જો તે લંબ હોય તો વેક્ટર શોધો. આપેલ વેક્ટરને લંબરૂપ વેક્ટર શોધવું, ઉદાહરણો અને ઉકેલો

આ લેખ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં પ્લેન પરના બે વેક્ટરની લંબરૂપતાનો અર્થ અને વેક્ટરની એક અથવા આખી જોડીને લંબરૂપ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનો અર્થ દર્શાવે છે. આ વિષય રેખાઓ અને વિમાનોના સમીકરણોને લગતી સમસ્યાઓને લાગુ પડે છે.

અમે બે વેક્ટરની લંબરૂપતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિને ધ્યાનમાં લઈશું, આપેલ વેક્ટરને લંબરૂપ શોધવાની પદ્ધતિને ઉકેલીશું, અને બે વેક્ટરને લંબરૂપ વેક્ટર શોધવાની પરિસ્થિતિઓને સ્પર્શ કરીશું.

Yandex.RTB R-A-339285-1

બે વેક્ટરની લંબરૂપતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ

ચાલો પ્લેન પર અને ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં લંબ વેક્ટર વિશેનો નિયમ લાગુ કરીએ.

વ્યાખ્યા 1

જો બે બિન-શૂન્ય વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ 90 ° (π 2 રેડિયન) બરાબર હોય તો તેને કહેવામાં આવે છે. લંબ.

આનો અર્થ શું છે, અને કઈ પરિસ્થિતિઓમાં તેમની લંબરૂપતા વિશે જાણવું જરૂરી છે?

ડ્રોઇંગ દ્વારા લંબરૂપતાની સ્થાપના શક્ય છે. જ્યારે આપેલ બિંદુઓમાંથી પ્લેન પર વેક્ટરનું પ્લોટિંગ કરો, ત્યારે તમે તેમની વચ્ચેના ખૂણાને ભૌમિતિક રીતે માપી શકો છો. જો વેક્ટર્સની લંબરૂપતા સ્થાપિત કરવામાં આવે તો પણ, તે સંપૂર્ણ રીતે સચોટ રહેશે નહીં. મોટેભાગે, આ કાર્યો તમને પ્રોટ્રેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને આ કરવાની મંજૂરી આપતા નથી, તેથી આ પદ્ધતિ ફક્ત ત્યારે જ લાગુ પડે છે જ્યારે વેક્ટર વિશે બીજું કંઈ જાણીતું નથી.

પ્લેનમાં અથવા અવકાશમાં બે બિન-શૂન્ય વેક્ટરની લંબરૂપતાને સાબિત કરવાના મોટાભાગના કિસ્સાઓ આનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. બે વેક્ટરની લંબરૂપતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ.

પ્રમેય 1

બે બિન-શૂન્ય વેક્ટર a → અને b → સમાનતા a → , b → = 0 ને સંતોષવા માટે શૂન્યના સમાન હોય છે તે તેમની લંબરૂપતા માટે પર્યાપ્ત છે.

પુરાવા 1

આપેલ વેક્ટર a → અને b → કાટખૂણે રહેવા દો, પછી આપણે સમાનતા a ⇀, b → = 0 સાબિત કરીશું.

ની વ્યાખ્યામાંથી વેક્ટર્સનું ડોટ ઉત્પાદનઆપણે જાણીએ છીએ કે તે બરાબર છે આપેલ વેક્ટરની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેના કોણના કોસાઈનનું ઉત્પાદન. શરત પ્રમાણે, a → અને b → લંબ છે, અને તેથી, વ્યાખ્યાના આધારે, તેમની વચ્ચેનો ખૂણો 90 ° છે. પછી આપણી પાસે a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 છે.

પુરાવાનો બીજો ભાગ

જો કે a ⇀, b → = 0, a → અને b → ની લંબરૂપતા સાબિત કરે છે.

હકીકતમાં, સાબિતી અગાઉના એકની વિરુદ્ધ છે. તે જાણીતું છે કે a → અને b → બિન-શૂન્ય છે, જેનો અર્થ છે કે સમાનતામાંથી a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ આપણે કોસાઈન શોધીએ છીએ. પછી આપણને cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 મળે છે. કોસાઇન શૂન્ય હોવાથી, આપણે તારણ કાઢી શકીએ છીએ કે a → અને b → વેક્ટરનો કોણ a →, b → ^ 90 ° છે. વ્યાખ્યા દ્વારા, આ એક જરૂરી અને પર્યાપ્ત મિલકત છે.

કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર લંબરૂપ સ્થિતિ

પ્રકરણ કોઓર્ડિનેટ્સમાં સ્કેલર ઉત્પાદનઅસમાનતા દર્શાવે છે (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , a → = (a x , a y) અને b → = (b x , b y), સમતલ પર અને (a → ,) સાથેના વેક્ટર માટે માન્ય b → ) = a x · b x + a y · b y વેક્ટર માટે a → = (a x , a y , a z) અને b → = (b x , b y , b z) અવકાશમાં. કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં બે વેક્ટરની લંબરૂપતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ એ x · b x + a y · b y = 0 છે, ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા માટે a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.

ચાલો તેને વ્યવહારમાં મૂકીએ અને ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 1

બે વેક્ટર a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4) ની લંબરૂપતાની મિલકત તપાસો.

ઉકેલ

આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, તમારે સ્કેલર ઉત્પાદન શોધવાની જરૂર છે. જો સ્થિતિ અનુસાર તે શૂન્યની બરાબર છે, તો તે લંબરૂપ છે.

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . શરત પૂરી થઈ છે, જેનો અર્થ છે કે આપેલ વેક્ટર પ્લેન પર લંબરૂપ છે.

જવાબ:હા, આપેલ વેક્ટર a → અને b → લંબ છે.

ઉદાહરણ 2

સંકલન વેક્ટર i → , j → , k → આપેલ છે. તપાસો કે i → - j → અને i → + 2 · j → + 2 · k → લંબરૂપ હોઈ શકે છે કે કેમ.

ઉકેલ

વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ કેવી રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે તે યાદ રાખવા માટે, તમારે આ વિશેનો લેખ વાંચવાની જરૂર છે લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ.આમ, આપણે શોધીએ છીએ કે આપેલ વેક્ટર i → - j → અને i → + 2 · j → + 2 · k → અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ (1, - 1, 0) અને (1, 2, 2) ધરાવે છે. અમે સંખ્યાત્મક મૂલ્યોને બદલીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .

અભિવ્યક્તિ શૂન્યની બરાબર નથી, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, જેનો અર્થ છે કે વેક્ટર i → - j → અને i → + 2 j → + 2 k → કાટખૂણે નથી, કારણ કે શરત પૂરી થઈ નથી.

જવાબ:ના, વેક્ટર i → - j → અને i → + 2 · j → + 2 · k → કાટખૂણે નથી.

ઉદાહરણ 3

આપેલ વેક્ટર a → = (1, 0, - 2) અને b → = (λ, 5, 1). λ નું મૂલ્ય શોધો કે જેના પર આ વેક્ટર લંબરૂપ છે.

ઉકેલ

આપણે અવકાશમાં બે વેક્ટરની લંબરૂપતાની સ્થિતિનો ઉપયોગ ચોરસ સ્વરૂપમાં કરીએ છીએ, પછી આપણને મળે છે

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

જવાબ:વેક્ટર λ = 2 ની કિંમત પર લંબ છે.

એવા કિસ્સાઓ છે જ્યારે લંબરૂપતાનો પ્રશ્ન જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ હેઠળ પણ અશક્ય છે. બે વેક્ટર પર ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ પરના જાણીતા ડેટાને જોતાં, તે શોધવાનું શક્ય છે વેક્ટર વચ્ચેનો કોણઅને તેને તપાસો.

ઉદાહરણ 4

A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm સાથે ત્રિકોણ A B → અને A C → લંબરૂપતા માટે વેક્ટર તપાસો.

ઉકેલ

જો વેક્ટર A B → અને A C → લંબ હોય, તો ત્રિકોણ A B C લંબચોરસ ગણવામાં આવે છે. પછી આપણે પાયથાગોરિયન પ્રમેય લાગુ કરીએ છીએ, જ્યાં B C ત્રિકોણનું કર્ણ છે. સમાનતા B C 2 = A B 2 + A C 2 સાચી હોવી જોઈએ. તે અનુસરે છે કે 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. આનો અર્થ એ થયો કે A B અને A C ત્રિકોણ A B C ના પગ છે, તેથી, A B → અને A C → લંબ છે.

આપેલ વેક્ટરના લંબરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ કેવી રીતે શોધવા તે શીખવું મહત્વપૂર્ણ છે. આ પ્લેનમાં અને અવકાશમાં બંને શક્ય છે, જો કે વેક્ટર લંબરૂપ હોય.

પ્લેનમાં આપેલ વેક્ટરને લંબરૂપ વેક્ટર શોધવું.

બિન-શૂન્ય વેક્ટર a → પ્લેન પર અસંખ્ય લંબ વેક્ટર હોઈ શકે છે. ચાલો આને સંકલન રેખા પર દર્શાવીએ.

બિન-શૂન્ય વેક્ટર આપેલ a → સીધી રેખા પર પડેલો a. પછી આપેલ b →, રેખા a ને લંબરૂપ કોઈપણ રેખા પર સ્થિત, a → માટે લંબરૂપ બને છે. જો વેક્ટર i → એ વેક્ટર j → અથવા કોઈપણ વેક્ટર λ · j → λ સાથે શૂન્ય સિવાયની કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાની સમાન હોય, તો વેક્ટર b → a → = (a x , a y) ના લંબરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા ) ઉકેલોના અનંત સમૂહ સુધી ઘટાડવામાં આવે છે. પરંતુ a → = (a x , a y) પર લંબરૂપ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા જરૂરી છે. આ કરવા માટે, નીચેના સ્વરૂપમાં વેક્ટરની લંબરૂપતાની સ્થિતિ લખવી જરૂરી છે: a x · b x + a y · b y = 0. આપણી પાસે b x અને b y છે, જે લંબ વેક્ટરના ઇચ્છિત કોઓર્ડિનેટ્સ છે. જ્યારે x ≠ 0, b y ની કિંમત બિન-શૂન્ય હોય છે, અને b x ની અસમાનતા a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x માંથી ગણતરી કરી શકાય છે. x = 0 અને a y ≠ 0 માટે, આપણે b x શૂન્ય સિવાયની કોઈપણ કિંમત અસાઇન કરીએ છીએ અને b y = - a x · b x a y માંથી b y શોધીએ છીએ.

ઉદાહરણ 5

કોઓર્ડિનેટ્સ a → = (- 2 , 2) સાથે વેક્ટર આપેલ છે. આ માટે લંબરૂપ વેક્ટર શોધો.

ઉકેલ

ચાલો ઇચ્છિત વેક્ટરને b → (b x , b y) તરીકે દર્શાવીએ. તેના કોઓર્ડિનેટ્સ એ સ્થિતિમાંથી શોધી શકાય છે કે a → અને b → વેક્ટર લંબરૂપ છે. પછી આપણને મળે છે: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . ચાલો b y = 1 સોંપીએ અને અવેજી કરીએ: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . તેથી, સૂત્રમાંથી આપણને b x = - 2 - 2 = 1 2 મળે છે. આનો અર્થ એ છે કે વેક્ટર b → = (1 2 , 1) એ → માટે લંબરૂપ વેક્ટર છે.

જવાબ: b → = (1 2 , 1) .

જો ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશ વિશે પ્રશ્ન ઉઠાવવામાં આવે છે, તો સમસ્યા સમાન સિદ્ધાંત અનુસાર હલ થાય છે. આપેલ વેક્ટર a → = (a x , a y , a z) માટે અસંખ્ય લંબ વેક્ટર હોય છે. આને ત્રિ-પરિમાણીય સંકલન પ્લેન પર ઠીક કરશે. આપેલ → લીટી પર પડેલું a. સીધા a ને લંબરૂપ સમતલ α દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, પ્લેન αમાંથી કોઈપણ બિન-શૂન્ય વેક્ટર b → a → માટે લંબરૂપ છે.

બિન-શૂન્ય વેક્ટર a → = (a x , a y , a z) માટે b → લંબરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા જરૂરી છે.

ચાલો b → કોઓર્ડિનેટ્સ b x , b y અને b z સાથે આપીએ. તેમને શોધવા માટે, બે વેક્ટરની લંબરૂપતાની સ્થિતિની વ્યાખ્યા લાગુ કરવી જરૂરી છે. સમાનતા a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 સંતુષ્ટ હોવી આવશ્યક છે. શરતમાંથી a → બિન-શૂન્ય છે, જેનો અર્થ છે કે કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી એકનું મૂલ્ય શૂન્યની બરાબર નથી. ચાલો ધારીએ કે a x ≠ 0, (a y ≠ 0 અથવા a z ≠ 0). તેથી, અમને આ સંકલન દ્વારા સમગ્ર અસમાનતા a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ને વિભાજીત કરવાનો અધિકાર છે, અમે અભિવ્યક્તિ b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y મેળવીએ છીએ. + a z · b z a x . અમે b y અને b x કોઓર્ડિનેટ્સને કોઈપણ મૂલ્ય અસાઇન કરીએ છીએ, સૂત્રના આધારે b x ની કિંમતની ગણતરી કરીએ છીએ, b x = - a y · b y + a z · b z a x. ઇચ્છિત લંબ વેક્ટર પાસે મૂલ્ય a → = (a x, a y, a z) હશે.

ચાલો ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને સાબિતી જોઈએ.

ઉદાહરણ 6

કોઓર્ડિનેટ્સ a → = (1, 2, 3) સાથે વેક્ટર આપેલ છે. આપેલ વેક્ટરને લંબરૂપ વેક્ટર શોધો.

ઉકેલ

ચાલો ઇચ્છિત વેક્ટરને b → = (b x , b y , b z) વડે દર્શાવીએ. વેક્ટર લંબરૂપ છે તે શરતના આધારે, સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્યની બરાબર હોવું જોઈએ.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

જો કિંમત b y = 1, b z = 1 હોય, તો b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. તે અનુસરે છે કે વેક્ટર b → (- 5 , 1 , 1) ના કોઓર્ડિનેટ્સ. વેક્ટર b → એ આપેલ એકને લંબરૂપ વેક્ટરમાંથી એક છે.

જવાબ: b → = (- 5 , 1 , 1) .

આપેલ બે વેક્ટરને લંબરૂપ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવું

આપણે ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાની જરૂર છે. તે નોન-કોલિનિયર વેક્ટર a → (a x , a y , a z) અને b → = (b x , b y , b z) માટે લંબરૂપ છે. જો વેક્ટર a → અને b → સમરેખા હોય, તો સમસ્યામાં a → અથવા b → માટે લંબરૂપ વેક્ટર શોધવા માટે તે પૂરતું હશે.

હલ કરતી વખતે, વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની વિભાવનાનો ઉપયોગ થાય છે.

વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન a → અને b → એ વેક્ટર છે જે a → અને b → બંને માટે એકસાથે લંબ છે. આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, વેક્ટર ઉત્પાદન a → × b → વપરાય છે. ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા માટે તેનું સ્વરૂપ a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z છે

ચાલો એક ઉદાહરણ સમસ્યાનો ઉપયોગ કરીને વેક્ટર ઉત્પાદનને વધુ વિગતવાર જોઈએ.

ઉદાહરણ 7

વેક્ટર b → = (0, 2, 3) અને a → = (2, 1, 0) આપેલ છે. એકસાથે ડેટાને લંબરૂપ કોઈપણ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.

ઉકેલ

ઉકેલવા માટે, તમારે વેક્ટર્સનું વેક્ટર ઉત્પાદન શોધવાની જરૂર છે. (કૃપા કરીને ફકરાનો સંદર્ભ લો મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની ગણતરીવેક્ટર શોધવા માટે). અમને મળે છે:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

જવાબ: (3 , - 6 , 4) - વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ જે આપેલ a → અને b → માટે વારાફરતી કાટખૂણે હોય છે.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

સૂચનાઓ

જો મૂળ વેક્ટરને ડ્રોઇંગમાં લંબચોરસ દ્વિ-પરિમાણીય સંકલન પ્રણાલીમાં દર્શાવવામાં આવ્યું હોય અને ત્યાં એક લંબ બાંધવાની જરૂર હોય, તો પ્લેન પર વેક્ટરની લંબરૂપતાની વ્યાખ્યાથી આગળ વધો. તે જણાવે છે કે નિર્દેશિત વિભાગોની આવી જોડી વચ્ચેનો ખૂણો 90° જેટલો હોવો જોઈએ. આવા અસંખ્ય વેક્ટરનું નિર્માણ કરી શકાય છે. તેથી, પ્લેન પર કોઈપણ અનુકૂળ જગ્યાએ મૂળ વેક્ટર પર લંબ દોરો, તેના પર આપેલ ક્રમાંકિત બિંદુઓની લંબાઇ જેટલો ભાગ મૂકો અને તેના એક છેડાને લંબ વેક્ટરની શરૂઆત તરીકે સોંપો. પ્રોટ્રેક્ટર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને આ કરો.

જો મૂળ વેક્ટર દ્વિ-પરિમાણીય કોઓર્ડિનેટ્સ ā = (X₁;Y₁) દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો ધારો કે લંબ વેક્ટરની જોડીનું સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્ય જેટલું હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે તમારે ઇચ્છિત વેક્ટર માટે પસંદ કરવાની જરૂર છે ō = (X₂,Y₂) સમાનતા (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 આ રીતે કરી શકાય છે: કોઈપણ પસંદ કરો X₂ કોઓર્ડિનેટ માટે બિન-શૂન્ય મૂલ્ય, અને સૂત્ર Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁ નો ઉપયોગ કરીને Y₂ કોઓર્ડિનેટની ગણતરી કરો. ઉદાહરણ તરીકે, વેક્ટર ā = (15;5) માટે એક વેક્ટર ō હશે, જેમાં એબ્સીસા એક સમાન હશે અને ઓર્ડિનેટ -(15*1)/5 = -3, એટલે કે. ō = (1;-3).

ત્રિ-પરિમાણીય અને અન્ય કોઈપણ ઓર્થોગોનલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ માટે, વેક્ટર્સની લંબરૂપતા માટે સમાન આવશ્યક અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ સાચી છે - તેમનું સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્ય જેટલું હોવું જોઈએ. તેથી, જો પ્રારંભિક નિર્દેશિત સેગમેન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સ ā = (X₁,Y₁,Z₁) દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો ō = (X₂,Y₂,Z₂) પોઈન્ટની ક્રમબદ્ધ જોડી માટે તેને લંબરૂપ એવા કોઓર્ડિનેટ્સ પસંદ કરો જે સ્થિતિ (ā,ō) ને સંતોષે છે. ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. સૌથી સહેલો રસ્તો X₂ અને Y₂ને સિંગલ મૂલ્યો સોંપવાનો છે, અને સરળ સમાનતા Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₂) માંથી Z₂ ની ગણતરી કરવી 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. ઉદાહરણ તરીકે, વેક્ટર ā = (3,5,4) માટે આ નીચેનું સ્વરૂપ લેશે: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. પછી એબ્સિસા અને ઓર્ડિનેટ લો એક તરીકે લંબ વેક્ટર, અને આ કિસ્સામાં તે -(3+5)/4 = -2 ની બરાબર હશે.

સ્ત્રોતો:

જો તે લંબ હોય તો વેક્ટર શોધો

તેમને લંબરૂપ કહેવામાં આવે છે વેક્ટર, જેની વચ્ચેનો ખૂણો 90º છે. કાટખૂણે વેક્ટર ડ્રોઇંગ ટૂલ્સનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે. જો તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીતા હોય, તો વેક્ટર્સની લંબરૂપતા તપાસી શકાય છે અથવા વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે.

તમને જરૂર પડશે

- પ્રોટ્રેક્ટર;
- હોકાયંત્ર;
- શાસક.

સૂચનાઓ

આપેલ એક પર લંબરૂપ વેક્ટર બનાવો. આ કરવા માટે, વેક્ટરની શરૂઆતના બિંદુ પર, તેને લંબરૂપ પુનઃસ્થાપિત કરો. આ પ્રોટ્રેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને 90º નો ખૂણો સેટ કરીને કરી શકાય છે. જો તમારી પાસે પ્રોટ્રેક્ટર ન હોય, તો તે કરવા માટે હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરો.

તેને વેક્ટરના પ્રારંભિક બિંદુ પર સેટ કરો. મનસ્વી ત્રિજ્યા સાથે વર્તુળ દોરો. પછી બિંદુઓ પર કેન્દ્રો સાથે બે બનાવો જ્યાં પ્રથમ વર્તુળ એ રેખાને છેદે છે કે જેના પર વેક્ટર છે. આ વર્તુળોની ત્રિજ્યા એકબીજાની સમાન હોવી જોઈએ અને પ્રથમ બાંધવામાં આવેલા વર્તુળ કરતાં મોટી હોવી જોઈએ. વર્તુળોના આંતરછેદ બિંદુઓ પર, એક સીધી રેખા બનાવો જે તેના મૂળના મૂળ વેક્ટરને લંબરૂપ હશે, અને તેના પર આના માટે લંબરૂપ વેક્ટરને પ્લોટ કરો.

ઓહ્મ આ કરવા માટે, અમે પ્રથમ સેગમેન્ટનો ખ્યાલ રજૂ કરીએ છીએ.

વ્યાખ્યા 1

અમે એક સેગમેન્ટને રેખાનો એક ભાગ કહીશું જે બંને બાજુના બિંદુઓથી બંધાયેલ છે.

વ્યાખ્યા 2

સેગમેન્ટના છેડા તે બિંદુઓ છે જે તેને મર્યાદિત કરે છે.

વેક્ટરની વ્યાખ્યા રજૂ કરવા માટે, અમે સેગમેન્ટના એક છેડાને તેની શરૂઆત કહીએ છીએ.

વ્યાખ્યા 3

આપણે વેક્ટર (નિર્દેશિત સેગમેન્ટ) ને એક સેગમેન્ટ કહીશું જેની સીમા બિંદુ તેની શરૂઆત છે અને જે તેનો અંત છે.

નોટેશન: \overline(AB) એ એક વેક્ટર AB છે જે બિંદુ A થી શરૂ થાય છે અને બિંદુ B પર સમાપ્ત થાય છે.

નહિંતર, એક નાના અક્ષરમાં: \overline(a) (ફિગ. 1).

વ્યાખ્યા 4

અમે શૂન્ય વેક્ટરને પ્લેન સાથે સંબંધિત કોઈપણ બિંદુ કહીશું.

પ્રતીક: \overline(0) .

ચાલો હવે કોલિનિયર વેક્ટરની વ્યાખ્યાનો સીધો પરિચય કરીએ.

અમે સ્કેલર પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા પણ રજૂ કરીશું, જેની અમને પછી જરૂર પડશે.

વ્યાખ્યા 6

આપેલા બે વેક્ટરનો સ્કેલર પ્રોડક્ટ એ એક સ્કેલર (અથવા સંખ્યા) છે જે આ બે વેક્ટરની લંબાઈના ગુણાંક સાથે આ વેક્ટર વચ્ચેના કોણના કોસાઈન સાથે સમાન છે.

ગાણિતિક રીતે તે આના જેવું દેખાઈ શકે છે:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

નીચે પ્રમાણે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને ડોટ પ્રોડક્ટ પણ શોધી શકાય છે

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

પ્રમાણસરતા દ્વારા લંબરૂપતાની નિશાની

પ્રમેય 1

બિન-શૂન્ય વેક્ટર્સ એકબીજાને લંબરૂપ હોવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે આ વેક્ટરનું તેમનું સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્ય સમાન હોય.

પુરાવો.

આવશ્યકતા: ચાલો આપણે વેક્ટર્સ \overline(α) અને \overline(β) આપીએ જે અનુક્રમે કોઓર્ડિનેટ્સ (α_1,α_2,α_3) અને (β_1,β_2,β_3) ધરાવે છે, અને તેઓ એકબીજાને લંબરૂપ છે. પછી આપણે નીચેની સમાનતા સાબિત કરવાની જરૂર છે

વેક્ટર \overline(α) અને \overline(β) કાટખૂણે હોવાથી, તેમની વચ્ચેનો ખૂણો 90^0 છે. ચાલો વ્યાખ્યા 6 માંથી ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને આ વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદનને શોધીએ.

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

પર્યાપ્તતા: સમાનતાને સાચી થવા દો \overline(α)\cdot \overline(β)=0. ચાલો સાબિત કરીએ કે વેક્ટર \overline(α) અને \overline(β) એકબીજાને લંબરૂપ હશે.

વ્યાખ્યા 6 દ્વારા, સમાનતા સાચી હશે

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

પરિણામે, વેક્ટર્સ \overline(α) અને \overline(β) એકબીજાને લંબરૂપ હશે.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ઉદાહરણ 1

સાબિત કરો કે કોઓર્ડિનેટ્સ (1,-5,2) અને (2,1,3/2) સાથેના વેક્ટર લંબ છે.

પુરાવો.

ચાલો ઉપર આપેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ વેક્ટર માટે સ્કેલર ઉત્પાદન શોધીએ

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

આનો અર્થ છે, પ્રમેય 1 મુજબ, આ વેક્ટર લંબરૂપ છે.

ક્રોસ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરીને આપેલ બે વેક્ટર માટે લંબ વેક્ટર શોધવું

ચાલો પહેલા વેક્ટર પ્રોડક્ટની વિભાવના રજૂ કરીએ.

વ્યાખ્યા 7

બે વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન એક વેક્ટર હશે જે આપેલા બંને વેક્ટરને લંબરૂપ હશે, અને તેની લંબાઈ આ વેક્ટર વચ્ચેના કોણની સાઈન સાથે આ વેક્ટરની લંબાઈના ગુણાંક જેટલી હશે, અને આ વેક્ટર પણ બે સાથે પ્રારંભિક રાશિઓ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ જેવી જ દિશા ધરાવે છે.

હોદ્દો: \overline(α)х\overline(β) x.

વેક્ટર ઉત્પાદન શોધવા માટે, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

બે વેક્ટરના ક્રોસ પ્રોડક્ટનો વેક્ટર આ બંને વેક્ટર પર લંબ હોવાથી, તે વેક્ટર હશે. એટલે કે, બે વેક્ટરને લંબરૂપ વેક્ટર શોધવા માટે, તમારે ફક્ત તેમનું વેક્ટર ઉત્પાદન શોધવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ 2

કોઓર્ડિનેટ્સ \overline(α)=(1,2,3) અને \overline(β)=(-1,0,3) સાથે વેક્ટરને લંબરૂપ વેક્ટર શોધો

ચાલો આ વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન શોધીએ.

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x

પ્રશ્નના વિભાગમાં, લેખકે આપેલા બે વેક્ટરને લંબરૂપ વેક્ટર શોધો અન્ના અફનાસ્યેવાશ્રેષ્ઠ જવાબ છે: બે બિન-સમાંતર વેક્ટરને લંબરૂપ વેક્ટર તેમના વેક્ટર ઉત્પાદન xb તરીકે જોવા મળે છે, તેને શોધવા માટે તમારે નિર્ણાયક કંપોઝ કરવાની જરૂર છે, જેની પ્રથમ લાઇનમાં એકમ વેક્ટર I, j, k, વેક્ટર a ના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી બીજું, વેક્ટર b ના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી ત્રીજું. નિર્ણાયકને પ્રથમ લાઇન સાથે વિસ્તરણ તરીકે ગણવામાં આવે છે, તમારા કિસ્સામાં તમને akhv=20i-10k, અથવા ahv=(20,0,-10) મળે છે.

તરફથી જવાબ 22 જવાબો[ગુરુ]

હેલો! અહીં તમારા પ્રશ્નના જવાબો સાથેના વિષયોની પસંદગી છે: આપેલ બે વેક્ટરને લંબરૂપ વેક્ટર શોધો

તરફથી જવાબ બહાર ખેંચો[નવુંબી]
બે બિન-સમાંતર વેક્ટરને લંબરૂપ વેક્ટર તેમના વેક્ટર ઉત્પાદન xb તરીકે જોવા મળે છે, તેને શોધવા માટે તમારે નિર્ણાયક કંપોઝ કરવાની જરૂર છે, જેની પ્રથમ લાઇનમાં એકમ વેક્ટર I, j, k, બીજા - કોઓર્ડિનેટ્સનો સમાવેશ થશે. વેક્ટર a, ત્રીજો - વેક્ટર b ના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી. નિર્ણાયકને પ્રથમ લાઇન સાથે વિસ્તરણ તરીકે ગણવામાં આવે છે, તમારા કિસ્સામાં તમને akhv=20i-10k, અથવા ahv=(20,0,-10) મળે છે.

તરફથી જવાબ હાયકા[ગુરુ]
આશરે આ રીતે નક્કી કરો; પણ પહેલા બધું જાતે વાંચો!! !
જો d=-c+a+2b હોય તો d અને r વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદનની ગણતરી કરો; r=-b+2a.
વેક્ટર a નું મોડ્યુલસ 4 છે, વેક્ટર b નું મોડ્યુલસ 6 છે. વેક્ટર a અને b વચ્ચેનો કોણ 60 ડિગ્રી છે, વેક્ટર c એ વેક્ટર a અને b માટે લંબ છે.
બિંદુઓ E અને F અનુક્રમે AE = ED, BF: FC = 4: 3 સાથે, સમાંતરગ્રામ ABCD ની AD અને BC બાજુઓ પર આવેલા છે. a) વેક્ટર EF ને વેક્ટર m = વેક્ટર AB અને વેક્ટર n = વેક્ટર ADના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરો. b) શું સમાનતા વેક્ટર EF = x વેક્ટર CD દ્વારા ગુણાકાર કરીને x ની કોઈપણ કિંમત માટે પકડી શકાય છે? .

એકમ વેક્ટર છે: , ક્યાં - વેક્ટર મોડ્યુલ.

જવાબ:
.

નોંધ.એકમ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ એક કરતા વધુ ન હોવા જોઈએ.

6.3. વેક્ટરની લંબાઈ અને દિશા કોસાઈન શોધો . પાછલા ફકરામાં આપેલા જવાબ સાથે સરખામણી કરો. તારણો દોરો.

વેક્ટરની લંબાઈ તેનું મોડ્યુલસ છે:

અને આપણે વેક્ટરનો ઉલ્લેખ કરવાની એક રીત માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દિશા કોસાઇન્સ શોધી શકીએ છીએ:

આમાંથી આપણે જોઈએ છીએ કે દિશા કોસાઈન્સ એ એકમ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ છે.

જવાબ:
,
,
,
.

6.4. શોધો
.

વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની, ઉમેરવાની અને મોડ્યુલસની ક્રિયાઓ કરવી જરૂરી છે.

આપણે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સને એક નંબર ટર્મ દ્વારા ટર્મ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ.

અમે ટર્મ દ્વારા વેક્ટર ટર્મના કોઓર્ડિનેટ્સ ઉમેરીએ છીએ.

વેક્ટરનું મોડ્યુલસ શોધવું.

જવાબ:

6.5. વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો
, વેક્ટરની સમરેખા , તે જાણીને
અને તે વેક્ટરની વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશિત થાય છે .

વેક્ટર વેક્ટર સાથે સમરેખા , જેનો અર્થ છે કે તેનું એકમ વેક્ટર એકમ વેક્ટર સમાન છે માત્ર બાદબાકી ચિહ્ન સાથે, કારણ કે વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશિત.

એકમ વેક્ટરની લંબાઈ 1 ની બરાબર છે, જેનો અર્થ છે કે જો તમે તેને 5 વડે ગુણાકાર કરશો, તો તેની લંબાઈ પાંચ જેટલી થશે.

અમે શોધીએ છીએ

જવાબ:

6.6. ડોટ પ્રોડક્ટ્સની ગણતરી કરો
અને
. શું વેક્ટર્સ લંબરૂપ છે? અને ,અને પોતાની વચ્ચે?

ચાલો વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન કરીએ.

જો વેક્ટર કાટખૂણે હોય, તો તેમનું સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્ય છે.

આપણે જોઈએ છીએ કે આપણા કિસ્સામાં વેક્ટર અને લંબ

જવાબ:
,
, વેક્ટર લંબ નથી.

નોંધ.સ્કેલર ઉત્પાદનનો ભૌમિતિક અર્થ વ્યવહારમાં થોડો ઉપયોગ નથી, પરંતુ તે હજી પણ અસ્તિત્વમાં છે. આવી ક્રિયાના પરિણામનું ચિત્રણ અને ભૌમિતિક રીતે ગણતરી કરી શકાય છે.

6.7. ભૌતિક બિંદુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શોધો કે જેના પર બળ લાગુ કરવામાં આવે છે
, જ્યારે તેને બિંદુ B થી બિંદુ C પર ખસેડો.

સ્કેલર પ્રોડક્ટનો ભૌતિક અર્થ કામ છે. બળ વેક્ટર અહીં છે , વિસ્થાપન વેક્ટર છે
. અને આ વેક્ટરનું ઉત્પાદન જરૂરી કાર્ય હશે.

નોકરી શોધવી

6.8. શિરોબિંદુ પર આંતરિક કોણ શોધો એ અને બાહ્ય શિરોબિંદુ કોણ સી ત્રિકોણ ABC .

વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદનની વ્યાખ્યામાંથી, આપણે કોણ શોધવા માટેનું સૂત્ર મેળવીએ છીએ: .

IN
આપણે એક બિંદુમાંથી નીકળતા વેક્ટર વચ્ચેના કોણ તરીકે આંતરિક ખૂણો શોધીશું.

બાહ્ય કોણ શોધવા માટે, તમારે વેક્ટર્સને ભેગા કરવાની જરૂર છે જેથી કરીને તેઓ એક બિંદુથી બહાર આવે. ચિત્ર આ સમજાવે છે.

નોંધનીય છે કે
, ફક્ત વિવિધ પ્રારંભિક કોઓર્ડિનેટ્સ છે.

જરૂરી વેક્ટર અને ખૂણા શોધવી

જવાબ: શિરોબિંદુ A = પર આંતરિક કોણ , શિરોબિંદુ B = પર બાહ્ય કોણ .

6.9. વેક્ટરના અંદાજો શોધો: અને

ચાલો વેક્ટર વેક્ટરને યાદ કરીએ:
,
,
.

પ્રક્ષેપણ સ્કેલર ઉત્પાદનમાંથી પણ જોવા મળે છે

- પ્રોજેક્શન bપર a.

અગાઉ મેળવેલ વેક્ટર

,
,

પ્રક્ષેપણ શોધવી

બીજા પ્રક્ષેપણ શોધવી

જવાબ:
,

નોંધ.પ્રક્ષેપણ શોધતી વખતે માઈનસ ચિહ્નનો અર્થ એ છે કે પ્રક્ષેપણ વેક્ટર પર જ ઉતરતું નથી, પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં, આ વેક્ટર જે રેખા પર રહે છે તેના પર.

6.10. ગણતરી કરો
.

ચાલો વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન કરીએ

ચાલો મોડ્યુલ શોધીએ

આપણે વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની વ્યાખ્યામાંથી વેક્ટર વચ્ચેના કોણની સાઈન શોધીએ છીએ

જવાબ:
,
,
.

6.11. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો ABC અને ઊંચાઈની લંબાઈ બિંદુ C થી નીચે આવી છે.

વેક્ટર ઉત્પાદનના મોડ્યુલસનો ભૌમિતિક અર્થ એ છે કે તે આ વેક્ટર દ્વારા રચાયેલ સમાંતરગ્રામનો વિસ્તાર છે. અને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ સમાંતરગ્રામના અડધા ક્ષેત્રફળ જેટલું છે.

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ઊંચાઈના ગુણાંક તરીકે અને બે વડે વિભાજિત બેઝ તરીકે પણ શોધી શકાય છે, જેમાંથી ઊંચાઈ શોધવાનું સૂત્ર મેળવી શકાય છે.

આમ, આપણે ઊંચાઈ શોધીએ છીએ

જવાબ:
,
.

6.12. વેક્ટરને લંબરૂપ એકમ વેક્ટર શોધો અને .

ડોટ પ્રોડક્ટનું પરિણામ એ વેક્ટર છે જે બે મૂળ રાશિઓ પર લંબ છે. અને એકમ વેક્ટર તેની લંબાઈથી વિભાજિત વેક્ટર છે.

અગાઉ, અમને મળ્યું:

જવાબ:
.

6.13. બળની ક્ષણની તીવ્રતા અને દિશા કોસાઇન્સ નક્કી કરો
, બિંદુ C ના સંબંધિત A પર લાગુ.

વેક્ટર ઉત્પાદનનો ભૌતિક અર્થ બળની ક્ષણ છે. ચાલો આ કાર્ય માટે એક ઉદાહરણ આપીએ.

બળની ક્ષણ શોધવી

જવાબ:
.

6.14. શું વેક્ટર્સ જૂઠું બોલે છે ,અને એ જ વિમાનમાં? શું આ વેક્ટર જગ્યાનો આધાર બનાવી શકે છે? શા માટે? જો તેઓ કરી શકે, તો વેક્ટરને આ આધારમાં વિસ્તૃત કરો
.