ તેથી, સિસ્ટમના ઘણા ઉકેલોમાં ત્રણ કરતાં વધુ મૂળભૂત ઉકેલો નથી. ચાલો ત્રણમાંથી બે મુખ્ય ચલોને પ્રકાશિત કરીએ. ચાલો ધારીએ કે તે છે 3 - મુખ્ય ચલોનું બીજું જૂથ. ચાલો મૂકીએ

,
.

2 =0 અને સિસ્ટમ ઉકેલો

બીજા મૂળભૂત ઉકેલમાં ફોર્મ છે તેથી, સિસ્ટમના ઘણા ઉકેલોમાં ત્રણ કરતાં વધુ મૂળભૂત ઉકેલો નથી. ચાલો ત્રણમાંથી બે મુખ્ય ચલોને પ્રકાશિત કરીએ. ચાલો ધારીએ કે તે છેચાલો હવે ચકાસો કે શું ચલ મુખ્ય છે તેથી, સિસ્ટમના ઘણા ઉકેલોમાં ત્રણ કરતાં વધુ મૂળભૂત ઉકેલો નથી. ચાલો ત્રણમાંથી બે મુખ્ય ચલોને પ્રકાશિત કરીએ. ચાલો ધારીએ કે તે છે 3 .

2 અને તેથી, સિસ્ટમના ઘણા ઉકેલોમાં ત્રણ કરતાં વધુ મૂળભૂત ઉકેલો નથી. ચાલો ત્રણમાંથી બે મુખ્ય ચલોને પ્રકાશિત કરીએ. ચાલો ધારીએ કે તે છેચાલો હવે ચકાસો કે શું ચલ મુખ્ય છે તેથી, સિસ્ટમના ઘણા ઉકેલોમાં ત્રણ કરતાં વધુ મૂળભૂત ઉકેલો નથી. ચાલો ત્રણમાંથી બે મુખ્ય ચલોને પ્રકાશિત કરીએ. ચાલો ધારીએ કે તે છેએટલે કે, ચલ

n ચલ સાથે m રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે સુસંગતતાની સ્થિતિ મેટ્રિક્સ રેન્કના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને આપવામાં આવે છે.

મેટ્રિક્સ રેન્ક – આ શૂન્ય સિવાયના સગીર ના ઉચ્ચતમ ક્રમ સમાન સંખ્યા છે.

મેટ્રિક્સ એ માટે

સગીર k -મો ઓર્ડર કોઈપણ તત્વોથી બનેલા નિર્ણાયક તરીકે સેવા આપે છે k રેખાઓ અને k કૉલમ

ઉદાહરણ તરીકે,

ઉદાહરણ 2

મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધો

ચાલો મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ

આ કરવા માટે, પ્રથમ લીટીને (-4) વડે ગુણાકાર કરો અને તેને બીજી લીટી સાથે ઉમેરો, પછી પ્રથમ લીટીને (-7) વડે ગુણાકાર કરો અને તેને ત્રીજી લીટી સાથે ઉમેરો, પરિણામે આપણને નિર્ણાયક મળે છે.

કારણ કે પરિણામી નિર્ણાયકની પંક્તિઓ પ્રમાણસર છે, પછી
.

આના પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે 3જી ક્રમ માઇનોર 0 ની બરાબર છે, અને 2જી ક્રમ નાની 0 ની બરાબર નથી.

તેથી, મેટ્રિક્સનો ક્રમ r=2 છે.

વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ સિસ્ટમ ફોર્મ ધરાવે છે

ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય

રેખીય સિસ્ટમ સુસંગત રહેવા માટે, વિસ્તૃત મેટ્રિક્સનો ક્રમ મુખ્ય મેટ્રિક્સના ક્રમ સમાન હોવો જરૂરી અને પૂરતો છે.
.

જો
, પછી સિસ્ટમ અસંગત છે.

રેખીય સમીકરણોની એક સાથે સિસ્ટમ માટે, ત્રણ કિસ્સાઓ શક્ય છે:

1) જો
, પછી LU સિસ્ટમમાં (m-r) રેખીય રીતે આધારિત સમીકરણો છે, તેઓને સિસ્ટમમાંથી બાકાત કરી શકાય છે;

2) જો
, તો પછી LU સિસ્ટમ પાસે અનન્ય ઉકેલ છે;

3) જો
, તો પછી LU સિસ્ટમમાં ઘણા ઉકેલો છે

A 21 x 1 + a 22 x 2 + ... a 2p x p= b 2 ,

........................................

એ s 1 x 1 + a s 2 x 2 + ... a s p x p= b s.

અમે તેના પર પ્રાથમિક પરિવર્તન કરીશું. આ કરવા માટે, અમે સિસ્ટમની અજાણ્યાઓ માટે ગુણાંકનું મેટ્રિક્સ લખીએ છીએ (1) મફત શબ્દોના કૉલમના ઉમેરા સાથે, બીજા શબ્દોમાં વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ Ā સિસ્ટમ માટે (1):

ચાલો ધારીએ કે આવા પરિવર્તનની મદદથી મેટ્રિક્સને ઘટાડવાનું શક્ય હતું Ā ફોર્મ માટે:

b 22 x 2 +...b 2 r x r +...b 2 n x n =c 2,

......................................

b rr x r + ... b rn x n =c r ,

જે ચોક્કસ સંખ્યામાં પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ (1)માંથી મેળવવામાં આવે છે અને તેથી, સિસ્ટમ (1) ની સમકક્ષ છે. જો સિસ્ટમમાં (4) r=n, પછી છેલ્લા સમીકરણમાંથી, જેનું સ્વરૂપ છે b nn x n =c n(જ્યાં b nn≠ 0), આપણને એકમાત્ર મૂલ્ય મળે છે x n, ઉપાંત્ય સમીકરણમાંથી - મૂલ્ય xn-1(ત્યારથી x nપહેલેથી જ જાણીતું છે), વગેરે, છેવટે, પ્રથમ સમીકરણથી - મૂલ્ય x 1. તેથી, કિસ્સામાં) r=nસિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે. જો આર , પછી સિસ્ટમ (4) સરળતાથી ફોર્મની સિસ્ટમમાં ઘટાડી શકાય છે:

X 1 =a 1, આર+1 x આર+1 + ... એ 1 nએક્સ n+b 1,

આર

(5),

x 2 =a 2, આર+1 x આર+1 + ... a 2 nએક્સ n+b 2 ,
............................................

એક્સ આર=a આર, આર+1 x આર+1 + ... a આર એનએક્સ n+b આર.

જે અનિવાર્યપણે છે સામાન્ય નિર્ણયસિસ્ટમો (1).

અજાણ્યા x r+1, ..., x n ને મુક્ત કહેવામાં આવે છે. સિસ્ટમ (5) થી x1,..., x r મૂલ્યો શોધવાનું શક્ય બનશે.

મેટ્રિક્સ ઘટાડો Ā બનાવવું (3) ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે સમીકરણોની મૂળ સિસ્ટમ (1) સુસંગત હોય. જો સિસ્ટમ (1) અસંગત છે, તો પછી આવા ઘટાડો અશક્ય છે. આ સંજોગો એ હકીકતમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે કે મેટ્રિક્સ પરિવર્તનની પ્રક્રિયામાં Ā તેમાં એક લીટી દેખાય છે જેમાં છેલ્લા એક સિવાય તમામ તત્વો શૂન્ય સમાન હોય છે. આ રેખા ફોર્મના સમીકરણને અનુરૂપ છે:

0*x 1 +0*x 2 +...0*x n=b,

જે અજ્ઞાતના કોઈપણ મૂલ્યોથી સંતુષ્ટ નથી, ત્યારથી b≠0. આ કિસ્સામાં સિસ્ટમ અસંગત છે.

સિસ્ટમ (1) ને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની પ્રક્રિયામાં, ફોર્મ 0=0 ના સમીકરણો મેળવી શકાય છે. તેઓને કાઢી નાખવામાં આવી શકે છે, કારણ કે આ પાછલા એકની સમકક્ષ સમીકરણોની સિસ્ટમ તરફ દોરી જાય છે.

ગૌસિયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને હલ કરતી વખતે, સમીકરણોની સિસ્ટમને જ નહીં, પરંતુ આ સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને તેની પંક્તિઓ પરના તમામ રૂપાંતરણો કરીને, સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનું વધુ અનુકૂળ છે. રૂપાંતરણ દરમિયાન મેળવેલ અનુક્રમિક મેટ્રિસિસ સામાન્ય રીતે સમકક્ષ ચિન્હ દ્વારા જોડાયેલા હોય છે.

ચાલો 4 અજ્ઞાત સાથેના સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમ હલ કરીએ:

2x 1 +5x 2 +4x 3 +x 4 =20,

x 1 +3x 2 +2x 3 +x 4 =11,

2x 1 +10x 2 +9x 3 +7x 4 =40,

3x 1 +8x 2 +9x 3 +2x 4 =37.

ચાલો મુક્ત શબ્દોના કૉલમના ઉમેરા સાથે અજાણ્યાઓ માટે ગુણાંકનું વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ લખીએ.

ચાલો વિસ્તૃત મેટ્રિક્સની પંક્તિઓનું વિશ્લેષણ કરીએ:

2જી લાઇનના ઘટકોમાં આપણે 1 લીના ઘટકો ઉમેરીએ છીએ, (-2) દ્વારા વિભાજિત;

3જી લીટીમાંથી, 1લી લીટી બાદ કરો;

4 થી લાઇનમાં આપણે 1 લી ઉમેરીએ છીએ, (-3/2) વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ.

કોમ્પ્યુટેશનલ ટૂલ તરીકે, અમે પ્રોગ્રામ ટૂલ્સનો ઉપયોગ કરીશું એક્સેલ-97.

1. તમારું કમ્પ્યુટર ચાલુ કરો.

2. ઓપરેટિંગ સિસ્ટમ બુટ થાય ત્યાં સુધી રાહ જુઓ વિન્ડોઝ, જે પછી માઈક્રોસોફ્ટ એક્સેલ વિન્ડો ખોલો.

3. કોષો ભરોવિસ્તૃત મેટ્રિક્સના મૂલ્યો સાથે કોષ્ટકો (ફિગ. 11.1)

ચોખા. 11.1 ફિગ. 11.2

4. પસંદ કરેલ મૌખિક અલ્ગોરિધમનો કરવા માટે, નીચેની ક્રિયાઓ કરો.

· સેલ સક્રિય કરો A5 અને કીબોર્ડથી તેમાં ફોર્મ્યુલા દાખલ કરો =A2+A1/(-2), જે પછી સ્વતઃપૂર્ણકોષ B5¸E5 માં સંખ્યાત્મક પરિણામો દાખલ કરો;

કોષ A6 માં આપણે 3જીમાંથી 1લી લીટી બાદ કરવાનું પરિણામ મુકીશું અને ફરીથી તેનો ઉપયોગ કરીને સ્વતઃપૂર્ણ, કોષો B6¸E6 ભરો;

કોષ A7 માં આપણે ફોર્મ્યુલા લખીએ છીએ =A4+A1*(-3/2) અને સ્વતઃપૂર્ણચાલો કોષ B7¸E7 માં સંખ્યાત્મક પરિણામો દાખલ કરીએ.

5. ચાલો તેને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં લાવવા માટે મેટ્રિક્સના પ્રાથમિક રૂપાંતરણથી પરિણમેલી પંક્તિઓનું ફરીથી વિશ્લેષણ કરીએ.

છઠ્ઠી લીટીમાં 5મી ઉમેરો, સંખ્યા (-10) વડે ગુણાકાર કરો;

· 7મી લીટીમાંથી 5મી બાદબાકી કરો.

અમે કોષો A8, A9 માં રેકોર્ડ કરેલ અલ્ગોરિધમનો અમલ કરીએ છીએ, તે પછી ચાલો છુપાવીએ 6 અને 7 – રેખાઓ (જુઓ આકૃતિ. 11.3).

ચોખા. 11.3 ફિગ. 11.4

6. અને મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં લાવવા માટે તમારે છેલ્લી વસ્તુ કરવાની જરૂર છે તે છે 8મીને 9મી પંક્તિમાં, (-3/5) વડે ગુણાકાર કરીને, જે પછી છુપાવો 9મી રેખા (ફિગ. 11.4).

જેમ તમે જોઈ શકો છો, પરિણામી મેટ્રિક્સના ઘટકો 1, 5, 8 અને 10 પંક્તિઓમાં છે અને પરિણામી મેટ્રિક્સનો ક્રમ છે. r = 4, તેથી, સમીકરણોની આ સિસ્ટમમાં એક અનન્ય ઉકેલ છે. ચાલો પરિણામી સિસ્ટમ લખીએ:

2x 1 +5x 2 +4x 3 + x 4 =20,

0.5x 2 + 0.5x 4 =1,

5x 3 +x 4 =10,

છેલ્લા સમીકરણમાંથી આપણે સરળતાથી x 4 =0 શોધીએ છીએ; 3જી સમીકરણમાંથી આપણે x 3 =2 શોધીએ છીએ; અનુક્રમે 2જી થી – x 2 =2 અને 1લી થી – x 1 =1.

સ્વતંત્ર કાર્ય માટે સોંપણીઓ.

સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો:

લેબોરેટરી વર્ક નંબર 15. સમીકરણ f(x)=0 ના મૂળ શોધવું

રેખીય અને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ પ્રાચીન ગ્રીક લોકો માટે જાણીતી હતી. પુનરુજ્જીવન દરમિયાન ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રીઓ એસ. ફેરો, એન. ટાર્ટાગ્લિયા, જી. કાર્ટાનો, એલ. ફેરારીના પ્રયત્નો દ્વારા ત્રીજા અને ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણોનો ઉકેલ મેળવવામાં આવ્યો હતો. પછી તે પાંચમા અને ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણોના મૂળ શોધવા માટેના સૂત્રો શોધવાનો સમય હતો. સતત પરંતુ નિરર્થક પ્રયાસો લગભગ 300 વર્ષ સુધી ચાલુ રહ્યા અને 21મી સદીના 20 ના દાયકામાં નોર્વેના ગણિતશાસ્ત્રી એન. એબેલના કાર્યને આભારી તેનો અંત આવ્યો. તેમણે સાબિત કર્યું કે પાંચમી અને ઉચ્ચ શક્તિઓનું સામાન્ય સમીકરણ રેડિકલમાં વણઉકલ્યા છે. nમી ડિગ્રીના સામાન્ય સમીકરણનો ઉકેલ

a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n =0, a 0 ¹0 (1)

જ્યારે n³5 સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર, ઘાત અને મૂળ નિષ્કર્ષણની ક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને ગુણાંક દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાતો નથી.

બિન-બીજગણિત સમીકરણો માટે જેમ કે

x–cos(x)=0 (2)

કાર્ય વધુ મુશ્કેલ બને છે. આ કિસ્સામાં, મૂળ માટે સ્પષ્ટ અભિવ્યક્તિઓ શોધવાનું ભાગ્યે જ શક્ય છે.

એવી પરિસ્થિતિઓમાં જ્યારે સૂત્રો "કામ કરતા નથી", જ્યારે તમે તેમના પર ફક્ત સરળ કેસોમાં વિશ્વાસ કરી શકો છો, ત્યારે સાર્વત્રિક કોમ્પ્યુટેશનલ અલ્ગોરિધમ્સ વિશેષ મહત્વ મેળવે છે. ત્યાં ઘણા જાણીતા અલ્ગોરિધમ્સ છે જે વિચારણા હેઠળની સમસ્યાને હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

આપણા જીવનમાં સમીકરણોનો ઉપયોગ વ્યાપક છે. તેઓ ઘણી ગણતરીઓ, માળખાના નિર્માણ અને રમતગમતમાં પણ ઉપયોગમાં લેવાય છે. માણસ પ્રાચીન સમયમાં સમીકરણોનો ઉપયોગ કરતો હતો, અને ત્યારથી તેનો ઉપયોગ વધ્યો છે. ચાર અજ્ઞાત સાથેના સમીકરણોમાં ઘણા સંભવિત ઉકેલો હોઈ શકે છે. ગણિતમાં, વ્યક્તિ ઘણીવાર આ પ્રકારના સમીકરણોનો સામનો કરે છે. આવા સમીકરણોને યોગ્ય રીતે ઉકેલવા માટે, તેના ઉકેલને સરળ અને ટૂંકો કરવા માટે સમીકરણોની તમામ સુવિધાઓનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે.

ચાલો નીચેના ઉદાહરણનો ઉકેલ જોઈએ:

ભાગો દ્વારા પ્રથમ અને બીજા સમીકરણો ઉમેરીને, તમે ખૂબ જ સરળ સમીકરણ મેળવી શકો છો:

\ અથવા \

ચાલો સમીકરણો 2 અને 3 સાથે સમાન ક્રિયાઓ કરીએ:

\ અથવા \

અમે પરિણામી સમીકરણો ઉકેલીએ છીએ \ અને \

અમને \ અને \ મળે છે

અમે પરિણામી સંખ્યાઓને સમીકરણો 1 અને 3 માં બદલીએ છીએ:

\ અથવા \

\ અથવા \

આ સંખ્યાઓને બીજા અને ચોથા સમીકરણો સાથે બદલવાથી બરાબર સમાન સમીકરણો મળશે.

પરંતુ આટલું જ નથી, કારણ કે 2 અજ્ઞાત સાથે ઉકેલવા માટે 2 સમીકરણો બાકી છે. તમે આ પ્રકારના સમીકરણનો ઉકેલ અહીંના લેખોમાં જોઈ શકો છો.

હું ઓનલાઈન ચાર અજાણ્યાઓ સાથેનું સમીકરણ ક્યાં ઉકેલી શકું?

તમે https://site પર ઓનલાઈન અજાણ્યાઓ સાથે સમીકરણો ઉકેલી શકો છો. મફત ઓનલાઈન સોલ્વર તમને કોઈપણ જટિલતાના ઓનલાઈન સમીકરણોને સેકન્ડોની બાબતમાં ઉકેલવા દેશે. તમારે ફક્ત તમારા ડેટાને સોલ્વરમાં દાખલ કરવાની જરૂર છે. તમે વિડિઓ સૂચનાઓ પણ જોઈ શકો છો અને અમારી વેબસાઇટ પર સમીકરણ કેવી રીતે હલ કરવું તે શીખી શકો છો. અને જો તમારી પાસે હજુ પણ પ્રશ્નો હોય, તો તમે તેમને અમારા VKontakte જૂથ http://vk.com/pocketteacher માં પૂછી શકો છો. અમારા જૂથમાં જોડાઓ, અમે તમને મદદ કરવામાં હંમેશા ખુશ છીએ.