ચાલો કહીએ કે એચિલીસ કાચબા કરતા દસ ગણી ઝડપથી દોડે છે અને તેની પાછળ એક હજાર પગલાં છે. એચિલીસને આ અંતર ચલાવવા માટે જે સમય લાગશે તે દરમિયાન કાચબો તે જ દિશામાં સો ડગલાં ચાલશે. જ્યારે એચિલીસ સો ડગલાં ચાલે છે, ત્યારે કાચબો બીજા દસ ડગલાં ચાલે છે, વગેરે. પ્રક્રિયા અનંત સુધી ચાલુ રહેશે, એચિલીસ ક્યારેય કાચબાને પકડી શકશે નહીં.

આ તર્ક અનુગામી તમામ પેઢીઓ માટે તાર્કિક આંચકો બની ગયો. એરિસ્ટોટલ, ડાયોજીનીસ, કાન્ટ, હેગેલ, હિલ્બર્ટ... તેઓ બધા એક યા બીજી રીતે ઝેનોના અપોરિયાને માનતા હતા. આંચકો એટલો જોરદાર હતો કે " ... ચર્ચાઓ આજ સુધી ચાલુ છે; વૈજ્ઞાનિક સમુદાય હજુ સુધી વિરોધાભાસના સાર પર એક સામાન્ય અભિપ્રાય પર આવવા સક્ષમ નથી ... આ મુદ્દાના અભ્યાસમાં ગાણિતિક વિશ્લેષણ, સેટ થિયરી, નવા ભૌતિક અને દાર્શનિક અભિગમો સામેલ હતા. ; તેમાંથી કોઈ સમસ્યાનો સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત ઉકેલ બન્યો નથી..."[વિકિપીડિયા, "ઝેનોઝ એપોરિયા." દરેક વ્યક્તિ સમજે છે કે તેઓને મૂર્ખ બનાવવામાં આવી રહ્યા છે, પરંતુ કોઈ સમજી શકતું નથી કે છેતરપિંડી શું છે.

ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, ઝેનોએ તેના એપોરિયામાં સ્પષ્ટપણે જથ્થામાંથી સંક્રમણ દર્શાવ્યું. આ સંક્રમણ સ્થાયીને બદલે એપ્લિકેશન સૂચવે છે. જ્યાં સુધી હું સમજું છું, માપનના ચલ એકમોનો ઉપયોગ કરવા માટેનું ગાણિતિક ઉપકરણ કાં તો હજી વિકસિત થયું નથી, અથવા તે ઝેનોના એપોરિયા પર લાગુ કરવામાં આવ્યું નથી. આપણા સામાન્ય તર્કને લાગુ પાડવાથી આપણે જાળમાં ફસાઈ જઈએ છીએ. આપણે, વિચારની જડતાને લીધે, પારસ્પરિક મૂલ્ય પર સમયના સતત એકમો લાગુ કરીએ છીએ. ભૌતિક દૃષ્ટિકોણથી, આ એચિલીસ કાચબાને પકડે ત્યારે તે ક્ષણે સંપૂર્ણપણે બંધ ન થાય ત્યાં સુધી સમય ધીમો પડી જાય તેવું લાગે છે. જો સમય અટકી જાય, તો એચિલીસ કાચબાથી આગળ નીકળી શકશે નહીં.

જો આપણે આપણા સામાન્ય તર્કને ફેરવીએ, તો બધું જ જગ્યાએ પડે છે. એચિલીસ સતત ઝડપે દોડે છે. તેના પાથનો દરેક અનુગામી સેગમેન્ટ પાછલા એક કરતા દસ ગણો નાનો છે. તદનુસાર, તેના પર કાબુ મેળવવા માટે ખર્ચવામાં આવેલો સમય અગાઉના એક કરતા દસ ગણો ઓછો છે. જો આપણે આ પરિસ્થિતિમાં "અનંત" ની વિભાવના લાગુ કરીએ, તો તે કહેવું યોગ્ય રહેશે કે "એકિલિસ કાચબાને અનંતપણે ઝડપથી પકડી લેશે."

આ લોજિકલ ટ્રેપથી કેવી રીતે બચવું? સમયના સતત એકમોમાં રહો અને પારસ્પરિક એકમો પર સ્વિચ કરશો નહીં. ઝેનોની ભાષામાં તે આના જેવું દેખાય છે:

એચિલીસને એક હજાર પગથિયાં ચલાવવામાં જેટલો સમય લાગે છે, કાચબો એ જ દિશામાં સો ડગલાં ચાલશે. આગલા સમયના અંતરાલમાં પહેલાના સમાન અંતરાલ દરમિયાન, એચિલીસ બીજા હજાર પગથિયાં દોડશે, અને કાચબો સો પગલાંઓ ક્રોલ કરશે. હવે એચિલીસ કાચબા કરતાં આઠસો ડગલાં આગળ છે.

આ અભિગમ કોઈપણ તાર્કિક વિરોધાભાસ વિના વાસ્તવિકતાનું પર્યાપ્ત રીતે વર્ણન કરે છે. પરંતુ આ સમસ્યાનો સંપૂર્ણ ઉકેલ નથી. પ્રકાશની ગતિની અનિવાર્યતા વિશે આઈન્સ્ટાઈનનું નિવેદન ઝેનોના એપોરિયા “એચિલીસ એન્ડ ધ ટોર્ટોઈઝ” જેવું જ છે. આપણે હજુ આ સમસ્યાનો અભ્યાસ, પુનર્વિચાર અને ઉકેલ લાવવાનો છે. અને ઉકેલ અનંત મોટી સંખ્યામાં નહીં, પરંતુ માપના એકમોમાં શોધવો જોઈએ.

ઝેનોનો બીજો રસપ્રદ એપોરિયા ઉડતા તીર વિશે કહે છે:

ઉડતું તીર ગતિહીન છે, કારણ કે સમયની દરેક ક્ષણે તે આરામમાં છે, અને તે સમયની દરેક ક્ષણે આરામમાં હોવાથી તે હંમેશા આરામમાં છે.

આ અપોરિયામાં, તાર્કિક વિરોધાભાસને ખૂબ જ સરળ રીતે દૂર કરવામાં આવે છે - તે સ્પષ્ટ કરવા માટે પૂરતું છે કે સમયની દરેક ક્ષણે ઉડતું તીર અવકાશમાં વિવિધ બિંદુઓ પર આરામ કરે છે, જે હકીકતમાં, ગતિ છે. અહીં અન્ય એક મુદ્દાની નોંધ લેવી જરૂરી છે. રસ્તા પરની કારના એક ફોટોગ્રાફ પરથી તેની હિલચાલની હકીકત અથવા તેનાથી અંતર નક્કી કરવું અશક્ય છે. કાર આગળ વધી રહી છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવા માટે, તમારે એક જ બિંદુ પરથી સમયાંતરે અલગ-અલગ બિંદુઓ પર લીધેલા બે ફોટોગ્રાફ્સની જરૂર છે, પરંતુ તમે તેમાંથી અંતર નક્કી કરી શકતા નથી. કારનું અંતર નક્કી કરવા માટે, તમારે એક સમયે અવકાશના જુદા જુદા બિંદુઓથી લેવામાં આવેલા બે ફોટોગ્રાફ્સની જરૂર છે, પરંતુ તેમાંથી તમે હલનચલનની હકીકત નક્કી કરી શકતા નથી (અલબત્ત, તમારે હજુ પણ ગણતરીઓ માટે વધારાના ડેટાની જરૂર છે, ત્રિકોણમિતિ તમને મદદ કરશે. ). હું જેના પર વિશેષ ધ્યાન દોરવા માંગુ છું તે એ છે કે સમયના બે બિંદુઓ અને અવકાશમાંના બે બિંદુઓ જુદી જુદી વસ્તુઓ છે જે મૂંઝવણમાં ન હોવી જોઈએ, કારણ કે તે સંશોધન માટે વિવિધ તકો પ્રદાન કરે છે.

બુધવાર, જુલાઈ 4, 2018

સેટ અને મલ્ટિસેટ વચ્ચેના તફાવતોનું વિકિપીડિયા પર ખૂબ જ સારી રીતે વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે. ચાલો જોઈએ.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, "સેટમાં બે સરખા તત્વો હોઈ શકતા નથી," પરંતુ જો સમૂહમાં સમાન તત્વો હોય, તો આવા સમૂહને "મલ્ટીસેટ" કહેવામાં આવે છે. વાજબી માણસો આવા વાહિયાત તર્કને ક્યારેય સમજી શકશે નહીં. આ બોલતા પોપટ અને પ્રશિક્ષિત વાંદરાઓનું સ્તર છે, જેમને "સંપૂર્ણપણે" શબ્દની કોઈ બુદ્ધિ નથી. ગણિતશાસ્ત્રીઓ સામાન્ય પ્રશિક્ષકો તરીકે કાર્ય કરે છે, અમને તેમના વાહિયાત વિચારોનો ઉપદેશ આપે છે.

એક સમયે, બ્રિજ બનાવનાર એન્જિનિયરો પુલનું પરીક્ષણ કરતી વખતે પુલની નીચે બોટમાં હતા. જો પુલ તૂટી પડ્યો, તો સામાન્ય એન્જિનિયર તેની બનાવટના કાટમાળ હેઠળ મૃત્યુ પામ્યો. જો બ્રિજ ભારને ટકી શકે, તો પ્રતિભાશાળી એન્જિનિયરે અન્ય પુલ બનાવ્યા.

"મને ધ્યાનમાં રાખો, હું ઘરમાં છું" અથવા તેના બદલે, "ગણિત અમૂર્ત ખ્યાલોનો અભ્યાસ કરે છે" વાક્ય પાછળ ગણિતશાસ્ત્રીઓ કેવી રીતે છુપાવે છે તે મહત્વનું નથી, ત્યાં એક નાળ છે જે તેમને વાસ્તવિકતા સાથે અસ્પષ્ટ રીતે જોડે છે. આ નાળ એટલે પૈસા. ચાલો આપણે ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે ગણિતીય સમૂહ સિદ્ધાંત લાગુ કરીએ.

અમે ગણિતનો ખૂબ જ સારી રીતે અભ્યાસ કર્યો અને હવે અમે કેશ રજિસ્ટર પર બેઠા છીએ, પગાર આપીએ છીએ. તેથી એક ગણિતશાસ્ત્રી તેના પૈસા માટે અમારી પાસે આવે છે. અમે તેને આખી રકમ ગણીએ છીએ અને તેને અમારા ટેબલ પર જુદા જુદા થાંભલાઓમાં મૂકીએ છીએ, જેમાં અમે સમાન સંપ્રદાયના બિલો મૂકીએ છીએ. પછી અમે દરેક ખૂંટોમાંથી એક બિલ લઈએ છીએ અને ગણિતશાસ્ત્રીને તેના "પગારનો ગાણિતિક સમૂહ" આપીએ છીએ. ચાલો આપણે ગણિતશાસ્ત્રીને સમજાવીએ કે તેને બાકીના બિલ ત્યારે જ મળશે જ્યારે તે સાબિત કરે કે સમાન તત્વો વિનાનો સમૂહ સમાન તત્વોવાળા સમૂહની બરાબર નથી. આ તે છે જ્યાં મજા શરૂ થાય છે.

સૌ પ્રથમ, ડેપ્યુટીઓનું તર્ક કામ કરશે: "આ અન્ય લોકો પર લાગુ થઈ શકે છે, પરંતુ મને નહીં!" પછી તેઓ અમને આશ્વાસન આપવાનું શરૂ કરશે કે સમાન સંપ્રદાયના બિલમાં અલગ-અલગ બિલ નંબરો હોય છે, જેનો અર્થ છે કે તેમને સમાન તત્વો ગણી શકાય નહીં. ઠીક છે, ચાલો સિક્કાઓમાં પગારની ગણતરી કરીએ - સિક્કા પર કોઈ સંખ્યા નથી. અહીં ગણિતશાસ્ત્રી ભૌતિકશાસ્ત્રને ઉગ્રતાથી યાદ રાખવાનું શરૂ કરશે: વિવિધ સિક્કાઓમાં ગંદકીનું પ્રમાણ અલગ-અલગ હોય છે, દરેક સિક્કા માટે ક્રિસ્ટલનું માળખું અને અણુઓની ગોઠવણી અનન્ય છે...

અને હવે મારી પાસે સૌથી રસપ્રદ પ્રશ્ન છે: તે રેખા ક્યાં છે જેની બહાર મલ્ટિસેટના ઘટકો સમૂહના ઘટકોમાં ફેરવાય છે અને તેનાથી ઊલટું? આવી લાઇન અસ્તિત્વમાં નથી - બધું શામન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, વિજ્ઞાન અહીં જૂઠું બોલવાની નજીક પણ નથી.

અહીં જુઓ. અમે સમાન ક્ષેત્ર વિસ્તાર સાથે ફૂટબોલ સ્ટેડિયમ પસંદ કરીએ છીએ. ક્ષેત્રોના વિસ્તારો સમાન છે - જેનો અર્થ છે કે આપણી પાસે મલ્ટિસેટ છે. પરંતુ જો આપણે આ જ સ્ટેડિયમોના નામ જોઈએ, તો આપણને ઘણા મળે છે, કારણ કે નામ અલગ-અલગ છે. જેમ તમે જોઈ શકો છો, તત્વોનો સમાન સમૂહ સમૂહ અને મલ્ટિસેટ બંને છે. જે સાચું છે? અને અહીં ગણિતશાસ્ત્રી-શામન-શાર્પિસ્ટ તેની સ્લીવમાંથી ટ્રમ્પનો પાસા ખેંચે છે અને અમને સેટ અથવા મલ્ટિસેટ વિશે કહેવાનું શરૂ કરે છે. કોઈ પણ સંજોગોમાં, તે આપણને ખાતરી આપશે કે તે સાચો છે.

આધુનિક શામન સેટ થિયરી સાથે કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તે સમજવા માટે, તેને વાસ્તવિકતા સાથે જોડીને, એક પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે તે પૂરતું છે: એક સમૂહના તત્વો બીજા સમૂહના તત્વોથી કેવી રીતે અલગ પડે છે? હું તમને બતાવીશ, કોઈપણ "એક સંપૂર્ણ તરીકે કલ્પી શકાય તેવું નથી" અથવા "એક સંપૂર્ણ તરીકે કલ્પનાશીલ નથી."

રવિવાર, માર્ચ 18, 2018

સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો એ ખંજરી સાથે શામનનું નૃત્ય છે, જેને ગણિત સાથે કોઈ લેવાદેવા નથી. હા, ગણિતના પાઠોમાં આપણને સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો શોધવા અને તેનો ઉપયોગ કરવાનું શીખવવામાં આવે છે, પરંતુ તેથી જ તેઓ શામન છે, તેમના વંશજોને તેમની કુશળતા અને ડહાપણ શીખવવા માટે, અન્યથા શમન ખાલી મરી જશે.

શું તમને પુરાવાની જરૂર છે? વિકિપીડિયા ખોલો અને "સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો" પૃષ્ઠ શોધવાનો પ્રયાસ કરો. તેણી અસ્તિત્વમાં નથી. ગણિતમાં એવું કોઈ સૂત્ર નથી કે જેનો ઉપયોગ કોઈપણ સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો શોધવા માટે થઈ શકે. છેવટે, સંખ્યાઓ એ ગ્રાફિક પ્રતીકો છે જેની સાથે આપણે સંખ્યાઓ લખીએ છીએ, અને ગણિતની ભાષામાં કાર્ય આના જેવું લાગે છે: "કોઈપણ સંખ્યાને રજૂ કરતા ગ્રાફિક પ્રતીકોનો સરવાળો શોધો." ગણિતશાસ્ત્રીઓ આ સમસ્યાને હલ કરી શકતા નથી, પરંતુ શામન તે સરળતાથી કરી શકે છે.

ચાલો જોઈએ કે આપેલ સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો શોધવા માટે આપણે શું અને કેવી રીતે કરીએ છીએ. અને તેથી, ચાલો આપણે 12345 નંબર મેળવીએ. આ સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો શોધવા માટે શું કરવાની જરૂર છે? ચાલો ક્રમમાં તમામ પગલાંઓ ધ્યાનમાં લઈએ.

1. કાગળના ટુકડા પર નંબર લખો. અમે શું કર્યું છે? અમે સંખ્યાને ગ્રાફિકલ નંબર સિમ્બોલમાં રૂપાંતરિત કરી છે. આ કોઈ ગાણિતિક ક્રિયા નથી.

2. અમે એક પરિણામી ચિત્રને વ્યક્તિગત નંબરો ધરાવતા અનેક ચિત્રોમાં કાપીએ છીએ. ચિત્ર કાપવું એ ગાણિતિક ક્રિયા નથી.

3. વ્યક્તિગત ગ્રાફિક પ્રતીકોને સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરો. આ કોઈ ગાણિતિક ક્રિયા નથી.

4. પરિણામી સંખ્યાઓ ઉમેરો. હવે તે ગણિત છે.

12345 નંબરના અંકોનો સરવાળો 15 છે. આ શામનના "કટીંગ અને સીવિંગ કોર્સ" છે જેનો ગણિતશાસ્ત્રીઓ ઉપયોગ કરે છે. પરંતુ તે બધુ જ નથી.

ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, આપણે કઈ નંબર સિસ્ટમમાં સંખ્યા લખીએ છીએ તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી. તેથી, વિવિધ નંબર સિસ્ટમ્સમાં સમાન સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો અલગ હશે. ગણિતમાં, નંબર સિસ્ટમ નંબરની જમણી બાજુએ સબસ્ક્રિપ્ટ તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. મોટી સંખ્યા 12345 સાથે, હું મારા માથાને મૂર્ખ બનાવવા માંગતો નથી, ચાલો લેખમાંથી 26 નંબરને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો આ સંખ્યાને બાઈનરી, ઓક્ટલ, ડેસિમલ અને હેક્સાડેસિમલ નંબર સિસ્ટમમાં લખીએ. અમે દરેક પગલાને માઇક્રોસ્કોપ હેઠળ જોશું નહીં; અમે તે પહેલાથી જ કર્યું છે. ચાલો પરિણામ જોઈએ.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, વિવિધ નંબર સિસ્ટમ્સમાં સમાન સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો અલગ હોય છે. આ પરિણામને ગણિત સાથે કોઈ લેવાદેવા નથી. તે સમાન છે જો તમે મીટર અને સેન્ટિમીટરમાં લંબચોરસનો વિસ્તાર નક્કી કરો છો, તો તમને સંપૂર્ણપણે અલગ પરિણામો મળશે.

શૂન્ય તમામ સંખ્યા પ્રણાલીઓમાં સમાન દેખાય છે અને તેમાં અંકોનો કોઈ સરવાળો નથી. આ હકીકતની તરફેણમાં બીજી દલીલ છે. ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે પ્રશ્ન: ગણિતમાં નિયુક્ત નંબર ન હોય તેવી વસ્તુ કેવી રીતે છે? શું, ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે સંખ્યાઓ સિવાય કંઈ જ અસ્તિત્વમાં નથી? હું શામન માટે આની મંજૂરી આપી શકું છું, પરંતુ વૈજ્ઞાનિકો માટે નહીં. વાસ્તવિકતા માત્ર સંખ્યાઓ વિશે નથી.

પ્રાપ્ત પરિણામ એ સાબિતી તરીકે ગણવું જોઈએ કે સંખ્યા પ્રણાલીઓ સંખ્યાઓના માપનના એકમો છે. છેવટે, અમે માપનના વિવિધ એકમો સાથે સંખ્યાઓની તુલના કરી શકતા નથી. જો સમાન જથ્થાના માપનના વિવિધ એકમો સાથેની સમાન ક્રિયાઓ તેમની સરખામણી કર્યા પછી વિવિધ પરિણામો તરફ દોરી જાય છે, તો તેને ગણિત સાથે કોઈ લેવાદેવા નથી.

વાસ્તવિક ગણિત શું છે? આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ગાણિતિક ક્રિયાનું પરિણામ સંખ્યાના કદ, વપરાયેલ માપન એકમ અને આ ક્રિયા કોણ કરે છે તેના પર નિર્ભર નથી.

ઓહ! શું આ મહિલા શૌચાલય નથી?
- યુવાન સ્ત્રી! સ્વર્ગમાં તેમના આરોહણ દરમિયાન આત્માઓની અનિશ્ચિત પવિત્રતાના અભ્યાસ માટે આ એક પ્રયોગશાળા છે! પ્રભામંડળ ટોચ પર અને તીર ઉપર. બીજું શું શૌચાલય?

સ્ત્રી... ઉપરનું પ્રભામંડળ અને નીચેનું તીર પુરુષ છે.

જો ડિઝાઇન આર્ટનું આવું કામ તમારી આંખો સામે દિવસમાં ઘણી વખત ચમકતું હોય,

પછી તે આશ્ચર્યજનક નથી કે તમને અચાનક તમારી કારમાં એક વિચિત્ર ચિહ્ન મળે છે:

અંગત રીતે, હું પોપિંગ વ્યક્તિ (એક ચિત્ર) માં માઈનસ ચાર ડિગ્રી જોવાનો પ્રયાસ કરું છું (ઘણા ચિત્રોની રચના: એક બાદબાકીનું ચિહ્ન, નંબર ચાર, ડિગ્રીનો હોદ્દો). અને મને નથી લાગતું કે આ છોકરી મૂર્ખ છે જે ભૌતિકશાસ્ત્ર નથી જાણતી. તેણી પાસે ગ્રાફિક છબીઓ સમજવાની એક મજબૂત સ્ટીરિયોટાઇપ છે. અને ગણિતશાસ્ત્રીઓ આપણને આ બધું શીખવે છે. અહીં એક ઉદાહરણ છે.

1A એ "માઈનસ ચાર ડિગ્રી" અથવા "એક a" નથી. આ હેક્સાડેસિમલ નોટેશનમાં "પોપિંગ મેન" અથવા નંબર "છવીસ" છે. જે લોકો આ નંબર સિસ્ટમમાં સતત કામ કરે છે તેઓ આપમેળે એક નંબર અને એક અક્ષરને એક ગ્રાફિક પ્રતીક તરીકે સમજે છે.

ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂલ્યોનું કોષ્ટક

નોંધ. ત્રિકોણમિતિ કાર્ય મૂલ્યોનું આ કોષ્ટક વર્ગમૂળ દર્શાવવા માટે √ ચિહ્નનો ઉપયોગ કરે છે. અપૂર્ણાંક દર્શાવવા માટે, "/" ચિહ્નનો ઉપયોગ કરો.

પણ જુઓઉપયોગી સામગ્રી:

માટે ત્રિકોણમિતિ કાર્યનું મૂલ્ય નક્કી કરવું, તેને ત્રિકોણમિતિ કાર્ય દર્શાવતી રેખાના આંતરછેદ પર શોધો. ઉદાહરણ તરીકે, સાઈન 30 ડિગ્રી - અમે હેડિંગ sin (sine) સાથે કૉલમ શોધીએ છીએ અને "30 ડિગ્રી" પંક્તિ સાથે આ કોષ્ટક કૉલમનું આંતરછેદ શોધીએ છીએ, તેમના આંતરછેદ પર આપણે પરિણામ વાંચીએ છીએ - અડધા. એ જ રીતે આપણે શોધીએ છીએ કોસાઇન 60ડિગ્રી, સાઈન 60ડિગ્રી (ફરી એક વાર, પાપ કૉલમ અને 60 ડિગ્રી રેખાના આંતરછેદ પર આપણને મૂલ્ય sin 60 = √3/2 મળે છે), વગેરે. અન્ય “લોકપ્રિય” ખૂણાઓના સાઈન, કોસાઈન્સ અને સ્પર્શકોના મૂલ્યો એ જ રીતે જોવા મળે છે.

સાઈન પાઈ, કોસાઈન પાઈ, ટેન્જેન્ટ પાઈ અને રેડિયનમાં અન્ય ખૂણો

કોસાઇન્સ, સાઇન અને ટેન્જેન્ટનું નીચેનું કોષ્ટક ત્રિકોણમિતિ વિધેયોનું મૂલ્ય શોધવા માટે પણ યોગ્ય છે જેની દલીલ છે રેડિયનમાં આપેલ છે. આ કરવા માટે, કોણ મૂલ્યોની બીજી કૉલમનો ઉપયોગ કરો. આનો આભાર, તમે લોકપ્રિય ખૂણાના મૂલ્યને ડિગ્રીથી રેડિયનમાં રૂપાંતરિત કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો પ્રથમ લીટીમાં 60 ડિગ્રીનો કોણ શોધીએ અને તેની નીચેની રેડિયનમાં તેની કિંમત વાંચીએ. 60 ડિગ્રી π/3 રેડિયનની બરાબર છે.

નંબર pi અસ્પષ્ટપણે કોણના ડિગ્રી માપ પર પરિઘની અવલંબનને વ્યક્ત કરે છે. આમ, પાઇ રેડિયન 180 ડિગ્રી બરાબર છે.

પાઇ (રેડિયન) ની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરાયેલ કોઈપણ સંખ્યાને પાઇ (π) ને 180 સાથે બદલીને સરળતાથી ડિગ્રીમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે..

ઉદાહરણો:
1. સાઈન પી.
sin π = sin 180 = 0
આમ, pi ની સાઈન 180 ડિગ્રીની સાઈન જેટલી જ છે અને તે શૂન્યની બરાબર છે.

2. કોસાઇન પી.
cos π = cos 180 = -1
આમ, pi નો કોસાઇન 180 ડિગ્રીના કોસાઇન જેટલો જ છે અને તે માઇનસ વન બરાબર છે.

3. સ્પર્શક પી
tg π = tg 180 = 0
આમ, સ્પર્શક pi એ સ્પર્શક 180 ડિગ્રી સમાન છે અને તે શૂન્યની બરાબર છે.

કોણ 0 - 360 ડિગ્રી (સામાન્ય મૂલ્યો) માટે સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક મૂલ્યોનું કોષ્ટક

જો ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના મૂલ્યોના કોષ્ટકમાં ફંક્શન વેલ્યુ (ટેન્જેન્ટ (ટીજી) 90 ડિગ્રી, કોટેન્જેન્ટ (સીટીજી) 180 ડિગ્રી) ને બદલે ડેશ સૂચવવામાં આવે છે, તો પછી કોણના ડિગ્રી માપના આપેલ મૂલ્ય માટે ફંક્શન ચોક્કસ મૂલ્ય નથી. જો ત્યાં કોઈ ડૅશ નથી, તો કોષ ખાલી છે, જેનો અર્થ છે કે અમે હજી સુધી જરૂરી મૂલ્ય દાખલ કર્યું નથી. અમને રસ છે કે વપરાશકર્તાઓ અમારી પાસે કઈ પ્રશ્નો માટે આવે છે અને કોષ્ટકને નવા મૂલ્યો સાથે પૂરક બનાવે છે, એ હકીકત હોવા છતાં કે સૌથી સામાન્ય કોણ મૂલ્યોના કોસાઇન્સ, સાઇન અને ટેન્જેન્ટના મૂલ્યો પરનો વર્તમાન ડેટા મોટાભાગના ઉકેલવા માટે પૂરતો છે. સમસ્યાઓ

સૌથી વધુ લોકપ્રિય ખૂણાઓ માટે ત્રિકોણમિતિ વિધેયો sin, cos, tg ના મૂલ્યોનું કોષ્ટક
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 ડિગ્રી
(સંખ્યાત્મક મૂલ્યો "બ્રાડિસ કોષ્ટકો મુજબ")

આ લેખ સમાવે છે સાઈન, કોસાઈન્સ, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જન્ટ્સનાં કોષ્ટકો. પ્રથમ, આપણે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂળભૂત મૂલ્યોનું કોષ્ટક પ્રદાન કરીશું, એટલે કે, 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 ડિગ્રી ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πરેડિયન). આ પછી, અમે સાઇન્સ અને કોસાઇન્સનું કોષ્ટક આપીશું, તેમજ વી.એમ. બ્રાડિસ દ્વારા સ્પર્શકો અને કોટિન્જન્ટ્સનું કોષ્ટક આપીશું, અને ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના મૂલ્યો શોધતી વખતે આ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે બતાવીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

0, 30, 45, 60, 90, ... ડિગ્રીના ખૂણાઓ માટે સાઈન, કોસાઈન્સ, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટનું કોષ્ટક

સંદર્ભો.

• બીજગણિત:પાઠ્યપુસ્તક 9મા ધોરણ માટે. સરેરાશ શાળા/યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; એડ. એસ. એ. ટેલિયાકોવસ્કી - એમ.: એજ્યુકેશન, 1990. - 272 પીપી. - ISBN 5-09-002727-7
• બશ્માકોવ એમ. આઇ.બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત: પાઠ્યપુસ્તક. 10-11 ગ્રેડ માટે. સરેરાશ શાળા - 3જી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 1993. - 351 પૃષ્ઠ: બીમાર. - ISBN 5-09-004617-4.
• બીજગણિતઅને વિશ્લેષણની શરૂઆત: પ્રોક. 10-11 ગ્રેડ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn અને અન્ય; એડ. એ. એન. કોલમોગોરોવ - 14મી આવૃત્તિ - એમ.: એજ્યુકેશન, 2004. - 384 પીપી.
• ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી.ગણિત (તકનીકી શાળાઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે માર્ગદર્શિકા): પ્રોક. ભથ્થું.- એમ.; ઉચ્ચ શાળા, 1984.-351 પૃ., બીમાર.
• બ્રાડીસ વી. એમ.ચાર-અંકના ગણિત કોષ્ટકો: સામાન્ય શિક્ષણ માટે. પાઠ્યપુસ્તક સંસ્થાઓ - 2જી આવૃત્તિ. - એમ.: બસ્ટર્ડ, 1999.- 96 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 5-7107-2667-2

1. ત્રિકોણમિતિ કાર્યોપ્રાથમિક કાર્યો છે જેની દલીલ છે ખૂણો. ત્રિકોણમિતિ વિધેયો કાટકોણ ત્રિકોણમાં બાજુઓ અને તીવ્ર કોણ વચ્ચેના સંબંધોનું વર્ણન કરે છે. ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ઉપયોગના ક્ષેત્રો અત્યંત વૈવિધ્યપુર્ણ છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોઈપણ સામયિક પ્રક્રિયાઓને ત્રિકોણમિતિ કાર્યો (ફુરિયર શ્રેણી) ના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. વિભેદક અને કાર્યાત્મક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે આ કાર્યો ઘણીવાર દેખાય છે.

2. ત્રિકોણમિતિ કાર્યોમાં નીચેના 6 કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે: સાઇનસ, કોસાઇન, સ્પર્શક,કોટેન્જેન્ટ, સેકન્ટઅને કોસેકન્ટ. આ દરેક ફંક્શન માટે એક વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્ય છે.

3. ત્રિકોણમિતિ વિધેયોનો ઉપયોગ કરીને ભૌમિતિક વ્યાખ્યા રજૂ કરવી અનુકૂળ છે એકમ વર્તુળ. નીચેની આકૃતિ r=1 ત્રિજ્યા સાથે વર્તુળ બતાવે છે. બિંદુ M(x,y) વર્તુળ પર ચિહ્નિત થયેલ છે. ત્રિજ્યા વેક્ટર OM અને ઓક્સ અક્ષની હકારાત્મક દિશા વચ્ચેનો કોણ α બરાબર છે.

4. સાઇનસકોણ α એ બિંદુ M(x,y) ના ઓર્ડિનેટ y અને ત્રિજ્યા r નો ગુણોત્તર છે:
sinα=y/r.
r=1 થી, પછી સાઈન એ બિંદુ M(x,y) ના ઓર્ડિનેટ બરાબર છે.

5. કોસાઇનકોણ α એ બિંદુ M(x,y) ના એબ્સીસા x અને ત્રિજ્યા r નો ગુણોત્તર છે:
cosα=x/r

6. સ્પર્શકકોણ α એ બિંદુ M(x,y) ના ઓર્ડિનેટ y નો તેના એબ્સીસા x સાથેનો ગુણોત્તર છે:
tanα=y/x,x≠0

7. કોટેન્જેન્ટકોણ α એ બિંદુ M(x,y) ના એબ્સીસા x નો તેના ઓર્ડિનેટ y નો ગુણોત્તર છે:
cotα=x/y,y≠0

8. સેકન્ટકોણ α એ બિંદુ M(x,y) ના એબ્સીસા x સાથે ત્રિજ્યા r નો ગુણોત્તર છે:
secα=r/x=1/x,x≠0

9. કોસેકન્ટકોણ α એ બિંદુ M(x,y) ના ઓર્ડિનેટ y સાથે ત્રિજ્યા r નો ગુણોત્તર છે:
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. એકમ વર્તુળમાં, અનુમાન x, y, બિંદુઓ M(x,y) અને ત્રિજ્યા r એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે, જેમાં x,y પગ છે, અને r એ કર્ણ છે. તેથી, કાટકોણ ત્રિકોણ પર લાગુ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાઓ નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવી છે:
સાઇનસકોણ α એ કર્ણની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે.
કોસાઇનકોણ α એ કર્ણની બાજુના પગનો ગુણોત્તર છે.
સ્પર્શકકોણ α ને અડીને આવેલા એકનો વિરોધી પગ કહેવામાં આવે છે.
કોટેન્જેન્ટકોણ α ને વિરુદ્ધ બાજુની બાજુની બાજુ કહેવામાં આવે છે.
સેકન્ટકોણ α એ સંલગ્ન પગ અને કર્ણોનો ગુણોત્તર છે.
કોસેકન્ટકોણ α એ વિરુદ્ધના પગ સાથે કર્ણનો ગુણોત્તર છે.

11. સાઈન ફંક્શનનો ગ્રાફ
y=sinx, વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર: x∈R, મૂલ્યોની શ્રેણી: −1≤sinx≤1

12. કોસાઇન ફંક્શનનો આલેખ
y=cosx, ડોમેન: x∈R, શ્રેણી: −1≤cosx≤1

13. સ્પર્શક કાર્યનો આલેખ
y=tanx, ડોમેન: x∈R,x≠(2k+1)π/2, શ્રેણી: −∞

14. કોટેન્જેન્ટ ફંક્શનનો આલેખ
y=cotx, ડોમેન: x∈R,x≠kπ, શ્રેણી: −∞

15. સેકન્ટ ફંક્શનનો આલેખ
y=secx, ડોમેન: x∈R,x≠(2k+1)π/2, શ્રેણી: secx∈(−∞,−1]∪∪)