પરિમાણ એક અનન્ય ઉકેલ ધરાવે છે. "પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ"

MKOU "લોડેનોપોલસ્કાયા માધ્યમિક શાળા નંબર 68"

_________________________________________________________________________________________________________________________________

મોસ્કો પ્રદેશની બેઠકમાં ભાષણ

સમસ્યા હલ કરવાની પદ્ધતિઓ

પરિમાણો સાથે

પ્રોકુશેવા નતાલ્યા ગેન્નાદિવેના

Lodeynoye ધ્રુવ

2013-2014

પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા અને યુનિવર્સિટીઓમાં વધારાની સ્પર્ધાત્મક પરીક્ષાઓ બંનેમાં આપવામાં આવતી સમસ્યાઓમાં પરિમાણો સાથેની સમસ્યાઓ સૌથી મુશ્કેલ છે.

તેઓ તાર્કિક વિચારસરણી અને ગાણિતિક સંસ્કૃતિના નિર્માણમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. તેમને હલ કરતી વખતે ઊભી થતી મુશ્કેલીઓ એ હકીકતને કારણે છે કે પરિમાણો સાથેની દરેક સમસ્યા સામાન્ય સમસ્યાઓના સંપૂર્ણ વર્ગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જેમાંથી દરેક માટે ઉકેલ મેળવવો આવશ્યક છે.

જો સમીકરણ (અસમાનતા) માં કેટલાક ગુણાંક ચોક્કસ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો દ્વારા આપવામાં આવતાં નથી, પરંતુ અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે, તો તેને પરિમાણો કહેવામાં આવે છે, અને સમીકરણ (અસમાનતા) પેરામેટ્રિક છે.

નિયમ પ્રમાણે, અજ્ઞાતને લેટિન મૂળાક્ષરના છેલ્લા અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે: x, y, z, ..., અને પરિમાણો પ્રથમ દ્વારા: a, b, c, ...

પરિમાણો સાથે સમીકરણ (અસમાનતા) ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે પરિમાણોના ઉકેલોના કયા મૂલ્યો અસ્તિત્વમાં છે અને તે શું છે તે દર્શાવવું. સમાન પરિમાણો ધરાવતા બે સમીકરણો (અસમાનતા) સમકક્ષ કહેવાય છે જો:

a) તેઓ સમાન પરિમાણ મૂલ્યો માટે અર્થપૂર્ણ છે;

b) પ્રથમ સમીકરણ (અસમાનતા) નો દરેક ઉકેલ એ બીજા અને ઊલટું ઉકેલ છે.

સ્વાભાવિક રીતે, સમસ્યાઓનો આટલો નાનો વર્ગ ઘણાને મુખ્ય વસ્તુને સમજવાની મંજૂરી આપતું નથી: પરિમાણ, એક નિશ્ચિત પરંતુ અજાણી સંખ્યા હોવાને કારણે, દ્વિ પ્રકૃતિ ધરાવે છે. પ્રથમ, માનવામાં આવતી ખ્યાતિ તમને સંખ્યા તરીકે પરિમાણ સાથે "સંચાર" કરવાની મંજૂરી આપે છે, અને બીજું, સંદેશાવ્યવહારની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી તેની અસ્પષ્ટતા દ્વારા મર્યાદિત છે. આમ, પરિમાણ ધરાવતી અભિવ્યક્તિ દ્વારા ભાગાકાર કરવા અને આવા અભિવ્યક્તિઓમાંથી એક સમાન ડિગ્રીના મૂળને કાઢવા માટે પ્રારંભિક સંશોધનની જરૂર છે. સામાન્ય રીતે, આ અભ્યાસોના પરિણામો નિર્ણય અને જવાબ બંનેને પ્રભાવિત કરે છે.

આવી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કેવી રીતે શરૂ કરવું? પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓથી ડરશો નહીં. સૌ પ્રથમ, તમારે કોઈપણ સમીકરણ અથવા અસમાનતાને ઉકેલતી વખતે શું કરવામાં આવે છે તે કરવાની જરૂર છે - આપેલ સમીકરણ (અસમાનતા) ને સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડવું, જો શક્ય હોય તો: પરિબળ એક તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ, પરિબળ ત્રિકોણમિતિ બહુપદી, મોડ્યુલી, લોગરીધમ્સથી છુટકારો મેળવો, અને વગેરે. પછી તમારે કાર્યને ફરીથી અને ફરીથી કાળજીપૂર્વક વાંચવાની જરૂર છે.

પરિમાણ ધરાવતી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, એવી સમસ્યાઓ છે જેને બે મોટા વર્ગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. પ્રથમ વર્ગમાં એવી સમસ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે જેમાં પરિમાણના તમામ સંભવિત મૂલ્યો માટે અસમાનતા અથવા સમીકરણને હલ કરવું જરૂરી છે. બીજા વર્ગમાં એવા કાર્યો શામેલ છે જેમાં તમામ સંભવિત ઉકેલો શોધવા જરૂરી નથી, પરંતુ ફક્ત તે જ જે કેટલીક વધારાની શરતોને સંતોષે છે.

શાળાના બાળકો માટે આવી સમસ્યાઓ હલ કરવાની સૌથી સમજી શકાય તેવી રીત એ છે કે પહેલા તમામ ઉકેલો શોધો અને પછી વધારાની શરતોને સંતોષે તે પસંદ કરો. પરંતુ આ હંમેશા શક્ય નથી. ત્યાં મોટી સંખ્યામાં સમસ્યાઓ છે જેમાં તમામ ઘણા ઉકેલો શોધવાનું અશક્ય છે, અને અમને તેમ કરવાનું કહેવામાં આવ્યું નથી. તેથી, અમારે આપેલ સમીકરણ અથવા અસમાનતાના ઉકેલોના સંપૂર્ણ સેટને અમારા નિકાલ વિના સમસ્યાનું નિરાકરણ કરવાનો માર્ગ શોધવો પડશે, ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ કાર્યોના ગુણધર્મોને જોવા માટે જે અમને પરવાનગી આપશે. ઉકેલોના ચોક્કસ સમૂહના અસ્તિત્વનું મૂલ્યાંકન કરો.

પરિમાણો સાથેના મુખ્ય પ્રકારનાં કાર્યો

પ્રકાર 1.સમીકરણો, અસમાનતાઓ, તેમની સિસ્ટમો અને સેટ કે જે કાં તો પેરામીટર (પેરામીટર્સ) ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે અથવા પૂર્વનિર્ધારિત સમૂહ સાથે સંબંધિત પરિમાણ મૂલ્યો માટે ઉકેલવા જોઈએ.

"પરિમાણો સાથેની સમસ્યાઓ" વિષયમાં નિપુણતા પ્રાપ્ત કરતી વખતે આ પ્રકારની સમસ્યા મૂળભૂત છે, કારણ કે રોકાણ કરેલ કાર્ય અન્ય તમામ મૂળભૂત પ્રકારની સમસ્યાઓ હલ કરવામાં સફળતા પૂર્વનિર્ધારિત કરે છે.

પ્રકાર 2.સમીકરણો, અસમાનતાઓ, તેમની સિસ્ટમો અને સેટ, જેના માટે પેરામીટર (પરિમાણો) ના મૂલ્યના આધારે ઉકેલોની સંખ્યા નક્કી કરવી જરૂરી છે.

અમે એ હકીકત તરફ ધ્યાન દોરીએ છીએ કે આ પ્રકારની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, આપેલ સમીકરણો, અસમાનતાઓ, તેમની પ્રણાલીઓ અને સંયોજનો વગેરેને હલ કરવાની અથવા આ ઉકેલો પ્રદાન કરવાની જરૂર નથી; મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, આવા બિનજરૂરી કાર્ય એ વ્યૂહાત્મક ભૂલ છે જે સમયનો બિનજરૂરી બગાડ તરફ દોરી જાય છે. જો કે, કોઈએ આને નિરપેક્ષ બનાવવું જોઈએ નહીં, કારણ કે કેટલીકવાર પ્રકાર 1 અનુસાર સીધો ઉકેલ એ પ્રકાર 2 ની સમસ્યા હલ કરતી વખતે જવાબ મેળવવાનો એકમાત્ર વાજબી રસ્તો છે.

પ્રકાર 3.સમીકરણો, અસમાનતાઓ, તેમની પ્રણાલીઓ અને સંગ્રહો, જેના માટે તે તમામ પરિમાણ મૂલ્યો શોધવાની જરૂર છે જેના માટે નિર્દિષ્ટ સમીકરણો, અસમાનતાઓ, તેમની સિસ્ટમો અને સંગ્રહોમાં આપેલ સંખ્યાબંધ ઉકેલો છે (ખાસ કરીને, તેમની પાસે નથી અથવા નથી. ઉકેલોની અસંખ્ય સંખ્યા).

તે જોવાનું સરળ છે કે પ્રકાર 3 ની સમસ્યાઓ અમુક અર્થમાં પ્રકાર 2 ની સમસ્યાઓના વિપરીત છે.

પ્રકાર 4.સમીકરણો, અસમાનતાઓ, તેમની સિસ્ટમો અને સમૂહો, જેના માટે, પરિમાણના આવશ્યક મૂલ્યો માટે, ઉકેલોનો સમૂહ વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં ઉલ્લેખિત શરતોને સંતોષે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, પરિમાણ મૂલ્યો શોધો કે જેના પર:

1) આપેલ અંતરાલમાંથી ચલના કોઈપણ મૂલ્ય માટે સમીકરણ સંતુષ્ટ છે;
2) પ્રથમ સમીકરણના ઉકેલોનો સમૂહ એ બીજા સમીકરણ વગેરેના ઉકેલોના સમૂહનો સબસેટ છે.

ટિપ્પણી. પરિમાણ સાથેની વિવિધ સમસ્યાઓ શાળાના ગણિતના સમગ્ર અભ્યાસક્રમ (બીજગણિત અને ભૂમિતિ બંને) ને આવરી લે છે, પરંતુ અંતિમ અને પ્રવેશ પરીક્ષાઓમાં તેમાંથી મોટાભાગની બહુમતી ચાર સૂચિબદ્ધ પ્રકારોમાંથી એકની છે, જેને આ કારણોસર મૂળભૂત કહેવામાં આવે છે.

પેરામીટર સાથેની સમસ્યાઓનો સૌથી વ્યાપક વર્ગ એક અજાણ્યા અને એક પરિમાણ સાથેની સમસ્યાઓ છે. આગળનો ફકરો આ ચોક્કસ વર્ગની સમસ્યાઓ હલ કરવાની મુખ્ય રીતો સૂચવે છે.

પરિમાણ સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ

પદ્ધતિ I(વિશ્લેષણાત્મક). આ કહેવાતા ડાયરેક્ટ સોલ્યુશનની એક પદ્ધતિ છે, જે પેરામીટર વિના સમસ્યાઓમાં જવાબ શોધવા માટે માનક પ્રક્રિયાઓનું પુનરાવર્તન કરે છે. કેટલીકવાર તેઓ કહે છે કે આ બળપૂર્વકની પદ્ધતિ છે, સારા અર્થમાં, "ઘમંડી" ઉકેલ.

પદ્ધતિ II(ગ્રાફિક). કાર્ય પર આધાર રાખીને (ચલ સાથે xઅને પરિમાણ a) આલેખ ગણવામાં આવે છે અથવા સંકલન સમતલમાં ( x; y), અથવા કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં ( x; a).

ટિપ્પણી. પરિમાણ સાથે સમસ્યાઓ હલ કરવાની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિની અસાધારણ સ્પષ્ટતા અને સુંદરતા "પેરામીટર સાથેની સમસ્યાઓ" વિષયના વિદ્યાર્થીઓને એટલી મોહિત કરે છે કે તેઓ જાણીતી હકીકતને ભૂલીને, ઉકેલની અન્ય પદ્ધતિઓને અવગણવાનું શરૂ કરે છે: કોઈપણ વર્ગની સમસ્યાઓ માટે , તેમના લેખકો એક એવી રચના કરી શકે છે જે આ રીતે અને અન્ય રીતે પ્રચંડ મુશ્કેલીઓ સાથે તેજસ્વી રીતે હલ થાય છે. તેથી, અભ્યાસના પ્રારંભિક તબક્કે, પરિમાણ સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ગ્રાફિકલ તકનીકોથી પ્રારંભ કરવું જોખમી છે.

પદ્ધતિ III(પેરામીટર સંબંધિત નિર્ણય). આ રીતે હલ કરતી વખતે, ચલો xઅને aસમાન તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે અને ચલ કે જેના સંદર્ભમાં વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલ સરળ માનવામાં આવે છે તે પસંદ કરવામાં આવે છે. કુદરતી સરળીકરણ પછી, અમે ચલોના મૂળ અર્થ પર પાછા આવીએ છીએ xઅને aઅને ઉકેલ સમાપ્ત કરો.

ચાલો હવે પરિમાણ સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની આ પદ્ધતિઓ દર્શાવવા તરફ આગળ વધીએ.

1. રેખીય સમીકરણો અને પરિમાણો સાથે અસમાનતા

રેખીય કાર્ય: – ઢાળ ગુણાંક સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ . કોણીય ગુણાંક એ ધરીની સકારાત્મક દિશા તરફ સીધી રેખાના ઝોકના ખૂણાના સ્પર્શક સમાન છે .

ફોર્મના પરિમાણો સાથે રેખીય સમીકરણો

જો , સમીકરણ છે એકમાત્ર વસ્તુ ઉકેલ

જો , તે સમીકરણ કોઈ ઉકેલ નથી, જ્યારે , અને સમીકરણ છે અનંત ઘણા ઉકેલો, જ્યારે .

ઉદાહરણ 1.સમીકરણ ઉકેલો | x | = a .

ઉકેલ:

a > 0, => x 1.2 = ± a

a = 0, => x = 0

a < 0, =>ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી.

જવાબ: x 1.2 = ± aખાતે a > 0; x= 0 ખાતે a= 0; માટે કોઈ ઉકેલો નથી a < 0.

ઉદાહરણ 2.સમીકરણ ઉકેલો |3 – x | = a .

ઉકેલ:

a > 0, => 3 – x = ± a , => x= 3 ± a

a = 0, => 3 – x = 0. => x = 3

a < 0, =>ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી.

જવાબ: x 1.2 = 3 ± aખાતે a > 0; x= 3 વાગ્યે a= 0; માટે કોઈ ઉકેલો નથી a < 0.

ઉદાહરણ 3.સમીકરણ ઉકેલો m ² x – m = x + 1.

ઉકેલ:

m ² x – m = x + 1

m ² x – x = m + 1

(m² – 1)x = m + 1

જવાબ:
ખાતે m ≠ ± 1; x Є આરખાતે m= –1; માટે કોઈ ઉકેલો નથી m = 1.

ઉદાહરણ 4. એસમીકરણ ઉકેલો: ( a 2 – 4) x = a + 2 .

ઉકેલ:ચાલો ગુણાંકને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ. .

જો , સમીકરણ છે એકમાત્ર વસ્તુ ઉકેલ: .

જો , સમીકરણ કોઈ ઉકેલ નથી.

જો , પછી સમીકરણ છે અનંત ઘણા ઉકેલો .

ઉદાહરણ 6.બધા પરિમાણ મૂલ્યો માટે a સમીકરણ ઉકેલો:
.

ઉકેલ: ODZ: . આ સ્થિતિ હેઠળ, સમીકરણ નીચેના સમકક્ષ છે: . ચાલો તપાસીએ કે તમે ODZ થી સંબંધિત છો કે નહીં: , જો . જો , પછી સમીકરણ કોઈ ઉકેલ નથી.

ઉદાહરણ 7.બધા પરિમાણ મૂલ્યો માટે એસમીકરણ ઉકેલો: | એક્સ + 3| – a | x – 1| = 4.

ઉકેલ:ચાલો સંખ્યા રેખાને પોઈન્ટ દ્વારા 3 ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ કે જેના પર મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળના અભિવ્યક્તિઓ અદૃશ્ય થઈ જાય છે અને 3 સિસ્ટમો ઉકેલે છે:

1) , જો . જો ઉકેલ મળી જશે .

2) , જો . જે મળે છે તે જરૂરી અસમાનતાને સંતોષે છે, તેથી તેનો ઉકેલ છે . જો , પછી ઉકેલ કોઈપણ છે .

3) , જો . મળી નથીજરૂરી અસમાનતાને સંતોષે છે, તેથી, નથીજ્યારે ઉકેલ છે . જો , પછી ઉકેલ કોઈપણ x > 1 છે.

જવાબ: ખાતે; ખાતે ;

n ri ; બધા માટે એક ઉકેલ પણ છે .

ઉદાહરણ 8.બધા શોધો એ, જેમાંથી દરેક માટે ઓછામાં ઓછું એક સમીકરણ 15 ના ઉકેલો છે x – 7a = 2 – 3કુહાડી + 6a ઓછું 2 .

ઉકેલ:ચાલો દરેક માટે સમીકરણના ઉકેલો શોધીએ . , જો . ચાલો અસમાનતાને હલ કરીએ: .

જ્યારે સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

જવાબ આપો : એÎ (–5 , 4) .

પરિમાણો સાથે રેખીય અસમાનતા

ઉદાહરણ તરીકે: અસમાનતા ઉકેલો: kx < b .

જો k> 0, પછી
. જો k < 0, то
. જો k= 0, પછી ક્યારે b> 0 ઉકેલ કોઈપણ છે x Є આર, અને ક્યારે
ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી.

બૉક્સમાં બાકીની અસમાનતાઓને તે જ રીતે ઉકેલો.

ઉદાહરણ 1.પરિમાણ a ના તમામ મૂલ્યો માટે, અસમાનતા ઉકેલો
.

ઉકેલ:

. જો કૌંસ પહેલા હોય xહકારાત્મક છે, એટલે કે. ખાતે
, તે
. જો કૌંસ પહેલા હોય xનકારાત્મક, એટલે કે ખાતે
, તે
. જો a= 0 અથવા a = , પછી કોઈ ઉકેલો નથી.

જવાબ:
ખાતે
;
ખાતે
;

માટે કોઈ ઉકેલો નથી a= 0 અથવા a = .

ઉદાહરણ 2. બધા પરિમાણ મૂલ્યો માટે એઅસમાનતા ઉકેલો | એક્સ– એ | – | x + a| < 2a .

ઉકેલ:

મુ a=0 આપણી પાસે ખોટી અસમાનતા 0 છે< 0, т.е. решений нет. Пусть a >0, પછી x પર< –aબંને મોડ્યુલો માઈનસ સાથે વિસ્તૃત થાય છે અને આપણને ખોટી અસમાનતા 2 મળે છે a < 2a, એટલે કે ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી. જો x Є [– a ; a] , પછી પ્રથમ મોડ્યુલ માઈનસ સાથે અને બીજું વત્તા સાથે ખુલે છે અને આપણને અસમાનતા મળે છે -2 x < 2a, એટલે કે x > –a, એટલે કે, ઉકેલ કોઈપણ છે x Є (– a ; a]. જો x > aબંને મોડ્યુલ વત્તા સાથે ખુલે છે અને આપણને સાચી અસમાનતા -2 મળે છે a < 2a, એટલે કે , ઉકેલ કોઈપણ છે x Є ( a; +∞). બંને જવાબોને જોડીને, અમને તે મળે છે જ્યારે a > 0 x Є (– a ; +∞).

દો a < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2a. આમ, સાથે a < 0 решений нет.

જવાબ: x Є (– a; +∞) ખાતે a> 0, માટે કોઈ ઉકેલો નથી
.

ટિપ્પણી.જો તમે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર તરીકે બે સંખ્યાઓના તફાવતના મોડ્યુલસના ભૌમિતિક અર્થઘટનનો ઉપયોગ કરો છો તો આ સમસ્યાનો ઉકેલ ઝડપી અને સરળ છે. પછી ડાબી બાજુની અભિવ્યક્તિને બિંદુથી અંતરના તફાવત તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે એક્સપોઈન્ટ સુધી એઅને - એ .

ઉદાહરણ 3.બધા શોધો એ, જેમાંના દરેક માટે અસમાનતાના તમામ ઉકેલો
અસમાનતાને સંતોષો 2 x – a² + 5< 0.

ઉકેલ:

અસમાનતાનો ઉકેલ |x | ≤ 2 એ સમૂહ છે એ=[–2; 2], અને અસમાનતાનો ઉકેલ 2 x – a² + 5< 0 является множество બી = (–∞;
). સમસ્યાની શરતોને સંતોષવા માટે, સમૂહ A સમૂહ B () માં સમાવવામાં આવે તે જરૂરી છે. આ સ્થિતિ સંતોષવામાં આવશે જો અને માત્ર જો.

જવાબ: a Є (–∞; –3)U (3; +∞).

ઉદાહરણ 4. a ના બધા મૂલ્યો શોધો જેના માટે અસમાનતા છે
દરેક માટે ચાલે છે xસેગમેન્ટમાંથી.

ઉકેલ:

મૂળ વચ્ચેનો અપૂર્ણાંક શૂન્ય કરતાં ઓછો છે, તેથી તમારે એ શોધવાની જરૂર છે કે કયું મૂળ મોટું છે.

–3a + 2 < 2a + 4
અને -3 a + 2 > 2a + 4
. આમ, સાથે
xЄ (-3 a + 2; 2a+ 4) અને સેગમેન્ટમાંથી તમામ x માટે અસમાનતા રાખવા માટે, તે જરૂરી છે

મુ
xЄ (2 a + 4; –3a+ 2) અને જેથી અસમાનતા બધા માટે રહે xસેગમેન્ટમાંથી, તે જરૂરી છે કે

જ્યારે a = – (જ્યારે મૂળ એકરૂપ થાય છે) ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી, કારણ કે આ કિસ્સામાં અસમાનતા સ્વરૂપ લે છે: .

જવાબ:
.

ઉદાહરણ 5. એઅસમાનતા તમામ નકારાત્મક મૂલ્યો માટે માન્ય છે એક્સ?

ઉકેલ:

પર ગુણાંક હોય તો કાર્ય એકવિધ રીતે વધે છે x બિન-નકારાત્મક, અને જો ગુણાંક પર હોય તો તે એકવિધ રીતે ઘટે છે xનકારાત્મક

ચાલો પર ગુણાંકનું ચિહ્ન શોધી કાઢીએ

a ≤ –3,

a ≥ 1; (a² + 2 a – 3) < 0 <=> –3 < a < 1.

a ≤ –3,

દો a≥ 1. પછી કાર્ય f (x ) એકવિધ રીતે ઘટતું નથી, અને સમસ્યાની સ્થિતિ સંતુષ્ટ થશે જો f (x ) ≤ 0 <=> 3a ² – a – 14 ≤ 0 <=>
.

a ≤ –3,

શરતો સાથે a≥ 1; અમને મળે છે:

ચાલો -3< a < 1. Тогда функция f (x ) એકવિધ રીતે ઘટે છે, અને સમસ્યાની સ્થિતિ ક્યારેય સંતુષ્ટ થઈ શકતી નથી.

જવાબ આપો:
.

2. ચતુર્ભુજ સમીકરણો અને પરિમાણો સાથે અસમાનતા

ચતુર્ભુજ કાર્ય:
.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં, નીચેની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1. કયા મૂલ્યો પર a સમીકરણx ² – કુહાડી + 1 = 0 કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી?

ઉકેલ:

x ² – કુહાડી + 1 = 0

ડી = a ² – 4 1 =a ² – 4

a ² – 4< 0 + – +

( a – 2)( a + 2) < 0 –2 2

જવાબ આપો: ખાતેa Є (–2; 2)

ઉદાહરણ 2.a ના કયા મૂલ્યો માટે સમીકરણ કરે છે એ (એક્સ ² – એક્સ + 1) = 3 એક્સ + 5 બે અલગ અલગ વાસ્તવિક મૂળ છે?

ઉકેલ:

એ (એક્સ ² – એક્સ + 1) = 3 એક્સ + 5, એ ≠ 0

ઓહ ² – આહ+ એ – 3 એક્સ – 5 = 0

ઓહ ² – ( એ + 3) એક્સ + એ – 5 = 0

ડી = ( a +3)² – 4a ( a – 5) = a ² +6a + 9 – 4 a ² + 20a = –3 a ² + 26a + 9

–3 a ² + 26 a + 9 > 0

3 a ² – 26a – 9 < 0

ડી = 26² – 4 3 (–9) = 784

a 1 =
; a 2 =
+ – +

0 9

જવાબ:ખાતેaЄ (–1/3; 0)યુ (0; 9)

ઉદાહરણ 3: સમીકરણ ઉકેલો
.

ઉકેલ:

ODZ: x ≠1, x ≠ a

x – 1 + x – a = 2, 2 x = 3 + a ,

1)
; 3 + a ≠ 2; a ≠ –1

2)
; 3 + a ≠ 2 a ; a ≠ 3

જવાબ:
ખાતેa Є (–∞; –1)યુ (–1; 3) યુ (3; +∞);

માટે કોઈ ઉકેલો નથીa = –1; 3.

ઉદાહરણ4 . સમીકરણ ઉકેલો | x ²–2 x –3 | = a .

ઉકેલ:

ચાલો કાર્યો જોઈએ y = | x ²–2 x –3 | અનેy = a .

મુ a < 0 કોઈ ઉકેલો નથી;
ખાતે a = 0 અને a> 4 બે ઉકેલો;
0 પર< a < 4 – четыре решения;
ખાતે a= 4 - ત્રણ ઉકેલો.

જવાબ:

ખાતે a < 0 нет решений;
ખાતે a= 0 અને a> 4 બે ઉકેલો;
0 પર< a < 4 – четыре решения;
ખાતે a= 4 - ત્રણ ઉકેલો.

ઉદાહરણ 5.બધા મૂલ્યો શોધો a , જે દરેક માટે સમીકરણ | x ²–( a +2) x +2 a | = | 3 x –6 |
બરાબર બે મૂળ ધરાવે છે. જો આવા મૂલ્યો a એક કરતાં વધુ, તમારા જવાબમાં તેમનું ઉત્પાદન દર્શાવો.

ઉકેલ:

ચાલો ચતુર્ભુજ ત્રિપદીનો વિસ્તાર કરીએ x ²–( a +2) x +2 a ગુણક દ્વારા.
;
;
;

અમને મળે છે | ( x –2)( x – a ) | = 3 | x –2 |.
આ સમીકરણ સમૂહની સમકક્ષ છે

તેથી, આ સમીકરણમાં બરાબર બે મૂળ છે જો a+ 3 = 2 અને a – 3 = 2.
અહીંથી આપણે શોધીએ છીએ કે ઇચ્છિત મૂલ્યો aછે a 1 = –1; a 2 = 5; a 1 · a 2 = –5.

જવાબ: –5.

ઉદાહરણ 6.બધા મૂલ્યો શોધો a , જેના માટે સમીકરણના મૂળ કુહાડી ² – 2( a + 1) x – a + 5 = 0 હકારાત્મક છે.

ઉકેલ:

ચેકપોઇન્ટ a= 0, કારણ કે સમીકરણના સારને બદલે છે.

1. a = 0 –2x + = 0;

જવાબ: a Є U .

ઉદાહરણ 7.મુશું પરિમાણ મૂલ્યો a સમીકરણ | x ² – 4 x + 3 | = કુહાડી 3 મૂળ ધરાવે છે.

ઉકેલ:

ચાલો ફંક્શન ગ્રાફ બનાવીએ y = | x ² – 4 x + 3 | અને y = કુહાડી .

કાર્ય સેગમેન્ટ પર આલેખાયેલ છે
.
જો ફંક્શનનો આલેખ હોય તો આ સમીકરણમાં ત્રણ મૂળ હશે y = કુહાડીગ્રાફ માટે સ્પર્શક હશે y = x ²+ 4 x – 3 પર
સેગમેન્ટ

સ્પર્શક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે y = f (x 0 ) + f ’(x 0 )(x – x 0 ),



કારણ કે સ્પર્શક સમીકરણ y = a, આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ

કારણ કે x 0 Є ,

જવાબ:ખાતે a = 4 – 2
.

પરિમાણો સાથે ચતુર્ભુજ અસમાનતા

ઉદાહરણ.બધા પરિમાણ મૂલ્યો શોધો a , જેમાંથી દરેક માટે અસમાનતાઓના ઉકેલો વચ્ચે
રેખાખંડ પર એક પણ બિંદુ નથી.

ઉકેલ:

પ્રથમ, ચાલો પરિમાણના તમામ મૂલ્યોની અસમાનતાને હલ કરીએ, અને પછી તે શોધીએ કે જેના માટે ઉકેલો વચ્ચે સેગમેન્ટનો એક પણ બિંદુ નથી. .
દો
, કુહાડી = t ²

t ≥ 0

ચલોના આવા રિપ્લેસમેન્ટ સાથે, અસમાનતાનું ODZ આપોઆપ કરવામાં આવે છે. xદ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે t, જો a≠ 0. તેથી, કેસ જ્યારે a = 0, અમે અલગથી વિચારણા કરીશું.
1.ચાલો a = 0, પછી એક્સ> 0, અને આપેલ સેગમેન્ટ એ ઉકેલ છે.
2.ચાલો a≠ 0, પછી
અને અસમાનતા
ફોર્મ લેશે
,

અસમાનતાનો ઉકેલ મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે a, તેથી આપણે બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લેવા પડશે.
1) જો a>0, પછી
ખાતે
, અથવા જૂના ચલોમાં,

સોલ્યુશનમાં આપેલ સેગમેન્ટનો એક પણ બિંદુ શામેલ નથી જો અને માત્ર જો શરતો પૂરી થાય a ≤ 7,

16a≥ 96. તેથી, a Є .
2). જો એ< 0, то
;
; tЄ (4 a ; a). કારણ કે t≥ 0, પછી કોઈ ઉકેલો નથી.

જવાબ: .

પરિમાણો સાથે અતાર્કિક સમીકરણો

અતાર્કિક સમીકરણો અને અસમાનતાઓને પરિમાણ સાથે હલ કરતી વખતે, સૌ પ્રથમ, સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ. બીજું, જો અસમાનતાની બંને બાજુ બિન-નકારાત્મક અભિવ્યક્તિ હોય, તો અસમાનતાની નિશાની જાળવી રાખીને આવી અસમાનતાને વર્ગીકૃત કરી શકાય છે.
ઘણા કિસ્સાઓમાં, અતાર્કિક સમીકરણો અને અસમાનતાઓ ચલોને બદલ્યા પછી ચતુર્ભુજ સમીકરણોમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1.સમીકરણ ઉકેલો
.

ઉકેલ:

ODZ: x + 1 ≥ 0, x ≥ –1, a ≥ 0.

x + 1 = a ².

જો x = a² – 1, પછી સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે.

જવાબ: x = a² – 1 ખાતે એ≥ 0; માટે કોઈ ઉકેલો નથી a < 0.

ઉદાહરણ 2: સમીકરણ ઉકેલો
.

ઉકેલ:

ODZ: x + 3 ≥ 0, x ≥ –3,

a–x ≥ 0; x ≤ a;

x + 3 = a–x,

2x = a – 3,

<=>
<=>
<=> a ≥ –3.

જવાબ:
ખાતે a≥ -3; માટે કોઈ ઉકેલો નથી a < –3.

ઉદાહરણ 3.સમીકરણ કેટલા મૂળ ધરાવે છે?
પરિમાણ મૂલ્યો પર આધાર રાખીને એ?

ઉકેલ:

સમીકરણના સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી: x Є [–2; 2]

ચાલો ફંક્શનના ગ્રાફ બનાવીએ. પ્રથમ કાર્યનો ગ્રાફ વર્તુળનો ઉપરનો અડધો ભાગ છે x² + y² = 4. બીજા ફંક્શનનો આલેખ એ પ્રથમ અને બીજા સંકલન કોણનો દ્વિભાજક છે. પ્રથમ ફંક્શનના ગ્રાફમાંથી, બીજાના ગ્રાફને બાદ કરો અને ફંક્શનનો ગ્રાફ મેળવો
. જો તમે બદલો ખાતેપર એ, પછી ફંક્શનનો છેલ્લો આલેખ એ મૂળ સમીકરણને સંતોષતા બિંદુઓ (x; a)નો સમૂહ છે.

ગ્રાફ મુજબ આપણે જવાબ જોઈએ છીએ.

જવાબ:ખાતે એЄ (–∞; –2) U (1; +∞), કોઈ મૂળ નથી;

ખાતે એЄ [–2; 2), બે મૂળ;

ખાતે એ= 1, એક મૂળ.

ઉદાહરણ 4.કયા પરિમાણ મૂલ્યો પર એસમીકરણ
એક જ ઉકેલ છે?

ઉકેલ:

પદ્ધતિ 1 (વિશ્લેષણાત્મક):

જવાબ:

પદ્ધતિ 2 (ગ્રાફિકલ):

જવાબ:≥ -2 માટે સમીકરણ અનન્ય ઉકેલ ધરાવે છે

ઉદાહરણ 5.પરિમાણ a ના કયા મૂલ્યો માટે સમીકરણ = 2 + x એક અનન્ય ઉકેલ ધરાવે છે.

ઉકેલ:

ચાલો આ સમીકરણના ઉકેલના ગ્રાફિકલ સંસ્કરણને ધ્યાનમાં લઈએ, એટલે કે, આપણે બે કાર્યો બનાવીશું:
ખાતે 1 = 2 + એક્સઅને ખાતે 2 =

પ્રથમ કાર્ય રેખીય છે અને બિંદુઓ (0; 2) અને (–2; 0)માંથી પસાર થાય છે.
બીજા ફંક્શનના ગ્રાફમાં એક પરિમાણ છે. ચાલો પહેલા આ ફંક્શનના ગ્રાફ પર વિચાર કરીએ એ= 0 (ફિગ. 1). પરિમાણ મૂલ્ય બદલતી વખતે, ગ્રાફ અક્ષ સાથે આગળ વધશે ઓહડાબી બાજુના અનુરૂપ મૂલ્ય દ્વારા (ધન માટે એ) અથવા જમણી બાજુએ (નકારાત્મક માટે એ) (ફિગ. 2)

આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ક્યારે એ < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

જવાબ:ખાતે a≥ -2 સમીકરણ એક અનન્ય ઉકેલ ધરાવે છે.

પરિમાણો સાથે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો.

ઉદાહરણ 1.સમીકરણ ઉકેલો પાપ (– x + 2 x – 1) = b + 1.

ઉકેલ:

કાર્યની વિચિત્રતાને જોતાં
, અમે આ સમીકરણને સમકક્ષ સુધી ઘટાડીએ છીએ
.

1. b = –1

3. b =–2

4. | b + 1| > 1

ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી.

5. bЄ(–1; 0)

6. bЄ(–2; -1)

ઉદાહરણ 2.પેરામીટર p ના તમામ મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણ છે
કોઈ ઉકેલ નથી.

ઉકેલ:

ચાલો cos 2 વ્યક્ત કરીએ xદ્વારા sinx.

દો
પછી કાર્ય બધા મૂલ્યો શોધવા માટે ઘટાડવામાં આવ્યું હતું પી, જેના માટે સમીકરણમાં [–1 પર કોઈ ઉકેલો નથી; 1]. સમીકરણ અલ્ગોરિધમિક રીતે હલ કરી શકાતું નથી, તેથી અમે ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યા હલ કરીશું. ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ લખીએ, અને હવે ડાબી બાજુના ગ્રાફનો સ્કેચ.
બિલ્ડ કરવા માટે સરળ.
જો સીધી રેખા હોય તો સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી y = પી+ 9 અંતરાલ પરના ગ્રાફને છેદતું નથી [–1; 1], એટલે કે.

જવાબ:પી Є (–∞; –9) U (17; +∞).

પરિમાણો સાથે સમીકરણોની સિસ્ટમો

પરિમાણો સાથે બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો

સમીકરણોની સિસ્ટમ

બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલો એ બે સીધી રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓ છે: અને .

ત્યાં 3 સંભવિત કેસ છે:

1. રેખાઓ સમાંતર નથી . પછી તેમના સામાન્ય વેક્ટર સમાંતર નથી, એટલે કે. . આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમ ધરાવે છે એકમાત્ર ઉકેલ.

2. રેખાઓ સમાંતર છે અને એકરૂપ થતી નથી.પછી તેમના સામાન્ય વેક્ટર સમાંતર હોય છે, પરંતુ પાળી અલગ હોય છે, એટલે કે. .

આ કિસ્સામાં સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી .

3. સીધી રેખાઓ એકરૂપ થાય છે.પછી તેમના સામાન્ય વેક્ટર સમાંતર હોય છે અને પાળી એકરૂપ થાય છે, એટલે કે. . આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમ ધરાવે છે અનંત ઘણા ઉકેલો -રેખાના તમામ બિંદુઓ .

MBOU માધ્યમિક શાળા નંબર 9 માં ગણિતના શિક્ષકના GMO પર અહેવાલ

મોલ્ચાનોવા એલેના વ્લાદિમીરોવના

"ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી: પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ."

શાળાના પાઠ્યપુસ્તકોમાં પરિમાણની કોઈ વ્યાખ્યા ન હોવાથી, હું નીચેના સરળ સંસ્કરણને આધાર તરીકે લેવાનો પ્રસ્તાવ મૂકું છું.

વ્યાખ્યા . પરિમાણ એ એક સ્વતંત્ર ચલ છે, જેનું મૂલ્ય સમસ્યામાં આપેલ નિશ્ચિત અથવા મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યા અથવા પૂર્વનિર્ધારિત સમૂહની સંખ્યા તરીકે ગણવામાં આવે છે.

"પેરામીટર સાથે સમસ્યા હલ કરવાનો" અર્થ શું છે?

સ્વાભાવિક રીતે, આ સમસ્યાના પ્રશ્ન પર આધાર રાખે છે. જો, ઉદાહરણ તરીકે, કોઈ સમીકરણ, અસમાનતા, કોઈ સિસ્ટમ અથવા તેનો સમૂહ હલ કરવો જરૂરી છે, તો તેનો અર્થ એ છે કે પરિમાણના કોઈપણ મૂલ્ય માટે અથવા પૂર્વનિર્ધારિત સમૂહ સાથે જોડાયેલા પરિમાણના મૂલ્ય માટે તર્કબદ્ધ જવાબ રજૂ કરવો. .

જો તમારે પેરામીટર મૂલ્યો શોધવાની જરૂર હોય કે જેના માટે સમીકરણ, અસમાનતા, વગેરેના ઉકેલોનો સમૂહ જાહેર કરેલી સ્થિતિને સંતોષે છે, તો દેખીતી રીતે, સમસ્યાના ઉકેલમાં ઉલ્લેખિત પરિમાણ મૂલ્યો શોધવાનો સમાવેશ થાય છે.

નીચેના પૃષ્ઠો પર સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો વાંચ્યા પછી વાચક પેરામીટર વડે સમસ્યા ઉકેલવાનો અર્થ શું છે તેની વધુ પારદર્શક સમજ વિકસાવશે.

પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓના મુખ્ય પ્રકારો શું છે?

પ્રકાર 1. સમીકરણો, અસમાનતાઓ, તેમની સિસ્ટમો અને સેટ કે જે કાં તો પેરામીટર (પેરામીટર્સ) ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે અથવા પૂર્વનિર્ધારિત સમૂહ સાથે સંબંધિત પરિમાણ મૂલ્યો માટે ઉકેલવા જોઈએ.

"પરિમાણો સાથેની સમસ્યાઓ" વિષયમાં નિપુણતા પ્રાપ્ત કરતી વખતે આ પ્રકારની સમસ્યા મૂળભૂત છે, કારણ કે રોકાણ કરેલ કાર્ય અન્ય તમામ મૂળભૂત પ્રકારની સમસ્યાઓ હલ કરવામાં સફળતા પૂર્વનિર્ધારિત કરે છે.

પ્રકાર 2. સમીકરણો, અસમાનતાઓ, તેમની સિસ્ટમો અને સેટ, જેના માટે પેરામીટર (પરિમાણો) ના મૂલ્યના આધારે ઉકેલોની સંખ્યા નક્કી કરવી જરૂરી છે.

હું એ હકીકત તરફ તમારું ધ્યાન દોરું છું કે આ પ્રકારની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આપેલ સમીકરણો, અસમાનતાઓ, તેમની સિસ્ટમો અને સંયોજનો વગેરેને હલ કરવાની અથવા આ ઉકેલો પ્રદાન કરવાની જરૂર નથી; મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, આવા બિનજરૂરી કાર્ય એ વ્યૂહાત્મક ભૂલ છે જે સમયનો બિનજરૂરી બગાડ તરફ દોરી જાય છે. જો કે, કોઈએ આને નિરપેક્ષ બનાવવું જોઈએ નહીં, કારણ કે કેટલીકવાર પ્રકાર 1 અનુસાર સીધો ઉકેલ એ પ્રકાર 2 ની સમસ્યા હલ કરતી વખતે જવાબ મેળવવાનો એકમાત્ર વાજબી રસ્તો છે.

પ્રકાર 3. સમીકરણો, અસમાનતાઓ, તેમની પ્રણાલીઓ અને સંગ્રહો, જેના માટે તે તમામ પરિમાણ મૂલ્યો શોધવાની જરૂર છે જેના માટે નિર્દિષ્ટ સમીકરણો, અસમાનતાઓ, તેમની સિસ્ટમો અને સંગ્રહોમાં આપેલ સંખ્યાબંધ ઉકેલો છે (ખાસ કરીને, તેમની પાસે નથી અથવા નથી. ઉકેલોની અસંખ્ય સંખ્યા).

તે જોવાનું સરળ છે કે પ્રકાર 3 ની સમસ્યાઓ અમુક અર્થમાં પ્રકાર 2 ની સમસ્યાઓના વિપરીત છે.

પ્રકાર 4. સમીકરણો, અસમાનતાઓ, તેમની સિસ્ટમો અને સમૂહો, જેના માટે, પરિમાણના આવશ્યક મૂલ્યો માટે, ઉકેલોનો સમૂહ વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં નિર્દિષ્ટ શરતોને સંતોષે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, પરિમાણ મૂલ્યો શોધો કે જેના પર:

1) આપેલ અંતરાલમાંથી ચલના કોઈપણ મૂલ્ય માટે સમીકરણ સંતુષ્ટ છે;
2) પ્રથમ સમીકરણના ઉકેલોનો સમૂહ એ બીજા સમીકરણ વગેરેના ઉકેલોના સમૂહનો સબસેટ છે.

ટિપ્પણી. પરિમાણ સાથેની વિવિધ સમસ્યાઓ શાળાના ગણિતના સમગ્ર અભ્યાસક્રમ (બીજગણિત અને ભૂમિતિ બંને) ને આવરી લે છે, પરંતુ અંતિમ અને પ્રવેશ પરીક્ષાઓમાં તેમાંથી મોટાભાગની બહુમતી ચાર સૂચિબદ્ધ પ્રકારોમાંથી એકની છે, જેને આ કારણોસર મૂળભૂત કહેવામાં આવે છે.

પેરામીટર સાથેની સમસ્યાઓનો સૌથી વ્યાપક વર્ગ એક અજાણ્યા અને એક પરિમાણ સાથેની સમસ્યાઓ છે. આગળનો ફકરો આ ચોક્કસ વર્ગની સમસ્યાઓ હલ કરવાની મુખ્ય રીતો સૂચવે છે.

પરિમાણ સાથે સમસ્યાઓ હલ કરવાની મુખ્ય રીતો (પદ્ધતિઓ) શું છે?

પદ્ધતિ I (વિશ્લેષણાત્મક). આ કહેવાતા ડાયરેક્ટ સોલ્યુશનની એક પદ્ધતિ છે, જે પેરામીટર વિના સમસ્યાઓમાં જવાબ શોધવા માટે માનક પ્રક્રિયાઓનું પુનરાવર્તન કરે છે. કેટલીકવાર તેઓ કહે છે કે આ એક બળવાન પદ્ધતિ છે, સારા અર્થમાં, "ઘમંડી" ઉકેલ.

ટિપ્પણી. પરિમાણ સાથે સમસ્યાઓ હલ કરવાની વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ એ સૌથી મુશ્કેલ પદ્ધતિ છે, જેમાં ઉચ્ચ સાક્ષરતા અને તેને માસ્ટર કરવા માટેના સૌથી મોટા પ્રયત્નોની જરૂર છે.

પદ્ધતિ II (ગ્રાફિક). કાર્ય પર આધાર રાખીને (ચલ x અને પરિમાણ સાથેa ) આલેખ કાં તો કોઓર્ડિનેટ પ્લેન (x; y) અથવા કોઓર્ડિનેટ પ્લેન (x;a ).

ટિપ્પણી. પરિમાણ સાથે સમસ્યાઓ હલ કરવાની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિની અસાધારણ સ્પષ્ટતા અને સુંદરતા "પેરામીટર સાથેની સમસ્યાઓ" વિષયના વિદ્યાર્થીઓને એટલી મોહિત કરે છે કે તેઓ જાણીતી હકીકતને ભૂલીને, ઉકેલની અન્ય પદ્ધતિઓને અવગણવાનું શરૂ કરે છે: કોઈપણ વર્ગની સમસ્યાઓ માટે , તેમના લેખકો એક એવી રચના કરી શકે છે જે આ રીતે અને અન્ય રીતે પ્રચંડ મુશ્કેલીઓ સાથે તેજસ્વી રીતે હલ થાય છે. તેથી, અભ્યાસના પ્રારંભિક તબક્કે, પરિમાણ સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ગ્રાફિકલ તકનીકોથી પ્રારંભ કરવું જોખમી છે.

પદ્ધતિ III (પેરામીટર સંબંધિત નિર્ણય). આ રીતે ઉકેલતી વખતે, x અને a ચલોને સમાન માનવામાં આવે છે, અને વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલને સરળ ગણવામાં આવે છે તે સંદર્ભમાં ચલ પસંદ કરવામાં આવે છે. કુદરતી સરળીકરણો પછી, અમે x અને a ચલોના મૂળ અર્થ પર પાછા આવીએ છીએ અને ઉકેલને પૂર્ણ કરીએ છીએ.

હવે હું પરિમાણ સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની આ પદ્ધતિઓનું નિદર્શન કરવા આગળ વધીશ, કારણ કે આ પ્રકારની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની આ મારી પ્રિય પદ્ધતિ છે.

ગ્રાફિકલી હલ કરેલા પરિમાણો સાથેના તમામ કાર્યોનું વિશ્લેષણ કર્યા પછી, હું યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા B7 2002 ના કાર્યો સાથેના પરિમાણો સાથે મારી ઓળખાણ શરૂ કરું છું:

મુ 45x - 3x સમીકરણ માટે પૂર્ણાંક મૂલ્ય શું છે 2 - એક્સ 3 + 3k = 0 બરાબર બે મૂળ ધરાવે છે?

આ કાર્યો, પ્રથમ, ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને ગ્રાફ કેવી રીતે બનાવવો તે યાદ રાખવાની મંજૂરી આપે છે, અને બીજું, સીધી રેખા y = k નો અર્થ સમજાવવા માટે.

અનુગામી વર્ગોમાં, હું યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી માટેના પરિમાણો, મોડ્યુલ સાથેના સમીકરણો સાથેની સરળ અને મધ્યમ-સ્તરની સ્પર્ધાત્મક સમસ્યાઓની પસંદગીનો ઉપયોગ કરું છું. આ કાર્યોની ભલામણ ગણિતના શિક્ષકોને મોડ્યુલ ચિહ્ન હેઠળ બંધ કરેલ પરિમાણ સાથે કામ કરવાનું શીખવા માટેની કસરતોના પ્રારંભિક સમૂહ તરીકે કરી શકાય છે. મોટાભાગની સંખ્યાઓ ગ્રાફિકલી ઉકેલવામાં આવે છે અને શિક્ષકને એક મજબૂત વિદ્યાર્થી સાથે તૈયાર પાઠ યોજના (અથવા બે પાઠ) પ્રદાન કરે છે. વાસ્તવિક C5 નંબરોની જટિલતાની નજીકની કસરતોનો ઉપયોગ કરીને ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા માટેની પ્રારંભિક તૈયારી. ઘણા પ્રસ્તાવિત કાર્યો યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2009ની તૈયારી માટેની સામગ્રીમાંથી લેવામાં આવ્યા છે અને કેટલાક સાથીદારોના અનુભવમાંથી ઇન્ટરનેટ પરથી લેવામાં આવ્યા છે.

1) બધા પરિમાણ મૂલ્યોનો ઉલ્લેખ કરોપી , જેના માટે સમીકરણ 4 મૂળ છે?
જવાબ:

2) પરિમાણના કયા મૂલ્યો પરએ સમીકરણ કોઈ ઉકેલ નથી?
જવાબ:

3) a ના બધા મૂલ્યો શોધો, જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ બરાબર 3 મૂળ છે?
જવાબ: a=2

4) કયા પરિમાણ મૂલ્યો પરb સમીકરણ એક જ ઉકેલ છે? જવાબ:

5) બધા મૂલ્યો શોધોm , જેના માટે સમીકરણ કોઈ ઉકેલ નથી.
જવાબ:

6) a ના બધા મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણ છે બરાબર 3 જુદા જુદા મૂળ ધરાવે છે. (જો a ની એક કરતાં વધુ કિંમત હોય, તો તમારા જવાબમાં તેમનો સરવાળો લખો.)

જવાબ: 3

7) કયા મૂલ્યો પરb સમીકરણ બરાબર 2 ઉકેલો છે?
જવાબ:

8) આ પરિમાણો સ્પષ્ટ કરોk , જેના માટે સમીકરણ ઓછામાં ઓછા બે ઉકેલો છે.
જવાબ:

9) કયા પરિમાણ મૂલ્યો પરપી સમીકરણ એક જ ઉપાય છે?
જવાબ:

10) a ના તમામ મૂલ્યો શોધો, જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ (x + 1)બરાબર 2 મૂળ છે? જો a ની ઘણી કિંમતો હોય, તો જવાબમાં તેમનો સરવાળો લખો.

જવાબ:- 3

11) a ના બધા મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણ છે બરાબર 3 મૂળ છે? (જો a ની એક કરતાં વધુ કિંમત હોય, તો જવાબમાં તેમનો સરવાળો લખો).

જવાબ: 4

12) પરિમાણ a નું સૌથી નાનું કુદરતી મૂલ્ય એ સમીકરણ છે – = 11 માત્ર હકારાત્મક મૂળ ધરાવે છે?

જવાબ: 19

13) a ના બધા મૂલ્યો શોધો, જેમાંના દરેક સમીકરણ માટે = 1 બરાબર 3 મૂળ ધરાવે છે? (જો a ની એક કરતાં વધુ કિંમત હોય, તો તમારા જવાબમાં તેમનો સરવાળો લખો).

જવાબ:- 3

14) નીચેના પરિમાણ મૂલ્યો સ્પષ્ટ કરોt , જેના માટે સમીકરણ 4 વિવિધ ઉકેલો છે. જવાબ:

15) આ પરિમાણો શોધોm , જેના માટે સમીકરણ બે અલગ અલગ ઉકેલો છે. જવાબ:

16) પરિમાણના કયા મૂલ્યો પરપી સમીકરણ બરાબર 3 એક્સ્ટ્રીમા છે? જવાબ:

17) તમામ સંભવિત પરિમાણો n સૂચવો કે જેના માટે કાર્ય બરાબર એક ન્યૂનતમ બિંદુ છે. જવાબ:

પ્રકાશિત સમૂહનો નિયમિતપણે મારા દ્વારા સક્ષમ સાથે કામ કરવા માટે ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, પરંતુ સૌથી મજબૂત વિદ્યાર્થી નથી, જે તેમ છતાં નંબર C5 ઉકેલીને ઉચ્ચ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સ્કોર મેળવવાની ઇચ્છા રાખે છે. શિક્ષક આવા વિદ્યાર્થીને ઘણા તબક્કામાં તૈયાર કરે છે, લાંબા ગાળાના ઉકેલો શોધવા અને અમલ કરવા માટે જરૂરી વ્યક્તિગત કૌશલ્યોને તાલીમ આપવા માટે અલગ પાઠ ફાળવે છે. આ પસંદગી પેરામીટરના આધારે ફ્લોટિંગ પેટર્ન વિશે વિચારો બનાવવાના તબક્કા માટે યોગ્ય છે. 16 અને 17 નંબરો યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2011 ના પરિમાણ સાથેના વાસ્તવિક સમીકરણના મોડેલ પર આધારિત છે. વધતી મુશ્કેલીના ક્રમમાં કાર્યો ગોઠવાય છે.

ગણિતની યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2012 માં અસાઇનમેન્ટ C5

અહીં આપણી પાસે પરંપરાગત પરિમાણની સમસ્યા છે જેના માટે સામગ્રીની મધ્યમ નિપુણતા અને કેટલાક ગુણધર્મો અને પ્રમેયના ઉપયોગની જરૂર છે. ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં આ કાર્ય સૌથી મુશ્કેલ કાર્યોમાંનું એક છે. તે મુખ્યત્વે તે લોકો માટે રચાયેલ છે જેઓ અરજદારોની ગાણિતિક તૈયારી માટે વધેલી આવશ્યકતાઓ સાથે યુનિવર્સિટીઓમાં તેમનું શિક્ષણ ચાલુ રાખવાનો ઇરાદો ધરાવે છે. સમસ્યાનો સફળતાપૂર્વક ઉકેલ લાવવા માટે, અભ્યાસ કરેલ વ્યાખ્યાઓ, ગુણધર્મો, પ્રમેય સાથે મુક્તપણે કાર્ય કરવું, તેને વિવિધ પરિસ્થિતિઓમાં લાગુ કરવું, સ્થિતિનું વિશ્લેષણ કરવું અને સંભવિત ઉકેલો શોધવાનું મહત્વપૂર્ણ છે.

એલેક્ઝાન્ડર લેરીનની યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારીની વેબસાઈટ પર, 05/11/2012 થી, તાલીમ વિકલ્પો નંબર 1 - 22 સ્તર "C" પરના કાર્યો સાથે ઓફર કરવામાં આવ્યા હતા, તેમાંના કેટલાક C5 વાસ્તવિક કાર્યો જેવા જ હતા. પરીક્ષા ઉદાહરણ તરીકે, પરિમાણ a ના તમામ મૂલ્યો શોધો, જેમાંના દરેક માટે ફંક્શનના ગ્રાફf(x) = અનેg(x) = a(x + 5) + 2 પાસે કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી?

ચાલો 2012 ની પરીક્ષામાંથી કાર્ય C5 નો ઉકેલ જોઈએ.

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2012 માંથી કાર્ય C5

પરિમાણના કયા મૂલ્યો માટે a સમીકરણ કરે છે ઓછામાં ઓછા બે મૂળ ધરાવે છે.

ચાલો આ સમસ્યાને ગ્રાફિકલી હલ કરીએ. ચાલો સમીકરણની ડાબી બાજુએ કાવતરું કરીએ: અને જમણી બાજુનો ગ્રાફ:અને સમસ્યાનો પ્રશ્ન નીચે પ્રમાણે ઘડવો: પરિમાણ a ના કયા મૂલ્યો પર ફંક્શનના ગ્રાફ છે અનેબે અથવા વધુ પોઈન્ટમાં સમાનતા છે.

મૂળ સમીકરણની ડાબી બાજુએ કોઈ પરિમાણ નથી, તેથી આપણે કાર્યને પ્લોટ કરી શકીએ છીએ.

અમે આ ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને બનાવીશું કાર્યો:

1. ફંક્શનનો ગ્રાફ શિફ્ટ કરોOY અક્ષ સાથે 3 એકમો નીચે, આપણને ફંક્શનનો ગ્રાફ મળે છે:

2. ચાલો ફંક્શનને પ્લોટ કરીએ . આ કરવા માટે, કાર્યના ગ્રાફનો ભાગ , OX અક્ષની નીચે સ્થિત છે, આ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે દર્શાવવામાં આવશે:

તેથી, કાર્યનો ગ્રાફફોર્મ ધરાવે છે:

કાર્યનો આલેખ

1. કાર્ય.
કયા પરિમાણ મૂલ્યો પર aસમીકરણ ( a - 1)x 2 + 2x + a- શું 1 = 0 માં એક જ મૂળ છે?

1. ઉકેલ.
મુ a= 1 સમીકરણ 2 છે x= 0 અને દેખીતી રીતે એક જ મૂળ ધરાવે છે x= 0. જો aનંબર 1, તો આ સમીકરણ ચતુર્ભુજ છે અને તે પરિમાણ મૂલ્યો માટે એક જ મૂળ ધરાવે છે કે જેના પર ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીનો ભેદભાવ શૂન્ય બરાબર છે. ભેદભાવને શૂન્ય સાથે સરખાવીને, અમે પરિમાણ માટે સમીકરણ મેળવીએ છીએ a 4a 2 - 8a= 0, ક્યાંથી a= 0 અથવા a = 2.

1. જવાબ:સમીકરણમાં એક જ મૂળ છે aઓ (0; 1; 2).

2. કાર્ય.
બધા પરિમાણ મૂલ્યો શોધો a, જેના માટે સમીકરણ બે અલગ અલગ મૂળ ધરાવે છે x 2 +4કુહાડી+8a+3 = 0.
2. ઉકેલ.
સમીકરણ x 2 +4કુહાડી+8a+3 = 0 બે અલગ-અલગ મૂળ ધરાવે છે જો અને માત્ર જો ડી = 16a 2 -4(8a+3) > 0. આપણને મળે છે (4 ના સામાન્ય અવયવ દ્વારા ઘટાડા પછી) 4 a 2 -8a-3 > 0, ક્યાંથી

2. જવાબ:

3. કાર્ય.
તે જાણીતું છે
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) કાર્યનો આલેખ કરો f 1 (x) ખાતે a = 1.
b) કયા મૂલ્ય પર aકાર્ય આલેખ f 1 (x) અને f 2 (x) એક સામાન્ય બિંદુ છે?

3. ઉકેલ.
3.એ.ચાલો પરિવર્તન કરીએ f 1 (x) નીચે મુજબ
પર આ કાર્યનો ગ્રાફ a= 1 જમણી બાજુની આકૃતિમાં બતાવેલ છે.
3.બી.ચાલો તરત જ નોંધ લઈએ કે ફંક્શનના આલેખ y = kx+bઅને y = કુહાડી 2 +bx+c (aનંબર 0) એક બિંદુ પર છેદે છે જો અને માત્ર જો ચતુર્ભુજ સમીકરણ kx+b = કુહાડી 2 +bx+cએક જ મૂળ ધરાવે છે. દૃશ્યનો ઉપયોગ કરીને fની 1 3.એ, ચાલો સમીકરણના ભેદભાવની સમાનતા કરીએ a = 6x-x 2 -6 થી શૂન્ય. સમીકરણ 36-24-4 થી a= 0 આપણને મળે છે a= 3. સમીકરણ 2 સાથે તે જ કરો x-a = 6x-x 2 -6 આપણે શોધીશું a= 2. તે ચકાસવું સરળ છે કે આ પરિમાણ મૂલ્યો સમસ્યાની શરતોને સંતોષે છે. જવાબ: a= 2 અથવા a = 3.

4. કાર્ય.
બધા મૂલ્યો શોધો a, જેના માટે અસમાનતાના ઉકેલોનો સમૂહ x 2 -2કુહાડી-3a i 0 સેગમેન્ટ સમાવે છે.

4. ઉકેલ.
પેરાબોલા શિરોબિંદુનું પ્રથમ સંકલન f(x) = x 2 -2કુહાડી-3aની સમાન x 0 = a. ચતુર્ભુજ કાર્યના ગુણધર્મોમાંથી, સ્થિતિ f(xસેગમેન્ટ પર ) i 0 એ ત્રણ સિસ્ટમોના સમૂહની સમકક્ષ છે
બરાબર બે ઉકેલો છે?

5. ઉકેલ.
ચાલો આ સમીકરણને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ x 2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. આ એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે; જો તેનો ભેદભાવ શૂન્ય કરતા વધારે હોય તો તેના બે ઉકેલો છે. ભેદભાવની ગણતરી કરતા, આપણે શોધીએ છીએ કે બરાબર બે મૂળની હાજરી માટેની સ્થિતિ અસમાનતાની પરિપૂર્ણતા છે. a 2 +a-6 > 0. અસમાનતા ઉકેલવાથી, આપણે શોધીએ છીએ a < -3 или a> 2. અસમાનતાઓમાં પ્રથમ, દેખીતી રીતે, કુદરતી સંખ્યામાં કોઈ ઉકેલો નથી, અને બીજાનો સૌથી નાનો કુદરતી ઉકેલ નંબર 3 છે.

5. જવાબ: 3.

6. સમસ્યા (10 કી)
બધા મૂલ્યો શોધો a, જેના માટે ફંક્શનનો ગ્રાફ અથવા, સ્પષ્ટ પરિવર્તનો પછી, a-2 = | 2-a| . છેલ્લું સમીકરણ અસમાનતાની સમકક્ષ છે a i 2.

6. જવાબ: aવિશે)