પાયથાગોરિયન ત્રિપુટીઓ અને તેમની સંખ્યા. પાયથાગોરિયન સંખ્યાઓની ત્રિપુટી (વિદ્યાર્થીનું સર્જનાત્મક કાર્ય) પાયથાગોરિયન સંખ્યાના ત્રિપુટીઓ વિદ્યાર્થીનું સર્જનાત્મક કાર્ય

Beskrovny I.M. 1

1 OAO એંગસ્ટ્રેમ-એમ

કાર્યનો ધ્યેય a2+b2=c2 ફોર્મના પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ્સની ગણતરી માટે પદ્ધતિઓ અને અલ્ગોરિધમ્સ વિકસાવવાનો છે. વિશ્લેષણ પ્રક્રિયા સિસ્ટમ અભિગમના સિદ્ધાંતો અનુસાર હાથ ધરવામાં આવી હતી. ગાણિતિક મોડેલો સાથે, ગ્રાફિકલ મોડલ્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો જે પાયથાગોરિયન ટ્રિપલના દરેક સભ્યને સંયુક્ત ચોરસના રૂપમાં પ્રદર્શિત કરે છે, જેમાંના દરેક એકમ ચોરસનો સમૂહ ધરાવે છે. તે સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું છે કે પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ્સના અનંત સમૂહમાં અનંત સંખ્યામાં સબસેટ્સનો સમાવેશ થાય છે, જે મૂલ્યો b–c વચ્ચેના તફાવત દ્વારા અલગ પડે છે. આ તફાવતના કોઈપણ પૂર્વનિર્ધારિત મૂલ્ય સાથે પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ્સની રચના માટે એક અલ્ગોરિધમ પ્રસ્તાવિત છે. તે દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ કોઈપણ મૂલ્ય 3≤a માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે

પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ

સિસ્ટમ વિશ્લેષણ

ગાણિતિક મોડેલ

ગ્રાફિક મોડેલ

1. એનોસોવ ડી.એન. ગણિત પર એક નજર અને તેમાંથી કંઈક. – એમ.: MTsNMO, 2003. – 24 પૃષ્ઠ: બીમાર.

2. આયરલેન્ડ કે., રોસેન એમ. આધુનિક સંખ્યા સિદ્ધાંતનો શાસ્ત્રીય પરિચય. - એમ.: મીર, 1987.

3. Beskrovny I.M. સંસ્થાઓમાં સિસ્ટમ વિશ્લેષણ અને માહિતી તકનીકો: પાઠ્યપુસ્તક. – M.: RUDN, 2012. – 392 p.

4. સિમોન સિંઘ. ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય.

5. ફર્મેટ પી. નંબર થિયરી અને ડાયોફેન્ટાઇન વિશ્લેષણમાં અભ્યાસ. - એમ.: નૌકા, 1992.

6. યપટ્રો. Ucoz, અહીં ઉપલબ્ધ: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ એ ત્રણ પૂર્ણાંકોનો સમૂહ છે જે પાયથાગોરિયન સંબંધ x2 + y2 = z2ને સંતોષે છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, આ ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણોનો એક વિશેષ કેસ છે, એટલે કે, સમીકરણોની એક સિસ્ટમ જેમાં અજ્ઞાતની સંખ્યા સમીકરણોની સંખ્યા કરતા વધારે હોય છે. તેઓ લાંબા સમયથી જાણીતા છે, બેબીલોનના સમયથી, એટલે કે પાયથાગોરસના ઘણા સમય પહેલા. અને પાયથાગોરસ તેમના આધારે તેમના પ્રખ્યાત પ્રમેયને સાબિત કર્યા પછી તેઓએ તેમનું નામ મેળવ્યું. જો કે, અસંખ્ય સ્ત્રોતોના પૃથ્થકરણમાંથી નીચે મુજબ છે કે જેમાં પાયથાગોરિયન ત્રિપુટીના મુદ્દાને એક અથવા બીજી ડિગ્રી સુધી સ્પર્શવામાં આવે છે, આ ત્રિપુટીઓના હાલના વર્ગો અને તેમની રચનાની સંભવિત રીતોનો પ્રશ્ન હજુ સુધી સંપૂર્ણ રીતે જાહેર કરવામાં આવ્યો નથી.

તેથી સિમોન સિંઘના પુસ્તકમાં તે કહે છે: - "પાયથાગોરસના શિષ્યો અને અનુયાયીઓ ...એ વિશ્વને કહેવાતા પાયથાગોરિયન ત્રણ ચાવીઓ શોધવાનું રહસ્ય કહ્યું." જો કે, આને અનુસરીને આપણે વાંચીએ છીએ: - “પાયથાગોરિયનોએ અન્ય પાયથાગોરિયન ત્રિપુટીઓ શોધવાનું સપનું જોયું, અન્ય ચોરસ જેમાંથી ત્રીજા મોટા ચોરસને ફોલ્ડ કરી શકાય. ...જેમ જેમ સંખ્યામાં વધારો થાય છે તેમ તેમ, પાયથાગોરિયન ત્રિપુટીઓ ઓછા અને ઓછા સામાન્ય બને છે અને શોધવાનું મુશ્કેલ અને મુશ્કેલ બને છે. પાયથાગોરિયનોએ આવા ત્રિપુટીઓ શોધવા માટેની એક પદ્ધતિની શોધ કરી અને તેનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કર્યું કે ત્યાં અસંખ્ય પાયથાગોરિયન ત્રિપુટીઓ છે.

ઉપરોક્ત અવતરણમાં, મૂંઝવણ પેદા કરતા શબ્દો પ્રકાશિત થયા છે. શા માટે "પાયથાગોરિયનોએ શોધવાનું સપનું જોયું..." જો તેઓએ "આવા ત્રિપુટીઓ શોધવા માટેની પદ્ધતિની શોધ કરી...", અને શા માટે મોટી સંખ્યામાં લોકો માટે "તેમને શોધવાનું વધુને વધુ મુશ્કેલ બનતું જાય છે...".

પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રી ડી.વી.ના કામમાં. અનોસોવ, જરૂરી જવાબ આપવામાં આવ્યો હોય તેવું લાગે છે. - “ત્યાં કુદરતી (એટલે ​​​​કે, ધન પૂર્ણાંકો) સંખ્યાઓ x, y, z ના ત્રિપુટીઓ છે જેમ કે

x2 + y2 = z2. (1)

…શું પ્રાકૃતિક સંખ્યામાં x2+y2=z2 સમીકરણના તમામ ઉકેલો શોધવા શક્ય છે? …હા. જવાબ છે: આવા દરેક ઉકેલ ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

જ્યાં l, m, n કુદરતી સંખ્યાઓ છે, m>n સાથે, અથવા સમાન સ્વરૂપમાં જેમાં x અને y અદલાબદલી થાય છે. આપણે થોડા વધુ સંક્ષિપ્તમાં કહી શકીએ કે x, y, z માંથી (2) તમામ સંભવિત કુદરતી l અને m > n સાથે (1) x અને y ના ક્રમચય સુધીના તમામ સંભવિત ઉકેલો છે. ઉદાહરણ તરીકે, ટ્રિપલ (3, 4, 5) l=1, m=2, n=1 સાથે મેળવવામાં આવે છે. ... દેખીતી રીતે, બેબીલોનિયનો આ જવાબ જાણતા હતા, પરંતુ તેઓ કેવી રીતે આવ્યા તે અજ્ઞાત છે.

ગણિતશાસ્ત્રીઓ સામાન્ય રીતે તેમના ફોર્મ્યુલેશનની કઠોરતા વિશે ખૂબ જ કડક તરીકે જાણીતા છે. પરંતુ આ અવતરણમાં એવી કોઈ ગંભીરતા નથી. તો બરાબર શું: શોધો અથવા કલ્પના કરો? દેખીતી રીતે આ સંપૂર્ણપણે અલગ વસ્તુઓ છે. નીચે "તાજા બેકડ" ત્રિપુટીઓની એક લાઇન છે (નીચે વર્ણવેલ પદ્ધતિ દ્વારા પ્રાપ્ત):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

તેમાં કોઈ શંકા નથી કે આ દરેક ત્રિપુટીને સંબંધ (2) ના સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે અને પછી મૂલ્યો l, m, n ની ગણતરી કરી શકાય છે. પરંતુ, આ ટ્રિપલના તમામ મૂલ્યો મળ્યા પછી છે. તે પહેલાં શું કરવું?

તે નકારી શકાય નહીં કે આ પ્રશ્નોના જવાબો લાંબા સમયથી જાણીતા છે. પરંતુ કોઈ કારણોસર તેઓ હજુ સુધી મળી શક્યા નથી. આમ, આ કાર્યનો હેતુ પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ્સના જાણીતા ઉદાહરણોના સમૂહનું વ્યવસ્થિત વિશ્લેષણ છે, ટ્રિપલ્સના વિવિધ જૂથોમાં સિસ્ટમ-રચના સંબંધોની શોધ અને આ જૂથોની લાક્ષણિકતા સિસ્ટમ લક્ષણોની ઓળખ અને પછી, વિકાસ પૂર્વનિર્ધારિત રૂપરેખાંકન સાથે ત્રિપુટીઓની ગણતરી માટે સરળ અસરકારક ગાણિતીક નિયમો. રૂપરેખાંકન દ્વારા આપણે ટ્રિપલમાં સમાવિષ્ટ જથ્થાઓ વચ્ચેના સંબંધોને સમજીએ છીએ.

ઉપયોગમાં લેવાતા સાધનો એવા સ્તરે ગાણિતિક ઉપકરણ હશે જે ઉચ્ચ શાળામાં શીખવવામાં આવતા ગણિતના અવકાશની બહાર ન જાય, અને તેમાં દર્શાવેલ પદ્ધતિઓના આધારે સિસ્ટમ વિશ્લેષણ.

મોડેલ બિલ્ડિંગ

સિસ્ટમ વિશ્લેષણના દૃષ્ટિકોણથી, કોઈપણ પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ એ ઑબ્જેક્ટ્સ દ્વારા રચાયેલી સિસ્ટમ છે, જે ત્રણ સંખ્યાઓ અને તેમના ગુણધર્મો છે. તેમની સંપૂર્ણતા, જેમાં ઑબ્જેક્ટ્સ ચોક્કસ સંબંધોમાં મૂકવામાં આવે છે અને એક એવી સિસ્ટમ બનાવે છે જેમાં નવા ગુણધર્મો હોય છે જે વ્યક્તિગત ઑબ્જેક્ટ્સ અથવા તેમના કોઈપણ અન્ય સમૂહમાં સહજ નથી, જ્યાં ઑબ્જેક્ટ્સ અન્ય સંબંધોમાં મૂકવામાં આવે છે.

સમીકરણ (1) માં, સિસ્ટમના ઑબ્જેક્ટ્સ એ સાદા બીજગણિત સંબંધો દ્વારા જોડાયેલ કુદરતી સંખ્યાઓ છે: સમાનતા ચિહ્નની ડાબી બાજુએ 2 ની ઘાત સુધી વધેલી બે સંખ્યાઓનો સરવાળો છે, જમણી બાજુએ ત્રીજી સંખ્યા છે, પણ ઊભી કરવામાં આવી છે. 2 ની ઘાત સુધી. વ્યક્તિગત સંખ્યાઓ, સમાનતાની ડાબી બાજુએ, 2 ની ઘાત સુધી વધારવામાં આવે છે, તેઓ તેમના સરવાળાના સંચાલન પર કોઈ નિયંત્રણો લાદતા નથી - પરિણામી સરવાળો કંઈપણ હોઈ શકે છે. પરંતુ સરવાળો ઓપરેશન પછી મૂકવામાં આવેલ સમાન ચિહ્ન આ સરવાળાના મૂલ્ય પર પ્રણાલીગત પ્રતિબંધ લાદે છે: સરવાળો એવી સંખ્યા હોવી જોઈએ કે વર્ગમૂળ કાઢવાની કામગીરીનું પરિણામ કુદરતી સંખ્યા હોય. પરંતુ સમાનતાની ડાબી બાજુએ અવેજી કરેલ કોઈપણ સંખ્યાઓ માટે આ સ્થિતિ સંતુષ્ટ નથી. આમ, સમીકરણના બે પદો અને ત્રીજી વચ્ચે મૂકવામાં આવેલ સમાન ચિહ્ન ત્રણ પદોને સિસ્ટમમાં ફેરવે છે. આ સિસ્ટમની નવી વિશેષતા એ છે કે મૂળ સંખ્યાઓના મૂલ્યો પર પ્રતિબંધોની રજૂઆત.

નોટેશનના સ્વરૂપના આધારે, પાયથાગોરિયન ટ્રિપલને ભૌમિતિક સિસ્ટમના ગાણિતિક મોડેલ તરીકે ગણી શકાય, જેમાં સમીકરણ અને સમાનતાના સંબંધો દ્વારા એકબીજા સાથે જોડાયેલા ત્રણ ચોરસ હોય છે, જેમ કે ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે. 1. ફિગ. 1 એ વિચારણા હેઠળની સિસ્ટમનું ગ્રાફિકલ મોડેલ છે, અને તેનું મૌખિક મોડલ નિવેદન છે:

બાજુની લંબાઈ c ધરાવતા ચોરસના ક્ષેત્રફળને બાજુની લંબાઈ a અને b સાથે બે ચોરસમાં શેષ વિના વિભાજિત કરી શકાય છે, જેમ કે તેમના ક્ષેત્રોનો સરવાળો મૂળ ચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે, એટલે કે, તમામ ત્રણ જથ્થા a, b, અને c સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે

ચોરસ વિઘટનનું ગ્રાફિકલ મોડેલ

સિસ્ટમ વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતોના માળખામાં, તે જાણીતું છે કે જો કોઈ ગાણિતિક મોડેલ ચોક્કસ ભૌમિતિક સિસ્ટમના ગુણધર્મોને પર્યાપ્ત રીતે પ્રતિબિંબિત કરે છે, તો પછી આ સિસ્ટમના ગુણધર્મોનું વિશ્લેષણ આપણને તેના ગાણિતિક મોડેલના ગુણધર્મોને સ્પષ્ટ કરવાની મંજૂરી આપે છે. તેમને વધુ ઊંડાણથી સમજો, તેમને સ્પષ્ટ કરો અને, જો જરૂરી હોય તો, તેમને સુધારો. આ તે માર્ગ છે જે આપણે અનુસરીશું.

ચાલો સ્પષ્ટ કરીએ કે સિસ્ટમ વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતો અનુસાર, સરવાળા અને બાદબાકીની ક્રિયાઓ ફક્ત સંયુક્ત પદાર્થો પર જ કરી શકાય છે, એટલે કે, પ્રાથમિક પદાર્થોના સમૂહથી બનેલી વસ્તુઓ. તેથી, અમે કોઈપણ ચોરસને પ્રાથમિક, અથવા એકમ ચોરસના સંગ્રહથી બનેલી આકૃતિ તરીકે સમજીશું. પછી કુદરતી સંખ્યામાં ઉકેલ મેળવવા માટેની શરત એ શરત સ્વીકારવા સમાન છે કે એકમ વર્ગ અવિભાજ્ય છે.

એકમ ચોરસ એક ચોરસ છે જેની દરેક બાજુની લંબાઈ એક સમાન હોય છે. એટલે કે, જ્યારે એકમ ચોરસનો વિસ્તાર નીચેની અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

ચોરસનું જથ્થાત્મક પરિમાણ એ તેનો વિસ્તાર છે, જે આપેલ વિસ્તારમાં મૂકી શકાય તેવા એકમ ચોરસની સંખ્યા દ્વારા નિર્ધારિત થાય છે. મનસ્વી મૂલ્ય x ધરાવતા ચોરસ માટે, x2 એક્સપ્રેસ લંબાઈ x એકમ સેગમેન્ટના સેગમેન્ટ્સ દ્વારા રચાયેલા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરે છે. આ ચોરસનો વિસ્તાર x2 એકમ ચોરસને સમાવી શકે છે.

ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાઓ તુચ્છ અને સ્પષ્ટ માનવામાં આવી શકે છે, પરંતુ તે નથી. ડી.એન. એનોસોવ વિસ્તારની વિભાવનાને અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે: - “... આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ તેના ભાગોના ક્ષેત્રોના સરવાળા જેટલું છે. શા માટે અમને ખાતરી છે કે આ આવું છે? ...અમે અમુક સજાતીય સામગ્રીથી બનેલી આકૃતિની કલ્પના કરીએ છીએ, તો તેનો વિસ્તાર તેમાં રહેલા પદાર્થની માત્રાના પ્રમાણસર છે - તેના સમૂહ. તે વધુ સૂચિત છે કે જ્યારે આપણે શરીરને કેટલાક ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ છીએ, ત્યારે તેના સમૂહનો સરવાળો મૂળ શરીરના સમૂહ જેટલો હોય છે. આ સમજી શકાય તેવું છે, કારણ કે દરેક વસ્તુમાં અણુઓ અને પરમાણુઓનો સમાવેશ થાય છે, અને તેમની સંખ્યા બદલાઈ ન હોવાથી, તેમનો કુલ દળ પણ બદલાયો નથી... છેવટે, સજાતીય સામગ્રીના ટુકડાનું દળ તેના જથ્થાના પ્રમાણસર છે; આનો અર્થ એ છે કે તમારે જાણવાની જરૂર છે કે આપેલ આકૃતિનો આકાર ધરાવતી "શીટ" નું વોલ્યુમ તેના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણસર છે. એક શબ્દમાં, ... કે આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ તેના ભાગોના ક્ષેત્રોના સરવાળા જેટલું છે, આ ભૂમિતિમાં સાબિત કરવું આવશ્યક છે. ... કિસેલેવની પાઠ્યપુસ્તકમાં, આપણે હવે ચર્ચા કરી રહ્યા છીએ તે જ મિલકત ધરાવતા વિસ્તારનું અસ્તિત્વ પ્રામાણિકપણે એક પ્રકારની ધારણા તરીકે અનુમાનિત કરવામાં આવ્યું હતું, અને એવું કહેવામાં આવ્યું હતું કે આ હકીકતમાં સાચું છે, પરંતુ અમે તેને સાબિત કરીશું નહીં. તેથી પાયથાગોરિયન પ્રમેય, જો વિસ્તારો સાથે સાબિત થાય, તો સંપૂર્ણ તાર્કિક અર્થમાં સંપૂર્ણ રીતે સાબિત થશે નહીં."

અમને એવું લાગે છે કે ઉપર રજૂ કરાયેલ એકમ ચોરસની વ્યાખ્યા દર્શાવેલ D.N ને દૂર કરે છે. અનોસોવ અનિશ્ચિતતા. છેવટે, જો ચોરસ અને લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેમને ભરતા એકમ ચોરસના સરવાળા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, તો જ્યારે લંબચોરસને એકબીજાને અડીને મનસ્વી ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે, ત્યારે લંબચોરસનો વિસ્તાર કુદરતી રીતે તેના તમામ ભાગોના સરવાળા સમાન.

તદુપરાંત, પરિચયિત વ્યાખ્યાઓ અમૂર્ત ભૌમિતિક આકૃતિઓના સંબંધમાં "વિભાજન" અને "ઉમેરો" ની વિભાવનાઓનો ઉપયોગ કરવાની અનિશ્ચિતતાને દૂર કરે છે. ખરેખર, લંબચોરસ અથવા અન્ય કોઈપણ સપાટ આકૃતિને ભાગોમાં વિભાજીત કરવાનો અર્થ શું છે? જો તે કાગળની શીટ છે, તો પછી તેને કાતરથી કાપી શકાય છે. જો તે જમીનનો પ્લોટ છે, તો વાડ લગાવો. રૂમ - એક પાર્ટીશન મૂકો. જો તે દોરેલા ચોરસ હોય તો શું? વિભાજન રેખા દોરો અને જાહેર કરો કે ચોરસ વિભાજિત છે? પરંતુ, છેવટે, ડી.આઈ. મેન્ડેલીવ: "...તમે બધું જાહેર કરી શકો છો, પરંતુ તમે જાઓ અને પ્રદર્શન કરો!"

અને સૂચિત વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરતી વખતે, "આકૃતિને વિભાજીત કરો" નો અર્થ થાય છે કે આ આકૃતિને બે (અથવા વધુ) ભાગોમાં ભરતા એકમ ચોરસની સંખ્યાને વિભાજીત કરવી. આ દરેક ભાગમાં એકમ ચોરસની સંખ્યા તેના વિસ્તારને નિર્ધારિત કરે છે. આ ભાગોને કોઈપણ રૂપરેખાંકન આપી શકાય છે, પરંતુ તેમના ક્ષેત્રોનો સરવાળો હંમેશા મૂળ આકૃતિના ક્ષેત્રફળ જેટલો જ રહેશે. કદાચ ગણિતશાસ્ત્રીઓ આ દલીલોને ખોટી ગણશે, પછી અમે તેને ધારણા તરીકે સ્વીકારીશું. જો કિસેલ્યોવની પાઠ્યપુસ્તકમાં આવી ધારણાઓ સ્વીકાર્ય છે, તો સમાન તકનીકનો ઉપયોગ ન કરવો એ આપણા માટે શરમજનક છે.

સિસ્ટમ વિશ્લેષણનો પ્રથમ તબક્કો એ સમસ્યાની પરિસ્થિતિને ઓળખવાનો છે. આ તબક્કાની શરૂઆતમાં, વિવિધ સ્ત્રોતોમાં મળી આવેલા કેટલાક સો પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ્સની સમીક્ષા કરવામાં આવી હતી. તે જ સમયે, એ હકીકત તરફ ધ્યાન દોરવામાં આવ્યું હતું કે પ્રકાશનોમાં ઉલ્લેખિત પાયથાગોરિયન ત્રિપુટીઓના સમગ્ર સમૂહને ઘણા જૂથોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે જે રૂપરેખાંકનમાં ભિન્ન છે. ચોક્કસ રૂપરેખાંકનની નિશાની તરીકે, અમે મૂળ અને બાદબાકી કરેલા ચોરસની બાજુઓની લંબાઈમાં તફાવતને ધ્યાનમાં લઈશું, એટલે કે મૂલ્ય c-b. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રકાશનો ઘણીવાર ઉદાહરણો તરીકે c-b=1 સ્થિતિને સંતોષતા ત્રિપુટીઓ દર્શાવે છે. ચાલો ધારીએ કે આવા પાયથાગોરિયન ટ્રિપલનો આખો સંગ્રહ એક સમૂહ બનાવે છે, જેને આપણે "ક્લાસ c-1" કહીશું, અને આ વર્ગના ગુણધર્મોનું વિશ્લેષણ કરીશું.

આકૃતિમાં બતાવેલ ત્રણ ચોરસને ધ્યાનમાં લો, જ્યાં c એ ચોરસની બાજુની લંબાઈ ઘટે છે, b એ બાદબાકી કરેલા ચોરસની બાજુની લંબાઈ છે, અને a એ તેમના તફાવતથી બનેલા ચોરસની બાજુની લંબાઈ છે. ફિગ માં. 1 તે જોઈ શકાય છે કે જ્યારે ઘટાડાયેલા ચોરસના ક્ષેત્રફળમાંથી બાદબાકી કરેલા ચોરસના ક્ષેત્રફળને બાદ કરીએ, ત્યારે બાકીના એકમ ચોરસની બે પટ્ટીઓ રહે છે:

આ શેષમાંથી ચોરસ બનાવવા માટે, શરત પૂરી કરવી આવશ્યક છે

આ સંબંધો એક આપેલ સંખ્યા c નો ઉપયોગ કરીને ટ્રિપલના તમામ સભ્યોના મૂલ્યો નક્કી કરવાનું શક્ય બનાવે છે. સૌથી નાની સંખ્યા c જે સંબંધને સંતોષે છે (6) એ સંખ્યા c = 5 છે. તેથી, સંતોષકારક સંબંધ (1) વર્ગોની ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈ નક્કી કરવામાં આવી હતી. યાદ કરો કે સરેરાશ ચોરસની બાજુની કિંમત b

જ્યારે અમે મૂળ ચોરસની બાજુને એકથી ઘટાડીને મધ્યમ ચોરસ બનાવવાનું નક્કી કર્યું ત્યારે પસંદ કરવામાં આવ્યું હતું. પછી સંબંધોમાંથી (5), (6). (7) અમે નીચેનો સંબંધ મેળવીએ છીએ:

જેમાંથી તે અનુસરે છે કે પસંદ કરેલ મૂલ્ય c = 5 અનન્ય રીતે મૂલ્યો b = 4, a = 3 સેટ કરે છે.

પરિણામે, સંબંધો પ્રાપ્ત થયા છે જે અમને વર્ગ "c - 1" ના કોઈપણ પાયથાગોરિયન ટ્રિપલને આવા સ્વરૂપમાં રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે જ્યાં ત્રણેય શબ્દોના મૂલ્યો એક નિર્દિષ્ટ પરિમાણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે - c નું મૂલ્ય:

ચાલો આપણે ઉમેરીએ કે ઉપરના ઉદાહરણમાં નંબર 5 એ c ના તમામ સંભવિત મૂલ્યોના લઘુત્તમ તરીકે દેખાય છે જેના માટે સમીકરણ (6) કુદરતી સંખ્યાઓમાં ઉકેલ ધરાવે છે. સમાન ગુણધર્મ સાથેની આગલી સંખ્યા 13 છે, પછી 25, પછી 41, 61, 85, વગેરે. જેમ તમે જોઈ શકો છો, સંખ્યાઓની આ શ્રેણીમાં પડોશી સંખ્યાઓ વચ્ચેના અંતરાલ ઝડપથી વધે છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, માન્ય મૂલ્ય પછી, પછીનું માન્ય મૂલ્ય છે , અને પછીનું માન્ય મૂલ્ય છે , એટલે કે, માન્ય મૂલ્ય પાછલા મૂલ્ય કરતાં પચાસ મિલિયન કરતાં વધુ દૂર છે!

હવે તે સ્પષ્ટ છે કે આ વાક્ય પુસ્તકમાં ક્યાંથી આવ્યું છે: - "જેમ જેમ સંખ્યા વધતી જાય છે તેમ, પાયથાગોરિયન ત્રિપુટીઓ ઓછા અને ઓછા સામાન્ય થાય છે, અને તેમને શોધવાનું વધુને વધુ મુશ્કેલ બને છે...". જો કે, આ નિવેદન સાચું નથી. કોઈએ માત્ર c ના પડોશી મૂલ્યોની ઉપરોક્ત જોડીને અનુરૂપ પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ્સને જોવું પડશે, અને એક લક્ષણ તરત જ આંખને પકડે છે - બંને જોડીમાં, જેમાં c ના મૂલ્યો આવા મોટા અંતરાલો દ્વારા અલગ પડે છે, વળાંકના મૂલ્યો પડોશી વિષમ સંખ્યાઓ છે. ખરેખર, પ્રથમ જોડી માટે અમારી પાસે છે

અને બીજા દંપતી માટે

તેથી તે પોતે ત્રિપુટીઓ નથી જે "વધુને વધુ દુર્લભ બની રહ્યા છે," પરંતુ c ના સંલગ્ન મૂલ્યો વચ્ચેના અંતરાલ વધી રહ્યા છે. પાયથાગોરિયન ત્રિપુટીઓ પોતે, નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે, કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

હવે પછીના વર્ગના ત્રિપુટીઓ જોઈએ - “Class c-2”. ફિગમાંથી જોઈ શકાય છે. 1, જ્યારે c બાજુવાળા ચોરસમાંથી બાજુવાળા ચોરસ (c - 2) બાદબાકી કરવામાં આવે છે, ત્યારે બે એકમ પટ્ટાઓના સરવાળાના રૂપમાં એક શેષ બને છે. આ રકમનું મૂલ્ય સમીકરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

સમીકરણ (10) થી આપણે એવા સંબંધો મેળવીએ છીએ જે ત્રિપુટી વર્ગ "c-2" ના કોઈપણ અનંત સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરે છે:

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાં સમીકરણ (11) ના ઉકેલના અસ્તિત્વ માટેની સ્થિતિ એ c નું કોઈપણ મૂલ્ય છે જેના માટે a કુદરતી સંખ્યા છે. c નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય કે જેના માટે સોલ્યુશન અસ્તિત્વમાં છે તે c = 5 છે. પછી ત્રિવિધ વર્ગના આ વર્ગ માટે "પ્રારંભિક" ટ્રિપલ સેટ a = 4, b = 3, c = 5 દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. એટલે કે, ફરીથી, ક્લાસિકલ ટ્રિપલ 3, 4, 5 રચાય છે, ફક્ત હવે બાદબાકી કરેલ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ બાકીના વિસ્તાર કરતા ઓછું છે.

અને અંતે, આપણે વર્ગ “s-8” ના ત્રિપુટીઓનું વિશ્લેષણ કરીશું. ત્રિવિધ વર્ગના આ વર્ગ માટે, જ્યારે મૂળ ચોરસના ક્ષેત્રફળ c2માંથી ચોરસના ક્ષેત્રફળને બાદ કરીએ, ત્યારે આપણે મેળવીએ છીએ:

પછી, સમીકરણ (12) માંથી તે નીચે મુજબ છે:

c નું લઘુત્તમ મૂલ્ય કે જેના પર સોલ્યુશન અસ્તિત્વમાં છે તે c = 13 છે. આ મૂલ્ય પર પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ 12, 5, 13 સ્વરૂપ લે છે. આ કિસ્સામાં, ફરીથી બાદબાકી કરેલ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ ના ક્ષેત્રફળ કરતા ઓછું છે. બાકીનું. અને નોટેશનને ફરીથી ગોઠવીને, આપણને ટ્રિપલ 5, 12, 13 મળે છે, જે તેના રૂપરેખાંકનમાં વર્ગ “c - 1” થી સંબંધિત છે. એવું લાગે છે કે અન્ય સંભવિત રૂપરેખાંકનોનું વધુ વિશ્લેષણ મૂળભૂત રીતે નવું કંઈપણ જાહેર કરશે નહીં.

ગણતરી કરેલ ગુણોત્તરનું આઉટપુટ

પાછલા વિભાગમાં, વિશ્લેષણનો તર્ક તેના પાંચ મુખ્ય તબક્કામાંથી ચારમાં સિસ્ટમ વિશ્લેષણની આવશ્યકતાઓ અનુસાર વિકસિત થયો: સમસ્યાની પરિસ્થિતિનું વિશ્લેષણ, લક્ષ્યોની રચના, કાર્યોની રચના અને બંધારણની રચના. હવે અંતિમ, પાંચમા તબક્કામાં આગળ વધવાનો સમય છે - સંભવિતતા તપાસવી, એટલે કે લક્ષ્યો કેટલી હદ સુધી પ્રાપ્ત થયા છે તે તપાસવું. .

કોષ્ટક નીચે દર્શાવેલ છે. 1, જે વર્ગ "c - 1" સાથે જોડાયેલા પાયથાગોરિયન ત્રિપુટીઓના મૂલ્યો દર્શાવે છે. મોટાભાગના ટ્રિપલ વિવિધ પ્રકાશનોમાં જોવા મળે છે, પરંતુ 999, 1001 ની સમાન કિંમતો માટે ત્રણ ગણા જાણીતા પ્રકાશનોમાં જોવા મળ્યા નથી.

કોષ્ટક 1

વર્ગ "c-1" ના પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી

તે ચકાસી શકાય છે કે તમામ ત્રિપુટીઓ સંબંધને સંતોષે છે (3). આમ, નિર્ધારિત ધ્યેયોમાંથી એક હાંસલ કરવામાં આવ્યો છે. પાછલા વિભાગમાં મેળવેલા સંબંધો (9), (11), (13) એક જ પરિમાણ c - ચોરસની બાજુ ઘટાડીને સ્પષ્ટ કરીને ત્રિપુટીઓનો અનંત સમૂહ બનાવવાનું શક્ય બનાવે છે. આ, અલબત્ત, સંબંધ (2) કરતાં વધુ રચનાત્મક વિકલ્પ છે, જેનો ઉપયોગ કરવા માટે કોઈએ મનસ્વી રીતે ત્રણ નંબરો l, m, n, કોઈપણ મૂલ્ય હોવાનો ઉલ્લેખ કરવો જોઈએ, પછી ઉકેલ શોધો, ફક્ત એટલું જ જાણીને કે અંતે પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ ચોક્કસપણે પ્રાપ્ત થશે, અને જે અગાઉથી અજ્ઞાત છે. અમારા કિસ્સામાં, ટ્રિપલનું રૂપરેખાંકન અગાઉથી જાણીતું છે અને માત્ર એક પરિમાણ સ્પષ્ટ કરવાની જરૂર છે. પરંતુ, અરે, આ પરિમાણના દરેક મૂલ્ય માટે કોઈ ઉકેલ નથી. અને તમારે તેના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યો અગાઉથી જાણવાની જરૂર છે. તેથી પ્રાપ્ત પરિણામ સારું છે, પરંતુ આદર્શથી દૂર છે. ઉકેલ મેળવવા માટે તે ઇચ્છનીય છે કે પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ્સ કોઈપણ મનસ્વી રીતે આપેલ કુદરતી સંખ્યા માટે ગણી શકાય. આ હેતુ માટે, આપણે ચોથા તબક્કા પર પાછા આવીશું - પ્રાપ્ત ગાણિતિક સંબંધોની રચનાની રચના.

ટ્રિપલના બાકીના સભ્યોને નિર્ધારિત કરવા માટે આધાર પરિમાણ તરીકે c ની પસંદગી અસુવિધાજનક હોવાનું બહાર આવ્યું હોવાથી, અન્ય વિકલ્પનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ. જેમ ટેબલ પરથી જોઈ શકાય છે. 1, બેઝ એક તરીકે પેરામીટર a ની પસંદગી પ્રાધાન્યક્ષમ લાગે છે, કારણ કે આ પરિમાણના મૂલ્યો વિચિત્ર કુદરતી સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં સળંગ છે. સરળ પરિવર્તનો પછી, અમે સંબંધો (9) ને વધુ રચનાત્મક સ્વરૂપમાં લાવીએ છીએ:

સંબંધો (14) અમને a ના આપેલ કોઈપણ વિચિત્ર મૂલ્ય માટે પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ શોધવાની મંજૂરી આપે છે. તદુપરાંત, b માટે અભિવ્યક્તિની સરળતા કેલ્ક્યુલેટર વિના પણ ગણતરીઓને મંજૂરી આપે છે. ખરેખર, પસંદ કરીને, ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 13, આપણને મળે છે:

અને 99 નંબર માટે, અમને અનુક્રમે મળે છે:

સંબંધો (15) અમને n=1 થી શરૂ કરીને, આપેલ કોઈપણ n માટે પાયથાગોરિયન શબ્દમાળાના ત્રણેય શબ્દોના મૂલ્યો મેળવવાની મંજૂરી આપે છે.

હવે વર્ગ "c - 2" ના પાયથાગોરિયન ત્રિપુટીઓને ધ્યાનમાં લો. કોષ્ટકમાં 2 ઉદાહરણ તરીકે આવા દસ ત્રિપુટીઓ બતાવે છે. તદુપરાંત, જાણીતા પ્રકાશનોમાં ત્રિપુટીની માત્ર ત્રણ જોડી મળી હતી - 8, 15, 23; 12, 35, 36; અને 16, 63, 65. આ પેટર્ન નક્કી કરવા માટે પૂરતું હતું કે જેના દ્વારા તેઓ રચાય છે. બાકીના સાત અગાઉ મેળવેલા સંબંધોમાંથી મળી આવ્યા હતા (11). ગણતરીની સગવડતા માટે, આ ગુણોત્તર રૂપાંતરિત કરવામાં આવ્યા હતા જેથી તમામ પરિમાણો મૂલ્ય a દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે. (11) માંથી તે દેખીતી રીતે અનુસરે છે કે વર્ગ "c - 2" માટેના તમામ ત્રિપુટીઓ નીચેના સંબંધોને સંતોષે છે:

કોષ્ટક 2

વર્ગ "c-2" ના પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી

જેમ ટેબલ પરથી જોઈ શકાય છે. 2, વર્ગ “c - 2” ના ત્રિપુટીઓના સમગ્ર અનંત સમૂહને બે પેટા વર્ગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. ત્રિગુણો માટે કે જેનું મૂલ્ય a બાકીના વિના 4 વડે વિભાજ્ય છે, મૂલ્યો b અને c વિષમ છે. આવા ત્રિગુણો જેના માટે GCD = 1 એ આદિમ કહેવાય છે. ટ્રિપલ માટે કે જેના મૂલ્યો a પૂર્ણાંકોમાં 4 વડે વિભાજ્ય નથી, ટ્રિપલ a, b, c ના ત્રણેય સભ્યો સમાન છે.

હવે ચાલો ઓળખાયેલા વર્ગો - વર્ગ "c - 8" ના ત્રીજા વર્ગના વિશ્લેષણના પરિણામોને ધ્યાનમાં લઈએ. આ વર્ગ માટે ગણતરી કરેલ સંબંધો, (13) થી મેળવેલા, ફોર્મ ધરાવે છે:

સંબંધો (20), (21) અનિવાર્યપણે સમાન છે. તફાવત માત્ર ક્રિયાઓના ક્રમની પસંદગીમાં છે. અથવા, (20) અનુસાર, a નું ઇચ્છિત મૂલ્ય પસંદ કરવામાં આવે છે (આ કિસ્સામાં, આ મૂલ્યને 4 વડે વિભાજિત કરવું જરૂરી છે), પછી b અને c ના મૂલ્યો નક્કી કરવામાં આવે છે. અથવા, એક મનસ્વી સંખ્યા પસંદ કરવામાં આવે છે, અને પછી, સંબંધો (21), પાયથાગોરિયન ટ્રિપલના તમામ ત્રણ સભ્યો નક્કી કરવામાં આવે છે. કોષ્ટકમાં આકૃતિ 3 આ રીતે ગણતરી કરેલ સંખ્યાબંધ પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ બતાવે છે. જો કે, પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ્સના મૂલ્યોની ગણતરી કરવી વધુ સરળ હોઈ શકે છે. જો ઓછામાં ઓછું એક મૂલ્ય જાણીતું હોય, તો પછીના તમામ મૂલ્યો નીચેના સંબંધો દ્વારા ખૂબ જ સરળ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે:

કોષ્ટક 3

દરેક વ્યક્તિ માટે સંબંધની માન્યતા (22) કોષ્ટકમાંથી ત્રિપુટીનો ઉપયોગ કરીને ચકાસી શકાય છે. 2, અને અન્ય સ્ત્રોતો અનુસાર. ઉદાહરણ તરીકે, કોષ્ટકમાં. ઇટાલિકમાં 4 એ પાયથાગોરિયન ટ્રિપ્લેટ્સ (10,000 ટ્રિપ્લેટ્સ) ના વિસ્તૃત કોષ્ટકમાંથી ટ્રિપ્લેટ્સ છે જે રિલેશન (2) નો ઉપયોગ કરીને કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામના આધારે ગણવામાં આવે છે અને બોલ્ડમાં રિલેશન (20) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે. આ મૂલ્યો ઉલ્લેખિત કોષ્ટકમાં ન હતા.

કોષ્ટક 4

વર્ગ "c-8" ના પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી

તદનુસાર, ફોર્મના ટ્રિપલ માટે નીચેના સંબંધોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે:

અને પ્રકારની ત્રિપુટીઓ માટે<>, અમારો સંબંધ છે:

એ વાત પર ભાર મૂકવો જોઈએ કે ઉપર ચર્ચા કરેલ ત્રિપુટીઓ “c - 1”, “c - 2”, “c - 8” આપેલ કોષ્ટકમાંથી પ્રથમ હજાર ત્રિપુટીઓમાંથી 90% થી વધુ બનાવે છે. આ આ વર્ગોને મૂળભૂત તરીકે સમજવાનું કારણ આપે છે. ચાલો આપણે ઉમેરીએ કે સંબંધો (22), (23), (24) બનાવતી વખતે, અમે સંખ્યા સિદ્ધાંત (પ્રાઈમ, કોપ્રાઈમ, વગેરે) માં અભ્યાસ કરેલ સંખ્યાઓના કોઈપણ વિશિષ્ટ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કર્યો નથી. પાયથાગોરિયન ત્રિપુટીઓની રચનાના પ્રગટ થયેલા દાખલાઓ ફક્ત આ ત્રિપુટીઓ દ્વારા વર્ણવેલ ભૌમિતિક આકૃતિઓના પ્રણાલીગત ગુણધર્મો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે - ચોરસ, જેમાં એકમ ચોરસના સમૂહનો સમાવેશ થાય છે.

નિષ્કર્ષ

હવે, એન્ડ્રુ વાઈલ્સે 1993માં કહ્યું હતું તેમ: "મને લાગે છે કે મારે ત્યાં રોકાઈ જવું જોઈએ." નિર્ધારિત ધ્યેય સંપૂર્ણપણે હાંસલ કરવામાં આવ્યો છે. એવું દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે ગાણિતિક મોડેલોના ગુણધર્મોનું વિશ્લેષણ, જેનું માળખું ભૌમિતિક આકૃતિઓ સાથે સંકળાયેલું છે, તે નોંધપાત્ર રીતે સરળ બને છે જો વિશ્લેષણની પ્રક્રિયામાં, સંપૂર્ણ ગાણિતિક ગણતરીઓ સાથે, અભ્યાસ કરવામાં આવતા મોડેલોના ભૌમિતિક ગુણધર્મો પણ હોય. ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. સરળીકરણ પ્રાપ્ત થાય છે, ખાસ કરીને, એ હકીકતને કારણે કે સંશોધક ગાણિતિક પરિવર્તનો હાથ ધર્યા વિના ઇચ્છિત પરિણામો "જુએ છે".

ઉદાહરણ તરીકે, સમાનતા

ડાબી બાજુના રૂપાંતરણ વિના સ્પષ્ટ બને છે, ફક્ત ફિગ જુઓ. 1, જે આ સમાનતાનું ગ્રાફિકલ મોડેલ બતાવે છે.

પરિણામે, વિશ્લેષણના આધારે, એવું દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે બાજુવાળા કોઈપણ ચોરસ માટે, બાજુઓ b અને c સાથેના ચોરસ શોધી શકાય છે જેથી તેમના માટે સમાનતા જળવાઈ રહે અને સંબંધો પ્રાપ્ત થાય જે ગણતરીની ન્યૂનતમ રકમ સાથે પરિણામો મેળવવાની ખાતરી કરે છે:

a ના વિચિત્ર મૂલ્યો માટે,

અને - સમાન મૂલ્યો માટે.

ગ્રંથસૂચિ લિંક

આગળ, અમે અસરકારક પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ બનાવવા માટે જાણીતી પદ્ધતિઓ પર વિચાર કરીશું. પાયથાગોરસના વિદ્યાર્થીઓએ સૌપ્રથમ પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ બનાવવાની એક સરળ રીતની શોધ કરી, એક સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જેના ભાગો પાયથાગોરિયન ટ્રિપલનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

જ્યાં m- જોડી વગરનું, m>2. ખરેખર,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

એક સમાન સૂત્ર પ્રાચીન ગ્રીક ફિલસૂફ પ્લેટો દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યું હતું:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

જ્યાં m- કોઈપણ નંબર. માટે m= 2,3,4,5 નીચેના ત્રિગુણો જનરેટ થાય છે:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

જેમ આપણે જોઈએ છીએ, આ સૂત્રો તમામ સંભવિત આદિમ ત્રિપુટીઓ આપી શકતા નથી.

નીચેના બહુપદીનો વિચાર કરો, જેને બહુપદીના સરવાળામાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

તેથી આદિમ ત્રિગુણો મેળવવા માટે નીચેના સૂત્રો:

a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

આ સૂત્રો ત્રિપુટીઓ ઉત્પન્ન કરે છે જેમાં સરેરાશ સંખ્યા સૌથી મોટી સંખ્યાથી બરાબર એકથી અલગ પડે છે, એટલે કે તમામ સંભવિત ત્રિપુટીઓ પણ જનરેટ થતા નથી. અહીં પ્રથમ ત્રણ સમાન છે: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

બધા આદિમ ત્રિપુટીઓ કેવી રીતે ઉત્પન્ન કરવી તે નક્કી કરવા માટે, તેમની મિલકતોની તપાસ કરવી જોઈએ. પ્રથમ, જો ( a,b,c) એ આદિમ ત્રિવિધ છે, તો પછી aઅને b, bઅને c, એઅને c- પ્રમાણમાં પ્રાઇમ હોવું જોઈએ. દો aઅને bમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે ડી. પછી a 2 + b 2 - દ્વારા પણ વિભાજ્ય ડી. અનુક્રમે, c 2 અને cદ્વારા વિભાજિત હોવું જ જોઈએ ડી. એટલે કે આ આદિમ ત્રણ નથી.

બીજું, સંખ્યાઓ વચ્ચે a, bએક જોડી અને બીજી અનપેયર હોવી જોઈએ. ખરેખર, જો aઅને b- જોડી, પછી સાથેજોડી બનાવવામાં આવશે, અને સંખ્યાઓને ઓછામાં ઓછા 2 વડે વિભાજિત કરી શકાય છે. જો તે બંને જોડી વગરના હોય, તો તેને 2 તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. k+1 અને 2 l+1, ક્યાં k,l- કેટલાક નંબરો. પછી a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, એટલે કે, સાથે 2, જેમ a 2 + bજ્યારે 4 વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે 2 પાસે 2 બાકી હોય છે.

દો સાથે- કોઈપણ સંખ્યા, એટલે કે સાથે = 4k+i (i=0,…,3). પછી સાથે 2 = (4k+i) 2 પાસે શેષ 0 અથવા 1 છે અને શેષ 2 હોઈ શકતો નથી. આમ, aઅને bઅનપેયર કરી શકાતું નથી, એટલે કે a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 અને વિભાગનો બાકીનો ભાગ સાથે 2 બાય 4 1 હોવો જોઈએ, જેનો અર્થ થાય છે સાથેઅનપેયર્ડ હોવું જ જોઈએ.

પાયથાગોરિયન ટ્રિપલના તત્વો માટેની આવી જરૂરિયાતો નીચેની સંખ્યાઓ દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે:

a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

જ્યાં mઅને n- વિવિધ જોડી સાથે પ્રમાણમાં પ્રાઇમ. આ અવલંબન સૌપ્રથમ યુક્લિડના કાર્યો પરથી જાણીતું બન્યું, જેઓ 2300 વર્ષ જીવ્યા. પાછા

ચાલો નિર્ભરતાની માન્યતા સાબિત કરીએ (2). દો એ- જોડી, પછી bઅને c- અનપેયર્ડ. પછી c + b i c − b- જોડી. તેઓ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે c + b = 2uઅને c − b = 2વિ, ક્યાં u,વિ- કેટલાક પૂર્ણાંકો. એ કારણે

a 2 = સાથે 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u·2 વિ = 4યુવી

અને તેથી ( a/2) 2 = યુવી.

તે વિરોધાભાસ દ્વારા સાબિત કરી શકાય છે uઅને વિ- પરસ્પર સરળ. દો uઅને વિ- માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે ડી. પછી ( c + b) અને ( c − b) માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે ડી. અને તેથી cઅને bદ્વારા વિભાજિત હોવું જ જોઈએ ડી, અને આ પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ માટેની સ્થિતિનો વિરોધાભાસ કરે છે.

કારણ કે યુવી = (a/2) 2 અને uઅને વિપ્રમાણમાં પ્રાઇમ છે, તે સાબિત કરવું સરળ છે uઅને વિઅમુક સંખ્યાઓનો વર્ગ હોવો જોઈએ.

તેથી ત્યાં હકારાત્મક પૂર્ણાંકો છે mઅને n, આવા કે u = m 2 અને વિ = n 2. પછી

એ 2 = 4યુવી = 4m 2 n 2 તેથી
એ = 2mn; b = u − વિ = m 2 − n 2 ; c = u + વિ = m 2 + n 2 .

કારણ કે b> 0, પછી m > n.

તે બતાવવાનું બાકી છે mઅને nઅલગ અલગ જોડી છે. જો mઅને n- જોડી, પછી uઅને વિજોડી હોવી જ જોઈએ, પરંતુ આ અશક્ય છે, કારણ કે તેઓ પ્રમાણમાં પ્રાઇમ છે. જો mઅને n- અનપેયર્ડ, પછી b = m 2 − n 2 અને c = m 2 + n 2 જોડી કરવામાં આવશે, જે અશક્ય છે, ત્યારથી cઅને b- પરસ્પર સરળ.

આમ, કોઈપણ આદિમ પાયથાગોરિયન ટ્રિપલે શરતોને સંતોષવી જોઈએ (2). તે જ સમયે, સંખ્યાઓ mઅને nને બોલાવ્યા હતા સંખ્યાઓ પેદા કરી રહ્યા છીએઆદિમ ત્રિપુટી. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો આપણે આદિમ પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ (120,119,169) લઈએ. આ બાબતે

એ= 120 = 2·12·5, b= 119 = 144 − 25, અને c = 144+25=169,

જ્યાં m = 12, n= 5 — જનરેટીંગ નંબર્સ, 12 > 5; 12 અને 5 પરસ્પર મુખ્ય છે અને અલગ-અલગ જોડીઓ છે.

વિપરીત સાબિત કરી શકાય છે કે સંખ્યાઓ m, nસૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને (2) તેઓ આદિમ પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ (a,b,c) આપે છે. ખરેખર,

એ 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

તે જ ( a,b,c) એ પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ છે. ચાલો આ કિસ્સામાં તે સાબિત કરીએ a,b,cવિરોધાભાસ દ્વારા પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. આ સંખ્યાઓને વડે વિભાજ્ય થવા દો પી> 1. ત્યારથી mઅને nપછી અલગ અલગ જોડી હોય bઅને c- અનપેયર્ડ, એટલે કે પી≠ 2. ત્યારથી આરવિભાજન bઅને c, તે આર 2 ને વિભાજિત કરવું જોઈએ m 2 અને 2 n 2, પરંતુ આ અશક્ય છે, ત્યારથી પી≠ 2. તેથી m, n- પરસ્પર મુખ્ય અને a,b,c- પણ પ્રમાણમાં સરળ છે.

કોષ્ટક 1 તમામ આદિમ પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ્સ બતાવે છે જે ફોર્મ્યુલા (2) નો ઉપયોગ કરીને બનાવેલ છે m≤10.

કોષ્ટક 1. માટે આદિમ પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ્સ m≤10

આ કોષ્ટકનું વિશ્લેષણ નીચેની શ્રેણીની પેટર્નની હાજરી દર્શાવે છે:

• અથવા a, અથવા b 3 વડે વિભાજ્ય;
• નંબરોમાંથી એક a,b,c 5 વડે વિભાજ્ય;
• સંખ્યા એ 4 વડે વિભાજ્ય;
• કામ a· b 12 વડે વિભાજ્ય.

1971 માં, અમેરિકન ગણિતશાસ્ત્રીઓ ટેઇગન અને હેડવિને ત્રિકોણ બનાવવા માટે તેની ઊંચાઈ જેવા ઓછા જાણીતા પરિમાણોનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો. h = c- b અને અધિક (સફળતા) ઇ = a + b − c. ફિગ. 1 માં. આ જથ્થાઓ ચોક્કસ કાટકોણ ત્રિકોણ પર બતાવવામાં આવે છે.

આકૃતિ 1. કાટકોણ ત્રિકોણ અને તેની વૃદ્ધિ અને અધિક

"અધિક" નામ એ હકીકત પરથી ઉતરી આવ્યું છે કે તે વધારાનું અંતર છે જે ત્રિકોણના પગ સાથે એક શિરોબિંદુથી વિરુદ્ધ તરફ પસાર થવું જોઈએ, જો તેના કર્ણ સાથે ન જાય.

પાયથાગોરિયન ત્રિકોણની બાજુઓની અધિકતા અને વૃદ્ધિ દ્વારા આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે:

ઇ 2 ઇ 2
a = h + ઇ, b = ઇ + ——, c = h + ઇ + ——, (3)
2h 2h

બધા સંયોજનો નથી hઅને ઇપાયથાગોરિયન ત્રિકોણને અનુરૂપ હોઈ શકે છે. આપેલ માટે hશક્ય મૂલ્યો ઇચોક્કસ સંખ્યાના ઉત્પાદનો છે ડી. આ નંબર ડીવૃદ્ધિનું નામ છે અને તેનો સંદર્ભ આપે છે hનીચેની રીતે: ડીસૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક છે જેનો વર્ગ 2 વડે વિભાજ્ય છે h. કારણ કે ઇબહુવિધ ડી, પછી તે તરીકે લખવામાં આવે છે ઇ = kd, ક્યાં kસકારાત્મક પૂર્ણાંક છે.

જોડીનો ઉપયોગ કરીને ( k,h) તમે બધા પાયથાગોરિયન ત્રિકોણ જનરેટ કરી શકો છો, જેમાં બિન-આદિમ અને સામાન્યીકૃત ત્રિકોણનો સમાવેશ થાય છે, નીચે પ્રમાણે:

(ડીકે) 2 (ડીકે) 2
a = h + ડીકે, b = ડીકે + ——, c = h + ડીકે + ——, (4)
2h 2h

તદુપરાંત, ટ્રિપલ જો આદિમ છે kઅને hપ્રમાણમાં પ્રાઇમ છે અને જો h =± q 2 ખાતે q- અનપેયર્ડ.
વધુમાં, આ ચોક્કસપણે પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ હશે જો k> √2· h/ડીઅને h > 0.

શોધવા માટે kઅને hથી ( a,b,c), નીચેની ક્રિયાઓ કરો:

• h = c − b;
• લખો hકેવી રીતે h = pq 2 જ્યાં પી> 0 અને જેમ કે ચોરસ નથી;
• ડી = 2pqજો પી- અનપેયર્ડ અને ડી = pq, જો p જોડી હોય;
• k = (a − h)/ડી.

ઉદાહરણ તરીકે, ટ્રિપલ (8,15,17) માટે આપણી પાસે છે h= 17−15 = 2 1, તેથી પી= 2 અને q = 1, ડી= 2, અને k= (8 − 2)/2 = 3. તેથી આ ટ્રિપલ દ્વારા આપવામાં આવે છે ( k,h) = (3,2).

ટ્રિપલ (459,1260,1341) માટે અમારી પાસે છે h= 1341 − 1260 = 81, તેથી પી = 1, q= 9 અને ડી= 18, અહીંથી k= (459 − 81)/18 = 21, તેથી આ ટ્રિપલનો કોડ છે ( k,h) = (21, 81).

ઉપયોગ કરીને ત્રિપુટી સુયોજિત કરી રહ્યા છીએ hઅને kઅસંખ્ય રસપ્રદ ગુણધર્મો ધરાવે છે. પરિમાણ kબરાબર

k = 4એસ/(ડીપી), (5)

જ્યાં એસ = ab/2 એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે, અને પી = a + b + c- તેની પરિમિતિ. આ સમાનતામાંથી અનુસરે છે eP = 4એસ, જે પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે.

કાટકોણ ત્રિકોણ માટે ઇત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળના વ્યાસ જેટલો. આ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે કર્ણ સાથે = (એ − આર)+(b − આર) = a + b − 2આર, ક્યાં આર- વર્તુળની ત્રિજ્યા. અહીંથી h = c − b = એ − 2આરઅને ઇ = a − h = 2આર.

માટે h> 0 અને k > 0, kત્રિપુટીઓની ક્રમિક સંખ્યા છે a-b-cવધારો સાથે પાયથાગોરિયન ત્રિકોણના ક્રમમાં h. કોષ્ટક 2 માંથી, જે જોડી દ્વારા જનરેટ કરાયેલ ત્રિપુટીઓ માટે ઘણા વિકલ્પો રજૂ કરે છે h, k, તે સ્પષ્ટ છે કે વધારો સાથે kત્રિકોણની બાજુઓના કદમાં વધારો થાય છે. આમ, ક્લાસિકલ નંબરિંગથી વિપરીત, જોડીમાં નંબરિંગ h, kત્રિપુટીના ક્રમમાં વધુ ક્રમ ધરાવે છે.

કોષ્ટક 2. પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ્સ h, k જોડી દ્વારા બનાવવામાં આવે છે.

માટે h > 0, ડીઅસમાનતાને સંતોષે છે 2√ h ≤ ડી ≤ 2h, જેમાં નીચલી મર્યાદા પર પહોંચી ગઈ છે પી= 1, અને ટોચનું એક - પર q= 1. તેથી મૂલ્ય ડી 2√ સાપેક્ષ hસંખ્યા કેટલી છે તેનું માપ છે hચોક્કસ સંખ્યાના વર્ગથી દૂર.

ગુણધર્મો

ત્યારથી Eq. x 2 + y 2 = z 2 એકરૂપ, ગુણાકાર પર x , yઅને zસમાન નંબર માટે તમને અન્ય પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ મળશે. પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ કહેવામાં આવે છે આદિમ, જો તે આ રીતે મેળવી શકાતું નથી, એટલે કે કોપ્રાઈમ નંબર્સ.

ઉદાહરણો

કેટલાક પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ (મહત્તમ સંખ્યાના ચડતા ક્રમમાં સૉર્ટ કરેલ, આદિમ હાઇલાઇટ કરેલ):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

ફિબોનાકી નંબરોના ગુણધર્મોના આધારે, તેમાંથી કંપોઝ કરવું શક્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના પાયથાગોરિયન ત્રિપુટીઓ:

વાર્તા

પાયથાગોરિયન ત્રિપુટીઓ ખૂબ લાંબા સમયથી જાણીતા છે. પ્રાચીન મેસોપોટેમીયાના કબરના પત્થરોના આર્કિટેક્ચરમાં, એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ જોવા મળે છે, જે 9, 12 અને 15 હાથની બાજુઓ સાથે બે લંબચોરસથી બનેલો છે. ફારુન સ્નોફ્રુના પિરામિડ (XXVII સદી બીસી) 20, 21 અને 29 બાજુઓ સાથે ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને તેમજ 18, 24 અને 30 દસ ઇજિપ્તીયન હાથનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવ્યા હતા.

આ પણ જુઓ

લિંક્સ

• ઇ.એ. ગોરીનપાયથાગોરિયન ટ્રિપલ્સમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની શક્તિઓ // ગાણિતિક શિક્ષણ. - 2008. - વી. 12. - પૃષ્ઠ 105-125.

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.

2010.

અન્ય શબ્દકોશોમાં "પાયથાગોરિયન નંબરો" શું છે તે જુઓ: પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ત્રિગુણ જેમ કે ત્રિકોણ જેની બાજુની લંબાઈ આ સંખ્યાઓના પ્રમાણસર (અથવા સમાન) હોય તે લંબચોરસ હોય, દા.ત. સંખ્યાઓનો ત્રણ ગણો: 3, 4, 5...

મોટા જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ત્રિગુણ જેમ કે ત્રિકોણ જેની બાજુની લંબાઈ આ સંખ્યાઓના પ્રમાણસર (અથવા સમાન) હોય તે લંબચોરસ હોય, ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓનો ત્રિગુણ: 3, 4, 5. * * * પાયથાગોરિયન નંબર્સ પાયથાગોરિયન નંબર્સ, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ત્રિગુણ જેમ કે કે......

જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

કુદરતી સંખ્યાઓના ત્રિગુણ જેમ કે ત્રિકોણ જેની બાજુની લંબાઈ આ સંખ્યાઓના પ્રમાણસર (અથવા સમાન) હોય તે લંબચોરસ હોય છે. પ્રમેય અનુસાર પાયથાગોરિયન પ્રમેય (જુઓ પાયથાગોરિયન પ્રમેય) સાથે વાતચીત કરે છે, આ માટે તે પૂરતું છે કે તેઓ... ... x2+y 2=z2 સમીકરણને સંતોષતા ધન પૂર્ણાંક x, y, z ના ત્રિગુણો. આ સમીકરણના તમામ ઉકેલો, અને તેથી તમામ આંશિક સંખ્યાઓ, x = a 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2 સૂત્રો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, જ્યાં a અને b મનસ્વી હકારાત્મક પૂર્ણાંકો (a>b) છે. P.h...

ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ કુદરતી સંખ્યાઓના ત્રિગુણ જેમ કે ત્રિકોણ જેની બાજુની લંબાઈ આ સંખ્યાઓ માટે પ્રમાણસર (અથવા સમાન) હોય છે તે લંબચોરસ હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે. સંખ્યાઓનો ત્રણ ગણો: 3, 4, 5...

કુદરતી વિજ્ઞાન. જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

ગણિતમાં, પાયથાગોરિયન સંખ્યાઓ (પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ) એ પાયથાગોરિયન સંબંધને સંતોષતા ત્રણ પૂર્ણાંકોનો ટુપલ છે: x2 + y2 = z2. વિષયવસ્તુ 1 ગુણધર્મો 2 ઉદાહરણો ... વિકિપીડિયા

ફિગર્ડ નંબર્સ એ ચોક્કસ ભૌમિતિક આકૃતિ સાથે સંકળાયેલી સંખ્યાઓનું સામાન્ય નામ છે. આ ઐતિહાસિક ખ્યાલ પાયથાગોરિયનોનો છે. નીચેના પ્રકારની આકૃતિવાળી સંખ્યાઓને અલગ પાડવામાં આવે છે: રેખીય સંખ્યાઓ એવી સંખ્યાઓ છે જેનું અવયવીકરણ કરી શકાતું નથી, એટલે કે તેમની... ... વિકિપીડિયા

- "ધ પાઇ વિરોધાભાસ" એ ગણિતના વિષય પરની એક મજાક છે, જે 80 ના દાયકા સુધી વિદ્યાર્થીઓમાં પ્રચલિત હતી (હકીકતમાં, માઇક્રોકેલ્ક્યુલેટરના સમૂહ વિતરણ પહેલા) અને ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની ગણતરીની મર્યાદિત ચોકસાઈ સાથે સંકળાયેલી હતી અને .. ... વિકિપીડિયા

- (ગ્રીક એરિથમેટિકા, એરિથમીસ નંબરમાંથી) સંખ્યાઓનું વિજ્ઞાન, મુખ્યત્વે કુદરતી (ધન પૂર્ણાંકો) સંખ્યાઓ અને (તર્કસંગત) અપૂર્ણાંકો અને તેના પરની ક્રિયાઓ વિશે. કુદરતી સંખ્યાઓ અને ક્ષમતાના પૂરતા પ્રમાણમાં વિકસિત ખ્યાલનો કબજો... ... ગ્રેટ સોવિયેત જ્ઞાનકોશ

પુસ્તકો

• આર્કિમિડીઝ સમર, અથવા યુવા ગણિતશાસ્ત્રીઓના કોમનવેલ્થનો ઇતિહાસ. બાઈનરી નંબર સિસ્ટમ, બોબ્રોવ સેર્ગેઈ પાવલોવિચ. બાઈનરી નંબર સિસ્ટમ, ટાવર ઓફ હનોઈ, નાઈટ મૂવ, જાદુઈ ચોરસ, અંકગણિત ત્રિકોણ, આકૃતિવાળી સંખ્યાઓ, સંયોજનો, સંભાવનાનો ખ્યાલ, મોબિયસ સ્ટ્રીપ અને ક્લેઈન બોટલ.…

ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણનું મહત્વનું ઉદાહરણ પાયથાગોરિયન પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે, જે કાટખૂણે ત્રિકોણના પગની લંબાઈ x અને y ને તેના કર્ણાકારની લંબાઈ z સાથે સંબંધિત કરે છે:

તમે, અલબત્ત, પ્રાકૃતિક સંખ્યામાં આ સમીકરણનો એક અદ્ભુત ઉકેલ મેળવ્યો છે, એટલે કે પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ ઓફ નંબર્સ. x = 3, y = 4, z = 5.શું આના જેવી બીજી કોઈ ત્રિપુટી છે?

તે તારણ આપે છે કે ત્યાં અનંતપણે ઘણા પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ છે અને તે બધા લાંબા સમય પહેલા મળી આવ્યા હતા. તેઓ જાણીતા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે, જેના વિશે તમે આ ફકરામાંથી શીખી શકશો.

જો પ્રથમ અને બીજી ડિગ્રીના ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો પહેલેથી જ હલ થઈ ગયા છે, તો મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓના પ્રયત્નો છતાં, ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણોને ઉકેલવાનો પ્રશ્ન હજી પણ ખુલ્લો રહે છે. હાલમાં, ઉદાહરણ તરીકે, ફર્મેટનું પ્રખ્યાત અનુમાન કે કોઈપણ પૂર્ણાંક મૂલ્ય માટે હજી નિર્ણાયક રીતે સાબિત અથવા રદિયો આપવામાં આવ્યો નથી. n2સમીકરણ

પૂર્ણાંકોમાં કોઈ ઉકેલ નથી.

કેટલાક પ્રકારના ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો ઉકેલવા માટે, કહેવાતા જટિલ સંખ્યાઓ.તે શુ છે? હું પત્રને ચોક્કસ ઑબ્જેક્ટ દર્શાવવા દો જે શરતને સંતોષે છે i 2 = -1(તે સ્પષ્ટ છે કે એક પણ વાસ્તવિક સંખ્યા આ સ્થિતિને સંતોષતી નથી). ફોર્મના અભિવ્યક્તિઓનો વિચાર કરો α + iβ,જ્યાં α અને β વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. અમે આવા અભિવ્યક્તિઓને જટિલ સંખ્યાઓ કહીશું, તેમના પર સરવાળો અને ગુણાકારની ક્રિયાઓ તેમજ દ્વિપદીઓ પર વ્યાખ્યાયિત કર્યા છે, પરંતુ માત્ર એટલો જ તફાવત છે કે અભિવ્યક્તિ i 2અમે દરેક જગ્યાએ નંબર -1 ને બદલીશું:

7.1. એક ત્રણ ઘણા બધા છે

સાબિત કરો કે જો x 0 , y 0 , z 0- પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ, પછી ટ્રિપલ y 0 , x 0 , z 0અને x 0 k, y 0 k, z 0 kકુદરતી પરિમાણના કોઈપણ મૂલ્ય માટે k પણ પાયથાગોરિયન છે.

7.2. ખાસ સૂત્રો

કોઈપણ કુદરતી મૂલ્યો માટે તે તપાસો m>nત્રણ પ્રકારના

પાયથાગોરિયન છે. કોઈપણ પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ x, y, zજો આપણે ટ્રિપલમાં x અને y નંબરોને બદલવાની મંજૂરી આપીએ તો શું તે આ સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય?

7.3. અવિભાજ્ય ત્રિપુટી

સંખ્યાઓનો પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ કે જેમાં સામાન્ય વિભાજક 1 કરતા વધારે ન હોય તેને અવિભાજ્ય કહેવામાં આવશે. સાબિત કરો કે પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ ફક્ત ત્યારે જ અફર છે જો ટ્રિપલની કોઈપણ બે સંખ્યાઓ કોપ્રાઈમ હોય.

7.4. અફર ટ્રિપલ્સની મિલકત

સાબિત કરો કે કોઈપણ અવિભાજ્ય પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ x, y, z માં નંબર z અને બરાબર એક નંબર x અથવા y બેકી છે.

7.5. બધા અવિભાજ્ય ત્રિપુટીઓ

સાબિત કરો કે સંખ્યાઓનો ત્રિવિધ x, y, z એ અફર પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ છે જો અને માત્ર જો તે પ્રથમ બે સંખ્યાઓના ક્રમ સુધી ટ્રિપલ સાથે એકરુપ હોય 2mn, m 2 - n 2, m 2 + n 2,જ્યાં m>n- વિવિધ સમાનતાઓની પરસ્પર મુખ્ય કુદરતી સંખ્યાઓ.

7.6. સામાન્ય સૂત્રો

સમીકરણના તમામ ઉકેલો સાબિત કરો

પ્રાકૃતિક સંખ્યામાં સૂત્રો દ્વારા અજાણ્યા x અને y ના ક્રમ સુધી આપવામાં આવે છે

જ્યાં m>n અને k પ્રાકૃતિક પરિમાણો છે (કોઈપણ ત્રિપુટીના ડુપ્લિકેશનને દૂર કરવા માટે, કોપ્રાઈમના પ્રકારો અને વધુમાં, વિવિધ સમાનતાઓની સંખ્યા પસંદ કરવા માટે તે પૂરતું છે).

7.7. પ્રથમ 10 ટ્રિપલ

બધા પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ શોધો x, y, z,સ્થિતિ સંતોષે છે x

7.8. પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ્સના ગુણધર્મો

કોઈપણ પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ માટે તે સાબિત કરો x, y, zનીચેના નિવેદનો સાચા છે:

a) ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા x અથવા y એ 3 નો ગુણાંક છે;

b) ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા x અથવા y એ 4 નો ગુણાંક છે;

c) ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા x, y અથવા z એ 5 નો ગુણાંક છે.

7.9. જટિલ સંખ્યાઓની અરજીઓ

જટિલ સંખ્યાનું મોડ્યુલસ α + iβબિન-નેગેટિવ નંબર કહેવાય છે

કોઈપણ જટિલ સંખ્યાઓ માટે તે તપાસો α + iβઅને γ + iδમિલકત સંતુષ્ટ છે

જટિલ સંખ્યાઓના ગુણધર્મો અને તેમના મોડ્યુલીનો ઉપયોગ કરીને, સાબિત કરો કે કોઈપણ બે પૂર્ણાંક m અને n સમાનતાને સંતોષે છે

એટલે કે, તેઓ સમીકરણનો ઉકેલ સ્પષ્ટ કરે છે

પૂર્ણાંકો (સમસ્યા 7.5 સાથે સરખામણી કરો).

7.10. બિન-પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ્સ

જટિલ સંખ્યાઓના ગુણધર્મો અને તેમના મોડ્યુલીનો ઉપયોગ કરીને (સમસ્યા 7.9 જુઓ), સમીકરણના કોઈપણ પૂર્ણાંક ઉકેલો માટે સૂત્રો શોધો:

a) x 2 + y 2 = z 3; b) x 2 + y 2 = z 4.

ઉકેલો

7.1. જો x 0 2 + y 0 2 = z 0 2 ,તે y 0 2 + x 0 2 = z 0 2,અને k ના કોઈપણ કુદરતી મૂલ્ય માટે આપણી પાસે છે

Q.E.D.

7.2. સમાનતાઓમાંથી

અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે સમસ્યામાં દર્શાવેલ ટ્રિપલ સમીકરણને સંતોષે છે x 2 + y 2 = z 2કુદરતી સંખ્યામાં. જો કે, દરેક પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ નથી x, y, zઆ ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે; ઉદાહરણ તરીકે, ટ્રિપલ 9, 12, 15 એ પાયથાગોરિયન છે, પરંતુ સંખ્યા 15 એ કોઈપણ બે કુદરતી સંખ્યાઓ m અને n ના વર્ગોના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાતી નથી.

7.3. જો પાયથાગોરિયન ટ્રિપલમાંથી કોઈપણ બે સંખ્યાઓ x, y, zસામાન્ય વિભાજક d હોય, તો તે ત્રીજા નંબરનો વિભાજક હશે (તેથી, કિસ્સામાં x = x 1 d, y = y 1 dઅમારી પાસે z 2 = x 2 + y 2 = (x 1 2 + y 1 2)d 2 ,જ્યાંથી z 2 એ d 2 વડે વિભાજ્ય છે અને z d વડે વિભાજ્ય છે). તેથી, પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ અફર થવા માટે, ટ્રિપલની કોઈપણ બે સંખ્યા કોપ્રાઈમ હોવી જરૂરી છે,

7.4. નોંધ કરો કે અફર પાયથાગોરિયન ટ્રિપલની x અથવા y સંખ્યાઓમાંથી એક, x કહો x, y, zવિચિત્ર છે, કારણ કે અન્યથા x અને y સંખ્યાઓ પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય નહીં હોય (જુઓ સમસ્યા 7.3). જો બીજી સંખ્યા y પણ વિષમ હોય, તો બંને સંખ્યાઓ

જ્યારે 4 વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે 1 અને સંખ્યા બાકી રહે છે z 2 = x 2 + y 2જ્યારે 4 વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે 2 નો શેષ ભાગ આપે છે, એટલે કે તે 2 વડે વિભાજ્ય છે, પરંતુ 4 વડે વિભાજ્ય નથી, જે ન હોઈ શકે. આમ, સંખ્યા y સમાન હોવી જોઈએ, અને તેથી સંખ્યા z બેકી હોવી જોઈએ.

7.5. પાયથાગોરિયનને ટ્રિપલ દો x, y, zઅફર છે અને, નિશ્ચિતતા માટે, સંખ્યા x સમાન છે, અને સંખ્યાઓ y, z બેકી છે (જુઓ સમસ્યા 7.4). પછી

નંબરો ક્યાં છે સંપૂર્ણ છે. ચાલો સાબિત કરીએ કે સંખ્યાઓ a અને b કોપ્રાઈમ છે. વાસ્તવમાં, જો તેમની પાસે સામાન્ય ભાજક 1 કરતા વધારે હોય, તો સંખ્યાઓ સમાન વિભાજક ધરાવે છે z = a + b, y = a - b,એટલે કે, ટ્રિપલ અફર ન હોઈ શકે (જુઓ સમસ્યા 7.3). હવે, સંખ્યાઓ a અને b ને અવિભાજ્ય અવયવોના ઉત્પાદનોમાં વિસ્તરણ કરીએ છીએ, અમે નોંધ્યું છે કે ઉત્પાદનમાં કોઈપણ અવિભાજ્ય પરિબળ શામેલ હોવું આવશ્યક છે 4ab = x 2માત્ર એક સમાન ડિગ્રી સુધી, અને જો તે સંખ્યા a ના વિસ્તરણમાં સમાવવામાં આવેલ હોય, તો તે સંખ્યા b ના વિસ્તરણમાં સમાવવામાં આવતું નથી અને ઊલટું. તેથી, કોઈપણ અવિભાજ્ય પરિબળ સંખ્યાના વિસ્તરણમાં a અથવા b અલગથી માત્ર એક સમાન ડિગ્રીમાં પ્રવેશ કરે છે, જેનો અર્થ છે કે આ સંખ્યાઓ પોતે પૂર્ણાંકોના વર્ગો છે. ચાલો મૂકીએ પછી આપણને સમાનતા મળે છે

તદુપરાંત, કુદરતી પરિમાણો m>n એ કોપ્રાઈમ છે (સંખ્યા a અને b ની કોપ્રાઈમનેસને કારણે) અને વિવિધ સમાનતાઓ ધરાવે છે (સંખ્યાની વિચિત્રતાને કારણે z = m 2 + n 2).

હવે વિવિધ સમાનતાઓની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને કોપ્રાઈમ થવા દો. પછી ત્રણ x = 2mn, y = m 2 - n 2, z = m 2 + n 2, સમસ્યા 7.2 ના નિવેદન મુજબ, પાયથાગોરિયન છે. ચાલો સાબિત કરીએ કે તે અફર છે. આ કરવા માટે, તે તપાસવું પૂરતું છે કે નંબરો y અને z માં સામાન્ય વિભાજકો નથી (સમસ્યા 7.3 જુઓ). વાસ્તવમાં, આ બંને સંખ્યાઓ વિષમ છે, કારણ કે પ્રકાર નંબરોની વિવિધ સમાનતાઓ છે. જો સંખ્યાઓ y અને z માં કેટલાક સાદા સામાન્ય વિભાજક હોય (પછી તે વિષમ હોવા જોઈએ), તો પછી દરેક સંખ્યાઓ, અને તેમની સાથે, દરેક સંખ્યા m અને n, સમાન વિભાજક ધરાવે છે, જે તેમની પરસ્પર સરળતાનો વિરોધાભાસ કરે છે.

7.6. પ્રોબ્લેમ્સ 7.1, 7.2 માં ઘડવામાં આવેલા નિવેદનોના આધારે, આ સૂત્રો માત્ર પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ્સને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. બીજી બાજુ, કોઈપણ પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ x, y, zસૌથી સામાન્ય વિભાજક k દ્વારા તેના ઘટાડા પછી, સંખ્યાઓની જોડી x અને y અફર થઈ જાય છે (જુઓ સમસ્યા 7.3) અને તેથી, સમસ્યા 7.5 માં વર્ણવેલ સ્વરૂપમાં, x અને y સંખ્યાઓના ક્રમ સુધી રજૂ કરી શકાય છે. . તેથી, કોઈપણ પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ પરિમાણોના ચોક્કસ મૂલ્યો માટે સૂચવેલ સૂત્રો દ્વારા આપવામાં આવે છે.

7.7. અસમાનતા થી z અને સમસ્યા 7.6 ના સૂત્રો દ્વારા આપણે અંદાજ મેળવીએ છીએ m 2 એટલે કે. m≤5. માનતા m = 2, n = 1અને k = 1, 2, 3, 4, 5,અમને ત્રણ મળે છે 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. માનતા m = 3, n = 2અને k = 1, 2,અમને ત્રણ મળે છે 5, 12, 13; 10, 24, 26. માનતા m = 4, n = 1, 3અને k = 1,અમને ત્રણ મળે છે 8, 15, 17; 7, 24, 25. છેલ્લે, માનતા m = 5, n = 2અને k = 1,અમને ત્રણ મળે છે 20, 21, 29.

» યુનિવર્સીટી ઓફ વોરવિક ખાતે ગણિતના પ્રોફેસર, વિખ્યાત વિજ્ઞાન ઇયાન સ્ટુઅર્ટ દ્વારા, માનવજાતના ઇતિહાસમાં સંખ્યાઓની ભૂમિકા અને આપણા સમયમાં તેમના અભ્યાસની સુસંગતતાને સમર્પિત.

પાયથાગોરિયન કર્ણ

પાયથાગોરિયન ત્રિકોણમાં કાટકોણ અને પૂર્ણાંક બાજુઓ હોય છે. તેમાંના સૌથી સરળમાં લંબાઈની સૌથી લાંબી બાજુ છે 5, અન્ય - 3 અને 4. કુલ 5 નિયમિત પોલિહેડ્રા છે. પાંચમા અંશનું સમીકરણ પાંચમા મૂળ - અથવા અન્ય કોઈપણ મૂળનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાતું નથી. પ્લેન પર અને ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં જાળીઓમાં પાંચ-લોબવાળી રોટેશનલ સપ્રમાણતા હોતી નથી, તેથી આવી સમપ્રમાણતા સ્ફટિકોમાં ગેરહાજર હોય છે. જો કે, તેઓ ચાર પરિમાણમાં જાળીઓમાં અને ક્વાસિક્રિસ્ટલ્સ તરીકે ઓળખાતી રસપ્રદ રચનાઓમાં મળી શકે છે.

સૌથી નાના પાયથાગોરિયન ટ્રિપલનું હાયપોટેન્યુઝ

પાયથાગોરિયન પ્રમેય જણાવે છે કે જમણા ત્રિકોણની સૌથી લાંબી બાજુ (કુખ્યાત કર્ણ) આ ત્રિકોણની અન્ય બે બાજુઓ સાથે ખૂબ જ સરળ અને સુંદર રીતે સંબંધિત છે: કર્ણનો વર્ગ તેના વર્ગોના સરવાળા જેટલો છે. અન્ય બે બાજુઓ.

પરંપરાગત રીતે, આપણે આ પ્રમેયને પાયથાગોરસના નામથી ઓળખીએ છીએ, પરંતુ હકીકતમાં તેનો ઇતિહાસ તદ્દન અસ્પષ્ટ છે. માટીની ગોળીઓ સૂચવે છે કે પ્રાચીન બેબીલોનિયનો પાયથાગોરિયન પ્રમેય પોતે પાયથાગોરસના ઘણા સમય પહેલા જાણતા હતા; શોધકની ખ્યાતિ તેમને પાયથાગોરિયનોના ગાણિતિક સંપ્રદાય દ્વારા લાવવામાં આવી હતી, જેમના સમર્થકો માનતા હતા કે બ્રહ્માંડ સંખ્યાત્મક કાયદાઓ પર આધારિત છે. પ્રાચીન લેખકોએ પાયથાગોરિયનો - અને તેથી પાયથાગોરસને વિવિધ ગાણિતિક પ્રમેયનો શ્રેય આપ્યો હતો, પરંતુ વાસ્તવમાં પાયથાગોરસ પોતે કયા પ્રકારનાં ગણિતમાં સામેલ હતા તેની આપણને કોઈ જાણ નથી. અમે એ પણ જાણતા નથી કે પાયથાગોરિયનો પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરી શકે છે અથવા જો તેઓ તેને સાચા માને છે. અથવા, સંભવત,, તેમની પાસે તેના સત્યના ખાતરીપૂર્વકના પુરાવા હતા, જે તેમ છતાં આજે આપણે જે પુરાવા માનીએ છીએ તેના માટે પૂરતું નથી.

પાયથાગોરસના પુરાવા

પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો પ્રથમ જાણીતો પુરાવો યુક્લિડના તત્વોમાં જોવા મળે છે. વિક્ટોરિયન શાળાના બાળકો તરત જ "પાયથાગોરિયન ટ્રાઉઝર" તરીકે ઓળખશે તે ચિત્રનો ઉપયોગ કરીને આ એકદમ જટિલ સાબિતી છે; રેખાંકન ખરેખર અંડરપેન્ટને લાઇન પર સૂકવવા જેવું લાગે છે. શાબ્દિક રીતે અન્ય સેંકડો પુરાવાઓ છે, જેમાંથી મોટાભાગના નિવેદનને વધુ સ્પષ્ટ બનાવે છે.

// ચોખા. 33. પાયથાગોરિયન પેન્ટ

એક સરળ સાબિતી એ એક પ્રકારની ગાણિતિક કોયડો છે. કોઈપણ કાટકોણ ત્રિકોણ લો, તેની ચાર નકલો બનાવો અને તેને ચોરસની અંદર ભેગા કરો. એક વ્યવસ્થામાં આપણે કર્ણો પર ચોરસ જોઈએ છીએ; અન્ય સાથે - ત્રિકોણની બીજી બે બાજુઓ પર ચોરસ. તે સ્પષ્ટ છે કે બંને કિસ્સાઓમાં વિસ્તારો સમાન છે.

// ચોખા. 34. ડાબે: કર્ણ પર ચોરસ (વત્તા ચાર ત્રિકોણ). જમણે: અન્ય બે બાજુઓ પરના ચોરસનો સરવાળો (વત્તા સમાન ચાર ત્રિકોણ). હવે ત્રિકોણ દૂર કરો

પેરીગલનું ડિસેક્શન એ અન્ય કોયડાનો પુરાવો છે.

// ચોખા. 35. પેરીગલનું ડિસેક્શન

પ્લેન પર ચોરસ ગોઠવવાનો ઉપયોગ કરીને પ્રમેયનો પુરાવો પણ છે. કદાચ આ રીતે પાયથાગોરિયનો અથવા તેમના અજાણ્યા પુરોગામીઓએ આ પ્રમેય શોધી કાઢ્યો હતો. જો તમે જુઓ કે કેવી રીતે ત્રાંસી ચોરસ અન્ય બે ચોરસને ઓવરલેપ કરે છે, તો તમે જોઈ શકો છો કે કેવી રીતે મોટા ચોરસને ટુકડાઓમાં કાપવા અને પછી તેને બે નાના ચોરસમાં એકસાથે મૂકવા. તમે કાટકોણ ત્રિકોણ પણ જોઈ શકો છો, જેની બાજુઓ સામેલ ત્રણ ચોરસના પરિમાણો આપે છે.

// ચોખા. 36. પેવિંગ દ્વારા સાબિતી

ત્રિકોણમિતિમાં સમાન ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને રસપ્રદ પુરાવા છે. ઓછામાં ઓછા પચાસ જુદા જુદા પુરાવાઓ જાણીતા છે.

પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ

સંખ્યાના સિદ્ધાંતમાં, પાયથાગોરિયન પ્રમેય ફળદાયી વિચારનો સ્ત્રોત બન્યો: બીજગણિત સમીકરણોના પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવા. પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ એ પૂર્ણાંકો a, b અને c નો સમૂહ છે જેમ કે

ભૌમિતિક રીતે, આવા ટ્રિપલ પૂર્ણાંક બાજુઓ સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

પાયથાગોરિયન ટ્રિપલનું સૌથી નાનું કર્ણ 5 છે.

આ ત્રિકોણની બીજી બે બાજુઓ 3 અને 4 છે. અહીં

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

પછીનું સૌથી મોટું કર્ણ 10 છે કારણ કે

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

જો કે, આ અનિવાર્યપણે બે બાજુઓ સાથે સમાન ત્રિકોણ છે. આગળનો સૌથી મોટો અને ખરેખર અલગ કર્ણો 13 છે, જેના માટે

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

યુક્લિડ જાણતા હતા કે પાયથાગોરિયન ત્રિપુટીઓની વિવિધ ભિન્નતાઓની અસંખ્ય સંખ્યા છે, અને તેણે તે બધાને શોધવા માટેનું સૂત્ર આપ્યું. પાછળથી, એલેક્ઝાન્ડ્રિયાના ડાયોફન્ટસે એક સરળ રેસીપીની દરખાસ્ત કરી, જે મૂળભૂત રીતે યુક્લિડિયન જેવી જ હતી.

કોઈપણ બે કુદરતી સંખ્યાઓ લો અને ગણતરી કરો:

તેમના ડબલ ઉત્પાદન;

તેમના ચોરસનો તફાવત;

તેમના ચોરસનો સરવાળો.

ત્રણ પરિણામી સંખ્યાઓ પાયથાગોરિયન ત્રિકોણની બાજુઓ હશે.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 2 અને 1 લઈએ. ચાલો ગણતરી કરીએ:

ડબલ ઉત્પાદન: 2 × 2 × 1 = 4;

ચોરસનો તફાવત: 22 - 12 = 3;

ચોરસનો સરવાળો: 22 + 12 = 5,

અને અમને પ્રખ્યાત 3-4-5 ત્રિકોણ મળ્યો. જો આપણે તેના બદલે 3 અને 2 નંબરો લઈએ, તો આપણને મળશે:

ડબલ ઉત્પાદન: 2 × 3 × 2 = 12;

ચોરસનો તફાવત: 32 - 22 = 5;

ચોરસનો સરવાળો: 32 + 22 = 13,

અને આપણને આગળનો સૌથી પ્રખ્યાત ત્રિકોણ 5 - 12 - 13 મળે છે. ચાલો 42 અને 23 નંબરો લેવાનો પ્રયત્ન કરીએ અને મેળવો:

ડબલ ઉત્પાદન: 2 × 42 × 23 = 1932;

ચોરસનો તફાવત: 422 - 232 = 1235;

ચોરસનો સરવાળો: 422 + 232 = 2293,

ત્રિકોણ 1235–1932–2293 વિશે કોઈએ ક્યારેય સાંભળ્યું નથી.

પરંતુ આ સંખ્યાઓ પણ કામ કરે છે:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

ડાયોફેન્ટાઇન નિયમની બીજી વિશેષતા છે જેનો પહેલેથી જ સંકેત આપવામાં આવ્યો છે: ત્રણ સંખ્યાઓ જોતાં, આપણે બીજી મનસ્વી સંખ્યા લઈ શકીએ છીએ અને તે બધાને તેના દ્વારા ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ. આમ, બધી બાજુઓને 2 વડે ગુણાકાર કરીને 3–4–5 ત્રિકોણને 6–8–10 ત્રિકોણમાં ફેરવી શકાય છે અથવા બધી બાજુઓને 5 વડે ગુણાકાર કરીને 15–20–25 ત્રિકોણમાં ફેરવી શકાય છે.

જો આપણે બીજગણિતની ભાષા પર જઈએ, તો નિયમ નીચેનું સ્વરૂપ લે છે: u, v અને k ને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ બનવા દો. પછી બાજુઓ સાથેનો કાટકોણ ત્રિકોણ

2kuv અને k (u2 - v2) પાસે કર્ણ છે

મુખ્ય વિચારને રજૂ કરવાની અન્ય રીતો છે, પરંતુ તે બધા ઉપર વર્ણવેલ એક પર ઉકળે છે. આ પદ્ધતિ તમને તમામ પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ્સ મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે.

નિયમિત પોલિહેડ્રા

ત્યાં બરાબર પાંચ નિયમિત પોલિહેડ્રા છે. નિયમિત પોલિહેડ્રોન (અથવા પોલિહેડ્રોન) એ ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિ છે જેમાં સપાટ ચહેરાઓની મર્યાદિત સંખ્યા છે. ચહેરાઓ કિનારીઓ તરીકે ઓળખાતી રેખાઓ પર એકબીજાને મળે છે; કિનારીઓ શિરોબિંદુ તરીકે ઓળખાતા બિંદુઓ પર મળે છે.

યુક્લિડિયન પ્રિન્સિપિયાની પરાકાષ્ઠા એ સાબિતી છે કે ત્યાં ફક્ત પાંચ નિયમિત પોલિહેડ્રા હોઈ શકે છે, એટલે કે, પોલિહેડ્રા જેમાં દરેક ચહેરો નિયમિત બહુકોણ (સમાન બાજુઓ, સમાન ખૂણાઓ) હોય છે, બધા ચહેરા સમાન હોય છે, અને બધા શિરોબિંદુઓ એક સમાનથી ઘેરાયેલા હોય છે. સમાન અંતરવાળા ચહેરાઓની સંખ્યા. અહીં પાંચ નિયમિત પોલિહેડ્રા છે:

ચાર ત્રિકોણાકાર ચહેરાઓ, ચાર શિરોબિંદુઓ અને છ ધાર સાથે ટેટ્રાહેડ્રોન;

ક્યુબ, અથવા હેક્ઝાહેડ્રોન, 6 ચોરસ ચહેરાઓ, 8 શિરોબિંદુઓ અને 12 ધાર સાથે;

8 ત્રિકોણાકાર ચહેરાઓ, 6 શિરોબિંદુઓ અને 12 કિનારીઓ સાથેનો અષ્ટાહેડ્રોન;

12 પંચકોણીય ચહેરાઓ, 20 શિરોબિંદુઓ અને 30 કિનારીઓ સાથે ડોડેકાહેડ્રોન;

20 ત્રિકોણાકાર ચહેરાઓ, 12 શિરોબિંદુઓ અને 30 કિનારીઓ ધરાવતું આઇકોસાહેડ્રોન.

// ચોખા. 37. પાંચ નિયમિત પોલિહેડ્રા

નિયમિત પોલિહેડ્રા પણ પ્રકૃતિમાં મળી શકે છે. 1904માં, અર્ન્સ્ટ હેકેલે રેડિયોલેરિયન તરીકે ઓળખાતા નાના જીવોના ચિત્રો પ્રકાશિત કર્યા; તેમાંના ઘણા સમાન પાંચ નિયમિત પોલિહેડ્રા જેવા આકારના છે. કદાચ, જો કે, તેણે પ્રકૃતિને સહેજ સુધારી છે, અને રેખાંકનો ચોક્કસ જીવંત માણસોના આકારને સંપૂર્ણપણે પ્રતિબિંબિત કરતા નથી. પ્રથમ ત્રણ રચનાઓ પણ સ્ફટિકોમાં જોવા મળે છે. તમને સ્ફટિકોમાં ડોડેકેહેડ્રોન અને આઇકોસાહેડ્રોન જોવા મળશે નહીં, જો કે અનિયમિત ડોડેકેહેડ્રોન અને આઇકોસાહેડ્રોન ક્યારેક ત્યાં જોવા મળે છે. સાચા ડોડેકાહેડ્રોન ક્વાસિક્રિસ્ટલ્સ તરીકે થઈ શકે છે, જે દરેક રીતે સ્ફટિકો જેવા જ હોય ​​છે સિવાય કે તેમના પરમાણુ સામયિક જાળી બનાવતા નથી.

// ચોખા. 38. હેકેલના રેખાંકનો: નિયમિત પોલિહેડ્રાના સ્વરૂપમાં રેડિયોલેરિયન

// ચોખા. 39. નિયમિત પોલિહેડ્રાના વિકાસ

પહેલા એકબીજા સાથે જોડાયેલા ચહેરાના સમૂહને કાપીને કાગળમાંથી નિયમિત પોલિહેડ્રાના મોડેલ્સ બનાવવાનું રસપ્રદ હોઈ શકે છે - આને પોલિહેડ્રોન વિકસાવવાનું કહેવામાં આવે છે; વિકાસને કિનારીઓ સાથે ફોલ્ડ કરવામાં આવે છે અને અનુરૂપ કિનારીઓ એકસાથે ગુંદરવાળી હોય છે. ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે આવી દરેક જોડીની એક પાંસળીમાં વધારાનું ગુંદર પેડ ઉમેરવું ઉપયોગી છે. 39. જો આવા કોઈ વિસ્તાર ન હોય, તો તમે એડહેસિવ ટેપનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

પાંચમી ડિગ્રી સમીકરણ

5મી ડિગ્રીના સમીકરણો ઉકેલવા માટે કોઈ બીજગણિત સૂત્ર નથી.

સામાન્ય રીતે, પાંચમી ડિગ્રી સમીકરણ આના જેવું દેખાય છે:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

સમસ્યા આવા સમીકરણના ઉકેલો માટે સૂત્ર શોધવાની છે (તેમાં પાંચ ઉકેલો હોઈ શકે છે). ચતુર્ભુજ અને ઘન સમીકરણો, તેમજ ચોથા અંશના સમીકરણો સાથેનો અનુભવ સૂચવે છે કે આવા સૂત્ર પાંચમા ડિગ્રીના સમીકરણો માટે પણ અસ્તિત્વમાં હોવા જોઈએ, અને સિદ્ધાંતમાં, પાંચમા, ત્રીજા અને બીજા અંશના મૂળ તેમાં દેખાવા જોઈએ. ફરીથી, અમે સુરક્ષિત રીતે માની શકીએ છીએ કે આવા ફોર્મ્યુલા, જો તે અસ્તિત્વમાં છે, તો તે ખૂબ જ જટિલ હશે.

આ ધારણા આખરે ખોટી નીકળી. હકીકતમાં, આવી કોઈ ફોર્મ્યુલા અસ્તિત્વમાં નથી; સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર અને મૂળ લેવાનો ઉપયોગ કરીને બનાવેલ ગુણાંક a, b, c, d, e અને f ધરાવતાં કોઈ સૂત્ર નથી. તેથી 5 નંબર વિશે કંઈક ખાસ છે. પાંચેયના આ અસામાન્ય વર્તનના કારણો ખૂબ ઊંડા છે, અને તેમને સમજવામાં ઘણો સમય લાગ્યો.

મુશ્કેલીની પ્રથમ નિશાની એ હતી કે ગણિતશાસ્ત્રીઓએ આવા સૂત્રને શોધવાનો ગમે તેટલો સખત પ્રયાસ કર્યો, પછી ભલે તેઓ ગમે તેટલા સ્માર્ટ હોય, તેઓ હંમેશા નિષ્ફળ જતા. થોડા સમય માટે, દરેક જણ માનતા હતા કે કારણો સૂત્રની અવિશ્વસનીય જટિલતામાં છે. એવું માનવામાં આવતું હતું કે કોઈ પણ આ બીજગણિતને યોગ્ય રીતે સમજી શકશે નહીં. જો કે, સમય જતાં, કેટલાક ગણિતશાસ્ત્રીઓએ શંકા કરવાનું શરૂ કર્યું કે આવા સૂત્ર પણ અસ્તિત્વમાં છે, અને 1823 માં નીલ્સ હેન્ડ્રિક એબેલ વિરુદ્ધ સાબિત કરવામાં સક્ષમ હતા. આવી કોઈ ફોર્મ્યુલા નથી. તેના થોડા સમય પછી, એવેરિસ્ટ ગેલોઈસે આ પ્રકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને એક ડિગ્રી અથવા અન્ય - 5મું, 6ઠ્ઠું, 7મું, કોઈપણ પ્રકારનું સમીકરણ ઉકેલી શકાય તેવું છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવાનો માર્ગ શોધી કાઢ્યો.

આ બધામાંથી નિષ્કર્ષ સરળ છે: નંબર 5 વિશેષ છે. તમે 1, 2, 3 અને 4 શક્તિઓ માટે બીજગણિતીય સમીકરણો (n ના વિવિધ મૂલ્યો માટે nth મૂળનો ઉપયોગ કરીને) ઉકેલી શકો છો, પરંતુ સત્તા 5 માટે નહીં. આ તે છે જ્યાં સ્પષ્ટ પેટર્ન સમાપ્ત થાય છે.

કોઈને નવાઈ નથી લાગતી કે 5 થી વધુ ડિગ્રીના સમીકરણો પણ ખરાબ વર્તન કરે છે; ખાસ કરીને, સમાન મુશ્કેલી તેમની સાથે સંકળાયેલી છે: તેમને હલ કરવા માટે કોઈ સામાન્ય સૂત્રો નથી. આનો અર્થ એ નથી કે સમીકરણો પાસે કોઈ ઉકેલ નથી; આનો અર્થ એ પણ નથી કે આ ઉકેલો માટે ખૂબ જ ચોક્કસ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો શોધવાનું અશક્ય છે. તે પરંપરાગત બીજગણિત સાધનોની મર્યાદાઓ વિશે છે. આ શાસક અને હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને ખૂણાના ત્રણ ભાગની અશક્યતાની યાદ અપાવે છે. જવાબ અસ્તિત્વમાં છે, પરંતુ સૂચિબદ્ધ પદ્ધતિઓ અપૂરતી છે અને અમને તે શું છે તે નિર્ધારિત કરવાની મંજૂરી આપતી નથી.

ક્રિસ્ટલોગ્રાફિક મર્યાદા

બે અને ત્રણ પરિમાણમાં સ્ફટિકોમાં 5-રે પરિભ્રમણીય સમપ્રમાણતા હોતી નથી.

સ્ફટિકમાં અણુઓ એક જાળી બનાવે છે, એટલે કે, એક માળખું જે સમયાંતરે પોતાને ઘણી સ્વતંત્ર દિશામાં પુનરાવર્તિત કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વોલપેપર પરની પેટર્ન રોલની લંબાઈ સાથે પુનરાવર્તિત થાય છે; વધુમાં, તે સામાન્ય રીતે આડી દિશામાં પુનરાવર્તિત થાય છે, કેટલીકવાર વૉલપેપરના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં શિફ્ટ સાથે. આવશ્યકપણે, વૉલપેપર એ દ્વિ-પરિમાણીય સ્ફટિક છે.

પ્લેન પર વૉલપેપર પેટર્નની 17 જાતો છે (જુઓ પ્રકરણ 17). તેઓ સપ્રમાણતાના પ્રકારોમાં ભિન્ન છે, એટલે કે, પેટર્નને સખત રીતે ખસેડવાની રીતોમાં જેથી તે તેની મૂળ સ્થિતિમાં બરાબર રહે. સમપ્રમાણતાના પ્રકારોમાં, ખાસ કરીને, રોટેશનલ સપ્રમાણતાના વિવિધ પ્રકારોનો સમાવેશ થાય છે, જ્યાં પેટર્નને ચોક્કસ બિંદુની આસપાસ ચોક્કસ ખૂણા દ્વારા ફેરવવી જોઈએ - સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર.

પરિભ્રમણીય સમપ્રમાણતાનો ક્રમ એ સંખ્યા છે કે શરીરને પૂર્ણ વર્તુળમાં કેટલી વાર ફેરવી શકાય છે જેથી પેટર્નની તમામ વિગતો તેમની મૂળ સ્થિતિ પર પાછા આવે. ઉદાહરણ તરીકે, 90° પરિભ્રમણ એ 4થી ક્રમની પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતા* છે. ક્રિસ્ટલ જાળીમાં રોટેશનલ સપ્રમાણતાના સંભવિત પ્રકારોની સૂચિ ફરીથી નંબર 5 ની અસામાન્યતા તરફ નિર્દેશ કરે છે: તે ત્યાં નથી. 2જી, 3જી, 4ઠ્ઠી અને 6ઠ્ઠી ક્રમની પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતા સાથે વિકલ્પો છે, પરંતુ વૉલપેપરની કોઈપણ ડિઝાઇનમાં 5મી ક્રમની પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતા નથી. ક્રિસ્ટલ્સમાં 6 થી વધુ ક્રમની પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતા પણ અસ્તિત્વમાં નથી, પરંતુ ક્રમનું પ્રથમ ઉલ્લંઘન હજુ પણ 5 નંબર પર થાય છે.

ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં ક્રિસ્ટલોગ્રાફિક સિસ્ટમ્સ સાથે સમાન વસ્તુ થાય છે. અહીં જાળી પોતાને ત્રણ સ્વતંત્ર દિશામાં પુનરાવર્તિત કરે છે. ત્યાં 219 વિવિધ પ્રકારની સમપ્રમાણતા છે, અથવા 230 જો આપણે એક અલગ પ્રકાર તરીકે ડિઝાઇનની મિરર ઇમેજની ગણતરી કરીએ - આ હકીકત હોવા છતાં કે આ કિસ્સામાં કોઈ મિરર સપ્રમાણતા નથી. ફરીથી, ઓર્ડર 2, 3, 4 અને 6 ની પરિભ્રમણીય સમપ્રમાણતા જોવા મળે છે, પરંતુ 5 નહીં. આ હકીકતને ક્રિસ્ટલોગ્રાફિક કેદ કહેવામાં આવે છે.

ચાર-પરિમાણીય અવકાશમાં, 5મા ક્રમની સમપ્રમાણતા સાથે જાળીઓ અસ્તિત્વમાં છે; સામાન્ય રીતે, પર્યાપ્ત ઉચ્ચ પરિમાણની જાળીઓ માટે, પરિભ્રમણીય સમપ્રમાણતાનો કોઈપણ પૂર્વનિર્ધારિત ક્રમ શક્ય છે.

// ચોખા. 40. ટેબલ સોલ્ટની સ્ફટિક જાળી. શ્યામ દડા સોડિયમ અણુઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, પ્રકાશ દડા ક્લોરિન પરમાણુનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે

Quasicrystals

જોકે 2D અથવા 3D જાળીઓમાં 5મી ક્રમની રોટેશનલ સપ્રમાણતા શક્ય નથી, તે ક્વોસિક્રિસ્ટલ્સ તરીકે ઓળખાતી થોડી ઓછી નિયમિત રચનાઓમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. કેપ્લરના સ્કેચનો ઉપયોગ કરીને, રોજર પેનરોઝે પાંચ ગણી સમપ્રમાણતાના વધુ સામાન્ય પ્રકાર સાથે પ્લાનર સિસ્ટમ્સની શોધ કરી. તેમને ક્વાસિક્રિસ્ટલ્સ કહેવામાં આવે છે.

Quasicrystals પ્રકૃતિમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. 1984માં, ડેનિયલ શેચટમેને શોધ્યું કે એલ્યુમિનિયમ અને મેંગેનીઝની મિશ્રધાતુ ક્વાસિક્રિસ્ટલ્સ બનાવી શકે છે; શરૂઆતમાં, સ્ફટિક શાસ્ત્રીઓએ તેમના અહેવાલને કેટલાક સંશયવાદ સાથે આવકાર્યા હતા, પરંતુ પાછળથી શોધની પુષ્ટિ થઈ હતી, અને 2011 માં શેચમેનને રસાયણશાસ્ત્રમાં નોબેલ પુરસ્કાર એનાયત કરવામાં આવ્યો હતો. 2009 માં, લુકા બિંદીની આગેવાની હેઠળની વૈજ્ઞાનિકોની ટીમે રશિયન કોરિયાક હાઇલેન્ડ્સમાંથી એક ખનિજમાં ક્વાસિક્રિસ્ટલ્સ શોધી કાઢ્યા - એલ્યુમિનિયમ, તાંબુ અને આયર્નનું સંયોજન. આજે આ ખનિજને icosahedrite કહેવામાં આવે છે. માસ સ્પેક્ટ્રોમીટરનો ઉપયોગ કરીને ખનિજમાં વિવિધ ઓક્સિજન આઇસોટોપની સામગ્રીને માપીને, વૈજ્ઞાનિકોએ બતાવ્યું કે આ ખનિજ પૃથ્વી પર ઉદ્ભવ્યું નથી. તે લગભગ 4.5 અબજ વર્ષો પહેલા રચાયું હતું, જ્યારે સૌરમંડળની શરૂઆત થઈ રહી હતી, અને તેનો મોટાભાગનો સમય એસ્ટરોઇડ બેલ્ટમાં વિતાવ્યો હતો, સૂર્યની ભ્રમણકક્ષામાં, જ્યાં સુધી કોઈ વિક્ષેપ તેની ભ્રમણકક્ષામાં ફેરફાર થયો અને આખરે તેને પૃથ્વી પર લાવ્યો.

// ચોખા. 41. ડાબે: ચોક્કસ પાંચ ગણી સમપ્રમાણતા સાથે બે ક્વોસિક્રિસ્ટલાઇન જાળીમાંથી એક. જમણે: આઇકોસહેડ્રલ એલ્યુમિનિયમ-પેલેડિયમ-મેંગેનીઝ ક્વાસિક્રિસ્ટલનું અણુ મોડેલ