કોઈપણ અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક છે. અનંત સામયિક દશાંશ

યાદ રાખો કે દશાંશ વિશેના પહેલા પાઠમાં મેં કેવી રીતે કહ્યું હતું કે ત્યાં સંખ્યાત્મક અપૂર્ણાંકો છે જે દશાંશ તરીકે રજૂ કરી શકાતા નથી (પાઠ “દશાંશ” જુઓ)? આપણે એ પણ શીખ્યા કે 2 અને 5 સિવાય બીજી કોઈ સંખ્યા છે કે કેમ તે જોવા માટે અપૂર્ણાંકના છેદને કેવી રીતે અવયવિત કરવું.

તેથી: હું ખોટું બોલ્યો. અને આજે આપણે શીખીશું કે કોઈ પણ સંખ્યાત્મક અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરવું. તે જ સમયે, આપણે અપૂર્ણાંક નોંધપાત્ર ભાગ સાથેના અપૂર્ણાંકના સંપૂર્ણ વર્ગથી પરિચિત થઈશું.

સામયિક દશાંશ એ કોઈપણ દશાંશ છે જે:

1. નોંધપાત્ર ભાગમાં અંકોની અનંત સંખ્યાનો સમાવેશ થાય છે;
2. ચોક્કસ અંતરાલો પર, નોંધપાત્ર ભાગમાં સંખ્યાઓ પુનરાવર્તિત થાય છે.

પુનરાવર્તિત અંકોના સમૂહ જે નોંધપાત્ર ભાગ બનાવે છે તેને અપૂર્ણાંકનો સામયિક ભાગ કહેવામાં આવે છે, અને આ સમૂહમાં અંકોની સંખ્યાને અપૂર્ણાંકનો સમયગાળો કહેવામાં આવે છે. નોંધપાત્ર ભાગનો બાકીનો ભાગ, જે પુનરાવર્તિત થતો નથી, તેને બિન-સામયિક ભાગ કહેવામાં આવે છે.

ઘણી વ્યાખ્યાઓ હોવાથી, આમાંના કેટલાક અપૂર્ણાંકોને વિગતવાર ધ્યાનમાં લેવા યોગ્ય છે:

આ અપૂર્ણાંક મોટાભાગે સમસ્યાઓમાં દેખાય છે. બિન-સામયિક ભાગ: 0; સામયિક ભાગ: 3; અવધિ લંબાઈ: 1.

બિન-સામયિક ભાગ: 0.58; સામયિક ભાગ: 3; અવધિ લંબાઈ: ફરીથી 1.

બિન-સામયિક ભાગ: 1; સામયિક ભાગ: 54; અવધિ લંબાઈ: 2.

બિન-સામયિક ભાગ: 0; સામયિક ભાગ: 641025; સમયગાળો લંબાઈ: 6. સગવડ માટે, પુનરાવર્તિત ભાગો એકબીજાથી જગ્યા દ્વારા અલગ કરવામાં આવે છે - આ ઉકેલમાં આ જરૂરી નથી.

બિન-સામયિક ભાગ: 3066; સામયિક ભાગ: 6; અવધિ લંબાઈ: 1.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, સામયિક અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યા ખ્યાલ પર આધારિત છે સંખ્યાનો નોંધપાત્ર ભાગ. તેથી, જો તમે તે શું છે તે ભૂલી ગયા છો, તો હું તેને પુનરાવર્તન કરવાની ભલામણ કરું છું - "" પાઠ જુઓ.

સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં સંક્રમણ

a /b ફોર્મના સામાન્ય અપૂર્ણાંકને ધ્યાનમાં લો. ચાલો તેના છેદને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં અવયવિત કરીએ. ત્યાં બે વિકલ્પો છે:

1. વિસ્તરણમાં માત્ર પરિબળ 2 અને 5 છે. આ અપૂર્ણાંક સરળતાથી દશાંશમાં રૂપાંતરિત થાય છે - "દશાંશ" પાઠ જુઓ. અમને આવા લોકોમાં રસ નથી;
2. 2 અને 5 સિવાયના વિસ્તરણમાં બીજું કંઈક છે. આ કિસ્સામાં, અપૂર્ણાંકને દશાંશ તરીકે રજૂ કરી શકાતો નથી, પરંતુ તેને સામયિક દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે.

સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, તમારે તેના સામયિક અને બિન-સામયિક ભાગો શોધવાની જરૂર છે. કેવી રીતે? અપૂર્ણાંકને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો, અને પછી ખૂણાનો ઉપયોગ કરીને છેદ દ્વારા અંશને વિભાજીત કરો.

નીચે મુજબ થશે:

1. પહેલા વિભાજિત થશે આખો ભાગ, જો તે અસ્તિત્વમાં છે;
2. દશાંશ બિંદુ પછી ઘણી સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે;
3. થોડા સમય પછી નંબરો શરૂ થશે પુનરાવર્તન.

બસ! દશાંશ બિંદુ પછી પુનરાવર્તિત સંખ્યાઓ સામયિક ભાગ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને આગળની સંખ્યાઓ બિન-સામયિક ભાગ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

કાર્ય. સામાન્ય અપૂર્ણાંકને સામયિક દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરો:

પૂર્ણાંક ભાગ વિનાના તમામ અપૂર્ણાંકો, તેથી આપણે ફક્ત "ખૂણા" સાથે છેદ દ્વારા અંશને વિભાજીત કરીએ છીએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, બાકીનું પુનરાવર્તન કરવામાં આવે છે. ચાલો અપૂર્ણાંકને “સાચા” સ્વરૂપમાં લખીએ: 1.733 ... = 1.7(3).

પરિણામ અપૂર્ણાંક છે: 0.5833 ... = 0.58(3).

અમે તેને સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખીએ છીએ: 4.0909 ... = 4,(09).

આપણને અપૂર્ણાંક મળે છે: 0.4141 ... = 0,(41).

સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકમાંથી સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં સંક્રમણ

સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક X = abc (a 1 b 1 c 1) ને ધ્યાનમાં લો. તેને ક્લાસિક "ટુ-સ્ટોરી" માં રૂપાંતરિત કરવું જરૂરી છે. આ કરવા માટે, ચાર સરળ પગલાં અનુસરો:

1. અપૂર્ણાંકનો સમયગાળો શોધો, એટલે કે. સામયિક ભાગમાં કેટલા અંકો છે તેની ગણતરી કરો. આ સંખ્યા k રહેવા દો;
2. અભિવ્યક્તિ X · 10 k ની કિંમત શોધો. આ સંપૂર્ણ સમયગાળા માટે દશાંશ બિંદુને જમણી તરફ ખસેડવા સમાન છે - "દશાંશનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર" પાઠ જુઓ;
3. મૂળ અભિવ્યક્તિ પરિણામી સંખ્યામાંથી બાદ કરવી આવશ્યક છે. આ કિસ્સામાં, સામયિક ભાગ "બર્ન" થાય છે અને રહે છે સામાન્ય અપૂર્ણાંક;
4. પરિણામી સમીકરણમાં X શોધો. આપણે બધા દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ.

કાર્ય. સંખ્યાને સામાન્ય અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

અમે પ્રથમ અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરીએ છીએ: X = 9,(6) = 9.666 ...

કૌંસમાં માત્ર એક અંક હોય છે, તેથી સમયગાળો k = 1 છે. આગળ, આપણે આ અપૂર્ણાંકને 10 k = 10 1 = 10 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. અમારી પાસે છે:

10X = 10 9.6666... ​​= 96.666...

મૂળ અપૂર્ણાંકને બાદ કરો અને સમીકરણ ઉકેલો:

10X − X = 96.666 ... − 9.666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

હવે બીજા અપૂર્ણાંકને જોઈએ. તો X = 32,(39) = 32.393939...

પીરિયડ k = 2, તેથી દરેક વસ્તુને 10 k = 10 2 = 100 વડે ગુણાકાર કરો:

100X = 100 · 32.393939 ... = 3239.3939 ...

મૂળ અપૂર્ણાંકને ફરીથી બાદ કરો અને સમીકરણ ઉકેલો:

100X − X = 3239.3939 ... − 32.3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

ચાલો ત્રીજા અપૂર્ણાંક તરફ આગળ વધીએ: X = 0.30(5) = 0.30555... આકૃતિ સમાન છે, તેથી હું ફક્ત ગણતરીઓ આપીશ:

પીરિયડ k = 1 ⇒ દરેક વસ્તુને 10 k = 10 1 = 10 વડે ગુણાકાર કરો;

10X = 10 0.30555... = 3.05555...
10X − X = 3.0555 ... − 0.305555 ... = 2.75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

છેલ્લે, છેલ્લો અપૂર્ણાંક: X = 0,(2475) = 0.2475 2475... ફરીથી, સગવડતા માટે, સામયિક ભાગો એકબીજાથી ખાલી જગ્યા દ્વારા અલગ પડે છે. અમારી પાસે છે:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10,000;
10,000X = 10,000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10,000X − X = 2475.2475 ... − 0.2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

પહેલેથી જ પ્રાથમિક શાળામાં, વિદ્યાર્થીઓ અપૂર્ણાંકના સંપર્કમાં આવે છે. અને પછી તેઓ દરેક વિષયમાં દેખાય છે. તમે આ નંબરો સાથેની ક્રિયાઓ ભૂલી શકતા નથી. તેથી, તમારે સામાન્ય અને દશાંશ અપૂર્ણાંક વિશેની બધી માહિતી જાણવાની જરૂર છે. આ ખ્યાલો જટિલ નથી, મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે બધું ક્રમમાં સમજવું.

અપૂર્ણાંક શા માટે જરૂરી છે?

આપણી આજુબાજુની દુનિયા સમગ્ર પદાર્થોથી બનેલી છે. તેથી, શેરની કોઈ જરૂર નથી. પરંતુ રોજિંદા જીવન સતત લોકોને વસ્તુઓ અને વસ્તુઓના ભાગો સાથે કામ કરવા દબાણ કરે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચોકલેટમાં ઘણા ટુકડાઓ હોય છે. એક પરિસ્થિતિનો વિચાર કરો જ્યાં તેની ટાઇલ બાર લંબચોરસ દ્વારા રચાય છે. જો તમે તેને બે ભાગમાં વહેંચો છો, તો તમને 6 ભાગો મળશે. તેને સરળતાથી ત્રણ ભાગમાં વહેંચી શકાય છે. પરંતુ પાંચ લોકોને આખી સંખ્યામાં ચોકલેટના ટુકડા આપવાનું શક્ય બનશે નહીં.

માર્ગ દ્વારા, આ સ્લાઇસેસ પહેલેથી જ અપૂર્ણાંક છે. અને તેમનું વધુ વિભાજન વધુ જટિલ સંખ્યાઓના દેખાવ તરફ દોરી જાય છે.

"અપૂર્ણાંક" શું છે?

આ એકમના ભાગોથી બનેલી સંખ્યા છે. બહારથી, તે આડી અથવા સ્લેશ દ્વારા અલગ પડેલી બે સંખ્યાઓ જેવી લાગે છે. આ લક્ષણને અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે. ઉપર (ડાબે) લખેલ સંખ્યાને અંશ કહેવામાં આવે છે. તળિયે (જમણે) જે છે તે છેદ છે.

અનિવાર્યપણે, સ્લેશ એક વિભાજન ચિહ્ન હોવાનું બહાર આવ્યું છે. એટલે કે, અંશને ડિવિડન્ડ કહી શકાય, અને છેદને વિભાજક કહી શકાય.

ત્યાં કયા અપૂર્ણાંકો છે?

ગણિતમાં માત્ર બે પ્રકાર છે: સામાન્ય અને દશાંશ અપૂર્ણાંક. શાળાના બાળકો પ્રાથમિક શાળામાં પ્રથમ બાળકો સાથે પરિચિત થાય છે, તેમને ફક્ત "અપૂર્ણાંક" કહે છે. બાદમાં 5મા ધોરણમાં શીખવામાં આવશે. ત્યારે આ નામો દેખાય છે.

સામાન્ય અપૂર્ણાંકો તે બધા છે જે રેખા દ્વારા અલગ કરાયેલ બે સંખ્યાઓ તરીકે લખવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 4/7. દશાંશ એક એવી સંખ્યા છે જેમાં અપૂર્ણાંક ભાગનું સ્થાનીય સંકેત હોય છે અને તેને અલ્પવિરામ દ્વારા સંપૂર્ણ સંખ્યાથી અલગ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 4.7. વિદ્યાર્થીઓએ સ્પષ્ટપણે સમજવાની જરૂર છે કે આપેલ બે ઉદાહરણો સંપૂર્ણપણે અલગ નંબરો છે.

દરેક સરળ અપૂર્ણાંક દશાંશ તરીકે લખી શકાય છે. આ વિધાન લગભગ હંમેશા વિપરીત રીતે સાચું છે. એવા નિયમો છે જે તમને દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે લખવાની મંજૂરી આપે છે.

આ પ્રકારના અપૂર્ણાંકો કયા પેટાપ્રકારો ધરાવે છે?

કાલક્રમિક ક્રમમાં શરૂ કરવું વધુ સારું છે, કારણ કે તેનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. સામાન્ય અપૂર્ણાંકો પ્રથમ આવે છે. તેમાંથી, 5 પેટાજાતિઓ ઓળખી શકાય છે.

સાચો. તેનો અંશ હંમેશા તેના છેદ કરતા ઓછો હોય છે.

ખોટું. તેનો અંશ તેના છેદ કરતા મોટો અથવા તેની બરાબર છે.

ઘટાડી શકાય તેવું/અફર કરી શકાય તેવું. તે ક્યાં તો સાચું અથવા ખોટું બહાર ચાલુ કરી શકે છે. બીજી મહત્વની બાબત એ છે કે શું અંશ અને છેદમાં સમાન પરિબળો છે. જો ત્યાં હોય, તો અપૂર્ણાંકના બંને ભાગોને તેમના દ્વારા વિભાજિત કરવું જરૂરી છે, એટલે કે, તેને ઘટાડવું.

મિશ્ર. પૂર્ણાંક સંખ્યા તેના સામાન્ય નિયમિત (ખોટી) અપૂર્ણાંક ભાગને સોંપવામાં આવે છે. તદુપરાંત, તે હંમેશા ડાબી બાજુએ છે.

સંયુક્ત. તે એકબીજા દ્વારા વિભાજિત બે અપૂર્ણાંકમાંથી બને છે. એટલે કે, તે એક સાથે ત્રણ અપૂર્ણાંક રેખાઓ ધરાવે છે.

દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં માત્ર બે પેટાપ્રકારો છે:

મર્યાદિત, એટલે કે, જેનો અપૂર્ણાંક ભાગ મર્યાદિત છે (અંત છે);

અનંત - એવી સંખ્યા કે જેના દશાંશ બિંદુ પછીના અંકો સમાપ્ત થતા નથી (તેઓ અવિરતપણે લખી શકાય છે).

દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરવું?

જો આ એક મર્યાદિત સંખ્યા છે, તો નિયમના આધારે જોડાણ લાગુ કરવામાં આવે છે - જેમ હું સાંભળું છું, તેથી હું લખું છું. એટલે કે, તમારે તેને યોગ્ય રીતે વાંચવાની અને તેને લખવાની જરૂર છે, પરંતુ અલ્પવિરામ વિના, પરંતુ અપૂર્ણાંક બાર સાથે.

જરૂરી છેદ વિશે સંકેત તરીકે, તમારે યાદ રાખવાની જરૂર છે કે તે હંમેશા એક અને અનેક શૂન્ય છે. તમારે પછીના ઘણા બધા લખવાની જરૂર છે કારણ કે પ્રશ્નમાં સંખ્યાના અપૂર્ણાંક ભાગમાં અંકો છે.

દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરવું જો તેમનો પૂર્ણાંક ભાગ ખૂટે છે, એટલે કે શૂન્યની બરાબર છે? ઉદાહરણ તરીકે, 0.9 અથવા 0.05. ઉલ્લેખિત નિયમ લાગુ કર્યા પછી, તે તારણ આપે છે કે તમારે શૂન્ય પૂર્ણાંકો લખવાની જરૂર છે. પરંતુ તે સૂચવવામાં આવ્યું નથી. જે બાકી છે તે અપૂર્ણાંક ભાગો લખવાનું છે. પ્રથમ નંબરનો છેદ 10 હશે, બીજામાં 100નો છેદ હશે. એટલે કે, આપેલા ઉદાહરણોમાં નીચેની સંખ્યાઓ જવાબો તરીકે હશે: 9/10, 5/100. વધુમાં, તે તારણ આપે છે કે બાદમાં 5 થી ઘટાડી શકાય છે. તેથી, તેના માટે પરિણામ 1/20 તરીકે લખવું જરૂરી છે.

જો તેનો પૂર્ણાંક ભાગ શૂન્યથી અલગ હોય તો તમે દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરી શકો? ઉદાહરણ તરીકે, 5.23 અથવા 13.00108. બંને ઉદાહરણોમાં, આખો ભાગ વાંચવામાં આવે છે અને તેની કિંમત લખવામાં આવે છે. પ્રથમ કિસ્સામાં તે 5 છે, બીજામાં તે 13 છે. પછી તમારે અપૂર્ણાંક ભાગ તરફ આગળ વધવાની જરૂર છે. તેમની સાથે પણ આ જ ઓપરેશન હાથ ધરવાનું મનાય છે. પ્રથમ નંબર 23/100 દેખાય છે, બીજો - 108/100000. બીજા મૂલ્યને ફરીથી ઘટાડવાની જરૂર છે. જવાબ નીચેના મિશ્ર અપૂર્ણાંકો આપે છે: 5 23/100 અને 13 27/25000.

અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરવું?

જો તે બિન-સામયિક છે, તો પછી આવા ઓપરેશન શક્ય બનશે નહીં. આ હકીકત એ હકીકતને કારણે છે કે દરેક દશાંશ અપૂર્ણાંક હંમેશા મર્યાદિત અથવા સામયિક અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત થાય છે.

આવા અપૂર્ણાંક સાથે તમે માત્ર એક જ વસ્તુ કરી શકો છો તે ગોળ છે. પરંતુ પછી દશાંશ લગભગ તે અનંત સમાન હશે. તે પહેલાથી જ એક સામાન્યમાં ફેરવી શકાય છે. પરંતુ વિપરીત પ્રક્રિયા: દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવાથી ક્યારેય પ્રારંભિક મૂલ્ય મળશે નહીં. એટલે કે, અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંકો સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત થતા નથી. આ યાદ રાખવાની જરૂર છે.

અનંત સામયિક અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે કેવી રીતે લખવો?

આ સંખ્યાઓમાં, દશાંશ બિંદુ પછી હંમેશા એક અથવા વધુ અંકો હોય છે જે પુનરાવર્તિત થાય છે. તેમને અવધિ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 0.3(3). અહીં "3" સમયગાળામાં છે. તેઓને તર્કસંગત તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે કારણ કે તેઓ સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે.

જેમણે સામયિક અપૂર્ણાંકનો સામનો કર્યો છે તેઓ જાણે છે કે તેઓ શુદ્ધ અથવા મિશ્રિત હોઈ શકે છે. પ્રથમ કિસ્સામાં, અવધિ અલ્પવિરામથી તરત જ શરૂ થાય છે. બીજામાં, અપૂર્ણાંક ભાગ કેટલીક સંખ્યાઓ સાથે શરૂ થાય છે, અને પછી પુનરાવર્તન શરૂ થાય છે.

નિયમ કે જેના દ્વારા તમારે સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે અનંત દશાંશ લખવાની જરૂર છે તે દર્શાવેલ બે પ્રકારની સંખ્યાઓ માટે અલગ હશે. શુદ્ધ સામયિક અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે લખવું એકદમ સરળ છે. મર્યાદિત રાશિઓની જેમ, તેમને રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે: અંશમાં અવધિ લખો, અને છેદ નંબર 9 હશે, જે સમયગાળામાં સમાવિષ્ટ અંકોની સંખ્યા જેટલી વખત પુનરાવર્તિત થાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, 0,(5). નંબરમાં પૂર્ણાંક ભાગ નથી, તેથી તમારે તરત જ અપૂર્ણાંક ભાગથી પ્રારંભ કરવાની જરૂર છે. 5 ને અંશ તરીકે અને 9 ને છેદ તરીકે લખો એટલે કે, જવાબ અપૂર્ણાંક 5/9 હશે.

મિશ્રિત સામાન્ય દશાંશ સામયિક અપૂર્ણાંક કેવી રીતે લખવો તે અંગેનો નિયમ.

સમયગાળાની લંબાઈ જુઓ. તે છેદમાં કેટલા 9s હશે.

છેદ લખો: પ્રથમ નવ, પછી શૂન્ય.

અંશ નક્કી કરવા માટે, તમારે બે સંખ્યાઓનો તફાવત લખવાની જરૂર છે. દશાંશ બિંદુ પછીની તમામ સંખ્યાઓ પીરિયડની સાથે, નાની કરવામાં આવશે. કપાતપાત્ર - તે સમયગાળા વિના છે.

ઉદાહરણ તરીકે, 0.5(8) - સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે લખો. સમયગાળા પહેલાના અપૂર્ણાંક ભાગમાં એક અંક હોય છે. તેથી એક શૂન્ય હશે. સમયગાળામાં પણ માત્ર એક જ સંખ્યા છે - 8. એટલે કે, ત્યાં માત્ર એક નવ છે. એટલે કે, તમારે છેદમાં 90 લખવાની જરૂર છે.

અંશ નક્કી કરવા માટે, તમારે 58 માંથી 5 બાદબાકી કરવાની જરૂર છે. તે 53 નીકળે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમારે જવાબ 53/90 લખવો પડશે.

અપૂર્ણાંક દશાંશમાં કેવી રીતે રૂપાંતરિત થાય છે?

સૌથી સરળ વિકલ્પ એ એક સંખ્યા છે જેનો છેદ નંબર 10, 100, વગેરે છે. પછી છેદ ખાલી કાઢી નાખવામાં આવે છે, અને અપૂર્ણાંક અને પૂર્ણાંક ભાગો વચ્ચે અલ્પવિરામ મૂકવામાં આવે છે.

એવી પરિસ્થિતિઓ છે જ્યારે છેદ સરળતાથી 10, 100, વગેરેમાં ફેરવાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 5, 20, 25 નંબરો. અનુક્રમે 2, 5 અને 4 દ્વારા તેમને ગુણાકાર કરવા માટે તે પૂરતું છે. તમારે માત્ર છેદને જ નહીં, પણ અંશને પણ સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

અન્ય તમામ કિસ્સાઓ માટે, એક સરળ નિયમ ઉપયોગી છે: અંશને છેદ દ્વારા વિભાજીત કરો. આ કિસ્સામાં, તમને બે સંભવિત જવાબો મળી શકે છે: મર્યાદિત અથવા સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક.

સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સાથે કામગીરી

સરવાળો અને બાદબાકી

વિદ્યાર્થીઓ તેમની સાથે અન્ય કરતા વહેલા પરિચિત થાય છે. તદુપરાંત, પહેલા અપૂર્ણાંકમાં સમાન છેદ હોય છે, અને પછી તેઓ જુદા જુદા હોય છે. આ યોજનામાં સામાન્ય નિયમો ઘટાડી શકાય છે.

છેદનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધો.

બધા સામાન્ય અપૂર્ણાંકો માટે વધારાના પરિબળો લખો.

અંશ અને છેદને તેમના માટે ઉલ્લેખિત પરિબળો દ્વારા ગુણાકાર કરો.

અપૂર્ણાંકના અંશ ઉમેરો (બાદબાકી કરો) અને સામાન્ય છેદને યથાવત રાખો.

જો મીન્યુએન્ડનો અંશ સબટ્રાહેન્ડ કરતા ઓછો હોય, તો આપણે એ શોધવાની જરૂર છે કે આપણી પાસે મિશ્ર સંખ્યા છે કે યોગ્ય અપૂર્ણાંક છે.

પ્રથમ કિસ્સામાં, તમારે સમગ્ર ભાગમાંથી એક ઉધાર લેવાની જરૂર છે. અપૂર્ણાંકના અંશમાં છેદ ઉમેરો. અને પછી બાદબાકી કરો.

બીજામાં, નાની સંખ્યામાંથી મોટી સંખ્યાને બાદ કરવાનો નિયમ લાગુ કરવો જરૂરી છે. એટલે કે, સબટ્રાહેન્ડના મોડ્યુલમાંથી, મીન્યુએન્ડના મોડ્યુલને બાદ કરો અને જવાબમાં "-" ચિહ્ન મૂકો.

સરવાળા (બાદબાકી) ના પરિણામને કાળજીપૂર્વક જુઓ. જો તમને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક મળે, તો તમારે આખો ભાગ પસંદ કરવો આવશ્યક છે. એટલે કે, અંશને છેદ વડે વિભાજિત કરો.

ગુણાકાર અને ભાગાકાર

તેમને કરવા માટે, અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવાની જરૂર નથી. આ ક્રિયાઓ કરવાનું સરળ બનાવે છે. પરંતુ તેઓ હજુ પણ તમારે નિયમોનું પાલન કરવાની જરૂર છે.

અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરતી વખતે, તમારે અંશ અને છેદમાંની સંખ્યાઓ જોવાની જરૂર છે. જો કોઈપણ અંશ અને છેદમાં સામાન્ય અવયવ હોય, તો તે ઘટાડી શકાય છે.

અંશનો ગુણાકાર કરો.

છેદનો ગુણાકાર કરો.

જો પરિણામ ઘટાડી શકાય તેવું અપૂર્ણાંક છે, તો તેને ફરીથી સરળ બનાવવું આવશ્યક છે.

ભાગાકાર કરતી વખતે, તમારે પહેલા ભાગાકારને ગુણાકાર સાથે અને વિભાજક (બીજા અપૂર્ણાંક) ને પારસ્પરિક અપૂર્ણાંક (અંશ અને છેદની અદલાબદલી) સાથે બદલવો આવશ્યક છે.

પછી ગુણાકારની જેમ આગળ વધો (બિંદુ 1 થી શરૂ કરીને).

એવા કાર્યોમાં જ્યાં તમારે પૂર્ણ સંખ્યા વડે ગુણાકાર (વિભાજીત) કરવાની જરૂર હોય, બાદમાં અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે લખવું જોઈએ. એટલે કે, 1 ના છેદ સાથે. પછી ઉપર વર્ણવ્યા પ્રમાણે કાર્ય કરો.



દશાંશ સાથે કામગીરી

સરવાળો અને બાદબાકી

અલબત્ત, તમે હંમેશા દશાંશને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકો છો. અને પહેલેથી જ વર્ણવેલ યોજના અનુસાર કાર્ય કરો. પરંતુ કેટલીકવાર આ અનુવાદ વિના કાર્ય કરવું વધુ અનુકૂળ છે. પછી તેમના સરવાળા અને બાદબાકી માટેના નિયમો બરાબર સમાન હશે.

સંખ્યાના અપૂર્ણાંક ભાગમાં અંકોની સંખ્યાને સમાન કરો, એટલે કે, દશાંશ બિંદુ પછી. તેમાં શૂન્યની ખૂટતી સંખ્યા ઉમેરો.

અપૂર્ણાંક લખો જેથી અલ્પવિરામ અલ્પવિરામની નીચે હોય.

કુદરતી સંખ્યાઓની જેમ ઉમેરો (બાદબાકી).

અલ્પવિરામ દૂર કરો.

ગુણાકાર અને ભાગાકાર

તે મહત્વનું છે કે તમારે અહીં શૂન્ય ઉમેરવાની જરૂર નથી. અપૂર્ણાંકને ઉદાહરણમાં આપ્યા છે તેમ છોડવા જોઈએ. અને પછી યોજના અનુસાર જાઓ.

ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે અલ્પવિરામને અવગણીને અપૂર્ણાંકને એક બીજાની નીચે લખવાની જરૂર છે.

કુદરતી સંખ્યાઓની જેમ ગુણાકાર કરો.

જવાબમાં અલ્પવિરામ મૂકો, જવાબના જમણા છેડેથી તે બંને પરિબળોના અપૂર્ણાંક ભાગોમાં જેટલા અંકો છે તેટલા અંકોની ગણતરી કરો.

ભાગાકાર કરવા માટે, તમારે પહેલા વિભાજકનું રૂપાંતર કરવું પડશે: તેને કુદરતી સંખ્યા બનાવો. એટલે કે, વિભાજકના અપૂર્ણાંક ભાગમાં કેટલા અંકો છે તેના આધારે તેને 10, 100 વગેરે વડે ગુણાકાર કરો.

ડિવિડન્ડને સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો.

દશાંશ અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા વડે વિભાજીત કરો.

જ્યારે આખા ભાગનું વિભાજન સમાપ્ત થાય તે ક્ષણે તમારા જવાબમાં અલ્પવિરામ મૂકો.



જો એક ઉદાહરણમાં બંને પ્રકારના અપૂર્ણાંક હોય તો શું?

હા, ગણિતમાં ઘણીવાર એવા ઉદાહરણો હોય છે જેમાં તમારે સામાન્ય અને દશાંશ અપૂર્ણાંકો પર કામગીરી કરવાની જરૂર હોય છે. આવા કાર્યોમાં બે સંભવિત ઉકેલો છે. તમારે નિરપેક્ષપણે સંખ્યાઓનું વજન કરવાની અને શ્રેષ્ઠ એક પસંદ કરવાની જરૂર છે.

પ્રથમ રીત: સામાન્ય દશાંશનું પ્રતિનિધિત્વ કરો

જો વિભાજન અથવા અનુવાદ મર્યાદિત અપૂર્ણાંકમાં પરિણમે તો તે યોગ્ય છે. જો ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા સામયિક ભાગ આપે છે, તો આ તકનીક પ્રતિબંધિત છે. તેથી, જો તમને સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સાથે કામ કરવાનું પસંદ ન હોય તો પણ, તમારે તેમની ગણતરી કરવી પડશે.

બીજી રીત: દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય તરીકે લખો

જો દશાંશ બિંદુ પછીના ભાગમાં 1-2 અંકો હોય તો આ તકનીક અનુકૂળ છે. જો તેમાંના વધુ હોય, તો તમે ખૂબ મોટા સામાન્ય અપૂર્ણાંક સાથે સમાપ્ત થઈ શકો છો અને દશાંશ સંકેત કાર્યને ઝડપી અને ગણતરીમાં સરળ બનાવશે. તેથી, તમારે હંમેશા કાર્યનું સંયમપૂર્વક મૂલ્યાંકન કરવાની અને સૌથી સરળ ઉકેલ પદ્ધતિ પસંદ કરવાની જરૂર છે.

હકીકત એ છે કે ઘણા ચોરસ મૂળ છે અતાર્કિક સંખ્યાઓ, ખાસ કરીને, સંખ્યા $\sqrt2$ ઘણી વખત વિવિધ એન્જિનિયરિંગ અને વૈજ્ઞાનિક ગણતરીઓમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે. દરેક ચોક્કસ કેસમાં જરૂરી ચોકસાઈ સાથે આ સંખ્યાની ગણતરી કરી શકાય છે. તમારી પાસે ધીરજ હોય ​​તેટલા દશાંશ સ્થાનો પર તમે આ સંખ્યા મેળવી શકો છો.

ઉદાહરણ તરીકે, $\sqrt2$ નંબર છ દશાંશ સ્થાનોની ચોકસાઈ સાથે નક્કી કરી શકાય છે: $\sqrt2=1.414214$. આ મૂલ્ય સાચા મૂલ્યથી બહુ અલગ નથી, કારણ કે $1.414214 \times 1.414214=2.000001237796$. આ જવાબ 2 થી માંડ 10 લાખમા ભાગથી અલગ છે. તેથી, $\sqrt2$ ની કિંમત $1.414214$ ની બરાબર છે જે મોટાભાગની વ્યવહારિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તદ્દન સ્વીકાર્ય માનવામાં આવે છે. એવા કિસ્સામાં જ્યાં વધુ ચોકસાઈની જરૂર હોય, આ કિસ્સામાં જરૂરી હોય તેટલા દશાંશ બિંદુ પછી ઘણા નોંધપાત્ર અંકો મેળવવા મુશ્કેલ નથી.

જો કે, જો તમે દુર્લભ જીદ બતાવો અને બહાર કાઢવાનો પ્રયાસ કરો વર્ગમૂળ$\sqrt2$ નંબરથી જ્યાં સુધી તમે ચોક્કસ પરિણામ પ્રાપ્ત ન કરો ત્યાં સુધી તમે ક્યારેય તમારું કાર્ય પૂર્ણ કરશો નહીં. તે ક્યારેય ન સમાપ્ત થતી પ્રક્રિયા છે. તમને ગમે તેટલા દશાંશ સ્થાનો મળે, ત્યાં હંમેશા થોડા વધુ બાકી રહેશે.

આ હકીકત તમને $\frac13$ ને અનંત દશાંશમાં $0.333333333…$ અને તેથી જ અનિશ્ચિત સમય માટે, અથવા $\frac17$ ને $0.142857142857142857...$ માં ફેરવવા અને તેટલું જ આશ્ચર્યચકિત કરી શકે છે. પ્રથમ નજરમાં એવું લાગે છે કે આ અનંત અને અતાર્કિક વર્ગમૂળ એક જ ક્રમની ઘટના છે, પરંતુ આ બિલકુલ નથી. છેવટે, આ અનંત અપૂર્ણાંકમાં અપૂર્ણાંક સમકક્ષ હોય છે, જ્યારે $\sqrt2$ પાસે આવો સમકક્ષ નથી. શા માટે બરાબર? હકીકત એ છે કે $\frac13$ અને $\frac17$ના દશાંશ સમકક્ષ, તેમજ અન્ય અપૂર્ણાંકોની અનંત સંખ્યા, સામયિક અનંત અપૂર્ણાંક છે.

તે જ સમયે, $\sqrt2$ નો દશાંશ સમકક્ષ એ બિન-સામયિક અપૂર્ણાંક છે. આ વિધાન કોઈપણ અતાર્કિક સંખ્યા માટે પણ સાચું છે.

સમસ્યા એ છે કે કોઈપણ દશાંશ જે 2 ના વર્ગમૂળનો અંદાજ છે બિન-સામયિક અપૂર્ણાંક. ભલે આપણે આપણી ગણતરીમાં ગમે તેટલા આગળ વધીએ, આપણને મળેલ કોઈપણ અપૂર્ણાંક બિન-સામયિક હશે.

દશાંશ બિંદુ પછી બિન-સામયિક અંકોની વિશાળ સંખ્યા સાથેના અપૂર્ણાંકની કલ્પના કરો. જો અચાનક મિલિયન અંક પછી દશાંશ સ્થાનોનો સંપૂર્ણ ક્રમ પુનરાવર્તિત થાય છે, તો તેનો અર્થ છે દશાંશ- સામયિક અને પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તરના રૂપમાં તેના માટે સમકક્ષ છે. જો કોઈ સમયે અપૂર્ણાંક દશાંશ સ્થાનોની વિશાળ સંખ્યા (અબજો અથવા લાખો) સાથેના અપૂર્ણાંકમાં પુનરાવર્તિત અંકોની અનંત શ્રેણી હોય, ઉદાહરણ તરીકે $...55555555555...$, તો તેનો અર્થ એ પણ થાય છે કે આ અપૂર્ણાંક સામયિક છે અને પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગુણોત્તરના સ્વરૂપમાં એક સમકક્ષ છે.

જો કે, કિસ્સામાં, તેમના દશાંશ સમકક્ષ સંપૂર્ણપણે બિન-સામયિક છે અને સામયિક બની શકતા નથી.

અલબત્ત, તમે નીચેનો પ્રશ્ન પૂછી શકો છો: “કોણ જાણી શકે છે અને ખાતરીપૂર્વક કહી શકે છે કે ટ્રિલિયન ચિહ્ન પછી અપૂર્ણાંકનું શું થાય છે? કોણ બાંયધરી આપી શકે કે અપૂર્ણાંક સામયિક નહીં બને?" નિર્ણાયક રીતે સાબિત કરવાની રીતો છે કે અતાર્કિક સંખ્યાઓ બિન-સામયિક છે, પરંતુ આવા પુરાવાઓને જટિલ ગણિતની જરૂર છે. પરંતુ જો તે અચાનક બહાર આવ્યું કે અતાર્કિક સંખ્યા બની જાય છે સામયિક અપૂર્ણાંક, આનો અર્થ ગાણિતિક વિજ્ઞાનના પાયાનો સંપૂર્ણ પતન થશે. અને હકીકતમાં આ ભાગ્યે જ શક્ય છે. તમારા માટે તેને તમારા અંગૂઠા પર એક બાજુથી બીજી બાજુ ફેંકવું સરળ નથી, અહીં એક જટિલ ગાણિતિક સિદ્ધાંત છે.

કે જો તેઓ શ્રેણીના સિદ્ધાંતને જાણતા હોય, તો તેના વિના કોઈ મેટામેટિક ખ્યાલો રજૂ કરી શકાતા નથી. તદુપરાંત, આ લોકો માને છે કે જે કોઈ તેનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ કરતું નથી તે અજ્ઞાન છે. ચાલો આ લોકોના મંતવ્યો તેમના અંતરાત્મા પર છોડીએ. ચાલો વધુ સારી રીતે સમજીએ કે અનંત સામયિક અપૂર્ણાંક શું છે અને આપણે, અશિક્ષિત લોકો કે જેઓ કોઈ મર્યાદા જાણતા નથી, તેઓએ તેની સાથે કેવી રીતે વ્યવહાર કરવો જોઈએ.

ચાલો 237 ને 5 વડે ભાગીએ. ના, તમારે કેલ્ક્યુલેટર લોન્ચ કરવાની જરૂર નથી. ચાલો માધ્યમિક (અથવા પ્રાથમિક?) શાળાને વધુ સારી રીતે યાદ રાખીએ અને તેને ફક્ત કૉલમમાં વિભાજીત કરીએ:

સારું, તમને યાદ છે? પછી તમે વ્યવસાયમાં ઉતરી શકો છો.

ગણિતમાં "અપૂર્ણાંક" ની વિભાવનાના બે અર્થ છે:

1. બિન-પૂર્ણાંક સંખ્યા.
2. બિન-પૂર્ણાંક સ્વરૂપ.

1. સરળ (અથવા ઊભી) અપૂર્ણાંક, જેમ કે 1/2 અથવા 237/5.
2. દશાંશ અપૂર્ણાંક, જેમ કે 0.5 અથવા 47.4.

ગણિતમાં, સામાન્ય રીતે, દશાંશ ગણતરી હંમેશા સ્વીકારવામાં આવી છે, અને તેથી દશાંશ અપૂર્ણાંક સરળ કરતાં વધુ અનુકૂળ છે, એટલે કે, દશાંશ છેદ સાથેનો અપૂર્ણાંક (વ્લાદિમીર ડાલ. જીવંત મહાન રશિયન ભાષાનો સ્પષ્ટીકરણ શબ્દકોશ. "દસ") .

એક સંપૂર્ણ અશિક્ષિત વ્યક્તિ પણ ધ્યાન આપશે: ભલે તે ગમે તેટલો સમય લે, તે અલગ નહીં થાય: ત્રિપુટીઓ જાહેરાત અનંત દેખાવાનું ચાલુ રાખશે. તો ચાલો તેને નીચે લખીએ: 0.33... અમારો મતલબ છે "જ્યારે તમે 1 ને 3 વડે ભાગો છો ત્યારે પ્રાપ્ત થતી સંખ્યા" અથવા ટૂંકમાં, "એક તૃતીયાંશ." સ્વાભાવિક રીતે, એક તૃતીયાંશ શબ્દના પ્રથમ અર્થમાં અપૂર્ણાંક છે, અને "1/3" અને "0.33..." શબ્દના બીજા અર્થમાં અપૂર્ણાંક છે, એટલે કે પ્રવેશ ફોર્મએક સંખ્યા જે શૂન્યથી એટલા અંતરે નંબર લાઇન પર સ્થિત છે કે જો તમે તેને ત્રણ વખત બાજુ પર મુકો છો, તો તમને એક મળશે.

હવે ચાલો 5 ને 6 વડે વિભાજિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ:

ચાલો તેને ફરીથી લખીએ: 0.833... અમારો મતલબ એ છે કે "તમે જ્યારે 5 ને 6 વડે ભાગો છો ત્યારે તમને જે સંખ્યા મળે છે," અથવા ટૂંકમાં, "પાંચ-છઠ્ઠા ભાગ." જો કે, મૂંઝવણ અહીં ઊભી થાય છે: શું આનો અર્થ 0.83333 (અને પછી ત્રિપુટીઓનું પુનરાવર્તન થાય છે), અથવા 0.833833 (અને પછી 833 પુનરાવર્તિત થાય છે). તેથી, અંડાકાર સાથેનું સંકેત આપણને અનુકૂળ નથી: પુનરાવર્તન ભાગ ક્યાંથી શરૂ થાય છે તે સ્પષ્ટ નથી (તેને "પીરિયડ" કહેવામાં આવે છે). તેથી, આપણે પીરિયડને કૌંસમાં આ રીતે મૂકીશું: 0,(3); 0.8(3).

0,(3) સરળ નથી બરાબરએક તૃતીયાંશ, તે છે છેએક તૃતીયાંશ, કારણ કે અમે આ સંખ્યાને દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરવા માટે આ સંકેતની ખાસ શોધ કરી છે.

આ પ્રવેશ કહેવાય છે અનંત સામયિક અપૂર્ણાંક, અથવા ફક્ત સામયિક અપૂર્ણાંક.

જ્યારે પણ આપણે એક સંખ્યાને બીજી સંખ્યાથી વિભાજીત કરીએ છીએ, જો આપણને મર્યાદિત અપૂર્ણાંક ન મળે, તો આપણને અનંત સામયિક અપૂર્ણાંક મળે છે, એટલે કે, કોઈ દિવસ સંખ્યાઓનો ક્રમ ચોક્કસપણે પુનરાવર્તિત થવાનું શરૂ થશે. આવું શા માટે છે તે કોલમ ડિવિઝન અલ્ગોરિધમને ધ્યાનથી જોઈને સંપૂર્ણ અનુમાનિત રીતે સમજી શકાય છે:

ચેકમાર્ક્સ સાથે ચિહ્નિત થયેલ સ્થળોએ, સંખ્યાઓની વિવિધ જોડીઓ હંમેશા મેળવી શકાતી નથી (કારણ કે, સૈદ્ધાંતિક રીતે, આવી જોડીઓની મર્યાદિત સંખ્યા છે). અને જલદી આવી જોડી ત્યાં દેખાય છે, જે પહેલાથી અસ્તિત્વમાં છે, તફાવત પણ સમાન હશે - અને પછી આખી પ્રક્રિયા પોતાને પુનરાવર્તિત કરવાનું શરૂ કરશે. આ તપાસવાની જરૂર નથી, કારણ કે તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે જો તમે સમાન ક્રિયાઓનું પુનરાવર્તન કરો છો, તો પરિણામો સમાન હશે.

હવે આપણે સારી રીતે સમજીએ છીએ સારસામયિક અપૂર્ણાંક, ચાલો એક તૃતીયાંશને ત્રણ વડે ગુણાકાર કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. હા, અલબત્ત, તમને એક મળશે, પરંતુ ચાલો આ અપૂર્ણાંકને દશાંશ સ્વરૂપમાં લખીએ અને તેને કૉલમમાં ગુણાકાર કરીએ.

અને ફરીથી આપણે નોંધ્યું છે કે નવ, નવ અને નવ દશાંશ બિંદુ પછી હંમેશા દેખાશે. એટલે કે, રિવર્સ બ્રેકેટ નોટેશનનો ઉપયોગ કરીને, આપણને 0,(9) મળે છે. કારણ કે આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રીજા અને ત્રણનો ગુણાંક એક છે, તો 0.(9) એ એક લખવાની આટલી ફેન્સી રીત છે. જો કે, રેકોર્ડિંગના આ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરવો અયોગ્ય છે, કારણ કે એકમ પીરિયડનો ઉપયોગ કર્યા વિના સંપૂર્ણ રીતે લખી શકાય છે, જેમ કે: 1.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, 0,(9) એ એવા કિસ્સાઓમાંથી એક છે જ્યાં સંપૂર્ણ સંખ્યા અપૂર્ણાંક સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે, જેમ કે 3/3 અથવા 7.0. એટલે કે, 0,(9) એ શબ્દના બીજા અર્થમાં અપૂર્ણાંક છે, પરંતુ પ્રથમમાં નહીં.

તેથી, કોઈપણ મર્યાદા અથવા શ્રેણી વિના, અમે 0.(9) શું છે અને તેની સાથે કેવી રીતે વ્યવહાર કરવો તે શોધી કાઢ્યું.

પરંતુ ચાલો આપણે હજી પણ યાદ રાખીએ કે હકીકતમાં આપણે સ્માર્ટ છીએ અને વિશ્લેષણનો અભ્યાસ કરીએ છીએ. ખરેખર, તે નકારવું મુશ્કેલ છે:

પરંતુ, કદાચ, કોઈ પણ એ હકીકત સાથે દલીલ કરશે નહીં કે:

આ બધું, અલબત્ત, સાચું છે. ખરેખર, 0,(9) એ ઘટાડેલી શ્રેણીનો સરવાળો અને દર્શાવેલ કોણનો ડબલ સાઈન અને યુલર નંબરનો કુદરતી લઘુગણક બંને છે.

પરંતુ ન તો એક, ન તો બીજી, ન ત્રીજી એક વ્યાખ્યા છે.

એમ કહેવું કે 0,(9) એ અનંત શ્રેણી 9/(10 n) નો સરવાળો છે, n ની બરાબર એક સાથે, સાઈન એ અનંત ટેલર શ્રેણીનો સરવાળો છે તેવું કહેવા જેવું છે:

આ એકદમ યોગ્ય, અને આ કોમ્પ્યુટેશનલ ગણિત માટે સૌથી મહત્વપૂર્ણ હકીકત છે, પરંતુ તે એક વ્યાખ્યા નથી, અને, સૌથી અગત્યનું, તે વ્યક્તિને સમજણની નજીક લાવતું નથી. અનિવાર્યપણેસાઇનસ ચોક્કસ કોણની સાઈનનો સાર એ છે કે તે માત્ર બધુંકર્ણ અને કોણની વિરુદ્ધ પગનો ગુણોત્તર.

તેથી, સામયિક અપૂર્ણાંક છે માત્ર બધુંદશાંશ અપૂર્ણાંક કે જ્યારે પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે કૉલમ દ્વારા વિભાજિત કરોસંખ્યાઓનો સમાન સમૂહ પુનરાવર્તિત થશે. અહીં વિશ્લેષણની કોઈ નિશાની નથી.

અને આ તે છે જ્યાં પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: તે ક્યાંથી આવે છે? બિલકુલશું આપણે નંબર 0,(9) લીધો છે? તેને મેળવવા માટે કૉલમ વડે આપણે શેના વડે ભાગીએ છીએ? ખરેખર, એવી કોઈ સંખ્યાઓ નથી કે જ્યારે કૉલમમાં વિભાજિત કરવામાં આવે, ત્યારે આપણી પાસે અવિરતપણે નવ દેખાય. પરંતુ આપણે સ્તંભ સાથે 0,(3) ને 3 વડે ગુણાકાર કરીને આ સંખ્યા મેળવવામાં વ્યવસ્થાપિત છીએ? ખરેખર નથી. છેવટે, તમારે અંકોના સ્થાનાંતરણને યોગ્ય રીતે ધ્યાનમાં લેવા માટે જમણેથી ડાબે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, અને અમે આ ડાબેથી જમણે કર્યું, ચાલાકીપૂર્વક એ હકીકતનો લાભ લઈને કે સ્થાનાંતરણ ગમે ત્યાં થતું નથી. તેથી, 0,(9) લખવાની કાયદેસરતા આપણે કૉલમ દ્વારા આવા ગુણાકારની કાયદેસરતાને ઓળખીએ છીએ કે નહીં તેના પર આધાર રાખે છે.

તેથી, આપણે સામાન્ય રીતે કહી શકીએ કે સંકેત 0,(9) ખોટો છે - અને અમુક હદ સુધી સાચો છે. જો કે, નોટેશન a ,(b ) સ્વીકારવામાં આવ્યું હોવાથી, જ્યારે b = 9 હોય ત્યારે તેને છોડી દેવુ અયોગ્ય છે; આવી એન્ટ્રીનો અર્થ શું છે તે નક્કી કરવું વધુ સારું છે. તેથી, જો આપણે સામાન્ય રીતે નોટેશન 0,(9) સ્વીકારીએ, તો આ નોટેશન, અલબત્ત, નંબર વનનો અર્થ થાય છે.

માત્ર એ ઉમેરવાનું રહે છે કે જો આપણે ટર્નરી નંબર સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરીએ, તો એક (1 3) ના સ્તંભને ત્રણ (10 3) વડે ભાગીએ ત્યારે આપણને 0.1 3 ("શૂન્ય બિંદુ એક તૃતીયાંશ" વાંચો) મળશે. અને જ્યારે એકને બે વડે ભાગીએ ત્યારે 0,(1) 3 થશે.

તેથી અપૂર્ણાંક-સંખ્યાની સામયિકતા એ અપૂર્ણાંક-સંખ્યાની કેટલીક ઉદ્દેશ્ય લાક્ષણિકતા નથી, પરંતુ એક અથવા બીજી સંખ્યા સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરવાની આડઅસર છે.

2/4, 3/6, 4/8, વગેરે ફોર્મની રજૂઆતોથી અલગ તર્કસંગત સંખ્યા 1/2 નું બીજું પ્રતિનિધિત્વ છે. અમારો મતલબ દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.5 ના સ્વરૂપમાં પ્રતિનિધિત્વ છે. કેટલાક અપૂર્ણાંકમાં મર્યાદિત દશાંશ રજૂઆત હોય છે, દા.ત.

જ્યારે અન્ય અપૂર્ણાંકોની દશાંશ રજૂઆતો અનંત છે:

આ અનંત દશાંશને અનુરૂપ તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોમાંથી અંશને છેદ દ્વારા વિભાજિત કરીને મેળવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક 5/11 ના કિસ્સામાં, 5.000... ને 11 વડે ભાગવાથી 0.454545 મળે છે...

કયા તર્કસંગત અપૂર્ણાંકમાં મર્યાદિત દશાંશ રજૂઆતો છે? સામાન્ય રીતે આ પ્રશ્નનો જવાબ આપતા પહેલા, ચાલો ચોક્કસ ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો, કહો, અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.8625 લઈએ. તે આપણે જાણીએ છીએ

અને તે કે કોઈપણ સીમિત દશાંશ અપૂર્ણાંકને 10, 100, 1000 અથવા 10 ની અન્ય ઘાતના સમાન છેદ સાથે તર્કસંગત દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાય છે.

અપૂર્ણ અપૂર્ણાંકની જમણી બાજુના અપૂર્ણાંકને ઘટાડીને, આપણને મળે છે

80 નો છેદ 10,000 ને 125 વડે વિભાજિત કરીને મેળવવામાં આવે છે - 10,000 અને 8625 નો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક. તેથી, સંખ્યા 80 ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણ, જેમ કે સંખ્યા 10,000 માં, ફક્ત બે મુખ્ય અવયવોનો સમાવેશ થાય છે: 2 અને 5. જો આપણે ન કર્યું હોય 0, 8625 થી શરૂ કરો, અને કોઈપણ અન્ય મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક સાથે, પછી પરિણામી અફર બુદ્ધિગમ્ય અપૂર્ણાંકમાં પણ આ ગુણધર્મ હશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, છેદ b ના અવિભાજ્ય પરિબળોમાં વિસ્તરણમાં માત્ર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ 2 અને 5નો સમાવેશ થઈ શકે છે, કારણ કે b એ 10, a ની અમુક ઘાતનો વિભાજક છે. આ સંજોગો નિર્ણાયક હોવાનું બહાર આવ્યું છે, એટલે કે, નીચેનું સામાન્ય નિવેદન ધરાવે છે:

જો અને માત્ર જો સંખ્યા b માં 2 અને 5 ના કોઈ અવિભાજ્ય અવયવ ન હોય તો અવિભાજ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંક મર્યાદિત દશાંશ પ્રતિનિધિત્વ ધરાવે છે.

નોંધ કરો કે b પાસે તેના અવિભાજ્ય અવયવોમાં 2 અને 5 બંને સંખ્યાઓ હોવી જરૂરી નથી: તે તેમાંથી માત્ર એક વડે વિભાજ્ય હોઈ શકે છે અથવા તેના દ્વારા જ વિભાજ્ય નથી. ઉદાહરણ તરીકે,

અહીં b એ અનુક્રમે 25, 16 અને 1 છે, જે નોંધપાત્ર છે કે b પાસે 2 અને 5 સિવાય અન્ય કોઈ વિભાજક નથી.

ઉપરના વાક્યમાં જો અને ફક્ત જો અભિવ્યક્તિ છે. અત્યાર સુધી અમે ફક્ત તે જ ભાગ સાબિત કર્યો છે જે ટર્નઓવર સાથે સંબંધિત છે. અમે જ બતાવ્યું હતું કે દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં તર્કસંગત સંખ્યાનું વિઘટન ફક્ત ત્યારે જ મર્યાદિત હશે જ્યારે b માં 2 અને 5 સિવાય અન્ય કોઈ મુખ્ય અવયવ ન હોય.

(બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો b એ 2 અને 5 સિવાયની અવિભાજ્ય સંખ્યા વડે વિભાજ્ય હોય, તો અવિભાજ્ય અપૂર્ણાંકમાં કોઈ મર્યાદિત દશાંશ અભિવ્યક્તિ નથી.)

વાક્યનો તત્કાલીન ભાગ જણાવે છે કે જો પૂર્ણાંક b માં 2 અને 5 સિવાય અન્ય કોઈ મુખ્ય પરિબળ નથી, તો અપૂર્ણ તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. આને સાબિત કરવા માટે, આપણે એક મનસ્વી અવિભાજ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંક લેવો જોઈએ કે જેના b માં 2 અને 5 સિવાય કોઈ મુખ્ય પરિબળ નથી, અને ચકાસો કે અનુરૂપ દશાંશ અપૂર્ણાંક મર્યાદિત છે. ચાલો પહેલા એક ઉદાહરણ જોઈએ. દો

દશાંશ વિસ્તરણ મેળવવા માટે, અમે આ અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ જેનો છેદ દસની પૂર્ણાંક ઘાત છે. આના દ્વારા અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરીને પ્રાપ્ત કરી શકાય છે:

ઉપરોક્ત તર્ક નીચે મુજબ સામાન્ય કેસ સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. ધારો કે b ફોર્મનું છે, જ્યાં પ્રકાર બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો છે (એટલે ​​​​કે, હકારાત્મક સંખ્યાઓ અથવા શૂન્ય). બે કિસ્સાઓ શક્ય છે: કાં તો તેનાથી ઓછા અથવા સમાન (આ સ્થિતિ લખેલી છે), અથવા વધુ (જે લખેલી છે). જ્યારે આપણે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ