ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો. બહિર્મુખતા અને વળાંક બિંદુ માટે ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય.

ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યોનો ખ્યાલ.

સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યોનો ખ્યાલ ફંક્શનના નિર્ણાયક બિંદુની વિભાવના સાથે નજીકથી સંબંધિત છે.

વ્યાખ્યા 1

$x_0$ એ ફંક્શન $f(x)$ નો નિર્ણાયક બિંદુ કહેવાય છે જો:

1) $x_0$ - વ્યાખ્યાના ડોમેનનો આંતરિક બિંદુ;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.

ચાલો હવે ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતોની વ્યાખ્યા આપીએ.

વ્યાખ્યા 2

વિધેય $y=f(x)$ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત $X$ તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે જો ત્યાં કોઈ બિંદુ $x_0\in X$ હોય જેમ કે તમામ $x\in X$ માટે અસમાનતા ધરાવે છે.

વ્યાખ્યા 3

એક ફંક્શન $y=f(x)$ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત $X$ તેના ન્યૂનતમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે જો ત્યાં એક બિંદુ $x_0\in X$ હોય કે જે તમામ $x\in X$ માટે અસમાનતા ધરાવે છે.

વિયરસ્ટ્રાસનું પ્રમેય અંતરાલ પર સતત કાર્ય પર

ચાલો પહેલા અંતરાલ પર સતત ફંક્શનનો ખ્યાલ રજૂ કરીએ:

વ્યાખ્યા 4

ફંક્શન $f\left(x\right)$ ને $$ પર સતત કહેવામાં આવે છે જો તે અંતરાલ $(a,b)$ ના દરેક બિંદુએ સતત હોય, અને તે બિંદુ પર જમણી બાજુએ પણ સતત હોય. $x=a$ અને બિંદુ પર ડાબી બાજુએ $x =b$.

ચાલો એક અંતરાલ પર સતત કાર્ય વિશે એક પ્રમેય ઘડીએ.

પ્રમેય 1

વેયરસ્ટ્રાસનું પ્રમેય

એક ફંક્શન $f\left(x\right)$ જે અંતરાલ પર સતત હોય છે $$ આ અંતરાલ પર તેના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો સુધી પહોંચે છે, એટલે કે, $\alpha ,\beta \in $ જેવા કે તમામ $x\in $ અસમાનતા $f(\alpha)\le f(x)\le f(\beta)$.

પ્રમેયનું ભૌમિતિક અર્થઘટન આકૃતિ 1 માં બતાવવામાં આવ્યું છે.

અહીં ફંક્શન $f(x)$ તેના ન્યૂનતમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે $x=\alpha $ બિંદુ $x=\beta $ પર તેની મહત્તમ કિંમત સુધી પહોંચે છે.

$$ સેગમેન્ટ પર $f(x)$ ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવા માટેની યોજના

1) વ્યુત્પન્ન $f"(x)$ શોધો;

2) બિંદુઓ શોધો કે જેના પર વ્યુત્પન્ન $f"\left(x\right)=0$;

3) તે બિંદુઓ શોધો કે જેના પર વ્યુત્પન્ન $f"(x)$ અસ્તિત્વમાં નથી;

4) સ્ટેપ 2 અને 3 માં મેળવેલા પોઈન્ટમાંથી પસંદ કરો કે જે $$ સેગમેન્ટના છે;

5) પગલા 4 માં મેળવેલા પોઈન્ટ પર તેમજ સેગમેન્ટ $$ ના અંતે ફંક્શનના મૂલ્યની ગણતરી કરો;

6) પ્રાપ્ત મૂલ્યોમાંથી સૌથી મોટું અને સૌથી નાનું મૂલ્ય પસંદ કરો.

સેગમેન્ટ પર ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધવાની સમસ્યાઓ

ઉદાહરણ 1

સેગમેન્ટ પર ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય શોધો: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

ઉકેલ.

1) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $2\in \ડાબે,\3\in $;

5) મૂલ્યો:

\ \ \ \

6) સૌથી મોટું મૂલ્ય $33$ છે, સૌથી નાનું મૂલ્ય $1$ છે. આમ, અમને મળે છે:

જવાબ:$max=33,\ min=1$.

ઉદાહરણ 2

સેગમેન્ટ પર ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય શોધો: $f\left(x\right)=x^3-3x^2-45x+225$

ઉકેલ.

અમે ઉપરોક્ત યોજના અનુસાર ઉકેલ હાથ ધરીશું.

1) $f"\left(x\right)=3x^2-6x-45$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

3) $f"(x)$ વ્યાખ્યાના ડોમેનના તમામ બિંદુઓ પર અસ્તિત્વમાં છે;

4) $-3\notin \left,\ 5\in$;

5) મૂલ્યો:

\ \ \

6) સૌથી મોટું મૂલ્ય $225$ છે, સૌથી નાનું મૂલ્ય $50$ છે. આમ, અમને મળે છે:

જવાબ:$max=225,\ min=50$.

ઉદાહરણ 3

અંતરાલ [-2,2] પર ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય શોધો: $f\left(x\right)=\frac(x^2-6x+9)(x-1)$

ઉકેલ.

અમે ઉપરોક્ત યોજના અનુસાર ઉકેલ હાથ ધરીશું.

1) $f"\left(x\right)=\frac(\left(2x-6\right)\left(x-1\right)-(x^2-6x+9))((x- 1))^2)=\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\[\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)=0\] \ \

3) $f"(x)$ બિંદુ $x=1$ પર અસ્તિત્વમાં નથી

4) $3\notin \left[-2,2\right],\ -1\in \left[-2,2\right],\ 1\in \left[-2,2\right]$, જોકે 1 વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં નથી;

5) મૂલ્યો:

\ \ \

6) સૌથી મોટું મૂલ્ય $1$ છે, સૌથી નાનું મૂલ્ય $-8\frac(1)(3)$ છે. આમ, આપણને મળે છે: \end(ગણતરી કરો)

જવાબ:$max=1,\min==-8\frac(1)(3)$.

ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશનમાંથી કાર્ય B14 માં, તમારે એક ચલના ફંક્શનનું સૌથી નાનું અથવા સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધવાની જરૂર છે. ગાણિતિક પૃથ્થકરણથી આ એકદમ નજીવી સમસ્યા છે, અને આ જ કારણસર દરેક હાઈસ્કૂલ સ્નાતક તેને સામાન્ય રીતે હલ કરવાનું શીખી શકે છે અને શીખવું જોઈએ. ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ જે શાળાના બાળકોએ 7 ડિસેમ્બર, 2011 ના રોજ મોસ્કોમાં યોજાયેલા ગણિતમાં નિદાન કાર્ય દરમિયાન ઉકેલ્યા હતા.

તમે ફંક્શનનું મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માંગો છો તે અંતરાલના આધારે, આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે નીચેના પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમ્સમાંથી એકનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

I. સેગમેન્ટ પર ફંક્શનનું સૌથી મોટું અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ:

• ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો.
• આત્યંતિક હોવાના શંકાસ્પદ બિંદુઓમાંથી પસંદ કરો જે આપેલ સેગમેન્ટ અને કાર્યની વ્યાખ્યાના ડોમેન સાથે સંબંધિત છે.
• મૂલ્યોની ગણતરી કરો કાર્યો(વ્યુત્પન્ન નથી!) આ બિંદુઓ પર.
• પ્રાપ્ત મૂલ્યોમાંથી, સૌથી મોટું અથવા સૌથી નાનું પસંદ કરો, તે ઇચ્છિત હશે.

ઉદાહરણ 1.ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધો
y = x 3 – 18x 2 + 81xસેગમેન્ટ પર + 23.

ઉકેલ:અમે સેગમેન્ટ પર ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધવા માટે અલ્ગોરિધમનું પાલન કરીએ છીએ:

• કાર્યનો અવકાશ મર્યાદિત નથી: D(y) = આર.
• ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન સમાન છે: y' = 3x 2 – 36x+ 81. ફંક્શનના ડેરિવેટિવની વ્યાખ્યાનું ડોમેન પણ મર્યાદિત નથી: D(y') = આર.
• વ્યુત્પન્નના શૂન્ય: y' = 3x 2 – 36x+ 81 = 0, જેનો અર્થ થાય છે x 2 – 12x+ 27 = 0, ક્યાંથી x= 3 અને x= 9, અમારા અંતરાલમાં જ સમાવેશ થાય છે x= 9 (એક સીમા માટે એક બિંદુ શંકાસ્પદ).
• અમને એક્સ્ટ્રીમમના શંકાસ્પદ બિંદુ પર અને ગેપની કિનારીઓ પર ફંક્શનનું મૂલ્ય મળે છે. ગણતરીની સરળતા માટે, અમે ફંક્શનને ફોર્મમાં રજૂ કરીએ છીએ: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
  • y(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
  • y(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
  • y(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

તેથી, પ્રાપ્ત મૂલ્યોમાંથી, સૌથી નાનું 23 છે. જવાબ: 23.

II. ફંક્શનનું સૌથી મોટું અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ:

• કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધો.
• ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો.
• એક્સ્ટ્રીમમ માટે શંકાસ્પદ બિંદુઓને ઓળખો (તે બિંદુઓ કે જેના પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન અદૃશ્ય થઈ જાય છે, અને બિંદુઓ કે જેના પર કોઈ બે બાજુવાળા મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન નથી).
• સંખ્યા રેખા પર આ બિંદુઓ અને કાર્યની વ્યાખ્યાના ડોમેનને ચિહ્નિત કરો અને ચિહ્નો નક્કી કરો વ્યુત્પન્ન(ફંક્શન નહીં!) પરિણામી અંતરાલો પર.
• મૂલ્યો વ્યાખ્યાયિત કરો કાર્યો(વ્યુત્પન્ન નહીં!) ન્યૂનતમ બિંદુઓ પર (તે બિંદુઓ કે જેના પર વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન માઇનસથી વત્તામાં બદલાય છે), આ મૂલ્યોમાંથી સૌથી નાનું એ કાર્યનું સૌથી નાનું મૂલ્ય હશે. જો ત્યાં કોઈ ન્યૂનતમ પોઈન્ટ નથી, તો ફંક્શનમાં ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.
• મૂલ્યો વ્યાખ્યાયિત કરો કાર્યો(વ્યુત્પન્ન નહીં!) મહત્તમ બિંદુઓ પર (તે બિંદુઓ કે જેના પર વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન વત્તાથી ઓછામાં બદલાય છે), આ મૂલ્યોમાંથી સૌથી મોટું કાર્યનું સૌથી મોટું મૂલ્ય હશે. જો ત્યાં કોઈ મહત્તમ પોઈન્ટ નથી, તો ફંક્શનમાં સૌથી વધુ મૂલ્ય નથી.

ઉદાહરણ 2.ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધો.

વ્યવહારિક દૃષ્ટિકોણથી, ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવા માટે વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરવામાં સૌથી વધુ રસ છે. આ શું સાથે જોડાયેલ છે? નફો વધારવો, ખર્ચ ઘટાડવો, સાધનસામગ્રીનો શ્રેષ્ઠ ભાર નક્કી કરવો... બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જીવનના ઘણા ક્ષેત્રોમાં આપણે કેટલાક પરિમાણોને ઑપ્ટિમાઇઝ કરવાની સમસ્યાઓ હલ કરવી પડશે. અને આ ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવાના કાર્યો છે.

એ નોંધવું જોઈએ કે ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો સામાન્ય રીતે ચોક્કસ અંતરાલ X પર માંગવામાં આવે છે, જે કાં તો ફંક્શનનું સંપૂર્ણ ડોમેન છે અથવા વ્યાખ્યાના ડોમેનનો ભાગ છે. અંતરાલ X પોતે એક સેગમેન્ટ, ખુલ્લું અંતરાલ હોઈ શકે છે , અનંત અંતરાલ.

આ લેખમાં આપણે એક ચલ y=f(x) ના સ્પષ્ટપણે ઉલ્લેખિત કાર્યના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવા વિશે વાત કરીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

કાર્યનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય - વ્યાખ્યાઓ, ચિત્રો.

ચાલો સંક્ષિપ્તમાં મુખ્ય વ્યાખ્યાઓ જોઈએ.

કાર્યનું સૌથી મોટું મૂલ્ય તે કોઈપણ માટે અસમાનતા સાચી છે.

કાર્યનું સૌથી નાનું મૂલ્યઅંતરાલ X પર y=f(x) આવી કિંમત કહેવાય છે તે કોઈપણ માટે અસમાનતા સાચી છે.

આ વ્યાખ્યાઓ સાહજિક છે: ફંક્શનનું સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય એ એબ્સીસા પર વિચારણા હેઠળના અંતરાલ પર સૌથી મોટું (નાનું) સ્વીકૃત મૂલ્ય છે.

સ્થિર બિંદુઓ– આ દલીલના મૂલ્યો છે જેના પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બને છે.

સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધતી વખતે આપણને સ્થિર બિંદુઓની શા માટે જરૂર છે? આ પ્રશ્નનો જવાબ ફર્મેટના પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે. આ પ્રમેય પરથી તે અનુસરે છે કે જો કોઈ વિભેદક કાર્યમાં અમુક બિંદુએ એક્સ્ટ્રીમમ (સ્થાનિક લઘુત્તમ અથવા સ્થાનિક મહત્તમ) હોય, તો આ બિંદુ સ્થિર છે. આમ, ફંક્શન ઘણીવાર આ અંતરાલમાંથી સ્થિર બિંદુઓમાંથી એક પર અંતરાલ X પર તેનું સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય લે છે.

ઉપરાંત, ફંક્શન ઘણીવાર તેના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો એવા બિંદુઓ પર લઈ શકે છે કે જ્યાં આ ફંક્શનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી, અને ફંક્શન પોતે જ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

ચાલો તરત જ આ વિષય પરના સૌથી સામાન્ય પ્રશ્નોમાંથી એકનો જવાબ આપીએ: "શું ફંક્શનનું સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય નક્કી કરવું હંમેશા શક્ય છે"? ના હંમેશા નહીં. કેટલીકવાર અંતરાલ X ની સીમાઓ કાર્યની વ્યાખ્યાના ડોમેનની સીમાઓ સાથે સુસંગત હોય છે, અથવા અંતરાલ X અનંત હોય છે. અને અનંત અને વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રની સીમાઓ પરના કેટલાક કાર્યો અનંત મોટા અને અનંત નાના મૂલ્યો બંને પર લઈ શકે છે. આ કિસ્સાઓમાં, ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્ય વિશે કશું કહી શકાતું નથી.

સ્પષ્ટતા માટે, અમે ગ્રાફિક ચિત્ર આપીશું. ચિત્રો જુઓ અને ઘણું બધું સ્પષ્ટ થઈ જશે.

સેગમેન્ટ પર

પ્રથમ આકૃતિમાં, ફંક્શન સેગમેન્ટ [-6;6] ની અંદર સ્થિત સ્થિર બિંદુઓ પર સૌથી મોટું (મહત્તમ y) અને સૌથી નાનું (મિનિમ y) મૂલ્યો લે છે.

બીજા આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવેલ કેસનો વિચાર કરો. ચાલો સેગમેન્ટને માં બદલીએ. આ ઉદાહરણમાં, કાર્યનું સૌથી નાનું મૂલ્ય સ્થિર બિંદુ પર પ્રાપ્ત થાય છે, અને અંતરાલની જમણી સીમાને અનુરૂપ abscissa સાથે બિંદુ પર સૌથી મોટું.

આકૃતિ 3 માં, સેગમેન્ટના બાઉન્ડ્રી પોઈન્ટ્સ [-3;2] ફંક્શનના સૌથી મોટા અને સૌથી નાના મૂલ્યને અનુરૂપ પોઈન્ટના એબ્સીસાસ છે.

ખુલ્લા અંતરાલ પર

ચોથા આકૃતિમાં, કાર્ય ખુલ્લા અંતરાલ (-6;6) ની અંદર સ્થિત સ્થિર બિંદુઓ પર સૌથી મોટું (મહત્તમ y) અને સૌથી નાનું (મિનિમ y) મૂલ્યો લે છે.

અંતરાલ પર, સૌથી મોટા મૂલ્ય વિશે કોઈ નિષ્કર્ષ કાઢી શકાતા નથી.

અનંત પર

સાતમી આકૃતિમાં પ્રસ્તુત ઉદાહરણમાં, ફંક્શન એબ્સીસા x=1 સાથે સ્થિર બિંદુ પર સૌથી મોટું મૂલ્ય (મહત્તમ y) લે છે અને અંતરાલની જમણી સીમા પર સૌથી નાનું મૂલ્ય (મિનિમ y) પ્રાપ્ત થાય છે. માઈનસ અનંત પર, ફંક્શન વેલ્યુ એસિમ્પટોટિકલી y=3 સુધી પહોંચે છે.

અંતરાલમાં, ફંક્શન સૌથી નાનું કે સૌથી મોટું મૂલ્ય સુધી પહોંચતું નથી. જેમ જેમ x=2 જમણી બાજુએ આવે છે, ફંક્શન મૂલ્યો માઈનસ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે (રેખા x=2 એ વર્ટિકલ એસિમ્પટોટ છે), અને જેમ જેમ એબ્સીસા વત્તા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, તેમ ફંક્શન મૂલ્યો એસિમ્પટોટિક રીતે y=3 સુધી પહોંચે છે. આ ઉદાહરણનું ગ્રાફિક ચિત્ર આકૃતિ 8 માં બતાવવામાં આવ્યું છે.

સેગમેન્ટ પર સતત કાર્યના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ.

ચાલો એક અલ્ગોરિધમ લખીએ જે આપણને સેગમેન્ટ પર ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધવા દે છે.

1. અમે ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ છીએ અને તપાસ કરીએ છીએ કે તે સમગ્ર સેગમેન્ટ ધરાવે છે કે કેમ.
2. અમે એવા તમામ બિંદુઓ શોધીએ છીએ કે જેના પર પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી અને જે સેગમેન્ટમાં સમાયેલ છે (સામાન્ય રીતે આવા બિંદુઓ મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ દલીલ સાથેના કાર્યોમાં અને અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેના પાવર કાર્યોમાં જોવા મળે છે). જો આવા કોઈ બિંદુઓ ન હોય, તો પછીના મુદ્દા પર આગળ વધો.
3. અમે સેગમેન્ટમાં આવતા તમામ સ્થિર બિંદુઓ નક્કી કરીએ છીએ. આ કરવા માટે, અમે તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ, પરિણામી સમીકરણને હલ કરીએ છીએ અને યોગ્ય મૂળ પસંદ કરીએ છીએ. જો ત્યાં કોઈ સ્થિર બિંદુઓ ન હોય અથવા તેમાંથી કોઈ પણ સેગમેન્ટમાં ન આવે, તો પછીના બિંદુ પર આગળ વધો.
4. અમે ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી પસંદ કરેલા સ્થિર બિંદુઓ (જો કોઈ હોય તો), એવા બિંદુઓ પર કરીએ છીએ જ્યાં પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી (જો કોઈ હોય તો), તેમજ x=a અને x=b પર.
5. ફંક્શનના પ્રાપ્ત મૂલ્યોમાંથી, અમે સૌથી મોટું અને સૌથી નાનું પસંદ કરીએ છીએ - તે અનુક્રમે ફંક્શનના જરૂરી સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો હશે.

ચાલો સેગમેન્ટ પર ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવા માટે ઉદાહરણ ઉકેલવા માટેના અલ્ગોરિધમનું વિશ્લેષણ કરીએ.

ઉદાહરણ.

ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય શોધો

• સેગમેન્ટ પર;
• સેગમેન્ટ પર [-4;-1] .

ઉકેલ.

કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ છે, શૂન્યના અપવાદ સિવાય, એટલે કે. બંને વિભાગો વ્યાખ્યા ડોમેનમાં આવે છે.

આના સંદર્ભમાં ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો:

દેખીતી રીતે, ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન સેગમેન્ટના તમામ બિંદુઓ અને [-4;-1] પર અસ્તિત્વમાં છે.

અમે સમીકરણમાંથી સ્થિર બિંદુઓ નક્કી કરીએ છીએ. એકમાત્ર વાસ્તવિક મૂળ x=2 છે. આ સ્થિર બિંદુ પ્રથમ સેગમેન્ટમાં આવે છે.

પ્રથમ કેસ માટે, અમે સેગમેન્ટના છેડે અને સ્થિર બિંદુ પર ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ, એટલે કે, x=1, x=2 અને x=4 માટે:

તેથી, કાર્યનું સૌથી મોટું મૂલ્ય x=1 પર પ્રાપ્ત થાય છે, અને સૌથી નાનું મૂલ્ય - x=2 પર.

બીજા કેસ માટે, અમે ફંક્શન વેલ્યુની ગણતરી ફક્ત સેગમેન્ટના છેડે [-4;-1] કરીએ છીએ (કારણ કે તેમાં એક પણ સ્થિર બિંદુ નથી):

ઉકેલ.

ચાલો ફંક્શનના ડોમેનથી શરૂઆત કરીએ. અપૂર્ણાંકના છેદમાં ચોરસ ત્રિપદી અદૃશ્ય થવી જોઈએ નહીં:

તે તપાસવું સરળ છે કે સમસ્યા નિવેદનમાંથી તમામ અંતરાલો ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેન સાથે સંબંધિત છે.

ચાલો ફંક્શનને અલગ કરીએ:

દેખીતી રીતે, વ્યુત્પન્ન કાર્યની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ક્ષેત્રમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

ચાલો સ્થિર બિંદુઓ શોધીએ. ડેરિવેટિવ શૂન્ય પર જાય છે. આ સ્થિર બિંદુ અંતરાલો (-3;1] અને (-3;2) ની અંદર આવે છે.

હવે તમે કાર્યના ગ્રાફ સાથે દરેક બિંદુએ મેળવેલા પરિણામોની તુલના કરી શકો છો. વાદળી ડોટેડ રેખાઓ એસિમ્પ્ટોટ્સ સૂચવે છે.

આ બિંદુએ આપણે ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવા સાથે સમાપ્ત કરી શકીએ છીએ. આ લેખમાં ચર્ચા કરેલ અલ્ગોરિધમ્સ તમને ઓછામાં ઓછી ક્રિયાઓ સાથે પરિણામો મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. જો કે, ફંક્શનના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલોને પહેલા નક્કી કરવા માટે તે ઉપયોગી થઈ શકે છે અને તે પછી જ કોઈપણ અંતરાલ પર ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો વિશે તારણો કાઢો. આ પરિણામો માટે સ્પષ્ટ ચિત્ર અને સખત સમર્થન આપે છે.

કેટલીકવાર સમસ્યાઓ B15 માં "ખરાબ" કાર્યો હોય છે જેના માટે વ્યુત્પન્ન શોધવું મુશ્કેલ છે. પહેલાં, આ ફક્ત નમૂના પરીક્ષણો દરમિયાન જ થતું હતું, પરંતુ હવે આ કાર્યો એટલા સામાન્ય છે કે વાસ્તવિક યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી કરતી વખતે તેને અવગણી શકાય નહીં.

આ કિસ્સામાં, અન્ય તકનીકો કામ કરે છે, જેમાંથી એક છે એકવિધ.

જો આ સેગમેન્ટના કોઈપણ બિંદુ x 1 અને x 2 માટે નીચેના ધરાવે છે, તો ફંક્શન f (x) સેગમેન્ટ પર એકવિધ રીતે વધી રહ્યું હોવાનું કહેવાય છે:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

ફંક્શન f (x) એ સેગમેન્ટ પર એકવિધ રીતે ઘટતું હોવાનું કહેવાય છે જો આ સેગમેન્ટના કોઈપણ બિંદુઓ x 1 અને x 2 માટે નીચેના ધરાવે છે:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વધતા કાર્ય માટે, મોટા x, મોટા f(x). ઘટતા કાર્ય માટે વિરુદ્ધ સાચું છે: મોટા x, ધ ઓછું f(x).

ઉદાહરણ તરીકે, જો બેઝ a > 1 હોય તો લોગરીધમ એકવિધ રીતે વધે છે અને જો 0 હોય તો એકવિધ રીતે ઘટે છે< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = લોગ a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

અંકગણિત ચોરસ (અને માત્ર ચોરસ જ નહીં) મૂળ વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર એકવિધ રીતે વધે છે:

ઘાતાંકીય કાર્ય લઘુગણકની જેમ જ વર્તે છે: તે > 1 માટે વધે છે અને 0 માટે ઘટે છે< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

છેલ્લે, નકારાત્મક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી. તમે તેમને અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકો છો. તેમની પાસે એક વિરામ બિંદુ છે જ્યાં એકવિધતા તૂટી ગઈ છે.

આ તમામ કાર્યો તેમના શુદ્ધ સ્વરૂપમાં ક્યારેય જોવા મળતા નથી. તેઓ બહુપદી, અપૂર્ણાંક અને અન્ય નોનસેન્સ ઉમેરે છે, જે વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવાનું મુશ્કેલ બનાવે છે. ચાલો જોઈએ કે આ કિસ્સામાં શું થાય છે.

પેરાબોલા શિરોબિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ

મોટેભાગે ફંક્શન દલીલ સાથે બદલાઈ જાય છે ચતુર્ભુજ ત્રિપદીફોર્મ y = ax 2 + bx + c. તેનો આલેખ એક પ્રમાણભૂત પેરાબોલા છે જેમાં અમને રસ છે:

1. પેરાબોલાની શાખાઓ ઉપર જઈ શકે છે (a > 0 માટે) અથવા નીચે (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. પેરાબોલાના શિરોબિંદુ એ ચતુર્ભુજ ફંક્શનનો સીમાબિંદુ છે કે જેના પર આ ફંક્શન તેનું ન્યૂનતમ (a > 0 માટે) અથવા મહત્તમ (a) લે છે.< 0) значение.

સૌથી વધુ રસ છે પેરાબોલાના શિરોબિંદુ, જેનું એબ્સીસા સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

તેથી, આપણે ચતુર્ભુજ કાર્યનો અંતિમ બિંદુ શોધી કાઢ્યો છે. પરંતુ જો મૂળ ફંક્શન મોનોટોનિક છે, તો તેના માટે બિંદુ x 0 પણ એક આત્યંતિક બિંદુ હશે. આમ, ચાલો મુખ્ય નિયમ ઘડીએ:

ચતુર્ભુજ ત્રિપદીના આત્યંતિક બિંદુઓ અને જટિલ કાર્ય જેમાં તેનો સમાવેશ થાય છે તે એકરૂપ થાય છે. તેથી, તમે ચતુર્ભુજ ત્રિપદી માટે x 0 શોધી શકો છો, અને કાર્ય વિશે ભૂલી શકો છો.

ઉપરોક્ત તર્કથી, તે અસ્પષ્ટ રહે છે કે આપણે કયો બિંદુ મેળવીએ છીએ: મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ. જો કે, કાર્યો ખાસ રીતે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યા છે જેથી આમાં કોઈ ફરક ન પડે. તમારા માટે ન્યાયાધીશ:

1. સમસ્યા નિવેદનમાં કોઈ સેગમેન્ટ નથી. તેથી, f(a) અને f(b) ની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી. તે ફક્ત આત્યંતિક બિંદુઓને ધ્યાનમાં લેવાનું બાકી છે;
2. પરંતુ ત્યાં ફક્ત એક જ બિંદુ છે - આ પેરાબોલા x 0 નું શિરોબિંદુ છે, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ શાબ્દિક રીતે મૌખિક રીતે અને કોઈપણ ડેરિવેટિવ્ઝ વિના ગણવામાં આવે છે.

આમ, સમસ્યાનું નિરાકરણ ખૂબ જ સરળ છે અને તે ફક્ત બે પગલાઓ પર આવે છે:

1. પેરાબોલા y = ax 2 + bx + c નું સમીકરણ લખો અને સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેનું શિરોબિંદુ શોધો: x 0 = −b /2a ;
2. આ બિંદુએ મૂળ કાર્યની કિંમત શોધો: f (x 0). જો ત્યાં કોઈ વધારાની શરતો નથી, તો આ જવાબ હશે.

પ્રથમ નજરમાં, આ અલ્ગોરિધમ અને તેનું તર્ક જટિલ લાગે છે. હું ઇરાદાપૂર્વક "બેર" સોલ્યુશન ડાયાગ્રામ પોસ્ટ કરતો નથી, કારણ કે આવા નિયમોનો વિચારવિહીન ઉપયોગ ભૂલોથી ભરપૂર છે.

ચાલો ગણિતમાં યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષાની કસોટીમાંથી વાસ્તવિક સમસ્યાઓ જોઈએ - આ તે છે જ્યાં આ તકનીક મોટાભાગે જોવા મળે છે. તે જ સમયે, અમે ખાતરી કરીશું કે આ રીતે ઘણી બધી B15 સમસ્યાઓ લગભગ મૌખિક બની જાય છે.

રુટ હેઠળ એક ચતુર્ભુજ ફંક્શન y = x 2 + 6x + 13 છે. આ ફંક્શનનો આલેખ એ એક પરબોલા છે જેની શાખાઓ ઉપર છે, કારણ કે ગુણાંક a = 1 > 0 છે.

પેરાબોલાના શિરોબિંદુ:

x 0 = −b /(2a) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

પેરાબોલાની શાખાઓ ઉપરની તરફ નિર્દેશિત હોવાથી, x 0 = −3 બિંદુ પર કાર્ય y = x 2 + 6x + 13 તેની લઘુત્તમ કિંમત લે છે.

રુટ એકવિધ રીતે વધે છે, જેનો અર્થ છે x 0 એ સમગ્ર કાર્યનો લઘુત્તમ બિંદુ છે. અમારી પાસે:

કાર્ય. ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધો:

y = લોગ 2 (x 2 + 2x + 9)

લઘુગણક હેઠળ ફરીથી એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે: y = x 2 + 2x + 9. આલેખ ઉપર શાખાઓ સાથેનો પેરાબોલા છે, કારણ કે a = 1 > 0.

પેરાબોલાના શિરોબિંદુ:

x 0 = −b /(2a) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

તેથી, બિંદુ x 0 = −1 પર ચતુર્ભુજ કાર્ય તેની લઘુત્તમ કિંમત લે છે. પરંતુ કાર્ય y = log 2 x એકવિધ છે, તેથી:

y મિનિટ = y (−1) = લોગ 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = લોગ 2 8 = 3

ઘાતાંકમાં ચતુર્ભુજ કાર્ય y = 1 − 4x − x 2 હોય છે. ચાલો તેને સામાન્ય સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ: y = −x 2 − 4x + 1.

દેખીતી રીતે, આ ફંક્શનનો ગ્રાફ પેરાબોલા છે, શાખાઓ નીચે છે (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

મૂળ ફંક્શન ઘાતાંકીય છે, તે મોનોટોનિક છે, તેથી સૌથી મોટી કિંમત મળેલ બિંદુ x 0 = −2 પર હશે:

સચેત વાચક કદાચ જોશે કે અમે મૂળ અને લઘુગણકના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણી લખી નથી. પરંતુ આ જરૂરી ન હતું: અંદર એવા કાર્યો છે જેના મૂલ્યો હંમેશા હકારાત્મક હોય છે.

ફંક્શનના ડોમેનમાંથી કોરોલરીઝ

કેટલીકવાર સમસ્યા B15 ઉકેલવા માટે પેરાબોલાના શિરોબિંદુને શોધવાનું પૂરતું નથી. તમે જે મૂલ્ય શોધી રહ્યા છો તે ખોટું હોઈ શકે છે સેગમેન્ટના અંતે, અને આત્યંતિક બિંદુ પર બિલકુલ નહીં. જો સમસ્યા કોઈ સેગમેન્ટને સ્પષ્ટ કરતી નથી, તો જુઓ સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણીમૂળ કાર્ય. જેમ કે:

મહેરબાની કરીને ફરીથી નોંધ કરો: શૂન્ય મૂળની નીચે હોઈ શકે છે, પરંતુ અપૂર્ણાંકના લઘુગણક અથવા છેદમાં ક્યારેય નહીં. ચાલો જોઈએ કે આ વિશિષ્ટ ઉદાહરણો સાથે કેવી રીતે કાર્ય કરે છે:

કાર્ય. ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધો:

મૂળની નીચે ફરી એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે: y = 3 − 2x − x 2 . તેનો ગ્રાફ પેરાબોલા છે, પરંતુ શાખાઓ નીચે છે કારણ કે a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

અમે અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણી લખીએ છીએ (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

હવે ચાલો પેરાબોલાના શિરોબિંદુને શોધીએ:

x 0 = −b /(2a) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

બિંદુ x 0 = −1 એ સેગમેન્ટ ODZ નો છે - અને આ સારું છે. હવે આપણે બિંદુ x 0, તેમજ ODZ ના છેડે ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરીએ છીએ:

y(−3) = y(1) = 0

તેથી, અમને 2 અને 0 નંબરો મળ્યા. અમને સૌથી મોટો શોધવા માટે કહેવામાં આવે છે - આ નંબર 2 છે.

કાર્ય. ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધો:

y = લોગ 0.5 (6x − x 2 − 5)

લઘુગણકની અંદર એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે y = 6x − x 2 − 5. આ એક પેરાબોલા છે જેમાં શાખાઓ નીચે છે, પરંતુ લઘુગણકમાં નકારાત્મક સંખ્યાઓ હોઈ શકતી નથી, તેથી અમે ODZ લખીએ છીએ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: અસમાનતા કડક છે, તેથી છેડા ODZ સાથે સંબંધિત નથી. આ લઘુગણકને મૂળથી જુદો પાડે છે, જ્યાં સેગમેન્ટના છેડા અમને ખૂબ જ અનુકૂળ આવે છે.

અમે પેરાબોલાના શિરોબિંદુને શોધી રહ્યા છીએ:

x 0 = −b /(2a) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

પેરાબોલાના શિરોબિંદુ ODZ અનુસાર બંધબેસે છે: x 0 = 3 ∈ (1; 5). પરંતુ અમને સેગમેન્ટના છેડામાં રસ ન હોવાથી, અમે ફંક્શનના મૂલ્યની ગણતરી માત્ર બિંદુ x 0 પર કરીએ છીએ:

y મિનિટ = y (3) = લોગ 0.5 (6 3 − 3 2 − 5) = લોગ 0.5 (18 − 9 − 5) = લોગ 0.5 4 = −2

વ્યવહારમાં, ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરવો એકદમ સામાન્ય છે. અમે આ ક્રિયા કરીએ છીએ જ્યારે આપણે ખર્ચને કેવી રીતે ઘટાડવો, નફો કેવી રીતે વધારવો, ઉત્પાદન પરના શ્રેષ્ઠ ભારની ગણતરી કરવી વગેરે શોધી કાઢીએ છીએ, એટલે કે, એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં આપણે પરિમાણનું શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય નક્કી કરવાની જરૂર છે. આવી સમસ્યાઓને યોગ્ય રીતે ઉકેલવા માટે, તમારે ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શું છે તેની સારી સમજ હોવી જરૂરી છે.

સામાન્ય રીતે આપણે આ મૂલ્યોને ચોક્કસ અંતરાલ x ની અંદર વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, જે બદલામાં ફંક્શનના સમગ્ર ડોમેન અથવા તેના ભાગને અનુરૂપ હોઈ શકે છે. તે સેગમેન્ટ [a; b ] , અને ખુલ્લું અંતરાલ (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), અનંત અંતરાલ (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) અથવા અનંત અંતરાલ - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞), (- ∞; + ∞) .

આ સામગ્રીમાં અમે તમને કહીશું કે એક ચલ y=f(x) y = f (x) સાથે સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્યના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યોની ગણતરી કેવી રીતે કરવી.

મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ

ચાલો, હંમેશની જેમ, મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓની રચના સાથે પ્રારંભ કરીએ.

વ્યાખ્યા 1

ચોક્કસ અંતરાલ x પર ફંક્શન y = f (x) નું સૌથી મોટું મૂલ્ય m a x y = f (x 0) x ∈ X છે, જે કોઈપણ મૂલ્ય માટે x x ∈ X, x ≠ x 0 અસમાનતા બનાવે છે f (x) ≤ f (x) માન્ય 0) .

વ્યાખ્યા 2

ચોક્કસ અંતરાલ x પર ફંક્શન y = f (x) નું સૌથી નાનું મૂલ્ય m i n x ∈ X y = f (x 0) છે, જે કોઈપણ મૂલ્ય માટે x ∈ X, x ≠ x 0 અસમાનતા f(X f) બનાવે છે. (x) ≥ f (x 0) .

આ વ્યાખ્યાઓ એકદમ સ્પષ્ટ છે. તેનાથી પણ સરળ, આપણે આ કહી શકીએ: ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય એ એબ્સીસા x 0 પર જાણીતા અંતરાલ પર તેનું સૌથી મોટું મૂલ્ય છે, અને સૌથી નાનું x 0 પર સમાન અંતરાલ પર સૌથી નાનું સ્વીકૃત મૂલ્ય છે.

વ્યાખ્યા 3

સ્થિર બિંદુઓ ફંક્શનની દલીલના તે મૂલ્યો છે કે જેના પર તેનું વ્યુત્પન્ન 0 બને છે.

આપણે શા માટે એ જાણવાની જરૂર છે કે સ્થિર બિંદુઓ શું છે? આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, આપણે ફર્મેટના પ્રમેયને યાદ રાખવાની જરૂર છે. તે તેના પરથી અનુસરે છે કે સ્થિર બિંદુ એ તે બિંદુ છે કે જેના પર વિભેદક કાર્યનો અંતિમ ભાગ સ્થિત છે (એટલે ​​​​કે, તેનું સ્થાનિક લઘુત્તમ અથવા મહત્તમ). પરિણામે, કાર્ય ચોક્કસ અંતરાલ પર સ્થિર બિંદુઓમાંથી એક પર ચોક્કસપણે સૌથી નાનું અથવા સૌથી મોટું મૂલ્ય લેશે.

ફંક્શન તે બિંદુઓ પર સૌથી મોટું અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય પણ લઈ શકે છે જ્યાં ફંક્શન પોતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને તેનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી.

આ વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે પહેલો પ્રશ્ન ઉદ્ભવે છે: બધા કિસ્સાઓમાં આપણે આપેલ અંતરાલ પર ફંક્શનનું સૌથી મોટું કે નાનું મૂલ્ય નક્કી કરી શકીએ? ના, અમે આ કરી શકતા નથી જ્યારે આપેલ અંતરાલની સીમાઓ વ્યાખ્યા ડોમેનની સીમાઓ સાથે સુસંગત હોય, અથવા જો આપણે અનંત અંતરાલ સાથે કામ કરી રહ્યા હોઈએ. એવું પણ બને છે કે આપેલ સેગમેન્ટમાં અથવા અનંતમાં ફંક્શન અનંત નાના અથવા અનંત મોટા મૂલ્યો લેશે. આ કિસ્સાઓમાં, સૌથી મોટું અને/અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય નક્કી કરવું શક્ય નથી.

ગ્રાફ પર દર્શાવ્યા પછી આ મુદ્દા વધુ સ્પષ્ટ થશે:

પ્રથમ આકૃતિ આપણને એક કાર્ય બતાવે છે જે સેગમેન્ટ [ - 6 ; 6].

ચાલો બીજા ગ્રાફમાં દર્શાવેલ કેસની વિગતવાર તપાસ કરીએ. ચાલો સેગમેન્ટની કિંમત [ 1 ; 6 ] અને અમે શોધીએ છીએ કે ફંક્શનનું મહત્તમ મૂલ્ય અંતરાલની જમણી સીમા પર એબ્સીસા સાથે બિંદુ પર અને ન્યૂનતમ સ્થિર બિંદુ પર પ્રાપ્ત થશે.

ત્રીજી આકૃતિમાં, પોઈન્ટના એબ્સીસાસ સેગમેન્ટના સીમા બિંદુઓને રજૂ કરે છે [ - 3 ; 2]. તેઓ આપેલ કાર્યના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યને અનુરૂપ છે.

હવે ચાલો ચોથું ચિત્ર જોઈએ. તેમાં, ફંક્શન ખુલ્લા અંતરાલ (- 6; 6) પર સ્થિર બિંદુઓ પર m a x y (સૌથી મોટી કિંમત) અને m i n y (સૌથી નાની કિંમત) લે છે.

જો આપણે અંતરાલ લઈએ [ 1 ; 6), પછી આપણે કહી શકીએ કે તેના પરના કાર્યનું સૌથી નાનું મૂલ્ય સ્થિર બિંદુ પર પ્રાપ્ત થશે. સૌથી મોટી કિંમત આપણા માટે અજાણ હશે. જો x = 6 અંતરાલ સાથે સંબંધિત હોય તો ફંક્શન તેની મહત્તમ કિંમત x બરાબર 6 પર લઈ શકે છે. આ ગ્રાફ 5 માં બતાવેલ કેસ બરાબર છે.

ગ્રાફ 6 માં, આ ફંક્શન અંતરાલની જમણી સીમા પર તેનું સૌથી નાનું મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે (- 3; 2 ], અને અમે સૌથી મોટા મૂલ્ય વિશે ચોક્કસ નિષ્કર્ષ દોરી શકતા નથી.

આકૃતિ 7 માં આપણે જોઈએ છીએ કે ફંક્શનમાં સ્થિર બિંદુ પર m a x y હશે જેનું abscissa 1 ની બરાબર હશે. ફંક્શન જમણી બાજુના અંતરાલની સીમા પર તેના ન્યૂનતમ મૂલ્ય સુધી પહોંચશે. માઈનસ અનંત પર, ફંક્શન વેલ્યુ એસિમ્પટોટિકલી y = 3 સુધી પહોંચશે.

જો આપણે અંતરાલ x ∈ 2 લઈએ; + ∞ , પછી આપણે જોઈશું કે આપેલ ફંક્શન તેના પર સૌથી નાનું કે સૌથી મોટું મૂલ્ય લેશે નહીં. જો x 2 તરફ વળે છે, તો ફંક્શનના મૂલ્યો માઈનસ અનંત તરફ વળશે, કારણ કે સીધી રેખા x = 2 એ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે. જો એબ્સીસા વત્તા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, તો ફંક્શન મૂલ્યો એસિમ્પટોટિકલી y = 3 સુધી પહોંચશે. આકૃતિ 8 માં બતાવેલ કેસ બરાબર છે.

આ ફકરામાં આપણે ચોક્કસ સેગમેન્ટ પર ફંક્શનનું સૌથી મોટું અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધવા માટે કરવામાં આવતી ક્રિયાઓનો ક્રમ રજૂ કરીશું.

1. પ્રથમ, ચાલો ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ. ચાલો તપાસીએ કે શરતમાં ઉલ્લેખિત સેગમેન્ટ તેમાં શામેલ છે કે કેમ.
2. હવે ચાલો આ સેગમેન્ટમાં સમાયેલ પોઈન્ટની ગણતરી કરીએ કે જેના પર પ્રથમ ડેરિવેટિવ અસ્તિત્વમાં નથી. મોટેભાગે તેઓ એવા ફંક્શન્સમાં મળી શકે છે કે જેની દલીલ મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ લખવામાં આવે છે, અથવા પાવર ફંક્શન્સમાં કે જેના ઘાતાંક અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સંખ્યા છે.
3. આગળ, આપણે શોધીશું કે આપેલ સેગમેન્ટમાં કયા સ્થિર બિંદુઓ આવશે. આ કરવા માટે, તમારે ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, પછી તેને 0 સાથે સમાન કરો અને પરિણામી સમીકરણને હલ કરો, અને પછી યોગ્ય મૂળ પસંદ કરો. જો આપણને એક પણ સ્થિર બિંદુ ન મળે અથવા તે આપેલ સેગમેન્ટમાં ન આવે, તો અમે આગળના પગલા પર આગળ વધીએ છીએ.
4. અમે નક્કી કરીએ છીએ કે આપેલ સ્થિર બિંદુઓ (જો કોઈ હોય તો) પર ફંક્શન કયા મૂલ્યો લેશે, અથવા તે બિંદુઓ પર જ્યાં પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી (જો ત્યાં કોઈ હોય તો), અથવા અમે x = a અને માટે મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ x = b.
5. 5. અમારી પાસે સંખ્યાબંધ ફંક્શન વેલ્યુ છે, જેમાંથી હવે આપણે સૌથી મોટું અને સૌથી નાનું પસંદ કરવાની જરૂર છે. આ ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો હશે જેને આપણે શોધવાની જરૂર છે.

ચાલો જોઈએ કે સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આ અલ્ગોરિધમને યોગ્ય રીતે કેવી રીતે લાગુ કરવું.

ઉદાહરણ 1

શરત:ફંક્શન y = x 3 + 4 x 2 આપેલ છે. સેગમેન્ટ્સ પર તેના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો નક્કી કરો [ 1 ; 4 ] અને [ - 4 ; - 1]

ઉકેલ:

ચાલો આપેલ ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીને શરૂ કરીએ. આ કિસ્સામાં, તે 0 સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ હશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ શરતમાં ઉલ્લેખિત બંને વિભાગો વ્યાખ્યા વિસ્તારની અંદર હશે.

હવે આપણે અપૂર્ણાંક તફાવતના નિયમ અનુસાર ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ છીએ:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

અમે શીખ્યા કે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન સેગમેન્ટના તમામ બિંદુઓ પર અસ્તિત્વમાં રહેશે [ 1 ; 4 ] અને [ - 4 ; - 1]

હવે આપણે ફંક્શનના સ્થિર બિંદુઓ નક્કી કરવાની જરૂર છે. ચાલો આ સમીકરણ x 3 - 8 x 3 = 0 નો ઉપયોગ કરીને કરીએ. તે માત્ર એક વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે, જે 2 છે. તે ફંક્શનનું સ્થિર બિંદુ હશે અને પ્રથમ સેગમેન્ટમાં આવશે [1; 4]

ચાલો પ્રથમ સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ અને આ બિંદુએ, એટલે કે. x = 1, x = 2 અને x = 4 માટે:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

અમને જાણવા મળ્યું કે ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 એ x = 1 પર પ્રાપ્ત થશે, અને સૌથી નાનો m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – x = 2 પર.

બીજા સેગમેન્ટમાં એક સ્થિર બિંદુનો સમાવેશ થતો નથી, તેથી આપણે આપેલ સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શન મૂલ્યોની ગણતરી કરવાની જરૂર છે:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

આનો અર્થ છે m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

જવાબ:સેગમેન્ટ માટે [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , સેગમેન્ટ માટે [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

ચિત્ર જુઓ:

આ પદ્ધતિનો અભ્યાસ કરતા પહેલા, અમે તમને એકતરફી મર્યાદા અને અનંતતા પરની મર્યાદાની યોગ્ય રીતે ગણતરી કેવી રીતે કરવી તેની સમીક્ષા કરવા તેમજ તેમને શોધવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ શીખવાની સલાહ આપીએ છીએ. ખુલ્લા અથવા અનંત અંતરાલ પર ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને/અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધવા માટે, નીચેના પગલાંઓ ક્રમિક રીતે કરો.

1. પ્રથમ તમારે તપાસવાની જરૂર છે કે શું આપેલ અંતરાલ આ કાર્યની વ્યાખ્યાના ડોમેનનો સબસેટ છે.
2. ચાલો આપણે બધા બિંદુઓ નક્કી કરીએ જે જરૂરી અંતરાલમાં સમાયેલ છે અને જેના પર પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી. તે સામાન્ય રીતે ફંક્શન્સ માટે થાય છે જ્યાં દલીલ મોડ્યુલસ ચિહ્નમાં બંધ હોય છે, અને અપૂર્ણાંક તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન્સ માટે. જો આ બિંદુઓ ખૂટે છે, તો પછી તમે આગલા પગલા પર આગળ વધી શકો છો.
3. હવે ચાલો નક્કી કરીએ કે કયા સ્થિર બિંદુઓ આપેલ અંતરાલમાં આવશે. પ્રથમ, અમે વ્યુત્પન્નને 0 સાથે સરખાવીએ છીએ, સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ અને યોગ્ય મૂળ પસંદ કરીએ છીએ. જો અમારી પાસે એક પણ સ્થિર બિંદુ નથી અથવા તે નિર્દિષ્ટ અંતરાલમાં આવતા નથી, તો અમે તરત જ આગળની ક્રિયાઓ પર આગળ વધીએ છીએ. તેઓ અંતરાલના પ્રકાર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

• જો અંતરાલ ફોર્મનું છે [ a ; b) , તો આપણે બિંદુ x = a અને એક બાજુની મર્યાદા lim x → b - 0 f (x) પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
• જો અંતરાલનું સ્વરૂપ (a; b ] હોય, તો આપણે બિંદુ x = b અને એક બાજુની મર્યાદા lim x → a + 0 f (x) પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
• જો અંતરાલનું સ્વરૂપ (a ; b) હોય, તો આપણે એકતરફી મર્યાદા lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) ની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
• જો અંતરાલ ફોર્મનું છે [ a ; + ∞), પછી આપણે બિંદુ x = a અને વત્તા અનંત લિમ x → + ∞ f (x) પરની મર્યાદા પરની કિંમતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
• જો અંતરાલ (- ∞ ; b ] જેવો દેખાય છે, તો આપણે બિંદુ x = b પરની કિંમત અને માઇનસ અનંત લિમ x → - ∞ f (x) પરની મર્યાદાની ગણતરી કરીએ છીએ.
• જો - ∞ ; b , પછી આપણે એકતરફી મર્યાદા lim x → b - 0 f (x) અને માઈનસ અનંત lim x → - ∞ f (x) પરની મર્યાદાને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
• જો - ∞; + ∞ , પછી આપણે માઈનસ અને વત્તા અનંત લિમ x → + ∞ f (x) , લિમ x → - ∞ f (x) પરની મર્યાદાઓને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.

1. અંતે, તમારે પ્રાપ્ત કાર્ય મૂલ્યો અને મર્યાદાઓના આધારે નિષ્કર્ષ દોરવાની જરૂર છે. અહીં ઘણા બધા વિકલ્પો ઉપલબ્ધ છે. તેથી, જો એકતરફી મર્યાદા માઇનસ અનંત અથવા વત્તા અનંતની બરાબર હોય, તો તે તરત જ સ્પષ્ટ છે કે ફંક્શનના સૌથી નાના અને મોટા મૂલ્યો વિશે કશું કહી શકાતું નથી. નીચે આપણે એક લાક્ષણિક ઉદાહરણ જોઈશું. વિગતવાર વર્ણનો તમને શું છે તે સમજવામાં મદદ કરશે. જો જરૂરી હોય તો, તમે સામગ્રીના પ્રથમ ભાગમાં આકૃતિ 4 - 8 પર પાછા આવી શકો છો.

શરત: આપેલ ફંક્શન y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . અંતરાલોમાં તેના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યની ગણતરી કરો - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞).

ઉકેલ

સૌ પ્રથમ, આપણે ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ છીએ. અપૂર્ણાંકના છેદમાં ચતુર્ભુજ ત્રિપદીનો સમાવેશ થાય છે, જે 0 તરફ વળવું જોઈએ નહીં:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

અમે ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન મેળવ્યું છે કે જેમાં શરતમાં ઉલ્લેખિત તમામ અંતરાલો સંબંધિત છે.

હવે ચાલો ફંક્શનને અલગ કરીએ અને મેળવીએ:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

પરિણામે, ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્ઝ તેની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ક્ષેત્રમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

ચાલો સ્થિર બિંદુઓ શોધવા તરફ આગળ વધીએ. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન x = - 1 2 પર 0 બને છે. આ એક સ્થિર બિંદુ છે જે અંતરાલો (- 3 ; 1 ] અને (- 3 ; 2) માં આવેલું છે.

ચાલો અંતરાલ (- ∞ ; - 4 ] માટે x = - 4 પર ફંક્શનના મૂલ્યની ગણતરી કરીએ, તેમજ માઇનસ અનંત પરની મર્યાદા:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 લિમ x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

3 e 1 6 - 4 > - 1 થી, તેનો અર્થ એમ થાય છે કે m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. આ અમને અનન્ય રીતે સૌથી નાનું મૂલ્ય નિર્ધારિત કરવાની મંજૂરી આપતું નથી. ફંક્શન.

બીજા અંતરાલની ખાસિયત એ છે કે તેમાં એક પણ સ્થિર બિંદુ નથી અને તેમાં એક પણ કડક સીમા નથી. પરિણામે, અમે ફંક્શનના સૌથી મોટા અથવા નાના મૂલ્યની ગણતરી કરી શકીશું નહીં. માઈનસ અનંત પર મર્યાદા વ્યાખ્યાયિત કર્યા પછી અને ડાબી બાજુએ - 3 તરફ વલણ ધરાવતી દલીલ સાથે, અમને ફક્ત મૂલ્યોનો અંતરાલ મળે છે:

લિમ x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = લિમ x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ લિમ x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

આનો અર્થ એ છે કે કાર્ય મૂલ્યો અંતરાલમાં સ્થિત થશે - 1; +∞

ત્રીજા અંતરાલમાં ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધવા માટે, આપણે તેનું મૂલ્ય સ્થિર બિંદુ x = - 1 2 જો x = 1 પર નક્કી કરીએ છીએ. જ્યારે દલીલ જમણી બાજુએ - 3 તરફ વલણ ધરાવે છે ત્યારે અમને કેસ માટે એકતરફી મર્યાદા પણ જાણવાની જરૂર પડશે:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

તે બહાર આવ્યું છે કે ફંક્શન સ્થિર બિંદુ m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 પર સૌથી વધુ મૂલ્ય લેશે. નાનામાં નાના મૂલ્ય માટે, અમે તેને નિર્ધારિત કરી શકતા નથી. આપણે જે જાણીએ છીએ તે બધું , - 4 ની નીચી મર્યાદાની હાજરી છે.

અંતરાલ (- 3 ; 2) માટે, અગાઉની ગણતરીના પરિણામો લો અને ફરી એકવાર ગણતરી કરો કે જ્યારે ડાબી બાજુએ 2 તરફ વળવું ત્યારે એકતરફી મર્યાદા કેટલી બરાબર છે:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 લિમ x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

આનો અર્થ એ છે કે m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, અને સૌથી નાનું મૂલ્ય નક્કી કરી શકાતું નથી, અને ફંક્શનના મૂલ્યો નંબર - 4 દ્વારા નીચેથી મર્યાદિત છે .

અગાઉની બે ગણતરીઓમાં જે મળ્યું તેના આધારે, આપણે કહી શકીએ કે અંતરાલ [ 1 ; 2) ફંક્શન x = 1 પર સૌથી મોટું મૂલ્ય લેશે, પરંતુ સૌથી નાનું શોધવાનું અશક્ય છે.

અંતરાલ પર (2 ; + ∞) ફંક્શન સૌથી મોટા અથવા નાના મૂલ્ય સુધી પહોંચશે નહીં, એટલે કે. તે અંતરાલમાંથી મૂલ્યો લેશે - 1 ; + ∞

લિમ x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ લિમ x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

x = 4 પર ફંક્શનની કિંમત કેટલી હશે તેની ગણતરી કર્યા પછી, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , અને વત્તા અનંત પર આપેલ ફંક્શન એસિમ્પ્ટોટિક રીતે સીધી રેખા y = - 1 સુધી પહોંચશે.

આપેલ ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે દરેક ગણતરીમાં આપણને શું મળ્યું તેની સરખામણી કરીએ. આકૃતિમાં, એસિમ્પ્ટોટ્સ ડોટેડ રેખાઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યા છે.

ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાનામાં નાના મૂલ્યો શોધવા વિશે અમે તમને આટલું જ કહેવા માગીએ છીએ. અમે આપેલ ક્રિયાઓનો ક્રમ તમને શક્ય તેટલી ઝડપથી અને સરળ રીતે જરૂરી ગણતરીઓ કરવામાં મદદ કરશે. પરંતુ યાદ રાખો કે ફંક્શન કયા અંતરાલમાં ઘટશે અને કયા સમયે તે વધશે તે શોધવા માટે તે ઘણીવાર ઉપયોગી છે, જેના પછી તમે વધુ તારણો દોરી શકો છો. આ રીતે તમે ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યોને વધુ ચોક્કસ રીતે નિર્ધારિત કરી શકો છો અને પ્રાપ્ત પરિણામોને ન્યાયી ઠેરવી શકો છો.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો