બે રેન્ડમ ચલ $X$ અને $Y$ને સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે જો એક રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો અન્ય રેન્ડમ વેરીએબલ જે સંભવિત મૂલ્યો લે છે તેના આધારે બદલાતો નથી. એટલે કે, કોઈપણ $x$ અને $y$ માટે ઘટનાઓ $X=x$ અને $Y=y$ સ્વતંત્ર છે. ઘટનાઓ $X=x$ અને $Y=y$ સ્વતંત્ર હોવાથી, પછી સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉત્પાદનના પ્રમેય દ્વારા $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ જમણે)\જમણે)=P \left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.

ઉદાહરણ 1 . રેન્ડમ વેરિયેબલ $X$ ને એક લોટરી "રશિયન લોટ્ટો" ની ટિકિટોમાંથી રોકડ જીત વ્યક્ત કરવા દો, અને રેન્ડમ વેરિયેબલ $Y$ બીજી લોટરી "ગોલ્ડન કી" ની ટિકિટોમાંથી રોકડ જીતને વ્યક્ત કરે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે રેન્ડમ ચલ $X,\Y$ સ્વતંત્ર હશે, કારણ કે એક લોટરીની ટિકિટોમાંથી જીત બીજી લોટરીની ટિકિટોમાંથી જીતના વિતરણના કાયદા પર આધારિત નથી. એવા કિસ્સામાં જ્યાં રેન્ડમ ચલો $X, \Y$ સમાન લોટરીની જીતને વ્યક્ત કરશે, તો દેખીતી રીતે, આ રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ આશ્રિત હશે.

ઉદાહરણ 2 . બે કામદારો વિવિધ વર્કશોપમાં કામ કરે છે અને વિવિધ ઉત્પાદનોનું ઉત્પાદન કરે છે જે ઉત્પાદન તકનીકો અને વપરાયેલી કાચી સામગ્રી દ્વારા એકબીજા સાથે અસંબંધિત હોય છે. શિફ્ટ દીઠ પ્રથમ કાર્યકર દ્વારા ઉત્પાદિત ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યા માટેના વિતરણ કાયદામાં નીચેનું સ્વરૂપ છે:

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
\ ખામીયુક્ત \ ઉત્પાદનો \ x અને 0 અને 1 \\ ની સંખ્યા
\hલાઇન
સંભાવના & 0.8 અને 0.2 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

શિફ્ટ દીઠ બીજા કાર્યકર દ્વારા ઉત્પાદિત ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યા નીચેના વિતરણ કાયદાનું પાલન કરે છે.

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
\ ખામીયુક્ત \ ઉત્પાદનો \ y અને 0 અને 1 \\ ની સંખ્યા
\hલાઇન
સંભાવના & 0.7 અને 0.3 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

ચાલો શિફ્ટ દીઠ બે કામદારો દ્વારા ઉત્પાદિત ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યા માટે વિતરણ કાયદો શોધીએ.

રેન્ડમ ચલ $X$ એ શિફ્ટ દીઠ પ્રથમ કાર્યકર દ્વારા ઉત્પાદિત ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યા અને $Y$ એ શિફ્ટ દીઠ બીજા કાર્યકર દ્વારા ઉત્પાદિત ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યા હોવા દો. શરત પ્રમાણે, રેન્ડમ ચલો $X, \Y$ સ્વતંત્ર છે.

શિફ્ટ દીઠ બે કામદારો દ્વારા ઉત્પાદિત ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યા રેન્ડમ ચલ $X+Y$ છે. તેના સંભવિત મૂલ્યો $0,\1$ અને $2$ છે. ચાલો એ સંભાવનાઓ શોધીએ કે જેની સાથે રેન્ડમ ચલ $X+Y$ તેની કિંમતો લે છે.

$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\જમણે) =0.8\cdot 0.7=0.56.$

$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\ Y=1\ or\ X=1,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right) )P\left(Y=1\right)+P\left(X=1\right)P\left(Y=0\right)=0.8\cdot 0.3+0.2\cdot 0.7 =0.38.$

$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\ Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\જમણે) =0.2\cdot 0.3=0.06.$

પછી શિફ્ટ દીઠ બે કામદારો દ્વારા ઉત્પાદિત ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યાના વિતરણનો કાયદો:

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
\\ ખામીયુક્ત \ ઉત્પાદનો અને 0 અને 1 અને 2 \\ ની સંખ્યા
\hલાઇન
સંભાવના & 0.56 & 0.38 & 0.06\\
\hલાઇન
\end(એરે)$

અગાઉના ઉદાહરણમાં, અમે રેન્ડમ ચલો $X,\Y$ પર ઓપરેશન કર્યું, એટલે કે, અમને તેમનો સરવાળો $X+Y$ મળ્યો. ચાલો હવે રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ પર ઑપરેશન (ઉમેર, તફાવત, ગુણાકાર) ની વધુ સખત વ્યાખ્યા આપીએ અને ઉકેલોના ઉદાહરણો આપીએ.

વ્યાખ્યા 1. સતત ચલ $k$ દ્વારા રેન્ડમ ચલ $X$ નું ઉત્પાદન $kX$ એ રેન્ડમ ચલ છે જે $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ સમાન સંભાવનાઓ સાથે $kx_i$ મૂલ્યો લે છે. \બિંદુઓ,\n\જમણે)$.

વ્યાખ્યા 2. રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો (તફાવત અથવા ઉત્પાદન) $X$ અને $Y$ એ રેન્ડમ ચલ છે જે $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ અથવા $x_i\cdot y_i$) સ્વરૂપના તમામ સંભવિત મૂલ્યો લે છે. , જ્યાં $i=1 ,\ 2,\dots ,\n$, સંભાવનાઓ સાથે $p_(ij)$ કે રેન્ડમ ચલ $X$ મૂલ્ય $x_i$ લેશે, અને $Y$ મૂલ્ય $y_j$ લેશે:

$$p_(ij)=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$

રેન્ડમ ચલો $X,\Y$ સ્વતંત્ર હોવાથી, સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે સંભવિતતા ગુણાકાર પ્રમેય અનુસાર: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ જમણે) = p_i\cdot p_j$.

ઉદાહરણ 3 . સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો $X,\ Y$ તેમના સંભવિત વિતરણ કાયદા દ્વારા ઉલ્લેખિત છે.

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
x_i & -8 અને 2 અને 3 \\
\hલાઇન
p_i અને 0.4 અને 0.1 અને 0.5 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
y_i અને 2 અને 8 \\
\hલાઇન
p_i અને 0.3 અને 0.7 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

ચાલો રેન્ડમ ચલ $Z=2X+Y$ ના વિતરણનો કાયદો ઘડીએ. રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો $X$ અને $Y$, એટલે કે $X+Y$, એક રેન્ડમ ચલ છે જે $x_i+y_j$ સ્વરૂપના તમામ સંભવિત મૂલ્યો લે છે, જ્યાં $i=1,\2 ,\dots ,\n$ , સંભાવનાઓ સાથે $p_(ij)$ કે રેન્ડમ ચલ $X$ મૂલ્ય $x_i$ લેશે, અને $Y$ મૂલ્ય $y_j$: $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. રેન્ડમ ચલો $X,\Y$ સ્વતંત્ર હોવાથી, સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે સંભવિતતા ગુણાકાર પ્રમેય અનુસાર: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ જમણે) = p_i\cdot p_j$.

તેથી, તેમાં અનુક્રમે $2X$ અને $Y$ રેન્ડમ ચલ માટે વિતરણ કાયદા છે.

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
x_i & -16 અને 4 અને 6 \\
\hલાઇન
p_i અને 0.4 અને 0.1 અને 0.5 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
y_i અને 2 અને 8 \\
\hલાઇન
p_i અને 0.3 અને 0.7 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

સરવાળા $Z=2X+Y$ અને તેમની સંભાવનાઓના તમામ મૂલ્યો શોધવાની સગવડતા માટે, અમે એક સહાયક કોષ્ટક બનાવીશું, જેમાંના દરેક કોષમાં અમે સરવાળા $ ના મૂલ્યો ડાબા ખૂણામાં મૂકીશું. Z=2X+Y$, અને જમણા ખૂણે - આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ રેન્ડમ ચલો $2X$ અને $Y$ના અનુરૂપ મૂલ્યોની સંભાવનાઓને ગુણાકાર કરવાના પરિણામે પ્રાપ્ત થાય છે.

પરિણામે, અમે વિતરણ મેળવીએ છીએ $Z=2X+Y$:

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
z_i & -14 અને -8 અને 6 અને 12 અને 10 અને 16 \\
\hલાઇન
p_i અને 0.12 અને 0.28 અને 0.03 અને 0.07 અને 0.15 અને 0.35 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

બંને મશીનો પર શિફ્ટ દરમિયાન ઉત્પાદિત ખામીયુક્ત ભાગોની સંખ્યા માટે વિતરણ કાયદો દોરો, અને આ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા અને પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરો.

192. ઘડિયાળને વધારાના ગોઠવણની જરૂર હોવાની સંભાવના 0.2 છે. અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલી ત્રણ ઘડિયાળો વચ્ચે વધારાના ગોઠવણની જરૂર હોય તેવી ઘડિયાળોની સંખ્યાના વિતરણ માટે કાયદો બનાવો. પરિણામી વિતરણ કાયદાનો ઉપયોગ કરીને, આ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા શોધો. દ્વિપદી કાયદા અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલના ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપ માટે યોગ્ય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને પરિણામ તપાસો.

193. ઉપલબ્ધ છ લોટરી ટિકિટોમાંથી, જેમાંથી ચાર બિન-વિજેતા છે, વિજેતા ટિકિટનો સામનો ન થાય ત્યાં સુધી એક ટિકિટ રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે. રેન્ડમ વેરીએબલ X માટે વિતરણ કાયદો દોરો - લીધેલી ટિકિટની સંખ્યા, જો દરેક ટિકિટ પાછી ન મળે તો. આ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા અને પ્રમાણભૂત વિચલન શોધો.

194. વિદ્યાર્થી ચાર વખતથી વધુ પરીક્ષા આપી શકશે નહીં. રેન્ડમ ચલ X માટે વિતરણ કાયદો દોરો - પરીક્ષા પાસ કરવાના પ્રયાસોની સંખ્યા, જો તે પાસ થવાની સંભાવના 0.75 છે અને ત્યારબાદ દરેક અનુગામી પ્રયાસ સાથે 0.1 દ્વારા વધે છે. આ રેન્ડમ ચલનો તફાવત શોધો.

195. બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ X અને Y ના વિતરણના નિયમો આપવામાં આવ્યા છે:

રેન્ડમ ચલ X–Y માટે વિતરણ કાયદો દોરો અને વિક્ષેપ ગુણધર્મ D(X–Y) = D(X) + D(Y) તપાસો.

196. વર્કશોપમાં ઉપલબ્ધ સમાન પ્રકારની પાંચ ઘડિયાળોમાંથી, માત્ર એક જ ઘડિયાળો ખોટી રીતે સંલગ્ન લોલક ધરાવે છે. માસ્ટર રેન્ડમલી પસંદ કરેલી ઘડિયાળ તપાસે છે. વિસ્થાપિત લોલક સાથેની ઘડિયાળ મળી આવે કે તરત જ સમીક્ષા સમાપ્ત થાય છે (ચેક કરેલી ઘડિયાળો ફરીથી જોવામાં આવતી નથી). માસ્ટર દ્વારા જોયેલા કલાકોની સંખ્યા માટે વિતરણ કાયદો દોરો અને આ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપની ગણતરી કરો.

197. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ X અને Y વિતરણ કાયદા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે:

રેન્ડમ ચલ X 2 + 2Y ના વિતરણનો કાયદો દોરો અને ગાણિતિક અપેક્ષાની મિલકત તપાસો: M(X 2 + 2Y) = M(X 2) + 2M(Y).

198. તે જાણીતું છે કે રેન્ડમ ચલ X, જે બે મૂલ્યો x 1 = 1 અને x 2 = 2 લે છે, તેની ગાણિતિક અપેક્ષા 7/6 જેટલી છે. સંભાવનાઓ શોધો કે જેની સાથે રેન્ડમ ચલ X તેના મૂલ્યો લે છે. રેન્ડમ ચલ 2 X 2 માટે વિતરણ કાયદો દોરો અને તેનો તફાવત શોધો.

199. બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ X અને Y વિતરણ કાયદા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવ્યા છે:

P(X= 3) અને P(Y= 4) શોધો. રેન્ડમ ચલ X – 2Y ના વિતરણનો કાયદો દોરો અને ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપના ગુણધર્મો તપાસો: M(X – 2Y) = M(X) – 2M(Y); D(X – 2Y) = D(X) + 4D(Y).

સમસ્યાઓ 201-210 માં, રેન્ડમ ચલો આપવામાં આવે છે જે સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે

201. રેન્ડમ ચલ ξ સામાન્ય રીતે વિતરિત થાય છે. P(0. શોધો< ξ<10), если Мξ= 10 и Р(10< ξ<20)= 0,3.

202. રેન્ડમ ચલ ξ સામાન્ય રીતે વિતરિત થાય છે. શોધો P(35< ξ<40), если Мξ= 25 и Р(10< ξ<15)= 0,2.

203. રેન્ડમ ચલ ξ સામાન્ય રીતે વિતરિત થાય છે. P (1.) શોધો< ξ<3), если Мξ= 3 и Р(3< ξ<5)= 0,1915.

204. <σ).

205. રેન્ડમ ચલ ξ સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવા માટે, Р(|ξ–а|) શોધો<2σ).

206. રેન્ડમ ચલ ξ સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવા માટે, Р(|ξ–а|) શોધો<4σ).

207. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો ξ અને η સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે,

Мξ= -1; Dξ= 2; Мη = 5; Dη= 7. સંભાવના ઘનતા અને તેમના સરવાળાનું વિતરણ કાર્ય લખો. Р(ξ+η<5) и Р(–1< ξ+η<3).

208. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો ξ, η, ζ સામાન્ય કાયદા અને Мξ= 3 અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે; Dξ= 4; Мη = –2; Dη = 0.04; Мζ= 1; Dζ = 0.09. તેમના સરવાળા માટે સંભાવના ઘનતા અને વિતરણ કાર્ય લખો. શોધો Р(ξ+η+ζ<5) и Р(–1< ξ+η+ζ<3).

209. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો ξ, η, ζ સામાન્ય રીતે વિતરિત થાય છે અને Мξ= –1; Dξ= 9; Мη = 2; Dη = 4; Мζ= –3; Dζ = 0.64. તેમના સરવાળા માટે સંભાવના ઘનતા અને વિતરણ કાર્ય લખો. શોધો Р(ξ+η+ζ<0) и

આર(–3< ξ+η+ζ<0).

210. સ્વચાલિત મશીન રોલર્સનું ઉત્પાદન કરે છે, તેમના વ્યાસ ξ ને નિયંત્રિત કરે છે. ધારીને કે ξ સામાન્ય રીતે વિતરિત થાય છે અને a = 10 mm, σ = 0.1 mm, તે અંતરાલ શોધો જેમાં ઉત્પાદિત રોલર્સનો વ્યાસ 0.9973 ની સંભાવના સાથે સમાયેલ હશે.

સમસ્યાઓ 211–220 માં, કોષ્ટક દ્વારા વોલ્યુમ n = 100 નો નમૂનો X આપવામાં આવે છે:

જ્યાં માપન પરિણામો x i = 0.2·a +(i –1)·0.3·b; n i - ફ્રીક્વન્સીઝ કે જેની સાથે x i ની કિંમતો થાય છે.

1) w i =n i /n સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝનો બહુકોણ બનાવો;

2) નમૂનાનો સરેરાશ, નમૂનાનો તફાવત D B અને પ્રમાણભૂત વિચલન σ B ની ગણતરી કરો;

3) સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝની ગણતરી કરો. બહુકોણ જેવા જ ડ્રોઇંગ પર ગ્રાફ બનાવો;

4) χ 2 માપદંડનો ઉપયોગ કરીને, α = 0.05 ના મહત્વના સ્તરે વસ્તીના સામાન્ય વિતરણ વિશેની પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરો.

211. a = 4; b = 3; 212 . a = 3; b = 2; 213. a = 5; b = 1; 214. a = 1; b = 4;

215. a = 3; b = 5; 216. a=2; b = 3; 217. a = 4; b = 1; 218. a = 2; b = 5; 219. a = 1; b = 2; 220. a = 5; b = 4.

સમસ્યાઓ 221–230 માં, n = 100 ના વોલ્યુમ સાથે લાક્ષણિકતાઓ X અને Y ના સંયુક્ત માપનના પરિણામોના દ્વિ-પરિમાણીય નમૂનાને સહસંબંધ કોષ્ટક દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે:

જ્યાં x i = 0.2·a +(i –1)·0.3·b; y i = 0.5·a +(j – 1)·0.2·b.

1) શોધો અને σ y. અગાઉની સમસ્યામાંથી અને σ x ની કિંમતો લો.

2) સહસંબંધ ગુણાંક r B ની ગણતરી કરો. લક્ષણો X અને Y વચ્ચેના સંબંધની પ્રકૃતિ વિશે નિષ્કર્ષ દોરો.

3) ફોર્મમાં X પર Y ની રીગ્રેશનની સીધી રેખાનું સમીકરણ બનાવો.

4) ગ્રાફ પર સહસંબંધ ક્ષેત્ર દોરો, એટલે કે. બિંદુઓ (xi, yi) ની રચના કરો અને સીધી રેખા બનાવો.

221. a = 4; b = 3; 222. a = 3; b = 2; 223. a = 5; b = 1;

224. a = 1; b = 4; 225. a = 3; b = 5; 226. a = 2; b = 3;

227. a = 4; b = 1; 228. a = 2; b = 5; 229. a = 1; b = 2

230. a = 5; b = 4

231–240 સમસ્યાઓમાં, ફંક્શનની મહત્તમ કિંમત શોધો

શરતો હેઠળ . કોષ્ટકમાંથી મૂલ્યો લો

જરૂરી:

1) ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યા હલ કરો;

2) ટેબ્યુલર સિમ્પ્લેક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યા હલ કરો;

3) સપોર્ટ સોલ્યુશન્સ અને શક્ય ઉકેલોના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર બતાવો;

241-250ની સમસ્યાઓમાં, ત્રણ સપ્લાયર્સ A i () વચ્ચે કેન્દ્રિત કેટલાક સજાતીય કાર્ગો પાંચ ગ્રાહકો B j () સુધી પહોંચાડવા જોઈએ.

b 5નક્કી કરવાની જરૂર છે

એક શ્રેષ્ઠ પરિવહન યોજના કે જે તમામ કાર્ગોને સપ્લાયરો પાસેથી દૂર કરવાની મંજૂરી આપે છે અને તમામ ગ્રાહકોની જરૂરિયાતોને એવી રીતે સંતોષે છે કે આ યોજનાની ઓછામાં ઓછી કિંમત હોય. "ઉત્તરપશ્ચિમ" કોણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ સપોર્ટ પ્લાન શોધો. સંભવિત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને શ્રેષ્ઠ યોજના શોધો. દરેક યોજના માટે શિપિંગ ખર્ચની ગણતરી કરો. 251-260 કાર્યોમાં, ઉદ્યોગ ચાર વસ્તુઓમાં મૂડી રોકાણ કરે છે. યોગદાનની લાક્ષણિકતાઓ અને સ્થાનિક પરિસ્થિતિઓને ધ્યાનમાં લેતા, ઉદ્યોગનો નફો, ધિરાણની રકમના આધારે, ચુકવણી મેટ્રિક્સના ઘટકો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. સમસ્યાને સરળ બનાવવા માટે, ધારો કે ઉદ્યોગની ખોટ ઉદ્યોગના નફાની બરાબર છે. શ્રેષ્ઠ ઉદ્યોગ વ્યૂહરચના શોધો.

1) કોષ્ટકમાં પ્રારંભિક ડેટાનો સારાંશ આપો અને શુદ્ધ વ્યૂહરચનાઓમાં મેટ્રિક્સ રમતનો ઉકેલ શોધો, જો તે અસ્તિત્વમાં છે (અન્યથા, આગલું પગલું 2 જુઓ);

2) ચુકવણી મેટ્રિક્સને સરળ બનાવો;

3) આપેલ મેટ્રિક્સ રમતની સમકક્ષ પરસ્પર દ્વિ સમસ્યાઓની જોડી બનાવો;

4) સિમ્પ્લેક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સીધી સમસ્યા (ઉદ્યોગ B માટે) માટે શ્રેષ્ઠ ઉકેલ શોધો;

5) ચલોના પત્રવ્યવહારનો ઉપયોગ કરીને, દ્વિ સમસ્યાનો શ્રેષ્ઠ ઉકેલ લખો (ઉદ્યોગ A માટે);

6) આ ઉકેલનું ભૌમિતિક અર્થઘટન આપો (ઉદ્યોગ A માટે);

7) બેવડા સમસ્યાઓ, શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચનાઓ અને રમતની કિંમતની જોડીના શ્રેષ્ઠ ઉકેલો વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરીને, મિશ્ર વ્યૂહરચનામાં રમતનો ઉકેલ શોધો;

વિકલ્પ 1 વિકલ્પ 2 વિકલ્પ 3

1. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ અને વેક્ટર બીજગણિત……………….. 4

2. રેખીય સમીકરણો અને જટિલ સંખ્યાઓની સિસ્ટમ્સ………….. 5

3. ફંક્શન ગ્રાફનું પ્લોટિંગ, મર્યાદાની ગણતરી

અને ફંક્શન્સના બ્રેકપોઇન્ટ્સને ઓળખવા.………………………………. 6

4. વિધેયોના વ્યુત્પન્ન, મહાન અને લઘુત્તમ મૂલ્યો

સેગમેન્ટ પર..………………………………………………………….. 9

5. કાર્યોનું સંશોધન અને આલેખનું નિર્માણ,

કેટલાક ચલોના કાર્યો, ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિ..… 11

6. અનિશ્ચિત, નિશ્ચિત અને અયોગ્ય અભિન્ન….. 12

7. વિભેદક સમીકરણો અને સિસ્ટમો ઉકેલવા

વિભેદક સમીકરણો ……………………………………………… 14

8. બહુવિધ અને વક્રીકૃત અભિન્ન ……………………………… 15

9. સંખ્યાત્મક અને શક્તિ શ્રેણીનો અભ્યાસ, અંદાજિત

વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલો……………………………… 17

10. સંભાવના સિદ્ધાંત……………………………………………………… 18

પેટ્ર અલેકસેવિચ બુરોવ

એનાટોલી નિકોલાઈવિચ મુરાવ્યોવ

કાર્યોનો સંગ્રહ

©2015-2019 સાઇટ
તમામ અધિકારો તેમના લેખકોના છે. આ સાઇટ લેખકત્વનો દાવો કરતી નથી, પરંતુ મફત ઉપયોગ પ્રદાન કરે છે.
પૃષ્ઠ બનાવવાની તારીખ: 2017-12-07

બે રેન્ડમ ચલોના લઘુત્તમ (મહત્તમ)ના વિતરણનો કાયદો. ઓર્ડરના આંકડાઓના વિતરણનો કાયદો

આ વિભાગમાં આપણે સૌ પ્રથમ આવા વિધેયાત્મક પરિવર્તન સી. c., જેમાં બે મૂલ્યોની મહત્તમ (લઘુત્તમ) પસંદગીનો સમાવેશ થાય છે.

સમસ્યા 1. ઓછામાં ઓછા બે રેન્ડમ ચલોના વિતરણનો નિયમ. સતત સિસ્ટમ આપવામાં આવે છે. વી. (X અને X 2) p.r./(*!, સાથે x 2). r.v નું વિતરણ કાર્ય શોધો. Y:

ઉકેલ. ચાલો પહેલા P શોધી કાઢીએ ( Y> y) = પી (Xi > y; એક્સ 2 > y). પ્રદેશ ડી(y), ક્યાં એક્સ> y અને એક્સ 2 > વાયફિગમાં બતાવેલ છે. 9.6.1. બિંદુ અથડાવાની સંભાવના (X[, X 2)પ્રદેશ માટે ડી(y) સમાન છે

જ્યાં F (x b x 2) -સિસ્ટમ વિતરણ કાર્ય c. વી. (Хь Х 2), F x(jq), એફ 2 (x 2) - વિતરણ કાર્યો c. વી. એક્સઅને એક્સ 2 અનુક્રમે આથી,

p.r નક્કી કરવા માટે. g (y)તમારે જમણી બાજુનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર છે (9.6.1):

જો એસ. વી. એક્સ એક્સ, એક્સ 2 સ્વતંત્ર અને p.r સાથે સમાન રીતે વિતરિત. ફાઈ(X) =/ 2 (x) =f(x),તે

ઉદાહરણ 1. અમે ઉપકરણના સંચાલનને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જેમાં બે બ્લોક્સ Bi અને B 2 હોય છે, જેનું સંયુક્ત ઓપરેશન ઉપકરણના સંચાલન માટે એકદમ જરૂરી છે. બ્લોક બી ઓપરેટિંગ સમય! અને B 2 સ્વતંત્ર s નું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. વી. એક્સઅને X 2,પરિમાણો સાથે ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત એક્સઅને X 2.વિતરણ કાયદો સી શોધવા માટે જરૂરી છે. વી. યુ-તકનીકી એકમનો કાર્યકારી સમય.

ઉકેલ. તે સ્પષ્ટ છે કે

સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને (9.6.4) આપણે શોધીએ છીએ:

એટલે કે ઓછામાં ઓછા બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો, પરિમાણ X x અને X 2 સાથે ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત, પરિમાણ X x સાથે ઘાતાંકીય કાયદાઓ અનુસાર પણ વિતરિત + X 2. ?

સમસ્યા 2. લઘુત્તમ ના વિતરણનો કાયદો nસ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો. તંત્રને આપ્યું છે nસ્વતંત્ર ગામો વી. (X x, X 2, ..., X p) p.r સાથે .f (x x), f 2 (x 2), ...,f એન (x n). એફ શોધો. આર. અને ઘનતા c. વી. Y=મિનિટ (એક્સ X,.... X p).

ઉકેલ. વ્યાખ્યા દ્વારા

ઉદાહરણ 2. અમે ઓટોમેટેડ સિસ્ટમ (AS) ના સંચાલનને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, જેમાં સમાવેશ થાય છે nસબસિસ્ટમ સ્પીકર્સ કામ કરવા માટે, દરેકને કામ કરવાની જરૂર છે nસબસિસ્ટમ્સ; /મી સબસિસ્ટમનો અપટાઇમ 7} પરિમાણ (/ = 1, 2,) સાથે ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત p)અને અન્ય સબસિસ્ટમના ઓપરેટિંગ સમય પર નિર્ભર નથી. સમય વિતરણનો કાયદો નક્કી કરો ડી i) AS ની નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરી.

ઉકેલ. તે સ્પષ્ટ છે કે

ફોર્મ્યુલા (9.6.6) નો ઉપયોગ કરીને આપણે r.v વિતરણ કાર્ય શોધીએ છીએ. ડી એલ)

આમ, વિતરણ કાયદો સી. વી. - લઘુત્તમ nસ્વતંત્ર ગામો c., ઘાતાંકીય કાયદાઓ અનુસાર વિતરિત, ઘાતાંકીય પણ છે; જ્યારે તેનું પરિમાણ i)S n))આ ઘાતાંકીય વિતરણોના પરિમાણોના સરવાળાની બરાબર છે. તે આના પરથી અનુસરે છે કે

તે બતાવી શકાય કે વિતરણ કાયદો સી. વી. ડી i) જ્યારે પર્યાપ્ત મોટા nઘાતાંકીય કાયદામાં કન્વર્જ થશે, ભલે s. વી. 7) (/= 1, 2, ..., p)ઘાતાંકીય કાયદાઓ અનુસાર વિતરિત નથી. ચાલો સમાનરૂપે વિતરિત s ના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આને દર્શાવીએ. વી.:

આ કિસ્સામાં

અને આ એફ છે. આર. નિદર્શન કાયદો.

આમ, અમે એક નિષ્કર્ષ દોરી શકીએ છીએ જેનો ઉપયોગ ઇજનેરી એપ્લિકેશન્સમાં વ્યાપકપણે થાય છે: જો કોઈપણ ઉપકરણમાં પૂરતા પ્રમાણમાં મોટી સંખ્યામાં તત્વો n હોય, તો જેનું સંચાલન ઉપકરણના સંચાલન માટે એકદમ જરૂરી છે, પછી ઉપકરણની નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીનો સમય વિતરણનો નિયમ F p) પરિમાણ સાથે ઘાતાંકીયની નજીક છે, સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

જ્યાં એમ [ Tj- i-th તત્વનો સરેરાશ નિષ્ફળતા-મુક્ત ઓપરેશન સમય.

આવા ઉપકરણની નિષ્ફળતાનો પ્રવાહ પરિમાણ સાથે પોઈસનની નજીક હશે ) Sn ?

સમસ્યા 3. મહત્તમ બે રેન્ડમ ચલોના વિતરણનો નિયમ. સતત સિસ્ટમ આપવામાં આવે છે. વી. (Хь X 2)ઘનતા સાથે/(lbs x 2).તે આર.વી. વિતરણ કાયદો શોધવા માટે જરૂરી છે.

ઉકેલ. વ્યાખ્યા પ્રમાણે,

જ્યાં F(x x, x 2) - સિસ્ટમ વિતરણ કાર્ય (X અને X 2).

આ અભિવ્યક્તિને આપણે પહેલાની જેમ અલગ કરીને, આપણને મળે છે:

જો રેન્ડમ ચલો એક્સ અને એક્સ2 સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે, પછી

જો રેન્ડમ ચલો X x 2 સ્વતંત્ર છે, તો પછી

જો રેન્ડમ ચલો X x 2 સ્વતંત્ર અને સમાનરૂપે વિતરિત, પછી

ઉદાહરણ 3. તકનીકી ઉપકરણનું સંચાલન તેના બે બ્લોક્સ Bi અને B2 ની એસેમ્બલી પૂર્ણ થાય તે પહેલાં શરૂ થઈ શકતું નથી. બ્લોક્સ Bi અને B 2 નો એસેમ્બલી સમય એ સ્વતંત્ર s ની સિસ્ટમ છે. વી. X xઅને X 2,પરિમાણો સાથે ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત X xઅને X 2. Y-બંને તકનીકી સ્પષ્ટીકરણ બ્લોક્સની એસેમ્બલી પૂર્ણ થવાનો સમય.

ઉકેલ. તે સ્પષ્ટ છે કે Y=મહત્તમ (X ъ X 2).વિતરણ ઘનતા c. વી. ^સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે (9.6.12)

આ કાયદો સૂચક નથી. ?

સમસ્યા 4. મહત્તમ ના વિતરણનો કાયદો nસ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો. સતત સિસ્ટમ આપવામાં આવે છે. વી. (X x, X 2 , ..., X p)ઘનતા સાથે f(x x, x 2,

રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો શોધો

ઉકેલ. વ્યાખ્યા દ્વારા

જ્યાં F(x 1, એક્સ 2 ,..., x p) -સિસ્ટમ વિતરણ કાર્ય (X x, X 2, ..., X p).તફાવત કરીને, અમે વિતરણ ઘનતા શોધીએ છીએ:

જ્યાં Fj (એક્સજે) - એફ. આર. સાથે. વી. Xjfj(xj) - તેની ઘનતા.

જો એસ. વી. x b ..., એક્સ પીસ્વતંત્ર અને સમાનરૂપે વિતરિત (Fi(y) = F(y);f (y) =f(y) (/"= 1,n)), તે

જો રેન્ડમ ચલો એક્સ અને ..., એક્સ પીસ્વતંત્ર છે, તો પછી

ઉદાહરણ 4. તમામની એસેમ્બલી પહેલાં ટેકનિકલ સાધનોનું કામ શરૂ થઈ શકતું નથી nતેના બ્લોક્સ: B b Bg, ..., B„. બ્લોક્સ B b..., B l ના એસેમ્બલી સમય સિસ્ટમનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે nસ્વતંત્ર ગામો વી. (હ..., X p),પરિમાણો A.1,..., A, p સાથે ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત.

આપણે ઘનતા c શોધવાની જરૂર છે. વી. યુ-તમામ એસેમ્બલી માટે પૂર્ણ થવાનો સમય nટીયુ બ્લોક્સ.

ઉકેલ. દેખીતી રીતે y = મહત્તમ (એક્સ,..., X p).સૂત્ર (9.6.16) મુજબ આપણી પાસે છે

સમસ્યા 5. ઓર્ડરના આંકડાઓના વિતરણનો કાયદો. ચાલો સમાન રીતે વિતરિત, સ્વતંત્ર s ની સતત સિસ્ટમનો વિચાર કરીએ. વી. (X v X 2, ..., X p)એફ સાથે. આર. F(x)અને p.r./(x). ચાલો રેન્ડમ ચલો દ્વારા ધારવામાં આવેલ મૂલ્યોને ગોઠવીએ X v X 2, ..., X p,ચડતા ક્રમમાં અને સૂચિત કરો:

X (1) એ રેન્ડમ ચલ છે જે મૂલ્યોમાં સૌથી નાનું લે છે: (X (1) = મિનિટ (X v X 2, ..., X p));

X(2) -રેન્ડમ ચલોનું બીજું સૌથી મોટું સ્વીકૃત મૂલ્ય X v X 2, ..., X p;

એક્સ(T) - y-iરેન્ડમ ચલોમાંથી સ્વીકૃત મૂલ્યની તીવ્રતા દ્વારા X x, X 2, ..., એક્સ પી;

X(P) -સ્વીકૃત મૂલ્ય અનુસાર સૌથી મોટું રેન્ડમ ચલ X, X 2, x„ (X (n) =શાહ (X અને X 2, ..., X p)).

દેખીતી રીતે,

રેન્ડમ ચલો X(i), X@),..., X(")કહેવાય છે સામાન્ય આંકડા.

સૂત્રો (9.6.8) અને (9.6.17) આત્યંતિક શબ્દોના વિતરણના નિયમો આપે છે X(i),અને X(")સિસ્ટમો (*).

ચાલો વિતરણ કાર્ય શોધીએ F^ m)(x) સે. વી. X^t yઘટના (X^x) તે છે ટીસાથે. વી. સિસ્ટમમાંથી nસાથે. વી. (X ( , X 2 ,..., એક્સ n) x કરતાં ઓછી હશે અને (p - t)સાથે. વી. x કરતા વધારે હશે. ત્યારથી એસ. વી. એક્સ ટી (/" = 1, 2,..., p)સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત છે, પછી પી (X t x) = F(x)આર (Xj > x) = 1 - F(x).આપણે તેમાં સંભાવના શોધવાની જરૂર છે nસ્વતંત્ર પ્રયોગોની ઘટના (Xj x) બરાબર દેખાશે ટીએકવાર દ્વિપદી વિતરણ લાગુ કરવાથી, આપણને મળે છે

સેવાનો હેતુ. ઑનલાઇન સેવાનો ઉપયોગ કરીને ગાણિતિક અપેક્ષા, ભિન્નતા અને પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરવામાં આવે છે(ઉદાહરણ જુઓ). વધુમાં, વિતરણ કાર્ય F(X) નો ગ્રાફ રચાયેલ છે.

• ઓનલાઈન સોલ્યુશન
• વિડિઓ સૂચનાઓ

રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મો

1. અચળ મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષા પોતાની સમાન છે: M[C]=C, C – અચળ;
2. M=C M[X]
3. રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સરવાળા જેટલી છે: M=M[X]+M[Y]
4. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉત્પાદનની બરાબર છે: M=M[X] M[Y] , જો X અને Y સ્વતંત્ર છે.

વિક્ષેપ ગુણધર્મો

1. સ્થિર મૂલ્યનો તફાવત શૂન્ય છે: D(c)=0.
2. અચળ પરિબળને વિક્ષેપ ચિન્હની નીચેથી વર્ગીકરણ કરીને બહાર કાઢી શકાય છે: D(k*X)= k 2 D(X).
3. જો રેન્ડમ ચલ X અને Y સ્વતંત્ર છે, તો સરવાળોનો ભિન્નતા ભિન્નતાના સરવાળા સમાન છે: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. જો રેન્ડમ ચલ X અને Y નિર્ભર છે: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. નીચેના કોમ્પ્યુટેશનલ ફોર્મ્યુલા વિક્ષેપ માટે માન્ય છે:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

ઉદાહરણ. બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ X અને Y ની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને ભિન્નતા જાણીતી છે: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Z=9X-8Y+7 રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા શોધો.
ઉકેલ. ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મો પર આધારિત: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
વિક્ષેપના ગુણધર્મો પર આધારિત: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 – 64*6 = 345

સતત રેન્ડમ ચલો. રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમો. બે રેન્ડમ દલીલોનું કાર્ય. કન્વોલ્યુશન ફોર્મ્યુલા. સામાન્ય વિતરણની સ્થિરતા, પૃષ્ઠ 3

રેન્ડમ દલીલ Xનું ફંક્શન આપવા દો, આ ફંક્શનની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધવા માટે, દલીલના વિતરણ કાયદાને જાણીને.

1. દલીલ X ને ડિસ્ટ્રિબ્યુશન શ્રેણી સાથે એક અલગ રેન્ડમ ચલ બનવા દો

.

ઉદાહરણ 3.ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ X વિતરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે

કાર્યની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો .

સંભવિત Y મૂલ્યો:

; ; .

2. દલીલ X ને વિતરણ ઘનતા p(x) દ્વારા ઉલ્લેખિત સતત રેન્ડમ ચલ બનવા દો. ફંક્શનની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધવા માટે, તમે પહેલા Y મૂલ્યની વિતરણ ઘનતા g(y) શોધી શકો છો અને પછી સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: .

જો શક્ય હોય તો મૂલ્યો , તે .

ઉદાહરણ 4.રેન્ડમ ચલ X ઘનતા દ્વારા આપવામાં આવે છે અંતરાલમાં (0, π/2); આ અંતરાલની બહાર p(x)=0. કાર્યની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો .

, , , , ; આથી,

§ 17. બે રેન્ડમ દલીલોનું કાર્ય.

કન્વોલ્યુશન ફોર્મ્યુલા. સામાન્ય વિતરણની સ્થિરતા.

o જો રેન્ડમ ચલ X અને Y ના સંભવિત મૂલ્યોની દરેક જોડી રેન્ડમ ચલ Z ના એક સંભવિત મૂલ્યને અનુરૂપ હોય, તો Z કહેવામાં આવે છે બે રેન્ડમ દલીલોનું કાર્ય એક્સ અને Y:

.

આગળનાં ઉદાહરણો બતાવશે કે ફંક્શનનું વિતરણ કેવી રીતે શોધવું શરતોના જાણીતા વિતરણો અનુસાર. આ સમસ્યા ઘણીવાર વ્યવહારમાં જોવા મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો માપન ઉપકરણના રીડિંગ્સની X- ભૂલ સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે, તો કાર્ય ભૂલોના સરવાળાના વિતરણના કાયદાને શોધવાનું ઉદ્ભવે છે. .

કેસ 1.ચાલો X અને Y- અલગ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો. Z=X+Y ફંક્શન માટે વિતરણ કાયદો બનાવવા માટે, Z ના તમામ સંભવિત મૂલ્યો અને તેમની સંભાવનાઓ શોધવા જરૂરી છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, રેન્ડમ ચલ Z ની વિતરણ શ્રેણી સંકલિત કરવામાં આવી છે.

ઉદાહરણ 1.ડિસ્ટ્રિબ્યુશન દ્વારા ઉલ્લેખિત અલગ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ X અને Y

3. રેન્ડમ વેરીએબલ્સ. રેન્ડમ ચલનો ખ્યાલ

રેન્ડમ ચલએક જથ્થાને કહેવામાં આવે છે જે, સમાન પરિસ્થિતિઓ હેઠળ હાથ ધરવામાં આવેલા પરીક્ષણોના પરિણામે, વિવિધ, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, ધ્યાનમાં લેવામાં આવતાં રેન્ડમ પરિબળોને આધારે મૂલ્યો લે છે. રેન્ડમ ચલોના ઉદાહરણો: ડાઇસ પર વળેલા બિંદુઓની સંખ્યા, બેચમાં ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યા, લક્ષ્યમાંથી અસ્ત્રની અસરના બિંદુનું વિચલન, ઉપકરણનો અપટાઇમ, વગેરે. ત્યાં અલગ અને સતત છે રેન્ડમ ચલો. અલગરેન્ડમ ચલ કહેવામાં આવે છે, જેનાં સંભવિત મૂલ્યો ગણતરીપાત્ર સમૂહ બનાવે છે, મર્યાદિત અથવા અનંત (એટલે ​​​​કે, એક સમૂહ જેના ઘટકોને ક્રમાંકિત કરી શકાય છે).

સતતરેન્ડમ ચલ કહેવામાં આવે છે, જેનાં સંભવિત મૂલ્યો સંખ્યા રેખાના અમુક મર્યાદિત અથવા અનંત અંતરાલને સતત ભરે છે. સતત રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોની સંખ્યા હંમેશા અનંત હોય છે.

અમે લેટિન મૂળાક્ષરોના અંતથી મોટા અક્ષરો સાથે રેન્ડમ ચલોને સૂચિત કરીશું: એક્સ, વાય, . ; રેન્ડમ ચલ મૂલ્યો - લોઅરકેસ અક્ષરોમાં: X, y,. . આમ, એક્સરેન્ડમ વેરીએબલના સંભવિત મૂલ્યોના સંપૂર્ણ સેટને સૂચવે છે, અને X -તેના અમુક ચોક્કસ અર્થ.

વિતરણનો કાયદોએક અલગ રેન્ડમ ચલ એ રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો અને તેમની સંભાવનાઓ વચ્ચે કોઈપણ સ્વરૂપમાં ઉલ્લેખિત પત્રવ્યવહાર છે.

રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો દો એક્સછે . પરીક્ષણના પરિણામે, રેન્ડમ ચલ આમાંથી એક મૂલ્ય લેશે, એટલે કે. જોડી મુજબની અસંગત ઘટનાઓના સંપૂર્ણ જૂથમાંથી એક ઇવેન્ટ થશે.

આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ પણ જાણીએ:

રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો એક્સનામના ટેબલના રૂપમાં લખી શકાય છે વિતરણની નજીકઅલગ રેન્ડમ ચલ:

બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ x અને y ના વિતરણનો નિયમ આપેલ છે

q પી

q
પી

આ વિતરણનો ભૌમિતિક કાયદો છે.

(અમે એક કન્વર્જન્ટ શ્રેણી મેળવીએ છીએ, ત્યારથી
).

કાર્ય 4.થી પાર્ટીમાં 10 ત્યાં ત્રણ બિન-માનક ભાગો છે. બે ભાગો રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા. બે પસંદ કરેલા લોકો વચ્ચે બિન-માનક ભાગોની સંખ્યાના વિતરણ માટે કાયદો લખો. આ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષાની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. રેન્ડમ ચલ એક્સ- પસંદ કરેલ બેમાંથી બિન-માનક ભાગોની સંખ્યા નીચેના સંભવિત મૂલ્યો ધરાવે છે:


ચાલો તેમની સંભાવનાઓ શોધીએ

ચાલો રેન્ડમ ચલના વિતરણનો ઇચ્છિત કાયદો બનાવીએ

ગાણિતિક અપેક્ષા શોધવી

.

કાર્ય 5. X ના મૂલ્ય માટેની સંભવિત આગાહી - છ મહિનામાં તેમના વર્તમાન દરના સંબંધમાં શેરના મૂલ્યમાં ટકાવારીમાં ફેરફાર - વિતરણ કાયદાના સ્વરૂપમાં આપવામાં આવે છે:

બેંક ડિપોઝિટમાં વાર્ષિક 36% ના દરે નાણાં મૂકવા કરતાં શેર ખરીદવા વધુ નફાકારક રહેશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ.બેંક ડિપોઝિટ પરની રકમમાં વધારો, દર મહિને 3%ને આધિન, 6 મહિના પછી થશે કે બેંક ડિપોઝિટ કરતાં શેર ખરીદવું વધુ નફાકારક છે તે સંભવિતતાના સરવાળા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. સ્ટોક કિંમત:

સમસ્યા 6. ચોક્કસ કાર ડીલરશીપમાં કારની સેવા અને જાહેરાત માટેના દૈનિક ખર્ચ સરેરાશ 100 હજાર રુબેલ્સ અને વેચાણની સંખ્યા દો. એક્સદિવસ દરમિયાન કાર નીચેના વિતરણ કાયદાનું પાલન કરે છે:

a) 150 હજાર રુબેલ્સની કારની કિંમતે દૈનિક નફાની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો b) કારની સંખ્યાના દૈનિક વેચાણનો તફાવત.

ઉકેલ. a) દૈનિક નફાની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે

P = (150 એક્સ- 100) હજાર રુબેલ્સ

આવશ્યક લાક્ષણિકતા એમ(પી) ગાણિતિક અપેક્ષાના ઉપરોક્ત ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે (હજાર રુબેલ્સમાં):

b) રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો એક્સ 2 જેવો દેખાય છે:

એમ(એક્સ 2) = 0 ∙ 0,25 + 1 ∙ 0,2 + 9 ∙ 0,1 + 16 ∙ 0,1 + 25 ∙ 0,1 + 36 ∙ ∙0,05 + 49 ∙ 0,05 + 64 ∙ 0,025 + 81 ∙ 0,025 = 13,475.

અપેક્ષા એમ(એક્સ) = 2.675. પરિણામે, અમે ઇચ્છિત વિક્ષેપ મૂલ્ય મેળવીએ છીએ:

સમસ્યા 7. રેન્ડમ ચલ એક્સવિતરણ કાર્ય દ્વારા સમગ્ર ધરી પર ઉલ્લેખિત
. સંભાવના ઘનતા કાર્ય અને સંભવિતતા શોધો એક્સઅંતરાલમાં સમાયેલ મૂલ્ય લેશે ( 0,1 ).

ઉકેલ. વ્યાખ્યા દ્વારા

ફિગ. 4 માં સમસ્યાના ઉકેલ સાથે તે ઉપયોગી છે.

ઝેડ સમસ્યા 8. રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય ફિગ 5 માં બતાવેલ સ્વરૂપ ધરાવે છે.

શોધો: a) સંભાવના ઘનતા કાર્ય; b) ગ્રાફ જોઈ રહ્યા છીએ એફ(x), રેન્ડમ ચલની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ સૂચવો, ઉદાહરણ તરીકે, સંભવિત મૂલ્યોની શ્રેણી, સૌથી સંભવિત મૂલ્યો, વગેરે.; વી) એમ(એક્સ), ડી(એક્સ) ; જી) પી(એક્સ 2 ) . પછી ભાગ સારો હોવાની સંભાવના બરાબર છે

અમે "સફળતા" ની સંભાવના સાથે એક સ્વતંત્ર અનુભવ તરીકે ભાગના ઉત્પાદનને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. પી=0,31 . પછી સંબંધમાંથી ભાગોની આવશ્યક સંખ્યા નક્કી કરવામાં આવે છે

કાર્ય 1.લોટરીમાં શામેલ છે: 5,000 ડેનની કિંમતની કાર. એકમો, 250 ડેનની કિંમતના 4 ટીવી. એકમો, 200 ડેનની કિંમતના 5 વિડિયો રેકોર્ડર. એકમો 7 દિવસ માટે કુલ 1000 ટિકિટ વેચાય છે. એકમો એક ટિકિટ ખરીદનાર લોટરી સહભાગીને મળેલી ચોખ્ખી જીત માટે વિતરણ કાયદો બનાવો.

ઉકેલ.રેન્ડમ વેરીએબલ X ના સંભવિત મૂલ્યો - ટિકિટ દીઠ ચોખ્ખી જીત - 0 - 7 = -7 પૈસાની બરાબર છે. એકમો (જો ટિકિટ ન જીતી હોય), 200 – 7 = 193, 250 – 7 = 243, 5000 – 7 = 4993 ડેન. એકમો (જો ટિકિટમાં અનુક્રમે VCR, ટીવી અથવા કારની જીત હોય તો). 1000 ટિકિટોમાંથી બિન-વિજેતાઓની સંખ્યા 990 છે તે ધ્યાનમાં લેતા, અને દર્શાવેલ જીત અનુક્રમે 5, 4 અને 1 છે, અને સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

તે વિતરણ શ્રેણી

કાર્ય 2.શિસ્ત દ્વારા વિદ્યાર્થી એક સત્રમાં સેમેસ્ટર પરીક્ષા પાસ કરશે તેવી સંભાવના એઅને બી, અનુક્રમે 0.7 અને 0.9 ની બરાબર છે. વિદ્યાર્થી જે સેમેસ્ટર પરીક્ષાઓ લેશે તેની સંખ્યા માટે વિતરણ કાયદો બનાવો.

ઉકેલ. રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો એક્સ- પાસ થયેલી પરીક્ષાઓની સંખ્યા - 0, 1, 2.

દો એ i- વિદ્યાર્થી પાસ થશે તે હકીકતનો સમાવેશ કરતી ઇવેન્ટ iમી પરીક્ષા ( i=1,2). પછી સત્રમાં વિદ્યાર્થી 0, 1, 2 પરીક્ષા પાસ કરશે તેવી સંભાવના અનુક્રમે સમાન હશે (અમે ઘટનાઓની ગણતરી કરીએ છીએ. એ 1 અને એ 2 સ્વતંત્ર):

તેથી રેન્ડમ ચલની વિતરણ શ્રેણી

કાર્ય 3.ગણતરી કરો M(X)રેન્ડમ ચલ માટે એક્સ— કાર્ય 1 અનુસાર ચોખ્ખો લાભ.

તે સરેરાશ લાભ શૂન્ય છે. પરિણામનો અર્થ એ છે કે ટિકિટના વેચાણમાંથી બધી આવક જીત તરફ જાય છે.

કાર્ય 4.રેન્ડમ ચલોના વિતરણના નિયમો જાણીતા છે એક્સઅને વાય- 1લા અને 2જા શૂટર્સ દ્વારા મેળવેલા પોઈન્ટની સંખ્યા.

બેમાંથી કયો શૂટર્સ વધુ સારી રીતે શૂટ કરે છે તે શોધવું જરૂરી છે.

રેન્ડમ ચલોની વિતરણ શ્રેણીને ધ્યાનમાં લેતા એક્સઅને વાય, સંખ્યાત્મક મૂલ્યોની વિપુલતાને કારણે આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનું સરળ નથી વધુમાં, પ્રથમ શૂટર પાસે પોઈન્ટની સંખ્યાના આત્યંતિક મૂલ્યો સાથે ખૂબ ઊંચી સંભાવનાઓ છે (ઉદાહરણ તરીકે, 0.1 કરતાં વધુ). એક્સ= 0; 1 અને એક્સ= 9; 10), અને બીજા શૂટરમાં મધ્યવર્તી મૂલ્યો છે ( વાય = 4; 5; 6).

દેખીતી રીતે, બે શૂટર્સમાંથી, શ્રેષ્ઠ શૂટર તે છે જે સરેરાશથી વધુ પોઈન્ટ મેળવે છે.

એટલે કે, બે શૂટરો દ્વારા મેળવેલ પોઈન્ટની સરેરાશ સંખ્યા સમાન છે.

કાર્ય 5.સમસ્યા 4 માં, દરેક શૂટર માટે મેળવેલ પોઈન્ટની સંખ્યાના વિચલન અને પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરો.

તેથી, જો સ્કોર કરેલ પોઈન્ટની સંખ્યાના સરેરાશ મૂલ્યો સમાન હોય ( એમ(એક્સ)=એમ(વાય)) તેનું વિચલન, એટલે કે. સરેરાશ મૂલ્યની તુલનામાં સ્કેટરિંગ લાક્ષણિકતા, બીજા શૂટર માટે ઓછી ( ડી(એક્સ)

અમે તેની ખાતરી કરીએ છીએ

રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો ધ્યાનમાં લેતા એક્સ દ્વિપદીઅમારી પાસે છે

કાર્ય 7.એક અલગ રેન્ડમ ચલની વિતરણ શ્રેણીમાં બે અજાણ્યા મૂલ્યોનો સમાવેશ થાય છે. રેન્ડમ ચલ આમાંથી કોઈ એક મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવના 0.8 છે. રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય શોધો જો તેની ગાણિતિક અપેક્ષા 3.2 હોય અને તેનો તફાવત 0.16 હોય.

ઉકેલ.વિતરણ શ્રેણીમાં ફોર્મ છે

અથવા

પરિણામી સિસ્ટમને હલ કરીને, અમને બે ઉકેલો મળે છે:

અને

અમે વિતરણ કાર્યની અભિવ્યક્તિ લખીએ છીએ:

અથવા

કાર્ય 8.રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય આપેલ છે એક્સ:

a) સંભાવના ઘનતા શોધો f(x); b) આલેખ બનાવો f(x) અને એફ(x); c) તેની ખાતરી કરો એક્સ- સતત રેન્ડમ ચલ; ડી) સંભાવનાઓ શોધો પી(એક્સ=1), પી(એક્સ

સમસ્યા 10.બેંકે લોન આપી હતી nરકમમાં વિવિધ ઉધાર લેનારાઓને એસઆર. દરેક લોન વ્યાજ દરે આર. શોધો a) બેંકના નફાની ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપ, તેમજ વ્યાજ દર માટેની શરત, જો ઉધાર લેનાર દ્વારા લોનની ચુકવણીની સંભાવના સમાન હોય તો પી; b) ગાણિતિક અપેક્ષા અને નફાનું પ્રમાણભૂત વિચલન n =1000, પી =0,8, એસ= 100 હજાર રુબેલ્સ અને આર = 30%.

ઉકેલ. a) ઉધાર લેનારાઓ એકબીજા સાથે સંબંધિત ન હોવાથી, અમે ધારી શકીએ કે અમારી પાસે છે nસ્વતંત્ર પરીક્ષણો. દરેક અજમાયશમાં બેંક માટે લોન ગુમાવવાની સંભાવના q = = 1 – p છે. દો એક્સ- વ્યાજ સાથે લોનની ચૂકવણી કરનારા ઉધાર લેનારાઓની સંખ્યા, પછી બેંકનો નફો ફોર્મ્યુલા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

જ્યાં એક્સદ્વિપદી વિતરણ કાયદા સાથેનું રેન્ડમ ચલ છે.

કારણ કે લોન જારી કરવાનો અર્થ માત્ર નફાની હકારાત્મક ગાણિતિક અપેક્ષા (સકારાત્મક સરેરાશ નફો) સાથે થાય છે, પછી શરતથી M( P) > 0, વ્યાજ દર માટેની શરત નીચે મુજબ છે:

b) લોનનો વ્યાજ દર એ સ્થિતિને સંતોષે છે કે નફાની ગાણિતિક અપેક્ષા હકારાત્મક છે: 30 >100(1 – 0.8)/0.8. નફાની ગાણિતિક અપેક્ષા:

100 ∙ 1000(30 ∙ 0.8/100 – 0.2) = 4 મિલિયન રુબેલ્સ.

નફાનું પ્રમાણભૂત વિચલન:

સમસ્યા 1. 25 ચામડાના જેકેટના બેચમાં, 5 માં છુપાયેલ ખામી છે. 3 જેકેટ ખરીદો. ખરીદેલા લોકોમાં ખામીયુક્ત જેકેટ્સની સંખ્યાના વિતરણનો કાયદો શોધો. વિતરણ બહુકોણ બનાવો.

કાર્ય 2.બેલેન્સ શીટ તૈયાર કરવામાં ભૂલ થઈ હોવાની સંભાવના 0.3 છે. ઓડિટરને તેના નિષ્કર્ષ માટે એન્ટરપ્રાઇઝની 3 બેલેન્સશીટ રજૂ કરવામાં આવી હતી. તપાસવામાં આવતા બેલેન્સ પરના હકારાત્મક નિષ્કર્ષની સંખ્યાના વિતરણ માટે કાયદો બનાવો.

કાર્ય 3.બે ખરીદદારો સ્વતંત્ર રીતે દરેક એક ખરીદી કરે છે. પ્રથમ ખરીદનાર ખરીદી કરશે તેવી સંભાવના 0.8 છે અને બીજો ખરીદી કરશે તેવી સંભાવના 0.6 છે. રેન્ડમ ચલ એક્સ- ગ્રાહકો દ્વારા કરવામાં આવેલી ખરીદીની સંખ્યા. રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાયદાનું વર્ણન કરો એક્સ.

કાર્ય 4.બે કેનરી સ્ટોરને 2:3 રેશિયોમાં ઉત્પાદનો સપ્લાય કરે છે. પ્રથમ પ્લાન્ટમાં ઉચ્ચ ગુણવત્તાવાળા ઉત્પાદનોનો હિસ્સો 90% છે, અને બીજામાં - 80%. સ્ટોર પર તૈયાર ખોરાકના 3 ડબ્બા ખરીદવામાં આવ્યા હતા. ઉચ્ચતમ ગુણવત્તાવાળા ઉત્પાદનો સાથે કેનની સંખ્યાનું ગાણિતિક અપેક્ષા અને પ્રમાણભૂત વિચલન શોધો.

કાર્ય 5.સતત રેન્ડમ ચલની સંભાવના ઘનતા એક્સફંક્શન દ્વારા અંતરાલ (–π/2; π/2) માં ઉલ્લેખિત
આ અંતરાલની બહાર
પરિમાણ શોધો સાથેઅને રેન્ડમ ચલને હિટ કરવાની સંભાવના નક્કી કરો એક્સઅંતરાલમાં (0; π/4).

કાર્ય 6.રેન્ડમ ચલ એક્સસંભાવના ઘનતા દ્વારા આપવામાં આવે છે
ખાતે – ∞

4)એમ(એક્સ) = 2.519, σ( એક્સ) ≈ 0,64; 5)સી = 1/2; 6)
7)એમ x= =1 કલાક., ડી x= 1/3 h 2; 8)σ x = 48.8 ગ્રામ.

સ્મોલેન્સ્ક સ્ટેટ યુનિવર્સિટી

સંભાવના સિદ્ધાંત અનુસાર

સંભાવના સિદ્ધાંતના પ્રમેયને મર્યાદિત કરો.

ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા ધરાવતા કોઈપણ રેન્ડમ ચલ માટે, ચેબીશેવ અસમાનતા માન્ય છે:

પી(| એક્સ— a|> ε )≤
(1)

પી(| એક્સ— a|≤ ε )≥ 1-

ચેબીશેવનું પ્રમેય : જો ભિન્નતા nસ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો એક્સ 1 , એક્સ 2 . એક્સ nસમાન સ્થિરતા સુધી મર્યાદિત છે, પછી સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે nરેન્ડમ વેરીએબલનો અંકગણિત સરેરાશ તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના અંકગણિત સરેરાશ સાથે સંભાવનામાં કન્વર્જ થાય છે, એટલે કે.

પરિણામ:જો સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો એક્સ 1 , એક્સ 2 . એક્સ nસમાન ગાણિતિક અપેક્ષાઓ, સમાન a, અને તેમની ભિન્નતા સમાન સ્થિરતા સુધી મર્યાદિત છે, પછી ચેબીશેવની અસમાનતા અને ચેબીશેવનું પ્રમેય આ સ્વરૂપ લે છે:

બર્નૌલીનું પ્રમેય : માં ઘટનાઓની સાપેક્ષ આવર્તન nપુનરાવર્તિત સ્વતંત્ર પરીક્ષણો, જેમાંના દરેકમાં તે સમાન સંભાવના સાથે થઈ શકે છે પી, સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે nસંભાવનામાં સંભાવનામાં કન્વર્જ થાય છે પીએક અલગ પરીક્ષણમાં આ ઘટનાની:

સમાન રીતે વિતરિત જથ્થાઓ માટે કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય : જો એક્સ 1 , એક્સ 2 . એક્સ n- સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ કે જે સમાન ગાણિતિક અપેક્ષાઓ ધરાવે છે એમ[ એક્સ i ] =a, તફાવત ડી[ એક્સ i ]= a 2 અને ત્રીજો ક્રમ સંપૂર્ણ કેન્દ્રીય ક્ષણો એમ(| એક્સ i — a i | 3 )= m i , (
) , પછી રકમના વિતરણનો કાયદો વાય n = એક્સ 1 + એક્સ 2 +. + એક્સ nખાતે
અનિશ્ચિતપણે સામાન્યની નજીક આવે છે. ખાસ કરીને, જો બધા રેન્ડમ ચલો એક્સ iસમાન રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે, તો પછી તેમની રકમના વિતરણનો નિયમ અનિશ્ચિત રૂપે સામાન્ય કાયદાનો સંપર્ક કરે છે જ્યારે
.

મોઇવર-લાપ્લેસનું સ્થાનિક પ્રમેય : જો સંભાવના પીઘટનાની ઘટના એદરેક અજમાયશમાં સતત અને 0 અને 1 થી અલગ હોય છે, પછી સંભાવના પી m , nકે ઘટના એથશે mદર એક વાર nપૂરતી મોટી સંખ્યા સાથે સ્વતંત્ર પરીક્ષણો n, લગભગ સમાન

,

.

મોઇવર-લાપ્લેસ અભિન્ન પ્રમેય : જો સંભાવના પીઘટનાની ઘટના એદરેક અજમાયશમાં 0 અને 1 થી અચળ અને અલગ હોય છે, પછી સંભાવના કે સંખ્યા mઘટનાની ઘટના એવી nથી લઈને સ્વતંત્ર પરીક્ષણો પૂર્ણ થયા aથી b(સમાવિષ્ટ), પૂરતી મોટી સંખ્યા સાથે nલગભગ સમાન

–

લેપ્લેસ કાર્ય (અથવા સંભાવના અભિન્ન);

,
.

પાઠનો હેતુ : 1. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય લાગુ કરવા માટેની શરતોમાં નિપુણતા પ્રાપ્ત કરો.

2. સામાન્ય વિતરણ કાયદા સાથે સંકળાયેલી સંભાવનાઓની ગણતરી કરવાની કુશળતાને મજબૂત બનાવો.

3. વિદ્યાર્થીઓને મોટી સંખ્યામાં કાયદાના અભિવ્યક્તિને ઓળખવાનું શીખવો.

આ વિષય પરના પાઠ માટે, નીચેના પ્રશ્નોના જવાબો તૈયાર કરવા જોઈએ:

મોટી સંખ્યાના કાયદાનો સાર શું છે?

ચેબીશેવની અસમાનતાનું વ્યવહારુ અને સૈદ્ધાંતિક મહત્વ શું છે?

ચેબીશેવના પ્રમેયનું શું વ્યવહારિક મહત્વ છે?

બર્નૌલીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝની સ્થિરતાની મિલકત સમજાવો.

સંભાવના સિદ્ધાંતના કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયનો સાર શું છે?

કાર્ય 1.પશુધન ફાર્મ પર સરેરાશ પાણીનો વપરાશ દરરોજ 1000 લિટર છે, અને આ રેન્ડમ ચલનું પ્રમાણભૂત વિચલન 200 લિટરથી વધુ નથી. ચેબીશેવની અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને કોઈપણ પસંદ કરેલા દિવસે ખેતરના પાણીનો પ્રવાહ 2000 L કરતાં વધુ નહીં હોય તેવી સંભાવનાનો અંદાજ કાઢો.

ઉકેલ.વિખેરી નાખવું ડી(એક્સ)=σ 2 ≤200 2 . કારણ કે અંતરાલ 0≤X≤2000 ની સીમાઓ ગાણિતિક અપેક્ષાના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે M(X) = 1000, તો પછી ઇચ્છિત ઘટનાની સંભાવનાનો અંદાજ કાઢવા માટે, તમે ચેબીશેવની અસમાનતાને લાગુ કરી શકો છો.

,

તે 0.96 કરતાં ઓછું નહીં.

કાર્ય 2.આંકડા મુજબ, સરેરાશ 87% નવજાત શિશુઓ 50 વર્ષ સુધી જીવે છે. ચેબીશેવની અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને, સંભાવનાનો અંદાજ કાઢો કે 1000 નવજાત શિશુઓમાંથી, જેઓ 50 વર્ષ સુધી જીવે છે તેનું પ્રમાણ આ ઘટનાની સંભાવનાથી 0.04 (સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં) કરતાં વધુ અલગ હશે.

,

તે 0.929 કરતાં ઓછું નહીં.

કાર્ય 3. 200 સમાન બોક્સના બેચમાં ઇલેક્ટ્રિક લેમ્પ્સનો સરેરાશ બળવાનો સમય નક્કી કરવા માટે, દરેક બોક્સમાંથી એક લેમ્પનો નમૂના લેવામાં આવ્યો હતો. સંભવિતતાનો અંદાજ કાઢો કે પસંદ કરેલ 200 ઇલેક્ટ્રિક લેમ્પ્સનો સરેરાશ બળવાનો સમય સમગ્ર બેચમાં લેમ્પના સરેરાશ બળતા સમય કરતાં 5 કલાક (સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં) કરતાં અલગ છે, જો તે જાણીતું હોય કે બર્નિંગનું પ્રમાણભૂત વિચલન દરેક બોક્સમાં લેમ્પનો સમય 7 કલાકથી ઓછો છે.

ઇચ્છિત ઘટનાની સંભાવના શોધવી

,

તે 0.9902 કરતાં ઓછું નહીં.

કાર્ય 4.ઓછામાં ઓછા 0.95 ની સંભાવના સાથે, ખાતરી આપવા માટે આપેલ જથ્થાના કેટલા માપ લેવા જોઈએ કે આ માપનો અંકગણિત સરેરાશ જથ્થાના સાચા મૂલ્યથી 1 કરતાં વધુ નહીં (સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં), જો દરેક માપનું પ્રમાણભૂત વિચલન 5 થી વધુ નથી?

શોધવાની જરૂર છે n, જેના પર

.

ચાલો ચેબીશેવની અસમાનતા લાગુ કરીએ:

, ક્યાં

અને ખાતે
, એટલે કે ઓછામાં ઓછા 500 માપની જરૂર પડશે.

કાર્ય 5.મેટ્રો ટ્રેનો સમયાંતરે દોડે છે 2 મિનિટ દરેક મુસાફર, અન્ય લોકોથી સ્વતંત્ર રીતે, સમયસર રેન્ડમ ક્ષણે પ્લેટફોર્મ પર પહોંચે છે. આ ટ્રેનમાં ચડ્યો 75 મુસાફરો તેમની કુલ રાહ જોવાનો સમય દોઢ કલાકથી અઢી કલાકની વચ્ચે હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ.ચાલો રાહ જોવાનો સમય સૂચવીએ iમારફતે મુસાફર એક્સ i. એવું માનવું સ્વાભાવિક છે કે ટ્રેનો વચ્ચે ગમે ત્યારે પેસેન્જર આવવું એ પણ એટલું જ શક્ય છે. ઔપચારિક રીતે આનો અર્થ એ થાય છે એક્સ iસંભાવના ઘનતા કાર્ય સાથે સમાન વિતરણ કાયદો ધરાવે છે

f(x) =

પછી
અને

કુલ રાહ સમય વાય=∑ એક્સ iબાઉન્ડેડ વેરિએન્સ સાથે સ્વતંત્ર સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલોની મોટી સંખ્યાના સરવાળાને રજૂ કરે છે. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયના આધારે, તે કહી શકાય કે વાયસામાન્યની નજીક વિતરણ કાયદો ધરાવે છે. સામાન્ય વિતરણ કાયદો ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ચાલો તેમને ગણીએ.

એન(75,25) . સમસ્યાને ગણતરીની જરૂર છે

કાર્ય 6.શૂટર સંભાવના સાથે ટોપ ટેનમાં પહોંચે છે 0,4 , થી નવ - સંભાવના સાથે 0,3 , થી આઠ - સંભાવના સાથે 0,2 , સાતમાં - સંભાવના સાથે 0,1 . સંભાવના કેટલી છે કે જ્યારે 25 શૂટર તરફથી ગોળી ચલાવવામાં આવી 250 થી પોઈન્ટ નોકઆઉટ કરશે 220 થી 240 ચશ્મા?

ઉકેલ.ખાતે દો i-મીએ શૂટર ડાયલ્સને શૂટ કર્યો એક્સ iપોઈન્ટ જથ્થો એક્સ iસ્વતંત્ર અને સમાન વિતરણ છે

પોઈન્ટનો સરવાળો વાય= મર્યાદિત ભિન્નતાઓ સાથે મોટી સંખ્યામાં સ્વતંત્ર સમાન વિતરિત શબ્દોનો સરવાળો હોવાને કારણે, તેમાં સામાન્યની નજીકનો વિતરણ કાયદો છે, જેનાં પરિમાણો

એન(225,25) અને પી(220 2 ). સંભાવના કેટલી છે કે એક માપમાં ભૂલ ઓળંગશે નહીં 1 એમકે? માપનની ચોકસાઈ સુધારવા માટે, અમે કર્યું છે 25 માપન, અવલોકન કરેલ મૂલ્યોના અંકગણિત સરેરાશને માપેલ મૂલ્ય તરીકે લેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, સંભાવના શું છે કે ભૂલ વધી જશે નહીં 1 એમકે? (સૂચના: સામાન્ય વિતરણ કાયદાની સ્થિરતાની હકીકતનો ઉપયોગ કરો.) છેલ્લી સંભાવના નક્કી કરો જો માપન ભૂલનો વિતરણ કાયદો અજ્ઞાત હોય, અને માત્ર તેનો તફાવત જાણીતો હોય, સમાન 4 mk 2.

ઉકેલ.દો એક્સ- માપન ભૂલ. પછી

જો માપન ભૂલનો વિતરણ કાયદો અજાણ્યો હોય, તો ચેબીશેવની અસમાનતામાંથી:

પી(|  0 | 1 , તો Moivre-Laplace બંને પ્રમેય માન્ય છે.

a) Moivre-Laplace ના સ્થાનિક પ્રમેય દ્વારા

b) રેન્ડમ ચલ X માં સફળતાની સંબંધિત આવર્તનનો અર્થ થાય છે nપ્રયોગો અને ડી

કારણ કે પીયર્સનના પ્રયોગમાં એક પ્રયોગમાં સફળતાની સંભાવનામાંથી સફળતાની સંબંધિત આવર્તનનું વિચલન બરાબર હતું
પછી Moivre-Laplace અભિન્ન પ્રમેય અનુસાર

કાર્ય 1.સરેરાશ, ચોક્કસ પ્રદેશની કાર્યકારી વસ્તીના 10% બેરોજગાર છે. ચેબીશેવની અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને, સર્વેક્ષણ કરાયેલા 10,000 કાર્યકારી વયના શહેરના રહેવાસીઓમાં બેરોજગારીનો દર 9 થી 11% (સમાવિષ્ટ) ની રેન્જમાં હશે તેવી સંભાવનાનો અંદાજ કાઢો.

કાર્ય 2.વીમા કંપનીનો અનુભવ દર્શાવે છે કે વીમાની ઘટના લગભગ દરેક પાંચમા કરારમાં થાય છે. ચેબીશેવની અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને, કરારની આવશ્યક સંખ્યાનો અંદાજ કાઢો કે જે પૂર્ણ થવો જોઈએ જેથી કરીને 0.9 ની સંભાવના સાથે એવું કહી શકાય કે વીમેદાર ઇવેન્ટ્સનો હિસ્સો 0.1 થી 0.01 (સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં) કરતાં વધુ વિચલિત થશે.

કાર્ય 3.બેંકોની અધિકૃત મૂડીની તપાસ કરતી વખતે, તે જાણવા મળ્યું કે બેંકોના પાંચમા ભાગની અધિકૃત મૂડી 100 મિલિયન રુબેલ્સથી વધુ છે. સંભાવના શોધો કે 1800 બેંકોમાંથી 100 મિલિયન રુબેલ્સથી વધુની અધિકૃત મૂડી છે: a) ઓછામાં ઓછી 300; b) 300 થી 400 સહિત.

કાર્ય 4.સિક્યોરિટીઝ વેચનાર વેપારી તેમને વેચશે તેવી સંભાવના 0.7 છે. કેટલી સિક્યોરિટીઝ હોવી જોઈએ જેથી તે 0.996 ની સંભાવના સાથે કહી શકાય કે તેમની વચ્ચે વેચાયેલો હિસ્સો 0.7 થી 0.04 (નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં) કરતાં વધુ વિચલિત થશે?

કાર્ય 5.વીમા કંપનીના 10,000 ગ્રાહકો છે. તેમાંથી દરેક, અકસ્માત સામે વીમો, 500 રુબેલ્સનું યોગદાન આપે છે. અકસ્માતની સંભાવના 0.0055 છે, અને પીડિતને ચૂકવવામાં આવતી વીમા રકમ 50,000 રુબેલ્સ છે. સંભાવના કેટલી છે કે: a) વીમા કંપનીને નુકસાન થશે; b) ગ્રાહકો પાસેથી મેળવેલા તમામ ભંડોળમાંથી અડધાથી વધુ રકમ વીમાની રકમ ચૂકવવામાં ખર્ચવામાં આવશે?

આ રસપ્રદ છે:

• L'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને એક બિંદુ પર કાર્યની મર્યાદા શોધવી L'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને કાર્યની મર્યાદા શોધવી, ફોર્મ 0/0 અને ∞/∞ ની અનિશ્ચિતતાઓ છતી કરવી. નીચેનું કેલ્ક્યુલેટર L'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને કાર્યની મર્યાદા શોધે છે (ડેરિવેટિવ્ઝ દ્વારા […]
• મેથેમેટિકલ પોર્ટલ નેવી વ્યુ શોધ નેવિગેશન તમે અહીં છો: હોમ મેથેમેટિકલ એનાલિસિસ L'Hopital નો નિયમ L'Hopital નો નિયમ. પ્રમેય ($\frac$ અથવા $\frac$ સ્વરૂપની અનિશ્ચિતતા જાહેર કરવા માટે L'Hopital નો નિયમ). કાર્યો દો […]
• પ્રમોશનના નિયમો "બીજા મિલિયનની શરૂઆત!" >> પગલું 1. પ્રોમો કોડ મેળવો તમે વેબસાઇટ kia.ru પર અથવા સીધા KIA ડીલરશીપ પર સહભાગીનો પ્રોમો કોડ મેળવી શકો છો: વેબસાઇટ kia.ru પર પ્રોમો કોડ મેળવવા માટે તમારે […]
• દરિયાઈ જહાજો માટે વિનંતી રશિયાના પરિવહન મંત્રાલયના 20 ઓગસ્ટ, 2009ના આદેશ દ્વારા મંજૂર કરાયેલ દરિયાઈ જહાજોને નામો સોંપવાની પ્રક્રિયા નંબર 141 સમુદ્રી જહાજોને નામ સોંપવાની પ્રક્રિયા પરના નિયમો I. સામાન્ય જોગવાઈઓ 1. પ્રક્રિયા પરના નિયમો […]