દરેક માટે પેરામીટર a ના તમામ મૂલ્યો શોધો. પરિમાણો સાથે સમસ્યાનું નિરાકરણ

a ના બધા મૂલ્યો શોધો, જેમાંના દરેક માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ

બરાબર બે ઉકેલો છે.

ઉકેલ.

ચાલો સિસ્ટમના 1લા સમીકરણને ફોર્મમાં લખીએ: x 2 + 5x + y 2 -y -52 = |x-5y +5|. (*)

1) ત્યારથી જમણી બાજુસમાનતા બિન-નકારાત્મક છે, પછી સમાનતાની ડાબી બાજુ એવી હોવી જોઈએ, એટલે કે: x 2 + 5x + y 2 -y-52 ≥ 0. ચાલો આમાંથી પસંદ કરીએ. બીજગણિતીય સરવાળો(x 2 + 5x) અને (y 2 - y) સંપૂર્ણ ચોરસદ્વિપદી

x 2 + 2 ∙ એક્સ ∙ 2.5 + 2.5 2 -2.5 2 + y 2 -2∙y∙0.5 + 0.5 2 -0.5 2 -52 ≥ 0;

(x 2 + 2 ∙ એક્સ ∙ 2.5 + 2.5 2) + (y 2 -2 ∙ y ∙ 0,5 + 0,5 2) ≥ 52 + 2,5 2 + 0,5 2 ;

(x + 2.5) 2 + (y-0.5) 2 ≥ 52 + 6.25 + 0.25;

(x + 2.5) 2 + (y-0.5) 2 ≥ 58.5. ODZ: સિસ્ટમના ઉકેલો વર્તુળની બહાર બિંદુ Q(-2.5, 0.5) અને ત્રિજ્યા પર કેન્દ્ર સાથે સ્થિત બિંદુઓના સમૂહમાં જોવા મળે છે.

2) ચાલો આપણે સમીકરણ (*) માં મોડ્યુલર કૌંસને વિસ્તૃત કરીએ, એમ માનીને કે મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળની અભિવ્યક્તિ બિન-નકારાત્મક છે, એટલે કે. x-5y +5 ≥ 0 અથવા 5y ≤ x + 5, તેથી y ≤ 0.2x+1. પછી સમાનતા (*) આ રીતે લખવામાં આવશે:

x 2 + 5x + y 2 -y-52 = x-5y +5. ચાલો બધું જ તરફ લઈ જઈએ ડાબી બાજુઅને ચાલો તેને સરળ બનાવીએ.

x 2 + 5x + y 2 -y-52-x + 5y-5 = 0;

x 2 + 4x + y 2 + 4y-57 = 0. ચાલો બીજગણિતના સરવાળા (x 2 + 4x) અને (y 2 + 4y)માંથી દ્વિપદીના સંપૂર્ણ વર્ગો પસંદ કરીએ.

x 2 + 4x + 4-4 + y 2 + 4y +4-4-57 = 0;

(x 2 + 4x + 4) + (y 2 + 4y +4) = 57 + 4 + 4;

(x + 2) 2 + (y + 2) 2 = 65. આ બિંદુ O 1 (-2; -2) અને ત્રિજ્યા પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે

અમે આ વર્તુળના ફક્ત તે જ બિંદુઓને ધ્યાનમાં લઈશું જે સીધી રેખા x-5y +5 = 0 ની નીચે આવેલા છે, કારણ કે આપણે આ વર્તુળનું સમીકરણ એ શરત હેઠળ મેળવ્યું છે કે x-5y +5 ≥ 0, એટલે કે. y ≤ 0.2x+1 પર. નોંધ કરો કે સીધી રેખા x-5y +5 = 0 ની નીચે આવેલા આ વર્તુળના તમામ બિંદુઓ બિંદુ પર કેન્દ્ર સાથે વર્તુળની બહાર સ્થિત છે.Q(-2.5; 0.5), તેથી ODZ ને સંતુષ્ટ કરો.

3) હવે ચાલો સમીકરણ (*) માં મોડ્યુલર કૌંસ ખોલીએ, એમ માનીને કે મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળની અભિવ્યક્તિ નકારાત્મક છે, એટલે કે. x-5y +5< 0 или 5у >x + 5, તેથી y>0.2x+1. પછી સમાનતા (*) આ રીતે લખવામાં આવશે:

x 2 + 5x + y 2 -y-52 = -x + 5y +5. ચાલો દરેક વસ્તુને ડાબી બાજુએ ખસેડીએ અને તેને સરળ બનાવીએ.

x 2 + 5x + y 2 -y-52 + x-5y + 5 = 0;

x 2 + 6x + y 2 -6y-47 = 0. ચાલો બીજગણિતના સરવાળા (x 2 + 6x) અને (y 2 -6y)માંથી દ્વિપદીના સંપૂર્ણ વર્ગો પસંદ કરીએ.

x 2 + 6x + 9-9 + y 2 -6y + 9-9-47 = 0;

(x 2 + 6x + 9) + (y 2 -6y +9) = 47 + 9 + 9;

(x + 3) 2 + (y-3) 2 = 65. આ બિંદુ O 2 (-3; 3) અને ત્રિજ્યા પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે

અમે આ વર્તુળના ફક્ત તે જ બિંદુઓને ધ્યાનમાં લઈશું જે સીધી રેખા x-5y +5 = 0 ની ઉપર સ્થિત છે, કારણ કે આપણે આ વર્તુળનું સમીકરણ x-5y +5 શરત હેઠળ મેળવ્યું છે.< 0, т.е. при условии у >0.2x+1. નોંધ કરો કે સીધી રેખા x-5y +5 = 0 ની ઉપર આવેલા આ વર્તુળના તમામ બિંદુઓ બિંદુ પર કેન્દ્ર સાથે વર્તુળની બહાર સ્થિત છે.Q(-2.5; 0.5), તેથી તેઓ ODZ ને સંતોષે છે.

4) બિંદુઓ O 1 અને O 2 પર કેન્દ્રો સાથે વર્તુળોના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધો. આ સીધી રેખા x-5y +5 = 0 સાથેના કોઈપણ વર્તુળોના આંતરછેદના બિંદુઓ પણ છે. ચોક્કસ થવા માટે, ચાલો પ્રથમ વર્તુળોનું સમીકરણ લઈએ અને સિસ્ટમને હલ કરીએ:

2જી સમીકરણમાંથી, આપણે x ને y દ્વારા વ્યક્ત કરીએ છીએ અને તેને 1લા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ.

ચાલો પરિણામી સિસ્ટમના 2જા સમીકરણને સરળ બનાવીએ અને હલ કરીએ.

(5y-3) 2 + (y + 2) 2 = 65;

25y 2 -30y + 9 + y 2 +4y + 4-65 = 0;

26y 2 -26y-52 = 0;

y 2 -y-2 = 0. વિયેટાના પ્રમેય મુજબ, y 1 + y 2 = 1, y 1 ∙ y 2 = -2. તેથી y 1 = -1, y 2 = 2.

પછી x 1 = 5 ∙ y 1 -5 = 5 ∙ (-1)-5 = -10; x 2 = 5 ∙ y 2 -5 = 5 ∙ 2-5 = 2.

O 1 અને O 2 કેન્દ્રો ધરાવતા વર્તુળોના આંતરછેદ બિંદુઓ સીધી રેખા x-5y +5 = 0 પર આવેલા છે અને આ બિંદુઓ T(-10; -1) અને A(5; 2) છે.

5) ચાલો જાણીએ કે સીધી રેખા y-2 = a(x-5) શું છે. ચાલો આ સમીકરણ y = a(x-5) + 2 માં લખીએ અને યાદ રાખીએ કે તે કેવી રીતે બહાર આવ્યું કાર્યનો ગ્રાફy = f(x-m) + nકાર્યના ગ્રાફમાંથીy = f(x). તે કાર્યના ગ્રાફને સ્થાનાંતરિત કરીને મેળવવામાં આવે છેy = f(x) ચાલુmઓક્સ અક્ષ સાથે એકલ સેગમેન્ટ્સ અને ચાલુnઓય અક્ષ સાથે એકલ વિભાગો.તેથી, ફંક્શન y = a(x-5) + 2 નો ગ્રાફ 5 એકમોને જમણી તરફ અને 2 એકમો ઉપર ખસેડીને કાર્ય y = ax ના ગ્રાફમાંથી મેળવી શકાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સીધી રેખા બિંદુ A(5; 2)માંથી પસાર થશે અને નીચેનો ઢોળાવ હોવો જોઈએ એ, બિંદુઓ O 1 અને O 2 પરના કેન્દ્રો સાથે અમારા વર્તુળોને બરાબર બે બિંદુઓમાં છેદે છે. આ ફક્ત તે કિસ્સાઓમાં જ થશે જ્યારે સીધી રેખા, બિંદુ Aમાંથી પસાર થતી, બંને વર્તુળોમાં સામાન્ય, પછી તેમાંથી માત્ર એકને છેદે છે. અમારી સીધી રેખાની મર્યાદા સ્થિતિ (પેરામીટર સાથે એ) બિંદુ A પર વર્તુળોની સ્પર્શક હશે. આપણને સ્પર્શકોના સમીકરણોની જરૂર નથી, પરંતુ તેમના ઢોળાવ. અમે તેમને કેવી રીતે મેળવીશું?

6) ત્રિજ્યા O 1 A સંપર્કના બિંદુ તરફ દોરેલ સ્પર્શકને લંબરૂપ હશે. કોણ ગુણાંકk 1 અનેk 2 બે પરસ્પર લંબ રેખાઓy = k 1 x+ b 1 અનેy = k 2 x+ b 2 કાયદાનું પાલન કરો:k 1 ∙ k 2 = -1. ચાલો સીધી રેખા O 1 A અને સીધી રેખા O 2 A ના સમીકરણો બનાવીએ, દરેક સીધી રેખાના કોણીય ગુણાંકને નિર્ધારિત કરીએ, અને પછી સ્પર્શકોના કોણીય ગુણાંક શોધીએ, જે સીધી રેખા y = a(x) ની મર્યાદિત સ્થિતિઓ છે. -5) + 2. પરિમાણના મળેલા મૂલ્યો વચ્ચેનું અંતર એઅને સમસ્યાનો જવાબ હશે.

અમે આપેલ બે બિંદુઓ (x 1; y 1) અને (x 2; y 2)માંથી પસાર થતી સીધી રેખાના સમીકરણ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આ સૂત્ર આના જેવો દેખાય છે:

ચાલો બિંદુઓ O 1 (-2; -2) અને A (5; 2)માંથી પસાર થતી સીધી રેખા માટે એક સમીકરણ બનાવીએ. અમારી પાસે x 1 = -2, y 1 = -2, x 2 = 5, y 2 = 2 છે. આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં બદલો:

તેથી, બિંદુ A પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ બિંદુ O 1 પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સ્વરૂપ ધરાવે છે.

1. કાર્ય.
કયા પરિમાણ મૂલ્યો પર aસમીકરણ ( a - 1)x 2 + 2x + a- શું 1 = 0 માં એક જ મૂળ છે?

1. ઉકેલ.
મુ a= 1 સમીકરણ 2 છે x= 0 અને દેખીતી રીતે એક જ મૂળ ધરાવે છે x= 0. જો aપછી નંબર 1 આપેલ સમીકરણચોરસ છે અને તે પેરામીટર મૂલ્યો માટે એક જ મૂળ ધરાવે છે જેના માટે ભેદભાવ ચતુર્ભુજ ત્રિપદી શૂન્ય બરાબર. ભેદભાવને શૂન્ય સાથે સરખાવીને, અમે પરિમાણ માટે સમીકરણ મેળવીએ છીએ a 4a 2 - 8a= 0, ક્યાંથી a= 0 અથવા a = 2.

1. જવાબ:સમીકરણમાં એક જ મૂળ છે aઓ (0; 1; 2).

2. કાર્ય.
બધા પરિમાણ મૂલ્યો શોધો a, જેના માટે સમીકરણ બે અલગ અલગ મૂળ ધરાવે છે x 2 +4કુહાડી+8a+3 = 0.
2. ઉકેલ.
સમીકરણ x 2 +4કુહાડી+8a+3 = 0 બે અલગ-અલગ મૂળ ધરાવે છે જો અને માત્ર જો ડી = 16a 2 -4(8a+3) > 0. આપણને મળે છે (4 ના સામાન્ય અવયવ દ્વારા ઘટાડા પછી) 4 a 2 -8a-3 > 0, ક્યાંથી

2. જવાબ:

3. કાર્ય.
તે જાણીતું છે
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) કાર્યનો આલેખ કરો f 1 (x) ખાતે a = 1.
b) કયા મૂલ્ય પર aકાર્ય આલેખ f 1 (x) અને f 2 (x) એક સામાન્ય બિંદુ છે?

3. ઉકેલ.
3.એ.ચાલો પરિવર્તન કરીએ f 1 (x) નીચે મુજબ
પર આ કાર્યનો ગ્રાફ a= 1 જમણી બાજુની આકૃતિમાં બતાવેલ છે.
3.બી.ચાલો તરત જ નોંધ લઈએ કે ફંક્શનના આલેખ y = kx+bઅને y = કુહાડી 2 +bx+c (aનંબર 0) એક બિંદુ પર છેદે છે જો અને માત્ર જો ચતુર્ભુજ સમીકરણ kx+b = કુહાડી 2 +bx+cએક જ મૂળ ધરાવે છે. દૃશ્યનો ઉપયોગ કરીને fની 1 3.એ, ચાલો સમીકરણના ભેદભાવની સમાનતા કરીએ a = 6x-x 2 -6 થી શૂન્ય. સમીકરણ 36-24-4 થી a= 0 આપણને મળે છે a= 3. સમીકરણ 2 સાથે તે જ કરો x-a = 6x-x 2 -6 આપણે શોધીશું a= 2. તે ચકાસવું સરળ છે કે આ પરિમાણ મૂલ્યો સમસ્યાની શરતોને સંતોષે છે. જવાબ: a= 2 અથવા a = 3.

4. કાર્ય.
બધા મૂલ્યો શોધો a, જેના માટે અસમાનતાના ઉકેલોનો સમૂહ x 2 -2કુહાડી-3a i 0 સેગમેન્ટ સમાવે છે.

4. ઉકેલ.
પેરાબોલા શિરોબિંદુનું પ્રથમ સંકલન f(x) = x 2 -2કુહાડી-3aની સમાન x 0 = a. ગુણધર્મોમાંથી ચતુર્ભુજ કાર્યસ્થિતિ f(x) і 0 સેગમેન્ટ પર ત્રણ સિસ્ટમોના સમૂહની સમકક્ષ છે
બરાબર બે ઉકેલો છે?

5. ઉકેલ.
ચાલો આ સમીકરણને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ x 2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. આ એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે, જો તેનો ભેદભાવ કડક હોય તો તેના બે ઉકેલો છે. શૂન્ય કરતાં વધુ. ભેદભાવની ગણતરી કરતા, આપણે શોધીએ છીએ કે બરાબર બે મૂળની હાજરી માટેની સ્થિતિ અસમાનતાની પરિપૂર્ણતા છે. a 2 +a-6 > 0. અસમાનતા ઉકેલવાથી, આપણે શોધીએ છીએ a < -3 или a> 2. પ્રથમ અસમાનતા દેખીતી રીતે ઉકેલો છે કુદરતી સંખ્યાઓપાસે નથી, અને બીજાનો સૌથી નાનો કુદરતી ઉકેલ નંબર 3 છે.

5. જવાબ: 3.

6. સમસ્યા (10 કી)
બધા મૂલ્યો શોધો a, જેના માટે ફંક્શનનો ગ્રાફ અથવા, સ્પષ્ટ પરિવર્તનો પછી, a-2 = | 2-a| . છેલ્લું સમીકરણ અસમાનતાની સમકક્ષ છે a i 2.

6. જવાબ: aવિશે)