ચોક્કસ અભિન્ન અને તેના ગુણધર્મો.

સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય. જો f(x) અંતરાલ પર સતત હોય, તો ત્યાં એક બિંદુ અસ્તિત્વમાં છે જેવો . ડૉ. અંતરાલ પર સતત કાર્ય આ સેગમેન્ટ પર તેના સૌથી નાના m અને સૌથી મોટા M મૂલ્યો લે છે. પછી . નંબર સેગમેન્ટ પરના ફંક્શનના ન્યૂનતમ અને મહત્તમ મૂલ્યો વચ્ચે તારણ કાઢ્યું છે. અંતરાલ પર સતત ચાલતા ફંક્શનના ગુણધર્મોમાંનો એક એ છે કે આ ફંક્શન m અને M વચ્ચે સ્થિત કોઈપણ મૂલ્ય લે છે. આમ, એક બિંદુ એવો છે કે . આ ગુણધર્મનું એક સરળ ભૌમિતિક અર્થઘટન છે: જો સેગમેન્ટ પર સતત હોય, તો ત્યાં એક બિંદુ એવો છે કે વક્રીકૃત ટ્રેપેઝોઇડ એબીસીડીનું ક્ષેત્રફળ આધાર અને ઊંચાઈ f(c) સાથે લંબચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે (હાઇલાઇટ કરેલ આકૃતિમાં).

7. ચલ ઉપલી મર્યાદા સાથે ઇન્ટિગ્રલ. તેની સાતત્ય અને ભિન્નતા.

ચાલો એક ફંક્શન f(x) ને ધ્યાનમાં લઈએ જે અંતરાલ પર રીમેન ઈન્ટિગ્રેબલ છે. કારણ કે તે ∀x ∈ પર એકીકૃત છે . પછી દરેક x ∈ માટે અભિવ્યક્તિનો અર્થ થાય છે, અને દરેક x માટે તે ચોક્કસ સંખ્યાની બરાબર છે.

આમ, દરેક x ∈ ચોક્કસ સંખ્યા સાથે સંકળાયેલ છે,

તે કાર્ય આપવામાં આવે છે:

(3.1)

વ્યાખ્યા:

(3.1) માં વ્યાખ્યાયિત કાર્ય F (x) તેમજ અભિવ્યક્તિ પોતે કહેવાય છે

ચલ ઉપલી મર્યાદા સાથે અભિન્ન. તે સમગ્ર સેગમેન્ટમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે

ફંક્શન f (x) ની અખંડિતતા.

શરત: f (t) પર સતત છે, અને ફંક્શન F (x) ફોર્મ્યુલા (3.1) દ્વારા આપવામાં આવે છે.

વિધાન: ફંક્શન F(x) , અને F (x) = f (x) પર વિભેદક છે.

(બિંદુ a પર તે જમણે અલગ કરી શકાય તેવું છે, અને બિંદુ b પર તે અલગ કરી શકાય તેવું બાકી છે.)

પુરાવો:

એક ચલના કાર્ય માટે F (x) ભિન્નતા એ તમામ બિંદુઓ પર વ્યુત્પન્નના અસ્તિત્વની સમકક્ષ છે (જમણી બાજુએ બિંદુ a પર અને ડાબી બાજુના બિંદુ b પર), આપણે F (x) નું વ્યુત્પન્ન શોધીશું. . ચાલો તફાવતને ધ્યાનમાં લઈએ

આમ,

આ કિસ્સામાં, બિંદુ ξ સેગમેન્ટ પર આવેલું છે (અથવા જો ∆x< 0).

હવે યાદ રાખો કે આપેલ બિંદુ x ∈ પર ફંક્શન F(x) નું વ્યુત્પન્ન તફાવત ગુણોત્તરની મર્યાદા બરાબર છે: . સમાનતામાંથી અમારી પાસે છે:

,

હવે ∆x → 0 ને નિર્દેશિત કરીને, આ સમાનતાની ડાબી બાજુએ આપણે F’(x) મેળવીએ છીએ, અને જમણી બાજુએ

ચાલો બિંદુ x પર ફંક્શન f(t)ની સાતત્યની વ્યાખ્યા યાદ કરીએ:

ચાલો આ વ્યાખ્યામાં x1 ને ξ ની બરાબર કરીએ. ત્યારથી ξ ∈ (ξ ∈), અને

∆x → 0, પછી |x − ξ| → 0, અને સાતત્યની વ્યાખ્યા દ્વારા, f (ξ) → f (x). અહીંથી અમારી પાસે છે:

F’(x) = f(x).

પરિણામ:

શરત: f (x) ચાલુ છે.

વિધાન: ફંકશન f (x) ના કોઈપણ એન્ટિડેરિવેટિવનું સ્વરૂપ હોય છે

જ્યાં C ∈ R અમુક સ્થિર છે.

પુરાવો. પ્રમેય 3.1 દ્વારા કાર્ય માટે એન્ટીડેરિવેટિવ છે f(x). ધારો કે G(x) એ f(x) નું બીજું એન્ટિડેરિવેટિવ છે. પછી G’(x) = f(x) અને ફંક્શન F(x) − G(x) માટે આપણી પાસે છે: (F(x) + G(x))' = F'(x)−G'(x) = f (x)−f(x) ≡ 0. તેથી, ફંક્શન F(x)−G નું વ્યુત્પન્ન (x)

શૂન્યની બરાબર છે, તેથી, આ કાર્ય સ્થિર છે: F(x) − G(x) = const.

8. ચોક્કસ અવિભાજ્ય માટે ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર.

પ્રમેય:

શરત: f(t) પર સતત છે, અને F(x) તેનું કોઈપણ એન્ટિડેરિવેટિવ છે.

નિવેદન:

પુરાવો:ફંક્શન f (x) ના કેટલાક એન્ટિડેરિવેટિવ F (x) ને ધ્યાનમાં લો. પ્રમેયમાંથી કોરોલરી અનુસાર "ચલ ઉપલી મર્યાદા સાથેના અભિન્નતાની ભિન્નતા પર" (અગાઉનો પ્રશ્ન જુઓ), તેનું સ્વરૂપ છે. અહીંથી

=> c= એફ(a) , અને

ચાલો છેલ્લી સમાનતામાં F(a) ને ડાબી બાજુએ ખસેડીએ, એકીકરણ ચલને ફરીથી x તરીકે ફરીથી ડિઝાઇન કરીએ અને ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્ર મેળવીએ:

પ્રમેય. જો કાર્ય f(x)અંતરાલ પર એકીકૃત [ a, b], ક્યાં a< b , અને દરેક માટે x ∈અસમાનતા ધરાવે છે

પ્રમેયમાંથી અસમાનતાઓનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ ચોક્કસ અભિન્નતાનો અંદાજ લગાવી શકે છે, એટલે કે. સીમાઓ દર્શાવે છે કે જેની વચ્ચે તેનો અર્થ સમાયેલ છે. આ અસમાનતાઓ ચોક્કસ અભિન્નતાનો અંદાજ વ્યક્ત કરે છે.

પ્રમેય [મીન પ્રમેય]. જો કાર્ય f(x)અંતરાલ પર એકીકૃત [ a, b] અને દરેક માટે x ∈અસમાનતાઓ સંતુષ્ટ છે m ≤ f(x) ≤ M, તે

જ્યાં m ≤ μ ≤ M.

ટિપ્પણી. કિસ્સામાં કાર્ય f(x)અંતરાલ પર સતત છે [ a, b], પ્રમેયમાંથી સમાનતા સ્વરૂપ લે છે

જ્યાં c ∈. નંબર μ=f(c), આ સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત, કહેવાય છે સરેરાશ મૂલ્યકાર્યો f(x)સેગમેન્ટ પર [ a, b]. આ સમાનતા નીચે મુજબ છે ભૌમિતિક અર્થ: સતત રેખાથી બંધાયેલ વક્ર ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર y=f(x) (f(x) ≤ 0) એ સમાન આધાર અને ઊંચાઈ સાથેના લંબચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલો છે જે આ રેખા પરના અમુક બિંદુના ઓર્ડિનેટની બરાબર છે.

સતત કાર્ય માટે એન્ટિડેરિવેટિવનું અસ્તિત્વ

સૌપ્રથમ, અમે ચલ ઉપલી મર્યાદા સાથે ઇન્ટિગ્રલનો ખ્યાલ રજૂ કરીએ છીએ.

કાર્ય કરવા દો f(x)અંતરાલ પર એકીકૃત [ a, b]. પછી નંબર ગમે તે હોય xથી [ a, b], કાર્ય f(x)અંતરાલ પર એકીકૃત [ a, b]. તેથી, અંતરાલ પર [ a, b] કાર્ય વ્યાખ્યાયિત

જેને ચલ ઉપલી મર્યાદા સાથેનું અભિન્ન કહેવામાં આવે છે.

પ્રમેય. જો ઈન્ટિગ્રેન્ડ અંતરાલ પર સતત હોય તો [ a, b], પછી ચલ ઉપલી મર્યાદા સાથે ચોક્કસ પૂર્ણાંકનું વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં છે અને તે આ મર્યાદા માટેના પૂર્ણાંકના મૂલ્યની બરાબર છે, એટલે કે

પરિણામ. ચલ ઉપલી મર્યાદા સાથેનું ચોક્કસ અવિભાજ્ય એ સતત સંકલન માટે એન્ટિડેરિવેટિવ્સમાંનું એક છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અંતરાલ પર સતત કોઈપણ કાર્ય માટે એન્ટિડેરિવેટિવ હોય છે.

નોંધ 1. નોંધ કરો કે જો કાર્ય f(x)અંતરાલ પર એકીકૃત [ a, b], પછી ચલ ઉપલી મર્યાદા સાથેનું અવિભાજ્ય એ ઉપલી મર્યાદાનું કાર્ય છે, આ સેગમેન્ટ પર સતત. ખરેખર, St.2 અને સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેયમાંથી આપણી પાસે છે

નોંધ 2. એકીકરણની ચલ ઉપલી મર્યાદા સાથેના ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ ઘણા નવા કાર્યોની વ્યાખ્યામાં થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, . આ કાર્યો મૂળભૂત નથી; પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, સૂચવેલ ઇન્ટિગ્રેંડ્સના એન્ટિડેરિવેટિવ્સ પ્રાથમિક કાર્યો દ્વારા વ્યક્ત થતા નથી.

એકીકરણના મૂળભૂત નિયમો

ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર

કોઈપણ બે એન્ટિડેરિવેટિવ કાર્યો હોવાથી f(x)સ્થિરાંક દ્વારા અલગ પડે છે, પછી અગાઉના પ્રમેય મુજબ એવી દલીલ કરી શકાય છે કે કોઈપણ એન્ટિડેરિવેટિવ Φ(x)સેગમેન્ટ પર સતત [ a, b] કાર્યો f(x)જેવો દેખાય છે

જ્યાં સી- કેટલાક સતત.

આ સૂત્રમાં ધારી રહ્યા છીએ x=aઅને x=b, St.1 ચોક્કસ પૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરીને, અમે શોધીએ છીએ

આ સમાનતાઓ સંબંધ સૂચવે છે

જેને કહેવામાં આવે છે ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર.

આમ અમે નીચેની પ્રમેય સાબિત કરી:

પ્રમેય. સતત ફંક્શનનું ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલ એકીકરણની ઉપલી અને નીચલી મર્યાદાઓ માટે તેના કોઈપણ એન્ટિડેરિવેટિવ્સના મૂલ્યો વચ્ચેના તફાવત જેટલું છે.

ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે

ચોક્કસ અવિભાજ્યમાં ચલ બદલવું

પ્રમેય. જો

• કાર્ય f(x)અંતરાલ પર સતત છે [ a, b];
• સેગમેન્ટ [ a, b] એ કાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ છે φ(t), સેગમેન્ટ પર વ્યાખ્યાયિત α ≤ t ≤ βઅને તેના પર સતત વ્યુત્પન્ન હોવું;
• φ(α)=a, φ(β)=b

પછી સૂત્ર સાચો છે

ભાગો દ્વારા એકીકરણ માટે ફોર્મ્યુલા

પ્રમેય. જો કાર્યો u=u(x), v=v(x)અંતરાલ પર સતત ડેરિવેટિવ્ઝ હોય છે [ a, b], તો સૂત્ર માન્ય છે

એપ્લિકેશન મૂલ્ય સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કર્યા વિના તેના મૂલ્યનો ગુણાત્મક અંદાજ મેળવવાની સંભાવનામાં રહેલું છે. ચાલો ઘડીએ : જો કોઈ ફંક્શન અંતરાલ પર સતત હોય, તો આ અંતરાલની અંદર એક બિંદુ હોય છે જેવો .

આ ફોર્મ્યુલા જટિલ અથવા બોજારૂપ કાર્યના અભિન્ન અંદાજ માટે એકદમ યોગ્ય છે. એકમાત્ર બિંદુ જે સૂત્ર બનાવે છે અંદાજિત , એક આવશ્યકતા છે સ્વતંત્ર પસંદગી બિંદુઓ જો આપણે સૌથી સરળ રસ્તો લઈએ - એકીકરણ અંતરાલનો મધ્ય ભાગ (જેમ કે સંખ્યાબંધ પાઠયપુસ્તકોમાં સૂચવવામાં આવ્યું છે), તો ભૂલ ખૂબ નોંધપાત્ર હોઈ શકે છે. વધુ સચોટ પરિણામ મેળવવા માટે અમે ભલામણ કરીએ છીએ નીચેના ક્રમમાં ગણતરી હાથ ધરો:

અંતરાલ પર ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવો;

લંબચોરસની ઉપરની સીમા દોરો જેથી ફંક્શન ગ્રાફના કટ-ઓફ ભાગો હોય ક્ષેત્રફળમાં લગભગ સમાન (આ બરાબર તે જ છે જે ઉપરની આકૃતિમાં બતાવવામાં આવ્યું છે - બે વક્ર ત્રિકોણ લગભગ સમાન છે);

આકૃતિ પરથી નક્કી કરો;

સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેયનો ઉપયોગ કરો.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો એક સરળ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરીએ:

ચોક્કસ મૂલ્ય;

મધ્યાંતર માટે અમે અંદાજિત મૂલ્ય પણ મેળવીએ છીએ, એટલે કે. સ્પષ્ટ રીતે અચોક્કસ પરિણામ;

ભલામણો અનુસાર દોરેલા લંબચોરસની ઉપરની બાજુ સાથે આલેખ બાંધીને, અમે મેળવીએ છીએ, તેથી અંદાજિત મૂલ્ય. તદ્દન સંતોષકારક પરિણામ, ભૂલ 0.75% છે.

ટ્રેપેઝોઇડ સૂત્ર

સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓની ચોકસાઈ નોંધપાત્ર રીતે આધાર રાખે છે, જેમ કે દર્શાવવામાં આવ્યું હતું દ્રશ્ય હેતુ બિંદુ શેડ્યૂલ અનુસાર. ખરેખર, સમાન ઉદાહરણમાં, બિંદુઓ અથવા , પસંદ કરીને, તમે અભિન્નના અન્ય મૂલ્યો મેળવી શકો છો, અને ભૂલ વધી શકે છે. વ્યક્તિલક્ષી પરિબળો, ગ્રાફનો સ્કેલ અને ચિત્રની ગુણવત્તા પરિણામને ખૂબ પ્રભાવિત કરે છે. આ અસ્વીકાર્ય નિર્ણાયક ગણતરીઓમાં, તેથી સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેય માત્ર ઝડપી પર લાગુ થાય છે ગુણવત્તા અભિન્ન અંદાજ.

આ વિભાગમાં અમે અંદાજિત એકીકરણની સૌથી લોકપ્રિય પદ્ધતિઓમાંથી એક પર વિચાર કરીશું - ટ્રેપેઝોઇડલ ફોર્મ્યુલા . આ સૂત્ર બનાવવાનો મુખ્ય વિચાર એ હકીકત પર આધારિત છે કે આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, વળાંક લગભગ તૂટેલી રેખા દ્વારા બદલી શકાય છે.

ચાલો ધારીએ, નિશ્ચિતતા માટે (અને આકૃતિ અનુસાર), કે એકીકરણ અંતરાલ વિભાજિત થયેલ છે સમાન (આ વૈકલ્પિક છે, પરંતુ ખૂબ અનુકૂળ છે) ભાગો. આ દરેક ભાગની લંબાઈ સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે અને તેને કહેવામાં આવે છે પગલું . પાર્ટીશન પોઈન્ટના એબ્સીસાસ, જો આપવામાં આવે તો, સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જ્યાં . જાણીતા એબ્સીસાસનો ઉપયોગ કરીને ઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરવી સરળ છે. આમ,

આ કેસ માટે ટ્રેપેઝોઇડલ ફોર્મ્યુલા છે. નોંધ કરો કે કૌંસમાં પ્રથમ શબ્દ એ પ્રારંભિક અને અંતિમ ઓર્ડિનેટનો અડધો સરવાળો છે, જેમાં તમામ મધ્યવર્તી ઓર્ડિનેટ ઉમેરવામાં આવે છે. એકીકરણ અંતરાલના પાર્ટીશનોની મનસ્વી સંખ્યા માટે ટ્રેપેઝોઇડ્સ માટે સામાન્ય સૂત્ર ફોર્મ ધરાવે છે: ચતુર્થાંશ સૂત્રો: લંબચોરસ, સિમ્પસન, ગૌસીયન, વગેરે. તેઓ વિવિધ આકારોના પ્રાથમિક ક્ષેત્રો દ્વારા વક્રીકૃત ટ્રેપેઝોઇડનું પ્રતિનિધિત્વ કરવાના સમાન વિચાર પર આધારિત છે, તેથી, ટ્રેપેઝોઇડ ફોર્મ્યુલામાં નિપુણતા પ્રાપ્ત કર્યા પછી, સમાન સૂત્રોને સમજવું મુશ્કેલ રહેશે નહીં. ઘણા ફોર્મ્યુલા ટ્રેપેઝોઇડલ ફોર્મ્યુલા જેટલા સરળ નથી, પરંતુ તે તમને થોડી સંખ્યામાં પાર્ટીશનો સાથે ઉચ્ચ-સચોટતા પરિણામો મેળવવાની મંજૂરી આપે છે.

ટ્રેપેઝોઇડલ ફોર્મ્યુલા (અથવા તેના જેવા) નો ઉપયોગ કરીને, વ્યવહારમાં જરૂરી ચોકસાઈ સાથે, જટિલ અથવા બોજારૂપ કાર્યોના "બિન-પર્ફોર્મેબલ" ઇન્ટિગ્રલ અને ઇન્ટિગ્રલ બંનેની ગણતરી કરવી શક્ય છે.

ચોક્કસ અભિન્ન દ્વારા સતત કાર્યમાંથી f(x) અંતિમ સેગમેન્ટ પર [ a, b] (જ્યાં ) આ સેગમેન્ટ પર તેના કેટલાક એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝનો વધારો છે. (સામાન્ય રીતે, જો તમે અનિશ્ચિત અભિન્ન વિષયનું પુનરાવર્તન કરશો તો સમજણ નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનશે) આ કિસ્સામાં, સંકેતનો ઉપયોગ થાય છે.

નીચે આપેલા આલેખમાં જોઈ શકાય છે તેમ (એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શનની વૃદ્ધિ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે), ચોક્કસ અવિભાજ્ય કાં તો હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક સંખ્યા હોઈ શકે છે(તેની ઉપલી મર્યાદામાં એન્ટિડેરિવેટિવની કિંમત અને નીચલી મર્યાદામાં તેની કિંમત વચ્ચેના તફાવત તરીકે ગણવામાં આવે છે, એટલે કે એફ(b) - એફ(a)).

સંખ્યાઓ aઅને bઅનુક્રમે એકીકરણની નીચલી અને ઉપલી મર્યાદા કહેવાય છે અને સેગમેન્ટ [ a, b] - એકીકરણનો સેગમેન્ટ.

આમ, જો એફ(x) – માટે કેટલાક એન્ટિડેરિવેટિવ કાર્ય f(x), પછી, વ્યાખ્યા અનુસાર,

(38)

સમાનતા (38) કહેવાય છે ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર . તફાવત એફ(b) – એફ(a) સંક્ષિપ્તમાં નીચે મુજબ લખાયેલ છે:

તેથી, અમે ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર આ રીતે લખીશું:

(39)

ચાલો સાબિત કરીએ કે ચોક્કસ પૂર્ણાંક તેની ગણતરી કરતી વખતે ઇન્ટિગ્રેન્ડનું કયું એન્ટિડેરિવેટિવ લેવામાં આવે છે તેના પર નિર્ભર નથી. દો એફ(x) અને F( એક્સ) ઇન્ટિગ્રેન્ડના મનસ્વી એન્ટિડેરિવેટિવ્સ છે. આ એક જ કાર્યના એન્ટિડેરિવેટિવ્સ હોવાથી, તેઓ સતત શબ્દ દ્વારા અલગ પડે છે: Ф( એક્સ) = એફ(x) + સી. તેથી જ

આ સ્થાપિત કરે છે કે સેગમેન્ટ પર [ a, b] ફંક્શનના તમામ એન્ટિડેરિવેટિવ્સની વૃદ્ધિ f(x) મેચ.

આમ, ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવા માટે, ઇન્ટિગ્રેન્ડનું કોઈપણ એન્ટિડેરિવેટિવ શોધવું જરૂરી છે, એટલે કે. પ્રથમ તમારે અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધવાની જરૂર છે. સતત સાથે અનુગામી ગણતરીઓમાંથી બાકાત. પછી ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર લાગુ કરવામાં આવે છે: ઉપલી મર્યાદાનું મૂલ્ય એન્ટીડેરિવેટિવ ફંક્શનમાં બદલવામાં આવે છે. b , આગળ - નીચી મર્યાદાનું મૂલ્ય a અને તફાવતની ગણતરી કરવામાં આવે છે F(b) - F(a) . પરિણામી સંખ્યા ચોક્કસ અભિન્ન હશે..

મુ a = bવ્યાખ્યા દ્વારા સ્વીકારવામાં આવે છે

ઉદાહરણ 1.

ઉકેલ. પ્રથમ, ચાલો અનિશ્ચિત અભિન્નતા શોધીએ:

એન્ટિડેરિવેટિવ પર ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્ર લાગુ કરવું

(એટ સાથે= 0), આપણને મળે છે

જો કે, ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરતી વખતે, એન્ટિડેરિવેટિવને અલગથી ન શોધવું વધુ સારું છે, પરંતુ તરત જ ફોર્મમાં ઇન્ટિગ્રલ લખવું વધુ સારું છે (39).

ઉદાહરણ 2.ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો

ઉકેલ. ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને

ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલના ગુણધર્મો

પ્રમેય 2.ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનું મૂલ્ય એકીકરણ ચલના હોદ્દા પર આધારિત નથી, એટલે કે

(40)

દો એફ(x) – માટે એન્ટિડેરિવેટિવ f(x). માટે f(t) એન્ટિડેરિવેટિવ એ જ કાર્ય છે એફ(t), જેમાં સ્વતંત્ર ચલ માત્ર અલગ રીતે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે. આથી,

ફોર્મ્યુલા (39) ના આધારે, છેલ્લી સમાનતાનો અર્થ છે અવિભાજ્યની સમાનતા

પ્રમેય 3.અચળ અવયવને ચોક્કસ અવિભાજ્યની નિશાનીમાંથી બહાર લઈ શકાય છે, એટલે કે

(41)

પ્રમેય 4.વિધેયોની મર્યાદિત સંખ્યાના બીજગણિતીય સરવાળાનું ચોક્કસ અવિભાજ્ય આ વિધેયોના ચોક્કસ પૂર્ણાંકોના બીજગણિતીય સરવાળા જેટલું હોય છે., એટલે કે

(42)

પ્રમેય 5.જો એકીકરણના સેગમેન્ટને ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, તો પછી સમગ્ર સેગમેન્ટ પરનો ચોક્કસ અવિભાજ્ય તેના ભાગો પરના ચોક્કસ પૂર્ણાંકોના સરવાળા સમાન છે., એટલે કે જો

(43)

પ્રમેય 6.એકીકરણની મર્યાદાને ફરીથી ગોઠવતી વખતે, ચોક્કસ અવિભાજ્યનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય બદલાતું નથી, પરંતુ માત્ર તેની નિશાની બદલાય છે, એટલે કે

(44)

પ્રમેય 7(અર્થ મૂલ્ય પ્રમેય). ચોક્કસ અવિભાજ્ય એ એકીકરણ સેગમેન્ટની લંબાઈના ઉત્પાદન અને તેની અંદરના અમુક બિંદુએ ઈન્ટિગ્રેંડના મૂલ્યની બરાબર છે., એટલે કે

(45)

પ્રમેય 8.જો એકીકરણની ઉપલી મર્યાદા નીચલા મર્યાદા કરતા વધારે હોય અને સંકલન બિન-નકારાત્મક (હકારાત્મક) હોય, તો ચોક્કસ પૂર્ણાંક પણ બિન-નકારાત્મક (ધન) છે, એટલે કે. જો

પ્રમેય 9.જો એકીકરણની ઉપલી મર્યાદા નીચલા એક કરતા વધારે હોય અને કાર્યો અને સતત હોય, તો અસમાનતા

શબ્દ દ્વારા સંકલિત કરી શકાય છે, એટલે કે

(46)

ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલના ગુણધર્મો ઇન્ટિગ્રલ્સની સીધી ગણતરીને સરળ બનાવવાનું શક્ય બનાવે છે.

ઉદાહરણ 5.ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો

પ્રમેય 4 અને 3 નો ઉપયોગ કરીને, અને જ્યારે એન્ટિડેરિવેટિવ્સ શોધો - ટેબલ ઇન્ટિગ્રલ્સ (7) અને (6), અમે મેળવીએ છીએ

ચલ ઉપલી મર્યાદા સાથે નિશ્ચિત અભિન્ન

દો f(x) - સેગમેન્ટ પર સતત [ a, b] કાર્ય, અને એફ(x) તેનું એન્ટિડેરિવેટિવ છે. ચોક્કસ અભિન્ન ધ્યાનમાં લો

(47)

અને મારફતે tએકીકરણ ચલ નિયુક્ત કરવામાં આવે છે જેથી તેને ઉપલા બાઉન્ડ સાથે ગૂંચવવામાં ન આવે. જ્યારે બદલાય છે એક્સચોક્કસ અભિન્ન (47) પણ બદલાય છે, એટલે કે. તે એકીકરણની ઉપલી મર્યાદાનું કાર્ય છે એક્સ, જે આપણે દ્વારા સૂચિત કરીએ છીએ એફ(એક્સ), એટલે કે

(48)

ચાલો સાબિત કરીએ કે કાર્ય એફ(એક્સ) માટે એન્ટીડેરિવેટિવ છે f(x) = f(t). ખરેખર, ભિન્નતા એફ(એક્સ), અમને મળે છે

કારણ કે એફ(x) – માટે એન્ટિડેરિવેટિવ f(x), એ એફ(a) એક સ્થિર મૂલ્ય છે.

કાર્ય એફ(એક્સ) – માટે એન્ટિડેરિવેટિવ્સની અનંત સંખ્યામાંની એક f(x), એટલે કે તે x = aશૂન્ય પર જાય છે. આ વિધાન પ્રાપ્ત થાય છે જો આપણે સમાનતામાં (48) મૂકીએ x = aઅને પાછલા ફકરાના પ્રમેય 1 નો ઉપયોગ કરો.

ભાગો દ્વારા એકીકરણની પદ્ધતિ અને ચલના પરિવર્તનની પદ્ધતિ દ્વારા ચોક્કસ પૂર્ણાંકોની ગણતરી

જ્યાં, વ્યાખ્યા દ્વારા, એફ(x) – માટે એન્ટિડેરિવેટિવ f(x). જો આપણે ઇન્ટિગ્રેન્ડમાં ચલ બદલીએ

પછી, સૂત્ર (16) અનુસાર, આપણે લખી શકીએ છીએ

આ અભિવ્યક્તિમાં

માટે એન્ટિડેરિવેટિવ કાર્ય

હકીકતમાં, તેના વ્યુત્પન્ન, અનુસાર જટિલ કાર્યોના તફાવતનો નિયમ, સમાન છે

α અને β ને ચલની કિંમતો બનવા દો t, જેના માટે કાર્ય

તે મુજબ મૂલ્યો લે છે aઅને b, એટલે કે

પરંતુ, ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર મુજબ, તફાવત એફ(b) – એફ(a) છે

ટ્રેપેઝોઇડ પદ્ધતિ

મુખ્ય લેખ:ટ્રેપેઝોઇડ પદ્ધતિ

જો દરેક આંશિક સેગમેન્ટ પરનું કાર્ય મર્યાદિત મૂલ્યોમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દ્વારા અંદાજિત હોય, તો આપણે ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિ મેળવીએ છીએ.

દરેક સેગમેન્ટ પર ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર:

દરેક સેગમેન્ટ પર અંદાજિત ભૂલ:

જ્યાં

સમગ્ર સંકલન અંતરાલને સમાન લંબાઈના ભાગોમાં વિભાજીત કરવાના કિસ્સામાં ટ્રેપેઝોઇડ્સ માટેનું સંપૂર્ણ સૂત્ર:

જ્યાં

ટ્રેપેઝોઇડ ફોર્મ્યુલા ભૂલ:

જ્યાં

સિમ્પસનની પદ્ધતિ.

ઇન્ટિગ્રેન્ડ f(x)બીજી ડિગ્રીના ઇન્ટરપોલેશન બહુપદી દ્વારા બદલવામાં આવે છે P(x)– ત્રણ ગાંઠોમાંથી પસાર થતો પેરાબોલા, ઉદાહરણ તરીકે, આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે ((1) – કાર્ય, (2) – બહુપદી).

ચાલો એકીકરણના બે પગલાઓ ધ્યાનમાં લઈએ ( h= const = x i+1 – x i), એટલે કે ત્રણ ગાંઠો x 0 , x 1 , x 2, જેના દ્વારા આપણે ન્યુટનના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને પેરાબોલા દોરીએ છીએ:

દો z = x - x 0,
પછી

હવે, મેળવેલા સંબંધનો ઉપયોગ કરીને, અમે આ અંતરાલ પર પૂર્ણાંકની ગણતરી કરીએ છીએ:

.
માટે સમાન જાળીઅને પગલાંઓની સમ સંખ્યા nસિમ્પસનનું સૂત્ર આ સ્વરૂપ લે છે:

અહીં , એ ઇન્ટિગ્રેન્ડના ચોથા વ્યુત્પન્નની સાતત્યની ધારણા હેઠળ.

[ફેરફાર કરો] વધેલી ચોકસાઈ

સમગ્ર સંકલન અંતરાલ પર એક બહુપદી દ્વારા ફંક્શનનો અંદાજ, એક નિયમ તરીકે, ઇન્ટિગ્રલના મૂલ્યના અંદાજમાં મોટી ભૂલ તરફ દોરી જાય છે.

ભૂલને ઘટાડવા માટે, એકીકરણ સેગમેન્ટને ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે અને તેમાંના દરેક પરના અભિન્નનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

જેમ જેમ પાર્ટીશનોની સંખ્યા અનંત તરફ વળે છે તેમ, અવિભાજ્યનો અંદાજ કોઈપણ સંખ્યાત્મક પદ્ધતિ માટે વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો માટે તેના સાચા મૂલ્ય તરફ વળે છે.

ઉપરોક્ત પદ્ધતિઓ પગલાને અડધી કરવાની સરળ પ્રક્રિયાને મંજૂરી આપે છે, જેમાં દરેક પગલા માટે ફંક્શન મૂલ્યોની ગણતરી ફક્ત નવા ઉમેરાયેલા નોડ્સ પર જ કરવાની હોય છે. ગણતરીની ભૂલનો અંદાજ કાઢવા માટે, Runge નો નિયમ વપરાય છે.

રંજના નિયમનો ઉપયોગ

સંપાદિત કરો]ચોક્કસ અભિન્ન ગણતરીની ચોકસાઈનું મૂલ્યાંકન

ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી પસંદ કરેલ સૂત્ર (લંબચોરસ, ટ્રેપેઝોઇડ્સ, સિમ્પસન પેરાબોલાસ) નો ઉપયોગ કરીને n ની સમાન પગલાઓની સંખ્યા સાથે અને પછી 2n ની સમાન પગલાઓની સંખ્યા સાથે કરવામાં આવે છે. 2n ની સમાન સંખ્યાબંધ પગલાઓ સાથે ઇન્ટિગ્રલના મૂલ્યની ગણતરી કરવામાં ભૂલ Runge સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
, લંબચોરસ અને ટ્રેપેઝોઇડ્સના સૂત્રો માટે અને સિમ્પસનના સૂત્ર માટે.
આમ, અવિભાજ્યની ગણતરી પગલાંઓની સંખ્યાના ક્રમિક મૂલ્યો માટે કરવામાં આવે છે, જ્યાં n 0 એ પગલાંઓની પ્રારંભિક સંખ્યા છે. ગણતરી પ્રક્રિયા સમાપ્ત થાય છે જ્યારે આગામી મૂલ્ય N માટે સ્થિતિ સંતુષ્ટ થાય છે, જ્યાં ε એ સ્પષ્ટ કરેલ ચોકસાઈ છે.

ભૂલ વર્તનની લાક્ષણિકતાઓ.

એવું લાગે છે કે, જો આપણે સંકલન પગલાના કદને ઘટાડીને ઉચ્ચ ચોકસાઈ પ્રાપ્ત કરી શકીએ તો શા માટે વિવિધ એકીકરણ પદ્ધતિઓનું વિશ્લેષણ કરવું. જો કે, પશ્ચાદવર્તી ભૂલના વર્તનના ગ્રાફને ધ્યાનમાં લો આરપર આધાર રાખીને સંખ્યાત્મક ગણતરીના પરિણામો અને નંબર પરથી nઈન્ટરવલ પાર્ટીશનો (એટલે ​​કે, સ્ટેપ પર. સેક્શન (1) માં, સ્ટેપ એચમાં ઘટાડો થવાને કારણે ભૂલ ઘટે છે. પરંતુ સેક્શન (2) માં, સંખ્યાબંધ અંકગણિત કામગીરીના પરિણામ સ્વરૂપે કોમ્પ્યુટેશનલ એરર વર્ચસ્વ મેળવવાનું શરૂ કરે છે. આમ , દરેક પદ્ધતિની પોતાની છે Rmin, જે ઘણા પરિબળો પર આધાર રાખે છે, પરંતુ મુખ્યત્વે પદ્ધતિની ભૂલના પ્રાથમિક મૂલ્ય પર આર.

રોમબર્ગનું સ્પષ્ટીકરણ સૂત્ર.

રોમ્બર્ગની પદ્ધતિમાં પાર્ટીશનોની સંખ્યામાં બહુવિધ વધારા સાથે ઇન્ટિગ્રલના મૂલ્યને ક્રમિક રીતે રિફાઇન કરવાનો સમાવેશ થાય છે. સમાન પગલાઓ સાથે ટ્રેપેઝોઇડ્સનું સૂત્ર આધાર તરીકે લઈ શકાય છે h.
ચાલો પાર્ટીશનોની સંખ્યા સાથે ઇન્ટિગ્રલ દર્શાવીએ n= 1 તરીકે .
અડધા દ્વારા પગલું ઘટાડીને, અમે મેળવીએ છીએ .
જો આપણે ક્રમશઃ સ્ટેપને 2 n વખત ઘટાડીશું, તો આપણે ગણતરી માટે પુનરાવૃત્તિ સંબંધ મેળવીશું.