નકારાત્મક આધાર સાથે ઘાતાંકીય કાર્ય. ઘાતાંકીય કાર્ય

પાઠ નં.2

વિષય: ઘાતાંકીય કાર્ય, તેના ગુણધર્મો અને આલેખ.

લક્ષ્ય:"ઘાતાંકીય કાર્ય" ના ખ્યાલમાં નિપુણતાની ગુણવત્તા તપાસો; ઘાતાંકીય કાર્યને ઓળખવા, તેના ગુણધર્મો અને ગ્રાફનો ઉપયોગ કરવા, વિદ્યાર્થીઓને ઘાતાંકીય કાર્ય લખવાના વિશ્લેષણાત્મક અને ગ્રાફિકલ સ્વરૂપોનો ઉપયોગ કરવાનું શીખવવા માટે કુશળતા અને ક્ષમતાઓ વિકસાવવા; વર્ગખંડમાં કાર્યકારી વાતાવરણ પ્રદાન કરો.

સાધન:બોર્ડ, પોસ્ટરો

પાઠ ફોર્મ: વર્ગ પાઠ

પાઠનો પ્રકાર: વ્યવહારુ પાઠ

પાઠનો પ્રકાર: શિક્ષણ કૌશલ્યો અને ક્ષમતાઓનો પાઠ

પાઠ યોજના

1. સંસ્થાકીય ક્ષણ

2. સ્વતંત્ર કાર્ય અને હોમવર્ક તપાસવું

3. સમસ્યાનું નિરાકરણ

4. સારાંશ

5. હોમવર્ક

પાઠ પ્રગતિ.

1. સંસ્થાકીય ક્ષણ :

હેલો. તમારી નોટબુક ખોલો, આજની તારીખ અને "ઘાતાંકીય કાર્ય" પાઠનો વિષય લખો. આજે આપણે ઘાતાંકીય કાર્ય, તેના ગુણધર્મો અને ગ્રાફનો અભ્યાસ કરવાનું ચાલુ રાખીશું.

2. સ્વતંત્ર કાર્ય અને હોમવર્ક તપાસવું .

લક્ષ્ય:"ઘાતાંકીય કાર્ય" ના ખ્યાલની નિપુણતાની ગુણવત્તા તપાસો અને હોમવર્કના સૈદ્ધાંતિક ભાગની પૂર્ણતા તપાસો

પદ્ધતિ:પરીક્ષણ કાર્ય, આગળનો સર્વે

હોમવર્ક તરીકે, તમને સમસ્યા પુસ્તકમાંથી નંબરો અને પાઠ્યપુસ્તકમાંથી એક ફકરો આપવામાં આવ્યો હતો. અમે હવે પાઠ્યપુસ્તકમાંથી તમારી સંખ્યાઓનું અમલીકરણ તપાસીશું નહીં, પરંતુ તમે પાઠના અંતે તમારી નોટબુક આપશો. હવે થિયરીનું પરીક્ષણ નાના ટેસ્ટના રૂપમાં કરવામાં આવશે. કાર્ય દરેક માટે સમાન છે: તમને કાર્યોની સૂચિ આપવામાં આવે છે, તમારે તેમાંથી કયું સૂચક છે તે શોધવું આવશ્યક છે (તેમને રેખાંકિત કરો). અને ઘાતાંકીય ફંક્શનની બાજુમાં તમારે લખવાની જરૂર છે કે તે વધી રહ્યું છે કે ઘટી રહ્યું છે.

હવે ચાલો એકસાથે યાદ કરીએ કે કયું કાર્ય ઘાતાંકીય કહેવાય છે?

ફોર્મનું કાર્ય , જ્યાં અને , ઘાતાંકીય કાર્ય કહેવાય છે.

આ કાર્યનો અવકાશ શું છે?

બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ.

ઘાતાંકીય કાર્યની શ્રેણી શું છે?

બધી હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ.

જો શક્તિનો આધાર શૂન્ય કરતા વધારે હોય પરંતુ એક કરતા ઓછો હોય તો ઘટે છે.

કયા કિસ્સામાં ઘાતાંકીય કાર્ય તેની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં ઘટે છે?

જો શક્તિનો આધાર એક કરતા વધારે હોય તો વધારો.

3. સમસ્યાનું નિરાકરણ

લક્ષ્ય: ઘાતાંકીય કાર્યને ઓળખવામાં કૌશલ્ય વિકસાવવા, તેના ગુણધર્મો અને આલેખનો ઉપયોગ કરીને, વિદ્યાર્થીઓને ઘાતાંકીય કાર્ય લખવાના વિશ્લેષણાત્મક અને ગ્રાફિકલ સ્વરૂપોનો ઉપયોગ કરવાનું શીખવો

પદ્ધતિ: લાક્ષણિક સમસ્યાઓના નિરાકરણ માટે શિક્ષક દ્વારા નિદર્શન, મૌખિક કાર્ય, બ્લેકબોર્ડ પર કામ, નોટબુકમાં કામ, શિક્ષક અને વિદ્યાર્થીઓ વચ્ચે વાતચીત.

2 અથવા વધુ સંખ્યાઓની સરખામણી કરતી વખતે ઘાતાંકીય કાર્યના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે: નંબર 000. મૂલ્યોની સરખામણી કરો અને જો a) ..gif" width="37" height="20 src=">, તો પછી આ એક જટિલ કામ છે: આપણે 3 અને 9 નું ઘનમૂળ લેવું પડશે, અને તેમની તુલના કરવી પડશે. પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ કે તે વધે છે, આ તેની પોતાની રીતે વળાંકનો અર્થ એ છે કે જેમ જેમ દલીલ વધે છે તેમ ફંક્શનનું મૂલ્ય વધે છે, એટલે કે, આપણે ફક્ત દલીલના મૂલ્યોની તુલના કરવાની જરૂર છે અને તે સ્પષ્ટ છે કે (વધતા ઘાતાંકીય કાર્યને દર્શાવતા પોસ્ટર પર દર્શાવી શકાય છે). અને હંમેશા, આવા ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે, તમે પહેલા ઘાતાંકીય કાર્યનો આધાર નક્કી કરો, તેની 1 સાથે સરખામણી કરો, એકવિધતા નક્કી કરો અને દલીલોની સરખામણી કરવા આગળ વધો. ઘટતા કાર્યના કિસ્સામાં: જ્યારે દલીલ વધે છે, ત્યારે કાર્યનું મૂલ્ય ઘટે છે, તેથી, જ્યારે દલીલોની અસમાનતાથી કાર્યોની અસમાનતા તરફ આગળ વધીએ ત્યારે આપણે અસમાનતાની નિશાની બદલીએ છીએ. આગળ, અમે મૌખિક રીતે હલ કરીએ છીએ: b)

-

માં)

-

જી)

-

- નંબર 000. સંખ્યાઓની સરખામણી કરો: a) અને

તેથી, પછી કાર્ય વધે છે

શા માટે ?

કાર્યમાં વધારો અને

તેથી, કાર્ય ઘટે છે, પછી

બંને કાર્યો તેમની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ક્ષેત્રમાં વધે છે, કારણ કે તેઓ એક કરતા વધુ શક્તિના આધાર સાથે ઘાતાંકીય છે.

તેની પાછળનો અર્થ શું છે?

અમે ગ્રાફ બનાવીએ છીએ:

https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25"> પ્રયાસ કરતી વખતે કયું કાર્ય ઝડપથી વધે છે

https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25"> પ્રયાસ કરતી વખતે કયું કાર્ય ઝડપથી ઘટે છે

અંતરાલ પર, ચોક્કસ બિંદુ પર કયા ફંક્શનનું મૂલ્ય વધારે છે?

ડી), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. પ્રથમ, ચાલો આ કાર્યોની વ્યાખ્યાનો અવકાશ શોધીએ. શું તેઓ એકરુપ છે?

હા, આ ફંક્શન્સનું ડોમેન તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.

આ દરેક કાર્યોના અવકાશને નામ આપો.

આ વિધેયોની શ્રેણીઓ એકરૂપ થાય છે: બધી હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ.

દરેક કાર્યની એકવિધતાનો પ્રકાર નક્કી કરો.

ત્રણેય કાર્યો તેમની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ક્ષેત્રમાં ઘટે છે, કારણ કે તેઓ એક કરતા ઓછી અને શૂન્ય કરતા વધારે શક્તિઓના આધાર સાથે ઘાતાંકીય છે.

ઘાતાંકીય કાર્યના ગ્રાફમાં કયો વિશિષ્ટ બિંદુ અસ્તિત્વમાં છે?

તેની પાછળનો અર્થ શું છે?

ઘાતાંકીય કાર્યની ડિગ્રીના આધારે ગમે તે હોય, જો ઘાતાંકમાં 0 હોય, તો આ કાર્યનું મૂલ્ય 1 છે.

અમે ગ્રાફ બનાવીએ છીએ:

ચાલો આલેખનું વિશ્લેષણ કરીએ. ફંક્શનના ગ્રાફમાં આંતરછેદના કેટલા બિંદુઓ છે?

https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57"> પ્રયાસ કરતી વખતે કયું કાર્ય ઝડપથી ઘટે છે

https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57"> પ્રયાસ કરતી વખતે કયું કાર્ય ઝડપથી વધે છે

અંતરાલ પર, ચોક્કસ બિંદુ પર કયા ફંક્શનનું મૂલ્ય વધારે છે?

અંતરાલ પર, ચોક્કસ બિંદુ પર કયા ફંક્શનનું મૂલ્ય વધારે છે?

શા માટે વિવિધ આધારો સાથેના ઘાતાંકીય કાર્યોમાં માત્ર એક જ આંતરછેદ બિંદુ હોય છે?

ઘાતાંકીય વિધેયો તેમની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ક્ષેત્રમાં સખત રીતે એકવિધ હોય છે, તેથી તેઓ માત્ર એક બિંદુ પર છેદે છે.

આગળનું કાર્ય આ મિલકતનો ઉપયોગ કરવા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરશે. નંબર 000. આપેલ અંતરાલ પર આપેલ ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધો a) . યાદ કરો કે સખત એકવિધ કાર્ય આપેલ સેગમેન્ટના છેડે તેના લઘુત્તમ અને મહત્તમ મૂલ્યો લે છે. અને જો ફંક્શન વધી રહ્યું હોય, તો તેનું સૌથી મોટું મૂલ્ય સેગમેન્ટના જમણા છેડે અને સૌથી નાનું સેગમેન્ટના ડાબા છેડે હશે (પોસ્ટર પરનું પ્રદર્શન, ઘાતાંકીય કાર્યના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને). જો ફંક્શન ઘટી રહ્યું છે, તો તેનું સૌથી મોટું મૂલ્ય સેગમેન્ટના ડાબા છેડે અને સૌથી નાનું સેગમેન્ટના જમણા છેડે હશે (પોસ્ટર પરનું પ્રદર્શન, ઘાતાંકીય કાર્યના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને). ફંક્શન વધી રહ્યું છે, કારણ કે, તેથી, ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" બિંદુ પર હશે. > પોઈન્ટ્સ b) , વી) ડી) નોટબુક જાતે હલ કરો, અમે તેને મૌખિક રીતે તપાસીશું.

વિદ્યાર્થીઓ તેમની નોટબુકમાં કાર્ય ઉકેલે છે

- નંબર 000. આપેલ અંતરાલ પર આપેલ ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમત શોધો a) . આ કાર્ય લગભગ પાછલા એક જેવું જ છે. પરંતુ અહીં જે આપવામાં આવ્યું છે તે સેગમેન્ટ નથી, પરંતુ એક કિરણ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે ફંક્શન વધી રહ્યું છે, અને તેની પાસે સંપૂર્ણ નંબર લાઇન પર ન તો સૌથી મોટું કે નાનું મૂલ્ય છે https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">, અને એ તરફ વલણ ધરાવે છે, એટલે કે કિરણ પરનું કાર્ય 0 તરફ વલણ ધરાવે છે, પરંતુ તેનું મૂલ્ય સૌથી નાનું નથી, પરંતુ તે બિંદુ પર સૌથી મોટું મૂલ્ય ધરાવે છે . પોઈન્ટ b) , વી) , જી) નોટબુક જાતે ઉકેલો, અમે તેને મૌખિક રીતે તપાસીશું.

ફોકસ:

વ્યાખ્યા. કાર્ય જાતિ કહેવામાં આવે છે ઘાતાંકીય કાર્ય .

ટિપ્પણી. પાયાના મૂલ્યોમાંથી બાકાત aસંખ્યા 0; 1 અને નકારાત્મક મૂલ્યો aનીચેના સંજોગો દ્વારા સમજાવાયેલ છે:

વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ પોતે a xઆ કિસ્સાઓમાં, તે તેનો અર્થ જાળવી રાખે છે અને તેનો ઉપયોગ સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિ માટે x yબિંદુ x = 1; y = 1 સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણીમાં છે.

કાર્યોના આલેખ બનાવો: અને.

ઘાતાંકીય કાર્યનો આલેખ
y = a x, a > 1	y = a x , 0< a < 1

ઘાતાંકીય કાર્યના ગુણધર્મો

ઘાતાંકીય કાર્યના ગુણધર્મો	y = a x, a > 1	y = a x , 0< a < 1
કાર્ય ડોમેન
2. કાર્ય શ્રેણી
3. એકમ સાથે સરખામણીના અંતરાલ	ખાતે x> 0, એ x > 1	ખાતે x > 0, 0< a x < 1
	ખાતે x < 0, 0< a x < 1	ખાતે x < 0, a x > 1
4. સમ, વિષમ.	વિધેય બે તો સમ કે વિષમ નથી (સામાન્ય સ્વરૂપનું કાર્ય).
5.એકવિધતા.	દ્વારા એકવિધ રીતે વધે છે આર	દ્વારા એકવિધ રીતે ઘટે છે આર
6. ચરમસીમા.	ઘાતાંકીય ફંક્શનમાં કોઈ સીમા નથી.
7.એસિમ્પ્ટોટ	ઓ-અક્ષ xએક આડી એસિમ્પ્ટોટ છે.
8. કોઈપણ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે xઅને y;

જ્યારે કોષ્ટક ભરવામાં આવે છે, ત્યારે કાર્યો ભરવા સાથે સમાંતર ઉકેલવામાં આવે છે.

કાર્ય નંબર 1. (ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધવા માટે).

કાર્યો માટે કયા દલીલ મૂલ્યો માન્ય છે:

કાર્ય નંબર 2. (ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી શોધવા માટે).

આકૃતિ કાર્યનો ગ્રાફ બતાવે છે. વ્યાખ્યાના ડોમેન અને કાર્યના મૂલ્યોની શ્રેણીનો ઉલ્લેખ કરો:

કાર્ય નંબર 3. (એક સાથે સરખામણીના અંતરાલો દર્શાવવા માટે).

નીચેની દરેક શક્તિઓને એક સાથે સરખાવો:

કાર્ય નંબર 4. (એકવિધતા માટે કાર્યનો અભ્યાસ કરવા માટે).

કદ દ્વારા વાસ્તવિક સંખ્યાઓની તુલના કરો mઅને nજો:

કાર્ય નંબર 5. (એકવિધતા માટે કાર્યનો અભ્યાસ કરવા માટે).

આધાર વિશે નિષ્કર્ષ દોરો a, જો:

y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4 x

x > 0, x = 0, x માટે ઘાતાંકીય કાર્યોના આલેખ એકબીજાને કેવી રીતે સંબંધિત છે< 0?

નીચેના ફંક્શન આલેખ એક કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં રચાયેલ છે:

y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0.5) x ; z(x) = (0.8) x .

x > 0, x = 0, x માટે ઘાતાંકીય કાર્યોના આલેખ એકબીજાને કેવી રીતે સંબંધિત છે< 0?

નંબર ગણિતમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ સ્થિરાંકોમાંનું એક. વ્યાખ્યા દ્વારા, તે ક્રમની મર્યાદા જેટલી અમર્યાદિત સાથે વધતા n . હોદ્દોઇ દાખલ કર્યું લિયોનાર્ડ યુલર 1736 માં. તેણે દશાંશ સંકેતમાં આ સંખ્યાના પ્રથમ 23 અંકોની ગણતરી કરી અને નેપિયરના માનમાં "નોન-પિયર નંબર" નામ આપવામાં આવ્યું. હોદ્દોનંબર ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં વિશેષ ભૂમિકા ભજવે છે. ઘાતાંકીય કાર્ય હોદ્દો, આધાર સાથે ઘાતાંક કહેવાય છે અને નિયુક્ત થયેલ છે. y = e x પ્રથમ સંકેતો હોદ્દોસંખ્યાઓ યાદ રાખવા માટે સરળ:

ગૃહકાર્ય:

કોલમોગોરોવ પૃષ્ઠ 35; નંબર 445-447; 451; 453.

મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ ચલ ધરાવતા કાર્યોના ગ્રાફ બનાવવા માટે અલ્ગોરિધમનું પુનરાવર્તન કરો.

જ્ઞાનનું હાઇપરમાર્કેટ >>ગણિત >>ગણિત 10મું ધોરણ >>

ઘાતાંકીય કાર્ય, તેના ગુણધર્મો અને આલેખ

ચાલો અભિવ્યક્તિ 2x ને ધ્યાનમાં લઈએ અને x ચલના વિવિધ તર્કસંગત મૂલ્યો માટે તેના મૂલ્યો શોધીએ, ઉદાહરણ તરીકે, x = 2 માટે;

સામાન્ય રીતે, ભલે આપણે ચલ x ને ગમે તેટલો તર્કસંગત અર્થ અસાઇન કરીએ, અમે હંમેશા 2 x અભિવ્યક્તિના અનુરૂપ સંખ્યાત્મક મૂલ્યની ગણતરી કરી શકીએ છીએ. આમ, આપણે ઘાતાંકીય વિશે વાત કરી શકીએ છીએ કાર્યો y=2 x, તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહ Q પર વ્યાખ્યાયિત:

ચાલો આ કાર્યના કેટલાક ગુણધર્મો જોઈએ.

મિલકત 1.- કાર્યમાં વધારો. અમે બે તબક્કામાં પુરાવા હાથ ધરીએ છીએ.
પ્રથમ તબક્કો.ચાલો સાબિત કરીએ કે જો r ધન પરિમેય સંખ્યા છે, તો 2 r >1.
બે કિસ્સાઓ શક્ય છે: 1) r એ કુદરતી સંખ્યા છે, r = n; 2) સામાન્ય અફર અપૂર્ણાંક,

છેલ્લી અસમાનતાની ડાબી બાજુએ આપણી પાસે છે અને જમણી બાજુએ 1. આનો અર્થ એ છે કે છેલ્લી અસમાનતા ફોર્મમાં ફરીથી લખી શકાય છે.

તેથી, કોઈપણ કિસ્સામાં, અસમાનતા 2 r > 1 ધરાવે છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

બીજો તબક્કો.ચાલો x 1 અને x 2 ને સંખ્યાઓ અને x 1 અને x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(અમે r અક્ષર સાથે x 2 - x 1 નો તફાવત દર્શાવ્યો છે).

r એ સકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યા હોવાથી, પછી પ્રથમ તબક્કે જે સાબિત થયું હતું તેના દ્વારા, 2 r > 1, એટલે કે. 2 આર -1 >0. નંબર 2x" પણ હકારાત્મક છે, જેનો અર્થ છે કે ઉત્પાદન 2 x-1 (2 Г -1) પણ હકારાત્મક છે. આમ, અમે સાબિત કર્યું છે કે અસમાનતા 2 Xg -2x" >0.

તેથી, અસમાનતા x 1 થી< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

મિલકત 2.નીચેથી મર્યાદિત અને ઉપરથી મર્યાદિત નથી.
નીચેથી ફંક્શનની સીમા અસમાનતા 2 x >0 થી અનુસરે છે, જે ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી x ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે માન્ય છે. તે જ સમયે, તમે ગમે તેટલી સકારાત્મક સંખ્યા M લો, તમે હંમેશા ઘાતાંક x પસંદ કરી શકો છો જેથી અસમાનતા 2 x >M સંતોષાય - જે ઉપરથી કાર્યની અમર્યાદિતતાને દર્શાવે છે. ચાલો આપણે સંખ્યાબંધ ઉદાહરણો આપીએ.

મિલકત 3.સૌથી નાનું કે સૌથી મોટું મૂલ્ય નથી.

આ કાર્ય સૌથી વધુ મહત્વ ધરાવતું નથી તે સ્પષ્ટ છે, કારણ કે, આપણે હમણાં જોયું તેમ, તે ઉપર બંધાયેલ નથી. પરંતુ તે નીચેથી મર્યાદિત છે, તેનું લઘુત્તમ મૂલ્ય કેમ નથી?

ચાલો ધારીએ કે 2 r એ ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય છે (r એ કેટલાક તર્કસંગત સૂચક છે). ચાલો એક તર્કસંગત સંખ્યા q લઈએ<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

આ બધું સારું છે, તમે કહો છો, પરંતુ શા માટે આપણે ફંક્શન y-2 x ને માત્ર તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહ પર જ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, શા માટે આપણે તેને આખી સંખ્યા રેખા પર અથવા અમુક સતત અંતરાલ પરના અન્ય જાણીતા કાર્યોની જેમ ધ્યાનમાં લેતા નથી? સંખ્યા રેખા? અમને શું રોકી રહ્યું છે? ચાલો પરિસ્થિતિ વિશે વિચારીએ.

સંખ્યા રેખામાં માત્ર તર્કસંગત જ નહીં, પણ અતાર્કિક સંખ્યાઓ પણ હોય છે. અગાઉ અભ્યાસ કરેલા કાર્યો માટે આ અમને પરેશાન કરતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, અમને x ના તર્કસંગત અને અતાર્કિક બંને મૂલ્યો માટે ફંક્શન y = x2 ના મૂલ્યો સમાન સરળતાથી મળ્યાં છે: તે x ની આપેલ કિંમતનો વર્ગ કરવા માટે પૂરતું હતું.

પરંતુ કાર્ય y=2 x સાથે પરિસ્થિતિ વધુ જટિલ છે. જો દલીલ x ને તર્કસંગત અર્થ આપવામાં આવે છે, તો સિદ્ધાંતમાં x ની ગણતરી કરી શકાય છે (ફકરાની શરૂઆતમાં ફરી પાછા જાઓ, જ્યાં આપણે બરાબર આ કર્યું). જો દલીલ x ને અતાર્કિક અર્થ આપવામાં આવે તો શું? ઉદાહરણ તરીકે, કેવી રીતે ગણતરી કરવી? અમે હજુ આ જાણતા નથી.
ગણિતશાસ્ત્રીઓએ એક માર્ગ શોધી કાઢ્યો છે; આ રીતે તેઓ તર્ક કરતા હતા.

તે જાણીતું છે તર્કસંગત સંખ્યાઓના ક્રમને ધ્યાનમાં લો - ગેરલાભ દ્વારા સંખ્યાના દશાંશ અંદાજ:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

તે સ્પષ્ટ છે કે 1.732 = 1.7320, અને 1.732050 = 1.73205. આવા પુનરાવર્તનોને ટાળવા માટે, અમે ક્રમના તે સભ્યોને કાઢી નાખીએ છીએ જે નંબર 0 સાથે સમાપ્ત થાય છે.

પછી આપણને વધતો ક્રમ મળે છે:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

તદનુસાર, ક્રમ વધે છે

આ ક્રમની તમામ શરતો 22 કરતા ઓછી હકારાત્મક સંખ્યાઓ છે, એટલે કે. આ ક્રમ મર્યાદિત છે. વેયરસ્ટ્રાસના પ્રમેય (જુઓ § 30) મુજબ, જો કોઈ ક્રમ વધી રહ્યો હોય અને બંધાયેલો હોય, તો તે કન્વર્જ થાય છે. વધુમાં, § 30 થી આપણે જાણીએ છીએ કે જો કોઈ ક્રમ કન્વર્જ થાય છે, તો તે માત્ર એક મર્યાદા સુધી જ કરે છે. સંમત થયા હતા કે આ એક મર્યાદાને સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય ગણવું જોઈએ. અને તે કોઈ વાંધો નથી કે સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ 2 નું અંદાજિત મૂલ્ય પણ શોધવાનું ખૂબ મુશ્કેલ છે; તે મહત્વનું છે કે આ એક ચોક્કસ સંખ્યા છે (છેવટે, અમે એમ કહેવાથી ડરતા ન હતા કે, ઉદાહરણ તરીકે, તે તર્કસંગત સમીકરણનું મૂળ છે, ત્રિકોણમિતિ સમીકરણનું મૂળ, ખરેખર આ સંખ્યાઓ શું છે તે વિશે વિચાર્યા વિના:
તેથી, અમે શોધી કાઢ્યું છે કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ 2^ પ્રતીકમાં શું અર્થ મૂકે છે. એ જ રીતે, તમે નક્કી કરી શકો છો કે શું અને સામાન્ય રીતે a શું છે, જ્યાં a અતાર્કિક સંખ્યા છે અને a > 1 છે.
પરંતુ શું જો 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
હવે આપણે ફક્ત મનસ્વી તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ વિશે જ નહીં, પણ મનસ્વી વાસ્તવિક ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ વિશે પણ વાત કરી શકીએ છીએ. તે સાબિત થયું છે કે કોઈપણ વાસ્તવિક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીમાં ડિગ્રીના તમામ સામાન્ય ગુણધર્મો હોય છે: જ્યારે સમાન પાયા સાથેની શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઘાતાંક ઉમેરવામાં આવે છે, જ્યારે ભાગાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે બાદબાકી કરવામાં આવે છે, જ્યારે ઘાતમાં ડિગ્રી વધારતા હોય, ત્યારે તેનો ગુણાકાર થાય છે, વગેરે પરંતુ સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે હવે આપણે બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્ય y-ax વિશે વાત કરી શકીએ છીએ.
ચાલો ફંક્શન y = 2 x પર પાછા જઈએ અને તેનો ગ્રાફ બનાવીએ. આ કરવા માટે, ચાલો ફંક્શન વેલ્યુનું ટેબલ બનાવીએ y=2x:

ચાલો કોઓર્ડિનેટ પ્લેન (ફિગ. 194) પરના બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીએ, તેઓ ચોક્કસ રેખાને ચિહ્નિત કરે છે, ચાલો તેને દોરીએ (ફિગ. 195).

ફંક્શન y - 2 xના ગુણધર્મો:
1)
2) ન તો સમ કે વિષમ; 248
3) વધે છે;

5) ન તો સૌથી મોટું કે નાનું મૂલ્ય છે;
6) સતત;
7)
8) નીચે તરફ બહિર્મુખ.

ઉચ્ચ ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં ફંક્શન y-2 x ના સૂચિબદ્ધ ગુણધર્મોના સખત પુરાવા આપવામાં આવે છે. અમે આમાંની કેટલીક મિલકતોની એક ડિગ્રી અથવા બીજી અગાઉ ચર્ચા કરી છે, તેમાંના કેટલાક સ્પષ્ટપણે બાંધેલા ગ્રાફ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યા છે (જુઓ. ફિગ. 195). ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શનની સમાનતા અથવા વિષમતાનો અભાવ ભૌમિતિક રીતે અનુક્રમે, y-અક્ષની સાપેક્ષ અથવા મૂળની તુલનામાં ગ્રાફની સમપ્રમાણતાના અભાવ સાથે સંબંધિત છે.

y = a x ફોર્મનું કોઈપણ કાર્ય, જ્યાં a > 1, સમાન ગુણધર્મો ધરાવે છે. ફિગ માં. એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં 196 બનાવવામાં આવ્યા હતા, ફંક્શનના ગ્રાફ y=2 x, y=3 x, y=5 x.

ચાલો હવે કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ અને તેના માટે મૂલ્યોનું કોષ્ટક બનાવીએ:

ચાલો કોઓર્ડિનેટ પ્લેન (ફિગ. 197) પરના બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીએ, તેઓ ચોક્કસ રેખાને ચિહ્નિત કરે છે, ચાલો તેને દોરીએ (ફિગ. 198).

કાર્ય ગુણધર્મો

1)
2) ન તો સમ કે વિષમ;
3) ઘટે છે;
4) ઉપરથી મર્યાદિત નથી, નીચેથી મર્યાદિત;
5) ત્યાં ન તો સૌથી મોટું કે નાનું મૂલ્ય નથી;
6) સતત;
7)
8) નીચે તરફ બહિર્મુખ.
ફોર્મ y=a xનું કોઈપણ કાર્ય, જ્યાં O સમાન ગુણધર્મો ધરાવે છે<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: કાર્ય આલેખ તે y=2 x, y-અક્ષ વિશે સપ્રમાણતા (ફિગ. 201). આ સામાન્ય વિધાનનું પરિણામ છે (જુઓ § 13): ફંક્શન y = f(x) અને y = f(-x) ના આલેખ y-અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે. એ જ રીતે, વિધેયોના આલેખ y = 3 x અને

શું કહેવામાં આવ્યું છે તેનો સારાંશ આપવા માટે, અમે ઘાતાંકીય કાર્યની વ્યાખ્યા આપીશું અને તેના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મોને પ્રકાશિત કરીશું.

વ્યાખ્યા.ફોર્મના કાર્યને ઘાતાંકીય કાર્ય કહેવામાં આવે છે.
ઘાતાંકીય કાર્ય y = a x ના મૂળભૂત ગુણધર્મો

a> 1 માટે ફંક્શન y=a x નો ગ્રાફ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 201, અને 0 માટે<а < 1 - на рис. 202.

ફિગમાં બતાવેલ વળાંક. 201 અથવા 202 ને ઘાત કહેવામાં આવે છે. હકીકતમાં, ગણિતશાસ્ત્રીઓ સામાન્ય રીતે ઘાતાંકીય કાર્યને y = a x કહે છે. તેથી "ઘાતાંક" શબ્દનો ઉપયોગ બે અર્થમાં થાય છે: ઘાતાંકીય કાર્યને નામ આપવા અને ઘાતાંકીય કાર્યના ગ્રાફને નામ આપવા માટે. સામાન્ય રીતે અર્થ સ્પષ્ટ છે કે શું આપણે ઘાતાંકીય કાર્ય અથવા તેના ગ્રાફ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ.

ઘાતાંકીય કાર્ય y=ax ના ગ્રાફની ભૌમિતિક વિશેષતા પર ધ્યાન આપો: x-અક્ષ એ ગ્રાફનું આડું એસિમ્પટોટ છે. સાચું, આ નિવેદન સામાન્ય રીતે નીચે પ્રમાણે સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે.
x-અક્ષ એ ફંક્શનના ગ્રાફનું આડું એસિમ્પ્ટોટ છે

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો

પ્રથમ મહત્વપૂર્ણ નોંધ. શાળાના બાળકો ઘણીવાર શબ્દોને ગૂંચવતા હોય છે: પાવર ફંક્શન, ઘાતાંકીય કાર્ય. સરખામણી કરો:

આ પાવર કાર્યોના ઉદાહરણો છે;

આ ઘાતાંકીય કાર્યોના ઉદાહરણો છે.

સામાન્ય રીતે, y = x r, જ્યાં r એ ચોક્કસ સંખ્યા છે, તે પાવર ફંક્શન છે (દલીલ x ડિગ્રીના આધારમાં સમાયેલ છે);
y = a", જ્યાં a એ ચોક્કસ સંખ્યા છે (ધન અને 1 થી અલગ), ઘાતાત્મક કાર્ય છે (વાદ x ઘાતાંકમાં સમાયેલ છે).

y = x" જેવા "વિદેશી" ફંક્શનને ન તો ઘાતાંકીય કે શક્તિ ગણવામાં આવે છે (તેને કેટલીકવાર ઘાતાંકીય કહેવામાં આવે છે).

બીજી મહત્વપૂર્ણ નોંધ. સામાન્ય રીતે બેઝ a = 1 સાથે અથવા બેઝ સાથે અસમાનતા aને સંતોષતા ઘાતાંકીય કાર્યને ધ્યાનમાં લેતા નથી.<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 અને a હકીકત એ છે કે જો a = 1 હોય, તો x ની સમાનતા Ix = 1 ધરાવે છે આમ, a = 1 સાથે ઘાતાંકીય ફંક્શન y = a" અચળ ફંક્શન y = 1 માં બદલાય છે. રસપ્રદ નથી જો a = 0, તો x ની કોઈપણ સકારાત્મક કિંમત માટે 0x = 0, એટલે કે આપણને x > 0 માટે વ્યાખ્યાયિત ફંક્શન y = 0 મળે છે - આ પણ રસપ્રદ નથી જો, અંતે, a.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

ઉદાહરણો ઉકેલવા માટે આગળ વધતા પહેલા, નોંધ લો કે ઘાતાંકીય કાર્ય તમે અત્યાર સુધી અભ્યાસ કરેલ તમામ કાર્યો કરતા નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે. નવા ઑબ્જેક્ટનો સંપૂર્ણ અભ્યાસ કરવા માટે, તમારે તેને વિવિધ પરિસ્થિતિઓમાં, વિવિધ ખૂણાઓથી ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે, તેથી ઘણા ઉદાહરણો હશે.
ઉદાહરણ 1.

ઉકેલ, a) એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ફંક્શન્સ y = 2 x અને y = 1 ના આલેખ બનાવ્યા પછી, અમે નોંધ્યું છે કે (ફિગ. 203) તેમની પાસે એક સામાન્ય બિંદુ છે (0; 1). આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ 2x = 1 માં એક મૂળ x = 0 છે.

તેથી, સમીકરણ 2x = 2° થી આપણને x = 0 મળે છે.

b) ફંક્શન y = 2 x અને y = 4 એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં આલેખ બનાવ્યા પછી, અમે નોંધ્યું છે કે (ફિગ. 203) તેમની પાસે એક સામાન્ય બિંદુ છે (2; 4). આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ 2x = 4 માં એક મૂળ x = 2 છે.

તેથી, સમીકરણ 2 x =2 2 માંથી આપણને x=2 મળે છે.

c) અને d) સમાન વિચારણાઓના આધારે, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે સમીકરણ 2 x = 8 એક જ મૂળ ધરાવે છે, અને તેને શોધવા માટે, અનુરૂપ કાર્યોના ગ્રાફ બનાવવાની જરૂર નથી;

તે સ્પષ્ટ છે કે x = 3, 2 3 = 8 થી. એ જ રીતે, આપણે સમીકરણનું એકમાત્ર મૂળ શોધીએ છીએ

તેથી, સમીકરણ 2x = 2 3 થી આપણને x = 3 મળ્યું, અને સમીકરણ 2 x = 2 xમાંથી આપણને x = -4 મળ્યું.
e) ફંક્શન y = 2 x નો ગ્રાફ x > 0 માટે ફંક્શન y = 1 ના ગ્રાફની ઉપર સ્થિત છે - આ ફિગમાં સ્પષ્ટપણે વાંચી શકાય છે. 203. આનો અર્થ એ છે કે અસમાનતા 2x > 1 નો ઉકેલ એ અંતરાલ છે
f) ફંક્શન y = 2 x નો ગ્રાફ એ x પર ફંક્શન y = 4 ના ગ્રાફની નીચે સ્થિત છે<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
તમે કદાચ નોંધ્યું હશે કે ઉદાહરણ 1 ઉકેલતી વખતે તમામ તારણો માટેનો આધાર ફંક્શન y = 2 x ની એકવિધતા (વધારો) ની મિલકત હતી. સમાન તર્ક અમને નીચેના બે પ્રમેયની માન્યતા ચકાસવા માટે પરવાનગી આપે છે.

ઉકેલ.તમે આ રીતે આગળ વધી શકો છો: y-3 x ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવો, પછી તેને x અક્ષથી 3 ના અવયવ દ્વારા ખેંચો, અને પછી પરિણામી ગ્રાફને 2 સ્કેલ એકમો દ્વારા ઊંચો કરો. પરંતુ એ હકીકતનો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ છે કે 3- 3* = 3 * + 1, અને તેથી, y = 3 x * 1 + 2 ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવો.

ચાલો આગળ વધીએ, જેમ કે આપણે આવા કિસ્સાઓમાં ઘણી વખત કર્યું છે, બિંદુ (-1; 2) - બિંદુઓવાળી રેખાઓ x = - 1 અને 1x = 2 પર મૂળ સાથેની સહાયક સંકલન સિસ્ટમ તરફ. 207. ચાલો ફંક્શન y=3* ને નવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સાથે "લિંક" કરીએ. આ કરવા માટે, કાર્ય માટે નિયંત્રણ બિંદુઓ પસંદ કરો , પરંતુ અમે તેમને જૂનામાં નહીં, પરંતુ નવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં બનાવીશું (આ બિંદુઓ ફિગ. 207 માં ચિહ્નિત થયેલ છે). પછી આપણે પોઈન્ટમાંથી ઘાતાંક બનાવીશું - આ જરૂરી આલેખ હશે (જુઓ ફિગ. 207).
સેગમેન્ટ [-2, 2] પર આપેલ ફંક્શનના સૌથી મોટા અને સૌથી નાના મૂલ્યો શોધવા માટે, અમે એ હકીકતનો લાભ લઈએ છીએ કે આપેલ ફંક્શન વધી રહ્યું છે, અને તેથી તે અનુક્રમે તેના સૌથી નાના અને સૌથી મોટા મૂલ્યો લે છે. સેગમેન્ટના ડાબા અને જમણા છેડા.
તેથી:

ઉદાહરણ 4.સમીકરણ અને અસમાનતાઓ ઉકેલો:

ઉકેલ, a) ચાલો એક સંકલન પ્રણાલીમાં y=5* અને y=6-x ફંક્શનના ગ્રાફ બનાવીએ (ફિગ. 208). તેઓ એક બિંદુ પર છેદે છે; ડ્રોઇંગ દ્વારા અભિપ્રાય આપતા, આ બિંદુ છે (1; 5). ચેક બતાવે છે કે હકીકતમાં બિંદુ (1; 5) સમીકરણ y = 5* અને સમીકરણ y = 6-x બંનેને સંતોષે છે. આ બિંદુનો એબ્સીસા આપેલ સમીકરણના એકમાત્ર મૂળ તરીકે સેવા આપે છે.

તેથી, સમીકરણ 5 x = 6 - xનું એક મૂળ x = 1 છે.

b) અને c) ઘાતાંક y-5x સીધી રેખા y=6-x ની ઉપર આવેલું છે, જો x>1 હોય, તો આ ફિગમાં સ્પષ્ટપણે દેખાય છે. 208. આનો અર્થ એ છે કે અસમાનતા 5*>6 ના ઉકેલને નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે: x>1. અને અસમાનતાનો ઉકેલ 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
જવાબ: a)x = 1; b)x>1; c) x<1.

ઉદાહરણ 5.એક ફંકશન આપ્યું તે સાબિત કરો
ઉકેલ.અમારી પાસે જે શરત છે તે મુજબ.

ચાલો પહેલા ઘાતાંકીય કાર્યની વ્યાખ્યાનો પરિચય કરીએ.

ઘાતાંકીય કાર્ય $f\left(x\right)=a^x$, જ્યાં $a >1$.

ચાલો $a >1$ માટે ઘાતાંકીય ફંક્શનના ગુણધર્મો રજૂ કરીએ.

\ [કોઈ મૂળ નથી\] \

સંકલન અક્ષો સાથે આંતરછેદ. ફંક્શન $Ox$ અક્ષને છેદતું નથી, પરંતુ $Oy$ અક્ષને $(0,1)$ પર છેદે છે.

$f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$

\ [કોઈ મૂળ નથી\] \

ગ્રાફ (ફિગ. 1).

આકૃતિ 1. ફંકશનનો ગ્રાફ $f\left(x\right)=a^x,\ for\ a >1$.

ઘાતાંકીય કાર્ય $f\left(x\right)=a^x$, જ્યાં $0

ચાલો $0 પર, ઘાતાંકીય ફંક્શનના ગુણધર્મો રજૂ કરીએ

વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર એ બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.

$f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- ફંક્શન બે તો એકસ કે વિષમ નથી.

$f(x)$ વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર સતત છે.

મૂલ્યોની શ્રેણી એ અંતરાલ $(0,+\infty)$ છે.

$f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$

\\[કોઈ મૂળ\] \[કોઈ મૂળ\] \

કાર્ય વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર બહિર્મુખ છે.

ડોમેનના છેડે વર્તન:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\]

ગ્રાફ (ફિગ. 2).

ઘાતાંકીય કાર્ય રચવા માટે સમસ્યાનું ઉદાહરણ

$y=2^x+3$ ફંક્શનનું અન્વેષણ કરો અને પ્લોટ કરો.

ઉકેલ.

ચાલો ઉપરના ઉદાહરણ રેખાકૃતિનો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ કરીએ:

વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર એ બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.

$f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- ફંક્શન બે તો એકસ કે વિષમ નથી.

$f(x)$ વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર સતત છે.

મૂલ્યોની શ્રેણી એ અંતરાલ $(3,+\infty)$ છે.

$f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$

કાર્ય વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર વધે છે.

$f(x)\ge 0$ વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનમાં.

સંકલન અક્ષો સાથે આંતરછેદ. ફંક્શન $Ox$ અક્ષને છેદતું નથી, પરંતુ બિંદુ ($0,4)$ પર $Oy$ અક્ષને છેદે છે

$f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$

કાર્ય વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર બહિર્મુખ છે.

ડોમેનના છેડે વર્તન:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\]

ગ્રાફ (ફિગ. 3).

આકૃતિ 3. ફંકશનનો આલેખ $f\left(x\right)=2^x+3$

મોટાભાગની ગાણિતિક સમસ્યાઓને એક અથવા બીજી રીતે ઉકેલવામાં સંખ્યાત્મક, બીજગણિતીય અથવા કાર્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન સામેલ છે. ઉપરોક્ત ખાસ કરીને નિર્ણયને લાગુ પડે છે. ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના સંસ્કરણોમાં, આ પ્રકારની સમસ્યામાં, ખાસ કરીને, કાર્ય C3 શામેલ છે. C3 કાર્યોને હલ કરવાનું શીખવું એ માત્ર યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સફળતાપૂર્વક પાસ કરવાના હેતુ માટે જ નહીં, પરંતુ હાઇસ્કૂલમાં ગણિતના અભ્યાસક્રમનો અભ્યાસ કરતી વખતે આ કૌશલ્ય ઉપયોગી થશે તે કારણોસર પણ મહત્વપૂર્ણ છે.

C3 કાર્યો પૂર્ણ કરતી વખતે, તમારે વિવિધ પ્રકારના સમીકરણો અને અસમાનતાઓને હલ કરવી પડશે. તેમાંથી તર્કસંગત, અતાર્કિક, ઘાતાંકીય, લઘુગણક, ત્રિકોણમિતિ, સમાવિષ્ટ મોડ્યુલો (સંપૂર્ણ મૂલ્યો), તેમજ સંયુક્ત રાશિઓ છે. આ લેખ ઘાતાંકીય સમીકરણો અને અસમાનતાઓના મુખ્ય પ્રકારો તેમજ તેમને ઉકેલવા માટેની વિવિધ પદ્ધતિઓની ચર્ચા કરે છે. ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાંથી C3 સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ માટે સમર્પિત લેખોમાં “” વિભાગમાં અન્ય પ્રકારના સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવા વિશે વાંચો.

આપણે ચોક્કસ વિશ્લેષણ કરવાનું શરૂ કરીએ તે પહેલાં ઘાતાંકીય સમીકરણો અને અસમાનતાઓ, ગણિતના શિક્ષક તરીકે, હું તમને કેટલીક સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી પર બ્રશ કરવાનું સૂચન કરું છું જેની અમને જરૂર પડશે.

ઘાતાંકીય કાર્ય

ઘાતાંકીય કાર્ય શું છે?

ફોર્મનું કાર્ય y = a x, ક્યાં a> 0 અને a≠ 1 કહેવાય છે ઘાતાંકીય કાર્ય.

મૂળભૂત ઘાતાંકીય કાર્યના ગુણધર્મો y = a x:

ઘાતાંકીય કાર્યનો આલેખ

ઘાતાંકીય કાર્યનો આલેખ છે ઘાત:

ઘાતાંકીય કાર્યોનો આલેખ (ઘાતાંકો)

ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલવા

સૂચકસમીકરણો કહેવાય છે જેમાં અજ્ઞાત ચલ અમુક શક્તિઓના ઘાતાંકમાં જ જોવા મળે છે.

ઉકેલવા માટે ઘાતાંકીય સમીકરણોતમારે નીચેના સરળ પ્રમેયને જાણવાની અને તેનો ઉપયોગ કરવામાં સમર્થ થવાની જરૂર છે:

પ્રમેય 1.ઘાતાંકીય સમીકરણ a f(x) = a g(x) (જ્યાં a > 0, a≠ 1) સમીકરણની સમકક્ષ છે f(x) = g(x).

આ ઉપરાંત, મૂળભૂત સૂત્રો અને ડિગ્રી સાથેની કામગીરીને યાદ રાખવા માટે તે ઉપયોગી છે:

Title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

ઉદાહરણ 1.સમીકરણ ઉકેલો:

ઉકેલ:અમે ઉપરોક્ત સૂત્રો અને અવેજીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

પછી સમીકરણ બને છે:

પરિણામી ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ભેદભાવ હકારાત્મક છે:

Title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

મતલબ કે આ સમીકરણના બે મૂળ છે. અમે તેમને શોધીએ છીએ:

રિવર્સ અવેજી તરફ આગળ વધતાં, અમને મળે છે:

બીજા સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી, કારણ કે ઘાતાંકીય કાર્ય વ્યાખ્યાના સમગ્ર ક્ષેત્રમાં સખત રીતે હકારાત્મક છે. ચાલો બીજો હલ કરીએ:

પ્રમેય 1 માં શું કહેવામાં આવ્યું હતું તે ધ્યાનમાં લેતા, અમે સમાન સમીકરણ તરફ આગળ વધીએ છીએ: x= 3. આ કાર્યનો જવાબ હશે.

જવાબ: x = 3.

ઉદાહરણ 2.સમીકરણ ઉકેલો:

ઉકેલ:સમીકરણમાં અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણી પર કોઈ નિયંત્રણો નથી, કારણ કે આમૂલ અભિવ્યક્તિ કોઈપણ મૂલ્ય માટે અર્થપૂર્ણ છે x(ઘાતાંકીય કાર્ય y = 9 4 -xહકારાત્મક અને શૂન્યની બરાબર નથી).

અમે શક્તિઓના ગુણાકાર અને વિભાજનના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને સમકક્ષ પરિવર્તન દ્વારા સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ:

છેલ્લું સંક્રમણ પ્રમેય 1 અનુસાર હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું.

જવાબ:x= 6.

ઉદાહરણ 3.સમીકરણ ઉકેલો:

ઉકેલ:મૂળ સમીકરણની બંને બાજુઓને 0.2 વડે ભાગી શકાય છે x. આ સંક્રમણ સમકક્ષ હશે, કારણ કે આ અભિવ્યક્તિ કોઈપણ મૂલ્ય માટે શૂન્ય કરતાં મોટી છે x(ઘાતાંકીય કાર્ય તેની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં સખત રીતે હકારાત્મક છે). પછી સમીકરણ ફોર્મ લે છે:

જવાબ: x = 0.

ઉદાહરણ 4.સમીકરણ ઉકેલો:

ઉકેલ:અમે લેખની શરૂઆતમાં આપેલ સત્તાઓના વિભાજન અને ગુણાકારના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને સમકક્ષ રૂપાંતરણોના માધ્યમથી પ્રાથમિક સમીકરણને સરળ બનાવીએ છીએ:

સમીકરણની બંને બાજુઓને 4 વડે વિભાજીત કરવી x, અગાઉના ઉદાહરણની જેમ, એક સમકક્ષ રૂપાંતર છે, કારણ કે આ અભિવ્યક્તિ કોઈપણ મૂલ્યો માટે શૂન્યની બરાબર નથી x.

જવાબ: x = 0.

ઉદાહરણ 5.સમીકરણ ઉકેલો:

ઉકેલ:કાર્ય y = 3x, સમીકરણની ડાબી બાજુએ ઊભા રહીને, વધી રહ્યું છે. કાર્ય y = —xસમીકરણની જમણી બાજુનું -2/3 ઘટી રહ્યું છે. આનો અર્થ એ થયો કે જો આ ફંકશનના ગ્રાફ એકબીજાને છેદે છે, તો વધુમાં વધુ એક બિંદુએ. આ કિસ્સામાં, અનુમાન લગાવવું સરળ છે કે આલેખ બિંદુ પર છેદે છે x= -1. ત્યાં કોઈ અન્ય મૂળ હશે નહીં.

જવાબ: x = -1.

ઉદાહરણ 6.સમીકરણ ઉકેલો:

ઉકેલ:અમે સમકક્ષ રૂપાંતરણો દ્વારા સમીકરણને સરળ બનાવીએ છીએ, દરેક જગ્યાએ ધ્યાનમાં રાખીને કે ઘાતાંકીય કાર્ય કોઈપણ મૂલ્ય માટે શૂન્ય કરતાં સખત રીતે વધારે છે xઅને લેખની શરૂઆતમાં આપેલ સત્તાઓના ઉત્પાદન અને ભાગની ગણતરી માટેના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને:

જવાબ: x = 2.

ઘાતાંકીય અસમાનતાઓનું નિરાકરણ

સૂચકઅસમાનતાઓ કહેવાય છે જેમાં અજ્ઞાત ચલ માત્ર અમુક શક્તિઓના ઘાતાંકમાં સમાયેલ છે.

ઉકેલવા માટે ઘાતાંકીય અસમાનતાઓનીચેના પ્રમેયનું જ્ઞાન જરૂરી છે:

પ્રમેય 2.જો a> 1, પછી અસમાનતા a f(x) > a g(x) એ સમાન અર્થની અસમાનતાની સમકક્ષ છે: f(x) > g(x). જો 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) એ વિરોધી અર્થની અસમાનતા સમાન છે: f(x) < g(x).

ઉદાહરણ 7.અસમાનતા ઉકેલો:

ઉકેલ:ચાલો મૂળ અસમાનતાને ફોર્મમાં રજૂ કરીએ:

ચાલો આ અસમાનતાની બંને બાજુઓને 3 2 વડે વિભાજીત કરીએ x, આ કિસ્સામાં (કાર્યની હકારાત્મકતાને કારણે y= 3 2x) અસમાનતા ચિહ્ન બદલાશે નહીં:

ચાલો અવેજીનો ઉપયોગ કરીએ:

પછી અસમાનતા ફોર્મ લેશે:

તેથી, અસમાનતાનો ઉકેલ એ અંતરાલ છે:

વિપરીત અવેજીમાં આગળ વધતાં, આપણને મળે છે:

ઘાતાંકીય કાર્યની હકારાત્મકતાને લીધે, ડાબી અસમાનતા આપોઆપ સંતુષ્ટ થાય છે. લઘુગણકની જાણીતી મિલકતનો ઉપયોગ કરીને, અમે સમકક્ષ અસમાનતા તરફ આગળ વધીએ છીએ:

ડિગ્રીનો આધાર એક કરતાં મોટી સંખ્યા હોવાથી, સમકક્ષ (પ્રમેય 2 દ્વારા) એ નીચેની અસમાનતામાં સંક્રમણ છે:

તેથી, અમે આખરે મેળવીએ છીએ જવાબ:

ઉદાહરણ 8.અસમાનતા ઉકેલો:

ઉકેલ:શક્તિઓના ગુણાકાર અને વિભાજનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, અમે અસમાનતાને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ:

ચાલો એક નવું ચલ રજૂ કરીએ:

આ અવેજીને ધ્યાનમાં લેતા, અસમાનતા આ સ્વરૂપ લે છે:

અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને 7 વડે ગુણાકાર કરવાથી, આપણે નીચેની સમકક્ષ અસમાનતા મેળવીએ છીએ:

તેથી, ચલના નીચેના મૂલ્યો અસમાનતાને સંતોષે છે t:

પછી, વિપરીત અવેજી તરફ આગળ વધતાં, આપણને મળે છે:

અહીં ડિગ્રીનો આધાર એક કરતા વધારે હોવાથી, અસમાનતામાં સંક્રમણ સમકક્ષ હશે (પ્રમેય 2 દ્વારા):

આખરે આપણને મળે છે જવાબ:

ઉદાહરણ 9.અસમાનતા ઉકેલો:

ઉકેલ:

અમે અભિવ્યક્તિ દ્વારા અસમાનતાની બંને બાજુઓને વિભાજીત કરીએ છીએ:

તે હંમેશા શૂન્ય કરતા વધારે હોય છે (ઘાતાંકીય કાર્યની સકારાત્મકતાને કારણે), તેથી અસમાનતા ચિહ્ન બદલવાની જરૂર નથી. અમને મળે છે:

ટી અંતરાલમાં સ્થિત છે:

વિપરીત અવેજીમાં આગળ વધતા, અમે શોધીએ છીએ કે મૂળ અસમાનતા બે કિસ્સાઓમાં વિભાજિત થાય છે:

ઘાતાંકીય કાર્યની હકારાત્મકતાને કારણે પ્રથમ અસમાનતાનો કોઈ ઉકેલ નથી. ચાલો બીજો હલ કરીએ:

ઉદાહરણ 10.અસમાનતા ઉકેલો:

ઉકેલ:

પેરાબોલાની શાખાઓ y = 2x+2-x 2 ને નીચે તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે, તેથી તે તેના શિરોબિંદુ પર પહોંચતા મૂલ્ય દ્વારા ઉપરથી મર્યાદિત છે:

પેરાબોલાની શાખાઓ y = x 2 -2xસૂચકમાં +2 ઉપર તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે તે તેના શિરોબિંદુ પર પહોંચે છે તે મૂલ્ય દ્વારા તે નીચેથી મર્યાદિત છે:

તે જ સમયે, ફંક્શન પણ નીચેથી બંધાયેલું છે y = 3 x 2 -2x+2, જે સમીકરણની જમણી બાજુએ છે. તે ઘાતાંકમાં પેરાબોલાના સમાન બિંદુએ તેના સૌથી નાના મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે, અને આ મૂલ્ય 3 1 = 3 છે. તેથી, મૂળ અસમાનતા ફક્ત ત્યારે જ સાચી હોઈ શકે છે જો ડાબી બાજુનું કાર્ય અને જમણી બાજુનું કાર્ય મૂલ્યને સ્વીકારે. , 3 ની બરાબર (આ વિધેયોના મૂલ્યોની શ્રેણીનો આંતરછેદ ફક્ત આ સંખ્યા છે). આ સ્થિતિ એક તબક્કે સંતોષાય છે x = 1.

જવાબ: x= 1.

નક્કી કરવાનું શીખવા માટે ઘાતાંકીય સમીકરણો અને અસમાનતાઓ,તેને હલ કરવામાં સતત તાલીમ આપવી જરૂરી છે. વિવિધ શિક્ષણ સહાય, પ્રાથમિક ગણિતમાં સમસ્યા પુસ્તકો, સ્પર્ધાત્મક સમસ્યાઓનો સંગ્રહ, શાળામાં ગણિતના વર્ગો, તેમજ વ્યાવસાયિક શિક્ષક સાથેના વ્યક્તિગત પાઠ તમને આ મુશ્કેલ કાર્યમાં મદદ કરી શકે છે. હું તમને તમારી તૈયારીમાં સફળતા અને પરીક્ષામાં ઉત્તમ પરિણામોની શુભેચ્છા પાઠવું છું.

સેર્ગેઈ વેલેરીવિચ

P.S પ્રિય મહેમાનો! કૃપા કરીને ટિપ્પણીઓમાં તમારા સમીકરણોને ઉકેલવા માટે વિનંતીઓ લખશો નહીં. કમનસીબે, મારી પાસે આ માટે બિલકુલ સમય નથી. આવા સંદેશાઓ કાઢી નાખવામાં આવશે. કૃપા કરીને લેખ વાંચો. કદાચ તેમાં તમને એવા પ્રશ્નોના જવાબો મળશે જેણે તમને તમારા કાર્યને તમારા પોતાના પર હલ કરવાની મંજૂરી આપી ન હતી.