ગ્રંથસૂચિ વર્ણન: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ // યુવા વૈજ્ઞાનિક. 2016. નંબર 6.1. પૃષ્ઠ 17-20..02.2019).



અમારો પ્રોજેક્ટ ચતુર્ભુજ સમીકરણોને ઉકેલવાની રીતો વિશે છે. પ્રોજેક્ટનો ધ્યેય: શાળાના અભ્યાસક્રમમાં સમાવિષ્ટ ન હોય તેવી રીતે ચતુર્ભુજ સમીકરણોને ઉકેલતા શીખો. કાર્ય: ચતુર્ભુજ સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની તમામ સંભવિત રીતો શોધો અને તેનો જાતે ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે શીખો અને આ પદ્ધતિઓનો તમારા સહપાઠીઓને પરિચય આપો.

"ક્વાડ્રેટિક સમીકરણો" શું છે?

ચતુર્ભુજ સમીકરણ- ફોર્મનું સમીકરણ કુહાડી2 + bx + c = 0, ક્યાં a, b, c- કેટલીક સંખ્યાઓ ( a ≠ 0), x- અજ્ઞાત.

સંખ્યાઓ a, b, c ને ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંક કહેવામાં આવે છે.

• a ને પ્રથમ ગુણાંક કહેવામાં આવે છે;
• b ને બીજો ગુણાંક કહેવામાં આવે છે;
• c - મફત સભ્ય.

ચતુર્ભુજ સમીકરણોની "શોધ" કરનાર સૌપ્રથમ કોણ હતા?

રેખીય અને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની કેટલીક બીજગણિત તકનીકો 4000 વર્ષ પહેલાં પ્રાચીન બેબીલોનમાં જાણીતી હતી. 1800 અને 1600 BC ની વચ્ચેની પ્રાચીન બેબીલોનીયન માટીની ગોળીઓની શોધ, ચતુર્ભુજ સમીકરણોના અભ્યાસના પ્રારંભિક પુરાવા પૂરા પાડે છે. સમાન ટેબ્લેટમાં ચોક્કસ પ્રકારના ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ હોય છે.

પ્રાચીન સમયમાં પણ, માત્ર પ્રથમના જ નહીં, પણ બીજા ડિગ્રીના સમીકરણોને ઉકેલવાની જરૂરિયાત, જમીનના પ્લોટના વિસ્તારો શોધવા અને લશ્કરી પ્રકૃતિના ખોદકામ સાથે સંબંધિત સમસ્યાઓને હલ કરવાની જરૂરિયાતને કારણે થઈ હતી. ખગોળશાસ્ત્ર અને ગણિતના વિકાસની જેમ.

આ સમીકરણોને ઉકેલવા માટેનો નિયમ, બેબીલોનિયન ગ્રંથોમાં નિર્ધારિત, આવશ્યકપણે આધુનિક સાથે એકરુપ છે, પરંતુ બેબીલોનીઓ આ નિયમ પર કેવી રીતે પહોંચ્યા તે જાણી શકાયું નથી. અત્યાર સુધી મળેલા લગભગ તમામ ક્યુનિફોર્મ ગ્રંથો માત્ર રેસિપીના રૂપમાં રજૂ કરાયેલા ઉકેલો સાથે સમસ્યાઓ જ પ્રદાન કરે છે, તે કેવી રીતે મળી તે અંગે કોઈ સંકેત નથી. બેબીલોનમાં બીજગણિતના ઉચ્ચ સ્તરના વિકાસ હોવા છતાં, ક્યુનિફોર્મ ગ્રંથોમાં નકારાત્મક સંખ્યા અને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની સામાન્ય પદ્ધતિઓનો અભાવ છે.

લગભગ ચોથી સદી બીસીના બેબીલોનીયન ગણિતશાસ્ત્રીઓ. સકારાત્મક મૂળ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે ચોરસ પૂરક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો. લગભગ 300 બીસી યુક્લિડ વધુ સામાન્ય ભૌમિતિક ઉકેલ પદ્ધતિ સાથે આવ્યા. બીજગણિત સૂત્રના રૂપમાં નકારાત્મક મૂળ સાથેના સમીકરણોના ઉકેલો શોધનાર પ્રથમ ગણિતશાસ્ત્રી ભારતીય વૈજ્ઞાનિક હતા. બ્રહ્મગુપ્ત(ભારત, 7મી સદી એડી).

બ્રહ્મગુપ્તે ચતુર્ભુજ સમીકરણોને હલ કરવા માટે એક સામાન્ય નિયમ ઘડ્યો હતો જેને એક પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડી દેવામાં આવ્યો હતો:

ax2 + bx = c, a>0

આ સમીકરણમાં ગુણાંક નકારાત્મક પણ હોઈ શકે છે. બ્રહ્મગુપ્તનું શાસન અનિવાર્યપણે આપણા જેવું જ છે.

મુશ્કેલ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે જાહેર સ્પર્ધાઓ ભારતમાં સામાન્ય હતી. જૂની ભારતીય પુસ્તકોમાંની એક આવી સ્પર્ધાઓ વિશે નીચે મુજબ કહે છે: "જેમ સૂર્ય તેની તેજસ્વીતાથી તારાઓ પર પ્રકાશ પાડે છે, તેવી જ રીતે એક વિદ્વાન માણસ બીજગણિત સમસ્યાઓ પ્રસ્તાવિત કરીને અને તેનું નિરાકરણ કરીને જાહેર સભાઓમાં પોતાનું ગૌરવ વધારશે." સમસ્યાઓ ઘણીવાર કાવ્યાત્મક સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવતી હતી.

બીજગણિત ગ્રંથમાં અલ-ખ્વારીઝમીરેખીય અને ચતુર્ભુજ સમીકરણોનું વર્ગીકરણ આપવામાં આવ્યું છે. લેખક 6 પ્રકારના સમીકરણોની ગણતરી કરે છે, તેમને નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરે છે:

1) "ચોરસ મૂળના સમાન છે," એટલે કે ax2 = bx.

2) "ચોરસ સંખ્યાઓ સમાન છે," એટલે કે ax2 = c.

3) "મૂળ સંખ્યાના સમાન છે," એટલે કે ax2 = c.

4) “ચોરસ અને સંખ્યાઓ મૂળ સમાન છે,” એટલે કે ax2 + c = bx.

5) “ચોરસ અને મૂળ સંખ્યાના સમાન છે,” એટલે કે ax2 + bx = c.

6) “મૂળ અને સંખ્યાઓ ચોરસ સમાન છે,” એટલે કે bx + c == ax2.

અલ-ખ્વારિઝમી માટે, જેમણે નકારાત્મક સંખ્યાઓનો ઉપયોગ ટાળ્યો હતો, આ દરેક સમીકરણોની શરતો ઉમેરણો છે અને બાદબાકી કરી શકાતી નથી. આ કિસ્સામાં, જે સમીકરણો હકારાત્મક ઉકેલો ધરાવતા નથી તે દેખીતી રીતે ધ્યાનમાં લેવામાં આવતાં નથી. લેખક અલ-જબર અને અલ-મુકાબલની તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ સુયોજિત કરે છે. તેનો નિર્ણય, અલબત્ત, આપણા સાથે સંપૂર્ણપણે સુસંગત નથી. એ વાતનો ઉલ્લેખ ન કરવો કે તે કેવળ રેટરિકલ છે, ઉદાહરણ તરીકે, એ નોંધવું જોઈએ કે પ્રથમ પ્રકારનું અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, અલ-ખોરેઝમી, 17મી સદી સુધીના તમામ ગણિતશાસ્ત્રીઓની જેમ, શૂન્ય ઉકેલને ધ્યાનમાં લેતા નથી, સંભવતઃ કારણ કે ચોક્કસ વ્યવહારિકમાં તે કાર્યોમાં વાંધો નથી. સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, અલ-ખ્વારિઝમી ચોક્કસ સંખ્યાત્મક ઉદાહરણો અને પછી તેમના ભૌમિતિક પુરાવાઓનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલના નિયમો નક્કી કરે છે.

યુરોપમાં અલ-ખ્વારિઝ્મીના મોડલને અનુસરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેના સ્વરૂપો સૌપ્રથમ 1202માં લખાયેલ "બુક ઓફ ધ એબેકસ" માં દર્શાવવામાં આવ્યા હતા. ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી લિયોનાર્ડ ફિબોનાકી. લેખકે સ્વતંત્ર રીતે સમસ્યાઓ ઉકેલવાના કેટલાક નવા બીજગણિત ઉદાહરણો વિકસાવ્યા હતા અને નકારાત્મક સંખ્યાઓના પરિચયનો સંપર્ક કરનાર યુરોપમાં પ્રથમ હતા.

આ પુસ્તક માત્ર ઇટાલીમાં જ નહીં, પણ જર્મની, ફ્રાન્સ અને અન્ય યુરોપિયન દેશોમાં પણ બીજગણિતીય જ્ઞાનના પ્રસારમાં ફાળો આપે છે. આ પુસ્તકમાંથી ઘણી સમસ્યાઓનો ઉપયોગ 14મી-17મી સદીના લગભગ તમામ યુરોપીયન પાઠ્યપુસ્તકોમાં થતો હતો. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેનો સામાન્ય નિયમ 1544 માં યુરોપમાં 1544 માં યુરોપમાં ઘડવામાં આવ્યો હતો. એમ. સ્ટીફેલ.

સામાન્ય સ્વરૂપમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણને ઉકેલવા માટેના સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ વિએથમાંથી ઉપલબ્ધ છે, પરંતુ વિયેથ માત્ર હકારાત્મક મૂળને જ ઓળખે છે. ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રીઓ ટાર્ટાગ્લિયા, કાર્ડાનો, બોમ્બેલી 16મી સદીમાં પ્રથમ પૈકી. સકારાત્મક ઉપરાંત, નકારાત્મક મૂળને પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. માત્ર 17મી સદીમાં. પ્રયત્નો માટે આભાર ગિરાર્ડ, ડેસકાર્ટેસ, ન્યૂટનઅને અન્ય વૈજ્ઞાનિકો, ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની પદ્ધતિ આધુનિક સ્વરૂપ ધારણ કરે છે.

ચાલો ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની ઘણી રીતો જોઈએ.

શાળાના અભ્યાસક્રમમાંથી ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની માનક પદ્ધતિઓ:

1. સમીકરણની ડાબી બાજુ ફેક્ટરિંગ.
2. સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરવાની પદ્ધતિ.
3. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા.
4. ચતુર્ભુજ સમીકરણનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન.
5. વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા.

ચાલો આપણે વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઘટાડેલા અને અસંયમિત ચતુર્ભુજ સમીકરણોના ઉકેલ પર વધુ વિગતવાર ધ્યાન આપીએ.

યાદ કરો કે ઉપરોક્ત ચતુર્ભુજ સમીકરણોને ઉકેલવા માટે, તે બે સંખ્યાઓ શોધવા માટે પૂરતી છે કે જેનું ઉત્પાદન મુક્ત પદ સમાન છે, અને જેનો સરવાળો વિરોધી ચિહ્ન સાથે બીજા ગુણાંકની બરાબર છે.

ઉદાહરણ.x 2 -5x+6=0

તમારે એવી સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેનો ગુણાંક 6 છે અને જેનો સરવાળો 5 છે. આ સંખ્યાઓ 3 અને 2 હશે.

જવાબ: x 1 =2, x 2 =3.

પરંતુ તમે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ એક સમાન ન હોય તેવા પ્રથમ ગુણાંક સાથેના સમીકરણો માટે કરી શકો છો.

ઉદાહરણ.3x 2 +2x-5=0

પ્રથમ ગુણાંક લો અને તેને મુક્ત શબ્દ વડે ગુણાકાર કરો: x 2 +2x-15=0

આ સમીકરણના મૂળ એવી સંખ્યાઓ હશે જેનો ગુણાંક - 15, અને જેનો સરવાળો - 2 બરાબર છે. આ સંખ્યાઓ 5 અને 3 છે. મૂળ સમીકરણના મૂળ શોધવા માટે, પરિણામી મૂળને પ્રથમ ગુણાંક દ્વારા વિભાજિત કરો.

જવાબ: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. "થ્રો" પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા.

ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax 2 + bx + c = 0 ધ્યાનમાં લો, જ્યાં a≠0.

બંને બાજુઓને a વડે ગુણાકાર કરવાથી, આપણે a 2 x 2 + abx + ac = 0 સમીકરણ મેળવીએ છીએ.

ચાલો ax = y, જ્યાંથી x = y/a; પછી આપણે સમીકરણ y 2 + બાય + ac = 0 પર આવીએ છીએ, જે આપેલ સમકક્ષ છે. અમે વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને 1 અને 2 માટે તેના મૂળ શોધીએ છીએ.

આપણને અંતે x 1 = y 1 /a અને x 2 = y 2 /a મળે છે.

આ પદ્ધતિ સાથે, ગુણાંક a ને મુક્ત શબ્દ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, જેમ કે તેને "ફેંકવામાં" આવે છે, તેથી જ તેને "ફેંકવું" પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ત્યારે થાય છે જ્યારે તમે વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના મૂળ સરળતાથી શોધી શકો છો અને સૌથી અગત્યનું, જ્યારે ભેદભાવ ચોક્કસ ચોરસ હોય છે.

ઉદાહરણ.2x 2 - 11x + 15 = 0.

ચાલો ગુણાંક 2 ને ફ્રી ટર્મ પર "ફેંકીએ" અને એક અવેજી બનાવીએ અને y 2 - 11y + 30 = 0 સમીકરણ મેળવીએ.

વિયેટાના વ્યસ્ત પ્રમેય મુજબ

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5 y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

જવાબ: x 1 =2.5; એક્સ 2 = 3.

7. ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંકના ગુણધર્મ.

ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 આપવા દો.

1. જો a+ b + c = 0 (એટલે ​​​​કે સમીકરણના ગુણાંકનો સરવાળો શૂન્ય છે), તો x 1 = 1.

2. જો a - b + c = 0, અથવા b = a + c, તો x 1 = - 1.

ઉદાહરણ.345x 2 - 137x - 208 = 0.

ત્યારથી a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), તો x 1 = 1, x 2 = -208/345.

જવાબ: x 1 =1; એક્સ 2 = -208/345 .

ઉદાહરણ.132x 2 + 247x + 115 = 0

કારણ કે a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), પછી x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

જવાબ: x 1 = - 1; એક્સ 2 =- 115/132

ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંકના અન્ય ગુણધર્મો છે. પરંતુ તેમનો ઉપયોગ વધુ જટિલ છે.

8. નોમોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા.

ફિગ 1. નોમોગ્રામ

ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની આ એક જૂની અને હાલમાં ભૂલી ગયેલી પદ્ધતિ છે, જે સંગ્રહના પૃષ્ઠ 83 પર મૂકવામાં આવી છે: બ્રાડિસ વી.એમ. ચાર-અંકના ગણિત કોષ્ટકો. - એમ., શિક્ષણ, 1990.

કોષ્ટક XXII. સમીકરણ ઉકેલવા માટે નોમોગ્રામ z 2 + pz + q = 0. આ નોમોગ્રામ, ચતુર્ભુજ સમીકરણને ઉકેલ્યા વિના, તેના ગુણાંકમાંથી સમીકરણના મૂળ નક્કી કરવા માટે પરવાનગી આપે છે.

નોમોગ્રામનું વક્રીકૃત સ્કેલ સૂત્રો (ફિગ. 1) અનુસાર બનાવવામાં આવ્યું છે:

માનતા OS = p, ED = q, OE = a(બધા સે.મી.માં), ફિગમાંથી. 1 ત્રિકોણની સમાનતા સાનઅને સીડીએફઅમને પ્રમાણ મળે છે

જે, અવેજી અને સરળીકરણ પછી, સમીકરણ પ્રાપ્ત કરે છે z 2 + pz + q = 0,અને પત્ર zવક્ર સ્કેલ પર કોઈપણ બિંદુનું ચિહ્ન.

ચોખા. 2 નોમોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા

ઉદાહરણો.

1) સમીકરણ માટે z 2 - 9z + 8 = 0નોમોગ્રામ મૂળ z 1 = 8.0 અને z 2 = 1.0 આપે છે

જવાબ:8.0; 1.0.

2) નોમોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સમીકરણ હલ કરીએ છીએ

2z 2 - 9z + 2 = 0.

આ સમીકરણના ગુણાંકને 2 વડે વિભાજીત કરો, આપણને સમીકરણ z 2 - 4.5z + 1 = 0 મળે છે.

નોમોગ્રામ મૂળ z 1 = 4 અને z 2 = 0.5 આપે છે.

જવાબ: 4; 0.5.

9. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટે ભૌમિતિક પદ્ધતિ.

ઉદાહરણ.એક્સ 2 + 10x = 39.

મૂળમાં, આ સમસ્યા નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવી છે: "ચોરસ અને દસ મૂળ 39 સમાન છે."

બાજુ x સાથેના ચોરસને ધ્યાનમાં લો, તેની બાજુઓ પર લંબચોરસ બાંધવામાં આવે છે જેથી તેમાંથી દરેકની બીજી બાજુ 2.5 હોય, તેથી દરેકનું ક્ષેત્રફળ 2.5x છે. પરિણામી આકૃતિને પછી નવા ચોરસ ABCD સાથે પૂરક બનાવવામાં આવે છે, ખૂણામાં ચાર સમાન ચોરસ બનાવે છે, તેમાંના દરેકની બાજુ 2.5 છે અને ક્ષેત્રફળ 6.25 છે.

ચોખા. 3 સમીકરણ x 2 + 10x = 39 ઉકેલવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ

ચોરસ ABCD ના વિસ્તાર S ને આના વિસ્તારોના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે: મૂળ ચોરસ x 2, ચાર લંબચોરસ (4∙2.5x = 10x) અને ચાર વધારાના ચોરસ (6.25∙4 = 25), એટલે કે. S = x 2 + 10x = 25. x 2 + 10x ને 39 નંબર સાથે બદલવાથી, આપણને મળે છે કે S = 39 + 25 = 64, જેનો અર્થ છે કે ચોરસની બાજુ એબીસીડી છે, એટલે કે. સેગમેન્ટ AB = 8. મૂળ ચોરસની જરૂરી બાજુ x માટે આપણે મેળવીએ છીએ

10. બેઝાઉટના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા.

બેઝાઉટનું પ્રમેય. બહુપદી P(x) ને દ્વિપદી x - α દ્વારા વિભાજિત કરવાનો બાકીનો ભાગ P(α) ની બરાબર છે (એટલે ​​​​કે, x = α પર P(x) નું મૂલ્ય).

જો સંખ્યા α એ બહુપદી P(x) નું મૂળ છે, તો પછી આ બહુપદી x -α દ્વારા શેષ વિના વિભાજ્ય છે.

ઉદાહરણ.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. P(x) ને (x-1) વડે વિભાજીત કરો: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, અથવા x-3=0, x=3; જવાબ: x1 =2, x2 =3.

નિષ્કર્ષ:વધુ જટિલ સમીકરણો, જેમ કે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણો, ઉચ્ચ શક્તિ સમીકરણો, દ્વિપક્ષીય સમીકરણો, અને, ઉચ્ચ શાળામાં, ત્રિકોણમિતિ, ઘાતાંકીય અને લઘુગણક સમીકરણો જેવા વધુ જટિલ સમીકરણોને ઝડપથી અને અસરકારક રીતે હલ કરવાની ક્ષમતા. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની તમામ શોધ પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કર્યા પછી, અમે અમારા સહપાઠીઓને, પ્રમાણભૂત પદ્ધતિઓ ઉપરાંત, ટ્રાન્સફર પદ્ધતિ (6) દ્વારા ઉકેલવા અને ગુણાંક (7) ની મિલકતનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા માટે સલાહ આપી શકીએ છીએ, કારણ કે તેઓ વધુ સુલભ છે. સમજવા માટે.

સાહિત્ય:

1. બ્રાડીસ વી.એમ. ચાર-અંકના ગણિત કોષ્ટકો. - એમ., શિક્ષણ, 1990.
2. બીજગણિત 8મો ધોરણ: 8મા ધોરણ માટે પાઠ્યપુસ્તક. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ મકરીચેવ યુ એન., મિન્ડ્યુક એન. જી., નેશકોવ કે. આઈ., સુવેરોવા એસ.બી. એડ. S. A. Telyakovsky 15મી આવૃત્તિ, સુધારેલ. - એમ.: શિક્ષણ, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. ગ્લેઝર જી.આઈ. શાળામાં ગણિતનો ઇતિહાસ. શિક્ષકો માટે માર્ગદર્શિકા. / એડ. વી.એન. નાની. - એમ.: શિક્ષણ, 1964.

લક્ષ્યો:

• ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ખ્યાલ રજૂ કરો;
• આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચેનો સંબંધ "શોધો";
• ગણિતમાં રસ કેળવો, વિયેટના જીવનના ઉદાહરણ દ્વારા બતાવો કે ગણિત એક શોખ હોઈ શકે છે.

1. હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે

નંબર 309(g) x 1 =7, x 2 =

નંબર 311(g) x 1 =2, x 2 =-1

નંબર 312 (ડી) કોઈ મૂળ નથી

દરેક વ્યક્તિના ટેબલ પર ટેબલ છે. કોષ્ટકની ડાબી અને જમણી કૉલમ વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર શોધો.

કોષ્ટકમાં સાચા જવાબો દાખલ કરો.

1-ઝેડ; 2-ઇ; 3-એ; 4-કે; 5-બી; 6-હું; 7-ડી; 8-બી; 9-જી; 10-એલ; 11-એફ.

સમીકરણો ઉકેલો:

a) -5x 2 + 8x -3=0;

ઉકેલ:

D=64 – 4(-5)(-3) = 4,

x 1 = x 2 = = a + b + c = -5+8-3=0

b) 2 x 2 +6x – 8 = 0;

ઉકેલ:

D=36 – 4 2 (-8)= 100,

x 1 = = x 2 = a + b + c = 2+6-8=0

c) 2009 x 2 +x – 2010 =0

ઉકેલ:

a + b + c = 2009+1 + (-2010) =0, પછી x 1 =1 x 2 =

ચાલો સમીકરણો ઉકેલવા પર વિચાર કરીએ

a) 2x 2 + 5x +3 = 0

ઉકેલ:

D = 25 -24 = 1 x 1 = x 2 = a – b + c = 2-5 + 3 = 0

b) -4x 2 -5x -1 =0

ઉકેલ:

D = 25 – 16 = 9 x 1 = – 1 x 2 = a – b + c = -4-(-5) – 1 = 0

c)1150x 2 +1135x -15 = 0

ઉકેલ:

a – b+c = 1150-1135 +(-15) = 0 x 1 = – 1 x 2 =

ax 2 +in+c=0, જો a-b+c=0, તો x 1 = – 1 x 2 =

5. નવી થીમ

ચાલો તપાસીએ કે તમારું પ્રથમ કાર્ય પૂર્ણ થયું છે. તમને કઈ નવી વિભાવનાઓ મળી? 11 – f, એટલે કે

આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 + px + q = 0 છે.

અમારા પાઠનો વિષય.
ચાલો નીચેનું કોષ્ટક ભરીએ.
ડાબી સ્તંભ નોટબુકમાં છે અને એક વિદ્યાર્થી બ્લેકબોર્ડ પર છે.
સમીકરણ ઉકેલવું akh 2 +in+c=0
જમણી સ્તંભ, બ્લેકબોર્ડ પર વધુ તૈયાર વિદ્યાર્થી
સમીકરણ ઉકેલવું x 2 + px + q = 0, a = 1 સાથે, b = p, c = q

શિક્ષક (જો જરૂરી હોય તો) મદદ કરે છે, બાકીની નોટબુકમાં છે.

X 2 - 6 એક્સ + 8 = 0,	D = 9 – 8 = 1,	x 1 = 3 – 1 = 2	x 2 = 3 + 1 = 4
X 2 + 6 એક્સ + 8 = 0,	ડી = 9 – 8 = 0,	x 1 = -3 – 1 = -4	x 2 = -3 + 1 = -2
X 2 + 20 એક્સ + 51 = 0,	ડી = 100 – 51 = 49	x 1 = 10 – 7 = 3	x 2 = 10 + 7 = 17
X 2 - 20 એક્સ – 69 = 0,	ડી = 100 – 69 = 31

અમારી ગણતરીઓના પરિણામોના આધારે, અમે કોષ્ટક ભરીશું.

સમીકરણ નં.	આર	x 1+ x 2	q	x 1 x 2
1	-6	6	8	8

ચતુર્ભુજ સમીકરણોના ગુણાંક સાથે મેળવેલા પરિણામોની સરખામણી કરીએ.
શું નિષ્કર્ષ દોરી શકાય છે?

પ્રથમ વખત, ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચેનો સંબંધ પ્રખ્યાત ફ્રેન્ચ વૈજ્ઞાનિક ફ્રાન્કોઇસ વિયેટે (1540-1603) દ્વારા સ્થાપિત કરવામાં આવ્યો હતો.

François Viète વ્યવસાયે વકીલ હતા અને રાજાના સલાહકાર તરીકે ઘણા વર્ષો સુધી કામ કરતા હતા. અને તેમ છતાં ગણિત તેનો શોખ હતો, અથવા જેમ તેઓ કહે છે, એક શોખ, સખત મહેનતને કારણે તેણે તેમાં ઉત્તમ પરિણામો પ્રાપ્ત કર્યા. 1591 માં વિયેટે અજ્ઞાત અને સમીકરણોના ગુણાંક માટે અક્ષર સંકેતો રજૂ કર્યા. આનાથી સામાન્ય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના મૂળ અને અન્ય ગુણધર્મો લખવાનું શક્ય બન્યું.

વિયેટાના બીજગણિતનો ગેરલાભ એ હતો કે તે માત્ર સકારાત્મક સંખ્યાઓને ઓળખી શકતો હતો. નકારાત્મક ઉકેલોને ટાળવા માટે, તેણે સમીકરણોને બદલ્યા અથવા કૃત્રિમ ઉકેલો શોધ્યા, જેમાં ઘણો સમય લાગ્યો, ઉકેલ જટિલ બન્યો અને ઘણીવાર ભૂલો થઈ.

વિયેટે ઘણી જુદી જુદી શોધો કરી, પરંતુ તે પોતે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચેના સંબંધની સ્થાપનાને સૌથી વધુ મૂલ્યવાન ગણે છે, એટલે કે, "વિયેટનું પ્રમેય" કહેવાય છે.

આ પ્રમેયને આપણે આગામી પાઠમાં ધ્યાનમાં લઈશું.

પ્રશ્નો:

1. કયા સમીકરણને ઘટાડેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણ કહેવાય છે?
2. આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધવા માટે કયા સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય?
3. આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળની સંખ્યા શું નક્કી કરે છે?
4. ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ભેદભાવ શું છે?
5. ઉપરોક્ત ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ અને તેના ગુણાંકો કેવી રીતે સંબંધિત છે?
6. આ જોડાણ કોણે કર્યું?

કલમ 4.5, નં. 321(b,f) નં. 322(a,d,g,h)

ટેબલ ભરો.

સમીકરણ	મૂળ	મૂળનો સરવાળો	મૂળનું ઉત્પાદન
X 2 – 8x + 7 = 0	1 અને 7	8	7

સાહિત્ય

સીએમ નિકોલ્સ્કીઅને અન્ય, "એમએસયુ-સ્કૂલ" શ્રેણીની "બીજગણિત 8" પાઠયપુસ્તક - એમ.: પ્રોસ્વેશેની, 2007.

આધુનિક સમાજમાં, સ્ક્વેર ચલ ધરાવતા સમીકરણો સાથે કામગીરી કરવાની ક્ષમતા પ્રવૃત્તિના ઘણા ક્ષેત્રોમાં ઉપયોગી થઈ શકે છે અને વૈજ્ઞાનિક અને તકનીકી વિકાસમાં વ્યવહારમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. આનો પુરાવો સમુદ્ર અને નદીના જહાજો, એરોપ્લેન અને રોકેટની ડિઝાઇનમાં મળી શકે છે. આવી ગણતરીઓનો ઉપયોગ કરીને, અવકાશી પદાર્થો સહિત વિવિધ પ્રકારના શરીરની હિલચાલની ગતિ નક્કી કરવામાં આવે છે. ચતુર્ભુજ સમીકરણોના ઉકેલ સાથેના ઉદાહરણોનો ઉપયોગ માત્ર આર્થિક આગાહીમાં, ઇમારતોની ડિઝાઇન અને બાંધકામમાં જ નહીં, પણ સૌથી સામાન્ય રોજિંદા સંજોગોમાં પણ થાય છે. હાઇકિંગ ટ્રિપ્સ પર, રમતગમતના કાર્યક્રમોમાં, ખરીદી કરતી વખતે સ્ટોર્સમાં અને અન્ય ખૂબ જ સામાન્ય પરિસ્થિતિઓમાં તેમની જરૂર પડી શકે છે.

ચાલો અભિવ્યક્તિને તેના ઘટક પરિબળોમાં તોડીએ

સમીકરણની ડિગ્રી અભિવ્યક્તિમાં સમાવિષ્ટ ચલની ડિગ્રીના મહત્તમ મૂલ્ય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. જો તે 2 બરાબર હોય, તો આવા સમીકરણને ચતુર્ભુજ કહેવામાં આવે છે.

જો આપણે સૂત્રોની ભાષામાં વાત કરીએ, તો પછી સૂચવેલ અભિવ્યક્તિઓ, પછી ભલે તે ગમે તે રીતે દેખાય, જ્યારે અભિવ્યક્તિની ડાબી બાજુએ ત્રણ પદો હોય ત્યારે હંમેશા ફોર્મમાં લાવી શકાય છે. તેમાંથી: કુહાડી 2 (એટલે ​​​​કે, તેના ગુણાંક સાથે ચોરસ ચલ), bx (તેના ગુણાંક સાથે ચોરસ વિનાનું અજાણ્યું) અને c (એક મુક્ત ઘટક, એટલે કે, એક સામાન્ય સંખ્યા). જમણી બાજુએ આ બધું 0 ની બરાબર છે. એવા કિસ્સામાં જ્યારે આવા બહુપદીમાં તેના ઘટક પદોમાંથી એકનો અભાવ હોય, ax 2 ના અપવાદ સિવાય, તેને અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. આવી સમસ્યાઓના નિરાકરણ સાથેના ઉદાહરણો, ચલોના મૂલ્યો કે જેમાં શોધવાનું સરળ છે, પ્રથમ ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ.

જો અભિવ્યક્તિ એવું લાગે છે કે તેની જમણી બાજુએ બે શબ્દો છે, વધુ સ્પષ્ટ રીતે ax 2 અને bx, તો x શોધવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો કૌંસની બહાર ચલ મૂકીને છે. હવે આપણું સમીકરણ આના જેવું દેખાશે: x(ax+b). આગળ, તે સ્પષ્ટ બને છે કે કાં તો x=0, અથવા સમસ્યા નીચેની અભિવ્યક્તિમાંથી ચલ શોધવામાં આવે છે: ax+b=0. આ ગુણાકારના ગુણધર્મોમાંથી એક દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. નિયમ જણાવે છે કે બે પરિબળનું ઉત્પાદન 0 માં પરિણમે છે જો તેમાંથી એક શૂન્ય હોય.

ઉદાહરણ

x=0 અથવા 8x - 3 = 0

પરિણામે, આપણને સમીકરણના બે મૂળ મળે છે: 0 અને 0.375.

આ પ્રકારના સમીકરણો ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રભાવ હેઠળ શરીરની હિલચાલનું વર્ણન કરી શકે છે, જે કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ તરીકે લેવામાં આવેલા ચોક્કસ બિંદુથી આગળ વધવાનું શરૂ કરે છે. અહીં ગાણિતિક સંકેત નીચેનું સ્વરૂપ લે છે: y = v 0 t + gt 2 /2. જરૂરી મૂલ્યોને બદલીને, જમણી બાજુને 0 સાથે સરખાવીને અને સંભવિત અજ્ઞાતને શોધીને, તમે શરીરના ઉદયની ક્ષણથી તે ઘટીને ક્ષણ સુધી પસાર થતો સમય, તેમજ અન્ય ઘણી માત્રાઓ શોધી શકો છો. પરંતુ અમે આ વિશે પછીથી વાત કરીશું.

અભિવ્યક્તિનું પરિબળ બનાવવું

ઉપર વર્ણવેલ નિયમ વધુ જટિલ કેસોમાં આ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ શક્ય બનાવે છે. ચાલો આ પ્રકારના ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાના ઉદાહરણો જોઈએ.

X 2 - 33x + 200 = 0

આ ચતુર્ભુજ ત્રિપદી પૂર્ણ છે. પ્રથમ, ચાલો અભિવ્યક્તિને પરિવર્તિત કરીએ અને તેને પરિબળ કરીએ. તેમાંના બે છે: (x-8) અને (x-25) = 0. પરિણામે, આપણી પાસે બે મૂળ 8 અને 25 છે.

ગ્રેડ 9 માં ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા સાથેના ઉદાહરણો આ પદ્ધતિને માત્ર બીજા જ નહીં, પણ ત્રીજા અને ચોથા ક્રમમાં પણ અભિવ્યક્તિમાં ચલ શોધવાની મંજૂરી આપે છે.

ઉદાહરણ તરીકે: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. જ્યારે જમણી બાજુને ચલ સાથેના અવયવોમાં ફેક્ટરિંગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેમાંથી ત્રણ હોય છે, એટલે કે (x+1), (x-3) અને (x+ 3).

પરિણામે, તે સ્પષ્ટ બને છે કે આ સમીકરણના ત્રણ મૂળ છે: -3; -1; 3.

ચોરસ રૂટ

અપૂર્ણ સેકન્ડ-ઓર્ડર સમીકરણનો બીજો કિસ્સો એ અક્ષરોની ભાષામાં એવી રીતે રજૂ કરાયેલ એક અભિવ્યક્તિ છે કે જમણી બાજુએ ઘટકો ax 2 અને c થી બાંધવામાં આવે છે. અહીં, ચલની કિંમત મેળવવા માટે, મુક્ત શબ્દને જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે, અને તે પછી સમાનતાની બંને બાજુઓમાંથી વર્ગમૂળ કાઢવામાં આવે છે. એ નોંધવું જોઇએ કે આ કિસ્સામાં સામાન્ય રીતે સમીકરણના બે મૂળ હોય છે. એકમાત્ર અપવાદો સમાનતાઓ હોઈ શકે છે જેમાં કોઈ પણ શબ્દનો સમાવેશ થતો નથી, જ્યાં ચલ શૂન્ય સમાન હોય છે, તેમજ જ્યારે જમણી બાજુ નકારાત્મક હોવાનું બહાર આવે ત્યારે અભિવ્યક્તિઓના પ્રકારો. પછીના કિસ્સામાં, ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી, કારણ કે ઉપરોક્ત ક્રિયાઓ મૂળ સાથે કરી શકાતી નથી. આ પ્રકારના ચતુર્ભુજ સમીકરણોના ઉકેલોના ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ.

આ કિસ્સામાં, સમીકરણના મૂળ -4 અને 4 નંબરો હશે.

જમીન વિસ્તારની ગણતરી

આ પ્રકારની ગણતરીઓની જરૂરિયાત પ્રાચીન સમયમાં દેખાઈ હતી, કારણ કે તે દૂરના સમયમાં ગણિતનો વિકાસ મોટાભાગે જમીન પ્લોટના ક્ષેત્રો અને પરિમિતિને સૌથી વધુ ચોકસાઈ સાથે નિર્ધારિત કરવાની જરૂરિયાત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવ્યો હતો.

આપણે આ પ્રકારની સમસ્યાઓના આધારે ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાના ઉદાહરણો પણ ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ.

તેથી, ચાલો કહીએ કે જમીનનો એક લંબચોરસ પ્લોટ છે, જેની લંબાઈ પહોળાઈ કરતાં 16 મીટર વધારે છે. જો તમને ખબર હોય કે તેનો વિસ્તાર 612 મીટર 2 છે તો તમારે સાઇટની લંબાઈ, પહોળાઈ અને પરિમિતિ શોધવી જોઈએ.

શરૂ કરવા માટે, ચાલો પહેલા જરૂરી સમીકરણ બનાવીએ. ચાલો વિસ્તારની પહોળાઈ x દ્વારા દર્શાવીએ, તો તેની લંબાઈ (x+16) થશે. જે લખવામાં આવ્યું છે તેના પરથી તે અનુસરે છે કે વિસ્તાર x(x+16) અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જે આપણી સમસ્યાની સ્થિતિ અનુસાર, 612 છે. આનો અર્થ એ છે કે x(x+16) = 612.

સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા, અને આ અભિવ્યક્તિ બરાબર છે, તે જ રીતે કરી શકાતી નથી. શા માટે? તેમ છતાં ડાબી બાજુ હજુ પણ બે પરિબળો ધરાવે છે, તેમનું ઉત્પાદન 0 બરાબર નથી, તેથી અહીં વિવિધ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

ભેદભાવ કરનાર

સૌ પ્રથમ, અમે જરૂરી પરિવર્તનો કરીશું, પછી આ અભિવ્યક્તિનો દેખાવ આના જેવો દેખાશે: x 2 + 16x - 612 = 0. આનો અર્થ એ છે કે અમને અગાઉ ઉલ્લેખિત ધોરણને અનુરૂપ સ્વરૂપમાં અભિવ્યક્તિ પ્રાપ્ત થઈ છે, જ્યાં a=1, b=16, c= -612.

ભેદભાવનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાનું આ ઉદાહરણ હોઈ શકે છે. અહીં યોજના અનુસાર જરૂરી ગણતરીઓ કરવામાં આવે છે: D = b 2 - 4ac. આ સહાયક જથ્થો માત્ર બીજા ક્રમના સમીકરણમાં જરૂરી જથ્થાઓ શોધવાનું શક્ય બનાવે છે, તે સંભવિત વિકલ્પોની સંખ્યા નક્કી કરે છે. જો D>0, તો તેમાંના બે છે; D=0 માટે એક મૂળ છે. કિસ્સામાં ડી<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

મૂળ અને તેમના સૂત્ર વિશે

અમારા કિસ્સામાં, ભેદભાવ સમાન છે: 256 - 4(-612) = 2704. આ સૂચવે છે કે અમારી સમસ્યાનો જવાબ છે. જો તમે k જાણો છો, તો નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણોનો ઉકેલ ચાલુ રાખવો જોઈએ. તે તમને મૂળની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે.

આનો અર્થ એ છે કે પ્રસ્તુત કેસમાં: x 1 =18, x 2 =-34. આ મૂંઝવણમાં બીજો વિકલ્પ ઉકેલ ન હોઈ શકે, કારણ કે જમીનના પ્લોટના પરિમાણોને નકારાત્મક જથ્થામાં માપી શકાતા નથી, જેનો અર્થ છે x (એટલે ​​​​કે પ્લોટની પહોળાઈ) 18 મીટર છે અહીંથી આપણે લંબાઈની ગણતરી કરીએ છીએ: 18 +16=34, અને પરિમિતિ 2(34+ 18)=104(m2).

ઉદાહરણો અને કાર્યો

અમે ચતુર્ભુજ સમીકરણોનો અમારો અભ્યાસ ચાલુ રાખીએ છીએ. તેમાંના કેટલાકના ઉદાહરણો અને વિગતવાર ઉકેલો નીચે આપવામાં આવશે.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

ચાલો દરેક વસ્તુને સમાનતાની ડાબી બાજુએ લઈ જઈએ, એક રૂપાંતર કરીએ, એટલે કે, આપણે સામાન્ય રીતે પ્રમાણભૂત કહેવાતા સમીકરણનો પ્રકાર મેળવીશું અને તેને શૂન્યની સમાન કરીશું.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

સમાન રાશિઓને ઉમેરીને, અમે ભેદભાવ નક્કી કરીએ છીએ: D = 49 - 48 = 1. આનો અર્થ એ છે કે આપણા સમીકરણના બે મૂળ હશે. ચાલો ઉપરોક્ત સૂત્ર અનુસાર તેમની ગણતરી કરીએ, જેનો અર્થ છે કે તેમાંથી પ્રથમ 4/3, અને બીજો 1 ની બરાબર હશે.

2) હવે ચાલો અલગ પ્રકારના રહસ્યો ઉકેલીએ.

ચાલો જાણીએ કે અહીં x 2 - 4x + 5 = 1 કોઈ મૂળ છે? વ્યાપક જવાબ મેળવવા માટે, ચાલો બહુપદીને અનુરૂપ સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઘટાડીએ અને ભેદભાવની ગણતરી કરીએ. ઉપરના ઉદાહરણમાં, ચતુર્ભુજ સમીકરણને હલ કરવું જરૂરી નથી, કારણ કે આ સમસ્યાનો સાર જ નથી. આ કિસ્સામાં, D = 16 - 20 = -4, જેનો અર્થ છે કે ત્યાં ખરેખર કોઈ મૂળ નથી.

વિયેટાનું પ્રમેય

જ્યારે બાદના મૂલ્યમાંથી વર્ગમૂળ લેવામાં આવે ત્યારે ઉપરોક્ત સૂત્રો અને ભેદભાવનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટે અનુકૂળ છે. પરંતુ આ હંમેશા થતું નથી. જો કે, આ કિસ્સામાં ચલોના મૂલ્યો મેળવવાની ઘણી રીતો છે. ઉદાહરણ: વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા. તેણીનું નામ 16મી સદીના ફ્રાન્સમાં રહેતા અને તેની ગાણિતિક પ્રતિભા અને કોર્ટમાં જોડાણને કારણે તેજસ્વી કારકિર્દી બનાવનાર વ્યક્તિના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. તેમનું પોટ્રેટ લેખમાં જોઈ શકાય છે.

પ્રખ્યાત ફ્રેન્ચમેનની નોંધ નીચે મુજબ હતી. તેણે સાબિત કર્યું કે સમીકરણના મૂળ સંખ્યાત્મક રીતે -p=b/a માં ઉમેરાય છે, અને તેમનું ઉત્પાદન q=c/a ને અનુરૂપ છે.

હવે ચાલો ચોક્કસ કાર્યો જોઈએ.

3x 2 + 21x - 54 = 0

સરળતા માટે, ચાલો અભિવ્યક્તિને પરિવર્તિત કરીએ:

x 2 + 7x - 18 = 0

ચાલો વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ, આ આપણને નીચે મુજબ આપશે: મૂળનો સરવાળો -7 છે, અને તેનું ઉત્પાદન -18 છે. અહીંથી આપણે મેળવીએ છીએ કે સમીકરણના મૂળ -9 અને 2 નંબરો છે. તપાસ્યા પછી, અમે ખાતરી કરીશું કે આ ચલ મૂલ્યો ખરેખર અભિવ્યક્તિમાં ફિટ છે.

પેરાબોલા ગ્રાફ અને સમીકરણ

ચતુર્ભુજ કાર્ય અને ચતુર્ભુજ સમીકરણોની વિભાવનાઓ નજીકથી સંબંધિત છે. આના ઉદાહરણો અગાઉ પણ આપવામાં આવ્યા છે. હવે થોડી વધુ વિગતમાં કેટલીક ગાણિતિક કોયડાઓ જોઈએ. વર્ણવેલ પ્રકારનું કોઈપણ સમીકરણ દૃષ્ટિની રીતે રજૂ કરી શકાય છે. ગ્રાફ તરીકે દોરેલા આવા સંબંધને પેરાબોલા કહેવામાં આવે છે. તેના વિવિધ પ્રકારો નીચેની આકૃતિમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.

કોઈપણ પેરાબોલામાં શિરોબિંદુ હોય છે, એટલે કે, એક બિંદુ જેમાંથી તેની શાખાઓ બહાર આવે છે. જો a>0, તો તેઓ અનંત સુધી ઊંચા જાય છે, અને જ્યારે a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

કાર્યોની વિઝ્યુઅલ રજૂઆતો ચતુર્ભુજ સમીકરણો સહિત કોઈપણ સમીકરણોને ઉકેલવામાં મદદ કરે છે. આ પદ્ધતિને ગ્રાફિકલ કહેવામાં આવે છે. અને ચલ x ની કિંમત એ બિંદુઓ પર એબ્સીસા કોઓર્ડિનેટ છે જ્યાં ગ્રાફ રેખા 0x સાથે છેદે છે. શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ ફક્ત x 0 = -b/2a આપેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે. અને પરિણામી મૂલ્યને ફંક્શનના મૂળ સમીકરણમાં બદલીને, તમે y 0 શોધી શકો છો, એટલે કે, પેરાબોલાના શિરોબિંદુનો બીજો સંકલન, જે ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે સંબંધિત છે.

એબ્સીસા અક્ષ સાથે પેરાબોલાની શાખાઓનું આંતરછેદ

ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાના ઘણા ઉદાહરણો છે, પરંતુ સામાન્ય દાખલાઓ પણ છે. ચાલો તેમને જોઈએ. તે સ્પષ્ટ છે કે a>0 માટે 0x અક્ષ સાથે ગ્રાફનું આંતરછેદ ત્યારે જ શક્ય છે જો 0 નકારાત્મક મૂલ્યો લે. અને એ માટે<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. અન્યથા ડી<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

પેરાબોલાના ગ્રાફ પરથી તમે મૂળ પણ નક્કી કરી શકો છો. વિપરીત પણ સાચું છે. એટલે કે, જો ચતુર્ભુજ ફંક્શનની દ્રશ્ય રજૂઆત મેળવવી સરળ ન હોય, તો તમે અભિવ્યક્તિની જમણી બાજુને 0 સાથે સરખાવી શકો છો અને પરિણામી સમીકરણ ઉકેલી શકો છો. અને 0x અક્ષ સાથે આંતરછેદના બિંદુઓને જાણીને, આલેખ બનાવવો સરળ છે.

ઇતિહાસમાંથી

સ્ક્વેર ચલ ધરાવતા સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને, જૂના દિવસોમાં તેઓ માત્ર ગાણિતિક ગણતરીઓ જ કરતા ન હતા અને ભૌમિતિક આકૃતિઓના ક્ષેત્રો નક્કી કરતા હતા. ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ખગોળશાસ્ત્રના ક્ષેત્રોમાં તેમજ જ્યોતિષીય આગાહીઓ કરવા માટે પ્રાચીન લોકોને આવી ગણતરીઓની જરૂર હતી.

આધુનિક વૈજ્ઞાનિકો સૂચવે છે તેમ, બેબીલોનના રહેવાસીઓ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલનારા પ્રથમ હતા. આપણા યુગની ચાર સદીઓ પહેલાં આ બન્યું હતું. અલબત્ત, તેમની ગણતરીઓ હાલમાં સ્વીકૃત કરતા ધરમૂળથી અલગ હતી અને વધુ આદિમ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેસોપોટેમીયાના ગણિતશાસ્ત્રીઓને નકારાત્મક સંખ્યાઓના અસ્તિત્વ વિશે કોઈ ખ્યાલ નહોતો. તેઓ અન્ય સૂક્ષ્મતાથી પણ અજાણ હતા જે કોઈપણ આધુનિક શાળાના બાળકો જાણે છે.

કદાચ બેબીલોનના વૈજ્ઞાનિકો કરતાં પણ અગાઉ, ભારતના બૌધયામના ઋષિએ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાનું શરૂ કર્યું હતું. આ ખ્રિસ્તના યુગની લગભગ આઠ સદીઓ પહેલાં થયું હતું. સાચું છે, બીજા ક્રમના સમીકરણો, ઉકેલ માટેની પદ્ધતિઓ જે તેણે આપી હતી, તે સૌથી સરળ હતી. તેમના ઉપરાંત, ચીની ગણિતશાસ્ત્રીઓ પણ જૂના દિવસોમાં સમાન પ્રશ્નોમાં રસ ધરાવતા હતા. યુરોપમાં, 13મી સદીની શરૂઆતમાં જ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા લાગ્યા, પરંતુ પછીથી તેઓનો ઉપયોગ ન્યૂટન, ડેસકાર્ટેસ અને અન્ય ઘણા મહાન વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા તેમના કાર્યોમાં કરવામાં આવ્યો.

ફોર્મનું સમીકરણ

અભિવ્યક્તિ ડી= b 2 - 4 એસીકહેવાય છે ભેદભાવપૂર્ણચતુર્ભુજ સમીકરણ. જોડી = 0, પછી સમીકરણમાં એક વાસ્તવિક મૂળ છે; જો ડી> 0, તો સમીકરણ બે વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે.
કિસ્સામાં ડી = 0 , ક્યારેક એવું કહેવાય છે કે ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં બે સરખા મૂળ હોય છે.
નોટેશનનો ઉપયોગ કરીને ડી= b 2 - 4 એસી, આપણે ફોર્મ્યુલા (2) ને ફોર્મમાં ફરીથી લખી શકીએ છીએ

જો b= 2k, પછી સૂત્ર (2) ફોર્મ લે છે:

જ્યાં k= b / 2 .
બાદમાં સૂત્ર ખાસ કરીને એવા કિસ્સાઓમાં અનુકૂળ છે જ્યાં b / 2 - પૂર્ણાંક, એટલે કે. ગુણાંક b- સમાન સંખ્યા.
ઉદાહરણ 1:સમીકરણ ઉકેલો 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . અહીં a = 2, b = -5, c = 2. અમારી પાસે છે ડી= b 2 - 4 એસી = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . કારણ કે ડી > 0 , તો સમીકરણ બે મૂળ ધરાવે છે. ચાલો તેમને સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ (2)

તેથી x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
તે છે x 1 = 2 અને x 2 = 1 / 2 - આપેલ સમીકરણના મૂળ.
ઉદાહરણ 2:સમીકરણ ઉકેલો 2 x 2 - 3 એક્સ + 5 = 0 . અહીં a = 2, b = -3, c = 5. ભેદભાવ કરનારને શોધવો ડી= b 2 - 4 એસી = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . કારણ કે ડી 0 , તો સમીકરણનું કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી.

અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો. જો ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં હોય કુહાડી 2 +bx+ સી =0 બીજા ગુણાંક bઅથવા મફત સભ્ય cશૂન્ય બરાબર છે, પછી ચતુર્ભુજ સમીકરણ કહેવાય છે અપૂર્ણ. અપૂર્ણ સમીકરણો એકલ કરવામાં આવે છે કારણ કે તેમના મૂળ શોધવા માટે તમારે ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર નથી - તેની ડાબી બાજુ ફેક્ટર કરીને સમીકરણને હલ કરવાનું સરળ છે.
ઉદાહરણ 1:સમીકરણ ઉકેલો 2 x 2 - 5 એક્સ = 0 .
અમારી પાસે છે x(2 x - 5) = 0 . તેથી ક્યાં તો x = 0 , અથવા 2 x - 5 = 0 , એટલે કે x = 2.5 . તેથી સમીકરણના બે મૂળ છે: 0 અને 2.5
ઉદાહરણ 2:સમીકરણ ઉકેલો 3 x 2 - 27 = 0 .
અમારી પાસે છે 3 x 2 = 27 . તેથી, આ સમીકરણના મૂળ છે 3 અને -3 .

વિયેટાનું પ્રમેય. જો ઘટાડેલું ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 +px+q =0 વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે, પછી તેમનો સરવાળો બરાબર છે - પી, અને ઉત્પાદન સમાન છે q, એટલે કે

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(ઉપરોક્ત ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો વિરોધી ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવેલા બીજા ગુણાંક જેટલો છે, અને મૂળનું ઉત્પાદન મુક્ત પદની બરાબર છે).

આ ગણિત કાર્યક્રમ સાથે તમે કરી શકો છો ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલો.

પ્રોગ્રામ માત્ર સમસ્યાનો જવાબ જ આપતું નથી, પણ ઉકેલની પ્રક્રિયાને બે રીતે પ્રદર્શિત કરે છે:
- ભેદભાવનો ઉપયોગ કરીને
- વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને (જો શક્ય હોય તો).

વધુમાં, જવાબ ચોક્કસ તરીકે પ્રદર્શિત થાય છે, અંદાજિત નહીં.
ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ માટે \(81x^2-16x-1=0\) જવાબ નીચેના સ્વરૂપમાં પ્રદર્શિત થાય છે:

આ પ્રોગ્રામ સામાન્ય શિક્ષણની શાળાઓમાં ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે પરીક્ષણો અને પરીક્ષાઓની તૈયારી કરતી વખતે, યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પહેલાં જ્ઞાનની ચકાસણી કરતી વખતે અને માતા-પિતા માટે ગણિત અને બીજગણિતની ઘણી સમસ્યાઓના ઉકેલને નિયંત્રિત કરવા માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે.

આ રીતે, તમે તમારી પોતાની તાલીમ અને/અથવા તમારા નાના ભાઈઓ અથવા બહેનોની તાલીમ લઈ શકો છો, જ્યારે સમસ્યાઓ ઉકેલવાના ક્ષેત્રમાં શિક્ષણનું સ્તર વધે છે.

જો તમે ચતુર્ભુજ બહુપદી દાખલ કરવાના નિયમોથી પરિચિત નથી, તો અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે તમારી જાતને તેમની સાથે પરિચિત કરો.

ચતુર્ભુજ બહુપદી દાખલ કરવાના નિયમો

કોઈપણ લેટિન અક્ષર ચલ તરીકે કાર્ય કરી શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), વગેરે.

સંખ્યાઓ સંપૂર્ણ અથવા અપૂર્ણાંક સંખ્યા તરીકે દાખલ કરી શકાય છે.
તદુપરાંત, અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ માત્ર દશાંશના સ્વરૂપમાં જ નહીં, પણ સામાન્ય અપૂર્ણાંકના સ્વરૂપમાં પણ દાખલ કરી શકાય છે.

દશાંશ અપૂર્ણાંક દાખલ કરવા માટેના નિયમો.
દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં, અપૂર્ણાંક ભાગને સંપૂર્ણ ભાગમાંથી અવધિ અથવા અલ્પવિરામ દ્વારા અલગ કરી શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે, તમે આ રીતે દશાંશ અપૂર્ણાંક દાખલ કરી શકો છો: 2.5x - 3.5x^2

સામાન્ય અપૂર્ણાંક દાખલ કરવા માટેના નિયમો.
માત્ર સંપૂર્ણ સંખ્યા જ અપૂર્ણાંકના અંશ, છેદ અને પૂર્ણાંક ભાગ તરીકે કાર્ય કરી શકે છે.

છેદ નકારાત્મક ન હોઈ શકે.

સંખ્યાત્મક અપૂર્ણાંક દાખલ કરતી વખતે, અંશને વિભાજન ચિહ્ન દ્વારા છેદથી અલગ કરવામાં આવે છે: /
આખો ભાગ એમ્પરસેન્ડ ચિહ્ન દ્વારા અપૂર્ણાંકથી અલગ થયેલ છે: &
ઇનપુટ: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
પરિણામ: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

જ્યારે અભિવ્યક્તિ દાખલ કરો તમે કૌંસનો ઉપયોગ કરી શકો છો. આ કિસ્સામાં, ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, પરિચયિત અભિવ્યક્તિને પ્રથમ સરળ બનાવવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

તે જાણવા મળ્યું હતું કે આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે જરૂરી કેટલીક સ્ક્રિપ્ટો લોડ કરવામાં આવી ન હતી, અને પ્રોગ્રામ કામ કરી શકશે નહીં.
તમે AdBlock સક્ષમ કરેલ હોઈ શકે છે.
આ કિસ્સામાં, તેને અક્ષમ કરો અને પૃષ્ઠને તાજું કરો.

કારણ કે સમસ્યા હલ કરવા માટે ઘણા બધા લોકો તૈયાર છે, તમારી વિનંતી કતારમાં છે.
થોડીવારમાં ઉકેલ નીચે દેખાશે.
મહેરબાની કરીને રાહ જુઓ સેકન્ડ...

જો તમે ઉકેલમાં ભૂલ નોંધાઈ, પછી તમે આ વિશે ફીડબેક ફોર્મમાં લખી શકો છો.
ભૂલશો નહીં કયું કાર્ય સૂચવે છેતમે શું નક્કી કરો ક્ષેત્રોમાં દાખલ કરો.

અમારી રમતો, કોયડાઓ, અનુકરણકર્તાઓ:

થોડો સિદ્ધાંત.

ચતુર્ભુજ સમીકરણ અને તેના મૂળ. અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો

દરેક સમીકરણો
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
જેવો દેખાય છે
\(ax^2+bx+c=0, \)
જ્યાં x એ ચલ છે, a, b અને c એ સંખ્યાઓ છે.
પ્રથમ સમીકરણમાં a = -1, b = 6 અને c = 1.4, બીજામાં a = 8, b = -7 અને c = 0, ત્રીજામાં a = 1, b = 0 અને c = 4/9. આવા સમીકરણો કહેવાય છે ચતુર્ભુજ સમીકરણો.

વ્યાખ્યા.
ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax 2 +bx+c=0 ફોર્મનું સમીકરણ કહેવાય છે, જ્યાં x એ ચલ છે, a, b અને c કેટલીક સંખ્યાઓ છે, અને \(a \neq 0 \).

સંખ્યાઓ a, b અને c એ ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંક છે. નંબર a ને પ્રથમ ગુણાંક કહેવામાં આવે છે, સંખ્યા b એ બીજો ગુણાંક છે, અને સંખ્યા c એ મુક્ત પદ છે.

ફોર્મ ax 2 +bx+c=0 ના દરેક સમીકરણોમાં, જ્યાં \(a\neq 0\), ચલ x ની સૌથી મોટી ઘાત એક ચોરસ છે. તેથી નામ: ચતુર્ભુજ સમીકરણ.

નોંધ કરો કે ચતુર્ભુજ સમીકરણને બીજી ડિગ્રીનું સમીકરણ પણ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તેની ડાબી બાજુ બીજી ડિગ્રીની બહુપદી છે.

એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ કે જેમાં x 2 નો ગુણાંક 1 બરાબર હોય તેને કહેવામાં આવે છે આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણ. ઉદાહરણ તરીકે, આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણો સમીકરણો છે
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

જો ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax 2 +bx+c=0 માં ઓછામાં ઓછું એક ગુણાંક b અથવા c શૂન્ય સમાન હોય, તો આવા સમીકરણને કહેવામાં આવે છે. અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ. આમ, સમીકરણો -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 એ અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો છે. તેમાંથી પ્રથમમાં b=0, બીજામાં c=0, ત્રીજામાં b=0 અને c=0.

ત્રણ પ્રકારના અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો છે:
1) ax 2 +c=0, જ્યાં \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, જ્યાં \(b \neq 0 \);
3) કુહાડી 2 =0.

ચાલો આ દરેક પ્રકારના સમીકરણો ઉકેલવા પર વિચાર કરીએ.

\(c \neq 0 \) માટે ફોર્મ ax 2 +c=0 ના અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણને ઉકેલવા માટે, તેના મુક્ત પદને જમણી બાજુએ ખસેડો અને સમીકરણની બંને બાજુઓને a વડે વિભાજીત કરો:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

ત્યારથી \(c \neq 0 \), પછી \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

જો \(-\frac(c)(a)>0\), તો સમીકરણ બે મૂળ ધરાવે છે.

જો \(-\frac(c)(a) ફોર્મ ax 2 +bx=0 ના અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણને ઉકેલવા માટે \(b \neq 0 \) સાથે તેની ડાબી બાજુએ પરિબળ કરો અને સમીકરણ મેળવો
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (એરે)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

આનો અર્થ એ છે કે \(b \neq 0 \) માટે ax 2 +bx=0 ફોર્મનું અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ હંમેશા બે મૂળ ધરાવે છે.

ax 2 =0 ફોર્મનું અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 =0 સમીકરણની સમકક્ષ છે અને તેથી તેનું એક મૂળ 0 છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટેનું સૂત્ર

ચાલો હવે વિચારીએ કે કેવી રીતે ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા કે જેમાં અજ્ઞાતના ગુણાંક અને મુક્ત શબ્દ બંને શૂન્ય છે.

ચાલો ચતુર્ભુજ સમીકરણને સામાન્ય સ્વરૂપમાં હલ કરીએ અને પરિણામે આપણે મૂળ માટેનું સૂત્ર મેળવીએ. આ સૂત્ર પછી કોઈપણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટે વાપરી શકાય છે.

ચાલો ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax 2 +bx+c=0 હલ કરીએ

બંને બાજુઓને a વડે વિભાજીત કરવાથી, આપણે સમકક્ષ ઘટાડેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણ મેળવીએ છીએ
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

ચાલો દ્વિપદીનો વર્ગ પસંદ કરીને આ સમીકરણને બદલીએ:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

આમૂલ અભિવ્યક્તિ કહેવાય છે ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ભેદભાવ ax 2 +bx+c=0 (લેટિનમાં "ભેદભાવ" - ભેદભાવ કરનાર). તે અક્ષર ડી દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે, એટલે કે.
\(D = b^2-4ac\)

હવે, ભેદભાવપૂર્ણ સંકેતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટે સૂત્ર ફરીથી લખીએ છીએ:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), જ્યાં \(D= b^2-4ac \)

તે સ્પષ્ટ છે કે:
1) જો D>0 હોય, તો ચતુર્ભુજ સમીકરણ બે મૂળ ધરાવે છે.
2) જો D=0, તો ચતુર્ભુજ સમીકરણનું એક મૂળ છે \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) જો D આમ, ભેદભાવના મૂલ્યના આધારે, ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં બે મૂળ હોઈ શકે છે (D > 0 માટે), એક મૂળ (D = 0 માટે) અથવા કોઈ મૂળ નથી (D માટે જ્યારે આનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવામાં આવે છે. સૂત્ર, નીચેની રીતે કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે:
1) ભેદભાવની ગણતરી કરો અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવો;
2) જો ભેદભાવ કરનાર સકારાત્મક અથવા શૂન્ય સમાન હોય, તો મૂળ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો જો ભેદભાવ નકારાત્મક હોય, તો લખો કે ત્યાં કોઈ મૂળ નથી;

વિયેટાનું પ્રમેય

આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણ કુહાડી 2 -7x+10=0 મૂળ 2 અને 5 ધરાવે છે. મૂળનો સરવાળો 7 છે, અને ગુણાંક 10 છે. આપણે જોઈએ છીએ કે મૂળનો સરવાળો બીજા ગુણાંક જેટલો છે. સાઇન કરો, અને મૂળનું ઉત્પાદન મફત શબ્દ સમાન છે. કોઈપણ ઘટાડેલું ચતુર્ભુજ સમીકરણ કે જેમાં મૂળ હોય છે તે આ ગુણધર્મ ધરાવે છે.

ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો વિરોધી ચિન્હ સાથે લેવામાં આવેલા બીજા ગુણાંક જેટલો છે, અને મૂળનું ઉત્પાદન મુક્ત પદની બરાબર છે.

તે. વિએટાનું પ્રમેય જણાવે છે કે ઘટેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 +px+q=0 ના મૂળ x 1 અને x 2 પાસે ગુણધર્મ છે:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(એરે) \જમણે. \)