પરિચય……………………………………………………………………… 3
1. સૈદ્ધાંતિક ભાગ……………………………………………………………….4
મૂળભૂત ખ્યાલો અને શરતો ……………………………………………………………………… 4
1.1 ક્રમના પ્રકારો ………………………………………………………………….6
1.1.1.મર્યાદિત અને અમર્યાદિત સંખ્યાના ક્રમ…..6
1.1.2.ક્રમોની એકવિધતા………………………………….6
1.1.3.અનંત વિશાળ અને અનંત ક્રમ…….7
1.1.4.અનંત સિક્વન્સના ગુણધર્મ………………….
1.1.5.કન્વર્જન્ટ અને ડાયવર્જન્ટ સિક્વન્સ અને તેમના પ્રોપર્ટીઝ.....9
1.2 અનુક્રમ મર્યાદા………………………………………………….11
1.2.1.ક્રમોની મર્યાદાઓ પર પ્રમેય………………………………15
1.3 અંકગણિત પ્રગતિ………………………………………………17
1.3.1. અંકગણિત પ્રગતિના ગુણધર્મો…………………………………..17
1.4ભૌમિતિક પ્રગતિ………………………………………………………………..19
1.4.1. ભૌમિતિક પ્રગતિના ગુણધર્મો……………………………….19
1.5. ફિબોનાકી સંખ્યાઓ………………………………………………………………..21
1.5.1 જ્ઞાનના અન્ય ક્ષેત્રો સાથે ફિબોનાકી સંખ્યાઓનું જોડાણ………………….22
1.5.2. સજીવ અને નિર્જીવ પ્રકૃતિનું વર્ણન કરવા માટે ફિબોનાકી નંબર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરવો……………………………………………………………………………………….23
2. પોતાનું સંશોધન…………………………………………………….28
નિષ્કર્ષ………………………………………………………………………………….30
સંદર્ભોની યાદી ……………………………………………………………….31
પરિચય.
સંખ્યા ક્રમ એ ખૂબ જ રસપ્રદ અને શૈક્ષણિક વિષય છે. આ વિષય વધુ જટિલતાના કાર્યોમાં જોવા મળે છે જે વિદ્યાર્થીઓને અભ્યાસાત્મક સામગ્રીના લેખકો દ્વારા ઓફર કરવામાં આવે છે, ગાણિતિક ઓલિમ્પિયાડ્સની સમસ્યાઓ, ઉચ્ચ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓની પ્રવેશ પરીક્ષાઓ અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા. ગાણિતિક ક્રમ જ્ઞાનના અન્ય ક્ષેત્રો સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે તે શીખવામાં મને રસ છે.
સંશોધન કાર્યનો હેતુ: સંખ્યા ક્રમ વિશેના જ્ઞાનને વિસ્તારવા.
1. ક્રમ ધ્યાનમાં લો;
2. તેના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લો;
3. ક્રમના વિશ્લેષણાત્મક કાર્યને ધ્યાનમાં લો;
4. જ્ઞાનના અન્ય ક્ષેત્રોના વિકાસમાં તેની ભૂમિકા દર્શાવો.
5. જીવંત અને નિર્જીવ પ્રકૃતિનું વર્ણન કરવા માટે સંખ્યાઓની ફિબોનાકી શ્રેણીનો ઉપયોગ દર્શાવો.
1. સૈદ્ધાંતિક ભાગ.
મૂળભૂત ખ્યાલો અને શરતો.
વ્યાખ્યા. સંખ્યાત્મક ક્રમ એ y = f(x), x О N સ્વરૂપનું કાર્ય છે, જ્યાં N એ કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ છે (અથવા કુદરતી દલીલનું કાર્ય), સૂચિત y = f(n) અથવા y1, y2, …, yn,…. મૂલ્યો y1, y2, y3,... અનુક્રમે પ્રથમ, બીજા, ત્રીજા,... ક્રમના સભ્યો કહેવાય છે.
સંખ્યા a એ અનુક્રમની મર્યાદા કહેવાય છે x = (x n ) જો મનસ્વી રીતે પૂર્વનિર્ધારિત મનસ્વી રીતે નાની ધન સંખ્યા ε માટે કુદરતી સંખ્યા N હોય છે જે તમામ n>N માટે અસમાનતા |x n - a|< ε.
જો સંખ્યા a એ ક્રમ x = (x n ) ની મર્યાદા છે, તો તેઓ કહે છે કે x n એ a તરફ વલણ ધરાવે છે, અને લખો
.જો દરેક સભ્ય (પ્રથમ સિવાય) અગાઉના સભ્ય કરતા વધારે હોય તો ક્રમ (yn) વધતો હોવાનું કહેવાય છે:
y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….
જો દરેક સભ્ય (પ્રથમ સિવાય) પાછલા એક કરતા ઓછો હોય તો ક્રમ (yn) ને ઘટતું કહેવામાં આવે છે:
y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .
વધતા અને ઘટતા સિક્વન્સને સામાન્ય શબ્દ - મોનોટોનિક સિક્વન્સ હેઠળ જોડવામાં આવે છે.
ક્રમને સામયિક કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં કુદરતી સંખ્યા T હોય કે જે અમુક n થી શરૂ કરીને, સમાનતા yn = yn+T ધરાવે છે. નંબર T ને સમયગાળાની લંબાઈ કહેવામાં આવે છે.
અંકગણિત પ્રગતિ એ એક ક્રમ (an) છે, જેમાંથી દરેક પદ, બીજાથી શરૂ થાય છે, તે અગાઉના પદના સરવાળા સમાન હોય છે અને સમાન સંખ્યા d, તેને અંકગણિત પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે, અને સંખ્યા d એ એનો તફાવત છે. અંકગણિત પ્રગતિ.
આમ, અંકગણિત પ્રગતિ એ સંબંધો દ્વારા વારંવાર વ્યાખ્યાયિત થયેલ સંખ્યાત્મક ક્રમ છે.
a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)
ભૌમિતિક પ્રગતિ એ એક એવો ક્રમ છે જેમાં તમામ પદો શૂન્યથી અલગ હોય છે અને જેમાંથી દરેક પદ, બીજાથી શરૂ થાય છે, તે જ સંખ્યા q વડે ગુણાકાર કરીને અગાઉના પદમાંથી મેળવવામાં આવે છે.
આમ, ભૌમિતિક પ્રગતિ એ સંબંધો દ્વારા વારંવાર વ્યાખ્યાયિત થયેલ સંખ્યાત્મક ક્રમ (bn) છે.
b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).
1.1 સિક્વન્સના પ્રકાર.
1.1.1 પ્રતિબંધિત અને અપ્રતિબંધિત ક્રમ.
ક્રમ (bn) ઉપર બાઉન્ડ થયેલ કહેવાય છે જો ત્યાં કોઈ સંખ્યા M હોય કે જે કોઈપણ સંખ્યા n માટે અસમાનતા bn≤ M ધરાવે છે;
ક્રમ (bn) ને નીચે બાઉન્ડેડ કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં કોઈ સંખ્યા M હોય કે જે કોઈપણ સંખ્યા n માટે અસમાનતા bn≥ M ધરાવે છે;
ઉદાહરણ તરીકે:
1.1.2 સિક્વન્સની એકવિધતા.
જો કોઈપણ સંખ્યા n અસમાનતા માટે bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) સાચી હોય તો ક્રમ (bn) ને બિન-વધતો (નોન-ઘટતો) કહેવાય છે;
જો કોઈપણ સંખ્યા માટે અસમાનતા bn> bn+1 (bn) હોય તો ક્રમ (bn) ને ઘટતું (વધતું) કહેવાય છે. ઘટતા અને વધતા ક્રમને કડક રીતે એકવિધ કહેવામાં આવે છે, બિન-વધતા ક્રમને વ્યાપક અર્થમાં મોનોટોનિક કહેવામાં આવે છે. સીક્વન્સ કે જે ઉપર અને નીચે બંને રીતે બંધાયેલા હોય તેને બાઉન્ડેડ કહેવામાં આવે છે. આ તમામ પ્રકારના ક્રમને મોનોટોનિક કહેવામાં આવે છે. 1.1.3 અનંત મોટા અને નાના સિક્વન્સ. અનંત ક્રમ એ સંખ્યાત્મક કાર્ય અથવા ક્રમ છે જે શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે. ક્રમ an ને અનંત કહેવાય છે જો જો ℓimx→x0 f(x)=0 હોય તો x0 બિંદુના પડોશમાં ફંક્શનને અનંત કહેવાય છે. જો ℓimx→.+∞ f(x)=0 અથવા ℓimx→-∞ f(x)=0 હોય તો ફંક્શનને અનંત પર અનંત કહેવાય છે. તેમજ અનંત એ એક કાર્ય છે જે ફંક્શન અને તેની મર્યાદા વચ્ચેનો તફાવત છે, એટલે કે, જો ℓimx→.+∞ f(x)=a, તો f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a)=0. અનંત મોટા ક્રમ એ સંખ્યાત્મક કાર્ય અથવા ક્રમ છે જે અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે. એક ક્રમ an ને અનંત મોટી જો કહેવાય છે ℓimn→0 an=∞. જો ℓimx→x0 f(x)= ∞ હોય તો બિંદુ x0 ના પડોશમાં ફંક્શન અનંત મોટું હોવાનું કહેવાય છે. એક ફંક્શનને અનંતતા પર અનંત મોટી કહેવાય છે જો ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ અથવા ℓimx→-∞ f(x)= ∞ . 1.1.4 અનંત સિક્વન્સના ગુણધર્મો. બે અનંત ક્રમનો સરવાળો એ પોતે પણ એક અનંત ક્રમ છે. બે અનંત સિક્વન્સનો તફાવત પોતે પણ એક અનંત ક્રમ છે. અમર્યાદિત ક્રમની કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યાનો બીજગણિત સરવાળો પોતે પણ એક અનંત ક્રમ છે. બાઉન્ડેડ ક્રમ અને અનંત ક્રમનું ઉત્પાદન એ અનંત ક્રમ છે. અમર્યાદિત ક્રમની કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યાનું ઉત્પાદન એ અનંત ક્રમ છે. કોઈપણ અનંત ક્રમ બંધાયેલ છે. જો સ્થિર ક્રમ અનંત છે, તો તેના તમામ ઘટકો, ચોક્કસ બિંદુથી શરૂ થતાં, શૂન્ય સમાન છે. જો સમગ્ર અનંત ક્રમમાં સમાન તત્વો હોય, તો આ તત્વો શૂન્ય છે. જો (xn) કોઈ શૂન્ય પદો ધરાવતો અનંત મોટો ક્રમ છે, તો ત્યાં એક અનુક્રમ (1/xn) છે જે અનંત છે. જો, તેમ છતાં, (xn) શૂન્ય તત્વો ધરાવે છે, તો ક્રમ (1/xn) હજુ પણ અમુક સંખ્યા n થી શરૂ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, અને હજુ પણ અનંત હશે. જો (an) કોઈ શૂન્ય પદો ધરાવતો અનંત ક્રમ છે, તો ત્યાં એક ક્રમ (1/an) છે જે અનંતપણે મોટો છે. જો (an) તેમ છતાં શૂન્ય ઘટકો ધરાવે છે, તો પછી ક્રમ (1/an) હજુ પણ અમુક સંખ્યા n થી શરૂ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, અને હજુ પણ અનંતપણે મોટો હશે. 1.1.5 કન્વર્જન્ટ અને ડાયવર્જન્ટ સિક્વન્સ અને તેમના ગુણધર્મો. કન્વર્જન્ટ ક્રમ એ સમૂહ X ના ઘટકોનો ક્રમ છે જેની આ સમૂહમાં મર્યાદા છે. ભિન્ન ક્રમ એ એક એવો ક્રમ છે જે કન્વર્જન્ટ નથી. દરેક અનંત ક્રમ કન્વર્જન્ટ છે. તેની મર્યાદા શૂન્ય છે. અનંત ક્રમમાંથી કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યામાં ઘટકોને દૂર કરવાથી તે ક્રમની કન્વર્જન્સ કે મર્યાદાને અસર થતી નથી. કોઈપણ કન્વર્જન્ટ ક્રમ બંધાયેલ છે. જો કે, દરેક બાઉન્ડેડ સિક્વન્સ કન્વર્જ થતા નથી. જો ક્રમ (xn) કન્વર્જ થાય છે, પરંતુ અનંત નથી, તો પછી, ચોક્કસ સંખ્યાથી શરૂ કરીને, ક્રમ (1/xn) વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે બાઉન્ડેડ છે. કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સનો સરવાળો પણ કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ છે. કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સનો તફાવત એ પણ કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ છે. કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સનું ઉત્પાદન પણ કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ છે. બે કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સનો ભાગ અમુક તત્વથી શરૂ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, સિવાય કે બીજો ક્રમ અનંત છે. જો બે કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સનો ભાગ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, તો તે કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ છે. જો કન્વર્જન્ટ ક્રમ નીચે બંધાયેલો હોય, તો તેની કોઈ પણ ઈન્ફિમમ્સ તેની મર્યાદાને ઓળંગી શકતી નથી. જો કોઈ કન્વર્જન્ટ ક્રમ ઉપરથી બંધાયેલો હોય, તો તેની મર્યાદા તેની ઉપરની સીમાઓમાંથી કોઈપણ કરતાં વધી જતી નથી. જો કોઈપણ સંખ્યા માટે એક કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સની શરતો બીજા કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સની શરતોથી વધુ ન હોય, તો પ્રથમ ક્રમની મર્યાદા પણ બીજાની મર્યાદા કરતાં વધી જતી નથી. કુદરતી દલીલ n (n=1; 2; 3; 4;...) નું કાર્ય a n =f (n) ને સંખ્યા ક્રમ કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાઓ એ 1; a 2 ; a 3 ; a 4;…, એક ક્રમ બનાવે છે, તેને સંખ્યાત્મક ક્રમના સભ્યો કહેવામાં આવે છે. તેથી a 1 =f (1); a 2 =f (2); a 3 =f (3); a 4 =f (4);… તેથી, અનુક્રમના સભ્યોને સૂચકાંકો દર્શાવતા અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે - તેમના સભ્યોના અનુક્રમ નંબરો: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4;…, તેથી, a 1 એ ક્રમનો પ્રથમ સભ્ય છે; a 2 એ ક્રમનો બીજો શબ્દ છે; a 3 એ ક્રમનો ત્રીજો સભ્ય છે; a 4 એ ક્રમનો ચોથો શબ્દ છે, વગેરે. સંક્ષિપ્તમાં સંખ્યાત્મક ક્રમ નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે: a n =f (n) અથવા (a n). સંખ્યા ક્રમનો ઉલ્લેખ કરવાની નીચેની રીતો છે: 1)
મૌખિક પદ્ધતિ.શબ્દોમાં વર્ણવેલ ક્રમના સભ્યોની ગોઠવણી માટે પેટર્ન અથવા નિયમનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ઉદાહરણ 1. બધી બિન-ઋણાત્મક સંખ્યાઓનો ક્રમ લખો જે 5 ના ગુણાંક છે. ઉકેલ. 0 અથવા 5 માં સમાપ્ત થતી તમામ સંખ્યાઓ 5 વડે વિભાજ્ય હોવાથી, ક્રમ આ રીતે લખવામાં આવશે: 0; 5; 10; 15; 20; 25; ... ઉદાહરણ 2. ક્રમ જોતાં: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... તેને મૌખિક રીતે પૂછો. ઉકેલ. અમે નોંધ્યું છે કે 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; ... અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ: પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સમાવેશ કરતો ક્રમ આપવામાં આવે છે. 2)
વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ.ક્રમ nth શબ્દના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: a n =f (n). આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, તમે ક્રમના કોઈપણ સભ્યને શોધી શકો છો. ઉદાહરણ 3. સંખ્યા ક્રમના kth પદ માટે અભિવ્યક્તિ જાણીતી છે: a k = 3+2·(k+1). આ ક્રમના પ્રથમ ચાર પદોની ગણતરી કરો. a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7; a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9; a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11; a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13. ઉદાહરણ 4. તેના પ્રથમ થોડા સભ્યોનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાત્મક ક્રમ કંપોઝ કરવા માટેનો નિયમ નક્કી કરો અને સરળ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ક્રમના સામાન્ય શબ્દને વ્યક્ત કરો: 1; 3; 5; 7; 9; ... ઉકેલ. અમે નોંધ્યું છે કે અમને બેકી સંખ્યાઓનો ક્રમ આપવામાં આવ્યો છે. કોઈપણ વિષમ સંખ્યા ફોર્મમાં લખી શકાય છે: 2k-1, જ્યાં k એ કુદરતી સંખ્યા છે, એટલે કે. k=1; 2; 3; 4; ... જવાબ: a k =2k-1. 3)
રિકરન્ટ પદ્ધતિ.ક્રમ પણ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, પરંતુ સામાન્ય શબ્દ સૂત્ર દ્વારા નહીં, જે ફક્ત શબ્દની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે. એક સૂત્ર નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે જેના દ્વારા દરેક આગલી પદ પહેલાની શરતો દ્વારા જોવા મળે છે. ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવાની રિકરન્ટ પદ્ધતિના કિસ્સામાં, ક્રમના એક અથવા ઘણા પ્રથમ સભ્યો હંમેશા વધારામાં સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ 5. ક્રમના પ્રથમ ચાર પદો લખો (a n), જો 1 = 7; a n+1 = 5+a n . a 2 =5+a 1 =5+7=12; a 3 =5+a 2 =5+12=17; a 4 =5+a 3 =5+17=22. જવાબ: 7; 12; 17; 22; ... ઉદાહરણ 6. ક્રમના પ્રથમ પાંચ પદો લખો (b n), જો b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 . b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1; b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5; b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. જવાબ: -2; 3; -1; 5; 3; ... 4)
ગ્રાફિક પદ્ધતિ.સંખ્યાત્મક ક્રમ ગ્રાફ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે અલગ બિંદુઓને રજૂ કરે છે. આ બિંદુઓના એબ્સિસિસ કુદરતી સંખ્યાઓ છે: n=1; 2; 3; 4; ... ઓર્ડિનેટ્સ એ ક્રમના સભ્યોના મૂલ્યો છે: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4;…. ઉદાહરણ 7. ગ્રાફિકલી આપેલ સંખ્યાત્મક ક્રમના તમામ પાંચ શબ્દો લખો. આ કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં દરેક બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ (n; a n) ધરાવે છે. ચાલો abscissa n ના ચડતા ક્રમમાં ચિહ્નિત બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ લખીએ. આપણને મળે છે: (1; -3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7). તેથી, a 1 = -3; a 2 =1; a 3 = 4; a 4 =6; a 5 = 7. જવાબ:-3; 1; 4; 6; 7. ફંક્શન તરીકે ગણવામાં આવેલ સંખ્યાત્મક ક્રમ (ઉદાહરણ તરીકે 7) પ્રથમ પાંચ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ (n=1; 2; 3; 4; 5) ના સમૂહ પર આપવામાં આવે છે, તેથી, છે મર્યાદિત સંખ્યાનો ક્રમ(પાંચ સભ્યોનો સમાવેશ થાય છે). જો પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમગ્ર સમૂહ પર ફંક્શન તરીકે સંખ્યાનો ક્રમ આપવામાં આવે, તો આવો ક્રમ હશે અનંત સંખ્યાનો ક્રમ. સંખ્યા ક્રમ કહેવાય છે વધારો, જો તેના સભ્યો વધી રહ્યા હોય (a n+1 >a n) અને ઘટતા હોય, જો તેના સભ્યો ઘટી રહ્યા છે(a n+1
વધતી અથવા ઘટતી સંખ્યા ક્રમ કહેવાય છે એકવિધ. અનુગામી અનુગામી- આ કિટકેટલાક સમૂહના ઘટકો: તેથી ક્રમ પરિણામ તરીકે બહાર આવે છે સુસંગતઆપેલ સમૂહના ઘટકોની પસંદગી. અને, જો તત્વોનો કોઈપણ સમૂહ મર્યાદિત હોય, અને આપણે મર્યાદિત વોલ્યુમના નમૂના વિશે વાત કરીએ, તો ક્રમ અનંત વોલ્યુમનો નમૂનો હોવાનું બહાર આવે છે. ક્રમ તેના સ્વભાવ દ્વારા એક મેપિંગ છે, તેથી તેને એવા સમૂહ સાથે ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ કે જે ક્રમ "માર્ગે ચાલે છે". ગણિતમાં, ઘણાં વિવિધ ક્રમ ગણવામાં આવે છે: તમામ સંભવિત સિક્વન્સનો અભ્યાસ કરવાનો હેતુ પેટર્ન શોધવા, ભવિષ્યની સ્થિતિની આગાહી કરવાનો અને સિક્વન્સ જનરેટ કરવાનો છે. મનસ્વી પ્રકૃતિના તત્વોનો ચોક્કસ સમૂહ આપવા દો. | પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહમાંથી આપેલ સમૂહ સુધીના કોઈપણ મેપિંગને કહેવામાં આવે છે ક્રમ(સેટના તત્વો). કુદરતી સંખ્યાની છબી, એટલે કે, તત્વ, કહેવામાં આવે છે - મી સભ્યઅથવા ક્રમ તત્વ, અને ક્રમના સભ્યની ક્રમાંકિત સંખ્યા તેની અનુક્રમણિકા છે. ફોર્મની સિક્વન્સ કૌંસનો ઉપયોગ કરીને સઘન રીતે લખવાનો રિવાજ છે: કેટલીકવાર સર્પાકાર કૌંસનો ઉપયોગ થાય છે: વાણીની થોડી સ્વતંત્રતાને મંજૂરી આપીને, અમે ફોર્મના મર્યાદિત ક્રમને પણ ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ જે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ક્રમના પ્રારંભિક સેગમેન્ટની છબી રજૂ કરે છે. વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન. અન્ય શબ્દકોશોમાં "ક્રમ" શું છે તે જુઓ: અનુગામી. I.V. કિરીવ્સ્કીના લેખ "ઓગણીસમી સદી" (1830) માં આપણે વાંચીએ છીએ: "રોમન સામ્રાજ્યના પતનથી લઈને આપણા સમય સુધી, યુરોપનું જ્ઞાન આપણને ક્રમશઃ વિકાસ અને અવિરત ક્રમમાં દેખાય છે" (વોલ્યુમ 1, પૃષ્ઠ. ... ... શબ્દોનો ઇતિહાસ સિક્વન્સ, સિક્વન્સ, બહુવચન. ના, સ્ત્રી (પુસ્તક). વિચલિત સંજ્ઞા ક્રમિક માટે. ઘટનાઓનો ક્રમ. બદલાતી ભરતીમાં સુસંગતતા. તર્કમાં સુસંગતતા. ઉષાકોવનો સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ.... ઉષાકોવની સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ સ્થિરતા, સાતત્ય, તર્ક; પંક્તિ, પ્રગતિ, નિષ્કર્ષ, શ્રેણી, શબ્દમાળા, વળાંક, સાંકળ, સાંકળ, કાસ્કેડ, રિલે રેસ; દ્રઢતા, માન્યતા, સમૂહ, પદ્ધતિસરનીતા, વ્યવસ્થા, સંવાદિતા, મક્કમતા, અનુગામી, જોડાણ, કતાર, ... ... ક્રમ, સંખ્યાઓ અથવા તત્વો સંગઠિત રીતે ગોઠવાય છે. ક્રમ મર્યાદિત (મર્યાદિત સંખ્યામાં ઘટકો ધરાવતો) અથવા અનંત હોઈ શકે છે, જેમ કે કુદરતી સંખ્યાઓ 1, 2, 3, 4 નો સંપૂર્ણ ક્રમ ....... ... વૈજ્ઞાનિક અને તકનીકી જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ ક્રમ, સંખ્યાઓનો સમૂહ (ગાણિતિક અભિવ્યક્તિઓ, વગેરે; તેઓ કહે છે: કોઈપણ પ્રકૃતિના તત્વો), કુદરતી સંખ્યાઓ દ્વારા ક્રમાંકિત. ક્રમ x1, x2,..., xn,... અથવા સંક્ષિપ્તમાં (xi) ... તરીકે લખાયેલ છે. આધુનિક જ્ઞાનકોશ ગણિતની મૂળભૂત વિભાવનાઓમાંની એક. ક્રમ કોઈપણ પ્રકૃતિના તત્વો દ્વારા રચાય છે, કુદરતી સંખ્યાઓ 1, 2, ..., n, ... સાથે ક્રમાંકિત અને x1, x2, ..., xn, ... અથવા ટૂંકમાં (xn) તરીકે લખવામાં આવે છે. .. મોટા જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ અનુગામી- ક્રમ, સંખ્યાઓનો સમૂહ (ગાણિતિક અભિવ્યક્તિઓ, વગેરે; તેઓ કહે છે: કોઈપણ પ્રકૃતિના તત્વો), કુદરતી સંખ્યાઓ દ્વારા ક્રમાંકિત. ક્રમ x1, x2, ..., xn, ... અથવા સંક્ષિપ્તમાં (xi) તરીકે લખાયેલ છે. ... સચિત્ર જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ ક્રમ, અને, સ્ત્રી. 1. ક્રમિક જુઓ. 2. ગણિતમાં: સંખ્યાઓનો અનંત ક્રમાંકિત સમૂહ. ઓઝેગોવનો સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ. એસ.આઈ. ઓઝેગોવ, એન.યુ. શ્વેડોવા. 1949 1992 … ઓઝેગોવની સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ અંગ્રેજી ઉત્તરાધિકાર/ક્રમ; જર્મન કોન્સેક્વેન્ઝ. 1. એક પછી એકનો ક્રમ. 2. ગણિતની મૂળભૂત વિભાવનાઓમાંની એક. 3. સાચી તાર્કિક વિચારસરણીની ગુણવત્તા, જેમાં તર્ક એક અને બીજામાં આંતરિક વિરોધાભાસથી મુક્ત હોય છે... ... સમાજશાસ્ત્રનો જ્ઞાનકોશ અનુગામી- "કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહ પર નિર્ધારિત કાર્ય, મૂલ્યોનો સમૂહ જેમાં કોઈપણ પ્રકૃતિના ઘટકોનો સમાવેશ થઈ શકે છે: સંખ્યાઓ, બિંદુઓ, કાર્યો, વેક્ટર્સ, સમૂહો, રેન્ડમ ચલો, વગેરે, કુદરતી સંખ્યાઓ દ્વારા ક્રમાંકિત.. . આર્થિક-ગાણિતિક શબ્દકોશ સૌથી સરળ સંખ્યા છે કુદરતી સંખ્યા. તેઓ ગણતરી માટે રોજિંદા જીવનમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે વસ્તુઓ, એટલે કે તેમની સંખ્યા અને ક્રમની ગણતરી કરવા માટે. કુદરતી સંખ્યા શું છે: કુદરતી સંખ્યાઓનંબરોને નામ આપો જેનો ઉપયોગ થાય છે વસ્તુઓની ગણતરી કરવી અથવા તમામ સજાતીય વસ્તુઓમાંથી કોઈપણ આઇટમનો સીરીયલ નંબર દર્શાવવોવસ્તુઓ કુદરતી સંખ્યાઓએક થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ છે. ગણતરી કરતી વખતે તેઓ કુદરતી રીતે રચાય છે.ઉદાહરણ તરીકે, 1,2,3,4,5... -પ્રથમ કુદરતી સંખ્યાઓ. સૌથી નાની કુદરતી સંખ્યા- એક. કોઈ સૌથી મોટી કુદરતી સંખ્યા નથી. જ્યારે સંખ્યા ગણાય છે શૂન્યનો ઉપયોગ થતો નથી, તેથી શૂન્ય એ કુદરતી સંખ્યા છે. કુદરતી સંખ્યા શ્રેણીતમામ કુદરતી સંખ્યાઓનો ક્રમ છે. કુદરતી સંખ્યાઓ લખવી: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
પ્રાકૃતિક શ્રેણીમાં, દરેક સંખ્યા અગાઉના એક પછી એક કરતા મોટી હોય છે. કુદરતી શ્રેણીમાં કેટલી સંખ્યાઓ છે? કુદરતી શ્રેણી અનંત છે; સૌથી મોટી કુદરતી સંખ્યા અસ્તિત્વમાં નથી. કોઈપણ અંકના 10 એકમોથી દશાંશ સૌથી વધુ અંકનો 1 એકમ બનાવે છે. પોઝીશનલી આમ અંકનો અર્થ નંબરમાં તેના સ્થાન પર કેવી રીતે આધાર રાખે છે, એટલે કે. કેટેગરીમાંથી જ્યાં તે લખાયેલ છે. કોઈપણ કુદરતી સંખ્યાને 10 અરબી અંકોનો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છે: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
કુદરતી સંખ્યાઓ વાંચવા માટે, તેઓને જમણી બાજુથી શરૂ કરીને, પ્રત્યેકને 3 અંકોના જૂથોમાં વહેંચવામાં આવે છે. 3 પ્રથમ જમણી બાજુની સંખ્યાઓ એકમોનો વર્ગ છે, પછીના 3 હજારોનો વર્ગ છે, પછી લાખો, અબજો અનેતેથી પર વર્ગના દરેક અંકને તેના કહેવામાં આવે છેસ્રાવ.
2 પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાંથી, નાની એ સંખ્યા છે જેને ગણતી વખતે અગાઉ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 7
ઓછું 11
(આના જેવું લખ્યું છે:7 < 11
). જ્યારે એક સંખ્યા બીજા કરતા મોટી હોય, ત્યારે તે આ રીતે લખાય છે:386 > 99
.
1 લી વર્ગ એકમ એકમનો 1મો અંક 2જી અંક દસ 3જી સ્થાન સેંકડો 2જી વર્ગ હજાર હજારોના એકમનો 1મો અંક 2જી અંક દસ હજાર 3જી શ્રેણી સેંકડો હજારો 3જી વર્ગ લાખો લાખોના એકમનો 1મો અંક 2જી શ્રેણી લાખો 3જી શ્રેણી લાખો 4 થી વર્ગ અબજો અબજોના એકમનો 1મો અંક અબજોની 2જી શ્રેણી 3જી શ્રેણી સેંકડો અબજો 5મા ધોરણ અને તેનાથી ઉપરના નંબરોને મોટી સંખ્યા ગણવામાં આવે છે. 5મા વર્ગના એકમો ટ્રિલિયન, 6ઠ્ઠા છે વર્ગ - ક્વોડ્રિલિયન, 7મો વર્ગ - ક્વિન્ટિલિયન, 8મો વર્ગ - સેક્સ્ટિલિયન, 9મો વર્ગ -એપ્ટિલિયન્સ કુદરતી સંખ્યાઓના મૂળભૂત ગુણધર્મો. કુદરતી સંખ્યાઓ પર કામગીરી. 4. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ભાગાકાર એ ગુણાકારની વ્યસ્ત ક્રિયા છે. જો b ∙ c = a, તે વિભાજન માટેના સૂત્રો: a: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (એ∙ b) : c = (a:c) ∙ b (એ∙ b) : c = (b:c) ∙ a સંખ્યાત્મક સમીકરણો અને સંખ્યાત્મક સમાનતા. એક સંકેત જ્યાં સંખ્યાઓ ક્રિયા ચિહ્નો દ્વારા જોડાયેલ હોય છે સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ. ઉદાહરણ તરીકે, 10∙3+4; (60-2∙5):10. રેકોર્ડ જ્યાં 2 સંખ્યાત્મક સમીકરણો સમાન ચિહ્ન સાથે જોડવામાં આવે છે સંખ્યાત્મક સમાનતા. સમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુ છે. અંકગણિત કામગીરી કરવાનો ક્રમ. સંખ્યાઓનો ઉમેરો અને બાદબાકી એ પ્રથમ ડિગ્રીની ક્રિયાઓ છે, જ્યારે ગુણાકાર અને ભાગાકાર એ બીજી ડિગ્રીની ક્રિયાઓ છે. જ્યારે સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિમાં માત્ર એક ડિગ્રીની ક્રિયાઓ હોય છે, ત્યારે તે ક્રમિક રીતે કરવામાં આવે છેડાબેથી જમણે. જ્યારે અભિવ્યક્તિઓ માત્ર પ્રથમ અને બીજી ડિગ્રીની ક્રિયાઓ ધરાવે છે, તો પછી ક્રિયાઓ પ્રથમ કરવામાં આવે છે બીજી ડિગ્રી, અને પછી - પ્રથમ ડિગ્રીની ક્રિયાઓ. જ્યારે અભિવ્યક્તિમાં કૌંસ હોય છે, ત્યારે કૌંસમાંની ક્રિયાઓ પ્રથમ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21. ગણિત એ વિજ્ઞાન છે જે વિશ્વનું નિર્માણ કરે છે. વિજ્ઞાની અને સામાન્ય માણસ બંને - તેના વિના કોઈ કરી શકતું નથી. પ્રથમ, નાના બાળકોને ગણતરી કરવાનું શીખવવામાં આવે છે, પછી મિડલ સ્કૂલ દ્વારા સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરવામાં આવે છે. પરંતુ આજે આપણે બધા જાણીતું ગણિત શેના પર આધારિત છે તે વિશે વાત કરીશું. સંખ્યાઓના સમુદાય વિશે જેને "ક્રમ મર્યાદા" કહેવાય છે. "ક્રમ" શબ્દનો અર્થ અર્થઘટન કરવું મુશ્કેલ નથી. આ એવી વસ્તુઓની ગોઠવણી છે જ્યાં કોઈ વ્યક્તિ અથવા કંઈક ચોક્કસ ક્રમમાં અથવા કતારમાં સ્થિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાણી સંગ્રહાલયની ટિકિટ માટેની કતાર એ એક ક્રમ છે. અને ત્યાં ફક્ત એક જ હોઈ શકે છે! જો, ઉદાહરણ તરીકે, તમે સ્ટોર પરની કતાર જુઓ છો, તો આ એક ક્રમ છે. અને જો આ કતારમાંથી એક વ્યક્તિ અચાનક નીકળી જાય, તો આ એક અલગ કતાર છે, એક અલગ ક્રમ છે. "મર્યાદા" શબ્દનો પણ સરળતાથી અર્થઘટન કરવામાં આવે છે - તે કંઈકનો અંત છે. જો કે, ગણિતમાં, ક્રમની મર્યાદા એ સંખ્યા રેખા પરના તે મૂલ્યો છે જેમાં સંખ્યાઓનો ક્રમ વલણ ધરાવે છે. તે શા માટે પ્રયત્ન કરે છે અને અંત નથી? તે સરળ છે, સંખ્યા રેખાનો કોઈ અંત નથી, અને કિરણોની જેમ મોટાભાગની ક્રમમાં માત્ર શરૂઆત હોય છે અને આના જેવો દેખાય છે: x 1, x 2, x 3,...x n... તેથી ક્રમની વ્યાખ્યા એ કુદરતી દલીલનું કાર્ય છે. સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, આ ચોક્કસ સમૂહના સભ્યોની શ્રેણી છે. સંખ્યા ક્રમનું એક સરળ ઉદાહરણ આના જેવું દેખાઈ શકે છે: 1, 2, 3, 4, …n… મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં, વ્યવહારુ હેતુઓ માટે, સિક્વન્સ સંખ્યાઓમાંથી બનાવવામાં આવે છે, અને શ્રેણીના દરેક આગામી સભ્ય, ચાલો તેને X દ્વારા દર્શાવીએ, તેનું પોતાનું નામ છે. ઉદાહરણ તરીકે: x 1 એ ક્રમનો પ્રથમ સભ્ય છે; x 2 એ ક્રમનો બીજો શબ્દ છે; x 3 એ ત્રીજો શબ્દ છે; x n એ nમો શબ્દ છે. વ્યવહારિક પદ્ધતિઓમાં, ક્રમ સામાન્ય સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે જેમાં ચોક્કસ ચલ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે: X n =3n, પછી સંખ્યાઓની શ્રેણી પોતે આના જેવી દેખાશે: તે યાદ રાખવું યોગ્ય છે કે સામાન્ય રીતે ક્રમ લખતી વખતે, તમે કોઈપણ લેટિન અક્ષરોનો ઉપયોગ કરી શકો છો, માત્ર X નહીં. ઉદાહરણ તરીકે: y, z, k, વગેરે. સિક્વન્સની મર્યાદાઓ શોધતા પહેલા, આવી સંખ્યાની શ્રેણીના ખૂબ જ ખ્યાલમાં ઊંડા ઉતરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, જે દરેકને જ્યારે તેઓ મિડલ સ્કૂલમાં હતા ત્યારે તેમને મળ્યા હતા. અંકગણિત પ્રગતિ એ સંખ્યાઓની શ્રેણી છે જેમાં સંલગ્ન પદો વચ્ચેનો તફાવત સ્થિર છે. સમસ્યા: “ચાલો a 1 = 15, અને સંખ્યા શ્રેણી d = 4 નું પ્રગતિ પગલું. આ શ્રેણીની પ્રથમ 4 શરતો બનાવો" ઉકેલ: a 1 = 15 (શરત દ્વારા) એ પ્રગતિનો પ્રથમ શબ્દ છે (સંખ્યા શ્રેણી). અને 2 = 15+4=19 એ પ્રગતિની બીજી મુદત છે. અને 3 =19+4=23 એ ત્રીજો શબ્દ છે. અને 4 =23+4=27 એ ચોથો શબ્દ છે. જો કે, આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મોટા મૂલ્યો સુધી પહોંચવું મુશ્કેલ છે, ઉદાહરણ તરીકે 125 સુધી. . ખાસ કરીને આવા કિસ્સાઓ માટે, પ્રેક્ટિસ માટે અનુકૂળ ફોર્મ્યુલા લેવામાં આવી હતી: a n =a 1 +d(n-1). આ કિસ્સામાં, a 125 =15+4(125-1)=511. મોટાભાગના સિક્વન્સ અનંત છે, તે તમારા બાકીના જીવન માટે યાદ રાખવા યોગ્ય છે. સંખ્યા શ્રેણીના બે રસપ્રદ પ્રકાર છે. પ્રથમ સૂત્ર a n =(-1) n દ્વારા આપવામાં આવે છે. ગણિતશાસ્ત્રીઓ ઘણીવાર આ ક્રમને ફ્લેશર કહે છે. શા માટે? ચાલો તેની સંખ્યા શ્રેણી તપાસીએ. 1, 1, -1, 1, -1, 1, વગેરે. આના જેવા ઉદાહરણ સાથે, તે સ્પષ્ટ થાય છે કે ક્રમમાં સંખ્યાઓ સરળતાથી પુનરાવર્તિત થઈ શકે છે. ફેક્ટોરિયલ ક્રમ. અનુમાન લગાવવું સરળ છે - ક્રમને વ્યાખ્યાયિત કરતું સૂત્ર એક કારણભૂત ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે: a n = (n+1)! પછી ક્રમ આના જેવો દેખાશે: a 2 = 1x2x3 = 6; અને 3 = 1x2x3x4 = 24, વગેરે. જો અસમાનતા -1 તેની તમામ શરતો માટે સંતુષ્ટ હોય તો અંકગણિત પ્રગતિ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ક્રમને અનંતપણે ઘટતો કહેવામાં આવે છે. અને 3 = - 1/8, વગેરે. સમાન સંખ્યાનો સમાવેશ થતો ક્રમ પણ છે. તેથી, n =6 માં અસંખ્ય સિક્સરનો સમાવેશ થાય છે. ક્રમ મર્યાદા ગણિતમાં લાંબા સમયથી અસ્તિત્વમાં છે. અલબત્ત, તેઓ તેમની પોતાની સક્ષમ ડિઝાઇનને પાત્ર છે. તેથી, ક્રમ મર્યાદાની વ્યાખ્યા શીખવાનો સમય છે. પ્રથમ, ચાલો રેખીય કાર્ય માટેની મર્યાદાને વિગતવાર જોઈએ: તે સમજવું સરળ છે કે ક્રમની મર્યાદાની વ્યાખ્યા નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે: આ એક ચોક્કસ સંખ્યા છે કે જેના પર ક્રમના તમામ સભ્યો અનંતપણે સંપર્ક કરે છે. એક સરળ ઉદાહરણ: x = 4x+1. પછી ક્રમ પોતે આના જેવો દેખાશે. 5, 9, 13, 17, 21…x… આમ, આ ક્રમ અનિશ્ચિત રૂપે વધશે, જેનો અર્થ છે કે તેની મર્યાદા x→∞ જેટલી અનંત જેટલી છે, અને તે આ રીતે લખવું જોઈએ: જો આપણે સમાન ક્રમ લઈએ, પરંતુ x 1 તરફ વળે છે, તો આપણને મળશે: અને સંખ્યાઓની શ્રેણી આના જેવી હશે: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, વગેરે. દરેક વખતે તમારે સંખ્યાને એકની નજીક બદલવાની જરૂર હોય (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). આ શ્રેણીમાંથી તે સ્પષ્ટ છે કે કાર્યની મર્યાદા પાંચ છે. આ ભાગથી તે યાદ રાખવું યોગ્ય છે કે સંખ્યાત્મક ક્રમની મર્યાદા શું છે, સરળ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની વ્યાખ્યા અને પદ્ધતિ. સંખ્યા ક્રમની મર્યાદા, તેની વ્યાખ્યા અને ઉદાહરણોની તપાસ કર્યા પછી, તમે વધુ જટિલ વિષય પર આગળ વધી શકો છો. ક્રમની ચોક્કસ તમામ મર્યાદાઓ એક સૂત્ર દ્વારા ઘડી શકાય છે, જેનું સામાન્ય રીતે પ્રથમ સેમેસ્ટરમાં વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે. તો, અક્ષરો, મોડ્યુલો અને અસમાનતા ચિહ્નોના આ સમૂહનો અર્થ શું છે? ∀ એક સાર્વત્રિક ક્વોન્ટિફાયર છે, જે "બધા માટે", "બધું માટે", વગેરે શબ્દસમૂહોને બદલે છે. ∃ એક અસ્તિત્વનું પરિમાણકર્તા છે, આ કિસ્સામાં તેનો અર્થ એ છે કે કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહ સાથે સંબંધિત અમુક મૂલ્ય N છે. N ને અનુસરતી લાંબી ઊભી લાકડીનો અર્થ એ થાય છે કે આપેલ સમૂહ N "આવું" છે. વ્યવહારમાં, તેનો અર્થ "આવું તે", "આવું તે", વગેરે હોઈ શકે છે. સામગ્રીને મજબૂત કરવા માટે, સૂત્રને મોટેથી વાંચો. ક્રમની મર્યાદા શોધવાની પદ્ધતિ, જેની ઉપર ચર્ચા કરવામાં આવી હતી, જો કે ઉપયોગમાં સરળ છે, વ્યવહારમાં એટલી તર્કસંગત નથી. આ કાર્ય માટે મર્યાદા શોધવાનો પ્રયાસ કરો: જો આપણે "x" ના વિવિધ મૂલ્યોને બદલીએ (દર વખતે વધારો: 10, 100, 1000, વગેરે), તો આપણને અંશમાં ∞ મળે છે, પણ છેદમાં ∞ પણ મળે છે. આ એક જગ્યાએ વિચિત્ર અપૂર્ણાંકમાં પરિણમે છે: પણ શું આ ખરેખર આવું છે? આ કિસ્સામાં સંખ્યા ક્રમની મર્યાદાની ગણતરી કરવી એકદમ સરળ લાગે છે. બધું જેમ છે તેમ છોડી દેવું શક્ય છે, કારણ કે જવાબ તૈયાર છે, અને તે વાજબી શરતો હેઠળ પ્રાપ્ત થયો હતો, પરંતુ આવા કિસ્સાઓ માટે ખાસ કરીને બીજી રીત છે. પ્રથમ, ચાલો અપૂર્ણાંકના અંશમાં ઉચ્ચતમ ડિગ્રી શોધીએ - આ 1 છે, કારણ કે x ને x 1 તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. હવે ચાલો છેદમાં સર્વોચ્ચ ડિગ્રી શોધીએ. પણ 1. ચાલો અંશ અને છેદ બંનેને ચલ દ્વારા ઉચ્ચતમ ડિગ્રી સુધી વિભાજીત કરીએ. આ કિસ્સામાં, અપૂર્ણાંકને x 1 વડે વિભાજીત કરો. આગળ, આપણે શોધીશું કે ચલ ધરાવતો દરેક શબ્દ શું મૂલ્ય ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં, અપૂર્ણાંક ગણવામાં આવે છે. x→∞ તરીકે, દરેક અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય શૂન્ય તરફ વળે છે. તમારું કાર્ય લેખિતમાં સબમિટ કરતી વખતે, તમારે નીચેની ફૂટનોટ્સ બનાવવી જોઈએ: આ નીચેના અભિવ્યક્તિમાં પરિણમે છે: અલબત્ત, x ધરાવતા અપૂર્ણાંક શૂન્ય બન્યા નથી! પરંતુ તેમનું મૂલ્ય એટલું નાનું છે કે ગણતરીમાં તેને ધ્યાનમાં ન લેવાનું સંપૂર્ણપણે માન્ય છે. હકીકતમાં, આ કિસ્સામાં x ક્યારેય 0 ની બરાબર નહીં હોય, કારણ કે તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી. ધારો કે પ્રોફેસર પાસે તેના નિકાલ પર એક જટિલ ક્રમ છે, દેખીતી રીતે, સમાન જટિલ સૂત્ર દ્વારા. પ્રોફેસરે જવાબ તો શોધી કાઢ્યો છે, પણ ખરું ને? છેવટે, બધા લોકો ભૂલો કરે છે. ઑગસ્ટે કોચી એકવાર સિક્વન્સની મર્યાદા સાબિત કરવા માટે એક ઉત્તમ રીત સાથે આવ્યા હતા. તેમની પદ્ધતિને પડોશી મેનીપ્યુલેશન કહેવામાં આવતું હતું. ધારો કે કોઈ ચોક્કસ બિંદુ a છે, સંખ્યા રેખા પર બંને દિશામાં તેની પડોશ ε ("એપ્સીલોન") ની બરાબર છે. છેલ્લું ચલ અંતર હોવાથી, તેનું મૂલ્ય હંમેશા હકારાત્મક હોય છે. હવે ચાલો અમુક ક્રમ x n ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ અને ધારીએ કે ક્રમનો દસમો પદ (x 10) a ની પડોશમાં છે. આ હકીકતને આપણે ગાણિતિક ભાષામાં કેવી રીતે લખી શકીએ? ચાલો કહીએ કે x 10 એ બિંદુ a ની જમણી બાજુએ છે, પછી અંતર x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. હવે ઉપર ચર્ચા કરેલ સૂત્રને વ્યવહારમાં સમજાવવાનો સમય છે. કોઈ ચોક્કસ સંખ્યાને અનુક્રમનો અંતિમ બિંદુ કહેવો યોગ્ય છે જો તેની કોઈપણ મર્યાદા માટે અસમાનતા ε>0 સંતુષ્ટ હોય, અને સમગ્ર પડોશી પાસે તેની પોતાની કુદરતી સંખ્યા N હોય, જેમ કે ક્રમના તમામ સભ્યો ઉચ્ચ સંખ્યાઓ સાથે ક્રમની અંદર હશે |x n - a|< ε. આવા જ્ઞાન સાથે, ક્રમ મર્યાદાને ઉકેલવા અને તૈયાર જવાબને સાબિત અથવા અસ્વીકાર કરવો સરળ છે. સિક્વન્સની મર્યાદા પરના પ્રમેય એ સિદ્ધાંતનો એક મહત્વપૂર્ણ ઘટક છે, જેના વિના પ્રેક્ટિસ અશક્ય છે. ત્યાં ફક્ત ચાર મુખ્ય પ્રમેય છે, જે યાદ રાખવાથી ઉકેલ અથવા સાબિતી વધુ સરળ બની શકે છે: સંખ્યાત્મક ક્રમની આપેલ મર્યાદા સાબિત કરવા માટે, કેટલીકવાર તમારે વ્યસ્ત સમસ્યા હલ કરવાની જરૂર છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. સાબિત કરો કે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવેલ ક્રમની મર્યાદા શૂન્ય છે. ઉપર ચર્ચા કરેલ નિયમ મુજબ, કોઈપણ ક્રમ માટે અસમાનતા |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: ચાલો ચોક્કસ સંખ્યાનું અસ્તિત્વ બતાવવા અને ક્રમની મર્યાદાની હાજરી સાબિત કરવા માટે “એપ્સીલોન” દ્વારા n વ્યક્ત કરીએ. આ બિંદુએ, એ યાદ રાખવું અગત્યનું છે કે "એપ્સીલોન" અને "en" હકારાત્મક સંખ્યાઓ છે અને શૂન્યની બરાબર નથી. હવે હાઈસ્કૂલમાં મેળવેલ અસમાનતાઓ વિશેના જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરીને વધુ પરિવર્તનો ચાલુ રાખવાનું શક્ય છે. તે કેવી રીતે બહાર આવે છે કે n > -3 + 1/ε. તે યાદ રાખવું યોગ્ય છે કે આપણે કુદરતી સંખ્યાઓ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, પરિણામને ચોરસ કૌંસમાં મૂકીને ગોળાકાર કરી શકાય છે. આમ, તે સાબિત થયું હતું કે બિંદુ a = 0 ના "એપ્સીલોન" પડોશના કોઈપણ મૂલ્ય માટે, એક મૂલ્ય એવું જોવા મળ્યું હતું કે પ્રારંભિક અસમાનતા સંતુષ્ટ છે. અહીંથી આપણે સુરક્ષિત રીતે કહી શકીએ કે નંબર a એ આપેલ ક્રમની મર્યાદા છે. Q.E.D. આ અનુકૂળ પદ્ધતિનો ઉપયોગ સંખ્યાત્મક ક્રમની મર્યાદા સાબિત કરવા માટે થઈ શકે છે, પછી ભલે તે પ્રથમ નજરમાં ગમે તેટલી જટિલ હોય. જ્યારે તમે કાર્ય જુઓ છો ત્યારે મુખ્ય વસ્તુ ગભરાવાની નથી. વ્યવહારમાં સુસંગતતા મર્યાદાનું અસ્તિત્વ જરૂરી નથી. તમે સરળતાથી સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં આવી શકો છો જેનો ખરેખર કોઈ અંત નથી. ઉદાહરણ તરીકે, સમાન “ફ્લેશિંગ લાઇટ” x n = (-1) n. તે સ્પષ્ટ છે કે માત્ર બે અંકો ધરાવતા ક્રમ, ચક્રીય રીતે પુનરાવર્તિત થાય છે, તેની મર્યાદા હોઈ શકતી નથી. ગણતરી દરમિયાન કોઈપણ ક્રમની અનિશ્ચિતતા (0/0, ∞/∞, ∞/0, વગેરે). જો કે, તે યાદ રાખવું જોઈએ કે ખોટી ગણતરીઓ પણ થાય છે. કેટલીકવાર તમારા પોતાના ઉકેલને બે વાર તપાસવાથી તમને ક્રમ મર્યાદા શોધવામાં મદદ મળશે. ક્રમના કેટલાક ઉદાહરણો અને તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ ઉપર ચર્ચા કરવામાં આવી હતી, અને હવે ચાલો વધુ ચોક્કસ કેસ લેવાનો પ્રયાસ કરીએ અને તેને "મોનોટોનિક સિક્વન્સ" કહીએ. વ્યાખ્યા: કોઈપણ ક્રમને યોગ્ય રીતે એકવિધ રીતે વધતો કહી શકાય જો તેના માટે કડક અસમાનતા x n ધરાવે છે< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. આ બે શરતો સાથે, સમાન બિન-કડક અસમાનતાઓ પણ છે. તદનુસાર, x n ≤ x n +1 (બિન-ઘટતો ક્રમ) અને x n ≥ x n +1 (બિન-વધતો ક્રમ). પરંતુ ઉદાહરણો સાથે આને સમજવું સરળ છે. x n = 2+n સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવેલ ક્રમ સંખ્યાઓની નીચેની શ્રેણી બનાવે છે: 4, 5, 6, વગેરે. આ એકવિધ રીતે વધતો ક્રમ છે. અને જો આપણે x n =1/n લઈએ, તો આપણને શ્રેણી મળે છે: 1/3, ¼, 1/5, વગેરે. આ એકવિધ રીતે ઘટતો ક્રમ છે. બાઉન્ડેડ સિક્વન્સ એ એવો ક્રમ છે જેની મર્યાદા હોય છે. કન્વર્જન્ટ ક્રમ એ સંખ્યાઓની શ્રેણી છે જેની અનંત મર્યાદા હોય છે. આમ, બાઉન્ડેડ ક્રમની મર્યાદા એ કોઈપણ વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંખ્યા છે. યાદ રાખો કે ત્યાં ફક્ત એક જ મર્યાદા હોઈ શકે છે. કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સની મર્યાદા એ અનંત (વાસ્તવિક અથવા જટિલ) જથ્થો છે. જો તમે સિક્વન્સ ડાયાગ્રામ દોરો છો, તો પછી ચોક્કસ બિંદુએ તે એકરૂપ થાય છે, ચોક્કસ મૂલ્યમાં ફેરવાય છે. તેથી નામ - કન્વર્જન્ટ ક્રમ. આવા ક્રમની કોઈ મર્યાદા હોઈ શકે કે ન પણ હોઈ શકે. પ્રથમ, તે ક્યારે અસ્તિત્વમાં છે તે સમજવું ઉપયોગી છે; મર્યાદાની ગેરહાજરી સાબિત કરતી વખતે તમે અહીંથી પ્રારંભ કરી શકો છો. મોનોટોનિક સિક્વન્સમાં, કન્વર્જન્ટ અને ડાયવર્જન્ટને અલગ પાડવામાં આવે છે. કન્વર્જન્ટ એ એક ક્રમ છે જે સમૂહ x દ્વારા રચાય છે અને આ સમૂહમાં વાસ્તવિક અથવા જટિલ મર્યાદા છે. ડાયવર્જન્ટ એ એવો ક્રમ છે કે જેના સમૂહમાં કોઈ મર્યાદા નથી (ન તો વાસ્તવિક કે જટિલ નથી). તદુપરાંત, જો ભૌમિતિક રજૂઆતમાં, તેની ઉપલી અને નીચલી મર્યાદાઓ એકરૂપ થાય તો ક્રમ એકરૂપ થાય છે. કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સની મર્યાદા ઘણા કિસ્સાઓમાં શૂન્ય હોઈ શકે છે, કારણ કે કોઈપણ અનંત ક્રમની જાણીતી મર્યાદા (શૂન્ય) હોય છે. તમે જે પણ કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ લો છો, તે બધા બાઉન્ડેડ છે, પરંતુ તમામ બાઉન્ડેડ સિક્વન્સ કન્વર્જ થતા નથી. બે કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સનો સરવાળો, તફાવત, પ્રોડક્ટ એ પણ કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ છે. જો કે, જો તે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો અવશેષ કન્વર્જન્ટ પણ હોઈ શકે છે! ક્રમની મર્યાદાઓ અંકો અને સંખ્યાઓ જેટલી મહત્વપૂર્ણ છે (મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં): 1, 2, 15, 24, 362, વગેરે. તે તારણ આપે છે કે અમુક કામગીરી મર્યાદા સાથે કરી શકાય છે. પ્રથમ, સંખ્યાઓ અને સંખ્યાઓની જેમ, કોઈપણ ક્રમની મર્યાદા ઉમેરી અને બાદ કરી શકાય છે. સિક્વન્સની મર્યાદાઓ પરના ત્રીજા પ્રમેયના આધારે, નીચેની સમાનતા ધરાવે છે: સિક્વન્સના સરવાળાની મર્યાદા તેમની મર્યાદાના સરવાળા જેટલી છે. બીજું, ક્રમની મર્યાદાઓ પરના ચોથા પ્રમેયના આધારે, નીચેની સમાનતા સાચી છે: ક્રમની nમી સંખ્યાના ગુણાંકની મર્યાદા તેમની મર્યાદાના ગુણાંક જેટલી છે. તે જ વિભાજન માટે સાચું છે: બે ક્રમના ભાગની મર્યાદા તેમની મર્યાદાના ભાગાકાર જેટલી હોય છે, જો મર્યાદા શૂન્ય ન હોય. છેવટે, જો સિક્વન્સની મર્યાદા શૂન્યની બરાબર હોય, તો શૂન્યથી વિભાજન પરિણામ આવશે, જે અશક્ય છે. એવું લાગે છે કે સંખ્યાત્મક ક્રમની મર્યાદા પહેલાથી જ કેટલીક વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે, પરંતુ "અનંત નાના" અને "અનંત મોટા" નંબરો જેવા શબ્દસમૂહો એક કરતા વધુ વખત ઉલ્લેખિત છે. દેખીતી રીતે, જો ત્યાં 1/x ક્રમ હોય, જ્યાં x→∞ હોય, તો આવા અપૂર્ણાંક અનંત છે, અને જો તે જ ક્રમ, પરંતુ મર્યાદા શૂન્ય (x→0) તરફ વળે છે, તો અપૂર્ણાંક એક અનંત મોટું મૂલ્ય બની જાય છે. અને આવા જથ્થામાં તેમની પોતાની લાક્ષણિકતાઓ છે. કોઈપણ નાના અથવા મોટા મૂલ્યો ધરાવતા ક્રમની મર્યાદાના ગુણધર્મો નીચે મુજબ છે: હકીકતમાં, જો તમે એક સરળ અલ્ગોરિધમ જાણતા હોવ તો ક્રમની મર્યાદાની ગણતરી કરવી એટલું મુશ્કેલ કાર્ય નથી. પરંતુ સુસંગતતાની મર્યાદા એ એક એવો વિષય છે જેને મહત્તમ ધ્યાન અને ખંતની જરૂર છે. અલબત્ત, આવા અભિવ્યક્તિઓના ઉકેલના સારને સમજવા માટે તે પૂરતું છે. નાની શરૂઆત કરીને, તમે સમય જતાં મહાન ઊંચાઈ હાંસલ કરી શકો છો.
વ્યાખ્યા
સંબંધિત વ્યાખ્યાઓ
ટિપ્પણીઓ
હોદ્દો
પણ જુઓ
સમાનાર્થી
પુસ્તકો
કુદરતી સંખ્યાઓના વર્ગો.
કુદરતી સંખ્યાઓની સરખામણી.
અંકોનું કોષ્ટક અને સંખ્યાઓના વર્ગો.
ક્રમ શું છે અને તેમની મર્યાદા ક્યાં છે?
સંખ્યા ક્રમ કેવી રીતે બાંધવામાં આવે છે?
ક્રમના ભાગ રૂપે અંકગણિત પ્રગતિ
સિક્વન્સના પ્રકાર
ક્રમ મર્યાદા નક્કી કરી રહ્યા છીએ
સિક્વન્સની મર્યાદા માટે સામાન્ય હોદ્દો
અનિશ્ચિતતા અને મર્યાદાની નિશ્ચિતતા
પડોશી શું છે?
પ્રમેય
સિક્વન્સનો પુરાવો
અથવા કદાચ તે ત્યાં નથી?
મોનોટોનિક ક્રમ
કન્વર્જન્ટ અને બાઉન્ડેડ ક્રમની મર્યાદા
એકવિધ ક્રમની મર્યાદા
મર્યાદા સાથે વિવિધ ક્રિયાઓ
ક્રમ જથ્થાના ગુણધર્મો
