ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ ઓનલાઇન. ગણિતનો જ્ઞાનકોશ

લેખની સામગ્રી

ગણિત.ગણિતને સામાન્ય રીતે તેની કેટલીક પરંપરાગત શાખાઓના નામોની સૂચિ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સૌ પ્રથમ, તે અંકગણિત છે, જે સંખ્યાઓના અભ્યાસ, તેમની વચ્ચેના સંબંધો અને સંખ્યાઓના સંચાલન માટેના નિયમો સાથે વ્યવહાર કરે છે. અંકગણિતના તથ્યો વિવિધ ચોક્કસ અર્થઘટન માટે સંવેદનશીલ હોય છે; ઉદાહરણ તરીકે, સંબંધ 2 + 3 = 4 + 1 એ વિધાનને અનુરૂપ છે કે બે અને ત્રણ પુસ્તકો ચાર અને એક જેટલા પુસ્તકો બનાવે છે. કોઈપણ સંબંધ જેમ કે 2 + 3 = 4 + 1, એટલે કે. ભૌતિક વિશ્વના કોઈપણ અર્થઘટનના સંદર્ભ વિના શુદ્ધ ગાણિતિક પદાર્થો વચ્ચેના સંબંધને અમૂર્ત કહેવામાં આવે છે. ગણિતની અમૂર્ત પ્રકૃતિ તેને વિવિધ પ્રકારની સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બીજગણિત, જે સંખ્યાઓ પરની ક્રિયાઓ સાથે વ્યવહાર કરે છે, તે અંકગણિતથી આગળ વધતી સમસ્યાઓને હલ કરી શકે છે. ગણિતની વધુ વિશિષ્ટ શાખા ભૂમિતિ છે, જેનું મુખ્ય કાર્ય પદાર્થોના કદ અને આકારોનો અભ્યાસ છે. ભૌમિતિક પદ્ધતિઓ સાથે બીજગણિત પદ્ધતિઓનું સંયોજન, એક તરફ, ત્રિકોણમિતિ તરફ દોરી જાય છે (મૂળરૂપે ભૌમિતિક ત્રિકોણના અભ્યાસ માટે સમર્પિત, અને હવે મુદ્દાઓની ઘણી વ્યાપક શ્રેણીને આવરી લે છે), અને બીજી તરફ, વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ તરફ દોરી જાય છે, જેમાં ભૌમિતિક સંસ્થાઓ અને આકૃતિઓનો અભ્યાસ બીજગણિત પદ્ધતિઓ દ્વારા કરવામાં આવે છે. ઉચ્ચ બીજગણિત અને ભૂમિતિની ઘણી શાખાઓ છે જેમાં અમૂર્તતાની ઉચ્ચ ડિગ્રી હોય છે અને તે સામાન્ય સંખ્યાઓ અને સામાન્ય ભૌમિતિક આકૃતિઓના અભ્યાસ સાથે વ્યવહાર કરતી નથી; ભૌમિતિક વિષયોમાં સૌથી અમૂર્તને ટોપોલોજી કહેવામાં આવે છે.

ગાણિતિક પૃથ્થકરણ અવકાશ અથવા સમયમાં બદલાતા જથ્થાના અભ્યાસ સાથે વ્યવહાર કરે છે, અને તે બે મૂળભૂત ખ્યાલો પર આધારિત છે - કાર્ય અને મર્યાદા, જે ગણિતની વધુ પ્રાથમિક શાખાઓમાં જોવા મળતી નથી. શરૂઆતમાં, ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં વિભેદક અને અભિન્ન કલનનો સમાવેશ થતો હતો, પરંતુ હવે તેમાં અન્ય વિભાગોનો સમાવેશ થાય છે.

ગણિતની બે મુખ્ય શાખાઓ છે - શુદ્ધ ગણિત, જે અનુમાનિત તર્ક પર ભાર મૂકે છે, અને લાગુ ગણિત. "એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ" શબ્દ કેટલીકવાર ગણિતની તે શાખાઓનો સંદર્ભ આપે છે જે ખાસ કરીને વિજ્ઞાનની જરૂરિયાતો અને જરૂરિયાતોને સંતોષવા માટે બનાવવામાં આવી હતી, અને કેટલીકવાર વિવિધ વિજ્ઞાનના તે વિભાગો (ભૌતિકશાસ્ત્ર, અર્થશાસ્ત્ર, વગેરે) કે જે ગણિતનો ઉકેલના સાધન તરીકે ઉપયોગ કરે છે. તેમના કાર્યો. ગણિત વિશે ઘણી સામાન્ય ગેરસમજો "એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ" ના આ બે અર્થઘટનને ગૂંચવવાથી ઊભી થાય છે. અંકગણિત એ પ્રથમ અર્થમાં લાગુ ગણિતનું ઉદાહરણ હોઈ શકે છે અને બીજા અર્થમાં એકાઉન્ટિંગ.

લોકપ્રિય માન્યતાથી વિપરીત, ગણિત ઝડપથી આગળ વધવાનું ચાલુ રાખે છે. મેથેમેટિકલ રિવ્યુ જર્નલ લગભગ પ્રકાશિત કરે છે. નવીનતમ પરિણામો ધરાવતા લેખોના 8,000 ટૂંકા સારાંશ - નવા ગાણિતિક તથ્યો, જૂના તથ્યોના નવા પુરાવા, અને ગણિતના સંપૂર્ણપણે નવા ક્ષેત્રો વિશેની માહિતી પણ. ગણિતના શિક્ષણમાં વર્તમાન વલણ એ ગણિતના શિક્ષણમાં વિદ્યાર્થીઓને આધુનિક, વધુ અમૂર્ત ગાણિતિક વિચારોનો પરિચય કરાવવાનો છે. આ પણ જુઓગણિતનો ઇતિહાસ. ગણિત એ સંસ્કૃતિના પાયાના પથ્થરોમાંનું એક છે, પરંતુ બહુ ઓછા લોકોને આ વિજ્ઞાનની વર્તમાન સ્થિતિનો ખ્યાલ હશે.

છેલ્લાં સો વર્ષોમાં ગણિતમાં તેના વિષય અને સંશોધન પદ્ધતિઓ બંનેમાં મોટા ફેરફારો થયા છે. આ લેખમાં આપણે આધુનિક ગણિતના ઉત્ક્રાંતિના મુખ્ય તબક્કાઓનો સામાન્ય ખ્યાલ આપવાનો પ્રયત્ન કરીશું, જેના મુખ્ય પરિણામોને ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે, એક તરફ, શુદ્ધ અને પ્રયોજિત ગણિત વચ્ચેના અંતરમાં વધારો, અને બીજી તરફ, ગણિતના પરંપરાગત ક્ષેત્રો પર સંપૂર્ણ પુનર્વિચાર.

ગાણિતિક પદ્ધતિનો વિકાસ

ગણિતનો જન્મ.

લગભગ 2000 બીસી તે નોંધવામાં આવ્યું હતું કે 3, 4 અને 5 એકમની લંબાઈવાળા ત્રિકોણમાં, એક ખૂણો 90° છે (આ અવલોકનથી વ્યવહારિક જરૂરિયાતો માટે જમણો ખૂણો બાંધવાનું સરળ બન્યું છે). શું તમે પછી ગુણોત્તર 5 2 = 3 2 + 4 2 નોંધ્યું? આ અંગે અમારી પાસે કોઈ માહિતી નથી. થોડી સદીઓ પછી, એક સામાન્ય નિયમ શોધાયો: કોઈપણ ત્રિકોણમાં ABCટોચ પર જમણા કોણ સાથે એઅને પક્ષો b = એસીઅને c = એબી, જેની વચ્ચે આ કોણ બંધાયેલ છે, અને વિરુદ્ધ બાજુ a = બી.સી.ગુણોત્તર માન્ય છે a 2 = b 2 + c 2. આપણે કહી શકીએ કે વિજ્ઞાન ત્યારે શરૂ થાય છે જ્યારે વ્યક્તિગત અવલોકનોના સમૂહને એક સામાન્ય કાયદા દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે; તેથી, "પાયથાગોરિયન પ્રમેય" ની શોધને સાચી વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધિના પ્રથમ જાણીતા ઉદાહરણોમાંનું એક ગણી શકાય.

પરંતુ સામાન્ય રીતે વિજ્ઞાન માટે અને ખાસ કરીને ગણિત માટે વધુ મહત્ત્વની હકીકત એ છે કે સામાન્ય કાયદાની રચના સાથે, તેને સાબિત કરવાના પ્રયાસો દેખાય છે, એટલે કે. બતાવો કે તે અન્ય ભૌમિતિક ગુણધર્મોમાંથી આવશ્યકપણે અનુસરે છે. પૂર્વીય "સાબિતીઓ"માંથી એક તેની સાદગીમાં ખાસ કરીને સ્પષ્ટ છે: આના સમાન ચાર ત્રિકોણ ચોરસમાં કોતરેલા છે. BCDEચિત્રમાં બતાવ્યા પ્રમાણે. ચોરસ વિસ્તાર a 2 એ 2 ના કુલ ક્ષેત્રફળ સાથે ચાર સમાન ત્રિકોણમાં વિભાજિત થાય છે પૂર્વેઅને ચોરસ AFGHવિસ્તાર ( b – c) 2 . આમ, a 2 = (b – c) 2 + 2પૂર્વે = (b 2 + c 2 – 2પૂર્વે) + 2પૂર્વે = b 2 + c 2. એક ડગલું આગળ વધવું અને "અગાઉના" ગુણધર્મો કયા જાણીતા હોવાનું માનવામાં આવે છે તે વધુ ચોક્કસ રીતે શોધવાનું ઉપદેશક છે. સૌથી સ્પષ્ટ હકીકત એ છે કે ત્રિકોણથી બી.એ.સીઅને BEFબરાબર, ગાબડા અથવા ઓવરલેપ વિના, બાજુઓ સાથે “ફીટ” બી.એ.અને બી.એફ., આનો અર્થ છે કે બે શિરોબિંદુ ખૂણા બીઅને સાથેત્રિકોણમાં ABCએકસાથે 90°નો ખૂણો બનાવે છે અને તેથી તેના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો 90° + 90° = 180° બરાબર છે. ઉપરોક્ત "સાબિતી" પણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરે છે ( પૂર્વે/2) ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટે ABCટોચ પર 90°ના કોણ સાથે એ. વાસ્તવમાં, અન્ય ધારણાઓનો પણ ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો, પરંતુ જે કહેવામાં આવ્યું છે તે પૂરતું છે જેથી આપણે ગાણિતિક પુરાવાની આવશ્યક પદ્ધતિને સ્પષ્ટપણે જોઈ શકીએ - આનુમાનિક તર્ક, જે પરવાનગી આપે છે, સંપૂર્ણ રીતે તાર્કિક દલીલોનો ઉપયોગ કરીને (યોગ્ય રીતે તૈયાર કરેલી સામગ્રીના આધારે, અમારા ઉદાહરણમાં - ચોરસનું વિભાજન) જાણીતા પરિણામોમાંથી અનુમાનિત કરવા માટે નવા ગુણધર્મો, નિયમ તરીકે, ઉપલબ્ધ ડેટામાંથી સીધા જ અનુસરતા નથી.

સિદ્ધાંતો અને સાબિતીની પદ્ધતિઓ.

ગાણિતિક પદ્ધતિની મૂળભૂત વિશેષતાઓમાંની એક એ છે કે કાળજીપૂર્વક બનાવવામાં આવેલ સંપૂર્ણ તાર્કિક દલીલોનો ઉપયોગ કરીને, નિવેદનોની સાંકળ કે જેમાં દરેક અનુગામી કડી અગાઉના મુદ્દાઓ સાથે જોડાયેલ હોય છે. પ્રથમ એકદમ સ્પષ્ટ વિચારણા એ છે કે કોઈપણ સાંકળમાં પ્રથમ કડી હોવી આવશ્યક છે. 7મી સદીમાં જ્યારે ગ્રીકોએ ગાણિતિક દલીલોને વ્યવસ્થિત બનાવવાનું શરૂ કર્યું ત્યારે આ પરિસ્થિતિ સ્પષ્ટ થઈ ગઈ. પૂર્વે. આ યોજનાને અમલમાં મૂકવા માટે, ગ્રીકોને આશરે જરૂરી છે. 200 વર્ષ પહેલાં, અને હયાત દસ્તાવેજો તેઓ કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તે વિશે માત્ર એક રફ વિચાર પૂરો પાડે છે. અમારી પાસે ફક્ત સંશોધનના અંતિમ પરિણામ વિશે સચોટ માહિતી છે - પ્રખ્યાત શરૂઆતયુક્લિડ (c. 300 BC). યુક્લિડ પ્રારંભિક સ્થિતિની સૂચિ દ્વારા શરૂ થાય છે, જેમાંથી અન્ય તમામ સંપૂર્ણ તાર્કિક રીતે લેવામાં આવે છે. આ જોગવાઈઓને સ્વયંસિદ્ધ અથવા અનુમાન કહેવામાં આવે છે (શબ્દો વ્યવહારીક રીતે વિનિમયક્ષમ છે); તેઓ કાં તો કોઈપણ પ્રકારની વસ્તુઓના ખૂબ જ સામાન્ય અને કંઈક અંશે અસ્પષ્ટ ગુણધર્મોને વ્યક્ત કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, "આખું ભાગ કરતાં વધારે છે," અથવા અમુક ચોક્કસ ગાણિતિક ગુણધર્મો, ઉદાહરણ તરીકે, કોઈપણ બે બિંદુઓ માટે તેમને જોડતી અનન્ય સીધી રેખા હોય છે. . અમારી પાસે કોઈ માહિતી નથી કે ગ્રીકોએ સિદ્ધાંતોના "સત્ય" સાથે કોઈ ઊંડો અર્થ અથવા મહત્વ જોડ્યું છે કે કેમ, જો કે કેટલાક સંકેતો છે કે ગ્રીકોએ અમુક સ્વયંસિદ્ધ સ્વીકારતા પહેલા થોડા સમય માટે તેમની ચર્ચા કરી હતી. યુક્લિડ અને તેના અનુયાયીઓ તેમના સ્વભાવ પર કોઈ ભાષ્ય વિના, ગણિતના નિર્માણ માટે માત્ર પ્રારંભિક બિંદુઓ તરીકે સ્વયંસિદ્ધ રજૂ કરે છે.

પુરાવાની પદ્ધતિઓ માટે, તેઓ, એક નિયમ તરીકે, અગાઉ સાબિત થયેલા પ્રમેયના સીધા ઉપયોગ માટે ઉકાળવામાં આવ્યા હતા. કેટલીકવાર, જો કે, તર્કનું તર્ક વધુ જટિલ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. અમે અહીં યુક્લિડની મનપસંદ પદ્ધતિનો ઉલ્લેખ કરીશું, જે ગણિતની રોજિંદી પ્રેક્ટિસનો ભાગ બની ગઈ છે - પરોક્ષ સાબિતી, અથવા વિરોધાભાસ દ્વારા સાબિતી. વિરોધાભાસ દ્વારા પુરાવાના પ્રાથમિક ઉદાહરણ તરીકે, અમે બતાવીશું કે ચેસબોર્ડ કે જેમાંથી બે ખૂણાના ચોરસ કાપવામાં આવે છે, જે વિકર્ણના વિરુદ્ધ છેડા પર સ્થિત છે, તેને ડોમિનોઝથી આવરી શકાતું નથી, જેમાંથી દરેક બે ચોરસ સમાન છે. (એવું ધારવામાં આવે છે કે ચેસબોર્ડનો દરેક ચોરસ માત્ર એક જ વાર આવરી લેવો જોઈએ.) ધારો કે વિરુદ્ધ ("વિરોધી") વિધાન સાચું છે, એટલે કે. કે બોર્ડ ડોમિનોઝ સાથે આવરી શકાય છે. દરેક ટાઇલ એક કાળા અને એક સફેદ ચોરસને આવરી લે છે, તેથી ડોમિનોઝ કેવી રીતે ગોઠવાયેલા હોય તે કોઈ બાબત નથી, તેઓ સમાન સંખ્યામાં કાળા અને સફેદ ચોરસને આવરી લે છે. જો કે, કારણ કે બે ખૂણાના ચોરસ દૂર કરવામાં આવ્યા છે, ચેસબોર્ડ (જેમાં મૂળમાં સફેદ જેટલા કાળા ચોરસ હતા) બીજા રંગના ચોરસ કરતાં એક રંગના બે વધુ ચોરસ ધરાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે અમારી પ્રારંભિક ધારણા સાચી હોઈ શકતી નથી, કારણ કે તે વિરોધાભાસ તરફ દોરી જાય છે. અને કારણ કે એકબીજાનો વિરોધાભાસ કરતી દરખાસ્તો એક જ સમયે ખોટી હોઈ શકતી નથી (જો તેમાંથી એક ખોટું છે, તો વિરુદ્ધ સાચું છે), અમારી પ્રારંભિક ધારણા સાચી હોવી જોઈએ, કારણ કે જે ધારણા તેનો વિરોધાભાસ કરે છે તે ખોટી છે; તેથી, ત્રાંસા કાપીને બે ખૂણાના ચોરસ સાથેના ચેસબોર્ડને ડોમિનોઝથી ઢાંકી શકાય નહીં. તેથી, કોઈ ચોક્કસ વિધાનને સાબિત કરવા માટે, અમે ધારી શકીએ કે તે ખોટું છે, અને આ ધારણામાંથી કોઈ અન્ય વિધાન સાથે વિરોધાભાસ કાઢી શકાય છે, જેનું સત્ય જાણીતું છે.

વિરોધાભાસ દ્વારા સાબિતીનું ઉત્તમ ઉદાહરણ, જે પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતના વિકાસમાં એક સીમાચિહ્નરૂપ બની ગયું છે, તે સાબિતી છે કે જે તર્કસંગત સંખ્યા નથી, એટલે કે. અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાતું નથી પી/q, ક્યાં પીઅને q- સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ. જો, તો 2 = પી 2 /q 2, ક્યાંથી પી 2 = 2q 2. ધારો કે બે પૂર્ણાંકો છે પીઅને q, જેના માટે પી 2 = 2q 2. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે ધારીએ છીએ કે એક પૂર્ણાંક છે જેનો વર્ગ બીજા પૂર્ણાંકના વર્ગના બમણો છે. જો કોઈપણ પૂર્ણાંક આ સ્થિતિને સંતોષે છે, તો તેમાંથી એક અન્ય તમામ કરતા નાનો હોવો જોઈએ. ચાલો આમાંની સૌથી નાની સંખ્યાઓ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ. તે એક નંબર હોઈ દો પી. 2 થી q 2 એ સમ સંખ્યા છે અને પી 2 = 2q 2, પછી નંબર પી 2 સમ હોવા જોઈએ. તમામ વિષમ સંખ્યાઓના વર્ગો એકી અને ચોરસ હોવાથી પી 2 સમ છે, જેનો અર્થ છે સંખ્યા પોતે પીસમાન હોવું જોઈએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સંખ્યા પીઅમુક પૂર્ણાંકના કદ કરતાં બમણું આર. કારણ કે પી = 2આરઅને પી 2 = 2q 2, અમારી પાસે છે: (2 આર) 2 = 4આર 2 = 2q 2 અને q 2 = 2આર 2. છેલ્લી સમાનતા સમાનતા જેવું જ સ્વરૂપ ધરાવે છે પી 2 = 2q 2, અને આપણે એ જ તર્કનું પુનરાવર્તન કરી શકીએ છીએ, તે સંખ્યા બતાવી શકીએ છીએ qસમાન છે અને તે આવો પૂર્ણાંક છે s, શું q = 2s. પણ પછી q 2 = (2s) 2 = 4s 2, અને, ત્યારથી q 2 = 2આર 2, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે 4 s 2 = 2આર 2 અથવા આર 2 = 2s 2. આ આપણને બીજો પૂર્ણાંક આપે છે જે એ શરતને સંતોષે છે કે તેનો વર્ગ બીજા પૂર્ણાંકના વર્ગ કરતાં બમણો છે. પણ પછી પીઆવી સંખ્યા સૌથી નાની ન હોઈ શકે (ત્યારથી આર = પી/2), જો કે શરૂઆતમાં અમે ધાર્યું હતું કે તે આવી સંખ્યાઓમાં સૌથી નાની છે. તેથી, અમારી પ્રારંભિક ધારણા ખોટી છે, કારણ કે તે વિરોધાભાસ તરફ દોરી જાય છે, અને તેથી આવા કોઈ પૂર્ણાંકો નથી. પીઅને q, જેના માટે પી 2 = 2q 2 (એટલે કે એવું કે). આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા તર્કસંગત હોઈ શકતી નથી.

યુક્લિડથી 19મી સદીની શરૂઆત સુધી.

આ સમયગાળા દરમિયાન, ત્રણ નવીનતાઓના પરિણામે ગણિતમાં નોંધપાત્ર ફેરફાર થયો.

(1) બીજગણિતના વિકાસની પ્રક્રિયામાં, સાંકેતિક સંકેતની પદ્ધતિની શોધ કરવામાં આવી હતી જેણે સંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં જથ્થાઓ વચ્ચે વધુને વધુ જટિલ સંબંધોનું પ્રતિનિધિત્વ કરવાનું શક્ય બનાવ્યું હતું. જો આવી કોઈ "કર્સિવ લેખન" ન હોય તો ઊભી થતી અસુવિધાઓના ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો શબ્દોમાં સંબંધને અભિવ્યક્ત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2: “બે આપેલા ચોરસની બાજુઓના સરવાળાની બરાબર બાજુવાળા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેમના વિસ્તારોના સરવાળાના સરવાળા વત્તા એક લંબચોરસના ક્ષેત્રફળના બમણા જેટલું છે જેની બાજુઓ તેની બાજુઓ જેટલી છે. આપેલ ચોરસ."

(2) 17મી સદીના પહેલા ભાગમાં સર્જન. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ, જેણે શાસ્ત્રીય ભૂમિતિની કોઈપણ સમસ્યાને અમુક બીજગણિત સમસ્યામાં ઘટાડવાનું શક્ય બનાવ્યું.

(3) 1600 થી 1800 ના સમયગાળામાં અનંત કેલ્ક્યુલસની રચના અને વિકાસ, જેણે મર્યાદા અને સાતત્યની વિભાવનાઓને લગતી સેંકડો સમસ્યાઓને સરળતાથી અને વ્યવસ્થિત રીતે ઉકેલવાનું શક્ય બનાવ્યું, જેમાંથી માત્ર થોડી જ મુશ્કેલીથી હલ થઈ. પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા. ગણિતની આ શાખાઓ ALGEBRA લેખોમાં વધુ વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે; વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ; ગાણિતિક વિશ્લેષણ; ભૂમિતિ સમીક્ષા.

17મી સદીથી. પ્રશ્ન, જે અત્યાર સુધી અદ્રાવ્ય હતો, ધીમે ધીમે સ્પષ્ટ થઈ રહ્યો છે. ગણિત શું છે? 1800 પહેલા જવાબ એકદમ સરળ હતો. તે સમયે, વિવિધ વિજ્ઞાન વચ્ચે કોઈ સ્પષ્ટ સીમાઓ ન હતી; ગણિત "કુદરતી ફિલસૂફી" નો ભાગ હતો - પુનરુજ્જીવન અને 17મી સદીની શરૂઆતમાં મહાન સુધારકો દ્વારા સૂચિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને પ્રકૃતિનો વ્યવસ્થિત અભ્યાસ. – ગેલિલિયો (1564–1642), એફ. બેકોન (1561–1626) અને આર. ડેસકાર્ટેસ (1596–1650). એવું માનવામાં આવતું હતું કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ પાસે અભ્યાસનું પોતાનું ક્ષેત્ર છે - સંખ્યાઓ અને ભૌમિતિક વસ્તુઓ - અને તે ગણિતશાસ્ત્રીઓ પ્રાયોગિક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા નથી. જો કે, ન્યૂટન અને તેના અનુયાયીઓ યુક્લિડ દ્વારા ભૂમિતિને કેવી રીતે રજૂ કરવામાં આવી હતી તેના જેવી જ સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મિકેનિક્સ અને ખગોળશાસ્ત્રનો અભ્યાસ કર્યો. વધુ સામાન્ય રીતે, તે માન્યતા પ્રાપ્ત થઈ હતી કે કોઈપણ વિજ્ઞાન જેમાં પ્રયોગના પરિણામોને સંખ્યાઓ અથવા સંખ્યાઓની સિસ્ટમોનો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરી શકાય છે તે ગણિતના ઉપયોગનું ક્ષેત્ર બની જાય છે (ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, આ વિચાર ફક્ત 19મી સદીમાં સ્થાપિત થયો હતો).

પ્રાયોગિક વિજ્ઞાનના ક્ષેત્રો કે જે ગાણિતિક સારવારમાંથી પસાર થયા છે તેને ઘણીવાર "એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ" કહેવામાં આવે છે; આ એક ખૂબ જ કમનસીબ નામ છે, કારણ કે, ન તો શાસ્ત્રીય અથવા આધુનિક ધોરણો દ્વારા, આ એપ્લિકેશન્સમાં (કડક અર્થમાં) ખરેખર ગાણિતિક દલીલો છે, કારણ કે તેમાં અભ્યાસનો વિષય બિન-ગાણિતિક પદાર્થો છે. એકવાર પ્રાયોગિક ડેટાને સંખ્યાઓ અથવા સમીકરણોની ભાષામાં અનુવાદિત કરવામાં આવે (આવા "અનુવાદ" માટે "લાગુ કરેલ" ગણિતશાસ્ત્રી દ્વારા ઘણી વખત મોટી કોઠાસૂઝની જરૂર પડે છે), ગાણિતિક પ્રમેયને વ્યાપકપણે લાગુ કરવાનું શક્ય બને છે; પરિણામ પછી ફરીથી અનુવાદ કરવામાં આવે છે અને અવલોકનો સાથે સરખામણી કરવામાં આવે છે. હકીકત એ છે કે શબ્દ "ગણિત" આ પ્રકારની પ્રક્રિયા માટે લાગુ પડે છે તે અનંત ગેરસમજણોના સ્ત્રોતો પૈકી એક છે. હવે આપણે જે "શાસ્ત્રીય" સમયમાં વાત કરી રહ્યા છીએ, આ પ્રકારની ગેરસમજ અસ્તિત્વમાં ન હતી, કારણ કે સમાન લોકો "લાગુ" અને "શુદ્ધ" ગણિતશાસ્ત્રીઓ બંને હતા, એક સાથે ગાણિતિક વિશ્લેષણ અથવા સંખ્યા સિદ્ધાંતની સમસ્યાઓ અને સમસ્યાઓ પર કામ કરતા હતા. ડાયનેમિક્સ અથવા ઓપ્ટિક્સ. જો કે, વધેલી વિશેષતા અને "શુદ્ધ" અને "લાગુ" ગણિતને અલગ કરવાની વૃત્તિએ સાર્વત્રિકતાની અગાઉની પ્રવર્તમાન પરંપરાને નોંધપાત્ર રીતે નબળી પાડી, અને જે. વોન ન્યુમેન (1903-1957) જેવા વૈજ્ઞાનિકો બંનેમાં સક્રિય વૈજ્ઞાનિક કાર્ય કરવા સક્ષમ હતા. લાગુ અને શુદ્ધ ગણિતમાં નિયમને બદલે અપવાદ બની ગયા છે.

ગાણિતિક પદાર્થોનું સ્વરૂપ શું છે - સંખ્યાઓ, બિંદુઓ, રેખાઓ, ખૂણાઓ, સપાટીઓ, વગેરે, જેમના અસ્તિત્વને આપણે સ્વીકાર્ય માનીએ છીએ? આવા પદાર્થોના સંબંધમાં ખ્યાલ "સત્ય" નો અર્થ શું છે? શાસ્ત્રીય સમયગાળામાં આ પ્રશ્નોના તદ્દન ચોક્કસ જવાબો આપવામાં આવ્યા હતા. અલબત્ત, તે યુગના વૈજ્ઞાનિકો સ્પષ્ટપણે સમજી શક્યા હતા કે આપણી સંવેદનાઓની દુનિયામાં યુક્લિડની "અનંત વિસ્તૃત સીધી રેખા" અથવા "પરિમાણહીન બિંદુ" જેવી કોઈ વસ્તુઓ નથી, જેમ કે કોઈ "શુદ્ધ ધાતુઓ", "મોનોક્રોમેટિક" નથી. પ્રકાશ", "હીટ-ઇન્સ્યુલેટેડ સિસ્ટમ્સ", વગેરે. ડી., જે પ્રયોગકર્તાઓ તેમના તર્ક અનુસાર કાર્ય કરે છે. આ તમામ ખ્યાલો "પ્લેટોનિક વિચારો" છે, એટલે કે. પ્રયોગમૂલક વિભાવનાઓનું એક પ્રકારનું જનરેટિવ મોડલ, જોકે ધરમૂળથી અલગ પ્રકૃતિનું છે. તેમ છતાં, તે સ્પષ્ટપણે ધારવામાં આવ્યું હતું કે વિચારોની ભૌતિક "છબીઓ" વિચારોની ઇચ્છિત હોય તેટલી નજીક હોઈ શકે છે. વિચારોની વસ્તુઓની નિકટતા વિશે કંઈપણ કહી શકાય તે હદ સુધી, "વિચાર" કહેવામાં આવે છે, તેથી વાત કરીએ તો, ભૌતિક પદાર્થોના "સીમિત કિસ્સાઓ" છે. આ દૃષ્ટિકોણથી, યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો અને તેમાંથી મેળવેલા પ્રમેય "આદર્શ" પદાર્થોના ગુણધર્મોને વ્યક્ત કરે છે કે જેના માટે અનુમાનિત પ્રાયોગિક તથ્યો અનુરૂપ હોવા જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, અવકાશમાં ત્રણ બિંદુઓથી બનેલા ત્રિકોણના ખૂણાઓને ઓપ્ટિકલ પદ્ધતિઓ દ્વારા માપવાથી, "આદર્શ કિસ્સામાં" 180° ની બરાબર રકમ આપવી જોઈએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સ્વયંસિદ્ધ ભૌતિક નિયમોના સમાન સ્તર પર મૂકવામાં આવે છે, અને તેથી તેમનું "સત્ય" ભૌતિક કાયદાના સત્યની જેમ જ જોવામાં આવે છે; તે પ્રાયોગિક ડેટા સાથે સરખામણી કરીને એક્સિઓમ્સના તાર્કિક પરિણામો ચકાસણીને આધીન છે. અલબત્ત, માપન સાધનની "અપૂર્ણ" પ્રકૃતિ અને માપેલ ઑબ્જેક્ટની "અપૂર્ણ પ્રકૃતિ" બંને સાથે સંકળાયેલ ભૂલની મર્યાદામાં જ કરાર પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. જો કે, હંમેશા એવું માનવામાં આવે છે કે જો કાયદા "સાચા" હોય, તો માપન પ્રક્રિયાઓમાં સુધારાઓ સૈદ્ધાંતિક રીતે માપન ભૂલને ઇચ્છિત તરીકે નાની બનાવી શકે છે.

18મી સદી દરમિયાન. ત્યાં વધુ અને વધુ પુરાવા હતા કે મૂળભૂત સ્વયંસિદ્ધોમાંથી મેળવેલા તમામ પરિણામો, ખાસ કરીને ખગોળશાસ્ત્ર અને મિકેનિક્સમાં, પ્રાયોગિક ડેટા સાથે સુસંગત છે. અને કારણ કે આ પરિણામો તે સમયે અસ્તિત્વમાં રહેલા ગાણિતિક ઉપકરણનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવ્યા હતા, તેથી પ્રાપ્ત થયેલી સફળતાઓએ યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોના સત્ય વિશેના અભિપ્રાયને મજબૂત બનાવવામાં ફાળો આપ્યો, જે પ્લેટોએ કહ્યું તેમ, "દરેક માટે સ્પષ્ટ" છે અને તે ચર્ચાને પાત્ર નથી.

શંકાઓ અને નવી આશાઓ.

નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ.

યુક્લિડ દ્વારા આપવામાં આવેલા અનુમાનોમાં, એક એટલું અસ્પષ્ટ હતું કે મહાન ગણિતશાસ્ત્રીના પ્રથમ વિદ્યાર્થીઓ પણ તેને સિસ્ટમમાં એક નબળો મુદ્દો માનતા હતા. શરૂ કર્યું. પ્રશ્નમાંનો સ્વયંસિદ્ધ જણાવે છે કે આપેલ રેખાની બહાર આવેલા બિંદુ દ્વારા, આપેલ રેખાની સમાંતર માત્ર એક રેખા દોરી શકાય છે. મોટાભાગના જીઓમીટર્સ માનતા હતા કે સમાંતર સ્વયંસિદ્ધ અન્ય સ્વયંસિદ્ધો દ્વારા સાબિત થઈ શકે છે, અને યુક્લિડે સમાંતર વિધાનને અનુમાન તરીકે ઘડ્યું હતું કારણ કે તે આવા પુરાવા સાથે આવવામાં અસમર્થ હતા. પરંતુ, શ્રેષ્ઠ ગણિતશાસ્ત્રીઓએ સમાંતરની સમસ્યાને હલ કરવાનો પ્રયાસ કર્યો હોવા છતાં, તેમાંથી કોઈ પણ યુક્લિડને વટાવી શક્યું નહીં. છેવટે, 18મી સદીના ઉત્તરાર્ધમાં. યુક્લિડની સમાંતરની ધારણાને વિરોધાભાસ દ્વારા સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કરવામાં આવ્યો હતો. એવું સૂચવવામાં આવ્યું છે કે સમાંતર સ્વયંસિદ્ધ ખોટું છે. પ્રાથમિક રીતે, યુક્લિડની ધારણા બે કિસ્સાઓમાં ખોટી હોઈ શકે છે: જો આપેલ રેખાની બહારના બિંદુ દ્વારા એક સમાંતર રેખા દોરવી અશક્ય છે; અથવા જો તેના દ્વારા ઘણી સમાંતર રાશિઓ દોરી શકાય. તે બહાર આવ્યું છે કે પ્રથમ અગ્રતા શક્યતા અન્ય સ્વયંસિદ્ધ દ્વારા બાકાત છે. સમાંતર વિશેના પરંપરાગત સ્વયંસિદ્ધને બદલે એક નવો સ્વયંસિદ્ધ અપનાવવાથી (જે આપેલ રેખાની બહારના બિંદુ દ્વારા આપેલ એકની સમાંતર ઘણી રેખાઓ દોરવામાં આવી શકે છે), ગણિતશાસ્ત્રીઓએ તેમાંથી એક નિવેદન મેળવવાનો પ્રયાસ કર્યો જે અન્ય સ્વયંસિદ્ધિઓનો વિરોધાભાસ કરે છે, પરંતુ નિષ્ફળ ગયા: ના તેઓએ નવા “યુક્લિડિયન વિરોધી” અથવા “નોન-યુક્લિડિયન” સ્વતંતરમાંથી પરિણામો મેળવવાનો કેટલો પ્રયત્ન કર્યો તે બાબત, વિરોધાભાસ ક્યારેય દેખાયો નહીં. છેવટે, એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે, એન.આઈ. લોબાચેવ્સ્કી (1793-1856) અને જે. બોલ્યાઈ (1802-1860) એ સમજાયું કે સમાંતર વિશે યુક્લિડની ધારણા અયોગ્ય છે, અથવા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, "નોન-યુક્લિડિયન જીઓમ" માં વિરોધાભાસ દેખાશે નહીં. "

નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિના આગમન સાથે, ઘણી દાર્શનિક સમસ્યાઓ તરત જ ઊભી થઈ. સ્વયંસિદ્ધની પ્રાથમિક આવશ્યકતાનો દાવો અદૃશ્ય થઈ ગયો હોવાથી, તેમના "સત્ય" ની ચકાસણી કરવાનો એકમાત્ર રસ્તો પ્રાયોગિક હતો. પરંતુ, એ. પોઈનકેરે (1854-1912)એ પાછળથી નોંધ્યું છે તેમ, કોઈપણ ઘટનાના વર્ણનમાં એટલી બધી ભૌતિક ધારણાઓ છુપાયેલી હોય છે કે એક પણ પ્રયોગ ગાણિતિક સ્વયંસિદ્ધની સત્યતા કે અસત્યતાનો વિશ્વાસપાત્ર પુરાવો આપી શકતો નથી. તદુપરાંત, જો આપણે ધારીએ કે આપણું વિશ્વ "બિન-યુક્લિડિયન" છે, તો શું તે અનુસરે છે કે બધી યુક્લિડિયન ભૂમિતિ ખોટી છે? જ્યાં સુધી જાણીતું છે, કોઈપણ ગણિતશાસ્ત્રીએ ક્યારેય આવી પૂર્વધારણાને ગંભીરતાથી ધ્યાનમાં લીધી નથી. અંતર્જ્ઞાન સૂચવે છે કે યુક્લિડિયન અને નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ બંને સંપૂર્ણ ગણિતના ઉદાહરણો છે.

ગાણિતિક "રાક્ષસો".

અણધારી રીતે, સમાન તારણો સંપૂર્ણપણે અલગ દિશામાંથી પહોંચ્યા હતા - એવી વસ્તુઓ મળી આવી હતી જેણે 19મી સદીના ગણિતશાસ્ત્રીઓને ચોંકાવી દીધા હતા. આઘાત પામ્યો અને "ગાણિતિક રાક્ષસો" તરીકે ઓળખાયો. આ શોધ ગાણિતિક પૃથ્થકરણના અત્યંત સૂક્ષ્મ મુદ્દાઓ સાથે સીધી રીતે સંબંધિત છે જે ફક્ત 19મી સદીના મધ્યમાં જ ઉદ્ભવ્યા હતા. વળાંકના પ્રાયોગિક ખ્યાલ માટે ચોક્કસ ગાણિતિક એનાલોગ શોધવાનો પ્રયાસ કરતી વખતે મુશ્કેલીઓ ઊભી થઈ. "સતત ગતિ" ની વિભાવનાનો સાર શું હતો (ઉદાહરણ તરીકે, કાગળની શીટ પર ડ્રોઇંગ પેનનું બિંદુ) ચોક્કસ ગાણિતિક વ્યાખ્યાને આધિન હતું, અને આ ધ્યેય ત્યારે પ્રાપ્ત થયો જ્યારે સાતત્યની વિભાવનાએ સખત ગાણિતિક હસ્તગત કરી. અર્થ ( સેમી. પણવળાંક). સાહજિક રીતે એવું લાગતું હતું કે તેના દરેક બિંદુઓ પર "વળાંક" ની દિશા છે, એટલે કે. સામાન્ય કિસ્સામાં, તેના દરેક બિંદુઓની પડોશમાં, વળાંક લગભગ સીધી રેખાની જેમ જ વર્તે છે. (બીજી તરફ, એ કલ્પના કરવી મુશ્કેલ નથી કે વક્રમાં બહુકોણની જેમ મર્યાદિત સંખ્યામાં ખૂણાના બિંદુઓ, "કિંક" હોય છે.) આ જરૂરિયાતને ગાણિતિક રીતે ઘડી શકાય છે, એટલે કે, વળાંક માટે સ્પર્શકનું અસ્તિત્વ હતું. ધારવામાં આવે છે, અને 19મી સદીના મધ્ય સુધી. એવું માનવામાં આવતું હતું કે "વળાંક" તેના લગભગ તમામ બિંદુઓ પર સ્પર્શક ધરાવે છે, કદાચ કેટલાક "વિશેષ" બિંદુઓને બાદ કરતાં. તેથી, "વળાંકો" ની શોધ કે જેમાં કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શક ન હોય તે વાસ્તવિક કૌભાંડનું કારણ બને છે ( સેમી. પણકાર્ય સિદ્ધાંત). (ત્રિકોણમિતિ અને વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિથી પરિચિત વાચક સરળતાથી ચકાસી શકે છે કે સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ વળાંક y = xપાપ(1/ x), મૂળમાં સ્પર્શક નથી, પરંતુ વળાંકને વ્યાખ્યાયિત કરવું કે જેના કોઈપણ બિંદુઓ પર સ્પર્શક ન હોય તે વધુ મુશ્કેલ છે.)

કંઈક અંશે પાછળથી, વધુ "પેથોલોજીકલ" પરિણામ પ્રાપ્ત થયું: વળાંકનું ઉદાહરણ બનાવવું શક્ય હતું જે ચોરસને સંપૂર્ણપણે ભરે છે. ત્યારથી, આવા સેંકડો "રાક્ષસો" ની શોધ કરવામાં આવી છે, "સામાન્ય જ્ઞાન" ની વિરુદ્ધ. તે પર ભાર મૂકવો જોઈએ કે આવા અસામાન્ય ગાણિતિક પદાર્થોનું અસ્તિત્વ ત્રિકોણ અથવા અંડાકારના અસ્તિત્વની જેમ સખત અને તાર્કિક રીતે દોષરહિત મૂળભૂત સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોને અનુસરે છે. કારણ કે ગાણિતિક "રાક્ષસો" કોઈપણ પ્રાયોગિક ઑબ્જેક્ટને અનુરૂપ હોઈ શકતા નથી, અને એકમાત્ર સંભવિત નિષ્કર્ષ એ છે કે ગાણિતિક "વિચારો" ની દુનિયા અપેક્ષા કરતા વધુ સમૃદ્ધ અને વધુ અસામાન્ય છે, અને તેમાંથી ફક્ત થોડા જ આપણા વિશ્વમાં પત્રવ્યવહાર ધરાવે છે. સંવેદનાઓ પરંતુ જો ગાણિતિક "રાક્ષસો" તાર્કિક રીતે સ્વયંસિદ્ધનું અનુસરણ કરે છે, તો શું સ્વયંસિદ્ધ હજુ પણ સાચું ગણી શકાય?

નવી વસ્તુઓ.

ઉપરોક્ત પરિણામોની વધુ એક બાજુથી પુષ્ટિ કરવામાં આવી હતી: ગણિતમાં, મુખ્યત્વે બીજગણિતમાં, એક પછી એક, નવા ગાણિતિક પદાર્થો દેખાવા લાગ્યા, જે સંખ્યાના ખ્યાલના સામાન્યીકરણ હતા. સામાન્ય પૂર્ણાંકો તદ્દન "સાહજિક" હોય છે, અને અપૂર્ણાંકના પ્રાયોગિક ખ્યાલમાં આવવું બિલકુલ મુશ્કેલ નથી (જોકે તે સ્વીકારવું આવશ્યક છે કે એકમને ઘણા સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરવાની અને તેમાંથી ઘણાને પસંદ કરવાનું કાર્ય પ્રકૃતિમાં અલગ છે. ગણતરીની પ્રક્રિયામાંથી). એકવાર તે શોધી કાઢવામાં આવ્યું કે સંખ્યાને અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાતી નથી, ગ્રીકને અતાર્કિક સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લેવાની ફરજ પડી હતી, જેનો સાચો નિર્ધારણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ દ્વારા અંદાજોના અનંત ક્રમ દ્વારા માનવ મનની સર્વોચ્ચ સિદ્ધિઓ સાથે સંબંધિત છે, પરંતુ આપણા ભૌતિક વિશ્વમાં વાસ્તવિક કોઈપણ વસ્તુ સાથે ભાગ્યે જ અનુરૂપ હોય છે (જ્યાં કોઈપણ માપ હંમેશા ભૂલો સાથે સંકળાયેલું હોય છે). તેમ છતાં, ભૌતિક વિભાવનાઓના "આદર્શીકરણ" ની ભાવનામાં અતાર્કિક સંખ્યાઓનો પરિચય વધુ કે ઓછો થયો. નકારાત્મક સંખ્યાઓ વિશે આપણે શું કહી શકીએ, જે ધીમે ધીમે, મહાન પ્રતિકારનો સામનો કરીને, બીજગણિતના વિકાસના સંબંધમાં વૈજ્ઞાનિક ઉપયોગ દાખલ કરવાનું શરૂ કર્યું? તે સંપૂર્ણ નિશ્ચિતતા સાથે કહી શકાય કે ત્યાં કોઈ તૈયાર ભૌતિક વસ્તુઓ ન હતી, જેમાંથી આપણે, પ્રત્યક્ષ અમૂર્તની પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને, નકારાત્મક સંખ્યાની વિભાવના વિકસાવી શકીએ, અને પ્રારંભિક બીજગણિત અભ્યાસક્રમ શીખવવા માટે આપણે ઘણા બધા પરિચય આપવા પડશે. નકારાત્મક સંખ્યાઓ શું છે તે સમજાવવા માટે સહાયક અને તેના બદલે જટિલ ઉદાહરણો (ઓરિએન્ટેડ સેગમેન્ટ્સ, તાપમાન, દેવા વગેરે). આ પરિસ્થિતિ "દરેકને સ્પષ્ટ" ખ્યાલથી ઘણી દૂર છે, કારણ કે પ્લેટોએ ગણિતના અંતર્ગત વિચારોની માંગણી કરી હતી, અને ઘણીવાર કૉલેજના સ્નાતકોનો સામનો થાય છે જેમના માટે સંકેતોનો નિયમ હજુ પણ એક રહસ્ય છે (- a)(–b) = ab. આ પણ જુઓ NUMBER

"કાલ્પનિક" અથવા "જટિલ" સંખ્યાઓ સાથે પરિસ્થિતિ વધુ ખરાબ છે, કારણ કે તેમાં "સંખ્યા" શામેલ છે i, આવા કે i 2 = –1, જે સાઇન નિયમનું સ્પષ્ટ ઉલ્લંઘન છે. તેમ છતાં, 16મી સદીના અંતથી ગણિતશાસ્ત્રીઓ. જટિલ સંખ્યાઓ સાથે ગણતરીઓ કરવામાં અચકાવું નહીં જેમ કે તેઓ "સમજ્યા" છે, જો કે 200 વર્ષ પહેલાં તેઓ આ "ઓબ્જેક્ટ્સ" ને વ્યાખ્યાયિત કરી શક્યા ન હતા અથવા કોઈપણ સહાયક બાંધકામનો ઉપયોગ કરીને તેનું અર્થઘટન કરી શક્યા ન હતા, ઉદાહરણ તરીકે, નિર્દેશિત સેગમેન્ટ્સ નેગેટિવ નંબરોનો ઉપયોગ કરીને અર્થઘટન કરવામાં આવ્યું હતું. . (1800 પછી, જટિલ સંખ્યાઓના ઘણા અર્થઘટનની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી, જે પ્લેનમાં વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સૌથી પ્રખ્યાત છે.)

આધુનિક અક્ષીયશાસ્ત્ર.

ક્રાંતિ 19મી સદીના ઉત્તરાર્ધમાં થઈ હતી. અને તેમ છતાં તે સત્તાવાર નિવેદનોને અપનાવવા સાથે ન હતું, વાસ્તવમાં તે એક પ્રકારની "સ્વતંત્રતાની ઘોષણા" ની ઘોષણા વિશે હતું. વધુ વિશિષ્ટ રીતે, બહારની દુનિયાથી ગણિતની સ્વતંત્રતાની હકીકતમાં ઘોષણા વિશે.

આ દૃષ્ટિકોણથી, ગાણિતિક "ઓબ્જેક્ટો", જો તે તેમના "અસ્તિત્વ" વિશે વાત કરવા માટે અર્થપૂર્ણ બને છે, તો તે મનની શુદ્ધ રચનાઓ છે, અને શું તેમની પાસે કોઈ "પત્રવ્યવહાર" છે અને ભૌતિક વિશ્વમાં કોઈપણ "અર્થઘટન" કરવાની મંજૂરી આપે છે. , ગણિત માટે બિનમહત્વપૂર્ણ છે (જોકે આ પ્રશ્ન પોતે જ રસપ્રદ છે).

આવા "ઓબ્જેક્ટો" વિશેના "સાચા" નિવેદનો એ સ્વયંસિદ્ધના સમાન તાર્કિક પરિણામો છે. પરંતુ હવે સ્વયંસિદ્ધોને સંપૂર્ણપણે મનસ્વી તરીકે ગણવામાં આવવું જોઈએ, અને તેથી "આદર્શીકરણ" દ્વારા રોજિંદા અનુભવમાંથી "સ્પષ્ટ" અથવા કપાતપાત્ર હોવાની કોઈ જરૂર નથી. વ્યવહારમાં, સંપૂર્ણ સ્વતંત્રતા વિવિધ વિચારણાઓ દ્વારા મર્યાદિત છે. અલબત્ત, "શાસ્ત્રીય" પદાર્થો અને તેમના સ્વયંસિદ્ધો યથાવત છે, પરંતુ હવે તેમને ગણિતના એકમાત્ર પદાર્થો અને સ્વયંસિદ્ધ ગણી શકાય નહીં, અને સ્વયંસિદ્ધોને ફેંકી દેવાની અથવા પુનઃકાર્ય કરવાની ટેવ રોજિંદા વ્યવહારનો ભાગ બની ગઈ છે જેથી તે શક્ય બને. તેનો અલગ અલગ રીતે ઉપયોગ કરો, જેમ કે યુક્લિડિયનથી નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં સંક્રમણ દરમિયાન કરવામાં આવ્યું હતું. (તે આ રીતે છે કે "નોન-યુક્લિડિયન" ભૂમિતિના અસંખ્ય પ્રકારો મેળવવામાં આવ્યા છે, જે યુક્લિડિયન ભૂમિતિથી અને લોબાચેવ્સ્કી-બોલ્યાય ભૂમિતિથી અલગ છે; ઉદાહરણ તરીકે, ત્યાં બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિઓ છે જેમાં કોઈ સમાંતર રેખાઓ નથી.)

હું ખાસ કરીને એક સંજોગો પર ભાર મૂકવા માંગુ છું જે ગાણિતિક "ઓબ્જેક્ટ્સ" માટેના નવા અભિગમને અનુસરે છે: બધા પુરાવા ફક્ત સ્વયંસિદ્ધ રૂપે આધારિત હોવા જોઈએ. જો આપણે ગાણિતિક પુરાવાની વ્યાખ્યા યાદ રાખીએ, તો આવા નિવેદન પુનરાવર્તિત લાગે છે. જો કે, શાસ્ત્રીય ગણિતમાં આ નિયમ ભાગ્યે જ અનુસરવામાં આવતો હતો કારણ કે તેના પદાર્થો અથવા સ્વયંસિદ્ધની "સાહજિક" પ્રકૃતિ હતી. માં પણ શરૂઆતયુક્લિડ, તેમની તમામ દેખીતી "કઠોરતા" માટે, ઘણા સિદ્ધાંતો સ્પષ્ટ રીતે ઘડવામાં આવતા નથી અને ઘણા ગુણધર્મો કાં તો સ્પષ્ટપણે ધારવામાં આવે છે અથવા પૂરતા સમર્થન વિના રજૂ કરવામાં આવે છે. યુક્લિડિયન ભૂમિતિને નક્કર આધાર પર મૂકવા માટે, તેના સિદ્ધાંતોનું વિવેચનાત્મક સંશોધન જરૂરી હતું. તે કહેવું ભાગ્યે જ યોગ્ય છે કે પુરાવાની નાની વિગતો પર પેડન્ટિક નિયંત્રણ એ "રાક્ષસો" ના દેખાવનું પરિણામ છે જેણે આધુનિક ગણિતશાસ્ત્રીઓને તેમના નિષ્કર્ષમાં સાવચેત રહેવાનું શીખવ્યું. ક્લાસિકલ ઑબ્જેક્ટ્સ વિશેનું સૌથી નિરુપદ્રવી અને "સ્વ-સ્પષ્ટ" નિવેદન, ઉદાહરણ તરીકે, રેખાની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર સ્થિત વળાંકને જોડતા બિંદુઓ આવશ્યકપણે આ રેખાને છેદે છે તેવું નિવેદન, આધુનિક ગણિતમાં સખત ઔપચારિક પુરાવાની જરૂર છે.

તે કહેવું વિરોધાભાસી લાગે છે કે તે ચોક્કસ રીતે તેના સ્વયંસિદ્ધ પાલનને કારણે છે કે આધુનિક ગણિત કોઈપણ વિજ્ઞાન શું હોવું જોઈએ તેના સ્પષ્ટ ઉદાહરણ તરીકે સેવા આપે છે. તેમ છતાં, આ અભિગમ વૈજ્ઞાનિક વિચારસરણીની સૌથી મૂળભૂત પ્રક્રિયાઓમાંની એકની લાક્ષણિકતા દર્શાવે છે - અપૂર્ણ જ્ઞાનની પરિસ્થિતિમાં સચોટ માહિતી મેળવવી. ચોક્કસ વર્ગના પદાર્થોનો વૈજ્ઞાનિક અભ્યાસ ધારે છે કે જે લક્ષણો એક વસ્તુને બીજાથી અલગ પાડવાનું શક્ય બનાવે છે તે ઇરાદાપૂર્વક વિસ્મૃતિ માટે મોકલવામાં આવે છે, અને માત્ર વિચારણા હેઠળની વસ્તુઓની સામાન્ય લાક્ષણિકતાઓ જ સાચવવામાં આવે છે. વિજ્ઞાનની સામાન્ય શ્રેણી સિવાય ગણિતને જે સુયોજિત કરે છે તે તેના તમામ મુદ્દાઓમાં આ પ્રોગ્રામનું કડક પાલન છે. ગાણિતિક ઑબ્જેક્ટ્સ તે ઑબ્જેક્ટના સિદ્ધાંતમાં ઉપયોગમાં લેવાતા સ્વયંસિદ્ધિઓ દ્વારા સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત હોવાનું કહેવાય છે; અથવા, પોઈનકેરેના શબ્દોમાં, તેઓ જે વસ્તુઓનો ઉલ્લેખ કરે છે તેની "છૂપી વ્યાખ્યાઓ" તરીકે સ્વયંસિદ્ધ છે.

આધુનિક ગણિત

કોઈપણ સ્વયંસિદ્ધનું અસ્તિત્વ સૈદ્ધાંતિક રીતે શક્ય હોવા છતાં, અત્યાર સુધી માત્ર થોડાક જ સ્વયંસિદ્ધ પ્રસ્તાવિત અને અભ્યાસ કરવામાં આવ્યા છે. સામાન્ય રીતે, એક અથવા વધુ સિદ્ધાંતોના વિકાસ દરમિયાન, તે નોંધવામાં આવે છે કે ચોક્કસ પ્રૂફ પેટર્ન વધુ કે ઓછા સમાન પરિસ્થિતિઓમાં પુનરાવર્તિત થાય છે. એકવાર સામાન્ય સાબિતી યોજનાઓમાં વપરાતા ગુણધર્મો શોધી કાઢવામાં આવે છે, તે સ્વયંસિદ્ધ તરીકે ઘડવામાં આવે છે, અને તેમના પરિણામો એક સામાન્ય સિદ્ધાંતમાં બાંધવામાં આવે છે જેનો ચોક્કસ સંદર્ભો સાથે કોઈ સીધો સંબંધ નથી કે જેમાંથી સ્વયંસિદ્ધ અમૂર્ત હતા. આ રીતે મેળવેલ સામાન્ય પ્રમેય કોઈપણ ગાણિતિક પરિસ્થિતિને લાગુ પડે છે જેમાં અનુરૂપ સ્વયંસિદ્ધિઓને સંતોષતા પદાર્થોની સિસ્ટમ હોય છે. વિવિધ ગાણિતિક પરિસ્થિતિઓમાં સમાન સાબિતી યોજનાઓનું પુનરાવર્તન સૂચવે છે કે આપણે સમાન સામાન્ય સિદ્ધાંતના વિવિધ વિશિષ્ટતાઓ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. આનો અર્થ એ છે કે યોગ્ય અર્થઘટન પછી, આ સિદ્ધાંતના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો દરેક પરિસ્થિતિમાં પ્રમેય બની જાય છે. આ તમામ પરિસ્થિતિઓમાં સ્વયંસિદ્ધિમાંથી મેળવેલી કોઈપણ મિલકત માન્ય રહેશે, પરંતુ દરેક કેસ માટે અલગ પુરાવાની જરૂર નથી. આવા કિસ્સાઓમાં, ગાણિતિક પરિસ્થિતિઓ સમાન ગાણિતિક "સંરચના" શેર કરે છે.

આપણે આપણા રોજિંદા જીવનમાં દરેક પગલા પર માળખાના વિચારનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. જો થર્મોમીટર 10 ° સે વાંચે છે અને આગાહી બ્યુરો 5 ° સે તાપમાનમાં વધારો થવાની આગાહી કરે છે, તો અમે કોઈપણ ગણતરી વિના 15 ° સે તાપમાનની અપેક્ષા રાખીએ છીએ જો કોઈ પુસ્તક પૃષ્ઠ 10 પર ખોલવામાં આવે અને અમને 5 પૃષ્ઠો આગળ જોવાનું કહેવામાં આવે , અમે મધ્યવર્તી પૃષ્ઠોની ગણતરી કર્યા વિના તેને 15મા પૃષ્ઠ પર ખોલવામાં અચકાતા નથી. બંને કિસ્સાઓમાં, અમે માનીએ છીએ કે સંખ્યાઓ ઉમેરવાથી યોગ્ય પરિણામ મળે છે, તેમના અર્થઘટનને ધ્યાનમાં લીધા વિના - તાપમાન અથવા પૃષ્ઠ નંબર તરીકે. આપણે થર્મોમીટર્સ માટે એક અંકગણિત અને પૃષ્ઠ નંબર માટે બીજું શીખવાની જરૂર નથી (જોકે આપણે ઘડિયાળો સાથે કામ કરતી વખતે એક વિશિષ્ટ અંકગણિતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જેમાં 8 + 5 = 1, કારણ કે ઘડિયાળોની રચના પુસ્તકના પૃષ્ઠો કરતાં અલગ હોય છે). ગણિતશાસ્ત્રીઓને રુચિ ધરાવતી રચનાઓ કંઈક વધુ જટિલ છે, જે આ લેખના આગળના બે વિભાગોમાં ચર્ચા કરવામાં આવેલા ઉદાહરણોમાંથી જોવાનું સરળ છે. તેમાંથી એક જૂથ સિદ્ધાંત અને રચનાઓ અને સમરૂપતાના ગાણિતિક ખ્યાલો વિશે વાત કરશે.

જૂથ સિદ્ધાંત.

ઉપર દર્શાવેલ પ્રક્રિયાને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, ચાલો આપણે આધુનિક ગણિતશાસ્ત્રીની પ્રયોગશાળામાં જોવાની અને તેના મુખ્ય સાધનોમાંના એકને નજીકથી જોવાની સ્વતંત્રતા લઈએ - જૂથ સિદ્ધાંત ( સેમી. પણઅમૂર્ત બીજગણિત). જૂથ એ પદાર્થોનો સમૂહ (અથવા "સેટ") છે જી, જેના પર કોઈ પણ બે ઑબ્જેક્ટ અથવા તત્વો સાથે મેળ ખાતી ક્રિયાને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે a, bથી જી, ઉલ્લેખિત ક્રમમાં લેવામાં આવે છે (પ્રથમ તત્વ છે a, બીજું તત્વ છે b), ત્રીજું તત્વ cથી જીસખત રીતે વ્યાખ્યાયિત નિયમ અનુસાર. સંક્ષિપ્તતા માટે, અમે આ તત્વને સૂચિત કરીએ છીએ a*b; ફૂદડી (*) બે તત્વોની રચનાની કામગીરી સૂચવે છે. આ કામગીરી, જેને આપણે જૂથ ગુણાકાર કહીશું, નીચેની શરતોને સંતોષવી આવશ્યક છે:

(1) કોઈપણ ત્રણ તત્વો માટે a, b, cથી જીએસોસિએટીવીટી પ્રોપર્ટી ધરાવે છે: a* (b*c) = (a*b) *c;

(2) માં જીઆવા તત્વ છે ઇ, જે કોઈપણ તત્વ માટે aથી જીએક સંબંધ છે ઇ*a = a*ઇ = a; આ તત્વ ઇજૂથનું એકવચન અથવા તટસ્થ તત્વ કહેવાય છે;

(3) કોઈપણ તત્વ માટે aથી જીઆવા તત્વ છે aў, જેને વિપરીત અથવા સપ્રમાણ કહેવાય છે તત્વ માટે a, શું a*aў = aў* a = ઇ.

જો આ ગુણધર્મોને સ્વયંસિદ્ધ તરીકે લેવામાં આવે, તો તેના તાર્કિક પરિણામો (અન્ય કોઈપણ સ્વયંસિદ્ધ અથવા પ્રમેયથી સ્વતંત્ર) એકસાથે બને છે જેને સામાન્ય રીતે જૂથ સિદ્ધાંત કહેવામાં આવે છે. આ પરિણામો એકવાર અને બધા માટે મેળવવું ખૂબ જ ઉપયોગી બન્યું, કારણ કે ગણિતની તમામ શાખાઓમાં જૂથોનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. જૂથોના હજારો સંભવિત ઉદાહરણોમાંથી, અમે સરળમાંથી થોડા જ પસંદ કરીશું.

(a) અપૂર્ણાંક પી/q, ક્યાં પીઅને q- મનસ્વી પૂર્ણાંક i1 (સાથે q= 1 આપણને સામાન્ય પૂર્ણાંક મળે છે). અપૂર્ણાંક પી/qજૂથ ગુણાકાર હેઠળ જૂથ બનાવો ( પી/q) *(આર/s) = (પીઆર)/(qs). ગુણધર્મ (1), (2), (3) અંકગણિતના ધરીમાંથી અનુસરે છે. ખરેખર, [( પી/q) *(આર/s)] *(t/u) = (prt)/(qsu) = (પી/q)*[(આર/s)*(t/u)]. એકમ તત્વ એ નંબર 1 = 1/1 છે, ત્યારથી (1/1)*( પી/q) = (1એચ પી)/(1એચ q) = પી/q. છેલ્લે, તત્વ અપૂર્ણાંકથી વિપરીત છે પી/q, એક અપૂર્ણાંક છે q/પી, કારણ કે ( પી/q)*(q/પી) = (pq)/(pq) = 1.

(b) તરીકે ધ્યાનમાં લો જીચાર પૂર્ણાંકોનો સમૂહ 0, 1, 2, 3, અને તરીકે a*b- વિભાગનો બાકીનો ભાગ a + bખાતે 4. આ રીતે રજૂ કરાયેલ ઓપરેશનના પરિણામો કોષ્ટકમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. 1 (તત્વ a*bલાઇનના આંતરછેદ પર ઉભી છે aઅને કૉલમ b). તે ચકાસવું સરળ છે કે ગુણધર્મો (1)-(3) સંતુષ્ટ છે, અને ઓળખ ઘટક નંબર 0 છે.

(c) ચાલો તરીકે પસંદ કરીએ જીસંખ્યાઓનો સમૂહ 1, 2, 3, 4, અને જેમ a*b- વિભાગનો બાકીનો ભાગ ab(સામાન્ય ઉત્પાદન) 5 સુધીમાં. પરિણામે, આપણને ટેબલ મળે છે. 2. તે તપાસવું સરળ છે કે ગુણધર્મો (1)-(3) સંતુષ્ટ છે, અને ઓળખ તત્વ 1 છે.

(d) ચાર વસ્તુઓ, જેમ કે ચાર સંખ્યાઓ 1, 2, 3, 4, 24 રીતે એક પંક્તિમાં ગોઠવી શકાય છે. દરેક ગોઠવણીને રૂપાંતર તરીકે દૃષ્ટિની રીતે રજૂ કરી શકાય છે જે આપેલ એકમાં "કુદરતી" ગોઠવણીને રૂપાંતરિત કરે છે; ઉદાહરણ તરીકે, ગોઠવણી 4, 1, 2, 3 રૂપાંતરણમાંથી પરિણમે છે

એસ: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

જે વધુ અનુકૂળ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે

કોઈપણ બે આવા પરિવર્તન માટે એસ, ટીઅમે નક્કી કરીશું એસ*ટીએક પરિવર્તન તરીકે જે ક્રમિક એક્ઝેક્યુશનથી પરિણમે છે ટી, અને પછી એસ. ઉદાહરણ તરીકે, જો , તો . આ વ્યાખ્યા સાથે, તમામ 24 સંભવિત પરિવર્તનો એક જૂથ બનાવે છે; તેનું એકમ તત્વ છે, અને તત્વ તેનાથી વિપરિત છે એસ, વ્યાખ્યામાં તીરો બદલીને મેળવવામાં આવે છે એસવિરુદ્ધ; ઉદાહરણ તરીકે, જો, તો પછી.

પ્રથમ ત્રણ ઉદાહરણોમાં તે જોવાનું સરળ છે a*b = b*a; આવા કિસ્સાઓમાં જૂથ અથવા જૂથ ગુણાકાર વિનિમયાત્મક હોવાનું કહેવાય છે. બીજી બાજુ, છેલ્લા ઉદાહરણમાં, અને તેથી ટી*એસથી અલગ પડે છે એસ*ટી.

ઉદાહરણ (ડી) માંથી જૂથ કહેવાતા એક ખાસ કેસ છે. સપ્રમાણ જૂથ, જેમના કાર્યક્રમોમાં બીજગણિત સમીકરણો અને અણુઓના સ્પેક્ટ્રામાં રેખાઓની વર્તણૂક ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓનો સમાવેશ થાય છે. ઉદાહરણો (b) અને (c) માં જૂથો સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે; ઉદાહરણ તરીકે (b) નંબર 4 કોઈપણ પૂર્ણાંક દ્વારા બદલી શકાય છે n, અને 0 થી 3 સુધીની સંખ્યાઓ – 0 થી ની સંખ્યાઓ n- 1 (સાથે n= 12 અમને નંબરોની સિસ્ટમ મળે છે જે ઘડિયાળના ડાયલ્સ પર હોય છે, જેમ આપણે ઉપર ઉલ્લેખ કર્યો છે); ઉદાહરણ તરીકે (c) નંબર 5 ને કોઈપણ અવિભાજ્ય સંખ્યા દ્વારા બદલી શકાય છે આર, અને 1 થી 4 સુધીની સંખ્યાઓ - 1 થી ની સંખ્યાઓ પી – 1.

સ્ટ્રક્ચર્સ અને આઇસોમોર્ફિઝમ.

અગાઉના ઉદાહરણો દર્શાવે છે કે જૂથ બનાવે છે તે પદાર્થોની પ્રકૃતિ કેટલી વૈવિધ્યસભર હોઈ શકે છે. પરંતુ વાસ્તવમાં, દરેક કિસ્સામાં, બધું સમાન દૃશ્યમાં આવે છે: ઑબ્જેક્ટના સમૂહના ગુણધર્મોમાંથી, અમે ફક્ત તે જ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જે આ સમૂહને જૂથમાં ફેરવે છે (અહીં અપૂર્ણ જ્ઞાનનું ઉદાહરણ છે!). આવા કિસ્સાઓમાં અમે પસંદ કરેલ જૂથ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવેલ જૂથ માળખાને ધ્યાનમાં લેતા હોવાનું કહેવાય છે.

રચનાનું બીજું ઉદાહરણ કહેવાતા છે. ઓર્ડર માળખું. એક ટોળું ઇઓર્ડરની રચના સાથે સંપન્ન, અથવા જો તત્વો વચ્ચે હોય તો આદેશ આપ્યો a è b, જોડાયેલ છે ઇ, અમુક સંબંધ આપેલ છે, જેને આપણે દર્શાવીએ છીએ આર (a,b). (આવો સંબંધ એમાંથી તત્વોની કોઈપણ જોડી માટે અર્થપૂર્ણ હોવો જોઈએ ઇ, પરંતુ સામાન્ય રીતે તે કેટલીક જોડી માટે ખોટું છે અને અન્ય માટે સાચું છે, ઉદાહરણ તરીકે, સંબંધ 7

(1) આર (a,a) દરેક માટે સાચું એ, માલિકીની ઇ;

(2) થી આર (a,b) અને આર (b,a) તેને અનુસરે છે a = b;

(3) થી આર (a,b) અને આર (b,c) જોઈએ આર (a,c).

ચાલો વિશાળ સંખ્યામાં વૈવિધ્યસભર ઓર્ડર કરેલા સેટમાંથી કેટલાક ઉદાહરણો આપીએ.

(A) ઇતમામ પૂર્ણાંકોનો સમાવેશ થાય છે આર (a,b) - સંબંધ " એઓછું અથવા સમાન b».

(b) ઇતમામ પૂર્ણાંકોનો સમાવેશ થાય છે >1, આર (a,b) - સંબંધ " એવિભાજન bઅથવા સમાન b».

બંધારણના અંતિમ ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો મેટ્રિક જગ્યાના બંધારણનો ઉલ્લેખ કરીએ; આવી રચના સેટ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે ઇ, જો તત્વોની દરેક જોડી aઅને bજોડાયેલ છે ઇ, તમે નંબર સાથે મેચ કરી શકો છો ડી (a,b) i 0, નીચેના ગુણધર્મોને સંતોષે છે:

(1) ડી (a,b) = 0 જો અને માત્ર જો a = b;

(2) ડી (b,a) = ડી (a,b);

(3) ડી (a,c) Ј ડી (a,b) + ડી (b,cઆપેલ કોઈપણ ત્રણ ઘટકો માટે a, b, cથી ઇ.

ચાલો મેટ્રિક જગ્યાઓના ઉદાહરણો આપીએ:

(a) સામાન્ય "ત્રિ-પરિમાણીય" જગ્યા, જ્યાં ડી (a,b) - સામાન્ય (અથવા "યુક્લિડિયન") અંતર;

(b) ગોળાની સપાટી, જ્યાં ડી (a,b) – બે બિંદુઓને જોડતા વર્તુળની સૌથી નાની ચાપની લંબાઈ aઅને bગોળા પર;

બંધારણની વિભાવનાની ચોક્કસ વ્યાખ્યા તદ્દન મુશ્કેલ છે. વિગતોમાં ગયા વિના, અમે ઘણા પર તે કહી શકીએ છીએ ઇજો સમૂહના ઘટકો વચ્ચે હોય તો ચોક્કસ પ્રકારનું માળખું નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે ઇ(અને કેટલીકવાર અન્ય વસ્તુઓ, ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ જે સહાયક ભૂમિકા ભજવે છે) સંબંધોનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે જે વિચારણા હેઠળના પ્રકારનું માળખું દર્શાવતા ચોક્કસ નિશ્ચિત સમૂહને સંતોષે છે. ઉપર આપણે ત્રણ પ્રકારની રચનાઓના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો રજૂ કર્યા છે. અલબત્ત, અન્ય ઘણા પ્રકારની રચનાઓ છે જેના સિદ્ધાંતો સંપૂર્ણ રીતે વિકસિત છે.

ઘણા અમૂર્ત ખ્યાલો માળખાના ખ્યાલ સાથે ગાઢ રીતે સંકળાયેલા છે; ચાલો આપણે ફક્ત એક જ સૌથી મહત્વપૂર્ણ નામ આપીએ - આઇસોમોર્ફિઝમની વિભાવના. અગાઉના વિભાગમાં આપેલા જૂથો (b) અને (c) ના ઉદાહરણને યાદ કરો. તે ટેબલ પરથી તપાસવું સરળ છે. 1 થી ટેબલ મેચિંગનો ઉપયોગ કરીને 2 નેવિગેટ કરી શકાય છે

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

આ કિસ્સામાં અમે કહીએ છીએ કે આ જૂથો આઇસોમોર્ફિક છે. સામાન્ય રીતે, બે જૂથો જીઅને જીજો જૂથના તત્વો વચ્ચે હોય તો ў આઇસોમોર્ફિક હોય છે જીઅને જૂથ તત્વો જીઆવા એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરવું શક્ય છે a « aў, શું જો c = a*b, તે cў = aў* bઅનુરૂપ તત્વો માટે ў જીў. જૂથ સિદ્ધાંતનું કોઈપણ નિવેદન જે જૂથ માટે માન્ય છે જી, જૂથ માટે માન્ય રહે છે જીў, અને ઊલટું. બીજગણિત જૂથો જીઅને જીў અસ્પષ્ટ.

વાચક સરળતાથી જોઈ શકે છે કે બરાબર એ જ રીતે કોઈ બે આઇસોમોર્ફિક ઓર્ડર કરેલ સેટ અથવા બે આઇસોમોર્ફિક મેટ્રિક સ્પેસ વ્યાખ્યાયિત કરી શકે છે. તે બતાવી શકાય છે કે આઇસોમોર્ફિઝમની વિભાવના કોઈપણ પ્રકારની રચનાઓ સુધી વિસ્તરે છે.

વર્ગીકરણ

ગણિતના જૂના અને નવા વર્ગીકરણ.

સંરચનાની વિભાવના અને અન્ય સંબંધિત વિભાવનાઓએ આધુનિક ગણિતમાં સંપૂર્ણ "તકનીકી" અને દાર્શનિક અને પદ્ધતિસરના દૃષ્ટિકોણથી કેન્દ્રિય સ્થાન મેળવ્યું છે. મુખ્ય પ્રકારની રચનાઓના સામાન્ય પ્રમેય ગાણિતિક "તકનીકી" ના અત્યંત શક્તિશાળી સાધનો તરીકે સેવા આપે છે. જ્યારે પણ કોઈ ગણિતશાસ્ત્રી એ બતાવવાનું મેનેજ કરે છે કે તે જે વસ્તુઓનો અભ્યાસ કરે છે તે ચોક્કસ પ્રકારના બંધારણના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોને સંતોષે છે, ત્યારે તે સાબિત કરે છે કે આ પ્રકારની રચનાના સિદ્ધાંતના તમામ પ્રમેય તે જે વિશિષ્ટ પદાર્થોનો અભ્યાસ કરે છે તેને લાગુ પડે છે (આ સામાન્ય પ્રમેયો વિના તે ખૂબ જ સંભવ છે કે તેઓ તેમના ચોક્કસ વિકલ્પોની દૃષ્ટિ ગુમાવશે અથવા બિનજરૂરી ધારણાઓ સાથે મારા તર્ક પર ભાર મૂકવાની ફરજ પડશે). એ જ રીતે, જો બે રચનાઓ સમરૂપી હોવાનું સાબિત થાય છે, તો પ્રમેયની સંખ્યા તરત જ બમણી થઈ જાય છે: એક રચના માટે સાબિત થયેલ દરેક પ્રમેય તરત જ બીજા માટે અનુરૂપ પ્રમેય આપે છે. તેથી, તે આશ્ચર્યજનક નથી કે ત્યાં ખૂબ જ જટિલ અને મુશ્કેલ સિદ્ધાંતો છે, ઉદાહરણ તરીકે નંબર થિયરીમાં "વર્ગ ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત", જેનો મુખ્ય ધ્યેય બંધારણોના સમરૂપતાને સાબિત કરવાનો છે.

દાર્શનિક દૃષ્ટિકોણથી, માળખાં અને સમરૂપતાનો વ્યાપક ઉપયોગ આધુનિક ગણિતની મુખ્ય લાક્ષણિકતા દર્શાવે છે - હકીકત એ છે કે ગાણિતિક "પદાર્થો" ની "પ્રકૃતિ" બહુ વાંધો નથી, માત્ર પદાર્થો વચ્ચેના સંબંધો નોંધપાત્ર છે (એક પ્રકારનું અપૂર્ણ જ્ઞાનનો સિદ્ધાંત).

છેલ્લે, આપણે એ ઉલ્લેખ કરવામાં નિષ્ફળ જઈ શકીએ નહીં કે બંધારણની વિભાવનાએ ગણિતની શાખાઓને નવી રીતે વર્ગીકૃત કરવાનું શક્ય બનાવ્યું છે. 19મી સદીના મધ્ય સુધી. તેઓ અભ્યાસના વિષય અનુસાર અલગ-અલગ હતા. અંકગણિત (અથવા સંખ્યા સિદ્ધાંત) પૂર્ણાંકો સાથે કામ કરે છે, ભૂમિતિ સીધી રેખાઓ, ખૂણાઓ, બહુકોણ, વર્તુળો, વિસ્તારો વગેરે સાથે કામ કરે છે. બીજગણિત લગભગ વિશિષ્ટ રીતે સંખ્યાત્મક સમીકરણો અથવા સમીકરણોની પ્રણાલીઓ સાથે સંબંધિત હતી, જેણે ભૌમિતિક સમસ્યાઓને સમકક્ષ બીજગણિત સમસ્યાઓમાં રૂપાંતરિત કરવાની પદ્ધતિઓ વિકસાવી હતી. ગણિતની બીજી મહત્વની શાખાની રુચિઓની શ્રેણી, જેને "ગાણિતિક પૃથ્થકરણ" કહેવાય છે, તેમાં મુખ્યત્વે વિભેદક અને અભિન્ન કલન અને ભૂમિતિ, બીજગણિત અને સંખ્યાના સિદ્ધાંતમાં તેમની વિવિધ એપ્લિકેશનોનો સમાવેશ થાય છે. આ એપ્લિકેશન્સની સંખ્યામાં વધારો થયો, અને તેમનું મહત્વ પણ વધ્યું, જેના કારણે ગાણિતિક વિશ્લેષણને પેટાવિભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યું: કાર્યોનો સિદ્ધાંત, વિભેદક સમીકરણો (સામાન્ય અને આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ), વિભેદક ભૂમિતિ, વિવિધતાઓની ગણતરી, વગેરે.

ઘણા આધુનિક ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે, આ અભિગમ પ્રારંભિક પ્રકૃતિવાદીઓના પ્રાણીઓના વર્ગીકરણના ઇતિહાસને યાદ કરે છે: એક સમયે, દરિયાઈ કાચબા અને ટુના બંનેને માછલી ગણવામાં આવતા હતા કારણ કે તેઓ પાણીમાં રહેતા હતા અને સમાન લક્ષણો ધરાવતા હતા. આધુનિક અભિગમે આપણને માત્ર સપાટી પર શું છે તે જોવાનું શીખવ્યું છે, પણ વધુ ઊંડાણપૂર્વક જોવાનું અને ગાણિતિક પદાર્થોના ભ્રામક દેખાવ પાછળ રહેલી મૂળભૂત રચનાઓને ઓળખવાનો પ્રયાસ કરવાનું પણ શીખવ્યું છે. આ દૃષ્ટિકોણથી, સૌથી મહત્વપૂર્ણ પ્રકારની રચનાઓનો અભ્યાસ કરવો મહત્વપૂર્ણ છે. તે અસંભવિત છે કે અમારી પાસે આ પ્રકારોની સંપૂર્ણ અને નિશ્ચિત સૂચિ છે; તેમાંથી કેટલાક છેલ્લા 20 વર્ષોમાં શોધવામાં આવ્યા છે, અને ભવિષ્યમાં નવી શોધની અપેક્ષા રાખવાનું દરેક કારણ છે. જો કે, અમારી પાસે પહેલાથી જ ઘણા મૂળભૂત "અમૂર્ત" પ્રકારની રચનાઓની સમજ છે. (તેઓ ગણિતના "શાસ્ત્રીય" પદાર્થોની તુલનામાં "અમૂર્ત" છે, જો કે તેને ભાગ્યે જ "કોંક્રિટ" કહી શકાય; તે અમૂર્તતાની ડિગ્રીની વધુ બાબત છે.)

જાણીતા સ્ટ્રક્ચર્સને તેમાં રહેલા સંબંધો દ્વારા અથવા તેમની જટિલતા દ્વારા વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. એક તરફ, "બીજગણિત" રચનાઓનો એક વ્યાપક બ્લોક છે, જેનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે, ઉદાહરણ તરીકે, જૂથ માળખું; અન્ય બીજગણિત રચનાઓમાં આપણે રિંગ્સ અને ક્ષેત્રોને નામ આપીએ છીએ ( સેમી. પણઅમૂર્ત બીજગણિત). બીજગણિતીય માળખાના અભ્યાસ સાથે સંબંધિત ગણિતની શાખાને સામાન્ય અથવા શાસ્ત્રીય બીજગણિતથી વિપરીત "આધુનિક બીજગણિત" અથવા "અમૂર્ત બીજગણિત" કહેવામાં આવે છે. યુક્લિડિયન ભૂમિતિનો નોંધપાત્ર ભાગ, બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ અને વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિનો પણ નવા બીજગણિતમાં સમાવેશ કરવામાં આવ્યો હતો.

સામાન્યતાના સમાન સ્તરે માળખાના અન્ય બે બ્લોક્સ છે. તેમાંથી એક, જેને સામાન્ય ટોપોલોજી કહેવામાં આવે છે, તેમાં માળખાના પ્રકારોના સિદ્ધાંતોનો સમાવેશ થાય છે, જેનો એક વિશિષ્ટ કેસ મેટ્રિક સ્પેસનું માળખું છે ( સેમી. ટોપોલોજી ; અમૂર્ત જગ્યાઓ). ત્રીજા બ્લોકમાં ઓર્ડર સ્ટ્રક્ચર્સ અને તેમના વિસ્તરણના સિદ્ધાંતોનો સમાવેશ થાય છે. બંધારણના "વિસ્તરણ" માં અસ્તિત્વમાંના લોકોમાં નવા સ્વયંસિદ્ધ ઉમેરવાનો સમાવેશ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો જૂથના સ્વયંસિદ્ધમાં આપણે ચોથા સ્વયંસિદ્ધ તરીકે કોમ્યુટેટીવિટીનો ગુણધર્મ ઉમેરીએ છીએ. a*b = b*a, પછી આપણને વિનિમયાત્મક (અથવા એબેલિયન) જૂથનું માળખું મળે છે.

આ ત્રણ બ્લોકમાંથી, છેલ્લા બે તાજેતરમાં સુધી પ્રમાણમાં સ્થિર સ્થિતિમાં હતા, અને "આધુનિક બીજગણિત" બ્લોક ઝડપથી વધી રહ્યો હતો, કેટલીકવાર અણધારી દિશામાં (ઉદાહરણ તરીકે, "હોમોલોજિકલ બીજગણિત" નામની સંપૂર્ણ શાખા વિકસિત થઈ હતી). કહેવાતા બહાર "શુદ્ધ" પ્રકારની રચનાઓ અન્ય સ્તરે છે - "મિશ્ર" રચનાઓ, ઉદાહરણ તરીકે બીજગણિત અને ટોપોલોજીકલ, તેમને જોડતા નવા સ્વયંસિદ્ધ સાથે. આવા ઘણા સંયોજનોનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે, જેમાંથી મોટા ભાગના બે વ્યાપક બ્લોકમાં આવે છે - "ટોપોલોજિકલ બીજગણિત" અને "બીજગણિત ટોપોલોજી".

એકસાથે લેવામાં આવે તો, આ બ્લોક્સ વિજ્ઞાનનું ખૂબ જ નોંધપાત્ર "અમૂર્ત" ક્ષેત્ર બનાવે છે. ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓ શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંતોને વધુ સારી રીતે સમજવા અને મુશ્કેલ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે નવા સાધનોનો ઉપયોગ કરવાની આશા રાખે છે. ખરેખર, અમૂર્તતા અને સામાન્યીકરણના યોગ્ય સ્તર સાથે, પ્રાચીન લોકોની સમસ્યાઓ નવા પ્રકાશમાં દેખાઈ શકે છે, જે તેમના ઉકેલો શોધવાનું શક્ય બનાવશે. શાસ્ત્રીય સામગ્રીનો વિશાળ હિસ્સો નવા ગણિતના પ્રભાવ હેઠળ આવ્યો અને અન્ય સિદ્ધાંતો સાથે રૂપાંતરિત અથવા મર્જ કરવામાં આવ્યો. એવા વિશાળ ક્ષેત્રો બાકી છે જેમાં આધુનિક પદ્ધતિઓ એટલી ઊંડે સુધી પ્રવેશી નથી. ઉદાહરણોમાં વિભેદક સમીકરણોનો સિદ્ધાંત અને સંખ્યાના સિદ્ધાંતનો સમાવેશ થાય છે. એકવાર નવા પ્રકારની રચનાઓ શોધી કાઢવામાં આવે અને તેનો સંપૂર્ણ અભ્યાસ કરવામાં આવે ત્યારે આ ક્ષેત્રોમાં નોંધપાત્ર પ્રગતિ હાંસલ થાય તેવી સંભાવના છે.

ફિલોસોફિકલ મુશ્કેલીઓ

પ્રાચીન ગ્રીક લોકો પણ સ્પષ્ટપણે સમજતા હતા કે ગાણિતિક સિદ્ધાંત વિરોધાભાસથી મુક્ત હોવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે નિવેદનના સ્વયંસિદ્ધમાંથી તાર્કિક પરિણામ મેળવવું અશક્ય છે. આરઅને તેનો ઇનકાર નથી પી. જો કે, કારણ કે ગાણિતિક વસ્તુઓ વાસ્તવિક દુનિયામાં પત્રવ્યવહાર ધરાવે છે તેવું માનવામાં આવતું હતું, અને સ્વયંસિદ્ધ પ્રકૃતિના નિયમોના "આદર્શીકરણ" હતા, તેથી કોઈને ગણિતની સુસંગતતા પર શંકા નહોતી. શાસ્ત્રીય ગણિતમાંથી આધુનિક ગણિતમાં સંક્રમણ દરમિયાન, સુસંગતતાની સમસ્યાએ એક અલગ અર્થ પ્રાપ્ત કર્યો. કોઈપણ ગાણિતિક સિદ્ધાંતના સ્વયંસિદ્ધ પસંદગીની સ્વતંત્રતા દેખીતી રીતે સુસંગતતાની શરત દ્વારા મર્યાદિત હોવી જોઈએ, પરંતુ શું કોઈ ખાતરી કરી શકે છે કે આ સ્થિતિ પૂરી થશે?

અમે પહેલાથી જ સેટના ખ્યાલનો ઉલ્લેખ કર્યો છે. આ ખ્યાલ હંમેશા ગણિત અને તર્કશાસ્ત્રમાં વધુ કે ઓછા સ્પષ્ટ રીતે ઉપયોગમાં લેવાય છે. 19મી સદીના ઉત્તરાર્ધમાં. સેટની વિભાવનાને હેન્ડલ કરવા માટેના પ્રાથમિક નિયમો આંશિક રીતે વ્યવસ્થિત કરવામાં આવ્યા હતા, વધુમાં, કેટલાક મહત્વપૂર્ણ પરિણામો પ્રાપ્ત થયા હતા જેણે કહેવાતા સામગ્રીની રચના કરી હતી. સેટ થિયરી ( સેમી. પણસેટ થિયરી), જે અન્ય તમામ ગાણિતિક સિદ્ધાંતોનો સબસ્ટ્રેટ બની ગયો હતો. પ્રાચીનકાળથી 19મી સદી સુધી. અનંત સમૂહો વિશે ચિંતાઓ હતી, ઉદાહરણ તરીકે, ઝેનો ઓફ એલિએટિક (5મી સદી બીસી)ના પ્રખ્યાત વિરોધાભાસમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે. આ ચિંતાઓ અંશતઃ આધ્યાત્મિક પ્રકૃતિની હતી, અને અંશતઃ માપન જથ્થાના ખ્યાલ સાથે સંકળાયેલી મુશ્કેલીઓને કારણે (ઉદાહરણ તરીકે, લંબાઈ અથવા સમય). 19મી સદી પછી જ આ મુશ્કેલીઓ દૂર કરવી શક્ય બની. ગાણિતિક વિશ્લેષણની મૂળભૂત વિભાવનાઓ સખત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી હતી. 1895 સુધીમાં તમામ ડર દૂર થઈ ગયા, અને એવું લાગતું હતું કે ગણિત સેટ થિયરીના અચળ પાયા પર ટકી રહ્યું છે. પરંતુ પછીના દાયકામાં, નવી દલીલો ઊભી થઈ જે સેટ થિયરી (અને બાકીનું ગણિત) ની આંતરિક અસંગતતા દર્શાવે છે.

નવા વિરોધાભાસ ખૂબ જ સરળ હતા. આમાંના પ્રથમ, રસેલના વિરોધાભાસને, બાર્બરના વિરોધાભાસ તરીકે ઓળખાતા સરળ સંસ્કરણમાં ગણી શકાય. ચોક્કસ નગરમાં, વાળંદ એવા તમામ રહેવાસીઓને હજામત કરે છે જેઓ પોતાની જાતને હજામત કરતા નથી. વાળંદ પોતે કોણ હજામત કરે છે? જો વાળંદ પોતાની જાતને હજામત કરે છે, તો તે ફક્ત તે જ રહેવાસીઓ જ નહીં જેઓ પોતાની જાતને હજામત કરતા નથી, પણ એક નિવાસી જે પોતાને હજામત કરે છે; જો તે પોતે હજામત કરતો નથી, તો તે નગરના તમામ રહેવાસીઓને હજામત કરતો નથી કે જેઓ પોતાને હજામત કરતા નથી. જ્યારે પણ "તમામ સમૂહોનો સમૂહ" ની વિભાવના ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે ત્યારે આ પ્રકારનો વિરોધાભાસ ઉદ્ભવે છે. જો કે આ ગાણિતિક પદાર્થ ખૂબ જ કુદરતી લાગે છે, તેના વિશે તર્ક ઝડપથી વિરોધાભાસ તરફ દોરી જાય છે.

બેરીનો વિરોધાભાસ વધુ છતી કરે છે. સત્તરથી વધુ શબ્દો ધરાવતા તમામ રશિયન શબ્દસમૂહોના સમૂહને ધ્યાનમાં લો; રશિયન ભાષામાં શબ્દોની સંખ્યા મર્યાદિત છે, તેથી આવા શબ્દસમૂહોની સંખ્યા મર્યાદિત છે. ચાલો તેમાંથી તે પસંદ કરીએ જે અમુક પૂર્ણાંકને વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે: "દસ કરતા ઓછી સૌથી મોટી વિષમ સંખ્યા." આવા શબ્દસમૂહોની સંખ્યા પણ મર્યાદિત છે; તેથી, તેમના દ્વારા નિર્ધારિત પૂર્ણાંકોનો સમૂહ મર્યાદિત છે. ચાલો આ સંખ્યાઓના મર્યાદિત સમૂહને વડે દર્શાવીએ ડી. અંકગણિતના સ્વયંસિદ્ધ પરથી તે અનુસરે છે કે એવા પૂર્ણાંકો છે જે સંબંધિત નથી ડી, અને તે આ સંખ્યાઓમાં સૌથી નાની સંખ્યા છે n. આ નંબર nશબ્દસમૂહ દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: "સૌથી નાનો પૂર્ણાંક જે સત્તર રશિયન શબ્દો કરતાં વધુ ન હોય તેવા શબ્દસમૂહ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતો નથી." પરંતુ આ શબ્દસમૂહમાં બરાબર સત્તર શબ્દો છે. તેથી, તે સંખ્યા નક્કી કરે છે n, જે સંબંધિત હોવું જોઈએ ડી, અને અમે એક વિરોધાભાસી વિરોધાભાસ પર આવીએ છીએ.

અંતર્જ્ઞાનવાદીઓ અને ઔપચારિકો.

સેટ થિયરીના વિરોધાભાસને કારણે થયેલા આંચકાએ વિવિધ પ્રકારની પ્રતિક્રિયાઓને જન્મ આપ્યો. કેટલાક ગણિતશાસ્ત્રીઓ એકદમ મક્કમ હતા અને અભિપ્રાય વ્યક્ત કર્યો કે ગણિત શરૂઆતથી જ ખોટી દિશામાં વિકસી રહ્યું છે અને તે સંપૂર્ણપણે અલગ પાયા પર આધારિત હોવું જોઈએ. આવા "અંતર્જ્ઞાનવાદીઓ" ના દૃષ્ટિકોણનું વર્ણન કરવું શક્ય નથી (જેમ કે તેઓ પોતાને કહેવા લાગ્યા) કારણ કે તેઓએ તેમના મંતવ્યોને સંપૂર્ણ તાર્કિક યોજનામાં ઘટાડવાનો ઇનકાર કર્યો હતો. અંતર્જ્ઞાનવાદીઓના દૃષ્ટિકોણથી, સાહજિક રીતે અપ્રસ્તુત પદાર્થો પર તાર્કિક પ્રક્રિયાઓ લાગુ કરવી ખોટું છે. માત્ર સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ વસ્તુઓ કુદરતી સંખ્યાઓ 1, 2, 3,... અને કુદરતી સંખ્યાઓના મર્યાદિત સમૂહો છે, જે ચોક્કસ નિયમો અનુસાર "નિર્મિત" છે. પરંતુ આવા પદાર્થો પર પણ, અંતર્જ્ઞાનવાદીઓએ શાસ્ત્રીય તર્કશાસ્ત્રના તમામ કપાતને લાગુ કરવાની મંજૂરી આપી ન હતી. ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ કોઈપણ નિવેદન માટે તેને ઓળખતા ન હતા આરક્યાં તો સાચું આર, અથવા નહીં આર. આવા મર્યાદિત માધ્યમો સાથે, તેઓ સરળતાથી "વિરોધાભાસ" ટાળી શક્યા, પરંતુ તે જ સમયે તેઓએ માત્ર તમામ આધુનિક ગણિત જ નહીં, પણ શાસ્ત્રીય ગણિતના પરિણામોનો નોંધપાત્ર ભાગ પણ ફેંકી દીધો, અને જે બાકી રહ્યા તેમના માટે નવું શોધવું જરૂરી હતું. , વધુ જટિલ પુરાવાઓ.

આધુનિક ગણિતશાસ્ત્રીઓની વિશાળ બહુમતી અંતર્જ્ઞાનવાદીઓની દલીલો સાથે સહમત ન હતી. બિન-અંતઃપ્રેરણાવાદી ગણિતશાસ્ત્રીઓએ નોંધ્યું છે કે વિરોધાભાસમાં વપરાતી દલીલો સેટ થિયરી સાથેના સામાન્ય ગાણિતિક કાર્યમાં વપરાતી દલીલો કરતા નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે, અને તેથી આવી દલીલોને હાલના ગાણિતિક સિદ્ધાંતોને જોખમમાં મૂક્યા વિના ગેરકાયદેસર તરીકે નકારી કાઢવી જોઈએ. અન્ય અવલોકન એ હતું કે "નિષ્કપટ" સેટ થિયરીમાં, જે "વિરોધાભાસ" ના આગમન પહેલા અસ્તિત્વમાં છે, "સેટ", "મિલકત", "સંબંધ" શબ્દોના અર્થ પર પ્રશ્ન ઉઠાવવામાં આવ્યો ન હતો - જેમ શાસ્ત્રીય ભૂમિતિમાં "સાહજિક" સામાન્ય ભૌમિતિક વિભાવનાઓની પ્રકૃતિ વિશે પ્રશ્ન પૂછવામાં આવ્યો ન હતો. પરિણામે, વ્યક્તિ તે જ રીતે કાર્ય કરી શકે છે જે રીતે તે ભૂમિતિમાં હતું, એટલે કે, "અંતર્જ્ઞાન" ને અપીલ કરવાના તમામ પ્રયાસોને છોડી દો અને સેટ થિયરીના પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે ચોક્કસ રીતે ઘડવામાં આવેલા સ્વયંસિદ્ધની સિસ્ટમ લો. જો કે, "મિલકત" અથવા "સંબંધ" જેવા શબ્દો તેમના સામાન્ય અર્થથી કેવી રીતે વંચિત રહી શકે તે સ્પષ્ટ નથી; તેમ છતાં જો આપણે બેરીના વિરોધાભાસ જેવી દલીલોને બાકાત રાખવા માંગતા હોઈએ તો આ થવું જોઈએ. આ પદ્ધતિમાં સ્વયંસિદ્ધ અથવા પ્રમેય ઘડવામાં સામાન્ય ભાષાનો ઉપયોગ કરવાથી દૂર રહેવાનો સમાવેશ થાય છે; માત્ર કઠોર નિયમોની સ્પષ્ટ પ્રણાલી અનુસાર બાંધવામાં આવેલી દરખાસ્તોને ગણિતમાં "ગુણધર્મો" અથવા "સંબંધો" તરીકે મંજૂરી આપવામાં આવે છે અને સ્વયંસિદ્ધ રચનામાં દાખલ થાય છે. આ પ્રક્રિયાને ગાણિતિક ભાષાનું "ઔપચારિકકરણ" કહેવામાં આવે છે (સામાન્ય ભાષાની અસ્પષ્ટતાઓથી ઉદ્ભવતી ગેરસમજને ટાળવા માટે, એક પગલું આગળ વધવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે અને ઔપચારિક વાક્યોમાં વિશિષ્ટ પ્રતીકો સાથે શબ્દોને બદલવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, સંયોજકને બદલવું. "અને" પ્રતીક સાથે &, સંયોજક "અથવા" - પ્રતીક b સાથે, "અસ્તિત્વ" પ્રતીક $, વગેરે સાથે). અંતર્જ્ઞાનવાદીઓ દ્વારા પ્રસ્તાવિત પદ્ધતિઓનો અસ્વીકાર કરનાર ગણિતશાસ્ત્રીઓ "ઔપચારિક" કહેવા લાગ્યા.

જો કે, મૂળ પ્રશ્નનો જવાબ ક્યારેય મળ્યો ન હતો. શું "સ્વયંતુલિત સમૂહ સિદ્ધાંત" વિરોધાભાસથી મુક્ત છે? ડી. હિલ્બર્ટ (1862-1943) અને તેમની શાળા દ્વારા 1920 ના દાયકામાં "ઔપચારિક" સિદ્ધાંતોની સુસંગતતા સાબિત કરવાના નવા પ્રયાસો કરવામાં આવ્યા હતા અને તેને "મેટામેથેમેટિક્સ" કહેવામાં આવતું હતું. અનિવાર્યપણે, મેટામેથેમેટિક્સ એ "એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સ" ની એક શાખા છે, જ્યાં ઓબ્જેક્ટો કે જેના પર ગાણિતિક તર્ક લાગુ કરવામાં આવે છે તે ઔપચારિક સિદ્ધાંતની દરખાસ્તો છે અને પુરાવામાં તેમની ગોઠવણી છે. આ વાક્યોને આ પ્રતીકોના સંભવિત "અર્થ" (જો કોઈ હોય તો) ના સંદર્ભ વિના, ચોક્કસ સ્થાપિત નિયમો અનુસાર ઉત્પાદિત પ્રતીકોના ભૌતિક સંયોજનો તરીકે જ ગણવામાં આવે છે. સારી સામ્યતા એ ચેસની રમત છે: પ્રતીકો ટુકડાઓને અનુરૂપ છે, વાક્યો બોર્ડ પરની વિવિધ સ્થિતિને અનુરૂપ છે અને તાર્કિક નિષ્કર્ષ ટુકડાઓને ખસેડવાના નિયમોને અનુરૂપ છે. ઔપચારિક સિદ્ધાંતની સુસંગતતા સ્થાપિત કરવા માટે, તે બતાવવા માટે પૂરતું છે કે આ સિદ્ધાંતમાં એક પણ સાબિતી 0 નંબર 0 સાથે સમાપ્ત થતી નથી. જો કે, "મેટા-મેથેમેટિકલ" સાબિતીમાં ગાણિતિક દલીલોના ઉપયોગ સામે કોઈ વાંધો ઉઠાવી શકે છે. ગાણિતિક સિદ્ધાંતની સુસંગતતા; જો ગણિત અસંગત હોત, તો ગાણિતિક દલીલો તમામ શક્તિ ગુમાવશે, અને આપણે આપણી જાતને એક દુષ્ટ વર્તુળની પરિસ્થિતિમાં શોધીશું. આ વાંધાઓનો જવાબ આપવા માટે, હિલ્બર્ટે ખૂબ જ મર્યાદિત ગાણિતિક તર્કને મંજૂરી આપી હતી જે અંતર્જ્ઞાનવાદીઓ મેટામેથેમેટિક્સમાં ઉપયોગ માટે સ્વીકાર્ય ગણે છે. જો કે, કે. ગોડેલે ટૂંક સમયમાં જ બતાવ્યું (1931) કે અંકગણિતની સુસંગતતા આટલા મર્યાદિત માધ્યમોથી સાબિત કરી શકાતી નથી જો તે ખરેખર સુસંગત હોય તો (આ લેખનો અવકાશ અમને તે બુદ્ધિશાળી પદ્ધતિની રૂપરેખા આપવાની મંજૂરી આપતું નથી કે જેના દ્વારા આ નોંધપાત્ર પરિણામ પ્રાપ્ત થયું હતું, અને મેટામેથેમેટિક્સનો અનુગામી ઇતિહાસ).

ઔપચારિક દૃષ્ટિકોણથી વર્તમાન સમસ્યારૂપ પરિસ્થિતિનો સારાંશ આપતાં, આપણે સ્વીકારવું જોઈએ કે તે હજી દૂર છે. સેટની વિભાવનાનો ઉપયોગ આરક્ષણો દ્વારા મર્યાદિત હતો જે ખાસ કરીને જાણીતા વિરોધાભાસને ટાળવા માટે રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા, અને એવી કોઈ ગેરેંટી નથી કે નવા વિરોધાભાસો સ્વયંસિદ્ધ સમૂહ સિદ્ધાંતમાં ઉદ્ભવશે નહીં. તેમ છતાં, સ્વયંસિદ્ધ સમૂહ સિદ્ધાંતની મર્યાદાઓ નવા સધ્ધર સિદ્ધાંતોના જન્મને અટકાવી શકી નથી.

ગણિત અને વાસ્તવિક દુનિયા

ગણિતની સ્વતંત્રતા વિશેના દાવાઓ છતાં, ગણિત અને ભૌતિક વિશ્વ એકબીજા સાથે જોડાયેલા છે તે વાતનો કોઈ ઇનકાર કરશે નહીં. અલબત્ત, શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્રની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેનો ગાણિતિક અભિગમ માન્ય રહે છે. એ પણ સાચું છે કે ગણિતના ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ ક્ષેત્રમાં, એટલે કે વિભેદક સમીકરણો, સામાન્ય અને આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝના સિદ્ધાંતમાં, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતના પરસ્પર સંવર્ધનની પ્રક્રિયા ખૂબ ફળદાયી છે.

માઇક્રોવર્લ્ડ ઘટનાના અર્થઘટનમાં ગણિત ઉપયોગી છે. જો કે, ગણિતની નવી "એપ્લિકેશનો" શાસ્ત્રીય કરતા નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે. ભૌતિકશાસ્ત્રના સૌથી મહત્વપૂર્ણ સાધનોમાંનું એક સંભવિતતાનો સિદ્ધાંત બની ગયો છે, જેનો ઉપયોગ અગાઉ મુખ્યત્વે જુગાર અને વીમાના સિદ્ધાંતમાં થતો હતો. ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ "અણુ અવસ્થાઓ" અથવા "સંક્રમણો" સાથે સાંકળે છે તે ગાણિતિક પદાર્થો પ્રકૃતિમાં ખૂબ જ અમૂર્ત છે અને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના આગમનના ઘણા સમય પહેલા ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા અને તેનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. તે ઉમેરવું જોઈએ કે પ્રથમ સફળતાઓ પછી, ગંભીર મુશ્કેલીઓ ઊભી થઈ. આ તે સમયે થયું જ્યારે ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ ક્વોન્ટમ થિયરીના વધુ સૂક્ષ્મ પાસાઓ પર ગાણિતિક વિચારો લાગુ કરવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યા હતા; તેમ છતાં, ઘણા ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ હજુ પણ નવા ગાણિતિક સિદ્ધાંતો પર આશા સાથે જુએ છે, એવું માનીને કે તેઓ તેમને નવી સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં મદદ કરશે.

ગણિત એ વિજ્ઞાન છે કે કળા?

જો આપણે "શુદ્ધ" ગણિતમાં સંભાવના સિદ્ધાંત અથવા ગાણિતિક તર્કનો સમાવેશ કરીએ તો પણ, તે તારણ આપે છે કે જાણીતા ગાણિતિક પરિણામોમાંથી 50% કરતા ઓછા હાલમાં અન્ય વિજ્ઞાન દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાય છે. બાકીના અડધા વિશે આપણે શું વિચારવું જોઈએ? બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ગણિતના તે ક્ષેત્રો જે ભૌતિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા સાથે સંબંધિત નથી તેની પાછળના હેતુઓ શું છે?

અમે આ પ્રકારના પ્રમેયના લાક્ષણિક પ્રતિનિધિ તરીકે સંખ્યાની અતાર્કિકતાનો ઉલ્લેખ પહેલેથી જ કર્યો છે. અન્ય ઉદાહરણ જે.-એલ. (1736-1813) દ્વારા સાબિત થયેલ પ્રમેય છે. ભાગ્યે જ કોઈ ગણિતશાસ્ત્રી હશે જે તેને “મહત્વપૂર્ણ” અથવા “સુંદર” ન કહે. લેગ્રેન્જનું પ્રમેય જણાવે છે કે એક કરતા વધારે અથવા તેના સમાન કોઈપણ પૂર્ણાંકને વધુમાં વધુ ચાર સંખ્યાના વર્ગોના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે; ઉદાહરણ તરીકે, 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2. વર્તમાન પરિસ્થિતિમાં, તે અકલ્પ્ય છે કે આ પરિણામ કોઈપણ પ્રાયોગિક સમસ્યાને ઉકેલવામાં ઉપયોગી થઈ શકે. એ વાત સાચી છે કે ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ ભૂતકાળની તુલનામાં આજે ઘણી વાર પૂર્ણાંકો સાથે વ્યવહાર કરે છે, પરંતુ તેઓ જે પૂર્ણાંકો સાથે કામ કરે છે તે હંમેશા મર્યાદિત હોય છે (તેઓ ભાગ્યે જ અમુક સો કરતાં વધી જાય છે); તેથી, લેગ્રેન્જ જેવી પ્રમેય માત્ર ત્યારે જ "ઉપયોગી" બની શકે છે જો તે અમુક સીમાની અંદર પૂર્ણાંકો પર લાગુ કરવામાં આવે. પરંતુ જલદી આપણે લેગ્રેન્જના પ્રમેયની રચનાને મર્યાદિત કરીએ છીએ, તે તરત જ ગણિતશાસ્ત્રી માટે રસપ્રદ બનવાનું બંધ કરે છે, કારણ કે આ પ્રમેયની સંપૂર્ણ આકર્ષક શક્તિ તેના તમામ પૂર્ણાંકો પર લાગુ થવામાં રહેલી છે. (પૂર્ણાંકો વિશે ઘણાં બધાં વિધાનો છે જે ખૂબ મોટી સંખ્યાઓ માટે કોમ્પ્યુટર દ્વારા ચકાસી શકાય છે; પરંતુ કોઈ સામાન્ય પુરાવો મળ્યો ન હોવાથી, તેઓ કાલ્પનિક જ રહે છે અને વ્યાવસાયિક ગણિતશાસ્ત્રીઓને તેમાં કોઈ રસ નથી.)

કોઈપણ ક્ષેત્રમાં કામ કરતા વૈજ્ઞાનિકો માટે તાત્કાલિક એપ્લિકેશનોમાંથી દૂર કરવામાં આવેલા વિષયો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવું અસામાન્ય નથી, પછી તે ખગોળશાસ્ત્ર હોય કે જીવવિજ્ઞાન. જો કે, જ્યારે પ્રાયોગિક પરિણામને શુદ્ધ અને સુધારી શકાય છે, ત્યારે ગાણિતિક પુરાવો હંમેશા નિર્ણાયક હોય છે. તેથી જ ગણિતને ધ્યાનમાં લેવાની લાલચનો પ્રતિકાર કરવો મુશ્કેલ છે, અથવા ઓછામાં ઓછો તે ભાગ કે જેને કલા તરીકે "વાસ્તવિકતા" સાથે કોઈ સંબંધ નથી. ગાણિતિક સમસ્યાઓ બહારથી લાદવામાં આવતી નથી, અને જો આપણે આધુનિક દૃષ્ટિકોણ લઈએ, તો આપણે સામગ્રીની પસંદગીમાં સંપૂર્ણપણે સ્વતંત્ર છીએ. કેટલાક ગાણિતિક કાર્યોનું મૂલ્યાંકન કરતી વખતે, ગણિતશાસ્ત્રીઓ પાસે "ઉદ્દેશ્ય" માપદંડ હોતા નથી અને તેમને તેમના પોતાના "સ્વાદ" પર આધાર રાખવાની ફરજ પાડવામાં આવે છે. સમય, દેશ, પરંપરાઓ અને વ્યક્તિઓના આધારે રુચિઓ મોટા પ્રમાણમાં બદલાય છે. આધુનિક ગણિતમાં ફેશન અને "શાળાઓ" છે. હાલમાં, આવી ત્રણ "શાળાઓ" છે, જેને અનુકૂળતા માટે આપણે "ક્લાસિકિઝમ", "આધુનિકતાવાદ" અને "અમૂર્તવાદ" કહીશું. તેમની વચ્ચેના તફાવતોને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, ચાલો પ્રમેય અથવા પ્રમેયના જૂથનું મૂલ્યાંકન કરતી વખતે ગણિતશાસ્ત્રીઓ જે વિવિધ માપદંડોનો ઉપયોગ કરે છે તેનું વિશ્લેષણ કરીએ.

(1) સામાન્ય અભિપ્રાય મુજબ, "સુંદર" ગાણિતિક પરિણામ બિન-તુચ્છ હોવું જોઈએ, એટલે કે. સ્વયંસિદ્ધ અથવા અગાઉ સાબિત થયેલા પ્રમેયનું સ્પષ્ટ પરિણામ ન હોવું જોઈએ; પુરાવા માટે કેટલાક નવા વિચારનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ અથવા જૂના વિચારોને ચાલાકીપૂર્વક લાગુ કરવા જોઈએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ગણિતશાસ્ત્રી માટે જે મહત્વનું છે તે પરિણામ પોતે જ નથી, પરંતુ તેને મેળવવામાં જે મુશ્કેલીઓનો સામનો કરવો પડ્યો છે તેને દૂર કરવાની પ્રક્રિયા છે.

(2) કોઈપણ ગાણિતિક સમસ્યાનો પોતાનો ઇતિહાસ હોય છે, એક "વંશાવલિ", તેથી વાત કરવા માટે, જે સમાન સામાન્ય પેટર્નને અનુસરે છે જે મુજબ કોઈપણ વિજ્ઞાનનો ઇતિહાસ વિકસિત થાય છે: પ્રથમ સફળતાઓ પછી, જવાબ પહેલાં ચોક્કસ સમય પસાર થઈ શકે છે. પૂછાયેલ પ્રશ્ન જોવા મળે છે. જ્યારે ઉકેલ પ્રાપ્ત થાય છે, ત્યારે વાર્તા ત્યાં સમાપ્ત થતી નથી, કારણ કે વિસ્તરણ અને સામાન્યીકરણની જાણીતી પ્રક્રિયાઓ શરૂ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઉપર જણાવેલ લેગ્રેન્જ પ્રમેય કોઈપણ પૂર્ણાંકને સમઘન, ચોથી, પાંચમી શક્તિઓ વગેરેના સરવાળા તરીકે રજૂ કરવાના પ્રશ્ન તરફ દોરી જાય છે. આ રીતે "વૉરિંગ પ્રોબ્લેમ" ઉદભવે છે, જેનો હજુ સુધી અંતિમ ઉકેલ મળ્યો નથી. તદુપરાંત, જો આપણે નસીબદાર હોઈએ, તો આપણે જે સમસ્યાનો ઉકેલ લાવીશું તે એક અથવા વધુ મૂળભૂત માળખાં સાથે સંબંધિત હશે, અને આ બદલામાં, આ બંધારણોને લગતી નવી સમસ્યાઓ તરફ દોરી જશે. જો મૂળ સિદ્ધાંત આખરે મૃત્યુ પામે છે, તો પણ તે સામાન્ય રીતે અસંખ્ય જીવંત અંકુરની પાછળ છોડી જાય છે. આધુનિક ગણિતશાસ્ત્રીઓ સમસ્યાઓની એટલી વિશાળ શ્રેણીનો સામનો કરી રહ્યા છે કે, જો પ્રાયોગિક વિજ્ઞાન સાથેના તમામ સંદેશાવ્યવહારમાં વિક્ષેપ આવે તો પણ તેના ઉકેલમાં ઘણી સદીઓ લાગી જશે.

(3) દરેક ગણિતશાસ્ત્રી એ વાત સાથે સંમત થશે કે જ્યારે તેમની સામે કોઈ નવી સમસ્યા ઊભી થાય છે, ત્યારે તેને શક્ય તે રીતે હલ કરવાની તેમની ફરજ છે. જ્યારે કોઈ સમસ્યા શાસ્ત્રીય ગાણિતિક વસ્તુઓને લગતી હોય છે (ક્લાસિસ્ટો ભાગ્યે જ અન્ય પ્રકારની વસ્તુઓ સાથે વ્યવહાર કરે છે), ક્લાસિસ્ટો તેને માત્ર શાસ્ત્રીય માધ્યમોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવાનો પ્રયાસ કરે છે, જ્યારે અન્ય ગણિતશાસ્ત્રીઓ કાર્યને સંબંધિત સામાન્ય પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવા માટે વધુ "અમૂર્ત" રચનાઓ રજૂ કરે છે. અભિગમમાં આ તફાવત નવો નથી. 19મી સદીથી. ગણિતશાસ્ત્રીઓને "વ્યૂહાત્મક" માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે જેઓ સમસ્યાનો સંપૂર્ણ બળવાન ઉકેલ શોધવાનો પ્રયત્ન કરે છે, અને "વ્યૂહરચનાકારો" કે જેઓ રાઉન્ડઅબાઉટ દાવપેચ માટે સંવેદનશીલ હોય છે જે નાના દળોથી દુશ્મનને કચડી નાખવાનું શક્ય બનાવે છે.

(4) પ્રમેયની "સુંદરતા" નું એક આવશ્યક તત્વ તેની સરળતા છે. અલબત્ત, સરળતાની શોધ એ તમામ વૈજ્ઞાનિક વિચારોની લાક્ષણિકતા છે. પરંતુ પ્રયોગકર્તાઓ "નીચ ઉકેલો" સાથે મૂકવા માટે તૈયાર છે જો માત્ર સમસ્યા હલ થાય. તેવી જ રીતે, ગણિતમાં, ક્લાસિક અને અમૂર્તવાદીઓ "પેથોલોજીકલ" પરિણામોના દેખાવ વિશે ખૂબ ચિંતિત નથી. બીજી બાજુ, આધુનિકતાવાદીઓ સિદ્ધાંતના "પેથોલોજી" ના દેખાવમાં મૂળભૂત વિભાવનાઓની અપૂર્ણતા દર્શાવતા લક્ષણ જોવા માટે એટલા આગળ વધે છે.

મેથેમેટિકલ એનસાયક્લોપીડિયા - ગણિતની તમામ શાખાઓ પરનું એક સંદર્ભ પ્રકાશન. જ્ઞાનકોશ ગણિતના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ક્ષેત્રોને સમર્પિત સમીક્ષા લેખો પર આધારિત છે. આ પ્રકારના લેખો માટેની મુખ્ય આવશ્યકતા એ પ્રસ્તુતિની મહત્તમ સુલભતા સાથે સિદ્ધાંતની વર્તમાન સ્થિતિની ઝાંખીની સંભવિત પૂર્ણતા છે; આ લેખો સામાન્ય રીતે ગણિતના વરિષ્ઠ વિદ્યાર્થીઓ, સ્નાતક વિદ્યાર્થીઓ અને ગણિતના સંબંધિત ક્ષેત્રોના નિષ્ણાતો માટે અને અમુક કિસ્સાઓમાં - જ્ઞાનના અન્ય ક્ષેત્રોના નિષ્ણાતો કે જેઓ તેમના કાર્યમાં ગાણિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરે છે, એન્જિનિયરો અને ગણિતના શિક્ષકો માટે સુલભ છે. આગળ, વ્યક્તિગત વિશિષ્ટ સમસ્યાઓ અને ગણિતની પદ્ધતિઓ પર મધ્યમ કદના લેખો પ્રદાન કરવામાં આવે છે; આ લેખો ઓછા વાચકો માટે બનાવાયેલ છે અને તેથી તે ઓછા સુલભ હોઈ શકે છે. છેલ્લે, લેખનો બીજો પ્રકાર સંક્ષિપ્ત સંદર્ભો અને વ્યાખ્યાઓ છે. જ્ઞાનકોશના છેલ્લા ખંડના અંતે એક વિષય અનુક્રમણિકા હશે, જેમાં માત્ર તમામ લેખોના શીર્ષકો જ નહીં, પરંતુ ઘણા ખ્યાલો પણ શામેલ હશે, જેની વ્યાખ્યાઓ પ્રથમ બે પ્રકારના લેખોમાં આપવામાં આવશે. લેખોમાં ઉલ્લેખિત સૌથી મહત્વપૂર્ણ પરિણામો તરીકે. મોટાભાગના જ્ઞાનકોશ લેખો દરેક શીર્ષક માટે અનુક્રમ નંબરો સાથે સંદર્ભોની સૂચિ સાથે હોય છે, જે તેમને લેખોના ગ્રંથોમાં ટાંકવાનું શક્ય બનાવે છે. લેખોના અંતે (નિયમ પ્રમાણે), લેખક અથવા સ્ત્રોત સૂચવવામાં આવે છે જો લેખ પહેલાથી જ પ્રકાશિત થયો હોય (મુખ્યત્વે આ ગ્રેટ સોવિયેત જ્ઞાનકોશમાંના લેખો છે). લેખોમાં ઉલ્લેખિત વિદેશી (પ્રાચીન સિવાય) વૈજ્ઞાનિકોના નામ લેટિન જોડણી સાથે છે (જો સંદર્ભોની સૂચિની કોઈ લિંક ન હોય તો).

ડાઉનલોડ કરો અને વાંચો ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ, વોલ્યુમ 3, વિનોગ્રાડોવ I.M., 1982

મેથેમેટિકલ એનસાયક્લોપીડિયા, વોલ્યુમ 2, વિનોગ્રાડોવ આઈએમ, 1979 ડાઉનલોડ કરો અને વાંચો

ડાઉનલોડ કરો અને વાંચો ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ, વોલ્યુમ 1, વિનોગ્રાડોવ I.M., 1977

બીજગણિત મૂળ રૂપે સમીકરણો ઉકેલવા સાથે સંબંધિત ગણિતની શાખા હતી. ભૂમિતિથી વિપરીત, બીજગણિતનું સ્વયંસિદ્ધ બાંધકામ 19મી સદીના મધ્ય સુધી અસ્તિત્વમાં ન હતું, જ્યારે બીજગણિતના વિષય અને પ્રકૃતિ વિશે મૂળભૂત રીતે નવો દૃષ્ટિકોણ દેખાયો. સંશોધન કહેવાતા બીજગણિત માળખાના અભ્યાસ પર વધુને વધુ ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવાનું શરૂ કર્યું. આના બે ફાયદા હતા. એક તરફ, જે ક્ષેત્રો માટે વ્યક્તિગત પ્રમેય માન્ય છે તે સ્પષ્ટ કરવામાં આવ્યા હતા, બીજી તરફ, તે જ પુરાવાઓનો ઉપયોગ સંપૂર્ણપણે અલગ-અલગ ક્ષેત્રોમાં શક્ય બન્યો હતો. બીજગણિતનું આ વિભાજન 20મી સદીના મધ્ય સુધી ચાલ્યું અને તે બે નામોના દેખાવમાં પ્રતિબિંબિત થયું: "શાસ્ત્રીય બીજગણિત" અને "આધુનિક બીજગણિત". બાદમાં બીજા નામ દ્વારા વધુ સારી રીતે વર્ગીકૃત થયેલ છે: "અમૂર્ત બીજગણિત". હકીકત એ છે કે આ વિભાગ - ગણિતમાં પ્રથમ વખત - સંપૂર્ણ અમૂર્ત દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવ્યો હતો.

ડાઉનલોડ કરો અને વાંચો સ્મોલ મેથેમેટિકલ એનસાયક્લોપીડિયા, ફ્રાઈડ ઈ., પાદરી આઈ., રીમેન આઈ., રેવ્સ પી., રૂઝા આઈ., 1976

"સંભાવના અને ગાણિતિક આંકડા" એ સંભાવના સિદ્ધાંત, ગાણિતિક આંકડા અને વિજ્ઞાન અને ટેકનોલોજીના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં તેમના ઉપયોગો પર એક સંદર્ભ પ્રકાશન છે. જ્ઞાનકોશના બે ભાગો છે: મુખ્યમાં સમીક્ષા લેખો, વ્યક્તિગત વિશિષ્ટ સમસ્યાઓ અને પદ્ધતિઓને સમર્પિત લેખો, મૂળભૂત ખ્યાલોની વ્યાખ્યા આપતા સંક્ષિપ્ત સંદર્ભો, સૌથી મહત્વપૂર્ણ પ્રમેય અને સૂત્રોનો સમાવેશ થાય છે. પ્રયોજિત મુદ્દાઓ માટે નોંધપાત્ર જગ્યા સમર્પિત છે - માહિતી સિદ્ધાંત, કતાર સિદ્ધાંત, વિશ્વસનીયતા સિદ્ધાંત, પ્રાયોગિક આયોજન અને સંબંધિત ક્ષેત્રો - ભૌતિકશાસ્ત્ર, ભૂ-ભૌતિકશાસ્ત્ર, જિનેટિક્સ, વસ્તી વિષયક અને તકનીકીની વ્યક્તિગત શાખાઓ. મોટાભાગના લેખો આ મુદ્દા પરના સૌથી મહત્વપૂર્ણ કાર્યોની ગ્રંથસૂચિ સાથે છે. લેખોના શીર્ષકો પણ અંગ્રેજી અનુવાદમાં આપવામાં આવ્યા છે. બીજો ભાગ - "સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડા પર કાવ્યસંગ્રહ" ભૂતકાળના સ્થાનિક જ્ઞાનકોશ માટે લખાયેલા લેખો તેમજ અગાઉ અન્ય કૃતિઓમાં પ્રકાશિત જ્ઞાનકોશીય સામગ્રીઓ ધરાવે છે. જ્ઞાનકોશ સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડાઓના વિષયોને આવરી લેતા સામયિકો, સામયિકો અને ચાલુ પ્રકાશનોની વિસ્તૃત સૂચિ સાથે છે.
જ્ઞાનકોશમાં સમાવિષ્ટ સામગ્રી અંડરગ્રેજ્યુએટ, સ્નાતક વિદ્યાર્થીઓ અને ગણિત અને અન્ય વિજ્ઞાનના ક્ષેત્રના સંશોધકો માટે જરૂરી છે જેઓ તેમના સંશોધન અને વ્યવહારિક કાર્યમાં સંભવિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરે છે.

મેથેમેટિકલ એનસાયક્લોપીડિયા - ગણિતની તમામ શાખાઓ પરનું એક સંદર્ભ પ્રકાશન. જ્ઞાનકોશ ગણિતના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ક્ષેત્રોને સમર્પિત સમીક્ષા લેખો પર આધારિત છે. આ પ્રકારના લેખો માટેની મુખ્ય આવશ્યકતા એ પ્રસ્તુતિની મહત્તમ સુલભતા સાથે સિદ્ધાંતની વર્તમાન સ્થિતિની ઝાંખીની સંભવિત પૂર્ણતા છે; આ લેખો સામાન્ય રીતે ગણિતના વરિષ્ઠ વિદ્યાર્થીઓ, સ્નાતક વિદ્યાર્થીઓ અને ગણિતના સંબંધિત ક્ષેત્રોના નિષ્ણાતો માટે અને અમુક કિસ્સાઓમાં - જ્ઞાનના અન્ય ક્ષેત્રોના નિષ્ણાતો કે જેઓ તેમના કાર્યમાં ગાણિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરે છે, એન્જિનિયરો અને ગણિતના શિક્ષકો માટે સુલભ છે. આગળ, વ્યક્તિગત વિશિષ્ટ સમસ્યાઓ અને ગણિતની પદ્ધતિઓ પર મધ્યમ કદના લેખો પ્રદાન કરવામાં આવે છે; આ લેખો ઓછા વાચકો માટે બનાવાયેલ છે અને તેથી તે ઓછા સુલભ હોઈ શકે છે. છેલ્લે, લેખનો બીજો પ્રકાર સંક્ષિપ્ત સંદર્ભો અને વ્યાખ્યાઓ છે. પ્રથમ બે પ્રકારના લેખોમાં કેટલીક વ્યાખ્યાઓ આપવામાં આવી છે. મોટાભાગના જ્ઞાનકોશ લેખો દરેક શીર્ષક માટે અનુક્રમ નંબરો સાથે સંદર્ભોની સૂચિ સાથે હોય છે, જે તેમને લેખોના ગ્રંથોમાં ટાંકવાનું શક્ય બનાવે છે. લેખોના અંતે (નિયમ પ્રમાણે), લેખક અથવા સ્ત્રોત સૂચવવામાં આવે છે જો લેખ પહેલાથી જ પ્રકાશિત થયો હોય (મુખ્યત્વે આ ગ્રેટ સોવિયેત જ્ઞાનકોશમાંના લેખો છે). લેખોમાં ઉલ્લેખિત વિદેશી (પ્રાચીન સિવાય) વૈજ્ઞાનિકોના નામ લેટિન જોડણી સાથે છે (જો સંદર્ભોની સૂચિની કોઈ લિંક ન હોય તો).

જ્ઞાનકોશમાં લેખોની ગોઠવણીનો સિદ્ધાંત મૂળાક્ષરો પ્રમાણે છે. જો લેખનું શીર્ષક એ શબ્દ છે જેનો સમાનાર્થી છે, તો પછીનું મુખ્ય પછી આપવામાં આવે છે. ઘણા કિસ્સાઓમાં, લેખના શીર્ષકોમાં બે અથવા વધુ શબ્દો હોય છે. આ કિસ્સાઓમાં, શબ્દો કાં તો તેમના સૌથી સામાન્ય સ્વરૂપમાં આપવામાં આવે છે, અથવા સૌથી મહત્વપૂર્ણ અર્થ સાથેના શબ્દને પ્રથમ સ્થાન આપવામાં આવે છે. જો લેખના શીર્ષકમાં યોગ્ય નામ શામેલ હોય, તો તે પ્રથમ સ્થાને મૂકવામાં આવે છે (આવા લેખો માટેના સંદર્ભોની સૂચિ, નિયમ તરીકે, શબ્દનું નામ સમજાવતો પ્રાથમિક સ્ત્રોત ધરાવે છે). લેખોના શીર્ષકો મુખ્યત્વે એકવચનમાં આપવામાં આવ્યા છે.

જ્ઞાનકોશ અન્ય લેખોની લિંક્સની સિસ્ટમનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ કરે છે, જ્યાં વાચકને વિચારણા હેઠળના વિષય પર વધારાની માહિતી મળશે. વ્યાખ્યા લેખના શીર્ષકમાં દેખાતા શબ્દનો સંદર્ભ આપતી નથી.

જગ્યા બચાવવા માટે, લેખો જ્ઞાનકોશ માટે કેટલાક શબ્દોના સામાન્ય સંક્ષિપ્ત શબ્દોનો ઉપયોગ કરે છે.

વોલ્યુમ 1 પર કામ કર્યું

પબ્લિશિંગ હાઉસ "સોવિયેત એનસાયક્લોપીડિયા" ના ગણિતની સંપાદકીય કચેરી - V. I. BITYUTSKOV (સંપાદકીય સંચાલક), M. I. VOITSEKHOVSKY (વૈજ્ઞાનિક સંપાદક), Y. A. GORBKOV (વૈજ્ઞાનિક સંપાદક), A. B. IVANOV (વરિષ્ઠ સંપાદક IVANOVA), વરિષ્ઠ સંપાદક IVANOV. ), ટી.વાય. પોપોવા (વૈજ્ઞાનિક સંપાદક), એસ.એ. રૂકોવા (વરિષ્ઠ વૈજ્ઞાનિક સંપાદક), ઇ.જી. સોબોલેવસ્કાયા (સંપાદક), એલ.વી. સોકોલોવા (જુનિયર સંપાદક), એલ.આર. હબીબ (જુનિયર સંપાદક).

પબ્લિશિંગ હાઉસ સ્ટાફ: ઇ.પી. રાયબોવા (સાહિત્યિક સંપાદકો). E. I. ZHAROVA, A. M. માર્ટિનોવ (ગ્રંથસૂચિ). A. F. DALKOVSKAYA (ટ્રાન્સક્રિપ્શન). એન.એ. ફેડોરોવા (સંપાદન વિભાગ). 3. એ. સુખોવા (સંપાદિત ચિત્રો). E. I. ALEXEEVA, N. Y. KRUZHALOVA (ડિક્શનરીના સંપાદક). એમ. વી. અકીમોવા, એ. એફ. પ્રોશકો (પ્રૂફરીડર). જી.વી. સ્મિરનોવા (તકનીકી આવૃત્તિ).

કલાકાર R.I. MALANICHEV દ્વારા કવર.

વોલ્યુમ 1 વિશે વધારાની માહિતી

પબ્લિશિંગ હાઉસ "સોવિયેત જ્ઞાનકોશ"

જ્ઞાનકોશ, શબ્દકોશો, સંદર્ભ પુસ્તકો

પ્રકાશન ગૃહની વૈજ્ઞાનિક અને સંપાદકીય પરિષદ

એ.એમ. પ્રોખોરોવ (અધ્યક્ષ), આઈ.વી. અબાશિદઝે, પી.એ. એઝિમોવ, એ.પી. એલેક્ઝાન્ડ્રોવ, વી.એ. અંબર્ટસુમ્યાન, આઈ. આઈ. આર્તોબોલેવસ્કી, એ V, N. N. BOGOLYUBOV, P. U. BROVKA, Y. V. BROMLEY, B. E. BYKHOVSKY, V. X. VASILENKO , એલ.એમ. વોલોડાર્સ્કી, વી.વી. વોલ્સ્કી, બી.એમ. વુલ, બી.જી. ગફૂરોવ, એસ.આર. ગેર્શબર્ગ, એમ.એસ. ગિલ્યારોવ, વી.પી. ગ્લુશ્કો, વી.એમ. ગ્લુશકોવ, જી.એન. ગોલીકોવ, પી.એ.બી., ડી.બી.એલ.યુ. IN, V. S. EMELYANOV, E. M. ઝુકોવ, એ. એ. ઇમ્શેનેત્સ્કી, એન. એન. ઇનોઝેમત્સેવ, એમ. આઇ. કબાચનિક, એસ. વી. કાલેસ્નિક, જી. એ. કારાવેવ, કે. કે. કરાકીવ, એમ. કે. કરાતાવ, બી. એમ. કેદ્રોવ, જી. વી. કે. કેલ્વિ, આઈ. પી. પી. લોબાનોવ, જી. એમ. લોઝા, વાય. ઇ. મકસરેવ , પી. એ. માર્કોવ, એ. આઈ. માર્કુશેવિચ, વાય. માતુલિસ, જી. આઈ. નાન, જી. ડી. ઓબિચકિન, બી. ઇ. પેટન, વી. એમ. પોલેવોય, એમ. એ. પ્રોકોફીવ, વાય. વી. પ્રોખોરોવ, એન. એફ. બી. આર.વી.ઓ.બી.ઓ , વી. પી. સેમસન, એમ. આઈ. સ્લાડકોવસ્કી, વી. આઈ. સ્મિર્નોવ, ડી. એન. સોલોવીવ (ડેપ્યુટી અધ્યક્ષ), વી.જી. સોલોડોવનિકોવ, વી.એન. સ્ટોલેટોવ, બી.આઈ. સ્ટુકાલીન, એ.એ. સુરકોવ, એમ.એલ. ટેરેન્તયેવ, એસ.એ. ટોકારેવ, વી.એ. ટ્રેપેઝનિકોવ, ઇ.કે. ફેડોરોવ, એમ.બી. ખ્રાપ્કોવ, વી , Y. E. શ્મુશ્કિસ, S. I. Yutkevich. કાઉન્સિલના સેક્રેટરી એલ.વી. કિરીલોવા.

મોસ્કો 1977

ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ. વોલ્યુમ 1 (A - D)

એડિટર-ઇન-ચીફ આઇ.એમ. વિનોગ્રાડોવ

સંપાદકીય ટીમ

એસ. આઈ. અધ્યાન, પી. એસ. એલેક્ઝાન્ડ્રોવ, એન. એસ. બખ્વાલોવ, વી. આઈ. બિટ્યુત્સ્કોવ (ડેપ્યુટી એડિટર-ઈન-ચીફ), એ. વી. બિટ્સાડ્ઝ, એલ. એન. બોલશેવ, એ. એ. ગોંચર, એન. વી. એફિમોવ, વી. એ. કે., બી. એ. એમ. લેવિટન, કે.કે. માર્ઝાનિશવિલી, ઇ.એફ. મિશ્ચેન્કો, એસ.પી. નોવિકોવ, ઇ.જી. પોઝન્યાક, વાય.વી. પ્રોખોરોવ (ડેપ્યુટી એડિટર-ઇન-ચીફ), એ.જી. સ્વેશ્નિકોવ, એ.એન. તિખોનોવ, પી.એલ. ઉલ્યાનોવ, એ.આઈ. શિરશોવ, એસ.

ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ. એડ. બોર્ડ: આઇ.એમ. વિનોગ્રાડોવ (મુખ્ય સંપાદક) [અને અન્ય] ટી. 1 - એમ., "સોવિયેત જ્ઞાનકોશ", 1977

(વિશ્વકોશ. શબ્દકોશો. સંદર્ભ પુસ્તકો), વોલ્યુમ 1. A - G. 1977. 1152 stb. બીમાર થી.

9 જૂન, 1976ના રોજ ટાઇપસેટિંગ માટે સબમિટ કરવામાં આવ્યું. 18 ફેબ્રુઆરી, 1977ના રોજ પ્રિન્ટિંગ માટે હસ્તાક્ષર કર્યા. નામ આપવામાં આવ્યું ફર્સ્ટ મોડલ પ્રિન્ટિંગ હાઉસ ખાતે બનાવેલા મેટ્રિસિસમાંથી ટેક્સ્ટનું પ્રિન્ટિંગ. એ. એ. ઝ્દાનોવા. લેબર પબ્લિશિંગ હાઉસ "સોવિયેત એનસાયક્લોપીડિયા" ના રેડ બેનરનો ઓર્ડર. 109817. મોસ્કો, ઝેડ - 28, પોકરોવ્સ્કી બુલવર્ડ, 8. ટી - 02616 પરિભ્રમણ 150,000 નકલો. ઓર્ડર નંબર 418. પ્રિન્ટીંગ પેપર નંબર 1. પેપર ફોર્મેટ 84xl08 1/14. વોલ્યુમ 36 ભૌતિક. p.l ; 60, 48 પરંપરાગત p.l ટેક્સ્ટ 101, 82 શૈક્ષણિક. - ઇડી. l પુસ્તકની કિંમત 7 રુબેલ્સ છે. 10 કે.

પ્રકાશન, મુદ્રણ અને પુસ્તક વેપાર, મોસ્કો, I - 85, પ્રોસ્પેક્ટ મીરા, 105. ઓર્ડર નંબર. 865.

ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ

ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ- ગાણિતિક વિષયોને સમર્પિત પાંચ વોલ્યુમોમાં સોવિયેત જ્ઞાનકોશીય પ્રકાશન. પબ્લિશિંગ હાઉસ "સોવિયેત એનસાયક્લોપીડિયા" દ્વારા 1985 માં પ્રકાશિત. એડિટર-ઇન-ચીફ: એકેડેમિશિયન આઇ.એમ. વિનોગ્રાડોવ.

આ ગણિતની તમામ મુખ્ય શાખાઓ પરનું મૂળભૂત સચિત્ર પ્રકાશન છે. પુસ્તક વિષય પર વિસ્તૃત સામગ્રી, પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રીઓના જીવનચરિત્ર, રેખાંકનો, આલેખ, ચાર્ટ અને ચાર્ટ રજૂ કરે છે.

કુલ વોલ્યુમ: લગભગ 3000 પૃષ્ઠો. વોલ્યુમ દ્વારા લેખોનું વિતરણ:

વોલ્યુમ 1: એબેકસ - હ્યુજેન્સ સિદ્ધાંત, 576 પૃષ્ઠ.
વોલ્યુમ 2: ડી'એલેમ્બર્ટ ઓપરેટર - કો-ઓપ ગેમ, 552 પૃષ્ઠ.
વોલ્યુમ 3: કોઓર્ડિનેટ્સ - મોનોમિયલ, 592 પૃષ્ઠ.
વોલ્યુમ 4: પ્રમેયની આંખ - જટિલ કાર્ય, 608 પૃષ્ઠ.
વોલ્યુમ 5: રેન્ડમ વેરીએબલ - સેલ, 623 પૃષ્ઠ.
વોલ્યુમ 5 નું પરિશિષ્ટ: અનુક્રમણિકા, નોંધાયેલી ટાઇપોની સૂચિ.

લિંક્સ

"વર્લ્ડ ઑફ મેથેમેટિકલ ઇક્વેશન્સ" પોર્ટલ પર ગણિત પરના સામાન્ય અને વિશેષ સંદર્ભ પુસ્તકો અને જ્ઞાનકોશ, જ્યાં તમે જ્ઞાનકોશને ઇલેક્ટ્રોનિક સ્વરૂપમાં ડાઉનલોડ કરી શકો છો.

શ્રેણીઓ:

મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં પુસ્તકો
ગાણિતિક સાહિત્ય
જ્ઞાનકોશ
પ્રકાશન ગૃહ "સોવિયેત જ્ઞાનકોશ" ના પુસ્તકો
યુએસએસઆરના જ્ઞાનકોશ

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન. 2010.

ગાણિતિક રસાયણશાસ્ત્ર
ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના ગાણિતિક પાયા

અન્ય શબ્દકોશોમાં "ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ" શું છે તે જુઓ:

ગાણિતિક તર્ક- (સૈદ્ધાંતિક તર્કશાસ્ત્ર, સાંકેતિક તર્ક) ગણિતની એક શાખા જે ગણિતના પાયાના પુરાવા અને પ્રશ્નોનો અભ્યાસ કરે છે. "આધુનિક ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્રનો વિષય વૈવિધ્યસભર છે." P. S. Poretsky ની વ્યાખ્યા મુજબ, “ગાણિતિક... ... Wikipedia

જ્ઞાનકોશ- અન્ય ગ્રીક ἐγκύκλιος παιδεία “સંપૂર્ણ વર્તુળમાં શીખવું”, κύκλος વર્તુળ અને παιδεία લર્નિંગ/પેઇડિયામાંથી (નવું લેટિન જ્ઞાનકોશ (16મી સદી કરતાં પહેલાંનું નહીં)... વિકિપીડિયા વિશે સિસ્ટમમાં લાવવામાં આવ્યું છે.

એનસાયક્લોપીડિયા- (ગ્રીક enkyklios paydeia માંથી જ્ઞાનની સમગ્ર શ્રેણીમાં તાલીમ), વૈજ્ઞાનિક. અથવા વૈજ્ઞાનિક વ્યવસ્થિત માહિતી ધરાવતું લોકપ્રિય સંદર્ભ પ્રકાશન. જ્ઞાનનું શરીર. E. માં સામગ્રીને મૂળાક્ષરો અથવા વ્યવસ્થિત રીતે ગોઠવવામાં આવે છે. સિદ્ધાંત (જ્ઞાનની શાખાઓ અનુસાર) ... ... કુદરતી વિજ્ઞાન. જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

ગાણિતિક તર્ક- આધુનિક તર્કશાસ્ત્રનું એક નામ જે બીજામાં આવ્યું. માળ 19 શરૂઆત 20 મી સદી પરંપરાગત તર્કને બદલવા માટે. સાંકેતિક તર્ક શબ્દનો ઉપયોગ તર્કશાસ્ત્રના વિજ્ઞાનના વિકાસમાં આધુનિક તબક્કાના બીજા નામ તરીકે પણ થાય છે. વ્યાખ્યા…… ફિલોસોફિકલ જ્ઞાનકોશ

ગાણિતિક અનંત- વિઘટન માટેનું સામાન્ય નામ. ગણિતમાં અનંતના વિચારનું અમલીકરણ. જોકે ખ્યાલના અર્થ વચ્ચે M. b. અને અન્ય અર્થો જેમાં અનંત શબ્દનો ઉપયોગ થાય છે, ત્યાં કોઈ સખત મર્યાદા નથી (કારણ કે આ તમામ ખ્યાલો આખરે ખૂબ જ પ્રતિબિંબિત કરે છે ... ... ફિલોસોફિકલ જ્ઞાનકોશ

ગાણિતિક ઇન્ડક્શન- સંપૂર્ણ ગાણિતિક ઇન્ડક્શન (ગણિતમાં ઘણીવાર ફક્ત સંપૂર્ણ ઇન્ડક્શન કહેવામાં આવે છે; આ કિસ્સામાં, આ ખ્યાલને બિન-ગાણિતિક ઔપચારિક તર્કમાં ગણવામાં આવતા સંપૂર્ણ ઇન્ડક્શનની વિભાવનાથી અલગ પાડવો જોઈએ), - માં સામાન્ય દરખાસ્તોને સાબિત કરવાની એક પદ્ધતિ. .. ફિલોસોફિકલ જ્ઞાનકોશ

ગાણિતિક પૂર્વધારણા- અસાધારણ કાયદા તરીકે નવા, હજુ સુધી અધ્યયન વિનાના ક્ષેત્રમાં તેને વિસ્તારવાના ઉદ્દેશ્ય સાથે, ઘટનાના અભ્યાસ કરેલા ક્ષેત્રના કાયદાને વ્યક્ત કરતા સમીકરણના સ્વરૂપ, પ્રકાર, પાત્રમાં સંભવિત ફેરફાર. M. g. આધુનિક સમયમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. સૈદ્ધાંતિક...... ફિલોસોફિકલ જ્ઞાનકોશ

પોલિટિકલ ઇકોનોમીમાં મેથેમેટિકલ સ્કૂલ- અંગ્રેજી રાજકીય અર્થતંત્રમાં ગાણિતિક શાળા; જર્મન mathematische Schule in der politischen Okonomie. 19મી સદીના ઉત્તરાર્ધમાં ઉદભવેલી રાજનીતિ, અર્થવ્યવસ્થાની દિશા પ્રતિનિધિઓ (એલ. વાલરાસ, વી. પેરેટો, ઓ. જેવોન્સ વગેરે) દ્વારા આપવામાં આવી હતી ... ... સમાજશાસ્ત્રનો જ્ઞાનકોશ

સમાજશાસ્ત્રમાં ગાણિતિક શાળા- અંગ્રેજી સમાજશાસ્ત્રમાં ગાણિતિક શાળા; જર્મન ડેર સોઝિયોલોજીમાં ગણિતશાસ્ત્ર. 20મી સદીના પૂર્વાર્ધમાં સમાજશાસ્ત્રમાં એક વલણ ઊભું થયું, સમાજશાસ્ત્રના સ્થાપકો (A. Zipf, E. Dodd, વગેરે) માનતા હતા કે સમાજશાસ્ત્રીના સિદ્ધાંતો .......ના સ્તરે પહોંચે છે. સમાજશાસ્ત્રનો જ્ઞાનકોશ

ઇમારતો અને બંધારણોનું ગાણિતિક મોડેલ- ઇમારતો અને માળખાંનું ગાણિતિક (કમ્પ્યુટર) મોડેલ - ડિઝાઇન, બાંધકામ અને... દરમિયાન ઉદ્ભવતી સમસ્યાઓના સમૂહને હલ કરતી વખતે સંખ્યાત્મક ગણતરીઓ હાથ ધરવા માટે મર્યાદિત તત્વ રેખાકૃતિના રૂપમાં ઇમારતો અને બંધારણોનું પ્રતિનિધિત્વ. બાંધકામ સામગ્રીની શરતો, વ્યાખ્યાઓ અને સમજૂતીઓનો જ્ઞાનકોશ

પુસ્તકો

ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ (5 પુસ્તકોનો સમૂહ), . ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ - ગણિતની તમામ શાખાઓ પર અનુકૂળ સંદર્ભ પ્રકાશન. જ્ઞાનકોશ ગણિતના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ક્ષેત્રોને સમર્પિત લેખો પર આધારિત છે. સ્થાનનો સિદ્ધાંત...

મેથેમેટિકલ એનસાયક્લોપીડિયા પુસ્તક 5 ભાગમાં ડાઉનલોડ કરોસંપૂર્ણપણે મફત.

ફાઇલ હોસ્ટિંગ સેવાઓમાંથી પુસ્તક મફતમાં ડાઉનલોડ કરવા માટે, મફત પુસ્તકના વર્ણન પછી તરત જ લિંક પર ક્લિક કરો.

પ્રિય વાચકો, જો તે તમારા માટે કામ ન કરે

5 વોલ્યુમમાં ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ ડાઉનલોડ કરો

ટિપ્પણીઓમાં તેના વિશે લખો અને અમે ચોક્કસપણે તમને મદદ કરીશું.

અમે આશા રાખીએ છીએ કે તમને પુસ્તક ગમ્યું હશે અને વાંચવાનો આનંદ લીધો હશે. આભાર તરીકે, તમે ફોરમ અથવા બ્લોગ પર અમારી વેબસાઇટની લિંક મૂકી શકો છો :) 5 વોલ્યુમમાં ઈ-બુક મેથેમેટિકલ એનસાયક્લોપીડિયા માત્ર પેપર બુક ખરીદતા પહેલા સમીક્ષા માટે આપવામાં આવે છે અને તે મુદ્રિત પ્રકાશનોની હરીફ નથી.