સંખ્યાઓનો નોડ અને નોક એ કેટલીક સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક અને લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક છે. લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM)

માધ્યમિક શાળાના 5મા ધોરણમાં "બહુવિધ નંબરો" વિષયનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. તેનો ધ્યેય લેખિત અને મૌખિક ગાણિતિક ગણતરી કૌશલ્યોને સુધારવાનો છે. આ પાઠમાં, નવી વિભાવનાઓ રજૂ કરવામાં આવી છે - "બહુવિધ સંખ્યાઓ" અને "વિભાજકો", કુદરતી સંખ્યાના વિભાજકો અને ગુણાંક શોધવાની તકનીક અને વિવિધ રીતે LCM શોધવાની ક્ષમતાનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

આ વિષય ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. અપૂર્ણાંકો સાથે ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે તેના જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. આ કરવા માટે, તમારે ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ (LCM) ની ગણતરી કરીને સામાન્ય છેદ શોધવાની જરૂર છે.

A નો ગુણાંક એ પૂર્ણાંક છે જે A વડે શેષ વિના વિભાજ્ય છે.

દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા તેના ગુણાંકની અનંત સંખ્યા ધરાવે છે. તે પોતે સૌથી નાનો ગણાય છે. ગુણાંક પોતે સંખ્યા કરતા ઓછો હોઈ શકે નહીં.

તમારે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે સંખ્યા 125 એ 5 નો ગુણાંક છે. આ કરવા માટે, તમારે પ્રથમ સંખ્યાને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે. જો 125 શેષ વિના 5 વડે ભાગી શકાય, તો જવાબ હા છે.

આ પદ્ધતિ નાની સંખ્યાઓ માટે લાગુ પડે છે.

LOC ની ગણતરી કરતી વખતે ખાસ કિસ્સાઓ છે.

1. જો તમારે 2 સંખ્યાઓ (ઉદાહરણ તરીકે, 80 અને 20) નો સામાન્ય ગુણાંક શોધવાની જરૂર હોય, જ્યાં તેમાંથી એક (80) બીજા (20) વડે વિભાજ્ય હોય, તો આ સંખ્યા (80) આમાંથી ઓછામાં ઓછો ગુણાંક છે. બે નંબર.

LCM(80, 20) = 80.

2. જો બે પાસે સામાન્ય વિભાજક ન હોય, તો આપણે કહી શકીએ કે તેમની LCM આ બે સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન છે.

LCM(6, 7) = 42.

ચાલો છેલ્લું ઉદાહરણ જોઈએ. 42 ના સંબંધમાં 6 અને 7 એ વિભાજકો છે. તેઓ કોઈ સંખ્યાના ગુણાંકને શેષ વિના વિભાજિત કરે છે.

આ ઉદાહરણમાં, 6 અને 7 એ જોડીવાળા પરિબળો છે. તેમનું ઉત્પાદન સૌથી વધુ બહુવિધ સંખ્યા (42) જેટલું છે.

સંખ્યાને અવિભાજ્ય કહેવામાં આવે છે જો તે ફક્ત પોતાના દ્વારા અથવા 1 (3:1=3; 3:3=1) વડે વિભાજ્ય હોય. બાકીનાને સંયુક્ત કહેવામાં આવે છે.

બીજા ઉદાહરણમાં 9 એ 42 નો વિભાજક છે કે કેમ તે નક્કી કરવાનો સમાવેશ થાય છે.

42:9=4 (બાકી 6)

જવાબ: 9 એ 42 નો વિભાજક નથી કારણ કે જવાબમાં શેષ છે.

વિભાજક ગુણાંકથી અલગ પડે છે જેમાં વિભાજક એ સંખ્યા છે જેના દ્વારા કુદરતી સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવામાં આવે છે, અને ગુણાંક પોતે આ સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત થાય છે.

સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક aઅને b, તેમના ઓછામાં ઓછા ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર, સંખ્યાઓનું ગુણાંક પોતે આપશે aઅને b.

જેમ કે: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

વધુ જટિલ સંખ્યાઓ માટે સામાન્ય ગુણાંક નીચેની રીતે જોવા મળે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, 168, 180, 3024 માટે LCM શોધો.

અમે આ સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરીએ છીએ અને તેમને શક્તિઓના ઉત્પાદન તરીકે લખીએ છીએ:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

પરંતુ ઘણી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ અન્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ દ્વારા પણ વિભાજ્ય હોય છે.

દાખ્લા તરીકે:

સંખ્યા 12 એ 1, 2, 3, 4, 6, 12 વડે વિભાજ્ય છે;

સંખ્યા 36 એ 1 વડે, 2 વડે, 3 વડે, 4 વડે 6, 12 વડે 18, 36 વડે વિભાજ્ય છે.

સંખ્યાઓ કે જેના દ્વારા સંખ્યાને પૂર્ણ વડે ભાગી શકાય છે (12 માટે આ 1, 2, 3, 4, 6 અને 12 છે) કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાઓના વિભાજકો. કુદરતી સંખ્યાનો વિભાજક a- એક કુદરતી સંખ્યા છે જે આપેલ સંખ્યાને વિભાજિત કરે છે aટ્રેસ વિના. બે કરતા વધુ વિભાજકો ધરાવતી કુદરતી સંખ્યા કહેવાય છે સંયુક્ત .

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે 12 અને 36 નંબરોમાં સામાન્ય પરિબળો છે. આ સંખ્યાઓ છે: 1, 2, 3, 4, 6, 12. આ સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો વિભાજક 12 છે. આ બે સંખ્યાઓનો સામાન્ય વિભાજક aઅને b- આ તે સંખ્યા છે જેના દ્વારા આપેલ બંને સંખ્યાઓને બાકી વિના વિભાજિત કરવામાં આવે છે aઅને b.

સામાન્ય ગુણાંકઅનેક સંખ્યાઓ એ એક સંખ્યા છે જે આ દરેક સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય છે. દાખ્લા તરીકે, 9, 18 અને 45 નંબરો 180 નો સામાન્ય ગુણાંક ધરાવે છે. પરંતુ 90 અને 360 તેમના સામાન્ય ગુણાંક પણ છે. બધા સામાન્ય ગુણાંકમાં હંમેશા સૌથી નાનો હોય છે, આ કિસ્સામાં તે 90 છે. આ સંખ્યા કહેવાય છે સૌથી નાનુંસામાન્ય બહુવિધ (સીએમએમ).

LCM એ હંમેશા કુદરતી સંખ્યા છે જે સૌથી મોટી સંખ્યા કરતાં મોટી હોવી જોઈએ જેના માટે તે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM). ગુણધર્મો.

પરિવર્તનશીલતા:

સહયોગ:

ખાસ કરીને, જો અને કોપ્રાઈમ નંબરો છે, તો પછી:

બે પૂર્ણાંકોનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક mઅને nઅન્ય તમામ સામાન્ય ગુણાંકનો વિભાજક છે mઅને n. તદુપરાંત, સામાન્ય ગુણાંકનો સમૂહ m, n LCM ના ગુણાંકના સમૂહ સાથે એકરુપ m, n).

માટે એસિમ્પ્ટોટીક્સ કેટલાક સંખ્યા-સૈદ્ધાંતિક કાર્યોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે.

તેથી, ચેબીશેવ કાર્ય. અને:

આ લેન્ડૌ ફંક્શનની વ્યાખ્યા અને ગુણધર્મોમાંથી અનુસરે છે g(n).

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના વિતરણના નિયમમાંથી શું અનુસરે છે.

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM) શોધવી.

NOC( a, b) ની ગણતરી ઘણી રીતે કરી શકાય છે:

1. જો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક જાણીતો હોય, તો તમે LCM સાથે તેના જોડાણનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

2. અવિભાજ્ય પરિબળોમાં બંને સંખ્યાઓના પ્રમાણભૂત વિઘટનને જાણવા દો:

જ્યાં પૃષ્ઠ 1, ...,p કે- વિવિધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ, અને d 1,...,d kઅને e 1,...,e k— બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો (જો અનુરૂપ પ્રાઇમ વિસ્તરણમાં ન હોય તો તેઓ શૂન્ય હોઈ શકે છે).

પછી NOC ( a,b) ની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, LCM વિઘટનમાં સંખ્યાઓના ઓછામાં ઓછા એક વિઘટનમાં સમાવિષ્ટ તમામ મુખ્ય પરિબળોનો સમાવેશ થાય છે. a, b, અને આ ગુણકના બે ઘાતાંકમાંથી સૌથી મોટો લેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ:

કેટલીક સંખ્યાઓના લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંકની ગણતરી કરીને બે સંખ્યાઓના LCMની સંખ્યાબંધ અનુક્રમિક ગણતરીઓમાં ઘટાડી શકાય છે:

નિયમ.સંખ્યાઓની શ્રેણીનું LCM શોધવા માટે, તમારે આની જરૂર છે:

- મુખ્ય પરિબળોમાં સંખ્યાઓનું વિઘટન;

- ઇચ્છિત ઉત્પાદનના પરિબળોમાં સૌથી મોટા વિઘટન (આપેલ સંખ્યાની સૌથી મોટી સંખ્યાના પરિબળોનું ઉત્પાદન) સ્થાનાંતરિત કરો, અને પછી અન્ય સંખ્યાઓના વિઘટનમાંથી પરિબળો ઉમેરો જે પ્રથમ નંબરમાં દેખાતા નથી અથવા તેમાં દેખાતા નથી. ઓછી વખત;

— અવિભાજ્ય પરિબળોનું પરિણામી ઉત્પાદન આપેલ સંખ્યાઓનો LCM હશે.

કોઈપણ બે અથવા વધુ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું પોતાનું LCM હોય છે. જો સંખ્યાઓ એકબીજાના ગુણાકાર ન હોય અથવા વિસ્તરણમાં સમાન અવયવ ધરાવતા ન હોય, તો તેમનો LCM આ સંખ્યાઓના ગુણાંક સમાન છે.

સંખ્યા 28 (2, 2, 7) ના અવિભાજ્ય અવયવો 3 (સંખ્યા 21) ના અવયવ સાથે પૂરક છે, પરિણામી ઉત્પાદન (84) એ સૌથી નાની સંખ્યા હશે જે 21 અને 28 વડે વિભાજ્ય છે.

સૌથી મોટી સંખ્યા 30 ના અવિભાજ્ય અવયવો સંખ્યા 25 ના પરિબળ 5 દ્વારા પૂરક છે, પરિણામી ઉત્પાદન 150 સૌથી મોટી સંખ્યા 30 કરતા વધારે છે અને બાકીની બધી સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય છે. આ સૌથી નાનું શક્ય ઉત્પાદન છે (150, 250, 300...) જે આપેલ તમામ સંખ્યાઓનો ગુણાંક છે.

2,3,11,37 સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે, તેથી તેમનો LCM આપેલ સંખ્યાઓના ગુણાંકની બરાબર છે.

નિયમ. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના LCMની ગણતરી કરવા માટે, તમારે આ બધી સંખ્યાઓને એકસાથે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

બીજો વિકલ્પ:

તમને જરૂરી સંખ્યાઓમાંથી ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ (LCM) શોધવા માટે:

1) દરેક સંખ્યાને તેના મુખ્ય પરિબળોના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરો, ઉદાહરણ તરીકે:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) તમામ મુખ્ય પરિબળોની શક્તિઓ લખો:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) આ દરેક સંખ્યાના તમામ મુખ્ય વિભાજકો (ગુણાકાર) લખો;

4) તેમાંથી દરેકની સૌથી મોટી ડિગ્રી પસંદ કરો, જે આ સંખ્યાઓના તમામ વિસ્તરણમાં જોવા મળે છે;

5) આ શક્તિઓનો ગુણાકાર કરો.

ઉદાહરણ. સંખ્યાઓનું LCM શોધો: 168, 180 અને 3024.

ઉકેલ. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

અમે તમામ મુખ્ય વિભાજકોની મહાન શક્તિઓ લખીએ છીએ અને તેમને ગુણાકાર કરીએ છીએ:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

મહાન સામાન્ય વિભાજક

વ્યાખ્યા 2

જો કુદરતી સંખ્યા a કુદરતી સંખ્યા $b$ વડે વિભાજ્ય હોય, તો $b$ ને $a$ નો વિભાજક કહેવાય છે, અને $a$ ને $b$ નો ગુણાંક કહેવાય છે.

$a$ અને $b$ ને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ થવા દો. $c$ નંબરને $a$ અને $b$ બંનેનો સામાન્ય વિભાજક કહેવામાં આવે છે.

$a$ અને $b$ નંબરોના સામાન્ય વિભાજકોનો સમૂહ મર્યાદિત છે, કારણ કે આમાંથી કોઈ પણ વિભાજક $a$ કરતા વધારે હોઈ શકે નહીં. આનો અર્થ એ છે કે આ વિભાજકોમાં એક સૌથી મોટો છે, જેને $a$ અને $b$નો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક કહેવામાં આવે છે અને તે નીચેના સંકેતો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:

$GCD\(a;b)\ અથવા \D\(a;b)$

બે સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક શોધવા માટે તમને જરૂર છે:

1. પગલું 2 માં મળેલ સંખ્યાઓનો ગુણાંક શોધો. પરિણામી સંખ્યા ઇચ્છિત સૌથી સામાન્ય વિભાજક હશે.

ઉદાહરણ 1

$121$ અને $132.$ નંબરોની gcd શોધો

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

આ સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ નંબરો પસંદ કરો

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

પગલું 2 માં મળેલ સંખ્યાઓનો ગુણાંક શોધો. પરિણામી સંખ્યા ઇચ્છિત સૌથી સામાન્ય વિભાજક હશે.

$GCD=2\cdot 11=22$

ઉદાહરણ 2

$63$ અને $81$ ના મોનોમિયલ્સની gcd શોધો.

અમે પ્રસ્તુત અલ્ગોરિધમ મુજબ શોધીશું. આ માટે:

ચાલો સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરીએ

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

અમે તે સંખ્યાઓ પસંદ કરીએ છીએ જે આ સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાં શામેલ છે

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ચાલો સ્ટેપ 2 માં મળેલ સંખ્યાઓનો ગુણાંક શોધીએ. પરિણામી સંખ્યા ઇચ્છિત સૌથી સામાન્ય વિભાજક હશે.

$GCD=3\cdot 3=9$

સંખ્યાઓના વિભાજકોના સમૂહનો ઉપયોગ કરીને તમે બીજી રીતે બે સંખ્યાઓની gcd શોધી શકો છો.

ઉદાહરણ 3

$48$ અને $60$ નંબરોની gcd શોધો.

ઉકેલ:

ચાલો નંબરના વિભાજકોનો સમૂહ શોધીએ $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

હવે ચાલો નંબરના વિભાજકોનો સમૂહ શોધીએ $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

ચાલો આ સમૂહોનું આંતરછેદ શોધીએ: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - આ સમૂહ $48$ અને $60 નંબરોના સામાન્ય વિભાજકોનો સમૂહ નક્કી કરશે $. આ સમૂહમાં સૌથી મોટું તત્વ $12$ નંબર હશે. આનો અર્થ એ થયો કે $48$ અને $60$ નો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક $12$ છે.

NPL ની વ્યાખ્યા

વ્યાખ્યા 3

કુદરતી સંખ્યાઓના સામાન્ય ગુણાંક$a$ અને $b$ એ કુદરતી સંખ્યા છે જે $a$ અને $b$ બંનેનો ગુણાંક છે.

સંખ્યાઓનો સામાન્ય ગુણાંક એ એવી સંખ્યાઓ છે જે મૂળ સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે, $25$ અને $50$ માટે, સામાન્ય ગુણાંક $50,100,150,200$, વગેરે.

સૌથી નાના સામાન્ય ગુણાંકને લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ કહેવામાં આવશે અને તેને LCM$(a;b)$ અથવા K$(a;b) તરીકે સૂચવવામાં આવશે.$

બે સંખ્યાઓનો LCM શોધવા માટે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે:

1. અવિભાજ્ય અવયવોમાં અવયવ સંખ્યા
2. પ્રથમ નંબરનો ભાગ હોય તેવા પરિબળોને લખો અને તેમાં એવા પરિબળો ઉમેરો કે જે બીજાનો ભાગ છે અને પ્રથમનો ભાગ નથી.

ઉદાહરણ 4

$99$ અને $77$ નંબરોના LCM શોધો.

અમે પ્રસ્તુત અલ્ગોરિધમ મુજબ શોધીશું. આ માટે

અવિભાજ્ય અવયવોમાં અવયવ સંખ્યા

$99=3\cdot 3\cdot 11$

પ્રથમમાં સમાવિષ્ટ પરિબળો લખો

તેમાં મલ્ટિપ્લાયર્સ ઉમેરો જે બીજાનો ભાગ છે અને પ્રથમનો ભાગ નથી

પગલું 2 માં મળેલ સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન શોધો. પરિણામી સંખ્યા ઇચ્છિત લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક હશે

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

સંખ્યાઓના વિભાજકોની યાદીઓનું સંકલન કરવું એ ઘણીવાર ખૂબ જ શ્રમ-સઘન કાર્ય છે. GCD શોધવાની એક રીત છે જેને યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમ કહેવાય છે.

નિવેદનો કે જેના પર યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમ આધારિત છે:

જો $a$ અને $b$ કુદરતી સંખ્યાઓ છે, અને $a\vdots b$, તો $D(a;b)=b$

જો $a$ અને $b$ કુદરતી સંખ્યાઓ છે જેમ કે $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$ નો ઉપયોગ કરીને, અમે વિચારણા હેઠળની સંખ્યાઓને ક્રમિક રીતે ઘટાડી શકીએ છીએ જ્યાં સુધી આપણે સંખ્યાઓની જોડી સુધી ન પહોંચીએ કે તેમાંથી એક બીજા દ્વારા વિભાજ્ય હોય. પછી આ સંખ્યાઓમાંથી નાની સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે ઇચ્છિત સૌથી સામાન્ય વિભાજક હશે.

GCD અને LCM ના ગુણધર્મો

1. $a$ અને $b$ નો કોઈપણ સામાન્ય ગુણાંક K$(a;b)$ વડે વિભાજ્ય છે
2. જો $a\vdots b$ , તો К$(a;b)=a$

જો K$(a;b)=k$ અને $m$ એ કુદરતી સંખ્યા છે, તો K$(am;bm)=km$

જો $d$ એ $a$ અને $b$ માટે સામાન્ય વિભાજક છે, તો K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

જો $a\vdots c$ અને $b\vdots c$, તો $\frac(ab)(c)$ એ $a$ અને $b$ નો સામાન્ય ગુણાંક છે.

કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા માટે $a$ અને $b$ સમાનતા ધરાવે છે

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

$a$ અને $b$ નંબરોનો કોઈપણ સામાન્ય વિભાજક એ $D(a;b)$ નંબરનો વિભાજક છે.

ગુણાંક એ એવી સંખ્યા છે જે આપેલ સંખ્યા દ્વારા શેષ વિના ભાગી શકાય છે. સંખ્યાઓના જૂથનો લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM) એ સૌથી નાની સંખ્યા છે જે જૂથની દરેક સંખ્યા દ્વારા શેષ છોડ્યા વિના ભાગી શકાય છે. લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવા માટે, તમારે આપેલ સંખ્યાઓના અવિભાજ્ય અવયવો શોધવાની જરૂર છે. એલસીએમની ગણતરી અન્ય સંખ્યાબંધ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને પણ કરી શકાય છે જે બે અથવા વધુ સંખ્યાઓના જૂથોને લાગુ પડે છે.

પગલાં

ગુણાંકની શ્રેણી

આ નંબરો જુઓ.અહીં વર્ણવેલ પદ્ધતિનો શ્રેષ્ઠ ઉપયોગ જ્યારે બે નંબરો આપવામાં આવે છે, જેમાંથી દરેક 10 કરતા ઓછી હોય છે. જો મોટી સંખ્યા આપવામાં આવી હોય, તો બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો.

• ઉદાહરણ તરીકે, 5 અને 8 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધો. આ નાની સંખ્યાઓ છે, જેથી તમે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો.

1. ગુણાંક એ એવી સંખ્યા છે જે આપેલ સંખ્યા દ્વારા શેષ વિના ભાગી શકાય છે. ગુણાકાર કોષ્ટકમાં મળી શકે છે.

   • ઉદાહરણ તરીકે, જે સંખ્યાઓ 5 ના ગુણાંક છે તે છે: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. સંખ્યાઓની શ્રેણી લખો જે પ્રથમ સંખ્યાના ગુણાંક છે.સંખ્યાઓના બે સેટની સરખામણી કરવા માટે પ્રથમ સંખ્યાના ગુણાંક હેઠળ આ કરો.

   • ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ કે જે 8 ના ગુણાંક છે: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 અને 64.

3. ગુણાકારના બંને સેટમાં હાજર સૌથી નાની સંખ્યા શોધો.કુલ સંખ્યા શોધવા માટે તમારે ગુણાકારની લાંબી શ્રેણી લખવી પડી શકે છે. ગુણાકારના બંને સેટમાં હાજર સૌથી નાની સંખ્યા એ લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક છે.

   • ઉદાહરણ તરીકે, સૌથી નાની સંખ્યા જે 5 અને 8 ના ગુણાંકની શ્રેણીમાં દેખાય છે તે સંખ્યા 40 છે. તેથી, 40 એ 5 અને 8 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક છે.

   પ્રાઇમ ફેક્ટરાઇઝેશન

   1. આ નંબરો જુઓ.અહીં વર્ણવેલ પદ્ધતિનો શ્રેષ્ઠ ઉપયોગ જ્યારે બે નંબરો આપવામાં આવે છે, જેમાંથી દરેક 10 કરતા મોટી હોય છે. જો નાની સંખ્યાઓ આપવામાં આવી હોય, તો બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો.

      • ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ 20 અને 84 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધો. દરેક સંખ્યા 10 થી મોટી છે, તેથી તમે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

   2. પ્રથમ સંખ્યાને અવિભાજ્ય અવયવોમાં અવયવ કરો.એટલે કે, તમારે એવી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે કે, જ્યારે ગુણાકાર કરવામાં આવે, ત્યારે આપેલ સંખ્યામાં પરિણમશે. એકવાર તમે મુખ્ય પરિબળો શોધી લો, પછી તેમને સમાનતા તરીકે લખો.

      • દાખ્લા તરીકે, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)અને 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). આમ, સંખ્યા 20 ના મુખ્ય અવયવો 2, 2 અને 5 નંબરો છે. તેમને અભિવ્યક્તિ તરીકે લખો: .

   3. બીજી સંખ્યાને અવિભાજ્ય અવયવમાં અવયવ કરો.તમે પ્રથમ સંખ્યાને ફેક્ટર કરો તે જ રીતે આ કરો, એટલે કે, એવી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધો કે, જ્યારે ગુણાકાર કરવામાં આવે, ત્યારે આપેલ સંખ્યા પ્રાપ્ત થાય.

      • દાખ્લા તરીકે, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)અને 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). આમ, સંખ્યા 84 ના મુખ્ય અવયવો 2, 7, 3 અને 2 નંબરો છે. તેમને અભિવ્યક્તિ તરીકે લખો: .

   4. બંને સંખ્યાના સામાન્ય પરિબળો લખો.ગુણાકારની ક્રિયા તરીકે આવા પરિબળો લખો. જેમ જેમ તમે દરેક પરિબળ લખો તેમ, તેને બંને અભિવ્યક્તિઓ (અભિવ્યક્તિઓ કે જે સંખ્યાના અવયવીકરણને અવિભાજ્ય અવયવોમાં વર્ણવે છે) માં ક્રોસ કરો.

      • ઉદાહરણ તરીકે, બંને સંખ્યાઓમાં 2 નો સામાન્ય અવયવ છે, તેથી લખો 2 × (\Displaystyle 2\times )અને બંને સમીકરણોમાં 2 ને પાર કરો.
      • બંને સંખ્યાઓમાં જે સામ્ય છે તે 2 નો બીજો પરિબળ છે, તેથી લખો 2 × 2 (\Displaystyle 2\times 2)અને બંને અભિવ્યક્તિઓમાં બીજા 2 ને પાર કરો.

   5. ગુણાકારની ક્રિયામાં બાકીના પરિબળો ઉમેરો.આ એવા પરિબળો છે જે બંને અભિવ્યક્તિઓમાં વટાવ્યા નથી, એટલે કે, પરિબળો જે બંને સંખ્યાઓ માટે સામાન્ય નથી.

      • ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિમાં 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5)બંને બે (2)ને વટાવી દેવામાં આવ્યા છે કારણ કે તે સામાન્ય પરિબળો છે. પરિબળ 5 ઓળંગી ગયો નથી, તેથી ગુણાકારની ક્રિયા આ રીતે લખો: 2 × 2 × 5 (\Displaystyle 2\times 2\times 5)
      • અભિવ્યક્તિમાં 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2)બંને બે (2) પણ વટાવ્યા છે. પરિબળ 7 અને 3 ને વટાવ્યા નથી, તેથી ગુણાકારની ક્રિયા આ રીતે લખો: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. ઓછામાં ઓછા સામાન્ય ગુણાંકની ગણતરી કરો.આ કરવા માટે, લેખિત ગુણાકારની ક્રિયામાં સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરો.

      • દાખ્લા તરીકે, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). તેથી 20 અને 84 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક 420 છે.

   સામાન્ય પરિબળો શોધો

   1. ટિક-ટેક-ટોની રમતની જેમ ગ્રીડ દોરો.આવી ગ્રીડમાં બે સમાંતર રેખાઓ હોય છે જે બીજી બે સમાંતર રેખાઓ સાથે છેદે છે (જમણા ખૂણા પર). આ તમને ત્રણ પંક્તિઓ અને ત્રણ કૉલમ્સ આપશે (ગ્રીડ # આઇકોન જેવો દેખાય છે). પ્રથમ લાઇન અને બીજી કોલમમાં પ્રથમ નંબર લખો. પ્રથમ પંક્તિ અને ત્રીજી કોલમમાં બીજો નંબર લખો.

      • ઉદાહરણ તરીકે, નંબરો 18 અને 30 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધો. પ્રથમ પંક્તિ અને બીજી કૉલમમાં 18 નંબર લખો અને પ્રથમ પંક્તિ અને ત્રીજી કૉલમમાં 30 નંબર લખો.

   2. બંને સંખ્યાઓ માટે સામાન્ય વિભાજક શોધો.તેને પ્રથમ પંક્તિ અને પ્રથમ કૉલમમાં લખો. મુખ્ય પરિબળો શોધવાનું વધુ સારું છે, પરંતુ આ આવશ્યકતા નથી.

      • ઉદાહરણ તરીકે, 18 અને 30 એ બે પણ સંખ્યાઓ છે, તેથી તેમનો સામાન્ય અવયવ 2 છે. તેથી પ્રથમ પંક્તિ અને પ્રથમ કૉલમમાં 2 લખો.

   3. દરેક સંખ્યાને પ્રથમ વિભાજક દ્વારા વિભાજીત કરો.દરેક ભાગને યોગ્ય સંખ્યા હેઠળ લખો. ભાગ્ય એ બે સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવાનું પરિણામ છે.

      • દાખ્લા તરીકે, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), તેથી 18 હેઠળ 9 લખો.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), તેથી 15 ની નીચે 30 લખો.

   4. બંને અવશેષો માટે સામાન્ય વિભાજક શોધો.જો આવા કોઈ વિભાજક ન હોય, તો પછીના બે પગલાંને અવગણો. નહિંતર, બીજી હરોળમાં અને પ્રથમ કૉલમમાં વિભાજક લખો.

      • ઉદાહરણ તરીકે, 9 અને 15 એ 3 વડે વિભાજ્ય છે, તેથી બીજી હરોળમાં અને પ્રથમ કૉલમમાં 3 લખો.

   5. દરેક ભાગને તેના બીજા વિભાજક દ્વારા વિભાજીત કરો.દરેક વિભાગના પરિણામને અનુરૂપ ભાગ હેઠળ લખો.

      • દાખ્લા તરીકે, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), તેથી 9 હેઠળ 3 લખો.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), તેથી 15 હેઠળ 5 લખો.

   6. જો જરૂરી હોય તો, ગ્રીડમાં વધારાના કોષો ઉમેરો.જ્યાં સુધી અવતરણોમાં સામાન્ય વિભાજક ન હોય ત્યાં સુધી વર્ણવેલ પગલાંઓનું પુનરાવર્તન કરો.

   7. ગ્રીડની પ્રથમ કૉલમ અને છેલ્લી પંક્તિમાંની સંખ્યાઓને વર્તુળ કરો.પછી પસંદ કરેલી સંખ્યાઓને ગુણાકારની ક્રિયા તરીકે લખો.

      • ઉદાહરણ તરીકે, નંબરો 2 અને 3 પ્રથમ કૉલમમાં છે, અને નંબરો 3 અને 5 છેલ્લી પંક્તિમાં છે, તેથી ગુણાકારની ક્રિયા આ રીતે લખો: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. સંખ્યાઓના ગુણાકારનું પરિણામ શોધો.આ આપેલ બે સંખ્યાઓના લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંકની ગણતરી કરશે.

      • દાખ્લા તરીકે, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). તેથી 18 અને 30 નો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક 90 છે.

   યુક્લિડનું અલ્ગોરિધમ

   1. વિભાગ કામગીરી સાથે સંકળાયેલ પરિભાષા યાદ રાખો.ડિવિડન્ડ એ સંખ્યા છે જે વિભાજિત કરવામાં આવી રહી છે. વિભાજક એ સંખ્યા છે જેને વડે ભાગવામાં આવે છે. ભાગ્ય એ બે સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવાનું પરિણામ છે. જ્યારે બે સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવામાં આવે ત્યારે બાકી રહેલ સંખ્યા છે.

      • ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિમાં 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost 3:
        15 એ ડિવિડન્ડ છે
        6 એ વિભાજક છે
        2 ભાગલાકાર છે
        3 બાકી છે.

કુદરતી સંખ્યાઓ માટે વિભાજ્યતા માપદંડ.

શેષ વિના 2 વડે ભાગી શકાય તેવી સંખ્યાઓ કહેવાય છેસમ .

જે સંખ્યાઓ 2 વડે સરખે ભાગે ભાગી શકાતી નથી તેને કહેવામાં આવે છેએકી .

2 દ્વારા વિભાજ્યતા માટે પરીક્ષણ

જો કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા એક સમાન અંક સાથે સમાપ્ત થાય છે, તો પછી આ સંખ્યા બાકીના વિના 2 વડે વિભાજ્ય છે, અને જો કોઈ સંખ્યા એક વિષમ અંક સાથે સમાપ્ત થાય છે, તો આ સંખ્યા 2 વડે સરખી રીતે વિભાજ્ય નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, નંબરો 60 , 30 8 , 8 4 શેષ વિના 2 વડે ભાગી શકાય છે, અને સંખ્યાઓ 5 છે1 , 8 5 , 16 7 શેષ વિના 2 વડે વિભાજ્ય નથી.

3 દ્વારા વિભાજ્યતા માટે પરીક્ષણ

જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો 3 વડે વિભાજ્ય હોય, તો સંખ્યા 3 વડે વિભાજ્ય છે; જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો 3 વડે વિભાજ્ય ન હોય, તો તે સંખ્યા 3 વડે ભાગી શકાતી નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો જોઈએ કે શું 2772825 નંબર 3 વડે વિભાજ્ય છે. આ કરવા માટે, ચાલો આ સંખ્યાના અંકોના સરવાળાની ગણતરી કરીએ: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - 3 વડે વિભાજ્ય. આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા 2772825 3 વડે વિભાજ્ય છે.

5 દ્વારા વિભાજ્યતા પરીક્ષણ

જો કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો રેકોર્ડ અંક 0 અથવા 5 સાથે સમાપ્ત થાય છે, તો આ સંખ્યા બાકીના વિના 5 વડે ભાગી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, નંબરો 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 શેષ વિના 5 વડે ભાગી શકાય છે, અને સંખ્યાઓ 1 છે7 , 37 8 , 9 1 શેર કરશો નહીં.

9 સુધીમાં વિભાજ્યતા પરીક્ષણ

જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો 9 વડે વિભાજ્ય હોય, તો સંખ્યા 9 વડે વિભાજ્ય છે; જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો 9 વડે વિભાજ્ય ન હોય, તો તે સંખ્યા 9 વડે ભાગી શકાતી નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો જોઈએ કે 5402070 નંબર 9 વડે વિભાજ્ય છે કે કેમ. આ કરવા માટે, ચાલો આ સંખ્યાના અંકોના સરવાળાની ગણતરી કરીએ: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - 9 વડે વિભાજ્ય નથી. આનો અર્થ છે કે 5402070 નંબર 9 વડે વિભાજ્ય નથી.

10 સુધીમાં વિભાજ્યતા પરીક્ષણ

જો કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા અંક 0 સાથે સમાપ્ત થાય છે, તો આ સંખ્યા બાકીના વિના 10 વડે ભાગી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, નંબરો 40 , 17 0 , 1409 0 શેષ વિના 10 વડે ભાગી શકાય છે, અને સંખ્યાઓ 17 , 9 3 , 1430 7 - શેર કરશો નહીં.

સૌથી સામાન્ય વિભાજક (GCD) શોધવાનો નિયમ.

કેટલીક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક શોધવા માટે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે:

2) આમાંની એક સંખ્યાના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળોમાંથી, અન્ય સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાં શામેલ ન હોય તેવા પરિબળોને પાર કરો;

3) બાકીના પરિબળોનું ઉત્પાદન શોધો.

ઉદાહરણ. ચાલો GCD (48;36) શોધીએ. ચાલો નિયમનો ઉપયોગ કરીએ.

1. ચાલો 48 અને 36 નંબરોને અવિભાજ્ય અવયવમાં પરિબળ કરીએ.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. નંબર 48 ના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળોમાંથી, અમે તે કાઢી નાખીએ છીએ જે નંબર 36 ના વિસ્તરણમાં શામેલ નથી.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

બાકીના પરિબળો 2, 2 અને 3 છે.

3. બાકીના અવયવોનો ગુણાકાર કરો અને 12 મેળવો. આ સંખ્યા 48 અને 36 સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક છે.

GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.

લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM) શોધવાનો નિયમ.

કેટલીક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક શોધવા માટે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે:

1) તેમને મુખ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરો;

2) સંખ્યાઓમાંથી એકના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળો લખો;

3) બાકીની સંખ્યાઓના વિસ્તરણમાંથી ખૂટતા પરિબળોને તેમાં ઉમેરો;

4) પરિણામી પરિબળોનું ઉત્પાદન શોધો.

ઉદાહરણ.ચાલો LOC (75;60) શોધીએ. ચાલો નિયમનો ઉપયોગ કરીએ.

1. ચાલો 75 અને 60 નંબરોને અવિભાજ્ય અવયવમાં પરિબળ કરીએ.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. ચાલો નંબર 75: 3, 5, 5 ના વિસ્તરણમાં સમાવિષ્ટ પરિબળોને લખીએ.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …

3. સંખ્યા 60 ના વિસ્તરણમાંથી ગુમ થયેલ પરિબળોને તેમાં ઉમેરો, એટલે કે. 2, 2.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. પરિણામી પરિબળોનું ઉત્પાદન શોધો

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.