સમસ્યાની રચના

ફંક્શન આપવા દો f(x) આર.એન

જરૂરી છે f(x) X = Rn

શોધ વ્યૂહરચના

x k } , k = 0.1,..., આવા કે , k = 0.1,... . ક્રમ બિંદુઓ ( x k ) નિયમ અનુસાર ગણતરી કરવામાં આવે છે

બિંદુ ક્યાં છે x 0 વપરાશકર્તા વ્યાખ્યાયિત; પગલું કદ tk દરેક મૂલ્ય માટે નિર્ધારિત k શરત થી

સમસ્યા (3) જરૂરી ન્યૂનતમ શરતનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે અને પછી પૂરતી ન્યૂનતમ સ્થિતિ તપાસીને. આ પાથનો ઉપયોગ કાં તો એકદમ સરળ કાર્યને ઘટાડી શકાય તે માટે અથવા તેના બદલે જટિલ કાર્યના પ્રારંભિક અંદાજ માટે થઈ શકે છે. બહુપદી P(t k) (સામાન્ય રીતે બીજી અથવા ત્રીજી ડિગ્રીની), અને પછી સ્થિતિને શરત દ્વારા બદલવામાં આવે છે, અને શરત દ્વારા સ્થિતિ

સિક્વન્સિંગ (xk) બિંદુ પર સમાપ્ત થાય છે x k , જેના માટે, ક્યાં ε - આપેલ નાની સકારાત્મક સંખ્યા, અથવા k ≥ M , ક્યાં એમ - પુનરાવૃત્તિઓની મર્યાદિત સંખ્યા, અથવા બે અસમાનતાઓના બે એક સાથે અમલ સાથે , જ્યાં ε 2 - નાની હકારાત્મક સંખ્યા. પ્રશ્ન એ છે કે શું બિંદુ કરી શકે છે x k ઇચ્છિત સ્થાનિક લઘુત્તમ બિંદુના મળેલ અંદાજ તરીકે ગણવામાં આવે છે x* , વધારાના સંશોધન દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે.

માટેની પદ્ધતિનું ભૌમિતિક અર્થઘટન n=2 ફિગ માં. 4.

સંકલન વંશ પદ્ધતિ

સમસ્યાની રચના

ફંક્શન આપવા દો f(x) , સેટ પર નીચે બંધાયેલ આર.એન અને તેના તમામ બિંદુઓ પર સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવે છે.

f(x) શક્ય ઉકેલોના સમૂહ પર X = Rn , એટલે કે એવો કોઈ મુદ્દો શોધો

શોધ વ્યૂહરચના

સમસ્યાને ઉકેલવા માટેની વ્યૂહરચના એ છે કે પોઈન્ટનો ક્રમ બનાવવો ( x k } , k = 0.1,..., આવા કે , k = 0.1,... . ક્રમ બિંદુઓ ( x k ) ની ગણતરી ચક્ર પર નિયમ અનુસાર કરવામાં આવે છે

(4)

જ્યાં j - ગણતરી ચક્ર નંબર; j = 0,1,2,...; k - લૂપની અંદર પુનરાવૃત્તિ નંબર, k = 0,1,... ,n - 1; e k +1 , k = 0,l,...,n - 1 - એકમ વેક્ટર, (k+1) -જેનું પ્રક્ષેપણ 1 ની બરાબર છે; બિંદુ x 00 વપરાશકર્તા વ્યાખ્યાયિત, પગલું કદ tk શરતમાંથી પસંદ કરવામાં આવે છે

અથવા .

જો વર્તમાન સમયે પસંદ કરેલ સ્થિતિ tk પરિપૂર્ણ નથી, પગલું અડધું અને સમયગાળો છે ફરીથી ગણતરી કરવામાં આવે છે. તે જોવાનું સરળ છે કે નિશ્ચિત j માટે, સંખ્યા સાથે એક પુનરાવર્તનમાં k બિંદુ બદલાય છે માત્ર એક પ્રક્ષેપણ x jk , નંબર ધરાવતા k+1 , અને નંબર સાથે સમગ્ર ચક્ર દરમિયાન j , એટલે કે સાથે શરૂઆત k = 0 અને અંત k = n -1 , બિંદુ પરિવર્તનના તમામ n અંદાજો x j0 . આ બિંદુ પછી x j n નંબર સોંપેલ છે x j + 1.0 , અને તે માં ગણતરીઓ માટે પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે લેવામાં આવે છે j+1 ચક્ર ગણતરી બિંદુ પર સમાપ્ત થાય છે x jk જ્યારે ગણતરીના ત્રણ માપદંડોમાંથી ઓછામાં ઓછો એક પૂર્ણ થાય છે: , અથવા , અથવા અસમાનતાનો ડબલ અમલ.

ગણતરીઓના પરિણામે મેળવેલા મુદ્દાઓ ક્રમના ઘટકો તરીકે લખી શકાય છે (xl), જ્યાં l=n*j+k - બિંદુનો સીરીયલ નંબર,

n = 2 માટેની પદ્ધતિનું ભૌમિતિક અર્થઘટન ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 5.

4. ફ્રેન્ક-વોલ્ફ પદ્ધતિ .

ધારો કે આપણે અંતર્મુખ કાર્યની મહત્તમ કિંમત શોધવાની જરૂર છે

શરતો હેઠળ

આ સમસ્યાની લાક્ષણિકતા એ છે કે તેની મર્યાદાઓની સિસ્ટમમાં માત્ર રેખીય અસમાનતાઓ છે. આ લક્ષણ એ અભ્યાસ હેઠળના બિંદુની નજીકમાં બિનરેખીય ઉદ્દેશ્ય કાર્યને રેખીય સાથે બદલવા માટેનો આધાર છે, જેના કારણે મૂળ સમસ્યાનો ઉકેલ રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાઓના ક્રમિક ઉકેલમાં ઘટાડો થાય છે.
સમસ્યાનો ઉકેલ શોધવાની પ્રક્રિયા સમસ્યાના શક્ય ઉકેલોના ક્ષેત્ર સાથે જોડાયેલા બિંદુને ઓળખવા સાથે શરૂ થાય છે.
270
dachas આ મુદ્દો રહેવા દો X(k) પછી આ બિંદુએ ફંક્શન (57) ના ઢાળની ગણતરી કરવામાં આવે છે

અને રેખીય કાર્ય બનાવો

પછી પ્રતિબંધો (58) અને (59) હેઠળ આ કાર્યનું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો. આ સમસ્યાનો ઉકેલ બિંદુ દ્વારા નક્કી કરવા દો Z(k) . પછી બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ મૂળ સમસ્યાના નવા શક્ય ઉકેલ તરીકે લેવામાં આવે છે X(k+1) :

જ્યાં λk - ગણતરીના પગલા તરીકે ઓળખાતી ચોક્કસ સંખ્યા અને શૂન્ય અને એક (0<λk < 1). Это число λk મનસ્વી રીતે લેવામાં આવે છે અથવા નક્કી કરે છે

જેથી બિંદુ પર કાર્યની કિંમત X (k +1) f(X (k +1)) , પર આધાર રાખવો λk , મહત્તમ હતી. આ કરવા માટે, તમારે સમીકરણનો ઉકેલ શોધવાની અને તેનું સૌથી નાનું મૂળ પસંદ કરવાની જરૂર છે. જો તેનું મૂલ્ય એક કરતા વધારે હોય, તો આપણે મૂકવું જોઈએ λk=1 . નંબર નક્કી કર્યા પછી λk બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો X(k+1) તેમાં ઉદ્દેશ્ય કાર્યના મૂલ્યની ગણતરી કરો અને નવા બિંદુ પર જવાની જરૂરિયાત નક્કી કરો X(k+2) . જો આવી જરૂરિયાત હોય, તો બિંદુ પર ગણતરી કરો X(k+1) ઉદ્દેશ્ય કાર્યનો ઢાળ, અનુરૂપ રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યા પર જાઓ અને તેનું સમાધાન શોધો. બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો અને X(k+2) અને વધુ ગણતરીઓની જરૂરિયાતની તપાસ કરો. મર્યાદિત સંખ્યામાં પગલાઓ પછી, મૂળ સમસ્યાનો ઉકેલ જરૂરી ચોકસાઈ સાથે મેળવવામાં આવે છે.

તેથી, ફ્રેન્ક-વોલ્ફ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાનો ઉકેલ શોધવાની પ્રક્રિયા (57) - (59) નીચેના તબક્કાઓનો સમાવેશ કરે છે:

1. સમસ્યાનો પ્રારંભિક શક્ય ઉકેલ નક્કી કરો.
2. સ્વીકાર્ય ઉકેલના બિંદુ પર ફંક્શન (57) ની ઢાળ શોધો.
3. ફંક્શન (60) રચો અને (58) અને (59) શરતો હેઠળ તેનું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો.
4. ગણતરીનું પગલું નક્કી કરો.
5. સૂત્રો (61) નો ઉપયોગ કરીને, નવા શક્ય ઉકેલના ઘટકો મળી આવે છે.
6. આગામી શક્ય ઉકેલ તરફ આગળ વધવાની જરૂરિયાત તપાસો. જો જરૂરી હોય તો, સ્ટેજ 2 પર આગળ વધો, અન્યથા મૂળ સમસ્યાનો સ્વીકાર્ય ઉકેલ મળી જશે.

દંડ કાર્યોની પદ્ધતિ.

અંતર્મુખ કાર્યનું મહત્તમ મૂલ્ય નક્કી કરવાની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લો

f (x 1, x 2, .... x n)શરતો હેઠળ g i (x 1, x 2, .... x n) ≤ b i (i=l, m) , x j ≥ 0 (j=1, n) , ક્યાં g i (x 1, x 2, .... x n) - બહિર્મુખ કાર્યો.

આ સમસ્યાને સીધી રીતે ઉકેલવાને બદલે, કાર્યનું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો F(x 1, x 2, ...., x n)= f(x 1, x 2, ...., x n) +H(x 1, x 2, ...., x n) જે સમસ્યાના ઉદ્દેશ્ય કાર્યનો સરવાળો છે, અને કેટલાક કાર્ય

H(x 1, x 2, ...., x n), પ્રતિબંધોની સિસ્ટમ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત અને કહેવાય છે દંડ કાર્ય. દંડ કાર્ય વિવિધ રીતે બનાવી શકાય છે. જો કે, મોટેભાગે તે જેવો દેખાય છે

એ a i > 0 - કેટલીક સ્થિર સંખ્યાઓ જે ભારાંક ગુણાંકનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
પેનલ્ટી ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને, જ્યાં સુધી તેઓ સ્વીકાર્ય ઉકેલ ન મેળવે ત્યાં સુધી તેઓ ક્રમિક રીતે એક બિંદુથી બીજા સ્થાને જાય છે. આ કિસ્સામાં, આગલા બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે

છેલ્લા સંબંધથી તે અનુસરે છે કે જો પાછલો મુદ્દો મૂળ સમસ્યાના શક્ય ઉકેલોના ક્ષેત્રમાં હોય, તો ચોરસ કૌંસમાં બીજો શબ્દ શૂન્ય બરાબર છે અને આગલા બિંદુ પર સંક્રમણ ફક્ત ઉદ્દેશ્યના ઢાળ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. કાર્ય જો ઉલ્લેખિત બિંદુ સ્વીકાર્ય ઉકેલોના ક્ષેત્ર સાથે સંબંધિત નથી, તો પછીના પુનરાવર્તનોમાં આ શબ્દને કારણે સ્વીકાર્ય ઉકેલોના પ્રદેશ પર પાછા ફરવું પ્રાપ્ત થાય છે.
નિર્ણયો તે જ સમયે, ઓછા a i , સ્વીકાર્ય ઉકેલ જેટલી ઝડપથી મળે છે, પરંતુ તેના નિર્ધારણની ચોકસાઈ ઘટે છે. તેથી, પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા સામાન્ય રીતે પ્રમાણમાં નાના મૂલ્યોથી શરૂ થાય છે a i અને, તેને ચાલુ રાખવાથી, આ મૂલ્યો ધીમે ધીમે વધે છે.

તેથી, પેનલ્ટી ફંક્શન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બહિર્મુખ પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાનો ઉકેલ શોધવાની પ્રક્રિયામાં નીચેના પગલાં શામેલ છે:

1. પ્રારંભિક શક્ય ઉકેલ નક્કી કરો.
2. ગણતરી પગલું પસંદ કરો.
3. તમામ ચલો માટે, ઉદ્દેશ્ય કાર્ય અને કાર્યોના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો જે સમસ્યાના શક્ય ઉકેલોની શ્રેણી નક્કી કરે છે.

4. સૂત્ર (72) નો ઉપયોગ કરીને, બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ કે જે સમસ્યાના સંભવિત નવા ઉકેલને નિર્ધારિત કરે છે તે જોવા મળે છે.
5. તપાસો કે શું મળેલા બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સમસ્યાની મર્યાદાઓની સિસ્ટમને સંતોષે છે. જો નહિં, તો પછીના તબક્કામાં આગળ વધો. જો મળેલા બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સમસ્યાનો સ્વીકાર્ય ઉકેલ નક્કી કરે છે, તો પછીના સ્વીકાર્ય ઉકેલ તરફ જવાની જરૂરિયાતની તપાસ કરવામાં આવે છે. જો જરૂરી હોય તો, સ્ટેજ 2 પર આગળ વધો, અન્યથા મૂળ સમસ્યાનો સ્વીકાર્ય ઉકેલ મળી ગયો છે.
6. ભારાંક ગુણાંકના મૂલ્યો સેટ કરો અને પગલું 4 પર આગળ વધો.

એરો-હરવિટ્ઝ પદ્ધતિ.

પેનલ્ટી ફંક્શન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બિનરેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાઓના ઉકેલો શોધતી વખતે, અમે મૂલ્યો પસંદ કર્યા a i , મનસ્વી રીતે, જે શક્ય ઉકેલોના પ્રદેશથી નિર્ધારિત બિંદુઓના અંતરમાં નોંધપાત્ર વધઘટ તરફ દોરી જાય છે. એરો-હરવિટ્ઝ પદ્ધતિ દ્વારા સમસ્યાનું નિરાકરણ કરતી વખતે આ ખામી દૂર કરવામાં આવે છે, જે મુજબ આગલા પગલા પર સંખ્યાઓ a i(k) સૂત્ર દ્વારા ગણતરી

પ્રારંભિક મૂલ્યો તરીકે a i (0) મનસ્વી બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ લો.

ઉદાહરણ ઉકેલ

ઉદાહરણ 1.

ફંક્શનનું સ્થાનિક લઘુત્તમ શોધો

એક બિંદુ વ્યાખ્યાયિત x k

1. ચાલો સેટ કરીએ.

2. ચાલો મૂકીએ k = 0 .

ત્રીસ ચાલો ગણતરી કરીએ

4 0 ચાલો ગણતરી કરીએ . ચાલો પગલું 5 પર આગળ વધીએ.

50 ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ . ચાલો સ્ટેપ 6 પર આગળ વધીએ.

6 0 ચાલો સેટ કરીએ t0 = 0.5 .

7 0 ચાલો ગણતરી કરીએ

8 0 ચાલો સરખામણી કરીએ . અમારી પાસે . નિષ્કર્ષ: માટે શરત k = 0 ચલાવવામાં આવતું નથી. ચાલો સેટ કરીએ t0 = 0.25 , પગલાં 7, 8નું પુનરાવર્તન કરવા આગળ વધો.

7 01. ચાલો ગણતરી કરીએ.

8 01. ચાલો સરખામણી કરીએ f (x 1) અને f (x 0) . નિષ્કર્ષ: f (x 1)< f (x 0) . ચાલો પગલું 9 પર આગળ વધીએ.

9 0 ચાલો ગણતરી કરીએ

નિષ્કર્ષ: અમે માનીએ છીએ k = 1 અને સ્ટેપ 3 પર જાઓ.

3 1. ચાલો ગણતરી કરીએ

4 1. ચાલો ગણતરી કરીએ . ચાલો પગલું 5 પર આગળ વધીએ.

5 1. ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ k ≥ M: k = 1< 10 = M . ચાલો સ્ટેપ 6 પર આગળ વધીએ.

6 1. ચાલો સેટ કરીએ t 1 = 0.25.

7 1. ચાલો ગણતરી કરીએ

8 1. ચાલો સરખામણી કરીએ f (x 2) સાથે f (x 1) . નિષ્કર્ષ: f (x 2)< f (х 1). ચાલો પગલું 9 પર આગળ વધીએ.

9 1. ચાલો ગણતરી કરીએ

નિષ્કર્ષ: અમે માનીએ છીએ k = 2 અને સ્ટેપ 3 પર જાઓ.

3 2. ચાલો ગણતરી કરીએ

4 2. ચાલો ગણતરી કરીએ. ચાલો પગલું 5 પર આગળ વધીએ.

5 2. ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ k ≥ M : k = 2< 10 = М , સ્ટેપ 6 પર જાઓ.

6 2. ચાલો સેટ કરીએ ટી 2 =0,25 .

7 2. ચાલો ગણતરી કરીએ

8 2. ચાલો સરખામણી કરીએ f (x 3) અને f (x 2) . નિષ્કર્ષ: f (x 3)< f (х 2) પગલું 9 પર જાઓ.

9 2. ચાલો ગણતરી કરીએ

નિષ્કર્ષ: અમે માનીએ છીએ k = 3 અને સ્ટેપ 3 પર જાઓ.

3 3 . ચાલો ગણતરી કરીએ

4 3 . ચાલો ગણતરી કરીએ. ચાલો પગલું 5 પર આગળ વધીએ.

5 3. ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ k ≥ M : k = 3<10 = М , સ્ટેપ 6 પર જાઓ.

6 3. ચાલો સેટ કરીએ t 3 = 0.25.

7 3. ચાલો ગણતરી કરીએ

8 3. ચાલો સરખામણી કરીએ f (x 4) અને f (x 3) : f (x 4)< f (х 3) .

9 3. ચાલો ગણતરી કરીએ

જ્યારે શરતો પૂરી થાય છે k = 2.3 . ગણતરી

સમાપ્ત પોઈન્ટ મળ્યો

ફિગ માં. 3 પરિણામી બિંદુઓ ડોટેડ લાઇન દ્વારા જોડાયેલા છે.

II. બિંદુ વિશ્લેષણ x 4 .

કાર્ય બે વાર અલગ કરી શકાય છે, તેથી અમે બિંદુ પર ન્યૂનતમ માટે પૂરતી શરતો તપાસીશું x 4 . આ કરવા માટે, ચાલો હેસિયન મેટ્રિક્સનું વિશ્લેષણ કરીએ.

મેટ્રિક્સ સતત અને હકારાત્મક ચોક્કસ છે (એટલે ​​કે. . H > 0 ) કારણ કે તેના બંને કોણીય સગીર હકારાત્મક છે. તેથી, બિંદુ સ્થાનિક લઘુત્તમ બિંદુ અને મૂલ્યનું મળી આવેલ અંદાજ છે મૂલ્યનું મળી આવેલ અંદાજ છે f (x *) =0 . નોંધ કરો કે શરત H > 0 , તે જ સમયે કાર્યની કડક બહિર્મુખતા માટે એક શરત છે . પરિણામે, વૈશ્વિક લઘુત્તમ બિંદુના અંદાજો જોવા મળે છે f(x) અને તેની ન્યૂનતમ કિંમત પર આર 2 . ■

ઉદાહરણ 2

ફંક્શનનું સ્થાનિક લઘુત્તમ શોધો

I. બિંદુની વ્યાખ્યા x k, જેમાં ગણતરીઓ પૂર્ણ કરવા માટેના ઓછામાં ઓછા એક માપદંડને પૂર્ણ કરવામાં આવે છે.

1. ચાલો સેટ કરીએ.

ચાલો મનસ્વી બિંદુ પર ફંક્શનનો ઢાળ શોધીએ

2. ચાલો મૂકીએ k = 0 .

ત્રીસ ચાલો ગણતરી કરીએ

4 0 ચાલો ગણતરી કરીએ . ચાલો પગલું 5 પર આગળ વધીએ.

50 ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ . ચાલો સ્ટેપ 6 પર આગળ વધીએ.

6° આગળનો મુદ્દો સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે

ચાલો કોઓર્ડિનેટ્સ માટે મેળવેલા સમીકરણોને આમાં બદલીએ

ચાલો ફંક્શનનું ન્યૂનતમ શોધીએ f(t 0) દ્વારા ટી 0 બિનશરતી અંતિમ માટે જરૂરી શરતોનો ઉપયોગ કરીને:

અહીંથી t 0 = 0.24 . કારણ કે , મળેલ સ્ટેપ વેલ્યુ ન્યૂનતમ ફંક્શન પ્રદાન કરે છે f(t 0) દ્વારા ટી 0 .

ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ

7 0 અમે શોધીશું

8°. ચાલો ગણતરી કરીએ

નિષ્કર્ષ: અમે માનીએ છીએ k = 1 અને સ્ટેપ 3 પર જાઓ.

3 1. ચાલો ગણતરી કરીએ

4 1. ચાલો ગણતરી કરીએ

5 1. ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ k ≥ 1: k = 1< 10 = М.

6 1. ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ

7 1. અમે શોધીશું :

8 1. ચાલો ગણતરી કરીએ

અમે માનીએ છીએ k = 2 અને સ્ટેપ 3 પર જાઓ.

3 2. ચાલો ગણતરી કરીએ

4 2. ચાલો ગણતરી કરીએ

5 2. ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ k ≥ M: k = 2< 10 = M .

6 2. ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ

7 2. અમે શોધીશું

8 2. ચાલો ગણતરી કરીએ

અમે માનીએ છીએ k = 3 અને સ્ટેપ 3 પર જાઓ.

3 3 . ચાલો ગણતરી કરીએ

4 3 . ચાલો ગણતરી કરીએ.

ગણતરી પૂર્ણ થઈ. પોઈન્ટ મળ્યો

II. બિંદુ વિશ્લેષણ x 3 .

ઉદાહરણ તરીકે 1.1 (પ્રકરણ 2 §1) તે દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે કાર્ય f(x) તે સખત રીતે બહિર્મુખ છે અને તેથી, પોઈન્ટ3 પર વૈશ્વિક લઘુત્તમ બિંદુનો અંદાજિત અંદાજ છે X* .

ઉદાહરણ 3.

ફંક્શનનું સ્થાનિક લઘુત્તમ શોધો

I. બિંદુની વ્યાખ્યા xjk , જેમાં ગણતરીઓ પૂર્ણ કરવા માટેના ઓછામાં ઓછા એક માપદંડને પૂર્ણ કરવામાં આવે છે.

1. ચાલો સેટ કરીએ

ચાલો મનસ્વી બિંદુ પર ફંક્શનનો ઢાળ શોધીએ

2. ચાલો સેટ કરીએ j = 0.

ત્રીસ ચાલો તપાસ કરીએ કે શરત પૂરી થઈ છે કે નહીં

4 0 ચાલો સેટ કરીએ k = 0.

50 ચાલો તપાસ કરીએ કે શરત પૂરી થઈ છે કે નહીં

6 0 ચાલો ગણતરી કરીએ

7 0 ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ

8 0 ચાલો સેટ કરીએ

9 0 ચાલો ગણતરી કરીએ , ક્યાં

100 ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ

નિષ્કર્ષ: અમે ધારીએ છીએ અને પગલું 9 પર આગળ વધીએ છીએ.

9 01. ચાલો ગણતરી કરીએ x 01 પગલાંઓમાં

10 01. ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ

11 0 ચાલો શરતો તપાસીએ

અમે માનીએ છીએ k = 1 અને પગલું 5 પર જાઓ.

5 1. ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ

6 1. ચાલો ગણતરી કરીએ

7 1. ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ

8 1. ચાલો સેટ કરીએ

9 1. ચાલો ગણતરી કરીએ

10 1. ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ :

11 1. ચાલો શરતો તપાસીએ

અમે માનીએ છીએ k = 2 , પગલું 5 પર જાઓ.

5 2. ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ. ચાલો સેટ કરીએ, સ્ટેપ 3 પર જઈએ.

3 1. ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ

4 1. ચાલો સેટ કરીએ k = 0.

5 2. ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ

6 2. ચાલો ગણતરી કરીએ

7 2. ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ

8 2. ચાલો સેટ કરીએ

9 2. ચાલો ગણતરી કરીએ

10 2. ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ

11 2. ચાલો શરતો તપાસીએ

અમે માનીએ છીએ k = 1 અને પગલું 5 પર જાઓ.

5 3. ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ

6 3. ચાલો ગણતરી કરીએ

7 3. ચાલો શરતો તપાસીએ

8 3. ચાલો સેટ કરીએ

9 3. ચાલો ગણતરી કરીએ

10 3. ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ

11 3. ચાલો શરતો તપાસીએ

ચાલો સેટ કરીએ k = 2 અને પગલું 5 પર જાઓ.

5 4. ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ

અમે માનીએ છીએ j = 2, x 20 = x 12 અને સ્ટેપ 3 પર જાઓ.

3 2. ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ

4 2. ચાલો સેટ કરીએ k = 0 .

5 4. ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ

6 4. ચાલો ગણતરી કરીએ

7 4. ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ

8 4 ચાલો સેટ કરીએ

9 4. ચાલો ગણતરી કરીએ

10 4. ચાલો સ્થિતિ તપાસીએ અને પગલું 11 પર આગળ વધીએ.

11 4. ચાલો શરતો તપાસીએ

શરતો સંખ્યાઓ સાથે સતત બે ચક્રમાં પૂરી થાય છે j=2 અને j -1 = 1 . ગણતરી પુરી થઈ, મુદ્દો મળી ગયો

ફિગ માં. 6 પરિણામી બિંદુઓ ડોટેડ લાઇન દ્વારા જોડાયેલા છે.

કોઓર્ડિનેટ ડિસેન્ટ મેથડમાં, અમે કોઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર સીધી સેગમેન્ટ્સ ધરાવતી તૂટેલી રેખા સાથે નીચે ઉતરીએ છીએ.

II. બિંદુ x21 નું વિશ્લેષણ.

ઉદાહરણ 1.1 માં તે બતાવવામાં આવ્યું હતું કે કાર્ય f(x) સખત રીતે બહિર્મુખ છે, એક અનન્ય લઘુત્તમ છે અને તેથી, એક બિંદુ છે વૈશ્વિક લઘુત્તમ બિંદુનો મળેલો અંદાજ છે.

ઉપર ચર્ચા કરેલ તમામ ઢાળ પદ્ધતિઓમાં, પોઈન્ટનો ક્રમ (xk) ફંક્શનના સ્થિર બિંદુ પર કન્વર્જ થાય છે f(x) આ કાર્યના ગુણધર્મોને લગતા એકદમ સામાન્ય દરખાસ્તો સાથે. ખાસ કરીને, પ્રમેય સાચું છે:

પ્રમેય. જો ફંક્શન f(x) નીચે બંધાયેલું હોય, તો તેનો ઢાળ લિપ્સ્ચિટ્ઝની સ્થિતિ () અને મૂલ્યની પસંદગીને સંતોષે છે. tn ઉપર વર્ણવેલ પદ્ધતિઓમાંથી એક દ્વારા ઉત્પાદિત, પછી પ્રારંભિક બિંદુ ગમે તે હોય x 0 :

ખાતે

યોજનાના વ્યવહારિક અમલીકરણમાં

k =1, 2, … n.

પુનરાવર્તનો બંધ જો બધા માટે i, i = 1, 2, ..., n , જેવી શરતો

,

જ્યાં ન્યૂનતમ શોધવાની ચોકસાઈ દર્શાવતી ચોક્કસ સંખ્યા છે.

પ્રમેયની શરતો હેઠળ, ઢાળ પદ્ધતિ ફંક્શનમાં અથવા ચોક્કસ નીચલા બાઉન્ડમાં કન્વર્જન્સની ખાતરી કરે છે (જો ફંક્શન f(x) કોઈ ન્યૂનતમ નથી; ચોખા 7), અથવા અમુક સ્થિર બિંદુ પર ફંક્શનના મૂલ્ય સુધી, જે ક્રમની મર્યાદા છે (x k). જ્યારે આ બિંદુએ કાઠી સમજાય છે ત્યારે ઉદાહરણો સાથે આવવું મુશ્કેલ નથી, અને લઘુત્તમ નહીં. વ્યવહારમાં, ગ્રેડિયન્ટ ડિસેન્ટ પદ્ધતિઓ આત્મવિશ્વાસપૂર્વક સેડલ પોઈન્ટને બાયપાસ કરે છે અને ઉદ્દેશ્ય કાર્યની મિનિમા શોધે છે (સામાન્ય કિસ્સામાં, સ્થાનિક લોકો).

નિષ્કર્ષ

ગ્રેડિયન્ટ અનિયંત્રિત ઓપ્ટિમાઇઝેશન પદ્ધતિઓના ઉદાહરણો ઉપર ચર્ચા કરવામાં આવી હતી. કરેલા કાર્યના પરિણામે, નીચેના નિષ્કર્ષો દોરી શકાય છે:

1. પ્રતિબંધોની હાજરીમાં એક્સ્ટ્રીમમ શોધવાની વધુ કે ઓછી જટિલ સમસ્યાઓ માટે વિશેષ અભિગમો અને પદ્ધતિઓની જરૂર હોય છે.

2. અવરોધિત સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેના ઘણા અલ્ગોરિધમ્સમાં કેટલાક પગલા તરીકે અનિયંત્રિત લઘુત્તમીકરણનો સમાવેશ થાય છે.

3. વિવિધ વંશની પદ્ધતિઓ એકબીજાથી અલગ પડે છે જે રીતે તેઓ વંશની દિશા અને આ દિશામાં પગલાની લંબાઈ પસંદ કરે છે.

4. હજુ સુધી એવો કોઈ સિદ્ધાંત નથી કે જે સમસ્યાની રચનાનું વર્ણન કરતા કાર્યોની કોઈપણ વિશેષતાઓને ધ્યાનમાં લે. સમસ્યાને ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં મેનેજ કરવા માટે સરળ હોય તેવી પદ્ધતિઓને પ્રાધાન્ય આપવું જોઈએ.

વાસ્તવિક લાગુ ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓ ખૂબ જટિલ છે. આધુનિક ઑપ્ટિમાઇઝેશન પદ્ધતિઓ હંમેશા માનવ સહાય વિના વાસ્તવિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા સાથે સામનો કરતી નથી.

ગ્રંથસૂચિ

1. કોસોરુકોવ ઓ.એ. ઓપરેશન્સ રિસર્ચ: એક પાઠ્યપુસ્તક. 2003

2. પેન્ટલીવ એ.વી. ઉદાહરણો અને સમસ્યાઓમાં ઑપ્ટિમાઇઝેશન પદ્ધતિઓ: પાઠ્યપુસ્તક. લાભ. 2005

3. શિશ્કિન ઇ.વી. ઓપરેશન્સ સંશોધન: પાઠયપુસ્તક. 2006

4. અકુલિચ આઈ.એલ. ઉદાહરણો અને સમસ્યાઓમાં ગાણિતિક પ્રોગ્રામિંગ. 1986

5. વેન્ટ્ઝેલ ઇ.એસ. ઓપરેશન્સ સંશોધન. 1980

6. વેન્ટ્ઝેલ ઇ.એસ., ઓવચારોવ એલ.એ. સંભાવના સિદ્ધાંત અને તેના ઇજનેરી કાર્યક્રમો. 1988

©2015-2019 સાઇટ
તમામ અધિકારો તેમના લેખકોના છે. આ સાઇટ લેખકત્વનો દાવો કરતી નથી, પરંતુ મફત ઉપયોગ પ્રદાન કરે છે.
પૃષ્ઠ બનાવવાની તારીખ: 2017-07-02

ટીકા: આ વ્યાખ્યાન વ્યાપકપણે આવી મલ્ટીપેરામીટર ઓપ્ટિમાઇઝેશન પદ્ધતિઓને આવરી લે છે જેમ કે સૌથી વધુ વંશીય પદ્ધતિ અને ડેવિડોન-ફ્લેચર-પોવેલ પદ્ધતિ. વધુમાં, ઉપરોક્ત પદ્ધતિઓનું તુલનાત્મક પૃથ્થકરણ સૌથી અસરકારક નક્કી કરવા માટે કરવામાં આવે છે, તેમના ફાયદા અને ગેરફાયદાને ઓળખવામાં આવે છે; અને બહુપરીમાણીય ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓને પણ ધ્યાનમાં લે છે, જેમ કે કોતર પદ્ધતિ અને મલ્ટિએક્સ્ટ્રેમલ પદ્ધતિ.

1. સૌથી ઊભો ઉતરવાની પદ્ધતિ

આ પદ્ધતિનો સાર એ છે કે અગાઉ ઉલ્લેખિત મદદથી સંકલન વંશ પદ્ધતિઆ દિશામાં લઘુત્તમ બિંદુ સુધી અક્ષોમાંથી એકની સમાંતર દિશામાં આપેલ બિંદુથી શોધ હાથ ધરવામાં આવે છે. શોધ પછી અન્ય અક્ષની સમાંતર દિશામાં કરવામાં આવે છે, અને તેથી વધુ. દિશાઓ, અલબત્ત, નિશ્ચિત છે. આ પદ્ધતિને સંશોધિત કરવાનો પ્રયાસ કરવો વાજબી લાગે છે જેથી દરેક તબક્કે લઘુત્તમ બિંદુની શોધ "શ્રેષ્ઠ" દિશા સાથે હાથ ધરવામાં આવે. કઈ દિશા "શ્રેષ્ઠ" છે તે સ્પષ્ટ નથી, પરંતુ તે જાણીતું છે ઢાળ દિશાકાર્યમાં સૌથી ઝડપી વૃદ્ધિની દિશા છે. તેથી, વિરુદ્ધ દિશા એ કાર્યના સૌથી ઝડપી ઘટાડાની દિશા છે. આ મિલકતને નીચે મુજબ ન્યાયી ઠેરવી શકાય.

ચાલો ધારીએ કે આપણે બિંદુ x થી આગળના બિંદુ x + hd તરફ જઈ રહ્યા છીએ, જ્યાં d એ ચોક્કસ દિશા છે અને h એ ચોક્કસ લંબાઈનું પગલું છે. પરિણામે, ચળવળ બિંદુ (x 1, x 2, ..., x n) થી બિંદુ સુધી કરવામાં આવે છે. (x 1 + zx 1, x 2 + zx 2, ..., x n + zx n), ક્યાં

કાર્ય મૂલ્યોમાં ફેરફાર સંબંધો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

પ્રથમ ક્રમ zx i સુધી, આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી બિંદુ x પર થાય છે. ફંક્શન df માં ફેરફારનું સૌથી મોટું મૂલ્ય મેળવવા માટે સમીકરણ (1.2) ને સંતોષતા હોય તેવા દિશાઓ d i કેવી રીતે પસંદ કરવી જોઈએ? આ તે છે જ્યાં અવરોધ સાથે મહત્તમકરણની સમસ્યા ઊભી થાય છે. ચાલો લેગ્રેન્જ ગુણકની પદ્ધતિ લાગુ કરીએ, જેની મદદથી આપણે કાર્ય નક્કી કરીએ

મૂલ્ય df સંતોષકારક અવરોધ (1.2) તેની મહત્તમ સુધી પહોંચે છે જ્યારે કાર્ય

મહત્તમ સુધી પહોંચે છે. તેનું વ્યુત્પન્ન

આથી,

(1.6)

પછી di ~ df/dx i અને દિશા d એ બિંદુ x પર V/(x) દિશાની સમાંતર છે.

આમ, સૌથી મોટો સ્થાનિક વધારોઆપેલ નાના પગલા h માટે કાર્ય ત્યારે થાય છે જ્યારે d એ Vf(x) અથવા g(x) ની દિશા હોય. તેથી, સૌથી ઊભો ઉતરવાની દિશા એ દિશા છે

સરળ સ્વરૂપમાં, સમીકરણ (1.3) નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

Vf(x) અને dx વેક્ટર્સ વચ્ચેનો ખૂણો ક્યાં છે. dx ની આપેલ કિંમત માટે, dx ની દિશા -Vf(x) ની દિશા સાથે એકરુપ હોય તે પસંદ કરીને અમે df ને નાનું કરીએ છીએ.

ટિપ્પણી. ઢાળ દિશાસ્થિર સ્તરની રેખા પર કોઈપણ બિંદુને લંબરૂપ, કારણ કે આ રેખા સાથે કાર્ય સ્થિર છે. આમ, જો (d 1, d 2, ..., d n) સ્તર રેખા સાથેનું નાનું પગલું છે, તો

અને તેથી

(1.8)

બિંદુ પર વિભેદક કાર્ય f(x) નો ઢાળ એક્સકહેવાય છે n-પરિમાણીય વેક્ટર f(x) , જેના ઘટકો ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ છે f(x),બિંદુ પર ગણતરી એક્સ, એટલે કે

f"(x ) = (df(x)/ડીએચ 1 , …, df(x)/ડીએક્સ એન) ટી.

આ વેક્ટર બિંદુ દ્વારા પ્લેન પર લંબ છે એક્સ, અને ફંક્શનની લેવલ સપાટી પર સ્પર્શક f(x),એક બિંદુમાંથી પસાર થવું એક્સ.આવી સપાટીના દરેક બિંદુ પર કાર્ય f(x)સમાન મૂલ્ય લે છે. ફંક્શનને વિવિધ સ્થિર મૂલ્યો C 0 , C 1 , ... સાથે સમાન કરીને, અમે તેની ટોપોલોજી (ફિગ. 2.8) ને દર્શાવતી સપાટીઓની શ્રેણી મેળવીએ છીએ.

ગ્રેડિયન્ટ વેક્ટર આપેલ બિંદુ પર કાર્યમાં સૌથી ઝડપી વધારોની દિશામાં નિર્દેશિત થાય છે. ગ્રેડિયન્ટની વિરુદ્ધ વેક્ટર (-f'(x)) , કહેવાય છે વિરોધી ઢાળઅને કાર્યના સૌથી ઝડપી ઘટાડા તરફ નિર્દેશિત થાય છે. ન્યૂનતમ બિંદુ પર, કાર્યનો ઢાળ શૂન્ય છે. પ્રથમ ક્રમની પદ્ધતિઓ, જેને ઢાળ અને લઘુત્તમ પદ્ધતિઓ પણ કહેવાય છે, તે ઢાળના ગુણધર્મો પર આધારિત છે. સામાન્ય કિસ્સામાં આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવાથી તમે કાર્યનો સ્થાનિક લઘુત્તમ બિંદુ નક્કી કરી શકો છો.

દેખીતી રીતે, જો ત્યાં કોઈ વધારાની માહિતી નથી, તો પછી પ્રારંભિક બિંદુથી એક્સમુદ્દા પર જવું વાજબી છે એક્સ, એન્ટિગ્રેડિયન્ટની દિશામાં પડેલો - કાર્યનો સૌથી ઝડપી ઘટાડો. વંશની દિશા તરીકે પસંદ કરી રહ્યા છીએ આર[k] વિરોધી ઢાળ - f'(x[કે] ) બિંદુ પર એક્સ[k], અમે ફોર્મની પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા મેળવીએ છીએ

X[ k+ 1] = x[k]-a k f"(x[કે] ) , અને k > 0; k=0, 1, 2, ...

સંકલન સ્વરૂપમાં, આ પ્રક્રિયા નીચે મુજબ લખાયેલ છે:

x i [ k+1]=x i[k] - a kf(x[કે] ) /x i

i = 1, ..., n; k= 0, 1, 2,...

પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાને રોકવા માટેના માપદંડ તરીકે, કાં તો દલીલના નાના વધારાની શરતની પરિપૂર્ણતા || x[k+l] - એક્સ[k] || <= e , либо выполнение условия малости градиента

|| f'(x[k+l] ) || <= g ,

અહીં e અને g નાની માત્રામાં આપવામાં આવે છે.

એક સંયુક્ત માપદંડ પણ શક્ય છે, જેમાં ઉલ્લેખિત શરતોની એક સાથે પરિપૂર્ણતાનો સમાવેશ થાય છે. તેઓ જે રીતે પગલાનું કદ પસંદ કરે છે તે રીતે ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિઓ એકબીજાથી અલગ પડે છે અને k.

સતત પગલાં સાથેની પદ્ધતિમાં, તમામ પુનરાવર્તનો માટે ચોક્કસ સ્થિર પગલું મૂલ્ય પસંદ કરવામાં આવે છે. એકદમ નાનું પગલું અને kખાતરી કરશે કે કાર્ય ઘટે છે, એટલે કે, અસમાનતા

f(x[ k+1]) = f(x[કે] - a k f’(x[કે] )) < f(x[કે] ) .

જો કે, આ લઘુત્તમ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે અસ્વીકાર્ય રીતે મોટી સંખ્યામાં પુનરાવર્તનો હાથ ધરવાની જરૂરિયાત તરફ દોરી શકે છે. બીજી બાજુ, એક પગલું જે ખૂબ મોટું છે તે કાર્યમાં અણધારી વધારો કરી શકે છે અથવા લઘુત્તમ બિંદુ (સાયકલિંગ) ની આસપાસ ઓસિલેશન તરફ દોરી શકે છે. પગલાના કદને પસંદ કરવા માટે જરૂરી માહિતી મેળવવાની મુશ્કેલીને કારણે, સતત પગલાં સાથેની પદ્ધતિઓનો વ્યવહારમાં ભાગ્યે જ ઉપયોગ થાય છે.

પુનરાવર્તનોની સંખ્યા અને વિશ્વસનીયતાના સંદર્ભમાં ગ્રેડિયન્ટ વધુ આર્થિક છે ચલ પગલાં પદ્ધતિઓ,જ્યારે, ગણતરીના પરિણામોના આધારે, પગલાનું કદ અમુક રીતે બદલાય છે. ચાલો વ્યવહારમાં ઉપયોગમાં લેવાતી આવી પદ્ધતિઓના પ્રકારોને ધ્યાનમાં લઈએ.

દરેક પુનરાવૃત્તિ પર સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે, પગલાનું કદ અને kફંક્શનની ન્યૂનતમ સ્થિતિમાંથી પસંદ કરવામાં આવે છે f(x)વંશની દિશામાં, એટલે કે.
f(x[k]-a k f'(x[k])) = f(x[કે] - af"(x[k])) .

આ સ્થિતિનો અર્થ એ છે કે એન્ટિગ્રેડિયન્ટ સાથેની હિલચાલ જ્યાં સુધી કાર્યની કિંમત હોય ત્યાં સુધી થાય છે f(x)ઘટે છે. ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, દરેક પુનરાવૃત્તિ પર તે મુજબ એક-પરિમાણીય લઘુત્તમીકરણની સમસ્યાને હલ કરવી જરૂરી છે. એકાર્યો
j (a) = f(x[k]-af"(x[k])) .

સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિનો અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છે.

1. પ્રારંભિક બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સેટ કરો એક્સ.

2. બિંદુ પર એક્સ[k], k = 0, 1, 2, ... ગ્રેડિયન્ટ મૂલ્યની ગણતરી કરે છે f'(x[k]) .

3. પગલાનું કદ નક્કી કરવામાં આવે છે a k, એક-પરિમાણીય લઘુત્તમીકરણ દ્વારા એકાર્યો જે (a) = f(x[k]-af"(x[k])).

4. બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવામાં આવે છે એક્સ[k+ 1]:

x i [ k+ 1]= x i[k]- a k f' i (x[k]), i = 1,..., p.

5. સ્ટીરેશન પ્રક્રિયાને રોકવા માટેની શરતો તપાસવામાં આવે છે. જો તેઓ પૂરા થાય, તો ગણતરીઓ અટકી જાય છે. નહિંતર, પગલું 1 પર જાઓ.

વિચારણા હેઠળની પદ્ધતિમાં, બિંદુથી ચળવળની દિશા એક્સ[k] બિંદુ પર સ્તર રેખાને સ્પર્શે છે x[k+ 1] (ફિગ. 2.9). વંશનો માર્ગ વાંકોચૂંકો છે, જેમાં અડીને આવેલા ઝિગઝેગ એકબીજા સાથે ઓર્થોગોનલ લિંક્સ છે. ખરેખર, એક પગલું a k ને નાનું કરીને પસંદ કરવામાં આવે છે એકાર્યો? (a) = f(x[કે] -af"(x[k])) . કાર્યના ન્યૂનતમ માટે જરૂરી શરત ડી j (a)/da = 0.જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કર્યા પછી, અમે પડોશી બિંદુઓ પર વંશ દિશાઓના વેક્ટરની ઓર્થોગોનાલિટી માટેની સ્થિતિ મેળવીએ છીએ:

ડીજે (a)/da = -f’(x[k+ 1]f'(x[k]) = 0.

ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિઓ સરળ બહિર્મુખ કાર્યો માટે ઉચ્ચ દરે (ભૌમિતિક પ્રગતિ દર) લઘુત્તમમાં એકરૂપ થાય છે. આવા કાર્યો સૌથી મહાન છે એમઅને ઓછામાં ઓછું mબીજા ડેરિવેટિવ્ઝના મેટ્રિક્સના ઇજેન મૂલ્યો (હેસિયન મેટ્રિક્સ)

એકબીજાથી થોડું અલગ છે, એટલે કે મેટ્રિક્સ N(x)સારી રીતે કન્ડિશન્ડ. યાદ કરો કે ઇજનવેલ્યુઝ l i, i =1, …, n, મેટ્રિસીસ એ લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ છે

જો કે, વ્યવહારમાં, એક નિયમ તરીકે, વિધેયોને ઘટાડી દેવામાં આવે છે તેમાં બીજા ડેરિવેટિવ્ઝના અયોગ્ય મેટ્રિસિસ હોય છે. (t/m<< 1). કેટલીક દિશાઓ સાથેના આવા કાર્યોના મૂલ્યો અન્ય દિશાઓની તુલનામાં ખૂબ ઝડપથી (ક્યારેક તીવ્રતાના કેટલાક ઓર્ડર દ્વારા) બદલાય છે. સરળ કેસમાં તેમની સ્તરની સપાટીઓ મજબૂત રીતે વિસ્તરેલી હોય છે (ફિગ. 2.10), અને વધુ જટિલ કિસ્સાઓમાં તેઓ વળાંક અને કોતરો જેવા દેખાય છે. આવા ગુણધર્મો સાથેના કાર્યો કહેવામાં આવે છે ખાડીઆ કાર્યોના એન્ટિગ્રેડિયન્ટની દિશા (જુઓ. ફિગ. 2.10) દિશાથી લઘુત્તમ બિંદુ સુધી નોંધપાત્ર રીતે વિચલિત થાય છે, જે સંપાતની ગતિમાં મંદી તરફ દોરી જાય છે.

ઢાળ પદ્ધતિઓનો કન્વર્જન્સ રેટ પણ ગ્રેડિયન્ટ ગણતરીઓની ચોકસાઈ પર નોંધપાત્ર રીતે આધાર રાખે છે. ચોકસાઈની ખોટ, જે સામાન્ય રીતે લઘુત્તમ બિંદુઓની નજીકમાં અથવા ગલીની પરિસ્થિતિમાં થાય છે, તે સામાન્ય રીતે ગ્રેડિએન્ટ ડિસેન્ટ પ્રક્રિયાના કન્વર્જન્સને વિક્ષેપિત કરી શકે છે. ઉપરોક્ત કારણોને લીધે, સમસ્યાને ઉકેલવાના પ્રારંભિક તબક્કે ઢાળ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ અન્ય, વધુ અસરકારક પદ્ધતિઓ સાથે સંયોજનમાં કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, બિંદુ એક્સલઘુત્તમ બિંદુથી દૂર છે, અને એન્ટિગ્રેડિયન્ટની દિશામાં પગલાઓ કાર્યમાં નોંધપાત્ર ઘટાડો પ્રાપ્ત કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

ઉપર ચર્ચા કરેલ ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિઓ સામાન્ય કિસ્સામાં ફંકશનનો ન્યૂનતમ બિંદુ ફક્ત અનંત સંખ્યામાં પુનરાવર્તનોમાં જ શોધે છે. સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિ શોધ દિશાઓ જનરેટ કરે છે જે કાર્યની ભૂમિતિને ઘટાડી દેવામાં આવે છે તેની સાથે વધુ સુસંગત હોય છે. આ તેમના કન્વર્જન્સની ઝડપમાં નોંધપાત્ર વધારો કરે છે અને ઉદાહરણ તરીકે, ચતુર્ભુજ કાર્યને ઘટાડવા માટે પરવાનગી આપે છે.

f(x) = (x, Hx) + (b, x) + a

સપ્રમાણ હકારાત્મક ચોક્કસ મેટ્રિક્સ સાથે એનપગલાંઓની મર્યાદિત સંખ્યામાં પી,ફંક્શન ચલોની સંખ્યા જેટલી. લઘુત્તમ બિંદુની નજીકમાં કોઈપણ સુગમ કાર્યને ચતુર્ભુજ કાર્ય દ્વારા સારી રીતે અંદાજિત કરી શકાય છે, તેથી બિન-ચતુર્ભુજ કાર્યોને ઘટાડવા માટે સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિઓનો સફળતાપૂર્વક ઉપયોગ થાય છે. આ કિસ્સામાં, તેઓ મર્યાદિત થવાનું બંધ કરે છે અને પુનરાવર્તિત બને છે.

વ્યાખ્યા દ્વારા, બે n-પરિમાણીય વેક્ટર એક્સઅને ખાતેકહેવાય છે સંયોજિતમેટ્રિક્સ સંબંધિત એચ(અથવા એચ-સંયુક્ત), જો સ્કેલર ઉત્પાદન (x, સારું) = 0.અહીં એન -કદનું સપ્રમાણ હકારાત્મક ચોક્કસ મેટ્રિક્સ પીએક્સ પી.

સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિઓમાં સૌથી નોંધપાત્ર સમસ્યાઓ પૈકી એક કાર્યક્ષમ રીતે દિશાઓ બાંધવાની સમસ્યા છે. ફ્લેચર-રીવ્ઝ પદ્ધતિ દરેક પગલા પર એન્ટિગ્રેડિયન્ટને રૂપાંતરિત કરીને આ સમસ્યાને હલ કરે છે -f(x[k]) દિશામાં પી[k], એચ- અગાઉ મળેલી દિશાઓ સાથે સંયોજિત કરો આર, આર, ..., આર[k-1].

ચાલો પ્રથમ ચતુર્ભુજ કાર્યને ઘટાડવાની સમસ્યાના સંબંધમાં આ પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લઈએ. આર[kદિશાઓ

] ની ગણતરી સૂત્રો દ્વારા કરવામાં આવે છે: k] = -f'(x[k]) p[ પી[k+b k-1 k>= 1;

-l], p = -’(x) .

f k b મૂલ્યો પી[k], આર[k-1 પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી દિશાઓ એચ-1] હતા :

(પી[k], -સંયુક્ત[એચપી 1])= 0.

k-

,

પરિણામે, ચતુર્ભુજ કાર્ય માટે

પુનરાવર્તિત લઘુત્તમ પ્રક્રિયા ફોર્મ ધરાવે છે k+l] x[[k]=x[k],

જ્યાં આર[k] - +a k પી એચપીમાટે વંશની દિશા m પગલું;અને k - પગલું કદ. બાદમાં ફંક્શનની ન્યૂનતમ સ્થિતિમાંથી પસંદ કરવામાં આવે છેદ્વારા એ f(x)

f(x[ k] + ચળવળની દિશામાં, એટલે કે એક-પરિમાણીય લઘુત્તમ સમસ્યાને હલ કરવાના પરિણામે:[k]) = f(x[k] + a k આર [k]) .

ar

ચતુર્ભુજ કાર્ય માટે

ફ્લેચર-રીવ્સ કન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિનું અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છે. એક્સ 1. બિંદુ પર પી = -f'(x) .

ગણતરી કરેલ એચપી 2. ચાલુ એ m પગલું, ઉપરોક્ત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, પગલું નક્કી કરવામાં આવે છે . k એક્સ[k+ 1].

અને સમયગાળો f(x[k+1]) 3. મૂલ્યોની ગણતરી કરવામાં આવે છે f'(x[k+1]) .

અને f'(x) 4. જો એક્સ[k= 0, પછી બિંદુ +1] એ ફંક્શનનો ન્યૂનતમ બિંદુ છે f(x). પી[kનહિંતર, નવી દિશા નક્કી થાય છે

+l] સંબંધમાંથી પીઅને આગામી પુનરાવર્તન માટે સંક્રમણ હાથ ધરવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયા લઘુત્તમ ક્વાડ્રેટિક ફંક્શનને વધુમાં શોધી શકશે નહીં પગલાં.જ્યારે બિન-ચતુર્ભુજ કાર્યોને ઘટાડી રહ્યા હોય, ત્યારે ફ્લેચર-રીવ્ઝ પદ્ધતિ મર્યાદિતમાંથી પુનરાવર્તિત બને છે. આ કિસ્સામાં, પછી એક્સ(p+ એક્સ[પી 1) પ્રક્રિયા 1-4 ની પુનરાવૃત્તિ ચક્રીય રીતે રિપ્લેસમેન્ટ સાથે પુનરાવર્તિત થાય છે

પુનરાવર્તિત લઘુત્તમ પ્રક્રિયા ફોર્મ ધરાવે છે k+l] પર[k]=x[k],

] ની ગણતરી સૂત્રો દ્વારા કરવામાં આવે છે: k] +1] , અને ગણતરીઓ પર સમાપ્ત થાય છે, જ્યાં આપેલ સંખ્યા છે. આ કિસ્સામાં, પદ્ધતિમાં નીચેના ફેરફારનો ઉપયોગ થાય છે:[k])+ = x એચપી 1 પી[k+b k-1 k>= 1;

= -f'(x x);

f(x[ k] + b[k]) = f(x[k] p = -f’([k];

.

a k p +apઅહીં +apઆઈ - ઘણા સૂચકાંકો:= (0, n, 2 પી p, પગાર, ...)

, એટલે કે પદ્ધતિ દર વખતે અપડેટ થાય છે એક્સપગલાં. આર = કન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિનો ભૌમિતિક અર્થ નીચે મુજબ છે (ફિગ. 2.11). આપેલ પ્રારંભિક બિંદુથીવંશ દિશામાં હાથ ધરવામાં આવે છે એક્સ-f"(x ). બિંદુએઢાળ વેક્ટર નક્કી થાય છે એક્સ f"(x આર, ). કારણ કે f'(x) દિશામાં કાર્યનો લઘુત્તમ બિંદુ છે આરતે આર , એચઓર્થોગોનલ થી વેક્ટર આર. પછી વેક્ટર મળે છે આર- માટે જોડાણ

ચોખા. 2.11 પી p, પગાર, ...)

ફંક્શન દાખલ કરવા માટેના નિયમો

IN સૌથી ઊંચું ઉતરવાની પદ્ધતિએક વેક્ટર જેની દિશા ફંક્શન ▽f(x) ના ઢાળ વેક્ટરની દિશાની વિરુદ્ધ છે તે શોધ દિશા તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે. ગાણિતિક વિશ્લેષણ પરથી તે જાણીતું છે કે વેક્ટર ગ્રેડ f(x)=▽f(x) કાર્યમાં સૌથી ઝડપી વૃદ્ધિની દિશા દર્શાવે છે (ફંક્શનનો ઢાળ જુઓ). તેથી, વેક્ટર - ગ્રેડ f(X) = -▽f(X) કહેવાય છે વિરોધી ઢાળઅને તેના સૌથી ઝડપી ઘટાડાની દિશા છે. પુનરાવૃત્તિ સંબંધ કે જેની સાથે સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિ અમલમાં મૂકવામાં આવે છે તેનું સ્વરૂપ X k +1 =X k - λ k ▽f(x k), k = 0,1,...,
જ્યાં λ k >0 એ સ્ટેપ સાઇઝ છે. પગલાના કદની પસંદગીના આધારે, તમે ઢાળ પદ્ધતિ માટે વિવિધ વિકલ્પો મેળવી શકો છો. જો ઑપ્ટિમાઇઝેશન પ્રક્રિયા દરમિયાન સ્ટેપ સાઈઝ λ નિશ્ચિત હોય, તો પદ્ધતિને એક અલગ સ્ટેપ સાથેની ઢાળ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. જો λ k ને λ k =min f(X k + λS k) શરતમાંથી પસંદ કરવામાં આવે તો પ્રથમ પુનરાવર્તનોમાં ઑપ્ટિમાઇઝેશન પ્રક્રિયા નોંધપાત્ર રીતે ઝડપી બની શકે છે.
λ k નક્કી કરવા માટે, કોઈપણ એક-પરિમાણીય ઑપ્ટિમાઇઝેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે. આ કિસ્સામાં, પદ્ધતિને સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. એક નિયમ તરીકે, સામાન્ય કિસ્સામાં, કાર્યના લઘુત્તમ હાંસલ કરવા માટે એક પગલું પૂરતું નથી જ્યાં સુધી અનુગામી ગણતરીઓ પરિણામમાં સુધારો ન કરે ત્યાં સુધી પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે.
જો કેટલાક ચલોમાં જગ્યા ખૂબ જ વિસ્તરેલ હોય, તો પછી "કોતર" રચાય છે. શોધ ધીમી પડી શકે છે અને "કોતર" ના તળિયે ઝિગઝેગ થઈ શકે છે. કેટલીકવાર સ્વીકાર્ય સમયમર્યાદામાં ઉકેલ મેળવી શકાતો નથી.
પદ્ધતિનો બીજો ગેરલાભ એ બંધ થવાનો માપદંડ હોઈ શકે છે ||▽f(X k)||<ε k , так как этому условию удовлетворяет и седловая точка, а не только оптимум.

ઉદાહરણ. બિંદુ x k =(-2, 3) થી શરૂ કરીને, કાર્યને ન્યૂનતમ કરવા માટે સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બિંદુ x k +1 નક્કી કરો.
શોધ દિશા તરીકે, વર્તમાન બિંદુ પર ઢાળ વેક્ટર પસંદ કરો

ચાલો સ્ટોપિંગ માપદંડ તપાસીએ. અમારી પાસે
ચાલો પ્રારંભિક બિંદુ f(X 1) = 35 પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરીએ. ચાલો કરીએ
એન્ટિગ્રેડિયન્ટ દિશા સાથે પગલું

ચાલો નવા બિંદુ પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરીએ
f(X 2) = 3(-2 + 19λ 1) 2 + (3-8λ 1) 2 - (-2 + 19λ 1)(3-8λ 1) - 4(-2 + 19λ 1)
ચાલો એક પગલું શોધીએ કે જેથી ઉદ્દેશ્ય કાર્ય આ દિશામાં ન્યૂનતમ સુધી પહોંચે. કાર્યના એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી સ્થિતિથી
f’(X 2) = 6(-2 + 19λ 1) 19 + 2(3-8λ 1)(-8) – (73 - 304 λ 1) – 4*19
અથવા f’(X 2) = 2598 λ 1 – 425 = 0.
આપણને પગલું λ 1 = 0.164 મળે છે
આ પગલું પૂર્ણ કરવાથી બિંદુ તરફ દોરી જશે

જેમાં ઢાળ મૂલ્ય , કાર્ય મૂલ્ય f(X 2) = 0.23. ચોકસાઈ પ્રાપ્ત થઈ નથી, બિંદુથી આપણે એન્ટિગ્રેડિયન્ટની દિશામાં એક પગલું લઈએ છીએ.

f(X 2) = 3(1.116 – 1.008λ 1) 2 + (1.688-2.26λ 1) 2 - (1.116 – 1.008λ 1)(1.688-2.26λ 1) - 4(1.116 – 1.008λ)
f’(X 2) = 11.76 – 6.12λ 1 = 0
આપણને λ 1 = 0.52 મળે છે

ફિગ.3. સૌથી ઊભો વંશ પદ્ધતિનું ભૌમિતિક અર્થઘટન. દરેક પગલા પર, તે પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી આગામી પુનરાવર્તન એ કિરણ L પરના કાર્યનો ન્યૂનતમ બિંદુ હોય.

ઢાળ પદ્ધતિનું આ સંસ્કરણ નીચેના વિચારણાઓમાંથી પગલાની પસંદગી પર આધારિત છે. બિંદુથી આપણે એન્ટિગ્રેડિયન્ટની દિશામાં આગળ વધીશું જ્યાં સુધી આપણે આ દિશામાં ફંક્શન f ના ન્યૂનતમ સુધી પહોંચીએ, એટલે કે કિરણ પર:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી આગળનું પુનરાવર્તન એ કિરણ L પર ફંક્શન f નો ન્યૂનતમ બિંદુ હોય (ફિગ 3 જુઓ). ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિના આ સંસ્કરણને સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. નોંધ કરો, માર્ગ દ્વારા, કે આ પદ્ધતિમાં નજીકના પગલાઓની દિશાઓ ઓર્થોગોનલ છે.

સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિ માટે દરેક પગલા પર એક-પરિમાણીય ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યા હલ કરવાની જરૂર છે. પ્રેક્ટિસ બતાવે છે કે આ પદ્ધતિને સતત પગલા સાથે ઢાળ પદ્ધતિ કરતાં ઘણી વખત ઓછા ઑપરેશનની જરૂર પડે છે.

જો કે, સામાન્ય પરિસ્થિતિમાં, સૌથી ઊંચું વંશ પદ્ધતિનો સૈદ્ધાંતિક કન્વર્જન્સ રેટ સતત (શ્રેષ્ઠ) સ્ટેપ સાથેની ઢાળ પદ્ધતિના કન્વર્જન્સ દર કરતાં વધારે નથી.

સંખ્યાત્મક ઉદાહરણો

સતત પગલા સાથે ગ્રેડિયન્ટ ડિસેન્ટ પદ્ધતિ

સતત પગલા સાથે ગ્રેડિયન્ટ ડિસેન્ટ પદ્ધતિના કન્વર્જન્સનો અભ્યાસ કરવા માટે, ફંક્શન પસંદ કરવામાં આવ્યું હતું:

પ્રાપ્ત પરિણામો પરથી, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે જો ગેપ ખૂબ મોટો હોય, તો પદ્ધતિ અલગ પડે છે, જો ગેપ ખૂબ નાનો હોય, તો તે ધીમે ધીમે કન્વર્જ થાય છે અને ચોકસાઈ વધુ ખરાબ હોય છે. તેમાંથી સૌથી મોટું પગલું પસંદ કરવું જરૂરી છે કે જેના પર પદ્ધતિ એકરૂપ થાય છે.

સ્ટેપ ડિવિઝન સાથે ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિ

સ્ટેપ ડિવિઝન (2) સાથે ગ્રેડિએન્ટ ડિસેન્ટ પદ્ધતિના કન્વર્જન્સનો અભ્યાસ કરવા માટે, ફંક્શન પસંદ કરવામાં આવ્યું હતું:

પ્રારંભિક અંદાજ બિંદુ (10,10) છે.

સ્ટોપીંગ માપદંડ વપરાયેલ:

પ્રયોગના પરિણામો કોષ્ટકમાં બતાવવામાં આવ્યા છે:

પ્રાપ્ત પરિણામો પરથી, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે પરિમાણોની શ્રેષ્ઠ પસંદગી છે: , જો કે પદ્ધતિ પરિમાણોની પસંદગી માટે ખૂબ સંવેદનશીલ નથી.

સૌથી ઊંચું ઉતરવાની પદ્ધતિ

સૌથી બેહદ વંશ પદ્ધતિના કન્વર્જન્સનો અભ્યાસ કરવા માટે, નીચેનું કાર્ય પસંદ કરવામાં આવ્યું હતું:

પ્રારંભિક અંદાજ બિંદુ (10,10) છે. સ્ટોપીંગ માપદંડ વપરાયેલ:

એક-પરિમાણીય ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે, સુવર્ણ વિભાગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો.

પદ્ધતિએ 9 પુનરાવર્તનોમાં 6e-8 ની ચોકસાઈ પ્રાપ્ત કરી.

આના પરથી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે સ્ટેપ-સ્પ્લિટ ગ્રેડિયન્ટ મેથડ અને કોન્સ્ટન્ટ-સ્ટેપ ગ્રેડિયન્ટ ડિસેન્ટ મેથડ કરતાં સ્ટીપસ્ટ ડિસેન્ટ મેથડ વધુ ઝડપથી કન્વર્જ થાય છે.

સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિનો ગેરલાભ એ છે કે તેને એક-પરિમાણીય ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યા હલ કરવાની જરૂર છે.

જ્યારે પ્રોગ્રામિંગ ગ્રેડિયન્ટ ડિસેન્ટ પદ્ધતિઓ, તમારે પરિમાણો પસંદ કરતી વખતે સાવચેત રહેવું જોઈએ, એટલે કે

• · સતત સ્ટેપ સાથે ગ્રેડિયન્ટ ડિસેન્ટ પદ્ધતિ: પગલું 0.01 કરતા ઓછું પસંદ કરવું જોઈએ, અન્યથા પદ્ધતિ અલગ પડે છે (અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા કાર્યના આધારે, આવા પગલા સાથે પણ પદ્ધતિ અલગ પડી શકે છે).
• સ્ટેપ ડિવિઝન સાથેની ઢાળ પદ્ધતિ પરિમાણોની પસંદગી માટે ખૂબ સંવેદનશીલ નથી. પરિમાણો પસંદ કરવા માટેના વિકલ્પોમાંથી એક:
• · સૌથી ઊંચો વંશ પદ્ધતિ: સુવર્ણ ગુણોત્તર પદ્ધતિ (જ્યારે લાગુ હોય ત્યારે) એક-પરિમાણીય ઑપ્ટિમાઇઝેશન પદ્ધતિ તરીકે ઉપયોગ કરી શકાય છે.

કન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિ એ બહુપરીમાણીય જગ્યામાં બિનશરતી ઑપ્ટિમાઇઝેશન માટે પુનરાવર્તિત પદ્ધતિ છે. પદ્ધતિનો મુખ્ય ફાયદો એ છે કે તે મર્યાદિત સંખ્યામાં પગલાઓમાં ચતુર્ભુજ ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાને હલ કરે છે. તેથી, પ્રથમ ચતુર્ભુજ કાર્યાત્મકને ઑપ્ટિમાઇઝ કરવા માટે સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિ વર્ણવવામાં આવે છે, પુનરાવર્તિત સૂત્રો લેવામાં આવે છે, અને કન્વર્જન્સ દરના અંદાજો આપવામાં આવે છે. આ પછી, તે બતાવવામાં આવે છે કે કેવી રીતે સંલગ્ન પદ્ધતિને મનસ્વી કાર્યાત્મક ઑપ્ટિમાઇઝ કરવા માટે સામાન્યીકરણ કરવામાં આવે છે, પદ્ધતિના વિવિધ પ્રકારો ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, અને કન્વર્જન્સની ચર્ચા કરવામાં આવે છે.

ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાનું નિવેદન

ચાલો સેટ આપીએ અને આ સેટ પર એક ઉદ્દેશ્ય કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરીએ. ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યામાં સેટ પર ઉદ્દેશ્ય કાર્યની ચોક્કસ ઉપલા અથવા ચોક્કસ નીચલા બાઉન્ડ શોધવાનો સમાવેશ થાય છે. બિંદુઓનો સમૂહ કે જેના પર ઉદ્દેશ્ય કાર્યની નીચલી સીમા પહોંચી છે તે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે.

જો, પછી ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાને અનિયંત્રિત કહેવામાં આવે છે. જો, પછી ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાને અવરોધિત કહેવામાં આવે છે.

ચતુર્ભુજ કાર્યાત્મક માટે સંયોજિત ઢાળ પદ્ધતિ

પદ્ધતિનું નિવેદન

નીચેની ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાને ધ્યાનમાં લો:

અહીં એક સપ્રમાણ હકારાત્મક ચોક્કસ માપ મેટ્રિક્સ છે. આ ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાને ચતુર્ભુજ કહેવામાં આવે છે. આ ધ્યાન માં રાખો. ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમ માટેની શરત સિસ્ટમની સમકક્ષ છે. ફંક્શન સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત એક બિંદુ પર તેની નીચલા બાઉન્ડ સુધી પહોંચે છે. આમ, આ ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યા રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને હલ કરવા માટે ઘટે છે: સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિનો વિચાર નીચે મુજબ છે: ચાલો આધાર બનાવીએ. પછી કોઈપણ બિંદુ માટે વેક્ટરને આધારમાં વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે આમ, તેને ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે

દરેક અનુગામી અંદાજ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

વ્યાખ્યા. બે વેક્ટર અને સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ B જો માટે સંયોજક હોવાનું કહેવાય છે

ચાલો આપણે સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિમાં આધાર બનાવવાની પદ્ધતિનું વર્ણન કરીએ. દરેક પુનરાવર્તન પર નીચેના નિયમો પસંદ કરવામાં આવે છે:

આધાર વેક્ટરની ગણતરી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

ગુણાંક પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી વેક્ટર અને A ના સંદર્ભમાં સંયોજિત હોય.

જો આપણે દ્વારા સૂચિત કરીએ છીએ, તો પછી ઘણી સરળતાઓ પછી આપણે વ્યવહારમાં સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિ લાગુ કરતી વખતે ઉપયોગમાં લેવાતા અંતિમ સૂત્રો મેળવીએ છીએ:

કન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિ માટે, નીચેનું પ્રમેય ધરાવે છે: પ્રમેય ચાલો, જ્યાં કદનું સપ્રમાણ હકારાત્મક નિશ્ચિત મેટ્રિક્સ છે. પછી સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિ પગલાંઓ કરતાં વધુ નહીં અને નીચેના સંબંધો ધરાવે છે:

પદ્ધતિનું કન્વર્જન્સ

જો બધી ગણતરીઓ સચોટ હોય અને પ્રારંભિક ડેટા સચોટ હોય, તો પદ્ધતિ પુનરાવૃત્તિઓ કરતાં વધુમાં સિસ્ટમને હલ કરવા માટે એકરૂપ થાય છે, સિસ્ટમનું પરિમાણ ક્યાં છે. વધુ શુદ્ધ પૃથ્થકરણ દર્શાવે છે કે પુનરાવૃત્તિની સંખ્યા ઓળંગતી નથી, મેટ્રિક્સ A ના વિવિધ ઇજનવેલ્યુની સંખ્યા ક્યાં છે. કન્વર્જન્સના દરનો અંદાજ કાઢવા માટે, નીચેનો (બદલે રફ) અંદાજ સાચો છે:

જો મેટ્રિક્સના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ ઇજેનવેલ્યુ માટેના અંદાજો જાણીતા હોય તો તે તમને કન્વર્જન્સના દરનો અંદાજ લગાવવા દે છે.

કોમ્પ્યુટેશનલ જટિલતા

પદ્ધતિના દરેક પુનરાવર્તન પર, કામગીરી કરવામાં આવે છે. ઉત્પાદનની ગણતરી કરવા માટે આ સંખ્યાની કામગીરી જરૂરી છે - દરેક પુનરાવર્તનમાં આ સૌથી વધુ સમય લેતી પ્રક્રિયા છે. અન્ય ગણતરીઓ માટે O(n) કામગીરીની જરૂર પડે છે. પદ્ધતિની કુલ કોમ્પ્યુટેશનલ જટિલતા ઓળંગતી નથી - કારણ કે પુનરાવર્તનોની સંખ્યા n કરતાં વધુ નથી.

સંખ્યાત્મક ઉદાહરણ

ચાલો આપણે એવી સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે કન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિ લાગુ કરીએ જ્યાં, સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, આ સિસ્ટમનો ઉકેલ બે પુનરાવર્તનોમાં મેળવવામાં આવે છે. મેટ્રિક્સના ઇજેનવેલ્યુ 5, 5, -5 છે - તેમાંથી બે અલગ અલગ છે, તેથી, સૈદ્ધાંતિક અંદાજ મુજબ, પુનરાવર્તનોની સંખ્યા બે કરતા વધી શકતી નથી

સકારાત્મક નિશ્ચિત મેટ્રિક્સ સાથે SLAE ને ઉકેલવા માટેની સૌથી અસરકારક પદ્ધતિઓમાંની એક સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિ છે. પદ્ધતિ મર્યાદિત સંખ્યામાં પગલાઓમાં સંકલનની બાંયધરી આપે છે, અને જરૂરી ચોકસાઈ ઘણી વહેલી પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. મુખ્ય સમસ્યા એ છે કે ભૂલોના સંચયને કારણે, બેઝિસ વેક્ટર્સની ઓર્થોગોનાલિટીનું ઉલ્લંઘન થઈ શકે છે, જે કન્વર્જન્સને બગાડે છે.

સામાન્ય રીતે સંયુક્ત ઢાળ પદ્ધતિ

ચાલો હવે જ્યારે લઘુત્તમ કાર્યાત્મક ચતુર્ભુજ ન હોય તેવા કેસ માટે સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિમાં ફેરફારને ધ્યાનમાં લઈએ: અમે સમસ્યા હલ કરીશું:

સતત વિભેદક કાર્ય. આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિને સંશોધિત કરવા માટે, મેટ્રિક્સ A નો સમાવેશ કરતા નથી તેવા સૂત્રો મેળવવા જરૂરી છે:

ત્રણમાંથી એક સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે:

1. - ફ્લેચર-રીવ્ઝ પદ્ધતિ

• 2. - પોલાક-રિબી`રે પદ્ધતિ

જો ફંક્શન ચતુર્ભુજ અને સખત રીતે બહિર્મુખ હોય, તો ત્રણેય સૂત્રો સમાન પરિણામ આપે છે. જો એક મનસ્વી કાર્ય છે, તો પછી દરેક સૂત્ર સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિના પોતાના ફેરફારને અનુરૂપ છે. ત્રીજા સૂત્રનો ભાગ્યે જ ઉપયોગ થાય છે કારણ કે તેને પદ્ધતિના દરેક પગલા પર ફંક્શન અને ફંક્શનના હેસિયનની ગણતરીની જરૂર છે.

જો ફંક્શન ચતુર્ભુજ ન હોય, તો સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિ મર્યાદિત સંખ્યામાં પગલાંઓમાં એકરૂપ થઈ શકશે નહીં. તદુપરાંત, દરેક પગલા પર સચોટ ગણતરી ફક્ત દુર્લભ કિસ્સાઓમાં જ શક્ય છે. તેથી, ભૂલોનું સંચય એ હકીકત તરફ દોરી જાય છે કે વેક્ટર્સ હવે કાર્યના ઘટાડાની દિશા સૂચવતા નથી. પછી અમુક તબક્કે તેઓ માને છે. તમામ સંખ્યાઓનો સમૂહ કે જેના પર તે સ્વીકારવામાં આવે છે તે દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવશે. નંબરોને મેથડ અપડેટ મોમેન્ટ્સ કહેવામાં આવે છે. વ્યવહારમાં, તે ઘણીવાર પસંદ કરવામાં આવે છે કે જગ્યાનું પરિમાણ ક્યાં છે.

પદ્ધતિનું કન્વર્જન્સ

ફ્લેચર-રીવ્ઝ પદ્ધતિ માટે, એક કન્વર્જન્સ પ્રમેય છે જે ફંક્શનને ન્યૂનતમ કરવા પર ખૂબ કડક શરતો લાદતું નથી: પ્રમેય. નીચેની શરતોને સંતોષવા દો:

વિવિધતા મર્યાદિત છે

વ્યુત્પન્ન અમુક પડોશમાં સ્થિરતા સાથે લિપ્સિટ્ઝની સ્થિતિને સંતોષે છે

સેટ M: .

પોલાક-રીબર પદ્ધતિ માટે, કન્વર્જન્સ એ ધારણા હેઠળ સાબિત થાય છે કે જે સખત રીતે બહિર્મુખ કાર્ય છે. સામાન્ય કિસ્સામાં, પોલાક-રીબર પદ્ધતિના સંકલનને સાબિત કરવું અશક્ય છે. તેનાથી વિપરીત, નીચેનું પ્રમેય સાચું છે: પ્રમેય. ચાલો ધારીએ કે પોલાક-રીબર પદ્ધતિમાં દરેક પગલા પરના મૂલ્યોની બરાબર ગણતરી કરવામાં આવે છે. પછી એક કાર્ય છે, અને પ્રારંભિક અનુમાન, જેમ કે.

જો કે, વ્યવહારમાં પોલાક-રીબર પદ્ધતિ વધુ સારી રીતે કામ કરે છે. વ્યવહારમાં સૌથી સામાન્ય સ્ટોપિંગ માપદંડ: ગ્રેડિયન્ટ નોર્મ ચોક્કસ થ્રેશોલ્ડ કરતા ઓછો થઈ જાય છે. m સળંગ પુનરાવર્તનો માટે ફંક્શનનું મૂલ્ય લગભગ યથાવત રહ્યું છે.

કોમ્પ્યુટેશનલ જટિલતા

પોલાક-રીબર અથવા ફ્લેચર-રીવ્સ પદ્ધતિઓના દરેક પુનરાવૃત્તિ પર, કાર્ય અને તેના ઢાળની ગણતરી એકવાર કરવામાં આવે છે, અને એક-પરિમાણીય ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યા હલ થાય છે. આમ, કન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ મેથડના એક સ્ટેપની જટિલતા એ જ ક્રમની તીવ્રતાના ક્રમની છે જેટલી સ્ટીપ ડિસેન્ટ પદ્ધતિના એક સ્ટેપની જટિલતા છે. વ્યવહારમાં, સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિ શ્રેષ્ઠ કન્વર્જન્સ ઝડપ દર્શાવે છે.

અમે કન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ મેથડનો ઉપયોગ કરીને ન્યૂનતમ ફંક્શન શોધીશું

આ ફંક્શનનું ન્યૂનતમ 1 છે અને તે બિંદુ (5, 4) પર પહોંચે છે. ઉદાહરણ તરીકે આ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને, ચાલો પોલાક-રીબર અને ફ્લેચર-રીવ્ઝ પદ્ધતિઓની તુલના કરીએ. જ્યારે વર્તમાન સ્ટેપ પર ઢાળનો ચોરસ ધોરણ નાનો બને છે ત્યારે બંને પદ્ધતિઓમાં પુનરાવર્તનો બંધ થાય છે. પસંદગી માટે ગોલ્ડન રેશિયો પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે

સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિના બે સંસ્કરણો અમલમાં મૂકવામાં આવ્યા છે: ચતુર્ભુજ કાર્યાત્મકને ઘટાડવા માટે, અને મનસ્વી કાર્યને ઘટાડવા માટે. પ્રથમ કિસ્સામાં, પદ્ધતિ વેક્ટર કાર્ય દ્વારા લાગુ કરવામાં આવે છે શોધ ઉકેલ(મેટ્રિક્સ એ, વેક્ટર b) અહીં A અને b એ ચતુર્ભુજ ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાની વ્યાખ્યામાં સામેલ મેટ્રિક્સ અને વેક્ટર છે. મનસ્વી કાર્યક્ષમતાને ઘટાડવા માટે, તમે બેમાંથી એક ફંક્શનનો ઉપયોગ કરી શકો છો: વેક્ટર FletcherRievesMethod(int spaceSize, Function F, વેક્ટર (*GradF) (વેક્ટર )) વેક્ટર PolakRibiereMethod(int spaceSize, function F, વેક્ટર (*GradF) (વેક્ટર )) બંને કાર્યો માટેના પરિમાણો સમાન છે અને તેનો નીચેનો અર્થ છે: spaceSize - જગ્યાનું પરિમાણ (ચલોની સંખ્યા કે જેના પર ન્યૂનતમ કાર્યાત્મક આધાર રાખે છે) F - લઘુત્તમ કરવા માટેના ફંક્શન માટે એક નિર્દેશક. કાર્ય ડબલ સ્વરૂપનું હોવું જોઈએ<имя функции>(વેક્ટર ) GradF - ફંક્શન માટે નિર્દેશક કે જે કાર્યાત્મક ઘટાડાની ગણતરી કરે છે બંને પદ્ધતિઓ એક-પરિમાણીય ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાને ઉકેલવા માટે સહાયક કાર્યનો ઉપયોગ કરે છે. પ્રોગ્રામ ગોલ્ડન સેક્શન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને એક-પરિમાણીય ઑપ્ટિમાઇઝેશન લાગુ કરે છે.

ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ગ્રેડિયન્ટ ડિસેન્ટ પદ્ધતિઓ ખૂબ શક્તિશાળી સાધનો છે. પદ્ધતિઓનો મુખ્ય ગેરલાભ એ લાગુ કરવાની મર્યાદિત શ્રેણી છે. કન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ મેથડ ગ્રેડિયન્ટ ડિસેન્ટ મેથડની જેમ એક બિંદુ પર ઇન્ક્રીમેન્ટના રેખીય ભાગ વિશેની માહિતીનો ઉપયોગ કરે છે. તદુપરાંત, સંયોજક ઢાળ પદ્ધતિ તમને મર્યાદિત સંખ્યામાં પગલાઓમાં ચતુર્ભુજ સમસ્યાઓ હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે. અન્ય ઘણી સમસ્યાઓ પર, કન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ મેથડ પણ ગ્રેડિયન્ટ ડિસેન્ટ મેથડને પાછળ રાખી દે છે. એક-પરિમાણીય ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાને કેટલી સચોટ રીતે હલ કરવામાં આવે છે તેના પર ઢાળ પદ્ધતિનું કન્વર્જન્સ નોંધપાત્ર રીતે આધાર રાખે છે. સંભવિત પદ્ધતિ લૂપ્સ અપડેટ્સનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે. જો કે, જો કોઈ પદ્ધતિ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કાર્યમાં પ્રવેશ કરે છે, તો તે મોટે ભાગે તેમાંથી છટકી શકશે નહીં.