સહયોગી
x 1 (x 2 x 3) = (x 1 x 2)x 3;
x 1 Ú (x 2 Ú x 3) = (x 1 Ú x 2) Ú x 3.
કોમ્યુટેટીવીટી
x 1 x 2 = x 2 x 1
x 1 Ú x 2 = x 2 Ú x 1
વિભાજનની તુલનામાં જોડાણની વિતરણતા
x 1 (x 2 Ú x 3) = x 1 x 2 Ú x 1 x 3.
જોડાણની તુલનામાં વિભાજનની વહેંચણી
x 1 Ú(x 2 × x 3) = (x 1 Úx 2) × (x 1 Úx 3). *
આઇડમ્પોટેન્સી (ટોટોલોજી)
બે વાર ના
સ્થિરાંકોના ગુણધર્મો
x & 1 = x; (સાર્વત્રિક સમૂહના નિયમો)
x & 0 = 0; (નલ સેટ કાયદા)
ડી મોર્ગનના નિયમો (કાયદા)
વિરોધાભાસનો કાયદો (પૂરકતા)
ત્રીજાને બાકાત રાખવાનો કાયદો (પૂરકતા)
આ તમામ સૂત્રોના પુરાવા તુચ્છ છે. એક વિકલ્પ એ છે કે ડાબી અને જમણી બાજુના સત્ય કોષ્ટકો બનાવવું અને તેમની સરખામણી કરવી.
gluing નિયમો
પ્રાથમિક જોડાણો માટેનો ગ્લુઇંગ નિયમ વિતરક કાયદા, પૂરકતાનો કાયદો અને સાર્વત્રિક સમૂહના કાયદામાંથી અનુસરે છે: બે સંલગ્ન જોડાણોના વિચ્છેદનને એક પ્રાથમિક જોડાણ દ્વારા બદલી શકાય છે, જે મૂળ જોડાણોનો સામાન્ય ભાગ છે. .
પ્રાથમિક રકમ માટે ગ્લુઇંગ નિયમ બીજા પ્રકારના વિતરણ કાયદા, પૂરકતાનો કાયદો અને શૂન્ય સમૂહનો કાયદો અનુસરે છે: બે સંલગ્ન વિસંબંધોના જોડાણને એક પ્રાથમિક વિસંગતતા દ્વારા બદલી શકાય છે, જે મૂળ વિસંવાદોનો એક સામાન્ય ભાગ છે. .
ટેકઓવર નિયમ
બે પ્રાથમિક ઉત્પાદનોના સરવાળા માટેનો શોષણ નિયમ પ્રથમ પ્રકારના વિતરણ કાયદા અને સાર્વત્રિક સમૂહના નિયમોને અનુસરે છે: બે પ્રાથમિક સંયોગોનું વિચ્છેદન, જેમાંથી એક બીજાનો અભિન્ન ભાગ છે, તેને ઓપરેન્ડની નાની સંખ્યા ધરાવતા જોડાણ દ્વારા બદલી શકાય છે. .
પ્રાથમિક રકમના ઉત્પાદન માટેના શોષણનો નિયમ બીજા પ્રકારના વિતરણ કાયદા અને શૂન્ય સમૂહના નિયમોને અનુસરે છે: બે પ્રાથમિક વિસંગતતાઓનું જોડાણ, જેમાંથી એક બીજાનું ઘટક છે, તેને પ્રાથમિક વિસંવાદ દ્વારા બદલી શકાય છે જેમાં ઓછી સંખ્યામાં ઓપરેન્ડ હોય છે.
જમાવટનો નિયમ
આ નિયમ ગ્લુઇંગની વિરુદ્ધ ક્રિયાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.
પ્રાથમિક ઉત્પાદનને ઉચ્ચ કક્ષાના પ્રાથમિક ઉત્પાદનોના તાર્કિક સરવાળામાં વિસ્તરણ કરવાનો નિયમ (r = n સુધીની મર્યાદામાં, એટલે કે એકતાના ઘટકો સુધી, જેમ કે નીચે ચર્ચા કરવામાં આવશે) સાર્વત્રિક સમૂહના નિયમોને અનુસરે છે, પ્રથમ પ્રકારનો વિતરણ કાયદો અને ત્રણ તબક્કામાં હાથ ધરવામાં આવે છે:
રેન્ક r ના વિસ્તૃત પ્રાથમિક ઉત્પાદનમાં, n-r એકમો પરિબળ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે, જ્યાં n એ એકમના ઘટકોનો ક્રમ છે;
દરેક એકમ મૂળ પ્રાથમિક ઉત્પાદનમાં હાજર ન હોય તેવા ચલના તાર્કિક સરવાળો અને તેના નકાર દ્વારા બદલવામાં આવે છે: x i વિ `x i = 1;
પ્રથમ પ્રકારના વિતરણ કાયદાના આધારે તમામ કૌંસને વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે, જે એકતાના તાર્કિક સરવાળા 2 n-r ઘટકોમાં ક્રમ r ના મૂળ પ્રાથમિક ઉત્પાદનના વિસ્તરણ તરફ દોરી જાય છે.
પ્રાથમિક ઉત્પાદન વિસ્તરણ નિયમનો ઉપયોગ લોજિક બીજગણિત (FAL) ના કાર્યોને ઘટાડવા માટે થાય છે.
ક્રમ n (શૂન્યનો ઘટક) ના પ્રાથમિક સરવાળાના ઉત્પાદનમાં ક્રમ r ના પ્રાથમિક સરવાળાને વિસ્તરણ કરવાનો નિયમ નલ સેટ (6) ના કાયદા અને બીજા પ્રકારના (14) ના વિતરણ કાયદાને અનુસરે છે અને તે આમાં હાથ ધરવામાં આવે છે. ત્રણ તબક્કા:
રેન્ક r ના વિસ્તૃત સરવાળોમાં, n-r શૂન્ય શબ્દો તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે;
દરેક શૂન્યને અમુક ચલના તાર્કિક ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે જે મૂળ સરવાળો અને તેના નકારમાં હાજર નથી: x i·` x i = 0;
પરિણામી અભિવ્યક્તિ બીજા પ્રકારના (14) ના વિતરણ કાયદાના આધારે એવી રીતે રૂપાંતરિત થાય છે કે ક્રમ r નો મૂળ સરવાળો શૂન્યના 2 n-r ઘટકોના તાર્કિક ઉત્પાદનમાં ફેરવાય છે.
16. સંપૂર્ણ સિસ્ટમનો ખ્યાલ. સંપૂર્ણ સિસ્ટમના ઉદાહરણો (સાબિતી સાથે)
વ્યાખ્યા.તર્ક A ના બીજગણિતના કાર્યોના સમૂહને સંપૂર્ણ સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે (P2 માં) જો તર્કના બીજગણિતના કોઈપણ કાર્યને A પર સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે.
કાર્યોની સિસ્ટમ A=( f 1, f 1, …, f m), જે પૂર્ણ છે, કહેવાય છે આધાર.
ન્યૂનતમ આધાર એ એક આધાર છે જેના માટે ઓછામાં ઓછા એક કાર્યને દૂર કરવું f 1, આ આધારની રચના, કાર્યોની સિસ્ટમને પરિવર્તિત કરે છે (f 1 , f 1 , …, f m)અપૂર્ણ
પ્રમેય.સિસ્ટમ A = (∨, &, ) પૂર્ણ છે.
પુરાવો. જો તાર્કિક બીજગણિત ફંક્શન f સમાન રીતે શૂન્ય ન હોય, તો f એ સંપૂર્ણ અસંયુક્ત સામાન્ય સ્વરૂપના રૂપમાં વ્યક્ત થાય છે, જેમાં માત્ર વિસંવાદ, જોડાણ અને નકારનો સમાવેશ થાય છે. જો f ≡ 0, તો f = x & x. પ્રમેય સાબિત થયો છે.
લેમ્મા.જો સિસ્ટમ A પૂર્ણ છે, અને સિસ્ટમ A નું કોઈપણ કાર્ય કોઈ અન્ય સિસ્ટમ B પર સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે, તો B પણ સંપૂર્ણ સિસ્ટમ છે.
પુરાવો. ચાલો એક મનસ્વી લોજિકલ બીજગણિત ફંક્શન f (x 1 , ..., x n) અને ફંક્શન્સની બે સિસ્ટમોને ધ્યાનમાં લઈએ: A = (g 1 , g 2 , ...) અને B = (h 1 , h 2 , ... ). સિસ્ટમ A પૂર્ણ છે તે હકીકતને કારણે, ફંક્શન f તેના પર સૂત્ર તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે:
f (x 1 , …, x n) = ℑ
જ્યાં g i = ℜ i
એટલે કે, ફંક્શન f તરીકે રજૂ થાય છે
f (x 1 , …, x n)=ℑ[ℜ1,ℜ2,...]
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તેને B પરના સૂત્ર દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. આ રીતે, તર્કશાસ્ત્રના બીજગણિતના તમામ કાર્યોમાંથી પસાર થતાં, આપણે શોધીએ છીએ કે સિસ્ટમ B પણ પૂર્ણ છે. લેમ્મા સાબિત થાય છે.
પ્રમેય.નીચેની સિસ્ટમો P2 માં પૂર્ણ છે:
4) (&, ⊕ , 1)ઝેગલકીન આધાર.
પુરાવો.
1) તે જાણીતું છે (પ્રમેય 3) કે સિસ્ટમ A = (&, V, ) પૂર્ણ છે. ચાલો બતાવીએ કે સિસ્ટમ B = ( V, . ખરેખર, ડી મોર્ગનના નિયમ (x& y) = (x ∨ y) પરથી આપણે મેળવીએ છીએ કે x & y = (x ∨ y), એટલે કે જોડાણ વિસંવાદ દ્વારા વ્યક્ત થાય છે. અને નકારાત્મકતા, અને સિસ્ટમ A ના તમામ કાર્યો સિસ્ટમ B પરના સૂત્રો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. લેમ્મા અનુસાર, સિસ્ટમ B પૂર્ણ છે.
2) બિંદુ 1 ની જેમ જ: (x ∨ y) = x & y ⇔ x ∨ y =(x & y) અને લેમ્મા 2 માંથી બિંદુ 2 માં નિવેદનનું સત્ય અનુસરે છે.
3) x | y=(x&y), x | x = x ; x & y = (x | y) = (x | y) | (x | y) અને લેમ્મા 2 મુજબ સિસ્ટમ પૂર્ણ છે.
4) x = x ⊕1 અને લેમ્મા 2 મુજબ સિસ્ટમ પૂર્ણ છે.
પ્રમેય સાબિત થયો છે.
17.ઝેગલકિન બીજગણિત. કામગીરી અને સંપૂર્ણતાના ગુણધર્મો
Zhegalkin આધાર S4=(⊕,&,1) માં વ્યાખ્યાયિત બુલિયન કાર્યોના સમૂહને કહેવામાં આવે છે ઝેગલકિન બીજગણિત.
મૂળભૂત ગુણધર્મો.
1. પરિવર્તનશીલતા
h1⊕h2=h2⊕h1 h1&h2=h2&h1
2. સહયોગ
h1⊕(h2⊕h3)=(h1⊕h2)⊕h3 h1&(h2&h3)=(h1&h2)&h3
3. વિતરણ
h1&(h2⊕h3)=(h1&h2)⊕(h1&h3)
4. સ્થિરાંકોના ગુણધર્મો
5. h⊕h=0 h&h=h
નિવેદન. અન્ય તમામ બુલિયન કાર્યોને ઝેગલકિન બીજગણિતની કામગીરી દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે:
x→y=1⊕x⊕xy
x↓y=1⊕x⊕y⊕xy
18. ઝેગલકિન બહુપદી. બાંધકામની પદ્ધતિઓ. ઉદાહરણ.
Zhegalkin બહુપદી (બહુપદી મોડ્યુલો 2) થી nચલ x 1,x 2 ... x n એ ફોર્મની અભિવ્યક્તિ કહેવાય છે:
c 0 ⊕c 1 x 1 ⊕c 2 x 2 ⊕ ... ⊕c n x n ⊕c 12 x 1 x 2 ⊕ ... ⊕c 12 ... n x 1 x 2 ... x n ,
જ્યાં સ્થિરાંકો C k મૂલ્યો 0 અથવા 1 લઈ શકે છે.
જો Zhegalkin બહુપદીમાં વ્યક્તિગત ચલોના ઉત્પાદનો શામેલ નથી, તો તેને રેખીય (રેખીય કાર્ય) કહેવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે, f=x⊕yz⊕xyz અને f 1 =1⊕x⊕y⊕z બહુપદી છે, બીજું એક રેખીય કાર્ય છે.
પ્રમેય. દરેક બુલિયન ફંક્શનને ઝેગલકિન બહુપદીના રૂપમાં અનન્ય રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે.
ચાલો આપેલ કાર્યમાંથી Zhegalkin બહુપદી બનાવવા માટેની મુખ્ય પદ્ધતિઓ રજૂ કરીએ.
1. અનિર્ધારિત ગુણાંકની પદ્ધતિ. P(x 1 ,x 2 ... x n) એ ઇચ્છિત Zhegalkin બહુપદી બનવા દો જે આપેલ ફંક્શન f(x 1 ,x 2 ... x n) ને અમલમાં મૂકે છે. ચાલો તેને ફોર્મમાં લખીએ
P=c 0 ⊕c 1 x 1 ⊕c 2 x 2 ⊕ ... ⊕c n x n ⊕c 12 x 1 x 2 ⊕ ... ⊕c 12 ... n x 1 x 2 ... x n
ચાલો C k ગુણાંક શોધીએ. આ કરવા માટે, અમે સત્ય કોષ્ટકની દરેક પંક્તિમાંથી ક્રમિક રીતે x 1 , x 2 ... x n મૂલ્યો વેરિયેબલ અસાઇન કરીએ છીએ. પરિણામે, અમે 2 n અજ્ઞાત સાથે 2 n સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ, જે એક અનન્ય ઉકેલ ધરાવે છે. તેને હલ કર્યા પછી, આપણે બહુપદી P(X 1, X 2 ... X n) ના ગુણાંક શોધીએ છીએ.
2. કનેક્ટિવ્સ (,&) ના સમૂહ પર ફોર્મ્યુલાના રૂપાંતર પર આધારિત પદ્ધતિ. અમુક ફોર્મ્યુલા બનાવો એફકનેક્ટિવ્સ (,&) ના સમૂહ ઉપર જે આપેલ ફંક્શન f(X 1 ,X 2 ... X n) ને સમજે છે. પછી ફોર્મ A ના સબફોર્મ્યુલાને A⊕1 સાથે બધે બદલો, વિતરણ કાયદાનો ઉપયોગ કરીને કૌંસ ખોલો (જુઓ ગુણધર્મ 3), અને પછી ગુણધર્મો 4 અને 5 લાગુ કરો.
ઉદાહરણ. ફંક્શન f(X,Y)=X→Y ના ઝેગલકિન બહુપદીની રચના કરો
ઉકેલ.
1. (અનિર્ધારિત ગુણાંકની પદ્ધતિ). ચાલો ફોર્મમાં જરૂરી બહુપદી લખીએ:
P=c 0 ⊕c 1 x⊕c 2 y⊕c 12 xy
સૂચિતાર્થના સત્ય કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, આપણે તે શોધીએ છીએ
f(0,0)=P(0,0)=C 0 =1
f(0,1)=P(0,1)=C 0 ⊕C 2 =1
f(1,0)=P(1,0)=C 0 ⊕C 1 =0
f(1,1)=P(1,1)=C 0 ⊕C 1 ⊕C 2 ⊕C 12 =1
જ્યાંથી આપણે સતત શોધીએ છીએ, C 0 =1, C 1 =1, C 2 =0, C 12 =1
તેથી: x→y=1⊕X⊕XY.
2. (સૂત્ર રૂપાંતર પદ્ધતિ.). અમારી પાસે છે: x→y=xvy=(xy)=(x(y⊕1)) ⊕1=1⊕x⊕xy
નોંધ કરો કે ઝેગલકિન બીજગણિતનો ફાયદો (અન્ય બીજગણિતની તુલનામાં) એ તર્કનું અંકગણિતીકરણ છે, જે બુલિયન કાર્યોના પરિવર્તનને તદ્દન સરળ રીતે કરવાનું શક્ય બનાવે છે. બુલિયન બીજગણિતની તુલનામાં તેનો ગેરલાભ એ સૂત્રોની બોજારૂપતા છે.
સંબંધિત માહિતી.
શોષણ પ્રમેયબે સ્વરૂપોમાં લખાયેલ છે - અસંતુલિત અને
અનુક્રમે સંયુક્ત:
A + AB = A (16)
A(A + B)=A (17)
ચાલો પ્રથમ પ્રમેય સાબિત કરીએ. ચાલો કૌંસમાંથી A અક્ષર લઈએ:
એ + AB= A(1 + B)
પ્રમેય (3) મુજબ 1 + B = 1, તેથી
A(1 + B) = A 1 = A
બીજા પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે, ચાલો કૌંસ ખોલીએ:
A(A + B) = A A + AB = A + AB
પરિણામ એ એક અભિવ્યક્તિ છે જે હમણાં જ સાબિત થઈ છે.
ચાલો આપણે માટે શોષણ પ્રમેયના ઉપયોગના ઘણા ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈએ
બુલિયન સૂત્રોનું સરળીકરણ.
ગ્લુઇંગ પ્રમેયતેના પણ બે સ્વરૂપો છે - અસંયુક્ત અને
સંયોજક:
ચાલો પ્રથમ પ્રમેય સાબિત કરીએ:
ત્યારથી પ્રમેય (5) અને (4) મુજબ
બીજા પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે, ચાલો કૌંસ ખોલીએ:
પ્રમેય (6) મુજબ તે નીચે મુજબ છે:
શોષણ પ્રમેય (16) અનુસાર A+AB = A
શોષણ પ્રમેય, ગ્લુઇંગ પ્રમેયની જેમ, સરળીકરણ કરતી વખતે ઉપયોગમાં લેવાય છે
બુલિયન સૂત્રો, ઉદાહરણ તરીકે:
ડી મોર્ગનનું પ્રમેયબુલિયન બીજગણિતની ત્રણેય મૂળભૂત કામગીરીને જોડે છે
વિભાજન, જોડાણ અને વ્યુત્ક્રમ:
પ્રથમ પ્રમેય આ રીતે વાંચે છે: જોડાણનું વ્યુત્ક્રમ એ વિભાજન છે
વ્યુત્ક્રમો બીજું: ડિસજેક્શનનું વ્યુત્ક્રમ એ વ્યુત્ક્રમોનું જોડાણ છે. મોર્ગનના પ્રમેયને ડાબી અને જમણી બાજુઓ માટે સત્ય કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છે.
ડી મોર્ગનનું પ્રમેય વધુ ચલોને લાગુ પડે છે:
વ્યાખ્યાન 5
જટિલ અભિવ્યક્તિઓ ઉલટાવી
ડી મોર્ગનનું પ્રમેય માત્ર વ્યક્તિગત જોડાણોને જ લાગુ પડતું નથી
અથવા વિભાજન, પણ વધુ જટિલ અભિવ્યક્તિઓ માટે.
ચાલો અભિવ્યક્તિનું વ્યુત્ક્રમ શોધીએ AB + CD , જોડાણના વિચ્છેદ તરીકે પ્રસ્તુત. જો નકારાત્મક ચિહ્નો માત્ર ચલોની ઉપર જ દેખાય તો અમે વ્યુત્ક્રમ પૂર્ણ ગણીશું. ચાલો નીચે આપેલ સૂચન રજૂ કરીએ: AB = X;
CD = Y,પછી
ચાલો આપણે શોધીએ અને અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ (22):
આમ:
સંયુક્ત સ્વરૂપમાં પ્રસ્તુત અભિવ્યક્તિને ધ્યાનમાં લો:
(A + B)(C + D)
ચાલો ફોર્મમાં તેનું વ્યુત્ક્રમ શોધીએ
ચાલો નીચે આપેલ સૂચન રજૂ કરીએ: A + B = X; C + D =Y,પછી
ચાલો તેમને અભિવ્યક્તિમાં શોધી અને બદલીએ
આમ:
જટિલ અભિવ્યક્તિઓ ઉલટાવતી વખતે, તમે નીચેના નિયમનો ઉપયોગ કરી શકો છો. વ્યુત્ક્રમ શોધવા માટે, જોડાણ ચિન્હોને વિભાજન ચિહ્નો સાથે અને વિસંવાદ ચિહ્નોને જોડાણ ચિહ્નો સાથે બદલવા અને દરેક ચલ પર વ્યુત્ક્રમો મૂકવા જરૂરી છે:
બુલિયન ફંક્શનનો ખ્યાલ
INસામાન્ય રીતે, કાર્ય (lat. કાર્ય - અમલ, પાલન,
મેપિંગ) એ ચોક્કસ નિયમ (કાયદો) છે, જે મુજબ સમૂહના દરેક તત્વ X, સ્વતંત્ર ચલના મૂલ્યોની શ્રેણીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે X, સમૂહનું ચોક્કસ તત્વ સોંપેલ છે F,
જે આશ્રિત ચલના મૂલ્યોની શ્રેણીનો સંદર્ભ આપે છે f . બુલિયન કાર્યોના કિસ્સામાં X = F = (0,1). નિયમ કે જેના દ્વારા ફંક્શનનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે તે કોઈપણ બુલિયન ફોર્મ્યુલા હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે:
પ્રતીક f અહીં એક ફંક્શન સૂચવે છે જે A ની દલીલોની જેમ છે, B, C,દ્વિસંગી ચલ.
દલીલો સ્વતંત્ર ચલ છે, તેઓ કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે - ક્યાં તો 0 અથવા 1. કાર્ય f - આશ્રિત ચલ. તેનો અર્થ સંપૂર્ણપણે ચલોના મૂલ્યો અને તેમની વચ્ચેના તાર્કિક જોડાણો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
ફંક્શનનું મુખ્ય લક્ષણ: તેનું મૂલ્ય નક્કી કરવા માટે, સામાન્ય રીતે તે તમામ દલીલોના મૂલ્યોને જાણવું જરૂરી છે જેના પર તે નિર્ભર છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઉપરોક્ત કાર્ય ત્રણ દલીલો A પર આધાર રાખે છે, વિ.જો આપણે A = 1 લઈએ, તો આપણને મળે છે
એટલે કે, એક નવી અભિવ્યક્તિ પ્રાપ્ત થાય છે જે ન તો શૂન્યની બરાબર છે કે ન તો
એકમ ચાલો હવે IN= 1. પછી
એટલે કે, આ કિસ્સામાં, તે જાણીતું નથી કે કાર્ય શું સમાન છે, શૂન્ય અથવા એક.
ચાલો આખરે સ્વીકારીએ સાથે= 0. પછી આપણને મળે છે: f = 0. આમ, જો મૂળ સમીકરણમાં આપણે A = 1 લઈએ, IN= 1, સાથે = 0, પછી ફંક્શન શૂન્ય મૂલ્ય લેશે: f = 0.
ચાલો વિચાર કરીએ ચલ મૂલ્યોના સમૂહનો ખ્યાલ .
જો તમામ દલીલો કે જેના પર ફંક્શન આધાર રાખે છે તેને અમુક મૂલ્યો અસાઇન કરવામાં આવે છે, તો આપણે દલીલ મૂલ્યોના સમૂહની વાત કરીએ છીએ જે હોઈ શકે છે
ફક્ત તેને સમૂહ કહે છે. દલીલ મૂલ્યોનો સમૂહ એ શૂન્ય અને રાશિઓનો ક્રમ છે, ઉદાહરણ તરીકે 110, જ્યાં પ્રથમ અંક પ્રથમ દલીલ, બીજાથી બીજા અને ત્રીજાથી ત્રીજાને અનુરૂપ છે. દેખીતી રીતે, પ્રથમ, બીજી અથવા કહો, પાંચમી દલીલ શું છે તે અગાઉથી સંમત થવું જરૂરી છે. આ કરવા માટે, અક્ષરોની મૂળાક્ષરોની ગોઠવણીનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે.
ઉદાહરણ તરીકે, જો 
પછી લેટિન મૂળાક્ષરો અનુસાર પ્રથમ દલીલ છે આર, બીજું -
પ્ર,ત્રીજું - X, ચોથું - U. પછી, દલીલ મૂલ્યોના સમૂહના આધારે, તે સરળ છે
ફંક્શનની કિંમત શોધો. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, સેટ 1001 આપવામાં આવે. તે મુજબ
રેકોર્ડ્સ એટલે કે સેટ 1001 પર આપેલ ફંક્શન એકની બરાબર છે.
ફરીથી નોંધ લો કે દલીલ મૂલ્યોનો સમૂહ એક સંગ્રહ છે
શૂન્ય અને એક. દ્વિસંગી સંખ્યાઓ પણ શૂન્ય અને એકનો સમૂહ છે.
આ પ્રશ્ન ઉભો કરે છે: શું સેટને દ્વિસંગી ગણી શકાય નહીં?
સંખ્યાઓ? તે શક્ય છે, અને ઘણા કિસ્સાઓમાં તે ખૂબ અનુકૂળ છે, ખાસ કરીને જો દ્વિસંગી
સંખ્યાને દશાંશ સિસ્ટમમાં કન્વર્ટ કરો. ઉદાહરણ તરીકે, જો
A = 0, B = 1, C = 1, ડી = 0,
0 * 2 3 +1 * 2 2 +1 * 2 1 +0 * 2 0 = 4+2 = 6
એટલે કે, આપેલ સેટ દશાંશ પદ્ધતિમાં નંબર 6 છે.
જો તમારે દશાંશ સંખ્યાનો ઉપયોગ કરીને દલીલોના મૂલ્યો શોધવાની જરૂર હોય, તો પછી
અમે વિપરીત ક્રમમાં આગળ વધીએ છીએ: પ્રથમ આપણે દશાંશ સંખ્યાને દ્વિસંગીમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ, પછી આપણે ડાબી બાજુએ ઘણા બધા શૂન્ય ઉમેરીએ છીએ જેથી કરીને અંકોની કુલ સંખ્યા દલીલોની સંખ્યા જેટલી હોય, ત્યારબાદ આપણે ની કિંમતો શોધીએ. દલીલો.
ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, તમારે દલીલો A ના મૂલ્યો શોધવાની જરૂર છે, B, C, D, E, Fનંબર 23 સાથે ડાયલ કરીને. અમે પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને 23 નંબરને બાઈનરી સિસ્ટમમાં કન્વર્ટ કરીએ છીએ
બે વડે વિભાજન:
પરિણામે, આપણને 23 10 = 10111 2 મળે છે. આ સંખ્યા પાંચ અંકોની છે, પરંતુ કુલ
ત્યાં છ દલીલો છે, તેથી, તમારે ડાબી બાજુએ એક શૂન્ય લખવાની જરૂર છે:
23 10 = 010111 2. અહીંથી આપણે શોધીએ છીએ:
A = 0, B = 1, C = 0, D = 1, E = 1, F = 1.
જો સંખ્યા જાણીતી હોય તો કુલ કેટલા સેટ છે? પી દલીલો? દેખીતી રીતે, ત્યાં જેટલી n-બીટ દ્વિસંગી સંખ્યાઓ છે, એટલે કે 2 n
વ્યાખ્યાન 6
બુલિયન ફંક્શનનો ઉલ્લેખ કરવો
આપણે પહેલેથી જ એક રસ્તો જાણીએ છીએ. તે વિશ્લેષણાત્મક છે, એટલે કે, દ્વિસંગી ચલો અને તાર્કિક ક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને ગાણિતિક અભિવ્યક્તિના સ્વરૂપમાં. આ ઉપરાંત, ત્યાં અન્ય પદ્ધતિઓ છે, જેમાંથી સૌથી મહત્વપૂર્ણ ટેબ્યુલર છે. કોષ્ટક દલીલ મૂલ્યોના તમામ સંભવિત સેટને સૂચિબદ્ધ કરે છે અને દરેક સેટ માટે ફંક્શનની કિંમતનો ઉલ્લેખ કરે છે. આવા કોષ્ટકને પત્રવ્યવહાર (સત્ય) ટેબલ કહેવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે ફંક્શનનો ઉપયોગ કરવો
ચાલો તેના માટે પત્રવ્યવહાર કોષ્ટક કેવી રીતે બનાવવું તે શોધીએ.
કાર્ય ત્રણ દલીલો પર આધાર રાખે છે A, B, C. તેથી, કોષ્ટકમાં
અમે દલીલો A, B, C માટે ત્રણ કૉલમ અને ફંક્શન f ના મૂલ્યો માટે એક કૉલમ આપીએ છીએ. કૉલમ A ની ડાબી બાજુએ બીજી કૉલમ મૂકવી ઉપયોગી છે. તેમાં આપણે દશાંશ સંખ્યાઓ લખીશું જે સેટને અનુરૂપ છે જો તેને ત્રણ-અંકની દ્વિસંગી સંખ્યાઓ તરીકે ગણવામાં આવે. આ દશાંશ
કોષ્ટક સાથે કામ કરવાની સુવિધા માટે કૉલમ રજૂ કરવામાં આવી છે, તેથી, સૈદ્ધાંતિક રીતે,
તેની ઉપેક્ષા કરી શકાય છે.
ચાલો ટેબલ ભરીએ. એલએલસી નંબર સાથેની લીટીમાં તે લખ્યું છે:
A = B = C = 0.
ચાલો આ સેટ પર ફંક્શનની કિંમત નક્કી કરીએ:
કૉલમ f માં આપણે ડાયલ 000 સાથે લીટીમાં શૂન્ય લખીએ છીએ.
આગામી સેટ: 001, એટલે કે. e. A = B = 0, C = 1. ફંક્શનની કિંમત શોધો
આ સેટ પર:
સેટ 001 પર ફંક્શન 1 છે, તેથી પંક્તિ c માં કૉલમ f માં
નંબર 001 નો ઉપયોગ એક લખવા માટે થાય છે.
એ જ રીતે, આપણે અન્ય તમામ સેટ પર ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ અને
આખું ટેબલ ભરો.
ડી મોર્ગનના કાયદા એ સ્કોટિશ ગણિતશાસ્ત્રી ઓગસ્ટસ ડી મોર્ગન દ્વારા સ્થાપિત તાર્કિક નિયમો છે, જે લોજિકલ નેગેશનનો ઉપયોગ કરીને તાર્કિક ક્રિયાઓની જોડીને જોડે છે.
ઓગસ્ટસ ડી મોર્ગને નોંધ્યું કે શાસ્ત્રીય તર્કશાસ્ત્રમાં નીચેના સંબંધો માન્ય છે:
not (A અને B) = (A નથી) અથવા (B નહીં)
not (A અથવા B) = (A નથી) અને (B નહીં)
અમારા માટે વધુ પરિચિત સ્વરૂપમાં, આ સંબંધો નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:
ડી મોર્ગનના કાયદા નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે:
આઇ ડી મોર્ગનનો કાયદો:બે સરળ વિધાનોના વિસંવાદનો નકાર એ આ વિધાનોના નકારના જોડાણની સમકક્ષ છે.
II ડી મોર્ગનનો કાયદો:બે સરળ વિધાનોના જોડાણનો નકાર એ આ વિધાનોના નકારના વિસંવાદને સમકક્ષ છે.
ચાલો ચોક્કસ ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને ડી મોર્ગનના કાયદાના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લઈએ.
ઉદાહરણ 1.ફોર્મ્યુલાને રૂપાંતરિત કરો જેથી જટિલ વિધાનોની કોઈ નકારાત્મકતા ન હોય.
ચાલો ડી મોર્ગનના પ્રથમ કાયદાનો ઉપયોગ કરીએ અને મેળવીએ:
અમે સરળ વિધાન B અને C ના જોડાણના નકાર માટે ડી મોર્ગનનો બીજો કાયદો લાગુ કરીએ છીએ અને અમે મેળવીએ છીએ:
,
આમ:
.
પરિણામ સ્વરૂપે, અમને એક સમકક્ષ વિધાન પ્રાપ્ત થયું જેમાં સંયોજન વિધાનોનો કોઈ ઋણ નથી, અને તમામ નકારાત્મકતાઓ માત્ર સાદા નિવેદનો સાથે સંબંધિત છે.
તમે સત્ય કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલની માન્યતા ચકાસી શકો છો. આ કરવા માટે, અમે મૂળ નિવેદન માટે સત્ય કોષ્ટકોનું સંકલન કરીશું:
અને ડી મોર્ગનના કાયદાનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવેલા પરિવર્તનના પરિણામે પ્રાપ્ત નિવેદન માટે:
.
કોષ્ટક 1.
|
B/\C |
A\/B/\C |
||||
જેમ આપણે કોષ્ટકોમાંથી જોઈએ છીએ, મૂળ તાર્કિક નિવેદન અને ડી મોર્ગનના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ તાર્કિક નિવેદન સમાન છે. આ હકીકત દ્વારા પુરાવા મળે છે કે સત્ય કોષ્ટકોમાં અમને સમાન મૂલ્યોના સેટ મળ્યા છે.
અધ્યાય 8 માં અસ્પષ્ટ અને રેન્ડમ સેટ જેવા બિન-સંખ્યાત્મક પ્રકૃતિના પદાર્થોની તપાસ કરવામાં આવી છે. આ એપ્લિકેશનનો હેતુ અસ્પષ્ટ સમૂહોના ગુણધર્મોનો વધુ ઊંડો અભ્યાસ કરવાનો છે અને તે બતાવવાનો છે કે ચોક્કસ અર્થમાં અસ્પષ્ટ સેટનો સિદ્ધાંત રેન્ડમ સેટના સિદ્ધાંતમાં ઘટાડો કરે છે. આ ધ્યેય હાંસલ કરવા માટે, પ્રમેયની સાંકળ ઘડવામાં આવે છે અને સાબિત થાય છે.
નીચેનામાં, એવું માનવામાં આવે છે કે વિચારણા હેઠળના તમામ અસ્પષ્ટ સેટ એક જ સેટના સબસેટ છે વાય.
P2-1. અસ્પષ્ટ સેટ માટે ડી મોર્ગનના કાયદા
જેમ જાણીતું છે, મોર્ગનના કાયદા સમૂહોના બીજગણિતની નીચેની ઓળખ છે
પ્રમેય 1.અસ્પષ્ટ સેટ માટે નીચેની ઓળખ ધરાવે છે:
(3)
પ્રમેય 1 ના પુરાવામાં પ્રકરણ 8 માં આપેલી વ્યાખ્યાઓના આધારે આ સંબંધોમાં સામેલ અસ્પષ્ટ સમૂહોના સભ્યપદ કાર્યોના મૂલ્યોની ગણતરી કરીને સંબંધોની માન્યતા (2) અને (3) ની સીધી ચકાસણીનો સમાવેશ થાય છે.
ચાલો ઓળખાણ (2) અને (3) કહીએ અસ્પષ્ટ સેટ માટે ડી મોર્ગનના કાયદા. સંબંધોના શાસ્ત્રીય કિસ્સાથી વિપરીત (1), તેઓ ચાર ઓળખો ધરાવે છે, જેમાંથી એક જોડી યુનિયન અને આંતરછેદની કામગીરીથી સંબંધિત છે, અને બીજી ઉત્પાદન અને રકમની કામગીરી સાથે સંબંધિત છે. સમૂહ બીજગણિતમાં સંબંધ (1) ની જેમ, ફઝી સેટ બીજગણિતમાં ડી મોર્ગનના કાયદાઓ વ્યક્તિને અભિવ્યક્તિઓ અને સૂત્રોને રૂપાંતરિત કરવાની મંજૂરી આપે છે જેમાં નકારાત્મક ક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે.
P2-2. અસ્પષ્ટ સેટ માટે વિતરણ કાયદો
સેટ ઑપરેશનના કેટલાક ગુણધર્મો અસ્પષ્ટ સેટ માટે હોલ્ડ નથી. હા, જ્યારે સિવાય એ- "ચપળ" સમૂહ (એટલે કે સભ્યપદ કાર્ય ફક્ત 0 અને 1 મૂલ્યો લે છે).
શું ડિસ્ટ્રીબ્યુટિવ કાયદો અસ્પષ્ટ સેટ માટે સાચો છે? સાહિત્ય કેટલીકવાર અસ્પષ્ટપણે કહે છે કે "હંમેશા નહીં." ચાલો સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ થઈએ.
પ્રમેય 2.કોઈપણ અસ્પષ્ટ સેટ A, B અને C માટે
તે જ સમયે સમાનતા
વાજબી જો અને માત્ર જો, બધા માટે
પુરાવો. મનસ્વી તત્વને ઠીક કરો. નોટેશનને ટૂંકું કરવા માટે, અમે ઓળખ (4) સાબિત કરવા માટે સૂચવીએ છીએ, તે દર્શાવવું જરૂરી છે
ત્રણ સંખ્યાઓના વિવિધ ક્રમને ધ્યાનમાં લો a, b, c.પહેલા ચાલો, પછી સંબંધની ડાબી બાજુ (6) છે અને જમણી બાજુ, એટલે કે. સમાનતા (6) સાચી છે.
ચાલો પછી સંબંધમાં (6) ડાબી બાજુએ અને જમણી બાજુએ છે, એટલે કે. સંબંધ (6) ફરીથી સમાનતા છે.
જો પછી સંબંધમાં (6) ડાબી બાજુએ છે અને જમણી બાજુએ છે, એટલે કે. બંને ભાગો ફરીથી મેળ ખાય છે.
ત્રણ બાકીના નંબર ઓર્ડર a, b, cડિસએસેમ્બલ કરવાની જરૂર નથી, કારણ કે સંબંધમાં (6) સંખ્યાઓ bઅને cસમપ્રમાણરીતે દાખલ કરો. ઓળખ (4) સાબિત થાય છે.
પ્રમેય 2 નું બીજું નિવેદન એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે, અસ્પષ્ટ સમૂહો પરની કામગીરીની વ્યાખ્યાઓ અનુસાર (જુઓ પ્રકરણ 8)
આ બે અભિવ્યક્તિઓ એકરૂપ થાય છે જો અને માત્ર જો, ક્યારે, શું સાબિત કરવું જરૂરી હતું.
વ્યાખ્યા 1.અસ્પષ્ટ સમૂહ A નો વાહક એ તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે , જેના માટે
પ્રમેય 2 નો કોરોલરી.જો અસ્પષ્ટ સમૂહો B અને C ના વાહકો Y સાથે મેળ ખાય છે, તો સમાનતા (5) ધારણ કરે છે જો અને માત્ર જો A "ચક્ર" (એટલે કે, સામાન્ય, ક્લાસિકલ, અસ્પષ્ટ નહીં) સમૂહ હોય.
પુરાવો.શરતે 
દરેકની સામે. પછી પ્રમેય 2 થી તે અનુસરે છે 
તે અથવા, જેનો અર્થ થાય છે એ- સ્પષ્ટ સમૂહ.
P2-3. રેન્ડમ સેટના અંદાજો તરીકે અસ્પષ્ટ સેટ
1960 ના દાયકામાં આધુનિક અસ્પષ્ટ સિદ્ધાંતની શરૂઆતથી જ, સંભાવના સિદ્ધાંત સાથે તેના સંબંધ વિશે ચર્ચાઓ શરૂ થઈ. હકીકત એ છે કે અસ્પષ્ટ સમૂહનું સભ્યપદ કાર્ય સંભાવના વિતરણ જેવું લાગે છે. માત્ર એટલો જ તફાવત એ છે કે રેન્ડમ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યો પરની સંભાવનાઓનો સરવાળો (અથવા અવિભાજ્ય, જો શક્ય મૂલ્યોનો સમૂહ અગણિત હોય તો) હંમેશા 1 ની બરાબર હોય છે, અને સરવાળો એસસભ્યપદ કાર્યના મૂલ્યો (સતત કિસ્સામાં - સભ્યપદ કાર્યનો અભિન્ન ભાગ) કોઈપણ બિન-નકારાત્મક સંખ્યા હોઈ શકે છે. સભ્યપદ કાર્યને સામાન્ય બનાવવાની લાલચ છે, એટલે કે. દ્વારા તેના તમામ મૂલ્યોને વિભાજીત કરો એસ(એટ એસ 0) તેને સંભાવના વિતરણ (અથવા સંભાવના ઘનતા) સુધી ઘટાડવા માટે. જો કે, અસ્પષ્ટતાના નિષ્ણાતો આવા "આદિમ" ઘટાડા પર વાંધો ઉઠાવે છે, કારણ કે તે દરેક અસ્પષ્ટતા (અસ્પષ્ટ સમૂહ) માટે અલગથી હાથ ધરવામાં આવે છે, અને અસ્પષ્ટ સેટ પરની સામાન્ય કામગીરીની વ્યાખ્યાઓ તેની સાથે સુસંગત હોઈ શકતી નથી. અસ્પષ્ટ સેટના સભ્યપદ કાર્યોને સૂચવેલા વે સેટમાં રૂપાંતરિત થવા દો એઅને IN. સભ્યપદના કાર્યો કેવી રીતે બદલાય છે? આ ઇન્સ્ટોલ કરો સિદ્ધાંતમાં અશક્ય.સભ્યપદ કાર્યોના મૂલ્યોના સમાન સરવાળા સાથે અસ્પષ્ટ સેટની જોડીના ઘણા ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લીધા પછી છેલ્લું નિવેદન સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ થઈ જાય છે, પરંતુ તેમના પર સેટ-સૈદ્ધાંતિક કામગીરીના વિવિધ પરિણામો અને અનુરૂપ સભ્યપદ કાર્યોના મૂલ્યોના સરવાળો. સેટ-સૈદ્ધાંતિક કામગીરીના આ પરિણામો માટે, ઉદાહરણ તરીકે, સેટના આંતરછેદ પણ અલગ છે.
અસ્પષ્ટ સમૂહો પરના કાર્યોમાં, તે ઘણી વાર કહેવામાં આવે છે કે અસ્પષ્ટતાનો સિદ્ધાંત એ લાગુ ગણિતની એક સ્વતંત્ર શાખા છે અને તે સંભવિતતા સિદ્ધાંત સાથે સંબંધિત નથી (જુઓ, ઉદાહરણ તરીકે, મોનોગ્રાફ્સમાં સાહિત્યની સમીક્ષા). અસ્પષ્ટ સિદ્ધાંત અને સંભાવના સિદ્ધાંતની તુલના કરનારા લેખકોએ સામાન્ય રીતે સૈદ્ધાંતિક અને લાગુ સંશોધનના આ ક્ષેત્રો વચ્ચેના તફાવત પર ભાર મૂક્યો હતો. સામાન્ય રીતે એક્સોમેટિક્સની સરખામણી કરવામાં આવે છે અને એપ્લિકેશન વિસ્તારોની સરખામણી કરવામાં આવે છે. તે તરત જ નોંધવું જોઈએ કે બીજા પ્રકારની સરખામણીઓ માટેની દલીલોમાં પુરાવાનું બળ હોતું નથી, કારણ કે સંભવિત આંકડાકીય પદ્ધતિઓ જેવા લાંબા સમયથી સ્થાપિત વૈજ્ઞાનિક ક્ષેત્રની પણ લાગુ પડવાની મર્યાદાઓ અંગે વિવિધ મંતવ્યો છે. ચાલો યાદ કરીએ કે સૌથી પ્રખ્યાત ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીઓમાંના એક, હેનરી લેબેસગ્યુના, અંકગણિતની લાગુ પડવાની મર્યાદાઓ અંગેના તર્કનું પરિણામ નીચે મુજબ છે: “અંકગણિત જ્યારે લાગુ હોય ત્યારે લાગુ પડે છે” (તેનો મોનોગ્રાફ જુઓ).
ફઝી થિયરી અને પ્રોબેબિલિટી થિયરીના વિવિધ એક્સોમેટિક્સની સરખામણી કરતી વખતે, એ જોવાનું સરળ છે કે એક્સિઓમ્સની સૂચિ અલગ છે. આના પરથી, જો કે, તે બિલકુલ અનુસરતું નથી કે આ સિદ્ધાંતો વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરી શકાતું નથી, જેમ કે પ્લેન પર યુક્લિડિયન ભૂમિતિનો અંકગણિત (વધુ સ્પષ્ટ રીતે, સંખ્યા સિસ્ટમના સિદ્ધાંત સાથે - જુઓ, ઉદાહરણ તરીકે, મોનોગ્રાફ). ચાલો યાદ કરીએ કે આ બે અક્ષીયશાસ્ત્ર - યુક્લિડિયન ભૂમિતિ અને અંકગણિત - પ્રથમ નજરમાં ખૂબ જ અલગ છે.
એક નવી દિશાના ઉત્સાહીઓની તેમના વૈજ્ઞાનિક ઉપકરણની મૂળભૂત નવીનતા પર ભાર મૂકવાની ઇચ્છાને સમજી શકે છે. જો કે, નવા અભિગમ અને અગાઉ જાણીતા લોકો વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરવું પણ એટલું જ મહત્વનું છે.
જેમ જેમ તે બહાર આવ્યું છે તેમ, અસ્પષ્ટ સેટનો સિદ્ધાંત રેન્ડમ સેટના સિદ્ધાંત સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે. પાછા 1974 માં, તે કાર્યમાં દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે અસ્પષ્ટ સેટને કુદરતી રીતે રેન્ડમ સેટના "અનુમાન" તરીકે ગણી શકાય. ચાલો ફઝી સેટના સિદ્ધાંતને રેન્ડમ સેટના સિદ્ધાંતમાં ઘટાડવાની આ પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લઈએ.
વ્યાખ્યા 2.દો - મર્યાદિત સમૂહ Y નો રેન્ડમ સબસેટ. Y પર વ્યાખ્યાયિત અસ્પષ્ટ સમૂહ B ને પ્રક્ષેપણ A કહેવાય છે અને જો પ્રોજે A સૂચવવામાં આવે છે
(7)
દરેકની સામે
દેખીતી રીતે, દરેક રેન્ડમ સેટ એફઝી સમૂહ સાથે સૂત્ર (7) નો ઉપયોગ કરીને સહસંબંધિત કરી શકાય છે B = Proj A.તે બહાર વળે વિરુદ્ધ પણ સાચું છે.
પ્રમેય 3. સીમિત સમૂહ Y ના કોઈપણ અસ્પષ્ટ સબસેટ B માટે, Y નો રેન્ડમ સબસેટ A છે જેમ કે B = Proj A.
પુરાવો.રેન્ડમ સેટનું વિતરણ સેટ કરવા માટે તે પૂરતું છે એ. દો યુ 1- વાહક IN(ઉપર વ્યાખ્યા 1 જુઓ). સામાન્યતાના નુકશાન વિના આપણે તે ધારી શકીએ છીએ 
અમુક પર mઅને તત્વો યુ 1આવા ક્રમમાં ક્રમાંકિત કે
ચાલો સેટ રજૂ કરીએ
અન્ય તમામ સબસેટ્સ માટે એક્સસેટ યુચાલો મૂકીએ P(A=X)=0. તત્વ થી y tસમૂહમાં સમાવેશ થાય છે Y(1), Y(2),…, Y(t)અને તેમાં સમાવેલ નથી
સેટ Y(t+1),…, Y(m),તે
ઉપરોક્ત સૂત્રોમાંથી તે અનુસરે છે 
જો પછી, દેખીતી રીતે, પ્રમેય 3 સાબિત થાય છે.
સ્વતંત્ર તત્વો સાથેના રેન્ડમ સેટનું વિતરણ, પ્રકરણ 8 માંની વિચારણાઓ પરથી નીચે મુજબ, તેના પ્રક્ષેપણ દ્વારા સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત થાય છે. સામાન્ય સ્વરૂપના મર્યાદિત રેન્ડમ સમૂહ માટે આ કેસ નથી. આને સ્પષ્ટ કરવા માટે, અમને નીચેના પ્રમેયની જરૂર છે.
પ્રમેય 4. સીમિતમાંથી Y સમૂહના રેન્ડમ સબસેટ A માટે તત્વોની સંખ્યા સંખ્યાઓનો સમૂહ 
અને 
એક બીજા દ્વારા વ્યક્ત થાય છે.
પુરાવો.બીજા સમૂહને પ્રથમના સંદર્ભમાં નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરવામાં આવ્યો છે:
પ્રથમ સમૂહના ઘટકોને ઔપચારિક તર્કશાસ્ત્રમાંથી સમાવેશ અને બાકાતના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બીજા દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે, જે મુજબ
પ્રથમ સરવાળામાં આ સૂત્રમાં ખાતેસમૂહના તમામ ઘટકો દ્વારા ચાલે છે Y\X,બીજા સરવાળામાં સરવાળો ચલો 1 પરઅને 2 પરએકરૂપ થશો નહીં અને આ સેટમાંથી પણ ચલાવો, વગેરે. સમાવેશ અને બાકાત સૂત્રનો સંદર્ભ પ્રમેય 4 ના પુરાવાને પૂર્ણ કરે છે.
પ્રમેય 4 અનુસાર, રેન્ડમ સેટ A ને માત્ર વિતરણ દ્વારા જ નહીં, પરંતુ સંખ્યાઓના સમૂહ દ્વારા પણ દર્શાવી શકાય છે. 
આ સમૂહમાં સમાનતા પ્રકારના અન્ય કોઈ સંબંધો નથી. આ સમૂહમાં સંખ્યાઓ શામેલ છે; તેથી, રેન્ડમ સેટના પ્રક્ષેપણને ઠીક કરવું એ ફિક્સિંગની સમકક્ષ છે k = કાર્ડ(Y)ના પરિમાણો (2k-1)રેન્ડમ સેટના વિતરણનો ઉલ્લેખ કરતા પરિમાણો એસામાન્ય રીતે.
નીચેનું પ્રમેય ઉપયોગી થશે.
પ્રમેય 5. જો પ્રોજ A = B, તે
તેને સાબિત કરવા માટે, રેન્ડમ સેટના સિદ્ધાંતમાંથી ઓળખનો ઉપયોગ કરવા માટે પૂરતું છે, પ્રકરણ 8 માંથી આવરણની સંભાવના માટેનું સૂત્ર, અસ્પષ્ટ સમૂહના નકારની વ્યાખ્યા અને હકીકત એ છે કે તમામ P(A=) નો સરવાળો X) 1 બરાબર છે.
P2-4. અસ્પષ્ટ અને રેન્ડમ સેટના આંતરછેદો અને ઉત્પાદનો
ચાલો જોઈએ કે રેન્ડમ સેટ પરની કામગીરી તેમના અંદાજો પરની કામગીરી સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે. ડી મોર્ગનના કાયદા (પ્રમેય 1) અને પ્રમેય 5 ના આધારે, રેન્ડમ સેટના આંતરછેદની કામગીરીને ધ્યાનમાં લેવા માટે તે પૂરતું છે.
પ્રમેય 6. જો રેન્ડમ સબસેટ A 1 અને A 2 મર્યાદિત સમૂહના y સ્વતંત્ર છે, પછી અસ્પષ્ટ સમૂહ એક કામ છે અસ્પષ્ટ સેટ Proj A 1 અને Proj A 2 .
પુરાવો.તે કોઈપણ માટે તે દર્શાવવું આવશ્યક છે
રેન્ડમ સેટ સાથે બિંદુને આવરી લેવાની સંભાવના માટેના સૂત્ર અનુસાર (પ્રકરણ 8)
જેમ જાણીતું છે, રેન્ડમ સેટના આંતરછેદનું વિતરણ તેમના સંયુક્ત વિતરણના સંદર્ભમાં નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે:
સંબંધો (9) અને (10) પરથી તે અનુસરે છે કે રેન્ડમ સેટના આંતરછેદ માટે આવરણની સંભાવનાને ડબલ સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.
હવે નોંધ કરો કે સૂત્ર (11) ની જમણી બાજુ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:
(12)
ખરેખર, ફોર્મ્યુલા (11) ફોર્મ્યુલા (12) થી માત્ર તેમાં જ અલગ છે જેમાં તે એવા શબ્દોને જૂથબદ્ધ કરે છે કે જેમાં સમીકરણ ચલોનું આંતરછેદ સતત મૂલ્ય લે છે. રેન્ડમ સેટની સ્વતંત્રતાની વ્યાખ્યા અને સરવાળોના ગુણાકાર માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શોધીએ છીએ કે (11) અને (12) માંથી સમાનતા નીચે મુજબ છે.
પ્રમેય 6 ના પુરાવાને પૂર્ણ કરવા માટે, રેન્ડમ સેટ (પ્રકરણ 8) સાથે બિંદુને આવરી લેવાની સંભાવના માટેના સૂત્રનો ફરી એકવાર સંદર્ભ લેવા માટે પૂરતું છે.
વ્યાખ્યા 3. રેન્ડમ સેટ C નો આધાર એ બધા તત્વોનો સંગ્રહ છે જેના માટે
પ્રમેય 7.સમાનતા
સાચું જો અને માત્ર જો રેન્ડમ સેટના સપોર્ટનું આંતરછેદ હોય અને ખાલી
પુરાવો.તે કયા શરતો હેઠળ શોધવા માટે જરૂરી છે
પછી સમાનતા (13) શરતમાં ઘટાડો કરે છે
તે સ્પષ્ટ છે કે સંબંધ (14) સંતુષ્ટ છે જો અને માત્ર જો p 2 p 3=0 બધા માટે એટલે કે. એક જ સમયે એવું એક પણ તત્વ નથી 
અને 
, અને આ રેન્ડમ સેટ અને .
પ્રમેય 7 સાબિત થાય છે.
P2-5. અસ્પષ્ટ સેટ પર કામગીરીના ક્રમમાં ઘટાડો
રેન્ડમ સેટ પર કામગીરીના ક્રમમાં
ઉપર અમે અસ્પષ્ટ અને રેન્ડમ સેટ વચ્ચે કેટલાક જોડાણો મેળવ્યા છે. નોંધનીય છે કે કાર્યમાં આ જોડાણોનો અભ્યાસ (આ કાર્ય 1974 માં હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું અને 18 ડિસેમ્બર, 1974 ના રોજ "બહુપરિમાણીય આંકડાકીય વિશ્લેષણ અને વાસ્તવિક પ્રક્રિયાઓની સંભવિત મોડેલિંગ" સેમિનારમાં અહેવાલ - જુઓ) ની રજૂઆત સાથે શરૂ થયો હતો. અસ્પષ્ટ સેટ એલ. ઝાદેહના વિકાસ અને સામાન્યીકરણ ઉપકરણના હેતુ માટે રેન્ડમ સેટ. હકીકત એ છે કે ફઝી સેટ્સનું ગાણિતિક ઉપકરણ તેની મદદથી તૈયાર કરાયેલા ખ્યાલો (ઓબ્જેક્ટ્સ) વચ્ચેના અવલંબન માટેના વિવિધ વિકલ્પોને પર્યાપ્ત રીતે ધ્યાનમાં લેવાની મંજૂરી આપતું નથી; આમ, બે અસ્પષ્ટ સેટના "સામાન્ય ભાગ" નું વર્ણન કરવા માટે ત્યાં માત્ર બે કામગીરી છે - ઉત્પાદન અને આંતરછેદ. જો તેમાંથી પ્રથમ લાગુ કરવામાં આવે છે, તો વાસ્તવમાં એવું માનવામાં આવે છે કે સેટ સ્વતંત્ર રેન્ડમ સેટના અંદાજો તરીકે વર્તે છે (ઉપર પ્રમેય 6 જુઓ). આંતરછેદની કામગીરી પણ સમૂહો વચ્ચેના અવલંબનના પ્રકાર પર ખૂબ ચોક્કસ નિયંત્રણો લાદે છે (ઉપરનું પ્રમેય 7 જુઓ), અને આ કિસ્સામાં પણ જરૂરી અને પર્યાપ્ત પરિસ્થિતિઓ મળી આવી છે. સમૂહો (વિભાવનાઓ, ઑબ્જેક્ટ્સ) વચ્ચે મોડેલિંગ અવલંબન માટે વ્યાપક ક્ષમતાઓ હોવી ઇચ્છનીય છે. રેન્ડમ સેટના ગાણિતિક ઉપકરણનો ઉપયોગ આવી તકો પૂરી પાડે છે.
અસ્પષ્ટ સેટને રેન્ડમમાં ઘટાડવાનો હેતુ એ છે કે ફઝી સેટના કોઈપણ બાંધકામ પાછળ રેન્ડમ સેટનું બાંધકામ જોવાનું છે જે પ્રથમના ગુણધર્મોને નિર્ધારિત કરે છે, તે જ રીતે આપણે સંભવિત વિતરણ ઘનતા સાથે રેન્ડમ ચલ જોઈએ છીએ. આ વિભાગમાં અમે ફઝી સેટના બીજગણિતને રેન્ડમ સેટના બીજગણિતમાં ઘટાડવાના પરિણામો રજૂ કરીએ છીએ.
વ્યાખ્યા 4.સંભાવના જગ્યા { ડબલ્યુ, જી, પી)અમે તેને વિભાજ્ય કહીએ છીએ જો કોઈપણ માપી શકાય તેવા સમૂહ X G અને કોઈપણ ધન સંખ્યા માટે, P(X) કરતા નાના, અમે માપી શકાય તેવા સમૂહનો ઉલ્લેખ કરી શકીએ છીએ
ઉદાહરણ.સીમિત-પરિમાણીય રેખીય અવકાશનું એકમ ઘન બનીએ, જીબોરેલ સેટનો સિગ્મા બીજગણિત છે, અને પી- Lebesgue માપ. પછી { ડબલ્યુ, જી, પી)- વિભાજ્ય સંભાવના જગ્યા.
આમ, વિભાજ્ય સંભાવના જગ્યા વિચિત્ર નથી. એક સામાન્ય ક્યુબ એ આવી જગ્યાનું ઉદાહરણ છે.
ઉદાહરણમાં ઘડવામાં આવેલા નિવેદનનો પુરાવો પ્રમાણભૂત ગાણિતિક તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે, તે હકીકત પર આધારિત છે કે માપી શકાય તેવા સમૂહને ખુલ્લા સમૂહો દ્વારા ઇચ્છિત તરીકે સચોટ રીતે અંદાજિત કરી શકાય છે, બાદમાં ગણતરીપાત્ર સંખ્યા કરતાં વધુના સરવાળા તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. ખુલ્લા દડાઓ, અને દડા માટે વિભાજ્યતા સીધી તપાસવામાં આવે છે (એક બોલ X થી અનુરૂપ પ્લેન દ્વારા વિભાજિત થયેલ વોલ્યુમનું શરીર).
પ્રમેય 8.વિભાજ્ય સંભાવના જગ્યા પર રેન્ડમ સેટ A આપવા દો (ડબલ્યુ, G, P) ઘટકોની મર્યાદિત સંખ્યામાંથી સમૂહ Y ના બધા સબસેટના સેટમાં મૂલ્યો સાથે અને Y પર અસ્પષ્ટ સમૂહ D. પછી રેન્ડમ સેટ C 1 છે, સી 2, સી 3, સમાન સંભાવના જગ્યા પર C 4 જેમ કે
જ્યાં B = Proj A.
પુરાવો.ફઝી માટે ડી મોર્ગનના કાયદાની માન્યતાને કારણે (ઉપર પ્રમેય 1 જુઓ) અને રેન્ડમ સેટ માટે, તેમજ ઉપરોક્ત પ્રમેય 5 (નકારતાઓ પર), તે રેન્ડમ સેટના અસ્તિત્વને સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે. સી 1અને સી 2 .
સમૂહના તમામ સબસેટના સમૂહમાં સંભાવના વિતરણને ધ્યાનમાં લો યુ, રેન્ડમ સેટને અનુરૂપ સાથેઆવા કે પ્રોજેક્ટ C = D(તે પ્રમેય 3 ના આધારે અસ્તિત્વમાં છે). ચાલો રેન્ડમ સેટ બનાવીએ C 2 અમે તત્વને ફક્ત માટે જ બાકાત રાખીએ છીએ 
સમાન સમૂહ Y જેમ કે
અને, વધુમાં, સેટ-સૈદ્ધાંતિક કામગીરીના પરિણામો સમાન સંબંધો દ્વારા સંબંધિત છે
જ્યાં ચિહ્નનો અર્થ એવો થાય છે કે પ્રશ્નના સ્થળે રેન્ડમ સેટના આંતરછેદનું પ્રતીક છે, જો B m ની વ્યાખ્યામાં આંતરછેદ પ્રતીક અથવા અસ્પષ્ટ સમૂહોના ઉત્પાદનનું પ્રતીક છે, અને તે મુજબ, રેન્ડમ સેટનું યુનિયન, જો B m માં યુનિયનનું પ્રતીક હોય અથવા અસ્પષ્ટ સેટના સરવાળાનું પ્રતીક હોય.
તર્કશાસ્ત્રના સૂત્રો અને કાયદા
પર પ્રારંભિક પાઠ દરમિયાન ગાણિતિક તર્કની મૂળભૂત બાબતો, અમે ગણિતની આ શાખાની મૂળભૂત વિભાવનાઓથી પરિચિત થયા, અને હવે આ વિષય કુદરતી રીતે ચાલુ થઈ રહ્યો છે. નવી સૈદ્ધાંતિક ઉપરાંત, અથવા સૈદ્ધાંતિક પણ નહીં - પરંતુ સામાન્ય શૈક્ષણિક સામગ્રી, વ્યવહારુ કાર્યો અમારી રાહ જોઈ રહ્યા છે, અને તેથી જો તમે આ પૃષ્ઠ પર સર્ચ એન્જિનથી આવ્યા છો અને/અથવા સામગ્રીમાં નબળા વાકેફ છો, તો કૃપા કરીને ઉપરની લિંકને અનુસરો. અને પાછલા લેખથી શરૂ કરો. વધુમાં, પ્રેક્ટિસ માટે અમને 5 ની જરૂર પડશે સત્ય કોષ્ટકો લોજિકલ કામગીરીજે હું ખૂબ ભલામણ કરે છે હાથ દ્વારા ફરીથી લખો.
યાદ ન રાખો, તેને છાપશો નહીં, પરંતુ તેને ફરીથી સમજો અને તેને તમારા પોતાના હાથથી કાગળ પર ફરીથી લખો - જેથી તે તમારી નજર સમક્ષ હોય:
- ટેબલ નહીં;
- ટેબલ I;
- અથવા ટેબલ;
- સૂચિત કોષ્ટક;
- સમાનતાનું કોષ્ટક.
તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. સૈદ્ધાંતિક રીતે, તેમને નંબર આપવાનું અનુકૂળ રહેશે "કોષ્ટક 1", "કોષ્ટક 2", વગેરે., પરંતુ મેં આ અભિગમની ખામી પર વારંવાર ભાર મૂક્યો છે - જેમ તેઓ કહે છે, એક સ્રોતમાં કોષ્ટક પ્રથમ હશે, અને બીજામાં - એક સો અને પ્રથમ. તેથી, અમે "કુદરતી" નામોનો ઉપયોગ કરીશું. ચાલો ચાલુ રાખીએ:
હકીકતમાં, તમે લોજિકલ ફોર્મ્યુલાના ખ્યાલથી પહેલેથી જ પરિચિત છો. હું તમને એક માનક આપીશ, પરંતુ ખૂબ વિનોદી વ્યાખ્યા: સૂત્રોપ્રસ્તાવિત બીજગણિત કહેવામાં આવે છે:
1) કોઈપણ પ્રાથમિક (સરળ) નિવેદનો;
2) જો અને સૂત્રો છે, તો સૂત્રો પણ સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ છે
.
અન્ય કોઈ સૂત્રો નથી.
ખાસ કરીને, સૂત્ર એ કોઈપણ તાર્કિક ક્રિયા છે, જેમ કે તાર્કિક ગુણાકાર. બીજા મુદ્દા પર ધ્યાન આપો - તે પરવાનગી આપે છે પુનરાવર્તિતમનસ્વી રીતે લાંબી ફોર્મ્યુલા "બનાવવા" માટેની રીત. કારણ કે 
- સૂત્રો, પછી - એક સૂત્ર પણ; ત્યારથી અને સૂત્રો છે, પછી 
- પણ એક સૂત્ર, વગેરે. કોઈપણ પ્રાથમિક નિવેદન (ફરીથી વ્યાખ્યા મુજબ)ફોર્મ્યુલામાં એક કરતા વધુ વખત સામેલ કરી શકાય છે.
ફોર્મ્યુલા નથીઉદાહરણ તરીકે, એક સંકેત છે - અને અહીં "બીજગણિતીય કચરો" સાથે એક સ્પષ્ટ સામ્યતા છે, જેમાંથી તે સ્પષ્ટ નથી કે સંખ્યાઓ ઉમેરવાની અથવા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.
તાર્કિક સૂત્ર તરીકે વિચારી શકાય છે તાર્કિક કાર્ય. ચાલો કાર્યાત્મક સ્વરૂપમાં સમાન જોડાણ લખીએ: 
આ કિસ્સામાં પ્રાથમિક નિવેદનો દલીલો (સ્વતંત્ર ચલો) ની ભૂમિકા પણ ભજવે છે, જે શાસ્ત્રીય તર્કશાસ્ત્રમાં 2 અર્થો લઈ શકે છે: સાચુંઅથવા અસત્ય. નીચે, સગવડ માટે, હું કેટલીકવાર સરળ નિવેદનો કહીશ ચલો.
તાર્કિક સૂત્ર (કાર્ય) નું વર્ણન કરતું કોષ્ટક કહેવામાં આવે છે, જેમ કે પહેલેથી જ જાહેરાત કરવામાં આવી છે, સત્ય ટેબલ. કૃપા કરીને - એક પરિચિત ચિત્ર: 
સત્ય કોષ્ટક બનાવવાનો સિદ્ધાંત નીચે મુજબ છે: "ઇનપુટ પર" તમારે સૂચિબદ્ધ કરવાની જરૂર છે બધા શક્ય સંયોજનોસત્ય અને અસત્ય, જે પ્રાથમિક નિવેદનો (દલીલો) લઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, સૂત્રમાં બે નિવેદનો શામેલ છે, અને તે શોધવાનું સરળ છે કે આવા ચાર સંયોજનો છે. "આઉટપુટ પર" આપણને સમગ્ર ફોર્મ્યુલા (ફંક્શન) ના અનુરૂપ તાર્કિક મૂલ્યો મળે છે.
એવું કહેવું આવશ્યક છે કે અહીં "બહાર નીકળો" "એક પગલામાં" હોવાનું બહાર આવ્યું છે, પરંતુ સામાન્ય કિસ્સામાં લોજિકલ સૂત્ર વધુ જટિલ છે. અને આવા "મુશ્કેલ કિસ્સાઓમાં" તમારે પાલન કરવાની જરૂર છે લોજિકલ કામગીરીના અમલનો ક્રમ:
- નકાર પ્રથમ કરવામાં આવે છે;
- બીજું - જોડાણ;
– પછી – વિસંવાદ;
- પછી સૂચિતાર્થ;
- અને અંતે, સમકક્ષતા સૌથી ઓછી પ્રાથમિકતા ધરાવે છે.
તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, એન્ટ્રી સૂચવે છે કે તમારે પહેલા તાર્કિક ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, અને પછી તાર્કિક ઉમેરો: . "સામાન્ય" બીજગણિતની જેમ - "પહેલા આપણે ગુણાકાર કરીએ છીએ, અને પછી ઉમેરીએ છીએ."
ક્રિયાઓનો ક્રમ સામાન્ય રીતે બદલી શકાય છે - કૌંસ સાથે:
- અહીં, સૌ પ્રથમ, ડિસજેક્શન કરવામાં આવે છે અને તે પછી જ "મજબૂત" ઓપરેશન કરવામાં આવે છે.
કદાચ દરેક જણ સમજે છે, પરંતુ માત્ર કિસ્સામાં, ફાયરમેન: અને આ બે અલગસૂત્રો! (ઔપચારિક અને તથ્ય બંને રીતે)
ચાલો સૂત્ર માટે સત્ય કોષ્ટક બનાવીએ. આ સૂત્રમાં બે પ્રાથમિક વિધાનોનો સમાવેશ થાય છે અને "ઇનપુટ પર" આપણે એક અને શૂન્યના તમામ સંભવિત સંયોજનોને સૂચિબદ્ધ કરવાની જરૂર છે. મૂંઝવણ અને વિસંગતતાઓને ટાળવા માટે, અમે સંયોજનોની સૂચિ આપવા માટે સંમત થઈશું કડક રીતે તે ક્રમમાં (જેનો હું વાસ્તવમાં શરૂઆતથી જ ઉપયોગ કરું છું):
સૂત્રમાં બે તાર્કિક ક્રિયાઓ શામેલ છે, અને તેમની પ્રાથમિકતા અનુસાર, સૌ પ્રથમ તમારે કરવાની જરૂર છે નકારનિવેદનો સારું, ચાલો "pe" કૉલમનો ઇનકાર કરીએ - આપણે શૂન્યને શૂન્યમાં અને શૂન્યને એકમાં ફેરવીએ છીએ: 
બીજા પગલામાં, અમે કૉલમ જોઈએ છીએ અને તેમને લાગુ કરીએ છીએ અથવા ઓપરેશન. થોડું આગળ જોતાં, હું કહીશ કે વિભાજન વિનિમયાત્મક છે (અને તે જ વસ્તુ છે), અને તેથી કૉલમનું સામાન્ય ક્રમમાં વિશ્લેષણ કરી શકાય છે - ડાબેથી જમણે. તાર્કિક ઉમેરણ કરતી વખતે, નીચેના લાગુ તર્કનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે: "જો ત્યાં બે શૂન્ય હોય, તો આપણે શૂન્ય મૂકીએ, જો ઓછામાં ઓછું એક હોય, તો અમે એક મૂકીએ.":
સત્ય ટેબલ બનાવવામાં આવ્યું છે. હવે ચાલો જૂના સારા અર્થને યાદ કરીએ: 
...ધ્યાનપૂર્વક, ધ્યાનપૂર્વક... કુલ કૉલમ જોઈ રહ્યા છીએ.... પ્રસ્તાવિત બીજગણિતમાં આવા સૂત્રો કહેવામાં આવે છે સમકક્ષઅથવા સમાન:
(ત્રણ આડી રેખાઓ ઓળખનું ચિહ્ન છે)
પાઠના 1લા ભાગમાં, મેં મૂળભૂત તાર્કિક કામગીરી દ્વારા સૂચિતાર્થ વ્યક્ત કરવાનું વચન આપ્યું હતું, અને વચનની પરિપૂર્ણતા આવવામાં લાંબો સમય નહોતો! જેઓ ઈચ્છે છે તેઓ ભાવાર્થમાં સાર્થક અર્થ મૂકી શકે છે (ઉદાહરણ તરીકે, "જો વરસાદ પડી રહ્યો છે, તો તે બહાર ભીના છે")અને સ્વતંત્ર રીતે સમકક્ષ વિધાનનું વિશ્લેષણ કરો.
ચાલો ઘડીએ સામાન્ય વ્યાખ્યા: બે સૂત્રો કહેવામાં આવે છે સમકક્ષ (સમાન), જો તેઓ આ ચલ સૂત્રોમાં સમાવિષ્ટ મૂલ્યોના કોઈપણ સમૂહ માટે સમાન મૂલ્યો લે છે (પ્રાથમિક નિવેદનો). એવું પણ કહેવાય છે "સૂત્રો સમકક્ષ છે જો તેમના સત્ય કોષ્ટકો એકરૂપ થાય છે", પણ મને આ વાક્ય ખરેખર ગમતું નથી.
વ્યાયામ 1
ફોર્મ્યુલા માટે સત્ય કોષ્ટક બનાવો અને ખાતરી કરો કે તમે જે ઓળખથી પરિચિત છો તે સાચી છે.
ચાલો ફરી એકવાર સમસ્યા હલ કરવાના ક્રમનું પુનરાવર્તન કરીએ:
1) ફોર્મ્યુલામાં બે ચલોનો સમાવેશ થતો હોવાથી, શૂન્ય અને એકના કુલ 4 સંભવિત સેટ હશે. અમે તેમને ઉપર ઉલ્લેખિત ક્રમમાં લખીએ છીએ.
2) સંયોગો કરતાં સૂચિતાર્થો "નબળા" છે, પરંતુ તે કૌંસમાં મૂકવામાં આવે છે. અમે કૉલમ ભરીએ છીએ, અને નીચેના લાગુ તર્કનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે: "જો શૂન્ય એકમાંથી અનુસરે છે, તો અમે શૂન્ય મૂકીએ છીએ, અન્ય તમામ કિસ્સાઓમાં - એક". આગળ, અમે સૂચિતાર્થ માટે કૉલમ ભરીએ છીએ, અને તે જ સમયે, ધ્યાન!- કૉલમનું "જમણેથી ડાબે" વિશ્લેષણ થવું જોઈએ!
3) અને અંતિમ તબક્કે, અંતિમ કૉલમ ભરો. અને અહીં આના જેવું વિચારવું અનુકૂળ છે: "જો કૉલમમાં બે એકમો હોય, તો અમે એક મૂકીએ છીએ, અન્ય તમામ કેસોમાં - શૂન્ય".
અને અંતે, અમે સત્ય કોષ્ટક તપાસીએ છીએ સમાનતા .
પ્રસ્તાવિત બીજગણિતની મૂળભૂત સમાનતા
અમે ફક્ત તેમાંથી બેને મળ્યા છીએ, પરંતુ બાબત, અલબત્ત, તેમના સુધી મર્યાદિત નથી. ત્યાં ઘણી બધી ઓળખો છે અને હું તેમાંથી સૌથી મહત્વપૂર્ણ અને સૌથી પ્રખ્યાતની સૂચિ બનાવીશ:
જોડાણની કોમ્યુટેટીવીટી અને ડિસજેક્શનની કોમ્યુટેટીવીટી
કોમ્યુટેટીવીટી- આ પરિવર્તનક્ષમતા છે:
ધોરણ 1 થી પરિચિત નિયમો: "ઉત્પાદન (સરવાળા) પરિબળોને ફરીથી ગોઠવીને બદલાતું નથી (ઉમેરો)". પરંતુ આ મિલકતની દેખીતી પ્રાથમિક પ્રકૃતિ હોવા છતાં, તે હંમેશા સાચું નથી, ખાસ કરીને તે બિન-વિનિમયાત્મક છે; મેટ્રિક્સ ગુણાકાર (સામાન્ય રીતે, તેઓ ફરીથી ગોઠવી શકાતા નથી), એ વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન- વિરોધી (વેક્ટરની પુનઃ ગોઠવણીમાં ચિહ્નમાં ફેરફારનો સમાવેશ થાય છે).
અને, ઉપરાંત, અહીં હું ફરીથી ગાણિતિક તર્કની ઔપચારિકતા પર ભાર મૂકવા માંગુ છું. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, શબ્દસમૂહો "વિદ્યાર્થીએ પરીક્ષા પાસ કરી અને પીધું"અને "વિદ્યાર્થી પીધુ અને પરીક્ષા પાસ કરી"સામગ્રીના દૃષ્ટિકોણથી અલગ, પરંતુ ઔપચારિક સત્યના દૃષ્ટિકોણથી અસ્પષ્ટ. ...આપણામાંથી દરેક આવા વિદ્યાર્થીઓને ઓળખીએ છીએ, અને નૈતિક કારણોસર અમે ચોક્કસ નામો બોલીશું નહીં =)
તાર્કિક ગુણાકાર અને ઉમેરણની સહયોગીતા
અથવા, જો "શાળા શૈલીમાં" - એક સંકલનકારી મિલકત:
વિતરણ ગુણધર્મો
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે 2 જી કિસ્સામાં "કૌંસ ખોલવા" વિશે વાત કરવી અયોગ્ય હશે, આ એક "કાલ્પનિક" છે - છેવટે, તેઓને એકસાથે દૂર કરી શકાય છે: , કારણ કે ગુણાકાર એક મજબૂત કામગીરી છે.
અને ફરીથી, આ મોટે ભાગે "મામૂલી" ગુણધર્મો બધી બીજગણિત પ્રણાલીઓમાં પરિપૂર્ણ નથી, અને વધુમાં, પુરાવાની જરૂર છે (જેના વિશે આપણે ટૂંક સમયમાં વાત કરીશું). માર્ગ દ્વારા, બીજો વિતરણ કાયદો આપણા "સામાન્ય" બીજગણિતમાં પણ માન્ય નથી. અને હકીકતમાં:
આઇડમ્પોટેન્સીનો કાયદો
શું કરવું, લેટિન...
સ્વસ્થ માનસના કેટલાક સિદ્ધાંતો: "હું અને હું હું છું", "હું અથવા હું પણ હું છું" =)
અને અહીં ઘણી સમાન ઓળખો છે: 
...હમ્મ, હું એક પ્રકારનો અટવાઈ ગયો છું... તેથી હું આવતીકાલે પીએચડી સાથે જાગી શકું છું =)
બેવડા નકારનો કાયદો
ઠીક છે, અહીં રશિયન ભાષા સાથેનું એક ઉદાહરણ પોતાને સૂચવે છે - દરેક વ્યક્તિ સારી રીતે જાણે છે કે બે કણો "નથી" નો અર્થ "હા" છે. અને ઇનકારના ભાવનાત્મક અર્થને વધારવા માટે, ત્રણ "નોટ્સ" નો વારંવાર ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:
- પુરાવાના નાના ટુકડા સાથે પણ તે કામ કર્યું!
શોષણના નિયમો
- "કોઈ છોકરો હતો?" =)
યોગ્ય ઓળખમાં, કૌંસને અવગણી શકાય છે.
ડી મોર્ગનના કાયદા
ચાલો માની લઈએ કે કડક શિક્ષક (જેનું નામ તમે પણ જાણો છો :))પરીક્ષા આપે છે જો - વિદ્યાર્થીએ પહેલા પ્રશ્નનો જવાબ આપ્યો અને – વિદ્યાર્થીએ બીજા પ્રશ્નનો જવાબ આપ્યો. પછી એક નિવેદન કહે છે કે વિદ્યાર્થી નથીપરીક્ષા પાસ કરી, નિવેદનની સમકક્ષ હશે - વિદ્યાર્થી નથી 1લા પ્રશ્નનો જવાબ આપ્યો અથવા 2જી પ્રશ્ન માટે.
ઉપર નોંધ્યું છે તેમ, સમાનતા પુરાવાને આધીન છે, જે સામાન્ય રીતે સત્ય કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે. વાસ્તવમાં, અમે સૂચિતાર્થ અને સમકક્ષતા વ્યક્ત કરતી સમાનતાઓ પહેલાથી જ સાબિત કરી દીધી છે, અને હવે આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટેની તકનીકને એકીકૃત કરવાનો સમય છે.
ચાલો ઓળખ સાબિત કરીએ. કારણ કે તેમાં એક જ નિવેદન શામેલ છે, ઇનપુટ પર ફક્ત બે જ સંભવિત વિકલ્પો છે: એક અથવા શૂન્ય. આગળ, અમે એક કૉલમ સોંપીએ છીએ અને તેમને લાગુ કરીએ છીએ નિયમ I:
પરિણામે, આઉટપુટ એ એક સૂત્ર છે, જેનું સત્ય નિવેદનના સત્ય સાથે મેળ ખાય છે. સમાનતા સાબિત થઈ છે.
હા, આ પુરાવો આદિમ છે (અને કેટલાક કહેશે "મૂંગો"), પરંતુ એક સામાન્ય ગણિત શિક્ષક તેના માટે તેના આત્માને હલાવી દેશે. તેથી, આવી સરળ બાબતોને પણ તિરસ્કારથી વર્તવું જોઈએ નહીં.
હવે ચાલો આપણે ચકાસીએ, ઉદાહરણ તરીકે, ડી મોર્ગનના કાયદાની માન્યતા.
પ્રથમ, ચાલો ડાબી બાજુ માટે સત્ય કોષ્ટક બનાવીએ. ડિસજેક્શન કૌંસમાં હોવાથી, અમે તેને પહેલા કરીએ છીએ, ત્યારબાદ અમે કૉલમને નકારીએ છીએ: 
આગળ, ચાલો જમણી બાજુ માટે સત્ય કોષ્ટક બનાવીએ. અહીં પણ, બધું પારદર્શક છે - સૌ પ્રથમ, અમે "મજબૂત" નકાર કરીએ છીએ, પછી તેને કૉલમ પર લાગુ કરીએ છીએ નિયમ I:
પરિણામો એકરૂપ થયા, આમ ઓળખ સાબિત થઈ.
કોઈપણ સમાનતા ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે સાચા સૂત્ર સમાન. તેનો અર્થ એ છે કે શૂન્ય અને રાશિઓના કોઈપણ પ્રારંભિક સેટ માટે"આઉટપુટ" સખત રીતે એક છે. અને આ માટે એક ખૂબ જ સરળ સમજૂતી છે: કારણ કે સત્ય કોષ્ટકો એકરૂપ છે, તો પછી, અલબત્ત, તે સમકક્ષ છે, ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, સમકક્ષતા દ્વારા ન્યાયી સાબિત ડી મોર્ગન ઓળખની ડાબી અને જમણી બાજુઓને જોડીએ: 
અથવા, વધુ સઘન રીતે:
કાર્ય 2
નીચેની સમાનતાઓ સાબિત કરો:
b) 
પાઠના અંતે ટૂંકો ઉકેલ. ચાલો આળસુ ન બનો! સત્ય કોષ્ટકો બનાવવા માટે માત્ર પ્રયાસ કરો, પણ સ્પષ્ટપણેતારણો ઘડવું. મેં તાજેતરમાં નોંધ્યું છે તેમ, સરળ વસ્તુઓની અવગણના કરવી ખૂબ, ખૂબ ખર્ચાળ હોઈ શકે છે!
અમે તર્કશાસ્ત્રના નિયમોથી પરિચિત થવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ!
હા, તે એકદમ સાચું છે - અમે તેમની સાથે પહેલેથી જ સખત મહેનત કરી રહ્યા છીએ:
સાચુંખાતે , કહેવાય છે સાચા સૂત્ર સમાનઅથવા તર્કશાસ્ત્રનો કાયદો.
સમાનતાથી સમાન સાચા સૂત્રમાં અગાઉના ન્યાયી સંક્રમણને કારણે, ઉપર સૂચિબદ્ધ તમામ ઓળખ તર્કશાસ્ત્રના નિયમોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
ફોર્મ્યુલા જે મૂલ્ય લે છે અસત્યખાતે તેમાં સમાવિષ્ટ ચલોના મૂલ્યોનો કોઈપણ સમૂહ, કહેવાય છે સમાન ખોટા સૂત્રઅથવા વિરોધાભાસ.
પ્રાચીન ગ્રીકોના વિરોધાભાસનું સહી ઉદાહરણ:
- કોઈપણ નિવેદન એક જ સમયે સાચું અને ખોટું હોઈ શકે નહીં.
સાબિતી તુચ્છ છે: 
"આઉટપુટ" માં ફક્ત શૂન્ય છે, તેથી સૂત્ર ખરેખર છે સમાન ખોટા.
જો કે, કોઈપણ વિરોધાભાસ એ તર્કશાસ્ત્રનો નિયમ પણ છે, ખાસ કરીને: 
એક લેખમાં આટલા વિશાળ વિષયને આવરી લેવાનું અશક્ય છે, અને તેથી હું મારી જાતને ફક્ત થોડા વધુ કાયદાઓ સુધી મર્યાદિત કરીશ:
બાકાત મધ્યનો કાયદો
- શાસ્ત્રીય તર્કશાસ્ત્રમાં, કોઈપણ નિવેદન સાચું કે ખોટું છે અને ત્યાં કોઈ ત્રીજો વિકલ્પ નથી. "બનવું કે ન હોવું" - તે પ્રશ્ન છે.
તમારી જાતે સત્યની નિશાની બનાવો અને ખાતરી કરો કે તે છે સમાન રીતે સાચુંસૂત્ર
કોન્ટ્રાપોઝિશનનો કાયદો
જ્યારે અમે સારની ચર્ચા કરી ત્યારે આ કાયદાની સક્રિય ચર્ચા કરવામાં આવી હતી જરૂરી સ્થિતિ, અમને યાદ છે: "જો વરસાદ પડતો હોય ત્યારે તે બહાર ભીના હોય, તો તે અનુસરે છે કે જો તે બહાર સૂકું હોય, તો ચોક્કસપણે વરસાદ પડ્યો નથી.".
તે આ કાયદામાંથી પણ અનુસરે છે કે જો વાજબી છે સીધા પ્રમેય, પછી નિવેદન, જેને ક્યારેક કહેવામાં આવે છે વિરુદ્ધપ્રમેય
જો સાચું વિપરીતપ્રમેય, પછી કોન્ટ્રાપોઝિશનના કાયદાના આધારે, પ્રમેય પણ માન્ય છે, વિપરીતની વિરુદ્ધ:
અને ફરીથી ચાલો આપણા અર્થપૂર્ણ ઉદાહરણો પર પાછા આવીએ: નિવેદનો માટે - સંખ્યા 4 વડે વિભાજ્ય છે, - સંખ્યા 2 વડે વિભાજ્ય છેવાજબી સીધાઅને વિરુદ્ધપ્રમેય, પરંતુ ખોટા વિપરીતઅને વિપરીતની વિરુદ્ધપ્રમેય પાયથાગોરિયન પ્રમેયની "પુખ્ત" રચના માટે, બધી 4 "દિશાઓ" સાચી છે.
સિલોજિઝમનો કાયદો
શૈલીની ક્લાસિક પણ: "બધા ઓક્સ વૃક્ષો છે, બધા વૃક્ષો છોડ છે, તેથી બધા ઓક્સ છોડ છે.".
ઠીક છે, અહીં ફરીથી હું ગાણિતિક તર્કની ઔપચારિકતાની નોંધ લેવા માંગુ છું: જો અમારા કડક શિક્ષક વિચારે છે કે ચોક્કસ વિદ્યાર્થી એક ઓક વૃક્ષ છે, તો ઔપચારિક દૃષ્ટિકોણથી આ વિદ્યાર્થી ચોક્કસપણે એક છોડ છે =) ... જો કે, જો તમે તેના વિશે વિચારો છો, પછી કદાચ અનૌપચારિક દૃષ્ટિકોણથી પણ = )
ચાલો સૂત્ર માટે સત્ય કોષ્ટક બનાવીએ. તાર્કિક કામગીરીની પ્રાથમિકતા અનુસાર, અમે નીચેના અલ્ગોરિધમનું પાલન કરીએ છીએ:
1) અમે સૂચિતાર્થો અને . સામાન્ય રીતે કહીએ તો, તમે તરત જ 3જી સૂચિતાર્થ કરી શકો છો, પરંતુ તે વધુ અનુકૂળ છે (અને સ્વીકાર્ય!)તેને થોડીવાર પછી આકૃતિ આપો;
2) કૉલમ પર લાગુ કરો નિયમ I;
3) હવે અમે અમલ કરીએ છીએ;
4) અને અંતિમ પગલા પર અમે કૉલમ પર સૂચિતાર્થ લાગુ કરીએ છીએ 
અને .
તમારી તર્જની અને મધ્યમ આંગળીઓ વડે પ્રક્રિયાને નિયંત્રિત કરવા માટે નિઃસંકોચ :)) 
છેલ્લી કૉલમથી, મને લાગે છે કે ટિપ્પણી વિના બધું સ્પષ્ટ છે:
, જે સાબિત કરવાની જરૂર હતી.
કાર્ય 3
નીચે આપેલ સૂત્ર તર્કશાસ્ત્રનો નિયમ છે કે કેમ તે શોધો:
પાઠના અંતે ટૂંકો ઉકેલ. ઓહ, અને હું લગભગ ભૂલી ગયો - ચાલો શૂન્ય અને રાશિઓના મૂળ સેટને બરાબર એ જ ક્રમમાં સૂચિબદ્ધ કરવા માટે સંમત થઈએ જે રીતે સિલોગિઝમના નિયમને સાબિત કરે છે. અલબત્ત, લીટીઓ ફરીથી ગોઠવી શકાય છે, પરંતુ આ મારા સોલ્યુશન સાથે તુલના કરવાનું ખૂબ મુશ્કેલ બનાવશે.
લોજિકલ સૂત્રોનું રૂપાંતર
તેમના "તાર્કિક" હેતુ ઉપરાંત, સમાનતાનો વ્યાપકપણે ફોર્મ્યુલાને રૂપાંતરિત અને સરળ બનાવવા માટે ઉપયોગ થાય છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, ઓળખનો એક ભાગ બીજા માટે બદલી શકાય છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, જો લોજિકલ ફોર્મ્યુલામાં તમે કોઈ ટુકડો આવો છો, તો પછી આઇડમ્પોટેન્સીના કાયદા અનુસાર, તેના બદલે તમે સરળ રીતે લખી શકો છો (અને જોઈએ). જો તમે જુઓ છો, તો પછી શોષણના કાયદા અનુસાર, નોટેશનને સરળ બનાવો. અને તેથી વધુ.
વધુમાં, એક વધુ મહત્વની બાબત છે: ઓળખ માત્ર પ્રાથમિક નિવેદનો માટે જ નહીં, પણ મનસ્વી સૂત્રો માટે પણ માન્ય છે. દાખ્લા તરીકે:
, ક્યાં - કોઈપણ (તમને ગમે તેટલું જટિલ)સૂત્રો
ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, જટિલ સૂચિતાર્થને બદલીએ 
(પહેલી ઓળખ):
આગળ, અમે "જટિલ" ડી મોર્ગનના કાયદાને કૌંસમાં લાગુ કરીએ છીએ, અને, કામગીરીની પ્રાથમિકતાને લીધે, તે કાયદો છે જ્યાં 
:
કૌંસ દૂર કરી શકાય છે, કારણ કે અંદર એક "મજબૂત" જોડાણ છે:
ઠીક છે, સામાન્ય રીતે કોમ્યુટેટીવીટી સાથે બધું જ સરળ છે - તમારે કંઈપણ નિયુક્ત કરવાની પણ જરૂર નથી... સિલોજિઝમના કાયદા વિશે કંઈક મારા આત્મામાં ડૂબી ગયું છે :))
આમ, કાયદો વધુ જટિલ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકાય છે:
"ઓક, એક વૃક્ષ, એક છોડ સાથે" લોજિકલ સાંકળને મોટેથી કહો અને તમે સમજી શકશો કે સૂચિતાર્થોને ફરીથી ગોઠવીને કાયદાનો મૂળ અર્થ બિલકુલ બદલાયો નથી. તે સિવાય શબ્દરચના વધુ મૌલિક બની છે.
વર્કઆઉટ તરીકે, ચાલો ફોર્મ્યુલાને સરળ બનાવીએ.
ક્યાંથી શરૂઆત કરવી? સૌ પ્રથમ, ક્રિયાઓના ક્રમને સમજો: અહીં નકાર એક સંપૂર્ણ કૌંસ પર લાગુ થાય છે, જે "સહેજ નબળા" જોડાણ દ્વારા નિવેદનમાં "જડેલું" છે. આવશ્યકપણે, આપણી સમક્ષ બે પરિબળોનું તાર્કિક ઉત્પાદન છે: . બાકીની બે ક્રિયાઓમાંથી, સૂચિતાર્થ સૌથી ઓછી પ્રાથમિકતા ધરાવે છે, અને તેથી સમગ્ર સૂત્રમાં નીચેનું માળખું છે: .
સામાન્ય રીતે, પ્રથમ પગલું એ સમાનતા અને સૂચિતાર્થથી છૂટકારો મેળવવાનું છે (જો તેઓ હોય તો)અને સૂત્રને ત્રણ મૂળભૂત તાર્કિક ક્રિયાઓ સુધી ઘટાડે છે. હું શું કહું... તાર્કિક.
(1) અમે ઓળખનો ઉપયોગ કરીએ છીએ 
. અને અમારા કિસ્સામાં.
આ સામાન્ય રીતે કૌંસ સાથે "શોડાઉન" દ્વારા અનુસરવામાં આવે છે. પ્રથમ સંપૂર્ણ ઉકેલ, પછી ટિપ્પણીઓ. "માખણ અને માખણ" ટાળવા માટે, હું "નિયમિત" સમાનતા પ્રતીકોનો ઉપયોગ કરીશ: 
(2) અમે ડી મોર્ગનનો કાયદો બાહ્ય કૌંસ પર લાગુ કરીએ છીએ, જ્યાં.
