ભાગો દ્વારા એકીકરણ. ઉકેલોના ઉદાહરણો

ફરીથી નમસ્કાર. આજે પાઠમાં આપણે શીખીશું કે ભાગો દ્વારા કેવી રીતે એકીકૃત કરવું. ભાગો દ્વારા એકીકરણની પદ્ધતિ એ ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસના પાયાનો એક છે. કસોટીઓ અથવા પરીક્ષાઓ દરમિયાન, વિદ્યાર્થીઓને લગભગ હંમેશા નીચેના પ્રકારના અવિભાજ્યને ઉકેલવા માટે કહેવામાં આવે છે: સૌથી સરળ અભિન્ન (લેખ જુઓ)અથવા ચલને બદલીને અભિન્ન (લેખ જુઓ)અથવા અભિન્ન ફક્ત ચાલુ છે ભાગો પદ્ધતિ દ્વારા એકીકરણ.

હંમેશની જેમ, તમારી પાસે હાથમાં હોવું જોઈએ: ઇન્ટિગ્રલ્સનું કોષ્ટકઅને ડેરિવેટિવ્ઝ ટેબલ. જો તમારી પાસે હજી પણ તે નથી, તો કૃપા કરીને મારી વેબસાઇટના સ્ટોરેજ રૂમની મુલાકાત લો: ગાણિતિક સૂત્રો અને કોષ્ટકો. હું પુનરાવર્તન કરતાં કંટાળીશ નહીં - બધું છાપવું વધુ સારું છે. હું તમામ સામગ્રીને સતત, સરળ અને સ્પષ્ટ રીતે રજૂ કરવાનો પ્રયાસ કરીશ; ભાગોને એકીકૃત કરવામાં કોઈ ખાસ મુશ્કેલીઓ નથી.

ભાગો દ્વારા એકીકરણની પદ્ધતિ કઈ સમસ્યા હલ કરે છે? ભાગો પદ્ધતિ દ્વારા એકીકરણ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ સમસ્યાનું નિરાકરણ કરે છે તે તમને કેટલાક કાર્યોને એકીકૃત કરવાની મંજૂરી આપે છે જે કોષ્ટકમાં નથી, કામકાર્યો, અને કેટલાક કિસ્સાઓમાં - ભાગ પણ. જેમ આપણે યાદ રાખીએ છીએ, ત્યાં કોઈ અનુકૂળ સૂત્ર નથી: . પરંતુ આ એક છે: - વ્યક્તિગત રીતે ભાગો દ્વારા એકીકરણ માટેનું સૂત્ર. હું જાણું છું, હું જાણું છું, તમે એકમાત્ર છો - અમે તેની સાથે સમગ્ર પાઠ દરમિયાન કામ કરીશું (તે હવે સરળ છે).

અને તરત જ સ્ટુડિયોને લિસ્ટ મોકલવામાં આવે છે. નીચેના પ્રકારોના અભિન્ન ભાગો ભાગો દ્વારા લેવામાં આવે છે:

1) , , – લઘુગણક, લઘુગણક કેટલાક બહુપદી દ્વારા ગુણાકાર.

2) ,અમુક બહુપદી દ્વારા ગુણાકાર કરાયેલ ઘાતાંકીય કાર્ય છે. આમાં અવિભાજ્યનો પણ સમાવેશ થાય છે જેમ કે - બહુપદી દ્વારા ગુણાકાર ઘાતાંકીય કાર્ય, પરંતુ વ્યવહારમાં આ 97 ટકા છે, પૂર્ણાંક હેઠળ એક સરસ અક્ષર "e" છે. ...લેખ કંઈક અંશે ભાવાત્મક બન્યો, અરે હા... વસંત આવી ગઈ.

3) , , કેટલાક બહુપદી દ્વારા ગુણાકાર કરાયેલ ત્રિકોણમિતિ વિધેયો છે.

4) , – વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો ("કમાનો"), "કમાનો" કેટલાક બહુપદી દ્વારા ગુણાકાર.

કેટલાક અપૂર્ણાંક પણ ભાગોમાં લેવામાં આવ્યા છે; અમે અનુરૂપ ઉદાહરણો પણ વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈશું.

લઘુગણકના પૂર્ણાંકો

ઉદાહરણ 1

ઉત્તમ. સમયાંતરે આ અભિન્ન કોષ્ટકમાં મળી શકે છે, પરંતુ તૈયાર જવાબનો ઉપયોગ કરવો તે સલાહભર્યું નથી, કારણ કે શિક્ષક પાસે વસંત વિટામિનની ઉણપ છે અને તે ભારે શપથ લેશે. કારણ કે વિચારણા હેઠળનું અભિન્ન કોઈપણ રીતે ટેબ્યુલર નથી - તે ભાગોમાં લેવામાં આવે છે. અમે નક્કી કરીએ છીએ:

અમે મધ્યવર્તી સ્પષ્ટતા માટે ઉકેલમાં વિક્ષેપ પાડીએ છીએ.

અમે ભાગો સૂત્ર દ્વારા એકીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

સૂત્ર ડાબેથી જમણે લાગુ થાય છે

અમે ડાબી બાજુ જોઈએ છીએ: . દેખીતી રીતે, અમારા ઉદાહરણમાં (અને બીજા બધામાં કે જેને આપણે ધ્યાનમાં લઈશું), કંઈક તરીકે નિયુક્ત કરવાની જરૂર છે, અને કંઈક તરીકે.

વિચારણા હેઠળના પ્રકારના અભિન્ન ભાગોમાં, લઘુગણક હંમેશા સૂચવવામાં આવે છે.

તકનીકી રીતે, સોલ્યુશનની ડિઝાઇન નીચે પ્રમાણે લાગુ કરવામાં આવી છે અમે કૉલમમાં લખીએ છીએ:

એટલે કે, અમે લોગરિધમને આના દ્વારા અને દ્વારા સૂચિત કર્યું છે - બાકીનો ભાગસંકલિત અભિવ્યક્તિ.

આગળનો તબક્કો: વિભેદક શોધો:

વિભેદક લગભગ વ્યુત્પન્ન સમાન છે; આપણે અગાઉના પાઠોમાં તેને કેવી રીતે શોધવું તેની ચર્ચા કરી છે.

હવે આપણે ફંક્શન શોધીએ છીએ. ફંક્શન શોધવા માટે તમારે એકીકૃત કરવાની જરૂર છે જમણી બાજુઓછી સમાનતા:

હવે આપણે અમારું સોલ્યુશન ખોલીએ છીએ અને સૂત્રની જમણી બાજુ બનાવીએ છીએ: .
માર્ગ દ્વારા, અહીં કેટલીક નોંધો સાથે અંતિમ ઉકેલનો નમૂનો છે:

કાર્યમાં એકમાત્ર મુદ્દો એ છે કે મેં તરત જ સ્વેપ કર્યું અને , કારણ કે લઘુગણક પહેલાં પરિબળ લખવાનો રિવાજ છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ભાગો સૂત્ર દ્વારા સંકલન લાગુ કરવાથી આવશ્યકપણે અમારા ઉકેલને બે સરળ પૂર્ણાંકો સુધી ઘટાડ્યું છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે કેટલાક કિસ્સાઓમાં બરાબર પછીસૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, એક સરળીકરણ આવશ્યકપણે બાકીના ઇન્ટિગ્રલ હેઠળ હાથ ધરવામાં આવે છે - વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં, અમે ઇન્ટિગ્રેન્ડને "x" પર ઘટાડી દીધું છે.

ચાલો તપાસીએ. આ કરવા માટે, તમારે જવાબમાંથી વ્યુત્પન્ન લેવાની જરૂર છે:

મૂળ સંકલન કાર્ય પ્રાપ્ત થયું છે, જેનો અર્થ છે કે પૂર્ણાંક યોગ્ય રીતે હલ કરવામાં આવ્યો છે.

પરીક્ષણ દરમિયાન, અમે ઉત્પાદન તફાવત નિયમનો ઉપયોગ કર્યો: . અને આ કોઈ સંયોગ નથી.

ભાગો દ્વારા એકીકરણ માટે ફોર્મ્યુલા અને સૂત્ર - આ બે પરસ્પર વિપરીત નિયમો છે.

ઉદાહરણ 2

અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો.

ઇન્ટિગ્રેન્ડ એ લઘુગણક અને બહુપદીનું ઉત્પાદન છે.
ચાલો નક્કી કરીએ.

હું ભવિષ્યમાં નિયમ લાગુ કરવા માટેની પ્રક્રિયાનું ફરી એકવાર વિગતવાર વર્ણન કરીશ, ઉદાહરણો વધુ સંક્ષિપ્તમાં રજૂ કરવામાં આવશે, અને જો તમને તેને જાતે હલ કરવામાં મુશ્કેલીઓ હોય, તો તમારે પાઠના પ્રથમ બે ઉદાહરણો પર પાછા જવાની જરૂર છે. .

પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કર્યો છે તેમ, લઘુગણક દર્શાવવું જરૂરી છે (તે એક શક્તિ છે તે વાંધો નથી). અમે દ્વારા સૂચિત કરીએ છીએ બાકીનો ભાગસંકલિત અભિવ્યક્તિ.

અમે કૉલમમાં લખીએ છીએ:

પ્રથમ આપણે તફાવત શોધીએ છીએ:

અહીં આપણે જટિલ કાર્યને અલગ પાડવા માટે નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ . તે કોઈ સંયોગ નથી કે વિષયના પ્રથમ પાઠ પર અનિશ્ચિત અભિન્ન. ઉકેલોના ઉદાહરણોમેં એ હકીકત પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કર્યું કે ઇન્ટિગ્રલ્સમાં નિપુણતા મેળવવા માટે, ડેરિવેટિવ્ઝ પર "તમારા હાથ મેળવો" જરૂરી છે. તમારે એક કરતા વધુ વખત ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે વ્યવહાર કરવો પડશે.

હવે આપણે ફંક્શન શોધીએ છીએ, આ માટે આપણે એકીકૃત કરીએ છીએ જમણી બાજુઓછી સમાનતા:

એકીકરણ માટે અમે સૌથી સરળ ટેબ્યુલર ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કર્યો

હવે બધું ફોર્મ્યુલા લાગુ કરવા માટે તૈયાર છે . ફૂદડી સાથે ખોલો અને જમણી બાજુ અનુસાર સોલ્યુશનને "રચના" કરો:

ઇન્ટિગ્રલ હેઠળ આપણી પાસે ફરીથી લોગરીધમ માટે બહુપદી છે! તેથી, ઉકેલ ફરીથી વિક્ષેપિત થાય છે અને ભાગો દ્વારા એકીકરણનો નિયમ બીજી વખત લાગુ કરવામાં આવે છે. ભૂલશો નહીં કે સમાન પરિસ્થિતિઓમાં લઘુગણક હંમેશા સૂચવવામાં આવે છે.

તે સારું રહેશે જો તમે અત્યાર સુધીમાં મૌખિક રીતે સૌથી સરળ ઇન્ટિગ્રલ અને ડેરિવેટિવ્ઝ કેવી રીતે શોધી શકો તે જાણતા હોવ.

(1) ચિહ્નો વિશે મૂંઝવણમાં ન આવશો! ઘણી વાર માઈનસ અહીં ખોવાઈ જાય છે, એ પણ નોંધ લો કે બાદબાકીનો ઉલ્લેખ થાય છે બધાનેકૌંસ , અને આ કૌંસને યોગ્ય રીતે વિસ્તૃત કરવાની જરૂર છે.

(2) કૌંસ ખોલો. અમે છેલ્લા અભિન્નને સરળ બનાવીએ છીએ.

(3) આપણે છેલ્લું ઇન્ટિગ્રલ લઈએ છીએ.

(4) જવાબ "કોમ્બિંગ" કરો.

ભાગો દ્વારા એકીકરણના નિયમને બે વાર (અથવા ત્રણ વખત પણ) લાગુ કરવાની જરૂરિયાત ખૂબ જ ભાગ્યે જ ઊભી થતી નથી.

અને હવે તમારા પોતાના ઉકેલ માટે થોડા ઉદાહરણો:

ઉદાહરણ 3

અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો.

આ ઉદાહરણ ચલને બદલીને (અથવા તેને વિભેદક ચિહ્ન હેઠળ બદલીને) ઉકેલાય છે! શા માટે નહીં - તમે તેને ભાગોમાં લેવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો, તે એક રમુજી વસ્તુ બનશે.

ઉદાહરણ 4

અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો.

પરંતુ આ અભિન્ન ભાગો (વચન આપેલ અપૂર્ણાંક) દ્વારા સંકલિત છે.

આ તમારા માટે જાતે ઉકેલવા માટેના ઉદાહરણો છે, પાઠના અંતે ઉકેલો અને જવાબો.

એવું લાગે છે કે ઉદાહરણો 3 અને 4 માં સંકલન સમાન છે, પરંતુ ઉકેલની પદ્ધતિઓ અલગ છે! ઇન્ટિગ્રલ્સમાં નિપુણતા મેળવવામાં આ મુખ્ય મુશ્કેલી છે - જો તમે ઇન્ટિગ્રલને હલ કરવા માટે ખોટી પદ્ધતિ પસંદ કરો છો, તો પછી તમે વાસ્તવિક પઝલની જેમ કલાકો સુધી તેની સાથે ટિંકર કરી શકો છો. તેથી, તમે જેટલા વધુ વિવિધ ઇન્ટિગ્રલ્સ હલ કરશો, તેટલું સારું, કસોટી અને પરીક્ષા એટલી સરળ હશે. વધુમાં, બીજા વર્ષમાં વિભેદક સમીકરણો હશે, અને ઇન્ટિગ્રલ અને ડેરિવેટિવ્સને ઉકેલવાના અનુભવ વિના ત્યાં કરવાનું કંઈ નથી.

લઘુગણકની દ્રષ્ટિએ, આ કદાચ પર્યાપ્ત કરતાં વધુ છે. એક બાજુ તરીકે, હું એ પણ યાદ રાખી શકું છું કે એન્જિનિયરિંગના વિદ્યાર્થીઓ સ્ત્રી સ્તનો =) કહેવા માટે લઘુગણકનો ઉપયોગ કરે છે. માર્ગ દ્વારા, મુખ્ય પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખને હૃદયથી જાણવું ઉપયોગી છે: સાઈન, કોસાઈન, આર્કટેન્જેન્ટ, ઘાતાંક, ત્રીજા, ચોથા ડિગ્રીના બહુપદી વગેરે. ના, અલબત્ત, વિશ્વમાં કોન્ડોમ
હું તેને લંબાવીશ નહીં, પરંતુ હવે તમને વિભાગમાંથી ઘણું યાદ આવશે આલેખ અને કાર્યો =).

બહુપદી દ્વારા ગુણાકાર કરાયેલ ઘાતાંકીયના પૂર્ણાંકો

સામાન્ય નિયમ:

ઉદાહરણ 5

અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો.

પરિચિત અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને, અમે ભાગો દ્વારા સંકલિત કરીએ છીએ:

જો તમને અભિન્ન સાથે મુશ્કેલીઓ છે, તો તમારે લેખ પર પાછા ફરવું જોઈએ અનિશ્ચિત અભિન્નમાં ચલ પરિવર્તન પદ્ધતિ.

માત્ર બીજી વસ્તુ જે તમે કરી શકો તે જવાબને ટ્વિક કરો:

પરંતુ જો તમારી ગણતરીની તકનીક ખૂબ સારી નથી, તો સૌથી વધુ નફાકારક વિકલ્પ તેને જવાબ તરીકે છોડવાનો છે અથવા તો

એટલે કે, જ્યારે છેલ્લું પૂર્ણાંક લેવામાં આવે ત્યારે ઉદાહરણને ઉકેલી ગણવામાં આવે છે. તે કોઈ ભૂલ નથી; તે બીજી બાબત છે કે શિક્ષક તમને જવાબ સરળ બનાવવા માટે કહી શકે છે.

ઉદાહરણ 6

અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. આ અભિન્ન ભાગો દ્વારા બે વાર સંકલિત કરવામાં આવે છે. ચિહ્નો પર ખાસ ધ્યાન આપવું જોઈએ - તેમાં મૂંઝવણમાં આવવું સરળ છે, અમે એ પણ યાદ રાખીએ છીએ કે આ એક જટિલ કાર્ય છે.

પ્રદર્શક વિશે કહેવા માટે વધુ કંઈ નથી. હું માત્ર એટલું જ ઉમેરી શકું છું કે ઘાતાંકીય અને પ્રાકૃતિક લઘુગણક પરસ્પર વ્યસ્ત કાર્યો છે, આ હું ઉચ્ચ ગણિતના મનોરંજક ગ્રાફના વિષય પર છું =) રોકો, રોકો, ચિંતા કરશો નહીં, લેક્ચરર શાંત છે.

બહુપદી દ્વારા ગુણાકાર ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના પૂર્ણાંકો

સામાન્ય નિયમ: માટે હંમેશા બહુપદી સૂચવે છે

ઉદાહરણ 7

અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો.

ચાલો ભાગો દ્વારા એકીકૃત કરીએ:

હમ્મ...અને તેના પર ટિપ્પણી કરવા માટે કંઈ નથી.

ઉદાહરણ 8

અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો

આ તમારા માટે તમારી જાતને ઉકેલવા માટેનું ઉદાહરણ છે

ઉદાહરણ 9

અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો

અપૂર્ણાંક સાથેનું બીજું ઉદાહરણ. અગાઉના બે ઉદાહરણોની જેમ, માટે બહુપદી સૂચવે છે.

ચાલો ભાગો દ્વારા એકીકૃત કરીએ:

જો તમને અભિન્ન શોધવામાં કોઈ મુશ્કેલીઓ અથવા ગેરસમજ હોય, તો હું પાઠમાં હાજરી આપવાની ભલામણ કરું છું ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના સંકલન.

ઉદાહરણ 10

અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો.

સંકેત: ભાગો પદ્ધતિ દ્વારા એકીકરણનો ઉપયોગ કરતા પહેલા, તમારે કેટલાક ત્રિકોણમિતિ સૂત્ર લાગુ કરવું જોઈએ જે બે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ઉત્પાદનને એક કાર્યમાં ફેરવે છે. ભાગો દ્વારા એકીકરણની પદ્ધતિ લાગુ કરતી વખતે પણ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, જે તમારા માટે વધુ અનુકૂળ હોય.

આ ફકરામાં કદાચ એટલું જ છે. કેટલાક કારણોસર મને ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતના સ્તોત્રમાંથી એક પંક્તિ યાદ આવી ગઈ “અને સાઈન ગ્રાફ એબ્સિસા અક્ષ સાથે તરંગ પછી તરંગો ચલાવે છે”….

વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના પૂર્ણાંકો.
બહુપદી દ્વારા ગુણાકાર કરેલ વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના પૂર્ણાંકો

સામાન્ય નિયમ: હંમેશા વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્ય સૂચવે છે.

ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ વિધેયોમાં આર્કસાઇન, આર્કોસાઇન, આર્કટેન્જેન્ટ અને આર્કોટેન્જેન્ટનો સમાવેશ થાય છે. રેકોર્ડની સંક્ષિપ્તતા માટે હું તેમને "કમાનો" કહીશ

લઘુગણકના પૂર્ણાંકો

ભાગો દ્વારા એકીકરણ. ઉકેલોના ઉદાહરણો

ઉકેલ.

દા.ત.

ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો:

ઇન્ટિગ્રલ (રેખીયતા) ના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, ᴛ.ᴇ. , અમે તેને ટેબ્યુલર ઇન્ટિગ્રલમાં ઘટાડીએ છીએ, અમને તે મળે છે

ફરીથી નમસ્કાર. આજે પાઠમાં આપણે શીખીશું કે ભાગો દ્વારા કેવી રીતે એકીકૃત કરવું. ભાગો દ્વારા એકીકરણની પદ્ધતિ એ અભિન્ન ગણતરીના પાયાના પથ્થરોમાંની એક છે. કસોટીઓ અથવા પરીક્ષાઓ દરમિયાન, વિદ્યાર્થીઓને લગભગ હંમેશા નીચેના પ્રકારના અવિભાજ્યને ઉકેલવા માટે કહેવામાં આવે છે: સૌથી સરળ અભિન્ન (લેખ જુઓઅનિશ્ચિત અભિન્ન. ઉકેલોના ઉદાહરણો ) અથવા ચલને બદલીને અભિન્ન (લેખ જુઓઅનિશ્ચિત અવિભાજ્યમાં ચલ પરિવર્તન પદ્ધતિ ) અથવા અભિન્ન ફક્ત ચાલુ છે ભાગો પદ્ધતિ દ્વારા એકીકરણ.

હંમેશની જેમ, તમારી પાસે હાથમાં હોવું જોઈએ: ઇન્ટિગ્રલ્સનું કોષ્ટકઅને ડેરિવેટિવ્ઝ ટેબલ. જો તમારી પાસે હજી પણ તે નથી, તો કૃપા કરીને મારી વેબસાઇટના સ્ટોરરૂમની મુલાકાત લો: ગાણિતિક સૂત્રો અને કોષ્ટકો. હું પુનરાવર્તન કરતાં કંટાળીશ નહીં - બધું છાપવું વધુ સારું છે. હું તમામ સામગ્રીને સતત, સરળ અને સ્પષ્ટ રીતે રજૂ કરવાનો પ્રયાસ કરીશ; ભાગોને એકીકૃત કરવામાં કોઈ ખાસ મુશ્કેલીઓ નથી.

ભાગો દ્વારા એકીકરણની પદ્ધતિ કઈ સમસ્યા હલ કરે છે? ભાગો પદ્ધતિ દ્વારા એકીકરણ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ સમસ્યાનું નિરાકરણ કરે છે તે તમને કેટલાક કાર્યોને એકીકૃત કરવાની મંજૂરી આપે છે જે કોષ્ટકમાં નથી, કામકાર્યો, અને કેટલાક કિસ્સાઓમાં - ભાગ પણ. જેમ આપણે યાદ રાખીએ છીએ, ત્યાં કોઈ અનુકૂળ સૂત્ર નથી: . પરંતુ આ છે: - વ્યક્તિગત રીતે ભાગો દ્વારા એકીકરણ માટેનું સૂત્ર. હું જાણું છું, હું જાણું છું, તમે એકમાત્ર છો - અમે તેની સાથે સમગ્ર પાઠ દરમિયાન કામ કરીશું (તે હવે સરળ છે).

અને તરત જ સ્ટુડિયોને લિસ્ટ મોકલવામાં આવે છે. નીચેના પ્રકારોના અભિન્ન ભાગો ભાગો દ્વારા લેવામાં આવે છે:

1) , – લઘુગણક, લઘુગણક કેટલાક બહુપદી દ્વારા ગુણાકાર.

2) , અમુક બહુપદી દ્વારા ગુણાકાર કરાયેલ ઘાતાંકીય કાર્ય છે. આમાં અવિભાજ્યનો પણ સમાવેશ થાય છે જેમ કે - બહુપદી દ્વારા ગુણાકાર કરેલ ઘાતાંકીય કાર્ય, પરંતુ વ્યવહારમાં આ 97 ટકા છે, પૂર્ણાંક હેઠળ એક સરસ અક્ષર ʼʼеʼʼ છે. ...લેખ કંઈક અંશે ગીતાત્મક બન્યો, અરે હા... વસંત આવી ગઈ.

3) , કેટલાક બહુપદી દ્વારા ગુણાકાર કરાયેલ ત્રિકોણમિતિ વિધેયો છે.

4) - વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો ("કમાનો"), "કમાનો", કેટલાક બહુપદી દ્વારા ગુણાકાર.

કેટલાક અપૂર્ણાંક પણ ભાગોમાં લેવામાં આવ્યા છે; અમે અનુરૂપ ઉદાહરણો પણ વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈશું.

ઉદાહરણ 1

અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો.

ઉત્તમ. સમયાંતરે આ અભિન્ન કોષ્ટકમાં મળી શકે છે, પરંતુ તૈયાર જવાબનો ઉપયોગ કરવો તે સલાહભર્યું નથી, કારણ કે શિક્ષક પાસે વસંત વિટામિનની ઉણપ છે અને તે ભારે શપથ લેશે. કારણ કે વિચારણા હેઠળનું અભિન્ન કોઈપણ રીતે ટેબ્યુલર નથી - તે ભાગોમાં લેવામાં આવે છે. અમે નક્કી કરીએ છીએ:

અમે મધ્યવર્તી સ્પષ્ટતા માટે ઉકેલમાં વિક્ષેપ પાડીએ છીએ.

અમે ભાગો સૂત્ર દ્વારા એકીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

લોગરીધમ્સના ઇન્ટિગ્રલ્સ - ખ્યાલ અને પ્રકારો. વર્ગીકરણ અને "લોગરીધમના અવિભાજ્ય" 2017, 2018 શ્રેણીના લક્ષણો.

એન્ટિડેરિવેટિવ અને અભિન્ન

1. એન્ટિડેરિવેટિવ. ફંક્શન F(x) એ અંતરાલ X પર ફંક્શન f(x) માટે એન્ટિડેરિવેટિવ કહેવાય છે જો X માંથી કોઈપણ x માટે સમાનતા F"(x)=f(x) ધરાવે છે.

T.7.13 (જો F(x) એ અંતરાલ X પર ફંક્શન f(x) માટે એન્ટિડેરિવેટિવ હોય, તો ફંક્શન f(x)માં અનંતપણે ઘણા એન્ટિડેરિવેટિવ્સ હોય છે, અને આ તમામ એન્ટિડેરિવેટિવ્સ F(x) + C સ્વરૂપ ધરાવે છે, જ્યાં C એ મનસ્વી સ્થિરાંક છે (એન્ટિડેરિવેટિવની મુખ્ય મિલકત).

2. એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક. એન્ટિડેરિવેટિવ્સ શોધવી એ ડિફરન્સિએશનની વ્યસ્ત ક્રિયા છે તે ધ્યાનમાં લેતા, અને ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકથી શરૂ કરીને, અમે એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝનું નીચેનું કોષ્ટક મેળવીએ છીએ (સરળતા માટે, કોષ્ટક એક એન્ટિડેરિવેટિવ F(x) બતાવે છે, અને એન્ટિડેરિવેટિવ્સ F(નું સામાન્ય સ્વરૂપ નહીં) x) + C:

એન્ટિડેરિવેટિવ અને લઘુગણક કાર્ય

લઘુગણક કાર્ય, ઘાતાંકીય કાર્યનું વ્યસ્ત. એલ. એફ. દ્વારા સૂચિત

તેનું મૂલ્ય y, દલીલ xના મૂલ્યને અનુરૂપ, સંખ્યા xનું કુદરતી લઘુગણક કહેવાય છે. વ્યાખ્યા દ્વારા, સંબંધ (1) સમકક્ષ છે

(e એ નેપર નંબર છે). કોઈપણ વાસ્તવિક y માટે ey > 0 હોવાથી, પછી L.f. માત્ર x > 0 માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. વધુ સામાન્ય અર્થમાં, L. f. ફંક્શનને કૉલ કરો

એન્ટિડેરિવેટિવ પાવર ઇન્ટિગ્રલ લોગરિધમ

જ્યાં a > 0 (a? 1) લઘુગણકનો મનસ્વી આધાર છે. જો કે, ગાણિતિક પૃથ્થકરણમાં InX ફંક્શનનું વિશેષ મહત્વ છે; લોગાએક્સ ફંક્શન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેના પર ઘટાડવામાં આવે છે:

જ્યાં M = 1/માં a. એલ. એફ. - મુખ્ય પ્રાથમિક કાર્યોમાંથી એક; તેના ગ્રાફ (ફિગ. 1) ને લઘુગણક કહેવાય છે. L. f ના મૂળભૂત ગુણધર્મો. ઘાતાંકીય કાર્ય અને લઘુગણકના અનુરૂપ ગુણધર્મોમાંથી અનુસરો; ઉદાહરણ તરીકે, એલ. એફ. કાર્યાત્મક સમીકરણને સંતોષે છે

માટે - 1< х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

ઘણા ઇન્ટિગ્રલ રેખીય કાર્યોની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવામાં આવે છે; દાખ્લા તરીકે

એલ. એફ. ગાણિતિક પૃથ્થકરણ અને તેના કાર્યક્રમોમાં સતત થાય છે.

એલ. એફ. 17મી સદીના ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે જાણીતા હતા. પ્રથમ વખત, એલ. એફ. દ્વારા વ્યક્ત કરાયેલ ચલ જથ્થાઓ વચ્ચેની અવલંબન, જે. નેપિયર (1614) દ્વારા ગણવામાં આવી હતી. તેમણે સમાંતર રેખાઓ (ફિગ. 2) સાથે આગળ વધતા બે બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાઓ અને તેમના લઘુગણક વચ્ચેના સંબંધનું પ્રતિનિધિત્વ કર્યું. તેમાંથી એક (Y) C થી શરૂ કરીને એકસરખી રીતે આગળ વધે છે, અને બીજો (X), A થી શરૂ કરીને, B સુધી તેના અંતરના પ્રમાણસર ગતિ સાથે આગળ વધે છે. જો આપણે SU = y, XB = x મૂકીએ, તો પછી, આ વ્યાખ્યા,

dx/dy = - kx, ક્યાંથી.

એલ. એફ. જટિલ પ્લેન પર એક બહુ-મૂલ્યવાળું (અનંત-મૂલ્યવાળું) કાર્ય દલીલ z ના તમામ મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે? 0 એ Lnz દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આ ફંક્શનની સિંગલ-વેલ્યુડ શાખા, આ રીતે વ્યાખ્યાયિત

Inz = In?z?+ i arg z,

જ્યાં arg z એ જટિલ સંખ્યા z ની દલીલ છે, જેને રેખીય કાર્યનું મુખ્ય મૂલ્ય કહેવામાં આવે છે. અમારી પાસે

Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...

L. f ના તમામ અર્થ. નકારાત્મક માટે: વાસ્તવિક z જટિલ સંખ્યાઓ છે. એલ. એફ.નો પ્રથમ સંતોષકારક સિદ્ધાંત. જટિલ વિમાનમાં એલ. યુલર (1749) દ્વારા આપવામાં આવ્યું હતું, જે વ્યાખ્યામાંથી આગળ વધ્યા હતા