સેગમેન્ટને વિભાજીત કરતા બિંદુ m ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો. આ સંબંધમાં સેગમેન્ટનું વિભાજન

નિર્દેશિત સેગમેન્ટ AB આપવા દો; તેઓ કહે છે કે તે મુદ્દો છે

આ રેખાનો M સેગમેન્ટ AB ને X ના સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજીત કરે છે, જ્યાં એક મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યા છે, જો

જ્યારે બિંદુ M એ પોઈન્ટ A અને B (એટલે ​​​​કે સેગમેન્ટની અંદર) વચ્ચે આવેલું હોય છે

AB), પછી વેક્ટર AM અને MB એક જ દિશામાં નિર્દેશિત થાય છે (ફિગ. 2) અને ગુણોત્તર (1) હકારાત્મક છે.

જ્યારે બિંદુ M સેગમેન્ટની બહાર આવેલું છે

AB, પછી વેક્ટર AM અને MB વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશિત થાય છે (ફિગ. 3) અને ગુણોત્તર (1) નકારાત્મક છે.

ચાલો જોઈએ કે જ્યારે બિંદુ M સમગ્ર રેખામાંથી પસાર થાય ત્યારે સંબંધ (1) કેવી રીતે બદલાય છે. જ્યારે બિંદુ M બિંદુ A સાથે એકરુપ થાય છે, ત્યારે ગુણોત્તર (1) શૂન્યની બરાબર છે; જો પછી બિંદુ M એ સેગમેન્ટ ABમાંથી A થી B દિશામાં પસાર થાય છે, તો ગુણોત્તર (1) સતત વધે છે, જે બિંદુ M B ની નજીક આવે છે તેમ મનસ્વી રીતે મોટો બની જાય છે. જ્યારે , પછી અપૂર્ણાંક (1) તેનો અર્થ ગુમાવે છે, કારણ કે તેનો છેદ શૂન્ય વેક્ટરમાં ફેરવાય છે. સમાન દિશામાં સીધી રેખા સાથે બિંદુની વધુ હિલચાલ સાથે (ફિગ. 3, B ની જમણી બાજુએ), સંબંધ (1) નકારાત્મક બને છે, અને જો Z એ B ની પૂરતી નજીક હોય, તો આ ગુણોત્તર મનસ્વી રીતે હોય છે. મોટું નિરપેક્ષ મૂલ્ય.

ત્યારથી, પછી (§ 4 ના દરખાસ્ત 8 ના આધારે) અમારી પાસે છે

જ્યારે બિંદુ M, એક જ દિશામાં (આપણી ફિગ. 3 માં, a ડાબેથી જમણે), સીધો અનંત તરફ જાય છે, ત્યારે અપૂર્ણાંક શૂન્ય તરફ વળે છે (કારણ કે તેનો અંશ સ્થિર રહે છે, અને છેદ અનિશ્ચિતપણે વધે છે) , તેથી, ગુણોત્તર , - -1 તરફ વલણ ધરાવે છે.

ચાલો હવે M ને બે અર્ધ-રેખાઓની "ડાબી" તરફ જઈએ જેમાં બિંદુ A રેખાને વિભાજિત કરે છે (એટલે ​​​​કે, અર્ધ-રેખામાં જેમાં સેગમેન્ટ AB શામેલ નથી). જો આ કિસ્સામાં બિંદુ M એ બિંદુ A થી પર્યાપ્ત દૂર સ્થિત છે, તો પછી, ફરીથી, મનસ્વી રીતે નાનું છે અને તેથી, સૂત્રમાં, ગુણોત્તર -1 થી મનસ્વી રીતે થોડો અલગ છે. જેમ જેમ બિંદુ M ડાબી બાજુથી બિંદુ A ની નજીક આવે છે (ફિગ. 3, b), ગુણોત્તર (I), જ્યારે નકારાત્મક રહે છે, ત્યારે નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં સતત ઘટાડો થાય છે અને જ્યારે બિંદુ M બિંદુ A પર પાછો આવે છે ત્યારે અંતે શૂન્યની બરાબર બને છે.

નોંધ કરો કે રેખા પર બિંદુ M ની કોઈપણ સ્થિતિ પર -1 ની બરાબર ગુણોત્તર નથી. વાસ્તવમાં, ગુણોત્તર માત્ર ત્યારે જ નકારાત્મક હોય છે જ્યારે બિંદુ M એ સેગમેન્ટ AB ની બહાર આવેલું હોય. પરંતુ આ કિસ્સામાં, સેગમેન્ટ્સ AM અને MB ક્યારેય સમાન નથી, એટલે કે.

ચાલો હવે સીધી રેખા પર સંકલન પ્રણાલી સ્થાપિત કરીએ અને O એ આ સિસ્ટમનું મૂળ છે. ચાલો બિંદુ A ના સંકલનને બિંદુ B દ્વારા અને ચલ બિંદુ M દ્વારા દર્શાવીએ. પછી

ચોક્કસ બિંદુ C ના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી, જે આપેલ સેગમેન્ટ AB ને ચોક્કસ ગુણોત્તરમાં વિભાજીત કરે છે, તે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે:

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ),

જ્યાં (xA; yA) અને (xB; yB) એ આપેલ સેગમેન્ટ AB ના છેડાઓના કોઓર્ડિનેટ્સ છે; સંખ્યા λ = AC/CB – ગુણોત્તર જેમાં સેગમેન્ટ AB ને બિંદુ C વડે વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જેમાં કોઓર્ડિનેટ્સ (xC; yC) હોય છે.

જો સેગમેન્ટ AB ને બિંદુ C દ્વારા અડધા ભાગમાં વિભાજિત કરવામાં આવે, તો સંખ્યા λ = 1 અને xC અને yC માટેના સૂત્રો ફોર્મ લે છે:

xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2.

તે ધ્યાનમાં રાખવું આવશ્યક છે કે સમસ્યાઓમાં λ એ વિભાગોની લંબાઈનો ગુણોત્તર છે, અને તેથી આ ગુણોત્તરમાં સમાવિષ્ટ સંખ્યાઓ માપના આપેલ એકમમાં વિભાગોની લંબાઈ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, AC = 12 cm, CB = 16 cm: λ = AC/CB = 12 cm / 16 cm = 3/4.

1. ચોક્કસ સેગમેન્ટના મધ્યના કોઓર્ડિનેટ્સ માટે શોધો, તેના છેડાના આપેલ કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને

ઉદાહરણ 1.

પોઈન્ટ A(-2; 3) અને B(6; -9) એ સેગમેન્ટ AB ના છેડા છે. બિંદુ C શોધો, જે સેગમેન્ટ AB નો મધ્યબિંદુ છે.

ઉકેલ.

સમસ્યાનું નિવેદન જણાવે છે કે xA = -2; xB = 6; yA = 3 અને yB = -9. આપણે C(xC; yC) શોધવાની જરૂર છે.

xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 ફોર્મ્યુલા લાગુ કરવાથી, આપણને મળે છે:

xC = (-2 + 6)/2 = 2, yC = (3 + (-9))/2 = -3.

આમ, બિંદુ C, જે સેગમેન્ટ AB ની મધ્યમાં છે, તેમાં કોઓર્ડિનેટ્સ છે (-2; 3) (ફિગ. 1).
2. ચોક્કસ સેગમેન્ટના અંતના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી, તેના મધ્ય અને અન્ય છેડાના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીને

ઉદાહરણ 2.

સેગમેન્ટ AB નો એક છેડો બિંદુ A છે, કોઓર્ડિનેટ્સ (-3; -5) સાથે, અને તેનું મધ્યબિંદુ બિંદુ C(3; -2) છે. સેગમેન્ટના બીજા છેડાના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરો - બિંદુ B.

ઉકેલ.

સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર, તે સ્પષ્ટ બને છે કે xA = -3; yA = -5; xC = 3 અને yC = -2.

આ મૂલ્યોને ફોર્મ્યુલા xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 માં બદલીને, આપણને મળે છે:

3 = (-3 + xB)/2 અને

2 = (-5 + uV)/2.

xB માટેનું પ્રથમ અને yB માટે બીજું સમીકરણ ઉકેલ્યા પછી, અમે શોધીએ છીએ: xB = 9 અને yB = 1, તે તારણ આપે છે કે ઇચ્છિત બિંદુ B કોઓર્ડિનેટ્સ (9; 1) દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવશે. (ફિગ. 2).

3. તેની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓના આપેલ કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી ચોક્કસ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી

ઉદાહરણ 3.

ત્રિકોણ ABC ની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ બિંદુઓ D(1; 3), E(-1; -2) અને F(4; -1) છે. આ ત્રિકોણના શિરોબિંદુ A, B અને C ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.

ઉકેલ.

બિંદુ D એ બાજુ AB નો મધ્યબિંદુ છે, બિંદુ E એ BC નું મધ્યબિંદુ છે અને બિંદુ F એ બાજુ AC નો મધ્યબિંદુ છે. (ફિગ. 3). તમારે પોઈન્ટ A, B અને C શોધવાની જરૂર છે.

આપણે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓને A(xA; yA), B(xB; yB) અને C(xC; yC) દ્વારા સૂચિત કરીએ છીએ અને સૂત્ર xC = (xA + xB) અનુસાર બિંદુઓ D, E અને Fના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીએ છીએ. )/2, yC = (yA + уВ)/2 આપણને મળે છે:

(1 = (xA + xB)/2,
(-1 = (xB + xC)/2,
(4 = (xA + xC)/2,

(3 = (уА + уВ)/2,
(-2 = (уВ + уС)/2,
(-1 = (yA + yC)/2.

ચાલો સમીકરણોને તેમના સંપૂર્ણ સ્વરૂપમાં ઘટાડીએ:

(xA + xB = 2,
(xB + xC = -2,
(xA + xC = 8,

(уА + уВ = 6,
(уВ + уС = -4,
(yA + yC = -2.

સિસ્ટમોને હલ કર્યા પછી, અમને મળે છે:
xA = 6; xB = -4; xC = 2.
yA = 4; уВ = 2; уС = -6.

બિંદુઓ A(6; 4), B(-4; 2) અને C(2; -6) એ ત્રિકોણના જરૂરી શિરોબિંદુઓ છે.

4. બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી જે ચોક્કસ ગુણોત્તરમાં સેગમેન્ટને વિભાજિત કરે છે, આ સેગમેન્ટના છેડાના આપેલ કોઓર્ડિનેટ્સ અનુસાર

ઉદાહરણ 4.

સેગમેન્ટ AB એ બિંદુ C દ્વારા 3:5 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત થાય છે (બિંદુ A થી બિંદુ B સુધીની ગણતરી). સેગમેન્ટ AB ના છેડા A(2; 3) અને B(10; 11) બિંદુઓ છે. બિંદુ C શોધો.

ઉકેલ.

સમસ્યાનું નિવેદન જણાવે છે કે xA = 2; xB = 10; yA = 3; уВ = 11; λ = AC/SV = 3/5. C(xC; yC) શોધો (ફિગ. 4).

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને આપણે મેળવીએ છીએ:

xC = (2 + 3/5 10) / (1 + 3/5) = 5 અને yC = (3 + 3/5 11) / (1 + 3/5) = 6. આમ, આપણી પાસે C( 5; 6).

ચાલો તપાસીએ: AC = 3√2, NE = 5√2, λ = AC/SV = 3√2/5√2 = 3/5.

ટિપ્પણી. સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ સૂચવે છે કે સેગમેન્ટનું વિભાજન બિંદુ A થી બિંદુ B સુધીના આપેલ ગુણોત્તરમાં હાથ ધરવામાં આવે છે. જો આ ઉલ્લેખિત ન હોત, તો સમસ્યાના બે ઉકેલો હશે. બીજો ઉકેલ: સેગમેન્ટને બિંદુ B થી બિંદુ A સુધી વિભાજીત કરવું.

ઉદાહરણ 5.

ચોક્કસ સેગમેન્ટ AB ને 2: 3: 5 (બિંદુ A થી બિંદુ B સુધીની ગણતરી) માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, તેના છેડા કોઓર્ડિનેટ્સ A (-11; 1) અને B (9; 11) સાથેના બિંદુઓ છે. આ સેગમેન્ટના વિભાજન બિંદુઓ શોધો.

ઉકેલ.

ચાલો A ​​થી B સુધીના સેગમેન્ટના વિભાજન બિંદુઓને C અને D દ્વારા દર્શાવીએ. સમસ્યાનું નિવેદન જણાવે છે કે
xA = -11; xB = 9; yA = 1; yB = 11. C(xC; yC) અને D(xD; yD) શોધો, જો AC: CD: DB = 2:3:5.

બિંદુ C એ સેગમેન્ટ AB ને λ = AC/CB = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને આપણે મેળવીએ છીએ:

xC = (-11 + ¼ 9) / (1 + 1/4) = -7 અને yC = (1 + ¼ 11) / (1 + 1/4) = 3.

આમ, C(-7; 3).

બિંદુ D એ સેગમેન્ટ AB નો મધ્યબિંદુ છે. xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2 સૂત્રો લાગુ કરવાથી, આપણને મળે છે:

xD = (-11 + 9)/2 = -1, yD = (1 + 11)/2 = 6. આનો અર્થ એ થાય કે D પાસે કોઓર્ડિનેટ્સ (-1; 6) છે.

5. બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી જે સેગમેન્ટને વિભાજિત કરે છે, જો આ સેગમેન્ટના છેડાના કોઓર્ડિનેટ્સ અને આ સેગમેન્ટને વિભાજિત કરવામાં આવેલ ભાગોની સંખ્યા આપવામાં આવે તો

ઉદાહરણ 6.

સેગમેન્ટના છેડા A(-8; -5) અને B(10; 4) પોઈન્ટ છે. આ સેગમેન્ટને ત્રણ સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરતા બિંદુઓ C અને D શોધો.

ઉકેલ.

સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાંથી તે જાણીતું છે કે xA = -8; xB = 10; yA = -5; yB = 4 અને n = 3. C(xC; yC) અને D(xD; yD) શોધો (ફિગ. 5).

ચાલો બિંદુ C શોધીએ. તે સેગમેન્ટ AB ને λ = 1/2 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. આપણે બિંદુ A થી બિંદુ B સુધી વિભાજીત કરીએ છીએ. xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને આપણી પાસે છે:

xC = (-8 + ½ 10) / (1 + 1/2) = -2 અને yC = (-5 + ½ 4) / (1 + 1/2) = -2. આમ, C(-2; -2).

સેગમેન્ટ સીબીનું વિભાજન 1: 1 ના ગુણોત્તરમાં કરવામાં આવે છે, તેથી અમે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2:

xD = (-2 + 10)/2 = 4, yD = (-2 + 4)/2 = 1. આમ, D(4; 1).

ડિવિઝન પોઈન્ટ C(-2; -2) અને D(4; 1).

નોંધ: બિંદુ D એ સેગમેન્ટ AB ને 2: 1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજીત કરીને શોધી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, xD = (xA + λxB) / (1 + λ), yD = (yA) સૂત્રને ફરીથી લાગુ કરવું જરૂરી રહેશે. + λyB) / (1 + λ).

ઉદાહરણ 7.

પોઈન્ટ A(5; -6) અને B(-5; 9) એ સેગમેન્ટના છેડા છે. એવા બિંદુઓ શોધો જે આપેલ સેગમેન્ટને પાંચ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરશે.

ઉકેલ.

A થી B ના ક્રમિક વિભાજન બિંદુઓને C(xC; yC), D(xD; yD), E(xE; yE) અને F(xF; yF) થવા દો. સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ કહે છે કે xA = 5; xB = -5; yA = -6; уВ = 9 અને n = 5.

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણે બિંદુ C શોધીએ છીએ. તે સેગમેન્ટ AB ને λ = 1/4 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે:

xC = (5 + 1/4 · (-5)) / (1 + 1/4) = 3 અને yC = (-6 + 1/4 · 9) / (1 + 1/4) = -3, અમે તે બિંદુ મેળવો કે C કોઓર્ડિનેટ ધરાવે છે (3; -3).

બિંદુ D દ્વારા સેગમેન્ટ AB નું વિભાજન 2: 3 (એટલે ​​​​કે λ = 2/3) ગુણોત્તરમાં કરવામાં આવે છે, તેથી:

xD = (5 + 2/3 · (-5)) / (1 + 2/3) = 1 અને yD = (-6 + 2/3 · 9) / (1 + 2/3) = 0, તેથી D (1; 0).

ચાલો બિંદુ E શોધીએ. તે સેગમેન્ટ AB ને λ = 2/3 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે:

XE = (5 + 3/2 · (-5)) / (1 + 3/2) = -1 અને yE = (-6 + 3/2 · 9) / (1 + 3/2) = 3. આમ આમ, E(-1; 3).

બિંદુ F એ સેગમેન્ટ AB ને λ = 4/1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે, તેથી:

XF = (5 + 4 · (-5)) / (1 + 4) = -3 અને yF = (-6 + 4 · 9) / (1 + 4) = 6, F(-3; 6).

ડિવિઝન પોઈન્ટ C(-2; -2); ડી(4; 1); E(-1; 3) અને F(-3; 6).

હજુ પણ પ્રશ્નો છે? સેગમેન્ટ ડિવિઝન સમસ્યાને કેવી રીતે હલ કરવી તે ખબર નથી?
શિક્ષક પાસેથી મદદ મેળવવા માટે, નોંધણી કરો.
પ્રથમ પાઠ મફત છે!

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

જો બિંદુ M(x;y) બે આપેલ બિંદુઓ M 1 (x 1; y 1), M 2 (x 2; y 2)માંથી પસાર થતી રેખા પર આવેલો હોય અને ગુણોત્તર λ = M 1 M/MM 2 છે આપેલ છે, જેમાં બિંદુ M એ સેગમેન્ટ M 1 M 2 ને વિભાજિત કરે છે, પછી બિંદુ M ના કોઓર્ડિનેટ્સ

સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

x = (x 1 + λx 2)/(1 + λ), y = (y 1 + λy 2)/(1 + λ)

જો બિંદુ M એ સેગમેન્ટ M 1 M 2 નો મધ્યબિંદુ છે, તો તેના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

x = (x 1 + x 2)/2, y = (y 1 + y 2)/2

86. આપેલ છેડા A(3; -5) અને 6(-1; 1) સજાતીય સળિયાના. તેના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો.

87. સજાતીય સળિયાના ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર બિંદુ M(1; 4) પર છે, તેનો એક છેડો P(-2; 2) બિંદુ પર છે. આ સળિયાના બીજા છેડાના બિંદુ Q ના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો

88. ત્રિકોણ A(1; -3), 6(3; -5) અને C(-5; 7) ના શિરોબિંદુ આપેલ છે. તેની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ નક્કી કરો.

89. આપેલ બે પોઈન્ટ A(3; - 1) અને B(2; 1). વ્યાખ્યાયિત કરો:

1) બિંદુ M ના કોઓર્ડિનેટ્સ, બિંદુ B ના સાપેક્ષ A થી સપ્રમાણતા;

2) બિંદુ N ના કોઓર્ડિનેટ્સ, બિંદુ A થી સંબંધિત B બિંદુ સપ્રમાણ.

90. બિંદુઓ M(2; -1), N(-1; 4) અને P(-2; 2) ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ છે. તેના શિરોબિંદુઓ નક્કી કરો.

91. સમાંતર A(3; -5), B(5; -3), C(- 1; 3) ના ત્રણ શિરોબિંદુ આપેલ છે. B ની વિરુદ્ધ, ચોથો શિરોબિંદુ D નક્કી કરો.

92. સમાંતર A(-3; 5), B(1; 7) અને તેના કર્ણ M(1; 1) ના આંતરછેદ બિંદુના બે સંલગ્ન શિરોબિંદુ આપેલ છે. અન્ય બે શિરોબિંદુઓ ઓળખો.

93. સમાંતર ABCD ના ત્રણ શિરોબિંદુ A(2; 3), 6(4; -1) અને C(0; 5) આપેલ છે. તેનું ચોથું શિરોબિંદુ D શોધો.

94. ત્રિકોણ A(1; 4), B(3; -9), C(-5; 2) ના શિરોબિંદુઓ આપેલ છે. શિરોબિંદુ B પરથી દોરેલા તેના મધ્યકની લંબાઈ નક્કી કરો.

95. બિંદુઓ A (1;-3) અને B(4; 3) દ્વારા બંધાયેલ સેગમેન્ટ ત્રણ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત થયેલ છે. વિભાજન બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો.

96. ત્રિકોણ A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7) ના શિરોબિંદુઓ આપેલ છે. શિરોબિંદુ B પર તેના આંતરિક ખૂણાના દ્વિભાજકની બાજુના AC સાથે આંતરછેદનું બિંદુ શોધો.

97. ત્રિકોણ A(3; -5), B(-3; 3) અને C(-1; -2) ના શિરોબિંદુઓ આપેલ છે. શિરોબિંદુ A પર તેના આંતરિક ખૂણાના દ્વિભાજકની લંબાઈ નક્કી કરો.

98. ત્રિકોણ A(- 1; -1), B(3; 5), C(-4; 1) ના શિરોબિંદુઓ આપેલ છે. શિરોબિંદુ A પર તેના બાહ્ય ખૂણાના દ્વિભાજકની બાજુ BC ચાલુ રાખવા સાથે આંતરછેદનું બિંદુ શોધો.

99. ત્રિકોણ A(3; -5), B(1; - 3), C(2; -2) ના શિરોબિંદુઓ આપેલ છે. શિરોબિંદુ B પર તેના બાહ્ય ખૂણાના દ્વિભાજકની લંબાઈ નક્કી કરો.

100. આપેલ ત્રણ બિંદુઓ A(1; -1), B(3; 3) અને C(4; 5), સમાન રેખા પર પડેલા. ગુણોત્તર λ નક્કી કરો કે જેમાં તે દરેક અન્ય બે દ્વારા બંધાયેલ સેગમેન્ટને વિભાજિત કરે છે.

101. સેગમેન્ટના છેડા A અને B ના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો, જે પોઈન્ટ P(2; 2) અને Q (1; 5) દ્વારા ત્રણ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત છે.

102. સીધી રેખા M 1 (-12; -13) અને M 2 (- 2; -5) બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. આ રેખા પર એક બિંદુ શોધો જેનું એબ્સીસા 3 છે.

103. સીધી રેખા M(2; -3) અને N(-6; 5) બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. આ રેખા પર, એક બિંદુ શોધો જેનું ઓર્ડિનેટ -5 છે.

104. એક સીધી રેખા બિંદુઓ A(7; -3) અને B(23;. -6)માંથી પસાર થાય છે. એબ્સીસા અક્ષ સાથે આ રેખાના આંતરછેદના બિંદુને શોધો.

105. એક સીધી રેખા બિંદુઓ A(5; 2) અને B(-4; -7)માંથી પસાર થાય છે. ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે આ રેખાના આંતરછેદના બિંદુને શોધો.

106. ચતુષ્કોણ A(-3; 12), B(3; -4), C(5; -4) અને D(5; 8) ના શિરોબિંદુઓ જોતાં. ગુણોત્તર નક્કી કરો કે જેમાં તેનું વિકર્ણ AC કર્ણ BD ને વિભાજિત કરે છે.

107. ચતુષ્કોણ A(-2; 14), B(4; -2), C(6; -2) અને D(6; 10) ના શિરોબિંદુઓ જોતાં. તેના કર્ણ AC અને BD ના આંતરછેદ બિંદુ નક્કી કરો.

108. આપેલ છે સજાતીય ત્રિકોણાકાર પ્લેટ A(x 1 ; y 1), B(x 2 ; y 2) અને C(x 3 ; y 3) ના શિરોબિંદુઓ. તેના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો,

નોંધ. ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર મધ્યના આંતરછેદ બિંદુ પર છે.

109. ત્રિકોણના મધ્યના આંતરછેદનો બિંદુ M એબ્સિસા અક્ષ પર રહેલો છે, તેના બે શિરોબિંદુ A(2; -3) અને B(-5; 1) બિંદુઓ છે, ત્રીજો શિરોબિંદુ C ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર આવેલું છે . બિંદુ M અને C ના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો.

110. આપેલ છે સજાતીય ત્રિકોણાકાર પ્લેટ A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) અને C(x 3; y 3) ના શિરોબિંદુઓ. જો તમે તેની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડો છો, તો એક નવી સજાતીય ત્રિકોણાકાર પ્લેટ રચાય છે. સાબિત કરો કે બંને પ્લેટોના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રો એકરૂપ છે.

નોંધ. સમસ્યા 108 ના પરિણામનો ઉપયોગ કરો.

111. સજાતીય પ્લેટમાં 12 ની બરાબર બાજુવાળા ચોરસનો આકાર હોય છે, જેમાં ચોરસ કટ બનાવવામાં આવે છે, કટની સીધી રેખાઓ ચોરસની મધ્યમાંથી પસાર થાય છે, અક્ષો

કોઓર્ડિનેટ્સ પ્લેટની કિનારીઓ સાથે નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે (ફિગ. 4). આ પ્લેટનું ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર નક્કી કરો.

112. સજાતીય પ્લેટમાં a અને b ની સમાન બાજુઓ સાથે લંબચોરસનો આકાર હોય છે, જેમાં લંબચોરસ કટઆઉટ બનાવવામાં આવે છે; કટીંગ લાઇન કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે, સંકલન અક્ષો પ્લેટની ધાર સાથે નિર્દેશિત થાય છે (ફિગ. 5). આ પ્લેટનું ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર નક્કી કરો.

113. સજાતીય પ્લેટમાં 2a ની બરાબર બાજુવાળા ચોરસનો આકાર હોય છે, જેમાંથી ત્રિકોણ કાપવામાં આવે છે; કટીંગ લાઇન બે અડીને બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે, સંકલન અક્ષો પ્લેટની ધાર સાથે નિર્દેશિત થાય છે (ફિગ. 6). પ્લેટના ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર નક્કી કરો.

114. નીચેના બિંદુઓ પર A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) અને C(x 3; y 3) સમૂહ m, n અને p કેન્દ્રિત છે. ત્રણ માસની આ સિસ્ટમના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો.

115. બિંદુઓ A (4; 2), B (7; -2) અને C (1; 6) એ સમાન વાયરથી બનેલા ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે. આ ત્રિકોણના ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર નક્કી કરો.

બિંદુઓ M 1, M 2, M 3 સમાન રેખા પર સ્થિત થવા દો. તેઓ કહે છે કે બિંદુ M એ સેગમેન્ટ M 1 M 2 ને λ(λ≠-1) જો સંબંધમાં વિભાજિત કરે છે.
બિંદુઓ M 1 અને M 2 ના કોઓર્ડિનેટ્સ અમુક સંકલન પ્રણાલીની સાપેક્ષમાં ઓળખાય છે: M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), પછી કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સાથે સંબંધિત બિંદુ M(x, y, z ) સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે:
જો બિંદુ M એ સેગમેન્ટ M 1 M 2 ની મધ્યમાં છે, તો પછી , એટલે કે, λ=1 અને સૂત્રો (*) ફોર્મ લેશે:

(**)

ઉકેલવા માટે, નીચેના કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરો:

1. પોઈન્ટ્સ બે કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે: A(x 1 ,y 1), B(x 2 ,y 2).
2. પોઈન્ટ્સ ત્રણ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે: A(x 1,y 1,z 1), B(x 2,y 2,z 2).

ઉદાહરણ નંબર 1. ત્રિકોણ તેના શિરોબિંદુ A(3, -2, 1), B(3, 1, 5), C(4, 0, 3) ના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. D(x, y, z) ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો – તેના મધ્યના આંતરછેદ બિંદુઓ.

ઉદાહરણ નંબર 2. સેગમેન્ટ AB એ બિંદુ A થી ગણીને, λ=1/4 ગુણોત્તરમાં બિંદુ C(4,1) દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. A જો B(8,5) ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.
ઉકેલ. સૂત્રો (*) લાગુ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:
, જ્યાંથી આપણે શોધીએ છીએ x=3, y=0.

ઉદાહરણ નંબર 3. સેગમેન્ટ AB ત્રણ સમાન ભાગોમાં C(3, -1) અને D(1,4) દ્વારા વિભાજિત થયેલ છે. સેગમેન્ટના છેડાઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.
ઉકેલ. ચાલો A(x 1 , y 1), B(x 2 , y 2) દર્શાવીએ. બિંદુ C એ સેગમેન્ટ AD ની મધ્યમાં છે, તેથી, સૂત્રો (**) નો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ: જ્યાંથી x 1 = 5, y 1 = -6. બિંદુ B ના કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન રીતે જોવા મળે છે: x 2 = -1, y 2 = 9.

જ્યારે કોઈ ચોક્કસ ગુણોત્તરમાં સેગમેન્ટને વિભાજિત કરવાની શરતો હોય, ત્યારે વિભાજક તરીકે સેવા આપતા બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવામાં સક્ષમ હોવું જરૂરી છે. ચાલો પ્લેન પર સમસ્યા રજૂ કરીને આ કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે એક સૂત્ર મેળવીએ.

પ્રારંભિક ડેટા: એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ O x y અને તેના પર આપેલા કોઓર્ડિનેટ્સ A (x A, y A) અને B (x B, y B) સાથે બે બિન-સંયોગી બિંદુઓ આપવામાં આવ્યા છે. અને λ (કેટલીક હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા) ના સંબંધમાં સેગમેન્ટ A B ને વિભાજિત કરીને એક બિંદુ C પણ આપવામાં આવે છે. બિંદુ C: x C અને y C ના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવા જરૂરી છે.

આપણે સમસ્યાનું નિરાકરણ શરૂ કરીએ તે પહેલાં, ચાલો આપેલ સ્થિતિનો થોડો અર્થ જણાવીએ: “બિંદુ C એ સેગમેન્ટ A B ને λ ના સંબંધમાં વિભાજિત કરે છે”. પ્રથમ, આ અભિવ્યક્તિ સૂચવે છે કે બિંદુ C એ સેગમેન્ટ A B (એટલે ​​​​કે બિંદુ A અને B વચ્ચે) પર સ્થિત છે. બીજું, તે સ્પષ્ટ છે કે આપેલ સ્થિતિ અનુસાર, A C અને C B ખંડોની લંબાઈનો ગુણોત્તર λ બરાબર છે. તે. સમાનતા સાચી છે:

આ કિસ્સામાં, બિંદુ A એ સેગમેન્ટની શરૂઆત છે, બિંદુ B એ સેગમેન્ટનો અંત છે. જો તે બિંદુ C આપેલ ગુણોત્તરમાં સેગમેન્ટ BA A ને વિભાજીત કરે છે, તો સમાનતા સાચી હશે: .

ઠીક છે, એક સંપૂર્ણ સ્પષ્ટ હકીકત એ છે કે જો λ = 1, તો બિંદુ C એ સેગમેન્ટ A B નો મધ્યબિંદુ છે.

ચાલો વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યા હલ કરીએ. ચાલો ચોક્કસ લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં A, B અને બિંદુ C ખંડ પર મનસ્વી રીતે પ્રદર્શિત કરીએ. સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર, બિંદુ C એ સેગમેન્ટ A B ને λ ના સંબંધમાં વિભાજિત કરે છે.

બિંદુના ત્રિજ્યા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન છે, પછી સમાનતાઓ સાચી છે: O A → = (x A, y A) અને O B → = (x B, y B).

ચાલો આપણે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ: તે બિંદુ C ના કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન હશે, જે સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર શોધવા માટે જરૂરી છે.

વેક્ટર એડિશનની ક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સમાનતાઓ લખીએ છીએ: O C → = O A → + A C → O B → = O C → + C B → ⇔ C B → = O B → - O C →

સમસ્યાની શરતો અનુસાર, બિંદુ C એ સેગમેન્ટ A B ને λ ના સંબંધમાં વિભાજિત કરે છે, એટલે કે. સમાનતા A C = λ · C B સાચું છે.

વેક્ટર A C → અને C B → એ જ સીધી રેખા પર આવેલા છે અને તે સહદિશ છે. સમસ્યાની સ્થિતિ અનુસાર λ > 0, પછી, વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની ક્રિયા અનુસાર, આપણે મેળવીએ છીએ: A C → = λ · C B → .

ચાલો અભિવ્યક્તિને તેમાં બદલીને રૂપાંતરિત કરીએ: C B → = O B → - O C → .

A C → = λ · (O B → - O C →) .

અમે સમાનતા O C → = O A → + A C → O C → = O A → + λ · (O B → - O C →) તરીકે ફરીથી લખીએ છીએ.

વેક્ટર પરની ક્રિયાઓના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, છેલ્લી સમાનતાથી તે નીચે મુજબ છે: O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) .

હવે આપણે ફક્ત O C → = 1 1 + λ · O A → + λ · O B → વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સની સીધી ગણતરી કરવી પડશે.

ચાલો O A → અને O B → વેક્ટર પર જરૂરી ક્રિયાઓ કરીએ.

O A → = (x A , y A) અને O B → = (x B , y B), પછી O A → + λ · O B → = (x A + λ · x B, y A + λ · y B).

આમ, O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ) .

સારાંશ માટે: આપેલ ગુણોત્તર λ માં સેગમેન્ટ A B ને વિભાજીત કરતા બિંદુ C ના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: x C = x A + λ · x B 1 + λ અને y C = y A + λ · y B 1 + λ .

અવકાશમાં આપેલ ગુણોત્તરમાં સેગમેન્ટને વિભાજીત કરતા બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સનું નિર્ધારણ

પ્રારંભિક ડેટા: લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ O x y z, આપેલ કોઓર્ડિનેટ્સ A (x A, y A, z A) અને B (x B, y B, z B) સાથેના બિંદુઓ.

બિંદુ C એ સેગમેન્ટ A B ને λ ના સંબંધમાં વિભાજિત કરે છે. બિંદુ C ના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવા જરૂરી છે.

પ્લેન પર ઉપરના કિસ્સામાં જેવો જ તર્ક વાપરીને, અમે સમાનતા પર પહોંચીએ છીએ:

O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →)

વેક્ટર્સ અને પોઈન્ટ A અને B ના ત્રિજ્યા વેક્ટર છે, જેનો અર્થ થાય છે:

O A → = (x A , y A , z A) અને O B → = (x B , y B , z B) , તેથી

O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ , z A + λ · z B 1 + λ)

આમ, બિંદુ C, આપેલ ગુણોત્તર λ માં અવકાશમાં સેગમેન્ટ A B ને વિભાજીત કરીને, કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે: (x A + λ · x B 1 + λ, y A + λ · y B 1 + λ, z A + λ · z B 1 + λ)

ચાલો ચોક્કસ ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને સિદ્ધાંત જોઈએ.

ઉદાહરણ 1

પ્રારંભિક ડેટા: બિંદુ C એ સેગમેન્ટ A B ને પાંચ થી ત્રણના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. પોઈન્ટ A અને B ના કોઓર્ડિનેટ્સ A (11, 1, 0), B (- 9, 2, - 4) દ્વારા આપવામાં આવે છે.

ઉકેલ

સમસ્યાની શરતો અનુસાર, λ = 5 3. ચાલો ઉપરોક્ત સૂત્રો લાગુ કરીએ અને મેળવીએ:

x A + λ x B 1 + λ = 11 + 5 3 (- 9) 1 + 5 3 = - 3 2

y A + λ · y B 1 + λ = 1 + 5 3 · 2 1 + 5 3 = 13 8

z A + λ z B 1 + λ = 0 + 5 3 (- 4) 1 + 5 3 = - 5 2

જવાબ: C (- 3 2, 13 8, - 5 2)

ઉદાહરણ 2

પ્રારંભિક ડેટા: ત્રિકોણ A B C ના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવા જરૂરી છે.

તેના શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ આપવામાં આવ્યા છે: A (2, 3, 1), B (4, 1, - 2), C (- 5, - 4, 8)

ઉકેલ

તે જાણીતું છે કે કોઈપણ ત્રિકોણના ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર તેના મધ્યના આંતરછેદનું બિંદુ છે (આને બિંદુ M તરીકે દો). દરેક મધ્યકને શિરોબિંદુમાંથી ગણીને 2 થી 1 ના ગુણોત્તરમાં બિંદુ M દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. તેના આધારે, આપણે પૂછાયેલા પ્રશ્નનો જવાબ શોધીશું.

ચાલો માની લઈએ કે A D એ ત્રિકોણ A B C નો મધ્યક છે. બિંદુ M એ મધ્યકોણના આંતરછેદનું બિંદુ છે, તેમાં કોઓર્ડિનેટ્સ M (x M, y M, z M) છે અને તે ત્રિકોણના ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર છે. M, મધ્યના આંતરછેદના બિંદુ તરીકે, સેગમેન્ટ A D ને 2 થી 1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજીત કરે છે, એટલે કે. λ = 2.

ચાલો બિંદુ D ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ. A D એ મધ્ય હોવાથી, પછી બિંદુ D એ સેગમેન્ટ B C ની મધ્યમાં છે. પછી, સેગમેન્ટના મધ્યના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણને મળે છે:

x D = x B + x C 2 = 4 + (- 5) 2 = - 1 2 y D = y B + y C 2 = 1 + (- 4) 2 = - 3 2 z D = z B + z C 2 = - 2 + 8 2 = 3

ચાલો બિંદુ M ના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરીએ:

x M = x A + λ x D 1 + λ = 2 + 2 (- 1 2) 1 + 2 = 1 3

y M = y A + λ · y D 1 + λ = 3 + 2 · (- 3 2) 1 + 2 = 0

z M = z A + λ · z D 1 + λ = 1 + 2 · 3 1 + 2 = 7 3

જવાબ: (1 3, 0, 7 3)

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો