તેની બાજુ પર પડેલો પેરાબોલા. પેરાબોલાના સમીકરણમાં પરિમાણનો ભૌમિતિક અર્થ

પેરાબોલા એ દરેક બિંદુઓનું સ્થાન છે જેમાંના દરેક પ્લેન પરના અમુક નિશ્ચિત બિંદુનું અંતર, જેને ફોકસ કહેવાય છે, તે અમુક નિશ્ચિત રેખાના અંતર જેટલું હોય છે, જેને ડાયરેક્ટ્રીક્સ કહેવાય છે (એવું માનવામાં આવે છે કે આ રેખા આમાંથી પસાર થતી નથી. ફોકસ).

પેરાબોલાનું ધ્યાન સામાન્ય રીતે અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે F,ફોકસથી ડાયરેક્ટ્રિક્સ-લેટર સુધીનું અંતર આર. કદ પીકહેવાય છે પરિમાણપેરાબોલાસ પેરાબોલાની છબી ફિગમાં આપવામાં આવી છે. 61 (આગામી કેટલાક ફકરા વાંચ્યા પછી વાચકને આ ડ્રોઇંગની વ્યાપક સમજૂતી પ્રાપ્ત થશે).

ટિપ્પણી. અનુસાર n° 100 કહે છે કે પેરાબોલામાં તરંગીતા છે =1.

કેટલાક પેરાબોલા આપવા દો (તે જ સમયે, અમે ધારીએ છીએ કે પરિમાણ p).ચાલો પ્લેન પર એક કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ રજૂ કરીએ, જેની અક્ષો આ પેરાબોલાના સંદર્ભમાં વિશિષ્ટ રીતે સ્થિત થશે. જેમ કે, અમે ડાયરેક્ટ્રીક્સ પર લંબરૂપ ફોકસ દ્વારા એબ્સીસા અક્ષ દોરીએ છીએ અને તેને ડાયરેક્ટ્રીક્સથી ફોકસ તરફ નિર્દેશિત ગણીએ છીએ; ચાલો કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિને મધ્યમાં મૂકીએ ફોકસઅને મુખ્ય શિક્ષિકા (ફિગ. 61). ચાલો આ સંકલન પ્રણાલીમાં આ પેરાબોલાના સમીકરણ મેળવીએ.

ચાલો પ્લેન પર એક મનસ્વી બિંદુ લઈએ એમઅને તેના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા દર્શાવો એક્સઅને uચાલો આપણે વધુ દ્વારા સૂચિત કરીએ આરબિંદુથી અંતર એમધ્યાન કેન્દ્રિત કરવું (r=FM),દ્વારા આર-બિંદુથી અંતર એમમુખ્ય શિક્ષિકાને. ડોટ એમ(આપેલા) પેરાબોલા પર હશે જો અને માત્ર જો

જરૂરી સમીકરણ મેળવવા માટે, તમારે સમાનતામાં ચલોને બદલવાની જરૂર છે (1) આરઅને એવર્તમાન કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા તેમના અભિવ્યક્તિઓ x, y.ધ્યાન કેન્દ્રિત કરો એફકોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે; આને ધ્યાનમાં લેવું અને સૂત્ર લાગુ કરવું (2) n° 18. આપણે શોધીએ છીએ:

(2)

ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ પ્રએક બિંદુ પરથી કાટખૂણે પડતો આધાર એમમુખ્ય શિક્ષિકાને. દેખીતી રીતે, સમયગાળો પ્રકોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે; અહીંથી અને સૂત્ર (2) n° 18 અમને મળે છે:

(3),

(મૂળ કાઢતી વખતે, અમે અમારી નિશાની સાથે લીધી, કારણ કે - સંખ્યા સકારાત્મક છે; આ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે બિંદુ M(x;y)નિર્દેશકની બાજુમાં હોવું જોઈએ જ્યાં ફોકસ છે, એટલે કે ત્યાં હોવું જોઈએ x > ,જ્યાંથી સમાનતામાં બદલવું (1) g અને ડીતેમના અભિવ્યક્તિઓ (2) અને (3), અમે શોધીએ છીએ:

(4)

આ નિયુક્ત સંકલન પ્રણાલીમાં પ્રશ્નમાં પેરાબોલાનું સમીકરણ છે, કારણ કે તે બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સંતુષ્ટ છે M(x;y)જો અને માત્ર જો બિંદુ એમઆ પેરાબોલા પર આવેલું છે.

પેરાબોલાના સમીકરણને સરળ સ્વરૂપમાં મેળવવા ઈચ્છતા, ચાલો સમાનતાની બંને બાજુઓને ચોરસ કરીએ (4); અમને મળે છે:

(5),

અમે સમીકરણ (4) ના પરિણામ સ્વરૂપે સમીકરણ (6) મેળવ્યું. તે દર્શાવવું સરળ છે કે સમીકરણ (4) બદલામાં સમીકરણ (6) ના પરિણામ તરીકે મેળવી શકાય છે. વાસ્તવમાં, સમીકરણ (5) એ સમીકરણ (6) પરથી સ્પષ્ટ રીતે ("વિપરીત") ઉતરી આવ્યું છે; આગળ, સમીકરણ (5) થી આપણી પાસે છે.

વ્યાખ્યા:પેરાબોલા એ પ્લેન પરના બિંદુઓનું સ્થાન છે જેના માટે આ પ્લેનના અમુક નિશ્ચિત બિંદુ Fનું અંતર અમુક નિશ્ચિત સીધી રેખાના અંતર જેટલું છે. બિંદુ F ને પેરાબોલાનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે, અને નિશ્ચિત રેખાને પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ કહેવામાં આવે છે.

સમીકરણ મેળવવા માટે, ચાલો બનાવીએ:

સાથે વ્યાખ્યા અનુસાર:

2 >=0 થી, પેરાબોલા જમણા અડધા પ્લેનમાં આવેલું છે. જેમ x 0 થી અનંત સુધી વધે છે
. પેરાબોલા ઓક્સ વિશે સપ્રમાણ છે. સમપ્રમાણતાની ધરી સાથે પેરાબોલાના આંતરછેદના બિંદુને પેરાબોલાના શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે.

45. બીજા ક્રમના વણાંકો અને તેમનું વર્ગીકરણ. kvp વિશે મુખ્ય પ્રમેય.

KVP ના 8 પ્રકારો છે:

1. લંબગોળ

2.હાયપરબોલ્સ

3.પેરાબોલાસ

વક્ર 1,2,3 પ્રમાણભૂત વિભાગો છે. જો આપણે શંકુની અક્ષની સમાંતર સમતલ સાથે શંકુને છેદે છે, તો આપણને અતિપરવલય પ્રાપ્ત થાય છે. જો પ્લેન જનરેટિક્સની સમાંતર હોય, તો તે પેરાબોલા છે. બધા વિમાનો શંકુના શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતા નથી. જો તે અન્ય કોઈ પ્લેન છે, તો તે એક લંબગોળ છે.

4. સમાંતર રેખાઓની જોડી y 2 +a 2 =0, a0

5. છેદતી રેખાઓની જોડી y 2 -k 2 x 2 =0

6. એક સીધી રેખા y 2 =0

7. એક બિંદુ x 2 + y 2 =0

8.ખાલી સમૂહ - ખાલી વળાંક (બિંદુ વગરનો વળાંક) x 2 + y 2 +1=0 અથવા x 2 + 1=0

પ્રમેય (KVP વિશે મુખ્ય પ્રમેય):ફોર્મનું સમીકરણ

a 11 x 2 + 2 એ 12 x y + a 22 y 2 + 2 એ 1 x + 2a 2 y+a 0 = 0

આ આઠ પ્રકારોમાંથી માત્ર એક વક્રનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે.

સાબિતીનો વિચારએક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં જવાનું છે જેમાં KVP સમીકરણ સૌથી સરળ સ્વરૂપ લેશે, જ્યારે તે રજૂ કરે છે તે વળાંકનો પ્રકાર સ્પષ્ટ બને છે. પ્રમેય કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમને એક ખૂણા દ્વારા ફેરવીને સાબિત થાય છે કે જેના પર કોઓર્ડિનેટ્સનું ઉત્પાદન સાથેનો શબ્દ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. અને કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના સમાંતર ટ્રાન્સફરની મદદથી, જેમાં ક્યાં તો x ચલ સાથેનો શબ્દ અથવા y ચલ સાથેનો શબ્દ અદૃશ્ય થઈ જાય છે.

નવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં સંક્રમણ: 1. સમાંતર ટ્રાન્સફર

2. ફેરવો

45. સેકન્ડ ઓર્ડર સપાટીઓ અને તેમનું વર્ગીકરણ. પીવીપી વિશે મુખ્ય પ્રમેય. પરિભ્રમણની સપાટીઓ.

પી VP - બિંદુઓનો સમૂહ જેના લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ 2જી ડિગ્રી સમીકરણને સંતોષે છે: (1)

એવું માનવામાં આવે છે કે ચોરસ અથવા ઉત્પાદનોનો ઓછામાં ઓછો એક ગુણાંક 0 થી અલગ છે. સમીકરણ સંકલન પ્રણાલીની પસંદગીના સંદર્ભમાં અપરિવર્તનશીલ છે.

પ્રમેયકોઈપણ પ્લેન PVP ને CVP સાથે છેદે છે, જ્યારે આખું પ્લેન સેક્શનમાં હોય ત્યારે ખાસ કેસ સિવાય (PVP પ્લેન અથવા પ્લેનની જોડી હોઈ શકે છે).

PVP ના 15 પ્રકાર છે. ચાલો તેમને સૂચિબદ્ધ કરીએ, જે સમીકરણો દર્શાવે છે કે જેના દ્વારા તેઓ યોગ્ય સંકલન પ્રણાલીઓમાં નિર્દિષ્ટ છે. આ સમીકરણોને કેનોનિકલ (સૌથી સરળ) કહેવામાં આવે છે. સમાંતર વિભાગોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પ્રામાણિક સમીકરણોને અનુરૂપ ભૌમિતિક છબીઓ બનાવો: સમન્વયિત વિમાનો અને તેમની સમાંતર વિમાનો સાથે સપાટીને છેદે. પરિણામ એ વિભાગો અને વણાંકો છે જે સપાટીના આકારનો ખ્યાલ આપે છે.

1. લંબગોળ.

જો a=b=c તો આપણને ગોળા મળે છે.

2. હાયપરબોલોઇડ્સ.

1). સિંગલ-શીટ હાઇપરબોલોઇડ:

કોઓર્ડિનેટ પ્લેન દ્વારા સિંગલ-શીટ હાઇપરબોલોઇડનો વિભાગ: XOZ:
- અતિશય.

YOZ:
- અતિશય.

XOY પ્લેન:
- લંબગોળ.

2). બે-શીટ હાઇપરબોલોઇડ.

મૂળ એ સમપ્રમાણતાનો એક બિંદુ છે.

સંકલન વિમાનો સમપ્રમાણતાના વિમાનો છે.

પ્લેન z = hઅંડાકાર સાથે હાઇપરબોલોઇડને છેદે છે
, એટલે કે વિમાન z = hહાઇપરબોલોઇડને | પર છેદવાનું શરૂ કરે છે h |  c. વિમાનો દ્વારા હાઇપરબોલોઇડનો વિભાગ x = 0 અને y = 0 - આ હાઇપરબોલ્સ છે.

સમીકરણો (2), (3), (4) માં સંખ્યાઓ a, b, c ને એલિપ્સોઇડ્સ અને હાઇપરબોલોઇડ્સના અર્ધ-અક્ષો કહેવામાં આવે છે.

3. પેરાબોલોઇડ્સ.

1). લંબગોળ પેરાબોલોઇડ:

પ્લેન વિભાગ z = hછે
, ક્યાં
. સમીકરણ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે z  0 એ અનંત બાઉલ છે.

વિમાનોનું આંતરછેદ y = hઅને x= h
- આ એક પેરાબોલા છે અને સામાન્ય રીતે

2). હાયપરબોલિક પેરાબોલોઇડ:

દેખીતી રીતે, XOZ અને YOZ વિમાનો સમપ્રમાણતાના વિમાનો છે, z અક્ષ એ પેરાબોલોઇડની ધરી છે. પ્લેન સાથે પેરાબોલોઇડનું આંતરછેદ z = h- હાયપરબોલ્સ:
,
. પ્લેન z=0 બે અક્ષો સાથે હાઇપરબોલિક પેરાબોલોઇડને છેદે છે
જે એસિમ્પ્ટોટ્સ છે.

4. બીજા ક્રમના શંકુ અને સિલિન્ડરો.

1). શંકુ એ સપાટી છે
. શંકુ મૂળ 0 (0, 0, 0) માંથી પસાર થતી સીધી રેખાઓ દ્વારા રચાય છે. શંકુનો ક્રોસ સેક્શન અર્ધ-અક્ષો સાથે લંબગોળ છે
.

2). બીજા ક્રમના સિલિન્ડરો.

આ એક લંબગોળ સિલિન્ડર છે
.

આપણે જે પણ રેખા લઈએ જે અંડાકારને છેદે છે અને ઓઝ અક્ષની સમાંતર છે તે આ સમીકરણને સંતોષે છે. આ સીધી રેખાને લંબગોળ ફરતે ખસેડીને આપણે સપાટી મેળવીએ છીએ.

જી હાયપરબોલિક સિલિન્ડર:

XOU પ્લેન પર તે હાઇપરબોલા છે. અમે હાયપરબોલા સાથે Oz ની સમાંતર હાયપરબોલાને છેદતી સીધી રેખાને ખસેડીએ છીએ.

પેરાબોલિક સિલિન્ડર:

એન અને XOU પ્લેન એક પેરાબોલા છે.

નળાકાર સપાટીઓ એક સીધી રેખા (ઉત્પાદક) દ્વારા રચાય છે જે ચોક્કસ સીધી રેખા (માર્ગદર્શિકા) સાથે સમાંતર ગતિ કરે છે.

10. છેદતા વિમાનોની જોડી

11.સમાંતર વિમાનોની જોડી

12.
- સીધા

13. સીધી રેખા - એક બિંદુ પર બનેલ "સિલિન્ડર"

14.એક બિંદુ

15. ખાલી સેટ

PVP વિશે મુખ્ય પ્રમેય:દરેક PVP ઉપર ચર્ચા કરેલ 15 પ્રકારોમાંથી એકની છે. ત્યાં કોઈ અન્ય PVP નથી.

પરિભ્રમણની સપાટીઓ. PDSC Oxyz આપવા દો અને Oyz સમતલમાં રેખા e એ સમીકરણ F(y,z)=0 (1) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. ચાલો આ રેખાને ઓઝ અક્ષની આસપાસ ફેરવીને મેળવેલી સપાટી માટે સમીકરણ બનાવીએ. ચાલો લીટી e પર એક બિંદુ M(y,z) લઈએ. જ્યારે પ્લેન Oyz ઓઝની આસપાસ ફરે છે, ત્યારે બિંદુ M વર્તુળનું વર્ણન કરશે. N(X,Y,Z) ને આ વર્તુળનો મનસ્વી બિંદુ થવા દો. તે સ્પષ્ટ છે કે z=Z.

.

z અને y ના મળેલા મૂલ્યોને સમીકરણમાં બદલીને (1) આપણે સાચી સમાનતા મેળવીએ છીએ:
તે બિંદુ N ના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે
. આમ, ક્રાંતિની સપાટી પરનો કોઈપણ બિંદુ સમીકરણ (2) ને સંતોષે છે. તે સાબિત કરવું મુશ્કેલ નથી કે જો બિંદુ N(x 1 ,y 1 ,z 1) સમીકરણ (2) ને સંતોષે છે, તો તે વિચારણા હેઠળની સપાટીથી સંબંધિત છે. હવે આપણે કહી શકીએ કે સમીકરણ (2) એ ક્રાંતિની સપાટી માટે ઇચ્છિત સમીકરણ છે.

વ્યાખ્યા 1

પેરાબોલા એ ચોક્કસ બિંદુ $F$ થી સમાન અંતરે સ્થિત બિંદુઓના ભૌમિતિક સમૂહ દ્વારા રચાયેલ વળાંક છે, જેને ફોકસ કહેવામાં આવે છે અને તે આ વળાંક પર અથવા સીધી રેખા $d$ પર સ્થિત નથી.

એટલે કે, પેરાબોલા પરના મનસ્વી બિંદુથી ફોકસ અને તે જ બિંદુથી ડાયરેક્ટ્રીક્સ સુધીના અંતરનો ગુણોત્તર હંમેશા એક સમાન હોય છે, આ ગુણોત્તરને વિષમતા કહેવામાં આવે છે.

"વિલક્ષણતા" શબ્દનો ઉપયોગ હાયપરબોલાસ અને એલિપ્સ માટે પણ થાય છે.

પ્રામાણિક પેરાબોલા સમીકરણમાંથી મૂળભૂત શબ્દો

પોઈન્ટ $F$ એ પેરાબોલાના ફોકસ કહેવાય છે, અને $d$ એ તેનું ડાયરેક્ટ્રીક્સ છે.

પેરાબોલાની સમપ્રમાણતાની અક્ષ એ પેરાબોલાના શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતી એક રેખા છે $O$ અને તેનું ફોકસ $F$, જેથી તે ડાયરેક્ટ્રીક્સ $d$ સાથે જમણો ખૂણો બનાવે.

પેરાબોલાના શિરોબિંદુ એ બિંદુ છે જ્યાંથી ડાયરેક્ટ્રીક્સનું અંતર ન્યૂનતમ છે. આ બિંદુ ફોકસથી ડાયરેક્ટ્રીક્સ સુધીના અંતરને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે.

પેરાબોલાનું પ્રામાણિક સમીકરણ શું છે?

વ્યાખ્યા 2

પેરાબોલાનું પ્રામાણિક સમીકરણ એકદમ સરળ, યાદ રાખવામાં સરળ છે અને તેનું નીચેનું સ્વરૂપ છે:

$y^2 = 2px$, જ્યાં $p$ નંબર શૂન્ય કરતાં મોટો હોવો જોઈએ.

સમીકરણમાંથી $p$ નંબરને "ફોકલ પેરામીટર" કહેવામાં આવે છે.

પેરાબોલાનું આ સમીકરણ, અથવા તેના બદલે આ સૂત્ર મોટાભાગે ઉચ્ચ ગણિતમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે, તે કિસ્સામાં લાગુ પડે છે જ્યારે પેરાબોલાની ધરી $OX$ અક્ષ સાથે એકરુપ હોય, એટલે કે, પેરાબોલા જાણે તેની બાજુ પર સ્થિત હોય.

સમીકરણ $x^2 = 2py$ દ્વારા વર્ણવેલ એક પેરાબોલા છે જેની ધરી $OY$ અક્ષ સાથે એકરુપ છે;

અને સમીકરણના બીજા ભાગ ($y^2 = - 2px$) ની સામે માઈનસ ધરાવતા પેરાબોલાને પ્રમાણભૂત પેરાબોલાના સંદર્ભમાં 180° ફેરવવામાં આવે છે.

પેરાબોલા એ 2જી ક્રમના વળાંકનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે; તે મુજબ, સામાન્ય રીતે, પેરાબોલા માટેનું સમીકરણ આવા તમામ વળાંકો જેવું જ દેખાય છે અને તે તમામ કેસ માટે યોગ્ય છે, અને માત્ર ત્યારે જ નહીં જ્યારે પેરાબોલા $OX$ ની સમાંતર હોય. .

આ કિસ્સામાં, $B^2 – 4AC$ સૂત્ર દ્વારા ગણતરી કરાયેલ ભેદભાવ શૂન્યની બરાબર છે, અને સમીકરણ પોતે આના જેવું દેખાય છે: $Ax^2 + B \cdot x \cdot y + C\cdot y^2 + D\cdot x + E\ cdot y + F = 0$

પેરાબોલા માટે પ્રામાણિક સમીકરણનો આલેખ કરીને વ્યુત્પત્તિ

આકૃતિ 1. પ્રામાણિક પેરાબોલાના સમીકરણનો આલેખ અને વ્યુત્પત્તિ

આ લેખમાં ઉપર આપેલ વ્યાખ્યામાંથી, અમે સંકલન અક્ષોના આંતરછેદ પર સ્થિત શિખર સાથે પેરાબોલા માટે સમીકરણ બનાવીશું.

હાલના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, અમે ઉપર આપેલ પેરાબોલિક કર્વની વ્યાખ્યામાંથી $x$ અને $y$ પોઈન્ટ $F$ નક્કી કરીએ છીએ, $x = \frac(p)(2)$ અને $y = 0$.

પ્રથમ, ચાલો સીધી રેખા $d$ માટે એક સમીકરણ બનાવીએ અને તેને લખીએ: $x = - \frac(p)(2)$.

આપણા વળાંક પર પડેલા મનસ્વી બિંદુ M માટે, વ્યાખ્યા મુજબ, નીચેનો સંબંધ માન્ય છે:

$FM$ = $MM_d$ (1), જ્યાં $M_d$ એ ડાયરેક્ટ્રીક્સ $d$ સાથે $M$ બિંદુ પરથી દોરવામાં આવેલ કાટખૂણેનું આંતરછેદ બિંદુ છે.

આ બિંદુ માટે X અને Y અનુક્રમે $\frac(p)(2)$ $y$ સમાન છે.

ચાલો સમીકરણ (1) સંકલન સ્વરૂપમાં લખીએ:

$\sqrt((x - \frac(p)(2))^2 + y^2 )= x + \frac(p)(2)$

હવે, મૂળમાંથી છુટકારો મેળવવા માટે, તમારે સમીકરણની બંને બાજુઓને ચોરસ કરવાની જરૂર છે:

$(x - \frac(p)(2))^2 + y^2 = x^2 +px^2 + \frac(p^2)(4)$

સરળીકરણ પછી, અમે પેરાબોલાના પ્રામાણિક સમીકરણ મેળવીએ છીએ: $y^2 = px$.

ચતુર્ભુજ કાર્ય દ્વારા વર્ણવેલ પેરાબોલા

સમીકરણ કે જે ગ્રાફ પર ગમે ત્યાં સ્થિત તેના શિખર સાથે પેરાબોલાનું વર્ણન કરે છે અને સંકલન અક્ષોના આંતરછેદ સાથે સુસંગત નથી તે આના જેવું દેખાય છે:

$y = ax^2 + bx + c$.

આવા પેરાબોલાના શિરોબિંદુ માટે $x$ અને $y$ ની ગણતરી કરવા માટે, તમારે નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે:

$x_A = - \frac(b)(2a)$

$y_A = - \frac(D)(4a)$, જ્યાં $D = b^2 – 4ac$.

ઉદાહરણ 1

ઉત્તમ પેરાબોલા સમીકરણ કંપોઝ કરવાનું ઉદાહરણ

કાર્ય. કેન્દ્રબિંદુનું સ્થાન જાણીને, પેરાબોલાના પ્રામાણિક સમીકરણ બનાવો. ફોકલ પોઈન્ટ $F$ ના કોઓર્ડિનેટ્સ $(4; 0)$ છે.

આપણે એક પેરાબોલાને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, જેનો આલેખ પ્રામાણિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે, તેનું શિરોબિંદુ $O$ x અને y અક્ષોના આંતરછેદ પર સ્થિત છે, તેથી ફોકસથી શિરોબિંદુ સુધીનું અંતર $\frac જેટલું છે. ફોકલ પેરામીટરનું (1)(2)$ $\frac(p )(2) = $4. સરળ ગણતરીઓ દ્વારા આપણે શોધીએ છીએ કે ફોકલ પેરામીટર પોતે $p = 8$ છે.

સમીકરણના પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં $p$ ની કિંમત બદલ્યા પછી, આપણું સમીકરણ $y^2 = 16x$ બને છે.

હાલના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને પેરાબોલા સમીકરણ કેવી રીતે લખવું

ઉદાહરણ 2

આકૃતિ 2. પેરાબોલા માટે પ્રામાણિક સમીકરણ, ઉકેલ માટે આલેખ અને ઉદાહરણ

સૌપ્રથમ, આપણે બિંદુ $M$ પસંદ કરવાની જરૂર છે, જે આપણા કાર્યના આલેખ સાથે સંબંધિત છે, અને, અક્ષ $OX$ અને $OY$ પર તેમાંથી કાટખૂણેને છોડીને, તેના x અને y લખો, અમારા કિસ્સામાં, બિંદુ $M$ એટલે $(2;2) $.

હવે આપણે આ બિંદુ માટે મેળવેલ $x$ અને $y$ ને પેરાબોલાના પ્રામાણિક સમીકરણમાં બદલવાની જરૂર છે $y^2 = px$, આપણને મળે છે:

$2^2 = 2 \cdot 2p$

ઘટાડીને, આપણને નીચેનું પેરાબોલા સમીકરણ $y^2 = 2 \cdot x$ મળે છે.

ચાલો એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ રજૂ કરીએ, જ્યાં. ધરીને ફોકસમાંથી પસાર થવા દો એફ પેરાબોલા અને ડાયરેક્ટ્રિક્સ પર લંબરૂપ છે, અને અક્ષ ફોકસ અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ વચ્ચે મધ્યમાં પસાર થાય છે. ચાલો ફોકસ અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ વચ્ચેના અંતર દ્વારા દર્શાવીએ. પછી ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ.

સંખ્યાને પેરાબોલાના ફોકલ પેરામીટર કહેવામાં આવે છે. ચાલો પેરાબોલાના વર્તમાન બિંદુ હોઈએ. હાઇપરબોલાના બિંદુની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા હોવા દો બિંદુથી ડાયરેક્ટ્રિક્સ સુધીનું અંતર. પછી( રેખાંકન 27.)

રેખાંકન 27.

પેરાબોલાની વ્યાખ્યા દ્વારા. આથી,

ચાલો સમીકરણનો વર્ગ કરીએ અને મેળવીએ:

(15)

જ્યાં (15) એ પેરાબોલાનું પ્રામાણિક સમીકરણ છે જે ધરી વિશે સપ્રમાણ છે અને મૂળમાંથી પસાર થાય છે.

પેરાબોલાના ગુણધર્મોની તપાસ

1) પેરાબોલાના શિરોબિંદુ:

સમીકરણ (15) સંખ્યાઓ દ્વારા સંતુષ્ટ છે અને તેથી, પેરાબોલા મૂળમાંથી પસાર થાય છે.

2) પેરાબોલાની સમપ્રમાણતા:

તે પેરાબોલાને અનુસરવા દો, એટલે કે સાચી સમાનતા. બિંદુ એ અક્ષની સાપેક્ષ બિંદુ સાથે સપ્રમાણ છે, તેથી, પેરાબોલા એબ્સિસા અક્ષની તુલનામાં સપ્રમાણ છે.

પેરાબોલા વિલક્ષણતા:

વ્યાખ્યા 4.2.પેરાબોલાની વિલક્ષણતા એ એક સમાન સંખ્યા છે.

પેરાબોલાની વ્યાખ્યા દ્વારા.

4) પેરાબોલાની સ્પર્શક:

સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ પર પેરાબોલાને સ્પર્શક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે

ક્યાં ( રેખાંકન 28.)

રેખાંકન 28.

પેરાબોલાની છબી

રેખાંકન 29.

ESO-Mathcad નો ઉપયોગ કરવો:

રેખાંકન 30.)

રેખાંકન 30.

a) ICT નો ઉપયોગ કર્યા વિના બાંધકામ: પેરાબોલા બનાવવા માટે, અમે બિંદુ O અને એક એકમ સેગમેન્ટ પર કેન્દ્ર સાથે લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલી સેટ કરીએ છીએ. અમે OX અક્ષ પર ફોકસને ચિહ્નિત કરીએ છીએ, કારણ કે આપણે એવું દોરીએ છીએ, અને પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ. આપણે સીધી રેખાથી પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ સુધીના અંતરની સમાન ત્રિજ્યા સાથે એક બિંદુ પર વર્તુળ બનાવીએ છીએ. વર્તુળ બિંદુઓ પર રેખાને છેદે છે. અમે પેરાબોલા બનાવીએ છીએ જેથી તે મૂળમાંથી અને બિંદુઓમાંથી પસાર થાય.( રેખાંકન 31.)

રેખાંકન 31.

b)ESO-Mathcad નો ઉપયોગ કરવો:

પરિણામી સમીકરણ આના જેવું દેખાય છે: . Mathcad પ્રોગ્રામમાં સેકન્ડ-ઓર્ડર લાઇન બનાવવા માટે, અમે ફોર્મમાં સમીકરણ ઘટાડીએ છીએ: .( રેખાંકન 32.)

રેખાંકન 32.

પ્રાથમિક ગણિતમાં બીજા ક્રમની રેખાઓના સિદ્ધાંત પરના કાર્યનો સારાંશ આપવા અને સમસ્યાઓ ઉકેલતી વખતે રેખાઓ વિશેની માહિતીનો ઉપયોગ કરવાની સગવડતા માટે, અમે કોષ્ટક નંબર 1 માં બીજા ક્રમની રેખાઓ પરના તમામ ડેટાનો સમાવેશ કરીશું.

કોષ્ટક નં. 1.

પ્રાથમિક ગણિતમાં બીજી ક્રમ રેખાઓ

બીજા ક્રમની રેખાઓના અભ્યાસમાં ICT નો ઉપયોગ કરવાની શક્યતાઓ

માહિતીકરણની પ્રક્રિયા, જે આજે આધુનિક સમાજના જીવનના તમામ પાસાઓને આવરી લે છે, તેમાં ઘણા અગ્રતા ક્ષેત્રો છે, જેમાં, અલબત્ત, શિક્ષણનું માહિતીકરણ શામેલ હોવું જોઈએ. માહિતી અને સંચાર તકનીકો (ICT) ના ઉપયોગ દ્વારા માનવ બૌદ્ધિક પ્રવૃત્તિના વૈશ્વિક તર્કસંગતકરણ માટે તે મૂળભૂત આધાર છે.

છેલ્લી સદીના 90 ના દાયકાના મધ્યભાગથી આજ સુધી રશિયામાં વ્યક્તિગત કમ્પ્યુટર્સના વ્યાપક ઉપયોગ અને ઉપલબ્ધતા દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, દૂરસંચારનો વ્યાપક ઉપયોગ, જે શૈક્ષણિક પ્રક્રિયામાં વિકસિત શૈક્ષણિક માહિતી તકનીકોનો પરિચય, તેને સુધારવા અને આધુનિકીકરણ, સુધારણા અને સુધારણાને મંજૂરી આપે છે. જ્ઞાનની ગુણવત્તા, શીખવાની પ્રેરણા વધારવી, શિક્ષણના વ્યક્તિગતકરણના સિદ્ધાંતનો મહત્તમ ઉપયોગ કરવો. શિક્ષણના માહિતીકરણના આ તબક્કે શિક્ષણ માટેની માહિતી તકનીકો આવશ્યક સાધન છે.

માહિતી પ્રૌદ્યોગિકીઓ માત્ર માહિતીની ઍક્સેસને સરળ બનાવે છે અને શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓમાં પરિવર્તનશીલતા, તેમના વ્યક્તિગતકરણ અને ભિન્નતા માટેની તકો ખોલે છે, પરંતુ તે શિક્ષણના તમામ વિષયોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને નવી રીતે પુનઃસંગઠિત કરવાનું પણ શક્ય બનાવે છે, એક શૈક્ષણિક પ્રણાલીનું નિર્માણ કરે છે જેમાં વિદ્યાર્થી શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓમાં સક્રિય અને સમાન સહભાગી બનશે.

વિષયના પાઠોના માળખામાં નવી માહિતી તકનીકોની રચના, પાઠની અસરકારકતાને ગુણાત્મક રીતે વધારવાના હેતુથી નવા સૉફ્ટવેર અને પદ્ધતિસરના સંકુલ બનાવવાની જરૂરિયાતને ઉત્તેજિત કરે છે. તેથી, શૈક્ષણિક પ્રક્રિયામાં માહિતી પ્રૌદ્યોગિક સાધનોના સફળ અને હેતુપૂર્ણ ઉપયોગ માટે, શિક્ષકોએ ઓપરેશનના સિદ્ધાંતો અને સોફ્ટવેર એપ્લીકેશનની ઉપદેશાત્મક ક્ષમતાઓનું સામાન્ય વર્ણન જાણવું જોઈએ, અને પછી, તેમના અનુભવ અને ભલામણોના આધારે, તેમને "બિલ્ડ" કરવું જોઈએ. શૈક્ષણિક પ્રક્રિયામાં.

ગણિતનો અભ્યાસ હાલમાં આપણા દેશમાં શાળા શિક્ષણના વિકાસમાં સંખ્યાબંધ લક્ષણો અને મુશ્કેલીઓ સાથે સંકળાયેલો છે.

ગણિતના શિક્ષણમાં કહેવાતી કટોકટી ઊભી થઈ છે. આના કારણો નીચે મુજબ છે.

સમાજમાં અને વિજ્ઞાનમાં બદલાતી પ્રાથમિકતાઓમાં, એટલે કે, માનવતાની પ્રાથમિકતા હાલમાં વધી રહી છે;

શાળામાં ગણિતના પાઠોની સંખ્યા ઘટાડવામાં;

જીવનમાંથી ગાણિતિક શિક્ષણની સામગ્રીનું અલગતા;

વિદ્યાર્થીઓની લાગણીઓ અને લાગણીઓ પર ઓછી અસર પડે છે.

આજે પ્રશ્ન ખુલ્લો રહે છે: "શાળાના બાળકોને ભણાવતી વખતે, ગણિત શીખવતી વખતે આધુનિક માહિતી અને સંચાર તકનીકોની સંભવિત ક્ષમતાઓનો સૌથી અસરકારક રીતે ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો?"

"ક્વાડ્રેટિક ફંક્શન" જેવા વિષયના અભ્યાસમાં કમ્પ્યુટર એક ઉત્તમ સહાયક છે, કારણ કે વિશિષ્ટ પ્રોગ્રામ્સનો ઉપયોગ કરીને તમે વિવિધ કાર્યોના ગ્રાફ બનાવી શકો છો, કાર્યનું અન્વેષણ કરી શકો છો, આંતરછેદ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ સરળતાથી નક્કી કરી શકો છો, બંધ આકૃતિઓના ક્ષેત્રોની ગણતરી કરી શકો છો, વગેરે. ઉદાહરણ તરીકે, ગ્રાફ ટ્રાન્સફોર્મેશન (સ્ટ્રેચિંગ, કોમ્પ્રેસિંગ, મૂવિંગ કોઓર્ડિનેટ એક્સેસ) માટે સમર્પિત 9મા ધોરણના બીજગણિત પાઠમાં તમે માત્ર બાંધકામનું સ્થિર પરિણામ જોઈ શકો છો, જ્યારે શિક્ષક અને વિદ્યાર્થીની ક્રમિક ક્રિયાઓની સમગ્ર ગતિશીલતા જોઈ શકાય છે. મોનિટર સ્ક્રીન પર.

કમ્પ્યુટર, અન્ય કોઈ તકનીકી સાધનની જેમ, ચોક્કસ, દૃષ્ટિની અને ઉત્તેજક રીતે વિદ્યાર્થીને આદર્શ ગાણિતિક મોડેલો જાહેર કરે છે, એટલે કે. બાળકે તેની વ્યવહારિક ક્રિયાઓમાં શું પ્રયત્ન કરવો જોઈએ.

વિદ્યાર્થીઓને સમજાવવા માટે ગણિતના શિક્ષકને કેટલી મુશ્કેલીઓમાંથી પસાર થવું પડે છે કે સ્પર્શક બિંદુ પર ચતુર્ભુજ ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક કાર્યના ગ્રાફ સાથે વ્યવહારીક રીતે ભળી જાય છે. કમ્પ્યુટર પર આ હકીકત દર્શાવવી ખૂબ જ સરળ છે - ઓક્સ અક્ષ સાથેના અંતરાલને સાંકડી કરવા અને સ્પર્શ બિંદુના ખૂબ જ નાના પડોશમાં, કાર્યનો ગ્રાફ અને સ્પર્શરેખા એકરૂપ થાય છે તે શોધવા માટે તે પૂરતું છે. આ બધી ક્રિયાઓ વિદ્યાર્થીઓની સામે થાય છે. આ ઉદાહરણ પાઠમાં સક્રિય પ્રતિબિંબ માટે પ્રોત્સાહન પૂરું પાડે છે. કોમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ વર્ગમાં નવી સામગ્રીની સમજૂતી દરમિયાન અને નિયંત્રણના તબક્કે બંને શક્ય છે. આ પ્રોગ્રામ્સની મદદથી, ઉદાહરણ તરીકે "મારી કસોટી", વિદ્યાર્થી સ્વતંત્ર રીતે તેના જ્ઞાનના સ્તરને સિદ્ધાંતમાં ચકાસી શકે છે અને સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારુ કાર્યોને પૂર્ણ કરી શકે છે. પ્રોગ્રામ્સ તેમની વૈવિધ્યતાને કારણે અનુકૂળ છે. તેનો ઉપયોગ સ્વ-નિયંત્રણ અને શિક્ષક નિયંત્રણ બંને માટે થઈ શકે છે.

ગણિત અને કોમ્પ્યુટર ટેક્નોલોજીનું વાજબી સંકલન આપણને સમસ્યાને ઉકેલવાની પ્રક્રિયા અને ગાણિતિક કાયદાઓને સમજવાની પ્રક્રિયાને વધુ સમૃદ્ધ અને ઊંડાણપૂર્વક જોવાની મંજૂરી આપશે. વધુમાં, કોમ્પ્યુટર વિદ્યાર્થીઓની ગ્રાફિક, ગાણિતિક અને માનસિક સંસ્કૃતિ બનાવવામાં મદદ કરશે અને કોમ્પ્યુટરની મદદથી તમે ડિડેક્ટિક સામગ્રી તૈયાર કરી શકો છો: કાર્ડ્સ, સર્વે શીટ્સ, ટેસ્ટ વગેરે. તે જ સમયે, બાળકોને આપો. સ્વતંત્ર રીતે વિષય પર પરીક્ષણો વિકસાવવાની તક, જે દરમિયાન રસ અને સર્જનાત્મક અભિગમ.

આમ, ગણિતના પાઠોમાં બને તેટલા વ્યાપકપણે કમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. માહિતી ટેકનોલોજીનો ઉપયોગ જ્ઞાનની ગુણવત્તામાં સુધારો કરવામાં મદદ કરશે, ચતુર્ભુજ કાર્યના અભ્યાસની ક્ષિતિજને વિસ્તૃત કરશે અને તેથી વિષય અને વિષયમાં વિદ્યાર્થીઓની રુચિ જાળવવા માટે નવી સંભાવનાઓ શોધવામાં મદદ કરશે અને તેથી વધુ સારા, વધુ સચેત વલણ માટે. તે આજે, આધુનિક માહિતી તકનીકો સમગ્ર શાળાના આધુનિકીકરણ માટે - મેનેજમેન્ટથી શિક્ષણ સુધી અને શિક્ષણની સુલભતા સુનિશ્ચિત કરવા માટે સૌથી મહત્વપૂર્ણ સાધન બની રહી છે.

પેરાબોલા એ આપેલ બિંદુથી સમાન અંતરે સમતલમાં બિંદુઓનો સમૂહ છે(ફોકસ)અને આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતી નથી તે આપેલ રેખામાંથી (મુખ્ય શિક્ષિકાઓ), એ જ પ્લેનમાં સ્થિત છે(ફિગ. 5).

આ કિસ્સામાં, સંકલન સિસ્ટમ પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી ધરી
ફોકસ દ્વારા ડાયરેક્ટ્રિક્સ પર લંબરૂપ પસાર થાય છે, તેની હકારાત્મક દિશા ડાયરેક્ટ્રીક્સમાંથી ફોકસ તરફ પસંદ કરવામાં આવે છે. ઓર્ડિનેટ અક્ષ ડાયરેક્ટ્રીક્સની સમાંતર ચાલે છે, ડાયરેક્ટ્રીક્સ અને ફોકસની વચ્ચે, જ્યાંથી ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ
, ફોકસ કોઓર્ડિનેટ્સ
. મૂળ એ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ છે, અને x-અક્ષ એ તેની સમપ્રમાણતાની ધરી છે. પેરાબોલા તરંગીતા
.

સંખ્યાબંધ કેસોમાં, સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પેરાબોલાસ ગણવામાં આવે છે

અ)

b)
(તમામ કેસો માટે
)

વી)
.

કિસ્સામાં a) પેરાબોલા ધરી વિશે સપ્રમાણતા ધરાવે છે
અને તેની નકારાત્મક દિશામાં નિર્દેશિત છે (ફિગ. 6).

કિસ્સાઓમાં b) અને c) સમપ્રમાણતાની અક્ષ અક્ષ છે
(ફિગ. 6). આ કેસો માટે ફોકસ કોઓર્ડિનેટ્સ:

અ)
b)
વી)
.

ડાયરેક્ટ્રિક્સ સમીકરણ:

અ)
b)
વી)
.

ઉદાહરણ 4.મૂળમાં શિરોબિંદુ સાથેનો પેરાબોલા એક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે
અને ધરી વિશે સપ્રમાણ
. તેનું સમીકરણ લખો.

ઉકેલ:

કારણ કે પેરાબોલા ધરી વિશે સપ્રમાણ છે
અને બિંદુ પરથી પસાર થાય છે પોઝિટિવ એબ્સીસા સાથે, પછી તેનું સ્વરૂપ આકૃતિ 5 માં બતાવેલ છે.

અવેજી બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ આવા પેરાબોલાના સમીકરણમાં
, અમને મળે છે
, એટલે કે
.

તેથી, જરૂરી સમીકરણ

,

આ પેરાબોલાનું ધ્યાન
, ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ
.

4. સેકન્ડ ઓર્ડર લાઇન સમીકરણનું કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં પરિવર્તન.

બીજી ડિગ્રીનું સામાન્ય સમીકરણ ફોર્મ ધરાવે છે

ગુણાંક ક્યાં છે
એક જ સમયે શૂન્ય પર ન જાઓ.

સમીકરણ (6) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ રેખાને દ્વિતીય ક્રમ રેખા કહેવામાં આવે છે. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને, સેકન્ડ-ઓર્ડર લાઇનના સમીકરણને તેના સૌથી સરળ (પ્રમાણિક) સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે.

1. સમીકરણમાં (6)
. આ કિસ્સામાં, સમીકરણ (6) ફોર્મ ધરાવે છે

તે સૂત્રો અનુસાર સંકલન અક્ષોના સમાંતર અનુવાદનો ઉપયોગ કરીને તેના સરળ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત થાય છે

(8)

જ્યાં
- નવી શરૂઆતના કોઓર્ડિનેટ્સ
(જૂની કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં). નવા એક્સેલ્સ
અને
જૂનાની સમાંતર. ડોટ
એલિપ્સ અથવા હાઇપરબોલાનું કેન્દ્ર છે અને પેરાબોલાના કિસ્સામાં શિરોબિંદુ છે.

સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ (7) ને તેના સૌથી સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનું અનુકૂળ છે, જેમ કે તે વર્તુળ માટે કરવામાં આવ્યું હતું.

ઉદાહરણ 5.બીજી ક્રમ રેખા સમીકરણને તેના સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડો. આ લાઇનનો પ્રકાર અને સ્થાન નક્કી કરો. foci ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો. એક ચિત્ર બનાવો.

ઉકેલ:

અમે જૂથના સભ્યો જ સમાવીએ છીએ અને માત્ર , માટે ગુણાંક બહાર લઈ રહ્યા છીએ અને કૌંસ પાછળ:

ચોરસ પૂર્ણ કરવા માટે અમે કૌંસમાં સમીકરણો પૂર્ણ કરીએ છીએ:

આમ, આ સમીકરણ સ્વરૂપમાં પરિવર્તિત થાય છે

અમે નિયુક્ત કરીએ છીએ

અથવા

સમીકરણો (8) સાથે સરખામણી કરતા, આપણે જોઈએ છીએ કે આ સૂત્રો બિંદુ પર સંકલન અક્ષના સમાંતર સ્થાનાંતરણને નિર્ધારિત કરે છે.
. નવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, સમીકરણ નીચે મુજબ લખવામાં આવશે:

મફત શબ્દને જમણી તરફ ખસેડીને અને તેના દ્વારા વિભાજન કરવાથી, આપણને મળે છે:

.

તેથી, આ સેકન્ડ-ઓર્ડર રેખા અર્ધ-અક્ષો સાથેનું લંબગોળ છે
,
. અંડાકારનું કેન્દ્ર નવા મૂળ પર છે
, અને તેની કેન્દ્રીય અક્ષ અક્ષ છે
. કેન્દ્રથી ફોકસનું અંતર, તેથી જમણા ફોકસના નવા કોઓર્ડિનેટ્સ
. સમાન ફોકસના જૂના કોઓર્ડિનેટ્સ સમાંતર અનુવાદ સૂત્રોમાંથી જોવા મળે છે:

તેવી જ રીતે, નવું ડાબું ફોકસ કોઓર્ડિનેટ કરે છે
,
. તેના જૂના કોઓર્ડિનેટ્સ:
,
.

આ રીતે અંડાકારના શિરોબિંદુઓ પ્રાપ્ત કર્યા પછી, અમે લંબગોળ પોતે દોરીએ છીએ (ફિગ. 7).ટિપ્પણી
. ડ્રોઇંગને સ્પષ્ટ કરવા માટે, જૂના સંકલન અક્ષો સાથે આ રેખા (7) ના આંતરછેદ બિંદુઓને શોધવાનું ઉપયોગી છે. આ કરવા માટે, આપણે સૌ પ્રથમ સૂત્ર (7) મૂકવું જોઈએ.
અને પછી

અને પરિણામી સમીકરણો ઉકેલો.

જટિલ મૂળના દેખાવનો અર્થ એ થશે કે રેખા (7) અનુરૂપ સંકલન અક્ષને છેદતી નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, હમણાં જ ચર્ચા કરેલ સમસ્યાના અંડાકાર માટે, નીચેના સમીકરણો પ્રાપ્ત થાય છે:
આ સમીકરણોમાંથી બીજામાં જટિલ મૂળ છે, તેથી લંબગોળ અક્ષ

પાર કરતું નથી. પ્રથમ સમીકરણના મૂળ છે:
અને
બિંદુઓ પર
અંડાકાર અક્ષને છેદે છે

(ફિગ. 7).ઉદાહરણ 6.

ઉકેલ:

બીજી ક્રમ રેખાના સમીકરણને તેના સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડો. લીટીનો પ્રકાર અને સ્થાન નક્કી કરો, ફોકલ કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો. સાથે સભ્ય હોવાથી :

ગુમ થયેલ છે, તો તમારે માત્ર દ્વારા સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરવાની જરૂર છે

.

અમે નિયુક્ત કરીએ છીએ

અથવા

અમે માટે ગુણાંક પણ બહાર લઈએ છીએ
આના પરિણામે બિંદુ પર સંકલન પ્રણાલીના સમાંતર ટ્રાન્સફર થાય છે

.

તીવ્રતા

.

તેના માટે સમાન.

તેથી ફોકસમાં નવા કોઓર્ડિનેટ્સ છે
તેમના જૂના કોઓર્ડિનેટ્સ
જો આપણે આ સમીકરણમાં મૂકીએ
અથવા
, પછી આપણે શોધીએ છીએ કે પેરાબોલા ધરીને છેદે છે
બિંદુ પર

2. , અને ધરી
તેણી પાર કરતી નથી.
સમીકરણમાં (1)

(9)

જ્યાં
. બીજી ડિગ્રીનું સામાન્ય સમીકરણ (1) ફોર્મ (2) માં પરિવર્તિત થાય છે, એટલે કે. ફકરા 1 માં ચર્ચા કરેલ છે. કેસ, કોઓર્ડિનેટ અક્ષોને કોણ દ્વારા ફેરવીને
સૂત્રો અનુસાર

- નવા કોઓર્ડિનેટ્સ. કોર્નર
અને
સમીકરણ પરથી જોવા મળે છે

સંકલન અક્ષોને ફેરવવામાં આવે છે જેથી નવી અક્ષો
બીજી ક્રમ રેખાની સમપ્રમાણતા અક્ષોની સમાંતર હતી.
અને
જાણીને

,
.

, શોધી શકાય છે
ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને
જો પરિભ્રમણ કોણ

તીવ્ર ગણવા માટે સંમત થાઓ, તો પછી આ સૂત્રોમાં આપણે વત્તાનું ચિહ્ન લેવું જોઈએ, અને માટે
આપણે સમીકરણ (5) નો સકારાત્મક ઉકેલ પણ લેવો જોઈએ.
ખાસ કરીને, જ્યારે

(11)

કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ એંગલ દ્વારા ફેરવવી આવશ્યક છે. કોલસા માટે પરિભ્રમણ સૂત્રો આના જેવા દેખાય છે:

ઉકેલ:

ઉદાહરણ 7.
, 1
,
બીજી ક્રમ રેખા સમીકરણને તેના સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડો. આ લાઇનનો પ્રકાર અને સ્થાન સેટ કરો.
સૂત્રો અનુસાર

.

આ કિસ્સામાં
અને
, તેથી પરિભ્રમણ કોણ
, ચાલો તેમાંથી પ્રથમ લઈએ. પછી

,

,
.

આ મૂલ્યોની અવેજીમાં અને આ સમીકરણમાં

કૌંસ ખોલીને અને સમાન લાવીએ છીએ, આપણને મળે છે

.

છેલ્લે, બનાવટી શબ્દ દ્વારા ભાગાકાર કરીને, આપણે અંડાકારના સમીકરણ પર પહોંચીએ છીએ

.

તે તેને અનુસરે છે
,
, અને અંડાકારની મુખ્ય ધરી ધરી સાથે નિર્દેશિત છે
, અને નાનું - ધરી સાથે
.

તમે એક બિંદુ મેળવો
, જેની ત્રિજ્યા
ધરી તરફ વળેલું
એક ખૂણા પર
, જેના માટે
. તેથી, આ બિંદુ દ્વારા
અને એક નવો એક્સ-અક્ષ પસાર થશે. પછી આપણે કુહાડીઓ પર ચિહ્નિત કરીએ છીએ
અને
લંબગોળના શિરોબિંદુઓ અને લંબગોળ દોરો (ફિગ. 9).

નોંધ કરો કે આ અંડાકાર જૂના સંકલન અક્ષોને એવા બિંદુઓ પર છેદે છે જે ચતુર્ભુજ સમીકરણોમાંથી મળે છે (જો આપણે આ સમીકરણમાં મૂકીએ તો
તેમના જૂના કોઓર્ડિનેટ્સ
):

અને
.