કઈ પુનરાવર્તિત પદ્ધતિ ઝડપથી કન્વર્જ થાય છે? પુનરાવર્તન પદ્ધતિ

∀ x 1 , x 2 ∈ (a , b) , x 1 તે તેને અનુસરે છેα ≈ | φ ′ (ξ) |

(\displaystyle \alpha \approx |\varphi "(\xi)|)[ | ]

. આમ, એકરૂપ થવાની પદ્ધતિ માટે તે પૂરતું છે અનુગામી અંદાજની પદ્ધતિઅથવા સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ દ્વારા. જો કે, સમીકરણને અલગ અલગ રીતે સમાન મૂળ ધરાવતા સંકોચન નકશામાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. આ સંખ્યાબંધ વિશિષ્ટ પદ્ધતિઓને જન્મ આપે છે જે રેખીય અને ઉચ્ચ કન્વર્જન્સ રેટ ધરાવે છે.

SLAU ના સંબંધમાં[ | ]

સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો:

( a 11 x 1 + … + a 1 n x n = b 1 … a n 1 x 1 + … + a n n x n = b n (\displaystyle \left\((\begin(array)(ccc)a_(11)x_(1))+ \ldots +a_(1n)x_(n)&=&b_(1)\\\ldots &&\\a_(n1)x_(1)+\ldots +a_(nn)x_(n)&=&b_(n) \અંત(એરે))\જમણે.)

તેના માટે, પુનરાવર્તિત ગણતરી આના જેવી દેખાશે:

(x 1 x 2 ⋮ x n) i + 1 = (a 11 + 1 a 12 … a 1 n a 21 a 22 + 1 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n + 1) (x 1 x2 ⋮ x n) i − (b 1 b 2 ⋮ b n) (\displaystyle \left((\begin(array)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\ end (એરે)\જમણે)^(i+1)=\left((\begin(array)(cccc)a_(11)+1&a_(12)&\ldots &a_(1n)\\a_(21)&a_( 22)+1&\ldots &a_(2n)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_(n1)&a_(n2)&\ldots &a_(nn)+1\end(એરે))\જમણે )\left((\begin(array)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\end(array))\right)^(i)-\left( (\begin(એરે)(c)b_(1)\\b_(2)\\\vdots \\b_(n)\end(એરે))\જમણે))

જો પદ્ધતિ રેખીય ઝડપ સાથે કન્વર્જ થશે ‖ a 11 + 1 … a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 … a n n + 1 ‖< 1 {\displaystyle \left\|{\begin{array}{ccc}a_{11}+1&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}+1\end{array}}\right\|<1}

ડબલ વર્ટિકલ બાર મેટ્રિક્સના કેટલાક ધોરણ સૂચવે છે.

ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ f(x)=0 નો ઉકેલ, પ્રારંભિક અંદાજ: x 1 =a.

ન્યુટનની પદ્ધતિ (સ્પર્શી પદ્ધતિ)[ | ]

એક-પરિમાણીય કેસ[ | ]

મૂળ સમીકરણના પરિવર્તનને ઑપ્ટિમાઇઝ કરવું f (x) = 0 (\ પ્રદર્શન શૈલી f(x)=0)સંકુચિત પ્રદર્શનમાં x = φ (x) (\displaystyle x=\varphi (x))અમને કન્વર્જન્સના ચતુર્ભુજ દર સાથે પદ્ધતિ મેળવવાની મંજૂરી આપે છે.

મેપિંગને સૌથી વધુ અસરકારક બનાવવા માટે, તે જરૂરી છે કે આગામી પુનરાવર્તનના બિંદુએ x ∗ (\Displaystyle x^(*))હાથ ધરવામાં આવે છે φ ′ (x ∗) = 0 (\displaystyle \varphi "(x^(*))=0). અમે ફોર્મમાં આ સમીકરણનો ઉકેલ શોધીશું φ (x) = x + α (x) f (x) (\displaystyle \varphi (x)=x+\alpha (x)f(x)), પછી:

ચાલો એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીએ f (x) = 0 (\ પ્રદર્શન શૈલી f(x)=0), અને અમને માટે અંતિમ સૂત્ર મળે છે α (x) (\displaystyle \alpha (x)):

આને ધ્યાનમાં લેતા, કમ્પ્રેશન ફંક્શન ફોર્મ લેશે:

પછી સમીકરણ માટે સંખ્યાત્મક ઉકેલ શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ f (x) = 0 (\ પ્રદર્શન શૈલી f(x)=0)પુનરાવર્તિત ગણતરી પ્રક્રિયામાં ઘટાડો કરે છે:

1. એક સેગમેન્ટને જાણીએ જેમાં સમીકરણ f(x) = 0 નું એક મૂળ હોય છે. ફંક્શન f આ સેગમેન્ટ (f(x)OC 1 ) પર સતત વિભેદક કાર્ય છે. જો આ શરતો પૂરી થાય છે, તો સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

2. ફંક્શન f(x) નો ઉપયોગ કરીને, ફંક્શન j(x) બનાવવામાં આવે છે જે ત્રણ શરતોને સંતોષે છે: તે સતત વિભેદક હોવું જોઈએ (j(x)OC 1 ), જેમ કે સમીકરણ x = j(x) એ સમીકરણ f(x)=0 ની સમકક્ષ છે; પણ જોઈએ એક સેગમેન્ટનું ભાષાંતર કરો તમારામાં.

આપણે કહીશું કે ફંક્શન જે ( x ) સેગમેન્ટનું ભાષાંતર કરે છે [ a , b ] તમારામાં, જો કોઈ માટે x Î [ a , b ], y = j ( x ) પણ સંબંધ ધરાવે છે[ a , b ] ( y Î [ a , b ]).

ત્રીજી શરત ફંક્શન j(x) પર લાદવામાં આવી છે:

પદ્ધતિ સૂત્ર: x n +1 = j(xn).

3. જો કોઈપણ પ્રારંભિક અંદાજ x માટે આ ત્રણ શરતો પૂરી થાય છે 0 પુનરાવર્તનોનો ક્રમ x n +1 = j(x n) સમીકરણના મૂળમાં કન્વર્જ થાય છે: x = j(x) સેગમેન્ટ () પર.

એક નિયમ તરીકે, x 0 તરીકે એક છેડો પસંદ થયેલ છે.

,

જ્યાં e ઉલ્લેખિત ચોકસાઈ છે

નંબર x n +1 જ્યારે પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાને રોકવા માટેની શરત પૂરી થાય છે, તે છે સમીકરણના મૂળનું અંદાજિત મૂલ્ય f(x) = 0 સેગમેન્ટ પર , ચોકસાઈ સાથે સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ દ્વારા જોવા મળે છેઇ .

સમીકરણના મૂળને સ્પષ્ટ કરવા માટે એક અલ્ગોરિધમનું નિર્માણ કરો: ચોકસાઈ સાથે સરળ પુનરાવર્તનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સેગમેન્ટ પર x 3 + 5x – 1 = 0 .

1. ફંક્શન f(x) = x 3 +5x-1 સમીકરણનું એક મૂળ ધરાવતા અંતરાલ પર સતત ભિન્નતા છે.

2. સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિમાં સૌથી મોટી મુશ્કેલી એ ફંક્શન j(x) નું નિર્માણ છે જે બધી શરતોને સંતોષે છે:

ધ્યાનમાં લો: .

સમીકરણ x = j 1 (x) સમીકરણ f(x) = 0 ની સમકક્ષ છે, પરંતુ ફંક્શન j 1 (x) અંતરાલ પર સતત અલગ નથી.

ચોખા. 2.4. ફંક્શન j 2 (x) નો ગ્રાફ

બીજી બાજુ, તેથી, . તેથી: એક સતત વિભેદક કાર્ય છે. નોંધ કરો કે સમીકરણ: x = j 2 (x) એ સમીકરણ f(x) = 0 ની સમકક્ષ છે . ગ્રાફ (ફિગ. 2.4) પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે ફંક્શન j 2 (x) સેગમેન્ટને પોતાનામાં રૂપાંતરિત કરે છે.

ફંક્શન j(x) સેગમેન્ટને પોતાનામાં લે છે તે શરત નીચે પ્રમાણે સુધારી શકાય છે: ફંક્શન j(x) ની વ્યાખ્યાનું ડોમેન બનવા દો, અને j(x) ની વિવિધતાનું ડોમેન બનવા દો.

, .

ફંક્શન j(x) માટેની તમામ શરતો સંતુષ્ટ છે.

પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા સૂત્ર: x n +1 = j 2(xn).

3. પ્રારંભિક અંદાજ: x 0 = 0.

4. પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાને રોકવા માટેની સ્થિતિ:

ચોખા. 2.5. સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિનો ભૌમિતિક અર્થ

.

જો આ સ્થિતિ x n +1 પૂરી થાય છે - સેગમેન્ટ પરના મૂળનું અંદાજિત મૂલ્ય, ચોકસાઈ સાથે સરળ પુનરાવર્તન દ્વારા જોવા મળે છે ઇ. ફિગ માં. 2.5. સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિનો ઉપયોગ સચિત્ર છે.

કન્વર્જન્સ પ્રમેય અને ભૂલ અંદાજ

સેગમેન્ટ દો સમીકરણનું એક મૂળ ધરાવે છે x = j(x), કાર્ય j(x ) અંતરાલ પર સતત તફાવત છે , સેગમેન્ટનું ભાષાંતર કરે છે પોતાનામાં, અને શરત પૂરી થાય છે:

.

પછી કોઈપણ પ્રારંભિક અંદાજ માટે x 0 ઓ અનુગામી સમીકરણના મૂળમાં ફેરવે છે y = j(x ) સેગમેન્ટ પર અને ભૂલનો અંદાજ વાજબી છે:

.

સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિની સ્થિરતા. જ્યારે કન્વર્જન્સ પ્રમેયની શરતો પૂરી થાય છે, ત્યારે સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિનું અલ્ગોરિધમ સ્થિર હોય છે.

સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિની જટિલતા. સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિને અમલમાં મૂકવા માટે જરૂરી કમ્પ્યુટર મેમરીની માત્રા નજીવી છે. દરેક પગલા પર તમારે x n સ્ટોર કરવાની જરૂર છે , x n +1 , q અને ઇ.

ચાલો સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિને અમલમાં મૂકવા માટે જરૂરી અંકગણિત ક્રિયાઓની સંખ્યાનો અંદાજ લગાવીએ. ચાલો આપણે સંખ્યા n 0 = n 0 (e) માટે એક અંદાજ લખીએ જેમ કે બધા n ³ n 0 માટે અસમાનતા ધરાવે છે:

આ અંદાજ પરથી તે અનુસરે છે કે q એકની નજીક છે, પદ્ધતિ ધીમી કન્વર્જ થાય છે.

ટિપ્પણી. f(x) માંથી j(x) બાંધવા માટે કોઈ સામાન્ય નિયમ નથી જેથી કન્વર્જન્સ પ્રમેયની તમામ શરતો સંતોષાય. નીચેના અભિગમનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે: ફંક્શન j(x) = x + k× f(x) ફંક્શન j તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે, જ્યાં k – સતત

સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિને પ્રોગ્રામ કરતી વખતે, પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાને રોકવા માટે ઘણીવાર બે શરતોની એક સાથે પરિપૂર્ણતાની જરૂર પડે છે:

અને .

અન્ય તમામ પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ કે જે આપણે ધ્યાનમાં લઈશું તે સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિના વિશિષ્ટ કેસો છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે ન્યૂટનની પદ્ધતિ એ સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે.

સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ મૂળ સમીકરણને સમકક્ષ સમીકરણ સાથે બદલવા પર આધારિત છે:

મૂળના પ્રારંભિક અંદાજને જાણવા દો x = x 0. તેને સમીકરણ (2.7) ની જમણી બાજુએ બદલીને, આપણે એક નવો અંદાજ મેળવીએ છીએ , પછી એ જ રીતે આપણે મેળવીએ છીએ વગેરે.

. (2.8)

બધી પરિસ્થિતિઓમાં પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા સમીકરણના મૂળમાં ફેરવાતી નથી એક્સ. ચાલો આ પ્રક્રિયા પર નજીકથી નજર કરીએ. આકૃતિ 2.6 વન-વે કન્વર્જન્ટ અને ડાયવર્જન્ટ પ્રક્રિયાનું ગ્રાફિકલ અર્થઘટન દર્શાવે છે. આકૃતિ 2.7 દ્વિ-માર્ગી સંકલિત અને ભિન્ન પ્રક્રિયાઓ દર્શાવે છે. એક અલગ પ્રક્રિયા દલીલ અને કાર્યના મૂલ્યોમાં ઝડપી વધારો અને અનુરૂપ પ્રોગ્રામની અસામાન્ય સમાપ્તિ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.

દ્વિ-માર્ગી પ્રક્રિયા સાથે, સાયકલિંગ શક્ય છે, એટલે કે સમાન કાર્ય અને દલીલ મૂલ્યોનું અનંત પુનરાવર્તન. લૂપિંગ એક અલગ પ્રક્રિયાને કન્વર્જન્ટથી અલગ કરે છે.

આલેખ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે એકતરફી અને દ્વિ-બાજુની પ્રક્રિયાઓ માટે, મૂળની નજીકના વળાંકના ઢોળાવ દ્વારા રુટનું કન્વર્જન્સ નક્કી કરવામાં આવે છે. ઢોળાવ જેટલો નાનો છે, તેટલું સારું કન્વર્જન્સ. જેમ જાણીતું છે, વળાંકના ઢોળાવની સ્પર્શક એ આપેલ બિંદુ પર વળાંકના વ્યુત્પન્ન સમાન છે.

તેથી, રુટની નજીકની સંખ્યા જેટલી નાની છે, પ્રક્રિયા જેટલી ઝડપથી કન્વર્જ થાય છે.

પુનરાવૃત્તિ પ્રક્રિયા કન્વર્જન્ટ બનવા માટે, નીચેની અસમાનતા મૂળની નજીકમાં સંતોષવી આવશ્યક છે:

સમીકરણ (2.1) થી સમીકરણ (2.7) માં સંક્રમણ કાર્યના પ્રકારને આધારે વિવિધ રીતે કરી શકાય છે. f(x).આવા સંક્રમણમાં, ફંક્શનનું નિર્માણ કરવું જરૂરી છે જેથી કન્વર્જન્સ સ્થિતિ (2.9) સંતુષ્ટ થાય.

ચાલો સમીકરણ (2.1) થી સમીકરણ (2.7) માં સંક્રમણ માટેના એક સામાન્ય અલ્ગોરિધમનો વિચાર કરીએ.

ચાલો સમીકરણ (2.1) ની ડાબી અને જમણી બાજુઓને મનસ્વી સ્થિરાંક વડે ગુણાકાર કરીએ bઅને બંને ભાગોમાં અજ્ઞાત ઉમેરો એક્સ.આ કિસ્સામાં, મૂળ સમીકરણના મૂળ બદલાશે નહીં:

ચાલો નોટેશન રજૂ કરીએ અને ચાલો સંબંધ (2.10) થી સમીકરણ (2.8) તરફ આગળ વધીએ.

સતતની મનસ્વી પસંદગી bકન્વર્જન્સ શરતની પરિપૂર્ણતાની ખાતરી કરશે (2.9). પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાને સમાપ્ત કરવા માટેનો માપદંડ શરત હશે (2.2). આકૃતિ 2.8 વર્ણવેલ રજૂઆતની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરળ પુનરાવર્તનોની પદ્ધતિનું ગ્રાફિકલ અર્થઘટન બતાવે છે (X અને Y અક્ષો સાથેના ભીંગડા અલગ છે).

જો ફંક્શન ફોર્મમાં પસંદ કરવામાં આવે, તો આ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન હશે. કન્વર્જન્સની સૌથી વધુ ઝડપ , પછી હશે અને પુનરાવર્તન સૂત્ર (2.11) ન્યૂટનના સૂત્રમાં ફેરવાય છે. આમ, ન્યુટનની પદ્ધતિમાં તમામ પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાઓના સંપાતની ઉચ્ચતમ ડિગ્રી છે.

સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિનું સોફ્ટવેર અમલીકરણ સબરૂટિન પ્રક્રિયાના સ્વરૂપમાં કરવામાં આવે છે ઇટેરાસ(કાર્યક્રમ 2.1).

આખી પ્રક્રિયામાં વ્યવહારીક રીતે એક રીપીટનો સમાવેશ થાય છે... ચક્ર સુધી, પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા (સૂત્ર (2.2)) રોકવા માટેની શરતને ધ્યાનમાં લેતા ફોર્મ્યુલા (2.11)નો અમલ કરવો.

પ્રક્રિયામાં નાઈટર વેરીએબલનો ઉપયોગ કરીને લૂપ્સની સંખ્યાની ગણતરી કરીને બિલ્ટ-ઇન લૂપ પ્રોટેક્શન છે. વ્યવહારુ વર્ગોમાં, તમારે પ્રોગ્રામ ચલાવીને ખાતરી કરવાની જરૂર છે કે ગુણાંકની પસંદગી કેવી રીતે અસર કરે છે bઅને મૂળની શોધની પ્રક્રિયામાં પ્રારંભિક અંદાજ. ગુણાંક બદલતી વખતે bઅભ્યાસ ફેરફારો હેઠળ કાર્ય માટે પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાની પ્રકૃતિ. તે પ્રથમ બે-બાજુ બને છે, અને પછી લૂપ્સ (ફિગ. 2.9). ધરી ભીંગડા એક્સઅને વાયઅલગ છે. મોડ્યુલસ b નું વધુ મોટું મૂલ્ય એક અલગ પ્રક્રિયા તરફ દોરી જાય છે.

સમીકરણોના અંદાજિત ઉકેલ માટેની પદ્ધતિઓની સરખામણી

સમીકરણોના સંખ્યાત્મક ઉકેલ માટે ઉપર વર્ણવેલ પદ્ધતિઓની સરખામણી એક પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવી હતી જે પીસી સ્ક્રીન પર ગ્રાફિકલ સ્વરૂપમાં મૂળ શોધવાની પ્રક્રિયાને અવલોકન કરવાની મંજૂરી આપે છે. આ પ્રોગ્રામમાં સમાવિષ્ટ પ્રક્રિયાઓ અને તુલનાત્મક પદ્ધતિઓનો અમલ નીચે આપેલ છે (પ્રોગ્રામ 2.1).

ચોખા. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 એ પુનરાવર્તન પ્રક્રિયાના અંતે પીસી સ્ક્રીનની નકલો છે.

તમામ કેસોમાં, ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 -x-6 = 0 ને અભ્યાસ હેઠળના કાર્ય તરીકે લેવામાં આવ્યું હતું, જેમાં વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલ x 1 = -2 અને x 2 = 3 છે. તમામ પદ્ધતિઓ માટે ભૂલ અને પ્રારંભિક અંદાજ સમાન માનવામાં આવ્યાં હતાં. રુટ શોધ પરિણામો x= 3, આંકડાઓમાં પ્રસ્તુત, નીચે મુજબ છે. ડિકોટોમી પદ્ધતિ સૌથી ધીમી - 22 પુનરાવૃત્તિઓને કન્વર્જ કરે છે, સૌથી ઝડપી એ b = -0.2 - 5 પુનરાવર્તનો સાથેની સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ છે. ન્યૂટનની પદ્ધતિ સૌથી ઝડપી છે તે વિધાન સાથે અહીં કોઈ વિરોધાભાસ નથી.

બિંદુ પર અભ્યાસ હેઠળ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન એક્સ= 3 એ -0.2 ની બરાબર છે, એટલે કે, આ કિસ્સામાં ગણતરી ન્યૂટનની પદ્ધતિ દ્વારા સમીકરણના મૂળના બિંદુ પર વ્યુત્પન્નના મૂલ્ય સાથે વ્યવહારીક રીતે હાથ ધરવામાં આવી હતી. ગુણાંક બદલતી વખતે bકન્વર્જન્સનો દર ઘટે છે અને ધીમે ધીમે કન્વર્જન્ટ પ્રક્રિયા પહેલા ચક્રમાં જાય છે અને પછી ભિન્ન બને છે.