ગૌસીયન પદ્ધતિમાં કોઈ ઉકેલ નથી. રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા સાથે મેળ ખાતી નથી અથવા સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ એકવચન છે, ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને

આજે આપણે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે ગૌસ પદ્ધતિ જોઈ રહ્યા છીએ. ક્રેમર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમાન SLAE ને ઉકેલવા માટે સમર્પિત અગાઉના લેખમાં આ સિસ્ટમો શું છે તે વિશે તમે વાંચી શકો છો. ગૌસ પદ્ધતિને કોઈ ચોક્કસ જ્ઞાનની જરૂર નથી, તમારે ફક્ત ધ્યાન અને સુસંગતતાની જરૂર છે. એ હકીકત હોવા છતાં કે, ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, શાળાની તાલીમ તેને લાગુ કરવા માટે પૂરતી છે, વિદ્યાર્થીઓને ઘણીવાર આ પદ્ધતિમાં નિપુણતા મેળવવી મુશ્કેલ લાગે છે. આ લેખમાં અમે તેમને કંઈપણ ઘટાડવાનો પ્રયાસ કરીશું!

ગૌસ પદ્ધતિ

એમ ગૌસીયન પદ્ધતિ– SLAE ને ઉકેલવા માટેની સૌથી સાર્વત્રિક પદ્ધતિ (ખૂબ મોટી સિસ્ટમના અપવાદ સાથે). અગાઉ ચર્ચા કરવામાં આવી હતી તેનાથી વિપરીત, તે માત્ર એક જ સોલ્યુશન ધરાવતી સિસ્ટમો માટે જ નહીં, પણ અસંખ્ય ઉકેલો ધરાવતી સિસ્ટમો માટે પણ યોગ્ય છે. અહીં ત્રણ સંભવિત વિકલ્પો છે.

1. સિસ્ટમમાં એક અનન્ય ઉકેલ છે (સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક શૂન્યની બરાબર નથી);
2. સિસ્ટમમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે;
3. ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી, સિસ્ટમ અસંગત છે.

તેથી અમારી પાસે એક સિસ્ટમ છે (તેનો એક ઉકેલ છે) અને અમે તેને ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવા જઈ રહ્યા છીએ. તે કેવી રીતે કામ કરે છે?

ગૌસ પદ્ધતિમાં બે તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે - આગળ અને વ્યસ્ત.

ગૌસીયન પદ્ધતિનો સીધો સ્ટ્રોક

પ્રથમ, ચાલો સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને લખીએ. આ કરવા માટે, મુખ્ય મેટ્રિક્સમાં મફત સભ્યોની કૉલમ ઉમેરો.

ગૌસ પદ્ધતિનો સંપૂર્ણ સાર એ છે કે પ્રારંભિક પરિવર્તન દ્વારા આ મેટ્રિક્સને સ્ટેપ્ડ (અથવા, જેમ કે તેઓ કહે છે, ત્રિકોણાકાર) સ્વરૂપમાં લાવવાનો છે. આ ફોર્મમાં, મેટ્રિક્સના મુખ્ય કર્ણની નીચે (અથવા ઉપર) માત્ર શૂન્ય હોવું જોઈએ.

તું શું કરી શકે છે:

1. તમે મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ ફરીથી ગોઠવી શકો છો;
2. જો મેટ્રિક્સમાં સમાન (અથવા પ્રમાણસર) પંક્તિઓ હોય, તો તમે તેમાંથી એક સિવાય તમામને દૂર કરી શકો છો;
3. તમે કોઈ પણ સંખ્યા (શૂન્ય સિવાય) વડે સ્ટ્રિંગને ગુણાકાર અથવા ભાગી શકો છો;
4. નલ પંક્તિઓ દૂર કરવામાં આવે છે;
5. તમે સ્ટ્રિંગમાં શૂન્ય સિવાયની સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરેલ સ્ટ્રિંગ ઉમેરી શકો છો.

રિવર્સ ગૌસીયન પદ્ધતિ

અમે સિસ્ટમને આ રીતે પરિવર્તિત કર્યા પછી, એક અજ્ઞાત એક્સએન જાણીતું બને છે, અને તમે બાકીના બધા અજ્ઞાતને વિપરીત ક્રમમાં શોધી શકો છો, પહેલાથી જ જાણીતા x ને સિસ્ટમના સમીકરણોમાં બદલીને, પહેલા સુધી.

જ્યારે ઇન્ટરનેટ હંમેશા હાથમાં હોય, ત્યારે તમે ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરી શકો છો ઓનલાઇન.તમારે ફક્ત ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટરમાં ગુણાંક દાખલ કરવાની જરૂર છે. પરંતુ તમારે સ્વીકારવું જ જોઇએ, તે સમજવું વધુ સુખદ છે કે ઉદાહરણ કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ દ્વારા નહીં, પરંતુ તમારા પોતાના મગજ દ્વારા હલ કરવામાં આવ્યું હતું.

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાનું ઉદાહરણ

અને હવે - એક ઉદાહરણ જેથી બધું સ્પષ્ટ અને સમજી શકાય. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવા દો, અને તમારે તેને ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવાની જરૂર છે:

પ્રથમ આપણે વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ લખીએ છીએ:

હવે ચાલો પરિવર્તનો કરીએ. અમે યાદ રાખીએ છીએ કે આપણે મેટ્રિક્સનો ત્રિકોણાકાર દેખાવ પ્રાપ્ત કરવાની જરૂર છે. ચાલો 1લી લીટીને (3) વડે ગુણાકાર કરીએ. 2જી લીટીને (-1) વડે ગુણાકાર કરો. 1લીમાં 2જી લાઇન ઉમેરો અને મેળવો:

પછી 3જી લીટીને (-1) વડે ગુણાકાર કરો. ચાલો 2જીમાં 3જી લીટી ઉમેરીએ:

ચાલો 1લી લીટીને (6) વડે ગુણાકાર કરીએ. ચાલો 2જી લીટીને (13) વડે ગુણાકાર કરીએ. ચાલો 1લીમાં 2જી લીટી ઉમેરીએ:

વોઇલા - સિસ્ટમ યોગ્ય સ્વરૂપમાં લાવવામાં આવે છે. તે અજાણ્યાઓને શોધવાનું બાકી છે:

આ ઉદાહરણમાં સિસ્ટમમાં એક અનન્ય ઉકેલ છે. અમે એક અલગ લેખમાં અસંખ્ય સોલ્યુશન્સ સાથે સિસ્ટમોને ઉકેલવા પર વિચાર કરીશું. કદાચ શરૂઆતમાં તમને ખબર નહીં હોય કે મેટ્રિક્સનું રૂપાંતર ક્યાંથી શરૂ કરવું, પરંતુ યોગ્ય પ્રેક્ટિસ કર્યા પછી તમને તે અટકી જશે અને નટ્સ જેવી ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને SLAE ને તોડી નાખશે. અને જો તમને અચાનક SLA મળે કે જે ક્રેક કરવા માટે ખૂબ જ અઘરું અખરોટ હોય, તો અમારા લેખકોનો સંપર્ક કરો! તમે પત્રવ્યવહાર કચેરીમાં વિનંતી છોડીને કરી શકો છો. સાથે મળીને અમે કોઈપણ સમસ્યા હલ કરીશું!

રેખીય બીજગણિત પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટેની સાર્વત્રિક અને અસરકારક પદ્ધતિઓમાંની એક છે ગૌસીયન પદ્ધતિ , અજ્ઞાત ના ક્રમિક નાબૂદી સમાવેશ થાય છે.

યાદ કરો કે બે સિસ્ટમો કહેવામાં આવે છે સમકક્ષ (સમકક્ષ) જો તેમના ઉકેલોના સેટ એકરૂપ થાય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સિસ્ટમો સમકક્ષ હોય છે જો તેમાંથી એકનું દરેક સોલ્યુશન બીજાનું સોલ્યુશન હોય અને ઊલટું. જ્યારે સમકક્ષ સિસ્ટમો મેળવવામાં આવે છે પ્રાથમિક પરિવર્તનો સિસ્ટમના સમીકરણો:

સમીકરણની બંને બાજુઓને શૂન્ય સિવાયની સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવો;

કેટલાક સમીકરણમાં અન્ય સમીકરણના અનુરૂપ ભાગો ઉમેરીને, શૂન્ય સિવાયની સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર;

બે સમીકરણો ફરીથી ગોઠવો.

સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવા દો

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રણાલીને ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં બે તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે. પ્રથમ તબક્કે (સીધી ગતિ), સિસ્ટમ, પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, ઘટાડવામાં આવે છે પગલાવાર , અથવા ત્રિકોણાકાર ફોર્મ, અને બીજા તબક્કામાં (વિપરીત) એક ક્રમિક છે, છેલ્લા ચલ નંબરથી શરૂ કરીને, પરિણામી સ્ટેપ સિસ્ટમમાંથી અજાણ્યાઓનું નિર્ધારણ.

ચાલો ધારીએ કે આ સિસ્ટમનો ગુણાંક
, અન્યથા સિસ્ટમમાં પ્રથમ પંક્તિ અન્ય કોઈપણ પંક્તિ સાથે સ્વેપ કરી શકાય છે જેથી ગુણાંક શૂન્યથી અલગ હતું.

ચાલો અજાણ્યાને દૂર કરીને સિસ્ટમમાં પરિવર્તન કરીએ પ્રથમ સિવાય તમામ સમીકરણોમાં. આ કરવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની બંને બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરો અને સિસ્ટમના બીજા સમીકરણ સાથે ટર્મ બાય ટર્મ ઉમેરો. પછી પ્રથમ સમીકરણની બંને બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરો અને તેને સિસ્ટમના ત્રીજા સમીકરણમાં ઉમેરો. આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખીને, અમે સમકક્ષ સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ

અહીં
- ગુણાંકના નવા મૂલ્યો અને મફત શરતો જે પ્રથમ પગલા પછી પ્રાપ્ત થાય છે.

એ જ રીતે, મુખ્ય તત્વને ધ્યાનમાં લેતા
, અજાણ્યાને બાકાત રાખો પ્રથમ અને બીજા સિવાય સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોમાંથી. ચાલો આ પ્રક્રિયા શક્ય તેટલા લાંબા સમય સુધી ચાલુ રાખીએ, અને પરિણામે આપણને સ્ટેપવાઇઝ સિસ્ટમ મળશે

,

જ્યાં ,
,…,- સિસ્ટમના મુખ્ય ઘટકો
.

જો, સિસ્ટમને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની પ્રક્રિયામાં, સમીકરણો દેખાય છે, એટલે કે, ફોર્મની સમાનતા
, તે કાઢી નાખવામાં આવે છે કારણ કે તેઓ સંખ્યાઓના કોઈપણ સમૂહથી સંતુષ્ટ હોય છે
. જો ખાતે
જો ફોર્મનું કોઈ સમીકરણ દેખાય છે જેમાં કોઈ ઉકેલ નથી, તો આ સિસ્ટમની અસંગતતા સૂચવે છે.

રિવર્સ સ્ટ્રોક દરમિયાન, રૂપાંતરિત સ્ટેપ સિસ્ટમના છેલ્લા સમીકરણમાંથી પ્રથમ અજ્ઞાત વ્યક્ત કરવામાં આવે છે અન્ય તમામ અજાણ્યાઓ દ્વારા
જેને કહેવામાં આવે છે મફત . પછી ચલ અભિવ્યક્તિ સિસ્ટમના છેલ્લા સમીકરણમાંથી ઉપાંત્ય સમીકરણમાં બદલવામાં આવે છે અને તેમાંથી ચલ વ્યક્ત થાય છે
. ચલોને સમાન રીતે અનુક્રમે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે
. ચલો
, મુક્ત ચલો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, કહેવાય છે પાયાની (આશ્રિત). પરિણામ એ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ છે.

શોધવા માટે ખાનગી ઉકેલ સિસ્ટમો, મફત અજ્ઞાત
સામાન્ય ઉકેલમાં મનસ્વી મૂલ્યો સોંપવામાં આવે છે અને ચલોની કિંમતોની ગણતરી કરવામાં આવે છે
.

પ્રાથમિક રૂપાંતરણોને આધીન કરવું તે તકનીકી રીતે વધુ અનુકૂળ છે સિસ્ટમના સમીકરણોને નહીં, પરંતુ સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને આધિન

.

ગૌસ પદ્ધતિ એ એક સાર્વત્રિક પદ્ધતિ છે જે તમને માત્ર ચોરસ જ નહીં, પણ લંબચોરસ સિસ્ટમોને પણ હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે જેમાં અજાણ્યાઓની સંખ્યા
સમીકરણોની સંખ્યા જેટલી નથી
.

આ પદ્ધતિનો ફાયદો એ પણ છે કે ઉકેલની પ્રક્રિયામાં આપણે એક સાથે સુસંગતતા માટે સિસ્ટમની તપાસ કરીએ છીએ, કારણ કે, વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ આપ્યા પછી
સ્ટેપવાઇઝ ફોર્મ માટે, મેટ્રિક્સની રેન્ક નક્કી કરવી સરળ છે અને વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ
અને અરજી કરો ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય .

ઉદાહરણ 2.1ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ. સમીકરણોની સંખ્યા
અને અજાણ્યાઓની સંખ્યા
.

ચાલો મેટ્રિક્સની જમણી બાજુએ ગુણાંક સોંપીને સિસ્ટમનું વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ બનાવીએ મફત સભ્યો કૉલમ .

ચાલો મેટ્રિક્સ રજૂ કરીએ ત્રિકોણાકાર દૃશ્ય માટે; આ કરવા માટે, અમે પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને મુખ્ય કર્ણ પર સ્થિત તત્વોની નીચે "0" મેળવીશું.

પ્રથમ કૉલમના બીજા સ્થાને "0" મેળવવા માટે, પ્રથમ પંક્તિને (-1) વડે ગુણાકાર કરો અને તેને બીજી હરોળમાં ઉમેરો.

અમે આ રૂપાંતરણને પ્રથમ લીટીની સામે નંબર (-1) તરીકે લખીએ છીએ અને તેને પ્રથમ લીટીથી બીજી લીટી તરફ જતા તીર વડે દર્શાવીએ છીએ.

પ્રથમ કૉલમના ત્રીજા સ્થાને "0" મેળવવા માટે, પ્રથમ પંક્તિને (-3) વડે ગુણાકાર કરો અને ત્રીજી પંક્તિમાં ઉમેરો; ચાલો પ્રથમ લીટીથી ત્રીજી તરફ જતા તીરનો ઉપયોગ કરીને આ ક્રિયા બતાવીએ.

.

પરિણામી મેટ્રિક્સમાં, મેટ્રિસીસની સાંકળમાં બીજા નંબરે લખાયેલ, આપણને ત્રીજા સ્થાને બીજા કૉલમમાં “0” મળે છે. આ કરવા માટે, અમે બીજી લાઇનને (-4) વડે ગુણાકાર કરી અને તેને ત્રીજીમાં ઉમેરી. પરિણામી મેટ્રિક્સમાં, બીજી પંક્તિને (-1) વડે ગુણાકાર કરો અને ત્રીજીને (-8) વડે ભાગો. કર્ણ તત્વોની નીચે આવેલા આ મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો શૂન્ય છે.

કારણ કે , સિસ્ટમ સહયોગી અને વ્યાખ્યાયિત છે.

છેલ્લા મેટ્રિક્સને અનુરૂપ સમીકરણોની સિસ્ટમ ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપ ધરાવે છે:

છેલ્લા (ત્રીજા) સમીકરણમાંથી
. બીજા સમીકરણમાં બદલો અને મેળવો
.

ચાલો અવેજી કરીએ
અને
પ્રથમ સમીકરણમાં, આપણે શોધીએ છીએ


.

1. રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ

1.1 રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમનો ખ્યાલ

સમીકરણોની સિસ્ટમ એ એવી સ્થિતિ છે જેમાં અનેક ચલોના સંદર્ભમાં અનેક સમીકરણોના એકસાથે અમલીકરણનો સમાવેશ થાય છે. રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ (ત્યારબાદ SLAE તરીકે ઓળખવામાં આવે છે) જેમાં m સમીકરણો અને n અજ્ઞાત હોય છે તેને ફોર્મની સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે:

જ્યાં સંખ્યાઓ a ij ને સિસ્ટમ ગુણાંક કહેવામાં આવે છે, સંખ્યા b i ને મુક્ત શબ્દો કહેવામાં આવે છે, એક ijઅને b i(i=1,…, m; b=1,…, n) કેટલીક જાણીતી સંખ્યાઓ અને x રજૂ કરે છે 1,…, x n- અજ્ઞાત. ગુણાંકના હોદ્દામાં એક ijપ્રથમ અનુક્રમણિકા i સમીકરણની સંખ્યા દર્શાવે છે, અને બીજો j એ અજાણ્યાની સંખ્યા છે કે જેના પર આ ગુણાંક રહે છે. નંબરો x n શોધવા જ જોઈએ. કોમ્પેક્ટ મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં આવી સિસ્ટમ લખવાનું અનુકૂળ છે: AX=B.અહીં A એ સિસ્ટમ ગુણાંકનું મેટ્રિક્સ છે, જેને મુખ્ય મેટ્રિક્સ કહેવાય છે;

મેટ્રિક્સ A*X નું ઉત્પાદન વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે, કારણ કે મેટ્રિક્સ Aમાં મેટ્રિક્સ X (n ટુકડાઓ) માં જેટલી પંક્તિઓ છે તેટલી કૉલમ્સ છે.

સિસ્ટમનું વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ એ સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ A છે, જે મુક્ત શરતોના કૉલમ દ્વારા પૂરક છે.

1.2 રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી

સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ એ સંખ્યાઓનો ક્રમબદ્ધ સમૂહ (ચલોના મૂલ્યો) છે, જ્યારે તેમને ચલોની જગ્યાએ બદલીને, સિસ્ટમના દરેક સમીકરણો સાચી સમાનતામાં ફેરવાય છે.

સિસ્ટમનો ઉકેલ એ અજ્ઞાત x1=c1, x2=c2,…, xn=cn ના મૂલ્યો છે, જેની અવેજીમાં સિસ્ટમના તમામ સમીકરણો સાચી સમાનતા બની જાય છે. સિસ્ટમનો કોઈપણ ઉકેલ કૉલમ મેટ્રિક્સ તરીકે લખી શકાય છે

સમીકરણોની સિસ્ટમને સુસંગત કહેવામાં આવે છે જો તેમાં ઓછામાં ઓછું એક ઉકેલ હોય, અને જો તેની પાસે કોઈ ઉકેલ ન હોય તો તે અસંગત કહેવાય.

સુસંગત સિસ્ટમને નિર્ધારિત કહેવામાં આવે છે જો તેની પાસે એક જ ઉકેલ હોય, અને જો તેની પાસે એક કરતાં વધુ ઉકેલો હોય તો અનિશ્ચિત. પછીના કિસ્સામાં, તેના દરેક ઉકેલોને સિસ્ટમનો ચોક્કસ ઉકેલ કહેવામાં આવે છે. તમામ વિશિષ્ટ ઉકેલોના સમૂહને સામાન્ય ઉકેલ કહેવામાં આવે છે.

સિસ્ટમ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે તે સુસંગત છે કે અસંગત છે તે શોધવું. જો સિસ્ટમ સુસંગત છે, તો તેનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો.

બે સિસ્ટમોને સમકક્ષ (સમાન) કહેવામાં આવે છે જો તેમની પાસે સમાન સામાન્ય ઉકેલ હોય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સિસ્ટમો સમકક્ષ છે જો તેમાંથી એકનો દરેક ઉકેલ બીજાનો ઉકેલ હોય, અને ઊલટું.

રૂપાંતરણ, જેનો ઉપયોગ સિસ્ટમને મૂળ સિસ્ટમની સમકક્ષ નવી સિસ્ટમમાં ફેરવે છે, તેને સમકક્ષ અથવા સમકક્ષ રૂપાંતરણ કહેવામાં આવે છે. સમકક્ષ રૂપાંતરણોના ઉદાહરણોમાં નીચેના રૂપાંતરણોનો સમાવેશ થાય છે: સિસ્ટમના બે સમીકરણોની અદલાબદલી કરવી, તમામ સમીકરણોના ગુણાંક સાથે બે અજાણ્યાઓને અદલાબદલી કરવી, સિસ્ટમના કોઈપણ સમીકરણની બંને બાજુઓને બિનશૂન્ય સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવી.

જો તમામ મુક્ત પદો શૂન્ય સમાન હોય તો રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને સજાતીય કહેવામાં આવે છે:

સજાતીય સિસ્ટમ હંમેશા સુસંગત હોય છે, કારણ કે x1=x2=x3=…=xn=0 એ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે. આ ઉકેલને શૂન્ય અથવા તુચ્છ કહેવામાં આવે છે.

2. ગૌસીયન દૂર કરવાની પદ્ધતિ

2.1 ગૌસિયન દૂર કરવાની પદ્ધતિનો સાર

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટેની શાસ્ત્રીય પદ્ધતિ એ અજાણ્યાઓને ક્રમિક દૂર કરવાની પદ્ધતિ છે - ગૌસીયન પદ્ધતિ(તેને ગૌસીયન દૂર કરવાની પદ્ધતિ પણ કહેવામાં આવે છે). આ ચલોના ક્રમિક નાબૂદીની એક પદ્ધતિ છે, જ્યારે, પ્રારંભિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને, સમીકરણોની સિસ્ટમને એક પગલા (અથવા ત્રિકોણાકાર) સ્વરૂપની સમકક્ષ સિસ્ટમમાં ઘટાડવામાં આવે છે, જેમાંથી અન્ય તમામ ચલો અનુક્રમે જોવા મળે છે, છેલ્લા (દ્વારા) થી શરૂ કરીને સંખ્યા) ચલો.

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલની પ્રક્રિયામાં બે તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે: આગળ અને પાછળની ચાલ.

1. ડાયરેક્ટ સ્ટ્રોક.

પ્રથમ તબક્કે, કહેવાતી સીધી ચાલ હાથ ધરવામાં આવે છે, જ્યારે, પંક્તિઓ પર પ્રાથમિક પરિવર્તન દ્વારા, સિસ્ટમને સ્ટેપ્ડ અથવા ત્રિકોણાકાર આકારમાં લાવવામાં આવે છે, અથવા તે સ્થાપિત થાય છે કે સિસ્ટમ અસંગત છે. એટલે કે, મેટ્રિક્સના પ્રથમ સ્તંભના ઘટકોમાંથી, બિન-શૂન્ય એક પસંદ કરો, પંક્તિઓને ફરીથી ગોઠવીને તેને સૌથી ઉપરના સ્થાને ખસેડો, અને પુન: ગોઠવણી પછી બાકીની પંક્તિઓમાંથી પરિણામી પ્રથમ પંક્તિને બાદ કરો, તેને મૂલ્ય વડે ગુણાકાર કરો. આ દરેક પંક્તિના પ્રથમ ઘટક અને પ્રથમ પંક્તિના પ્રથમ તત્વના ગુણોત્તર સમાન, તેની નીચેની કૉલમને શૂન્ય કરો.

આ રૂપાંતરણો પૂર્ણ થયા પછી, પ્રથમ પંક્તિ અને પ્રથમ કૉલમ માનસિક રીતે પાર કરવામાં આવે છે અને શૂન્ય-કદનું મેટ્રિક્સ રહે ત્યાં સુધી ચાલુ રાખવામાં આવે છે. જો કોઈપણ પુનરાવૃત્તિ પર પ્રથમ કૉલમના ઘટકોમાં કોઈ બિન-શૂન્ય તત્વ ન હોય, તો પછીની કૉલમ પર જાઓ અને સમાન ઑપરેશન કરો.

પ્રથમ તબક્કે (સીધો સ્ટ્રોક), સિસ્ટમ એક પગથિયાં (ખાસ કરીને, ત્રિકોણાકાર) સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે.

નીચેની સિસ્ટમ સ્ટેપવાઇઝ ફોર્મ ધરાવે છે:

ગુણાંક aii ને સિસ્ટમના મુખ્ય (અગ્રણી) તત્વો કહેવામાં આવે છે.

ચાલો પહેલા (સિસ્ટમના પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને) સિવાયના તમામ સમીકરણોમાં અજ્ઞાત x1 નાબૂદ કરીને સિસ્ટમમાં પરિવર્તન કરીએ. આ કરવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની બંને બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરો

આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખીને, અમે એક સમાન સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

આમ, પ્રથમ પગલા પર, પ્રથમ અગ્રણી તત્વ a 11 હેઠળ આવેલા તમામ ગુણાંકો નાશ પામે છે.

જો, સિસ્ટમને પગલાવાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની પ્રક્રિયામાં, શૂન્ય સમીકરણો દેખાય છે, એટલે કે. ફોર્મ 0=0 ની સમાનતા, તે કાઢી નાખવામાં આવે છે. જો ફોર્મનું સમીકરણ દેખાય

આ તે છે જ્યાં ગૌસની પદ્ધતિની સીધી પ્રગતિ સમાપ્ત થાય છે.

2. રિવર્સ સ્ટ્રોક.

બીજા તબક્કે, કહેવાતા રિવર્સ ચાલ હાથ ધરવામાં આવે છે, જેનો સાર એ છે કે તમામ પરિણામી મૂળભૂત ચલોને બિન-મૂળભૂતની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવા અને ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવવી, અથવા, જો બધા ચલો મૂળભૂત હોય. , પછી રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો એકમાત્ર ઉકેલ આંકડાકીય રીતે વ્યક્ત કરો.

આ પ્રક્રિયા છેલ્લા સમીકરણથી શરૂ થાય છે, જેમાંથી અનુરૂપ મૂળભૂત ચલ વ્યક્ત કરવામાં આવે છે (તેમાં ફક્ત એક જ છે) અને અગાઉના સમીકરણોમાં અવેજી કરવામાં આવે છે, અને તેથી આગળ, "પગલાઓ" ઉપર ચઢીને.

દરેક લાઇન બરાબર એક બેઝિસ વેરિએબલને અનુરૂપ છે, તેથી છેલ્લી (સૌથી ટોચની) સિવાયના દરેક પગલા પર, પરિસ્થિતિ છેલ્લી લાઇનના કિસ્સામાં બરાબર પુનરાવર્તન કરે છે.

નોંધ: વ્યવહારમાં, સિસ્ટમ સાથે નહીં, પરંતુ તેના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ સાથે કામ કરવું વધુ અનુકૂળ છે, તેની પંક્તિઓ પરના તમામ પ્રાથમિક પરિવર્તનો કરવા. ગુણાંક a11 માટે 1 ની બરાબર હોવું અનુકૂળ છે (સમીકરણોને ફરીથી ગોઠવો અથવા સમીકરણની બંને બાજુઓને a11 વડે વિભાજીત કરો).

2.2 ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને SLAE ને ઉકેલવાના ઉદાહરણો

આ વિભાગમાં, ત્રણ જુદા જુદા ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને, અમે બતાવીશું કે ગૌસીયન પદ્ધતિ SLAE ને કેવી રીતે હલ કરી શકે છે.

ઉદાહરણ 1. 3જી ઓર્ડર SLAE ઉકેલો.

પર ગુણાંક રીસેટ કરીએ

અમે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને ધ્યાનમાં લેવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ. આ પાઠ વિષય પરનો ત્રીજો પાઠ છે. જો તમને સામાન્ય રીતે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ શું છે તેનો અસ્પષ્ટ ખ્યાલ હોય, જો તમને ચાની કીટલી જેવી લાગે, તો હું આગળના પૃષ્ઠ પરની મૂળભૂત બાબતોથી પ્રારંભ કરવાની ભલામણ કરું છું, તે પાઠનો અભ્યાસ કરવો ઉપયોગી છે.

ગૌસીયન પદ્ધતિ સરળ છે!શા માટે? વિખ્યાત જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી જોહાન કાર્લ ફ્રેડરિક ગૌસે, તેમના જીવનકાળ દરમિયાન, સર્વકાલીન મહાન ગણિતશાસ્ત્રી, પ્રતિભાશાળી અને ઉપનામ "ગણિતના રાજા" તરીકેની ઓળખ મેળવી હતી. અને બુદ્ધિશાળી બધું, જેમ તમે જાણો છો, સરળ છે!માર્ગ દ્વારા, માત્ર સકર્સને જ પૈસા મળતા નથી, પણ પ્રતિભાશાળીઓ પણ - ગૌસનું પોટ્રેટ 10 ડ્યુશમાર્ક બૅન્કનોટ પર હતું (યુરોની રજૂઆત પહેલાં), અને ગૌસ હજી પણ સામાન્ય પોસ્ટેજ સ્ટેમ્પ્સમાંથી જર્મનો પર રહસ્યમય રીતે સ્મિત કરે છે.

ગૌસ પદ્ધતિ સરળ છે જેમાં પાંચમા ધોરણના વિદ્યાર્થીનું જ્ઞાન તેને પારંગત કરવા માટે પૂરતું છે. તમારે કેવી રીતે ઉમેરવું અને ગુણાકાર કરવું તે જાણવું જોઈએ!તે કોઈ સંયોગ નથી કે શિક્ષકો ઘણીવાર શાળાના ગણિતના વૈકલ્પિકમાં અજાણ્યાઓને ક્રમિક રીતે બાકાત રાખવાની પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લે છે. તે એક વિરોધાભાસ છે, પરંતુ વિદ્યાર્થીઓને ગૌસીયન પદ્ધતિ સૌથી મુશ્કેલ લાગે છે. આશ્ચર્યજનક કંઈ નથી - તે બધી પદ્ધતિ વિશે છે, અને હું સુલભ સ્વરૂપમાં પદ્ધતિના અલ્ગોરિધમનો વિશે વાત કરવાનો પ્રયાસ કરીશ.

પ્રથમ, ચાલો રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો વિશે થોડું જ્ઞાન વ્યવસ્થિત કરીએ. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ આ કરી શકે છે:

1) એક અનન્ય ઉકેલ છે. 2) અનંત ઘણા ઉકેલો છે. 3) કોઈ ઉકેલ નથી (હો બિન-સંયુક્ત).

ગૌસ પદ્ધતિ એ ઉકેલ શોધવા માટેનું સૌથી શક્તિશાળી અને સાર્વત્રિક સાધન છે કોઈપણરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો. જેમ આપણે યાદ કરીએ છીએ, ક્રેમરનો નિયમ અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિએવા કિસ્સાઓમાં અયોગ્ય છે કે જ્યાં સિસ્ટમમાં અનંત રીતે ઘણા ઉકેલો હોય અથવા અસંગત હોય. અને અજાણ્યાઓને ક્રમિક દૂર કરવાની પદ્ધતિ કોઈપણ રીતેઅમને જવાબ તરફ દોરી જશે! આ પાઠમાં, અમે કેસ નંબર 1 (સિસ્ટમનો એકમાત્ર ઉકેલ) માટે ગૌસ પદ્ધતિને ફરીથી ધ્યાનમાં લઈશું, એક લેખ પોઈન્ટ નંબર 2-3 ની પરિસ્થિતિઓને સમર્પિત છે. હું નોંધું છું કે પદ્ધતિનું અલ્ગોરિધમ ત્રણેય કેસોમાં સમાન કાર્ય કરે છે.

ચાલો પાઠમાંથી સરળ સિસ્ટમ પર પાછા આવીએ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે હલ કરવી?અને ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તેને હલ કરો.

પ્રથમ પગલું લખવાનું છે વિસ્તૃત સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ: . મને લાગે છે કે દરેક વ્યક્તિ જોઈ શકે છે કે ગુણાંક કયા સિદ્ધાંત દ્વારા લખવામાં આવે છે. મેટ્રિક્સની અંદર ઊભી રેખાનો કોઈ ગાણિતિક અર્થ નથી - તે ડિઝાઇનની સરળતા માટે ફક્ત એક સ્ટ્રાઇકથ્રુ છે.

સંદર્ભ : હું તમને યાદ રાખવાની ભલામણ કરું છું શરતો રેખીય બીજગણિત. સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ અજ્ઞાત લોકો માટે માત્ર ગુણાંકથી બનેલું મેટ્રિક્સ છે, આ ઉદાહરણમાં સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ: . વિસ્તૃત સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ - આ સિસ્ટમનું સમાન મેટ્રિક્સ વત્તા મફત શરતોની કૉલમ છે, આ કિસ્સામાં: . સંક્ષિપ્તતા માટે, કોઈપણ મેટ્રિસિસને ફક્ત મેટ્રિક્સ કહી શકાય.

વિસ્તૃત સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ લખ્યા પછી, તેની સાથે કેટલીક ક્રિયાઓ કરવી જરૂરી છે, જેને કહેવામાં આવે છે પ્રાથમિક પરિવર્તનો.

નીચેના પ્રાથમિક પરિવર્તનો અસ્તિત્વમાં છે:

1) શબ્દમાળાઓમેટ્રિસિસ કરી શકે છે ફરીથી ગોઠવોકેટલાક સ્થળોએ. ઉદાહરણ તરીકે, વિચારણા હેઠળના મેટ્રિક્સમાં, તમે પ્રથમ અને બીજી પંક્તિઓને પીડારહિત રીતે ફરીથી ગોઠવી શકો છો:

2) જો મેટ્રિક્સમાં પ્રમાણસર (અથવા દેખાય છે) (ખાસ કેસ તરીકે - સમાન) પંક્તિઓ હોય, તો તમારે કાઢી નાખોઆ બધી પંક્તિઓ એક સિવાય મેટ્રિક્સમાંથી છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સનો વિચાર કરો . આ મેટ્રિક્સમાં, છેલ્લી ત્રણ પંક્તિઓ પ્રમાણસર છે, તેથી તેમાંથી ફક્ત એક જ છોડવા માટે તે પૂરતું છે: .

3) જો રૂપાંતરણ દરમિયાન મેટ્રિક્સમાં શૂન્ય પંક્તિ દેખાય છે, તો તે પણ હોવી જોઈએ કાઢી નાખો. હું દોરીશ નહીં, અલબત્ત, શૂન્ય રેખા એ રેખા છે જેમાં બધા શૂન્ય.

4) મેટ્રિક્સ પંક્તિ હોઈ શકે છે ગુણાકાર (ભાગાકાર)કોઈપણ નંબર પર બિન-શૂન્ય. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સનો વિચાર કરો. અહીં પ્રથમ લીટીને –3 વડે વિભાજીત કરવાની અને બીજી લીટીને 2 વડે ગુણાકાર કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે: . આ ક્રિયા ખૂબ જ ઉપયોગી છે કારણ કે તે મેટ્રિક્સના વધુ પરિવર્તનને સરળ બનાવે છે.

5) આ પરિવર્તન સૌથી વધુ મુશ્કેલીઓનું કારણ બને છે, પરંતુ વાસ્તવમાં તેમાં કંઈ જટિલ નથી. મેટ્રિક્સની એક પંક્તિ માટે તમે કરી શકો છો સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીને બીજી સ્ટ્રિંગ ઉમેરો, શૂન્યથી અલગ. ચાલો આપણા મેટ્રિક્સને વ્યવહારુ ઉદાહરણથી જોઈએ: . પ્રથમ હું રૂપાંતરણનું વિગતવાર વર્ણન કરીશ. પ્રથમ લીટીને –2 વડે ગુણાકાર કરો: , અને બીજી લીટીમાં આપણે પ્રથમ લીટીને –2 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ: . હવે પ્રથમ લાઇનને "પાછળ" -2 દ્વારા વિભાજિત કરી શકાય છે: . જેમ તમે જોઈ શકો છો, લાઇન કે જે ADD કરો LI – બદલાયો નથી. હંમેશાજે લાઇનમાં ફેરફારો ઉમેરવામાં આવ્યા છે યુટી.

વ્યવહારમાં, અલબત્ત, તેઓ તેને આટલી વિગતવાર લખતા નથી, પરંતુ તેને ટૂંકમાં લખો: ફરી એકવાર: બીજી લાઇન પર -2 વડે ગુણાકાર કરીને પ્રથમ લીટી ઉમેરી. એક રેખા સામાન્ય રીતે મૌખિક રીતે અથવા ડ્રાફ્ટ પર ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, માનસિક ગણતરી પ્રક્રિયા કંઈક આના જેવી થાય છે:

"હું મેટ્રિક્સ ફરીથી લખું છું અને પ્રથમ લાઇન ફરીથી લખું છું: »

“પ્રથમ કૉલમ પ્રથમ. તળિયે મારે શૂન્ય મેળવવાની જરૂર છે. તેથી, હું ટોચ પરના એકને –2: વડે ગુણાકાર કરું છું, અને પ્રથમને બીજી લાઇનમાં ઉમેરું છું: 2 + (–2) = 0. હું બીજી લાઇનમાં પરિણામ લખું છું: »

“હવે બીજી કોલમ. ટોચ પર, હું -1 ને -2 દ્વારા ગુણાકાર કરું છું: . હું બીજી લાઇનમાં પ્રથમ ઉમેરું છું: 1 + 2 = 3. હું બીજી લાઇનમાં પરિણામ લખું છું: »

“અને ત્રીજી કોલમ. ટોચ પર હું -5 ને -2 દ્વારા ગુણાકાર કરું છું: . હું બીજી લાઇનમાં પ્રથમ ઉમેરું છું: –7 + 10 = 3. હું બીજી લાઇનમાં પરિણામ લખું છું: »

કૃપા કરીને આ ઉદાહરણને કાળજીપૂર્વક સમજો અને અનુક્રમિક ગણતરીના અલ્ગોરિધમને સમજો, જો તમે આ સમજો છો, તો ગૌસીયન પદ્ધતિ વ્યવહારીક રીતે તમારા ખિસ્સામાં છે. પરંતુ, અલબત્ત, અમે હજી પણ આ પરિવર્તન પર કામ કરીશું.

પ્રાથમિક પરિવર્તનો સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલને બદલતા નથી

! ધ્યાન: મેનીપ્યુલેશન્સ ગણવામાં આવે છે ઉપયોગ કરી શકતા નથી, જો તમને કોઈ કાર્ય ઓફર કરવામાં આવે છે જ્યાં મેટ્રિસિસ "પોતાના દ્વારા" આપવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, "શાસ્ત્રીય" સાથે મેટ્રિસીસ સાથે કામગીરીકોઈ પણ સંજોગોમાં તમારે મેટ્રિસિસની અંદર કંઈપણ ફરીથી ગોઠવવું જોઈએ નહીં! ચાલો આપણી સિસ્ટમ પર પાછા ફરીએ. તે વ્યવહારીક રીતે ટુકડાઓમાં લેવામાં આવે છે.

ચાલો સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને લખીએ અને પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને તેને ઘટાડીએ સ્ટેપ વ્યુ:

(1) પ્રથમ લીટી બીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો. અને ફરીથી: શા માટે આપણે પ્રથમ લીટીને –2 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ? તળિયે શૂન્ય મેળવવા માટે, જેનો અર્થ થાય છે કે બીજી લાઇનમાં એક ચલમાંથી છૂટકારો મેળવવો.

(2) બીજી લીટીને 3 વડે ભાગો.

પ્રાથમિક પરિવર્તનનો હેતુ – મેટ્રિક્સને સ્ટેપવાઇઝ ફોર્મમાં ઘટાડો: . કાર્યની ડિઝાઇનમાં, તેઓ ફક્ત "સીડી" ને સરળ પેંસિલથી ચિહ્નિત કરે છે, અને "પગલાઓ" પર સ્થિત સંખ્યાઓને પણ વર્તુળ કરે છે. "સ્ટેપ્ડ વ્યુ" શબ્દ પોતે સંપૂર્ણપણે સૈદ્ધાંતિક નથી અને વૈજ્ઞાનિક અને શૈક્ષણિક સાહિત્યમાં તેને ઘણીવાર કહેવામાં આવે છે ટ્રેપેઝોઇડલ દૃશ્યઅથવા ત્રિકોણાકાર દૃશ્ય.

પ્રારંભિક પરિવર્તનના પરિણામે, અમે પ્રાપ્ત કર્યું સમકક્ષસમીકરણોની મૂળ સિસ્ટમ:

હવે સિસ્ટમને વિરુદ્ધ દિશામાં "અનવાઇન્ડ" કરવાની જરૂર છે - નીચેથી ઉપર સુધી, આ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે ગૌસીયન પદ્ધતિથી વિપરીત.

નીચલા સમીકરણમાં અમારી પાસે પહેલેથી જ તૈયાર પરિણામ છે: .

ચાલો સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને ધ્યાનમાં લઈએ અને તેમાં "y" ના પહેલાથી જાણીતા મૂલ્યને બદલીએ:

ચાલો સૌથી સામાન્ય પરિસ્થિતિને ધ્યાનમાં લઈએ, જ્યારે ગૌસીયન પદ્ધતિમાં ત્રણ અજાણ્યા સાથે ત્રણ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાની જરૂર પડે છે.

ઉદાહરણ 1

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

ચાલો સિસ્ટમનું વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ લખીએ:

હવે હું તરત જ પરિણામ દોરીશ કે આપણે ઉકેલ દરમિયાન આવીશું: અને હું પુનરાવર્તન કરું છું, અમારો ધ્યેય પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં લાવવાનો છે. ક્યાંથી શરૂઆત કરવી?

પ્રથમ, ટોચની ડાબી સંખ્યા જુઓ: લગભગ હંમેશા અહીં હોવું જોઈએ એકમ. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, -1 (અને કેટલીકવાર અન્ય સંખ્યાઓ) કરશે, પરંતુ કોઈક રીતે પરંપરાગત રીતે એવું બન્યું છે કે એક સામાન્ય રીતે ત્યાં મૂકવામાં આવે છે. એકમ કેવી રીતે ગોઠવવું? અમે પ્રથમ કૉલમ જોઈએ છીએ - અમારી પાસે સમાપ્ત એકમ છે! રૂપાંતર એક: પ્રથમ અને ત્રીજી લાઇનને સ્વેપ કરો:

હવે પ્રથમ લાઇન ઉકેલના અંત સુધી યથાવત રહેશે. હવે સારું.

ઉપર ડાબા ખૂણામાં એકમ ગોઠવાયેલ છે. હવે તમારે આ સ્થળોએ શૂન્ય મેળવવાની જરૂર છે:

અમને "મુશ્કેલ" રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને શૂન્ય મળે છે. પ્રથમ આપણે બીજી લાઇન (2, –1, 3, 13) સાથે વ્યવહાર કરીએ છીએ. પ્રથમ સ્થાનમાં શૂન્ય મેળવવા માટે શું કરવાની જરૂર છે? જરૂર છે બીજી લીટીમાં –2 વડે ગુણાકાર કરેલ પ્રથમ લીટી ઉમેરો. માનસિક રીતે અથવા ડ્રાફ્ટ પર, પ્રથમ લીટીને –2 દ્વારા ગુણાકાર કરો: (–2, –4, 2, –18). અને અમે સતત (ફરીથી માનસિક રીતે અથવા ડ્રાફ્ટ પર) ઉમેરો કરીએ છીએ, બીજી લીટીમાં આપણે પ્રથમ લીટી ઉમેરીએ છીએ, જે પહેલાથી જ –2 વડે ગુણાકાર કરેલ છે:

અમે બીજી લાઇનમાં પરિણામ લખીએ છીએ:

અમે ત્રીજી લાઇન સાથે તે જ રીતે વ્યવહાર કરીએ છીએ (3, 2, –5, –1). પ્રથમ સ્થાને શૂન્ય મેળવવા માટે, તમારે જરૂર છે ત્રીજી લીટીમાં –3 વડે ગુણાકાર કરેલ પ્રથમ લીટી ઉમેરો. માનસિક રીતે અથવા ડ્રાફ્ટ પર, પ્રથમ લીટીને –3 દ્વારા ગુણાકાર કરો: (–3, –6, 3, –27). અને ત્રીજી લીટીમાં આપણે પ્રથમ લીટીને –3 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:

અમે ત્રીજી લાઇનમાં પરિણામ લખીએ છીએ:

વ્યવહારમાં, આ ક્રિયાઓ સામાન્ય રીતે મૌખિક રીતે કરવામાં આવે છે અને એક પગલામાં લખવામાં આવે છે:

એક જ સમયે અને એક જ સમયે બધું ગણવાની જરૂર નથી. ગણતરીઓનો ક્રમ અને પરિણામો "દાખલ કરવા". સુસંગતઅને સામાન્ય રીતે તે આના જેવું છે: પહેલા આપણે પ્રથમ લીટી ફરીથી લખીએ છીએ, અને ધીમે ધીમે આપણી જાત પર પફ કરીએ છીએ - સતત અને ધ્યાનપૂર્વક:
અને મેં ઉપર ગણતરીની માનસિક પ્રક્રિયા વિશે પહેલેથી જ ચર્ચા કરી છે.

આ ઉદાહરણમાં, આ કરવું સરળ છે, આપણે બીજી લીટીને –5 વડે વિભાજીત કરીએ છીએ (કારણ કે બધી સંખ્યાઓ બાકીના વિના 5 વડે વિભાજ્ય છે). તે જ સમયે, અમે ત્રીજી લાઇનને –2 દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ, કારણ કે સંખ્યાઓ જેટલી નાની છે, તેટલો સરળ ઉકેલ:

પ્રાથમિક પરિવર્તનના અંતિમ તબક્કે, તમારે અહીં બીજું શૂન્ય મેળવવાની જરૂર છે:

આ માટે ત્રીજી લાઇનમાં આપણે બીજી લાઇન ઉમેરીએ છીએ જેનો ગુણાકાર –2:
આ ક્રિયાને જાતે સમજવાનો પ્રયાસ કરો - માનસિક રીતે બીજી લાઇનને –2 વડે ગુણાકાર કરો અને ઉમેરણ કરો.

કરવામાં આવેલ છેલ્લી ક્રિયા પરિણામની હેરસ્ટાઇલ છે, ત્રીજી લાઇનને 3 વડે વિભાજીત કરો.

પ્રાથમિક પરિવર્તનના પરિણામે, રેખીય સમીકરણોની સમકક્ષ સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થઈ હતી: કૂલ.

હવે ગૌસીયન પદ્ધતિની વિપરીત રમતમાં આવે છે. સમીકરણો નીચેથી ઉપર સુધી "અનવાઇન્ડ" થાય છે.

ત્રીજા સમીકરણમાં આપણી પાસે પહેલેથી જ તૈયાર પરિણામ છે:

ચાલો બીજા સમીકરણ જોઈએ: . "ઝેટ" નો અર્થ પહેલેથી જ જાણીતો છે, આમ:

અને અંતે, પ્રથમ સમીકરણ: . "ઇગ્રેક" અને "ઝેટ" જાણીતા છે, તે માત્ર થોડી વસ્તુઓની બાબત છે:

જવાબ આપો:

પહેલેથી જ ઘણી વખત નોંધ્યું છે તેમ, સમીકરણોની કોઈપણ પ્રણાલી માટે શોધાયેલ ઉકેલને તપાસવું શક્ય અને જરૂરી છે, સદભાગ્યે, આ સરળ અને ઝડપી છે.

ઉદાહરણ 2

આ સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેનું ઉદાહરણ છે, અંતિમ ડિઝાઇનનો નમૂનો અને પાઠના અંતે જવાબ છે.

એ નોંધવું જોઈએ કે તમારા નિર્ણયની પ્રગતિમારી નિર્ણય પ્રક્રિયા સાથે સુસંગત ન હોઈ શકે, અને આ ગૌસ પદ્ધતિનું લક્ષણ છે. પરંતુ જવાબો એક જ હોવા જોઈએ!

ઉદાહરણ 3

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

અમે ઉપર ડાબી બાજુ "પગલું" જોઈએ છીએ. આપણે ત્યાં એક હોવું જોઈએ. સમસ્યા એ છે કે પ્રથમ કૉલમમાં કોઈ એકમો નથી, તેથી પંક્તિઓને ફરીથી ગોઠવવાથી કંઈપણ હલ થશે નહીં. આવા કિસ્સાઓમાં, એકમ પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને ગોઠવાયેલ હોવું જોઈએ. આ સામાન્ય રીતે ઘણી રીતે કરી શકાય છે. મેં આ કર્યું: (1) પ્રથમ લીટીમાં આપણે બીજી લીટી ઉમેરીએ છીએ, -1 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. એટલે કે, અમે માનસિક રીતે બીજી લાઇનને –1 વડે ગુણાકાર કરી અને પ્રથમ અને બીજી લાઇન ઉમેરી, જ્યારે બીજી લાઇન બદલાઈ નહીં.

હવે ઉપર ડાબી બાજુએ “માઈનસ વન” છે, જે આપણને એકદમ અનુકૂળ આવે છે. કોઈપણ જે +1 મેળવવા માંગે છે તે વધારાના હાવભાવ કરી શકે છે: પ્રથમ લીટીને –1 વડે ગુણાકાર કરો (તેનું ચિહ્ન બદલો).

(2) 5 વડે ગુણાકાર કરેલ પ્રથમ લીટી ત્રીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી.

(3) પ્રથમ લીટીને –1 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો, સૈદ્ધાંતિક રીતે, આ સુંદરતા માટે છે. ત્રીજી લાઇનનું ચિહ્ન પણ બદલાયું હતું અને તેને બીજા સ્થાને ખસેડવામાં આવ્યું હતું, જેથી બીજા "પગલાં" પર અમારી પાસે જરૂરી એકમ હતું.

(4) બીજી લાઇનને 2 વડે ગુણાકાર કરીને ત્રીજી લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવી હતી.

(5) ત્રીજી પંક્તિને 3 વડે ભાગવામાં આવી હતી.

એક ખરાબ સંકેત જે ગણતરીમાં ભૂલ સૂચવે છે (વધુ ભાગ્યે જ, ટાઇપો) એ "ખરાબ" બોટમ લાઇન છે. એટલે કે, જો આપણને નીચે, અને તે મુજબ કંઈક મળ્યું હોય, , તો પછી ઉચ્ચ સ્તરની સંભાવના સાથે આપણે કહી શકીએ કે પ્રાથમિક પરિવર્તન દરમિયાન ભૂલ થઈ હતી.

અમે રિવર્સ ચાર્જ કરીએ છીએ, ઉદાહરણોની ડિઝાઇનમાં તેઓ ઘણીવાર સિસ્ટમને ફરીથી લખતા નથી, પરંતુ સમીકરણો "આપેલ મેટ્રિક્સમાંથી સીધા લેવામાં આવે છે." રિવર્સ સ્ટ્રોક, હું તમને યાદ કરાવું છું, નીચેથી ઉપર સુધી કામ કરે છે. હા, અહીં એક ભેટ છે:

જવાબ આપો: .

ઉદાહરણ 4

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારા પોતાના પર હલ કરી શકો છો, તે કંઈક વધુ જટિલ છે. જો કોઈ મૂંઝવણમાં આવે તો ઠીક છે. પાઠના અંતે સંપૂર્ણ ઉકેલ અને નમૂના ડિઝાઇન. તમારા ઉકેલ મારા ઉકેલ કરતાં અલગ હોઈ શકે છે.

છેલ્લા ભાગમાં આપણે ગૌસીયન અલ્ગોરિધમના કેટલાક લક્ષણો જોઈશું. પ્રથમ લક્ષણ એ છે કે કેટલીકવાર સિસ્ટમ સમીકરણોમાંથી કેટલાક ચલો ખૂટે છે, ઉદાહરણ તરીકે: વિસ્તૃત સિસ્ટમ મેટ્રિક્સને યોગ્ય રીતે કેવી રીતે લખવું? મેં વર્ગમાં આ મુદ્દા વિશે પહેલેથી જ વાત કરી છે. ક્રેમરનો નિયમ. મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ. સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સમાં, અમે ખૂટતા ચલોની જગ્યાએ શૂન્ય મૂકીએ છીએ: માર્ગ દ્વારા, આ એકદમ સરળ ઉદાહરણ છે, કારણ કે પ્રથમ કૉલમમાં પહેલેથી જ એક શૂન્ય છે, અને કરવા માટે ઓછા પ્રાથમિક પરિવર્તનો છે.

બીજી વિશેષતા આ છે. ધ્યાનમાં લેવાયેલા તમામ ઉદાહરણોમાં, અમે "પગલાઓ" પર -1 અથવા +1 મૂક્યા છે. ત્યાં અન્ય નંબરો હોઈ શકે છે? કેટલાક કિસ્સાઓમાં તેઓ કરી શકે છે. સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો: .

અહીં ઉપર ડાબી બાજુએ “પગલું” આપણી પાસે બે છે. પરંતુ આપણે એ હકીકત નોંધીએ છીએ કે પ્રથમ સ્તંભની બધી સંખ્યાઓ શેષ વિના 2 વડે ભાગી શકાય છે - અને બીજી બે અને છ છે. અને ઉપર ડાબી બાજુના બે અમને અનુકૂળ પડશે! પ્રથમ પગલામાં, તમારે નીચેના રૂપાંતરણો કરવાની જરૂર છે: બીજી લાઇનમાં –1 વડે ગુણાકાર કરેલ પ્રથમ લાઇન ઉમેરો; ત્રીજી લીટીમાં –3 વડે ગુણાકાર કરેલ પ્રથમ લીટી ઉમેરો. આ રીતે આપણે પ્રથમ કોલમમાં જરૂરી શૂન્ય મેળવીશું.

અથવા અન્ય પરંપરાગત ઉદાહરણ: . અહીં બીજા “પગલાં” પરના ત્રણ પણ આપણને અનુકૂળ આવે છે, કારણ કે 12 (જ્યાં આપણે શૂન્ય મેળવવાની જરૂર છે) બાકીના વિના 3 વડે વિભાજ્ય છે. નીચેનું પરિવર્તન કરવું જરૂરી છે: ત્રીજી લાઇનમાં બીજી લાઇન ઉમેરો, –4 વડે ગુણાકાર કરો, જેના પરિણામે આપણને જરૂરી શૂન્ય પ્રાપ્ત થશે.

ગૌસની પદ્ધતિ સાર્વત્રિક છે, પરંતુ એક વિશિષ્ટતા છે. તમે વિશ્વાસપૂર્વક અન્ય પદ્ધતિઓ (ક્રેમરની પદ્ધતિ, મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ) નો ઉપયોગ કરીને શાબ્દિક રીતે પ્રથમ વખત સિસ્ટમ્સ ઉકેલવાનું શીખી શકો છો - તેમની પાસે ખૂબ જ કડક અલ્ગોરિધમ છે. પરંતુ ગૌસીયન પદ્ધતિમાં આત્મવિશ્વાસ અનુભવવા માટે, તમારે "તમારા દાંતને અંદર લાવવા" જોઈએ અને ઓછામાં ઓછી 5-10 દસ સિસ્ટમો ઉકેલવી જોઈએ. તેથી, શરૂઆતમાં ગણતરીમાં મૂંઝવણ અને ભૂલો હોઈ શકે છે, અને આ વિશે અસામાન્ય અથવા દુ: ખદ કંઈ નથી.

બારીની બહાર વરસાદી પાનખર હવામાન.... તેથી, દરેક વ્યક્તિ માટે જે વધુ જટિલ ઉદાહરણ ઇચ્છે છે કે તેઓ જાતે જ ઉકેલી શકે:

ઉદાહરણ 5

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ચાર અજ્ઞાત સાથે 4 રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો.

આવા કાર્ય વ્યવહારમાં એટલું દુર્લભ નથી. મને લાગે છે કે આ પૃષ્ઠનો સંપૂર્ણ અભ્યાસ કરનાર ચાની કીટલી પણ આવી સિસ્ટમને સાહજિક રીતે ઉકેલવા માટેના અલ્ગોરિધમને સમજી શકશે. મૂળભૂત રીતે, બધું સમાન છે - ત્યાં ફક્ત વધુ ક્રિયાઓ છે.

એવા કિસ્સાઓ જ્યારે સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલો ન હોય (અસંગત) અથવા અસંખ્ય ઉકેલો હોય ત્યારે પાઠમાં ચર્ચા કરવામાં આવે છે સામાન્ય ઉકેલ સાથે અસંગત સિસ્ટમો અને સિસ્ટમો. ત્યાં તમે ગૌસીયન પદ્ધતિના ગણવામાં આવતા અલ્ગોરિધમને ઠીક કરી શકો છો.

હું તમને સફળતાની ઇચ્છા કરું છું!

ઉકેલો અને જવાબો:

ઉદાહરણ 2: ઉકેલ : ચાલો સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને લખીએ અને પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને તેને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં લાવીએ.
કરવામાં આવેલ પ્રાથમિક પરિવર્તનો: (1) પ્રથમ લીટી બીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો. પ્રથમ લીટી ત્રીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –1 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો. ધ્યાન આપો! અહીં તમે ત્રીજી પંક્તિમાંથી પ્રથમ બાદબાકી કરવા માટે લલચાઈ શકો છો; ફક્ત તેને ફોલ્ડ કરો! (2) બીજી લાઇનનું ચિહ્ન બદલાયું હતું (-1 વડે ગુણાકાર). બીજી અને ત્રીજી પંક્તિની અદલાબદલી કરવામાં આવી છે. નૉૅધ , કે "પગલાઓ" પર અમે માત્ર એકથી જ નહીં, પણ -1થી પણ સંતુષ્ટ છીએ, જે વધુ અનુકૂળ છે. (3) બીજી લાઇનને 5 વડે ગુણાકાર કરીને ત્રીજી લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવી હતી. (4) બીજી લાઇનનું ચિહ્ન બદલાયું હતું (-1 વડે ગુણાકાર). ત્રીજી લાઇનને 14 વડે વિભાજિત કરવામાં આવી હતી.

વિપરીત:

જવાબ આપો : .

ઉદાહરણ 4: ઉકેલ : ચાલો સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને લખીએ અને પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને તેને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં લાવીએ:

કરેલા રૂપાંતરણો: (1) પ્રથમ લાઇનમાં બીજી લાઇન ઉમેરવામાં આવી હતી. આમ, ઇચ્છિત એકમ ઉપલા ડાબા "પગલા" પર ગોઠવાયેલ છે. (2) 7 વડે ગુણાકાર કરેલ પ્રથમ લીટી ત્રીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી.

બીજા "પગલાં" સાથે બધું વધુ ખરાબ થાય છે , તેના માટેના "ઉમેદવારો" 17 અને 23 નંબરો છે, અને અમને એક અથવા -1ની જરૂર છે. પરિવર્તન (3) અને (4)નો હેતુ ઇચ્છિત એકમ મેળવવા માટે હશે (3) બીજી લાઇન ત્રીજી લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, જેનો ગુણાકાર –1. (4) ત્રીજી લાઇન બીજી લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –3 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો. બીજા સ્ટેપ પર જરૂરી વસ્તુ મળી ગઈ છે. . (5) બીજી લીટી ત્રીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, 6 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો. (6) બીજી લાઇનનો -1 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો, ત્રીજી લાઇનને -83 વડે ભાગવામાં આવી હતી.

વિપરીત:

જવાબ આપો :

ઉદાહરણ 5: ઉકેલ : ચાલો સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ લખીએ અને પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને તેને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં લાવીએ:

કરેલા રૂપાંતરણો: (1) પ્રથમ અને બીજી લીટીઓ અદલાબદલી કરવામાં આવી છે. (2) પ્રથમ લીટી બીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો. પ્રથમ લીટી ત્રીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, જેનો ગુણાકાર –2. પ્રથમ લીટી ચોથી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –3 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો. (3) બીજી લાઇનને 4 વડે ગુણાકાર કરીને ત્રીજી લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવી હતી. બીજી લાઇન ચોથી લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, -1 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવી હતી. (4) બીજી લાઇનનું ચિહ્ન બદલાયું હતું. ચોથી લાઇનને 3 વડે વિભાજીત કરીને ત્રીજી લાઇનની જગ્યાએ મૂકવામાં આવી હતી. (5) ત્રીજી લીટી ચોથી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –5 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો.

વિપરીત:

જવાબ આપો :

ગૌસ પદ્ધતિરેખીય બીજગણિત સમીકરણો (SLAEs) ની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે યોગ્ય. અન્ય પદ્ધતિઓની તુલનામાં તેના ઘણા ફાયદા છે:

• સૌ પ્રથમ, સુસંગતતા માટે સમીકરણોની સિસ્ટમની પ્રથમ તપાસ કરવાની જરૂર નથી;
• બીજું, ગૌસ પદ્ધતિ માત્ર SLAE ને ઉકેલી શકે છે જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા સાથે એકરુપ હોય છે અને સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ બિન-એકવચન છે, પણ સમીકરણોની સિસ્ટમો પણ જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા એકરૂપ થતી નથી. અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા અથવા મુખ્ય મેટ્રિક્સના નિર્ધારક શૂન્યની બરાબર છે;
• ત્રીજે સ્થાને, ગૌસીયન પદ્ધતિ પ્રમાણમાં ઓછી સંખ્યામાં કોમ્પ્યુટેશનલ કામગીરી સાથે પરિણામો તરફ દોરી જાય છે.

લેખની સંક્ષિપ્ત ઝાંખી.

પ્રથમ, અમે જરૂરી વ્યાખ્યાઓ આપીએ છીએ અને સંકેતો રજૂ કરીએ છીએ.

આગળ, અમે સરળ કેસ માટે ગૌસ પદ્ધતિના અલ્ગોરિધમનું વર્ણન કરીશું, એટલે કે, રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો માટે, સમીકરણોની સંખ્યા જેમાં અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા અને સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સના નિર્ણાયક સાથે સુસંગત છે. શૂન્ય બરાબર નથી. સમીકરણોની આવી પ્રણાલીઓને હલ કરતી વખતે, ગૌસ પદ્ધતિનો સાર સૌથી વધુ સ્પષ્ટપણે દેખાય છે, જે અજ્ઞાત ચલોનું ક્રમિક નિવારણ છે. તેથી, ગૌસીયન પદ્ધતિને અજ્ઞાતને ક્રમિક રીતે દૂર કરવાની પદ્ધતિ પણ કહેવામાં આવે છે. અમે કેટલાક ઉદાહરણોના વિગતવાર ઉકેલો બતાવીશું.

નિષ્કર્ષમાં, અમે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમોની ગૌસ પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલને ધ્યાનમાં લઈશું, જેનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ કાં તો લંબચોરસ અથવા એકવચન છે. આવી સિસ્ટમોના ઉકેલમાં કેટલીક સુવિધાઓ છે, જે અમે ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને વિગતવાર તપાસ કરીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અને સંકેતો.

n અજ્ઞાત સાથે p રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો વિચાર કરો (p બરાબર n હોઈ શકે છે):

અજ્ઞાત ચલો ક્યાં છે, સંખ્યાઓ છે (વાસ્તવિક અથવા જટિલ), અને મફત શરતો છે.

જો , પછી રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે સમાન, અન્યથા - વિજાતીય.

અજ્ઞાત ચલોના મૂલ્યોનો સમૂહ જેના માટે સિસ્ટમના તમામ સમીકરણો ઓળખ બની જાય છે તેને કહેવામાં આવે છે. SLAU નો નિર્ણય.

જો રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે સંયુક્ત, અન્યથા - બિન-સંયુક્ત.

જો SLAE પાસે અનન્ય ઉકેલ હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે ચોક્કસ. જો ત્યાં એક કરતાં વધુ ઉકેલો હોય, તો સિસ્ટમને બોલાવવામાં આવે છે અનિશ્ચિત.

તેઓ કહે છે કે સિસ્ટમમાં લખેલું છે સંકલન સ્વરૂપ, જો તે ફોર્મ ધરાવે છે
.

આ સિસ્ટમ માં મેટ્રિક્સ ફોર્મરેકોર્ડમાં ફોર્મ હોય છે જ્યાં - SLAE નું મુખ્ય મેટ્રિક્સ, - અજ્ઞાત ચલોના કૉલમનું મેટ્રિક્સ, - ફ્રી ટર્મ્સનું મેટ્રિક્સ.

જો આપણે મેટ્રિક્સ A માં (n+1)મી કૉલમ તરીકે મફત શબ્દોની મેટ્રિક્સ-કૉલમ ઉમેરીએ, તો અમને કહેવાતા વિસ્તૃત મેટ્રિક્સરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો. સામાન્ય રીતે, વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ અક્ષર T દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને મુક્ત શબ્દોના કૉલમને બાકીના કૉલમમાંથી ઊભી રેખા દ્વારા અલગ કરવામાં આવે છે, એટલે કે,

ચોરસ મેટ્રિક્સ A કહેવાય છે અધોગતિ, જો તેનો નિર્ણાયક શૂન્ય છે. જો , તો મેટ્રિક્સ A કહેવાય છે બિન-અધોગતિ.

નીચેના મુદ્દાની નોંધ લેવી જોઈએ.

જો તમે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ સાથે નીચેની ક્રિયાઓ કરો છો

• બે સમીકરણો બદલો,
• કોઈપણ સમીકરણની બંને બાજુઓને મનસ્વી અને બિન-શૂન્ય વાસ્તવિક (અથવા જટિલ) સંખ્યા k દ્વારા ગુણાકાર કરો,
• કોઈપણ સમીકરણની બંને બાજુએ અન્ય સમીકરણના અનુરૂપ ભાગો ઉમેરો, એક મનસ્વી સંખ્યા k વડે ગુણાકાર કરો,

પછી તમને એક સમકક્ષ સિસ્ટમ મળશે જેમાં સમાન ઉકેલો છે (અથવા, મૂળની જેમ, કોઈ ઉકેલો નથી).

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ માટે, આ ક્રિયાઓનો અર્થ એ થશે કે પંક્તિઓ સાથે પ્રાથમિક રૂપાંતરણો હાથ ધરવા:

• બે લીટીઓની અદલાબદલી,
• મેટ્રિક્સ T ની કોઈપણ પંક્તિના તમામ ઘટકોને બિનશૂન્ય સંખ્યા k વડે ગુણાકાર કરીને,
• મેટ્રિક્સની કોઈપણ પંક્તિના ઘટકોમાં બીજી પંક્તિના અનુરૂપ તત્વો ઉમેરીને, મનસ્વી સંખ્યા k દ્વારા ગુણાકાર.

હવે આપણે ગૌસ પદ્ધતિના વર્ણન પર આગળ વધી શકીએ છીએ.

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની નિરાકરણ પ્રણાલી, જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે અને સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ બિન-એકવચન છે, ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને.

જો અમને સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધવાનું કાર્ય સોંપવામાં આવે તો શાળામાં આપણે શું કરીશું? .

કેટલાક તે કરશે.

નોંધ કરો કે બીજા સમીકરણની ડાબી બાજુએ પ્રથમની ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ જમણી બાજુ ઉમેરીને, તમે અજાણ્યા ચલો x 2 અને x 3 થી છુટકારો મેળવી શકો છો અને તરત જ x 1 શોધી શકો છો:

અમે સિસ્ટમના પ્રથમ અને ત્રીજા સમીકરણોમાં મળેલ મૂલ્ય x 1 =1 ને બદલીએ છીએ:

જો આપણે સિસ્ટમના ત્રીજા સમીકરણની બંને બાજુઓને -1 વડે ગુણાકાર કરીએ અને તેમને પ્રથમ સમીકરણના અનુરૂપ ભાગોમાં ઉમેરીએ, તો આપણે અજ્ઞાત ચલ x 3 થી છુટકારો મેળવી શકીએ છીએ અને x 2 શોધી શકીએ છીએ:

અમે પરિણામી મૂલ્ય x 2 = 2 ને ત્રીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ અને બાકીના અજ્ઞાત ચલ x 3 શોધીએ છીએ:

અન્ય લોકોએ અલગ રીતે કર્યું હોત.

ચાલો આપણે અજ્ઞાત ચલ x 1 ના સંદર્ભમાં સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને ઉકેલીએ અને પરિણામી અભિવ્યક્તિને સિસ્ટમના બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોમાં બદલીએ જેથી આ ચલને તેમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે:

હવે ચાલો x 2 માટે સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને ઉકેલીએ અને પરિણામી પરિણામને ત્રીજા સમીકરણમાં બદલીએ જેથી તેમાંથી અજાણ્યા ચલ x 2ને દૂર કરી શકાય:

સિસ્ટમના ત્રીજા સમીકરણ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે x 3 =3. બીજા સમીકરણમાંથી આપણે શોધીએ છીએ , અને પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણને મળે છે.

પરિચિત ઉકેલો, બરાબર?

અહીં સૌથી રસપ્રદ બાબત એ છે કે બીજી ઉકેલ પદ્ધતિ અનિવાર્યપણે અજાણ્યાઓને ક્રમિક રીતે દૂર કરવાની પદ્ધતિ છે, એટલે કે, ગૌસીયન પદ્ધતિ. જ્યારે અમે અજાણ્યા ચલો (પ્રથમ x 1, પછીના તબક્કામાં x 2) વ્યક્ત કર્યા અને તેમને સિસ્ટમના બાકીના સમીકરણોમાં બદલ્યા, ત્યારે અમે તેમને બાકાત રાખ્યા. છેલ્લા સમીકરણમાં માત્ર એક જ અજ્ઞાત ચલ બાકી રહે ત્યાં સુધી અમે નાબૂદી હાથ ધરી. ક્રમિક રીતે અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે સીધી ગૌસિયન પદ્ધતિ. આગળ વધ્યા પછી, અમારી પાસે છેલ્લા સમીકરણમાં મળેલા અજાણ્યા ચલની ગણતરી કરવાની તક છે. તેની મદદથી, આપણે ઉપાંત્ય સમીકરણમાંથી આગલું અજ્ઞાત ચલ શોધીએ છીએ, વગેરે. છેલ્લા સમીકરણથી પ્રથમ તરફ જતી વખતે ક્રમિક રીતે અજાણ્યા ચલો શોધવાની પ્રક્રિયા કહેવાય છે. ગૌસીયન પદ્ધતિથી વિપરીત.

એ નોંધવું જોઈએ કે જ્યારે આપણે પ્રથમ સમીકરણમાં x 2 અને x 3ના સંદર્ભમાં x 1 વ્યક્ત કરીએ છીએ અને પછી પરિણામી અભિવ્યક્તિને બીજા અને ત્રીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ, ત્યારે નીચેની ક્રિયાઓ સમાન પરિણામ તરફ દોરી જાય છે:

ખરેખર, આવી પ્રક્રિયા સિસ્ટમના બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોમાંથી અજાણ્યા ચલ x 1 ને દૂર કરવાનું પણ શક્ય બનાવે છે:

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અજ્ઞાત ચલોને નાબૂદ કરવા સાથેનો ઘોંઘાટ ત્યારે ઉદ્ભવે છે જ્યારે સિસ્ટમના સમીકરણોમાં કેટલાક ચલોનો સમાવેશ થતો નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, SLAU માં પ્રથમ સમીકરણમાં કોઈ અજ્ઞાત ચલ x 1 નથી (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તેની સામેનો ગુણાંક શૂન્ય છે). તેથી, બાકીના સમીકરણોમાંથી આ અજાણ્યા ચલને દૂર કરવા માટે આપણે x 1 માટે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને હલ કરી શકતા નથી. આ પરિસ્થિતિમાંથી બહાર નીકળવાનો માર્ગ એ છે કે સિસ્ટમના સમીકરણોને બદલવાનો. આપણે લીનિયર સમીકરણોની સિસ્ટમો પર વિચાર કરી રહ્યા છીએ જેના મુખ્ય મેટ્રિસીસના નિર્ધારકો શૂન્યથી અલગ છે, ત્યાં હંમેશા એક સમીકરણ હોય છે જેમાં આપણને જરૂરી ચલ હાજર હોય છે, અને આપણે આ સમીકરણને આપણને જોઈતી સ્થિતિમાં ફરીથી ગોઠવી શકીએ છીએ. અમારા ઉદાહરણ માટે, તે સિસ્ટમના પ્રથમ અને બીજા સમીકરણોને સ્વેપ કરવા માટે પૂરતું છે , તો પછી તમે x 1 માટેના પ્રથમ સમીકરણને ઉકેલી શકો છો અને તેને સિસ્ટમના બાકીના સમીકરણોમાંથી બાકાત કરી શકો છો (જોકે x 1 હવે બીજા સમીકરણમાં હાજર નથી).

અમે આશા રાખીએ છીએ કે તમને ભાવાર્થ મળશે.

ચાલો વર્ણન કરીએ ગૌસિયન પદ્ધતિ અલ્ગોરિધમનો.

ધારો કે આપણે ફોર્મના n અજાણ્યા ચલો સાથે n રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાની જરૂર છે , અને તેના મુખ્ય મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકને શૂન્યથી અલગ થવા દો.

અમે ધારીશું કે , કારણ કે અમે સિસ્ટમના સમીકરણોને ફરીથી ગોઠવીને હંમેશા આ પ્રાપ્ત કરી શકીએ છીએ. ચાલો બીજાથી શરૂ કરીને સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોમાંથી અજ્ઞાત ચલ x 1 નાબૂદ કરીએ. આ કરવા માટે, સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં આપણે પ્રથમ ઉમેરીએ, વડે ગુણાકાર, ત્રીજા સમીકરણમાં આપણે પ્રથમ ઉમેરીએ, વડે ગુણાકાર, અને તેથી આગળ, nમા સમીકરણમાં આપણે પ્રથમ ઉમેરીએ, વડે ગુણાકાર. આવા પરિવર્તનો પછી સમીકરણોની સિસ્ટમ સ્વરૂપ લેશે

ક્યાં અને .

જો આપણે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં અન્ય અજાણ્યા ચલોના સંદર્ભમાં x 1 વ્યક્ત કર્યો હોત અને પરિણામી અભિવ્યક્તિને અન્ય તમામ સમીકરણોમાં બદલ્યો હોત તો આપણે સમાન પરિણામ પર પહોંચ્યા હોત. આમ, ચલ x 1 એ બીજાથી શરૂ થતા તમામ સમીકરણોમાંથી બાકાત છે.

આગળ, અમે તે જ રીતે આગળ વધીએ છીએ, પરંતુ માત્ર પરિણામી સિસ્ટમના ભાગ સાથે, જે આકૃતિમાં ચિહ્નિત થયેલ છે.

આ કરવા માટે, સિસ્ટમના ત્રીજા સમીકરણમાં આપણે બીજું ઉમેરીએ છીએ, વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ, ચોથા સમીકરણમાં આપણે બીજું ઉમેરીએ છીએ, વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને તેથી આગળ, nમા સમીકરણમાં આપણે બીજું ઉમેરીએ છીએ, વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. આવા પરિવર્તનો પછી સમીકરણોની સિસ્ટમ સ્વરૂપ લેશે

ક્યાં અને . આમ, ચલ x 2 ને ત્રીજાથી શરૂ કરીને તમામ સમીકરણોમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે.

આગળ, અમે અજ્ઞાત x 3 ને દૂર કરવા આગળ વધીએ છીએ, જ્યારે અમે આકૃતિમાં ચિહ્નિત સિસ્ટમના ભાગ સાથે સમાન રીતે કાર્ય કરીએ છીએ.

તેથી જ્યાં સુધી સિસ્ટમ ફોર્મ ન લે ત્યાં સુધી અમે ગૌસીયન પદ્ધતિની સીધી પ્રગતિ ચાલુ રાખીએ છીએ

આ ક્ષણથી આપણે ગૌસીયન પદ્ધતિથી વિપરીત શરૂઆત કરીએ છીએ: આપણે છેલ્લા સમીકરણમાંથી x n ની ગણતરી કરીએ છીએ, x n ની પ્રાપ્ત કિંમતનો ઉપયોગ કરીને આપણે ઉપાંત્ય સમીકરણમાંથી x n-1 શોધીએ છીએ, અને તેથી, આપણે પ્રથમ સમીકરણમાંથી x 1 શોધીએ છીએ. .

ચાલો ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને એલ્ગોરિધમ જોઈએ.

ઉદાહરણ.

ગૌસ પદ્ધતિ.

ઉકેલ.

ગુણાંક a 11 બિન-શૂન્ય છે, તેથી ચાલો ગૌસીયન પદ્ધતિની સીધી પ્રગતિ તરફ આગળ વધીએ, એટલે કે, પ્રથમ સિવાય સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોમાંથી અજાણ્યા ચલ x 1ને બાકાત રાખવા માટે. આ કરવા માટે, બીજા, ત્રીજા અને ચોથા સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુએ, પ્રથમ સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓને અનુક્રમે , વડે ગુણાકાર કરો. અને:

અજ્ઞાત ચલ x 1 નાબૂદ કરવામાં આવ્યું છે, ચાલો x 2 નાબૂદ કરવા તરફ આગળ વધીએ. સિસ્ટમના ત્રીજા અને ચોથા સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુએ આપણે બીજા સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓને અનુક્રમે ગુણાકાર કરીએ છીએ. અને :

ગૌસીયન પદ્ધતિની આગળની પ્રગતિ પૂર્ણ કરવા માટે, આપણે સિસ્ટમના છેલ્લા સમીકરણમાંથી અજાણ્યા ચલ x 3ને દૂર કરવાની જરૂર છે. ચાલો આપણે ચોથા સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓ ઉમેરીએ, અનુક્રમે ત્રીજા સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુ, આનાથી ગુણાકાર કરીએ :

તમે ગૌસીયન પદ્ધતિને રિવર્સ કરવાનું શરૂ કરી શકો છો.

છેલ્લા સમીકરણથી આપણી પાસે છે ,
ત્રીજા સમીકરણમાંથી આપણને મળે છે,
બીજા થી,
પ્રથમ થી.

તપાસવા માટે, તમે અજ્ઞાત ચલોના મેળવેલ મૂલ્યોને સમીકરણોની મૂળ સિસ્ટમમાં બદલી શકો છો. બધા સમીકરણો ઓળખમાં ફેરવાય છે, જે સૂચવે છે કે ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ યોગ્ય રીતે મળ્યો હતો.

જવાબ:

હવે ચાલો મેટ્રિક્સ નોટેશનમાં ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમાન ઉદાહરણનો ઉકેલ આપીએ.

ઉદાહરણ.

સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધો ગૌસ પદ્ધતિ.

ઉકેલ.

સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સમાં ફોર્મ છે . દરેક સ્તંભની ટોચ પર અજાણ્યા ચલો છે જે મેટ્રિક્સના ઘટકોને અનુરૂપ છે.

અહીં ગૌસીયન પદ્ધતિના સીધા અભિગમમાં પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને ટ્રેપેઝોઇડલ સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનો સમાવેશ થાય છે. આ પ્રક્રિયા અજાણ્યા ચલો નાબૂદ કરવા જેવી જ છે જે અમે સિસ્ટમ સાથે સંકલન સ્વરૂપમાં કરી હતી. હવે તમે આ જોશો.

ચાલો મેટ્રિક્સને રૂપાંતરિત કરીએ જેથી પ્રથમ કૉલમના તમામ ઘટકો, બીજાથી શરૂ કરીને, શૂન્ય થઈ જાય. આ કરવા માટે, બીજી, ત્રીજી અને ચોથી લીટીના તત્વોમાં આપણે પ્રથમ લીટીના અનુરૂપ તત્વોને , વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. અને તે મુજબ:

આગળ, અમે પરિણામી મેટ્રિક્સને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ જેથી કરીને બીજા સ્તંભમાં બધા ઘટકો, ત્રીજાથી શરૂ કરીને, શૂન્ય બની જાય. આ અજાણ્યા ચલ x 2 ને દૂર કરવા માટે અનુરૂપ હશે. આ કરવા માટે, ત્રીજી અને ચોથી પંક્તિના ઘટકોમાં આપણે મેટ્રિક્સની પ્રથમ પંક્તિના અનુરૂપ ઘટકોને અનુક્રમે ગુણાકાર કરીએ છીએ. અને :

તે સિસ્ટમના છેલ્લા સમીકરણમાંથી અજાણ્યા ચલ x 3 ને બાકાત રાખવાનું બાકી છે. આ કરવા માટે, પરિણામી મેટ્રિક્સની છેલ્લી પંક્તિના ઘટકોમાં આપણે ઉપાંત્ય પંક્તિના અનુરૂપ તત્વો ઉમેરીએ છીએ, જેનો ગુણાકાર :

એ નોંધવું જોઈએ કે આ મેટ્રિક્સ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને અનુરૂપ છે

જે અગાઉ આગળ વધ્યા પછી પ્રાપ્ત થયું હતું.

પાછા વળવાનો સમય છે. મેટ્રિક્સ નોટેશનમાં, ગૌસીયન પદ્ધતિના વ્યસ્તમાં પરિણામી મેટ્રિક્સને રૂપાંતરિત કરવાનો સમાવેશ થાય છે જેમ કે આકૃતિમાં ચિહ્નિત મેટ્રિક્સ

વિકર્ણ બન્યું, એટલે કે, સ્વરૂપ લીધું

કેટલાક નંબરો ક્યાં છે.

આ પરિવર્તનો ગૌસીયન પદ્ધતિના આગળના રૂપાંતરણો જેવા જ છે, પરંતુ તે પ્રથમ લાઇનથી છેલ્લી સુધી નહીં, પરંતુ છેલ્લાથી પ્રથમ સુધી કરવામાં આવે છે.

ત્રીજી, બીજી અને પ્રથમ લીટીના તત્વોમાં છેલ્લી લીટીના અનુરૂપ તત્વો ઉમેરો, વડે ગુણાકાર , ચાલુ અને ચાલુ અનુક્રમે:

હવે બીજી અને પ્રથમ લીટીના તત્વોમાં ત્રીજી લીટીના અનુરૂપ તત્વો ઉમેરો, અનુક્રમે અને વડે ગુણાકાર કરો:

રિવર્સ ગૌસીયન પદ્ધતિના છેલ્લા પગલા પર, પ્રથમ પંક્તિના ઘટકોમાં આપણે બીજી પંક્તિના અનુરૂપ તત્વો ઉમેરીએ છીએ, આનાથી ગુણાકાર કરીએ છીએ:

પરિણામી મેટ્રિક્સ સમીકરણોની સિસ્ટમને અનુરૂપ છે , જ્યાંથી આપણે અજાણ્યા ચલો શોધીએ છીએ.

જવાબ:

નૉૅધ.

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે, અંદાજિત ગણતરીઓ ટાળવી જોઈએ, કારણ કે આ સંપૂર્ણપણે ખોટા પરિણામો તરફ દોરી શકે છે. અમે દશાંશને ગોળાકાર ન કરવાની ભલામણ કરીએ છીએ. દશાંશ અપૂર્ણાંકમાંથી સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં જવાનું વધુ સારું છે.

ઉદાહરણ.

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો .

ઉકેલ.

નોંધ કરો કે આ ઉદાહરણમાં અજાણ્યા ચલો અલગ હોદ્દો ધરાવે છે (x 1, x 2, x 3 નહીં, પરંતુ x, y, z). ચાલો સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરફ આગળ વધીએ:

ચાલો સિસ્ટમના બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોમાંથી અજાણ્યા xને બાકાત કરીએ:

પરિણામી સિસ્ટમમાં, અજ્ઞાત ચલ y બીજા સમીકરણમાં ગેરહાજર છે, પરંતુ y ત્રીજા સમીકરણમાં હાજર છે, તેથી, ચાલો બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોને સ્વેપ કરીએ:

આ ગૌસ પદ્ધતિની સીધી પ્રગતિને પૂર્ણ કરે છે (ત્રીજા સમીકરણમાંથી y ને બાકાત રાખવાની કોઈ જરૂર નથી, કારણ કે આ અજ્ઞાત ચલ હવે અસ્તિત્વમાં નથી).

ચાલો વિપરીત ચાલ શરૂ કરીએ.

છેલ્લા સમીકરણમાંથી આપણે શોધીએ છીએ ,
ઉપાંત્યમાંથી


પ્રથમ સમીકરણ અમારી પાસે છે

જવાબ:

X = 10, y = 5, z = -20.

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા સાથે મેળ ખાતી નથી અથવા ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ એકવચન છે.

સમીકરણોની પ્રણાલીઓ, જેનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ લંબચોરસ અથવા ચોરસ એકવચન છે, તેમાં કોઈ ઉકેલો ન હોઈ શકે, એક જ ઉકેલ હોઈ શકે અથવા અસંખ્ય ઉકેલો હોઈ શકે.

હવે આપણે સમજીશું કે કેવી રીતે ગૌસ પદ્ધતિ આપણને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમની સુસંગતતા અથવા અસંગતતા સ્થાપિત કરવાની મંજૂરી આપે છે, અને તેની સુસંગતતાના કિસ્સામાં, બધા ઉકેલો (અથવા એક જ ઉકેલ) નક્કી કરો.

સૈદ્ધાંતિક રીતે, આવા SLAE ના કિસ્સામાં અજાણ્યા ચલોને દૂર કરવાની પ્રક્રિયા સમાન રહે છે. જો કે, કેટલીક પરિસ્થિતિઓ જે ઊભી થઈ શકે છે તેના વિશે વિગતવાર જવું યોગ્ય છે.

ચાલો સૌથી મહત્વપૂર્ણ તબક્કામાં આગળ વધીએ.

તેથી, ચાલો ધારીએ કે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ, ગૌસ પદ્ધતિની આગળની પ્રગતિ પૂર્ણ કર્યા પછી, સ્વરૂપ લે છે અને એક પણ સમીકરણ ઘટાડવામાં આવ્યું ન હતું (આ કિસ્સામાં આપણે તારણ કાઢીશું કે સિસ્ટમ અસંગત છે). એક તાર્કિક પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: "આગળ શું કરવું"?

ચાલો આપણે અજ્ઞાત ચલો લખીએ જે પરિણામી સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોમાં પ્રથમ આવે છે:

અમારા ઉદાહરણમાં આ x 1, x 4 અને x 5 છે. સિસ્ટમના સમીકરણોની ડાબી બાજુએ આપણે ફક્ત તે જ શબ્દો છોડીએ છીએ જેમાં લખેલા અજ્ઞાત ચલો x 1, x 4 અને x 5 હોય છે, બાકીના શબ્દો વિરોધી ચિહ્ન સાથે સમીકરણોની જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત થાય છે:

ચાલો અજ્ઞાત ચલો આપીએ જે સમીકરણોની મનસ્વી મૂલ્યોની જમણી બાજુએ છે, જ્યાં - મનસ્વી સંખ્યાઓ:

આ પછી, અમારા SLAE ના તમામ સમીકરણોની જમણી બાજુએ સંખ્યાઓ હોય છે અને આપણે ગૌસીયન પદ્ધતિના વિપરીત તરફ આગળ વધી શકીએ છીએ.

આપણી પાસે રહેલી સિસ્ટમના છેલ્લા સમીકરણમાંથી, ઉપાંત્ય સમીકરણમાંથી આપણે શોધીએ છીએ, પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણને મળે છે

સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ એ અજાણ્યા ચલોના મૂલ્યોનો સમૂહ છે

નંબર આપવો વિવિધ મૂલ્યો, આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમના વિવિધ ઉકેલો મેળવીશું. એટલે કે, આપણી સમીકરણોની સિસ્ટમમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે.

જવાબ:

જ્યાં - મનસ્વી સંખ્યાઓ.

સામગ્રીને એકીકૃત કરવા માટે, અમે ઘણા વધુ ઉદાહરણોના ઉકેલોનું વિગતવાર વિશ્લેષણ કરીશું.

ઉદાહરણ.

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ ઉકેલો ગૌસ પદ્ધતિ.

ઉકેલ.

ચાલો સિસ્ટમના બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોમાંથી અજાણ્યા ચલ xને બાકાત કરીએ. આ કરવા માટે, બીજા સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુએ, અમે અનુક્રમે, પ્રથમ સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓ ઉમેરીએ છીએ, જેનો ગુણાકાર , અને ત્રીજા સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુએ, આપણે ડાબી અને જમણી બાજુ ઉમેરીએ છીએ. પ્રથમ સમીકરણની જમણી બાજુઓ, વડે ગુણાકાર:

હવે પરિણામી સમીકરણોની સિસ્ટમના ત્રીજા સમીકરણમાંથી y ને બાકાત કરીએ:

પરિણામી SLAE સિસ્ટમની સમકક્ષ છે .

અમે સિસ્ટમ સમીકરણોની ડાબી બાજુએ ફક્ત અજ્ઞાત ચલ x અને y ધરાવતાં શબ્દો છોડીએ છીએ અને અજ્ઞાત ચલ z સાથેના શબ્દોને જમણી બાજુએ ખસેડીએ છીએ: