લઘુગણક શું છે?
ધ્યાન આપો!
ત્યાં વધારાના છે
વિશેષ કલમ 555 માં સામગ્રી.
જેઓ ખૂબ "ખૂબ નથી..." છે તેમના માટે
અને જેઓ "ખૂબ જ...")
લઘુગણક શું છે? લોગરીધમ્સ કેવી રીતે ઉકેલવા? આ પ્રશ્નો ઘણા સ્નાતકોને મૂંઝવણમાં મૂકે છે. પરંપરાગત રીતે, લઘુગણકનો વિષય જટિલ, અગમ્ય અને ડરામણો માનવામાં આવે છે. ખાસ કરીને લઘુગણક સાથેના સમીકરણો.
આ બિલકુલ સાચું નથી. ચોક્કસ! મારા પર વિશ્વાસ નથી થતો? દંડ. હવે, માત્ર 10-20 મિનિટમાં તમે:
1. તમે સમજી શકશો લઘુગણક શું છે.
2. ઘાતાંકીય સમીકરણોનો આખો વર્ગ ઉકેલતા શીખો. ભલે તમે તેમના વિશે કશું સાંભળ્યું ન હોય.
3. સરળ લઘુગણકની ગણતરી કરવાનું શીખો.
તદુપરાંત, આ માટે તમારે ફક્ત ગુણાકાર કોષ્ટક અને સંખ્યાને પાવરમાં કેવી રીતે વધારવી તે જાણવાની જરૂર પડશે...
મને લાગે છે કે તમને શંકા છે... સારું, ઠીક છે, સમય ચિહ્નિત કરો! ચાલો જઈએ!
પ્રથમ, તમારા માથામાં આ સમીકરણ ઉકેલો:
જો તમને આ સાઈટ ગમે તો...
માર્ગ દ્વારા, મારી પાસે તમારા માટે કેટલીક વધુ રસપ્રદ સાઇટ્સ છે.)
તમે ઉદાહરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને તમારું સ્તર શોધી શકો છો. ત્વરિત ચકાસણી સાથે પરીક્ષણ. ચાલો શીખીએ - રસ સાથે!)
તમે કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝથી પરિચિત થઈ શકો છો.
આધાર a માટે સંખ્યા b નો લઘુગણક એ ઘાતાંક છે કે જેના પર સંખ્યા b મેળવવા માટે સંખ્યા a ને વધારવી આવશ્યક છે.
જો, તો.
લઘુગણક - આત્યંતિક મહત્વપૂર્ણ ગાણિતિક જથ્થો, કારણ કે લઘુગણક કેલ્ક્યુલસ માત્ર ઘાતાંકીય સમીકરણોને ઉકેલવા માટે જ નહીં, પણ ઘાતાંક સાથે કામ કરવા, ઘાતાંકીય અને લઘુગણક કાર્યોને અલગ પાડવા, તેમને એકીકૃત કરવા અને ગણતરી કરવા માટે વધુ સ્વીકાર્ય સ્વરૂપ તરફ દોરી જવાની મંજૂરી આપે છે.
લઘુગણકના તમામ ગુણધર્મો ઘાતાંકીય કાર્યોના ગુણધર્મો સાથે સીધા સંબંધિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, હકીકત એ છે કે 
મતલબ કે:
એ નોંધવું જોઇએ કે ચોક્કસ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, લોગરીધમ્સના ગુણધર્મો સત્તાઓ સાથે કામ કરવાના નિયમો કરતાં વધુ મહત્વપૂર્ણ અને ઉપયોગી હોઈ શકે છે.
ચાલો કેટલીક ઓળખ રજૂ કરીએ:
અહીં મૂળભૂત બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓ છે:
;
.
ધ્યાન આપો!માત્ર x>0, x≠1, y>0 માટે અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે.
ચાલો કુદરતી લઘુગણક શું છે તે પ્રશ્નને સમજવાનો પ્રયાસ કરીએ. ગણિતમાં વિશેષ રસ બે પ્રકારનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે- પ્રથમ નંબર તેના આધાર તરીકે "10" ધરાવે છે, અને તેને "દશાંશ લઘુગણક" કહેવામાં આવે છે. બીજાને કુદરતી કહેવામાં આવે છે. કુદરતી લઘુગણકનો આધાર "e" નંબર છે. આ તે છે જેના વિશે આપણે આ લેખમાં વિગતવાર વાત કરીશું.
હોદ્દો:
- lg x - દશાંશ;
- ln x - કુદરતી.
ઓળખનો ઉપયોગ કરીને, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ln e = 1, તેમજ એ હકીકત છે કે lg 10=1.
કુદરતી લઘુગણક ગ્રાફ
ચાલો સ્ટાન્ડર્ડ ક્લાસિકલ મેથડ પોઈન્ટ બાય પોઈન્ટનો ઉપયોગ કરીને પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો ગ્રાફ બનાવીએ. જો તમે ઈચ્છો તો, તમે ફંક્શનની તપાસ કરીને તપાસ કરી શકો છો કે અમે ફંક્શનને યોગ્ય રીતે બનાવી રહ્યા છીએ કે નહીં. જો કે, લોગરીધમની યોગ્ય રીતે ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે જાણવા માટે તેને "મેન્યુઅલી" કેવી રીતે બનાવવું તે શીખવું અર્થપૂર્ણ છે.
કાર્ય: y = ln x. ચાલો પોઈન્ટ્સનું કોષ્ટક લખીએ જેના દ્વારા ગ્રાફ પસાર થશે:
ચાલો સમજાવીએ કે શા માટે આપણે દલીલ x ના આ ચોક્કસ મૂલ્યો પસંદ કર્યા. તે બધા ઓળખ વિશે છે: . કુદરતી લઘુગણક માટે આ ઓળખ આના જેવી દેખાશે:
સગવડ માટે, અમે પાંચ સંદર્ભ બિંદુઓ લઈ શકીએ છીએ:
;
;
.
;
.
આમ, કુદરતી લઘુગણકની ગણતરી કરવી એ એકદમ સરળ કાર્ય છે, વધુમાં, તે શક્તિઓ સાથેની કામગીરીની ગણતરીને સરળ બનાવે છે, તેમને ફેરવે છે સામાન્ય ગુણાકાર.
પોઈન્ટ દ્વારા ગ્રાફ પોઈન્ટનું કાવતરું કરીને, અમને અંદાજિત ગ્રાફ મળે છે:
પ્રાકૃતિક લઘુગણકની વ્યાખ્યાનું ડોમેન (એટલે કે, દલીલ Xના તમામ માન્ય મૂલ્યો) શૂન્ય કરતા મોટી સંખ્યાઓ છે.
ધ્યાન આપો!પ્રાકૃતિક લઘુગણકની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાં માત્ર હકારાત્મક સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે! વ્યાખ્યાના અવકાશમાં x=0 નો સમાવેશ થતો નથી. લઘુગણકના અસ્તિત્વ માટેની શરતોના આધારે આ અશક્ય છે.
મૂલ્યોની શ્રેણી (એટલે કે ફંક્શન y = ln xના તમામ માન્ય મૂલ્યો) એ અંતરાલની બધી સંખ્યાઓ છે.
કુદરતી લોગ મર્યાદા
આલેખનો અભ્યાસ કરતાં, પ્રશ્ન ઊભો થાય છે - કાર્ય y પર કેવી રીતે વર્તે છે<0.
દેખીતી રીતે, ફંક્શનનો ગ્રાફ y-અક્ષને પાર કરે છે, પરંતુ તે આ કરી શકશે નહીં, કારણ કે x નો કુદરતી લઘુગણક<0 не существует.
કુદરતી મર્યાદા લોગઆ રીતે લખી શકાય છે:
લઘુગણકના આધારને બદલવા માટેનું સૂત્ર
પ્રાકૃતિક લઘુગણક સાથે વ્યવહાર કરવો એ લોગરીધમ સાથે વ્યવહાર કરતાં વધુ સરળ છે જેમાં મનસ્વી આધાર હોય છે. તેથી જ આપણે કોઈપણ લઘુગણકને કુદરતીમાં કેવી રીતે ઘટાડવું, અથવા કુદરતી લઘુગણક દ્વારા તેને મનસ્વી આધારમાં કેવી રીતે વ્યક્ત કરવું તે શીખવાનો પ્રયત્ન કરીશું.
ચાલો લઘુગણક ઓળખથી શરૂઆત કરીએ:
પછી કોઈપણ સંખ્યા અથવા ચલ y ને આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે:
જ્યાં x એ કોઈપણ સંખ્યા છે (લોગરિધમના ગુણધર્મો અનુસાર હકારાત્મક).
આ અભિવ્યક્તિને લોગરીધમિક રીતે બંને બાજુએ લઈ શકાય છે. ચાલો આ મનસ્વી આધાર z નો ઉપયોગ કરીને કરીએ:
ચાલો ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ (ફક્ત “c” ને બદલે આપણી પાસે અભિવ્યક્તિ છે):
અહીંથી આપણને સાર્વત્રિક સૂત્ર મળે છે:
.
ખાસ કરીને, જો z=e, તો:
.
અમે બે કુદરતી લઘુગણકના ગુણોત્તર દ્વારા લઘુગણકને મનસ્વી આધારમાં રજૂ કરવામાં સક્ષમ હતા.
અમે સમસ્યાઓ હલ કરીએ છીએ
કુદરતી લઘુગણકને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, ચાલો કેટલીક સમસ્યાઓના ઉદાહરણો જોઈએ.
સમસ્યા 1. ln x = 3 સમીકરણ હલ કરવું જરૂરી છે.
ઉકેલ:લઘુગણકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને: જો , પછી , આપણને મળે છે:
સમસ્યા 2. સમીકરણ (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 ઉકેલો.
ઉકેલ: લઘુગણકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને: જો , પછી , આપણને મળે છે:
.
ચાલો લોગરીધમની વ્યાખ્યાનો ફરીથી ઉપયોગ કરીએ:
.
આમ:
.
તમે અંદાજે જવાબની ગણતરી કરી શકો છો, અથવા તમે તેને આ ફોર્મમાં છોડી શકો છો.
કાર્ય 3.સમીકરણ ઉકેલો.
ઉકેલ:ચાલો એક અવેજી બનાવીએ: t = ln x. પછી સમીકરણ નીચેનું સ્વરૂપ લેશે:
.
આપણી પાસે ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે. ચાલો તેના ભેદભાવ શોધીએ:
સમીકરણનું પ્રથમ મૂળ:
.
સમીકરણનું બીજું મૂળ:
.
યાદ રાખીને કે અમે અવેજી t = ln x બનાવી છે, અમને મળે છે:
આંકડા અને સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, લઘુગણકની માત્રા ઘણી વાર જોવા મળે છે. આ આશ્ચર્યજનક નથી, કારણ કે સંખ્યા e ઘણીવાર ઘાતાંકીય જથ્થાના વિકાસ દરને પ્રતિબિંબિત કરે છે.
કોમ્પ્યુટર સાયન્સ, પ્રોગ્રામિંગ અને કોમ્પ્યુટર થિયરીમાં, લોગરીધમ્સ ઘણી વાર જોવા મળે છે, ઉદાહરણ તરીકે, મેમરીમાં N બિટ્સ સ્ટોર કરવા માટે.
ફ્રેકટલ્સ અને પરિમાણોના સિદ્ધાંતોમાં, લઘુગણકનો સતત ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, કારણ કે ફ્રેકટલ્સના પરિમાણો ફક્ત તેમની મદદથી જ નક્કી કરવામાં આવે છે.
મિકેનિક્સ અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાંએવો કોઈ વિભાગ નથી કે જ્યાં લઘુગણકનો ઉપયોગ ન થયો હોય. બેરોમેટ્રિક વિતરણ, આંકડાકીય થર્મોડાયનેમિક્સના તમામ સિદ્ધાંતો, ત્સિઓલકોવ્સ્કી સમીકરણ, વગેરે એવી પ્રક્રિયાઓ છે જેનું ગાણિતિક રીતે માત્ર લઘુગણકનો ઉપયોગ કરીને વર્ણન કરી શકાય છે.
રસાયણશાસ્ત્રમાં, નર્ન્સ્ટ સમીકરણો અને રેડોક્સ પ્રક્રિયાઓના વર્ણનમાં લઘુગણકનો ઉપયોગ થાય છે.
આશ્ચર્યજનક રીતે, સંગીતમાં પણ, ઓક્ટેવના ભાગોની સંખ્યા શોધવા માટે, લઘુગણકનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
કુદરતી લઘુગણક કાર્ય y=ln x તેના ગુણધર્મો
કુદરતી લઘુગણકની મુખ્ય મિલકતનો પુરાવો
તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.
વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ
વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.
જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.
અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.
અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:
- જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.
અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:
- અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
- સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
- અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
- જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત
અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.
અપવાદો:
- જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા રશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશમાં સરકારી સત્તાવાળાઓની જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા માટે. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
- પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.
વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ
અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.
કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો
તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.
ઘણીવાર નંબર લો ઇ = 2,718281828 . આ આધાર પર આધારિત લઘુગણક કહેવાય છે કુદરતી. કુદરતી લઘુગણક સાથે ગણતરીઓ કરતી વખતે, ચિહ્ન સાથે કામ કરવું સામાન્ય છે ln, નહીં લોગ; જ્યારે નંબર 2,718281828 , આધાર વ્યાખ્યાયિત, સૂચવવામાં નથી.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ફોર્મ્યુલેશન આના જેવું દેખાશે: કુદરતી લઘુગણકસંખ્યાઓ એક્સ- આ એક ઘાતાંક છે જેના પર સંખ્યા વધારવી આવશ્યક છે ઇમેળવવા માટે x.
તેથી, ln(7,389...)= 2, ત્યારથી ઇ 2 =7,389... . સંખ્યાનો જ કુદરતી લઘુગણક ઇ= 1 કારણ કે ઇ 1 =ઇ, અને એકતાનો કુદરતી લઘુગણક શૂન્ય છે, ત્યારથી ઇ 0 = 1.
નંબર પોતે ઇમોનોટોનિક બાઉન્ડેડ ક્રમની મર્યાદા વ્યાખ્યાયિત કરે છે
તેની ગણતરી કરી ઇ = 2,7182818284... .
ઘણી વાર, મેમરીમાં સંખ્યાને ઠીક કરવા માટે, જરૂરી સંખ્યાના અંકો કેટલીક બાકી તારીખ સાથે સંકળાયેલા હોય છે. સંખ્યાના પ્રથમ નવ અંકોને યાદ રાખવાની ઝડપ ઇજો તમે જોશો કે 1828 એ લીઓ ટોલ્સટોયના જન્મનું વર્ષ છે તો દશાંશ બિંદુ પછી વધશે!
આજે કુદરતી લઘુગણકના તદ્દન સંપૂર્ણ કોષ્ટકો છે.
કુદરતી લઘુગણક ગ્રાફ(કાર્યો y =ln x) ઘાતાંક ગ્રાફ સીધી રેખાની અરીસાની છબી હોવાનું પરિણામ છે y = xઅને ફોર્મ ધરાવે છે:
દરેક હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે કુદરતી લઘુગણક શોધી શકાય છે aવળાંક હેઠળના વિસ્તાર તરીકે y = 1/xથી 1 થી a.
આ ફોર્મ્યુલેશનની પ્રાથમિક પ્રકૃતિ, જે અન્ય ઘણા સૂત્રો સાથે સુસંગત છે જેમાં કુદરતી લઘુગણક સામેલ છે, તે "કુદરતી" નામની રચનાનું કારણ હતું.
જો તમે વિશ્લેષણ કરો કુદરતી લઘુગણક, વાસ્તવિક ચલના વાસ્તવિક કાર્ય તરીકે, પછી તે કાર્ય કરે છે વ્યસ્ત કાર્યઘાતાંકીય કાર્ય માટે, જે ઓળખમાં ઘટાડો કરે છે:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
તમામ લઘુગણક સાથે સામ્યતા દ્વારા, કુદરતી લઘુગણક ગુણાકારને વધારામાં, વિભાજનને બાદબાકીમાં રૂપાંતરિત કરે છે:
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln(x/y)= lnx - lny
લઘુગણક દરેક હકારાત્મક આધાર માટે શોધી શકાય છે જે એક સમાન નથી, માત્ર માટે જ નહીં ઇ, પરંતુ અન્ય પાયા માટે લઘુગણક માત્ર એક સ્થિર પરિબળ દ્વારા કુદરતી લઘુગણકથી અલગ પડે છે, અને સામાન્ય રીતે પ્રાકૃતિક લઘુગણકના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વિશ્લેષણ કર્યા કુદરતી લઘુગણક ગ્રાફ,અમે શોધીએ છીએ કે તે ચલના હકારાત્મક મૂલ્યો માટે અસ્તિત્વમાં છે x. તે તેની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં એકવિધ રીતે વધે છે.
મુ x → 0 કુદરતી લઘુગણકની મર્યાદા માઈનસ અનંત છે ( -∞ .એટ x → +∞ કુદરતી લઘુગણકની મર્યાદા વત્તા અનંત છે ( + ∞ ). મોટા પ્રમાણમાં xલઘુગણક ખૂબ ધીમેથી વધે છે. કોઈપણ પાવર કાર્ય xaહકારાત્મક ઘાતાંક સાથે aલઘુગણક કરતાં વધુ ઝડપથી વધે છે. પ્રાકૃતિક લઘુગણક એ એકવિધ રીતે વધતું કાર્ય છે, તેથી તેની કોઈ સીમા નથી.
ઉપયોગ કુદરતી લઘુગણકઉચ્ચ ગણિત પાસ કરતી વખતે ખૂબ જ તર્કસંગત. આમ, લોગરીધમનો ઉપયોગ એ સમીકરણોના જવાબ શોધવા માટે અનુકૂળ છે જેમાં અજ્ઞાત ઘાતાંક તરીકે દેખાય છે. ગણતરીમાં કુદરતી લઘુગણકનો ઉપયોગ મોટી સંખ્યામાં ગાણિતિક સૂત્રોને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવવાનું શક્ય બનાવે છે. આધાર માટે લઘુગણક ઇ નોંધપાત્ર સંખ્યામાં ભૌતિક સમસ્યાઓ હલ કરવામાં હાજર છે અને વ્યક્તિગત રાસાયણિક, જૈવિક અને અન્ય પ્રક્રિયાઓના ગાણિતિક વર્ણનમાં કુદરતી રીતે શામેલ છે. આમ, લોગરીધમનો ઉપયોગ જાણીતી અર્ધ-જીવન માટે ક્ષીણ સ્થિરાંકની ગણતરી કરવા અથવા કિરણોત્સર્ગીતાની સમસ્યાઓના ઉકેલમાં સડો સમયની ગણતરી કરવા માટે થાય છે. તેઓ ગણિત અને પ્રાયોગિક વિજ્ઞાનના ઘણા ક્ષેત્રોમાં અગ્રણી ભૂમિકા ભજવે છે; તેઓનો ઉપયોગ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી સહિત મોટી સંખ્યામાં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે થાય છે.
લઘુગણકઆપેલ સંખ્યાને ઘાતક કહેવાય છે કે જેના પર બીજી સંખ્યા ઊભી કરવી જોઈએ, કહેવાય છે આધારઆ નંબર મેળવવા માટે લઘુગણક. ઉદાહરણ તરીકે, 100 નો આધાર 10 લઘુગણક 2 છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, 100 (10 2 = 100) મેળવવા માટે 10 નો વર્ગ હોવો જોઈએ. જો n- આપેલ નંબર, b- આધાર અને l- લોગરીધમ, પછી b l = n. નંબર nબેઝ એન્ટિલોગરિધમ પણ કહેવાય છે bસંખ્યાઓ l. ઉદાહરણ તરીકે, 2 થી બેઝ 10 ની એન્ટિલોગરિધમ 100 ની બરાબર છે. આને સંબંધોના લોગના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે. b n = lઅને એન્ટિલોગ b l = n.
લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો:
એક સિવાયની કોઈપણ સકારાત્મક સંખ્યા લઘુગણક માટે આધાર તરીકે સેવા આપી શકે છે, પરંતુ કમનસીબે તે તારણ આપે છે કે જો bઅને nતર્કસંગત સંખ્યાઓ છે, તો પછી ભાગ્યે જ કિસ્સાઓમાં આવી તર્કસંગત સંખ્યા હોય છે l, શું b l = n. જો કે, અતાર્કિક સંખ્યાને વ્યાખ્યાયિત કરવી શક્ય છે l, ઉદાહરણ તરીકે, જેમ કે 10 l= 2; આ એક અતાર્કિક સંખ્યા છે lતર્કસંગત સંખ્યાઓ દ્વારા કોઈપણ જરૂરી ચોકસાઈ સાથે અંદાજિત કરી શકાય છે. તે ઉપરના ઉદાહરણમાં તારણ આપે છે lલગભગ 0.3010 ની બરાબર છે, અને 2 ના આધાર 10 લઘુગણકનો આ અંદાજ દશાંશ લઘુગણકના ચાર-અંકના કોષ્ટકોમાં મળી શકે છે. બેઝ 10 લોગરીધમ્સ (અથવા બેઝ 10 લોગરીધમ્સ) એટલો સામાન્ય રીતે ગણતરીમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે કે તેને કહેવામાં આવે છે સામાન્યલોગરીધમ અને લોગરીધમ આધારના સ્પષ્ટ સંકેતને બાદ કરતાં, log2 = 0.3010 અથવા log2 = 0.3010 તરીકે લખાયેલ છે. આધાર માટે લઘુગણક ઇ, લગભગ 2.71828 ની બરાબર એક ગુણાતીત સંખ્યા કહેવાય છે કુદરતીલઘુગણક તેઓ મુખ્યત્વે ગાણિતિક પૃથ્થકરણ અને વિવિધ વિજ્ઞાનમાં તેના ઉપયોગ પરના કાર્યોમાં જોવા મળે છે. પ્રાકૃતિક લઘુગણક પણ આધારને સ્પષ્ટપણે દર્શાવ્યા વિના લખવામાં આવે છે, પરંતુ વિશિષ્ટ સંકેત ln નો ઉપયોગ કરીને: ઉદાહરણ તરીકે, ln2 = 0.6931, કારણ કે ઇ 0,6931 = 2.
સામાન્ય લઘુગણકના કોષ્ટકોનો ઉપયોગ.
સંખ્યાનો નિયમિત લઘુગણક એ એક ઘાતાંક છે જેના પર આપેલ સંખ્યા મેળવવા માટે 10 વધારવો આવશ્યક છે. 10 0 = 1, 10 1 = 10 અને 10 2 = 100 હોવાથી, આપણે તરત જ તે log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, વગેરે મેળવીએ છીએ. પૂર્ણાંક શક્તિઓ વધારવા માટે 10. તેવી જ રીતે, 10 –1 = 0.1, 10 –2 = 0.01 અને તેથી log0.1 = –1, log0.01 = –2, વગેરે. તમામ નકારાત્મક પૂર્ણાંક શક્તિઓ માટે 10. બાકીની સંખ્યાઓના સામાન્ય લઘુગણક 10 ની નજીકની પૂર્ણાંક શક્તિઓના લઘુગણક વચ્ચે બંધાયેલ છે; log2 0 અને 1 ની વચ્ચે હોવો જોઈએ, log20 1 અને 2 ની વચ્ચે હોવો જોઈએ, અને log0.2 -1 અને 0 ની વચ્ચે હોવો જોઈએ. આમ, લોગરિધમ બે ભાગો ધરાવે છે, એક પૂર્ણાંક અને દશાંશ, 0 અને 1 ની વચ્ચે બંધાયેલ છે. પૂર્ણાંક ભાગ કહેવાય છે લાક્ષણિકતાલઘુગણક અને સંખ્યા દ્વારા જ નિર્ધારિત થાય છે, અપૂર્ણાંક ભાગ કહેવાય છે મન્ટિસાઅને કોષ્ટકોમાંથી શોધી શકાય છે. ઉપરાંત, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. 2 નો લઘુગણક 0.3010 છે, તેથી log20 = 0.3010 + 1 = 1.3010. તેવી જ રીતે, log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. બાદબાકી પછી, આપણને log0.2 = – 0.6990 મળે છે. જો કે, લોગ0.2 ને 0.3010 – 1 અથવા 9.3010 – 10 તરીકે રજૂ કરવું વધુ અનુકૂળ છે; એક સામાન્ય નિયમ પણ ઘડી શકાય છે: આપેલ સંખ્યામાંથી 10 ની ઘાત વડે ગુણાકાર કરીને મેળવેલી બધી સંખ્યાઓ આપેલ સંખ્યાના મેન્ટિસા જેટલી સમાન મેન્ટિસા ધરાવે છે. મોટા ભાગના કોષ્ટકો 1 થી 10 ની રેન્જમાં સંખ્યાઓના મન્ટિસા દર્શાવે છે, કારણ કે કોષ્ટકમાં આપેલ સંખ્યાઓમાંથી અન્ય તમામ સંખ્યાઓના મન્ટિસાસ મેળવી શકાય છે.
મોટા ભાગના કોષ્ટકો ચાર અથવા પાંચ દશાંશ સ્થાનો સાથે લઘુગણક આપે છે, જો કે સાત-અંકના કોષ્ટકો અને તેનાથી પણ વધુ દશાંશ સ્થાનો સાથે કોષ્ટકો છે. આવા કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે શીખવાની સૌથી સરળ રીત ઉદાહરણો સાથે છે. લોગ 3.59 શોધવા માટે, સૌ પ્રથમ, અમે નોંધીએ છીએ કે 3.59 નંબર 10 0 અને 10 1 ની વચ્ચે સમાયેલ છે, તેથી તેની લાક્ષણિકતા 0 છે. અમને કોષ્ટકમાં 35 નંબર (ડાબી બાજુએ) મળે છે અને પંક્તિ સાથે આગળ વધીએ છીએ કૉલમ કે જેની ટોચ પર 9 નંબર છે; આ કૉલમ અને પંક્તિ 35 નું આંતરછેદ 5551 છે, તેથી log3.59 = 0.5551. ચાર નોંધપાત્ર અંકોવાળી સંખ્યાની મેન્ટિસા શોધવા માટે, તમારે પ્રક્ષેપણનો ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે. કેટલાક કોષ્ટકોમાં, કોષ્ટકોના દરેક પૃષ્ઠની જમણી બાજુએ છેલ્લી નવ કૉલમમાં આપેલા પ્રમાણ દ્વારા પ્રક્ષેપને સરળ બનાવવામાં આવે છે. ચાલો હવે log736.4 શોધીએ; 736.4 નંબર 10 2 અને 10 3 ની વચ્ચે આવેલો છે, તેથી તેના લઘુગણકની લાક્ષણિકતા 2 છે. કોષ્ટકમાં આપણે ડાબી બાજુએ એક પંક્તિ શોધીએ છીએ જેમાં 73 છે અને કૉલમ 6 છે. આ પંક્તિ અને આ કૉલમના આંતરછેદ પર છે. નંબર 8669. રેખીય ભાગોમાં આપણે સ્તંભ 4 શોધીએ છીએ પંક્તિ 73 અને કૉલમ 4 ના આંતરછેદ પર નંબર 2 છે. 2 માં 8669 ઉમેરીને, આપણને મન્ટિસા મળે છે - તે 8671 ની બરાબર છે. આમ, log736.4. = 2.8671.
કુદરતી લઘુગણક.
કુદરતી લઘુગણકના કોષ્ટકો અને ગુણધર્મો સામાન્ય લઘુગણકના કોષ્ટકો અને ગુણધર્મો જેવા જ છે. બંને વચ્ચેનો મુખ્ય તફાવત એ છે કે કુદરતી લઘુગણકનો પૂર્ણાંક ભાગ દશાંશ બિંદુની સ્થિતિ નક્કી કરવામાં નોંધપાત્ર નથી, અને તેથી મન્ટિસા અને લાક્ષણિકતા વચ્ચેનો તફાવત ખાસ ભૂમિકા ભજવતો નથી. સંખ્યા 5.432 ના કુદરતી લઘુગણક; 54.32 અને 543.2 અનુક્રમે 1.6923 ની બરાબર છે; 3.9949 અને 6.2975. જો આપણે તેમની વચ્ચેના તફાવતોને ધ્યાનમાં લઈએ તો આ લઘુગણક વચ્ચેનો સંબંધ સ્પષ્ટ થઈ જશે: log543.2 – log54.32 = 6.2975 – 3.9949 = 2.3026; છેલ્લી સંખ્યા 10 નંબરના કુદરતી લઘુગણક કરતાં વધુ કંઈ નથી (આના જેવું લખાયેલું છે: ln10); log543.2 – log5.432 = 4.6052; છેલ્લો નંબર 2ln10 છે. પરંતુ 543.2 = 10ґ54.32 = 10 2ґ5.432. આમ, આપેલ સંખ્યાના કુદરતી લઘુગણક દ્વારા aતમે સંખ્યાના ઉત્પાદનોની સમાન સંખ્યાઓના કુદરતી લઘુગણક શોધી શકો છો aકોઈપણ ડિગ્રી માટે nસંખ્યા 10 જો ln a ln10 વડે ગુણાકાર ઉમેરો n, એટલે કે ln( aґ10n) = લોગ a + n ln10 = ln a + 2,3026n. ઉદાહરણ તરીકે, ln0.005432 = ln(5.432ґ10 –3) = ln5.432 – 3ln10 = 1.6923 – (3ґ2.3026) = – 5.2155. તેથી, પ્રાકૃતિક લઘુગણકના કોષ્ટકો, સામાન્ય લઘુગણકના કોષ્ટકોની જેમ, સામાન્ય રીતે 1 થી 10 સુધીની સંખ્યાઓના માત્ર લઘુગણક ધરાવે છે. કુદરતી લઘુગણકની સિસ્ટમમાં, વ્યક્તિ એન્ટિલોગરિધમ્સ વિશે વાત કરી શકે છે, પરંતુ વધુ વખત તેઓ ઘાતાંકીય કાર્ય અથવા ઘાતાંક વિશે વાત કરે છે. જો x= લોગ y, તે y = e x, અને yના ઘાત કહેવાય છે x(ટાઇપોગ્રાફિક સગવડ માટે, તેઓ વારંવાર લખે છે y= સમાપ્તિ x). ઘાતાંક સંખ્યાના એન્ટિલોગરિધમની ભૂમિકા ભજવે છે x.
દશાંશ અને કુદરતી લઘુગણકના કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને, તમે 10 સિવાયના કોઈપણ આધારમાં લઘુગણકના કોષ્ટકો બનાવી શકો છો અને ઇ. જો લોગ b એ = x, તે b x = a, અને તેથી લોગ c b x=લોગ c એઅથવા xલોગ c b=લોગ c એ, અથવા x=લોગ c એ/લોગ c b=લોગ b એ. તેથી, બેઝ લોગરીધમ કોષ્ટકમાંથી આ વ્યુત્ક્રમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને cતમે અન્ય કોઈપણ આધારમાં લઘુગણકના કોષ્ટકો બનાવી શકો છો b. ગુણક 1/લોગ c bકહેવાય છે સંક્રમણ મોડ્યુલઆધાર પરથી cઆધાર માટે b. કંઈપણ અટકાવતું નથી, ઉદાહરણ તરીકે, વ્યુત્ક્રમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અથવા લઘુગણકની એક સિસ્ટમમાંથી બીજી સિસ્ટમમાં સંક્રમણ, સામાન્ય લઘુગણકના કોષ્ટકમાંથી કુદરતી લઘુગણક શોધવા અથવા વિપરીત સંક્રમણ કરવામાં. ઉદાહરણ તરીકે, log105.432 = log ઇ 5.432/લોગ ઇ 10 = 1.6923/2.3026 = 1.6923ґ0.4343 = 0.7350. સંખ્યા 0.4343, જેના દ્વારા સામાન્ય લઘુગણક મેળવવા માટે આપેલ સંખ્યાના કુદરતી લઘુગણકને ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે, તે સામાન્ય લઘુગણકની સિસ્ટમમાં સંક્રમણનું મોડ્યુલસ છે.
ખાસ કોષ્ટકો.
લોગરીધમ્સની મૂળ શોધ કરવામાં આવી હતી જેથી, તેમના ગુણધર્મો લોગનો ઉપયોગ કરીને ab=લોગ a+ લોગ bઅને લોગ a/b=લોગ a- લોગ b, ઉત્પાદનોને સરવાળો અને ભાગને તફાવતમાં ફેરવો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો લોગ aઅને લોગ bઓળખાય છે, પછી સરવાળા અને બાદબાકીનો ઉપયોગ કરીને આપણે ઉત્પાદન અને ભાગનો લઘુગણક સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ. ખગોળશાસ્ત્રમાં, જો કે, ઘણીવાર લોગના મૂલ્યો આપવામાં આવે છે aઅને લોગ bલોગ શોધવાની જરૂર છે( a + b) અથવા લોગ( a – b). અલબત્ત, સૌ પ્રથમ લોગરીધમના કોષ્ટકોમાંથી શોધી શકાય છે aઅને b, પછી સૂચવેલ સરવાળો અથવા બાદબાકી કરો અને, ફરીથી કોષ્ટકો તરફ વળો, જરૂરી લઘુગણક શોધો, પરંતુ આવી પ્રક્રિયા માટે ત્રણ વખત કોષ્ટકોનો સંદર્ભ લેવાની જરૂર પડશે. ઝેડ. લિયોનેલીએ 1802 માં કહેવાતા કોષ્ટકો પ્રકાશિત કર્યા. ગૌસિયન લઘુગણક- સરવાળો અને તફાવતો ઉમેરવા માટે લઘુગણક - જેણે પોતાને કોષ્ટકોની એક ઍક્સેસ સુધી મર્યાદિત કરવાનું શક્ય બનાવ્યું.
1624 માં, I. કેપ્લરે પ્રમાણસર લઘુગણકના કોષ્ટકોની દરખાસ્ત કરી, એટલે કે. સંખ્યાઓના લઘુગણક a/x, ક્યાં a- કેટલાક હકારાત્મક સ્થિર મૂલ્ય. આ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે ખગોળશાસ્ત્રીઓ અને નેવિગેટર્સ દ્વારા કરવામાં આવે છે.
પર પ્રમાણસર લઘુગણક a= 1 કહેવાય છે લઘુગણક દ્વારાઅને તેનો ઉપયોગ ગણતરીમાં થાય છે જ્યારે કોઈને ઉત્પાદનો અને ક્વોશન્ટ્સ સાથે વ્યવહાર કરવો પડે છે. સંખ્યાનું કોલોગરિધમ nપારસ્પરિક સંખ્યાના લઘુગણકની સમાન; તે કોલોગ n= લોગ1/ n= – લોગ n. જો log2 = 0.3010 હોય, તો colog2 = – 0.3010 = 0.6990 – 1. કોલોગરિધમનો ઉપયોગ કરવાનો ફાયદો એ છે કે જ્યારે સમીકરણોના લઘુગણકની કિંમતની ગણતરી કરવામાં આવે છે જેમ કે pq/આરધન દશાંશ લૉગનો ત્રણ ગણો સરવાળો પી+ લોગ q+કોલોગ આરમિશ્ર સરવાળો અને તફાવત લોગ કરતાં શોધવાનું સરળ છે પી+ લોગ q- લોગ આર.
વાર્તા.
લઘુગણકની કોઈપણ પ્રણાલી અંતર્ગત સિદ્ધાંત ઘણા લાંબા સમયથી જાણીતો છે અને તે પ્રાચીન બેબીલોનીયન ગણિત (લગભગ 2000 બીસી)માં શોધી શકાય છે. તે દિવસોમાં, ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરી કરવા માટે પૂર્ણાંકોની હકારાત્મક પૂર્ણાંક શક્તિઓના કોષ્ટક મૂલ્યો વચ્ચેના પ્રક્ષેપનો ઉપયોગ કરવામાં આવતો હતો. ઘણા સમય પછી, આર્કિમિડીઝ (287-212 બીસી) એ તત્કાલીન જાણીતા બ્રહ્માંડને સંપૂર્ણ રીતે ભરવા માટે જરૂરી રેતીના દાણાઓની સંખ્યાની ઉપરની મર્યાદા શોધવા માટે 108 ની શક્તિઓનો ઉપયોગ કર્યો. આર્કિમીડીસે ઘાતાંકની મિલકત તરફ ધ્યાન દોર્યું જે લઘુગણકની અસરકારકતા ધરાવે છે: શક્તિઓનું ઉત્પાદન ઘાતાંકના સરવાળાને અનુરૂપ છે. મધ્ય યુગના અંતમાં અને આધુનિક યુગની શરૂઆતમાં, ગણિતશાસ્ત્રીઓ વધુને વધુ ભૌમિતિક અને અંકગણિત પ્રગતિ વચ્ચેના સંબંધ તરફ વળવા લાગ્યા. એમ. સ્ટીફેલ તેમના નિબંધમાં પૂર્ણાંક અંકગણિત(1544) નંબર 2 ની હકારાત્મક અને નકારાત્મક શક્તિઓનું કોષ્ટક આપ્યું:
સ્ટીફેલે નોંધ્યું કે પ્રથમ પંક્તિ (ઘાતાક પંક્તિ) ની બે સંખ્યાઓનો સરવાળો નીચેની પંક્તિ (ઘાતાક પંક્તિ) ની બે અનુરૂપ સંખ્યાઓના ગુણાંકને અનુરૂપ બેના ઘાતાંક જેટલો છે. આ કોષ્ટકના સંબંધમાં, સ્ટીફેલે ઘાતાંક પરની કામગીરી માટેના ચાર આધુનિક નિયમો અથવા લઘુગણક પરની કામગીરી માટેના ચાર નિયમોની સમકક્ષ ચાર નિયમો ઘડ્યા: ટોચની લાઇન પરનો સરવાળો નીચેની લાઇન પરના ઉત્પાદનને અનુરૂપ છે; ટોચની લીટી પર બાદબાકી નીચેની લીટી પરના વિભાજનને અનુરૂપ છે; ટોચની લીટી પર ગુણાકાર નીચેની લીટી પરના ઘાતાંકને અનુલક્ષે છે; ટોચની લાઇન પરનું વિભાજન નીચેની લાઇન પરના મૂળને અનુલક્ષે છે.
દેખીતી રીતે, સ્ટીફેલના નિયમો જેવા જ નિયમો જે. નેપરને તેમના કાર્યમાં ઔપચારિક રીતે લઘુગણકની પ્રથમ સિસ્ટમ રજૂ કરવા તરફ દોરી ગયા. લઘુગણકના અદ્ભુત કોષ્ટકનું વર્ણન, 1614 માં પ્રકાશિત થયું હતું. પરંતુ નેપિયરના વિચારો ઉત્પાદનોને સરવાળોમાં રૂપાંતરિત કરવાની સમસ્યા સાથે સંકળાયેલા હતા ત્યારથી, તેમના કાર્યના પ્રકાશનના દસ કરતાં વધુ વર્ષ પહેલાં, નેપિયરને ડેનમાર્કથી સમાચાર મળ્યા કે ટાઈકો બ્રાહે ઓબ્ઝર્વેટરીમાં તેમના સહાયકોએ એક પદ્ધતિ બનાવી હતી. ઉત્પાદનોને રકમમાં રૂપાંતરિત કરવું શક્ય છે. નેપિયરને મળેલા સંદેશમાં ચર્ચા કરવામાં આવેલ પદ્ધતિ જેમ કે ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોના ઉપયોગ પર આધારિત હતી
તેથી નેપરના કોષ્ટકોમાં મુખ્યત્વે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના લઘુગણકનો સમાવેશ થતો હતો. નેપિયર દ્વારા પ્રસ્તાવિત વ્યાખ્યામાં આધારની વિભાવના સ્પષ્ટપણે સામેલ ન હોવા છતાં, તેમની સિસ્ટમમાં લઘુગણકની સિસ્ટમના આધારની સમકક્ષ ભૂમિકા નંબર (1 – 10 –7)ґ10 7 દ્વારા ભજવવામાં આવી હતી, જે લગભગ 1/ ની બરાબર હતી. ઇ.
નેપરથી સ્વતંત્ર રીતે અને તેની સાથે લગભગ એક જ સમયે, લોગરીધમ્સની એક સિસ્ટમ, જે પ્રકારમાં એકદમ સમાન છે, તેની શોધ અને પ્રાગમાં જે. બર્ગી દ્વારા કરવામાં આવી હતી, જે 1620માં પ્રકાશિત થઈ હતી. અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ કોષ્ટકો. આ બેઝ (1 + 10 –4) ґ10 4 માટે એન્ટિલોગરિધમ્સના કોષ્ટકો હતા, જે સંખ્યાનો એકદમ સારો અંદાજ છે ઇ.
નેપર સિસ્ટમમાં, સંખ્યા 10 7 ના લઘુગણકને શૂન્ય માનવામાં આવતું હતું, અને જેમ જેમ સંખ્યામાં ઘટાડો થતો ગયો તેમ તેમ લઘુગણકમાં વધારો થતો ગયો. જ્યારે જી. બ્રિગ્સ (1561-1631) નેપિયરની મુલાકાતે ગયા, ત્યારે બંને સંમત થયા કે 10 નંબરનો આધાર તરીકે ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ રહેશે અને એકના લઘુગણકને શૂન્ય ગણવું. પછી, જેમ જેમ સંખ્યા વધશે તેમ તેમ તેમના લઘુગણકમાં વધારો થશે. આમ અમે દશાંશ લઘુગણકની આધુનિક સિસ્ટમ મેળવી, જેનું કોષ્ટક બ્રિગ્સે તેમના કાર્યમાં પ્રકાશિત કર્યું હતું. લઘુગણક અંકગણિત(1620). આધાર માટે લઘુગણક ઇ, જો કે નેપર દ્વારા રજૂ કરાયેલ બરાબર નથી, ઘણીવાર નેપર્સ કહેવાય છે. બ્રિગ્સ દ્વારા "લાક્ષણિકતા" અને "મન્ટિસા" શબ્દોની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી.
પ્રથમ લઘુગણક, ઐતિહાસિક કારણોસર, સંખ્યાઓ 1/ માટે અંદાજનો ઉપયોગ કરે છે. ઇઅને ઇ. થોડા અંશે પછી, કુદરતી લઘુગણકનો વિચાર હાયપરબોલા હેઠળના વિસ્તારોના અભ્યાસ સાથે સંકળાયેલો થવા લાગ્યો. xy= 1 (ફિગ. 1). 17મી સદીમાં તે દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે આ વળાંક, ધરી દ્વારા બંધાયેલ વિસ્તાર xઅને ઓર્ડિનેટ કરે છે x= 1 અને x = a(ફિગ. 1 માં આ વિસ્તાર ઘાટા અને છૂટાછવાયા બિંદુઓથી ઢંકાયેલો છે) અંકગણિતની પ્રગતિમાં વધારો થાય છે જ્યારે aઝડપથી વધે છે. તે ચોક્કસપણે આ અવલંબન છે જે ઘાતાંક અને લઘુગણક સાથેની કામગીરી માટેના નિયમોમાં ઉદ્ભવે છે. આનાથી નેપેરિયન લઘુગણકને "હાયપરબોલિક લોગરીધમ્સ" કહેવાનો જન્મ થયો.
લઘુગણક કાર્ય.
એક સમય એવો હતો જ્યારે લઘુગણકને માત્ર ગણતરીના સાધન તરીકે ગણવામાં આવતું હતું, પરંતુ 18મી સદીમાં, મુખ્યત્વે યુલરના કાર્યને આભારી, લઘુગણક કાર્યની વિભાવનાની રચના થઈ. આવા કાર્યનો આલેખ y= લોગ x, જેની ઓર્ડિનેટ્સ અંકગણિત પ્રગતિમાં વધે છે, જ્યારે ભૌમિતિક પ્રગતિમાં એબ્સિસાસ વધે છે, તે ફિગમાં રજૂ કરવામાં આવ્યું છે. 2, એ. વ્યસ્ત અથવા ઘાતાંકીય કાર્યનો આલેખ y = e x, જેની ઓર્ડિનેટ્સ ભૌમિતિક પ્રગતિમાં વધારો કરે છે, અને જેની અંકગણિત પ્રગતિમાં એબ્સિસિસ વધે છે, તે અનુક્રમે, ફિગમાં પ્રસ્તુત છે. 2, b. (વળાંક y=લોગ xઅને y = 10xઆકારમાં વણાંકો સમાન y= લોગ xઅને y = e x.) લઘુગણક કાર્યની વૈકલ્પિક વ્યાખ્યાઓ પણ પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી છે, ઉદાહરણ તરીકે,
kpi; અને, એ જ રીતે, નંબર -1 ના પ્રાકૃતિક લઘુગણક એ ફોર્મની જટિલ સંખ્યાઓ છે (2 k + 1)pi, ક્યાં k- પૂર્ણાંક. સમાન વિધાન સામાન્ય લઘુગણક અથવા લઘુગણકની અન્ય સિસ્ટમો માટે સાચા છે. વધુમાં, જટિલ સંખ્યાઓના જટિલ લઘુગણકને સમાવવા માટે યુલરની ઓળખનો ઉપયોગ કરીને લઘુગણકની વ્યાખ્યાને સામાન્ય બનાવી શકાય છે.
લઘુગણક કાર્યની વૈકલ્પિક વ્યાખ્યા કાર્યાત્મક વિશ્લેષણ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવે છે. જો f(x) - વાસ્તવિક સંખ્યાનું સતત કાર્ય x, નીચેના ત્રણ ગુણધર્મો ધરાવે છે: f (1) = 0, f (b) = 1, f (યુવી) = f (u) + f (વિ), તે f(x) એ સંખ્યાના લઘુગણક તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે xપર આધારિત છે b. આ લેખની શરૂઆતમાં આપેલી વ્યાખ્યા કરતાં આ વ્યાખ્યાના ઘણા ફાયદા છે.
અરજીઓ.
લઘુગણકનો મૂળ રીતે ઉપયોગ ફક્ત ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો, અને આ એપ્લિકેશન હજુ પણ તેમની સૌથી મહત્વપૂર્ણ પૈકીની એક છે. ઉત્પાદનો, અવશેષો, શક્તિઓ અને મૂળોની ગણતરી માત્ર લોગરિધમ્સના પ્રકાશિત કોષ્ટકોની વિશાળ ઉપલબ્ધતા દ્વારા જ નહીં, પણ કહેવાતાના ઉપયોગ દ્વારા પણ કરવામાં આવે છે. સ્લાઇડ નિયમ - એક કોમ્પ્યુટેશનલ ટૂલ જેનો ઓપરેટિંગ સિદ્ધાંત લોગરીધમ્સના ગુણધર્મો પર આધારિત છે. શાસક લઘુગણક ભીંગડાથી સજ્જ છે, એટલે કે. નંબર 1 થી કોઈપણ નંબરનું અંતર xલોગની સમાન બનવા માટે પસંદ કર્યું x; એક સ્કેલને બીજાની તુલનામાં સ્થાનાંતરિત કરીને, લઘુગણકના સરવાળો અથવા તફાવતોનું પ્લોટિંગ કરવું શક્ય છે, જે અનુરૂપ સંખ્યાઓના ઉત્પાદનો અથવા ભાગને સ્કેલમાંથી સીધા વાંચવાનું શક્ય બનાવે છે. તમે લઘુગણક સ્વરૂપમાં સંખ્યાઓને રજૂ કરવાના ફાયદાઓનો પણ લાભ લઈ શકો છો. પ્લોટિંગ ગ્રાફ માટે લઘુગણક કાગળ (બંને સંકલન અક્ષો પર તેના પર મુદ્રિત લઘુગણક ભીંગડા સાથેનો કાગળ). જો ફંક્શન ફોર્મના પાવર લોને સંતોષે છે y = kxn, તો તેનો લઘુગણક ગ્રાફ સીધી રેખા જેવો દેખાય છે, કારણ કે લોગ y=લોગ k + nલોગ x- લોગના સંદર્ભમાં સમીકરણ રેખીય yઅને લોગ x. તેનાથી વિપરિત, જો અમુક કાર્યાત્મક અવલંબનનો લઘુગણક ગ્રાફ સીધી રેખા જેવો દેખાય છે, તો આ અવલંબન એક શક્તિ છે. જ્યારે તમારે ઘાતાંકીય કાર્યોને ઓળખવાની જરૂર હોય ત્યારે અર્ધ-લોગ પેપર (જ્યાં y-અક્ષમાં લઘુગણક સ્કેલ હોય છે અને x-અક્ષ એક સમાન સ્કેલ ધરાવે છે) ઉપયોગી છે. ફોર્મના સમીકરણો y = kb rxજ્યારે પણ કોઈ જથ્થો, જેમ કે વસ્તી, કિરણોત્સર્ગી સામગ્રીનો જથ્થો અથવા બેંક બેલેન્સ, વસ્તી, કિરણોત્સર્ગી સામગ્રી અથવા હાલમાં ઉપલબ્ધ નાણાંના પ્રમાણસર દરે ઘટે છે અથવા વધે છે ત્યારે થાય છે. જો આવી અવલંબનને અર્ધ-લગ્નાંકન કાગળ પર રચવામાં આવે, તો આલેખ સીધી રેખા જેવો દેખાશે.
લોગરીધમિક કાર્ય કુદરતી સ્વરૂપોની વિશાળ વિવિધતા સાથે જોડાણમાં ઉદ્ભવે છે. સૂર્યમુખીના ફૂલોમાં ફૂલો લોગરિધમિક સર્પાકારમાં ગોઠવાયેલા હોય છે, મોલસ્ક શેલ્સ ટ્વિસ્ટેડ હોય છે નોટિલસ, પર્વત ઘેટાંના શિંગડા અને પોપટની ચાંચ. આ તમામ કુદરતી આકારો લોગરીધમિક સર્પાકાર તરીકે ઓળખાતા વળાંકના ઉદાહરણો તરીકે સેવા આપી શકે છે કારણ કે, ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીમાં, તેનું સમીકરણ r = ae bq, અથવા ln આર= લોગ a + bq. આવા વળાંકને ગતિશીલ બિંદુ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, જેનું ધ્રુવથી અંતર ભૌમિતિક પ્રગતિમાં વધે છે, અને તેની ત્રિજ્યા વેક્ટર દ્વારા વર્ણવેલ કોણ અંકગણિત પ્રગતિમાં વધે છે. આવા વળાંકની સર્વવ્યાપકતા, અને તેથી લઘુગણક કાર્ય, એ હકીકત દ્વારા સારી રીતે સચિત્ર છે કે તે તરંગી કેમના સમોચ્ચ અને પ્રકાશ તરફ ઉડતા કેટલાક જંતુઓના માર્ગ જેવા દૂરના અને સંપૂર્ણપણે અલગ વિસ્તારોમાં થાય છે.
