રેખીય સમીકરણોની અસંગત સિસ્ટમ. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ

વિવિધ પ્રક્રિયાઓના ગાણિતિક મોડેલિંગ માટે આર્થિક ક્ષેત્રમાં સમીકરણોની સિસ્ટમોનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રોડક્શન મેનેજમેન્ટ અને પ્લાનિંગ, લોજિસ્ટિક્સ રૂટ્સ (ટ્રાન્સપોર્ટ પ્રોબ્લેમ) અથવા ઇક્વિપમેન્ટ પ્લેસમેન્ટની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે.

સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો ઉપયોગ માત્ર ગણિતમાં જ નહીં, પણ ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર અને જીવવિજ્ઞાનમાં પણ થાય છે, જ્યારે વસ્તીનું કદ શોધવાની સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં આવે છે.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ એ બે અથવા વધુ સમીકરણો છે જેમાં અનેક ચલ હોય છે જેના માટે સામાન્ય ઉકેલ શોધવો જરૂરી છે. સંખ્યાઓનો આવો ક્રમ કે જેના માટે તમામ સમીકરણો સાચી સમાનતા બને અથવા સાબિત કરે કે ક્રમ અસ્તિત્વમાં નથી.

રેખીય સમીકરણ

ax+by=c ફોર્મના સમીકરણોને રેખીય કહેવામાં આવે છે. હોદ્દો x, y એ અજાણ્યા છે જેનું મૂલ્ય મળવું આવશ્યક છે, b, a એ ચલોના ગુણાંક છે, c એ સમીકરણનો મુક્ત શબ્દ છે.
કાવતરું ઘડીને સમીકરણ ઉકેલવું તે એક સીધી રેખા જેવું દેખાશે, જેનાં તમામ બિંદુઓ બહુપદીના ઉકેલો છે.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના પ્રકાર

સૌથી સરળ ઉદાહરણો બે ચલ X અને Y સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો તરીકે ગણવામાં આવે છે.

F1(x, y) = 0 અને F2(x, y) = 0, જ્યાં F1,2 ફંક્શન છે અને (x, y) ફંક્શન વેરિયેબલ છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો - આનો અર્થ એ છે કે મૂલ્યો (x, y) શોધવા કે જેના પર સિસ્ટમ સાચી સમાનતામાં ફેરવાય છે અથવા સ્થાપિત કરે છે કે x અને y ના યોગ્ય મૂલ્યો અસ્તિત્વમાં નથી.

બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે લખેલા મૂલ્યોની જોડી (x, y), રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ કહેવાય છે.

જો સિસ્ટમમાં એક સામાન્ય ઉકેલ હોય અથવા કોઈ ઉકેલ અસ્તિત્વમાં ન હોય, તો તેને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે.

રેખીય સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીઓ એવી પ્રણાલીઓ છે જેની જમણી બાજુ શૂન્યની બરાબર છે. જો સમાન ચિહ્ન પછીના જમણા ભાગમાં મૂલ્ય હોય અથવા ફંક્શન દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે, તો આવી સિસ્ટમ વિજાતીય છે.

ચલોની સંખ્યા બે કરતા ઘણી વધારે હોઈ શકે છે, પછી આપણે ત્રણ અથવા વધુ ચલો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણ વિશે વાત કરવી જોઈએ.

જ્યારે પ્રણાલીઓનો સામનો કરવો પડે છે, ત્યારે શાળાના બાળકો ધારે છે કે સમીકરણોની સંખ્યા અનિવાર્યપણે અજાણ્યાઓની સંખ્યા સાથે સુસંગત હોવી જોઈએ, પરંતુ આવું નથી. સિસ્ટમમાં સમીકરણોની સંખ્યા ચલ પર આધારિત નથી;

સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની સરળ અને જટિલ પદ્ધતિઓ

આવી સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે કોઈ સામાન્ય વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ નથી; બધી પદ્ધતિઓ સંખ્યાત્મક ઉકેલો પર આધારિત છે. શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં ક્રમચય, બીજગણિત ઉમેરો, અવેજીકરણ, તેમજ ગ્રાફિકલ અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિઓ, ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલ જેવી પદ્ધતિઓનું વિગતવાર વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે.

ઉકેલ પદ્ધતિઓ શીખવતી વખતે મુખ્ય કાર્ય એ શીખવવાનું છે કે કેવી રીતે સિસ્ટમનું યોગ્ય રીતે વિશ્લેષણ કરવું અને દરેક ઉદાહરણ માટે શ્રેષ્ઠ ઉકેલ અલ્ગોરિધમ શોધવું. મુખ્ય વસ્તુ એ દરેક પદ્ધતિ માટે નિયમો અને ક્રિયાઓની સિસ્ટમને યાદ રાખવાની નથી, પરંતુ ચોક્કસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાના સિદ્ધાંતોને સમજવાની છે.

7મા ધોરણના સામાન્ય શિક્ષણ અભ્યાસક્રમમાં રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓના ઉદાહરણોનું નિરાકરણ એકદમ સરળ છે અને ખૂબ જ વિગતવાર સમજાવવામાં આવ્યું છે. કોઈપણ ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકમાં આ વિભાગ પર પૂરતું ધ્યાન આપવામાં આવે છે. ગૌસ અને ક્રેમર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉદાહરણોને ઉકેલવા માટે ઉચ્ચ શિક્ષણના પ્રથમ વર્ષોમાં વધુ વિગતવાર અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોનું નિરાકરણ

અવેજી પદ્ધતિની ક્રિયાઓ બીજાની દ્રષ્ટિએ એક ચલના મૂલ્યને વ્યક્ત કરવાનો છે. અભિવ્યક્તિને બાકીના સમીકરણમાં બદલવામાં આવે છે, પછી તેને એક ચલ સાથેના સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે. સિસ્ટમમાં અજાણ્યાઓની સંખ્યાના આધારે ક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે

ચાલો અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વર્ગ 7 ની રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણનો ઉકેલ આપીએ:

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, ચલ x એ F(X) = 7 + Y દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવ્યો હતો. પરિણામી અભિવ્યક્તિ, X ની જગ્યાએ સિસ્ટમના 2જા સમીકરણમાં બદલાઈ, 2જી સમીકરણમાં એક ચલ Y મેળવવામાં મદદ કરી. . આ ઉદાહરણને ઉકેલવું સરળ છે અને તમને Y મૂલ્ય મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે.

અવેજી દ્વારા રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણને ઉકેલવું હંમેશા શક્ય નથી. સમીકરણો જટિલ હોઈ શકે છે અને બીજા અજ્ઞાતના સંદર્ભમાં ચલને વ્યક્ત કરવું વધુ ગણતરીઓ માટે ખૂબ બોજારૂપ હશે. જ્યારે સિસ્ટમમાં 3 થી વધુ અજાણ્યા હોય, ત્યારે અવેજી દ્વારા ઉકેલવું પણ અવ્યવહારુ છે.

રેખીય અસંગત સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણનો ઉકેલ:

બીજગણિત ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ

વધારાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોના ઉકેલો માટે શોધ કરતી વખતે, સમીકરણો શબ્દ દ્વારા શબ્દ ઉમેરવામાં આવે છે અને વિવિધ સંખ્યાઓ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. ગાણિતિક ક્રિયાઓનું અંતિમ ધ્યેય એ એક ચલમાં સમીકરણ છે.

આ પદ્ધતિના ઉપયોગ માટે પ્રેક્ટિસ અને અવલોકન જરૂરી છે. જ્યારે 3 અથવા વધુ ચલો હોય ત્યારે વધારાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી સરળ નથી. જ્યારે સમીકરણોમાં અપૂર્ણાંક અને દશાંશ હોય ત્યારે બીજગણિત ઉમેરણ વાપરવા માટે અનુકૂળ છે.

ઉકેલ અલ્ગોરિધમ:

1. સમીકરણની બંને બાજુઓને ચોક્કસ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો. અંકગણિત કામગીરીના પરિણામે, ચલના ગુણાંકોમાંથી એક 1 ની બરાબર થવો જોઈએ.
2. શબ્દ દ્વારા પરિણામી અભિવ્યક્તિ શબ્દ ઉમેરો અને અજ્ઞાતમાંથી એક શોધો.
3. બાકીના ચલ શોધવા માટે પરિણામી મૂલ્યને સિસ્ટમના 2જા સમીકરણમાં બદલો.

નવું ચલ રજૂ કરીને ઉકેલની પદ્ધતિ

જો સિસ્ટમને બે કરતાં વધુ સમીકરણો માટે ઉકેલ શોધવાની જરૂર હોય તો એક નવું ચલ રજૂ કરી શકાય છે.

પદ્ધતિનો ઉપયોગ નવા ચલ રજૂ કરીને સમીકરણોમાંથી એકને સરળ બનાવવા માટે થાય છે. નવા સમીકરણને રજૂ કરાયેલ અજાણ્યા માટે ઉકેલવામાં આવે છે, અને પરિણામી મૂલ્યનો ઉપયોગ મૂળ ચલ નક્કી કરવા માટે થાય છે.

ઉદાહરણ બતાવે છે કે નવું ચલ t રજૂ કરીને, સિસ્ટમના 1લા સમીકરણને પ્રમાણભૂત ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીમાં ઘટાડી શકાય તેવું શક્ય હતું. તમે ભેદભાવ શોધીને બહુપદી ઉકેલી શકો છો.

જાણીતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ભેદભાવનું મૂલ્ય શોધવાનું જરૂરી છે: D = b2 - 4*a*c, જ્યાં D એ ઇચ્છિત ભેદભાવ છે, b, a, c એ બહુપદીના પરિબળો છે. આપેલ ઉદાહરણમાં, a=1, b=16, c=39, તેથી D=100. જો ભેદભાવ શૂન્ય કરતાં મોટો હોય, તો બે ઉકેલો છે: t = -b±√D / 2*a, જો ભેદભાવ શૂન્ય કરતાં ઓછો હોય, તો ત્યાં એક ઉકેલ છે: x = -b / 2*a.

પરિણામી સિસ્ટમો માટેનો ઉકેલ ઉમેરણ પદ્ધતિ દ્વારા મળી આવે છે.

સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે વિઝ્યુઅલ પદ્ધતિ

3 સમીકરણ સિસ્ટમો માટે યોગ્ય. પદ્ધતિમાં કોઓર્ડિનેટ અક્ષ પર સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ દરેક સમીકરણના ગ્રાફ બનાવવાનો સમાવેશ થાય છે. વળાંકોના આંતરછેદ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ હશે.

ગ્રાફિકલ પદ્ધતિમાં સંખ્યાબંધ ઘોંઘાટ છે. ચાલો દ્રશ્ય રીતે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવાના કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે, દરેક લીટી માટે બે પોઈન્ટ બનાવવામાં આવ્યા હતા, x ચલના મૂલ્યો મનસ્વી રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા: 0 અને 3. x ના મૂલ્યોના આધારે, y માટેના મૂલ્યો મળ્યા હતા: 3 અને 0. કોઓર્ડિનેટ્સ (0, 3) અને (3, 0) સાથેના બિંદુઓને ગ્રાફ પર ચિહ્નિત કરવામાં આવ્યા હતા અને એક રેખા દ્વારા જોડાયેલા હતા.

બીજા સમીકરણ માટે પગલાંઓનું પુનરાવર્તન કરવું આવશ્યક છે. રેખાઓના આંતરછેદનો બિંદુ એ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે.

નીચેના ઉદાહરણ માટે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ગ્રાફિકલ ઉકેલ શોધવાની જરૂર છે: 0.5x-y+2=0 અને 0.5x-y-1=0.

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે આલેખ સમાંતર છે અને તેમની સમગ્ર લંબાઈ સાથે છેદે નથી.

ઉદાહરણો 2 અને 3 માંથી સિસ્ટમો સમાન છે, પરંતુ જ્યારે બનાવવામાં આવે છે ત્યારે તે સ્પષ્ટ બને છે કે તેમના ઉકેલો અલગ છે. તે યાદ રાખવું જોઈએ કે સિસ્ટમમાં ઉકેલ છે કે નહીં તે કહેવું હંમેશા શક્ય નથી;

મેટ્રિક્સ અને તેની જાતો

મેટ્રિસિસનો ઉપયોગ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને સંક્ષિપ્તમાં લખવા માટે થાય છે. મેટ્રિક્સ એ સંખ્યાઓથી ભરેલું એક વિશિષ્ટ પ્રકારનું કોષ્ટક છે. n*m માં n - પંક્તિઓ અને m - કૉલમ છે.

જ્યારે કૉલમ અને પંક્તિઓની સંખ્યા સમાન હોય ત્યારે મેટ્રિક્સ ચોરસ હોય છે. મેટ્રિક્સ-વેક્ટર એ એક કૉલમનું મેટ્રિક્સ છે જેમાં પંક્તિઓની અસંખ્ય સંભવિત સંખ્યા છે. એક કર્ણ અને અન્ય શૂન્ય તત્વો સાથેના મેટ્રિક્સને ઓળખ કહેવામાં આવે છે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ એ એક મેટ્રિક્સ છે જેના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે મૂળ એક એકમ મેટ્રિક્સમાં ફેરવાય છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમને મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરવાના નિયમો

સમીકરણોની સિસ્ટમોના સંબંધમાં, સમીકરણોના ગુણાંક અને મુક્ત શરતો મેટ્રિક્સ નંબરો તરીકે લખવામાં આવે છે, એક સમીકરણ મેટ્રિક્સની એક પંક્તિ છે.

જો પંક્તિનું ઓછામાં ઓછું એક ઘટક શૂન્ય ન હોય તો મેટ્રિક્સ પંક્તિ બિનશૂન્ય હોવાનું કહેવાય છે. તેથી, જો કોઈપણ સમીકરણોમાં ચલોની સંખ્યા અલગ હોય, તો ગુમ થયેલ અજાણ્યાની જગ્યાએ શૂન્ય દાખલ કરવું જરૂરી છે.

મેટ્રિક્સ કૉલમ ચલોને સખત રીતે અનુરૂપ હોવા જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે ચલ x ના ગુણાંક ફક્ત એક કૉલમમાં લખી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે પ્રથમ, અજાણ્યા y નો ગુણાંક - ફક્ત બીજામાં.

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરતી વખતે, મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો ક્રમિક રીતે સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટેના વિકલ્પો

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટેનું સૂત્ર એકદમ સરળ છે: K -1 = 1 / |K|, જ્યાં K -1 એ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ છે, અને |K| મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક છે. |કે| શૂન્યની બરાબર ન હોવી જોઈએ, તો સિસ્ટમ પાસે ઉકેલ છે.

નિર્ણાયકને બે-બાય-બે મેટ્રિક્સ માટે સરળતાથી ગણવામાં આવે છે, તમારે ફક્ત વિકર્ણ તત્વોને એકબીજા દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. “ત્રણ બાય ત્રણ” વિકલ્પ માટે એક સૂત્ર છે |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો, અથવા તમે યાદ રાખી શકો છો કે તમારે દરેક પંક્તિ અને દરેક કૉલમમાંથી એક ઘટક લેવાની જરૂર છે જેથી કરીને કાર્યમાં કૉલમ અને પંક્તિઓની સંખ્યાઓનું પુનરાવર્તન ન થાય.

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉદાહરણો ઉકેલવા

સોલ્યુશન શોધવાની મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ તમને મોટી સંખ્યામાં ચલ અને સમીકરણો સાથે સિસ્ટમ ઉકેલતી વખતે બોજારૂપ એન્ટ્રીઓને ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે.

ઉદાહરણમાં, a nm એ સમીકરણોના ગુણાંક છે, મેટ્રિક્સ એ વેક્ટર છે x n ચલ છે, અને b n એ મુક્ત પદો છે.

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોનું નિરાકરણ

ઉચ્ચ ગણિતમાં, ગૌસિયન પદ્ધતિનો ક્રેમર પદ્ધતિ સાથે અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, અને સિસ્ટમોના ઉકેલો શોધવાની પ્રક્રિયાને ગૌસ-ક્રેમર સોલ્યુશન પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ મોટી સંખ્યામાં રેખીય સમીકરણો ધરાવતી સિસ્ટમોના ચલોને શોધવા માટે થાય છે.

ગૌસ પદ્ધતિ અવેજી અને બીજગણિત ઉમેરા દ્વારા ઉકેલો જેવી જ છે, પરંતુ વધુ વ્યવસ્થિત છે. શાળાના અભ્યાસક્રમમાં, 3 અને 4 સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલનો ઉપયોગ થાય છે. પદ્ધતિનો હેતુ સિસ્ટમને ઊંધી ટ્રેપેઝોઇડના સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનો છે. બીજગણિત પરિવર્તન અને અવેજીના માધ્યમથી, એક ચલનું મૂલ્ય સિસ્ટમના સમીકરણોમાંના એકમાં જોવા મળે છે. બીજું સમીકરણ 2 અજ્ઞાત સાથેની અભિવ્યક્તિ છે, જ્યારે 3 અને 4 અનુક્રમે 3 અને 4 ચલ સાથે છે.

સિસ્ટમને વર્ણવેલ સ્વરૂપમાં લાવ્યા પછી, વધુ ઉકેલને સિસ્ટમના સમીકરણોમાં જાણીતા ચલોના અનુક્રમિક અવેજીમાં ઘટાડવામાં આવે છે.

ગ્રેડ 7 માટે શાળાના પાઠ્યપુસ્તકોમાં, ગૌસ પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલનું ઉદાહરણ નીચે પ્રમાણે વર્ણવવામાં આવ્યું છે:

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, સ્ટેપ (3) પર બે સમીકરણો પ્રાપ્ત થયા: 3x 3 -2x 4 =11 અને 3x 3 +2x 4 =7. કોઈપણ સમીકરણો ઉકેલવાથી તમે એક ચલ x n શોધી શકશો.

પ્રમેય 5, જે ટેક્સ્ટમાં ઉલ્લેખિત છે, તે જણાવે છે કે જો સિસ્ટમના સમીકરણોમાંથી એકને સમકક્ષ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, તો પરિણામી સિસ્ટમ પણ મૂળ સમકક્ષ હશે.

ગૌસીયન પદ્ધતિ મધ્યમ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે સમજવી મુશ્કેલ છે, પરંતુ ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રના વર્ગોમાં અદ્યતન શિક્ષણ કાર્યક્રમોમાં નોંધાયેલા બાળકોની ચાતુર્ય વિકસાવવાની તે સૌથી રસપ્રદ રીતો પૈકીની એક છે.

રેકોર્ડીંગની સરળતા માટે, ગણતરીઓ સામાન્ય રીતે નીચે મુજબ કરવામાં આવે છે:

સમીકરણો અને મુક્ત શબ્દોના ગુણાંક મેટ્રિક્સના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે, જ્યાં મેટ્રિક્સની દરેક પંક્તિ સિસ્ટમના સમીકરણોમાંથી એકને અનુરૂપ હોય છે. સમીકરણની ડાબી બાજુને જમણી બાજુથી અલગ કરે છે. રોમન અંકો સિસ્ટમમાં સમીકરણોની સંખ્યા દર્શાવે છે.

પ્રથમ, જેની સાથે કામ કરવું છે તે મેટ્રિક્સ લખો, પછી એક પંક્તિ સાથે કરવામાં આવેલી બધી ક્રિયાઓ. પરિણામી મેટ્રિક્સ "તીર" ચિહ્ન પછી લખવામાં આવે છે અને પરિણામ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી જરૂરી બીજગણિત કામગીરી ચાલુ રાખવામાં આવે છે.

પરિણામ એક મેટ્રિક્સ હોવું જોઈએ જેમાં એક કર્ણ 1 ની બરાબર હોય, અને અન્ય તમામ ગુણાંક શૂન્ય સમાન હોય, એટલે કે, મેટ્રિક્સને એકમ સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે. આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ સંખ્યાઓ સાથે ગણતરી કરવાનું ભૂલવું જોઈએ નહીં.

આ રેકોર્ડિંગ પદ્ધતિ ઓછી બોજારૂપ છે અને અસંખ્ય અજાણ્યાઓને સૂચિબદ્ધ કરીને તમને વિચલિત ન થવા દે છે.

કોઈપણ ઉકેલ પદ્ધતિના મફત ઉપયોગ માટે કાળજી અને કેટલાક અનુભવની જરૂર પડશે. બધી પદ્ધતિઓ લાગુ પ્રકૃતિની નથી. ઉકેલો શોધવાની કેટલીક પદ્ધતિઓ માનવ પ્રવૃત્તિના ચોક્કસ ક્ષેત્રમાં વધુ પ્રાધાન્યક્ષમ છે, જ્યારે અન્ય શૈક્ષણિક હેતુઓ માટે અસ્તિત્વમાં છે.

જો કોઈ સમસ્યામાં ત્રણ કરતા ઓછા ચલ હોય, તો તે કોઈ સમસ્યા નથી; જો તે આઠ કરતા વધુ હોય, તો તે વણઉકેલાયેલ છે. એનન.

પરિમાણો સાથેની સમસ્યાઓ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના તમામ સંસ્કરણોમાં જોવા મળે છે, કારણ કે તેમને હલ કરવાથી સ્નાતકનું જ્ઞાન કેટલું ઊંડું અને અનૌપચારિક છે તે સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે. આવા કાર્યોને પૂર્ણ કરતી વખતે વિદ્યાર્થીઓ જે મુશ્કેલીઓનો સામનો કરે છે તે માત્ર તેમની સંબંધિત જટિલતાને કારણે જ નહીં, પરંતુ પાઠ્યપુસ્તકોમાં તેમના પર અપૂરતું ધ્યાન આપવામાં આવે છે તે હકીકતને કારણે પણ થાય છે. ગણિતમાં KIM ના સંસ્કરણોમાં, પરિમાણો સાથેના બે પ્રકારના કાર્યો છે. પ્રથમ: "પેરામીટરના દરેક મૂલ્ય માટે, સમીકરણ, અસમાનતા અથવા સિસ્ટમ ઉકેલો." બીજું: "પેરામીટરના તમામ મૂલ્યો શોધો, જેમાંના દરેક માટે અસમાનતા, સમીકરણ અથવા સિસ્ટમના ઉકેલો આપેલ શરતોને સંતોષે છે." તદનુસાર, આ બે પ્રકારની સમસ્યાઓના જવાબો સારમાં ભિન્ન છે. પ્રથમ કિસ્સામાં, જવાબ પરિમાણના તમામ સંભવિત મૂલ્યોની સૂચિ આપે છે અને આ દરેક મૂલ્યો માટે સમીકરણના ઉકેલો લખવામાં આવે છે. બીજા બધા પરિમાણ મૂલ્યોની સૂચિ આપે છે કે જેના પર સમસ્યાની શરતો પૂરી થાય છે. જવાબ લખવો એ ઉકેલનો આવશ્યક તબક્કો છે; જવાબમાં ઉકેલના તમામ તબક્કાઓને પ્રતિબિંબિત કરવાનું ભૂલશો નહીં તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. વિદ્યાર્થીઓએ આ તરફ ધ્યાન આપવાની જરૂર છે.
પાઠના પરિશિષ્ટમાં "પરિમાણો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા" વિષય પર વધારાની સામગ્રી છે, જે વિદ્યાર્થીઓને અંતિમ પ્રમાણપત્ર માટે તૈયાર કરવામાં મદદ કરશે.

પાઠ હેતુઓ:

• વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનનું વ્યવસ્થિતકરણ;
• સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલતી વખતે ગ્રાફિકલ રજૂઆતોનો ઉપયોગ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવવી;
• પરિમાણો ધરાવતી રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને હલ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવવી;
• વિદ્યાર્થીઓના ઓપરેશનલ નિયંત્રણ અને સ્વ-નિયંત્રણનું અમલીકરણ;
• શાળાના બાળકોની સંશોધન અને જ્ઞાનાત્મક પ્રવૃત્તિનો વિકાસ, પ્રાપ્ત પરિણામોનું મૂલ્યાંકન કરવાની ક્ષમતા.

પાઠ બે કલાક ચાલે છે.

પાઠ પ્રગતિ

1. સંસ્થાકીય ક્ષણ

પાઠના વિષય, ધ્યેયો અને ઉદ્દેશ્યોની વાતચીત કરો.

1. વિદ્યાર્થીઓના મૂળભૂત જ્ઞાનને અપડેટ કરવું

હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે. હોમવર્ક તરીકે, વિદ્યાર્થીઓને રેખીય સમીકરણોની ત્રણ સિસ્ટમોમાંથી દરેકને ઉકેલવા માટે કહેવામાં આવ્યું હતું

a) b) વી)

ગ્રાફિકલી અને વિશ્લેષણાત્મક રીતે; દરેક કેસ માટે મેળવેલ ઉકેલોની સંખ્યા વિશે નિષ્કર્ષ દોરો

વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા લેવામાં આવેલા તારણો સાંભળવામાં આવે છે અને તેનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે. શિક્ષકના માર્ગદર્શન હેઠળના કાર્યના પરિણામોનો સારાંશ નોટબુકમાં આપવામાં આવે છે.

સામાન્ય રીતે, બે અજ્ઞાત સાથેના બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે: .

આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમને ગ્રાફિકલી ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે આ સમીકરણોના આલેખના આંતરછેદ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા અથવા સાબિત કરવું કે ત્યાં કોઈ નથી. પ્લેન પર આ સિસ્ટમના દરેક સમીકરણનો ગ્રાફ ચોક્કસ સીધી રેખા છે.

પ્લેન પર બે સીધી રેખાઓની પરસ્પર ગોઠવણીના ત્રણ સંભવિત કિસ્સાઓ છે:

<Рисунок1>;

<Рисунок2>;

<Рисунок3>.

દરેક કેસ માટે તે ડ્રોઇંગ બનાવવા માટે ઉપયોગી છે.

1. નવી સામગ્રી શીખવી

આજે પાઠમાં આપણે શીખીશું કે પરિમાણો ધરાવતી રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે હલ કરવી. પરિમાણ એક સ્વતંત્ર ચલ છે જેનું મૂલ્ય સમસ્યામાં આપેલ નિશ્ચિત અથવા મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યા અથવા પૂર્વનિર્ધારિત સમૂહની સંખ્યા તરીકે ગણવામાં આવે છે. પરિમાણ સાથે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે એક પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરવો જે પરિમાણના કોઈપણ મૂલ્યને સિસ્ટમને અનુરૂપ ઉકેલોનો સમૂહ શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે.

પરિમાણ સાથેની સમસ્યાનો ઉકેલ તેમાં પૂછાયેલા પ્રશ્ન પર આધાર રાખે છે. જો તમારે પેરામીટરના વિવિધ મૂલ્યો માટે સમીકરણોની સિસ્ટમને હલ કરવાની અથવા તેનો અભ્યાસ કરવાની જરૂર હોય, તો તમારે પેરામીટરના કોઈપણ મૂલ્ય માટે અથવા અગાઉ ઉલ્લેખિત સેટ સાથે સંબંધિત પરિમાણના મૂલ્ય માટે વાજબી જવાબ આપવાની જરૂર છે. સમસ્યા જો ચોક્કસ શરતોને સંતોષતા પરિમાણ મૂલ્યો શોધવા માટે જરૂરી હોય, તો સંપૂર્ણ અભ્યાસની જરૂર નથી, અને સિસ્ટમનો ઉકેલ આ ચોક્કસ પરિમાણ મૂલ્યો શોધવા માટે મર્યાદિત છે.

ઉદાહરણ 1.દરેક પરિમાણ મૂલ્ય માટે, અમે સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ છીએ

ઉકેલ.

1. સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે જો

આ કિસ્સામાં અમારી પાસે છે

1. જો a = 0 હોય, તો સિસ્ટમ ફોર્મ લે છે

સિસ્ટમ અસંગત છે, એટલે કે. કોઈ ઉકેલ નથી.

1. જો પછી સિસ્ટમ ફોર્મમાં લખાયેલ છે

દેખીતી રીતે, આ કિસ્સામાં સિસ્ટમ પાસે x = t ફોર્મના અનંત ઘણા ઉકેલો છે; જ્યાં t કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

જવાબ:

ઉદાહરણ 2.

• એક અનન્ય ઉકેલ છે;
• ઘણા ઉકેલો છે;
• કોઈ ઉકેલ નથી?

ઉકેલ.

જવાબ:

ઉદાહરણ 3.ચાલો આપણે પરિમાણો a અને b નો સરવાળો શોધીએ જેના માટે સિસ્ટમ છે

અસંખ્ય ઉકેલો છે.

ઉકેલ.સિસ્ટમ પાસે અનંતપણે ઘણા ઉકેલો છે જો

એટલે કે, જો a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 = 48.

જવાબ: 48.

1. સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે જે શીખવામાં આવ્યું છે તેને મજબૂત બનાવવું

1. નંબર 15.24(a) . દરેક પરિમાણ મૂલ્ય માટે, સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

1. નંબર 15.25(a) દરેક પરિમાણ મૂલ્ય માટે, સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

1. પરિમાણ a ના કયા મૂલ્યો પર સમીકરણોની સિસ્ટમ કરે છે

એ) પાસે કોઈ ઉકેલ નથી; b) અસંખ્ય ઉકેલો છે.

જવાબ: a = 2 માટે કોઈ ઉકેલો નથી, a = -2 માટે અસંખ્ય ઉકેલો છે

1. જૂથોમાં વ્યવહારુ કાર્ય

વર્ગ 4-5 લોકોના જૂથોમાં વહેંચાયેલો છે. દરેક જૂથમાં ગાણિતિક તૈયારીના વિવિધ સ્તરો ધરાવતા વિદ્યાર્થીઓનો સમાવેશ થાય છે. દરેક જૂથને ટાસ્ક કાર્ડ મળે છે. તમે બધા જૂથોને સમીકરણોની એક સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે આમંત્રિત કરી શકો છો અને ઉકેલને ઔપચારિક બનાવી શકો છો. જૂથ કે જે કાર્યને યોગ્ય રીતે પૂર્ણ કરનાર પ્રથમ હતું તે તેના ઉકેલને રજૂ કરે છે; બાકીના ઉકેલ શિક્ષકને સોંપો.

કાર્ડ.રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

પરિમાણના તમામ મૂલ્યો માટે a.

જવાબ: ક્યારે સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે ; જ્યારે કોઈ ઉકેલો ન હોય; a = -1 માટે ફોર્મના અનંત ઘણા ઉકેલો છે, (t; 1- t) જ્યાં t R

જો વર્ગ મજબૂત હોય, તો જૂથોને સમીકરણોની વિવિધ પ્રણાલીઓ ઓફર કરવામાં આવી શકે છે, જેની સૂચિ પરિશિષ્ટ1 માં છે. પછી દરેક જૂથ વર્ગ સમક્ષ તેમનો ઉકેલ રજૂ કરે છે.

કાર્યને યોગ્ય રીતે પૂર્ણ કરનાર પ્રથમ જૂથનો અહેવાલ

સહભાગીઓ અવાજ કરે છે અને તેમના ઉકેલને સમજાવે છે અને અન્ય જૂથોના પ્રતિનિધિઓ દ્વારા ઉઠાવવામાં આવેલા પ્રશ્નોના જવાબ આપે છે.

1. સ્વતંત્ર કાર્ય

વિકલ્પ 1

વિકલ્પ 2

1. પાઠ સારાંશ

પરિમાણો સાથે રેખીય સમીકરણોના ઉકેલની પ્રણાલીઓને ત્રણ મૂળભૂત શરતોનો સમાવેશ કરતા અભ્યાસ સાથે સરખાવી શકાય છે. શિક્ષક વિદ્યાર્થીઓને તેમની રચના કરવા આમંત્રણ આપે છે.

નક્કી કરતી વખતે, યાદ રાખો:

1. સિસ્ટમમાં અનન્ય ઉકેલ મેળવવા માટે, તે જરૂરી છે કે સિસ્ટમના સમીકરણને અનુરૂપ રેખાઓ છેદે છે, એટલે કે. શરત પૂરી થવી જોઈએ;
2. કોઈ ઉકેલ ન હોવા માટે, રેખાઓ સમાંતર હોવી જોઈએ, એટલે કે. શરત પૂરી થઈ
3. અને, છેવટે, સિસ્ટમ માટે અનંત ઘણા ઉકેલો હોય, રેખાઓ એકરૂપ હોવી જોઈએ, એટલે કે. શરત પૂરી થઈ.

શિક્ષક સમગ્ર વર્ગના કાર્યનું મૂલ્યાંકન કરે છે અને વ્યક્તિગત વિદ્યાર્થીઓને પાઠ માટે ગુણ સોંપે છે. તેમના સ્વતંત્ર કાર્યની તપાસ કર્યા પછી, દરેક વિદ્યાર્થીને પાઠ માટે ગ્રેડ પ્રાપ્ત થશે.

1. હોમવર્ક

સમીકરણોની સિસ્ટમ b પરિમાણના કયા મૂલ્યો પર કરે છે

• અનંત ઘણા ઉકેલો છે;
• કોઈ ઉકેલ નથી?

ફંક્શન y = 4x + b અને y = kx + 6 ના આલેખ ઓર્ડિનેટ વિશે સપ્રમાણ છે.

• b અને k શોધો,
• આ આલેખના આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.

m અને n ના તમામ મૂલ્યો માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો.

પરિમાણ a (તમારી પસંદગીની કોઈપણ કિંમત) ના તમામ મૂલ્યો માટે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો.

સાહિત્ય

1. બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણની શરૂઆત: પાઠયપુસ્તક. 11મા ધોરણ માટે સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ: મૂળભૂત અને પ્રોફાઇલ. સ્તરો / S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin - M.: શિક્ષણ, 2008.
2. ગણિત: 9મો ગ્રેડ: રાજ્યના અંતિમ પ્રમાણપત્રની તૈયારી / M. N. Korchagina, V. V. Korchagin - M.: Eksmo, 2008.
3. અમે યુનિવર્સિટીની તૈયારી કરી રહ્યા છીએ. ગણિત. ભાગ 2. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી, કેન્દ્રિય પરીક્ષણમાં ભાગ લેવા અને કુબાન સ્ટેટ ટેકનિકલ યુનિવર્સિટી/કુબાનમાં પ્રવેશ પરીક્ષાઓ પાસ કરવા માટેની પાઠ્યપુસ્તક. રાજ્ય ટેકનોલોજી યુનિવર્સિટી; આધુનિક સંસ્થા ટેકનોલોજી અને અર્થતંત્ર.; દ્વારા સંકલિત: એસ. એન. ગોર્શકોવા, એલ. એમ. ડેનોવિચ, એન. એ. નૌમોવા, એ.વી. માર્ટિનેન્કો, I.A. પાલશ્ચિકોવા. - ક્રાસ્નોદર, 2006.
4. TUSUR પ્રારંભિક અભ્યાસક્રમો માટે ગણિતમાં સમસ્યાઓનો સંગ્રહ: પાઠ્યપુસ્તક / Z. M. Goldshtein, G. A. Kornievskaya, G. A. Korotchenko, S. N. કુડિનોવા. - ટોમ્સ્ક: ટોમ્સ્ક. રાજ્ય યુનિવર્સિટી ઓફ કંટ્રોલ સિસ્ટમ્સ એન્ડ રેડિયોઈલેક્ટ્રોનિક્સ, 1998.
5. ગણિત: સઘન પરીક્ષા તૈયારી અભ્યાસક્રમ / ઓ. યુ. ચેરકાસોવ, એ. જી. યાકુશેવ. - એમ.: રોલ્ફ, આઇરિસ-પ્રેસ, 1998.

ઉકેલ. A= . ચાલો r(A) શોધીએ. કારણ કે મેટ્રિક્સઅને તેનો ક્રમ 3x4 છે, તો સગીરોનો સૌથી વધુ ક્રમ 3 છે. વધુમાં, ત્રીજા ક્રમના તમામ સગીરો શૂન્ય સમાન છે (તે જાતે તપાસો). અર્થ, r(A)< 3. Возьмем главный મૂળભૂત સગીર = -5-4 = -9 ≠ 0. તેથી r(A) =2.

ચાલો વિચાર કરીએ મેટ્રિક્સ સાથે = .

નાના ત્રીજા ઓર્ડર ≠ 0. તેથી r(C) = 3.

r(A) થી ≠ r(C) , તો સિસ્ટમ અસંગત છે.

ઉદાહરણ 2.સમીકરણોની સિસ્ટમની સુસંગતતા નક્કી કરો

જો તે સુસંગત હોય તો આ સિસ્ટમ ઉકેલો.

ઉકેલ.

A = , C = . તે સ્પષ્ટ છે કે r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. ત્યારથી detC = 0, પછી r(C)< 4. ચાલો વિચાર કરીએ સગીર ત્રીજું ઓર્ડર, મેટ્રિક્સ A અને C ના ઉપરના ડાબા ખૂણામાં સ્થિત છે: = -23 ≠ 0. તો r(A) = r(C) = 3.

નંબર અજ્ઞાત સિસ્ટમ n=3 માં. આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે. આ કિસ્સામાં, ચોથું સમીકરણ પ્રથમ ત્રણના સરવાળાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને તેને અવગણી શકાય છે.

ક્રેમરના સૂત્રો અનુસારઆપણને x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23 મળે છે.

2.4. મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ. ગૌસીયન પદ્ધતિ

સિસ્ટમ nરેખીય સમીકરણોસાથે nઅજાણ્યાઓ ઉકેલી શકાય છે મેટ્રિક્સ પદ્ધતિસૂત્ર X = A -1 B અનુસાર (Δ પર ≠ 0), જે બંને ભાગોને A -1 વડે ગુણાકાર કરીને (2) માંથી મેળવવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ (વિભાગ 2.2 માં આ સિસ્ટમ ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવી હતી)

ઉકેલ. Δ = 10 ≠ 0 A = - નોન-ડિજનરેટ મેટ્રિક્સ.

= (જરૂરી ગણતરીઓ કરીને આ જાતે તપાસો).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x=

જવાબ આપો: .

વ્યવહારિક દૃષ્ટિકોણથીમેટ્રિક્સ પદ્ધતિ અને સૂત્રો ક્રેમરમોટી માત્રામાં ગણતરીઓ સાથે સંકળાયેલ છે, તેથી પસંદગી આપવામાં આવે છે ગૌસીયન પદ્ધતિ, જેમાં અજ્ઞાત ના ક્રમિક નાબૂદીનો સમાવેશ થાય છે. આ કરવા માટે, સમીકરણોની સિસ્ટમને ત્રિકોણાકાર વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ (મુખ્ય કર્ણની નીચેના તમામ ઘટકો શૂન્યની બરાબર છે) સાથે સમકક્ષ સિસ્ટમમાં ઘટાડવામાં આવે છે. આ ક્રિયાઓને ફોરવર્ડ મૂવમેન્ટ કહેવામાં આવે છે. પરિણામી ત્રિકોણાકાર પ્રણાલીમાંથી, ક્રમિક અવેજીઓ (વિપરીત) નો ઉપયોગ કરીને ચલો જોવા મળે છે.

ઉદાહરણ 2. ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલો

(ઉપર, આ સિસ્ટમ ક્રેમર ફોર્મ્યુલા અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવી હતી).

ઉકેલ.

સીધી ચાલ. ચાલો વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ લખીએ અને, પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, તેને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડીએ:

~ ~ ~ ~ .

અમને મળે છે સિસ્ટમ

વિપરીત ચાલ.છેલ્લા સમીકરણમાંથી આપણે શોધીએ છીએ એક્સ 3 = -6 અને આ મૂલ્યને બીજા સમીકરણમાં બદલો:

એક્સ 2 = - 11/2 - 1/4એક્સ 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

એક્સ 1 = 2 -એક્સ 2 + એક્સ 3 = 2+4-6 = 0.

જવાબ આપો: .

2.5. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવા દો = b i(i=). ચાલો r(A) = r(C) = r, એટલે કે. સિસ્ટમ સહયોગી છે. શૂન્ય સિવાયનો કોઈપણ લઘુત્તમ ક્રમ છે મૂળભૂત સગીર.સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના, અમે ધારીશું કે આધાર ગૌણ મેટ્રિક્સ A ની પ્રથમ r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) પંક્તિઓ અને કૉલમ્સમાં સ્થિત છે. સિસ્ટમના છેલ્લા m-r સમીકરણોને કાઢી નાખ્યા પછી, અમે એક લખીએ છીએ. ટૂંકી સિસ્ટમ:

જે મૂળની સમકક્ષ છે. ચાલો અજાણ્યાઓને નામ આપીએ x 1 ,….x rમૂળભૂત, અને x આર +1,…, x આરમુક્ત કરો અને મફત અજ્ઞાત ધરાવતા શબ્દોને કાપેલી સિસ્ટમના સમીકરણોની જમણી બાજુએ ખસેડો. અમે મૂળભૂત અજાણ્યાઓના સંદર્ભમાં સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

જે મફત અજ્ઞાત મૂલ્યોના દરેક સમૂહ માટે x r +1 = С 1,…, x n = С n-rમાત્ર એક જ ઉકેલ છે x 1 (C 1 ,…, C n-r), …, x r (C 1 ,…, C n-r),ક્રેમરના નિયમ દ્વારા મળી.

અનુરૂપ ઉકેલટૂંકી, અને તેથી મૂળ સિસ્ટમનું સ્વરૂપ છે:

X(C 1,…, C n-r) = - સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ.

જો સામાન્ય ઉકેલમાં આપણે મુક્ત અજાણ્યાઓને અમુક સંખ્યાત્મક મૂલ્યો અસાઇન કરીએ છીએ, તો આપણે રેખીય સિસ્ટમનો ઉકેલ મેળવીએ છીએ, જેને આંશિક ઉકેલ કહેવાય છે.

ઉદાહરણ.

ઉકેલસુસંગતતા સ્થાપિત કરો અને સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો . A = .

, C = તેથી કેવી રીતે r(A)< 4).

ઉકેલ. સામાન્ય ઉકેલ અને સિસ્ટમના કેટલાક વિશિષ્ટ ઉકેલો શોધો

મુખ્ય મેટ્રિક્સ A ને ડોટેડ લાઇન દ્વારા અલગ કરવામાં આવે છે, અમે સિસ્ટમના સમીકરણોમાં શરતોની સંભવિત પુન: ગોઠવણીને ધ્યાનમાં રાખીને ટોચ પર અજ્ઞાત સિસ્ટમો લખીએ છીએ. વિસ્તૃત મેટ્રિક્સનો ક્રમ નક્કી કરીને, અમે એક સાથે મુખ્યનો ક્રમ શોધીએ છીએ. મેટ્રિક્સ B માં, પ્રથમ અને બીજા કૉલમ પ્રમાણસર છે. બે પ્રમાણસર કૉલમમાંથી, માત્ર એક જ મૂળભૂત માઇનોરમાં આવી શકે છે, તેથી ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ કૉલમ વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે ડોટેડ લાઇનથી આગળ વધીએ. સિસ્ટમ માટે, આનો અર્થ છે x 1 થી સમીકરણોની જમણી બાજુએ શબ્દોને સ્થાનાંતરિત કરવું.

ચાલો મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડીએ. અમે ફક્ત પંક્તિઓ સાથે જ કામ કરીશું, કારણ કે મેટ્રિક્સ પંક્તિને શૂન્ય સિવાયની સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવી અને તેને સિસ્ટમ માટે બીજી પંક્તિમાં ઉમેરવાનો અર્થ એ છે કે સમીકરણને સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવો અને તેને અન્ય સમીકરણ સાથે ઉમેરવું, જેનું સોલ્યુશન બદલાતું નથી. સિસ્ટમ અમે પ્રથમ પંક્તિ સાથે કામ કરીએ છીએ: મેટ્રિક્સની પ્રથમ પંક્તિને (-3) વડે ગુણાકાર કરો અને બદલામાં બીજી અને ત્રીજી પંક્તિમાં ઉમેરો. પછી પ્રથમ લીટીને (-2) વડે ગુણાકાર કરો અને તેને ચોથીમાં ઉમેરો.

બીજી અને ત્રીજી રેખાઓ પ્રમાણસર છે, તેથી, તેમાંથી એક, ઉદાહરણ તરીકે, બીજી, પાર કરી શકાય છે. આ સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને પાર કરવા સમાન છે, કારણ કે તે ત્રીજાનું પરિણામ છે.

હવે આપણે બીજી લાઇન સાથે કામ કરીએ છીએ: તેને (-1) વડે ગુણાકાર કરો અને તેને ત્રીજામાં ઉમેરો.

ડોટેડ માઇનોર (સંભવિત સગીરોમાં) સૌથી વધુ ક્રમ ધરાવે છે અને તે બિન-શૂન્ય છે (તે મુખ્ય કર્ણ પરના તત્વોના ગુણાંક જેટલો છે), અને આ માઇનોર મુખ્ય મેટ્રિક્સ અને વિસ્તૃત એક બંને સાથે સંબંધિત છે, તેથી rangA = રંગબી = 3.
ગૌણ મૂળભૂત છે. તેમાં અજ્ઞાત x 2 , x 3 , x 4 માટે ગુણાંકનો સમાવેશ થાય છે, જેનો અર્થ છે કે અજ્ઞાત x 2 , x 3 , x 4 નિર્ભર છે અને x 1 , x 5 મુક્ત છે.
ચાલો મેટ્રિક્સને રૂપાંતરિત કરીએ, ડાબી બાજુએ માત્ર બેઝિસ ગૌણ છોડીએ (જે ઉપરોક્ત સોલ્યુશન અલ્ગોરિધમના પોઈન્ટ 4 ને અનુરૂપ છે).

આ મેટ્રિક્સના ગુણાંક સાથેની સિસ્ટમ મૂળ સિસ્ટમની સમકક્ષ છે અને તેનું સ્વરૂપ છે

અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ:
, ,

અમે મુક્ત રાશિઓ x 1 અને x 5 દ્વારા આશ્રિત ચલો x 2, x 3, x 4 વ્યક્ત કરતા સંબંધો મેળવ્યા, એટલે કે, અમને સામાન્ય ઉકેલ મળ્યો:

મફત અજાણ્યાઓને કોઈપણ મૂલ્યો સોંપીને, અમે કોઈપણ સંખ્યાના આંશિક ઉકેલો મેળવીએ છીએ. ચાલો બે વિશિષ્ટ ઉકેલો શોધીએ:
1) ચાલો x 1 = x 5 = 0, પછી x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) x 1 = 1, x 5 = -1, પછી x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7 મૂકો.
આમ, બે ઉકેલો મળ્યા: (0,1,-3,3,0) – એક ઉકેલ, (1,4,-7,7,-1) – બીજો ઉકેલ.

ઉદાહરણ 2. સુસંગતતાનું અન્વેષણ કરો, સિસ્ટમ માટે સામાન્ય અને એક વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો

ઉકેલ. ચાલો પ્રથમ અને બીજા સમીકરણોને પ્રથમ સમીકરણમાં એક રાખવા માટે ફરીથી ગોઠવીએ અને મેટ્રિક્સ B લખીએ.

અમે પ્રથમ પંક્તિ સાથે કામ કરીને ચોથા સ્તંભમાં શૂન્ય મેળવીએ છીએ:

હવે આપણે બીજી લાઇનનો ઉપયોગ કરીને ત્રીજા કૉલમમાં શૂન્ય મેળવીએ છીએ:

ત્રીજી અને ચોથી લાઇન પ્રમાણસર છે, તેથી તેમાંથી એકને રેન્ક બદલ્યા વિના પાર કરી શકાય છે:
ત્રીજી લાઇનને (–2) વડે ગુણાકાર કરો અને તેને ચોથીમાં ઉમેરો:

આપણે જોઈએ છીએ કે મુખ્ય અને વિસ્તૃત મેટ્રિસિસની રેન્ક 4 ની બરાબર છે, અને રેન્ક અજાણ્યાઓની સંખ્યા સાથે એકરુપ છે, તેથી, સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે:
;
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

ઉદાહરણ 3. સુસંગતતા માટે સિસ્ટમની તપાસ કરો અને જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો ઉકેલ શોધો.

ઉકેલ. અમે સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સનું સંકલન કરીએ છીએ.

અમે પ્રથમ બે સમીકરણોને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ જેથી ઉપલા ડાબા ખૂણામાં 1 હોય:
પ્રથમ લીટીને (-1) વડે ગુણાકાર કરીને, તેને ત્રીજીમાં ઉમેરીને:

બીજી લાઇનને (-2) વડે ગુણાકાર કરો અને તેને ત્રીજીમાં ઉમેરો:

સિસ્ટમ અસંગત છે, કારણ કે મુખ્ય મેટ્રિક્સમાં અમને શૂન્યનો સમાવેશ કરતી પંક્તિ મળી છે, જે જ્યારે રેન્ક મળે છે ત્યારે તેને પાર કરવામાં આવે છે, પરંતુ વિસ્તૃત મેટ્રિક્સમાં છેલ્લી પંક્તિ રહે છે, એટલે કે, r B > r A .

વ્યાયામ. સુસંગતતા માટે સમીકરણોની આ સિસ્ટમની તપાસ કરો અને મેટ્રિક્સ કેલ્ક્યુલસનો ઉપયોગ કરીને તેને હલ કરો.
ઉકેલ

ઉદાહરણ. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમની સુસંગતતા સાબિત કરો અને તેને બે રીતે હલ કરો: 1) ગૌસ પદ્ધતિ દ્વારા; 2) ક્રેમરની પદ્ધતિ. (જવાબ ફોર્મમાં દાખલ કરો: x1,x2,x3)
ઉકેલ :doc :doc :xls
જવાબ: 2,-1,3.

ઉદાહરણ. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવામાં આવી છે. તેની સુસંગતતા સાબિત કરો. સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ અને એક ચોક્કસ ઉકેલ શોધો.
ઉકેલ
જવાબ: x 3 = - 1 + x 4 + x 5 ; x 2 = 1 - x 4 ; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

વ્યાયામ. દરેક સિસ્ટમના સામાન્ય અને ચોક્કસ ઉકેલો શોધો.
ઉકેલ.અમે ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આ સિસ્ટમનો અભ્યાસ કરીએ છીએ.
ચાલો વિસ્તૃત અને મુખ્ય મેટ્રિસિસ લખીએ:

વ્યાયામ. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો.
જવાબ આપો:x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
મફત અજાણ્યાઓને કોઈપણ મૂલ્યો સોંપીને, અમે કોઈપણ સંખ્યાના આંશિક ઉકેલો મેળવીએ છીએ. સિસ્ટમ છે અનિશ્ચિત

• સિસ્ટમ્સ mસાથે રેખીય સમીકરણો nઅજ્ઞાત
  રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી- આ સંખ્યાઓનો સમૂહ છે ( x 1 , x 2 , …, x n), જ્યારે સિસ્ટમના દરેક સમીકરણોમાં અવેજી કરવામાં આવે છે, ત્યારે સાચી સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે.
  જ્યાં a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n- સિસ્ટમ ગુણાંક;
  b i , i = 1, …, m- મફત સભ્યો;
  x j , j = 1, …, n- અજ્ઞાત.
  ઉપરોક્ત સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે: A X = B,
  
  
  
  
  ક્યાં ( એ|બી) એ સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ છે;
  એ- વિસ્તૃત સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ;
  એક્સ- અજ્ઞાત સ્તંભ;
  બી- મફત સભ્યોની કૉલમ.
  જો મેટ્રિક્સ બીનલ મેટ્રિક્સ નથી ∅, તો રેખીય સમીકરણોની આ સિસ્ટમને અસંગત કહેવાય છે.
  જો મેટ્રિક્સ બી= ∅, તો રેખીય સમીકરણોની આ સિસ્ટમને સજાતીય કહેવામાં આવે છે. સજાતીય સિસ્ટમમાં હંમેશા શૂન્ય (તુચ્છ) ઉકેલ હોય છે: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
  રેખીય સમીકરણોની સંયુક્ત સિસ્ટમરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ છે જેમાં ઉકેલ છે.
  રેખીય સમીકરણોની અસંગત સિસ્ટમરેખીય સમીકરણોની વણઉકેલાયેલી સિસ્ટમ છે.
  રેખીય સમીકરણોની ચોક્કસ સિસ્ટમરેખીય સમીકરણોની એક સિસ્ટમ છે જે અનન્ય ઉકેલ ધરાવે છે.
  રેખીય સમીકરણોની અનિશ્ચિત સિસ્ટમઅસંખ્ય ઉકેલો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ છે.
• n અજ્ઞાત સાથે n રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો
  જો અજાણ્યાઓની સંખ્યા સમીકરણોની સંખ્યા જેટલી હોય, તો મેટ્રિક્સ ચોરસ છે. મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો મુખ્ય નિર્ણાયક કહેવામાં આવે છે અને તેને Δ પ્રતીક દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે.
  ક્રેમર પદ્ધતિસિસ્ટમો ઉકેલવા માટે nસાથે રેખીય સમીકરણો nઅજ્ઞાત
  ક્રેમરનો નિયમ.
  જો રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો મુખ્ય નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન ન હોય, તો સિસ્ટમ સુસંગત અને વ્યાખ્યાયિત છે, અને ક્રેમર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને એકમાત્ર ઉકેલની ગણતરી કરવામાં આવે છે:
  જ્યાં Δ i એ નિર્ધારકો છે જે સિસ્ટમના મુખ્ય નિર્ણાયકમાંથી Δ બદલીને મેળવે છે iમફત સભ્યોની સ્તંભથી મી કૉલમ. .
• n અજ્ઞાત સાથે m રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો
  ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય.
  
  
  રેખીય સમીકરણોની આપેલ સિસ્ટમ સુસંગત રહેવા માટે, તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે કે સિસ્ટમ મેટ્રિક્સનો ક્રમ સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના ક્રમ સમાન હોય, રંગ(Α) = રંગ(Α|બી).
  જો રંગ(Α) ≠ રંગ(Α|બી), તો પછી સિસ્ટમ પાસે દેખીતી રીતે કોઈ ઉકેલો નથી.
  જો રંગ(Α) = રંગ(Α|બી), તો પછી બે કેસો શક્ય છે:
  1) રેન્ક(Α) = n(અજાણ્યાઓની સંખ્યા) - ઉકેલ અનન્ય છે અને ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે;
  2) રેન્ક(A)< n - ત્યાં અનંત ઘણા ઉકેલો છે.
• ગૌસ પદ્ધતિરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે
  
  
  ચાલો એક વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ બનાવીએ ( એ|બી) અજ્ઞાત અને જમણી બાજુના ગુણાંકમાંથી આપેલ સિસ્ટમની.
  ગૌસીયન પદ્ધતિ અથવા અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની પદ્ધતિમાં વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ ઘટાડવાનો સમાવેશ થાય છે ( એ|બી) તેની પંક્તિઓ પર કર્ણ સ્વરૂપમાં (ઉપલા ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં) પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને. સમીકરણોની સિસ્ટમ પર પાછા ફરતા, બધા અજાણ્યાઓ નક્કી થાય છે.
  શબ્દમાળાઓ પર પ્રાથમિક પરિવર્તનમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:
  1) બે લીટીઓ સ્વેપ કરો;
  2) શબ્દમાળાને 0 સિવાયની સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવો;
  3) સ્ટ્રિંગમાં બીજી સ્ટ્રિંગ ઉમેરીને, મનસ્વી સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર;
  4) શૂન્ય રેખા બહાર ફેંકવું.
  વિકર્ણ સ્વરૂપમાં ઘટાડીને વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ આપેલ એકની સમકક્ષ રેખીય સિસ્ટમને અનુરૂપ છે, જેનું સમાધાન મુશ્કેલીઓનું કારણ નથી. .
• સજાતીય રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ.
  સજાતીય પ્રણાલીનું સ્વરૂપ છે:
  
  તે મેટ્રિક્સ સમીકરણને અનુરૂપ છે A X = 0.
  1) એક સજાતીય સિસ્ટમ હંમેશા સુસંગત છે, ત્યારથી r(A) = r(A|B), ત્યાં હંમેશા શૂન્ય ઉકેલ છે (0, 0, …, 0).
  2) સજાતીય સિસ્ટમ માટે બિન-શૂન્ય સોલ્યુશન હોય, તે જરૂરી અને પૂરતું છે r = r(A)< n , જે Δ = 0 ની સમકક્ષ છે.
  3) જો આર< n , પછી દેખીતી રીતે Δ = 0, પછી મુક્ત અજ્ઞાત ઉદ્ભવે છે c 1 , c 2 , …, c n-r, સિસ્ટમમાં બિન-તુચ્છ ઉકેલો છે, અને તેમાંના ઘણા બધા છે.
  4) સામાન્ય ઉકેલ એક્સખાતે આર< n મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:
  X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
  ઉકેલો ક્યાં છે X 1 , X 2 , …, X n-rઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવે છે.
  5) સોલ્યુશનની મૂળભૂત સિસ્ટમ સજાતીય સિસ્ટમના સામાન્ય ઉકેલમાંથી મેળવી શકાય છે:
  
  ,
  જો આપણે ક્રમશઃ પેરામીટર મૂલ્યો (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1) ની બરાબર સેટ કરીએ છીએ.
  ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમના સંદર્ભમાં સામાન્ય ઉકેલનું વિસ્તરણમૂળભૂત સિસ્ટમ સાથે જોડાયેલા ઉકેલોના રેખીય સંયોજનના સ્વરૂપમાં સામાન્ય ઉકેલનો રેકોર્ડ છે.
  પ્રમેય. રેખીય સજાતીય સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે બિન-શૂન્ય ઉકેલ હોય, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે Δ ≠ 0.
  તેથી, જો નિર્ણાયક Δ ≠ 0 હોય, તો સિસ્ટમ પાસે અનન્ય ઉકેલ છે.
  જો Δ ≠ 0 હોય, તો રેખીય સજાતીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં અસંખ્ય ઉકેલો હોય છે.
  પ્રમેય. સજાતીય પ્રણાલીમાં બિનશૂન્ય ઉકેલ હોય તે માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે r(A)< n .
  પુરાવો:
  1) આરત્યાં વધુ ન હોઈ શકે n(મેટ્રિક્સનો ક્રમ કૉલમ અથવા પંક્તિઓની સંખ્યા કરતાં વધી જતો નથી);
  2) આર< n , કારણ કે જો r = n, પછી સિસ્ટમનો મુખ્ય નિર્ણાયક Δ ≠ 0, અને, ક્રેમરના સૂત્રો અનુસાર, એક અનન્ય તુચ્છ ઉકેલ છે x 1 = x 2 = … = x n = 0, જે શરતનો વિરોધાભાસ કરે છે. અર્થ, r(A)< n .
  પરિણામ. સજાતીય સિસ્ટમ માટે ક્રમમાં nસાથે રેખીય સમીકરણો nઅજાણ્યા પાસે બિન-શૂન્ય ઉકેલ હતો, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે Δ = 0.