ત્યાં કયા બહુકોણ છે અને તેમને શું કહેવામાં આવે છે. ડિગ્રીમાં ખૂણાના મૂલ્યોની ગણતરી

ત્રિકોણ, ચોરસ, ષટ્કોણ - આ આંકડા લગભગ દરેક માટે જાણીતા છે. પરંતુ દરેક જણ જાણે નથી કે નિયમિત બહુકોણ શું છે. પરંતુ આ બધા સમાન છે એક નિયમિત બહુકોણ તે છે જે સમાન ખૂણા અને બાજુઓ ધરાવે છે. આવા ઘણા બધા આંકડાઓ છે, પરંતુ તે બધા સમાન ગુણધર્મો ધરાવે છે, અને સમાન સૂત્રો તેમને લાગુ પડે છે.

નિયમિત બહુકોણના ગુણધર્મો

કોઈપણ નિયમિત બહુકોણ, તે ચોરસ હોય કે અષ્ટકોણ, વર્તુળમાં અંકિત કરી શકાય છે. આ મૂળભૂત ગુણધર્મનો ઉપયોગ આકૃતિ બનાવતી વખતે થાય છે. વધુમાં, એક વર્તુળ બહુકોણમાં લખી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, સંપર્કના બિંદુઓની સંખ્યા તેની બાજુઓની સંખ્યા જેટલી હશે. તે મહત્વનું છે કે નિયમિત બહુકોણમાં અંકિત વર્તુળ તેની સાથે એક સામાન્ય કેન્દ્ર હશે. આ ભૌમિતિક આકૃતિઓ સમાન પ્રમેયને આધીન છે. નિયમિત n-ગોનની કોઈપણ બાજુ તેની આસપાસના વર્તુળ R ની ત્રિજ્યા સાથે સંબંધિત છે તેથી, તે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે: a = 2R ∙ sin180°. દ્વારા તમે માત્ર બાજુઓ જ નહીં, પણ બહુકોણની પરિમિતિ પણ શોધી શકો છો.

નિયમિત બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા કેવી રીતે શોધવી

કોઈપણ એકમાં એકબીજાના સમાન ભાગોની ચોક્કસ સંખ્યાનો સમાવેશ થાય છે, જે, જ્યારે કનેક્ટ થાય છે, ત્યારે બંધ રેખા બનાવે છે. આ કિસ્સામાં, પરિણામી આકૃતિના તમામ ખૂણાઓ સમાન મૂલ્ય ધરાવે છે. બહુકોણને સરળ અને જટિલમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. પ્રથમ જૂથમાં ત્રિકોણ અને ચોરસનો સમાવેશ થાય છે. જટિલ બહુકોણમાં વધુ બાજુઓ હોય છે. આમાં સ્ટાર-આકારની આકૃતિઓનો પણ સમાવેશ થાય છે. જટિલ નિયમિત બહુકોણ માટે, બાજુઓને વર્તુળમાં લખીને જોવા મળે છે. ચાલો સાબિતી આપીએ. n બાજુઓની મનસ્વી સંખ્યા સાથે નિયમિત બહુકોણ દોરો. તેની આસપાસ એક વર્તુળ દોરો. ત્રિજ્યા R સેટ કરો. હવે કલ્પના કરો કે તમને કેટલાક n-gon આપવામાં આવ્યા છે. જો તેના ખૂણાઓના બિંદુઓ વર્તુળ પર આવેલા હોય અને એકબીજાની સમાન હોય, તો પછી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બાજુઓ શોધી શકાય છે: a = 2R ∙ sinα: 2.

અંકિત નિયમિત ત્રિકોણની બાજુઓની સંખ્યા શોધવી

સમભુજ ત્રિકોણ એ નિયમિત બહુકોણ છે. સમાન સૂત્રો તેને ચોરસ અને n-ગોન તરીકે લાગુ પડે છે. ત્રિકોણને નિયમિત ગણવામાં આવશે જો તેની બાજુઓ લંબાઈમાં સમાન હોય. આ કિસ્સામાં, ખૂણા 60⁰ છે. ચાલો આપેલ બાજુની લંબાઈ a સાથે ત્રિકોણ બનાવીએ. તેની મધ્ય અને ઊંચાઈ જાણીને, તમે તેની બાજુઓનું મૂલ્ય શોધી શકો છો. આ કરવા માટે, આપણે a = x: cosα સૂત્ર દ્વારા શોધવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું, જ્યાં x એ મધ્ય અથવા ઊંચાઈ છે. ત્રિકોણની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી, આપણને a = b = c મળે છે. પછી નીચેનું વિધાન સાચું હશે: a = b = c = x: cosα. એ જ રીતે, તમે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં બાજુઓની કિંમત શોધી શકો છો, પરંતુ x એ આપેલ ઊંચાઈ હશે. આ કિસ્સામાં, તે આકૃતિના આધાર પર સખત રીતે પ્રક્ષેપિત થવું જોઈએ. તેથી, x ઊંચાઈ જાણીને, આપણે a = b = x: cosα સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની બાજુ a શોધીએ છીએ. a ની કિંમત શોધ્યા પછી, તમે આધાર c ની લંબાઈની ગણતરી કરી શકો છો. ચાલો પાયથાગોરિયન પ્રમેય લાગુ કરીએ. આપણે અડધા આધાર c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα ની કિંમત શોધીશું. પછી c = 2xtanα. આ સરળ રીતે તમે કોઈપણ અંકિત બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા શોધી શકો છો.

વર્તુળમાં અંકિત ચોરસની બાજુઓની ગણતરી

કોઈપણ અન્ય અંકિત નિયમિત બહુકોણની જેમ, ચોરસમાં સમાન બાજુઓ અને ખૂણા હોય છે. ત્રિકોણની જેમ તેના પર સમાન સૂત્રો લાગુ પડે છે. તમે વિકર્ણ મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને ચોરસની બાજુઓની ગણતરી કરી શકો છો. ચાલો આ પદ્ધતિને વધુ વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈએ. તે જાણીતું છે કે વિકર્ણ ખૂણાને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે. શરૂઆતમાં તેનું મૂલ્ય 90 ડિગ્રી હતું. આમ, ભાગાકાર કર્યા પછી, તેમના આધાર પરના ખૂણા 45 અંશ સમાન હશે. તદનુસાર, ચોરસની દરેક બાજુ સમાન હશે, એટલે કે: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, જ્યાં e એ ચોરસનો કર્ણ છે, અથવા પછી બનેલા જમણા ત્રિકોણનો આધાર વિભાગ ચોરસની બાજુઓ શોધવાનો આ એકમાત્ર રસ્તો નથી. ચાલો આ આંકડો વર્તુળમાં લખીએ. આ વર્તુળ R ની ત્રિજ્યા જાણીને, આપણે ચોરસની બાજુ શોધીએ છીએ. અમે તેને નીચે પ્રમાણે ગણીશું: a4 = R√2. નિયમિત બહુકોણની ત્રિજ્યાની ગણતરી R = a: 2tg (360 o: 2n) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે, જ્યાં a એ બાજુની લંબાઈ છે.

એન-ગોનની પરિમિતિની ગણતરી કેવી રીતે કરવી

n-gon ની પરિમિતિ તેની બધી બાજુઓનો સરવાળો છે. તેની ગણતરી કરવી સરળ છે. આ કરવા માટે, તમારે બધી બાજુઓનો અર્થ જાણવાની જરૂર છે. કેટલાક પ્રકારના બહુકોણ માટે ખાસ સૂત્રો છે. તેઓ તમને પરિમિતિને વધુ ઝડપથી શોધવાની મંજૂરી આપે છે. તે જાણીતું છે કે કોઈપણ નિયમિત બહુકોણ સમાન બાજુઓ ધરાવે છે. તેથી, તેની પરિમિતિની ગણતરી કરવા માટે, તેમાંથી ઓછામાં ઓછા એકને જાણવું પૂરતું છે. સૂત્ર આકૃતિની બાજુઓની સંખ્યા પર આધારિત છે. સામાન્ય રીતે, તે આના જેવું દેખાય છે: P = an, જ્યાં a એ બાજુનું મૂલ્ય છે અને n એ ખૂણાઓની સંખ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, 3 સે.મી.ની બાજુવાળા નિયમિત અષ્ટકોણની પરિમિતિ શોધવા માટે, તમારે તેને 8 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, 5 સે.મી.ની બાજુવાળા ષટ્કોણ માટે, અમે ગણતરી કરીએ છીએ નીચે પ્રમાણે: P = 5 ∙ 6 = 30 cm અને તેથી દરેક બહુકોણ માટે.

સમાંતરગ્રામ, ચોરસ અને સમચતુર્ભુજની પરિમિતિ શોધવી

નિયમિત બહુકોણની કેટલી બાજુઓ છે તેના આધારે, તેની પરિમિતિની ગણતરી કરવામાં આવે છે. આ કાર્યને ખૂબ સરળ બનાવે છે. ખરેખર, અન્ય આંકડાઓથી વિપરીત, આ કિસ્સામાં તમારે તેની બધી બાજુઓ જોવાની જરૂર નથી, એક પર્યાપ્ત છે. સમાન સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ચતુષ્કોણની પરિમિતિ શોધીએ છીએ, એટલે કે, એક ચોરસ અને એક સમચતુર્ભુજ. આ અલગ અલગ આકૃતિઓ હોવા છતાં, તેમના માટેનું સૂત્ર સમાન છે: P = 4a, જ્યાં a બાજુ છે. ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ. જો સમચતુર્ભુજ અથવા ચોરસની બાજુ 6 સે.મી. હોય, તો આપણે નીચે પ્રમાણે પરિમિતિ શોધીએ છીએ: P = 4 ∙ 6 = 24 cm સમાંતર ચતુષ્કોણ માટે, માત્ર વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાન છે. તેથી, તેની પરિમિતિ એક અલગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે. તેથી, આપણે આકૃતિની લંબાઈ a અને પહોળાઈ b જાણવાની જરૂર છે. પછી આપણે સૂત્ર P = (a + b) ∙ 2 લાગુ પાડીએ છીએ. એક સમાંતરગ્રામ કે જેમાં તેમની વચ્ચેની બધી બાજુઓ અને ખૂણા સમાન હોય તેને સમચતુર્ભુજ કહેવાય છે.

સમભુજ અને કાટકોણ ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધવી

સાચા એકની પરિમિતિ P = 3a સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે, જ્યાં a એ બાજુની લંબાઈ છે. જો તે અજાણ્યું હોય, તો તે મધ્યક દ્વારા શોધી શકાય છે. કાટકોણ ત્રિકોણમાં, માત્ર બે બાજુઓ સમાન મૂલ્ય ધરાવે છે. પાયથાગોરિયન પ્રમેય દ્વારા આધાર શોધી શકાય છે. એકવાર ત્રણેય બાજુઓના મૂલ્યો જાણી લીધા પછી, અમે પરિમિતિની ગણતરી કરીએ છીએ. તે P = a + b + c સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે, જ્યાં a અને b સમાન બાજુઓ છે અને c એ આધાર છે. યાદ કરો કે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં a = b = a, જેનો અર્થ a + b = 2a છે, પછી P = 2a + c. ઉદાહરણ તરીકે, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની બાજુ 4 સેમી છે, ચાલો તેનો આધાર અને પરિમિતિ શોધીએ. અમે પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5.65 cm સાથે પરિમિતિની ગણતરી કરીએ છીએ. હવે પરિમિતિ P = 2 ∙ 4 + 5.65 = 13.65 cm.

નિયમિત બહુકોણના ખૂણાઓ કેવી રીતે શોધવા

આપણા જીવનમાં દરરોજ નિયમિત બહુકોણ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, નિયમિત ચોરસ, ત્રિકોણ, અષ્ટકોણ. એવું લાગે છે કે આ આંકડો જાતે બનાવવા કરતાં કંઈ સરળ નથી. પરંતુ આ ફક્ત પ્રથમ નજરમાં જ સરળ છે. કોઈપણ n-ગોન બાંધવા માટે, તમારે તેના ખૂણાઓની કિંમત જાણવાની જરૂર છે. પરંતુ તેમને કેવી રીતે શોધવું? પ્રાચીન વૈજ્ઞાનિકોએ પણ નિયમિત બહુકોણ બનાવવાનો પ્રયાસ કર્યો હતો. તેઓએ તેમને વર્તુળોમાં કેવી રીતે ફિટ કરવું તે શોધી કાઢ્યું. અને પછી તેના પર જરૂરી બિંદુઓ ચિહ્નિત કરવામાં આવ્યા હતા અને સીધી રેખાઓ સાથે જોડાયેલા હતા. સરળ આંકડાઓ માટે બાંધકામની સમસ્યા હલ કરવામાં આવી હતી. સૂત્રો અને પ્રમેય મેળવ્યા હતા. ઉદાહરણ તરીકે, યુક્લિડ, તેમની પ્રખ્યાત કૃતિ "ઇન્સેપ્શન" માં 3-, 4-, 5-, 6- અને 15-ગોન્સ માટે સમસ્યાઓ ઉકેલવા સાથે વ્યવહાર કરે છે. તેમણે તેમને બાંધવા અને ખૂણા શોધવાના રસ્તાઓ શોધી કાઢ્યા. ચાલો જોઈએ કે 15-ગોન માટે આ કેવી રીતે કરવું. પ્રથમ તમારે તેના આંતરિક ખૂણાઓના સરવાળાની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. ફોર્મ્યુલા S = 180⁰(n-2) નો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. તેથી, આપણને 15-ગોન આપવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે સંખ્યા n 15 છે. આપણે જે ડેટા જાણીએ છીએ તે ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ છીએ અને S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰ મેળવીએ છીએ. અમને 15-ગોનના તમામ આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો મળ્યો. હવે તમારે તેમાંના દરેકનું મૂલ્ય મેળવવાની જરૂર છે. કુલ 15 ખૂણા છે અમે ગણતરી 2340⁰: 15 = 156⁰ કરીએ છીએ. આનો અર્થ એ છે કે દરેક આંતરિક ખૂણો 156⁰ બરાબર છે, હવે શાસક અને હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને તમે નિયમિત 15-ગોન બનાવી શકો છો. પરંતુ વધુ જટિલ n-gons વિશે શું? ઘણી સદીઓથી, વૈજ્ઞાનિકોએ આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે સંઘર્ષ કર્યો છે. તે ફક્ત 18મી સદીમાં કાર્લ ફ્રેડરિક ગૌસ દ્વારા મળી આવ્યું હતું. તે 65537-ગોન બાંધવામાં સક્ષમ હતો. ત્યારથી, સમસ્યા સત્તાવાર રીતે સંપૂર્ણપણે ઉકેલાઈ હોવાનું માનવામાં આવે છે.

રેડિયનમાં n-ગોન્સના ખૂણાઓની ગણતરી

અલબત્ત, બહુકોણના ખૂણા શોધવાની ઘણી રીતો છે. મોટેભાગે તેઓ ડિગ્રીમાં ગણવામાં આવે છે. પરંતુ તેઓ રેડિયનમાં પણ વ્યક્ત કરી શકાય છે. આ કેવી રીતે કરવું? તમારે નીચે પ્રમાણે આગળ વધવાની જરૂર છે. પ્રથમ, આપણે નિયમિત બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા શોધીએ છીએ, પછી તેમાંથી 2 બાદ કરીએ છીએ આનો અર્થ એ થાય કે આપણને મૂલ્ય મળે છે: n - 2. મળેલા તફાવતને n (“pi” = 3.14) વડે ગુણાકાર કરો. હવે જે બાકી છે તે પરિણામી ઉત્પાદનને n-ગોનમાં ખૂણાઓની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરવાનું છે. ચાલો ઉદાહરણ તરીકે સમાન દસકોણનો ઉપયોગ કરીને આ ગણતરીઓને ધ્યાનમાં લઈએ. તેથી, n સંખ્યા 15 છે. ચાલો S = n(n - 2) : n = 3.14(15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72 સૂત્ર લાગુ કરીએ. અલબત્ત, રેડિયનમાં ખૂણાની ગણતરી કરવાનો આ એકમાત્ર રસ્તો નથી. તમે સરળતાથી કોણને 57.3 દ્વારા ડિગ્રીમાં વિભાજિત કરી શકો છો. છેવટે, આ એક રેડિયનની સમકક્ષ કેટલી ડિગ્રી છે.

ડિગ્રીમાં ખૂણાના મૂલ્યોની ગણતરી

ડિગ્રી અને રેડિયન ઉપરાંત, તમે ડિગ્રીમાં નિયમિત બહુકોણના ખૂણા શોધવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો. આ નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે. ખૂણાઓની કુલ સંખ્યામાંથી 2 બાદ કરો અને પરિણામી તફાવતને નિયમિત બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરો. આપણે મળેલા પરિણામને 200 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. માર્ગ દ્વારા, ડિગ્રી તરીકે કોણ માપવાના આવા એકમનો વ્યવહારિક રીતે ઉપયોગ થતો નથી.

n-ગોન્સના બાહ્ય ખૂણાઓની ગણતરી

કોઈપણ નિયમિત બહુકોણ માટે, આંતરિક એક ઉપરાંત, તમે બાહ્ય ખૂણાની પણ ગણતરી કરી શકો છો. તેનું મૂલ્ય અન્ય આંકડાઓની જેમ જ જોવા મળે છે. તેથી, નિયમિત બહુકોણનો બાહ્ય કોણ શોધવા માટે, તમારે આંતરિક એકનું મૂલ્ય જાણવાની જરૂર છે. આગળ, આપણે જાણીએ છીએ કે આ બે ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા 180 ડિગ્રી જેટલો હોય છે. તેથી, અમે નીચે પ્રમાણે ગણતરી કરીએ છીએ: 180⁰ ઓછા આંતરિક કોણની કિંમત. આપણે તફાવત શોધીએ છીએ. તે તેની બાજુના ખૂણાના મૂલ્ય જેટલું હશે. ઉદાહરણ તરીકે, ચોરસનો આંતરિક કોણ 90 ડિગ્રી છે, જેનો અર્થ છે કે બાહ્ય કોણ 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ હશે. જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ, તે શોધવાનું મુશ્કેલ નથી. બાહ્ય કોણ અનુક્રમે +180⁰ થી -180⁰ સુધીનું મૂલ્ય લઈ શકે છે.

આ પાઠમાં આપણે એક નવો વિષય શરૂ કરીશું અને આપણા માટે એક નવો ખ્યાલ રજૂ કરીશું: “બહુકોણ”. આપણે બહુકોણ સાથે સંકળાયેલા મૂળભૂત વિભાવનાઓને જોઈશું: બાજુઓ, શિરોબિંદુ કોણ, બહિર્મુખતા અને બિન-કન્વેક્સિટી. પછી આપણે બહુકોણના આંતરિક ખૂણાઓના સરવાળા પર પ્રમેય, બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓના સરવાળા પર પ્રમેય જેવા સૌથી મહત્વપૂર્ણ તથ્યો સાબિત કરીશું. પરિણામે, અમે બહુકોણના વિશેષ કેસોનો અભ્યાસ કરવાની નજીક આવીશું, જે આગળના પાઠોમાં ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે.

વિષય: ચતુર્ભુજ

પાઠ: બહુકોણ

ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં, અમે ભૌમિતિક આકૃતિઓના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરીએ છીએ અને તેમાંથી સૌથી સરળ: ત્રિકોણ અને વર્તુળોની તપાસ કરી છે. તે જ સમયે, અમે આ આંકડાઓના ચોક્કસ વિશિષ્ટ કેસોની પણ ચર્ચા કરી, જેમ કે જમણો, સમદ્વિબાજુ અને નિયમિત ત્રિકોણ. હવે વધુ સામાન્ય અને જટિલ આંકડાઓ વિશે વાત કરવાનો સમય છે - બહુકોણ.

ખાસ કેસ સાથે બહુકોણઆપણે પહેલેથી જ પરિચિત છીએ - આ એક ત્રિકોણ છે (ફિગ 1 જુઓ).

ચોખા. 1. ત્રિકોણ

નામ પોતે પહેલેથી જ ભાર મૂકે છે કે આ ત્રણ ખૂણાઓવાળી આકૃતિ છે. તેથી, માં બહુકોણતેમાંના ઘણા હોઈ શકે છે, એટલે કે. ત્રણ કરતાં વધુ. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો પેન્ટાગોન દોરીએ (ફિગ 2 જુઓ), એટલે કે. પાંચ ખૂણાઓ સાથે આકૃતિ.

ચોખા. 2. પેન્ટાગોન. બહિર્મુખ બહુકોણ

વ્યાખ્યા.બહુકોણ- એક આકૃતિ જેમાં કેટલાક બિંદુઓ (બે કરતાં વધુ) અને અનુરૂપ સંખ્યાબંધ વિભાગો છે જે તેમને અનુક્રમે જોડે છે. આ બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે શિખરોબહુકોણ, અને સેગમેન્ટ્સ છે પક્ષો. આ કિસ્સામાં, કોઈ બે અડીને બાજુઓ એક જ સીધી રેખા પર રહેતી નથી અને કોઈ બે બિન-સંલગ્ન બાજુઓ છેદે છે.

વ્યાખ્યા.નિયમિત બહુકોણબહિર્મુખ બહુકોણ છે જેમાં બધી બાજુઓ અને ખૂણા સમાન હોય છે.

કોઈપણ બહુકોણપ્લેનને બે ક્ષેત્રોમાં વહેંચે છે: આંતરિક અને બાહ્ય. આંતરિક વિસ્તાર તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે બહુકોણ.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે તેઓ પેન્ટાગોન વિશે વાત કરે છે, ત્યારે તેનો અર્થ તેનો સમગ્ર આંતરિક વિસ્તાર અને તેની સરહદ બંને થાય છે. અને આંતરિક પ્રદેશમાં બહુકોણની અંદર આવેલા તમામ બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે. બિંદુ પેન્ટાગોનનો પણ ઉલ્લેખ કરે છે (ફિગ 2 જુઓ).

બહુકોણને કેટલીકવાર n-gons પણ કહેવામાં આવે છે, જેના પર ભાર મૂકવામાં આવે છે કે કેટલાક અજ્ઞાત સંખ્યાના ખૂણાઓ (n ટુકડાઓ) ની હાજરીનો સામાન્ય કેસ ગણવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. બહુકોણ પરિમિતિ- બહુકોણની બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો.

હવે આપણે બહુકોણના પ્રકારોથી પરિચિત થવાની જરૂર છે. તેઓ વિભાજિત કરવામાં આવે છે બહિર્મુખઅને બિન-બહિર્મુખ. ઉદાહરણ તરીકે, ફિગમાં બતાવેલ બહુકોણ. 2 બહિર્મુખ છે, અને ફિગમાં. 3 બિન-બહિર્મુખ.

ચોખા. 3. બિન-બહિર્મુખ બહુકોણ

વ્યાખ્યા 1. બહુકોણકહેવાય છે બહિર્મુખ, જો તેની કોઈપણ બાજુઓ દ્વારા સીધી રેખા દોરતી વખતે, સમગ્ર બહુકોણઆ સીધી રેખાની માત્ર એક બાજુ પર આવેલું છે. બિન-બહિર્મુખબીજા બધા છે બહુકોણ.

ફિગમાં પેન્ટાગોનની કોઈપણ બાજુને વિસ્તરે ત્યારે કલ્પના કરવી સરળ છે. 2 તે બધું આ સીધી રેખાની એક બાજુ પર હશે, એટલે કે. તે બહિર્મુખ છે. પરંતુ જ્યારે ફિગમાં ચતુષ્કોણ દ્વારા સીધી રેખા દોરો. 3 આપણે પહેલેથી જ જોયું છે કે તે તેને બે ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે, એટલે કે. તે બહિર્મુખ નથી.

પરંતુ બહુકોણની બહિર્મુખતાની બીજી વ્યાખ્યા છે.

વ્યાખ્યા 2. બહુકોણકહેવાય છે બહિર્મુખ, જો તેના આંતરિક બિંદુઓમાંથી કોઈપણ બે પસંદ કરતી વખતે અને તેમને સેગમેન્ટ સાથે જોડતી વખતે, સેગમેન્ટના તમામ બિંદુઓ પણ બહુકોણના આંતરિક બિંદુઓ છે.

આ વ્યાખ્યાના ઉપયોગનું પ્રદર્શન ફિગમાં સેગમેન્ટ બનાવવાના ઉદાહરણમાં જોઈ શકાય છે. 2 અને 3.

વ્યાખ્યા. કર્ણબહુકોણ એ બે બિન-સંલગ્ન શિરોબિંદુઓને જોડતો કોઈપણ સેગમેન્ટ છે.

બહુકોણના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરવા માટે, તેમના ખૂણા વિશે બે સૌથી મહત્વપૂર્ણ પ્રમેય છે: બહિર્મુખ બહુકોણના આંતરિક ખૂણાઓના સરવાળા પર પ્રમેયઅને બહિર્મુખ બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓના સરવાળા પરનું પ્રમેય. ચાલો તેમને જોઈએ.

પ્રમેય. બહિર્મુખ બહુકોણના આંતરિક ખૂણાઓના સરવાળા પર (n-ગોન).

તેના ખૂણા (બાજુઓ) ની સંખ્યા ક્યાં છે.

પુરાવો 1. ચાલો ફિગમાં દર્શાવીએ. 4 બહિર્મુખ n-gon.

ચોખા. 4. બહિર્મુખ n-gon

શિરોબિંદુમાંથી આપણે તમામ સંભવિત કર્ણ દોરીએ છીએ. તેઓ n-ગોનને ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે, કારણ કે બહુકોણની દરેક બાજુઓ શિરોબિંદુને અડીને આવેલી બાજુઓ સિવાય ત્રિકોણ બનાવે છે. આકૃતિ પરથી એ જોવાનું સરળ છે કે આ બધા ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો n-ગોનના આંતરિક ખૂણાના સરવાળા બરાબર હશે. કોઈપણ ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો હોવાથી, n-ગોનના આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો છે:

Q.E.D.

પુરાવો 2. આ પ્રમેયનો બીજો પુરાવો શક્ય છે. ચાલો ફિગમાં સમાન n-gon દોરીએ. 5 અને તેના કોઈપણ આંતરિક બિંદુઓને તમામ શિરોબિંદુઓ સાથે જોડો.

ચોખા. 5.

આપણે n-ગોનનું n ત્રિકોણમાં વિભાજન મેળવ્યું છે (ત્રિકોણ જેટલી બાજુઓ છે). તેમના તમામ ખૂણાઓનો સરવાળો બહુકોણના આંતરિક ખૂણાના સરવાળા અને આંતરિક બિંદુ પરના ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો છે અને આ કોણ છે. અમારી પાસે છે:

Q.E.D.

સાબિત.

સાબિત પ્રમેય મુજબ, તે સ્પષ્ટ છે કે n-ગોનના ખૂણાઓનો સરવાળો તેની બાજુઓની સંખ્યા (n પર) પર આધારિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણમાં, અને ખૂણાઓનો સરવાળો છે. ચતુર્ભુજમાં, અને ખૂણાઓનો સરવાળો છે, વગેરે.

પ્રમેય. બહિર્મુખ બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓના સરવાળા પર (n-ગોન).

તેના ખૂણા (બાજુઓ) ની સંખ્યા ક્યાં છે અને , ..., બાહ્ય ખૂણા છે.

પુરાવો. ચાલો ફિગમાં બહિર્મુખ એન-ગોનનું ચિત્રણ કરીએ. 6 અને તેના આંતરિક અને બાહ્ય ખૂણાઓને નિયુક્ત કરો.

ચોખા. 6. નિયુક્ત બાહ્ય ખૂણાઓ સાથે બહિર્મુખ n-gon

કારણ કે બાહ્ય ખૂણો અડીને, પછી આંતરિક એક સાથે જોડાયેલ છે અને તે જ રીતે બાકીના બાહ્ય ખૂણાઓ માટે. પછી:

રૂપાંતરણો દરમિયાન, અમે n-gon ના આંતરિક ખૂણાઓના સરવાળા વિશે પહેલાથી જ સાબિત થયેલ પ્રમેયનો ઉપયોગ કર્યો.

સાબિત.

સાબિત થયેલા પ્રમેયમાંથી એક રસપ્રદ હકીકત અનુસરે છે કે બહિર્મુખ n-ગોનના બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો બરાબર છે તેના ખૂણા (બાજુઓ) ની સંખ્યા પર. માર્ગ દ્વારા, આંતરિક ખૂણાઓના સરવાળાથી વિપરીત.

સંદર્ભો

1. એલેક્ઝાન્ડ્રોવ એ.ડી. અને અન્ય ભૂમિતિ, 8 ગ્રેડ. - એમ.: શિક્ષણ, 2006.
2. બુતુઝોવ વી.એફ., કડોમત્સેવ એસ.બી., પ્રસોલોવ વી.વી. ભૂમિતિ, 8 મા ધોરણ. - એમ.: શિક્ષણ, 2011.
3. મેર્ઝલ્યાક એ.જી., પોલોન્સકી વી.બી., યાકીર એસ.એમ. ભૂમિતિ, 8 મા ધોરણ. - એમ.: વેન્ટાના-ગ્રાફ, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

હોમવર્ક

વિષય: "બહુકોણના પ્રકાર"

9મા ધોરણ

SHL નંબર 20

શિક્ષક: ખારીટોનોવિચ ટી.આઈ.પાઠનો હેતુ: બહુકોણના પ્રકારોનો અભ્યાસ કરો.

શીખવાનું કાર્ય:બહુકોણ વિશે વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનને અપડેટ કરો, વિસ્તૃત કરો અને સામાન્ય બનાવો; બહુકોણના "ઘટક ભાગો" નો વિચાર બનાવો; નિયમિત બહુકોણના ઘટક તત્વોની સંખ્યાનો અભ્યાસ કરો (ત્રિકોણથી એન-ગોન સુધી);

વિકાસલક્ષી કાર્ય:વિશ્લેષણ, સરખામણી, તારણો કાઢવા, કોમ્પ્યુટેશનલ કુશળતા, મૌખિક અને લેખિત ગાણિતિક ભાષણ, મેમરી, તેમજ વિચાર અને શીખવાની પ્રવૃત્તિઓમાં સ્વતંત્રતા, જોડી અને જૂથોમાં કામ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવવાની ક્ષમતા; સંશોધન અને શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓનો વિકાસ;

શૈક્ષણિક કાર્ય:સ્વતંત્રતા, પ્રવૃત્તિ, સોંપેલ કાર્ય માટેની જવાબદારી, ધ્યેય પ્રાપ્ત કરવામાં દ્રઢતા કેળવો.

સાધનો: ઇન્ટરેક્ટિવ વ્હાઇટબોર્ડ (પ્રસ્તુતિ)

પાઠ પ્રગતિ

પ્રસ્તુતિ દર્શાવે છે: "બહુકોણ"

"પ્રકૃતિ ગણિતની ભાષા બોલે છે, આ ભાષાના અક્ષરો ... ગાણિતિક આંકડાઓ." જી.ગેલીલી

પાઠની શરૂઆતમાં, વર્ગને કાર્યકારી જૂથોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે (અમારા કિસ્સામાં, 3 જૂથોમાં વિભાજિત)

1. કૉલ સ્ટેજ-

a) વિષય પર વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનને અપડેટ કરવું;

b) અભ્યાસ કરવામાં આવતા વિષયમાં રસ જાગૃત કરવો, દરેક વિદ્યાર્થીને શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓ માટે પ્રેરિત કરવો.

ટેકનીક: ગેમ "શું તમે માનો છો કે...", ટેક્સ્ટ સાથે કામનું સંગઠન.

કાર્યના સ્વરૂપો: આગળનો, જૂથ.

"શું તમે માનો છો કે..."

1. ... શબ્દ "બહુકોણ" સૂચવે છે કે આ પરિવારની તમામ આકૃતિઓ "ઘણા ખૂણાઓ" ધરાવે છે?

2. ... શું ત્રિકોણ બહુકોણના વિશાળ પરિવારનો છે, જે પ્લેનમાં વિવિધ ભૌમિતિક આકારોની વિવિધતામાં અલગ છે?

3. ... શું ચોરસ નિયમિત અષ્ટકોણ (ચાર બાજુ + ચાર ખૂણા) છે?

આજે પાઠમાં આપણે બહુકોણ વિશે વાત કરીશું. આપણે જાણીએ છીએ કે આ આંકડો બંધ તૂટેલી લાઇન દ્વારા મર્યાદિત છે, જે બદલામાં સરળ, બંધ થઈ શકે છે. ચાલો એ હકીકત વિશે વાત કરીએ કે બહુકોણ સપાટ, નિયમિત અથવા બહિર્મુખ હોઈ શકે છે. સપાટ બહુકોણમાંથી એક ત્રિકોણ છે, જેની સાથે તમે લાંબા સમયથી પરિચિત છો (તમે વિદ્યાર્થીઓને બહુકોણ દર્શાવતા પોસ્ટરો, એક તૂટેલી રેખા, તેમના વિવિધ પ્રકારો બતાવી શકો છો, તમે TSO નો ઉપયોગ પણ કરી શકો છો).

2. વિભાવના સ્ટેજ

ધ્યેય: નવી માહિતી મેળવવી, તેને સમજવી, તેને પસંદ કરવી.

ટેકનીક: ઝિગઝેગ.

કાર્યના સ્વરૂપો: વ્યક્તિગત->જોડી->જૂથ.

જૂથના દરેક સભ્યને પાઠના વિષય પર એક ટેક્સ્ટ આપવામાં આવે છે, અને ટેક્સ્ટને એવી રીતે સંકલિત કરવામાં આવે છે કે તેમાં વિદ્યાર્થીઓને પહેલેથી જ જાણીતી માહિતી અને સંપૂર્ણપણે નવી માહિતી બંનેનો સમાવેશ થાય છે. ટેક્સ્ટની સાથે, વિદ્યાર્થીઓ પ્રશ્નો મેળવે છે, જેના જવાબો આ ટેક્સ્ટમાં હોવા જોઈએ.

બહુકોણ. બહુકોણના પ્રકાર.

કોણે રહસ્યમય બર્મુડા ત્રિકોણ વિશે સાંભળ્યું નથી, જેમાં વહાણો અને વિમાનો કોઈ નિશાન વિના અદૃશ્ય થઈ જાય છે? પરંતુ ત્રિકોણ, બાળપણથી જ આપણને પરિચિત છે, તે ઘણી બધી રસપ્રદ અને રહસ્યમય વસ્તુઓથી ભરપૂર છે.

ત્રિકોણના પ્રકારો જે આપણને પહેલાથી જ ઓળખે છે તે ઉપરાંત, બાજુઓ (સ્કેલિન, સમદ્વિબાજુ, સમભુજ) અને ખૂણા (તીવ્ર, સ્થૂળ, લંબચોરસ) દ્વારા વિભાજિત, ત્રિકોણ બહુકોણના વિશાળ પરિવારનો છે, જે વિવિધ ભૌમિતિક આકારોમાં અલગ છે. વિમાન

"બહુકોણ" શબ્દ સૂચવે છે કે આ પરિવારની તમામ આકૃતિઓ "ઘણા ખૂણાઓ" ધરાવે છે. પરંતુ આકૃતિને દર્શાવવા માટે આ પૂરતું નથી.

તૂટેલી રેખા A1A2...A એ એક આકૃતિ છે જેમાં પોઈન્ટ A1,A2,...A અને સેગમેન્ટ્સ A1A2, A2A3,... તેમને જોડે છે. બિંદુઓને પોલિલાઇનના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે, અને વિભાગોને પોલિલાઇનની લિંક્સ કહેવામાં આવે છે. (ફિગ.1)

તૂટેલી રેખાને સરળ કહેવામાં આવે છે જો તેમાં કોઈ સ્વ-છેદન ન હોય (ફિગ. 2, 3).

જો તેના છેડા એકસરખા હોય તો તેને બંધ કહેવામાં આવે છે. તૂટેલી રેખાની લંબાઈ તેની લિંક્સની લંબાઈનો સરવાળો છે (ફિગ. 4)

એક સરળ બંધ તૂટેલી રેખાને બહુકોણ કહેવામાં આવે છે જો તેની પડોશી કડીઓ સમાન સીધી રેખા પર ન હોય (ફિગ. 5).

"ઘણા" ભાગને બદલે "બહુકોણ" શબ્દમાં, ઉદાહરણ તરીકે 3, ચોક્કસ સંખ્યાને બદલો. તમને ત્રિકોણ મળશે. અથવા 5. પછી - એક પેન્ટાગોન. નોંધ કરો કે, જેટલા ખૂણા છે, તેટલી બાજુઓ છે, તેથી આ આંકડાઓને બહુપક્ષીય કહી શકાય.

તૂટેલી રેખાના શિરોબિંદુઓને બહુકોણના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે, અને તૂટેલી રેખાની લિંક્સને બહુકોણની બાજુઓ કહેવામાં આવે છે.

બહુકોણ પ્લેનને બે વિસ્તારોમાં વિભાજિત કરે છે: આંતરિક અને બાહ્ય (ફિગ. 6).

પ્લેન બહુકોણ અથવા બહુકોણ વિસ્તાર એ બહુકોણ દ્વારા બંધાયેલ પ્લેનનો મર્યાદિત ભાગ છે.

બહુકોણના બે શિરોબિંદુઓ કે જે એક બાજુના છેડા છે તેને સંલગ્ન કહેવામાં આવે છે. શિરોબિંદુઓ કે જે એક બાજુના છેડા નથી તે બિન-પડોશી છે.

n શિરોબિંદુઓ અને તેથી n બાજુઓ સાથેનો બહુકોણ, n-ગોન કહેવાય છે.

જોકે બહુકોણની બાજુઓની સૌથી નાની સંખ્યા 3 છે. પરંતુ ત્રિકોણ, જ્યારે એકબીજા સાથે જોડાયેલ હોય, ત્યારે અન્ય આકૃતિઓ બનાવી શકે છે, જે બદલામાં બહુકોણ પણ છે.

બહુકોણના બિન-સંલગ્ન શિરોબિંદુઓને જોડતા ભાગોને કર્ણ કહેવામાં આવે છે.

બહુકોણને બહિર્મુખ કહેવામાં આવે છે જો તે તેની બાજુ ધરાવતી કોઈપણ રેખાની તુલનામાં સમાન અર્ધ-વિમાનમાં હોય. આ કિસ્સામાં, સીધી રેખા પોતે અર્ધ પ્લેન સાથે સંબંધિત માનવામાં આવે છે

આપેલ શિરોબિંદુ પર બહિર્મુખ બહુકોણનો ખૂણો તેની બાજુઓ દ્વારા આ શિરોબિંદુ પર એકરૂપ થવાથી બનેલો ખૂણો છે.

ચાલો પ્રમેય સાબિત કરીએ (બહિર્મુખ n-ગોનના ખૂણાઓના સરવાળા વિશે): બહિર્મુખ n-gon ના ખૂણાઓનો સરવાળો 1800*(n - 2) ની બરાબર છે.

પુરાવો. n=3 કિસ્સામાં પ્રમેય માન્ય છે. ચાલો A1A2...A n ને આપેલ બહિર્મુખ બહુકોણ અને n>3. ચાલો તેમાં કર્ણ દોરીએ (એક શિરોબિંદુમાંથી). બહુકોણ બહિર્મુખ હોવાથી, આ કર્ણ તેને n – 2 ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. બહુકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો એ આ બધા ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો છે. દરેક ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 1800 છે, અને આ ત્રિકોણ n ની સંખ્યા 2 છે. તેથી, બહિર્મુખ n ત્રિકોણ A1A2...A n ના ખૂણાઓનો સરવાળો 1800* (n - 2) છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

આપેલ શિરોબિંદુ પર બહિર્મુખ બહુકોણનો બાહ્ય કોણ એ આ શિરોબિંદુ પરના બહુકોણના આંતરિક ખૂણાને અડીને આવેલો ખૂણો છે.

બહિર્મુખ બહુકોણને નિયમિત કહેવામાં આવે છે જો તેની બધી બાજુઓ સમાન હોય અને બધા ખૂણા સમાન હોય.

તેથી ચોરસને અલગ રીતે કહી શકાય - નિયમિત ચતુર્ભુજ. સમબાજુ ત્રિકોણ પણ નિયમિત છે. ઇમારતોને સુશોભિત કરનારા કારીગરો માટે આવા આંકડા લાંબા સમયથી રસ ધરાવતા હતા. તેઓએ સુંદર પેટર્ન બનાવ્યાં, ઉદાહરણ તરીકે લાકડાંની પર. પરંતુ તમામ નિયમિત બહુકોણનો ઉપયોગ લાકડાનું પાતળું પડ બનાવવા માટે થઈ શકતો નથી. નિયમિત અષ્ટકોણમાંથી લાકડી બનાવી શકાતી નથી. હકીકત એ છે કે દરેક ખૂણો 1350 ની બરાબર છે. અને જો કોઈપણ બિંદુ આવા બે અષ્ટકોણનું શિરોબિંદુ હોય, તો તેનો હિસ્સો 2700 હશે, અને ત્રીજા અષ્ટકોણ માટે ત્યાં કોઈ સ્થાન નથી: 3600 - 2700 = 900. પરંતુ ચોરસ માટે આ પૂરતું છે. તેથી, તમે નિયમિત અષ્ટકોણ અને ચોરસમાંથી લાકડાનું પાતળું પડ બનાવી શકો છો.

તારાઓ પણ સાચા છે. આપણો પાંચ-પોઇન્ટેડ તારો નિયમિત પંચકોણીય તારો છે. અને જો તમે ચોરસ 450 ને કેન્દ્રની આસપાસ ફેરવો છો, તો તમને નિયમિત અષ્ટકોણ તારો મળે છે.

તૂટેલી રેખા શું છે? પોલિલાઇનના શિરોબિંદુઓ અને લિંક્સ શું છે તે સમજાવો.

કઈ તૂટેલી લાઇનને સરળ કહેવામાં આવે છે?

કઈ તૂટેલી લાઈન બંધ કહેવાય છે?

બહુકોણ શું કહેવાય છે? બહુકોણના શિરોબિંદુઓને શું કહેવામાં આવે છે? બહુકોણની બાજુઓને શું કહે છે?

કયા બહુકોણને સપાટ કહેવામાં આવે છે? બહુકોણના ઉદાહરણો આપો.

n – ચોરસ શું છે?

બહુકોણના કયા શિરોબિંદુઓ અડીને છે અને કયા નથી તે સમજાવો.

બહુકોણનો કર્ણ શું છે?

કયા બહુકોણને બહિર્મુખ કહેવામાં આવે છે?

બહુકોણના કયા ખૂણા બાહ્ય છે અને કયા આંતરિક છે તે સમજાવો?

કયા બહુકોણને નિયમિત કહેવામાં આવે છે? નિયમિત બહુકોણના ઉદાહરણો આપો.

બહિર્મુખ n-ગોનના ખૂણાઓનો સરવાળો કેટલો છે? તે સાબિત કરો.

વિદ્યાર્થીઓ ટેક્સ્ટ સાથે કામ કરે છે, પૂછાયેલા પ્રશ્નોના જવાબો શોધે છે, ત્યારબાદ નિષ્ણાત જૂથો રચાય છે, જેમાં સમાન મુદ્દાઓ પર કાર્ય હાથ ધરવામાં આવે છે: વિદ્યાર્થીઓ મુખ્ય મુદ્દાઓને પ્રકાશિત કરે છે, સહાયક સારાંશ દોરે છે અને તેમાંની એકમાં માહિતી રજૂ કરે છે. ગ્રાફિક સ્વરૂપો. કાર્ય પૂર્ણ થયા પછી, વિદ્યાર્થીઓ તેમના કાર્ય જૂથોમાં પાછા ફરે છે.

3. પ્રતિબિંબ સ્ટેજ -

એ) વ્યક્તિના જ્ઞાનનું મૂલ્યાંકન, જ્ઞાનના આગલા પગલા માટે પડકાર;

b) પ્રાપ્ત માહિતીની સમજ અને વિનિયોગ.

સ્વાગત: સંશોધન કાર્ય.

કાર્યના સ્વરૂપો: વ્યક્તિગત->જોડી->જૂથ.

કાર્યકારી જૂથોમાં સૂચિત પ્રશ્નોના દરેક વિભાગના જવાબ આપવા માટે નિષ્ણાતોનો સમાવેશ થાય છે.

કાર્યકારી જૂથમાં પાછા ફરતા, નિષ્ણાત તેના પ્રશ્નોના જવાબો અન્ય જૂથના સભ્યોને રજૂ કરે છે. જૂથ કાર્યકારી જૂથના તમામ સભ્યો વચ્ચે માહિતીની આપલે કરે છે. આમ, દરેક કાર્યકારી જૂથમાં, નિષ્ણાતોના કાર્યને આભારી છે, જે વિષયનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે તેની સામાન્ય સમજણ રચાય છે.

વિદ્યાર્થી સંશોધન કાર્ય- ટેબલ ભરો.

નિયમિત બહુકોણ રેખાંકન બાજુઓની સંખ્યા શિરોબિંદુઓની સંખ્યા તમામ આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો આંતરિક ડિગ્રી માપ. બાહ્ય કોણનું કોણ ડિગ્રી માપ કર્ણની સંખ્યા

એ) ત્રિકોણ

બી) ચતુર્ભુજ

બી) પાંચ છિદ્ર

ડી) ષટ્કોણ

ડી) એન-ગોન

પાઠના વિષય પર રસપ્રદ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ.

1) નિયમિત બહુકોણની કેટલી બાજુઓ હોય છે, જેનો દરેક આંતરિક ખૂણો 1350 છે?

2) ચોક્કસ બહુકોણમાં, બધા આંતરિક ખૂણા એકબીજાના સમાન હોય છે. શું આ બહુકોણના આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો હોઈ શકે: 3600, 3800?

3) શું 100,103,110,110,116 ડિગ્રીના ખૂણા સાથે પેન્ટાગોન બનાવવું શક્ય છે?

પાઠનો સારાંશ.

હોમવર્કનું રેકોર્ડિંગ: પૃષ્ઠ 66-72 નંબર 15,17 અને કાર્ય: ચતુષ્કોણમાં, એક સીધી રેખા દોરો જેથી તે તેને ત્રણ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે.

પરીક્ષણોના સ્વરૂપમાં પ્રતિબિંબ (ઇન્ટરેક્ટિવ વ્હાઇટબોર્ડ પર)

બંધ તૂટેલી રેખાથી બંધાયેલ પ્લેનનો ભાગ બહુકોણ કહેવાય છે.

આ તૂટેલી રેખાના સેગમેન્ટ્સ કહેવામાં આવે છે પક્ષોબહુકોણ AB, BC, CD, DE, EA (ફિગ. 1) એ બહુકોણ ABCDE ની બાજુઓ છે. બહુકોણની બધી બાજુઓનો સરવાળો તેના કહેવાય છે પરિમિતિ.

બહુકોણ કહેવાય છે બહિર્મુખ, જો તે તેની કોઈપણ બાજુઓની એક બાજુ પર સ્થિત હોય, તો અનિશ્ચિત રૂપે બંને શિરોબિંદુઓથી આગળ વિસ્તૃત.

MNPKO બહુકોણ (ફિગ. 1) બહિર્મુખ હશે નહીં, કારણ કે તે સીધી રેખા KR ની એક કરતાં વધુ બાજુ પર સ્થિત છે.

અમે ફક્ત બહિર્મુખ બહુકોણને ધ્યાનમાં લઈશું.

બહુકોણની બે અડીને બાજુઓ દ્વારા બનેલા ખૂણાને તેના કહેવામાં આવે છે આંતરિકખૂણા, અને તેમની ટોચ છે બહુકોણના શિરોબિંદુઓ.

બહુકોણના બે બિન-સંલગ્ન શિરોબિંદુઓને જોડતી સીધી રેખાખંડને બહુકોણનો કર્ણ કહેવામાં આવે છે.

એસી, એડી - બહુકોણના કર્ણ (ફિગ. 2).

બહુકોણના આંતરિક ખૂણાઓને અડીને આવેલા ખૂણાઓને બહુકોણના બાહ્ય ખૂણા કહેવામાં આવે છે (ફિગ. 3).

ખૂણા (બાજુઓ) ની સંખ્યાના આધારે બહુકોણને ત્રિકોણ, ચતુર્ભુજ, પંચકોણ, વગેરે કહેવામાં આવે છે.

બે બહુકોણ એકરૂપ હોવાનું કહેવાય છે જો તેમને ઓવરલેપ કરીને એકસાથે લાવી શકાય.

અંકિત અને પરિમાણિત બહુકોણ

જો બહુકોણના બધા શિરોબિંદુ વર્તુળ પર આવેલા હોય, તો બહુકોણ કહેવાય છે અંકિતવર્તુળમાં, અને વર્તુળમાં - વર્ણવેલબહુકોણની નજીક (અંજીર).

જો બહુકોણની બધી બાજુઓ વર્તુળની સ્પર્શક હોય, તો બહુકોણ કહેવાય છે વર્ણવેલવર્તુળ વિશે, અને વર્તુળ કહેવામાં આવે છે અંકિતબહુકોણમાં (ફિગ.).

બહુકોણની સમાનતા

સમાન નામના બે બહુકોણ સમાન કહેવાય છે જો તેમાંથી એકનો ખૂણો અનુક્રમે બીજાના ખૂણા સમાન હોય અને બહુકોણની સમાન બાજુઓ પ્રમાણસર હોય.

બાજુઓની સમાન સંખ્યા (કોણ) ધરાવતા બહુકોણને સમાન નામના બહુકોણ કહેવામાં આવે છે.

અનુરૂપ સમાન ખૂણાઓના શિરોબિંદુઓને જોડતા સમાન બહુકોણની બાજુઓને સમાન (ફિગ) કહેવામાં આવે છે.

તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, બહુકોણ ABCDE એ બહુકોણ A'B'C'D'E' સમાન હોય તે માટે, તે જરૂરી છે કે: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' અને વધુમાં, AB/A'B' = BC/B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA/E'A' .

સમાન બહુકોણની પરિમિતિનો ગુણોત્તર

પ્રથમ, સમાન ગુણોત્તરની શ્રેણીની મિલકતને ધ્યાનમાં લો. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના ગુણોત્તર જોઈએ: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 = 2.

ચાલો આ સંબંધોની અગાઉની શરતોનો સરવાળો શોધીએ, પછી તેમની અનુગામી શરતોનો સરવાળો અને પરિણામી રકમનો ગુણોત્તર શોધીએ, આપણને મળે છે:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

જો આપણે કેટલાક અન્ય સંબંધોની શ્રેણી લઈએ તો આપણને સમાન વસ્તુ મળે છે, ઉદાહરણ તરીકે: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 ચાલો અગાઉના પદોનો સરવાળો શોધીએ. આ સંબંધોમાંથી અને અનુગામી રાશિઓનો સરવાળો, અને પછી આ રકમોનો ગુણોત્તર શોધીએ, આપણને મળે છે:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

બંને કિસ્સાઓમાં, સમાન સંબંધોની શ્રેણીના અગાઉના સભ્યોનો સરવાળો સમાન શ્રેણીના અનુગામી સભ્યોના સરવાળા સાથે સંબંધિત છે, જેમ કે આમાંના કોઈપણ સંબંધોના અગાઉના સભ્ય તેના અનુગામી સભ્ય સાથે સંબંધિત છે.

અમે સંખ્યાબંધ સંખ્યાત્મક ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લઈને આ ગુણધર્મ મેળવ્યો છે. તે સખત અને સામાન્ય સ્વરૂપમાં મેળવી શકાય છે.

હવે સમાન બહુકોણના પરિમિતિના ગુણોત્તરને ધ્યાનમાં લો.

બહુકોણ ABCDE ને બહુકોણ A'B'C'D'E' (ફિગ) જેવું જ રહેવા દો.

આ બહુકોણની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે

AB/A’B’ = BC/B’C’ = CD/C’D’ = DE/D’E’ = EA/E’A’

સમાન ગુણોત્તરની શ્રેણી માટે અમે મેળવેલી મિલકતના આધારે, અમે લખી શકીએ છીએ:

આપણે લીધેલા સંબંધોની અગાઉની શરતોનો સરવાળો પ્રથમ બહુકોણ (P) ની પરિમિતિ દર્શાવે છે અને આ સંબંધોની અનુગામી શરતોનો સરવાળો બીજા બહુકોણ (P') ની પરિમિતિ દર્શાવે છે, જેનો અર્થ થાય છે P/P ' = AB/A'B'.

આથી, સમાન બહુકોણની પરિમિતિ તેમની સમાન બાજુઓ સાથે સંબંધિત છે.

સમાન બહુકોણના ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર

ABCDE અને A'B'C'D'E ને સમાન બહુકોણ (ફિગ) થવા દો.

તે જાણીતું છે કે ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' અને ΔADE ~ ΔA'D'E'.

ઉપરાંત,

;

કારણ કે આ પ્રમાણનો બીજો ગુણોત્તર સમાન છે, જે બહુકોણની સમાનતાને અનુસરે છે

સમાન ગુણોત્તરની શ્રેણીની મિલકતનો ઉપયોગ કરીને અમને મળે છે:

અથવા

જ્યાં S અને S' આ સમાન બહુકોણના વિસ્તારો છે.

આથી, સમાન બહુકોણના વિસ્તારો સમાન બાજુઓના ચોરસ તરીકે સંબંધિત છે.

પરિણામી સૂત્રને આ ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે: S/S’ = (AB/A’B’) 2

મનસ્વી બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ

મનસ્વી ચતુષ્કોણ ABC (ફિગ) ના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

ચાલો તેમાં એક કર્ણ દોરીએ, ઉદાહરણ તરીકે AD. આપણને બે ત્રિકોણ ABD અને ACD મળે છે, જેના વિસ્તારોની આપણે ગણતરી કરી શકીએ છીએ. પછી આપણે આ ત્રિકોણના ક્ષેત્રોનો સરવાળો શોધીએ છીએ. પરિણામી સરવાળો આ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવશે.

જો તમારે પેન્ટાગોનના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાની જરૂર હોય, તો અમે તે જ કરીએ છીએ: અમે શિરોબિંદુઓમાંથી એકમાંથી કર્ણ દોરીએ છીએ. આપણને ત્રણ ત્રિકોણ મળે છે, જેના વિસ્તારોની આપણે ગણતરી કરી શકીએ છીએ. આનો અર્થ એ છે કે આપણે આ પેન્ટાગોનનો વિસ્તાર શોધી શકીએ છીએ. કોઈપણ બહુકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરતી વખતે આપણે તે જ કરીએ છીએ.

બહુકોણનો અંદાજિત વિસ્તાર

ચાલો યાદ કરીએ કે રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો કોણ એ આપેલ રેખા અને તેના સમતલ પરના પ્રક્ષેપણ વચ્ચેનો ખૂણો છે (ફિગ.).

પ્રમેય. પ્લેન પર બહુકોણના ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણનો વિસ્તાર, બહુકોણના પ્લેન અને પ્રોજેક્શન પ્લેન દ્વારા રચાયેલા કોણના કોસાઇન દ્વારા ગુણાકાર કરાયેલ અંદાજિત બહુકોણના વિસ્તાર જેટલો છે.

દરેક બહુકોણને ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરી શકાય છે જેના ક્ષેત્રોનો સરવાળો બહુકોણના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે. તેથી, ત્રિકોણ માટે પ્રમેય સાબિત કરવા માટે તે પૂરતું છે.

ΔАВС ને પ્લેન પર પ્રક્ષેપિત થવા દો આર. ચાલો બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ:

a) બાજુઓમાંથી એક ΔABC પ્લેનની સમાંતર છે આર;

b) કોઈ પણ બાજુ ΔABC સમાંતર નથી આર.

ચાલો વિચાર કરીએ પ્રથમ કેસ: દો [AB] || આર.

ચાલો (AB) દ્વારા વિમાન દોરીએ આર 1 || આરઅને પ્રોજેક્ટ ઓર્થોગોનલી ΔАВС ચાલુ કરો આર 1 અને પર આર(ચોખા.); આપણને ΔАВС 1 અને ΔА'В'С' મળે છે.

પ્રક્ષેપણની મિલકત દ્વારા અમારી પાસે ΔАВС 1 (કોંગ) ΔА'В'С' છે, અને તેથી

S Δ ABC1 = S Δ A'B'C'

ચાલો ⊥ અને સેગમેન્ટ D 1 C 1 દોરીએ. પછી ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ એ સમતલ ΔABC અને સમતલ વચ્ચેના ખૂણાનું મૂલ્ય છે. આર 1. તેથી જ

S Δ ABC1 = 1/2 | એબી | | C 1 D 1 | = 1/2 | એબી | | સીડી 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

અને, તેથી, S Δ A'B'C = S Δ ABC cos φ.

ચાલો વિચારણા કરવા આગળ વધીએ બીજો કેસ. ચાલો એક પ્લેન દોરીએ આર 1 || આરતે શિરોબિંદુ ΔАВС દ્વારા, જે અંતરથી વિમાન સુધી આરસૌથી નાનું (આને શિરોબિંદુ A રહેવા દો).

ચાલો પ્લેન પર ΔАВС ને પ્રોજેક્ટ કરીએ આર 1 અને આર(ચોખા.); તેના અનુમાનો અનુક્રમે ΔАВ 1 С 1 અને ΔА'В'С' થવા દો.

ચાલો (BC) ∩ પી 1 = D. પછી

S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

• જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

• અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
• સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
• અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
• જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

• જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા રશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશમાં સરકારી સત્તાવાળાઓની જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા માટે. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
• પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.