અપૂર્ણાંકમાંથી આખો ભાગ કેવી રીતે દૂર કરવો. અભ્યાસ કરે છે અને શીખવે છે તે દરેક માટે ગણિતની શાળા

અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાંથી સમગ્ર ભાગને કેવી રીતે અલગ કરવો? અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાંથી સમગ્ર ભાગને અલગ કરવા માટે, તમારે: અંશને બાકીના ભાગ સાથે છેદ દ્વારા વિભાજિત કરવું આવશ્યક છે; એક અપૂર્ણ ભાગ સંપૂર્ણ ભાગ હશે; શેષ (જો કોઈ હોય તો) અંશ દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને વિભાજક એ અપૂર્ણાંકનો છેદ છે. સંપૂર્ણ નંબરો 1057, 1058, 1059, 1060. 1062, 1063. 1064. 7.

પરિમાણો: 960 x 720 પિક્સેલ્સ, ફોર્મેટ: jpg.

પાઠમાં ચિત્રો પ્રદર્શિત કરવા માટે, તમે ઝિપ આર્કાઇવમાંના તમામ ચિત્રો સાથે સંપૂર્ણ રીતે પ્રસ્તુતિ "મિશ્ર નંબર્સ ગ્રેડ 5.ppt" મફતમાં ડાઉનલોડ કરી શકો છો. આર્કાઇવનું કદ 304 KB છે.

પ્રસ્તુતિ ડાઉનલોડ કરો

મિશ્ર સંખ્યાઓ

"ગણિત પાઠ નોંધો" - ઉદાહરણ અનુસરો. a) 4/7+2/7= (4+2)/7= 6/7 b, c, d (બોર્ડ પર) d) 7/9-2/9= (7-2)/9= 5 / 9 f, g, h (બોર્ડ પર). બગીચામાંથી 12 કિલો કાકડીઓ એકત્ર કરવામાં આવી હતી. તમામ કાકડીઓમાંથી 2/3 અથાણું હતું. 6/7-3/7=(6-3)/7=3/7 2/11+5/11=(2+5)/22=7/22 9/10-8/10=(9-8 )/10=2/10. અપૂર્ણાંક 2/8+3/8 બતાવો. બાદબાકીનો નિયમ ઘડવો. નવી સામગ્રી શીખવી:

"દશાંશ અપૂર્ણાંકની તુલના" - પાઠનો હેતુ. સંખ્યાઓની તુલના કરો: માનસિક ગણતરી. 9.85 અને 6.97; 75.7 અને 75.700; 0.427 અને 0.809; 5.3 અને 5.03; 81.21 અને 81.201; 76.005 અને 76.05; 3.25 અને 3.502; અપૂર્ણાંક વાંચો: 41.1 ; 77.81; 21.005; 0.0203. 41.1; 77.81; 21.005; 0.0203. દશાંશ સ્થાનોની સંખ્યાને સમાન કરો. પાઠ યોજના. દશાંશ અપૂર્ણાંકના સ્થાનો. 5મા ધોરણમાં મજબૂતીકરણનો પાઠ.

"રાઉન્ડિંગ નંબરો માટેના નિયમો" - 1.8. 48. શાબાશ! 3. 3. ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને રાઉન્ડિંગ નિયમ લાગુ કરવાનું શીખો. સરખામણી કરવાનો પ્રયાસ કરો. પૂર્ણ સંખ્યાઓને નજીકના દસ સુધી ગોળ કરો. 1. રાઉન્ડિંગ નંબરો માટેનો નિયમ યાદ રાખો. શું આવા નંબર સાથે કામ કરવું અનુકૂળ છે? એક લાખમાં. 3. પરિણામ લખો. 5312. >. 2. આપેલ અંકમાં દશાંશ અપૂર્ણાંકને ગોળાકાર કરવા માટેનો નિયમ મેળવો. "મિશ્રિત સંખ્યાઓ ઉમેરવી" - 25. ઉદાહરણ 4. તફાવતનું મૂલ્ય શોધો 3 4\9-1 5\6. 3 4\9=3 818; 1 5\6=1 15\18. 3 4\9=3 8\18=3+8\18=2+1+8\18=2+8\18+18\18=2+ +26\18=2 26\18. 6ઠ્ઠા ધોરણમાં પાઠની નોંધઅયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાંથી સમગ્ર ભાગને કેવી રીતે અલગ કરવો તે પ્રશ્ન માટે? લેખક દ્વારા આપવામાં આવેલ છે સંખ્યાને કન્વર્ટ કરવા માટે, તમારે શેષ સાથે છેદ દ્વારા અંશને વિભાજીત કરવાની જરૂર છે, એટલે કે તેમાં કેટલી "પૂર્ણાંક" વખત છે તે શોધો. અને આ અધૂરો ભાગ સંપૂર્ણ ભાગ હશે. પછી શેષ (જો ત્યાં એક હોય તો) અંશ દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને વિભાજક એ અપૂર્ણાંક ભાગનો છેદ છે (તેને સ્પષ્ટ કરવા માટે, તમારે પહેલા પ્રાપ્ત કરેલા પૂર્ણાંક દ્વારા છેદને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, અને પછી તેમાંથી બાદબાકી કરો. NUMERATOR તમને હવે શું પ્રાપ્ત થયું છે)
ઉદાહરણ તરીકે: 136/28 = 4 સંપૂર્ણ 24/28, આ એક ઘટાડી શકાય તેવું અપૂર્ણાંક છે = 4 સંપૂર્ણ 6/7
મેં 136 ને 28 વડે ભાગ્યા અને 4 મળ્યા. પછી, અંશ શોધવા માટે, મેં 112 મેળવવા માટે 28 ને 4 વડે ગુણાકાર કર્યો, અને 136 માંથી 112 ને બાદ કર્યા. ઘટાડવા માટે, તમારે અંશ અને છેદ બંનેને સમાન સંખ્યા વડે ભાગવાની જરૂર છે ( આ કિસ્સામાં તે 4 છે)
સારા નસીબ!

તરફથી જવાબ ન્યુરોપેથોલોજિસ્ટ[નવુંબી]
25/22, 22/22 એક સંપૂર્ણ છે, અને તે 3/22 છોડે છે, અને પછી 1 સંપૂર્ણ અને 3/22

તરફથી જવાબ ઓવરસ્લીપ[ગુરુ]
અંશને છેદ દ્વારા વિભાજીત કરો, દશાંશ બિંદુ પહેલાની સંખ્યા એ સંપૂર્ણ ભાગ છે, પછી સમગ્ર ભાગને છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરો અને તેને મૂળ અંશમાંથી બાદ કરો. આ આંકડો અંશ હશે.
ઉદાહરણ તરીકે: 88/16=5.5
16*5=80
88-80=8
5 8/16=5 1/2

તરફથી જવાબ વાદિમ કુલપિનોવ[ગુરુ]

તરફથી જવાબ અન્ના[નવુંબી]
ઉદાહરણ તરીકે 1000/9.... તમે સરળતાથી 1000 ને 9 વડે ભાગો છો... તમને 111 મળે છે, જે પૂર્ણાંક છે અને બાકીના અંશમાં જાય છે અને છેદ એ જ 9 રહે છે....

તરફથી જવાબ ઇરાન્ચ[નવુંબી]
કેલ્ક્યુલેટર પર તેની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો))
દશાંશને છેદ દ્વારા વિભાજીત કરો અને દશાંશ બિંદુની ડાબી બાજુએ સંખ્યા લખો.
જો તમારે અપૂર્ણાંક ભાગ પસંદ કરવાની જરૂર હોય તો:
તમે પસંદ કરેલા પૂર્ણાંક ભાગને છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરો અને અંશમાંથી પરિણામી સંખ્યા બાદ કરો. તે છે:
79/3
1. આખો ભાગ પસંદ કરો: 26
2. પસંદ કરેલ પૂર્ણાંક ભાગને છેદ વડે ગુણાકાર કરો: 26*3
3. અંશ 79-(26*3) માંથી પરિણામી સંખ્યા બાદ કરો
યે

તરફથી જવાબ એલેક્સી લૌખટિન[ગુરુ]
અંશને છેદ દ્વારા વિભાજિત કરો અને પરિણામી સંખ્યાને પૂર્ણાંક તરીકે લખો અને બાકીની સંખ્યાને અંશ તરીકે લખો અને છેદ સમાન રહે છે.

તરફથી જવાબ યોમન ગીકો[નિષ્ણાત]
અરે, મેં આ કેવી રીતે કરવું તે પહેલા શીખ્યા. ત્યારે જ ઈન્ટરનેટ દેખાયું, મેં તેનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે શીખી લીધું અને મને આ સાઈટ મળી તે લાંબો સમય થયો ન હતો)

તરફથી જવાબ _DaFNa_[સક્રિય]
ઉદાહરણ તરીકે, 23/3 - કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને છેદ દ્વારા અંશને વિભાજીત કરો (જો તમારી પાસે નજીકમાં હોય તો), પ્રથમ નંબર લો, છેદ વડે ગુણાકાર કરો અને આ અપૂર્ણાંકનો સંપૂર્ણ ભાગ મેળવો. અંશમાંથી તમે છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરવા પર પ્રાપ્ત થયેલી સંખ્યાને બાદ કરો અને તમને યોગ્ય અપૂર્ણાંક મળે છે. તમારા જવાબમાં, આખો ભાગ અને તેની બાજુમાં યોગ્ય અપૂર્ણાંક લખો.
જો નજીકમાં કોઈ કેલ્ક્યુલેટર ન હોય, તો તમે થોડું સાહજિક રીતે વિભાજન કરો અને પછી તે જ કરો.
શ્રેષ્ઠ અપૂર્ણાંકો તે છે જેનો છેદ 2, 5 અથવા 10 છે :)

તરફથી જવાબ લે chiffre[નિષ્ણાત]
તમે અંશમાં કેટલી વાર છેદ બંધબેસે છે તે પ્રકાશિત કરો, પછી અંશમાંથી છેદ બાદ કરો, છેદ યથાવત રહે છે.

તરફથી જવાબ એલેક્સી એન્ટોશેકિન[નવુંબી]
233 ને સંખ્યા વડે ભાગીએ અને આપણે જાણીએ છીએ, પ્રથમ સંખ્યા લો અને ગુણાકાર કરો

તરફથી જવાબ Mi S Slonopotam[ગુરુ]
અંશને છેદ દ્વારા વિભાજીત કરો - તમને આખો ભાગ અને બાકીનો (અપૂર્ણાંક) મળશે

તરફથી જવાબ એલેના[સક્રિય]
તે 3/2 વિશે સાચું લાગે છે. તમારે ફક્ત અંશને છેદ દ્વારા શેષ સાથે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે. પછી ભાગાંક એ આખો ભાગ છે, બાકીનો અંશ છે, અને વિભાજક છેદ છે (એટલે ​​​​કે, તે જેમ હતું તેમ રહે છે). ઉદાહરણ તરીકે
48/13. 3 મેળવવા માટે 48 ને 13 વડે ભાગો અને બાકી 9 થાય. તો 48/13=3 સંપૂર્ણ 9/13
સ્ત્રોત: ગણિત

તરફથી જવાબ પાવેલ ચુપ્રાકોવ[નવુંબી]

તરફથી જવાબ સેરગેઈ નેસ્ટેરેન્કો[નવુંબી]
1) અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે: કૉલમનો ઉપયોગ કરીને શેષ સાથે છેદ દ્વારા અંશને વિભાજિત કરો, આંશિક ભાગ સંપૂર્ણ ભાગ છે, શેષ ભાગ અંશ છે અને છેદ સમાન છે.
2) મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અયોગ્યમાં ફેરવવા માટે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે: છેદ દ્વારા સમગ્ર ભાગનો ગુણાકાર કરો અને અંશ ઉમેરો, પરિણામી સંખ્યા અંશમાં જાય છે, પરંતુ છેદ એક જ રહે છે.

$n\frac(a)(b)$માં ચિહ્ન વિના $“+”$ લખવાનો રિવાજ છે.

ઉદાહરણ 1

ઉદાહરણ તરીકે, સરવાળો $4+\frac(3)(5)$ લખાયેલ છે $4\frac(3)(5)$. આ સંકેતને મિશ્ર અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે, અને જે સંખ્યા તેને અનુરૂપ છે તેને મિશ્ર સંખ્યા કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 1

મિશ્ર સંખ્યા-- એ એવી સંખ્યા છે જે પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ અને યોગ્ય સામાન્ય અપૂર્ણાંક $\frac(a)(b)$ના સરવાળા જેટલી હોય છે અને $n\frac(a)(b)$ તરીકે લખાય છે. આ કિસ્સામાં, $n$ નંબરને $n\frac(a)(b)$ કહેવામાં આવે છે, અને $\frac(a)(b)$ નંબરનો અપૂર્ણાંક ભાગ કહેવાય છે/

મિશ્ર સંખ્યાઓ માટે, સમાનતા $n\frac(a)(b)=n+\frac(a)(b)$ અને $n+\frac(a)(b)=n\frac(a)(b)$ છે માન્ય

ઉદાહરણ 2

ઉદાહરણ તરીકે, $7\frac(4)(9)$ એ મિશ્ર સંખ્યા છે, જ્યાં કુદરતી સંખ્યા $7$ તેનો પૂર્ણાંક ભાગ છે, $\frac(4)(9)$ તેનો અપૂર્ણાંક ભાગ છે. મિશ્ર સંખ્યાઓના ઉદાહરણો: $17\frac(1)(2)$, $456\frac(111)(500)$, $23000\frac(4)(5)$.

મિશ્ર સંકેતોમાં એવી સંખ્યાઓ છે જે અપૂર્ણાંક ભાગમાં અયોગ્ય અપૂર્ણાંક ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, $3\frac(54)(5)$, $56\frac(9)(2)$. આ સંખ્યાઓ તેમના પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ભાગોના સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, $3\frac(54)(5)=3+\frac(54)(5)$ અને $56\frac(9)(2)=56+\frac(9)(2)$. આવી સંખ્યાઓ મિશ્ર સંખ્યાની વ્યાખ્યામાં બંધબેસતી નથી, કારણ કે મિશ્ર સંખ્યાઓનો અપૂર્ણાંક ભાગ યોગ્ય અપૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.

$0\frac(2)(7)$ એ પણ મિશ્ર સંખ્યા નથી, કારણ કે $0$ એ કુદરતી સંખ્યા નથી.

મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવી

મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે અલ્ગોરિધમ:

મિશ્ર સંખ્યા $n\frac(a)(b)$ ને આ સંખ્યાના પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ભાગોના સરવાળા તરીકે લખો, એટલે કે. $n+\frac(a)(b)$ સ્વરૂપમાં.

મૂળ મિશ્ર સંખ્યાના સંપૂર્ણ ભાગને $1$ ના છેદ સાથે અપૂર્ણાંક સાથે બદલો.

મૂળ મિશ્ર સંખ્યાની સમાન ઇચ્છિત અયોગ્ય અપૂર્ણાંક મેળવવા માટે સામાન્ય અપૂર્ણાંક $\frac(n)(1)$ અને $\frac(a)(b)$ ઉમેરો.

ઉદાહરણ 3

મિશ્ર નંબર $7\frac(3)(5)$ ને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરો.

ઉકેલ.

ચાલો મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીએ.

મિશ્ર સંખ્યા $7\frac(3)(5)=7+\frac(3)(5)$.

ચાલો નંબર $7$ લખીએ $\frac(7)(1)$.

ચાલો સામાન્ય અપૂર્ણાંક ઉમેરીએ $\frac(7)(1)+\frac(3)(5)=\frac(35)(5)+\frac(3)(5)=\frac(38)(5) $.

ચાલો આ ઉકેલનો ટૂંકો રેકોર્ડ લખીએ:

જવાબ:$7\frac(3)(5)=\frac(38)(5)$

મિશ્ર સંખ્યા $n\frac(a)(b)$ ને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવા માટેનું સમગ્ર અલ્ગોરિધમ \textit(મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવા માટેનું સૂત્ર) પર આવે છે:

ઉદાહરણ 4

મિશ્ર સંખ્યા $14\frac(3)(5)$ ને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે લખો.

ઉકેલ.

ચાલો મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં કન્વર્ટ કરવા માટે $n\frac(a)(b)=\frac(n\cdot b+a)(b)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ. આ ઉદાહરણમાં, $n=14$, $a=3$, $b=5$.

અમને મળે છે, $14\frac(3)(5)=\frac(14\cdot 5+3)(5)=\frac(73)(5)$.

જવાબ:$14\frac(3)(5)=\frac(73)(5)$

આખા ભાગને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકથી અલગ કરવું

સંખ્યાત્મક ઉકેલ મેળવતી વખતે, જવાબને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકના રૂપમાં છોડવાનો રિવાજ નથી. અયોગ્ય અપૂર્ણાંક સમાન કુદરતી સંખ્યામાં રૂપાંતરિત થાય છે (જો અંશ છેદ દ્વારા વિભાજ્ય હોય તો), અથવા સંપૂર્ણ ભાગને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકથી અલગ કરવામાં આવે છે (જો અંશ છેદ દ્વારા વિભાજ્ય ન હોય તો).

વ્યાખ્યા 2

આખા ભાગને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકથી અલગ કરીનેઅપૂર્ણાંકને સમાન મિશ્ર સંખ્યા સાથે બદલવું કહેવાય છે.

અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાંથી પૂર્ણાંક ભાગને અલગ કરવા માટે, તમારે અયોગ્ય અપૂર્ણાંક $\frac(a)(b)$ ને મિશ્ર સંખ્યા $q\frac(r)(b)$ તરીકે રજૂ કરવાની જરૂર છે, જ્યાં $q$ એ આંશિક છે ભાગ, $r$-- $a$ ની બાકીની ભાગ્યા $b$. આમ, પૂર્ણાંક ભાગ એ $a$ ના આંશિક ભાગાકાર જેટલો ભાગાકાર $b$ છે, અને બાકીનો ભાગ અપૂર્ણાંક ભાગના અંશ જેટલો છે.

ચાલો આ નિવેદનને સાબિત કરીએ. આ કરવા માટે, તે બતાવવા માટે પૂરતું છે કે $q\frac(r)(b)=\frac(a)(b)$.

ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મિશ્ર સંખ્યા $q\frac(r)(b)$ ને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ:

કારણ કે $q$ એ અપૂર્ણ ભાગ છે, $r$ એ $a$ ના $b$ દ્વારા વિભાજનનો બાકીનો ભાગ છે, પછી સમાનતા $a=b\cdot q+r$ સાચી છે. આમ, $\frac(q\cdot b+r)(b)=\frac(a)(b)$, જ્યાંથી $q\frac(r)(b)=\frac(a)(b)$, જે તે બતાવવાની જરૂર છે.

આમ, અમે \textit(અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાંથી પૂર્ણાંક ભાગને અલગ કરવાનો નિયમ) $\frac(a)(b)$ ઘડીએ છીએ:

$a$ ને $b$ વડે શેષ સાથે વિભાજીત કરો અને આંશિક ભાગાંક $q$ અને શેષ $r$ નક્કી કરો.

મૂળ અપૂર્ણાંક $\frac(a)(b)$ સમાન મિશ્ર સંખ્યા $q\frac(r)(b)$ લખો.

ઉદાહરણ 5

$\frac(107)(4)$ અપૂર્ણાંકમાંથી પૂર્ણાંક ભાગ પસંદ કરો.

ઉકેલ.

ચાલો કૉલમ ડિવિઝન કરીએ:

આકૃતિ 1.

તેથી, અંશ $a=107$ ને છેદ $b=4$ વડે ભાગવાના પરિણામે આપણે આંશિક ભાગાંક $q=26$ અને બાકીનો $r=3$ મેળવીએ છીએ.

અમે શોધીએ છીએ કે અયોગ્ય અપૂર્ણાંક $\frac(107)(4)$ મિશ્ર સંખ્યા $q\frac(r)(b)=26\frac(3)(4)$ સમાન છે.

જવાબ આપો: $\frac((\rm 107))(\rm 4))(\rm =26)\frac((\rm 3))((\rm 4))$.

મિશ્ર સંખ્યા અને કુદરતી સંખ્યા ઉમેરી રહ્યા છીએ

મિશ્ર અને કુદરતી સંખ્યાઓ ઉમેરવાનો નિયમ:

મિશ્ર અને કુદરતી સંખ્યા ઉમેરવા માટે, તમારે મિશ્ર સંખ્યાના પૂર્ણાંક ભાગમાં આપેલ પ્રાકૃતિક સંખ્યા ઉમેરવાની જરૂર છે, અપૂર્ણાંક ભાગ યથાવત રહે છે:

જ્યાં $a\frac(b)(c)$ એ મિશ્ર સંખ્યા છે,

$n$ એ કુદરતી સંખ્યા છે.

ઉદાહરણ 6

મિશ્ર નંબર $23\frac(4)(7)$ અને નંબર $3$ ઉમેરો.

ઉકેલ.

જવાબ:$23\frac(4)(7)+3=26\frac(4)(7).$

બે મિશ્રિત સંખ્યાઓ ઉમેરી રહ્યા છીએ

બે મિશ્ર સંખ્યાઓ ઉમેરતી વખતે, તેમના સંપૂર્ણ ભાગો અને અપૂર્ણાંક ભાગો ઉમેરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 7

$3\frac(1)(5)$ અને $7\frac(4)(7)$ મિશ્રિત સંખ્યાઓ ઉમેરો.

ઉકેલ.

ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

\ \

જવાબ:$10\frac(27)(35).$

મિશ્ર સંખ્યાઓ. સંપૂર્ણ ભાગ પસંદ કરી રહ્યા છીએ

સામાન્ય અપૂર્ણાંકોમાં, બે અલગ અલગ પ્રકારો છે.
યોગ્ય અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક
ચાલો અપૂર્ણાંકો જોઈએ.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે પ્રથમ બે અપૂર્ણાંકમાં (3/7 અને 5/7) અંશ છેદ કરતા નાના છે. આવા અપૂર્ણાંકોને યોગ્ય કહેવામાં આવે છે.

• યોગ્ય અપૂર્ણાંકનો અંશ તેના છેદ કરતાં ઓછો હોય છે. તેથી, યોગ્ય અપૂર્ણાંક હંમેશા એક કરતા ઓછો હોય છે.

ચાલો બાકીના બે અપૂર્ણાંકો જોઈએ.
અપૂર્ણાંક 7/7માં છેદની બરાબર અંશ હોય છે (આવા અપૂર્ણાંક એકમોના સમાન હોય છે), અને અપૂર્ણાંક 11/7માં છેદ કરતા મોટો અંશ હોય છે. આવા અપૂર્ણાંકને અયોગ્ય કહેવામાં આવે છે.

• અયોગ્ય અપૂર્ણાંકનો અંશ તેના છેદની બરાબર અથવા તેનાથી મોટો હોય છે. તેથી, અયોગ્ય અપૂર્ણાંક કાં તો એક સમાન અથવા એક કરતા વધારે છે.

કોઈપણ અયોગ્ય અપૂર્ણાંક હંમેશા યોગ્ય અપૂર્ણાંક કરતાં મોટો હોય છે.

આખો ભાગ કેવી રીતે પસંદ કરવો
અયોગ્ય અપૂર્ણાંકનો સંપૂર્ણ ભાગ હોઈ શકે છે. ચાલો જોઈએ કે આ કેવી રીતે કરી શકાય.

અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાંથી સમગ્ર ભાગને અલગ કરવા માટે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે:
1. શેષ સાથે છેદ દ્વારા અંશને વિભાજીત કરો;
2. અમે પરિણામી અપૂર્ણ ભાગને અપૂર્ણાંકના સમગ્ર ભાગમાં લખીએ છીએ;
3. અપૂર્ણાંકના અંશમાં શેષ લખો;
4. અપૂર્ણાંકના છેદમાં વિભાજક લખો.

ઉદાહરણ. ચાલો અયોગ્ય અપૂર્ણાંક 11/2 માંથી સંપૂર્ણ ભાગ પસંદ કરીએ.
. કૉલમમાં છેદ દ્વારા અંશને વિભાજિત કરો.

. હવે જવાબ લખીએ.

• ઉપરોક્ત પરિણામી સંખ્યા, જેમાં પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ભાગ હોય છે, તેને મિશ્ર સંખ્યા કહેવામાં આવે છે.

અમને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાંથી મિશ્ર સંખ્યા મળી છે, પરંતુ અમે તેનાથી વિરુદ્ધ પણ કરી શકીએ છીએ, એટલે કે, મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરીએ છીએ.
મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરવા માટે:
1. તેના પૂર્ણાંક ભાગને અપૂર્ણાંક ભાગના છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરો;
2. પરિણામી ઉત્પાદનમાં અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ ઉમેરો;
3. બિંદુ 2 થી પરિણામી રકમને અપૂર્ણાંકના અંશમાં લખો, અને અપૂર્ણાંક ભાગના છેદને તે જ છોડી દો.
ઉદાહરણ. ચાલો મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરીએ.
. પૂર્ણાંક ભાગને છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરો.

3 . 5 = 15
. અંશ ઉમેરો.

15 + 2 = 17
. અમે પરિણામી રકમને નવા અપૂર્ણાંકના અંશમાં લખીએ છીએ, અને છેદને તે જ છોડીએ છીએ.

કોઈપણ મિશ્ર સંખ્યાને પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ભાગના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

• કોઈપણ કુદરતી સંખ્યાને કોઈપણ કુદરતી છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાય છે.

આવા અપૂર્ણાંકના છેદ દ્વારા અંશને વિભાજિત કરવાનો ભાગ આપેલ કુદરતી સંખ્યા જેટલો હશે.
ઉદાહરણો.

શું તમે સેપર જેવો અનુભવ કરવા માંગો છો? તો પછી આ પાઠ તમારા માટે છે! કારણ કે હવે આપણે અપૂર્ણાંકોનો અભ્યાસ કરીશું - આ આવા સરળ અને હાનિકારક ગાણિતિક પદાર્થો છે જે, "મનને ઉડાડવાની" ક્ષમતામાં, બીજગણિતના બાકીના અભ્યાસક્રમને વટાવી જાય છે.

અપૂર્ણાંકનો મુખ્ય ભય એ છે કે તે વાસ્તવિક જીવનમાં થાય છે. આ રીતે તેઓ અલગ પડે છે, ઉદાહરણ તરીકે, બહુપદી અને લઘુગણકથી, જેનો તમે અભ્યાસ કરી શકો છો અને પરીક્ષા પછી સરળતાથી ભૂલી શકો છો. તેથી, આ પાઠમાં પ્રસ્તુત સામગ્રી, અતિશયોક્તિ વિના, વિસ્ફોટક કહી શકાય.

સંખ્યા અપૂર્ણાંક (અથવા ફક્ત અપૂર્ણાંક) એ સ્લેશ અથવા આડી પટ્ટી દ્વારા અલગ કરીને લખાયેલ પૂર્ણાંકોની જોડી છે.

આડી રેખા દ્વારા લખાયેલા અપૂર્ણાંક:

સ્લેશ સાથે લખેલા સમાન અપૂર્ણાંક:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

અપૂર્ણાંક સામાન્ય રીતે આડી રેખા દ્વારા લખવામાં આવે છે - આ રીતે તેમની સાથે કામ કરવું સરળ છે, અને તેઓ વધુ સારા દેખાય છે. ઉપર લખેલી સંખ્યાને અપૂર્ણાંકનો અંશ કહેવામાં આવે છે, અને નીચે લખેલી સંખ્યાને છેદ કહેવાય છે.

કોઈપણ પૂર્ણાંકને 1 ના છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 12 = 12/1 એ ઉપરના ઉદાહરણમાંથી અપૂર્ણાંક છે.

સામાન્ય રીતે, તમે કોઈપણ પૂર્ણ સંખ્યાને અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાં મૂકી શકો છો. એકમાત્ર મર્યાદા એ છે કે છેદ શૂન્યથી અલગ હોવા જોઈએ. સારો જૂનો નિયમ યાદ રાખો: "તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી!"

જો છેદમાં હજુ પણ શૂન્ય હોય, તો અપૂર્ણાંકને અનિશ્ચિત અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે. આવા રેકોર્ડ અર્થહીન છે અને તેનો ઉપયોગ ગણતરીમાં કરી શકાતો નથી.

અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત

અપૂર્ણાંક a /b અને c /d સમાન કહેવાય છે જો ad = bc.

આ વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે સમાન અપૂર્ણાંક જુદી જુદી રીતે લખી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 1/2 = 2/4, ત્યારથી 1 · 4 = 2 · 2. અલબત્ત, ઘણા અપૂર્ણાંકો છે જે એકબીજા સાથે સમાન નથી. ઉદાહરણ તરીકે, 1/3 ≠ 5/4, 1 4 ≠ 3 5 થી.

એક વાજબી પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: આપેલ એક સમાન અપૂર્ણાંકને કેવી રીતે શોધી શકાય? અમે વ્યાખ્યાના રૂપમાં જવાબ આપીએ છીએ:

અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત એ છે કે અંશ અને છેદને શૂન્ય સિવાયની સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે. આ આપેલ અપૂર્ણાંક સમાન અપૂર્ણાંકમાં પરિણમશે.

આ એક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ મિલકત છે - તેને યાદ રાખો. અપૂર્ણાંકના મૂળ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, તમે ઘણી સમીકરણોને સરળ અને ટૂંકી કરી શકો છો. ભવિષ્યમાં, તે વિવિધ ગુણધર્મો અને પ્રમેયના સ્વરૂપમાં સતત "પોપ અપ" કરશે.

અયોગ્ય અપૂર્ણાંક. સંપૂર્ણ ભાગ પસંદ કરી રહ્યા છીએ

જો અંશ છેદ કરતા ઓછો હોય, તો તેને યોગ્ય અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે. નહિંતર (એટલે ​​​​કે, જ્યારે અંશ છેદ કરતા મોટો અથવા ઓછામાં ઓછો સમાન હોય), અપૂર્ણાંકને અયોગ્ય કહેવામાં આવે છે, અને તેમાં પૂર્ણાંક ભાગને અલગ કરી શકાય છે.

આખો ભાગ અપૂર્ણાંકની આગળ મોટી સંખ્યામાં લખાયેલ છે અને આના જેવો દેખાય છે (લાલ રંગમાં ચિહ્નિત):

અયોગ્ય અપૂર્ણાંકના સંપૂર્ણ ભાગને અલગ કરવા માટે, તમારે ત્રણ સરળ પગલાંને અનુસરવાની જરૂર છે:

1. અંશમાં છેદ કેટલી વાર બંધબેસે છે તે શોધો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મહત્તમ પૂર્ણાંક શોધો કે, જ્યારે છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે, ત્યારે તે હજુ પણ અંશ (વધુમાં વધુ, સમાન) કરતા ઓછો હશે. આ સંખ્યા પૂર્ણાંક ભાગ હશે, તેથી અમે તેને આગળ લખીએ છીએ;
2. અગાઉના પગલામાં મળેલા પૂર્ણાંક ભાગ દ્વારા છેદનો ગુણાકાર કરો અને અંશમાંથી પરિણામ બાદ કરો. પરિણામી "સ્ટબ" ને વિભાગનો બાકીનો ભાગ કહેવામાં આવે છે તે હંમેશા હકારાત્મક રહેશે (આત્યંતિક કિસ્સાઓમાં, શૂન્ય). અમે તેને નવા અપૂર્ણાંકના અંશમાં લખીએ છીએ;
3. અમે ફેરફારો વિના છેદને ફરીથી લખીએ છીએ.

સારું, શું તે મુશ્કેલ છે? પ્રથમ નજરમાં, તે મુશ્કેલ હોઈ શકે છે. પરંતુ થોડી પ્રેક્ટિસ સાથે, તમે તેને લગભગ મૌખિક રીતે કરી શકશો. તે દરમિયાન, ઉદાહરણો પર એક નજર નાખો:

કાર્ય. દર્શાવેલ અપૂર્ણાંકમાં આખો ભાગ પસંદ કરો:

બધા ઉદાહરણોમાં, આખો ભાગ લાલ રંગમાં પ્રકાશિત થાય છે, અને વિભાગનો બાકીનો ભાગ લીલા રંગમાં પ્રકાશિત થાય છે.

છેલ્લા અપૂર્ણાંક પર ધ્યાન આપો, જ્યાં વિભાગનો બાકીનો ભાગ શૂન્ય છે. તે તારણ આપે છે કે અંશ સંપૂર્ણપણે છેદ દ્વારા વિભાજિત છે. આ તદ્દન તાર્કિક છે, કારણ કે ગુણાકાર કોષ્ટકમાંથી 24: 6 = 4 એ સખત હકીકત છે.

જો બધું યોગ્ય રીતે કરવામાં આવે, તો નવા અપૂર્ણાંકનો અંશ ચોક્કસપણે છેદ કરતા ઓછો હશે, એટલે કે. અપૂર્ણાંક સાચો બનશે. હું એ પણ નોંધીશ કે જવાબ લખતા પહેલા, સમસ્યાના અંતમાં આખો ભાગ પ્રકાશિત કરવો વધુ સારું છે. નહિંતર, ગણતરીઓ નોંધપાત્ર રીતે જટિલ હોઈ શકે છે.

અયોગ્ય અપૂર્ણાંક પર જવું

ત્યાં એક વિપરીત ઓપરેશન પણ છે, જ્યારે આપણે આખા ભાગને છુટકારો મેળવીએ છીએ. આને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક સંક્રમણ કહેવામાં આવે છે અને તે વધુ સામાન્ય છે કારણ કે અયોગ્ય અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરવું વધુ સરળ છે.

અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં સંક્રમણ પણ ત્રણ પગલામાં કરવામાં આવે છે:

1. આખા ભાગને છેદ વડે ગુણાકાર કરો. પરિણામ ખૂબ મોટી સંખ્યામાં હોઈ શકે છે, પરંતુ આ અમને પરેશાન ન કરવું જોઈએ;
2. પરિણામી સંખ્યાને મૂળ અપૂર્ણાંકના અંશમાં ઉમેરો. અયોગ્ય અપૂર્ણાંકના અંશમાં પરિણામ લખો;
3. છેદ ફરીથી લખો - ફરીથી, ફેરફારો વિના.

અહીં વિશિષ્ટ ઉદાહરણો છે:

કાર્ય. અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં કન્વર્ટ કરો:

સ્પષ્ટતા માટે, પૂર્ણાંક ભાગ ફરીથી લાલ રંગમાં પ્રકાશિત થાય છે, અને મૂળ અપૂર્ણાંકનો અંશ લીલા રંગમાં પ્રકાશિત થાય છે.

જ્યારે અપૂર્ણાંકના અંશ અથવા છેદમાં નકારાત્મક સંખ્યા હોય ત્યારે કેસને ધ્યાનમાં લો. ઉદાહરણ તરીકે:

સૈદ્ધાંતિક રીતે, આમાં ગુનાહિત કંઈ નથી. જો કે, આવા અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરવું અસુવિધાજનક હોઈ શકે છે. તેથી, ગણિતમાં અપૂર્ણાંક ચિહ્નો તરીકે ઓછાને મૂકવાનો રિવાજ છે.

જો તમને નિયમો યાદ હોય તો આ કરવું ખૂબ જ સરળ છે:

1. "માઈનસ માટે વત્તા માઈનસ આપે છે." તેથી, જો અંશમાં નકારાત્મક સંખ્યા હોય, અને છેદમાં સકારાત્મક સંખ્યા હોય (અથવા તેનાથી ઊલટું), તો નિઃસંકોચ બાદબાકીને પાર કરો અને તેને સમગ્ર અપૂર્ણાંકની સામે મૂકો;
2. "બે નકારાત્મક એક હકારાત્મક બનાવે છે". જ્યારે અંશ અને છેદ બંનેમાં બાદબાકી હોય, ત્યારે અમે તેને ખાલી કરી દઈએ છીએ - કોઈ વધારાની ક્રિયાઓની જરૂર નથી.

અલબત્ત, આ નિયમો વિરુદ્ધ દિશામાં પણ લાગુ કરી શકાય છે, એટલે કે. તમે અપૂર્ણાંક ચિહ્ન હેઠળ બાદબાકીનું ચિહ્ન દાખલ કરી શકો છો (મોટેભાગે અંશમાં).

અમે ઇરાદાપૂર્વક "પ્લસ ઓન પ્લસ" કેસને ધ્યાનમાં લેતા નથી - તેની સાથે, મને લાગે છે કે, બધું સ્પષ્ટ છે. ચાલો જોઈએ કે આ નિયમો વ્યવહારમાં કેવી રીતે કાર્ય કરે છે:

કાર્ય. ઉપર લખેલા ચાર અપૂર્ણાંકમાંથી નકારાત્મક બહાર કાઢો.

છેલ્લા અપૂર્ણાંક પર ધ્યાન આપો: તેની સામે એક બાદબાકીનું ચિહ્ન પહેલેથી જ છે. જો કે, "માઈનસ ફોર માઈનસ એ પ્લસ આપે છે" નિયમ અનુસાર તે "બર્ન" થાય છે.

ઉપરાંત, આખો ભાગ હાઇલાઇટ સાથે અપૂર્ણાંકમાં ઓછાને ખસેડશો નહીં. આ અપૂર્ણાંકો પ્રથમ અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત થાય છે - અને તે પછી જ ગણતરીઓ શરૂ થાય છે.