ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ ઓનલાઇન. દ્વિરેખીય અને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો

વ્યાખ્યા 10.4.પ્રમાણભૂત દૃશ્યચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (10.1) ને નીચેનું સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે: . (10.4)

ચાલો બતાવીએ કે eigenvectors ના આધારે, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (10.1) પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ ધારણ કરે છે. દો

- eigenvalues ​​ને અનુરૂપ સામાન્યકૃત eigenvectors λ 1 , λ 2 , λ 3ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે મેટ્રિસિસ (10.3). પછી જૂના આધારથી નવામાં સંક્રમણ મેટ્રિક્સ મેટ્રિક્સ હશે

. નવા આધાર પર મેટ્રિક્સ એવિકર્ણ સ્વરૂપ (9.7) લેશે (ઇજેનવેક્ટર્સની મિલકત દ્વારા). આમ, સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કોઓર્ડિનેટ્સનું પરિવર્તન:

,

નવા આધારમાં આપણે eigenvalues ​​સમાન ગુણાંક સાથે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ મેળવીએ છીએ λ 1, λ 2, λ 3:

ટિપ્પણી 1. ભૌમિતિક દૃષ્ટિકોણથી, ધ્યાનમાં લેવાયેલ સંકલન પરિવર્તન એ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનું પરિભ્રમણ છે, જે જૂના સંકલન અક્ષોને નવા સાથે સંયોજિત કરે છે.

રિમાર્ક 2. જો મેટ્રિક્સ (10.3) ના કોઈપણ ઇજેનવેલ્યુ એકસરખાં હોય, તો આપણે તેમાંના પ્રત્યેક એકમ વેક્ટર ઓર્થોગોનલને અનુરૂપ ઓર્થોનોર્મલ ઇજેનવેક્ટરમાં ઉમેરી શકીએ છીએ, અને આમ એક આધાર બનાવી શકીએ છીએ જેમાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ લે છે.

ચાલો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવીએ

x² + 5 y² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

તેના મેટ્રિક્સનું સ્વરૂપ છે વ્યાખ્યાન 9 માં ચર્ચા કરાયેલ ઉદાહરણમાં, આ મેટ્રિક્સના ઇજેનવેલ્યુ અને ઓર્થોનોર્મલ ઇજેનવેક્ટર જોવા મળે છે:

ચાલો આ વેક્ટરમાંથી આધાર પર સંક્રમણ મેટ્રિક્સ બનાવીએ:

(વેક્ટર્સનો ક્રમ બદલવામાં આવે છે જેથી તેઓ જમણા હાથે ટ્રિપલ બનાવે છે). ચાલો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કોઓર્ડિનેટ્સનું પરિવર્તન કરીએ:

.

તેથી, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સના ઇજેનવેલ્યુની સમાન ગુણાંક સાથે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યાન 11.

બીજા ક્રમના વણાંકો. એલિપ્સ, હાઇપરબોલા અને પેરાબોલા, તેમના ગુણધર્મો અને પ્રમાણભૂત સમીકરણો. બીજા ક્રમના સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવું.

વ્યાખ્યા 11.1.બીજા ક્રમના વણાંકોપ્લેન પર એવા પ્લેન સાથેના ગોળાકાર શંકુના આંતરછેદની રેખાઓ કહેવાય છે જે તેના શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતા નથી.

જો આવા પ્લેન શંકુના એક પોલાણના તમામ જનરેટિસને છેદે છે, તો તે વિભાગમાં બહાર આવે છે. લંબગોળ, બંને પોલાણના જનરેટિસના આંતરછેદ પર - અતિશય, અને જો કટીંગ પ્લેન કોઈપણ જનરેટિક્સની સમાંતર હોય, તો શંકુનો વિભાગ પેરાબોલા.

ટિપ્પણી. બધા સેકન્ડ-ઓર્ડર વણાંકો બે ચલોમાં સેકન્ડ-ડિગ્રી સમીકરણો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે.

અંડાકાર.

વ્યાખ્યા 11.2.અંડાકારપ્લેનમાં બિંદુઓનો સમૂહ છે જેના માટે બે નિશ્ચિત બિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો છે એફ 1 અને એફ યુક્તિઓ, એક સ્થિર મૂલ્ય છે.

ટિપ્પણી. જ્યારે પોઈન્ટ એકરૂપ થાય છે એફ 1 અને એફ 2 લંબગોળ વર્તુળમાં ફેરવાય છે.

ચાલો કાર્ટેશિયન સિસ્ટમ પસંદ કરીને અંડાકારનું સમીકરણ મેળવીએ

y M(x,y)સંકલન કરે છે જેથી ધરી ઓહસીધી રેખા સાથે સુસંગત એફ 1 એફ 2, શરૂઆત

r 1 r 2 કોઓર્ડિનેટ્સ – સેગમેન્ટની મધ્ય સાથે એફ 1 એફ 2. આની લંબાઈ દો

સેગમેન્ટ 2 ની બરાબર છે સાથે, પછી પસંદ કરેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં

F 1 O F 2 x એફ 1 (-c, 0), એફ 2 (c, 0). બિંદુ દો M(x, y) લંબગોળ પર આવેલું છે, અને

તેમાંથી અંતરનો સરવાળો એફ 1 અને એફ 2 બરાબર 2 એ.

પછી આર 1 + આર 2 = 2a, પણ ,

તેથી, નોટેશનનો પરિચય b² = a²- c² અને સાદા બીજગણિત પરિવર્તનો કર્યા પછી, આપણે મેળવીએ છીએ પ્રમાણભૂત લંબગોળ સમીકરણ: (11.1)

વ્યાખ્યા 11.3.તરંગીતાઅંડાકારની તીવ્રતા કહેવાય છે e=s/a (11.2)

વ્યાખ્યા 11.4.મુખ્ય શિક્ષિકા ડી iલંબગોળ ફોકસને અનુરૂપ F i F iધરીને સંબંધિત OUધરીને લંબરૂપ ઓહઅંતર પર a/eમૂળમાંથી.

ટિપ્પણી. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની અલગ પસંદગી સાથે, લંબગોળ પ્રમાણભૂત સમીકરણ (11.1) દ્વારા નહીં, પરંતુ એક અલગ પ્રકારના સેકન્ડ-ડિગ્રી સમીકરણ દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

લંબગોળ ગુણધર્મો:

1) એક લંબગોળમાં સમપ્રમાણતાના બે પરસ્પર લંબ અક્ષો (અંગ્રવર્તુળની મુખ્ય અક્ષો) અને સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર (અંડાકારનું કેન્દ્ર) હોય છે. જો લંબગોળ પ્રમાણભૂત સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો તેની મુખ્ય અક્ષો સંકલન અક્ષો છે અને તેનું કેન્દ્ર મૂળ છે. મુખ્ય અક્ષો સાથે અંડાકારના આંતરછેદ દ્વારા રચાયેલા ભાગોની લંબાઈ 2 જેટલી હોય છે. એઅને 2 b (2a>2b), પછી ફોસીમાંથી પસાર થતી મુખ્ય અક્ષને અંડાકારની મુખ્ય અક્ષ કહેવામાં આવે છે, અને બીજી મુખ્ય અક્ષને ગૌણ અક્ષ કહેવામાં આવે છે.

2) સમગ્ર લંબગોળ લંબચોરસની અંદર સમાયેલું છે

3) અંડાકાર તરંગીતા ઇ< 1.

ખરેખર,

4) એલિપ્સના ડાયરેક્ટ્રીક્સ એલિપ્સની બહાર સ્થિત છે (કારણ કે એલિપ્સના કેન્દ્રથી ડાયરેક્ટ્રીક્સનું અંતર છે a/e, એ ઇ<1, следовательно, a, અને સમગ્ર લંબગોળ લંબચોરસમાં આવેલું છે)

5) અંતર ગુણોત્તર r iલંબગોળ બિંદુથી ફોકસ સુધી F iઅંતર સુધી d iઆ બિંદુથી ફોકસને અનુરૂપ ડાયરેક્ટ્રીક્સ સુધી લંબગોળની વિષમતા સમાન છે.

પુરાવો.

બિંદુથી અંતર M(x, y)લંબગોળ ના કેન્દ્ર સુધી નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે:

ચાલો ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણો બનાવીએ:

(ડી 1), (ડી 2). પછી અહીંથી r i / d i = e, જે સાબિત કરવાની જરૂર હતી.

હાયપરબોલા.

વ્યાખ્યા 11.5.અતિશયપ્લેનમાં પોઈન્ટનો સમૂહ છે જેના માટે બે નિશ્ચિત બિંદુઓ સુધીના અંતરના તફાવતનું મોડ્યુલસ છે એફ 1 અને એફઆ પ્લેનના 2, કહેવાય છે યુક્તિઓ, એક સ્થિર મૂલ્ય છે.

ચાલો એ જ સંકેતનો ઉપયોગ કરીને અંડાકારના સમીકરણની વ્યુત્પત્તિ સાથે સામ્યતા દ્વારા અતિપરવલયનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ મેળવીએ.

|r 1 - r 2 | = 2a, જ્યાંથી જો આપણે સૂચવીએ છીએ b² = c² - a², અહીંથી તમે મેળવી શકો છો

- પ્રમાણભૂત હાયપરબોલા સમીકરણ. (11.3)

વ્યાખ્યા 11.6.તરંગીતાહાયપરબોલાને જથ્થો કહેવામાં આવે છે e = c/a.

વ્યાખ્યા 11.7.મુખ્ય શિક્ષિકા ડી iફોકસને અનુરૂપ હાઇપરબોલા F i, સાથે સમાન અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત સીધી રેખા કહેવાય છે F iધરીને સંબંધિત OUધરીને લંબરૂપ ઓહઅંતર પર a/eમૂળમાંથી.

હાયપરબોલાના ગુણધર્મો:

1) હાઇપરબોલામાં સમપ્રમાણતાના બે અક્ષો (હાયપરબોલાના મુખ્ય અક્ષો) અને સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર (હાયપરબોલાનું કેન્દ્ર) હોય છે. આ કિસ્સામાં, આ અક્ષોમાંથી એક અધિકતા સાથે બે બિંદુઓ પર છેદાય છે, જેને હાયપરબોલાના શિરોબિંદુઓ કહેવાય છે. તેને હાયપરબોલાની વાસ્તવિક અક્ષ કહેવામાં આવે છે (અક્ષ ઓહકોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની પ્રામાણિક પસંદગી માટે). અન્ય અક્ષમાં હાયપરબોલા સાથે કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી અને તેને તેની કાલ્પનિક અક્ષ કહેવામાં આવે છે (પ્રમાણિક કોઓર્ડિનેટ્સમાં - અક્ષ OU). તેની બંને બાજુઓ પર હાઇપરબોલાની જમણી અને ડાબી શાખાઓ છે. હાયપરબોલાના ફોસી તેના વાસ્તવિક ધરી પર સ્થિત છે.

2) હાયપરબોલાની શાખાઓમાં સમીકરણો દ્વારા નિર્ધારિત બે એસિમ્પ્ટોટ્સ છે

3) હાયપરબોલા (11.3) ની સાથે, આપણે કેનોનિકલ સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કહેવાતા કોન્જુગેટ હાઇપરબોલાને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ.

જેના માટે સમાન લક્ષણો જાળવી રાખીને વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક અક્ષની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે.

4) હાયપરબોલાની વિચિત્રતા ઇ> 1.

5) અંતર ગુણોત્તર r iહાઇપરબોલા પોઇન્ટથી ફોકસ સુધી F iઅંતર સુધી d iઆ બિંદુથી ફોકસને અનુરૂપ ડાયરેક્ટ્રીક્સ સુધી, હાયપરબોલાની વિષમતા સમાન છે.

એલિપ્સની જેમ જ સાબિતી હાથ ધરી શકાય છે.

પેરાબોલા.

વ્યાખ્યા 11.8.પેરાબોલાપ્લેન પરના બિંદુઓનો સમૂહ છે જેના માટે અમુક નિશ્ચિત બિંદુનું અંતર છે એફઆ વિમાન અમુક નિશ્ચિત સીધી રેખાના અંતર જેટલું છે. ડોટ એફકહેવાય છે ફોકસ parabolas, અને સીધી રેખા તેની છે મુખ્ય શિક્ષિકા.

પેરાબોલા સમીકરણ મેળવવા માટે, અમે કાર્ટેશિયન પસંદ કરીએ છીએ

સંકલન સિસ્ટમ જેથી તેનું મૂળ મધ્યમાં હોય

D M(x,y) લંબ FD, નિર્દેશ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવાથી અવગણવામાં આવે છે

r su, અને સંકલન અક્ષો સમાંતર સ્થિત હતા અને

ડિરેક્ટરને લંબરૂપ. સેગમેન્ટની લંબાઈ દો FD

D O F x બરાબર છે આર. પછી સમાનતામાંથી r = ડીતે અનુસરે છે

કારણ કે

બીજગણિત પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, આ સમીકરણને ફોર્મમાં ઘટાડી શકાય છે: y² = 2 px, (11.4)

કહેવાય છે પ્રામાણિક પેરાબોલા સમીકરણ. તીવ્રતા આરકહેવાય છે પરિમાણપેરાબોલાસ

પેરાબોલાના ગુણધર્મો:

1) પેરાબોલામાં સમપ્રમાણતાની ધરી (પેરાબોલા અક્ષ) હોય છે. જ્યાં પેરાબોલા ધરીને છેદે છે તે બિંદુને પેરાબોલાના શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે. જો પેરાબોલાને પ્રામાણિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો તેની ધરી અક્ષ છે ઓહ,અને શિરોબિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ છે.

2) સમગ્ર પેરાબોલા પ્લેનના જમણા અડધા પ્લેનમાં સ્થિત છે ઓહ.

ટિપ્પણી. એલિપ્સ અને હાઇપરબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સના ગુણધર્મો અને પેરાબોલાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, અમે નીચેના વિધાનને સાબિત કરી શકીએ છીએ:

પ્લેન પરના બિંદુઓનો સમૂહ જેના માટે સંબંધ ઇઅમુક નિશ્ચિત બિંદુથી અમુક સીધી રેખાના અંતર સુધીનું અંતર એક સ્થિર મૂલ્ય છે, તે એક અંડાકાર છે (સાથે ઇ<1), гиперболу (при ઇ>1) અથવા પેરાબોલા (સાથે ઇ=1).

સંબંધિત માહિતી.

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોમાં ઘટાડો

ચાલો આપણે એક ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની પ્રેક્ટિસ પદ્ધતિમાં સૌથી સરળ અને સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતી પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લઈએ, જેને કહેવાય છે. લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ. તે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપમાં સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરવા પર આધારિત છે.

પ્રમેય 10.1(લેગ્રેન્જનું પ્રમેય) કોઈપણ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (10.1):

બિન-વિશિષ્ટ રેખીય પરિવર્તન (10.4) નો ઉપયોગ કરીને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ (10.6) સુધી ઘટાડી શકાય છે:

,

□ અમે લેગ્રેન્જની સંપૂર્ણ ચોરસ ઓળખવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રચનાત્મક રીતે પ્રમેયને સાબિત કરીશું. કાર્ય એ બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ શોધવાનું છે કે જે રેખીય પરિવર્તન (10.4) પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (10.6) માં પરિણમે છે. આ મેટ્રિક્સ એક વિશિષ્ટ પ્રકારના મેટ્રિસિસની મર્યાદિત સંખ્યાના ઉત્પાદન તરીકે ધીમે ધીમે મેળવવામાં આવશે.

પોઈન્ટ 1 (પ્રારંભિક).

1.1. ચાલો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ વર્ગમાં સમાવવામાં આવેલ ચલોમાંથી એક પસંદ કરીએ અને તે જ સમયે પ્રથમ ઘાત (ચાલો તેને કહીએ. અગ્રણી ચલ). ચાલો બિંદુ 2 પર આગળ વધીએ.

1.2. જો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપમાં કોઈ અગ્રણી ચલો ન હોય (બધા માટે : ), તો પછી અમે એવા ચલોની જોડી પસંદ કરીએ છીએ કે જેનું ઉત્પાદન બિન-શૂન્ય ગુણાંક સાથે ફોર્મમાં શામેલ છે અને પગલું 3 પર આગળ વધીએ છીએ.

1.3. જો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપમાં વિરોધી ચલોના કોઈ ઉત્પાદન ન હોય, તો આ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ પહેલાથી જ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં રજૂ થાય છે (10.6). પ્રમેયનો પુરાવો સંપૂર્ણ છે.

બિંદુ 2 (સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીને).

2.1. અગ્રણી ચલનો ઉપયોગ કરીને, અમે સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીએ છીએ. સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના, ધારો કે અગ્રણી ચલ છે. સમાવિષ્ટ શબ્દોનું જૂથ બનાવવું, આપણને મળે છે

.

માં ચલ દ્વારા સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરી રહ્યા છીએ , અમને મળે છે

.

આમ, ચલ સાથે સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરવાના પરિણામે, આપણે રેખીય સ્વરૂપના ચોરસનો સરવાળો મેળવીએ છીએ.

જેમાં અગ્રણી ચલ અને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનો સમાવેશ થાય છે ચલમાંથી , જેમાં અગ્રણી ચલ હવે સમાવેલ નથી. ચાલો ચલોમાં ફેરફાર કરીએ (નવા ચલોનો પરિચય કરીએ)

અમને મેટ્રિક્સ મળે છે

() બિન-એકવચન રેખીય રૂપાંતરણ, જેના પરિણામે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (10.1) નીચેનું સ્વરૂપ લે છે

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ સાથે ચાલો બિંદુ 1 ની જેમ જ કરીએ.

2.1. જો અગ્રણી ચલ એ ચલ છે, તો તમે તેને બે રીતે કરી શકો છો: કાં તો આ ચલ માટે સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરો, અથવા પરફોર્મ કરો નામ બદલીને (પુનઃક્રમાંકન) ચલ:

બિન-એકવચન પરિવર્તન મેટ્રિક્સ સાથે:

.

પોઈન્ટ 3 (એક અગ્રણી ચલ બનાવવું).અમે ચલોની પસંદ કરેલી જોડીને બે નવા ચલોના સરવાળા અને તફાવત સાથે બદલીએ છીએ અને બાકીના જૂના ચલોને અનુરૂપ નવા ચલો સાથે બદલીએ છીએ. જો, ઉદાહરણ તરીકે, ફકરા 1 માં શબ્દ પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યો હતો

પછી ચલોના અનુરૂપ ફેરફારનું સ્વરૂપ છે

અને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપમાં (10.1) અગ્રણી ચલ પ્રાપ્ત થશે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચલોને બદલવાના કિસ્સામાં:

આ બિન-એકવચન રેખીય પરિવર્તનના મેટ્રિક્સનું સ્વરૂપ છે

.

ઉપરોક્ત અલ્ગોરિધમના પરિણામે (પોઈન્ટ 1, 2, 3 ની અનુક્રમિક એપ્લિકેશન), ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (10.1) કેનોનિકલ સ્વરૂપ (10.6) માં ઘટાડી દેવામાં આવશે.

નોંધ કરો કે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરવું, નામ બદલવું અને અગ્રણી ચલ બનાવવું) પર કરવામાં આવેલા પરિવર્તનના પરિણામે, અમે ત્રણ પ્રકારના પ્રાથમિક બિન-એકવચન મેટ્રિસિસનો ઉપયોગ કર્યો છે (તે આધારથી આધાર પર સંક્રમણના મેટ્રિસિસ છે). બિન-એકવચન રેખીય રૂપાંતર (10.4) નું જરૂરી મેટ્રિક્સ, જે અંતર્ગત ફોર્મ (10.1) પ્રામાણિક સ્વરૂપ (10.6) ધરાવે છે, તે ત્રણ પ્રકારના પ્રાથમિક બિન-એકવચન મેટ્રિસિસની મર્યાદિત સંખ્યાનો ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે. ■

ઉદાહરણ 10.2.ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ આપો

લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ દ્વારા પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં. અનુરૂપ બિન-એકવચન રેખીય પરિવર્તન સૂચવો. તપાસ કરો.

ઉકેલ.ચાલો અગ્રણી ચલ (ગુણાંક) પસંદ કરીએ. સમાવિષ્ટ શબ્દોનું જૂથ બનાવીને, અને તેમાંથી સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરવાથી, અમે મેળવીએ છીએ

જ્યાં દર્શાવેલ છે

ચાલો ચલોમાં ફેરફાર કરીએ (નવા ચલોનો પરિચય કરીએ)

જૂના ચલોને નવાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવું:

અમને મેટ્રિક્સ મળે છે

220400 બીજગણિત અને ભૂમિતિ ટોલ્સ્ટિકોવ એ.વી.

પ્રવચનો 16. દ્વિરેખીય અને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો.

યોજના

1. દ્વિભાષી સ્વરૂપ અને તેના ગુણધર્મો.

2. ચતુર્ભુજ આકાર. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ. સંકલન પરિવર્તન.

3. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવું. લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ.

4. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોની જડતાનો કાયદો.

5. eigenvalue પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવું.

6. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની હકારાત્મક નિશ્ચિતતા માટે સિલ્વરસ્ટનો માપદંડ.

1. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ અને રેખીય બીજગણિતનો કોર્સ. એમ.: નૌકા, 1984.

2. બગરોવ યા.એસ., નિકોલ્સ્કી એસ.એમ. રેખીય બીજગણિત અને વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના તત્વો. 1997.

3. વોએવોડિન વી.વી. રેખીય બીજગણિત.. એમ.: નૌકા 1980.

4. કોલેજો માટેની સમસ્યાઓનો સંગ્રહ. રેખીય બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણના ફંડામેન્ટલ્સ. એડ. એફિમોવા એ.વી., ડેમિડોવિચ બી.પી. એમ.: નૌકા, 1981.

5. બુટુઝોવ વી.એફ., ક્રુતિત્સ્કાયા એન.સી.એચ., શિશ્કિન એ.એ. પ્રશ્નો અને સમસ્યાઓમાં રેખીય બીજગણિત. એમ.: ફિઝમેટલીટ, 2001.

, , , ,

1. દ્વિભાષી સ્વરૂપ અને તેના ગુણધર્મો.દો વી - n- ક્ષેત્ર પર પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા પી.

વ્યાખ્યા 1.દ્વિરેખીય સ્વરૂપ, પર વ્યાખ્યાયિત વી,આવા મેપિંગ કહેવામાં આવે છે g: V 2 ® પી, જે દરેક ઓર્ડર કરેલ જોડીને ( x , y ) વેક્ટર x , y માં મૂકે છે વીક્ષેત્રની સંખ્યાને મેચ કરો પી, સૂચિત g(x , y ), અને દરેક ચલોમાં રેખીય x , y , એટલે કે ગુણધર્મો ધરાવે છે:

1) ("x , y , z Î વી)g(x + y , z ) = g(x , z ) + g(y , z );

2) ("x , y Î વી) ("એ ઓ પી)g(એ x , y ) = એ g(x , y );

3) ("x , y , z Î વી)g(x , y + z ) = g(x , y ) + g(x , z );

4) ("x , y Î વી) ("એ ઓ પી)g(x , એ y ) = એ g(x , y ).

ઉદાહરણ 1. વેક્ટર સ્પેસ પર વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ ડોટ પ્રોડક્ટ વીદ્વિરેખીય સ્વરૂપ છે.

2 . કાર્ય h(x , y ) = 2x 1 y 1 - x 2 y 2 +x 2 y 1 જ્યાં x = (x 1 ,x 2), y = (y 1 ,y 2)ઓ આર 2, દ્વિરેખીય ફોર્મ ચાલુ આર 2 .

વ્યાખ્યા 2.દો વિ = (વિ 1 , વિ 2 ,…, વિ n વી.દ્વિરેખીય સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સg(x , y ) આધારને સંબંધિતવિમેટ્રિક્સ કહેવાય છે બી=(b ij)n ´ n, જેના ઘટકોની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે b ij = g(વિ i, વિ j):

ઉદાહરણ 3. બાયલિનિયર મેટ્રિક્સ h(x , y ) (ઉદાહરણ 2 જુઓ) આધારને સંબંધિત ઇ 1 = (1,0), ઇ 2 = (0,1) બરાબર છે.

પ્રમેય 1. દોX, Y - અનુક્રમે વેક્ટરના કૉલમ સંકલન કરોx , yઆધાર માંv, B - દ્વિરેખીય સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સg(x , y ) આધારને સંબંધિતવિ. પછી દ્વિરેખીય સ્વરૂપ તરીકે લખી શકાય છે

g(x , y )=X t BY. (1)

પુરાવો.દ્વિરેખીય સ્વરૂપના ગુણધર્મોમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ

ઉદાહરણ 3. દ્વિરેખીય સ્વરૂપ h(x , y ) (ઉદાહરણ 2 જુઓ) ફોર્મમાં લખી શકાય છે h(x , y )=.

પ્રમેય 2. દો વિ = (વિ 1 , વિ 2 ,…, વિ n), u = (u 1 , u 2 ,…, u n) - બે વેક્ટર જગ્યા પાયાV, T - આધારમાંથી સંક્રમણ મેટ્રિક્સv થી આધારu દો બી= (b ij)n ´ n અને સાથે=(ij સાથે)n ´ n - દ્વિરેખીય મેટ્રિસિસg(x , y ) અનુક્રમે પાયા સંબંધિતv અનેu પછી

સાથે=ટી ટી બીટી.(2)

પુરાવો.સંક્રમણ મેટ્રિક્સ અને દ્વિરેખીય ફોર્મ મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા દ્વારા, આપણે શોધીએ છીએ:



વ્યાખ્યા 2.દ્વિરેખીય સ્વરૂપ g(x , y ) કહેવાય છે સપ્રમાણ, જો g(x , y ) = g(y , x કોઈપણ માટે x , y Î વી.

પ્રમેય 3. દ્વિરેખીય સ્વરૂપg(x , y )- સપ્રમાણ જો અને માત્ર જો દ્વિરેખીય સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ કોઈપણ આધારના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ હોય.

પુરાવો.દો વિ = (વિ 1 , વિ 2 ,…, વિ n) - વેક્ટર સ્પેસનો આધાર વી, બી= (b ij)n ´ n- દ્વિરેખીય સ્વરૂપના મેટ્રિસિસ g(x , y ) આધારને સંબંધિત વિ.દ્વિરેખીય સ્વરૂપ દો g(x , y ) - સપ્રમાણ. પછી કોઈપણ માટે વ્યાખ્યા 2 દ્વારા i, જે = 1, 2,…, nઅમારી પાસે b ij = g(વિ i, વિ j) = g(વિ j, વિ i) = બી જી. પછી મેટ્રિક્સ બી- સપ્રમાણ.

તેનાથી વિપરીત, મેટ્રિક્સ દો બી- સપ્રમાણ. પછી બીટી= બીઅને કોઈપણ વેક્ટર માટે x = x 1 વિ 1 + …+ x n વિ n =vX, y = y 1 વિ 1 + y 2 વિ 2 +…+ y n વિ n =vY Î વી, ફોર્મ્યુલા (1) મુજબ, અમને મળે છે (અમે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ કે નંબર 1 ક્રમનો મેટ્રિક્સ છે, અને જ્યારે ટ્રાન્સપોઝ કરવામાં આવે ત્યારે બદલાતો નથી)

g(x , y ) =g(x , y )t = (X t BY)t = Y t B t X = g(y , x ).

2. ચતુર્ભુજ આકાર. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ. સંકલન પરિવર્તન.

વ્યાખ્યા 1.ચતુર્ભુજ આકારપર વ્યાખ્યાયિત વી,મેપિંગ કહેવાય છે f:V® પી, જે કોઈપણ વેક્ટર માટે x થી વીસમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે f(x ) = g(x , x ), ક્યાં g(x , y ) પર વ્યાખ્યાયિત સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપ છે વી .

મિલકત 1.આપેલ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ અનુસારf(x )દ્વિરેખીય સ્વરૂપ સૂત્ર દ્વારા અનન્ય રીતે જોવા મળે છે

g(x , y ) = 1/2(f(x + y ) - f(x )-f(y )). (1)

પુરાવો.કોઈપણ વેક્ટર માટે x , y Î વીઆપણે દ્વિરેખીય સ્વરૂપના ગુણધર્મોમાંથી મેળવીએ છીએ

f(x + y ) = g(x + y , x + y ) = g(x , x + y ) + g(y , x + y ) = g(x , x ) + g(x , y ) + g(y , x ) + g(y , y ) = f(x ) + 2g(x , y ) + f(y ).

આમાંથી સૂત્ર (1) અનુસરે છે. 

વ્યાખ્યા 2.ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સf(x ) આધારને સંબંધિતવિ = (વિ 1 , વિ 2 ,…, વિ n) એ અનુરૂપ સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ છે g(x , y ) આધારને સંબંધિત વિ.

પ્રમેય 1. દોએક્સ= (x 1 ,x 2 ,…, x n)t- વેક્ટરનો સંકલન કૉલમx આધાર માંv, B - ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સf(x ) આધારને સંબંધિતવિ. પછી ચતુર્ભુજ સ્વરૂપf(x )