ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ - સૂત્રો અને સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો

નીચે છે મનસ્વી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટેના સૂત્રોજે કોઈપણ ત્રિકોણનો વિસ્તાર શોધવા માટે યોગ્ય છે, તેના ગુણધર્મો, ખૂણા અથવા કદને ધ્યાનમાં લીધા વિના. સૂત્રો તેમની અરજી માટેના સ્પષ્ટીકરણો અથવા તેમની સાચીતા માટેના સમર્થન સાથે ચિત્રના રૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે. ઉપરાંત, એક અલગ આકૃતિ સૂત્રોમાં અક્ષર પ્રતીકો અને ચિત્રમાં ગ્રાફિક પ્રતીકો વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર દર્શાવે છે.

નોંધ . જો ત્રિકોણમાં વિશેષ ગુણધર્મો છે (સમદ્વિબાજુ, લંબચોરસ, સમભુજ), તો તમે નીચે આપેલા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકો છો, તેમજ વધારાના વિશેષ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકો છો જે ફક્ત આ ગુણધર્મોવાળા ત્રિકોણ માટે માન્ય છે:

• "એક સમભુજ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેના સૂત્રો"

ત્રિકોણ ક્ષેત્રના સૂત્રો

સૂત્રો માટે સ્પષ્ટતા:
a, b, c- ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ જેનો વિસ્તાર આપણે શોધવા માંગીએ છીએ
આર- ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા
આર- ત્રિકોણની ફરતે ઘેરાયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા
h- ત્રિકોણની ઊંચાઈ બાજુથી ઓછી થઈ
પી- ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ, તેની બાજુઓનો સરવાળો 1/2 (પરિમિતિ)
α - ત્રિકોણની બાજુ a ની વિરુદ્ધ કોણ
β - ત્રિકોણની બાજુ b ની વિરુદ્ધ કોણ
γ - ત્રિકોણની બાજુ c ની વિરુદ્ધ કોણ
h a, h b , h c- ત્રિકોણની ઊંચાઈ a, b, c ની બાજુ નીચી

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે આપેલ સંકેતો ઉપરની આકૃતિને અનુરૂપ છે, જેથી કરીને વાસ્તવિક ભૂમિતિની સમસ્યા હલ કરતી વખતે, તમારા માટે સૂત્રમાં યોગ્ય સ્થાનો પર યોગ્ય મૂલ્યોને બદલવાનું દૃષ્ટિની રીતે સરળ બનશે.

• ત્રિકોણનો વિસ્તાર છે ત્રિકોણની ઊંચાઈનો અડધો ગુણાંક અને બાજુની લંબાઈ જેના દ્વારા આ ઊંચાઈ ઓછી કરવામાં આવે છે(સૂત્ર 1). આ સૂત્રની સાચીતા તાર્કિક રીતે સમજી શકાય છે. પાયાની નીચેની ઊંચાઈ મનસ્વી ત્રિકોણને બે લંબચોરસમાં વિભાજિત કરશે. જો તમે તેમાંથી દરેકને b અને h પરિમાણ સાથે લંબચોરસમાં બાંધો છો, તો દેખીતી રીતે આ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ લંબચોરસના બરાબર અડધા ક્ષેત્રફળ (Spr = bh) જેટલું હશે.
• ત્રિકોણનો વિસ્તાર છે તેની બે બાજુઓનો અડધો ગુણાંક અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાની સાઈન(સૂત્ર 2) (નીચે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યા હલ કરવાનું ઉદાહરણ જુઓ). ભલે તે અગાઉના કરતા જુદું લાગતું હોય, પણ તેને સરળતાથી તેમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. જો આપણે કોણ B થી બાજુ b સુધીની ઊંચાઈ ઓછી કરીએ, તો તે તારણ આપે છે કે બાજુ a નું ઉત્પાદન અને કોણ γ ની સાઈન, કાટકોણ ત્રિકોણમાં સાઈનના ગુણધર્મો અનુસાર, આપણે દોરેલા ત્રિકોણની ઊંચાઈ જેટલી છે. , જે આપણને અગાઉનું સૂત્ર આપે છે
• મનસ્વી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધી શકાય છે દ્વારા કામવર્તુળની અડધી ત્રિજ્યા તેની બધી બાજુઓની લંબાઈના સરવાળા દ્વારા તેમાં અંકિત છે(સૂત્ર 3), સરળ રીતે કહીએ તો, તમારે ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિને અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યાથી ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે (આ યાદ રાખવું વધુ સરળ છે)
• મનસ્વી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ તેની ચારે બાજુના વર્તુળની 4 ત્રિજ્યા દ્વારા તેની બધી બાજુઓના ગુણાંકને વિભાજીત કરીને શોધી શકાય છે (સૂત્ર 4)
• ફોર્મ્યુલા 5 ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ તેની બાજુઓની લંબાઈ અને તેની અર્ધ પરિમિતિ (તેની બધી બાજુઓનો અડધો સરવાળો) દ્વારા શોધી રહ્યું છે.
• હેરોનનું સૂત્ર(6) અર્ધ-પરિમિતિના ખ્યાલનો ઉપયોગ કર્યા વિના, માત્ર બાજુઓની લંબાઈ દ્વારા સમાન સૂત્રનું પ્રતિનિધિત્વ છે
• મનસ્વી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણની બાજુના ચોરસના ગુણાંક જેટલું હોય છે અને આ બાજુને અડીને આવેલા ખૂણાઓની સાઈનને આ બાજુની સામેના ખૂણાની ડબલ સાઈન વડે ભાગવામાં આવે છે (સૂત્ર 7)
• મનસ્વી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ તેના પ્રત્યેક ખૂણાના સાઇન્સ દ્વારા તેની ફરતે ઘેરાયેલા વર્તુળના બે ચોરસના ગુણાંક તરીકે શોધી શકાય છે. (સૂત્ર 8)
• જો એક બાજુની લંબાઈ અને બે અડીને આવેલા ખૂણાઓની કિંમતો જાણીતી હોય, તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ આ બાજુના ચોરસ તરીકે આ ખૂણાઓના સહસ્પર્શકોના બેવડા સરવાળાથી વિભાજિત થાય છે (સૂત્ર 9)
• જો ત્રિકોણની દરેક ઊંચાઈની માત્ર લંબાઈ જ જાણીતી હોય (સૂત્ર 10), તો આવા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ આ ઊંચાઈની લંબાઈના વિપરિત પ્રમાણસર છે, જેમ કે હેરોનના સૂત્ર મુજબ
• ફોર્મ્યુલા 11 તમને ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે તેના શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ પર આધારિત ત્રિકોણનો વિસ્તાર, જે દરેક શિરોબિંદુઓ માટે (x;y) મૂલ્યો તરીકે ઉલ્લેખિત છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે પરિણામી મૂલ્ય મોડ્યુલો લેવું આવશ્યક છે, કારણ કે વ્યક્તિગત (અથવા તમામ) શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ નકારાત્મક મૂલ્યોના ક્ષેત્રમાં હોઈ શકે છે.

નોંધ. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે ભૂમિતિની સમસ્યાઓ હલ કરવાના ઉદાહરણો નીચે આપેલા છે. જો તમારે ભૂમિતિની સમસ્યા હલ કરવાની જરૂર હોય જે અહીં સમાન નથી, તો ફોરમમાં તેના વિશે લખો. ઉકેલોમાં, "ચોરસમૂળ" પ્રતીકને બદલે, sqrt() ફંક્શનનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, જેમાં sqrt એ વર્ગમૂળનું પ્રતીક છે, અને આમૂલ અભિવ્યક્તિ કૌંસમાં દર્શાવેલ છે..કેટલીકવાર સરળ આમૂલ અભિવ્યક્તિઓ માટે પ્રતીકનો ઉપયોગ કરી શકાય છે √

કાર્ય. બે બાજુઓ આપેલ વિસ્તાર અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો શોધો

ત્રિકોણની બાજુઓ 5 અને 6 સેમી છે તેમની વચ્ચેનો કોણ 60 ડિગ્રી છે. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ઉકેલ.

આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, અમે પાઠના સૈદ્ધાંતિક ભાગમાંથી સૂત્ર નંબર બેનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બે બાજુઓની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેના કોણની સાઈન દ્વારા શોધી શકાય છે અને તે બરાબર હશે
S=1/2 ab sin γ

અમારી પાસે સોલ્યુશન માટેના તમામ જરૂરી ડેટા હોવાથી (સૂત્ર મુજબ), અમે માત્ર સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાંથી મૂલ્યોને સૂત્રમાં બદલી શકીએ છીએ:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના મૂલ્યોના કોષ્ટકમાં, આપણે અભિવ્યક્તિમાં સાઈન 60 ડિગ્રીના મૂલ્યને શોધી અને બદલીશું. તે ત્રણ ગુણ્યા બે ના મૂળ સમાન હશે.
S = 15 √3 / 2

જવાબ આપો: 7.5 √3 (શિક્ષકની આવશ્યકતાઓને આધારે, તમે કદાચ 15 √3/2 છોડી શકો છો)

કાર્ય. સમભુજ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો

3 સેમી બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ઉકેલ.

હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધી શકાય છે:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a = b = c હોવાથી, સમભુજ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર આ સ્વરૂપ લે છે:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

જવાબ આપો: 9 √3 / 4.

કાર્ય. બાજુઓની લંબાઈ બદલતી વખતે વિસ્તાર બદલો

જો બાજુઓને 4 ગણો વધારવામાં આવે તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેટલી વાર વધશે?

ઉકેલ.

ત્રિકોણની બાજુઓના પરિમાણ આપણને અજાણ્યા હોવાથી, સમસ્યાના ઉકેલ માટે આપણે ધારીશું કે બાજુઓની લંબાઈ અનુક્રમે a, b, c ની મનસ્વી સંખ્યાઓ જેટલી છે. પછી, સમસ્યાના પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, આપણે આપેલ ત્રિકોણનો વિસ્તાર શોધીશું, અને પછી આપણે ત્રિકોણનો વિસ્તાર શોધીશું જેની બાજુઓ ચાર ગણી મોટી છે. આ ત્રિકોણના ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર આપણને સમસ્યાનો જવાબ આપશે.

નીચે અમે સમસ્યાના પગલા-દર-પગલાના ઉકેલનું શાબ્દિક સમજૂતી આપીએ છીએ. જો કે, ખૂબ જ અંતે, આ જ ઉકેલ વધુ અનુકૂળ ગ્રાફિકલ સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવ્યો છે. રસ ધરાવતા લોકો તરત જ ઉકેલો નીચે જઈ શકે છે.

ઉકેલવા માટે, અમે હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (પાઠના સૈદ્ધાંતિક ભાગમાં ઉપર જુઓ). તે આના જેવું દેખાય છે:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(નીચે ચિત્રની પ્રથમ લાઇન જુઓ)

મનસ્વી ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ a, b, c ચલ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે.
જો બાજુઓને 4 ગણો વધારવામાં આવે છે, તો નવા ત્રિકોણ c નો વિસ્તાર હશે:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(નીચે ચિત્રમાં બીજી લીટી જુઓ)

જેમ તમે જોઈ શકો છો, 4 એ એક સામાન્ય પરિબળ છે જેને ગણિતના સામાન્ય નિયમો અનુસાર ચારેય સમીકરણોમાંથી કૌંસમાંથી બહાર કાઢી શકાય છે.
પછી

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - ચિત્રની ત્રીજી લાઇન પર
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - ચોથી લીટી

256 નંબરનું વર્ગમૂળ સંપૂર્ણ રીતે કાઢવામાં આવ્યું છે, તો ચાલો તેને મૂળની નીચેથી બહાર કાઢીએ.
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(નીચે ચિત્રની પાંચમી લાઇન જુઓ)

સમસ્યામાં પૂછાયેલા પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, આપણે ફક્ત પરિણામી ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળને મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળથી વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.
ચાલો એકબીજા દ્વારા સમીકરણોને વિભાજીત કરીને અને પરિણામી અપૂર્ણાંકને ઘટાડીને વિસ્તાર ગુણોત્તર નક્કી કરીએ.

ત્રિકોણ એ દરેકને પરિચિત આકૃતિ છે. અને આ તેના સ્વરૂપોની સમૃદ્ધ વિવિધતા હોવા છતાં. લંબચોરસ, સમભુજ, તીવ્ર, સમદ્વિબાજુ, સ્થૂળ. તેમાંના દરેક અમુક રીતે અલગ છે. પરંતુ કોઈપણ માટે તમારે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાની જરૂર છે.

તમામ ત્રિકોણ માટે સામાન્ય સૂત્રો કે જે બાજુઓની લંબાઈ અથવા ઊંચાઈનો ઉપયોગ કરે છે

તેમાં અપનાવવામાં આવેલ હોદ્દો: બાજુઓ - a, b, c; a, n in, n સાથે અનુરૂપ બાજુઓ પરની ઊંચાઈ.

1. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ½, એક બાજુ અને તેમાંથી બાદ કરવામાં આવેલી ઊંચાઈના ગુણાંક તરીકે ગણવામાં આવે છે. S = ½ * a * n a. અન્ય બે બાજુઓ માટેના સૂત્રો સમાન રીતે લખવા જોઈએ.

2. હેરોનનું સૂત્ર, જેમાં અર્ધ-પરિમિતિ દેખાય છે (તે સામાન્ય રીતે નાના અક્ષર p દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, સંપૂર્ણ પરિમિતિથી વિપરીત). અર્ધ-પરિમિતિની ગણતરી નીચે પ્રમાણે કરવી આવશ્યક છે: બધી બાજુઓ ઉમેરો અને તેમને 2 વડે વિભાજીત કરો. અર્ધ-પરિમિતિ માટેનું સૂત્ર છે: p = (a+b+c) / 2. પછી ➡ ના ક્ષેત્રફળ માટે સમાનતા આકૃતિ આના જેવી દેખાય છે: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. જો તમે અર્ધ-પરિમિતિનો ઉપયોગ કરવા માંગતા નથી, તો એક સૂત્ર કે જેમાં માત્ર બાજુઓની લંબાઈ હશે તે ઉપયોગી થશે: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). તે પાછલા એક કરતા થોડો લાંબો છે, પરંતુ જો તમે અર્ધ-પરિમિતિ કેવી રીતે શોધવી તે ભૂલી ગયા હોવ તો તે મદદ કરશે.

ત્રિકોણના ખૂણાઓને સમાવતા સામાન્ય સૂત્રો

સૂત્રો વાંચવા માટે જરૂરી સંકેતો: α, β, γ - ખૂણા. તેઓ અનુક્રમે a, b, c વિરુદ્ધ બાજુએ આવેલા છે.

1. તે મુજબ, બે બાજુઓનો અડધો ગુણાંક અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાની સાઈન ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ જેટલી છે. એટલે કે: S = ½ a * b * sin γ. અન્ય બે કિસ્સાઓ માટેના સૂત્રો સમાન રીતે લખવા જોઈએ.

2. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી એક બાજુ અને ત્રણ જાણીતા ખૂણાઓથી કરી શકાય છે. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. એક જાણીતી બાજુ અને બે અડીને આવેલા ખૂણાઓ સાથેનું સૂત્ર પણ છે. તે આના જેવું દેખાય છે: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

છેલ્લા બે સૂત્રો સૌથી સરળ નથી. તેમને યાદ રાખવું ખૂબ મુશ્કેલ છે.

પરિસ્થિતીઓ માટે સામાન્ય સૂત્રો જ્યાં અંકિત અથવા પરિમાણિત વર્તુળોની ત્રિજ્યા જાણીતી છે

વધારાના હોદ્દો: r, R - radii. પ્રથમનો ઉપયોગ અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા માટે થાય છે. બીજું વર્ણવેલ માટે છે.

1. પ્રથમ સૂત્ર કે જેના દ્વારા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવામાં આવે છે તે અર્ધ-પરિમિતિ સાથે સંબંધિત છે. એસ = આર * આર. તેને લખવાની બીજી રીત છે: S = ½ r * (a + b + c).

2. બીજા કિસ્સામાં, તમારે ત્રિકોણની બધી બાજુઓને ગુણાકાર કરવાની જરૂર પડશે અને તેમને ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યાના ચાર ગણા વડે વિભાજીત કરવી પડશે. શાબ્દિક અભિવ્યક્તિમાં તે આના જેવું દેખાય છે: S = (a * b * c) / (4R).

3. ત્રીજી પરિસ્થિતિ તમને બાજુઓને જાણ્યા વિના કરવાની મંજૂરી આપે છે, પરંતુ તમારે ત્રણેય ખૂણાઓના મૂલ્યોની જરૂર પડશે. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

વિશેષ કેસ: જમણો ત્રિકોણ

આ સૌથી સરળ પરિસ્થિતિ છે, કારણ કે ફક્ત બંને પગની લંબાઈ જરૂરી છે. તેઓ લેટિન અક્ષરો a અને b દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવ્યા છે. કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ તેમાં ઉમેરાયેલા લંબચોરસના અડધા ક્ષેત્રફળ જેટલું છે.

ગાણિતિક રીતે તે આના જેવું દેખાય છે: S = ½ a * b. તે યાદ રાખવું સૌથી સરળ છે. કારણ કે તે લંબચોરસના ક્ષેત્રફળ માટેના સૂત્ર જેવું લાગે છે, માત્ર એક અપૂર્ણાંક દેખાય છે, જે અડધો ભાગ સૂચવે છે.

વિશેષ કેસ: સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ

તેની બે સમાન બાજુઓ હોવાથી, તેના વિસ્તાર માટેના કેટલાક સૂત્રો કંઈક અંશે સરળ લાગે છે. ઉદાહરણ તરીકે, હેરોનનું સૂત્ર, જે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરે છે, તે નીચેનું સ્વરૂપ લે છે:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

જો તમે તેને રૂપાંતરિત કરશો, તો તે ટૂંકું થઈ જશે. આ કિસ્સામાં, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ માટે હેરોનનું સૂત્ર નીચે પ્રમાણે લખાયેલું છે:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

જો બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેનો કોણ જાણીતો હોય તો ક્ષેત્ર સૂત્ર મનસ્વી ત્રિકોણ કરતાં કંઈક અંશે સરળ લાગે છે. S = ½ a 2 * sin β.

વિશેષ કેસ: સમભુજ ત્રિકોણ

સામાન્ય રીતે સમસ્યાઓમાં તેના વિશેની બાજુ જાણીતી હોય છે અથવા તે કોઈ રીતે શોધી શકાય છે. પછી આવા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

S = (a 2 √3) / 4.

જો ત્રિકોણ ચેકર્ડ પેપર પર દર્શાવવામાં આવ્યું હોય તો વિસ્તાર શોધવામાં સમસ્યાઓ

સૌથી સરળ પરિસ્થિતિ એ છે કે જ્યારે જમણો ત્રિકોણ દોરવામાં આવે છે જેથી તેના પગ કાગળની રેખાઓ સાથે સુસંગત હોય. પછી તમારે ફક્ત પગમાં ફિટ થતા કોષોની સંખ્યા ગણવાની જરૂર છે. પછી તેમને ગુણાકાર કરો અને બે વડે ભાગો.

જ્યારે ત્રિકોણ તીવ્ર અથવા સ્થૂળ હોય છે, ત્યારે તેને લંબચોરસ તરફ દોરવાની જરૂર છે. પછી પરિણામી આકૃતિમાં 3 ત્રિકોણ હશે. સમસ્યામાં આપેલ એક છે. અને અન્ય બે સહાયક અને લંબચોરસ છે. ઉપર વર્ણવેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને છેલ્લા બેના ક્ષેત્રો નક્કી કરવાની જરૂર છે. પછી લંબચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો અને સહાયક રાશિઓ માટે ગણતરી કરેલ તેમાંથી બાદબાકી કરો. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નક્કી થાય છે.

પરિસ્થિતિ કે જેમાં ત્રિકોણની કોઈપણ બાજુ કાગળની રેખાઓ સાથે સુસંગત નથી તે વધુ જટિલ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. પછી તેને લંબચોરસમાં લખવાની જરૂર છે જેથી મૂળ આકૃતિના શિરોબિંદુ તેની બાજુઓ પર રહે. આ કિસ્સામાં, ત્રણ સહાયક જમણા ત્રિકોણ હશે.

હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાનું ઉદાહરણ

શરત. કેટલાક ત્રિકોણની બાજુઓ જાણીતી હોય છે. તેઓ 3, 5 અને 6 સે.મી.ની બરાબર છે તમારે તેનો વિસ્તાર શોધવાની જરૂર છે.

હવે તમે ઉપરોક્ત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરી શકો છો. વર્ગમૂળ હેઠળ ચાર સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન છે: 7, 4, 2 અને 1. એટલે કે, ક્ષેત્રફળ √(4 * 14) = 2 √(14) છે.

જો વધારે ચોકસાઈની જરૂર ન હોય, તો તમે 14 નું વર્ગમૂળ લઈ શકો છો. તે 3.74 ની બરાબર છે. પછી વિસ્તાર 7.48 થશે.

જવાબ આપો. S = 2 √14 cm 2 અથવા 7.48 cm 2.

સમકક્ષ ત્રિકોણની સમસ્યાનું ઉદાહરણ

શરત. જમણા ત્રિકોણનો એક પગ બીજા કરતા 31 સેમી મોટો છે, તમારે તેમની લંબાઈ શોધવાની જરૂર છે જો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ 180 સેમી 2 છે.
ઉકેલ. આપણે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી પડશે. પ્રથમ વિસ્તાર સાથે સંબંધિત છે. બીજું પગના ગુણોત્તર સાથે છે, જે સમસ્યામાં આપવામાં આવ્યું છે.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
પ્રથમ, "a" નું મૂલ્ય પ્રથમ સમીકરણમાં બદલવું આવશ્યક છે. તે તારણ આપે છે: 180 = ½ (માં + 31) * માં. તેની પાસે માત્ર એક જ અજ્ઞાત જથ્થો છે, તેથી તેને ઉકેલવું સરળ છે. કૌંસ ખોલ્યા પછી, ચતુર્ભુજ સમીકરણ પ્રાપ્ત થાય છે: 2 + 31 360 = 0. આ "in" માટે બે મૂલ્યો આપે છે: 9 અને - 40. બીજી સંખ્યા જવાબ તરીકે યોગ્ય નથી, કારણ કે બાજુની લંબાઈ ત્રિકોણનું નકારાત્મક મૂલ્ય હોઈ શકતું નથી.

તે બીજા પગની ગણતરી કરવાનું બાકી છે: પરિણામી સંખ્યામાં 31 ઉમેરો તે 40 છે. આ સમસ્યામાં માંગવામાં આવેલ જથ્થા છે.

જવાબ આપો. ત્રિકોણના પગ 9 અને 40 સે.મી.

ત્રિકોણના વિસ્તાર, બાજુ અને કોણ દ્વારા બાજુ શોધવાની સમસ્યા

શરત. ચોક્કસ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ 60 સેમી 2 છે. જો બીજી બાજુ 15 સેમી હોય અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો 30º હોય તો તેની એક બાજુની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

ઉકેલ. સ્વીકૃત નોટેશનના આધારે, ઇચ્છિત બાજુ "a" છે, જાણીતી બાજુ "b" છે, આપેલ કોણ "γ" છે. પછી વિસ્તાર સૂત્ર નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. અહીં 30 ડિગ્રીની સાઈન 0.5 છે.

પરિવર્તન પછી, "a" 60 / (0.5 * 0.5 * 15) ની બરાબર થાય છે. એટલે કે 16.

જવાબ આપો. જરૂરી બાજુ 16 સે.મી.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં અંકિત ચોરસ વિશેની સમસ્યા

શરત. 24 સે.મી.ની બાજુવાળા ચોરસનું શિરોબિંદુ ત્રિકોણના જમણા ખૂણા સાથે એકરુપ છે. અન્ય બે બાજુઓ પર આવેલા છે. ત્રીજો કર્ણનો છે. એક પગની લંબાઇ 42 સેમી છે, કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

ઉકેલ. બે જમણા ત્રિકોણનો વિચાર કરો. પ્રથમ એક કાર્યમાં ઉલ્લેખિત છે. બીજો મૂળ ત્રિકોણના જાણીતા પગ પર આધારિત છે. તેઓ સમાન છે કારણ કે તેમની પાસે એક સામાન્ય કોણ છે અને સમાંતર રેખાઓ દ્વારા રચાય છે.

પછી તેમના પગનો ગુણોત્તર સમાન છે. નાના ત્રિકોણના પગ 24 સેમી (ચોરસની બાજુ) અને 18 સેમી (આપેલ લેગ 42 સેમી ચોરસની બાજુ 24 સેમી બાદબાકી કરો) સમાન છે. મોટા ત્રિકોણના અનુરૂપ પગ 42 સેમી અને x સેમી છે તે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે આ "x" છે.

18/42 = 24/x, એટલે કે, x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

પછી ક્ષેત્રફળ 56 અને 42 ને બે વડે ભાગ્યા એટલે કે 1176 સેમી 2 ના ગુણાંક જેટલું થાય.

જવાબ આપો. જરૂરી વિસ્તાર 1176 સેમી 2 છે.

તમે ઇન્ટરનેટ પર ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટે 10 થી વધુ સૂત્રો શોધી શકો છો તેમાંથી ઘણાનો ઉપયોગ ત્રિકોણની જાણીતી બાજુઓ અને ખૂણાઓની સમસ્યાઓમાં થાય છે. જો કે, એવા અસંખ્ય જટિલ ઉદાહરણો છે કે જ્યાં સોંપણીની શરતો અનુસાર, ત્રિકોણની માત્ર એક બાજુ અને ખૂણાઓ અથવા પરિઘ અથવા અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા અને એક વધુ લાક્ષણિકતા જાણીતી છે. આવા કિસ્સાઓમાં, સરળ ફોર્મ્યુલા લાગુ કરી શકાતી નથી.

નીચેના સૂત્રો 95 ટકા સમસ્યાઓ હલ કરશે જેમાં તમારે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાની જરૂર છે.
ચાલો સામાન્ય ક્ષેત્રના સૂત્રોને ધ્યાનમાં લઈએ.
નીચેની આકૃતિમાં બતાવેલ ત્રિકોણનો વિચાર કરો

આકૃતિમાં અને નીચેના સૂત્રોમાં, તેની તમામ લાક્ષણિકતાઓના શાસ્ત્રીય હોદ્દો રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.
a,b,c – ત્રિકોણની બાજુઓ,
આર - પરિઘિત વર્તુળની ત્રિજ્યા,
r – અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા,
h[b],h[a],h[c] – a,b,c બાજુઓ અનુસાર દોરવામાં આવેલી ઊંચાઈ.
આલ્ફા, બીટા, હમ્મા – શિરોબિંદુઓની નજીકના ખૂણા.

ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેના મૂળભૂત સૂત્રો

1. ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણની બાજુના અડધા ઉત્પાદનના બરાબર છે અને આ બાજુની ઊંચાઈ ઓછી છે. સૂત્રોની ભાષામાં, આ વ્યાખ્યા નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે

આમ, જો બાજુ અને ઊંચાઈ જાણીતી હોય, તો દરેક વિદ્યાર્થીને વિસ્તાર મળશે.
માર્ગ દ્વારા, આ સૂત્રમાંથી વ્યક્તિ ઊંચાઈ વચ્ચેનો એક ઉપયોગી સંબંધ મેળવી શકે છે

2. જો આપણે ધ્યાનમાં લઈએ કે બાજુની બાજુમાંથી ત્રિકોણની ઊંચાઈ અવલંબન દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે

પછી પ્રથમ ક્ષેત્ર સૂત્ર એ જ પ્રકારના બીજા દ્વારા અનુસરવામાં આવે છે

સૂત્રોને કાળજીપૂર્વક જુઓ - તે યાદ રાખવું સરળ છે, કારણ કે કાર્યમાં બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેનો કોણ શામેલ છે. જો આપણે ત્રિકોણની બાજુઓ અને ખૂણાઓને યોગ્ય રીતે નિયુક્ત કરીએ (ઉપરની આકૃતિની જેમ), તો આપણને બે બાજુઓ a, b મળશે. અને કોણ ત્રીજા સાથે જોડાયેલ છે(હમ્મા) સાથે.

3. ત્રિકોણના ખૂણા માટે, સંબંધ સાચો છે

અવલંબન તમને ગણતરીમાં ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટે નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે:

આ અવલંબનનાં ઉદાહરણો અત્યંત દુર્લભ છે, પરંતુ તમારે યાદ રાખવું જોઈએ કે આવી એક સૂત્ર છે.

4. જો બાજુ અને બે સંલગ્ન ખૂણાઓ જાણીતા હોય, તો સૂત્ર દ્વારા ક્ષેત્રફળ મળે છે

5. બાજુના ખૂણાઓની બાજુ અને સહસ્પર્શકના સંદર્ભમાં ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે

અનુક્રમણિકાઓને ફરીથી ગોઠવીને તમે અન્ય પક્ષો માટે નિર્ભરતા મેળવી શકો છો.

6. જ્યારે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ સમતલ પર કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે ત્યારે નીચેના ક્ષેત્ર સૂત્રનો ઉપયોગ સમસ્યાઓમાં થાય છે. આ કિસ્સામાં, વિસ્તાર નિર્ણાયક લેવામાં આવેલા મોડ્યુલોના અડધા જેટલો છે.

7. હેરોનનું સૂત્રત્રિકોણની જાણીતી બાજુઓ સાથેના ઉદાહરણોમાં વપરાય છે.
પ્રથમ ત્રિકોણની અર્ધ પરિમિતિ શોધો

અને પછી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તાર નક્કી કરો

અથવા

તે ઘણી વાર કેલ્ક્યુલેટર પ્રોગ્રામના કોડમાં વપરાય છે.

8. જો ત્રિકોણની બધી ઊંચાઈઓ જાણીતી હોય, તો ક્ષેત્રફળ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

કેલ્ક્યુલેટર પર ગણતરી કરવી મુશ્કેલ છે, પરંતુ MathCad, Mathematica, Maple પેકેજોમાં વિસ્તાર "સમય બે" છે.

9. નીચેના સૂત્રો કોતરેલા અને ઘેરાયેલા વર્તુળોની જાણીતી ત્રિજ્યાનો ઉપયોગ કરે છે.

ખાસ કરીને, જો ત્રિકોણની ત્રિજ્યા અને બાજુઓ અથવા તેની પરિમિતિ જાણીતી હોય, તો પછી ક્ષેત્રફળની ગણતરી સૂત્ર અનુસાર કરવામાં આવે છે.

10. ઉદાહરણોમાં જ્યાં પરિક્રમા કરેલ વર્તુળની બાજુઓ અને ત્રિજ્યા અથવા વ્યાસ આપવામાં આવે છે, ત્યાં સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તાર જોવા મળે છે.

11. નીચેનું સૂત્ર ત્રિકોણની બાજુ અને ખૂણાઓના સંદર્ભમાં ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરે છે.

અને અંતે - વિશેષ કેસો:
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળપગ a અને b તેમના અડધા ઉત્પાદનના સમાન સાથે

સમભુજ (નિયમિત) ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર=

= બાજુના વર્ગના ગુણાંકનો ચોથો ભાગ અને ત્રણના મૂળ.

સૂચનાઓ

પક્ષોઅને ખૂણાને મૂળભૂત તત્વો ગણવામાં આવે છે એ. ત્રિકોણ તેના નીચેના મૂળભૂત ઘટકોમાંથી કોઈપણ દ્વારા સંપૂર્ણપણે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: કાં તો ત્રણ બાજુઓ, અથવા એક બાજુ અને બે ખૂણા, અથવા બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો. અસ્તિત્વ માટે ત્રિકોણત્રણ બાજુઓ a, b, c દ્વારા આપવામાં આવે છે, તે અસમાનતાને સંતોષવા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે જેને અસમાનતા કહેવાય છે ત્રિકોણ:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

બાંધવું ત્રિકોણ a, b, c ત્રણ બાજુએ, હોકાયંત્ર વડે b ત્રિજ્યાનું વર્તુળ દોરવા માટે CB = a સેગમેન્ટના બિંદુ C થી જરૂરી છે. પછી, તે જ રીતે, બિંદુ B પરથી બાજુ c ની સમાન ત્રિજ્યા સાથે વર્તુળ દોરો. તેમનો આંતરછેદ બિંદુ A એ ઇચ્છિતનો ત્રીજો શિરોબિંદુ છે ત્રિકોણ ABC, જ્યાં AB=c, CB=a, CA=b - બાજુઓ ત્રિકોણ. સમસ્યા છે, જો બાજુઓ a, b, c, અસમાનતાઓને સંતોષે છે ત્રિકોણપગલું 1 માં ઉલ્લેખિત.

આ રીતે બાંધવામાં આવેલ વિસ્તાર S ત્રિકોણજાણીતી બાજુઓ a, b, c સાથે ABC ની ગણતરી હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
જ્યાં a, b, c બાજુઓ છે ત્રિકોણ, p - અર્ધ-પરિમિતિ.
p = (a+b+c)/2

જો ત્રિકોણ સમભુજ હોય, એટલે કે તેની બધી બાજુઓ સમાન હોય (a=b=c).ક્ષેત્ર ત્રિકોણસૂત્ર દ્વારા ગણતરી:
S=(a^2 v3)/4

જો ત્રિકોણ કાટખૂણો હોય, એટલે કે, તેનો એક ખૂણો 90° જેટલો હોય, અને તેને બનાવતી બાજુઓ પગ હોય, તો ત્રીજી બાજુ કર્ણાકાર છે. આ કિસ્સામાં ચોરસબે વડે વિભાજિત પગના ઉત્પાદનની બરાબર છે.
S=ab/2

શોધવા માટે ચોરસ ત્રિકોણ, તમે ઘણા બધા સૂત્રોમાંથી એકનો ઉપયોગ કરી શકો છો. કયા ડેટા પહેલાથી જાણીતા છે તેના આધારે ફોર્મ્યુલા પસંદ કરો.

તમને જરૂર પડશે

• ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટેના સૂત્રોનું જ્ઞાન

સૂચનાઓ

જો તમને કોઈ એક બાજુનું કદ અને તેની સામેના ખૂણોથી આ બાજુની ઊંચાઈનું મૂલ્ય ખબર હોય, તો તમે નીચેનાનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તાર શોધી શકો છો: S = a*h/2, જ્યાં S એ વિસ્તાર છે ત્રિકોણનો, a એ ત્રિકોણની બાજુઓમાંથી એક છે અને h - ઊંચાઈ, બાજુ a.

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવા માટે જાણીતી પદ્ધતિ છે જો તેની ત્રણ બાજુઓ જાણીતી હોય. તે હેરોનનું સૂત્ર છે. તેના રેકોર્ડિંગને સરળ બનાવવા માટે, મધ્યવર્તી મૂલ્ય રજૂ કરવામાં આવ્યું છે - અર્ધ-પરિમિતિ: p = (a+b+c)/2, જ્યાં a, b, c - . પછી હેરોનનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ ઘાત.

ચાલો ધારીએ કે તમે ત્રિકોણની એક બાજુ અને ત્રણ ખૂણા જાણો છો. પછી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવું સરળ છે: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), જ્યાં β એ બાજુ a ની વિરુદ્ધ કોણ છે, અને α અને γ એ બાજુને અડીને આવેલા ખૂણા છે.

વિષય પર વિડિઓ

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો

સૌથી સામાન્ય સૂત્ર કે જે તમામ કેસ માટે યોગ્ય છે તે હેરોનનું સૂત્ર છે.

સ્ત્રોતો:

ટીપ 3: ત્રણ બાજુઓના આધારે ત્રિકોણનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવું એ શાળાના આયોજનની સૌથી સામાન્ય સમસ્યાઓમાંની એક છે. કોઈપણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવા માટે ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ જાણવી પૂરતી છે. સમબાજુ ત્રિકોણના વિશેષ કિસ્સાઓમાં, અનુક્રમે બે અને એક બાજુની લંબાઈ જાણવા માટે તે પૂરતું છે.

તમને જરૂર પડશે

• ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ, હેરોનનું સૂત્ર, કોસાઈન પ્રમેય

સૂચનાઓ

ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટે હેરોનનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). જો આપણે અર્ધ-પરિમિતિ p લખીએ, તો આપણને મળે છે: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

તમે વિચારણાઓમાંથી ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર મેળવી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, કોસાઇન પ્રમેય લાગુ કરીને.

કોસાઇન પ્રમેય દ્વારા, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). રજૂ કરાયેલા સંકેતોનો ઉપયોગ કરીને, આ ફોર્મમાં પણ લખી શકાય છે: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). તેથી, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ સૂત્ર S = a*c*sin(ABC)/2 દ્વારા બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેના કોણનો ઉપયોગ કરીને પણ જોવા મળે છે. કોણ ABC ની સાઈન તેના દ્વારા મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરી શકાય છે: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). ક્ષેત્ર માટેના સૂત્રમાં સાઈનને બદલીને અને તેને લખીને , તમે ત્રિકોણ ABC ના ક્ષેત્રફળ માટેના સૂત્ર પર પહોંચી શકો છો.

વિષય પર વિડિઓ

રિપેર કાર્ય હાથ ધરવા માટે, તે માપવા માટે જરૂરી હોઈ શકે છે ચોરસદિવાલો આ પેઇન્ટ અથવા વૉલપેપરની જરૂરી રકમની ગણતરી કરવાનું સરળ બનાવે છે. માપન માટે, ટેપ માપ અથવા માપન ટેપનો ઉપયોગ કરવો શ્રેષ્ઠ છે. માપન પછી લેવામાં આવવી જોઈએ દિવાલોસમતળ કરવામાં આવ્યા હતા.

તમને જરૂર પડશે

• - રૂલેટ;
• - નિસરણી.

સૂચનાઓ

ગણવા ચોરસદિવાલો, તમારે છતની ચોક્કસ ઊંચાઈ જાણવાની જરૂર છે, અને ફ્લોર સાથે લંબાઈને પણ માપવાની જરૂર છે. આ નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે: એક સેન્ટિમીટર લો અને તેને બેઝબોર્ડ પર મૂકો. સામાન્ય રીતે સમગ્ર લંબાઈ માટે એક સેન્ટીમીટર પૂરતું નથી, તેથી તેને ખૂણામાં સુરક્ષિત કરો, પછી તેને મહત્તમ લંબાઈ સુધી ખોલો. આ બિંદુએ, પેંસિલ વડે ચિહ્ન મૂકો, પ્રાપ્ત પરિણામ લખો અને છેલ્લા માપન બિંદુથી શરૂ કરીને તે જ રીતે વધુ માપન કરો.

સ્ટાન્ડર્ડ સીલિંગ્સ 2 મીટર 80 સેન્ટિમીટર, 3 મીટર અને 3 મીટર 20 સેન્ટિમીટર છે, જે ઘરના આધારે છે. જો ઘર 50 ના દાયકા પહેલા બાંધવામાં આવ્યું હતું, તો સંભવતઃ વાસ્તવિક ઊંચાઈ દર્શાવેલ કરતાં થોડી ઓછી છે. જો તમે ગણતરી કરી રહ્યા છો ચોરસરિપેર કાર્ય માટે, પછી એક નાનો પુરવઠો નુકસાન કરશે નહીં - ધોરણના આધારે ધ્યાનમાં લો. જો તમારે હજુ પણ વાસ્તવિક ઊંચાઈ જાણવાની જરૂર હોય, તો માપ લો. સિદ્ધાંત લંબાઈ માપવા સમાન છે, પરંતુ તમારે સ્ટેપલેડરની જરૂર પડશે.

પરિણામી સૂચકાંકોને ગુણાકાર કરો - આ છે ચોરસતમારું દિવાલો. સાચું, જ્યારે પેઇન્ટિંગ અથવા પેઇન્ટિંગ માટે તે બાદબાકી કરવી જરૂરી છે ચોરસદરવાજો અને બારી ખોલો. આ કરવા માટે, ઉદઘાટન સાથે સેન્ટીમીટર મૂકો. જો અમે એવા દરવાજા વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ કે જેને તમે પછીથી બદલવા જઈ રહ્યા છો, તો પછી માત્ર ધ્યાનમાં લેતા, દરવાજાની ફ્રેમ દૂર કરીને આગળ વધો. ચોરસસીધા જ ઉદઘાટન પર. વિંડોનો વિસ્તાર તેની ફ્રેમની પરિમિતિ સાથે ગણવામાં આવે છે. પછી ચોરસવિન્ડો અને ડોરવેની ગણતરી, રૂમના કુલ પરિણામી ક્ષેત્રમાંથી પરિણામ બાદ કરો.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે રૂમની લંબાઈ અને પહોળાઈને માપવાનું બે લોકો દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે, આ સેન્ટીમીટર અથવા ટેપ માપને ઠીક કરવાનું સરળ બનાવે છે અને તે મુજબ, વધુ સચોટ પરિણામ મેળવો. તમે મેળવેલ નંબરો સચોટ છે તેની ખાતરી કરવા માટે સમાન માપ ઘણી વખત લો.

વિષય પર વિડિઓ

ત્રિકોણનું કદ શોધવું એ ખરેખર બિન-તુચ્છ કાર્ય છે. હકીકત એ છે કે ત્રિકોણ એ દ્વિ-પરિમાણીય આકૃતિ છે, એટલે કે. તે સંપૂર્ણપણે એક પ્લેનમાં આવેલું છે, જેનો અર્થ છે કે તેની પાસે કોઈ વોલ્યુમ નથી. અલબત્ત, તમે એવી કોઈ વસ્તુ શોધી શકતા નથી જે અસ્તિત્વમાં નથી. પરંતુ ચાલો હાર ન માનીએ! અમે નીચેની ધારણા સ્વીકારી શકીએ છીએ: દ્વિ-પરિમાણીય આકૃતિનું કદ તેનું ક્ષેત્રફળ છે. આપણે ત્રિકોણનો વિસ્તાર શોધીશું.

તમને જરૂર પડશે

• કાગળની શીટ, પેન્સિલ, શાસક, કેલ્ક્યુલેટર

સૂચનાઓ

શાસક અને પેન્સિલનો ઉપયોગ કરીને કાગળના ટુકડા પર દોરો. ત્રિકોણની કાળજીપૂર્વક તપાસ કરીને, તમે ખાતરી કરી શકો છો કે તેમાં ખરેખર ત્રિકોણ નથી, કારણ કે તે પ્લેન પર દોરવામાં આવ્યું છે. ત્રિકોણની બાજુઓને લેબલ કરો: એક બાજુ "a", બીજી બાજુ "b" અને ત્રીજી બાજુ "c" રહેવા દો. ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓને "A", "B" અને "C" અક્ષરો સાથે લેબલ કરો.

ત્રિકોણની કોઈપણ બાજુને શાસક વડે માપો અને પરિણામ લખો. આ પછી, તેની વિરુદ્ધ શિરોબિંદુમાંથી માપેલી બાજુ પર લંબ પુનઃસ્થાપિત કરો, આવી લંબ ત્રિકોણની ઊંચાઈ હશે. આકૃતિમાં બતાવેલ કિસ્સામાં, લંબરૂપ "h" શિરોબિંદુ "A" માંથી બાજુ "c" પર પુનઃસ્થાપિત થાય છે. પરિણામી ઊંચાઈને શાસક વડે માપો અને માપન પરિણામ લખો.

તમારા માટે ચોક્કસ લંબને પુનઃસ્થાપિત કરવું મુશ્કેલ હોઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, તમારે એક અલગ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ. ત્રિકોણની બધી બાજુઓને શાસક વડે માપો. આ પછી, બાજુઓની પરિણામી લંબાઈ ઉમેરીને અને તેમના સરવાળાને અડધા ભાગમાં વહેંચીને ત્રિકોણ "p" ની અર્ધ-પરિમિતિની ગણતરી કરો. તમારા નિકાલ પર અર્ધ-પરિમિતિનું મૂલ્ય રાખવાથી, તમે હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો. આ કરવા માટે, તમારે નીચેનાનું વર્ગમૂળ લેવાની જરૂર છે: p(p-a)(p-b)(p-c).

તમે ત્રિકોણનો જરૂરી વિસ્તાર મેળવી લીધો છે. ત્રિકોણનું કદ શોધવાની સમસ્યા હલ થઈ નથી, પરંતુ ઉપર જણાવ્યા મુજબ, વોલ્યુમ નથી. તમે ત્રિ-પરિમાણીય વિશ્વમાં આવશ્યકપણે ત્રિકોણ હોય તેવું વોલ્યુમ શોધી શકો છો. જો આપણે કલ્પના કરીએ કે આપણો મૂળ ત્રિકોણ ત્રિ-પરિમાણીય પિરામિડ બની ગયો છે, તો આવા પિરામિડનું કદ તેના પાયાની લંબાઈ અને ત્રિકોણના પરિણામી ક્ષેત્રફળનું ઉત્પાદન હશે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો

તમે જેટલી કાળજીપૂર્વક માપશો, તમારી ગણતરીઓ વધુ સચોટ હશે.

સ્ત્રોતો:

• કેલ્ક્યુલેટર "એવરીથિંગ ટુ એવરીથિંગ" - સંદર્ભ મૂલ્યો માટેનું પોર્ટલ
• 2019 માં ત્રિકોણ વોલ્યુમ

કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ત્રિકોણને વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરતા ત્રણ બિંદુઓ તેના શિરોબિંદુઓ છે. દરેક સંકલન અક્ષની તુલનામાં તેમની સ્થિતિને જાણીને, તમે આ સપાટ આકૃતિના કોઈપણ પરિમાણોની ગણતરી કરી શકો છો, જેમાં તેની પરિમિતિ દ્વારા મર્યાદિત પરિમાણોનો સમાવેશ થાય છે. ચોરસ. આ ઘણી રીતે કરી શકાય છે.

સૂચનાઓ

વિસ્તારની ગણતરી કરવા હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો ત્રિકોણ. તેમાં આકૃતિની ત્રણ બાજુઓના પરિમાણો સામેલ છે, તેથી તમારી ગણતરીઓ સાથે શરૂ કરો. દરેક બાજુની લંબાઈ સંકલન અક્ષો પર તેના અંદાજોની લંબાઈના ચોરસના સરવાળાના મૂળની બરાબર હોવી જોઈએ. જો આપણે કોઓર્ડિનેટ્સ A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) અને C(X₃,Y₃,Z₃) ને સૂચવીએ, તો તેમની બાજુઓની લંબાઈ નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે: AB = √((X₁-) X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે, સહાયક ચલ રજૂ કરો - અર્ધ-પરિમિતિ (P). હકીકત એ છે કે આ બધી બાજુઓની લંબાઈનો અડધો સરવાળો છે: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

તમારા શાળાના ભૂમિતિ અભ્યાસક્રમમાંથી તમને યાદ હશે તેમ, ત્રિકોણ એ ત્રણ બિંદુઓથી જોડાયેલા ત્રણ ભાગોમાંથી બનેલી આકૃતિ છે જે એક જ સીધી રેખા પર નથી હોતી. ત્રિકોણ ત્રણ ખૂણા બનાવે છે, તેથી આકૃતિનું નામ. વ્યાખ્યા અલગ હોઈ શકે છે. ત્રિકોણને ત્રણ ખૂણાવાળો બહુકોણ પણ કહી શકાય, જવાબ પણ સાચો હશે. ત્રિકોણને સમાન બાજુઓની સંખ્યા અને આકૃતિઓમાંના ખૂણાઓના કદ અનુસાર વિભાજિત કરવામાં આવે છે. આમ, ત્રિકોણ અનુક્રમે સમદ્વિબાજુ, સમભુજ અને સ્કેલીન તેમજ લંબચોરસ, તીવ્ર અને સ્થૂળ તરીકે અલગ પડે છે.

ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે ઘણા બધા સૂત્રો છે. ત્રિકોણનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો તે પસંદ કરો, એટલે કે. કયા ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરવો તે તમારા પર છે. પરંતુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે ઘણા સૂત્રોમાં ઉપયોગમાં લેવાતા કેટલાક સંકેતો જ ધ્યાનમાં લેવા યોગ્ય છે. તેથી, યાદ રાખો:

S એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે,

a, b, c ત્રિકોણની બાજુઓ છે,

h એ ત્રિકોણની ઊંચાઈ છે,

R એ ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,

p એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.

જો તમે તમારો ભૂમિતિ અભ્યાસક્રમ સંપૂર્ણપણે ભૂલી ગયા હોવ તો અહીં મૂળભૂત સંકેતો છે જે તમારા માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે. ત્રિકોણના અજાણ્યા અને રહસ્યમય વિસ્તારની ગણતરી કરવા માટે નીચે સૌથી સમજી શકાય તેવા અને જટિલ વિકલ્પો છે. તે મુશ્કેલ નથી અને તમારી ઘરની જરૂરિયાતો માટે અને તમારા બાળકોને મદદ કરવા બંને માટે ઉપયોગી થશે. ચાલો યાદ રાખીએ કે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની શક્ય તેટલી સરળતાથી ગણતરી કેવી રીતે કરવી:

અમારા કિસ્સામાં, ત્રિકોણનો વિસ્તાર છે: S = ½ * 2.2 cm * 2.5 cm = 2.75 sq. cm. યાદ રાખો કે વિસ્તાર ચોરસ સેન્ટિમીટર (sqcm) માં માપવામાં આવે છે.

જમણો ત્રિકોણ અને તેનો વિસ્તાર.

જમણો ત્રિકોણ એ એક ત્રિકોણ છે જેમાં એક ખૂણો 90 ડિગ્રી જેટલો હોય છે (તેથી જમણો કહેવાય છે). કાટખૂણો બે લંબ રેખાઓ દ્વારા રચાય છે (ત્રિકોણના કિસ્સામાં, બે લંબ ભાગો). કાટકોણ ત્રિકોણમાં માત્ર એક જ કાટકોણ હોઈ શકે છે, કારણ કે... કોઈપણ એક ત્રિકોણના તમામ ખૂણાઓનો સરવાળો 180 ડિગ્રી જેટલો છે. તે તારણ આપે છે કે 2 અન્ય ખૂણાઓએ બાકીના 90 ડિગ્રીને વિભાજીત કરવા જોઈએ, ઉદાહરણ તરીકે 70 અને 20, 45 અને 45, વગેરે. તેથી, તમને મુખ્ય વસ્તુ યાદ છે, જે બાકી છે તે શોધવાનું છે કે સમકોણ ત્રિકોણનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો. ચાલો કલ્પના કરીએ કે આપણી સામે આવો કાટકોણ ત્રિકોણ છે, અને આપણે તેનો વિસ્તાર S શોધવાની જરૂર છે.

1. કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવાની સૌથી સરળ રીત નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

અમારા કિસ્સામાં, જમણા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે: S = 2.5 cm * 3 cm/2 = 3.75 sq. cm.

સૈદ્ધાંતિક રીતે, ત્રિકોણના ક્ષેત્રને અન્ય રીતે ચકાસવાની હવે કોઈ જરૂર નથી, કારણ કે ફક્ત આ જ ઉપયોગી થશે અને રોજિંદા જીવનમાં મદદ કરશે. પરંતુ તીવ્ર ખૂણા દ્વારા ત્રિકોણના વિસ્તારને માપવા માટેના વિકલ્પો પણ છે.

2. અન્ય ગણતરી પદ્ધતિઓ માટે, તમારી પાસે કોસાઇન્સ, સાઇન અને ટેન્જેન્ટનું કોષ્ટક હોવું આવશ્યક છે. તમારા માટે ન્યાયાધીશ, અહીં કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટેના કેટલાક વિકલ્પો છે જેનો ઉપયોગ હજી પણ થઈ શકે છે:

અમે પ્રથમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાનું નક્કી કર્યું અને કેટલાક નાના ફોલ્લીઓ સાથે (અમે તેને એક નોટબુકમાં દોર્યું અને જૂના શાસક અને પ્રોટ્રેક્ટરનો ઉપયોગ કર્યો), પરંતુ અમને સાચી ગણતરી મળી:

S = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2). અમને નીચેના પરિણામો મળ્યા: 3.6 = 3.7, પરંતુ કોષોની પાળીને ધ્યાનમાં લેતા, અમે આ ઉપદ્રવને માફ કરી શકીએ છીએ.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ અને તેનો વિસ્તાર.

જો તમને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ માટે સૂત્રની ગણતરી કરવાના કાર્યનો સામનો કરવો પડી રહ્યો છે, તો સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે મુખ્ય અને ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટે જે શાસ્ત્રીય સૂત્ર માનવામાં આવે છે તેનો ઉપયોગ કરવો.

પરંતુ પ્રથમ, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધતા પહેલા, ચાલો જાણી લઈએ કે તે કયા પ્રકારની આકૃતિ છે. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ એક ત્રિકોણ છે જેમાં બે બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોય છે. આ બે બાજુઓને બાજુની કહેવામાં આવે છે, ત્રીજી બાજુને આધાર કહેવામાં આવે છે. સમબાજુ ત્રિકોણને સમબાજુ ત્રિકોણ સાથે મૂંઝવશો નહીં, એટલે કે. ત્રણેય બાજુઓ સમાન ધરાવતો નિયમિત ત્રિકોણ. આવા ત્રિકોણમાં ખૂણાઓ અથવા તેના કદમાં કોઈ વિશેષ વલણ નથી. જો કે, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં આધાર પરના ખૂણા સમાન હોય છે, પરંતુ સમાન બાજુઓ વચ્ચેના ખૂણાથી અલગ હોય છે. તેથી, તમે પહેલાથી જ પ્રથમ અને મુખ્ય સૂત્ર જાણો છો; સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવા માટેના અન્ય કયા સૂત્રો જાણીતા છે તે શોધવાનું બાકી છે: