મેટ્રિક્સ કામગીરી. સ્ક્વેર મેટ્રિક્સ ગુણાકાર

મેટ્રિક્સપરિમાણ એ એક લંબચોરસ કોષ્ટક છે જેમાં સ્થિત ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે mરેખાઓ અને nકૉલમ.

મેટ્રિક્સ તત્વો (પ્રથમ અનુક્રમણિકા i- રેખા નંબર, બીજી અનુક્રમણિકા j− કૉલમ નંબર) સંખ્યાઓ, કાર્યો વગેરે હોઈ શકે છે. મેટ્રિસિસ લેટિન મૂળાક્ષરોના મોટા અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

મેટ્રિક્સ કહેવાય છે ચોરસ, જો તેમાં કૉલમની સંખ્યા જેટલી પંક્તિઓની સંખ્યા હોય તો ( m = n). આ કિસ્સામાં નંબર nમેટ્રિક્સનો ક્રમ કહેવાય છે, અને મેટ્રિક્સને જ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે n-મો ઓર્ડર.

સમાન અનુક્રમણિકાઓ સાથે તત્વો ફોર્મ મુખ્ય કર્ણચોરસ મેટ્રિક્સ, અને તત્વો (એટલે ​​​​કે સૂચકાંકોનો સરવાળો સમાન છે n+1) − બાજુ કર્ણ.

એકલુ મેટ્રિક્સએક ચોરસ મેટ્રિક્સ છે, જેમાંથી મુખ્ય કર્ણના તમામ ઘટકો 1 સમાન છે, અને બાકીના તત્વો 0 ની બરાબર છે. તે અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ઇ.

શૂન્ય મેટ્રિક્સ− એક મેટ્રિક્સ છે, જેનાં તમામ ઘટકો 0 ની બરાબર છે. શૂન્ય મેટ્રિક્સ કોઈપણ કદનું હોઈ શકે છે.

નંબર પર મેટ્રિસિસ પર રેખીય કામગીરીસંબંધિત:

1) મેટ્રિક્સ ઉમેરો;

2) સંખ્યા દ્વારા મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર.

મેટ્રિક્સ એડિશન ઑપરેશન માત્ર સમાન પરિમાણના મેટ્રિસિસ માટે જ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

બે મેટ્રિસિસનો સરવાળો એઅને INમેટ્રિક્સ કહેવાય છે સાથે, જેનાં તમામ ઘટકો અનુરૂપ મેટ્રિક્સ તત્વોના સરવાળા સમાન છે એઅને IN:

.

મેટ્રિક્સ ઉત્પાદન એ સંખ્યા દીઠ kમેટ્રિક્સ કહેવાય છે IN, જેનાં તમામ ઘટકો આ મેટ્રિક્સના અનુરૂપ ઘટકો સમાન છે એ, સંખ્યા વડે ગુણાકાર k:

ઓપરેશન મેટ્રિક્સ ગુણાકારમેટ્રિક્સ માટે રજૂ કરવામાં આવે છે જે સ્થિતિને સંતોષે છે: પ્રથમ મેટ્રિક્સના કૉલમની સંખ્યા બીજાની પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલી છે.

મેટ્રિક્સ ઉત્પાદન એપરિમાણો મેટ્રિક્સ માટે INપરિમાણને મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે સાથેપરિમાણો, તત્વ i-મી લીટી અને jજેનો મી સ્તંભ તત્વોના ઉત્પાદનોના સરવાળા જેટલો છે iમેટ્રિક્સની મી પંક્તિ એઅનુરૂપ તત્વો માટે jમી મેટ્રિક્સ કૉલમ IN:

મેટ્રિસિસનું ઉત્પાદન (વાસ્તવિક સંખ્યાના ઉત્પાદનથી વિપરીત) વિનિમયાત્મક કાયદાનું પાલન કરતું નથી, એટલે કે. સામાન્ય રીતે એ IN IN એ.

1.2. નિર્ધારકો. નિર્ધારકોના ગુણધર્મો

નિર્ણાયકનો ખ્યાલમાત્ર ચોરસ મેટ્રિસ માટે રજૂ કરવામાં આવે છે.

2જી ક્રમના મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક એ નીચેના નિયમ અનુસાર ગણતરી કરાયેલ સંખ્યા છે

.

3જી ક્રમના મેટ્રિક્સનું નિર્ધારક નીચેના નિયમ અનુસાર ગણતરી કરેલ સંખ્યા છે:

“+” ચિહ્ન સાથેના પ્રથમ શબ્દો એ મેટ્રિક્સ () ના મુખ્ય કર્ણ પર સ્થિત તત્વોનું ઉત્પાદન છે. બાકીના બે મુખ્ય કર્ણ (i) ની સમાંતર આધાર સાથે ત્રિકોણના શિરોબિંદુ પર સ્થિત તત્વો ધરાવે છે. “-” ચિહ્નમાં ગૌણ કર્ણ () ના તત્વોના ઉત્પાદનો અને આ કર્ણ (અને) ની સમાંતર પાયા સાથે ત્રિકોણ બનાવતા તત્વોનો સમાવેશ થાય છે.

3જી ક્રમ નિર્ણાયકની ગણતરી માટેના આ નિયમને ત્રિકોણ નિયમ (અથવા સરરસનો નિયમ) કહેવામાં આવે છે.

નિર્ધારકોના ગુણધર્મોચાલો 3જી ક્રમ નિર્ધારકોનું ઉદાહરણ જોઈએ.

1. જ્યારે નિર્ણાયકની બધી પંક્તિઓને પંક્તિઓની સમાન સંખ્યાઓ સાથે કૉલમ સાથે બદલી રહ્યા હોય, ત્યારે નિર્ણાયક તેનું મૂલ્ય બદલતું નથી, એટલે કે. નિર્ધારકની પંક્તિઓ અને કૉલમ સમાન છે

.

2. જ્યારે બે પંક્તિઓ (સ્તંભો) ફરીથી ગોઠવવામાં આવે છે, ત્યારે નિર્ણાયક તેની નિશાની બદલે છે.

3. જો ચોક્કસ પંક્તિ (કૉલમ) ના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોય, તો નિર્ણાયક 0 છે.

4. પંક્તિ (કૉલમ) ના તમામ ઘટકોના સામાન્ય અવયવને નિર્ણાયક ચિન્હમાંથી બહાર લઈ શકાય છે.

5. બે સરખા પંક્તિઓ (કૉલમ્સ) ધરાવતો નિર્ણાયક 0 ની બરાબર છે.

6. બે પ્રમાણસર પંક્તિઓ (સ્તંભો) ધરાવતો નિર્ણાયક શૂન્ય બરાબર છે.

7. જો નિર્ણાયકની ચોક્કસ કૉલમ (પંક્તિ) ના દરેક ઘટક બે પદોના સરવાળાને રજૂ કરે છે, તો નિર્ણાયક બે નિર્ણાયકોના સરવાળા સમાન છે, જેમાંથી એક સમાન સ્તંભ (પંક્તિ) માં પ્રથમ પદ ધરાવે છે અને અન્ય બીજા સમાવે છે. બંને નિર્ધારકોના બાકીના ઘટકો સમાન છે. તેથી,

.

8. નિર્ણાયક બદલાશે નહીં જો અન્ય કૉલમ (પંક્તિ) ના અનુરૂપ ઘટકો, સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો તેના કોઈપણ કૉલમ (પંક્તિઓ) ના ઘટકોમાં ઉમેરવામાં આવે.

મેટ્રિક્સ ઉમેરણ:

બાદબાકી અને મેટ્રિસિસનો સરવાળોતેમના તત્વો પર અનુરૂપ કામગીરીમાં ઘટાડો કરે છે. મેટ્રિક્સ ઉમેરણ કામગીરીમાટે જ દાખલ કરેલ છે મેટ્રિસિસસમાન કદ, એટલે કે માટે મેટ્રિસિસ, જેમાં પંક્તિઓ અને કૉલમની સંખ્યા અનુક્રમે સમાન છે. મેટ્રિસિસનો સરવાળો A અને B કહેવાય છે મેટ્રિક્સ C, જેના તત્વો અનુરૂપ તત્વોના સરવાળા જેટલા છે. C = A + B c ij = a ij + b ij સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત મેટ્રિક્સ તફાવત.

સંખ્યા વડે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર:

મેટ્રિક્સ ગુણાકાર (વિભાગ) કામગીરીમનસ્વી સંખ્યા દ્વારા કોઈપણ કદના દરેક ઘટકને ગુણાકાર (ભાગાકાર) કરવા માટે ઘટાડવામાં આવે છે મેટ્રિસિસઆ નંબર માટે. મેટ્રિક્સ ઉત્પાદનઅને નંબર k કહેવાય છે મેટ્રિક્સબી, જેમ કે

b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij . મેટ્રિક્સ- A = (-1) × A ને વિપરીત કહેવામાં આવે છે મેટ્રિક્સએ.

મેટ્રિક્સ ઉમેરવા અને સંખ્યા વડે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરવાના ગુણધર્મો:

મેટ્રિક્સ ઉમેરણ કામગીરીઅને મેટ્રિક્સ ગુણાકારસંખ્યા દીઠ નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , જ્યાં A, B અને C મેટ્રિસિસ છે, α અને β એ સંખ્યાઓ છે.

મેટ્રિક્સ ગુણાકાર (મેટ્રિક્સ ઉત્પાદન):

બે મેટ્રિસના ગુણાકારની કામગીરીજ્યારે પ્રથમ કૉલમની સંખ્યા હોય ત્યારે જ કેસ માટે દાખલ કરવામાં આવે છે મેટ્રિસિસબીજાની રેખાઓની સંખ્યા જેટલી મેટ્રિસિસ. મેટ્રિક્સ ઉત્પાદનઅને m×n ચાલુ મેટ્રિક્સ n×p માં, કહેવાય છે મેટ્રિક્સ m×p સાથે જેમ કે ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk સાથે, એટલે કે, i-th પંક્તિના ઘટકોના ઉત્પાદનોનો સરવાળો મળે છે. મેટ્રિસિસઅને jth કૉલમના અનુરૂપ ઘટકોને મેટ્રિસિસ B. જો મેટ્રિસિસ A અને B એ સમાન કદના ચોરસ છે, પછી ઉત્પાદનો AB અને BA હંમેશા અસ્તિત્વમાં છે. એ દર્શાવવું સરળ છે કે A × E = E × A = A, જ્યાં A ચોરસ છે મેટ્રિક્સ, ઇ - એકમ મેટ્રિક્સસમાન કદ.

મેટ્રિક્સ ગુણાકારના ગુણધર્મો:

મેટ્રિક્સ ગુણાકારવિનિમયાત્મક નથી, એટલે કે AB ≠ BA બંને ઉત્પાદનો વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો પણ. જો કે, જો કોઈ માટે મેટ્રિસિસસંબંધ AB=BA સંતુષ્ટ છે, પછી આવો મેટ્રિસિસવિનિમયાત્મક કહેવાય છે. સૌથી લાક્ષણિક ઉદાહરણ સિંગલ છે મેટ્રિક્સ, જે અન્ય કોઈપણ સાથે મુસાફરી કરે છે મેટ્રિક્સસમાન કદ. ફક્ત ચોરસ જ ફેરબદલી કરી શકાય છે મેટ્રિસિસસમાન ક્રમમાં. A × E = E × A = A

મેટ્રિક્સ ગુણાકારનીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. 2જી અને 3જી ઓર્ડરના નિર્ધારકો. નિર્ધારકોના ગુણધર્મો.

મેટ્રિક્સ નિર્ણાયકબીજો ક્રમ, અથવા નિર્ણાયકબીજો ક્રમ એ એક સંખ્યા છે જેની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે:

મેટ્રિક્સ નિર્ણાયકત્રીજો ઓર્ડર, અથવા નિર્ણાયકત્રીજો ક્રમ એ એક સંખ્યા છે જે સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

આ સંખ્યા બીજગણિતીય રકમનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જેમાં છ પદોનો સમાવેશ થાય છે. દરેક શબ્દ દરેક પંક્તિ અને દરેક કૉલમમાંથી બરાબર એક ઘટક ધરાવે છે મેટ્રિસિસ. દરેક શબ્દ ત્રણ પરિબળોના ઉત્પાદનનો સમાવેશ કરે છે.

જેની સાથે સભ્યો સહી કરે છે મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયકસૂત્રમાં સમાવવામાં આવેલ છે મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શોધવોઆપેલ સ્કીમનો ઉપયોગ કરીને ત્રીજો ક્રમ નક્કી કરી શકાય છે, જેને ત્રિકોણનો નિયમ અથવા સરરસનો નિયમ કહેવામાં આવે છે. પ્રથમ ત્રણ પદો વત્તા ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે અને ડાબી આકૃતિમાંથી નક્કી કરવામાં આવે છે, અને પછીના ત્રણ પદો ઓછા ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે અને જમણી આકૃતિમાંથી નક્કી કરવામાં આવે છે.

શોધવા માટેના શબ્દોની સંખ્યા નક્કી કરો મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક, બીજગણિતના સરવાળામાં, તમે ફેક્ટોરિયલની ગણતરી કરી શકો છો: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

મેટ્રિક્સ નિર્ધારકોના ગુણધર્મો

મેટ્રિક્સ નિર્ધારકોના ગુણધર્મો:

મિલકત #1:

મેટ્રિક્સ નિર્ણાયકજો તેની પંક્તિઓ કૉલમ સાથે બદલાશે, દરેક પંક્તિ સમાન નંબર સાથે કૉલમ સાથે, અને ઊલટું (ટ્રાન્સપોઝિશન) સાથે બદલાશે. |એ| = |એ| ટી

પરિણામ:

કૉલમ અને પંક્તિઓ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયકસમાન છે, તેથી, પંક્તિઓમાં સહજ ગુણધર્મો પણ કૉલમ માટે પરિપૂર્ણ થાય છે.

મિલકત #2:

2 પંક્તિઓ અથવા કૉલમ ફરીથી ગોઠવતી વખતે મેટ્રિક્સ નિર્ણાયકનિરપેક્ષ મૂલ્યને જાળવી રાખીને, ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલશે, એટલે કે:

મિલકત #3:

મેટ્રિક્સ નિર્ણાયકબે સરખી પંક્તિઓ શૂન્યની બરાબર છે.

મિલકત #4:

કોઈપણ શ્રેણીના ઘટકોનો સામાન્ય અવયવ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયકનિશાની તરીકે લઈ શકાય છે નિર્ણાયક.

પ્રોપર્ટી નંબર 3 અને નંબર 4 માંથી કોરોલેરી:

જો ચોક્કસ શ્રેણીના તમામ ઘટકો (પંક્તિ અથવા કૉલમ) સમાંતર શ્રેણીના અનુરૂપ ઘટકોના પ્રમાણસર હોય, તો આવા મેટ્રિક્સ નિર્ણાયકશૂન્ય બરાબર.

મિલકત #5:

મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયકપછી શૂન્ય બરાબર છે મેટ્રિક્સ નિર્ણાયકશૂન્ય બરાબર.

મિલકત #6:

જો પંક્તિ અથવા કૉલમના તમામ ઘટકો નિર્ણાયકપછી 2 શરતોના સરવાળા તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે નિર્ણાયક મેટ્રિસિસ 2 ના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે નિર્ધારકોસૂત્ર અનુસાર:

મિલકત #7:

જો કોઈપણ પંક્તિ (અથવા કૉલમ) નિર્ણાયકબીજી પંક્તિ (અથવા કૉલમ) ના અનુરૂપ ઘટકો ઉમેરો, સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરો, પછી મેટ્રિક્સ નિર્ણાયકતેની કિંમત બદલશે નહીં.

ગણતરી માટે ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવાનું ઉદાહરણ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક:

તેથી, અગાઉના પાઠમાં આપણે મેટ્રિસીસ ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાના નિયમો જોયા. આ એટલી સરળ કામગીરી છે કે મોટાભાગના વિદ્યાર્થીઓ તેને શાબ્દિક રીતે બેટથી જ સમજી જાય છે.

જો કે, તમે વહેલા આનંદ કરો છો. ફ્રીબી સમાપ્ત થઈ ગઈ છે - ચાલો ગુણાકાર તરફ આગળ વધીએ. હું તમને તરત જ ચેતવણી આપીશ: બે મેટ્રિસિસનો ગુણાકાર એ સમાન કોઓર્ડિનેટ્સવાળા કોષોમાં સંખ્યાઓનો ગુણાકાર નથી, જેમ તમે વિચારી શકો છો. અહીં બધું વધુ મનોરંજક છે. અને આપણે પ્રારંભિક વ્યાખ્યાઓથી શરૂઆત કરવી પડશે.

મેળ ખાતી મેટ્રિસિસ

મેટ્રિક્સની સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓમાંની એક તેનું કદ છે. અમે આ વિશે સો વખત વાત કરી ચુક્યા છીએ: $A=\left[ m\times n \right]$ લખવાનો અર્થ છે કે મેટ્રિક્સમાં બરાબર $m$ પંક્તિઓ અને $n$ કૉલમ છે. પંક્તિઓને કૉલમ સાથે કેવી રીતે ગૂંચવવી નહીં તે વિશે પણ અમે પહેલેથી જ ચર્ચા કરી છે. હવે બીજું કંઈક મહત્વનું છે.

વ્યાખ્યા. ફોર્મ $A=\left[ m\times n \right]$ અને $B=\left[ n\times k \right]$, જેમાં પ્રથમ મેટ્રિક્સમાં કૉલમની સંખ્યા પંક્તિઓની સંખ્યા સાથે મેળ ખાય છે બીજામાં, સુસંગત કહેવાય છે.

ફરી એકવાર: પ્રથમ મેટ્રિક્સમાં કૉલમની સંખ્યા બીજામાં પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલી છે! અહીંથી આપણે એક સાથે બે નિષ્કર્ષ મેળવીએ છીએ:

1. મેટ્રિસિસનો ક્રમ અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. ઉદાહરણ તરીકે, $A=\left[ 3\times 2 \right]$ અને $B=\left[ 2\times 5 \right]$ સુસંગત છે (પ્રથમ મેટ્રિક્સમાં 2 કૉલમ અને બીજામાં 2 પંક્તિઓ) , પરંતુ તેનાથી વિપરીત — મેટ્રિક્સ $B=\left[ 2\times 5 \right]$ અને $A=\left[ 3\times 2 \right]$ હવે સુસંગત નથી (પ્રથમ મેટ્રિક્સમાં 5 કૉલમ 3 પંક્તિઓ નથી બીજામાં).
2. એક પછી એક બધા પરિમાણો લખીને સુસંગતતા સરળતાથી ચકાસી શકાય છે. પાછલા ફકરામાંથી ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને: “3 2 2 5” - મધ્યમાં સમાન સંખ્યાઓ છે, તેથી મેટ્રિસિસ સુસંગત છે. પરંતુ "2 5 3 2" સુસંગત નથી, કારણ કે મધ્યમાં વિવિધ સંખ્યાઓ છે.

વધુમાં, કેપ્ટન ઓબ્વિયનેસ એ સંકેત આપે છે કે સમાન કદના $\left[ n\times n \right]$ હંમેશા સુસંગત હોય છે.

ગણિતમાં, જ્યારે ઑબ્જેક્ટ્સની સૂચિનો ક્રમ મહત્વપૂર્ણ હોય છે (ઉદાહરણ તરીકે, ઉપર ચર્ચા કરેલી વ્યાખ્યામાં, મેટ્રિસિસનો ક્રમ મહત્વપૂર્ણ છે), અમે વારંવાર ક્રમાંકિત જોડી વિશે વાત કરીએ છીએ. અમે તેઓને શાળામાં પાછા મળ્યા: મને લાગે છે કે $\left(1;0 \right)$ અને $\left(0;1 \right)$ સંકલન પ્લેન પરના વિવિધ બિંદુઓને વ્યાખ્યાયિત કરે છે તે કોઈ વિચારસરણી નથી.

તેથી: કોઓર્ડિનેટ્સ પણ ક્રમાંકિત જોડી છે જે સંખ્યાઓથી બનેલા છે. પરંતુ મેટ્રિસિસમાંથી આવી જોડી બનાવવાથી તમને કંઈપણ અટકાવતું નથી. પછી આપણે કહી શકીએ: "મેટ્રિક્સની ક્રમાંકિત જોડી $\left(A;B \right)$ સુસંગત છે જો પ્રથમ મેટ્રિક્સમાં કૉલમની સંખ્યા બીજામાં પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલી હોય તો."

સારું, તો શું?

ગુણાકારની વ્યાખ્યા

બે સુસંગત મેટ્રિસિસનો વિચાર કરો: $A=\left[ m\times n \right]$ અને $B=\left[ n\times k \right]$. અને અમે તેમના માટે ગુણાકારની ક્રિયાને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.

વ્યાખ્યા. બે મેળ ખાતા મેટ્રિક્સ $A=\left[ m\times n \right]$ અને $B=\left[ n\times k \right]$ એ નવું મેટ્રિક્સ $C=\left[ m\times k \ છે. અધિકાર] $, જેના ઘટકોની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

આવા ઉત્પાદનને પ્રમાણભૂત રીતે સૂચવવામાં આવે છે: $C=A\cdot B$.

જેઓ આ વ્યાખ્યા પ્રથમ વખત જુએ છે તેઓને તરત જ બે પ્રશ્નો છે:

1. આ કેવી ઉગ્ર રમત છે?
2. શા માટે તે આટલું મુશ્કેલ છે?

સારું, પ્રથમ વસ્તુઓ પ્રથમ. ચાલો પહેલા પ્રશ્નથી શરૂઆત કરીએ. આ બધા સૂચકાંકોનો અર્થ શું છે? અને વાસ્તવિક મેટ્રિસિસ સાથે કામ કરતી વખતે ભૂલો કેવી રીતે ન કરવી?

સૌ પ્રથમ, અમે નોંધીએ છીએ કે $((c)_(i;j))$ની ગણતરી કરવા માટેની લાંબી લાઇન (હું ખાસ કરીને સૂચકાંકો વચ્ચે અર્ધવિરામ મૂકું છું જેથી મૂંઝવણમાં ન આવે, પરંતુ તેમાં મૂકવાની જરૂર નથી. સામાન્ય - હું પોતે વ્યાખ્યામાં સૂત્ર ટાઇપ કરીને કંટાળી ગયો છું) વાસ્તવમાં એક સરળ નિયમ પર આવે છે:

1. પ્રથમ મેટ્રિક્સમાં $i$મી પંક્તિ લો;
2. બીજા મેટ્રિક્સમાં $j$th કૉલમ લો;
3. આપણને સંખ્યાઓની બે ક્રમ મળે છે. અમે આ સિક્વન્સના ઘટકોને સમાન સંખ્યાઓ સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ, અને પછી પરિણામી ઉત્પાદનો ઉમેરીએ છીએ.

આ પ્રક્રિયા ચિત્રમાંથી સમજવા માટે સરળ છે:

ફરી એકવાર: અમે પ્રથમ મેટ્રિક્સમાં $i$ પંક્તિ, બીજા મેટ્રિક્સમાં કૉલમ $j$, સમાન સંખ્યાઓ સાથે ઘટકોનો ગુણાકાર કરીએ છીએ અને પછી પરિણામી ઉત્પાદનો ઉમેરીએ છીએ - અમને $((c)_(ij))$ મળે છે. . અને તેથી જ બધા $1\le i\le m$ અને $1\le j\le k$ માટે. તે. કુલ આવા "વિકૃતિઓ" ના $m\ગુણા k$ હશે.

વાસ્તવમાં, અમે પહેલાથી જ શાળાના અભ્યાસક્રમમાં મેટ્રિક્સ ગુણાકારનો સામનો કર્યો છે, માત્ર મોટા પ્રમાણમાં ઓછા સ્વરૂપમાં. વેક્ટર્સ આપવા દો:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

પછી તેમનું સ્કેલર ઉત્પાદન બરાબર પેરવાઈઝ ઉત્પાદનોનો સરવાળો હશે:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y) )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

મૂળભૂત રીતે, જ્યારે વૃક્ષો હરિયાળા હતા અને આકાશ તેજસ્વી હતા, ત્યારે અમે પંક્તિ વેક્ટર $\overrightarrow(a)$ ને કૉલમ વેક્ટર $\overrightarrow(b)$ વડે ગુણાકાર કર્યો હતો.

આજે કંઈ બદલાયું નથી. તે માત્ર એટલું જ છે કે હવે આમાંના વધુ પંક્તિ અને કૉલમ વેક્ટર છે.

પરંતુ પર્યાપ્ત સિદ્ધાંત! ચાલો વાસ્તવિક ઉદાહરણો જોઈએ. અને ચાલો સૌથી સરળ કેસ - ચોરસ મેટ્રિસિસથી પ્રારંભ કરીએ.

સ્ક્વેર મેટ્રિક્સ ગુણાકાર

કાર્ય 1. ગુણાકાર કરો:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 અને 4 \\ 3 અને 1 \\\end(એરે) \right]\]

ઉકેલ. તેથી, અમારી પાસે બે મેટ્રિસિસ છે: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ અને $B=\left[ 2\times 2 \right]$. તે સ્પષ્ટ છે કે તેઓ સુસંગત છે (સમાન કદના ચોરસ મેટ્રિસિસ હંમેશા સુસંગત હોય છે). તેથી, અમે ગુણાકાર કરીએ છીએ:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ બિગિન(એરે)(*(35)(ર)) -2 અને 4 \\ 3 અને 1 \\\ એન્ડ(એરે) \right]=\લેફ્ટ[ \begin(એરે)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 અને 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 અને -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ અંત(એરે)\જમણે]. \અંત(સંરેખિત કરો)\]

બસ એટલું જ!

જવાબ: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

કાર્ય 2. ગુણાકાર કરો:

\[\left[ \begin(matrix) 1 અને 3 \\ 2 & 6 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 અને 6 \\ -3 અને -2 \\\અંત(એરે) \right]\]

ઉકેલ. ફરીથી, સુસંગત મેટ્રિસિસ, તેથી અમે નીચેની ક્રિયાઓ કરીએ છીએ:\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( ) r)) 9 અને 6 \\ -3 અને -2 \\\end(એરે) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ left(-3 \જમણે) અને 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \ right ] \અંત(સંરેખિત કરો)\]

જેમ તમે જોઈ શકો છો, પરિણામ એ શૂન્યથી ભરેલું મેટ્રિક્સ છે

જવાબ: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

ઉપરોક્ત ઉદાહરણો પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે મેટ્રિક્સ ગુણાકાર એટલી જટિલ કામગીરી નથી. ઓછામાં ઓછા 2 બાય 2 ચોરસ મેટ્રિસ માટે.

ગણતરીઓની પ્રક્રિયામાં, અમે મધ્યવર્તી મેટ્રિક્સનું સંકલન કર્યું, જ્યાં અમે ચોક્કસ કોષમાં કઈ સંખ્યાઓ શામેલ છે તેનું સીધું વર્ણન કર્યું. વાસ્તવિક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આ બરાબર કરવું જોઈએ.

મેટ્રિક્સ ઉત્પાદનના મૂળભૂત ગુણધર્મો

ટૂંકમાં. મેટ્રિક્સ ગુણાકાર:

1. બિન-વિનિમયાત્મક: સામાન્ય કિસ્સામાં $A\cdot B\ne B\cdot A$. અલબત્ત, ત્યાં વિશેષ મેટ્રિક્સ છે જેના માટે સમાનતા $A\cdot B=B\cdot A$ (ઉદાહરણ તરીકે, જો $B=E$ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે), પરંતુ મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં આ કામ કરતું નથી. ;
2. સહયોગી રીતે: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. અહીં કોઈ વિકલ્પો નથી: આ બે મેટ્રિસિસની ડાબી અને જમણી બાજુ શું છે તેની ચિંતા કર્યા વિના અડીને આવેલા મેટ્રિસિસનો ગુણાકાર કરી શકાય છે.
3. વિતરણ રૂપે: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ અને $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (ઉત્પાદનની બિન-વિનિમયતાને લીધે, જમણી અને ડાબી વિતરિતતાને અલગથી સ્પષ્ટ કરવી જરૂરી છે.

અને હવે - બધું સમાન છે, પરંતુ વધુ વિગતવાર.

મેટ્રિક્સ ગુણાકાર ઘણી રીતે શાસ્ત્રીય સંખ્યાના ગુણાકાર સમાન છે. પરંતુ ત્યાં તફાવતો છે, જેમાંથી સૌથી મહત્વપૂર્ણ તે છે મેટ્રિક્સ ગુણાકાર, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, બિન-વિનિમયાત્મક છે.

ચાલો સમસ્યા 1 માંથી મેટ્રિસીસને ફરી જોઈએ. અમે તેમના સીધા ઉત્પાદનને પહેલેથી જ જાણીએ છીએ:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 અને 4 \\ 3 અને 1 \\\end(એરે) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\અંત(એરે) \જમણે]\]

પરંતુ જો આપણે મેટ્રિસિસની અદલાબદલી કરીએ, તો આપણને સંપૂર્ણપણે અલગ પરિણામ મળે છે:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 અને 2 \\ -3 અને 4 \\\end(એરે) \right]=\left[ \begin(મેટ્રિક્સ) -14 અને 4 \\ 0 અને 10 \\\end(મેટ્રિક્સ )\જમણે]\]

તે તારણ આપે છે કે $A\cdot B\ne B\cdot A$. વધુમાં, ગુણાકારની ક્રિયા માત્ર સાતત્યપૂર્ણ મેટ્રિસિસ $A=\left[ m\times n \right]$ અને $B=\left[ n\times k \right]$ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે, પરંતુ કોઈએ ખાતરી આપી નથી કે તેઓ જો તેઓ અદલાબદલી કરવામાં આવે તો સુસંગત રહેશે. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિસિસ $\left[ 2\times 3 \right]$ અને $\left[ 3\times 5 \right]$ નિર્દિષ્ટ ક્રમમાં એકદમ સુસંગત છે, પરંતુ સમાન મેટ્રિસિસ $\left[ 3\times 5 ઉલટા ક્રમમાં લખાયેલ \right] $ અને $\left[ 2\times 3 \right]$ હવે સુસંગત નથી. ઉદાસી. :(

આપેલ કદના $n$ના ચોરસ મેટ્રિસિસમાં હંમેશા એવા હશે જે સીધા અને વિપરીત ક્રમમાં ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે સમાન પરિણામ આપે છે. આવા તમામ મેટ્રિસિસનું વર્ણન કેવી રીતે કરવું (અને સામાન્ય રીતે કેટલા છે) એ એક અલગ પાઠ માટેનો વિષય છે. અમે આજે તેના વિશે વાત કરીશું નહીં :)

જો કે, મેટ્રિક્સ ગુણાકાર એ સહયોગી છે:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

તેથી, જ્યારે તમારે એક જ સમયે એક પંક્તિમાં ઘણા મેટ્રિસિસનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર હોય, ત્યારે તે તરત જ કરવું જરૂરી નથી: તે તદ્દન શક્ય છે કે કેટલાક અડીને આવેલા મેટ્રિસિસ, જ્યારે ગુણાકાર કરવામાં આવે, ત્યારે એક રસપ્રદ પરિણામ આપે. ઉદાહરણ તરીકે, શૂન્ય મેટ્રિક્સ, જેમ કે સમસ્યા 2 માં ઉપર ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

વાસ્તવિક સમસ્યાઓમાં, મોટાભાગે આપણે $\left[ n\times n \right]$ માપના ચોરસ મેટ્રિસિસનો ગુણાકાર કરવો પડે છે. આવા તમામ મેટ્રિસિસનો સમૂહ $((M)^(n))$ (એટલે ​​​​કે, પ્રવેશો $A=\left[ n\times n \right]$ અને \ નો અર્થ એ જ વસ્તુ છે) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને તે આવશ્યકપણે મેટ્રિક્સ $E$ ધરાવે છે, જેને ઓળખ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. $n$ કદનું ઓળખ મેટ્રિક્સ એ મેટ્રિક્સ $E$ છે જે કોઈપણ ચોરસ મેટ્રિક્સ $A=\left[ n\times n \right]$ માટે સમાનતા ધરાવે છે:

આવા મેટ્રિક્સ હંમેશા સમાન દેખાય છે: તેના મુખ્ય કર્ણ પર હોય છે, અને અન્ય તમામ કોષોમાં શૂન્ય હોય છે.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \જમણે)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો તમારે એક મેટ્રિક્સને અન્ય બેના સરવાળાથી ગુણાકાર કરવાની જરૂર હોય, તો તમે તેને આ દરેક "અન્ય બે" વડે ગુણાકાર કરી શકો છો અને પછી પરિણામો ઉમેરી શકો છો. વ્યવહારમાં, આપણે સામાન્ય રીતે વિપરીત કામગીરી કરવી પડે છે: આપણે સમાન મેટ્રિક્સને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, તેને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીએ છીએ, ઉમેરો કરીએ છીએ અને આ રીતે આપણું જીવન સરળ બનાવીએ છીએ :)

નોંધ: વિતરણનું વર્ણન કરવા માટે, આપણે બે સૂત્રો લખવાના હતા: જ્યાં સરવાળો બીજા અવયવમાં છે અને જ્યાં સરવાળો પ્રથમમાં છે. આ ચોક્કસપણે થાય છે કારણ કે મેટ્રિક્સ ગુણાકાર બિન-વિનિમયાત્મક છે (અને સામાન્ય રીતે, બિન-વિનિમયાત્મક બીજગણિતમાં ઘણી બધી મનોરંજક વસ્તુઓ છે જે સામાન્ય સંખ્યાઓ સાથે કામ કરતી વખતે ધ્યાનમાં પણ આવતી નથી). અને જો, ઉદાહરણ તરીકે, તમારે પરીક્ષામાં આ ગુણધર્મ લખવાની જરૂર હોય, તો પછી બંને સૂત્રો લખવાની ખાતરી કરો, અન્યથા શિક્ષક થોડો ગુસ્સે થઈ શકે છે.

ઠીક છે, આ ચોરસ મેટ્રિસિસ વિશેની બધી પરીકથાઓ હતી. લંબચોરસ રાશિઓ વિશે શું?

લંબચોરસ મેટ્રિસિસનો કેસ

પરંતુ કંઈ નથી - બધું ચોરસ રાશિઓ જેવું જ છે.

કાર્ય 3. ગુણાકાર કરો:

\[\left[ \begin(matrix) \\begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(મેટ્રિક્સ) \ \\end(મેટ્રિક્સ) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 અને 5 \\ 3 અને 4 \\\end(એરે) \right]\]

ઉકેલ. અમારી પાસે બે મેટ્રિસિસ છે: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ અને $B=\left[ 2\times 2 \right]$. ચાલો એક પંક્તિમાં માપો દર્શાવતી સંખ્યાઓ લખીએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, કેન્દ્રીય બે સંખ્યાઓ એકરૂપ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે મેટ્રિસિસ સુસંગત છે અને ગુણાકાર કરી શકાય છે. વધુમાં, આઉટપુટ પર આપણને મેટ્રિક્સ $C=\left[ 3\times 2 \right]$ મળે છે:

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(મેટ્રિક્સ) \\\end(મેટ્રિક્સ) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(એરે) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 અને 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 અને 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 અને 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(એરે) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\અંત(એરે) \જમણે]. \અંત(સંરેખિત કરો)\]

બધું સ્પષ્ટ છે: અંતિમ મેટ્રિક્સમાં 3 પંક્તિઓ અને 2 કૉલમ છે. તદ્દન $=\left[ 3\times 2 \right]$.

જવાબ: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(એરે) & \begin(મેટ્રિક્સ) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(મેટ્રિક્સ) \\\end(એરે) \right]$.

હવે જેઓ માત્ર મેટ્રિસિસ સાથે કામ કરવાનું શરૂ કરી રહ્યા છે તેમના માટે એક શ્રેષ્ઠ તાલીમ કાર્ય જોઈએ. તેમાં તમારે ફક્ત બે ગોળીઓનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર નથી, પરંતુ પહેલા નક્કી કરો: શું આવા ગુણાકારની મંજૂરી છે?

સમસ્યા 4. મેટ્રિસિસના તમામ સંભવિત જોડીવાઇઝ ઉત્પાદનો શોધો:

\\]; $B=\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(મેટ્રિક્સ) & \begin(મેટ્રિક્સ) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(મેટ્રિક્સ) \\\end(મેટ્રિક્સ) \right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right]$.

ઉકેલ. પ્રથમ, ચાલો મેટ્રિસિસના કદ લખીએ:

\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

અમે શોધી કાઢ્યું છે કે મેટ્રિક્સ $A$ માત્ર મેટ્રિક્સ $B$ સાથે સમાધાન કરી શકાય છે, કારણ કે $A$ ની કૉલમની સંખ્યા 4 છે, અને માત્ર $B$ પાસે આટલી પંક્તિઓ છે. તેથી, અમે ઉત્પાદન શોધી શકીએ છીએ:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(array) \right]=\ ડાબે[ \begin(એરે)(*(35)(r))-10 અને 7 \\ 10 અને 7 \\\અંત(એરે) \જમણે]\]

હું સૂચન કરું છું કે વાચક સ્વતંત્ર રીતે મધ્યવર્તી પગલાં પૂર્ણ કરે. હું ફક્ત નોંધ કરીશ કે પરિણામી મેટ્રિક્સનું કદ અગાઉથી નક્કી કરવું વધુ સારું છે, કોઈપણ ગણતરીઓ પહેલાં પણ:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમે ફક્ત "ટ્રાન્ઝીટ" ગુણાંકને દૂર કરીએ છીએ જે મેટ્રિસિસની સુસંગતતાને સુનિશ્ચિત કરે છે.

અન્ય કયા વિકલ્પો શક્ય છે? અલબત્ત, કોઈ $B\cdot A$ શોધી શકે છે, કારણ કે $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, તેથી ઓર્ડર કરેલ જોડી $\ left(B ;A \right)$ સુસંગત છે, અને ઉત્પાદનનું પરિમાણ હશે:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

ટૂંકમાં, આઉટપુટ મેટ્રિક્સ $\left[ 4\times 4 \right]$ હશે, જેના ગુણાંકની સરળતાથી ગણતરી કરી શકાય છે:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(એરે) \right]=\ ડાબે[ \begin(એરે)(*(35)(r))1 અને 1 અને 2 અને 2 \\ 2 અને -2 અને 4 અને -4 \\ 3 અને 3 અને 6 અને 6 \\ 4 અને -4 & 8 અને -8 \\\અંત(એરે) \જમણે]\]

દેખીતી રીતે, તમે $C\cdot A$ અને $B\cdot C$ પર પણ સંમત થઈ શકો છો - અને બસ. તેથી, અમે પરિણામી ઉત્પાદનોને ખાલી લખીએ છીએ:

તે સરળ હતું. :)

જવાબ: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(એરે) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(એરે) \right]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(એરે) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(એરે) \right]$.

સામાન્ય રીતે, હું આ કાર્ય જાતે કરવાની ભલામણ કરું છું. અને એક વધુ સમાન કાર્ય જે હોમવર્કમાં છે. આ મોટે ભાગે સરળ વિચારો તમને મેટ્રિક્સ ગુણાકારના તમામ મુખ્ય તબક્કાઓનો અભ્યાસ કરવામાં મદદ કરશે.

પરંતુ વાર્તા ત્યાં સમાપ્ત થતી નથી. ચાલો ગુણાકારના વિશેષ કિસ્સાઓ તરફ આગળ વધીએ :)

પંક્તિ વેક્ટર અને કૉલમ વેક્ટર

સૌથી સામાન્ય મેટ્રિક્સ ઑપરેશન્સમાંની એક મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર છે જેમાં એક પંક્તિ અથવા એક કૉલમ હોય છે.

વ્યાખ્યા. કૉલમ વેક્ટર એ $\left[ m\times 1 \right]$નું મેટ્રિક્સ છે, એટલે કે. ઘણી પંક્તિઓ અને માત્ર એક કૉલમનો સમાવેશ કરે છે.

પંક્તિ વેક્ટર એ $\left[ 1\times n \right]$નું મેટ્રિક્સ છે, એટલે કે. એક પંક્તિ અને અનેક કૉલમનો સમાવેશ કરે છે.

વાસ્તવમાં, અમે પહેલેથી જ આ પદાર્થોનો સામનો કરી ચૂક્યા છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, સ્ટીરીઓમેટ્રી $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$માંથી એક સામાન્ય ત્રિ-પરિમાણીય વેક્ટર એ પંક્તિ વેક્ટર કરતાં વધુ કંઈ નથી. સૈદ્ધાંતિક દૃષ્ટિકોણથી, પંક્તિઓ અને કૉલમ વચ્ચે લગભગ કોઈ તફાવત નથી. આસપાસના ગુણક મેટ્રિસિસ સાથે સંકલન કરતી વખતે તમારે માત્ર સાવચેત રહેવાની જરૂર છે.

કાર્ય 5. ગુણાકાર કરો:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(એરે) \right]\]

ઉકેલ. અહીં આપણી પાસે મેળ ખાતી મેટ્રિસિસનું ઉત્પાદન છે: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. ચાલો આ ભાગ શોધીએ:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(એરે) \right]=\left[ \begin(array)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(એરે) \right]\]

જવાબ: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(એરે) \right]$.

કાર્ય 6. ગુણાકાર કરો:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 અને 1 અને -1 \\ 4 અને -1 અને 3 \\ 2 અને 6 અને 0 \\\end(એરે) \right]\]

ઉકેલ. ફરીથી બધું સંમત છે: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. અમે ઉત્પાદનની ગણતરી કરીએ છીએ:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(એરે) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( ) r))5 & -19 & 5 \\\end(એરે) \right]\]

જવાબ: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, જ્યારે આપણે પંક્તિ વેક્ટર અને કૉલમ વેક્ટરને ચોરસ મેટ્રિક્સ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ, ત્યારે આઉટપુટ હંમેશા સમાન કદની પંક્તિ અથવા કૉલમમાં પરિણમે છે. આ હકીકતમાં ઘણી એપ્લિકેશનો છે - રેખીય સમીકરણો ઉકેલવાથી લઈને તમામ પ્રકારના સંકલન પરિવર્તન સુધી (જે આખરે સમીકરણોની સિસ્ટમમાં પણ આવે છે, પરંતુ ચાલો દુઃખદ બાબતો વિશે વાત ન કરીએ).

મને લાગે છે કે અહીં બધું સ્પષ્ટ હતું. ચાલો આજના પાઠના અંતિમ ભાગ તરફ આગળ વધીએ.

મેટ્રિક્સ ઘાત

તમામ ગુણાકારની ક્રિયાઓમાં, ઘાતાંક વિશેષ ધ્યાન આપવાનું પાત્ર છે - આ તે છે જ્યારે આપણે એક જ પદાર્થને ઘણી વખત પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ. મેટ્રિસિસ કોઈ અપવાદ નથી;

આવા કાર્યો હંમેશા સંમત થાય છે:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

અને તેઓ સામાન્ય ડિગ્રીની જેમ જ નિયુક્ત કરવામાં આવે છે:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \અંડરબ્રેસ(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

પ્રથમ નજરમાં, બધું સરળ છે. ચાલો જોઈએ કે વ્યવહારમાં આ કેવું દેખાય છે:

કાર્ય 7. મેટ્રિક્સને દર્શાવેલ પાવર સુધી વધારવો:

$((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right])^(3))$

ઉકેલ. ઠીક છે, ચાલો બનાવીએ. પ્રથમ ચાલો તેને ચોરસ કરીએ:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix) ) 1 અને 1 \\ 0 અને 1 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right]\cdot \left[ \begin(મેટ્રિક્સ) 1 અને 1 \\ 0 અને 1 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\અંત(એરે) \જમણે] \\અંત(સંરેખિત કરો)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right])^(3))=((\left[ \begin (મેટ્રિક્સ) 1 અને 1 \\ 0 અને 1 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(મેટ્રિક્સ) 1 અને 1 \\ 0 અને 1 \\\end( મેટ્રિક્સ) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \\begin(મેટ્રિક્સ) 1 અને 1 \\ 0 અને 1 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 અને 1 \\\અંત(એરે) \જમણે] \અંત(સંરેખિત)\]

આટલું જ. :)

જવાબ: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right]$.

સમસ્યા 8. મેટ્રિક્સને દર્શાવેલ પાવરમાં વધારો:

\[(\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right])^(10))\]

ઉકેલ. "ડિગ્રી ખૂબ મોટી છે," "દુનિયા ન્યાયી નથી," અને "શિક્ષકોએ તેમનો કિનારો સંપૂર્ણપણે ગુમાવી દીધો છે" એ હકીકત વિશે હવે રડશો નહીં. તે ખરેખર સરળ છે:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right])^(10))=((\left[ \begin (મેટ્રિક્સ) 1 અને 1 \\ 0 અને 1 \\\અંત(મેટ્રિક્સ) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(મેટ્રિક્સ) 1 અને 1 \\ 0 અને 1 \\\ end(મેટ્રિક્સ) \right])^(3))\cdot ((\left[ \\begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right] \right)\cdot \left(\left[ \\begin(મેટ્રિક્સ) 1 અને 3 \\ 0 અને 1 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right]\cdot \left[ \\begin(મેટ્રિક્સ) 1 અને 1 \\ 0 અને 1 \\\end(મેટ્રિક્સ) \જમણે ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 અને 4 \\ 0 અને 1 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right]= \\ & =\left[ \\begin(મેટ્રિક્સ) 1 અને 10 \\ 0 અને 1 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right] \end(align)\ ]

નોંધ લો કે બીજી લીટીમાં આપણે ગુણાકાર સહયોગીતાનો ઉપયોગ કર્યો છે. ખરેખર, અમે અગાઉના કાર્યમાં તેનો ઉપયોગ કર્યો હતો, પરંતુ તે ત્યાં ગર્ભિત હતો.

જવાબ: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, મેટ્રિક્સને પાવરમાં વધારવામાં કંઈ જટિલ નથી. છેલ્લા ઉદાહરણનો સારાંશ આપી શકાય છે:

\[(\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 અને n \\ 0 અને 1 \\\end(એરે) \right]\]

આ હકીકત ગાણિતિક ઇન્ડક્શન અથવા ડાયરેક્ટ ગુણાકાર દ્વારા સાબિત કરવી સરળ છે. જો કે, પાવરમાં વધારો કરતી વખતે આવા દાખલાઓને પકડવું હંમેશા શક્ય નથી. તેથી, સાવચેત રહો: ​​ઘણી વખત "રેન્ડમ પર" અનેક મેટ્રિસિસનો ગુણાકાર અમુક પ્રકારની પેટર્ન શોધવા કરતાં વધુ સરળ અને ઝડપી બને છે.

સામાન્ય રીતે, જ્યાં કોઈ ન હોય ત્યાં ઉચ્ચ અર્થ શોધશો નહીં. નિષ્કર્ષમાં, ચાલો મોટા મેટ્રિક્સના ઘાતાંકને ધ્યાનમાં લઈએ - $\left[ 3\times 3 \right]$ જેટલું.

સમસ્યા 9. મેટ્રિક્સને દર્શાવેલ પાવરમાં વધારો:

\[(\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right])^(3))\]

ઉકેલ. ચાલો પેટર્ન શોધીએ નહીં. અમે આગળ કામ કરીએ છીએ:

\[(\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (મેટ્રિક્સ)0 અને 1 અને 1 \\ 1 અને 0 અને 1 \\ 1 અને 1 અને 0 \\\અંત(મેટ્રિક્સ) \right]\]

પ્રથમ, ચાલો આ મેટ્રિક્સનો વર્ગ કરીએ:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right])^( 2))=\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) ) 0 અને 1 અને 1 \\ 1 અને 0 અને 1 \\ 1 અને 1 અને 0 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 અને 1 અને 1 \\ 1 અને 2 અને 1 \\ 1 અને 1 અને 2 \\\end(એરે) \right] \end(align)\]

હવે ચાલો તેને ક્યુબ કરીએ:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right])^( 3))=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(એરે) \જમણે] \cdot \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin( એરે)(*(35)(r)) 2 અને 3 અને 3 \\ 3 અને 2 અને 3 \\ 3 અને 3 અને 2 \\\end(એરે) \right] \end(સંરેખિત)\]

બસ એટલું જ. સમસ્યા હલ થાય છે.

જવાબ: $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ગણતરીઓનું પ્રમાણ મોટું થઈ ગયું છે, પરંતુ અર્થ બિલકુલ બદલાયો નથી :)

આ પાઠ સમાપ્ત કરે છે. આગલી વખતે આપણે વ્યસ્ત કામગીરીને ધ્યાનમાં લઈશું: હાલના ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરીને આપણે મૂળ પરિબળો શોધીશું.

જેમ તમે કદાચ પહેલેથી જ અનુમાન લગાવ્યું છે, અમે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ અને તેને શોધવા માટેની પદ્ધતિઓ વિશે વાત કરીશું.

આ એક ખ્યાલ છે જે મેટ્રિસિસ સાથે કરવામાં આવતી તમામ સંભવિત કામગીરીને સામાન્ય બનાવે છે. ગાણિતિક મેટ્રિક્સ - તત્વોનું કોષ્ટક. એક ટેબલ વિશે જ્યાં mરેખાઓ અને nકૉલમ, આ મેટ્રિક્સને પરિમાણ હોવાનું કહેવાય છે mપર n.

મેટ્રિક્સનું સામાન્ય દૃશ્ય:

માટે મેટ્રિક્સ સોલ્યુશન્સમેટ્રિક્સ શું છે તે સમજવું અને તેના મુખ્ય પરિમાણોને જાણવું જરૂરી છે. મેટ્રિક્સના મુખ્ય ઘટકો:

• મુખ્ય કર્ણ, તત્વોનો સમાવેશ કરે છે a 11, a 22…..a mn.
• તત્વોનો સમાવેશ કરતી બાજુની કર્ણ a 1n , a 2n-1 .....a m1.

મેટ્રિસિસના મુખ્ય પ્રકારો:

• ચોરસ એક મેટ્રિક્સ છે જ્યાં પંક્તિઓની સંખ્યા = કૉલમની સંખ્યા ( m=n).
• શૂન્ય - જ્યાં તમામ મેટ્રિક્સ તત્વો = 0.
• ટ્રાન્સપોઝ્ડ મેટ્રિક્સ - મેટ્રિક્સ IN, જે મૂળ મેટ્રિક્સમાંથી મેળવવામાં આવ્યું હતું એપંક્તિઓને કૉલમ સાથે બદલીને.
• એકતા - મુખ્ય કર્ણના તમામ ઘટકો = 1, અન્ય તમામ = 0.
• વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ એ એક મેટ્રિક્સ છે જેનો જ્યારે મૂળ મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઓળખ મેટ્રિક્સમાં પરિણમે છે.

મેટ્રિક્સ મુખ્ય અને ગૌણ કર્ણના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ હોઈ શકે છે. એટલે કે, જો a 12 =a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, પછી મેટ્રિક્સ મુખ્ય કર્ણ વિશે સપ્રમાણ છે. માત્ર ચોરસ મેટ્રિસિસ સપ્રમાણ હોઈ શકે છે.

મેટ્રિસિસ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ.

લગભગ બધા મેટ્રિક્સ ઉકેલ પદ્ધતિઓતેના નિર્ણાયક શોધવામાં સમાવિષ્ટ છે n-મો ક્રમ અને તેમાંના મોટા ભાગના તદ્દન બોજારૂપ છે. 2જી અને 3જી ક્રમના નિર્ણાયકને શોધવા માટે અન્ય, વધુ તર્કસંગત પદ્ધતિઓ છે.

2જી ક્રમ નિર્ધારકો શોધવી.

મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની ગણતરી કરવા માટે એ 2જી ક્રમમાં, મુખ્ય કર્ણના તત્વોના ઉત્પાદનમાંથી ગૌણ કર્ણના તત્વોના ઉત્પાદનને બાદ કરવું જરૂરી છે:

3જી ક્રમ નિર્ધારકો શોધવા માટેની પદ્ધતિઓ.

નીચે 3જી ક્રમ નિર્ણાયક શોધવા માટેના નિયમો છે.

એક તરીકે ત્રિકોણનો સરળ નિયમ મેટ્રિક્સ ઉકેલ પદ્ધતિઓ, આ રીતે ચિત્રિત કરી શકાય છે:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રથમ નિર્ણાયકમાં તત્વોનું ઉત્પાદન જે સીધી રેખાઓ દ્વારા જોડાયેલ છે તે "+" ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે; ઉપરાંત, 2જી નિર્ણાયક માટે, અનુરૂપ ઉત્પાદનો "-" ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે, એટલે કે, નીચેની યોજના અનુસાર:

મુ સરરસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિસીસ ઉકેલવા, નિર્ણાયકની જમણી બાજુએ, પ્રથમ 2 કૉલમ ઉમેરો અને અનુરૂપ તત્વોના ઉત્પાદનો મુખ્ય કર્ણ પર અને તેની સમાંતર કર્ણ પર "+" ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે; અને ગૌણ કર્ણના અનુરૂપ તત્વોના ઉત્પાદનો અને તેની સમાંતર કર્ણ "-" ચિહ્ન સાથે:

મેટ્રિસિસ હલ કરતી વખતે એક પંક્તિ અથવા કૉલમમાં નિર્ણાયકનું વિઘટન કરવું.

નિર્ણાયક એ નિર્ણાયકની પંક્તિના ઘટકોના ઉત્પાદનના સરવાળા અને તેમના બીજગણિતીય પૂરક સમાન છે. સામાન્ય રીતે, પંક્તિ/કૉલમ કે જેમાં શૂન્ય હોય છે તે પસંદ કરવામાં આવે છે. પંક્તિ અથવા કૉલમ કે જેની સાથે વિઘટન હાથ ધરવામાં આવે છે તે તીર દ્વારા સૂચવવામાં આવશે.

મેટ્રિસિસ હલ કરતી વખતે નિર્ણાયકને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવું.

મુ મેટ્રિક્સ ઉકેલવાનિર્ણાયકને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની પદ્ધતિ, તેઓ આ રીતે કાર્ય કરે છે: પંક્તિઓ અથવા કૉલમ્સ પરના સૌથી સરળ પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, નિર્ણાયક સ્વરૂપમાં ત્રિકોણાકાર બને છે અને પછી નિર્ણાયકના ગુણધર્મો અનુસાર તેનું મૂલ્ય, ઉત્પાદનની સમાન હશે. મુખ્ય કર્ણ પર હોય તેવા તત્વોમાંથી.

મેટ્રિસીસ ઉકેલવા માટે લેપ્લેસનું પ્રમેય.

લેપ્લેસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિસિસ હલ કરતી વખતે, તમારે પ્રમેયને જ જાણવાની જરૂર છે. લેપ્લેસનું પ્રમેય: ચાલો Δ - આ એક નિર્ણાયક છે n-મો ઓર્ડર. અમે કોઈપણ પસંદ કરીએ છીએ kપંક્તિઓ (અથવા કૉલમ), પ્રદાન કરેલ છે k≤ n - 1. આ કિસ્સામાં, તમામ સગીરોના ઉત્પાદનોનો સરવાળો k-પસંદ કરેલમાં સમાયેલ છે kપંક્તિઓ (સ્તંભો), તેમના બીજગણિતીય પૂરક દ્વારા નિર્ણાયક સમાન હશે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનું નિરાકરણ.

માટે ક્રિયાઓનો ક્રમ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ સોલ્યુશન્સ:

1. આપેલ મેટ્રિક્સ ચોરસ છે કે કેમ તે નક્કી કરો. જો જવાબ નકારાત્મક હોય, તો તે સ્પષ્ટ થઈ જાય છે કે તેના માટે કોઈ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ હોઈ શકતું નથી.
2. અમે બીજગણિતીય પૂરકની ગણતરી કરીએ છીએ.
3. અમે યુનિયન (પરસ્પર, સંલગ્ન) મેટ્રિક્સ કંપોઝ કરીએ છીએ સી.
4. અમે બીજગણિત ઉમેરણોમાંથી વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ કંપોઝ કરીએ છીએ: સંલગ્ન મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો સીપ્રારંભિક મેટ્રિક્સના નિર્ણાયક દ્વારા ભાગાકાર. અંતિમ મેટ્રિક્સ આપેલ મેટ્રિક્સની તુલનામાં જરૂરી વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ હશે.
5. અમે કરેલા કાર્યને તપાસીએ છીએ: પ્રારંભિક મેટ્રિક્સ અને પરિણામી મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો, પરિણામ ઓળખ મેટ્રિક્સ હોવું જોઈએ.

મેટ્રિક્સ સિસ્ટમ્સ ઉકેલવા.

માટે મેટ્રિક્સ સિસ્ટમ્સના ઉકેલોગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ મોટેભાગે થાય છે.

ગૌસ પદ્ધતિ એ રેખીય બીજગણિત સમીકરણો (SLAE) ની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટેની પ્રમાણભૂત પદ્ધતિ છે અને તેમાં એ હકીકતનો સમાવેશ થાય છે કે ચલોને ક્રમિક રીતે દૂર કરવામાં આવે છે, એટલે કે, પ્રાથમિક ફેરફારોની મદદથી, સમીકરણોની સિસ્ટમને ત્રિકોણાકારની સમકક્ષ સિસ્ટમમાં લાવવામાં આવે છે. ફોર્મ અને તેમાંથી, અનુક્રમે, બાદમાં (સંખ્યા દ્વારા) થી શરૂ કરીને, સિસ્ટમના દરેક તત્વને શોધો.

ગૌસ પદ્ધતિમેટ્રિક્સ ઉકેલો શોધવા માટે સૌથી સર્વતોમુખી અને શ્રેષ્ઠ સાધન છે. જો સિસ્ટમમાં અસંખ્ય ઉકેલો હોય અથવા સિસ્ટમ અસંગત હોય, તો તેને ક્રેમરના નિયમ અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરી શકાતી નથી.

ગૌસ પદ્ધતિમાં પ્રત્યક્ષ (વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં ઘટાડવું, એટલે કે, મુખ્ય કર્ણ હેઠળ શૂન્ય મેળવવું) અને રિવર્સ (વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના મુખ્ય કર્ણની ઉપર શૂન્ય મેળવવું)નો પણ અર્થ થાય છે. આગળ ચાલ એ ગૌસ પદ્ધતિ છે, વિપરીત ચાલ એ ગૌસ-જોર્ડન પદ્ધતિ છે. ગૌસ-જોર્ડન પદ્ધતિ માત્ર ચલોને દૂર કરવાના ક્રમમાં ગૌસ પદ્ધતિથી અલગ છે.

મેટ્રિક્સ ઉકેલવા- એક ખ્યાલ જે મેટ્રિસિસ પરની કામગીરીને સામાન્ય બનાવે છે. ગાણિતિક મેટ્રિક્સ એ તત્વોનું કોષ્ટક છે. m પંક્તિઓ અને n સ્તંભો સાથેના સમાન કોષ્ટકને m બાય n મેટ્રિક્સ કહેવાય છે.
મેટ્રિક્સનું સામાન્ય દૃશ્ય

મેટ્રિક્સના મુખ્ય ઘટકો:
મુખ્ય કર્ણ. તે તત્વોનો સમાવેશ કરે છે a 11, a 22.....a mn
બાજુ કર્ણ.તે a 1n, અને 2n-1.....a m1 તત્વોથી બનેલું છે.
મેટ્રિસિસ ઉકેલવા માટે આગળ વધતા પહેલા, ચાલો મેટ્રિસિસના મુખ્ય પ્રકારોને ધ્યાનમાં લઈએ:
ચોરસ– જેમાં પંક્તિઓની સંખ્યા કૉલમની સંખ્યા જેટલી હોય છે (m=n)
શૂન્ય - આ મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો 0 ની બરાબર છે.
ટ્રાન્સપોઝ કરેલ મેટ્રિક્સ- પંક્તિઓને કૉલમ સાથે બદલીને મૂળ મેટ્રિક્સ Aમાંથી મેળવેલ મેટ્રિક્સ B.
એકલુ- મુખ્ય કર્ણના તમામ ઘટકો 1 ની બરાબર છે, બાકીના બધા 0 છે.
વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ- એક મેટ્રિક્સ, જ્યારે ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે મૂળ મેટ્રિક્સ ઓળખ મેટ્રિક્સમાં પરિણમે છે.
મેટ્રિક્સ મુખ્ય અને ગૌણ કર્ણના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ હોઈ શકે છે. એટલે કે, જો a 12 = a 21, a 13 = a 31,….a 23 = a 32…. a m-1n = a mn-1 . પછી મેટ્રિક્સ મુખ્ય કર્ણ વિશે સપ્રમાણ છે. માત્ર ચોરસ મેટ્રિસિસ સપ્રમાણ છે.
હવે ચાલો મેટ્રિસિસ કેવી રીતે ઉકેલવા તે પ્રશ્ન પર સીધા જ આગળ વધીએ.

મેટ્રિક્સ ઉમેરો.

જો તેઓ સમાન પરિમાણ ધરાવતા હોય તો મેટ્રિસીસ બીજગણિતીય રીતે ઉમેરી શકાય છે. મેટ્રિક્સ B સાથે મેટ્રિક્સ A ઉમેરવા માટે, તમારે મેટ્રિક્સ B ની પ્રથમ પંક્તિના પ્રથમ ઘટક સાથે, મેટ્રિક્સ A ની પ્રથમ પંક્તિના બીજા કૉલમના ઘટક સાથે મેટ્રિક્સ A ની પ્રથમ કૉલમની પ્રથમ પંક્તિનું ઘટક ઉમેરવાની જરૂર છે. મેટ્રિક્સ B, વગેરેની પ્રથમ પંક્તિના બીજા કૉલમના ઘટક સાથે.
ઉમેરાના ગુણધર્મો
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)

મેટ્રિક્સ ગુણાકાર.

જો તે સુસંગત હોય તો મેટ્રિસિસનો ગુણાકાર કરી શકાય છે. મેટ્રિક્સ A અને B ને સુસંગત ગણવામાં આવે છે જો મેટ્રિક્સ A ના કૉલમની સંખ્યા મેટ્રિક્સ B ની પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલી હોય.
જો A પરિમાણ m બાય n, B પરિમાણ n બાય k છે, તો મેટ્રિક્સ C=A*B પરિમાણ m બાય k હશે અને તે તત્વોથી બનેલું હશે

જ્યાં C 11 એ મેટ્રિક્સ A ની પંક્તિ અને મેટ્રિક્સ B ની કૉલમના ઘટકોના જોડીવાર ઉત્પાદનનો સરવાળો છે, એટલે કે, તત્વ એ મેટ્રિક્સ A ની પ્રથમ પંક્તિના પ્રથમ કૉલમના ઘટકના ઉત્પાદનનો સરવાળો છે. મેટ્રિક્સ B ની પ્રથમ પંક્તિના પ્રથમ કૉલમના ઘટક સાથે, મેટ્રિક્સ A ની પ્રથમ પંક્તિના બીજા કૉલમના ઘટક સાથે બીજી પંક્તિના મેટ્રિસિસ Bના પ્રથમ કૉલમના ઘટક સાથે, વગેરે.
ગુણાકાર કરતી વખતે, ગુણાકારનો ક્રમ મહત્વપૂર્ણ છે. A*B એ B*A ની બરાબર નથી.

નિર્ણાયક શોધવી.

કોઈપણ ચોરસ મેટ્રિક્સ નિર્ણાયક અથવા નિર્ણાયક પેદા કરી શકે છે. તે લખે છે. અથવા | મેટ્રિક્સ તત્વો |
પરિમાણ 2 બાય 2 ના મેટ્રિસિસ માટે. મુખ્ય અને ગૌણ કર્ણના ઘટકોના ઘટકોના ઉત્પાદન વચ્ચે તફાવત છે તે નિર્ધારિત કરો.

3 બાય 3 અથવા વધુના પરિમાણવાળા મેટ્રિસિસ માટે. નિર્ણાયક શોધવાનું કાર્ય વધુ જટિલ છે.
ચાલો ખ્યાલો રજૂ કરીએ:
તત્વ ગૌણ– મૂળ મેટ્રિક્સની પંક્તિ અને કૉલમને વટાવીને મૂળ મેટ્રિક્સમાંથી મેળવેલ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક છે જેમાં આ તત્વ સ્થિત હતું.
બીજગણિતીય પૂરકમેટ્રિક્સનું તત્વ એ મૂળ મેટ્રિક્સની પંક્તિ અને કૉલમના સરવાળાની ઘાત કે જેમાં આ તત્વ સ્થિત હતું તે આ ઘટકના ગૌણનું ઉત્પાદન છે.
કોઈપણ ચોરસ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક મેટ્રિક્સની કોઈપણ પંક્તિના ઘટકોના તેમના અનુરૂપ બીજગણિત પૂરક દ્વારા ગુણના સરવાળા સમાન હોય છે.

મેટ્રિક્સ વ્યુત્ક્રમ

મેટ્રિક્સ વ્યુત્ક્રમ એ મેટ્રિક્સના વ્યસ્ત શોધવાની પ્રક્રિયા છે, જેની વ્યાખ્યા આપણે શરૂઆતમાં આપી હતી. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ એ ડિગ્રી -1 ના ઉમેરા સાથે મૂળ મેટ્રિક્સની જેમ જ દર્શાવવામાં આવે છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધો.
A -1 = A * T x (1/|A|)
જ્યાં A * T એ બીજગણિતીય પૂરકનું ટ્રાન્સપોઝ્ડ મેટ્રિક્સ છે.

અમે વિડિયો ટ્યુટોરીયલના રૂપમાં મેટ્રિસીસ ઉકેલવાના ઉદાહરણો બનાવ્યા છે

:

જો તમે તેને શોધવા માંગતા હો, તો તેને અવશ્ય જુઓ.

મેટ્રિસીસ ઉકેલવા માટેની આ મૂળભૂત કામગીરી છે. જો તમારી પાસે વધારાના પ્રશ્નો હોય મેટ્રિક્સ કેવી રીતે ઉકેલવા, ટિપ્પણીઓમાં લખવા માટે મફત લાગે.

જો તમે હજી પણ તે શોધી શકતા નથી, તો નિષ્ણાતનો સંપર્ક કરવાનો પ્રયાસ કરો.