સંભાવના એ અમુક ઘટના બનવાની સંભાવનાની ડિગ્રી (માપ, જથ્થાત્મક આકારણી) છે.

સંભાવનાની ઉત્તમ વ્યાખ્યા. રેન્ડમ ઘટના A ની સંભાવના એ અસંગત સમાન સંભવિત પ્રાથમિક ઘટનાઓની સંખ્યા n નો ગુણોત્તર છે જે ઘટના A ને તમામ સંભવિત પ્રાથમિક ઘટનાઓની સંખ્યા N બનાવે છે:

સંભાવનાની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા. એ હકીકત હોવા છતાં કે શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા સાહજિક છે અને પ્રેક્ટિસમાંથી ઉતરી આવી છે, ઓછામાં ઓછું તે એવા કિસ્સામાં સીધું લાગુ કરી શકાતું નથી જ્યાં સમાન રીતે શક્ય પરિણામોની સંખ્યા અનંત છે. સંભવિત પરિણામોની અસંખ્ય સંખ્યાનું આકર્ષક ઉદાહરણ મર્યાદિત ભૌમિતિક ક્ષેત્ર G છે, ઉદાહરણ તરીકે, પ્લેનમાં, વિસ્તાર S સાથે. સમાન સંભાવના સાથે અવ્યવસ્થિત રીતે "ફેંકવામાં" "બિંદુ" આ પ્રદેશમાં કોઈપણ બિંદુએ સમાપ્ત થઈ શકે છે. સમસ્યા એ વિસ્તાર s સાથે ચોક્કસ ઉપપ્રદેશ g માં આવતા બિંદુની સંભાવના નક્કી કરવાની છે. આ કિસ્સામાં, શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યાને સામાન્ય બનાવતા, આપણે s થી S ના ગુણોત્તર તરીકે સંભાવનાની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા પર આવી શકીએ છીએ:

જો ઘટનાઓ B અને C એકસાથે ન થઈ શકે, તો પછી B અથવા C ઘટનાઓમાંથી એક થવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:

P(A + B) = P(A) + P(B).

જો ઘટના B ઘટના C પર આધાર રાખતી નથી, તો પછી B અને C બંને ઘટનાઓ બનશે તેવી સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉત્પાદન જેટલી છે:

P(A · B) = P(A) · P(B).

સંભાવનાઓ શોધવાની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, સંયોજનશાસ્ત્રમાંથી માહિતીનો ઉપયોગ કરવો ઘણીવાર અનુકૂળ હોય છે, ખાસ કરીને, સરવાળા અને ઉત્પાદનના નિયમો.

સરવાળો નિયમ. જો અમુક ઑબ્જેક્ટ A ને ઑબ્જેક્ટના સમૂહમાંથી m રીતે પસંદ કરી શકાય છે, અને અન્ય ઑબ્જેક્ટ B - n રીતે, તો પછી ક્યાં તો A અથવા Bને m + n રીતે પસંદ કરી શકાય છે.

ઉત્પાદન નિયમ. જો અમુક ઑબ્જેક્ટ A ઑબ્જેક્ટના સમૂહમાંથી m રીતે પસંદ કરી શકાય છે અને આવી દરેક પસંદગી પછી અન્ય ઑબ્જેક્ટ B ને n રીતે પસંદ કરી શકાય છે, તો ચોક્કસ ક્રમમાં ઑબ્જેક્ટની જોડી (A, B) m · માં પસંદ કરી શકાય છે. n માર્ગો.

ઉકેલો સાથે સમસ્યાઓ

1. રોલિંગ ડાઇસ.

સામાન્ય ડાઇના ચહેરા પર 1, 2, 3, 4, 5, 6 નંબરો હોય છે જ્યાં સુધી ફેંકવાના સમયે કુલ પોઇન્ટની સંખ્યા 12 કરતા વધી ન જાય ત્યાં સુધી તેને અવ્યવસ્થિત રીતે ફેંકવામાં આવે છે. સૌથી વધુ સંભવિત કુલ સંખ્યા શું છે. પોઈન્ટ?

ચાલો ઉપાંત્ય ફેંકો જોઈએ. તે પછી, કુલ નીચેના મૂલ્યોમાંથી એક લેવું આવશ્યક છે: 12, 11, 10, 9, 8, 7. જો તે 12 છે, તો કુલ પરિણામ 13, 14, 15 મૂલ્યો લેવાની સમાન સંભાવના હશે. 16, 17, 18. એ જ રીતે, 11 ના સરવાળા સાથે, અંતિમ પરિણામ 13, 14, 15, 16, 17, અને તેથી વધુ મૂલ્યો લેવાની સમાન સંભાવના છે. 13 નંબર દરેક કેસમાં સમાન ઉમેદવાર તરીકે દેખાય છે અને તે તેના પ્રકારનો એકમાત્ર નંબર છે. આમ, 13 નંબર સૌથી વધુ સંભવિત છે.

સામાન્ય રીતે, સમાન દલીલો દર્શાવે છે કે પ્રથમ વખત n ને ઓળંગવાની સૌથી વધુ સંભાવના (n 6 કે તેથી વધુ) n+1 છે.

2. વ્યર્થ જ્યુરી સભ્ય.

ત્રણ-વ્યક્તિની જ્યુરીમાં, બે સભ્યો સ્વતંત્ર રીતે સંભવિતતા p સાથે યોગ્ય નિર્ણય લે છે, અને ત્રીજા એક નિર્ણય લેવા માટે સિક્કો ફેંકે છે (અંતિમ નિર્ણય બહુમતી મત દ્વારા લેવામાં આવે છે). એક જ્યુરી સંભવિતતા સાથે વાજબી નિર્ણય લે છે p. આમાંથી કઈ જ્યુરી વાજબી નિર્ણય લેવાની શક્યતા વધારે છે?

p (1 – p) + (1 – p) p = 2p (1–p),

પછી સાચા ઉકેલની સંભાવના શોધવા માટે, આ સંખ્યાને 1/2 વડે ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે. આમ, ત્રણ વ્યક્તિની જ્યુરી વાજબી નિર્ણય લેવાની કુલ સંભાવના છે

p 2 + p (1–p) = p,

જે એક વ્યક્તિની જ્યુરી માટે અનુરૂપ સંભાવના સમાન છે.

જવાબ: બંને પ્રકારના જ્યુરી પાસે યોગ્ય નિર્ણય લેવાની સમાન સંભાવના છે.

3. ત્રિકોણને જોડો.

નિયમિત n-gon (n>5) ના શિરોબિંદુઓમાંથી, વિવિધ બિંદુઓના બે ત્રિપુટીઓ રેન્ડમ પર પસંદ કરવામાં આવે છે. બે ત્રિકોણ કે જેના શિરોબિંદુઓ પસંદ કરેલા ત્રિકોણ છેદાય નહીં તેની સંભાવના કેટલી છે?

ચાલો આપણે શિરોબિંદુઓના ત્રિવિધની તમામ સંભવિત જોડીને C n 6 જૂથોમાં વિભાજીત કરીએ, એક જૂથમાં તે અને ફક્ત તે જ જોડીને એકત્રિત કરીએ જે શિરોબિંદુઓના સમાન છગ્ગા બનાવે છે. એક તરફ, આવા દરેક જૂથમાં છ નિશ્ચિત શિરોબિંદુઓને કેટલી રીતે બે ત્રિગુણોમાં વિભાજિત કરી શકાય તેટલા તત્વો હોય છે, એટલે કે, C 6 3 = 20 તત્વો. બીજી તરફ, સિક્સને બે થ્રીમાં વિભાજીત કરવાની બરાબર 6 રીતો છે જે સમસ્યામાં જરૂરી સ્થિતિને સંતોષે છે. તેથી, ઇચ્છિત સંભાવના 6/20 = 0.3 છે.

જવાબ: 0.3.

4. સફેદ અને કાળા દડા.

બે ભઠ્ઠીઓમાંના દરેકમાં સફેદ અને કાળા દડા હોય છે, અને બંને ભઠ્ઠીમાં દડાની કુલ સંખ્યા 25 છે. દરેક ભઠ્ઠીમાંથી એક બોલ રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે. એ જાણીને કે દોરેલા બંને દડા સફેદ હોવાની સંભાવના 0.54 છે, તે સંભાવના શોધો કે દોરેલા બંને દડા કાળા છે.

પ્રથમ અને બીજા ભઠ્ઠીમાં દડાઓની કુલ સંખ્યા અનુક્રમે m 1 અને m 2 ની બરાબર થવા દો (ચોક્કસતા માટે, અમે ધારીએ છીએ કે m 1 એ m 2 કરતા વધારે નથી), અને આ ભઠ્ઠીમાં સફેદ દડાઓની સંખ્યા સમાન છે. અનુક્રમે k 1 અને k 2 થી. પછી બંને દોરેલા બોલ સફેદ હોય તેવી સંભાવના બરાબર છે

(k 1 /m 1)·(k 2 /m 2).

અમને ગુણોત્તર મળે છે:

(k 1 /m 1)·(k 2 /m 2) = 0.54 = 27/50,

27m 1 m 2 = 50k 1 k 2,

તો ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા m 1, m 2 5 વડે વિભાજ્ય છે. પરંતુ સરવાળો m 1 + m 2 પણ 5 વડે વિભાજ્ય છે, તેથી દરેક સંખ્યા m 1, m 2 5 વડે વિભાજ્ય છે. આમ, આપણી પાસે છે. માત્ર બે શક્યતાઓ:

અથવા m 1 = 5, m 2 = 20,

અથવા m 1 = 10, m 2 = 15.

m 1 = 5, m 2 = 20 ના કિસ્સામાં, આપણે k 1 k 2 = 54 મેળવીએ છીએ, જ્યાં k 1 5 થી વધુ નથી, અને k 2 20 થી વધુ નથી. ki ના તમામ સંભવિત મૂલ્યોમાંથી પસાર થયા પછી, આપણે k 1 = 3, k 2 = 18 શોધીએ છીએ. પછી પ્રથમ કલરમાં 2 કાળા દડા છે, બીજામાં પણ 2 કાળા દડા છે, અને બે કાળા દડા દોરવાની સંભાવના છે (2/5)·(2/20)=0.04.

એ જ રીતે, m 1 = 10, m 2 = 15 ના કિસ્સામાં, આપણે k 1 = 9, k 2 =9 શોધીએ છીએ. પછી પ્રથમ કલરમાં 1 કાળો દડો છે, બીજા કલરમાં 6 કાળા દડા છે, અને બે કાળા દડા દોરવાની સંભાવના છે (1/10)·(6/15) = 0.04 (બંને કિસ્સામાં જવાબો સમાન છે).

જવાબ: 0.04.

5. થ્રી-વે દ્વંદ્વયુદ્ધ.

ત્રણ શૂટરો A, B, C એ જ સમયે દ્વંદ્વયુદ્ધ લડવાનું નક્કી કર્યું. તેઓ પોતાની જાતને સમભુજ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર સ્થિત કરે છે અને નીચેના પર સંમત થાય છે: પ્રથમ શૉટ A દ્વારા, બીજો B દ્વારા, ત્રીજો C દ્વારા, અને તેથી વધુ એક વર્તુળમાં; જો શૂટરમાંથી એક બહાર નીકળી જાય, તો બાકીના બે વચ્ચે દ્વંદ્વયુદ્ધ ચાલુ રહે છે. તે જાણીતું છે કે શૂટર A 0.3 ની સંભાવના સાથે લક્ષ્યને હિટ કરે છે, શૂટર C 0.5 ની સંભાવના સાથે અને શૂટર B ક્યારેય ચૂકતો નથી. દરેક અન્ય બેમાંથી એક પર અથવા હવામાં એવી રીતે ગોળીબાર કરે છે કે દ્વંદ્વયુદ્ધ જીતવાની સૌથી વધુ સંભાવના હોય. શૂટર A એ તેનો પહેલો શોટ ક્યાં લક્ષ્ય રાખવો જોઈએ: શૂટર C પર, શૂટર B પર અથવા હવામાં?

ચાલો શૂટર A ના પ્રથમ શોટ પછી આવી શકે તેવી ત્રણ ઘટનાઓ પર વિચાર કરીએ.

C હિટ થાય છે, પછી સંભાવના 1 સાથે, શૂટર A ને B નો પહેલો શોટ મારવામાં આવશે.

V પછી ત્રાટકી:

અથવા સંભાવના સાથે 0.5 શૂટર C તેના પ્રથમ શૉટથી Aને હિટ કરશે,

અથવા સંભાવના સાથે (1 - 0.5) 0.3 શૂટર A તેના બીજા શોટ સાથે Cને ટક્કર આપશે,

અથવા સંભાવના સાથે (1 – 0.5) · (1 – 0.3) · 0.5 શૂટર C તેના બીજા શૉટથી Aને ટક્કર આપશે,

અથવા સંભાવના સાથે (1 – 0.5) · (1 – 0.3) · (1 – 0.5) · 0.3 શૂટર A તેના ત્રીજા શૉટ વડે Cને ટક્કર આપશે, વગેરે.

તેથી, આ કિસ્સામાં A માટે દ્વંદ્વયુદ્ધ જીતવાની સંભાવના સમાન છે

0.5 · 0.3 + 0.5 · 0.7 · 0.5 · 0.3 + 0.5 · 0.7 · 0.5 · 0.7 · 0.5 · 0.3 + . . . =

0.15 (1 + 0.35 + 0.35 2 + . .) = 0.15 1/(1 – 0.35) = (15/100) (100/65) = 3/13 .

3) કોઈને આશ્ચર્ય થતું નથી. આ પછી, બી સી પર ગોળીબાર કરશે (તેના વિરોધીઓની વધુ સચોટ તરીકે) અને તેને ફટકારશે. પછી A દ્વંદ્વયુદ્ધ જીતીને, સંભાવના 0.3 સાથે B ને ફટકારશે. આમ, 0.3 > 3/13 થી, શૂટર A માટે સૌથી વધુ નફાકારક પરિસ્થિતિ એ છે કે જ્યારે કોઈ તેના શોટ પછી હિટ ન થાય. આનો અર્થ એ છે કે તેણે પ્રથમ વખત હવામાં ગોળીબાર કરવો પડશે.

જવાબ: પહેલીવાર હવામાં ગોળીબાર કરવો જોઈએ.

6. લાલ અને લીલા દડા.

બેગમાં 6 લાલ અને 8 લીલા બોલ છે. તેમાંથી 5 અવ્યવસ્થિત રીતે દોરવામાં આવે છે અને લાલ બૉક્સમાં મૂકવામાં આવે છે, બાકીના 9 દડા લીલા બૉક્સમાં મૂકવામાં આવે છે. લીલા બૉક્સમાં લાલ દડાની સંખ્યા વત્તા લાલ બૉક્સમાં લીલા દડાની સંખ્યા અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી તેની સંભાવના કેટલી છે?

ચાલો લાલ બૉક્સમાં લીલા દડાઓની સંખ્યા G દ્વારા દર્શાવીએ. 6 લાલ દડા અને 8 લીલા દડા હોવાથી, રંગો નીચે પ્રમાણે બોક્સમાં વહેંચવા જોઈએ:

લાલ બોક્સ: જી લીલો, (5 – જી) લાલ;

લીલો બોક્સ: (8 – G) લીલો, (G + 1) લાલ.

તેથી, લીલા બૉક્સમાં લાલ દડાની સંખ્યા વત્તા લાલ બૉક્સમાં લીલા દડાની સંખ્યા બરાબર છે (G + 1) + G = 2G + 1, એક વિષમ સંખ્યા. નંબર G 5 થી વધુ નથી - લાલ બૉક્સમાં બોલની કુલ સંખ્યા. તેથી, સરવાળો 2G + 1 1 (G = 0) થી 11 (G = 5) સુધીના મૂલ્યો લઈ શકે છે.

આ મર્યાદાઓની અંદર એકમાત્ર વિષમ સંયુક્ત સંખ્યા 9 છે. જો કે, આપણે સંખ્યા 1 પણ સામેલ કરવી જોઈએ, જે ન તો અવિભાજ્ય છે કે ન તો સંયુક્ત. તેથી 2G + 1 0 અથવા 9 બરાબર હોવું જોઈએ, જે G = 0 અથવા G = 4 સાથે શક્ય છે.

G = 0 (નમૂનાઓની કુલ સંખ્યા વડે ભાગ્યા 5 લાલ રાખવાની રીતોની સંખ્યા) સાથે નમૂના મેળવવાની સંભાવના C 6 5 /C 14 5 ની બરાબર છે.

G = 4 (નમૂનાઓની કુલ સંખ્યા વડે 4 લીલા અને 1 લાલ ભાગાકાર કરવાની રીતોની સંખ્યા) સાથે નમૂના મેળવવાની સંભાવના C 8 4 C 6 1 /C 14 5 ની બરાબર છે.

અમે સૂચવેલ સંભાવનાઓના સરવાળા તરીકે ઇચ્છિત ઘટનાની સંભાવના શોધીએ છીએ:

(C 6 5 + C 8 4 C 6 1) / C 14 5 = (6 + 420) / 2002 = 213 / 1001.

જવાબ: 213/1001.

7. માથું કે પૂંછડી?

બે ખેલાડીઓ A અને B એક છોકરાને જોઈ રહ્યા છે જે સતત સિક્કો ફેંકી રહ્યો છે. ટૉસના પરિણામો ક્રમશઃ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવે છે: ક્રમના k-મા સ્થાને અક્ષર O અથવા અક્ષર P મૂકવામાં આવે છે, k-th ટોસ દરમિયાન શું આવે છે તેના આધારે - "હેડ" અથવા "પૂંછડી", અનુક્રમે પ્લેયર A દાવો કરે છે કે OOO ટ્રિપલ ORO ટ્રિપલ કરતા પહેલા રેકોર્ડમાં દેખાશે. ખેલાડી બી શરત લગાવે છે કે તેનાથી વિરુદ્ધ થશે. કયા ખેલાડીની આ દાવ જીતવાની શક્યતા વધુ છે?

પ્રથમ અક્ષર O (જે ક્ષણથી છોકરાનું અવલોકન શરૂ થાય છે, ત્યાં 1 ની સંભાવના છે કે અક્ષર O ઓછામાં ઓછા એક વખત દેખાશે) નીચેના સંયોજનોમાંથી એક દ્વારા 1/4 ની સમાન સંભાવના સાથે અનુસરી શકાય છે:

RO, OO, RR, OR.

પ્રથમ કિસ્સામાં, ખેલાડી B જીતે છે, બીજા કિસ્સામાં, ખેલાડી A જીતે છે, અને જો ત્રીજો કેસ સાકાર થાય છે, તો તે પછી ખેલાડીઓ પાસે રમતની શરૂઆતમાં સમાન તકો હશે. ચોથા કિસ્સામાં, સંભાવના 1/2 સાથે O અક્ષર અનુસરશે અને ખેલાડી B જીતશે, અને સંભાવના 1/2 સાથે P અક્ષર અનુસરશે, જેના પછી ખેલાડીઓ પાસે રમતની શરૂઆતમાં સમાન તકો હશે. આમ, સંભાવના સાથે 1/4 A જીત, સંભાવના સાથે

1/4 + 1/4 1/2 = 3/8

B જીતશે અને સંભાવના 3/8 સાથે એવી પરિસ્થિતિ ઊભી થશે કે જ્યાં ખેલાડીઓને રમતની શરૂઆતમાં જેટલી જ તક મળશે. તેથી, ખેલાડી A કરતાં ખેલાડી B પાસે જીતવાની વધુ સારી તક છે.

જવાબ: ખેલાડી બી.

8. થિયેટરમાં.

થિયેટરોની સમાન 15-સીટની હરોળમાં આઠ છોકરાઓ અને સાત છોકરીઓએ સ્વતંત્ર રીતે એક ટિકિટ ખરીદી. આ પંક્તિમાં જોડી દ્વારા કબજે કરેલ અડીને આવેલા સ્થાનોની સરેરાશ સંખ્યા કેટલી છે?

ઉદાહરણ તરીકે, જો પંક્તિ નીચે પ્રમાણે ભરેલી હોય: YUDDYUDYUDYUDD (અહીં Y નો અર્થ છોકરો, અને D નો અર્થ છોકરી છે), તો YUD અને DYU 9 જોડી છે. અમને આવી જોડીની સરેરાશ સંખ્યામાં રસ છે. જો સળંગ પ્રથમ બે સ્થાનો વિવિધ જાતિના લોકો દ્વારા કબજે કરવામાં આવે છે, તો અમારી પાસે પહેલેથી જ ઇચ્છિત જોડી છે. આ ઘટનાની સંભાવના છે

(8/15) · (7/14) + (7/15) · (8/14) = 8/15.

તદુપરાંત, 8/15 એ પ્રથમ બે સ્થાનો પરની જોડીની સરેરાશ સંખ્યા પણ છે, ત્યારથી

(8/15) 1 + (7/15) 0 = 8/15.

સમાન તર્ક નજીકના સ્થાનોની દરેક જોડીને લાગુ પડે છે.

યુવાન લોકોની જોડીની સરેરાશ સંખ્યા નક્કી કરવા માટે, આ મૂલ્ય 14 ની બરાબર નજીકના સ્થાનોની સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવું આવશ્યક છે, જે 112/15 આપે છે.

વધુ સામાન્ય રીતે, જો ત્યાં એક પ્રકારની b અને બીજી m વસ્તુઓ હોય, જે અવ્યવસ્થિત રીતે એક પંક્તિમાં ગોઠવાયેલી હોય, તો વિવિધ પદાર્થોની બનેલી જોડીની સરેરાશ સંખ્યા બરાબર હોય છે.

અમારા ઉદાહરણમાં, b = 8, m = 7, અને જવાબ 112/15 છે.

અહીં આપણે અનિવાર્યપણે એ હકીકતનો ઉપયોગ કર્યો છે કે રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ગાણિતિક અપેક્ષા શરતોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સરવાળા જેટલી છે. અમે દરેક બે અડીને આવેલા સ્થાનો માટે JD અથવા DJ જોડીની સરેરાશ સંખ્યા શોધી કાઢી છે અને તેમને આવી બધી જોડી પર સરવાળો કર્યો છે.

જવાબ: 112/15.

9. અમેરિકામાં લોકપ્રિય રમતોમાંની એકમાં, ખેલાડી એક ઇંચના ચોરસમાં કાપેલી ટેબલની સપાટી પર એકદમ મોટા અંતરથી સિક્કો ફેંકે છે. જો સિક્કો (3/4 ઇંચનો વ્યાસ) ચોરસની અંદર સંપૂર્ણપણે ઉતરે છે, તો ખેલાડીને પુરસ્કાર મળે છે, અન્યથા તે તેનો સિક્કો ગુમાવે છે. જો સિક્કો ટેબલ પર પડે તો જીતવાની તકો શું છે?

જ્યારે આપણે ટેબલ પર સિક્કો ફેંકીએ છીએ, ત્યારે સિક્કાના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રના કેટલાક વિસ્તારો અન્ય કરતા વધુ હોય છે, પરંતુ જો ચોરસ પૂરતો નાનો હોય, તો અમે ધારી શકીએ છીએ કે સંભાવનાનું વિતરણ એકસરખું છે. આનો અર્થ એ છે કે ચોરસના કોઈપણ ક્ષેત્રમાં કેન્દ્ર પડવાની સંભાવના તે વિસ્તારના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણસર છે; તે ચોરસના ક્ષેત્રફળ દ્વારા વિભાજિત ક્ષેત્રના ક્ષેત્રની બરાબર છે. સિક્કાની ત્રિજ્યા 3/8 ઇંચ હોવાથી, ખેલાડી જીતવા માટે કેન્દ્ર ચોરસની બાજુઓથી 3/8 ઇંચથી વધુ નજીક ન હોવું જોઈએ.

આ મર્યાદા 1/4 ઇંચની બાજુવાળા ચોરસ દ્વારા પૂરી થાય છે, જેની અંદર સિક્કાનું કેન્દ્ર હોવું જોઈએ. સંભાવનાઓ વિસ્તારોના પ્રમાણસર હોવાથી, જીતવાની સંભાવના (1/4) 2 = 1/16 છે.

અલબત્ત, સિક્કો ટેબલ પર બિલકુલ હિટ ન કરી શકે, અને જીતવાની સંભાવના ખરેખર પણ ઓછી છે. વિભાજન રેખાઓને જાડી કરીને પણ ચોરસ નાના બનાવી શકાય છે. જો આ રેખાઓ 1/16 ઇંચ જાડી હોય, તો વિજેતા વિસ્તારની સંભાવના (3/16)2 = 9/256 અથવા 1/28 કરતાં ઓછી હોય છે.

જવાબ: 1/16.

10. સિક્કો ટૉસ.

ખેલાડી A સિક્કો n+1 વખત ફેંકે છે અને ખેલાડી B એક સિક્કો n વખત ફેંકે છે. ખેલાડી A ખેલાડી B કરતા વધુ માથા સાથે સમાપ્ત થવાની સંભાવના કેટલી છે?

ખેલાડીઓ A અને B ને અનુક્રમે m અને k હેડ મેળવવા દો. પછી ઘટના m>k ની ઇચ્છિત સંભાવના p એ ઘટનાની સંભાવના q જેટલી છે

(n + 1) – m > n – k,

એટલે કે, ખેલાડી A ને ખેલાડી B કરતા વધુ હેડ મળવાની સંભાવના (દરેક વખતે સિક્કો ઉછાળવામાં આવતો હોવાથી, માથા અને પૂંછડીઓ સમાન રીતે સંભવ છે).

બીજી બાજુ, ઘટના m>k થાય છે જો અને માત્ર જો

એટલે કે, જ્યારે (n+1)-m n–k કરતાં વધી જતું નથી (કારણ કે n–m અને n–k પૂર્ણાંકો છે). તેથી p=1–q, જ્યાંથી આપણી પાસે p=q=1/2 છે.

જવાબ: 1/2.

ઉકેલો વિના સમસ્યાઓ

1. સળંગ જીત.

તેના પુત્રને ટેનિસ રમવામાં સફળ થવા માટે પ્રોત્સાહિત કરવા માટે, પિતા તેને ઇનામ આપવાનું વચન આપે છે જો તે તેના પિતા અને ક્લબ ચેમ્પિયન સામે એક પંક્તિમાં ઓછામાં ઓછી બે ટેનિસ રમતો જીતે તો એક યોજના અનુસાર: પિતા - ચેમ્પિયન - પિતા અથવા ચેમ્પિયન - પિતા - પુત્રની પસંદગી દ્વારા ચેમ્પિયન. ચેમ્પિયન તેના પિતા કરતા વધુ સારી રીતે રમે છે. મારા પુત્રએ કઈ યોજના પસંદ કરવી જોઈએ?

2. "તમારું નસીબ અજમાવો"

"તમારું નસીબ અજમાવો" એ તકની રમત છે જે ઘણીવાર જુગારધામોમાં અને જાહેર તહેવારો દરમિયાન રમાય છે. ખેલાડીએ 1, 2, 3, 4, 5, 6 નંબરોમાંથી એક પર શરત લગાવ્યા પછી, ત્રણ ડાઇસ ફેરવવામાં આવે છે. જો ખેલાડીનો નંબર એક, બે અથવા ત્રણ ડાઇસ પર દેખાય છે, તો પછી આ નંબરના દરેક દેખાવ માટે ખેલાડીને મૂળ શરત ચૂકવવામાં આવે છે, અને તેના પોતાના પૈસા પણ પરત કરવામાં આવે છે. નહિંતર, ખેલાડી શરત ગુમાવે છે. એક જ શરત પર સરેરાશ ખેલાડીનું નુકસાન શું છે? (હકીકતમાં, તમે એક જ સમયે બહુવિધ નંબરો પર શરત લગાવી શકો છો, પરંતુ દરેક શરતને અલગથી ગણવામાં આવે છે.)

3. કાર્ડ્સની ડેક.

રેન્ડમ ક્રમમાં ગોઠવાયેલા n અલગ-અલગ પ્લેયિંગ કાર્ડ્સના ડેકમાં ત્રણ એસિસ હોય છે. બીજા પાસાનો પો દૂર ન થાય ત્યાં સુધી ડેકના ટોચના કાર્ડ્સ એક પછી એક દૂર કરવામાં આવે છે. સાબિત કરો કે દોરેલા કાર્ડ્સની સરેરાશ સંખ્યા (n + 1)/2 છે.

4. ફૂલોનો કલગી

ફૂલોના કલગીમાં 5 ડેઝી અને 10 કોર્નફ્લાવર હોય છે. દરેક 3 ફૂલોના નાના કલગી આ કલગીમાંથી રેન્ડમલી બનાવવામાં આવે છે. દરેક નાના કલગીમાં એક ડેઇઝી હશે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

5. તીવ્ર ત્રિકોણ.

ત્રિકોણ ABC એક્યુટ હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

મારે ત્રિજ્યા R ના વર્તુળમાં એક સમાન રેન્ડમ બિંદુ બનાવવાની જરૂર છે.

હું સમજું છું કે અંતરાલમાં એકસરખો રેન્ડમ કોણ પસંદ કરીને, કેન્દ્રથી અંતર આપીને. આપણો ત્રિકોણ એક પાતળી પટ્ટી છે, તેથી AB અને BC અનિવાર્યપણે સમાંતર છે. તેથી બિંદુ Z એ મૂળથી ફક્ત x + y અંતર છે. જો x + y > R આપણે તેને પાછું કાઢી નાખીએ છીએ.

અહીં R = 1 માટે સંપૂર્ણ અલ્ગોરિધમ છે. મને આશા છે કે તમને તે એકદમ સરળ લાગશે. તે ટ્રિગરનો ઉપયોગ કરે છે, પરંતુ તમે તેને કેટલો સમય લેશે તેની બાંયધરી આપી શકો છો, અને તેને કેટલા રેન્ડમ()ની જરૂર છે, અસ્વીકાર નમૂનાના વિરોધમાં.

T = 2*pi*random() u = random()+random() r = જો u>1 તો 2-u અન્ય u

અહીં તે ગણિતમાં છે.

F := બ્લોક[(u, t, r), u = રેન્ડમ + રેન્ડમ; t = રેન્ડમ 2 Pi; r = જો; (r Cos[t], r Sin[t]) ] ListPlot, Aspect Ratio -> Automatic]

અહીં એક ઝડપી અને સરળ ઉપાય છે.

શ્રેણી (0, 1) માં બે રેન્ડમ નંબરો પસંદ કરો, જેમ કે a અને b. જો બી< a , замените их. Ваша точка (b*R*cos(2*pi*a/b), b*R*sin(2*pi*a/b)) .

તમે નીચેની રીતે આ ઉકેલ વિશે વિચારી શકો છો. જો તમે એક વર્તુળ લેશો, તેને કાપો અને પછી તેને સીધુ કરો, તો તમને એક કાટકોણ ત્રિકોણ મળશે. ત્રિકોણને નીચે સ્કેલ કરો અને તમારી પાસે (0, 0) થી (1, 0) થી (1, 1) અને પાછા (0, 0) સુધીનો ત્રિકોણ હશે. આ તમામ રૂપાંતરણો ઘનતાને એકસરખી રીતે બદલે છે. તમે જે કર્યું તે ત્રિકોણમાં એકસરખી રીતે રેન્ડમ બિંદુ પસંદ કરવાનું હતું અને વર્તુળમાં બિંદુ મેળવવા માટે પ્રક્રિયાને ઉલટાવી હતી.

નોંધ કરો કે બિંદુની ઘનતા ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત ચોરસના પ્રમાણસર છે, તેથી r માંથી પસંદ કરવાને બદલે, માંથી પસંદ કરો, પછી તમારા કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી આ રીતે કરો:

X = sqrt(r) * cos(angle) y = sqrt(r) * sin(કોણ)

આ તમને ડિસ્ક પરના પોઈન્ટનું સરખું વિતરણ આપશે.

આ રીતે વિચારો. જો તમારી પાસે એક લંબચોરસ છે જ્યાં એક અક્ષ ત્રિજ્યા છે અને એક કોણ છે, અને તમે તે લંબચોરસની અંદર બિંદુઓ લો છો જે ત્રિજ્યા 0 ની નજીક છે. તે બધા મૂળની ખૂબ નજીક હશે (તે વર્તુળની નજીક છે). જો કે, ત્રિજ્યા R ની નજીકના બિંદુઓ બધા વર્તુળની ધારની નજીક આવશે (એટલે ​​​​કે, એકબીજાથી ખૂબ દૂર).

આ તમને આ વર્તણૂક શા માટે મળી રહી છે તેની થોડી સમજ આપી શકે છે.

મૂળ આધાર એ છે કે તમે સંચિત વિતરણ કાર્યના એકસમાન વ્યુત્ક્રમને ઇચ્છિત સંભાવના ઘનતા કાર્યમાં ફિટ કરીને સમાનમાંથી ઇચ્છિત વિતરણ સાથે ચલ બનાવી શકો છો. શેના માટે? જસ્ટ તેને ગ્રાન્ટેડ માટે લો, પરંતુ તે એક હકીકત છે.

ગણિતનું મારું થોડું સાહજિક સમજૂતી અહીં છે. r ના સંદર્ભમાં ઘનતા કાર્ય f(r) પોતે r ના પ્રમાણસર હોવું જોઈએ. આ હકીકતને સમજવી એ કોઈપણ મૂળભૂત કલન પુસ્તકોનો ભાગ છે. ધ્રુવીય તત્વો પરના વિભાગો જુઓ. અન્ય કેટલાક પોસ્ટરમાં આનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છે.

તેથી, ચાલો તેને f(r) = C * r કહીએ;

આ નોકરીનો મોટો ભાગ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. હવે, કારણ કે f(r) એ સંભવિત ઘનતા હોવી જોઈએ, તે જોવાનું સરળ છે કે અંતરાલ (0, R) પર f(r) ને એકીકૃત કરવાથી તમને C = 2/R^2 મળે છે (આ વાચક માટે એક કસરત છે. .)

તેથી f(r) = 2 * r/R^2

પછી અંતિમ ભાગ (0,1) માં યુનિફોર્મ રેન્ડમ ચલ u માંથી આવે છે, જેને તમારે આ જરૂરી ઘનતા f(r) ના સંચિત વિતરણ કાર્યના વ્યસ્ત સાથે મેપ કરવું આવશ્યક છે. આ કેમ છે તે સમજવા માટે, તમારે પેપ્યુલિસ (અથવા જાતે એક મેળવો) જેવો અદ્યતન સંભાવના ટેક્સ્ટ શોધવાની જરૂર પડશે.

f(r) ને એકીકૃત કરવાથી તમને F(r) = r^2/R^2 મળે છે

આનું વ્યસ્ત કાર્ય શોધવા માટે, તમે u = r^2/R^2 આપો ​​અને પછી r માટે ઉકેલો, જે તમને r = R * sqrt(u) આપે છે.

આ પણ સાહજિક રીતે સમજાય છે, u=0 ને r=0 પર નકશો બનાવવો જોઈએ, ઉપરાંત, તે વર્ગમૂળ ફંક્શન છે જે અર્થપૂર્ણ છે અને લિંક સાથે મેળ ખાય છે.

નિષ્કપટ ઉકેલ કામ કરતું નથી તેનું કારણ એ છે કે તે વર્તુળના કેન્દ્રની નજીકના બિંદુઓને ઉચ્ચ સંભાવનાની ઘનતા આપે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ત્રિજ્યા r/2 ધરાવતા વર્તુળમાં તેમાં પસંદ કરેલ બિંદુ મેળવવાની સંભાવના r/2 હોય છે, પરંતુ તેનો વિસ્તાર (બિંદુઓની સંખ્યા) pi * r^2/4 હોય છે.

તેથી, અમે ઈચ્છીએ છીએ કે ત્રિજ્યા સંભાવના ઘનતા નીચેની મિલકત ધરાવે છે:

આપેલ r કરતાં ઓછી અથવા સમાન ત્રિજ્યા પસંદ કરવાની સંભાવના r ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણસર હોવી જોઈએ. (કારણ કે અમે તમામ પોઈન્ટ પર સમાન વિતરણ કરવા માંગીએ છીએ, અને મોટા વિસ્તારોનો અર્થ વધુ પોઈન્ટ છે)

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમે વર્તુળના કુલ ક્ષેત્રફળના તેના અપૂર્ણાંકની સમાન ત્રિજ્યા પસંદ કરવાની સંભાવના ઇચ્છીએ છીએ. વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ pi * R^2 છે અને ત્રિજ્યા r સાથે વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ pi * r^2 છે તેથી અમે (pi * r^) વચ્ચે ત્રિજ્યા પસંદ કરવાની સંભાવના ઈચ્છીએ છીએ 2)/(pi * R^2 ) = r^2/R^2.

હવે ગણિત આવે છે:

વચ્ચે ત્રિજ્યા પસંદ કરવાની સંભાવના એ p(r)dr નું 0 થી r સુધીનું અવિભાજ્ય છે (આ ફક્ત એટલા માટે છે કારણ કે આપણે નાની ત્રિજ્યાની તમામ સંભાવનાઓ ઉમેરી રહ્યા છીએ). તેથી આપણે અવિભાજ્ય (p(r)dr) = r^2/R^2 જોઈએ છીએ, આપણે સ્પષ્ટપણે જોઈ શકીએ છીએ કે R^2 એક સ્થિરાંક છે, તેથી આપણે માત્ર એ જાણવાની જરૂર છે કે p(r)માંથી કયો સંકલિત થશે. અમને r^2 જેવું કંઈક આપો જવાબ સ્પષ્ટપણે r* સ્થિર છે. ઇન્ટિગ્રલ (r * const dr) = r ^ 2/2 * સતત. આ r^2/R^2 બરાબર હોવું જોઈએ, તેથી સ્થિરાંક = 2/R^2 તેથી તમારી પાસે સંભાવના વિતરણ p(r) = r*2/R^2 છે

નૉૅધ.સમસ્યા વિશે વિચારવાની બીજી સાહજિક રીત એ કલ્પના કરવી છે કે તમે દરેક વર્તુળને તેની પરિઘ લંબાઈ પરના પોઈન્ટની સંખ્યાના સમાન પ્રમાણમાં સંભવિત સંભાવના ત્રિજ્યા આપવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યાં છો. તેથી ત્રિજ્યા r સાથેના વર્તુળમાં તેના પરિઘ સાથે 2 * pi * r "બિંદુઓ" હશે. પોઈન્ટની કુલ સંખ્યા pi * R^2 છે તેથી તમારે વર્તુળ r ને (2 * pi * r)/(pi * R^2) = 2 * r/R^2 ની સમાનતા આપવી જોઈએ સમજો અને વધુ સાહજિક, પરંતુ તે ગાણિતિક રીતે સ્વસ્થ નથી.

તે ખરેખર "સમાન રીતે રેન્ડમ" દ્વારા તમે શું કહેવા માગો છો તેના પર આધાર રાખે છે. આ એક સરસ મુદ્દો છે, અને તમે તેના વિશે અહીં વિકિ પૃષ્ઠ પર વધુ વાંચી શકો છો: http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_%28probability%29, જ્યાં સમાન સમસ્યા "એકસરખી રેન્ડમ" ના વિવિધ અર્થઘટન આપે છે. જુદા જુદા જવાબો!

તમે પોઈન્ટ કેવી રીતે પસંદ કરો છો તેના આધારે, વિતરણ બદલાઈ શકે છે, જો કે તે કંઈક અંશે સમાન છે.

બ્લોગ એન્ટ્રી તેને નીચેના અર્થમાં એકસરખી રીતે રેન્ડમ બનાવવાનો પ્રયાસ કરી રહી હોય તેવું લાગે છે: જો તમે સમાન કેન્દ્ર સાથે વર્તુળનું પેટાવર્તુળ લો છો, તો તે પ્રદેશમાં આવતા બિંદુની સંભાવના પ્રદેશના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણસર છે. . આ, હું માનું છું કે, 2D પ્રદેશો માટે તેમના પર નિર્ધારિત પ્રદેશો સાથે હવે પ્રમાણભૂત "એકસરખી રેન્ડમ" અર્થઘટનને અનુસરવાનો પ્રયાસ કરે છે: કોઈપણ પ્રદેશમાં (સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત પ્રદેશ સાથે) બિંદુ પડવાની સંભાવના એ વિસ્તારના પ્રમાણસર છે. તે પ્રદેશ.

ત્રિજ્યા રેડિયસના વર્તુળમાંથી નંબર રેન્ડમ પોઈન્ટ જનરેટ કરવા માટેનો મારો પાયથોન કોડ અહીં છે:

matplotlib.pyplot ને plt તરીકે આયાત કરો numpy તરીકે np rad = 10 num = 1000 t = np.random.uniform(0.0, 2.0*np.pi, num) r = rad * np.sqrt(np.random.uniform(0.0, 1.0, સંખ્યા)) x = r * np.cos(t) y = r * np.sin(t) plt.plot(x, y, "ro", ms=1) plt.axis([-15, 15 , -15, 15]) plt.show()

ચાલો ρ (ત્રિજ્યા) અને φ (એઝિમુથ) એ વર્તુળની અંદરના મનસ્વી બિંદુના ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સને અનુરૂપ બે રેન્ડમ ચલ છે. જો બિંદુઓ સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે, તો પછી ρ અને φ કાર્યોનું વિતરણ કાર્ય શું છે?

કોઈપણ આર માટે: 0

પી[ρ

જ્યાં S1 અને S0 એ અનુક્રમે r અને R ત્રિજ્યાના વર્તુળના ક્ષેત્રો છે. તેથી સીડીએફને આ રીતે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે:

0 જો આર<=0 CDF = (r/R)**2 if 0 < r <= R 1 if r >આર

PDF = d/dr(CDF) = 2 * (r/R**2) (0< r <= R).

નોંધ કરો કે R = 1 માટે રેન્ડમ ચલ sqrt (X), જ્યાં X એ = P = y * * 2 પર 0 પર સમાન છે

φ નું વિતરણ દેખીતી રીતે 0 થી 2 * π સુધી સમાન છે. હવે તમે રેન્ડમ ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ જનરેટ કરી શકો છો અને ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને તેમને કાર્ટેશિયનમાં કન્વર્ટ કરી શકો છો:

X = ρ * cos(φ) y = ρ * sin(φ)

R=1 માટે પાયથોન કોડ પોસ્ટ કરવાનો પ્રતિકાર કરી શકતા નથી.

matplotlib થી pyplot આયાત કરો plt તરીકે numpy તરીકે np rho = np.sqrt(np.random.uniform(0, 1, 5000)) phi = np.random.uniform(0, 2*np.pi, 5000) x = rho * np.cos(phi) y = rho * np.sin(phi) plt.scatter(x, y, s = 4)

તમને મળશે

જાવા સોલ્યુશન અને પ્રચાર ઉદાહરણ (2000 પોઇન્ટ)

સાર્વજનિક રદબાતલ getRandomPointInCircle() ( double t = 2 * Math.PI * Math.random(); ડબલ r = Math.sqrt(Math.random()); ડબલ x = r * Math.cos(t); ડબલ y = r * Math.sin(t); System.out.println(x);

પહેલા આપણે cdf[x] જનરેટ કરીશું જે છે

એક બિંદુ વર્તુળના કેન્દ્રથી અંતર x કરતાં ઓછું હોય તેવી સંભાવના. ચાલો ધારીએ કે વર્તુળમાં ત્રિજ્યા R છે.

દેખીતી રીતે, જો x શૂન્ય છે, તો cdf = 0

દેખીતી રીતે, જો x બરાબર R હોય, તો cdf [R] = 1

દેખીતી રીતે, જો x = r, તો cdf [r] = (Pi r ^ 2)/(Pi R ^ 2)

આ એટલા માટે છે કારણ કે વર્તુળ પરના દરેક "નાના વિસ્તાર" ની પસંદગીની સમાન સંભાવના છે, તેથી સંભાવના તે વિસ્તારના પ્રમાણસર છે. અને વર્તુળના કેન્દ્રથી x ના અંતરે આપેલ વિસ્તાર Pi r^2 છે

તેથી cdf[x] = x^2/R^2 કારણ કે Pi એકબીજાને રદ કરે છે

અમારી પાસે cdf[x] = x^2/R^2 છે, જ્યાં x 0 થી R સુધી જાય છે

તેથી આપણે x માટે હલ કરીએ છીએ

R^2 cdf[x] = x^2 x = R Sqrt[ cdf[x] ]

હવે આપણે સીડીએફને 0 અને 1 વચ્ચેના રેન્ડમ નંબર સાથે બદલી શકીએ છીએ

X = R Sqrt[ RandomReal[(0,1)] ]

R = R Sqrt[ RandomReal[(0,1)] ]; થીટા = 360 ડિગ્રી * રેન્ડમરીઅલ[(0,1)]; (r,theta)

આપણને ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ મળે છે (0.601168 R, 311.915 ડિગ્રી)

મેં આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો છે: આ સંપૂર્ણપણે અનઓપ્ટિમાઇઝ થઈ શકે છે (એટલે ​​​​કે પોઈન્ટની શ્રેણીનો ઉપયોગ કરે છે, તેથી તે મોટા વર્તુળો માટે યોગ્ય નથી), પરંતુ રેન્ડમ વિતરણ આપે છે. તમે મેટ્રિક્સ બનાવવાનું છોડી શકો છો અને જો તમે ઇચ્છો તો સીધા દોરો. પદ્ધતિ એ લંબચોરસમાંના તમામ બિંદુઓને રેન્ડમાઇઝ કરવાની છે જે વર્તુળની અંદર આવે છે.

Bool[,] getMatrix(System.Drawing.Rectangle r) ( bool[,] matrix = new bool; return matrix; ) void fillMatrix(ref bool[,] matrix, Vector center) ( ડબલ ત્રિજ્યા = center.X; રેન્ડમ r = new Random(); માટે (int y = 0; y< matrix.GetLength(0); y++) { for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++) { double distance = (center - new Vector(x, y)).Length; if (distance < radius) { matrix = r.NextDouble() >0.5; ) ) ) ) ખાનગી રદબાતલ ડ્રોમેટ્રિક્સ(વેક્ટર સેન્ટરપોઇન્ટ, ડબલ ત્રિજ્યા, બૂલ[,] મેટ્રિક્સ) ( var g = this.CreateGraphics(); બીટમેપ પિક્સેલ = નવો બીટમેપ(1,1); પિક્સેલ.સેટપિક્સેલ(0, 0, રંગ .બ્લેક); માટે (int y = 0; y< matrix.GetLength(0); y++) { for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++) { if (matrix) { g.DrawImage(pixel, new PointF((float)(centerPoint.X - radius + x), (float)(centerPoint.Y - radius + y))); } } } g.Dispose(); } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { System.Drawing.Rectangle r = new System.Drawing.Rectangle(100,100,200,200); double radius = r.Width / 2; Vector center = new Vector(r.Left + radius, r.Top + radius); Vector normalizedCenter = new Vector(radius, radius); bool[,] matrix = getMatrix(r); fillMatrix(ref matrix, normalizedCenter); drawMatrix(center, radius, matrix); }

વર્તુળમાં વિસ્તાર તત્વ dA = rdr * dphi છે. આ વધારાના પરિબળે અવ્યવસ્થિત રીતે r અને phi પસંદ કરવાના તમારા વિચારને બગાડ્યો. જ્યારે phi ફ્લેટ વિતરિત કરવામાં આવે છે, r નથી, પરંતુ 1/r પર સપાટ છે (એટલે ​​કે તમે આખલાની આંખ કરતાં બાઉન્ડ્રીને અથડાવાની શક્યતા વધુ છો).

તેથી, વર્તુળની આસપાસ સમાનરૂપે વિતરિત બિંદુઓ બનાવવા માટે, સપાટ વિતરણમાંથી phi અને 1/r વિતરણમાંથી r પસંદ કરો.

મેહરદાદ દ્વારા પ્રસ્તાવિત મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનો વિકલ્પ છે.

બદલો

1/r પર રેન્ડમ r ફ્લેટ પસંદ કરવા માટે, તમે અંતરાલમાંથી રેન્ડમ x પસંદ કરી શકો છો અને r = 1/x ની ગણતરી કરી શકો છો. પછી r ને 1/r માં ગીચતાપૂર્વક વિતરિત કરવામાં આવે છે.

રેન્ડમ ફીની ગણતરી કરવા માટે, અંતરાલમાંથી રેન્ડમ x પસંદ કરો અને phi = 2 * pi * x ની ગણતરી કરો.

તમે તમારા અંતર્જ્ઞાનનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો.

વર્તુળનો વિસ્તાર pi*r^2 છે

આ અમને વિસ્તાર pi આપે છે. ચાલો ધારીએ કે આપણી પાસે અમુક ફંક્શન f છે જે વર્તુળની અંદર N=10 પોઈન્ટને સરખે ભાગે વહેંચે છે. અહીં ગુણોત્તર 10/pi છે

હવે આપણે વિસ્તાર અને પોઈન્ટની સંખ્યા બમણી કરીએ છીએ

r=2 અને N=20 પર

આ 4pi નું ક્ષેત્રફળ આપે છે અને ગુણોત્તર હવે 20/4pi અથવા 10/2pi છે. ગુણોત્તર ત્રિજ્યા જેટલું નાનું અને નાનું થશે, કારણ કે તેની વૃદ્ધિ ચતુર્ભુજ છે અને N રેખીય છે.

આને ઠીક કરવા માટે આપણે ખાલી કહી શકીએ

X = r^2 sqrt(x) = r

જો તમે આ રીતે ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં વેક્ટર બનાવો છો

રૂપરેખા યોજના વિકસાવી

ટ્રોફિમોવા લ્યુડમિલા અલેકસેવના

ભૌમિતિક સંભાવના

લક્ષ્યો અને ઉદ્દેશ્યો: 1) વિદ્યાર્થીઓને સોંપણીની સંભવિત પદ્ધતિઓમાંથી એકનો પરિચય આપો

સંભાવનાઓ;

2) જે શીખ્યા છે તેનું પુનરાવર્તન અને ઔપચારિકતા કૌશલ્યોનું એકીકરણ

ભૌમિતિક આકારોનો ઉપયોગ કરીને ટેક્સ્ટ સંભાવના સમસ્યાઓ.

ભણવાના પરિણામો:

1) બિંદુ પસંદ કરવાની ભૌમિતિક સંભાવનાની વ્યાખ્યા જાણો

પ્લેન પરની આકૃતિ અને સીધી રેખાની અંદર;

2) સરળ ભૌમિતિક સંભાવના સમસ્યાઓ હલ કરવામાં સમર્થ થાઓ,

આંકડાઓના ક્ષેત્રોને જાણવું અથવા તેમની ગણતરી કરવામાં સક્ષમ થવું.

આઈ. પ્લેન પરની આકૃતિમાંથી બિંદુ પસંદ કરી રહ્યા છીએ.

ઉદાહરણ 1.એક વિચાર પ્રયોગનો વિચાર કરો: એક બિંદુ એક ચોરસ પર અવ્યવસ્થિત રીતે ફેંકવામાં આવે છે જેની બાજુ 1 ની બરાબર છે. પ્રશ્ન એ છે કે ઘટનાની સંભાવના શું છે કે આ બિંદુથી ચોરસની નજીકની બાજુનું અંતર કરતાં વધુ ન હોય ?

આ સમસ્યામાં આપણે કહેવાતા વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ ભૌમિતિક સંભાવના.

એક બિંદુ આકૃતિમાં રેન્ડમ પર ફેંકવામાં આવે છે એફસપાટી પર. કોઈ બિંદુ ચોક્કસ આકૃતિમાં આવે તેની સંભાવના કેટલી છે જી,જે આકૃતિમાં સમાયેલ છે એફ.

જવાબ આપણે અભિવ્યક્તિને શું અર્થ આપીએ છીએ તેના પર આધાર રાખે છે "એક બિંદુને રેન્ડમ પર ફેંકી દો."

આ અભિવ્યક્તિનું સામાન્ય રીતે નીચે મુજબ અર્થઘટન કરવામાં આવે છે:

1. ફેંકવામાં આવેલ બિંદુ આકૃતિના કોઈપણ ભાગને ફટકારી શકે છે એફ.

2. બિંદુ ચોક્કસ આકૃતિમાં આવે તેવી સંભાવના જીઆકૃતિની અંદર F,આકૃતિના ક્ષેત્રફળના સીધા પ્રમાણસર જી.

સારાંશ માટે: ચાલો અને આકૃતિઓના ક્ષેત્રો બનો એફઅને જી. ઘટનાની સંભાવના એ“બિંદુ X આકૃતિનો છે જી,જે આકૃતિમાં સમાયેલ છે એફ", બરાબર છે

નોંધ કરો કે આકૃતિનો વિસ્તાર જીઆકૃતિના વિસ્તાર કરતાં વધુ નહીં F,એ કારણે

ચાલો આપણા કાર્ય પર પાછા આવીએ. આંકડો એફઆ ઉદાહરણમાં, બાજુ 1 સાથેનો ચોરસ. તેથી =1.

જો તે આકૃતિમાં છાંયેલા આકૃતિની અંદર આવે તો ચોરસની સીમામાંથી કોઈ બિંદુ વધુ નહીં દૂર કરવામાં આવે છે. જી.વિસ્તાર શોધવા માટે, તમારે આકૃતિના ક્ષેત્રમાંથી જરૂર છે એફબાજુ સાથે આંતરિક ચોરસનો વિસ્તાર બાદ કરો.

પછી પોઈન્ટ આકૃતિમાં આવે તેવી સંભાવના જી,ની સમાન

ઉદાહરણ 2.બિંદુ X એ ત્રિકોણ ABC માંથી અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ થયેલ છે કે તે ત્રિકોણ સાથે સંબંધિત છે કે જેના શિરોબિંદુઓ ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ છે તે શોધો.

ઉકેલ:ત્રિકોણની મધ્ય રેખાઓ તેને 4 સમાન ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. અર્થ,

બિંદુ X ત્રિકોણ KMN થી સંબંધિત છે તેવી સંભાવના છે:

નિષ્કર્ષ. કોઈ ચોક્કસ આકૃતિમાં બિંદુ પડવાની સંભાવના આ આકૃતિના ક્ષેત્રફળના સીધા પ્રમાણમાં છે.

કાર્ય. અધીર દ્વંદ્વયુદ્ધકારો.

સાવધાન શહેરમાં દ્વંદ્વયુદ્ધ ભાગ્યે જ દુઃખદ રીતે સમાપ્ત થાય છે. હકીકત એ છે કે દરેક ડ્યૂલિસ્ટ સવારે 5 થી 6 વાગ્યાની વચ્ચે રેન્ડમ સમયે મીટિંગ સ્થળે પહોંચે છે અને 5 મિનિટ પ્રતિસ્પર્ધીની રાહ જોયા પછી, ત્યાંથી નીકળી જાય છે. જો બાદમાં આ 5 મિનિટમાં આવે છે, તો દ્વંદ્વયુદ્ધ થશે. દ્વંદ્વયુદ્ધનું પ્રમાણ ખરેખર લડાઇમાં સમાપ્ત થાય છે?

ઉકેલ:દો એક્સઅને ખાતે 5 વાગ્યાથી શરૂ થતા એક કલાકના અપૂર્ણાંકમાં માપવામાં આવેલ અનુક્રમે 1લી અને 2જી ડ્યૂલિસ્ટના આગમનનો સમય દર્શાવે છે.

ડ્યુલિસ્ટ્સ મળે છે જો, એટલે કે. x - < y< x + .

ચાલો આને ચિત્રમાં દર્શાવીએ.

જ્યારે ડ્યુલિસ્ટ્સ મળે ત્યારે ચોરસનો છાંયડો ભાગ કેસને અનુરૂપ હોય છે.

સમગ્ર ચોરસનું ક્ષેત્રફળ 1 છે, છાંયેલા ભાગનું ક્ષેત્રફળ છે:

.

મતલબ કે લડાઈની શક્યતાઓ સમાન છે.

II. સેગમેન્ટ અને વર્તુળની ચાપમાંથી બિંદુ પસંદ કરી રહ્યા છીએ.

ચાલો એક વિચાર પ્રયોગને ધ્યાનમાં લઈએ જેમાં ચોક્કસ સેગમેન્ટ MNમાંથી એક બિંદુ X રેન્ડમલી પસંદ કરવામાં આવે છે.

આને સમજી શકાય કે જો બિંદુ X રેન્ડમલી સેગમેન્ટ પર "ફેંકવામાં" આવે. આ પ્રયોગમાં પ્રાથમિક ઘટના સેગમેન્ટ પરના કોઈપણ બિંદુની પસંદગી હોઈ શકે છે.

સેગમેન્ટ CD ને સેગમેન્ટ MN માં સમાવવા દો. અમને ઇવેન્ટમાં રસ છે એ , એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ છે કે પસંદ કરેલ બિંદુ X એ સેગમેન્ટ CD સાથે સંબંધિત છે.

આ સંભાવનાની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિ પ્લેન પરના આંકડાઓ જેવી જ છે: સંભાવના સેગમેન્ટ સીડીની લંબાઈના પ્રમાણસર છે.

તેથી, ઘટનાની સંભાવના એ “બિંદુ X એ સેગમેન્ટ MN માં સમાયેલ સેગમેન્ટ CD નો છે” બરાબર છે, .

ઉદાહરણ 1.બિંદુ X એ રેન્ડમલી સેગમેન્ટ MN ની અંદર પસંદ કરવામાં આવે છે કે બિંદુ X M કરતાં બિંદુ N ની નજીક છે.

ઉકેલ:બિંદુ O એ સેગમેન્ટ MN નો મધ્યબિંદુ છે. જ્યારે બિંદુ X સેગમેન્ટ ONની અંદર આવેલું હોય ત્યારે અમારી ઘટના બનશે.

પછી .

જો બિંદુ X કોઈ સેગમેન્ટમાંથી નહીં, પરંતુ અમુક વક્ર રેખાના ચાપમાંથી પસંદ કરવામાં આવે તો કંઈ બદલાતું નથી.

ઉદાહરણ 2.બિંદુ A અને B વર્તુળ પર આપવામાં આવે છે, અને આ બિંદુઓ ડાયમેટ્રિકલી વિરોધ કરતા નથી. બિંદુ C એ સમાન વર્તુળ પર પસંદ થયેલ છે તે સંભાવના શોધો કે BC એ બિંદુ Aમાંથી પસાર થતા વર્તુળના વ્યાસને છેદે છે.

ઉકેલ:પરિઘને એલ રહેવા દો. અમને રસની ઘટના પ્રતિ "સેગમેન્ટ BC વ્યાસ DA ને છેદે છે" ત્યારે જ થાય છે જો બિંદુ C અર્ધવર્તુળ DA પર આવેલું હોય જેમાં બિંદુ B ન હોય. આ અર્ધવર્તુળની લંબાઈ L છે.

.

ઉદાહરણ 3.બિંદુ A વર્તુળ પર "ફેંકવામાં" આવે છે કે તાર AB ની લંબાઈ વર્તુળની ત્રિજ્યા કરતા ઓછી હશે.

ઉકેલ:ચાલો r વર્તુળની ત્રિજ્યા હોઈએ.

તાર AB વર્તુળની ત્રિજ્યા કરતાં ટૂંકો હોય તે માટે, બિંદુ B એ ચાપ B1AB2 પર આવવો જોઈએ, જેની લંબાઈ વર્તુળની લંબાઈ જેટલી હોય.

તાર AB ની લંબાઈ વર્તુળની ત્રિજ્યા કરતા ઓછી હોવાની સંભાવના છે:

III. સંખ્યા રેખામાંથી બિંદુ પસંદ કરી રહ્યા છીએ

ભૌમિતિક સંભાવનાને સંખ્યાત્મક અંતરાલો પર લાગુ કરી શકાય છે. ધારો કે સંખ્યા X રેન્ડમલી પસંદ કરવામાં આવી છે જે સ્થિતિને સંતોષે છે. આ પ્રયોગને એવા પ્રયોગ દ્વારા બદલી શકાય છે જેમાં સંખ્યા રેખા પરના સેગમેન્ટમાંથી સંકલન X સાથેનો બિંદુ પસંદ કરવામાં આવે છે.

ચાલો એ ઘટનાને ધ્યાનમાં લઈએ કે સેગમેન્ટમાં સમાયેલ સેગમેન્ટમાંથી કોઓર્ડિનેટ X સાથેનો બિંદુ પસંદ કરવામાં આવ્યો છે. ચાલો આ ઘટનાને સૂચિત કરીએ. તેની સંભાવના સેગમેન્ટ્સની લંબાઈના ગુણોત્તર જેટલી છે અને .

.

ઉદાહરણ 1.સેગમેન્ટમાંથી રેન્ડમલી પસંદ કરેલ બિંદુ સેગમેન્ટ સાથે સંબંધિત છે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ:ભૌમિતિક સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ:

.

ઉદાહરણ 2.ટ્રાફિક નિયમો અનુસાર, જો કોઈ રાહદારી ક્રોસિંગ નજરમાં ન હોય તો રાહદારી અનિશ્ચિત જગ્યાએ શેરી ક્રોસ કરી શકે છે. મિરગોરોડ શહેરમાં, સોલ્નેચનાયા સ્ટ્રીટ પર પગપાળા ક્રોસિંગ વચ્ચેનું અંતર 1 કિમી છે. એક રાહદારી બે ક્રોસિંગની વચ્ચે ક્યાંક સોલ્નેચનાયા સ્ટ્રીટ ક્રોસ કરે છે. તે પોતાનાથી 100 મીટરથી વધુ દૂર ક્રોસિંગ ચિહ્ન જોઈ શકે છે. સંભાવના શોધો કે રાહદારી નિયમો તોડતો નથી.

ઉકેલ:ચાલો ભૌમિતિક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ. ચાલો નંબર લાઇન ગોઠવીએ જેથી ક્રોસિંગ વચ્ચેની શેરીનો વિભાગ એક સેગમેન્ટમાં ફેરવાય. કોઈ રાહદારીને કોઓર્ડિનેટ X સાથે અમુક સમયે શેરીમાં આવવા દો. જો રાહદારી દરેક ક્રોસિંગથી 0.1 કિમીથી વધુના અંતરે હોય તો તે નિયમોનું ઉલ્લંઘન કરતો નથી, એટલે કે 0.1

.

ઉદાહરણ 3.ટ્રેન અડધી મિનિટમાં પ્લેટફોર્મ પરથી પસાર થાય છે. કોઈક સમયે, તદ્દન આકસ્મિક રીતે, તેના ડબ્બાની બારીમાંથી બહાર જોતા, ઇવાન ઇવાનોવિચે જોયું કે ટ્રેન પ્લેટફોર્મ પરથી પસાર થઈ રહી છે. ઇવાન ઇવાનોવિચે બરાબર 10 સેકન્ડ માટે બારી બહાર જોયું અને પછી પાછો ફર્યો. સંભાવના શોધો કે તેણે ઇવાન નિકિફોરોવિચને જોયો, જે પ્લેટફોર્મની મધ્યમાં બરાબર ઊભો હતો.

ઉકેલ:ચાલો ભૌમિતિક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ. અમે સેકન્ડોમાં ગણતરી કરીશું. ચાલો તે ક્ષણ બનવા માટે 0 સેકન્ડનો સમય લઈએ જ્યારે ઇવાન ઇવાનોવિચે પ્લેટફોર્મની શરૂઆત કરી. પછી તે 30 સેકન્ડે પ્લેટફોર્મના છેડે પહોંચી ગયો. X સેકન્ડ માટે. ચાલો તે ક્ષણને ચિહ્નિત કરીએ જ્યારે ઇવાન ઇવાનોવિચે બારી બહાર જોયું. તેથી, X નંબર રેન્ડમલી સેગમેન્ટમાંથી પસંદ કરવામાં આવ્યો છે. મેં 15 સેકન્ડમાં ઇવાન સાથે પકડ્યો. તેણે ઇવાન નિકિફોરોવિચને ફક્ત ત્યારે જ જોયો જો તેણે તે ક્ષણ કરતાં પાછળથી બારીની બહાર જોયું, પરંતુ તે 10 સેકંડ પહેલાં નહીં. આમ, તમારે ઘટનાની ભૌમિતિક સંભાવના શોધવાની જરૂર છે. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ

.

"સંભવિત પૃષ્ઠભૂમિ"

"ડેડ સોલ્સ" કવિતાની શરૂઆતમાં જ બે માણસો ચિચિકોવની ગાડીનું વ્હીલ કેટલું દૂર જશે તે અંગે દલીલ કરે છે:

“... હોટેલની સામેના ટેવર્નના દરવાજે ઊભેલા બે રશિયન માણસોએ કેટલીક ટિપ્પણીઓ કરી, જે, જો કે, તેમાં બેઠેલા લોકો કરતાં ગાડી સાથે વધુ સંબંધિત હતી. “જુઓ,” એકે બીજાને કહ્યું, “શું ચક્ર છે! તમને શું લાગે છે, શું તે વ્હીલ, જો તે થાય, તો તે મોસ્કો પહોંચશે કે નહીં?" "તે ત્યાં પહોંચશે," બીજાએ જવાબ આપ્યો. "પણ મને નથી લાગતું કે તે કાઝાન જશે?" "તે કાઝાન સુધી પહોંચશે નહીં," બીજાએ જવાબ આપ્યો.

સમસ્યાઓ હલ કરવી.

1. એ સંભાવના શોધો કે બાજુ 4 વાળા ચોરસ ABCD માં અવ્યવસ્થિત રીતે ફેંકવામાં આવેલ બિંદુ ચોરસ ABCD ની અંદર સ્થિત બાજુ 3 સાથે A1B1C1D1 માં સમાપ્ત થશે.

જવાબ આપો. 9/16.

2. બે વ્યક્તિ A અને B 900 થી 1000 ના સમયના અંતરાલમાં ચોક્કસ સ્થળે મળવા માટે સંમત થયા. તેમાંથી દરેક રેન્ડમ (નિર્ધારિત સમય અંતરાલ પર), બીજાથી સ્વતંત્ર રીતે આવે છે, અને 10 મિનિટ રાહ જુએ છે. તેઓ મળવાની સંભાવના કેટલી છે?

જવાબ આપો. 11/36.

3. 3 લંબાઈના AB સેગમેન્ટમાં, બિંદુ C અવ્યવસ્થિત રીતે દેખાય છે તે સંભાવના નક્કી કરો કે બિંદુ C થી B સુધીનું અંતર 1 કરતાં વધી ગયું છે.

જવાબ આપો. 2/3.

4. ત્રિજ્યા 5 ના વર્તુળમાં સૌથી મોટો વિસ્તાર ધરાવતો ત્રિકોણ અંકિત થયેલ છે. ત્રિકોણમાં પડતા વર્તુળમાં આકસ્મિક રીતે ફેંકવામાં આવેલા બિંદુની સંભાવના નક્કી કરો.

5. બુરાટિનોએ 20 સેમી બાય 25 સે.મી.ની લંબચોરસ શીટ પર 1 સે.મી.ની ત્રિજ્યા સાથે એક રાઉન્ડ બ્લોટ રોપ્યો, આના પછી તરત જ, બુરાટિનોએ બીજો સમાન ડાઘ લગાવ્યો, જે શીટ પર સંપૂર્ણ રીતે સમાપ્ત થયો. સંભાવના શોધો કે આ બે બ્લોટ્સ સ્પર્શતા નથી.

6. ચોરસ ABCD એક વર્તુળમાં અંકિત છે. એક બિંદુ M આ વર્તુળ પર અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ થયેલ છે તે સંભાવના શોધો કે જેના પર આ બિંદુ આવેલું છે: a) નાની ચાપ AB; b) મોટી ચાપ AB.

જવાબ આપો. એ) 1/4; b) 3/4.

7. પોઈન્ટ X રેન્ડમલી સેગમેન્ટ પર ફેંકવામાં આવે છે જેની સંભાવના અસમાનતા ધરાવે છે: a) ; b) ; વી) ?

જવાબ આપો. એ) 1/3; b) 1/3; c) 1/3.

8. ઇવાનવો ગામ વિશે એટલું જ જાણીતું છે કે તે મીરગોરોડ અને સ્ટારગોરોડ વચ્ચે હાઇવે પર ક્યાંક આવેલું છે. હાઇવેની લંબાઈ 200 કિમી છે. સંભાવના શોધો કે:

a) મિરગોરોડથી ઇવાનોવો હાઇવે સાથે 20 કિમીથી ઓછો છે;

બી) સ્ટારગોરોડથી ઇવાનોવો સુધી હાઇવે સાથે 130 કિમીથી વધુ;

c) ઇવાનોવો શહેરો વચ્ચેના હાફવે પોઈન્ટથી 5 કિમીથી ઓછા અંતરે આવેલું છે.

જવાબ આપો. એ) 0.1; b) 0.35; c) 0.05.

વધારાની સામગ્રી

ઘટનાની સંભાવનાનો ભૌમિતિક અભિગમ ભૌમિતિક અવકાશના માપના પ્રકાર પર આધાર રાખતો નથી: તે માત્ર એટલું જ મહત્વનું છે કે પ્રાથમિક ઘટનાઓનો સમૂહ F અને સમૂહ G ઘટના Aનું પ્રતિનિધિત્વ સમાન પ્રકારનો અને સમાન પરિમાણોનો હોય.

2. રેન્ડમ પોઈન્ટ X ચોરસમાં સમાનરૂપે વિતરિત થાય છે . કેન્દ્ર X સાથેનો ચોરસ અને સંકલન અક્ષોની સમાંતર b લંબાઈની બાજુઓ સંપૂર્ણપણે વર્ગ A માં સમાયેલ છે તેવી સંભાવના શોધો.

સાહિત્ય:

1. સંભાવના સિદ્ધાંત અને આંકડા / , . - 2જી આવૃત્તિ., સુધારેલ. – M.: MTsNMO: પાઠ્યપુસ્તકો," 2008. – 256 પૃષ્ઠ: ill.

2. એક્સેલ / , નો ઉપયોગ કરીને ઉદાહરણો અને સમસ્યાઓમાં સંભાવના સિદ્ધાંતો અને ગાણિતિક આંકડા. - એડ. 4થી. – રોસ્ટોવ એન/ડી: ફોનિક્સ, 2006. – 475 પૃષ્ઠ: બીમાર. - (ઉચ્ચ શિક્ષણ).

3. ઉકેલો સાથે પચાસ મનોરંજક સંભાવના સમસ્યાઓ. પ્રતિ. અંગ્રેજી/એડમાંથી. . 3જી આવૃત્તિ. – એમ.: નૌકા, ભૌતિક અને ગાણિતિક સાહિત્યની મુખ્ય સંપાદકીય કચેરી, 1985. – 88 પૃષ્ઠ.

4. સંભાવના સિદ્ધાંતમાં સમસ્યાઓનો સંગ્રહ: પાઠ્યપુસ્તક. યુનિવર્સિટીઓ માટે એક માર્ગદર્શિકા./, – 2જી આવૃત્તિ, સુધારેલ. અને વધારાના - એમ.: વિજ્ઞાન. ચિ. સંપાદન ભૌતિક.-ગણિત. લિટ. – 1989. – 320 પૃષ્ઠ.

5. ગણિતમાં વૈકલ્પિક અભ્યાસક્રમ: સંભાવના સિદ્ધાંત: પ્રોક. 9-11 ગ્રેડ માટે મેન્યુઅલ. સરેરાશ શાળા/ – ત્રીજી આવૃત્તિ. ફરીથી કામ કર્યું – એમ.: એજ્યુકેશન, 1990. – 160 પૃષ્ઠ.

સંભાવનાની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા. ઉકેલો સાથે સમસ્યાઓ

બહાર પાનખરના શરૂઆતના દિવસો છે, અને ઝાડ પરના પીળા પર્ણસમૂહ એક ગીતાત્મક અને સહેજ ઉદાસી મૂડને ઉત્તેજીત કરે છે…. પરંતુ હજી એક આખું શૈક્ષણિક વર્ષ આગળ છે અને આવી ક્ષણોમાં તમારે ફળદાયી કાર્ય માટે તૈયાર થવાની જરૂર છે! હું મારી સહી રેસીપી દ્વારા બધા મોપિંગ વાચકોને ખુશ કરવા ઉતાવળ કરું છું, જે તમને તમારા શરીરના સ્વરને ઝડપથી વધારવાની મંજૂરી આપે છે. આ કરવા માટે, ફક્ત થોડી યાદ રાખો ભૂમિતિ…… ના, હું સંમત છું કે કેટલીકવાર તે તમને ઊંઘમાં મૂકે છે, પરંતુ નાના ડોઝમાં તે અત્યંત ઉત્સાહી છે! અને, સૌથી અગત્યનું, તે ખૂબ જ અસરકારક છે - જલદી તમે જ્ઞાનના જીવન આપનાર ભાગો લેવાનું શરૂ કરો છો, તમે તરત જ કોઈ મોસમી ડિપ્રેશનનો અનુભવ કરશો નહીં!

પાછા વિષય પરના પ્રથમ પાઠમાં, અમે મળ્યા સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યાટેસ્ટમાં અમુક ઘટનાની ઘટના અને સૌથી સરળ સૂત્ર, કુલ સંખ્યા ક્યાં છે તમામ શક્ય સમાન રીતે શક્ય , પ્રાથમિક આપેલ કસોટીના પરિણામો, અને તે ઘટનાને અનુકૂળ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા છે.

પરિભાષા અને/અથવા સમજવામાં મુશ્કેલી આવી રહી છે? કૃપા કરીને સાથે પ્રારંભ કરો સંભાવના સિદ્ધાંતના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો.

ચાલો આગળ વધીએ: સંભવિતતાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા સમસ્યાઓની સંપૂર્ણ શ્રેણીને ઉકેલવા માટે અસરકારક હોવાનું બહાર આવ્યું છે, પરંતુ બીજી બાજુ, તેમાં સંખ્યાબંધ ગેરફાયદા પણ છે. ખામીઓ નહીં, પરંતુ મર્યાદાઓ કહેવું વધુ યોગ્ય રહેશે. આવી એક મર્યાદા એ હકીકત છે કે તે અસંખ્ય પરિણામો સાથેના અજમાયશને લાગુ પડતી નથી. સૌથી સરળ ઉદાહરણ:

ભૂખ્યા બિંદુને રેન્ડમ પર સેગમેન્ટ પર ફેંકવામાં આવે છે. તે વચ્ચે પડવાની સંભાવના કેટલી છે ?

સેગમેન્ટ પર અસંખ્ય બિંદુઓ હોવાથી, સૂત્ર અહીં લાગુ કરી શકાતું નથી (“en” ના અનંત મોટા મૂલ્યને કારણે)અને તેથી અન્ય અભિગમ બચાવ માટે આવે છે, જેને કહેવાય છે સંભાવનાની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા.

બધું ખૂબ સમાન છે: પરીક્ષણમાં કેટલીક ઘટના બનવાની સંભાવના ગુણોત્તર જેટલી છે, જ્યાં - ભૌમિતિક માપ, કુલ સંખ્યા દર્શાવે છે તમામ શક્યઅને સમાન રીતે શક્યઆ પરીક્ષણના પરિણામો અને - માપ, ઇવેન્ટ માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા વ્યક્ત કરે છે. વ્યવહારમાં, આવા ભૌમિતિક માપ મોટાભાગે લંબાઈ અથવા વિસ્તાર હોય છે, ઓછી વાર વોલ્યુમ.

ચાલો ઘટનાને ધ્યાનમાં લઈએ: - સેગમેન્ટ પર ફેંકવામાં આવેલ બિંદુ અંતરાલમાં આવે છે. દેખીતી રીતે, પરિણામોની કુલ સંખ્યા મોટા સેગમેન્ટની લંબાઈ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે: , અને ઘટના માટે અનુકૂળ પરિણામો એમ્બેડેડ સેગમેન્ટની લંબાઈ છે: સંભાવનાની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા અનુસાર:

ખૂબ સરળ? જેમ સાથે કેસ છે શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા, આ એક ભ્રામક છાપ છે. અમે વ્યવહારિક ઉદાહરણોને સારી રીતે અને પ્રમાણિકપણે સમજીએ છીએ:

સમસ્યા 1

મીટર ટેપ રેન્ડમ કાતર સાથે કાપવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે કટીંગ લંબાઈ ઓછામાં ઓછી 80 સે.મી.

ઉકેલ: "આમાં આટલું જટિલ શું છે? સંભાવના 1/5મી છે." બેદરકારીને કારણે આ સ્વયંસંચાલિત ભૂલ છે. હા, તે એકદમ સાચું છે - જો તમે ટેપમાંથી 20 સેન્ટિમીટરથી વધુ કાપશો નહીં તો કટીંગ લંબાઈ ઓછામાં ઓછી 80 સેમી હશે. પરંતુ અહીં તેઓ વારંવાર ભૂલી જાય છે કે ઇચ્છિત કટ બનાવી શકાય છે એકમાંથી જેમટેપનો અંત અને બીજા તરફથી:

ઘટનાને ધ્યાનમાં લો: - કટીંગ લંબાઈ ઓછામાં ઓછી 0.8 મીટર હશે.

ટેપ ગમે ત્યાં કાપી શકાય છે, તેથી પરિણામોની કુલ સંખ્યા તેની લંબાઈને અનુરૂપ છે: ઘટના માટે અનુકૂળ કટના વિભાગો આકૃતિમાં લાલ રંગમાં ચિહ્નિત થયેલ છે અને તેમની કુલ લંબાઈ બરાબર છે:

જવાબ આપો: 0,4

શું તારણ કાઢી શકાય? જો કાર્ય તમને ખૂબ જ સરળ લાગે છે, તો પણ ઉતાવળ કરશો નહીં. આવેગ એ સામાન્ય રીતે ખરાબ વસ્તુ છે - તેનો અર્થ એ છે કે ભૂલો, બિનજરૂરી ખરીદીઓ, ક્ષતિગ્રસ્ત ત્વચા, સંબંધો, વગેરે.... પરંતુ ચાલો ઉદાસી વસ્તુઓ વિશે વાત ન કરીએ!

કાર્યો તૈયાર કરતી વખતે, પરિમાણ સૂચવવાનું ભૂલશો નહીં (એકમો, મીટર, ચોરસ એકમો, ચોરસ મીટર, વગેરે). માર્ગ દ્વારા, નોંધ કરો કે ગણતરીના અંતિમ તબક્કે ભૌમિતિક માપ ઘટાડવામાં આવે છે. તેથી ધ્યાનમાં લેવાયેલા ઉદાહરણમાં, મીટર ઘટાડવામાં આવ્યા હતા: , સામાન્ય પરિમાણહીન સંભાવનામાં પરિણમે છે.

સમસ્યા 2

તોફાન પછી, ટેલિફોન લાઇનના 40મા અને 70મા કિલોમીટર વચ્ચેના વિસ્તારમાં વાયર તૂટવાની ઘટના બની હતી. તે લાઇનના 50મા અને 55મા કિલોમીટરની વચ્ચે બનવાની સંભાવના કેટલી છે?

પાઠના અંતે સંક્ષિપ્ત ઉકેલ અને જવાબ.

વધુ સામાન્ય ઉદાહરણો છે કે જે વિસ્તારોમાં દેખાય છે:

સમસ્યા 3

એક વર્તુળ બાજુઓ સાથે ત્રિકોણમાં લખેલું છે. બિંદુ ત્રિકોણમાં મનસ્વી રીતે મૂકવામાં આવે છે. બિંદુ વર્તુળની અંદર આવશે તેવી સંભાવના શોધો.

ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે અંકિત વર્તુળ ત્રિકોણની અંદર આવેલું છે અને તેની બાજુઓને 3 બિંદુઓ પર સ્પર્શે છે.

ઉકેલ: બિંદુ ત્રિકોણમાં મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી અને વર્તુળ અંદર આવેલું હોવાથી, પરિણામોની કુલ સંખ્યા ત્રિકોણના ક્ષેત્રને અનુરૂપ છે, અને અનુકૂળ પરિણામોનો સમૂહ અંકિત વર્તુળના ક્ષેત્રને અનુરૂપ છે. હું શું કહું? અમે વિસ્તારો શોધી રહ્યા છીએ:

જો ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ આપવામાં આવે છે, તો તેનો ઉપયોગ કરીને તેનો વિસ્તાર શોધવાનું અનુકૂળ છે હેરોનનું સૂત્ર:
, ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ ક્યાં છે અને અર્ધ-પરિમિતિ છે.

પ્રથમ, ચાલો ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિની ગણતરી કરીએ: , અને પછી તેનો વિસ્તાર:

મેં પરના પ્રારંભિક પાઠ દરમિયાન પ્રાચીન સમયમાં મૂળની નીચેથી પરિબળો કાઢવાની પદ્ધતિને આવરી લીધી હતી. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ.

આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અંકિત વર્તુળનો વિસ્તાર શોધીએ છીએ, તેની ત્રિજ્યા ક્યાં છે.

તમે ભૌમિતિક સૂત્રો ક્યાંથી મેળવો છો? જરૂરી સૂત્રો શાળાના પાઠ્યપુસ્તક અથવા માહિતીના અન્ય સ્ત્રોતમાંથી મળી શકે છે. તે જ સમયે, તેમને ખાસ શીખવાની કોઈ જરૂર નથી, મને વ્યક્તિગત રૂપે ફક્ત યાદ છે, અને વિકિપીડિયા પર થોડીવારમાં બાકીનું બધું મળી ગયું. અને થોડીવારમાં હું ખુશીથી આ બધું ભૂલી જઈશ =)

તેથી, અંકિત વર્તુળનો વિસ્તાર છે:

ભૌમિતિક વ્યાખ્યા દ્વારા:
- બિંદુ અંકિત વર્તુળમાં આવે તેવી સંભાવના.

જવાબ આપો:

તમારા પોતાના પર ઉકેલવા માટેનું એક સરળ ઉદાહરણ:

સમસ્યા 4

10 સે.મી.ની ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં 12 અને 7 સે.મી.ના પગ સાથેનો કાટકોણ ત્રિકોણ છે. સંભવિતતા શોધો કે તે આપેલ ત્રિકોણમાં ન આવે.

એ નોંધવું જોઈએ કે આ સમસ્યામાં ત્રિકોણને કોઈપણ રીતે વર્તુળને સ્પર્શ કરવાની જરૂર નથી, તે ફક્ત વર્તુળની અંદર સ્થિત છે અને બસ. સાવચેત રહો!

હવે જાણીતી મીટિંગ સમસ્યાને ધ્યાનમાં લો:

સમસ્યા 5

19.00 અને 20.30 ની વચ્ચે લોડિંગ માટે બે ટ્રક આવી શકે છે. પ્રથમ કાર લોડ કરવામાં 10 મિનિટ લાગે છે, બીજી - 15 મિનિટ. એક મશીને બીજા મશીનને લોડ કરવાનું સમાપ્ત થાય ત્યાં સુધી રાહ જોવી પડશે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

ચાલો સ્થિતિ વિશે થોડું વિચારીએ. પ્રથમ, કાર કોઈપણ ક્રમમાં લોડ કરવા માટે આવી શકે છે, અને બીજું, દોઢ કલાકની અંદર કોઈપણ સમયે. પ્રથમ નજરમાં, નિર્ણય તદ્દન મુશ્કેલ લાગે છે. અને તૈયારી વિનાના વ્યક્તિ માટે તે ખરેખર ખૂબ અઘરું હશે. આ સમસ્યાને હલ કરવાની પદ્ધતિનું વિગતવાર વિશ્લેષણ મળી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ગમર્મનની પાઠ્યપુસ્તકમાં, પરંતુ હું મારી જાતને ઔપચારિક અલ્ગોરિધમનો અમુક હદ સુધી મર્યાદિત કરીશ:

ઉકેલ: સૌપ્રથમ આપણે એ સમયગાળો શોધી કાઢીએ છીએ કે જેમાં મીટિંગ થઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, ઉપર નોંધ્યા મુજબ, તે દોઢ કલાક અથવા 90 મિનિટ છે. તે જ સમયે, વાસ્તવિક સમયમર્યાદા અહીં બહુ વાંધો નથી - કારનું લોડિંગ થઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, સવારે 8.30 થી 10.00 સુધી, અને નિર્ણય બરાબર એ જ હશે.

ગણતરીઓ એક કલાકના અપૂર્ણાંક અને મિનિટમાં બંને હાથ ધરવામાં આવી શકે છે. મારા મતે, મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં મિનિટ સાથે કામ કરવું વધુ અનુકૂળ છે - ત્યાં ઓછી મૂંઝવણ છે.

ચાલો એકીકરણની નીચલી મર્યાદાને વિશ્લેષણાત્મક રીતે સ્પષ્ટ કરીએ (ચાલો હાઇપરબોલાના આંતરછેદ બિંદુને શોધીએ અને સીધા):

એક સેગમેન્ટ પર સીધી રેખા સ્થિત છે ઓછું નહીંઅતિશય
યોગ્ય સૂત્ર અનુસાર:

ભૌમિતિક વ્યાખ્યા દ્વારા:
- 0 થી 5 ની રેન્જમાં અનુમાનિત બે સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન બે કરતા વધુ હશે તેવી સંભાવના.

જવાબ આપો:

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે સમાન ઉદાહરણ.

રસેલ દ્વારા નહીં, વાળંદ અને ત્રાંસા દલીલ વિશે, પરંતુ જોસેફ લુઇસ ફ્રાન્કોઇસ દ્વારા એક. નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે.
સમસ્યા: ત્યાં એક વર્તુળ છે, આપણે ત્યાં રેન્ડમલી તાર દોરીએ છીએ. ઘટનાની સંભાવના કેટલી છે
A = (વર્તુળમાં અંકિત સમભુજ ત્રિકોણની બાજુ કરતાં તાર લાંબો હોવાનું બહાર આવ્યું છે)?

જવાબ આપણે આ તાર કેવી રીતે પસંદ કરીએ છીએ તેના પર નિર્ભર છે. એટલે કે, ત્યાં ત્રણ પદ્ધતિઓ છે (વધુ શક્ય છે, પરંતુ આ હમણાં માટે પૂરતું હશે):

પદ્ધતિ 1: તાર - તે શું છે? વર્તુળ પરના બે બિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ. વધુ અડચણ વિના, ચાલો આ વર્તુળ પર બે રેન્ડમ બિંદુઓ લઈએ (સ્વતંત્ર રીતે) અને તેમની વચ્ચે તાર દોરીએ. અહીં બધું સપ્રમાણ હોવાથી, BOOMS પ્રથમ બિંદુ સીધો ઉત્તર ધ્રુવ પર આવશે, અને ઘટના એજ્યારે બીજો બિંદુ ચિત્રમાં લાલ ચાપ સાથે અથડાશે ત્યારે થશે (આ પોસ્ટમાં તમામ તાર વાદળી છે):

એટલે કે, દેખીતી રીતે, ઇચ્છિત સંભાવના 1/3 છે.

પદ્ધતિ 2. હવે ચાલો તેને લઈએ અને આ રીતે તાર દોરીએ. ચાલો પહેલા રેન્ડમ ત્રિજ્યા પસંદ કરીએ (એટલે ​​​​કે, વર્તુળ પરના રેન્ડમ બિંદુ સાથે કેન્દ્રને જોડો), પછી તેના પર રેન્ડમ બિંદુ પસંદ કરો, લંબ દોરો અને તાર મેળવો. ફરીથી, બૂમ્સ આ ત્રિજ્યા ઉત્તર ધ્રુવ તરફ દોરી જાય છે (અને શા માટે હું ઉત્તર ધ્રુવ તરફ આટલો દોરવામાં આવ્યો હતો...), અને સમભુજ ત્રિકોણની બાજુ (જેનું શિરોબિંદુ દક્ષિણ ધ્રુવ પર છે) આ ત્રિજ્યાને સખત રીતે અડધા ભાગમાં વહેંચે છે, અને ફરીથી ચિત્રના ચિંતનમાંથી

(તે જરૂરી છે કે ત્રિજ્યા પરનો રેન્ડમ બિંદુ લાલ સેગમેન્ટ પર આવે) તે સ્પષ્ટ છે કે ઇચ્છિત સંભાવના 1/2 ની બરાબર છે.

પદ્ધતિ 3. સામાન્ય રીતે, અમે વર્તુળની અંદર માત્ર એક રેન્ડમ બિંદુ પસંદ કરીશું. તે સ્પષ્ટ છે કે આપણે કેન્દ્રમાં બરાબર પહોંચી શકતા નથી, જેનો અર્થ છે કે ત્યાં ફક્ત એક જ તાર છે જેનો કેન્દ્રીય બિંદુ પસંદ કરેલા સાથે એકરુપ છે. ચાલો તેને ધ્યાનમાં લઈએ. અથવા તેના બદલે, ચાલો ચિત્ર જોઈએ

અને આપણે સ્પષ્ટપણે જોઈએ છીએ કે ઇચ્છિત સંભાવના 1/4 ની બરાબર છે (આંતરિક વર્તુળની ત્રિજ્યા જ્યાં પસંદ કરેલ બિંદુ પડવું જોઈએ તે મૂળ કરતાં અડધુ છે).

અહીં. એક સમસ્યા, ત્રણ અલગ અલગ જવાબો, 1/3, 1/2, 1/4. અને અહીં આ બિંદુએ સામાન્ય રીતે નિષ્કર્ષ દોરવામાં આવે છે કે સમસ્યા ખોટી રીતે ઘડવામાં આવી છે; "રેન્ડમ કોર્ડ પસંદ કરો" દ્વારા અમારો અર્થ શું છે તે દર્શાવવું જરૂરી છે, અન્યથા તે અશક્ય છે. તો?

પણ એવું નથી! વધુ સ્પષ્ટ રીતે, તે જેવું નથી. અહીં વાત છે: જો આપણે ચોક્કસપણે તમામ સંભવિત સમસ્યાઓને એકદમ કડક અને ચોક્કસ રીતે ઘડવા માંગતા હોઈએ, તો તેના બદલે, ઉદાહરણ તરીકે, "દસ લોકોમાંથી આપણે બે રેન્ડમ પસંદ કરીએ છીએ," આપણે કંઈક લખવું પડશે "માંથી સમૂહ (1, ...,10) ના વિવિધ ઘટકોની તમામ અક્રમિત જોડીનો સમૂહ એક સમાન સંભાવના વિતરણ સાથે એક જોડી પસંદ કરો." સારું, શું હેક, મને લાગે છે કે તે સામાન્ય રીતે સ્પષ્ટ છે કે જ્યારે તેઓ વધુ સ્પષ્ટતા વિના "અમે રેન્ડમ પસંદ કરીશું" કહે છે, તો આનો અર્થ એ છે કે પસંદગી સમાન રીતે સંભવિત છે, એટલે કે, તે સમાન વિતરણ સાથે કરવામાં આવે છે.

બરાબર. દંડ. પણ અહીં તેઓ મારી સામે એ અર્થમાં વાંધો ઉઠાવશે

તે સ્પષ્ટ છે કે તેમાંથી સેટનું રેન્ડમ ઘટક પસંદ કરવાનું સમાન રીતે સંભવિત છે એનતત્વો (દરેક સંભાવના સાથે લેવામાં આવે છે 1/એન)

પ્લેન પર (વર્તુળ, ચોરસ, ...) કોઈપણ ક્ષેત્રમાં સમાન વિતરણ શું છે તે પણ સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ છે.

પરંતુ વધુ જટિલ વસ્તુઓ વિશે શું?

અને અમે તેને આ રીતે જવાબ આપીશું. મુખ્ય વસ્તુ, હું એમ પણ કહીશ, લાક્ષણિકતાઆ સમાન વિતરણની મિલકત છે. દો એચ- સમૂહના કેટલાક સબસેટ જી, અને તેમાંથી એક ઑબ્જેક્ટ પસંદ કરો જીસમાન સંભવિત રીતે. તેથી, જો પરિણામ આવે એચ- તેનું ત્યાં એકસમાન વિતરણ છે, આવી અવ્યવસ્થા પ્રાપ્ત થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે રેન્ડમલી 5 પુરુષો/5 મહિલાઓના જૂથમાંથી એક વ્યક્તિને પસંદ કરો છો, અને તે જાણીતું છે કે આ એક મહિલા છે, તો તે પાંચમાંથી કોઈપણને પસંદ થવાની સમાન તક (1/5) છે. અને આ બધું પ્રદેશમાંથી એક બિંદુની સમાન પસંદગીને પણ લાગુ પડે છે.

તો પછી આપણે રેન્ડમ તારમાંથી શું જોઈએ છે? ઉપરના પ્રકાશમાં, તે મને વાજબી લાગે છે કે આપણે જે જોઈએ છે તે નીચે મુજબ છે:

પૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે રેન્ડમ તાર એબીએક નાના વર્તુળને છેદે છે (ત્યાં એક તાર બનાવે છે A"B"), આ તાર A"B"નાના વર્તુળમાં માત્ર "રેન્ડમ તાર" (હમણાં માટે તેનો અર્થ ગમે તે હોય) જેટલું જ સંભવિત વિતરણ છે.

તેથી, તે તારણ આપે છે કે રેન્ડમ કોર્ડ બનાવવા માટેની ઉપરની ત્રણ પદ્ધતિઓમાંથી, ફક્ત પદ્ધતિ 2 પાસે આ ગુણધર્મ છે! અને તેના સિવાય બીજું કોઈ નહિ; બીજા બધા સારા નથી. આ બધું લાંબા સમયથી જાણીતું છે, લેખ જુઓ, હું તેની ખૂબ ભલામણ કરું છું.

જો કે આપણે અહીં પહેલેથી જ જેની ચર્ચા કરી છે તે આવા વિચારો સૂચવે છે. ઠીક છે, હવે આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળની રેન્ડમ તાર છે. કેવી રીતે
સાચા ગણિતશાસ્ત્રીઓ, અમે આને સામાન્ય બનાવવા ઈચ્છીએ છીએ, વર્તુળોથી લઈને અંડાકાર, ચોરસ, હાયપરક્યુબ્સ અને ગમે તે હોય. સારું, ચાલો તેનો પ્રયાસ કરીએ.

તેનો અર્થ છે, જે કરવામાં આવ્યું છે તેનું પુનરાવર્તન કરવું, તાર એ આપણા પ્રદેશની સરહદ પરના બે બિંદુઓને જોડતો ભાગ છે. આ બે બિંદુઓને તાત્કાલિક પસંદ કરવાને બદલે, ચાલો તેને અલગ રીતે કરવાનો પ્રયાસ કરીએ: પ્રથમ સીમા પર એક બિંદુ પસંદ કરો (કોઈ રીતે), અને પછી દિશા પસંદ કરો (કોઈ અન્ય રીતે) જ્યાં તાર આ બિંદુથી જશે. અને તે ત્યાં સુધી જશે જ્યાં સુધી તે સરહદ સાથે છેદે નહીં, અને જ્યાં પણ તે આવશે, ત્યાં બીજો મુદ્દો હશે.

સ્કૂલ પ્લાનિમેટ્રીના જ્ઞાનની એક સરળ કવાયતની જેમ, સાબિત કરો કે પદ્ધતિ 1 આ પ્રક્રિયાની સમકક્ષ છે: પ્રથમ આપણે વર્તુળ પર એકસરખી રીતે એક બિંદુ લઈએ છીએ, અને પછી તારની દિશા પણ સમાન વિતરણ સાથે પસંદ કરવામાં આવે છે, જાણે બધી દિશાઓ. સમાન સંભવિત છે.

અને અમારી કિંમતી પદ્ધતિ 2 સાથે પરિસ્થિતિ આ છે: તારની દિશા કોસાઇન કાયદા અનુસાર પસંદ કરવામાં આવે છે, એટલે કે. આ દિશાની વિતરણ ઘનતા તેની અને ત્રિજ્યા વચ્ચેના કોણના કોસાઇન સાથે પ્રમાણસર છે (તે સાબિત કરો!). જો સમાન પ્રક્રિયા વધુ કે ઓછા મનસ્વી પ્રદેશ સાથે કરવામાં આવે તો શું થશે (અમે અહીં તેની સીમાની પૂરતી સરળતા વિશે કંટાળાજનક ટિપ્પણીઓ લખીશું નહીં), એટલે કે

(a) પહેલા બાઉન્ડ્રી પર સમાન રીતે એક બિંદુ પસંદ કરો

(b) આપણે ત્યાંથી કોસાઇન કાયદા અનુસાર દિશા પસંદ કરીએ છીએ (કોણ આ બિંદુએ સીમાની સામાન્ય સાથે છે), અને તાર જાય છે.

તે તારણ આપે છે કે આ બધું ખરેખર કામ કરે છે, અને કોઈપણ પરિમાણમાં પણ! તે સાબિત કરી શકાય છે


(લગભગ કોપી-પેસ્ટ કરો, મહેરબાની કરીને નોંધ કરો) કે જે આપેલ, જે રેન્ડમ તાર છે એબીઆંતરિક પ્રદેશને છેદે છે (ત્યાં એક તાર પેદા કરે છે A"B"), આ તાર A"B"આંતરિક પ્રદેશમાં સરળ રેન્ડમ તાર તરીકે સમાન સંભાવના વિતરણ ધરાવે છે (અહીંનો બાહ્ય પ્રદેશ વધુ કે ઓછા મનસ્વી છે, પરંતુ આંતરિક એક બહિર્મુખ છે, જેથી "પ્રેરિત" તાર હંમેશા અનન્ય રીતે નિર્ધારિત થાય છે). હું અહીં લેખની જાહેરાત કરવાની આ તક લઈશ, તેમ છતાં અમે કેટલીક જગ્યાએ વ્હીલને ફરીથી શોધ્યું છે. તમારે ઓછામાં ઓછું પ્રથમ પુસ્તક વાંચવું જોઈએ (અને હું તેની ભલામણ કરું છું, હા).

________________________________________ _____________________________________

જેન્સ, ઇ.ટી. (1973). "ધ વેલ-પોઝ્ડ પ્રોબ્લેમ". મળી. ભૌતિક. 3 (4): 477-492.

એફ. ધૂમકેતુ, એસ. પોપોવ, જી.એમ. શુટ્ઝ, એમ. વાચકોસ્કાયા (2009)
રેન્ડમ પ્રતિબિંબ સાથે સામાન્ય ડોમેનમાં બિલિયર્ડ્સ.
તર્કસંગત મિકેનિક્સ અને વિશ્લેષણ માટે આર્કાઇવ, 193 (3), પૃષ્ઠ. 737-738,
http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-008-0120-x?LI=true
અહીં ત્રુટિસૂચી પણ જુઓ: http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-009-0236-7?LI=true, કારણ કે તેઓ ગડબડ કરે છે.
અને અહીં વાંચવું શ્રેષ્ઠ છે: http://arxiv.org/abs/math/0612799, ત્યાં બધું પહેલેથી જ ઠીક કરવામાં આવ્યું છે અને ઍક્સેસ મફત છે.

કેન્ડલ, મોરન. (1972)
ભૌમિતિક સંભાવનાઓ.
મને લાગે છે કે દરેકને ક્યાં ડાઉનલોડ કરવું તે મળશે :)