સમાંતર રેખાઓ સમાન છે કે નહીં? સમાંતર રેખાઓ

સૂચનાઓ

સાબિતી શરૂ કરતા પહેલા, ખાતરી કરો કે લીટીઓ સમાન પ્લેનમાં આવેલી છે અને તેના પર દોરવામાં આવી શકે છે. આ સાબિત કરવાની સૌથી સરળ રીત એ છે કે શાસક સાથે માપન કરવું. આ કરવા માટે, શક્ય હોય ત્યાં સુધી ઘણી જગ્યાએ સીધી રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર માપવા માટે શાસકનો ઉપયોગ કરો. જો અંતર અપરિવર્તિત રહે છે, તો આપેલ રેખાઓ સમાંતર છે. પરંતુ આ પદ્ધતિ પૂરતી સચોટ નથી, તેથી અન્ય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું છે.

ત્રીજી રેખા દોરો જેથી તે બંને સમાંતર રેખાઓને છેદે. તે તેમની સાથે ચાર બાહ્ય અને ચાર આંતરિક ખૂણા બનાવે છે. આંતરિક ખૂણાઓ ધ્યાનમાં લો. જે સેકન્ટ લાઇન દ્વારા જૂઠું બોલે છે તેને ક્રોસ-લીંગ કહેવામાં આવે છે. જે એક બાજુ પર પડે છે તેને એકપક્ષીય કહેવામાં આવે છે. પ્રોટ્રેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને, બે આંતરિક આંતરછેદ ખૂણાઓને માપો. જો તેઓ એકબીજાની સમાન હોય, તો રેખાઓ સમાંતર હશે. જો શંકા હોય તો, એકતરફી આંતરિક ખૂણાને માપો અને પરિણામી મૂલ્યો ઉમેરો. જો એકતરફી આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો 180º જેટલો હોય તો રેખાઓ સમાંતર હશે.

જો તમારી પાસે પ્રોટ્રેક્ટર ન હોય, તો 90º ચોરસનો ઉપયોગ કરો. લીટીઓમાંથી એકને લંબ બાંધવા માટે તેનો ઉપયોગ કરો. આ પછી, આ કાટખૂણે ચાલુ રાખો જેથી કરીને તે બીજી રેખાને છેદે. સમાન ચોરસનો ઉપયોગ કરીને, તપાસો કે આ લંબ તેને કયા ખૂણાથી છેદે છે. જો આ કોણ પણ 90º હોય, તો રેખાઓ એકબીજાની સમાંતર હોય છે.

જો રેખાઓ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં આપવામાં આવી હોય, તો તેમની દિશા અથવા સામાન્ય વેક્ટર શોધો. જો આ વેક્ટર, અનુક્રમે, એકબીજા સાથે સમરેખા હોય, તો રેખાઓ સમાંતર હોય છે. રેખાઓના સમીકરણને સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઘટાડીને દરેક રેખાના સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો. તેના કોઓર્ડિનેટ્સ A અને B ગુણાંક સમાન છે. જો સામાન્ય વેક્ટરના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સનો ગુણોત્તર સમાન હોય, તો તે સમરેખા હોય છે અને રેખાઓ સમાંતર હોય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સીધી રેખાઓ 4x-2y+1=0 અને x/1=(y-4)/2 સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રથમ સમીકરણ સામાન્ય સ્વરૂપનું છે, બીજું પ્રમાણભૂત છે. બીજા સમીકરણને તેના સામાન્ય સ્વરૂપમાં લાવો. આ માટે પ્રમાણ રૂપાંતરણ નિયમનો ઉપયોગ કરો, પરિણામ 2x=y-4 છે. સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઘટાડા પછી, તમને 2x-y+4=0 મળે છે. કોઈપણ લીટી માટે સામાન્ય સમીકરણ Ax+By+C=0 લખાયેલ હોવાથી, પછી પ્રથમ લીટી માટે: A=4, B=2, અને બીજી લીટી A=2, B=1. સામાન્ય વેક્ટરના પ્રથમ સીધા સંકલન માટે (4;2), અને બીજા માટે – (2;1). સામાન્ય વેક્ટર 4/2=2 અને 2/1=2 ના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સનો ગુણોત્તર શોધો. આ સંખ્યાઓ સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે વેક્ટર સમરેખા છે. વેક્ટર સમરેખીય હોવાથી, રેખાઓ સમાંતર છે.

વ્યાખ્યા 1

સીધી રેખા $c$ કહેવાય છે સેકન્ટરેખાઓ $a$ અને $b$ માટે, જો તે તેમને બે બિંદુઓ પર છેદે છે.

બે લીટીઓ $a$ અને $b$ અને સેકન્ટ લાઇન $c$ ને ધ્યાનમાં લો.

જ્યારે તેઓ એકબીજાને છેદે છે, ત્યારે ખૂણા ઉભા થાય છે, જેને આપણે $1$ થી $8$ સુધીની સંખ્યાઓ દ્વારા દર્શાવીએ છીએ.

આમાંના દરેક ખૂણાનું એક નામ છે જેનો ઉપયોગ ગણિતમાં વારંવાર થાય છે:

• ખૂણાઓની જોડી $3$ અને $5$, $4$ અને $6$ કહેવાય છે ક્રોસવાઇઝ બોલવું;
• ખૂણાઓની જોડી $1$ અને $5$, $4$ અને $8$, $2$ અને $6$, $3$ અને $7$ કહેવાય છે યોગ્ય;
• ખૂણાઓની જોડી $4$ અને $5$, $5$ અને $6$ કહેવાય છે એકતરફી.

સમાંતર રેખાઓના ચિહ્નો

પ્રમેય 1

રેખાઓ $a$ અને $b$ અને સેકન્ટ $с$ માટે ક્રોસવાઇઝ ખૂણાઓની જોડીની સમાનતા સૂચવે છે કે $a$ અને $b$ રેખાઓ સમાંતર છે:

પુરાવો.

રેખાઓ $a$ અને $b$ અને ટ્રાંસવર્સલ $c$ માટે ક્રોસવાઇઝ ખૂણાઓ સમાન થવા દો: $∠1=∠2$.

ચાલો બતાવીએ કે $a \parallel b$.

જો કે $1$ અને $2$ એ ખૂણો કાટખૂણો હોય, તો અમે મેળવીએ છીએ કે $a$ અને $b$ એ સીધી રેખા $AB$ પર લંબરૂપ હશે અને તેથી સમાંતર હશે.

પૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે ખૂણા $1$ અને $2$ બરાબર નથી, અમે બિંદુ $O$ પરથી દોરીએ છીએ, $AB$ ખંડની મધ્યમાં, $a$ રેખા પર લંબ $OH$.

સીધી રેખા $b$ પર અમે $BH_1=AH$ સેગમેન્ટને પ્લોટ કરીએ છીએ અને $OH_1$ સેગમેન્ટ દોરીએ છીએ. આપણને બે બાજુઓ સાથે બે સમાન ત્રિકોણ $ОНА$ અને $ОH_1В$ મળે છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો ($∠1=∠2$, $АО=ВО$, $BH_1=AH$), તેથી $∠3=∠4$ અને $ ∠5=∠6$. કારણ કે $∠3=∠4$, પછી બિંદુ $H_1$ કિરણ $OH$ પર આવેલું છે, આમ બિંદુ $H$, $O$ અને $H_1$ સમાન રેખાના છે. કારણ કે $∠5=∠6$, પછી $∠6=90^(\circ)$. આમ, $a$ અને $b$ રેખાઓ $HH_1$ સમાંતર છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પ્રમેય 2

$a$ અને $b$ અને સેકન્ટ $c$ માટે અનુરૂપ ખૂણાઓની જોડીની સમાનતા સૂચવે છે કે $a$ અને $b$ રેખાઓ સમાંતર છે:

જો $∠1=∠2$, તો $a \સમાંતર b$.

પુરાવો.

રેખાઓ $a$ અને $b$ અને સેકન્ટ $c$ માટે અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન થવા દો: $∠1=∠2$. ખૂણા $2$ અને $3$ ઉભા છે, તેથી $∠2=∠3$. તેથી $∠1=∠3$. કારણ કે ખૂણા $1$ અને $3$ ક્રોસવાઇઝ છે, પછી રેખાઓ $a$ અને $b$ સમાંતર છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પ્રમેય 3

જો રેખાઓ $a$ અને $b$ અને ટ્રાંસવર્સલ $c$ માટેના બે એકતરફી ખૂણાઓનો સરવાળો $180^(\circ)C$ બરાબર હોય, તો રેખાઓ $a$ અને $b$ સમાંતર છે:

જો $∠1+∠4=180^(\circ)$, તો $a \સમાંતર b$.

પુરાવો.

સીધી રેખાઓ $a$ અને $b$ અને ટ્રાંસવર્સલ $c$ માટે એકતરફી ખૂણાને $180^(\circ)$ સુધી ઉમેરવા દો, ઉદાહરણ તરીકે

$∠1+∠4=180^(\circ)$.

ખૂણા $3$ અને $4$ અડીને છે, તેથી

$∠3+∠4=180^(\circ)$.

પ્રાપ્ત સમાનતાઓ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે ક્રોસવાઇઝ ખૂણા $∠1=∠3$ છે, જેમાંથી તે અનુસરે છે કે $a$ અને $b$ સમાંતર છે.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ધ્યાનમાં લીધેલા લક્ષણો પરથી તે અનુસરે છે કે રેખાઓ સમાંતર છે.

સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 1

આંતરછેદ બિંદુ સેગમેન્ટ $AB$ અને $CD$ ને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે. સાબિત કરો કે $AC \parallel BD$.

આપેલ: $AO=OB$, $CO=OD$.

સાબિત કરો: $AC \સમાંતર BD$.

પુરાવો.

ત્રિકોણની સમાનતા માટેના પ્રથમ માપદંડ અનુસાર $AO=OB$, $CO=OD$ અને લંબકોણની સમાનતા $∠1=∠2$ થી તે અનુસરે છે કે $\bigtriangleup COA=\bigtriangleup DOB$ . આમ, $∠3=∠4$.

ખૂણા $3$ અને $4$ બે સીધી રેખાઓ $AC$ અને $BD$ અને ટ્રાંસવર્સલ $AB$ સાથે ક્રોસવાઇઝ આવેલા છે. પછી, રેખાઓની સમાંતરતા માટેના પ્રથમ માપદંડ અનુસાર, $AC \સમાંતર BD$. નિવેદન સાબિત થયું છે.

ઉદાહરણ 2

એક કોણ આપેલ છે $∠2=45^(\circ)$, અને $∠7$ આપેલ કોણ કરતાં $3$ ગણો મોટો છે. સાબિત કરો કે $a \parallel b$.

આપેલ: $∠2=45^(\circ)$, $∠7=3∠2$.

સાબિત કરો: $a \સમાંતર b$.

પુરાવો:

1. ચાલો કોણ $7$ ની કિંમત શોધીએ:

$∠7=3 \cdot 45^(\circ)=135^(\circ)$.

1. વર્ટિકલ એંગલ $∠5=∠7=135^(\circ)$, $∠2=∠4=45^(\circ)$.
2. ચાલો આંતરિક ખૂણોનો સરવાળો શોધીએ $∠5+∠4=135^(\circ)+45^(\circ)=180^(\circ)$.

$a \સમાંતર b$ રેખાઓની સમાંતરતા માટેના ત્રીજા માપદંડ મુજબ. નિવેદન સાબિત થયું છે.

ઉદાહરણ 3

આપેલ: $\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup ADB$.

સાબિત કરો: $AC \સમાંતર BD$, $AD \સમાંતર BC$.

પુરાવો:

વિચારણા હેઠળના રેખાંકનો માટે, બાજુ $AB$ સામાન્ય છે.

કારણ કે ત્રિકોણ $ABC$ અને $ADB$ સમાન છે, પછી $AD=CB$, $AC=BD$, તેમજ અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે $∠1=∠2$, $∠3=∠4$, $∠ 5=∠6 $.

ખૂણાઓની જોડી $3$ અને $4$ રેખાઓ $AC$ અને $BD$ અને અનુરૂપ સેકન્ટ $AB$ માટે ક્રોસવાઇઝ છે, તેથી, $AC \સમાંતર BD$ રેખાઓની સમાનતા માટેના પ્રથમ માપદંડ અનુસાર.

ખૂણાઓની જોડી $5$ અને $6$ રેખાઓ $AD$ અને $BC$ અને અનુરૂપ સેકન્ટ $AB$ માટે ક્રોસવાઇઝ છે, તેથી, $AD \સમાંતર BC$ રેખાઓની સમાનતા માટેના પ્રથમ માપદંડ અનુસાર.

વર્ગ: 2

પાઠનો ઉદ્દેશ્ય:

• 2 રેખાઓની સમાંતરતાની વિભાવના બનાવો, રેખાઓની સમાંતરતાના પ્રથમ સંકેતને ધ્યાનમાં લો;
• સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે નિશાની લાગુ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો.

કાર્યો:

1. શૈક્ષણિક: અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીનું પુનરાવર્તન અને એકત્રીકરણ, 2 રેખાઓની સમાંતરતાના ખ્યાલની રચના, 2 રેખાઓની સમાંતરતાના 1લા સંકેતનો પુરાવો.
2. શૈક્ષણિક: નોટબુકમાં ચોક્કસ રીતે નોંધ લેવાની ક્ષમતા વિકસાવવા અને રેખાંકનો બનાવવાના નિયમોનું પાલન કરવું.
3. વિકાસલક્ષી કાર્યો: તાર્કિક વિચારસરણી, મેમરી, ધ્યાનનો વિકાસ.

પાઠ સાધનો:

• મલ્ટીમીડિયા પ્રોજેક્ટર;
• સ્ક્રીન, પ્રસ્તુતિઓ;
• ચિત્રકામ સાધનો.

પાઠ પ્રગતિ

I. સંસ્થાકીય ક્ષણ.

નમસ્કાર, પાઠ માટે તત્પરતા તપાસો.

II. સક્રિય UPD માટે તૈયારી.

સ્ટેજ 1.

પ્રથમ ભૂમિતિ પાઠમાં, અમે પ્લેન પર 2 સીધી રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ જોઈ.

પ્રશ્ન.બે લીટીઓમાં કેટલા સામાન્ય બિંદુઓ સામ્ય હોઈ શકે?
જવાબ આપો.બે લીટીઓમાં કાં તો એક સામાન્ય બિંદુ હોઈ શકે છે અથવા એક સામાન્ય બિંદુ નથી.

પ્રશ્ન. 2 સીધી રેખાઓ એકબીજાની સાપેક્ષમાં કેવી રીતે સ્થિત થશે જો તેમની પાસે એક સામાન્ય બિંદુ હશે?
જવાબ આપો.જો રેખાઓમાં એક સામાન્ય બિંદુ હોય, તો તેઓ છેદે છે

પ્રશ્ન.જો તેમની પાસે સામાન્ય બિંદુઓ ન હોય તો 2 સીધી રેખાઓ એકબીજાની સાપેક્ષ કેવી રીતે સ્થિત છે?
જવાબ આપો.પછી આ કિસ્સામાં આ રેખાઓ છેદતી નથી.

સ્ટેજ 2.

છેલ્લા પાઠમાં, તમને પ્રેઝન્ટેશન બનાવવાનું કાર્ય પ્રાપ્ત થયું છે જ્યાં આપણે આપણા જીવનમાં અને પ્રકૃતિમાં બિન-છેદતી રેખાઓનો સામનો કરીએ છીએ. હવે આપણે આ પ્રસ્તુતિઓ જોઈશું અને શ્રેષ્ઠ પસંદ કરીશું. (જ્યુરીમાં એવા વિદ્યાર્થીઓનો સમાવેશ થાય છે કે જેઓ તેમની ઓછી બુદ્ધિમત્તાને કારણે તેમની પ્રસ્તુતિઓ બનાવવામાં મુશ્કેલી અનુભવે છે.)

વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા કરવામાં આવેલ પ્રસ્તુતિઓ જુઓ: "પ્રકૃતિ અને જીવનમાં સમાંતર રેખાઓ", અને શ્રેષ્ઠ પસંદ કરો.

III. સક્રિય UPD (નવી સામગ્રીની સમજૂતી).

સ્ટેજ 1.

આકૃતિ 1

વ્યાખ્યા.સમતલમાં બે રેખાઓ છેદતી નથી તેને સમાંતર કહેવામાં આવે છે.

આ કોષ્ટક પ્લેન પર 2 સમાંતર રેખાઓની ગોઠવણીના વિવિધ કિસ્સાઓ દર્શાવે છે.

ચાલો વિચાર કરીએ કે કયા વિભાગો સમાંતર હશે.

આકૃતિ 2

1) જો રેખા a એ b ની સમાંતર હોય, તો સેગમેન્ટ્સ AB અને CD સમાંતર છે.

2) એક સેગમેન્ટ સીધી રેખાની સમાંતર હોઈ શકે છે. તેથી સેગમેન્ટ MN એ રેખા a ની સમાંતર છે.

આકૃતિ 3

3) સેગમેન્ટ AB એ કિરણ h ની સમાંતર છે. રે h એ રે k ની સમાંતર છે.

4) જો રેખા a એ રેખા c ને લંબ હોય, અને રેખા b રેખા c પર લંબ હોય, તો રેખા a અને b સમાંતર છે.

સ્ટેજ 2.

બે સમાંતર રેખાઓ અને ટ્રાંસવર્સલ દ્વારા બનેલા ખૂણા.

આકૃતિ 4

બે સમાંતર રેખાઓ ત્રીજી રેખાને બે બિંદુઓ પર છેદે છે. આ કિસ્સામાં, આઠ ખૂણાઓ રચાય છે, જે આકૃતિમાં સંખ્યાઓ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

આ ખૂણાઓની કેટલીક જોડી ખાસ નામો ધરાવે છે (જુઓ આકૃતિ 4).

અસ્તિત્વ ધરાવે છે બે રેખાઓની સમાંતરતાના ત્રણ ચિહ્નોઆ ખૂણાઓ સાથે સંકળાયેલ છે. આ પાઠમાં આપણે જોઈશું પ્રથમ સંકેત.

સ્ટેજ 3.

ચાલો આ લક્ષણ સાબિત કરવા માટે જરૂરી સામગ્રીનું પુનરાવર્તન કરીએ.

આકૃતિ 5

પ્રશ્ન.આકૃતિ 5 માં બતાવેલ ખૂણાઓના નામ શું છે?
જવાબ આપો.ખૂણા AOC અને COB ને સંલગ્ન કહેવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન.કયા ખૂણાઓને સંલગ્ન કહેવામાં આવે છે? વ્યાખ્યા આપો.
જવાબ આપો.બે ખૂણાઓને સંલગ્ન કહેવામાં આવે છે જો તેમની એક બાજુ સમાન હોય અને અન્ય બે એકબીજાના વિસ્તરણ હોય.

પ્રશ્ન.અડીને આવેલા ખૂણામાં કયા ગુણધર્મો હોય છે?
જવાબ આપો.અડીને આવેલા ખૂણાઓ 180 ડિગ્રી સુધી ઉમેરે છે.
AOC + COB = 180°

પ્રશ્ન.ખૂણા 1 અને 2 ને શું કહેવાય છે?
જવાબ આપો.ખૂણા 1 અને 2 ને વર્ટિકલ કહેવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન.વર્ટિકલ એંગલ્સમાં કયા ગુણધર્મો હોય છે?
જવાબ આપો.વર્ટિકલ એંગલ એકબીજાના સમાન છે.

સ્ટેજ 4.

સમાનતાના પ્રથમ સંકેતનો પુરાવો.

પ્રમેય.જો, જ્યારે બે રેખાઓ ક્રોસવાઇઝ છેદે છે, તેમાં સામેલ ખૂણાઓ સમાન છે, તો રેખાઓ સમાંતર છે.

આકૃતિ 6

આપેલ: a અને b સીધી રેખાઓ છે
એબી - સેકન્ટ
1 = 2
સાબિત કરો: a//b.

1 લી કેસ.

આકૃતિ 7

જો 1 અને 2 સીધી રેખાઓ છે, તો પછી a એ AB માટે લંબ છે, અને b એ AB માટે લંબ છે, તો પછી a//b.

2 જી કેસ.

આકૃતિ 8

ચાલો કેસને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે 1 અને 2 સીધી રેખાઓ નથી.

પ્રશ્ન. AO અને OB સેગમેન્ટની લંબાઈ કેટલી છે?
જવાબ આપો.સેગમેન્ટ્સ AO અને OB લંબાઈમાં સમાન છે.

1) બિંદુ O થી આપણે રેખા a માટે લંબ દોરીએ છીએ, OH એ a માટે લંબ છે.

પ્રશ્ન.કોણ 3 શું હશે?
જવાબ આપો.કોણ 3 સાચો હશે.

2) બિંદુ A થી સીધી રેખા b પર આપણે હોકાયંત્ર વડે સેગમેન્ટ AH 1 = ВН દોરીએ છીએ.

3) ચાલો OH 1 ખંડ દોરીએ.

પ્રશ્ન.પુરાવાના પરિણામે કયા ત્રિકોણની રચના થઈ?
જવાબ આપો.ત્રિકોણ ONV અને ત્રિકોણ OH 1 A.

ચાલો સાબિત કરીએ કે તેઓ સમાન છે.

પ્રશ્ન.પ્રમેય મુજબ કયા ખૂણા સમાન છે?
જવાબ આપો.કોણ 1 કોણ 2 બરાબર છે.

પ્રશ્ન.બાંધકામમાં કઈ બાજુઓ સમાન છે.
જવાબ આપો. AO = OV અને AN 1 = VN

પ્રશ્ન.ત્રિકોણ કયા આધારે એકરૂપ છે?
જવાબ આપો.ત્રિકોણ બે બાજુઓ પર સમાન છે અને તેમની વચ્ચેનો કોણ (ત્રિકોણની સમાનતાનો પ્રથમ સંકેત).

પ્રશ્ન.એકરૂપ ત્રિકોણમાં કઈ મિલકત હોય છે?
જવાબ આપો.સમાન ત્રિકોણમાં, સમાન ખૂણાઓ વિરુદ્ધ સમાન બાજુઓ હોય છે.

પ્રશ્ન.કયા ખૂણા સમાન હશે?
જવાબ આપો. 5 = 6, 3 = 4.

પ્રશ્ન. 5 અને 6 ના નામ શું છે?
જવાબ આપો.આ ખૂણાઓને વર્ટિકલ કહેવામાં આવે છે.

તે આનાથી અનુસરે છે કે બિંદુઓ: H 1, O, H સમાન સીધી રેખા પર આવેલા છે.
કારણ કે

પ્રશ્ન. 3 સીધો છે, અને 3 = 4, પછી 4 સીધો છે.
જવાબ આપો.જો ખૂણા 3 અને 4 સાચા હોય તો સીધી રેખા НН 1 ના સંબંધમાં સીધી રેખા a અને b કેવી રીતે સ્થિત છે?

પ્રશ્ન.રેખાઓ a અને b HH 1 પર લંબ છે.
જવાબ આપો.એક રેખાના બે લંબ વિશે આપણે શું કહી શકીએ?

એક રેખાના બે લંબ સમાંતર છે.

હવે હું શરૂઆતથી આખા પુરાવાનું પુનરાવર્તન કરીશ, અને તમે મારી વાત ધ્યાનથી સાંભળશો અને બધું સમજવા અને યાદ રાખવાનો પ્રયત્ન કરશો.

IV. નવી સામગ્રીનું એકીકરણ.

ઇન્ટેલિજન્સ ડેવલપમેન્ટના વિવિધ સ્તરો ધરાવતા જૂથોમાં કામ કરો, ત્યારબાદ સ્ક્રીન પર અને બોર્ડ પર પરીક્ષણ કરો. 3 વિદ્યાર્થીઓ બોર્ડમાં કામ કરે છે (દરેક જૂથમાંથી એક).

№1 (બૌદ્ધિક વિકાસના ઘટાડા સ્તરવાળા વિદ્યાર્થીઓ માટે).

આપેલ: a અને b સીધા છે
c - સેકન્ટ
1 = 37°
7 = 143°
સાબિત કરો: a//b.

ઉકેલ.

7 = 6 (ઊભી) 6 = 143°
1 + 4 = 180° (અડીને) 4 = 180° – 37° = 143°
4 = 6 = 143°, અને તેઓ ક્રોસવાઇઝ a//b 5 = 48°, 3 અને 5 ક્રોસવાઇઝ કોણ છે, તેઓ a//b ની બરાબર છે.

આકૃતિ 11

V. પાઠનો સારાંશ.

આકૃતિ 1-8 નો ઉપયોગ કરીને પાઠનો સારાંશ આપવામાં આવ્યો છે.

પાઠમાં વિદ્યાર્થીઓની પ્રવૃત્તિઓનું મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે (દરેક વિદ્યાર્થીને અનુરૂપ ઇમોટિકોન પ્રાપ્ત થાય છે).

ગૃહકાર્ય:શીખવો - પૃષ્ઠ 52-53; ઉકેલ નંબર 186 (b, c).

આ લેખ સમાંતર રેખાઓ અને સમાંતર રેખાઓ વિશે છે. પ્રથમ, પ્લેન અને અવકાશમાં સમાંતર રેખાઓની વ્યાખ્યા આપવામાં આવે છે, સંકેતો રજૂ કરવામાં આવે છે, સમાંતર રેખાઓના ઉદાહરણો અને ગ્રાફિક ચિત્રો આપવામાં આવે છે. આગળ, રેખાઓની સમાંતરતા માટેના સંકેતો અને શરતોની ચર્ચા કરવામાં આવી છે. નિષ્કર્ષમાં, રેખાઓની સમાંતરતાને સાબિત કરવાની લાક્ષણિક સમસ્યાઓના ઉકેલો બતાવવામાં આવે છે, જે પ્લેન પર અને ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં રેખાના ચોક્કસ સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

સમાંતર રેખાઓ - મૂળભૂત માહિતી.

વ્યાખ્યા.

પ્લેનમાં બે લાઇન કહેવામાં આવે છે સમાંતર, જો તેમની પાસે સામાન્ય બિંદુઓ નથી.

વ્યાખ્યા.

ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં બે રેખાઓ કહેવામાં આવે છે સમાંતર, જો તેઓ એક જ પ્લેનમાં આવેલા હોય અને તેમની પાસે સામાન્ય બિંદુઓ ન હોય.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અવકાશમાં સમાંતર રેખાઓની વ્યાખ્યામાં "જો તેઓ સમાન વિમાનમાં હોય તો" કલમ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. ચાલો આ બિંદુને સ્પષ્ટ કરીએ: ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં બે રેખાઓ કે જેમાં સામાન્ય બિંદુઓ નથી અને તે સમાન સમતલમાં નથી તે સમાંતર નથી, પરંતુ છેદે છે.

અહીં સમાંતર રેખાઓના કેટલાક ઉદાહરણો છે. નોટબુક શીટની વિરુદ્ધ કિનારીઓ સમાંતર રેખાઓ પર સ્થિત છે. સીધી રેખાઓ કે જેની સાથે ઘરની દિવાલનું પ્લેન છત અને ફ્લોરના પ્લેનને છેદે છે તે સમાંતર છે. લેવલ ગ્રાઉન્ડ પર રેલરોડ રેલને પણ સમાંતર રેખાઓ તરીકે ગણી શકાય.

સમાંતર રેખાઓ દર્શાવવા માટે, "" ચિહ્નનો ઉપયોગ કરો. એટલે કે, જો a અને b રેખાઓ સમાંતર હોય, તો આપણે ટૂંકમાં b લખી શકીએ છીએ.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: જો રેખાઓ a અને b સમાંતર હોય, તો આપણે કહી શકીએ કે રેખા a એ રેખા bની સમાંતર છે, અને તે પણ રેખા b રેખા aની સમાંતર છે.

ચાલો આપણે એવા નિવેદનને અવાજ આપીએ જે પ્લેન પર સમાંતર રેખાઓના અભ્યાસમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે: આપેલ રેખા પર ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા, આપેલ રેખાની સમાંતર એકમાત્ર સીધી રેખા પસાર થાય છે. આ વિધાનને એક હકીકત તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે (તે પ્લાનીમેટ્રીના જાણીતા સ્વયંસિદ્ધના આધારે સાબિત કરી શકાતું નથી), અને તેને સમાંતર રેખાઓનું સ્વયંસિદ્ધ કહેવામાં આવે છે.

અવકાશના કેસ માટે, પ્રમેય માન્ય છે: અવકાશના કોઈપણ બિંદુ દ્વારા જે આપેલ રેખા પર ન હોય, ત્યાં આપેલ રેખાની સમાંતર એક સીધી રેખા પસાર થાય છે. આ પ્રમેય સમાંતર રેખાઓના ઉપરના સ્વયંસિદ્ધનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી સાબિત થાય છે (તમે તેનો પુરાવો ગ્રેડ 10-11 માટે ભૂમિતિના પાઠ્યપુસ્તકમાં શોધી શકો છો, જે સંદર્ભોની સૂચિમાં લેખના અંતે સૂચિબદ્ધ છે).

અવકાશના કેસ માટે, પ્રમેય માન્ય છે: અવકાશના કોઈપણ બિંદુ દ્વારા જે આપેલ રેખા પર ન હોય, ત્યાં આપેલ રેખાની સમાંતર એક સીધી રેખા પસાર થાય છે. ઉપરોક્ત સમાંતર રેખા સ્વયંસિદ્ધનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રમેય સરળતાથી સાબિત કરી શકાય છે.

રેખાઓની સમાંતરતા - સમાંતરતાના ચિહ્નો અને શરતો.

રેખાઓની સમાંતરતાની નિશાનીરેખાઓ સમાંતર હોવાની પૂરતી શરત છે, એટલે કે, એવી શરત કે જેની પરિપૂર્ણતા રેખાઓને સમાંતર હોવાની ખાતરી આપે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ સ્થિતિની પરિપૂર્ણતા એ હકીકતને સ્થાપિત કરવા માટે પૂરતી છે કે રેખાઓ સમાંતર છે.

પ્લેન પર અને ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં રેખાઓની સમાંતરતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો પણ છે.

ચાલો "સમાંતર રેખાઓ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ" વાક્યનો અર્થ સમજાવીએ.

અમે પહેલાથી જ સમાંતર રેખાઓ માટે પૂરતી સ્થિતિ સાથે વ્યવહાર કર્યો છે. "સમાંતર રેખાઓ માટે જરૂરી સ્થિતિ" શું છે? "આવશ્યક" નામ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે આ સ્થિતિની પરિપૂર્ણતા સમાંતર રેખાઓ માટે જરૂરી છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો રેખાઓ સમાંતર હોવા માટે જરૂરી શરત પૂરી થતી નથી, તો રેખાઓ સમાંતર નથી. આમ, સમાંતર રેખાઓ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિએક એવી શરત છે જેની પરિપૂર્ણતા સમાંતર રેખાઓ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત બંને છે. એટલે કે, એક તરફ, આ રેખાઓની સમાંતરતાની નિશાની છે, અને બીજી બાજુ, આ એક એવી મિલકત છે જે સમાંતર રેખાઓ ધરાવે છે.

રેખાઓની સમાંતરતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ ઘડતા પહેલા, ઘણી સહાયક વ્યાખ્યાઓને યાદ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

સેકન્ટ લાઇનએ એક રેખા છે જે આપેલ બે બિન-સંયોગી રેખાઓમાંથી પ્રત્યેકને છેદે છે.

જ્યારે બે સીધી રેખાઓ ટ્રાન્સવર્સલ સાથે છેદે છે, ત્યારે આઠ અવિકસિત રેખાઓ રચાય છે. રેખાઓની સમાંતરતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિની રચનામાં, કહેવાતા અનુરૂપ, ક્રોસવાઇઝ બોલવુંઅને એકતરફી ખૂણા. ચાલો તેમને ચિત્રમાં બતાવીએ.

પ્રમેય.

જો સમતલમાં બે રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ દ્વારા છેદે છે, તો તે સમાંતર હોવા માટે તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે કે છેદતા ખૂણાઓ સમાન હોય, અથવા અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય, અથવા એક-બાજુવાળા ખૂણાઓનો સરવાળો 180 ડિગ્રી જેટલો હોય. .

ચાલો પ્લેન પર રેખાઓની સમાંતરતા માટે આ જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિનું ગ્રાફિક ચિત્ર બતાવીએ.

તમે ગ્રેડ 7-9 માટે ભૂમિતિના પાઠ્યપુસ્તકોમાં રેખાઓની સમાનતા માટે આ શરતોના પુરાવા શોધી શકો છો.

નોંધ કરો કે આ શરતોનો ઉપયોગ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં પણ થઈ શકે છે - મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે બે રેખાઓ અને સેકન્ટ એક જ પ્લેનમાં આવેલા છે.

અહીં કેટલાક વધુ પ્રમેય છે જેનો ઉપયોગ ઘણીવાર રેખાઓની સમાંતરતાને સાબિત કરવા માટે થાય છે.

પ્રમેય.

જો સમતલમાં બે રેખાઓ ત્રીજી રેખાની સમાંતર હોય, તો તે સમાંતર છે. આ માપદંડનો પુરાવો સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધથી અનુસરે છે.

ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં સમાંતર રેખાઓ માટે સમાન સ્થિતિ છે.

પ્રમેય.

જો અવકાશમાં બે રેખાઓ ત્રીજી રેખાની સમાંતર હોય, તો તે સમાંતર છે. આ માપદંડના પુરાવાની ચર્ચા 10મા ધોરણમાં ભૂમિતિના પાઠોમાં કરવામાં આવી છે.

ચાલો જણાવેલ પ્રમેયને સમજાવીએ.

ચાલો આપણે અન્ય પ્રમેય રજૂ કરીએ જે આપણને પ્લેન પરની રેખાઓની સમાનતા સાબિત કરવા દે છે.

પ્રમેય.

જો સમતલમાં બે રેખાઓ ત્રીજી રેખાને લંબરૂપ હોય, તો તે સમાંતર હોય છે.

અવકાશમાં રેખાઓ માટે સમાન પ્રમેય છે.

પ્રમેય.

જો ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં બે રેખાઓ સમાન સમતલ પર લંબરૂપ હોય, તો તે સમાંતર છે.

ચાલો આ પ્રમેયને અનુરૂપ ચિત્રો દોરીએ.

ઉપરોક્ત તમામ પ્રમેય, માપદંડો અને જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો ભૂમિતિ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને રેખાઓની સમાનતા સાબિત કરવા માટે ઉત્તમ છે. એટલે કે, આપેલ બે રેખાઓની સમાંતરતાને સાબિત કરવા માટે, તમારે તે બતાવવાની જરૂર છે કે તે ત્રીજી રેખાની સમાંતર છે, અથવા ક્રોસવાઇઝ લાઇંગ એન્ગલની સમાનતા દર્શાવવી, વગેરે. હાઈસ્કૂલમાં ભૂમિતિના પાઠોમાં સમાન પ્રકારની ઘણી સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં આવે છે. જો કે, એ નોંધવું જોઈએ કે ઘણા કિસ્સાઓમાં પ્લેન પર અથવા ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં રેખાઓની સમાંતરતાને સાબિત કરવા માટે સંકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે. ચાલો આપણે લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં નિર્દિષ્ટ કરેલ રેખાઓની સમાંતરતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો ઘડીએ.

લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં રેખાઓની સમાંતરતા.

લેખના આ ફકરામાં આપણે ઘડીશું સમાંતર રેખાઓ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતોલંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, આ રેખાઓને વ્યાખ્યાયિત કરતા સમીકરણોના પ્રકાર પર આધાર રાખીને, અને અમે લાક્ષણિક સમસ્યાઓના વિગતવાર ઉકેલો પણ પ્રદાન કરીશું.

ચાલો લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલી Oxy માં પ્લેન પર બે રેખાઓની સમાંતરતાની સ્થિતિથી પ્રારંભ કરીએ. તેની સાબિતી રેખાના દિશા વેક્ટરની વ્યાખ્યા અને પ્લેન પરની રેખાના સામાન્ય વેક્ટરની વ્યાખ્યા પર આધારિત છે.

પ્રમેય.

સમતલમાં બે બિન-સંયોગી રેખાઓ સમાંતર હોય તે માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે આ રેખાઓના દિશા વેક્ટર સમરેખા હોય, અથવા આ રેખાઓના સામાન્ય વેક્ટર સમરેખીય હોય અથવા એક રેખાનો દિશા વેક્ટર સામાન્યને લંબ હોય. બીજી લાઇનનો વેક્ટર.

દેખીતી રીતે, પ્લેન પર બે રેખાઓની સમાંતરતાની સ્થિતિ (રેખાઓના દિશા વેક્ટર અથવા રેખાઓના સામાન્ય વેક્ટર) અથવા (એક રેખાના દિશા વેક્ટર અને બીજી રેખાના સામાન્ય વેક્ટર) સુધી ઘટાડવામાં આવે છે. આમ, જો અને એ રેખાઓ a અને b, અને ના દિશા વેક્ટર છે અને અનુક્રમે a અને b રેખાઓના સામાન્ય વેક્ટર છે, તો પછી a અને b રેખાઓની સમાંતરતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ આ રીતે લખવામાં આવશે , અથવા , અથવા , જ્યાં t અમુક વાસ્તવિક સંખ્યા છે. બદલામાં, લીટીઓના જાણીતા સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને માર્ગદર્શિકાઓના કોઓર્ડિનેટ્સ અને (અથવા) રેખાઓ a અને b ના સામાન્ય વેક્ટર જોવા મળે છે.

ખાસ કરીને, જો લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં સીધી રેખા a પ્લેન પર ઓક્સી ફોર્મનું સામાન્ય સીધી રેખા સમીકરણ વ્યાખ્યાયિત કરે છે , અને સીધી રેખા b - , તો પછી આ રેખાઓના સામાન્ય વેક્ટરમાં અનુક્રમે કોઓર્ડિનેટ્સ અને હોય છે, અને રેખાઓ a અને b ની સમાંતરતા માટેની સ્થિતિ આ રીતે લખવામાં આવશે.

જો રેખા એ ફોર્મના કોણીય ગુણાંક સાથેની રેખાના સમીકરણને અનુરૂપ હોય અને રેખા b - , તો આ રેખાઓના સામાન્ય વેક્ટરમાં કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે અને , અને આ રેખાઓની સમાંતરતા માટેની સ્થિતિ સ્વરૂપ લે છે. . પરિણામે, જો લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં પ્લેન પરની રેખાઓ સમાંતર હોય અને કોણીય ગુણાંક સાથેની રેખાઓના સમીકરણો દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય, તો રેખાઓના કોણીય ગુણાંક સમાન હશે. અને ઊલટું: જો લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં પ્લેન પર બિન-સંયોગી રેખાઓ સમાન કોણીય ગુણાંકવાળી રેખાના સમીકરણો દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે, તો આવી રેખાઓ સમાંતર છે.

જો લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં રેખા a અને રેખા b ફોર્મના પ્લેન પરની રેખાના પ્રમાણભૂત સમીકરણો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને , અથવા ફોર્મના પ્લેન પર સીધી રેખાના પેરામેટ્રિક સમીકરણો અને તદનુસાર, આ રેખાઓના દિશા વેક્ટરમાં કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે અને , અને a અને b રેખાઓની સમાંતરતા માટેની સ્થિતિ આ રીતે લખવામાં આવે છે.

ચાલો કેટલાક ઉદાહરણોના ઉકેલો જોઈએ.

ઉદાહરણ.

શું રેખાઓ સમાંતર છે? અને ?

ઉકેલ.

ચાલો રેખાના સામાન્ય સમીકરણના રૂપમાં સેગમેન્ટમાં રેખાના સમીકરણને ફરીથી લખીએ: . હવે આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે તે રેખાનો સામાન્ય વેક્ટર છે , a એ રેખાનો સામાન્ય વેક્ટર છે. આ વેક્ટર સમરેખા નથી, કારણ કે ત્યાં કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા t નથી જેના માટે સમાનતા ( ). પરિણામે, પ્લેન પર રેખાઓની સમાંતરતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ સંતુષ્ટ નથી, તેથી, આપેલ રેખાઓ સમાંતર નથી.

જવાબ:

ના, રેખાઓ સમાંતર નથી.

ઉદાહરણ.

શું સીધી રેખાઓ અને સમાંતર છે?

ઉકેલ.

ચાલો સીધી રેખાના પ્રમાણભૂત સમીકરણને કોણીય ગુણાંક સાથેની સીધી રેખાના સમીકરણમાં ઘટાડીએ: . દેખીતી રીતે, રેખાઓના સમીકરણો અને સમાન નથી (આ કિસ્સામાં, આપેલ રેખાઓ સમાન હશે) અને રેખાઓના કોણીય ગુણાંક સમાન છે, તેથી, મૂળ રેખાઓ સમાંતર છે.

બીજો ઉકેલ.

પ્રથમ, અમે બતાવીએ છીએ કે મૂળ રેખાઓ એકરૂપ થતી નથી: રેખા પર કોઈપણ બિંદુ લો, ઉદાહરણ તરીકે, (0, 1), આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ રેખાના સમીકરણને સંતોષતા નથી, તેથી, રેખાઓ એકરૂપ થતી નથી. હવે ચાલો આ રેખાઓની સમાંતરતાની સ્થિતિની પરિપૂર્ણતા તપાસીએ. રેખાનું સામાન્ય વેક્ટર એ વેક્ટર છે, અને રેખાની દિશા વેક્ટર એ વેક્ટર છે. ચાલો ગણતરી કરીએ અને: . પરિણામે, વેક્ટર અને લંબરૂપ છે, જેનો અર્થ છે કે આપેલ રેખાઓની સમાંતરતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે. આમ, રેખાઓ સમાંતર છે.

જવાબ:

આપેલ રેખાઓ સમાંતર છે.

ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં રેખાઓની સમાંતરતાને સાબિત કરવા માટે, નીચેની આવશ્યક અને પર્યાપ્ત સ્થિતિનો ઉપયોગ કરો.

પ્રમેય.

ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં વિભિન્ન રેખાઓની સમાંતરતા માટે, તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે કે તેમની દિશા વેક્ટર સમરેખીય હોય.

આમ, જો ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં રેખાઓના સમીકરણો જાણીતા છે અને તમારે આ રેખાઓ સમાંતર છે કે નહીં તે પ્રશ્નનો જવાબ આપવાની જરૂર છે, તો તમારે આ રેખાઓના દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાની જરૂર છે અને દિશા વેક્ટર્સની સમન્વયની સ્થિતિની પરિપૂર્ણતા તપાસો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો અને - સીધી રેખાઓના દિશા વેક્ટર આપેલ સીધી રેખાઓમાં કોઓર્ડિનેટ્સ અને . કારણ કે , તે . આમ, અવકાશમાં બે રેખાઓની સમાંતરતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ સંતોષાય છે. આ રેખાઓની સમાંતરતા સાબિત કરે છે અને .

સંદર્ભો.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. ભૂમિતિ. ગ્રેડ 7 - 9: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. ભૂમિતિ. માધ્યમિક શાળાના 10-11 ધોરણ માટે પાઠ્યપુસ્તક.
• પોગોરેલોવ એ.વી., ભૂમિતિ. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓમાં ગ્રેડ 7-11 માટે પાઠ્યપુસ્તક.
• બગરોવ યા.એસ., નિકોલ્સ્કી એસ.એમ. ઉચ્ચ ગણિત. વોલ્યુમ એક: રેખીય બીજગણિત અને વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના તત્વો.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ.

પ્રથમ, ચાલો સંકેત, મિલકત અને સ્વયંસિદ્ધ ખ્યાલો વચ્ચેનો તફાવત જોઈએ.

વ્યાખ્યા 1

સહીતેઓ એક ચોક્કસ હકીકત કહે છે જેના દ્વારા રુચિના પદાર્થ વિશેના ચુકાદાની સત્યતા નક્કી કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ 1

રેખાઓ સમાંતર હોય છે જો તેમની ટ્રાંસવર્સલ સમાન ક્રોસવાઇઝ ખૂણાઓ બનાવે છે.

વ્યાખ્યા 2

મિલકતજ્યારે ચુકાદાની વાજબીતામાં વિશ્વાસ હોય ત્યારે તે કિસ્સામાં ઘડવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 2

જ્યારે સમાંતર રેખાઓ સમાંતર હોય છે, ત્યારે તેમની ટ્રાંસવર્સલ સમાન ક્રોસવાઇઝ ખૂણાઓ બનાવે છે.

વ્યાખ્યા 3

સ્વયંસિદ્ધતેઓ એવા નિવેદનને બોલાવે છે જેને પુરાવાની જરૂર નથી અને તેના વિના સત્ય તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે.

દરેક વિજ્ઞાનમાં સ્વયંસિદ્ધ છે જેના પર અનુગામી ચુકાદાઓ અને તેમના પુરાવાઓ આધારિત છે.

સમાંતર રેખાઓનો સ્વયંસિદ્ધ

કેટલીકવાર સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધને સમાંતર રેખાઓના ગુણધર્મોમાંના એક તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે, પરંતુ તે જ સમયે અન્ય ભૌમિતિક પુરાવા તેની માન્યતા પર આધારિત છે.

પ્રમેય 1

આપેલ લીટી પર ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા, પ્લેન પર ફક્ત એક સીધી રેખા દોરી શકાય છે, જે આપેલ રેખાની સમાંતર હશે.

સ્વયંસિદ્ધને પુરાવાની જરૂર નથી.

સમાંતર રેખાઓના ગુણધર્મો

પ્રમેય 2

મિલકત1. સમાંતર રેખાઓની સંક્રમણ ગુણધર્મ:

જ્યારે બે સમાંતર રેખાઓમાંથી એક ત્રીજી રેખાને સમાંતર હશે, તો બીજી રેખા તેની સમાંતર હશે.

ગુણધર્મોને પુરાવાની જરૂર છે.

પુરાવો:

ચાલો ત્યાં બે સમાંતર રેખાઓ $a$ અને $b$ હોય. રેખા $c$ રેખા $a$ની સમાંતર છે. ચાલો તપાસ કરીએ કે શું આ કિસ્સામાં સીધી રેખા $c$ પણ સીધી રેખા $b$ની સમાંતર હશે.

આ સાબિત કરવા માટે, અમે વિપરીત દરખાસ્તનો ઉપયોગ કરીશું:

ચાલો કલ્પના કરીએ કે શક્ય છે કે રેખા $c$ એ કોઈપણ એક રેખાની સમાંતર હોય, ઉદાહરણ તરીકે, રેખા $a$, અને બીજી રેખા, $b$, અમુક બિંદુએ $K$ને છેદે છે.

આપણે સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધ અનુસાર વિરોધાભાસ મેળવીએ છીએ. આ એક એવી પરિસ્થિતિમાં પરિણમે છે જેમાં બે રેખાઓ એક બિંદુ પર છેદે છે, વધુમાં, સમાન રેખા $a$ની સમાંતર. આ પરિસ્થિતિ અશક્ય છે તેથી, $b$ અને $c$ છેદે નહીં.

આમ, તે સાબિત થયું છે કે જો બે સમાંતર રેખાઓમાંથી એક ત્રીજી રેખાની સમાંતર હોય, તો બીજી રેખા ત્રીજી રેખાની સમાંતર હોય છે.

પ્રમેય 3

મિલકત 2.

જો બે સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને ત્રીજી દ્વારા છેદે છે, તો બીજી રેખા પણ તેના દ્વારા છેદે છે.

પુરાવો:

ચાલો ત્યાં બે સમાંતર રેખાઓ $a$ અને $b$ હોય. ઉપરાંત, અમુક રેખા $c$ હોવા દો જે સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને છેદે છે, ઉદાહરણ તરીકે, રેખા $a$. તે દર્શાવવું જરૂરી છે કે રેખા $c$ બીજી લાઇન, $b$ને પણ છેદે છે.

ચાલો વિરોધાભાસ દ્વારા સાબિતી બનાવીએ.

ચાલો કલ્પના કરીએ કે રેખા $c$ એ રેખા $b$ ને છેદતી નથી. પછી બે રેખાઓ $a$ અને $c$ બિંદુ $K$માંથી પસાર થાય છે, જે રેખા $b$ને છેદતી નથી, એટલે કે, તે તેની સમાંતર છે. પરંતુ આ પરિસ્થિતિ સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતનો વિરોધાભાસ કરે છે. આનો અર્થ એ થયો કે ધારણા ખોટી હતી અને રેખા $c$ એ રેખા $b$ને છેદે છે.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ખૂણાના ગુણધર્મો, જે બે સમાંતર રેખાઓ અને સેકન્ટ બનાવે છે: વિરોધી ખૂણા સમાન છે,અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે, * એકતરફી ખૂણાઓનો સરવાળો $180^(\circ)$ છે.

ઉદાહરણ 3

બે સમાંતર રેખાઓ અને તેમાંથી એકને લંબરૂપ ત્રીજી રેખા આપેલ છે. સાબિત કરો કે આ રેખા અન્ય સમાંતર રેખાઓને લંબરૂપ છે.

પુરાવો.

ચાલો આપણે સીધી રેખાઓ $a \parallel b$ અને $c \perp a$ રાખીએ.

કારણ કે રેખા $c$ રેખા $a$ ને છેદે છે, તો પછી, સમાંતર રેખાઓના ગુણધર્મ અનુસાર, તે રેખા $b$ ને પણ છેદે છે.

સેકન્ટ $c$, સમાંતર રેખાઓ $a$ અને $b$ ને છેદે છે, તેમની સાથે સમાન આંતરિક ખૂણા બનાવે છે.

કારણ કે $c \perp a$, તો ખૂણા $90^(\circ)$ હશે.

તેથી, $c \perp b$.

પુરાવો સંપૂર્ણ છે.