સંખ્યાના વર્તુળ પર બિંદુઓનું નિર્માણ. ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ

હું આશા રાખું છું કે તમે પહેલાથી જ નંબર સર્કલ વિશે વાંચ્યું હશે અને જાણ્યું હશે કે તેને નંબર સર્કલ કેમ કહેવામાં આવે છે, કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ તેના પર ક્યાં છે અને કઈ બાજુ સકારાત્મક દિશા છે. જો નહીં, તો ચલાવો! સિવાય કે, અલબત્ત, તમે નંબર વર્તુળ પર પોઈન્ટ શોધવા જઈ રહ્યા છો.

આપણે સંખ્યાઓ દર્શાવીએ છીએ \(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) (2 )\)

જેમ તમે અગાઉના લેખમાંથી જાણો છો, સંખ્યા વર્તુળની ત્રિજ્યા \(1\) છે. આનો અર્થ એ છે કે પરિઘ \(2π\) (સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ \(l=2πR\)) ની બરાબર છે. આને ધ્યાનમાં રાખીને, આપણે સંખ્યા વર્તુળ પર \(2π\) ચિહ્નિત કરીએ છીએ. આ સંખ્યાને ચિહ્નિત કરવા માટે, આપણે સંખ્યાના વર્તુળની સાથે \(0\) થી જવાની જરૂર છે, અંતર હકારાત્મક દિશામાં \(2π\) જેટલું છે, અને વર્તુળની લંબાઈ \(2π\) હોવાથી, તે બહાર આવ્યું છે કે અમે સંપૂર્ણ ક્રાંતિ કરીશું. એટલે કે, સંખ્યા \(2π\) અને \(0\) સમાન બિંદુને અનુરૂપ છે. ચિંતા કરશો નહીં, સંખ્યાના વર્તુળ માટે એક બિંદુ માટે બહુવિધ મૂલ્યો સામાન્ય છે.

હવે ચાલો સંખ્યા વર્તુળ પરની સંખ્યા \(π\) દર્શાવીએ. \(π\) એ \(2π\) નો અડધો ભાગ છે. આમ, આ સંખ્યા અને અનુરૂપ બિંદુને ચિહ્નિત કરવા માટે, તમારે \(0\) થી અડધા વર્તુળને હકારાત્મક દિશામાં જવાની જરૂર છે.

ચાલો બિંદુને ચિહ્નિત કરીએ \(\frac(π)(2)\) . \(\frac(π)(2)\) \(π\) નો અડધો ભાગ છે, તેથી, આ સંખ્યાને ચિહ્નિત કરવા માટે, તમારે \(0\) થી હકારાત્મક દિશામાં \( ના અડધા જેટલું અંતર જવું પડશે. π\), તે ત્રિમાસિક વર્તુળ છે.

ચાલો વર્તુળ પરના બિંદુઓને દર્શાવીએ \(-\)\(\frac(π)(2)\) . અમે છેલ્લી વખત જેટલું જ અંતર ખસેડીએ છીએ, પરંતુ નકારાત્મક દિશામાં.

ચાલો \(-π\) મૂકીએ. આ કરવા માટે, ચાલો નકારાત્મક દિશામાં અડધા વર્તુળ જેટલું અંતર ચાલીએ.

હવે ચાલો એક વધુ જટિલ ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો વર્તુળ પર \(\frac(3π)(2)\) નંબરને ચિહ્નિત કરીએ. આ કરવા માટે, અમે અપૂર્ણાંક \(\frac(3)(2)\) નો અનુવાદ \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\ માં કરીએ છીએ. ), એટલે કે ઇ. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . આનો અર્થ એ છે કે તમારે \(0\) થી સકારાત્મક દિશામાં અડધા વર્તુળ અને બીજા ક્વાર્ટરના અંતરે જવાની જરૂર છે.

વ્યાયામ 1. અંક વર્તુળ પર \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) બિંદુઓને ચિહ્નિત કરો.

આપણે સંખ્યાઓ દર્શાવીએ છીએ \(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\)

ઉપર આપણને \(x\) અને \(y\) અક્ષો સાથે સંખ્યા વર્તુળના આંતરછેદના બિંદુઓ પર મૂલ્યો મળ્યાં છે. હવે ચાલો મધ્યવર્તી બિંદુઓની સ્થિતિ નક્કી કરીએ. પ્રથમ, ચાલો બિંદુઓ \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) અને \(\frac(π)(6)\) .
\(\frac(π)(4)\) એ \(\frac(π)(2)\) (એટલે ​​​​કે, \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) , તેથી અંતર \(\frac(π)(4)\) અડધા ચતુર્થાંશ વર્તુળ છે.

\(\frac(π)(4)\) એ \(π\) (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો,\(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), તેથી અંતર \ (\frac(π)(3)\) એ અર્ધવર્તુળનો ત્રીજો ભાગ છે.

\(\frac(π)(6)\) એ \(\frac(π)(3)\)નો અડધો ભાગ છે (છેવટે, \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)) તેથી અંતર \(\frac(π)(6)\) અંતર \(\frac(π)(3)\) ના અડધું છે.

આ રીતે તેઓ એકબીજાની તુલનામાં સ્થિત છે:

ટિપ્પણી:મૂલ્ય સાથે બિંદુઓનું સ્થાન \(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) ( 4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) ફક્ત યાદ રાખવું વધુ સારું છે. તેમના વિના, મોનિટર વિનાના કમ્પ્યુટરની જેમ નંબર સર્કલ, ઉપયોગી વસ્તુ લાગે છે, પરંતુ ઉપયોગમાં લેવા માટે અત્યંત અસુવિધાજનક છે.

વર્તુળ પરના વિવિધ અંતરો સ્પષ્ટપણે દર્શાવવામાં આવ્યા છે:

અમે સંખ્યાઓ દર્શાવીએ છીએ \(\frac(7π)(6)\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)

ચાલો વર્તુળ પરના બિંદુને દર્શાવીએ \(\frac(7π)(6)\), આ કરવા માટે આપણે નીચેના રૂપાંતરણો કરીએ છીએ: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\) frac(6π + π)( 6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\frac( π)(6)\) . આના પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે શૂન્યથી હકારાત્મક દિશામાં આપણે \(π\), અને પછી બીજું \(\frac(π)(6)\) અંતરની મુસાફરી કરવાની જરૂર છે.

ચાલો વર્તુળ પર બિંદુ \(-\)\(\frac(4π)(3)\) ને ચિહ્નિત કરીએ. પરિવર્તન: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . આનો અર્થ એ છે કે \(0\) થી તમારે અંતર \(π\) અને \(\frac(π)(3)\) ને નકારાત્મક દિશામાં જવાની જરૂર છે.

ચાલો બિંદુ \(\frac(7π)(4)\), આ કરવા માટે આપણે \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4) ને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π) )(4) \). આનો અર્થ એ છે કે \(\frac(7π)(4)\) મૂલ્ય સાથે બિંદુ મૂકવા માટે, તમારે મૂલ્ય \(2π\) સાથેના બિંદુથી અંતરે નકારાત્મક બાજુએ જવું પડશે. frac(π)(4)\) .

કાર્ય 2. બિંદુઓ \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) પર ચિહ્નિત કરો સંખ્યા વર્તુળ (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .

આપણે સંખ્યાઓ દર્શાવીએ છીએ \(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π) )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)

ચાલો ફોર્મમાં \(10π\) લખીએ \(5 \cdot 2π\). આપણે યાદ રાખીએ છીએ કે \(2π\) એ વર્તુળની લંબાઈ જેટલું અંતર છે, તેથી બિંદુ \(10π\) ને ચિહ્નિત કરવા માટે, તમારે શૂન્યથી \(5\) વર્તુળોની સમાન અંતર પર જવાની જરૂર છે. અનુમાન લગાવવું મુશ્કેલ નથી કે આપણે ફરીથી પોતાને બિંદુ \(0\) પર શોધીશું, ફક્ત પાંચ ક્રાંતિ કરો.

આ ઉદાહરણમાંથી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ:

\(2πn\) ના તફાવત સાથેની સંખ્યાઓ, જ્યાં \(n∈Z\) (એટલે ​​​​કે, \(n\) કોઈપણ પૂર્ણાંક છે) સમાન બિંદુને અનુરૂપ છે.

એટલે કે, \(2π\) (અથવા \(-2π\) કરતાં ઓછી કિંમત સાથેની સંખ્યા મૂકવા માટે, તમારે તેમાંથી એક સમ સંખ્યા કાઢવાની જરૂર છે \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) અને કાઢી નાખો. આમ, બિંદુની સ્થિતિને અસર ન કરતી સંખ્યાઓમાંથી અમે "ખાલી ક્રાંતિ" દૂર કરીશું.

અન્ય નિષ્કર્ષ:

જે બિંદુ સાથે \(0\) અનુલક્ષે છે તે તમામ સમ જથ્થાઓને પણ અનુરૂપ છે \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).

ચાલો હવે વર્તુળમાં \(-3π\) લાગુ કરીએ. \(-3π=-π-2π\), જેનો અર્થ થાય છે \(-3π\) અને \(–π\) વર્તુળ પર એક જ જગ્યાએ છે (કારણ કે તેઓ \(-2π) માં "ખાલી વળાંક" દ્વારા અલગ પડે છે \)).

માર્ગ દ્વારા, બધા વિચિત્ર \(π\) પણ ત્યાં હશે.

બિંદુ કે જેનાથી \(π\) અનુરૂપ છે તે તમામ વિષમ જથ્થાઓને પણ અનુરૂપ છે \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).

હવે ચાલો નંબર દર્શાવીએ \(\frac(7π)(2)\) . હંમેશની જેમ, અમે પરિવર્તન કરીએ છીએ: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . અમે બે પાઇ કાઢી નાખીએ છીએ, અને તે તારણ આપે છે કે \(\frac(7π)(2)\) નંબરને નિયુક્ત કરવા માટે તમારે શૂન્યથી હકારાત્મક દિશામાં \(π+\)\(\)ના સમાન અંતર સુધી જવાની જરૂર છે. frac(π)(2)\ ) (એટલે ​​​​કે અડધુ વર્તુળ અને બીજો ક્વાર્ટર).

વિષય પર પાઠ અને પ્રસ્તુતિ: "સંકલન પ્લેન પર સંખ્યા વર્તુળ"

વધારાની સામગ્રી
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, સમીક્ષાઓ, શુભેચ્છાઓ આપવાનું ભૂલશો નહીં! એન્ટી-વાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવી છે.

1C થી ગ્રેડ 10 માટે ઇન્ટિગ્રલ ઑનલાઇન સ્ટોરમાં મેન્યુઅલ અને સિમ્યુલેટર
પરિમાણો સાથે બીજગણિત સમસ્યાઓ, ગ્રેડ 9-11
અમે ભૂમિતિમાં સમસ્યાઓ હલ કરીએ છીએ. ગ્રેડ 7-10 માટે ઇન્ટરેક્ટિવ બાંધકામ કાર્યો

આપણે શું અભ્યાસ કરીશું:
1. વ્યાખ્યા.
2. સંખ્યા વર્તુળના મહત્વપૂર્ણ કોઓર્ડિનેટ્સ.
3. સંખ્યાના વર્તુળનું સંકલન કેવી રીતે શોધવું?
4. સંખ્યા વર્તુળના મુખ્ય કોઓર્ડિનેટ્સનું કોષ્ટક.
5. સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો.

સંકલન સમતલ પર સંખ્યા વર્તુળની વ્યાખ્યા

સંકલન સમતલમાં સંખ્યા વર્તુળ પરના દરેક બિંદુના પોતાના x અને y કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે, અને:
1) $x > 0$, $y > 0$ માટે - પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં;
2) $x 0$ માટે - બીજા ક્વાર્ટરમાં;
3) $x 4 માટે) $x > 0$, $y માટે
સંખ્યાના વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ $M(x; y)$ માટે નીચેની અસમાનતાઓ સંતોષાય છે: $-1
સંખ્યાના વર્તુળનું સમીકરણ યાદ રાખો: $x^2 + y^2 = 1$.

આકૃતિમાં પ્રસ્તુત સંખ્યાના વર્તુળ પરના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ કેવી રીતે શોધવા તે શીખવું આપણા માટે મહત્વપૂર્ણ છે.

ચાલો બિંદુ $\frac(π)(4)$ નો સંકલન શોધીએ

સંખ્યાના વર્તુળ પરના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ

ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ

ઉકેલ:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા $45\frac(π)(4)$ એ સંખ્યાના વર્તુળ પરના સમાન બિંદુને અનુલક્ષે છે જે નંબર $\frac(5π)(4)$ છે. કોષ્ટકમાં $\frac(5π)(4)$ બિંદુની કિંમત જોઈને, આપણને મળે છે: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

ઉદાહરણ 2.
સંખ્યા વર્તુળ પરના બિંદુનું સંકલન શોધો: $P(-\frac(37π)(3))$.

ઉકેલ:

કારણ કે નંબરો $t$ અને $t+2π*k$, જ્યાં k એ પૂર્ણાંક છે, તે સંખ્યા વર્તુળ પરના સમાન બિંદુને અનુરૂપ છે:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
આનો અર્થ એ થાય છે કે સંખ્યા $-\frac(37π)(3)$ નંબર વર્તુળ પરના સમાન બિંદુને અનુલક્ષે છે જે નંબર $–\frac(π)(3)$ છે, અને નંબર –$\frac(π) (3)$ એ $\frac(5π)(3)$ જેવા જ બિંદુને અનુરૂપ છે. કોષ્ટકમાં $\frac(5π)(3)$ બિંદુની કિંમત જોઈને, આપણને મળે છે:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

ઉદાહરણ 3.
$y =\frac(1)(2)$ સાથે સંખ્યાના વર્તુળ પર બિંદુઓ શોધો અને લખો કે તેઓ કયા $t$ને અનુરૂપ છે?

ઉકેલ:
સીધી રેખા $y =\frac(1)(2)$ બિંદુ M અને P પર સંખ્યાના વર્તુળને છેદે છે. બિંદુ M એ સંખ્યા $\frac(π)(6)$ (ટેબલ ડેટામાંથી) ને અનુરૂપ છે. આનો અર્થ છે ફોર્મની કોઈપણ સંખ્યા: $\frac(π)(6)+2π*k$. બિંદુ P એ $\frac(5π)(6)$ નંબરને અનુરૂપ છે, અને તેથી $\frac(5π)(6) +2 π*k$ ફોર્મની કોઈપણ સંખ્યા સાથે.
અમને પ્રાપ્ત થયા છે, જેમ કે આવા કિસ્સાઓમાં વારંવાર કહેવામાં આવે છે, મૂલ્યોની બે શ્રેણી:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ અને $\frac(5π)(6) +2π*k$.
જવાબ: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ અને $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

ઉદાહરણ 4.
સંખ્યા વર્તુળ પર abscissa $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ સાથે બિંદુઓ શોધો અને લખો કે તેઓ કયા $t$ ને અનુરૂપ છે.

ઉકેલ:

સીધી રેખા $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ એ સંખ્યાના વર્તુળને M અને P બિંદુઓ પર છેદે છે. અસમાનતા $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ અનુલક્ષે છે ચાપ PM ના બિંદુઓ સુધી. પોઈન્ટ M $3\frac(π)(4)$ (ટેબલ ડેટામાંથી) નંબરને અનુરૂપ છે. આનો અર્થ $-\frac(3π)(4) +2π*k$ ફોર્મની કોઈપણ સંખ્યા છે. બિંદુ P એ $-\frac(3π)(4)$ નંબરને અનુલક્ષે છે, અને તેથી $-\frac(3π)(4) +2π*k$ ફોર્મની કોઈપણ સંખ્યા સાથે.

પછી આપણને $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$ મળે છે.

જવાબ: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલવા માટે સમસ્યાઓ

શાળામાં ત્રિકોણમિતિનો અભ્યાસ કરતી વખતે, દરેક વિદ્યાર્થીને "સંખ્યા વર્તુળ" ની ખૂબ જ રસપ્રદ ખ્યાલનો સામનો કરવો પડે છે. પછીથી વિદ્યાર્થી ત્રિકોણમિતિ કેટલી સારી રીતે શીખશે તે શાળાના શિક્ષકની તે શું છે અને શા માટે જરૂરી છે તે સમજાવવાની ક્ષમતા પર આધાર રાખે છે. કમનસીબે, દરેક શિક્ષક આ સામગ્રીને સ્પષ્ટ રીતે સમજાવી શકતા નથી. પરિણામે કેટલાંય વિદ્યાર્થીઓ માર્કશીટ કેવી રીતે કરવી તે અંગે પણ મુંઝવણ અનુભવે છે સંખ્યાના વર્તુળ પરના બિંદુઓ. જો તમે આ લેખને અંત સુધી વાંચશો, તો તમે શીખી શકશો કે કોઈપણ સમસ્યા વિના આ કેવી રીતે કરવું.

તો ચાલો શરુ કરીએ. ચાલો એક વર્તુળ દોરીએ જેની ત્રિજ્યા 1 છે. ચાલો આ વર્તુળના "સૌથી જમણે" બિંદુને અક્ષર વડે દર્શાવીએ. ઓ:

અભિનંદન, તમે હમણાં જ એક એકમ વર્તુળ દોર્યું છે. આ વર્તુળની ત્રિજ્યા 1 હોવાથી, તેની લંબાઈ છે.

દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા બિંદુથી સંખ્યાના વર્તુળ સાથેના માર્ગની લંબાઈ સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે ઓ. હકારાત્મક દિશાને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ચળવળની દિશા તરીકે લેવામાં આવે છે. નકારાત્મક માટે - ઘડિયાળની દિશામાં:

સંખ્યાના વર્તુળ પરના બિંદુઓનું સ્થાન

આપણે પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, સંખ્યા વર્તુળ (એકમ વર્તુળ) ની લંબાઈ બરાબર છે. તો પછી આ સર્કલ પર નંબર ક્યાં હશે? દેખીતી રીતે, બિંદુ પરથી ઓઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં આપણે વર્તુળની અડધી લંબાઈ જવાની જરૂર છે, અને આપણે પોતાને ઇચ્છિત બિંદુએ શોધીશું. ચાલો તેને અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરીએ બી:

નોંધ કરો કે નકારાત્મક દિશામાં અર્ધવર્તુળ ચાલીને સમાન બિંદુ સુધી પહોંચી શકાય છે. પછી અમે એકમ વર્તુળ પર નંબર લખીશું. એટલે કે, સંખ્યાઓ સમાન બિંદુને અનુરૂપ છે.

તદુપરાંત, આ જ બિંદુ સંખ્યાઓ , , , અને, સામાન્ય રીતે, સંખ્યાઓના અનંત સમૂહને પણ અનુરૂપ છે જે ફોર્મમાં લખી શકાય છે, જ્યાં , એટલે કે, પૂર્ણાંકોના સમૂહ સાથે સંબંધિત છે. આ બધા કારણ કે બિંદુ પરથી બીતમે કોઈપણ દિશામાં "ગોળ-દુનિયા" સફર કરી શકો છો (ઘર ઉમેરો અથવા બાદબાકી કરો) અને તે જ બિંદુ પર પહોંચી શકો છો. અમને એક મહત્વપૂર્ણ નિષ્કર્ષ મળે છે જે તમારે સમજવા અને યાદ રાખવાની જરૂર છે.

દરેક સંખ્યા સંખ્યા વર્તુળ પરના એક બિંદુને અનુલક્ષે છે. પરંતુ સંખ્યાના વર્તુળ પરનો દરેક બિંદુ અનંત સંખ્યાની સંખ્યાને અનુરૂપ છે.

ચાલો હવે સંખ્યા વર્તુળના ઉપલા અર્ધવર્તુળને સમાન લંબાઈના ચાપમાં એક બિંદુથી વિભાજીત કરીએ સી. તે જોવાનું સરળ છે કે આર્ક લંબાઈ ઓ.સી.સમાન ચાલો હવે મુદ્દા પરથી મુલતવી રાખીએ સીઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન લંબાઈનો ચાપ. પરિણામે, અમે મુદ્દા પર પહોંચીશું બી. પરિણામ તદ્દન અપેક્ષિત છે, ત્યારથી. ચાલો આ ચાપ ફરીથી એ જ દિશામાં મૂકીએ, પરંતુ હવે બિંદુથી બી. પરિણામે, અમે મુદ્દા પર પહોંચીશું ડી, જે પહેલાથી જ નંબરને અનુરૂપ હશે:

ફરીથી નોંધ કરો કે આ બિંદુ માત્ર સંખ્યાને જ નહીં, પણ, ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાને પણ અનુરૂપ છે, કારણ કે બિંદુથી દૂર જઈને આ બિંદુ સુધી પહોંચી શકાય છે. ઓઘડિયાળની દિશામાં ક્વાર્ટર વર્તુળ (નકારાત્મક દિશામાં).

અને, સામાન્ય રીતે, અમે ફરીથી નોંધીએ છીએ કે આ બિંદુ અનંત સંખ્યાબંધ સંખ્યાઓને અનુરૂપ છે જે ફોર્મમાં લખી શકાય છે. . પરંતુ તેઓ ફોર્મમાં પણ લખી શકાય છે. અથવા, જો તમે પસંદ કરો છો, તો ના સ્વરૂપમાં. આ તમામ રેકોર્ડ્સ એકદમ સમકક્ષ છે, અને તે એક બીજા પાસેથી મેળવી શકાય છે.

ચાલો હવે ચાપને વિભાજીત કરીએ ઓ.સી.અડધા બિંદુ એમ. હવે આકૃતિ કરો કે ચાપની લંબાઈ કેટલી છે ઓમ? તે સાચું છે, અડધા ચાપ ઓ.સી.. તે જ . બિંદુ કઈ સંખ્યાઓને અનુરૂપ છે? એમનંબર વર્તુળ પર? મને ખાતરી છે કે હવે તમને ખ્યાલ આવશે કે આ સંખ્યાઓ આ રીતે લખી શકાય છે.

પરંતુ તે અલગ રીતે કરી શકાય છે. ચાલો લઈએ. પછી આપણે તે મેળવીએ છીએ . એટલે કે, આ નંબરો ફોર્મમાં લખી શકાય છે . નંબર વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને સમાન પરિણામ મેળવી શકાય છે. મેં પહેલેથી જ કહ્યું તેમ, બંને રેકોર્ડ્સ સમાન છે, અને તે એકબીજા પાસેથી મેળવી શકાય છે.

હવે તમે પોઈન્ટને અનુરૂપ સંખ્યાઓનું ઉદાહરણ સરળતાથી આપી શકો છો એન, પીઅને કેનંબર વર્તુળ પર. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ અને:

મોટેભાગે તે ન્યૂનતમ હકારાત્મક સંખ્યાઓ છે જે સંખ્યા વર્તુળ પર અનુરૂપ બિંદુઓને નિયુક્ત કરવા માટે લેવામાં આવે છે. જો કે આ બિલકુલ જરૂરી નથી, સમયગાળો એન, જેમ તમે પહેલાથી જ જાણો છો, અન્ય સંખ્યાઓની અનંત સંખ્યાને અનુરૂપ છે. સહિત, ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા.

જો તમે ચાપ તોડી નાખો ઓ.સી.પોઈન્ટ સાથે ત્રણ સમાન ચાપમાં એસઅને એલ, તેથી તે બિંદુ છે એસબિંદુઓ વચ્ચે આવેલું રહેશે ઓઅને એલ, પછી ચાપ લંબાઈ ઓએસ, અને ચાપની લંબાઈ સમાન હશે ઓ.એલની બરાબર હશે. પાઠના પાછલા ભાગમાં તમે મેળવેલ જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરીને, તમે સરળતાથી શોધી શકો છો કે સંખ્યાના વર્તુળ પરના બાકીના બિંદુઓ કેવી રીતે બહાર આવ્યા:

સંખ્યા વર્તુળ પર π ના ગુણાકાર નથી

ચાલો હવે આપણી જાતને પ્રશ્ન પૂછીએ: સંખ્યા રેખા પર આપણે નંબર 1 ને અનુરૂપ બિંદુને ક્યાં ચિહ્નિત કરવું જોઈએ? આ કરવા માટે, તમારે એકમ વર્તુળના સૌથી "જમણા" બિંદુથી પ્રારંભ કરવાની જરૂર છે ઓએક ચાપને પ્લોટ કરો જેની લંબાઈ 1 ની બરાબર હશે. અમે ફક્ત ઇચ્છિત બિંદુનું સ્થાન આશરે સૂચવી શકીએ છીએ. ચાલો નીચે પ્રમાણે આગળ વધીએ.

કોઓર્ડિનેટ્સ xવર્તુળ પર પડેલા બિંદુઓ cos(θ), અને કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન છે y sin(θ) ને અનુરૂપ છે, જ્યાં θ એ કોણની તીવ્રતા છે.

• જો તમને આ નિયમ યાદ રાખવાનું મુશ્કેલ લાગે, તો યાદ રાખો કે જોડીમાં (કોસ; પાપ) "સાઇન છેલ્લે આવે છે."
• આ નિયમ સમકક્ષ ત્રિકોણ અને આ ત્રિકોણમિતિ વિધેયોની વ્યાખ્યા (કોણની સાઈન વિરુદ્ધ બાજુની લંબાઈના ગુણોત્તર અને કર્ણોની બાજુની બાજુના કોસાઈન સમાન છે)ને ધ્યાનમાં લઈને મેળવી શકાય છે.

વર્તુળ પરના ચાર બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ લખો."એકમ વર્તુળ" એક વર્તુળ છે જેની ત્રિજ્યા એક સમાન છે. કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવા માટે આનો ઉપયોગ કરો xઅને yવર્તુળ સાથે સંકલન અક્ષોના આંતરછેદના ચાર બિંદુઓ પર. ઉપર, સ્પષ્ટતા માટે, અમે આ બિંદુઓને "પૂર્વ", "ઉત્તર", "પશ્ચિમ" અને "દક્ષિણ" તરીકે નિયુક્ત કર્યા છે, જો કે તેમના સ્થાપિત નામો નથી.

• "પૂર્વ" કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુને અનુરૂપ છે (1; 0) .
• "ઉત્તર" કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુને અનુલક્ષે છે (0; 1) .
• "પશ્ચિમ" કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુને અનુરૂપ છે (-1; 0) .
• "દક્ષિણ" કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુને અનુરૂપ છે (0; -1) .
• આ નિયમિત ગ્રાફ જેવું જ છે, તેથી આ મૂલ્યોને યાદ રાખવાની જરૂર નથી, ફક્ત મૂળભૂત સિદ્ધાંતને યાદ રાખો.