વર્ગ: 9

ધ્યેય: બહિર્મુખ બહુકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો શોધવા માટે એક સૂત્ર મેળવો;

• બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓના સરવાળાના પ્રશ્નની તપાસ કરો, દરેક શિરોબિંદુ પર એક લેવામાં આવે છે;
• જ્ઞાનાત્મક પ્રવૃત્તિ માટે હકારાત્મક પ્રેરણા બનાવવા માટે;
• તાર્કિક વિચારસરણીનો વિકાસ કરો;
• ધ્યાન, અવલોકન, ચિત્રનું વિશ્લેષણ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો;
• સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે હસ્તગત જ્ઞાન લાગુ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો;
• વિદ્યાર્થીઓની વાતચીતની સંસ્કૃતિનો વિકાસ કરો.

વર્ગો દરમિયાન

મહાન રશિયન વૈજ્ઞાનિક, રશિયન ભૂમિનું ગૌરવ,

મિખાઇલો વાસિલીવિચ લોમોનોસોવ કહે છે: "અનિશ્ચિત કાર્ય અવરોધોને દૂર કરે છે." હું આશા રાખું છું કે આજે વર્ગમાં અમારું કાર્ય અમને તમામ અવરોધોને દૂર કરવામાં મદદ કરશે.

1. મૂળભૂત જ્ઞાન અપડેટ કરવું. (ફ્રન્ટ સર્વે.)

પ્રસ્તુતિ. (સ્લાઇડ્સ 2-4)

- બહુકોણની વ્યાખ્યા બનાવો, તેના મુખ્ય ઘટકોને નામ આપો.
- બહિર્મુખ બહુકોણની વ્યાખ્યા.
- તમને જાણીતા ચતુર્ભુજના ઉદાહરણો આપો જે બહિર્મુખ બહુકોણ છે.
- શું ત્રિકોણને બહિર્મુખ બહુકોણ ગણી શકાય?
– બહિર્મુખ બહુકોણનો બાહ્ય કોણ શું છે?

2. સમસ્યાનું નિવેદન (પાઠના વિષય પર જાઓ).

મૌખિક આગળનું કામ.

આ બહુકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો શોધો (સ્લાઇડ્સ 5-6)

- ત્રિકોણ; લંબચોરસ:
- ટ્રેપેઝોઇડ; મનસ્વી હેપ્ટાગોન.

મુશ્કેલીના કિસ્સામાં, શિક્ષક પ્રશ્નો પૂછે છે:

- ટ્રેપેઝોઇડની વ્યાખ્યા બનાવો.
- ટ્રેપેઝોઇડના પાયાને નામ આપો.
- કોણ A અને D ની જોડી વિશે શું કહી શકાય, તેમની પાસે શું ગુણધર્મો છે?
- શું ડ્રોઇંગમાં કેટલાક આંતરિક એકતરફી કેચનું નામ પણ શક્ય છે?
- શું તમે હેપ્ટાગોનના ખૂણાઓનો સરવાળો શોધી શક્યા? પ્રશ્ન શું છે? (શું મનસ્વી બહુકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો શોધવા માટે કોઈ સૂત્ર છે?)

તેથી, તે સ્પષ્ટ છે કે આજે આપણું જ્ઞાન આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે પૂરતું નથી.

આપણે આપણા પાઠનો વિષય કેવી રીતે ઘડી શકીએ? - ખૂણાઓનો સરવાળોબહિર્મુખ બહુકોણ.

3. ઉકેલ સમસ્યાઓ. પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, ચાલો થોડું સંશોધન કરીએ.

આપણે ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળા વિશે પ્રમેય પહેલેથી જ જાણીએ છીએ. શું આપણે તેનો કોઈપણ રીતે ઉપયોગ કરી શકીએ?

- આ માટે શું કરવાની જરૂર છે? (બહુકોણને ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરો.)

- બહુકોણને ત્રિકોણમાં કેવી રીતે વિભાજિત કરી શકાય? તેના વિશે વિચારો, ચર્ચા કરો અને તમારા શ્રેષ્ઠ વિકલ્પો ઓફર કરો.

જૂથોમાં કાર્ય હાથ ધરવામાં આવે છે, દરેક જૂથ એક અલગ કમ્પ્યુટર પર કાર્ય કરે છે જેના પર "જિયો ગેબ્રા" પ્રોગ્રામ ઇન્સ્ટોલ કરેલો છે.

કાર્યના અંતે, શિક્ષક જૂથોના કાર્યના પરિણામો સ્ક્રીન પર પ્રદર્શિત કરે છે. (સ્લાઇડ 7)

- ચાલો સૂચિત વિકલ્પોનું વિશ્લેષણ કરીએ અને અમારા અભ્યાસ માટે સૌથી શ્રેષ્ઠ વિકલ્પ પસંદ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ.

ચાલો પસંદગીના માપદંડો પર નિર્ણય કરીએ: પાર્ટીશનના પરિણામે આપણે શું મેળવવા માંગીએ છીએ? (નિર્મિત ત્રિકોણના તમામ ખૂણાઓનો સરવાળો બહુકોણના ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ.)

- કયા વિકલ્પો તરત જ કાઢી શકાય? શા માટે?

(વિકલ્પ 1, કારણ કે તમામ ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો બહુકોણના ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો નથી.)

- કયો વિકલ્પ સૌથી યોગ્ય છે? શા માટે? (વિકલ્પ 3.)

તમને આ વિકલ્પ કેવી રીતે મળ્યો? (બહુકોણના એક શિરોબિંદુમાંથી કર્ણ દોરો

ચિત્ર	n – બહુકોણના શિરોબિંદુઓની સંખ્યા	એક શિરોબિંદુમાંથી દોરેલા કર્ણની સંખ્યા	પ્રાપ્ત ત્રિકોણની સંખ્યા
	4
	5
	6
	7
	n

- ચાલો બહુકોણના શિરોબિંદુઓની સંખ્યા, એક શિરોબિંદુમાંથી ખેંચી શકાય તેવા કર્ણની સંખ્યા અને પ્રાપ્ત ત્રિકોણની સંખ્યા વચ્ચે સંબંધ સ્થાપિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ.

દરેક જૂથને એક ટેબલ મળે છે જે તેઓએ સંશોધન પ્રક્રિયા દરમિયાન ભરવાનું રહેશે.

જૂથોમાં ચર્ચા કર્યા પછી, બાળકો તેમના તારણો ઘડે છે:
n-ગોનના એક શિરોબિંદુમાંથી એક n – 3 કર્ણ દોરી શકે છે (કારણ કે કર્ણ પસંદ કરેલા શિરોબિંદુ તરફ અને બે પડોશીઓ તરફ દોરી શકાતો નથી). આ કિસ્સામાં આપણને n – 2 ત્રિકોણ મળે છે.

તેથી, બહિર્મુખ બહુકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180 0 (n-2) છે.

- ચાલો બહુકોણને ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરવા માટે સૂચિત વિકલ્પો પર પાછા ફરીએ.

શું આ પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે આકૃતિ 4 માં સૂચિત સંસ્કરણનો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે?

- આ પાર્ટીશન સાથે તમને કેટલા ત્રિકોણ મળે છે? ( પીવસ્તુઓ)
– બધા ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો બહુકોણના ખૂણાઓના સરવાળાથી કેટલો અલગ છે? (360 0 પર)
- આ કિસ્સામાં તમે બહુકોણના ખૂણાઓના સરવાળાની ગણતરી કેવી રીતે કરી શકો?

(180પી– 360 = 180p – 180x2 = 180(p -2))(Cલીડ 8)

– શું આકૃતિ 2 માં પ્રસ્તાવિત વિકલ્પ એ મુખ્ય જરૂરિયાતને સંતોષે છે જે આપણે પાર્ટીશન માટે સેટ કરીએ છીએ? (હા.)

- બહુકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો શોધવા માટે તેનો ઉપયોગ શા માટે કરવો યોગ્ય નથી? (તમને મળેલા ત્રિકોણની સંખ્યા ગણવી મુશ્કેલ છે.)

સારું, હવે ચાલો તે સમસ્યા પર પાછા ફરીએ જે આપણે પાઠની શરૂઆતમાં હલ કરી શક્યા નથી.

(બાળકો મૌખિક રીતે હેપ્ટાગોનના ખૂણાના સરવાળાની ગણતરી કરે છે અને વધુ બે સમાન કસરતો કરે છે.) (સ્લાઇડ 9 અને 10)

4. હસ્તગત જ્ઞાનની અરજી .

અમે બહિર્મુખ બહુકોણના આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો શોધવા માટે એક સૂત્ર મેળવ્યું છે. હવે ચાલો બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓના સરવાળા વિશે વાત કરીએ, દરેક શિરોબિંદુ પર એક લેવામાં આવે છે.

તેથી, સમસ્યા એ છે કે: વધુ શું છે: બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો, દરેક શિરોબિંદુ પર એક, બહિર્મુખ ષટ્કોણ અથવા ત્રિકોણનો? (સ્લાઇડ 11)

બાળકો તેમના અનુમાન વ્યક્ત કરે છે. શિક્ષક આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે સંશોધન કરવાનું સૂચન કરે છે.

દરેક જૂથ સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલવા માટે એક કાર્ય મેળવે છે.

જૂથ 1.

1) નિયમિત ત્રિકોણના દરેક શિરોબિંદુ પર એક લેવામાં આવેલા બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો શોધો.
2) – ત્રિકોણ માટે, ખૂણાઓની ડિગ્રી મૂલ્યો અનુક્રમે 70 0, 80 0 અને 30 0 જેટલી હોય છે.

જૂથ 2.

1) લંબચોરસના દરેક શિરોબિંદુ પર એક લેવામાં આવેલા બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો શોધો.
2) – એક ચતુર્ભુજ જેના આંતરિક ખૂણા અનુક્રમે 70 0, 80 0 અને 120 0 અને 90 0 જેટલા છે.

જૂથ 3.

1) નિયમિત ષટ્કોણના દરેક શિરોબિંદુ પર એક લેવામાં આવેલા બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો શોધો.
2) – એવા ષટ્કોણ માટે કે જેના આંતરિક ખૂણા અનુક્રમે 170 0, 80 0 અને 130 0, 100 0, 70 0, 170 0 જેટલા છે.

કાર્ય પૂર્ણ કર્યા પછી, બાળકો તેમના પરિણામોની જાણ કરે છે, શિક્ષક તેમને ટેબલમાં દાખલ કરે છે અને સ્ક્રીન પર બતાવે છે. (સ્લાઇડ 12)

તેથી, પ્રાપ્ત પરિણામોમાંથી શું નિષ્કર્ષ લઈ શકાય? (કોઈપણ બહુકોણ માટે દરેક શિરોબિંદુ પર એક લેવામાં આવેલ બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો 360 0 છે.)

હવે ચાલો કોઈપણ n-gon માટે આ હકીકત સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ.

જો મુશ્કેલીઓ ઊભી થાય, તો સાબિતી યોજનાની સામૂહિક રીતે ચર્ચા કરવામાં આવે છે:

1. બહુકોણના આંતરિક ખૂણાઓને α, β, γ, વગેરે દ્વારા નિયુક્ત કરો.
2. પરિચયિત સંકેતનો ઉપયોગ કરીને બાહ્ય ખૂણાઓના ડિગ્રી માપને વ્યક્ત કરો
3. બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો શોધવા માટે એક અભિવ્યક્તિ બનાવો
4. પરિણામી અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતર કરો, બહુકોણના આંતરિક ખૂણાઓના સરવાળા માટે અગાઉ મેળવેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.

સાબિતી બોર્ડ પર લખેલી છે:

(180 – α) + (180 – β) + (180 – γ) + …= 180 p – (α+ β +γ + …) = 180 p – 180(p – 2) = 360

5. અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીનું એકીકરણ. સમસ્યા ઉકેલવાની.

સમસ્યા 1. શું નીચેના આંતરિક ખૂણાઓ સાથે બહિર્મુખ બહુકોણ છે: 45 0, 68 0, 73 0 અને 56 0? તમારો જવાબ સમજાવો.

ચાલો વિરોધાભાસ દ્વારા સાબિતી આપીએ. જો બહિર્મુખ બહુકોણમાં ચાર તીવ્ર આંતરિક ખૂણા હોય, તો તેના બાહ્ય ખૂણાઓમાં ચાર સ્થૂળ ખૂણા હોય છે, જેનો અર્થ છે કે બહુકોણના તમામ બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો 4 * 90 0 = 360 0 કરતા વધારે છે. અમારી પાસે વિરોધાભાસ છે. નિવેદન સાબિત થયું છે.

બહિર્મુખ બહુકોણમાં 80 ડિગ્રીના ત્રણ ખૂણા અને બાકીના 150 ડિગ્રી હોય છે. બહિર્મુખ બહુકોણમાં કેટલા ખૂણા હોય છે?

કારણ કે: બહિર્મુખ n-ગોન માટે, ખૂણાઓનો સરવાળો 180°(n – 2) છે , તો 180(n – 2)=3*80 + x*150, જ્યાં સમસ્યાની સ્થિતિ અનુસાર આપણને 80 ડિગ્રીના 3 ખૂણો આપવામાં આવે છે, અને અન્ય ખૂણાઓની સંખ્યા હજુ પણ આપણને અજાણ છે, જેનો અર્થ છે કે આપણે તેમની સંખ્યાને x દ્વારા દર્શાવો.

જો કે, ડાબી બાજુની એન્ટ્રીથી આપણે બહુકોણના ખૂણાઓની સંખ્યા n તરીકે નક્કી કરી છે, કારણ કે તેમાંથી આપણે સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાંથી ત્રણ ખૂણાના મૂલ્યો જાણીએ છીએ, તે સ્પષ્ટ છે કે x = n-3.

તેથી સમીકરણ આના જેવું દેખાશે: 180(n – 2) = 240 + 150(n – 3)

અમે પરિણામી સમીકરણ હલ કરીએ છીએ

180n – 360 = 240 + 150n – 450

180n – 150n = 240 + 360 – 450

જવાબ: 5 શિખરો.

6. પાઠનો સારાંશ.

તેથી, ચાલો તેનો સરવાળો કરીએ. આજના પાઠની સામગ્રીના આધારે બીજા જૂથના છોકરાઓ માટે તમારા પ્રશ્નો ઘડવો.

તમને કયો પ્રશ્ન શ્રેષ્ઠ લાગે છે?

સામૂહિક કાર્યમાં જૂથના દરેક સભ્યની ભાગીદારીની ડિગ્રીની ચર્ચા કરો, સૌથી વધુ સક્રિય લોકોનું નામ આપો.

જૂથમાં કોનું કાર્ય સૌથી અસરકારક હતું?

7. હોમવર્ક:

1. કાર્ય.

બહુકોણમાં, ત્રણ ખૂણા દરેક 113 ડિગ્રી હોય છે, અને બાકીના સમાન હોય છે અને તેમનું ડિગ્રી માપ પૂર્ણાંક હોય છે. બહુકોણના શિરોબિંદુઓની સંખ્યા શોધો.

2. ફકરો 114 પૃષ્ઠ. 169–171, પોગોરેલોવ એ.વી. "ભૂમિતિ 7-9."

બહુકોણનો આંતરિક કોણબહુકોણની બે અડીને બાજુઓ દ્વારા રચાયેલ કોણ છે. ઉદાહરણ તરીકે, ∠ ABCઆંતરિક કોણ છે.

બહુકોણનો બાહ્ય ખૂણોબહુકોણની એક બાજુ અને બીજી બાજુ ચાલુ રાખવાથી બનેલો ખૂણો છે. ઉદાહરણ તરીકે, ∠ L.B.C.એક બાહ્ય કોણ છે.

બહુકોણના ખૂણાઓની સંખ્યા હંમેશા તેની બાજુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે. આ બંને આંતરિક અને બાહ્ય ખૂણાઓને લાગુ પડે છે. એ હકીકત હોવા છતાં કે બહુકોણના દરેક શિરોબિંદુ માટે બે સમાન બાહ્ય ખૂણાઓ બાંધવાનું શક્ય છે, તેમાંથી ફક્ત એક જ હંમેશા ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. તેથી, કોઈપણ બહુકોણના ખૂણાઓની સંખ્યા શોધવા માટે, તમારે તેની બાજુઓની સંખ્યા ગણવાની જરૂર છે.

આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો

બહિર્મુખ બહુકોણના આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો 180° ના ગુણાંક અને બાજુઓની સંખ્યા ઓછા બે જેટલો છે.

s = 2ડી(n - 2)

જ્યાં sખૂણાઓનો સરવાળો છે, 2 ડી- બે કાટકોણ (એટલે ​​​​કે, 2 90 = 180°), અને n- બાજુઓની સંખ્યા.

જો આપણે ઉપરથી દોરીએ એબહુકોણ ABCDEFતમામ સંભવિત કર્ણ, પછી આપણે તેને ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરીએ છીએ, જેની સંખ્યા બહુકોણની બાજુઓ કરતા બે ઓછી હશે:

તેથી, બહુકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો તમામ પરિણામી ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો હશે. કારણ કે દરેક ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180° (2 ડી), તો બધા ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો ગુણાંક 2 જેટલો થશે ડીતેમના જથ્થા દ્વારા:

s = 2ડી(n- 2) = 180 4 = 720°

આ સૂત્ર પરથી તે અનુસરે છે કે આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો એક સ્થિર મૂલ્ય છે અને તે બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે.

બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો

બહિર્મુખ બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો 360° (અથવા 4) છે ડી).

s = 4ડી

જ્યાં sબાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો છે, 4 ડી- ચાર કાટકોણ (એટલે ​​​​કે, 4 90 = 360°).

બહુકોણના દરેક શિરોબિંદુ પરના બાહ્ય અને આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો 180° (2) છે ડી), કારણ કે તેઓ અડીને આવેલા ખૂણા છે. ઉદાહરણ તરીકે, ∠ 1 અને ∠ 2 :

તેથી, જો બહુકોણ હોય nપક્ષો (અને nશિરોબિંદુઓ), પછી બધા માટે બાહ્ય અને આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો nશિરોબિંદુઓ 2 ની બરાબર હશે dn. જેથી આ રકમમાંથી 2 dnફક્ત બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો મેળવવા માટે, તમારે તેમાંથી આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો બાદબાકી કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, 2 ડી(n - 2):

s = 2dn - 2ડી(n - 2) = 2dn - 2dn + 4ડી = 4ડી

વિડિઓ ટ્યુટોરીયલ 2: બહુકોણ. સમસ્યા ઉકેલવાની

વ્યાખ્યાન: બહુકોણ. બહિર્મુખ બહુકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો

બહુકોણ- આ આકૃતિઓ છે જે આપણને દરેક જગ્યાએ ઘેરી લે છે - આ મધપૂડાનો આકાર છે જેમાં મધમાખીઓ તેમના મધ, આર્કિટેક્ચરલ સ્ટ્રક્ચર્સ અને ઘણું બધું સંગ્રહિત કરે છે.

અગાઉ સૂચવ્યા મુજબ, બહુકોણ એ આકાર છે જેમાં બે કરતાં વધુ ખૂણા હોય છે. તેઓ બંધ તૂટેલી લાઇન ધરાવે છે.

વધુમાં, બહુકોણના ખૂણા બાહ્ય અને આંતરિક હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તારો એ એક આકૃતિ છે જેમાં 10 ખૂણા હોય છે, તેમાંના કેટલાક બહિર્મુખ અને અન્ય અંતર્મુખ:

બહિર્મુખ બહુકોણના ઉદાહરણો:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે આકૃતિ નિયમિત બહુકોણ બતાવે છે - આ તે છે જેનો શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં વિગતવાર અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

કોઈપણ બહુકોણમાં બાજુઓની સંખ્યા જેટલી શિરોબિંદુઓ હોય છે. એ પણ નોંધ કરો કે પડોશી શિરોબિંદુઓ તે છે જેની એક સામાન્ય બાજુ છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણ પાસે તેના બધા શિરોબિંદુઓ છે.

નિયમિત બહુકોણમાં જેટલા વધુ ખૂણા હોય છે, તેટલા તેમના ડિગ્રીનું માપ વધારે હોય છે. જો કે, બહિર્મુખ બહુકોણના કોણનું ડિગ્રી માપ 180 અંશથી વધુ અથવા તેની બરાબર હોઈ શકતું નથી.

બહુકોણની સામાન્ય ડિગ્રી માપ નક્કી કરવા માટે, તમારે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.

બહુકોણ. બહુકોણના પ્રકાર. બહિર્મુખ બહુકોણના આંતરિક અને બાહ્ય ખૂણા. બહિર્મુખ n-ગોન (પ્રમેય) ના આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો. બહિર્મુખ n-ગોન (પ્રમેય) ના બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો. નિયમિત બહુકોણ. નિયમિત બહુકોણ (પ્રમેય, કોરોલરી 1,2) વિશે ઘેરાયેલું વર્તુળ

આપેલ શિરોબિંદુ પર બહિર્મુખ બહુકોણનો આંતરિક ખૂણો આ શિરોબિંદુ પર તેની બાજુઓ દ્વારા રચાયેલ કોણ છે. આપેલ શિરોબિંદુ પર બહિર્મુખ બહુકોણનો બાહ્ય કોણ એ આ શિરોબિંદુ પરના આંતરિક ભાગને અડીને આવેલો ખૂણો છે. આંતરિક ખૂણો બાહ્ય ખૂણો

પ્રમેય. બહિર્મુખ બહુકોણના આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો (n – 2) · 180 о છે, જ્યાં n એ બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા છે. આપેલ: બહિર્મુખ n-gon. સાબિત કરો: α = (n – 2) ·180 о પ્રૂફ n-ગોનની અંદર, એક મનસ્વી બિંદુ O લો અને તેને બધા શિરોબિંદુઓ સાથે જોડો. બહુકોણને સામાન્ય શિરોબિંદુ O સાથે n ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરવામાં આવશે. દરેક ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180 o છે, તેથી, બધા ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180 o n છે. આ સરવાળો, બહુકોણના તમામ આંતરિક ખૂણાઓના સરવાળા ઉપરાંત, શિરોબિંદુ O પરના ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો, 360 અંશ જેટલો હોય છે. આમ, બહુકોણના તમામ આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો 180 o n – 360 o = (n – 2) · 180 o બરાબર છે. તેથી, n = (n – 2) 180 o. વગેરે. ઓ

પ્રમેય. બહિર્મુખ બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો, દરેક શિરોબિંદુ પર એક લેવામાં આવે છે, તે n પર નિર્ભર નથી અને 360 ની બરાબર છે, જ્યાં n એ n-ગોનની બાજુઓની સંખ્યા છે. પુરાવો. બહુકોણનો બાહ્ય ખૂણો અનુરૂપ આંતરિક ખૂણાને અડીને હોવાથી, અને સંલગ્ન ખૂણાઓનો સરવાળો 180 જેટલો છે, તો બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો બરાબર છે: 180 о n – (n – 2) · 180 о = 180 о · n – 180 о · n о = 360 о . બાહ્ય અને આંતરિક આંતરિક તેથી, બહિર્મુખ બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો, દરેક શિરોબિંદુ પર એક લેવામાં આવે છે, તે n પર આધારિત નથી અને 360 o ની બરાબર છે, જ્યાં n એ n-ગોનની બાજુઓની સંખ્યા છે. વગેરે.

પ્રમેય. તમે કોઈપણ નિયમિત બહુકોણમાં વર્તુળ લખી શકો છો, અને માત્ર એક. પુરાવો. A1,A2,…,A n ને નિયમિત બહુકોણ બનવા દો, O ઘેરાયેલા વર્તુળનું કેન્દ્ર. OA1A2 = OA2A3 = OAnA1, તેથી શિરોબિંદુ O પરથી દોરેલા આ ત્રિકોણની ઊંચાઈ પણ ОН1 = ОН2 =…= ОНn ની બરાબર છે. તેથી, તેથી કેન્દ્ર O અને ત્રિજ્યા OH1 સાથેનું વર્તુળ સાથેનું વર્તુળ H1, H2, ..., Hn બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે અને આ બિંદુઓ પર બહુકોણની બાજુઓને સ્પર્શે છે, એટલે કે. વર્તુળ આપેલ બહુકોણમાં લખેલું છે. Hn H1 H2 H3 A1 A2 A3 An

ચાલો સાબિત કરીએ કે માત્ર એક જ અંકિત વર્તુળ છે. ધારો કે કેન્દ્ર O અને ત્રિજ્યા OA સાથે અન્ય વર્તુળ છે. પછી તેનું કેન્દ્ર બહુકોણની બાજુઓથી સમાન છે, એટલે કે પોઈન્ટ O1 બહુકોણના ખૂણાઓના દરેક દ્વિભાજકો પર આવેલું છે, અને તેથી આ દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુ O સાથે એકરુપ છે. આ વર્તુળની ત્રિજ્યા બિંદુ O થી બહુકોણની બાજુઓ સુધીના અંતર જેટલી છે, એટલે કે. OH1 ની બરાબર છે. કોરોલરી 1 નિયમિત બહુકોણમાં અંકિત એક વર્તુળ તેમના મધ્યબિંદુઓ પર બહુકોણની બાજુઓને સ્પર્શે છે. કોરોલરી 2 નિયમિત બહુકોણની આસપાસના વર્તુળનું કેન્દ્ર સમાન બહુકોણમાં અંકિત વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે મેળ ખાય છે.

નૉૅધ. આ સામગ્રીમાં પ્રમેય અને તેનો પુરાવો છે, તેમજ વ્યવહારુ ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને બહિર્મુખ બહુકોણના ખૂણાઓના સરવાળા પર પ્રમેયના ઉપયોગને સમજાવતી સંખ્યાબંધ સમસ્યાઓ છે..

બહિર્મુખ બહુકોણના ખૂણાઓના સરવાળા પર પ્રમેય

પુરાવો.

બહિર્મુખ બહુકોણના ખૂણાઓના સરવાળા પર પ્રમેય સાબિત કરવા માટે, આપણે પહેલાથી જ સાબિત થયેલ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ કે ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180 ડિગ્રી જેટલો છે.

ચાલો A ​​1 A 2... A n એ આપેલ બહિર્મુખ બહુકોણ છે, અને n > 3. ચાલો A ​​1 ના શિરોબિંદુમાંથી બહુકોણના તમામ કર્ણ દોરીએ. તેઓ તેને n – 2 ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . બહુકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો એ આ બધા ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો છે. દરેક ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે અને ત્રિકોણની સંખ્યા (n – 2) છે. તેથી, બહિર્મુખ n-gon A 1 A 2... A n ના ખૂણાઓનો સરવાળો 180° (n – 2) બરાબર છે.

કાર્ય.

બહિર્મુખ બહુકોણમાં 80 ડિગ્રીના ત્રણ ખૂણા અને બાકીના 150 ડિગ્રી હોય છે. બહિર્મુખ બહુકોણમાં કેટલા ખૂણા હોય છે?

ઉકેલ.

પ્રમેય જણાવે છે: બહિર્મુખ n-gon માટે, ખૂણાઓનો સરવાળો 180°(n-2) છે .

તેથી, અમારા કેસ માટે:

180(n-2)=3*80+x*150, ક્યાં

80 ડિગ્રીના 3 ખૂણા આપણને સમસ્યાની સ્થિતિ અનુસાર આપવામાં આવે છે, અને અન્ય ખૂણાઓની સંખ્યા હજુ પણ અમને અજાણ છે, તેથી આપણે તેમની સંખ્યાને x તરીકે દર્શાવીએ છીએ.

જો કે, ડાબી બાજુની એન્ટ્રીથી આપણે બહુકોણના ખૂણાઓની સંખ્યા n તરીકે નક્કી કરી છે, કારણ કે તેમાંથી આપણે સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાંથી ત્રણ ખૂણાના મૂલ્યો જાણીએ છીએ, તે સ્પષ્ટ છે કે x = n-3.

તેથી સમીકરણ આના જેવું દેખાશે:

180(n-2)=240+150(n-3)

અમે પરિણામી સમીકરણ હલ કરીએ છીએ

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

જવાબ: 5 શિખરો

કાર્ય.

જો દરેક ખૂણો 120 ડિગ્રી કરતા ઓછો હોય તો બહુકોણમાં કેટલા શિરોબિંદુઓ હોઈ શકે?

ઉકેલ.

આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, આપણે બહિર્મુખ બહુકોણના ખૂણાઓના સરવાળા પર પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

પ્રમેય જણાવે છે: બહિર્મુખ n-ગોન માટે, બધા ખૂણાઓનો સરવાળો 180°(n-2) છે .

આનો અર્થ એ છે કે અમારા કેસ માટે પહેલા સમસ્યાની સીમાની સ્થિતિનો અંદાજ કાઢવો જરૂરી છે. એટલે કે, ધારણા કરો કે દરેક ખૂણા 120 ડિગ્રી સમાન છે. અમને મળે છે:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (અમે નીચે આ અભિવ્યક્તિને અલગથી ધ્યાનમાં લઈશું)

પરિણામી સમીકરણના આધારે, અમે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ: જો ખૂણા 120 ડિગ્રી કરતા ઓછા હોય, તો બહુકોણના ખૂણાઓની સંખ્યા છ કરતા ઓછી હોય.

સમજૂતી:

180n - 120n = 360 અભિવ્યક્તિના આધારે, જો કે જમણી બાજુનો સબટ્રાહેન્ડ 120n કરતાં ઓછો હોય, તો તફાવત 60n કરતાં વધુ હોવો જોઈએ. આમ, ભાગાકારનો ભાગ હંમેશા છ કરતાં ઓછો હશે.

જવાબ:બહુકોણના શિરોબિંદુઓની સંખ્યા છ કરતાં ઓછી હશે.

કાર્ય

બહુકોણમાં, ત્રણ ખૂણા દરેક 113 ડિગ્રી હોય છે, અને બાકીના સમાન હોય છે અને તેમનું ડિગ્રી માપ પૂર્ણાંક હોય છે. બહુકોણના શિરોબિંદુઓની સંખ્યા શોધો.

ઉકેલ.

આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, આપણે બહિર્મુખ બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓના સરવાળા પર પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

પ્રમેય જણાવે છે: બહિર્મુખ n-ગોન માટે, તમામ બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો 360° છે .

આમ,

3*(180-113)+(n-3)x=360

અભિવ્યક્તિની જમણી બાજુ એ બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો છે, ડાબી બાજુએ ત્રણ ખૂણાઓનો સરવાળો સ્થિતિ દ્વારા ઓળખાય છે, અને બાકીનાની ડિગ્રી માપ (તેમની સંખ્યા, અનુક્રમે, n-3, કારણ કે ત્રણ ખૂણા જાણીતા છે) x તરીકે નિયુક્ત થયેલ છે.

159 માત્ર બે પરિબળ 53 અને 3 માં વિઘટિત થાય છે, જેમાં 53 એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. એટલે કે, પરિબળોની અન્ય કોઈ જોડી નથી.

આમ, n-3 = 3, n=6, એટલે કે, બહુકોણના ખૂણાઓની સંખ્યા છ છે.

જવાબ આપો: છ ખૂણા

કાર્ય

સાબિત કરો કે બહિર્મુખ બહુકોણમાં વધુમાં વધુ ત્રણ તીવ્ર ખૂણા હોઈ શકે છે.

ઉકેલ

જેમ તમે જાણો છો, બહિર્મુખ બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો 360 0 છે. ચાલો વિરોધાભાસ દ્વારા સાબિતી આપીએ. જો બહિર્મુખ બહુકોણમાં ઓછામાં ઓછા ચાર તીવ્ર આંતરિક ખૂણા હોય, તો તેના બાહ્ય ખૂણાઓમાં ઓછામાં ઓછા ચાર સ્થૂળ ખૂણા હોય છે, જેનો અર્થ છે કે બહુકોણના તમામ બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો 4 * 90 0 = 360 0 કરતા વધારે છે. અમારી પાસે વિરોધાભાસ છે. નિવેદન સાબિત થયું છે.