નિયમિત પોલિહેડ્રાને બહિર્મુખ પોલિહેડ્રા કહેવામાં આવે છે, જેના બધા ચહેરા સમાન નિયમિત બહુકોણ છે, અને દરેક શિરોબિંદુ પર સમાન સંખ્યામાં ચહેરાઓ મળે છે. આવા પોલિહેડ્રાને પ્લેટોનિક સોલિડ્સ પણ કહેવામાં આવે છે.
ત્યાં ફક્ત પાંચ નિયમિત પોલિહેડ્રા છે:
|
છબી |
નિયમિત પોલિહેડ્રોનનો પ્રકાર |
ચહેરા પર બાજુઓની સંખ્યા |
શિરોબિંદુને અડીને કિનારીઓની સંખ્યા |
શિરોબિંદુઓની કુલ સંખ્યા |
ધારની કુલ સંખ્યા |
ચહેરાઓની કુલ સંખ્યા |
|
ટેટ્રાહેડ્રોન |
||||||
|
હેક્ઝાહેડ્રોન અથવા ક્યુબ |
||||||
|
ડોડેકેહેડ્રોન |
||||||
|
આઇકોસાહેડ્રોન |
દરેક પોલિહેડ્રોનનું નામ તેના ચહેરાઓની સંખ્યા અને "ચહેરો" શબ્દ માટે ગ્રીક નામ પરથી આવે છે.
ટેટ્રાહેડ્રોન
ટેટ્રાહેડ્રોન (ગ્રીક fefsbedspn - tetrahedron) એ ચાર ત્રિકોણાકાર ચહેરાઓ ધરાવતું બહુહેડ્રોન છે, જેના દરેક શિરોબિંદુ પર 3 ચહેરાઓ મળે છે. ટેટ્રાહેડ્રોનમાં 4 ચહેરાઓ, 4 શિરોબિંદુઓ અને 6 ધાર હોય છે.
ટેટ્રેહેડ્રોનના ગુણધર્મો
ટેટ્રાહેડ્રોનની છેદતી ધારની જોડીમાંથી પસાર થતા સમાંતર વિમાનો ટેટ્રાહેડ્રોનની આસપાસ વર્ણવેલ સમાંતર નળીઓને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.
ટેટ્રેહેડ્રોનના શિરોબિંદુને વિરુદ્ધ ચહેરાના મધ્યના આંતરછેદના બિંદુ સાથે જોડતા સેગમેન્ટને તેની મધ્ય કહેવામાં આવે છે, આ શિરોબિંદુમાંથી અવગણવામાં આવે છે.
ટેટ્રેહેડ્રોનની છેદતી કિનારીઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતા સેગમેન્ટને આ કિનારીઓને જોડતી તેની બાયમીડિયન કહેવામાં આવે છે.
એક શિરોબિંદુને વિરુદ્ધ ચહેરા પરના બિંદુ સાથે જોડતો અને આ ચહેરા પર લંબરૂપ હોય તેને તેની ઊંચાઈ કહેવામાં આવે છે, જે આપેલ શિરોબિંદુમાંથી અવગણવામાં આવે છે.
પ્રમેય.ટેટ્રાહેડ્રોનના તમામ મધ્યક અને બાઈમેડિયન એક બિંદુ પર છેદે છે. આ બિંદુ મધ્યને 3:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે, જે ટોચ પરથી ગણાય છે. આ બિંદુ બાઈમેડિયનને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે.
હાઇલાઇટ:
- · એક આઇસોહેડ્રલ ટેટ્રાહેડ્રોન, જેમાં બધા ચહેરા સમાન ત્રિકોણ હોય છે;
- · એક ઓર્થોસેન્ટ્રિક ટેટ્રાહેડ્રોન જેમાં શિરોબિંદુઓથી વિરુદ્ધ ચહેરાઓ સુધીની બધી ઊંચાઈઓ એક બિંદુ પર છેદે છે;
- · એક લંબચોરસ ટેટ્રાહેડ્રોન જેમાં એક શિરોબિંદુને અડીને તમામ કિનારીઓ એકબીજાને લંબરૂપ હોય છે;
- · નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન, જેના તમામ ચહેરા સમભુજ ત્રિકોણ છે;
- · ફ્રેમ ટેટ્રાહેડ્રોન - એક ટેટ્રાહેડ્રોન જે કોઈપણ શરતોને પૂર્ણ કરે છે:
- તમામ કિનારીઓને સ્પર્શતો ગોળો છે.
- · ક્રોસિંગ કિનારીઓની લંબાઈનો સરવાળો સમાન છે.
- · વિરુદ્ધ કિનારીઓ પરના ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓનો સરવાળો સમાન છે.
- ચહેરા પર અંકિત વર્તુળો જોડીમાં સ્પર્શ કરે છે.
- · ટેટ્રાહેડ્રોનના વિકાસથી પરિણમેલા તમામ ચતુષ્કોણનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે.
- · કાટખૂણે, તેમાં અંકિત વર્તુળોના કેન્દ્રોમાંથી ચહેરા પર પુનઃસ્થાપિત, એક બિંદુ પર છેદે છે.
- · અનુરૂપ ટેટ્રાહેડ્રોન, જેની તમામ બાઈહાઈટ્સ સમાન છે;
- · એક ઇન્સેન્ટ્રિક ટેટ્રેહેડ્રોન, જેમાં ટેટ્રેહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓને વિરુદ્ધ ચહેરામાં અંકિત વર્તુળોના કેન્દ્રો સાથે જોડતા વિભાગો એક બિંદુ પર છેદે છે.
ક્યુબ અથવા રેગ્યુલર હેક્ઝાહેડ્રોન એ નિયમિત પોલિહેડ્રોન છે, જેનો દરેક ચહેરો ચોરસ છે. સમાંતર અને પ્રિઝમનો વિશિષ્ટ કેસ.
ક્યુબ ગુણધર્મો
- · ક્યુબના ચાર વિભાગો નિયમિત ષટ્કોણ છે - આ વિભાગો ક્યુબના મધ્યમાંથી તેના ચાર મુખ્ય કર્ણ પર લંબ છે.
- · તમે ટેટ્રાહેડ્રોનને ક્યુબમાં બે રીતે ફિટ કરી શકો છો. બંને કિસ્સાઓમાં, ટેટ્રાહેડ્રોનના ચાર શિરોબિંદુઓ ક્યુબના ચાર શિરોબિંદુઓ સાથે સંરેખિત થશે અને ટેટ્રેહેડ્રોનની તમામ છ કિનારીઓ ક્યુબના ચહેરાની હશે. પ્રથમ કિસ્સામાં, ટેટ્રેહેડ્રોનના તમામ શિરોબિંદુઓ ત્રિકોણાકાર ખૂણાના ચહેરા સાથે સંબંધિત છે, જેનો શિરોબિંદુ સમઘનનાં શિરોબિંદુઓમાંથી એક સાથે એકરુપ છે. બીજા કિસ્સામાં, ટેટ્રાહેડ્રોનની જોડીમાં ક્રોસિંગ કિનારીઓ ક્યુબના જોડીમાં વિરુદ્ધ ચહેરા સાથે સંબંધિત છે. આ ટેટ્રાહેડ્રોન નિયમિત છે.
- · તમે એક અષ્ટાહેડ્રોનને સમઘનમાં ફિટ કરી શકો છો, અને ઓક્ટાહેડ્રોનના તમામ છ શિરોબિંદુઓ ક્યુબના છ ચહેરાના કેન્દ્રો સાથે સંરેખિત થશે.
- · એક સમઘન એક અષ્ટાહેડ્રોનમાં અંકિત કરી શકાય છે, અને ઘનનાં તમામ આઠ શિરોબિંદુઓ અષ્ટાહેડ્રોનના આઠ મુખના કેન્દ્રો પર સ્થિત હશે.
- · એક આઇકોસાહેડ્રોનને ક્યુબમાં લખી શકાય છે, જ્યારે આઇકોસાહેડ્રોનની છ પરસ્પર સમાંતર કિનારીઓ ક્યુબના છ ચહેરા પર અનુક્રમે સ્થિત હશે, બાકીની 24 કિનારીઓ ક્યુબની અંદર સ્થિત હશે. આઇકોસેહેડ્રોનના તમામ બાર શિરોબિંદુઓ ક્યુબના છ ચહેરા પર આવેલા હશે.
ક્યુબનો કર્ણ એ બે શિરોબિંદુઓને જોડતો સેગમેન્ટ છે જે ક્યુબના કેન્દ્ર વિશે સપ્રમાણ છે. ક્યુબનો કર્ણ સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે
બહુહેડ્રોન આઇકોસાહેડ્રોન ઓક્ટાહેડ્રોન ડોડેકેહેડ્રોન
જ્યાં d એ કર્ણ છે અને ક્યુબની ધાર છે.
ઓક્ટાહેડ્રોન
ઓક્ટાહેડ્રોન (ગ્રીક pkfedspn, ગ્રીક pkfyu માંથી, "આઠ" અને ગ્રીક Edsb - "આધાર") એ પાંચ બહિર્મુખ નિયમિત પોલિહેડ્રામાંથી એક છે, જેને પ્લેટોનિક ઘન કહેવામાં આવે છે.
ઓક્ટાહેડ્રોનમાં 8 ત્રિકોણાકાર મુખ, 12 ધાર, 6 શિરોબિંદુઓ અને 4 ધાર દરેક શિરોબિંદુ પર એકરૂપ થાય છે.
જો ઓક્ટાહેડ્રોન ધારની લંબાઈ a ની બરાબર હોય, તો તેની કુલ સપાટી (S) ના ક્ષેત્રફળ અને અષ્ટાહેડ્રોન (V) ના જથ્થાની ગણતરી સૂત્રો દ્વારા કરવામાં આવે છે:
ઓક્ટાહેડ્રોનની ફરતે ઘેરાયેલા ગોળાની ત્રિજ્યા બરાબર છે:
ઓક્ટાહેડ્રોનમાં અંકિત ગોળાની ત્રિજ્યા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે:
નિયમિત ઓક્ટાહેડ્રોનમાં ઓહ સમપ્રમાણતા હોય છે, જે ક્યુબની સમપ્રમાણતા સાથે એકરુપ હોય છે.
ઓક્ટાહેડ્રોન સિંગલ સ્ટાર આકાર ધરાવે છે. અષ્ટકોણની શોધ લિયોનાર્ડો દા વિન્સી દ્વારા કરવામાં આવી હતી, ત્યારબાદ લગભગ 100 વર્ષ પછી જોહાન્સ કેપ્લર દ્વારા પુનઃશોધ કરવામાં આવ્યો હતો, અને તેણે તેનું નામ સ્ટેલા ઓક્ટેંગુલા રાખ્યું હતું - એક અષ્ટકોણ તારો. તેથી આ સ્વરૂપનું બીજું નામ “કેપ્લરની સ્ટેલા ઓક્ટેન્ગુલા” છે.
સારમાં, તે બે ટેટ્રાહેડ્રોનનું સંયોજન છે
ડોડેકેહેડ્રોન
ડોડેકાહેડ્રોન (ગ્રીક ડ્યુડેકબી - બાર અને edspn - ચહેરો), ડોડેકેહેડ્રોન - બાર નિયમિત પંચકોણથી બનેલો નિયમિત પોલિહેડ્રોન. ડોડેકાહેડ્રોનનું દરેક શિરોબિંદુ એ ત્રણ નિયમિત પંચકોણનું શિરોબિંદુ છે.
આમ, ડોડેકાહેડ્રોનમાં 12 મુખ (પંચકોણીય), 30 કિનારીઓ અને 20 શિરોબિંદુઓ છે (દરેક પર 3 કિનારી એકરૂપ થાય છે). દરેક 20 શિરોબિંદુઓ પર સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો 324° છે.
ડોડેકેહેડ્રોનમાં 3 સ્ટેલેટેડ આકારો છે: નાના સ્ટેલેટેડ ડોડેકાહેડ્રોન, લાર્જ ડોડેકેહેડ્રોન, ગ્રેટ સ્ટેલેટેડ ડોડેકેહેડ્રોન (સ્ટેલેટેડ ડોડેકેહેડ્રોન, અંતિમ સ્વરૂપ). તેમાંથી પ્રથમ બેની શોધ કેપ્લર (1619) દ્વારા કરવામાં આવી હતી, ત્રીજી પોઈનસોટ (1809) દ્વારા મળી હતી. ઓક્ટાહેડ્રોનથી વિપરીત, ડોડેકેહેડ્રોનનું કોઈપણ સ્ટેલેટેડ સ્વરૂપ પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોનું મિશ્રણ નથી, પરંતુ એક નવો પોલિહેડ્રોન બનાવે છે.
ડોડેકેહેડ્રોનના તમામ 3 સ્ટેલેટેડ સ્વરૂપો, મહાન આઇકોસાહેડ્રોન સાથે મળીને, કેપ્લર-પોઇન્સોટ ઘન પદાર્થોનું કુટુંબ બનાવે છે, એટલે કે, નિયમિત બિન-બહિર્મુખ (સ્ટેલેટ) પોલિહેડ્રા.
મહાન ડોડેકાહેડ્રોનના ચહેરા પેન્ટાગોન્સ છે, જે દરેક શિરોબિંદુ પર પાંચને મળે છે. નાના સ્ટેલેટેડ અને મોટા સ્ટેલેટેડ ડોડેકેહેડ્રોનમાં પાંચ-પોઇન્ટેડ તારાઓ (પેન્ટાગ્રામ) ના ચહેરા હોય છે, જે પ્રથમ કિસ્સામાં 5 માં અને બીજા કિસ્સામાં 3 માં એકરૂપ થાય છે. મોટા સ્ટેલેટેડ ડોડેકેહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ વર્ણવેલ ડોડેકેહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ સાથે મેળ ખાય છે. દરેક શિરોબિંદુમાં ત્રણ ચહેરા જોડાયેલા હોય છે.
મૂળભૂત સૂત્રો:
જો આપણે ધારની લંબાઈ તરીકે a લઈએ, તો ડોડેકાહેડ્રોનનો સપાટી વિસ્તાર છે:
ડોડેકેહેડ્રોન વોલ્યુમ:
વર્ણવેલ ગોળાની ત્રિજ્યા:
અંકિત ગોળાની ત્રિજ્યા:
ડોડેકાહેડ્રોનના સમપ્રમાણતા તત્વો:
· ડોડેકેહેડ્રોનમાં સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર અને સપ્રમાણતાના 15 અક્ષો છે.
પ્રત્યેક અક્ષ વિરોધી સમાંતર ધારના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
· ડોડેકેહેડ્રોનમાં સમપ્રમાણતાના 15 સમતલ હોય છે. સમપ્રમાણતાના કોઈપણ વિમાનો દરેક ચહેરામાં વિરુદ્ધ ધારની ટોચ અને મધ્યમાંથી પસાર થાય છે.
આઇકોસાહેડ્રોન
Icosahedron (ગ્રીક ekpubt માંથી - twenty; -edspn - ચહેરો, ચહેરો, આધાર) એ નિયમિત બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોન છે, વીસ-હેડ્રોન, પ્લેટોનિક ઘન પદાર્થોમાંથી એક. 20 ચહેરાઓમાંથી દરેક એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે. ધારની સંખ્યા 30 છે, શિરોબિંદુઓની સંખ્યા 12 છે.
ધારની લંબાઇ a સાથે આઇકોસાહેડ્રોનનો વિસ્તાર S, વોલ્યુમ V, તેમજ અંકિત અને ઘેરાયેલા ગોળાકારની ત્રિજ્યાની ગણતરી સૂત્રો દ્વારા કરવામાં આવે છે:
અંકિત ગોળાની ત્રિજ્યા:
ઘેરાયેલા ગોળાની ત્રિજ્યા:
ગુણધર્મો
- · આઇકોસાહેડ્રોનને ક્યુબમાં લખી શકાય છે, આ કિસ્સામાં, આઇકોસાહેડ્રોનની છ પરસ્પર લંબ કિનારીઓ અનુક્રમે ક્યુબના છ ચહેરા પર સ્થિત હશે, બાકીની 24 કિનારીઓ ક્યુબની અંદર હશે, આઇકોસાહેડ્રોનના તમામ બાર શિરોબિંદુઓ છ પર સ્થિત હશે. ક્યુબના ચહેરાઓ.
- · એક ટેટ્રેહેડ્રોનને આઇકોસાહેડ્રોનમાં અંકિત કરી શકાય છે, વધુમાં, ટેટ્રાહેડ્રોનના ચાર શિરોબિંદુઓ આઇકોસાહેડ્રોનના ચાર શિરોબિંદુઓ સાથે જોડવામાં આવશે.
- આઇકોસાહેડ્રોન ડોડેકેહેડ્રોનમાં અંકિત કરી શકાય છે, જેમાં આઇકોસાહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ ડોડેકેહેડ્રોનના ચહેરાના કેન્દ્રો સાથે સંરેખિત હોય છે.
- ડોડેકેહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ અને આઇકોસાહેડ્રોનના ચહેરાના કેન્દ્રોને જોડીને ડોડેકેહેડ્રોનને આઇકોસેડ્રોનમાં અંકિત કરી શકાય છે.
- · નિયમિત પંચકોણના રૂપમાં ચહેરા બનાવવા માટે 12 શિરોબિંદુઓને કાપીને કાપવામાં આવેલ આઇકોસાહેડ્રોન મેળવી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, નવા પોલિહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓની સંખ્યા 5 ગણી વધે છે (12?5=60), 20 ત્રિકોણાકાર ચહેરા નિયમિત ષટ્કોણમાં ફેરવાય છે (ચહેરાઓની કુલ સંખ્યા 20+12=32 બને છે), અને કિનારીઓની સંખ્યા વધે છે. થી 30+12?5=90.
આઇકોસાહેડ્રનમાં 59 સ્ટેલેટેડ આકારો છે, જેમાંથી 32 સંપૂર્ણ અને 27 અપૂર્ણ આઇકોસહેડ્રલ સપ્રમાણતા ધરાવે છે. આ તારાઓમાંથી એક (20મી, વેનિન્જર મોડ. 41), જેને ગ્રેટ આઇકોસાહેડ્રોન કહેવાય છે, તે ચાર નિયમિત કેપ્લર-પોઇન્સોટ તારાઓમાંનું એક છે. તેના ચહેરા નિયમિત ત્રિકોણ છે, જે દરેક શિરોબિંદુ પર પાંચમાં મળે છે; આ ગુણધર્મ આઇકોસાહેડ્રોન સાથેના મહાન આઇકોસાહેડ્રોન માટે સામાન્ય છે.
સ્ટેલેટ સ્વરૂપોમાં પણ છે: પાંચ અષ્ટકોષોનું જોડાણ, પાંચ ટેટ્રેહેડ્રોનનું જોડાણ, દસ ટેટ્રેહેડ્રાનું જોડાણ.
પ્રસ્તુતિ પૂર્વાવલોકનોનો ઉપયોગ કરવા માટે, એક Google એકાઉન્ટ બનાવો અને તેમાં લોગ ઇન કરો: https://accounts.google.com
સ્લાઇડ કૅપ્શન્સ:
પોલીહેડ્રા. શિરોબિંદુઓ, કિનારીઓ, બહુહેડ્રોનના ચહેરા. યુલરનો પ્રમેય. 10મું ધોરણ આના દ્વારા પૂર્ણ: કેગોરોડોવા એસ.વી.
પોલિહેડ્રોનને નિયમિત કહેવામાં આવે છે જો તેના બધા ચહેરા નિયમિત બહુકોણ હોય અને તેના શિરોબિંદુઓ પરના તમામ પોલિહેડ્રલ ખૂણા સમાન હોય.
પાંચ અદ્ભુત પોલિહેડ્રા પ્રાચીન સમયથી માણસ માટે જાણીતા છે.
ચહેરાઓની સંખ્યાના આધારે તેમને નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન કહેવામાં આવે છે.
હેક્ઝાહેડ્રોન (ષટ્કોણ) અથવા સમઘન
ઓક્ટાહેડ્રોન (ઓક્ટાહેડ્રોન)
ડોડેકાહેડ્રોન (ડોડેકાહેડ્રોન)
આઇકોસાહેડ્રોન (વીસ-હેડ્રોન)
નિયમિત પોલિહેડ્રાના વિકાસ
ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ પ્રકૃતિના ચાર સાર માનવજાત માટે જાણીતા હતા: અગ્નિ, પાણી, પૃથ્વી અને હવા. પ્લેટોના મતે, તેમના પરમાણુઓ 4થી - 5મી સદીમાં રહેતા મહાન પ્રાચીન ગ્રીક ફિલોસોફર પ્લેટોનું રૂપ ધરાવતા હતા. બીસી, માનતા હતા કે આ સંસ્થાઓ પ્રકૃતિના સારને વ્યક્ત કરે છે.
અગ્નિના અણુમાં ટેટ્રાહેડ્રોન, પૃથ્વી - હવાનો હેક્ઝાહેડ્રોન (ક્યુબ) - પાણીનો અષ્ટાહેડ્રોન - એક આઇકોસાહેડ્રોનનું સ્વરૂપ હતું
પરંતુ ત્યાં એક ડોડેકાહેડ્રોન રહ્યો, જેનો કોઈ પત્રવ્યવહાર ન હતો, પ્લેટોએ સૂચવ્યું કે ત્યાં બીજી (પાંચમી) એન્ટિટી છે. તેણે તેને વિશ્વ ઈથર કહ્યું. આ પાંચમા એસેન્સના અણુઓ ડોડેકહેડ્રોનનો આકાર ધરાવતા હતા. પ્લેટો અને તેના વિદ્યાર્થીઓએ તેમના કાર્યોમાં સૂચિબદ્ધ પોલિહેડ્રા પર ખૂબ ધ્યાન આપ્યું. તેથી, આ પોલિહેડ્રાને પ્લેટોનિક સોલિડ્સ પણ કહેવામાં આવે છે.
કોઈપણ બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોન માટે નીચેનો સંબંધ સાચો છે: Г+В-Р=2, જ્યાં Г એ ચહેરાઓની સંખ્યા છે, В એ શિરોબિંદુઓની સંખ્યા છે, Р એ આપેલ પોલિહેડ્રોનની ધારની સંખ્યા છે. ચહેરા + શિરોબિંદુઓ - ધાર = 2. યુલરનું પ્રમેય
નિયમિત પોલિહેડ્રા પોલિહેડ્રોનની લાક્ષણિકતાઓ ચહેરાની બાજુઓની સંખ્યા દરેક શિરોબિંદુ પર મળતા ચહેરાઓની સંખ્યા ચહેરાઓની સંખ્યા (G) ધારની સંખ્યા (P) શિરોબિંદુઓની સંખ્યા (V) ટેટ્રાહેડ્રોન 3 3 4 6 4 હેક્ઝાહેડ્રોન 4 3 6 12 8 ઓક્ટોહેડ્રોન 4 8 12 6 Icosahedron 3 5 20 30 12 Dodecahedron 5 3 12 30 20
રેગ્યુલર પોલિહેડ્રાની દ્વિતા હેક્ઝાહેડ્રોન (ક્યુબ) અને ઓક્ટાહેડ્રોન પોલિહેડ્રાની બેવડી જોડી બનાવે છે. એક પોલિહેડ્રોનના ચહેરાઓની સંખ્યા બીજાના શિરોબિંદુઓની સંખ્યા જેટલી છે અને તેનાથી વિપરીત.
ચાલો કોઈપણ ક્યુબ લઈએ અને તેના ચહેરાના કેન્દ્રો પર શિરોબિંદુઓ સાથે પોલિહેડ્રોનને ધ્યાનમાં લઈએ. જેમ તમે સહેલાઈથી જોઈ શકો છો, અમને એક ઓક્ટાહેડ્રોન મળે છે.
ઓક્ટાહેડ્રોનના ચહેરાના કેન્દ્રો ક્યુબના શિરોબિંદુઓ તરીકે કામ કરે છે.
સોડિયમ એન્ટિમોની સલ્ફેટ એક ટેટ્રાહેડ્રોન છે. પ્રકૃતિ, રસાયણશાસ્ત્ર અને જીવવિજ્ઞાનમાં પોલીહેડ્રા આપણને પરિચિત કેટલાક પદાર્થોના સ્ફટિકો નિયમિત પોલિહેડ્રાના આકાર ધરાવે છે. પાયરાઇટ ક્રિસ્ટલ એ કુદરતી ડોડેકાહેડ્રોન મોડેલ છે. ટેબલ મીઠાના સ્ફટિકો ક્યુબનો આકાર આપે છે. એલ્યુમિનિયમ-પોટેશિયમ ફટકડીનું સિંગલ ક્રિસ્ટલ અષ્ટાહેડ્રોનનું આકાર ધરાવે છે. ક્રિસ્ટલ (પ્રિઝમ) વાયરસના આકાર અંગેના વિવાદોમાં જીવવિજ્ઞાનીઓના ધ્યાનનું કેન્દ્ર આઇકોસાહેડ્રોન બની ગયું છે. અગાઉ વિચાર્યું તેમ વાયરસ સંપૂર્ણ રીતે ગોળાકાર હોઈ શકતો નથી. તેનો આકાર સ્થાપિત કરવા માટે, તેઓએ વિવિધ પોલિહેડ્રા લીધા અને વાયરસ પર અણુઓના પ્રવાહની જેમ સમાન ખૂણા પર પ્રકાશને નિર્દેશિત કર્યો. તે બહાર આવ્યું છે કે ફક્ત એક જ પોલિહેડ્રોન બરાબર સમાન પડછાયો આપે છે - આઇકોસાહેડ્રોન. ઇંડા વિભાજનની પ્રક્રિયા દરમિયાન, પ્રથમ ચાર કોષોનો એક ટેટ્રાહેડ્રોન રચાય છે, પછી એક ઓક્ટાહેડ્રોન, એક ક્યુબ અને અંતે, એક ડોડેકેહેડ્રલ-આઈકોસાહેડ્રલ ગેસ્ટ્રુલા માળખું. અને છેલ્લે, કદાચ સૌથી અગત્યનું, જીવનના આનુવંશિક કોડનું ડીએનએ માળખું એ ફરતા ડોડેકાહેડ્રોનનો ચાર-પરિમાણીય વિકાસ (સમય અક્ષ સાથે) છે! મિથેન પરમાણુ નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોનનો આકાર ધરાવે છે.
પોલીહેડ્રા કલામાં "મોન્ના લિસાનું પોટ્રેટ" ચિત્રની રચના સોનેરી ત્રિકોણ પર આધારિત છે, જે નિયમિત તારા આકારના પેન્ટાગોનના ભાગો છે. કોતરણી “ખિન્નતા” ચિત્રના અગ્રભાગમાં એક ડોડેકાહેડ્રોન છે. "ધ લાસ્ટ સપર" ખ્રિસ્ત અને તેના શિષ્યોને વિશાળ પારદર્શક ડોડેકાહેડ્રોનની પૃષ્ઠભૂમિ સામે દર્શાવવામાં આવ્યા છે.
આર્કિટેક્ચરમાં પોલિહેડ્રા 3D મોડેલિંગનો ઉપયોગ કરીને યામાનાશી ફ્રૂટ મ્યુઝિયમ બનાવવામાં આવ્યું હતું. ચાર-સ્તરીય સ્પાસ્કાયા ટાવર, ચર્ચ ઓફ ધ સેવિયર નોટ મેડ બાય હેન્ડ્સ એ કાઝાન ક્રેમલિનનું મુખ્ય પ્રવેશદ્વાર છે. તે 16મી સદીમાં પ્સકોવ આર્કિટેક્ટ્સ ઇવાન શિરાય અને પોસ્ટનિક યાકોવલેવ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યું હતું, જેનું હુલામણું નામ "બરમા" હતું. ટાવરના ચાર સ્તરો ક્યુબ, પોલિહેડ્રા અને પિરામિડ છે. ક્રેમલિનનો સ્પાસ્કાયા ટાવર. એલેક્ઝાન્ડ્રિયા લાઇટહાઉસ પિરામિડ ફળ સંગ્રહાલય
કમનસીબે, શાળાના અભ્યાસક્રમમાં ગોળાકાર ભૂમિતિ અને લોબાચેવ્સ્કી ભૂમિતિનો અભ્યાસ કરવામાં આવતો નથી. દરમિયાન, યુક્લિડિયન ભૂમિતિ સાથેનો તેમનો અભ્યાસ અમને વસ્તુઓ સાથે શું થઈ રહ્યું છે તે વધુ સારી રીતે સમજવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગોળાકારના પાર્ટીશનો, યુક્લિડિયન પ્લેનનાં પાર્ટીશનો અને લોબાચેવ્સ્કી પ્લેનનાં પાર્ટીશનો સાથે નિયમિત પોલિહેડ્રાના જોડાણને સમજો.
સતત વક્રતાની જગ્યાઓની ભૂમિતિનું જ્ઞાન ત્રણ પરિમાણથી ઉપર ઊઠવામાં અને પરિમાણ 4 અને ઉચ્ચતરની જગ્યાઓમાં પોલિહેડ્રાને ઓળખવામાં મદદ કરે છે. પોલિહેડ્રા શોધવાના મુદ્દાઓ, સતત વક્રતાની જગ્યાઓના પાર્ટીશનો શોધવા, n-પરિમાણીય અવકાશમાં નિયમિત પોલિહેડ્રોનના ડાયહેડ્રલ એંગલ માટે સૂત્ર મેળવવાના મુદ્દાઓ એટલા નજીકથી જોડાયેલા છે કે આ બધું લેખના શીર્ષકમાં મૂકવું સમસ્યારૂપ બન્યું. નિયમિત પોલિહેડ્રા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવા દો, જે દરેકને સમજી શકાય તેવું છે, જો કે તે માત્ર તમામ નિષ્કર્ષોનું પરિણામ નથી, પરંતુ તે જ સમયે, ઉચ્ચ પરિમાણોની જગ્યાઓ અને સમાન રીતે વળાંકવાળી જગ્યાઓને સમજવા માટેનું સાધન પણ છે.
જેઓ જાણતા નથી (ભૂલી ગયા છે), હું જાણ કરું છું (યાદ કરાવું છું) કે ત્રિ-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશમાં આપણે ટેવાયેલા છીએ, ત્યાં ફક્ત પાંચ નિયમિત પોલિહેડ્રા છે:
| 1. ટેટ્રાહેડ્રોન: | 2. ઘન: | 3. ઓક્ટાહેડ્રોન: | 4. ડોડેકાહેડ્રોન: | 5. આઇકોસેહેડ્રોન: |
 |
 |
 |
 |
ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં, નિયમિત પોલિહેડ્રોન એ બહિર્મુખ બહુકોણ છે જેમાં તમામ શિરોબિંદુઓ એકબીજાની સમાન હોય છે, બધી કિનારીઓ એકબીજાની સમાન હોય છે, બધા ચહેરા એકબીજાના સમાન હોય છે અને ચહેરાઓ નિયમિત બહુકોણ હોય છે.
નિયમિત બહુકોણ એ બહિર્મુખ બહુકોણ છે જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે અને બધા ખૂણા સમાન હોય છે.
શિરોબિંદુઓ એકબીજાના સમાન છે એટલે કે દરેક શિરોબિંદુની નજીક આવતા કિનારીઓની સંખ્યા અને ચહેરાઓની સંખ્યા સમાન છે અને તેઓ દરેક શિરોબિંદુ પર સમાન ખૂણા પર આવે છે.
આ નોટેશનમાં, અમારા પોલિહેડ્રાને નીચેના હોદ્દો પ્રાપ્ત થશે:
1. ટેટ્રાહેડ્રોન (3, 3),
2. ઘન (4, 3),
3. ઓક્ટાહેડ્રોન (3, 4),
4. ડોડેકાહેડ્રોન (5, 3),
5. આઇકોસાહેડ્રોન (3, 5)
ઉદાહરણ તરીકે, (4, 3) - એક ક્યુબમાં 4 ખૂણાના ચહેરા હોય છે, અને આવા 3 ચહેરા દરેક શિરોબિંદુ પર મળે છે.
ઓક્ટાહેડ્રોન (3, 4), તેનાથી વિપરિત, 3 કાર્બન ચહેરાઓ ધરાવે છે, જેમાંથી 4 ટોચ પર એકરૂપ થાય છે.
આમ, શ્લેફ્લી પ્રતીક સંપૂર્ણપણે પોલિહેડ્રોનની સંયુક્ત રચના નક્કી કરે છે.
શા માટે માત્ર 5 નિયમિત પોલિહેડ્રા છે? કદાચ તેમાંના વધુ છે?
આ પ્રશ્નનો સંપૂર્ણ જવાબ આપવા માટે, તમારે પહેલા ગોળા અને લોબાચેવ્સ્કી પ્લેન પર ભૂમિતિની સાહજિક સમજ મેળવવી પડશે. જેમની પાસે હજી સુધી આવો વિચાર નથી, હું જરૂરી ખુલાસો આપવાનો પ્રયત્ન કરીશ.
ગોળાકાર
1. ગોળા પરનો બિંદુ શું છે? મને લાગે છે કે તે દરેક માટે સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ છે. માનસિક રીતે ગોળા પરના બિંદુની કલ્પના કરવી મુશ્કેલ નથી.
2. ગોળા પરનો સેગમેન્ટ શું છે? અમે બે બિંદુઓ લઈએ છીએ અને તેમને ગોળા પરના સૌથી ઓછા અંતરથી જોડીએ છીએ, જો આપણે બાજુથી ગોળાને જોઈએ છીએ તો આપણને એક ચાપ મળે છે.
3. જો તમે આ સેગમેન્ટને બંને દિશામાં ચાલુ રાખો છો, તો તે બંધ થઈ જશે અને તમને એક વર્તુળ મળશે. આ કિસ્સામાં, વર્તુળના પ્લેનમાં ગોળાનું કેન્દ્ર છે; બાજુથી તે વર્તુળ જેવું લાગે છે, પરંતુ ગોળાકાર ભૂમિતિની દ્રષ્ટિએ તે એક સીધી રેખા છે, કારણ કે તે એક સેગમેન્ટમાંથી મેળવવામાં આવી હતી, બંને દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરેલી.
4. અને છેલ્લે, ગોળા પર ત્રિકોણ શું છે? અમે ગોળા પર ત્રણ બિંદુઓ લઈએ છીએ અને તેમને વિભાગો સાથે જોડીએ છીએ.
ત્રિકોણ સાથે સામ્યતા દ્વારા, તમે ગોળા પર મનસ્વી બહુકોણ દોરી શકો છો. અમારા માટે, ગોળાકાર ત્રિકોણની મિલકત મૂળભૂત રીતે મહત્વપૂર્ણ છે, એટલે કે આવા ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180 ડિગ્રી કરતા વધારે છે, જેને આપણે યુક્લિડિયન ત્રિકોણમાં ટેવાયેલા છીએ. તદુપરાંત, બે અલગ અલગ ગોળાકાર ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો અલગ છે. ત્રિકોણ જેટલો મોટો, તેના ખૂણાઓનો સરવાળો તેટલો વધારે.
તદનુસાર, ગોળા પર ત્રિકોણની સમાનતાનું ચોથું ચિહ્ન દેખાય છે - ત્રણ ખૂણા પર: બે ગોળાકાર ત્રિકોણ એકબીજાના સમાન હોય છે જો તેમના અનુરૂપ ખૂણા સમાન હોય.
સરળતા માટે, ગોળાને જાતે દોરવાનું સરળ નથી, પછી ત્રિકોણ થોડો ફૂલેલું દેખાશે:
ગોળાને સતત હકારાત્મક વક્રતાની જગ્યા પણ કહેવામાં આવે છે. અવકાશની વક્રતા ચોક્કસપણે એ હકીકત તરફ દોરી જાય છે કે સૌથી ટૂંકું અંતર એક ચાપ છે, અને સીધી રેખાના સેગમેન્ટ માટે નહીં કે જેનો આપણે ઉપયોગ કરીએ છીએ. સેગમેન્ટ વળેલું જણાય છે.
લોબાચેવ્સ્કી
હવે જ્યારે આપણે ગોળા પરની ભૂમિતિથી પરિચિત થઈ ગયા છીએ, ત્યારે મહાન રશિયન વૈજ્ઞાનિક નિકોલાઈ ઇવાનોવિચ લોબાચેવસ્કીએ શોધેલી હાઇપરબોલિક પ્લેન પરની ભૂમિતિને સમજવી મુશ્કેલ રહેશે નહીં, કારણ કે અહીં બધું ગોળાની જેમ જ થાય છે, ફક્ત "અંદર બહાર", "વિપરીત". જો આપણે ગોળાની અંદર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળોમાં ગોળામાં ચાપ દોર્યા હોય, તો હવે ચાપ ગોળાની બહાર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળોમાં દોરવા જોઈએ.ચાલો શરુ કરીએ. અમે Poincaré II (Jules Henri Poincaré, મહાન ફ્રેન્ચ વૈજ્ઞાનિક) ના અર્થઘટનમાં Lobachevsky પ્લેનનું પ્રતિનિધિત્વ કરીશું, Lobachevsky ભૂમિતિના આ અર્થઘટનને Poincaré ડિસ્ક પણ કહેવામાં આવે છે.
1. લોબાચેવ્સ્કી પ્લેનમાં પોઇન્ટ. સમયગાળો - તે આફ્રિકામાં પણ એક બિંદુ છે.
2. લોબાચેવ્સ્કી પ્લેન પર એક સેગમેન્ટ. અમે લોબાચેવ્સ્કી પ્લેનના અર્થમાં સૌથી ટૂંકા અંતર સાથે એક રેખા સાથે બે બિંદુઓને જોડીએ છીએ.
સૌથી ટૂંકું અંતર નીચે પ્રમાણે બાંધવામાં આવ્યું છે:
આપેલ બે બિંદુઓ (આકૃતિમાં Z અને V) દ્વારા પોઈનકેરે ડિસ્ક પર ઓર્થોગોનલ વર્તુળ દોરવું જરૂરી છે. આ વર્તુળનું કેન્દ્ર હંમેશા ડિસ્કની બહાર રહેશે. મૂળ બે બિંદુઓને જોડતી ચાપ લોબાચેવ્સ્કી પ્લેનના અર્થમાં સૌથી નાનું અંતર હશે.
3. સહાયક આર્ક્સને દૂર કરીને, અમે લોબાચેવ્સ્કી પ્લેનમાં સીધી રેખા E1 - H1 મેળવીએ છીએ.
પોઈન્ટ્સ E1, H1 લોબાચેવ્સ્કી પ્લેનની અનંતતા પર "જૂઠાણું" છે;
4. અને છેલ્લે, લોબાચેવ્સ્કી પ્લેનમાં ત્રિકોણ શું છે? અમે ત્રણ બિંદુઓ લઈએ છીએ અને તેમને સેગમેન્ટ્સ સાથે જોડીએ છીએ.
ત્રિકોણ સાથે સામ્યતા દ્વારા, તમે લોબાચેવ્સ્કી પ્લેન પર મનસ્વી બહુકોણ દોરી શકો છો. અમારા માટે, હાઇપરબોલિક ત્રિકોણની મિલકત મૂળભૂત રીતે મહત્વપૂર્ણ છે, એટલે કે આવા ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા 180 ડિગ્રી કરતા ઓછો હોય છે, જેને આપણે યુક્લિડિયન ત્રિકોણમાં ટેવાયેલા છીએ. તદુપરાંત, બે જુદા જુદા અતિપરવલય ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો અલગ છે. ક્ષેત્રફળમાં ત્રિકોણ જેટલો મોટો, તેના ખૂણાઓનો સરવાળો ઓછો.
તદનુસાર, અતિપરવલય ત્રિકોણની સમાનતાનું ચોથું ચિહ્ન પણ અહીં થાય છે - ત્રણ ખૂણા દ્વારા: બે અતિપરવલય ત્રિકોણ એકબીજાના સમાન હોય છે જો તેમના અનુરૂપ ખૂણા સમાન હોય.
સરળતા માટે, પોઈનકેરે ડિસ્ક પોતે ક્યારેક દોરવામાં આવી શકતી નથી, પછી ત્રિકોણ થોડો "સંકોચાયેલો", "ડિફ્લેટેડ" દેખાશે:
લોબાચેવ્સ્કી પ્લેન (અને સામાન્ય રીતે કોઈપણ પરિમાણની લોબાચેવ્સ્કી જગ્યા) ને સતત નકારાત્મક વક્રતાની જગ્યા પણ કહેવામાં આવે છે. અવકાશની વક્રતા ચોક્કસપણે એ હકીકત તરફ દોરી જાય છે કે સૌથી ટૂંકું અંતર એક ચાપ છે, અને સીધી રેખાના સેગમેન્ટનો આપણે ઉપયોગ કરીએ છીએ. સેગમેન્ટ વળેલું જણાય છે.
દ્વિ-પરિમાણીય ગોળાના નિયમિત પાર્ટીશનો અને નિયમિત ત્રિ-પરિમાણીય પોલિહેડ્રા
ગોળા અને લોબાચેવ્સ્કી પ્લેન વિશે કહેવામાં આવેલી દરેક વસ્તુ દ્વિ-પરિમાણીયતાનો સંદર્ભ આપે છે, એટલે કે. ગોળાની સપાટી દ્વિ-પરિમાણીય છે. લેખના શીર્ષકમાં દર્શાવેલ ત્રિ-પરિમાણીયતા સાથે આનો શું સંબંધ છે? તે તારણ આપે છે કે દરેક ત્રિ-પરિમાણીય નિયમિત યુક્લિડિયન પોલિહેડ્રોન દ્વિ-પરિમાણીય ગોળાના પોતાના વિભાજન સાથે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર ધરાવે છે. આ આકૃતિમાં શ્રેષ્ઠ રીતે જોવા મળે છે:
નિયમિત પોલિહેડ્રોનમાંથી ગોળાનું પાર્ટીશન મેળવવા માટે, તમારે પોલિહેડ્રોનની આસપાસના ગોળાને વર્ણવવાની જરૂર છે. પોલિહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ ગોળાની સપાટી પર દેખાશે, આ બિંદુઓને ગોળા (આર્ક) પરના સેગમેન્ટ્સ સાથે જોડીને, અમે નિયમિત ગોળાકાર બહુકોણમાં દ્વિ-પરિમાણીય વલયનું વિભાજન મેળવીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, આઇકોસાહેડ્રોન કેવી રીતે ગોળાના વિભાજનને ગોળાકાર ત્રિકોણમાં અને તેનાથી ઊલટું, અને ગોળાના ત્રિકોણમાં વિભાજન કેવી રીતે ટોચ પર પાંચમાં કન્વર્ઝ થાય છે તે આઇકોસાહેડ્રોનને અનુરૂપ છે તેનું વિડિયો નિદર્શન કરવામાં આવ્યું હતું.
ગોળાના પાર્ટીશનમાંથી પોલિહેડ્રોન બનાવવા માટે, આર્ક્સને અનુરૂપ પાર્ટીશનના શિરોબિંદુઓ સામાન્ય, રેક્ટિલિનિયર, યુક્લિડિયન સેગમેન્ટ્સ દ્વારા જોડાયેલા હોવા જોઈએ.
તદનુસાર, આઇકોસાહેડ્રોન (3, 5)નું શ્લાફ્લી પ્રતીક—એક શિરોબિંદુ પર પાંચનું એકરૂપ થતા ત્રિકોણ—માત્ર આ પોલિહેડ્રોનની રચના જ નહીં, પણ દ્વિ-પરિમાણીય ગોળાના વિભાજનની રચનાને પણ સ્પષ્ટ કરે છે. એ જ રીતે અન્ય પોલીટોપ્સ સાથે, તેમના સ્ક્લાફ્લી પ્રતીકો પણ અનુરૂપ પાર્ટીશનોની રચના નક્કી કરે છે. તદુપરાંત, યુક્લિડિયન પ્લેન અને લોબાચેવ્સ્કી પ્લેનનું નિયમિત બહુકોણમાં પાર્ટીશનો પણ શ્લેફ્લી પ્રતીક દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, (4, 4) - ચતુષ્કોણ ચારમાં એકરૂપ થાય છે - આ ચોરસ નોટબુક છે જેનાથી આપણે બધા પરિચિત છીએ, એટલે કે. આ યુક્લિડિયન પ્લેનનું ચોરસમાં વિભાજન છે. શું યુક્લિડિયન પ્લેનના અન્ય વિભાગો છે? આગળ જોઈશું.
દ્વિ-પરિમાણીય ગોળાના પાર્ટીશનોનું નિર્માણ, યુક્લિડિયન પ્લેન અને લોબાચેવસ્કી પ્લેન
સતત વક્રતાની દ્વિ-પરિમાણીય જગ્યાઓના પાર્ટીશનો બનાવવા માટે (આ ત્રણ જગ્યાઓનું સામાન્ય નામ છે), અમને પ્રાથમિક શાળાની ભૂમિતિ અને જ્ઞાનની જરૂર છે કે ગોળાકાર ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180 ડિગ્રી (Pi કરતાં વધુ) કરતા વધારે છે. , કે અતિપરવલય ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180 અંશ (Pi કરતાં ઓછો) કરતાં ઓછો છે અને શ્લેફ્લી પ્રતીક શું છે? આ બધું પહેલેથી જ ઉપર કહેવામાં આવ્યું છે.તેથી, ચાલો એક મનસ્વી શ્લાફ્લી પ્રતીક (p1, p2) લઈએ, તે સતત વક્રતાની ત્રણ જગ્યાઓમાંથી એકનું પાર્ટીશન સ્પષ્ટ કરે છે (પ્લેન માટે આ સાચું છે, ઉચ્ચ પરિમાણોની જગ્યાઓ માટે પરિસ્થિતિ વધુ જટિલ છે, પરંતુ કંઈપણ આપણને તેનાથી અટકાવતું નથી. પ્રતીકના તમામ સંયોજનોનું અન્વેષણ કરવું).
ચાલો નિયમિત p1 ચોરસને ધ્યાનમાં લઈએ અને તેના કેન્દ્ર અને શિરોબિંદુઓને જોડતા ભાગો દોરીએ. આપણને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના p1 ટુકડા મળે છે (આવો એક જ ત્રિકોણ આકૃતિમાં બતાવવામાં આવ્યો છે). અમે આ દરેક ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાને t તરીકે દર્શાવીએ છીએ અને pi અને લેમ્બડા ગુણાંકના સંદર્ભમાં t વ્યક્ત કરીએ છીએ.
પછી જો લેમ્બડા = 1, તો યુક્લિડિયન ત્રિકોણ, એટલે કે. યુક્લિડિયન સમતલમાં છે, જો લેમ્બડા અંતરાલ (1, 3) માં હોય, તો આનો અર્થ એ થાય કે ખૂણાઓનો સરવાળો pi કરતાં મોટો છે અને આનો અર્થ એ છે કે આ ત્રિકોણ ગોળાકાર છે (કલ્પના કરવી મુશ્કેલ નથી કે જ્યારે એક મર્યાદામાં ગોળાકાર ત્રિકોણ, તેના પર ત્રણ બિંદુઓ ધરાવતું વર્તુળ પ્રાપ્ત થાય છે, દરેક બિંદુ પર ત્રિકોણનો ખૂણો pi બરાબર છે, અને કુલ 3*pi છે આ અંતરાલની ઉપરની મર્યાદા = 3) સમજાવે છે. જો લેમ્બડા અંતરાલ (0, 1) માં હોય, તો ત્રિકોણ અતિપરવલય છે, કારણ કે તેના ખૂણાઓનો સરવાળો pi કરતાં ઓછો છે (એટલે કે 180 ડિગ્રી કરતાં ઓછો). સંક્ષિપ્તમાં તે આ રીતે લખી શકાય છે:
બીજી બાજુ, સમાન બહુકોણના p2 ટુકડાઓ (એટલે કે, પૂર્ણાંક સંખ્યા) ના શિરોબિંદુ પર કન્વર્જન્સ માટે, તે જરૂરી છે કે
કન્વર્જન્સ કંડીશન અને બહુકોણમાંથી મળેલ 2*betta માટેના સમીકરણોની સમાનતા:
અમે એક સમીકરણ મેળવ્યું છે જે દર્શાવે છે કે ત્રણ જગ્યાઓમાંથી કઈ જગ્યાને તેના શ્લાફ્લી પ્રતીક (p1, p2) દ્વારા આપવામાં આવેલી આકૃતિ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. આ સમીકરણને ઉકેલવા માટે, આપણે એ પણ યાદ રાખવું જોઈએ કે p1, p2 એ 3 કરતા મોટા અથવા તેના સમાન પૂર્ણાંકો છે. આ, આમ કહીએ તો, તેમના ભૌતિક અર્થને અનુસરે છે, કારણ કે આ p1 ખૂણાઓ (ઓછામાં ઓછા 3 ખૂણા) છે જે p2 ટુકડાઓ સાથે એકરૂપ થાય છે. શિરોબિંદુ (3 કરતાં ઓછું નહીં, અન્યથા તે શિરોબિંદુ નહીં હોય).
આ સમીકરણનો ઉકેલ એ છે કે p1, p2 માટે 3 કરતા વધારે અથવા તેના સમાન તમામ સંભવિત મૂલ્યોની ગણતરી કરવી અને લેમ્બડા મૂલ્યની ગણતરી કરવી. જો તે 1 ની બરાબર હોય, તો (p1, p2) યુક્લિડિયન પ્લેનને પાર્ટીશન કરે છે, જો તે 1 કરતા વધારે હોય પરંતુ 3 કરતા ઓછું હોય, તો આ વલયનું પાર્ટીશન છે, જો 0 થી 1 હોય, તો આ છે લોબાચેવ્સ્કી પ્લેનનું પાર્ટીશન. કોષ્ટકમાં આ બધી ગણતરીઓનો સારાંશ આપવાનું અનુકૂળ છે.
જ્યાંથી તે જોઈ શકાય છે કે:
1. ગોળા માત્ર 5 ઉકેલોને અનુલક્ષે છે; જ્યારે લેમડા 1 કરતા વધારે અને 3 કરતા ઓછા હોય, ત્યારે તેઓ કોષ્ટકમાં લીલા રંગમાં પ્રકાશિત થાય છે. આ છે: (3, 3) - ટેટ્રાહેડ્રોન, (3, 4) - ઓક્ટાહેડ્રોન, (3, 5) - આઇકોસાહેડ્રોન, (4, 3) - ક્યુબ, (5, 3) - ડોડેકેહેડ્રોન. તેમના ચિત્રો લેખની શરૂઆતમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા.
2. યુક્લિડિયન પ્લેનનાં પાર્ટીશનો માત્ર ત્રણ ઉકેલોને અનુરૂપ છે, જ્યારે લેમ્બડા = 1, તેઓ કોષ્ટકમાં વાદળી રંગમાં પ્રકાશિત થાય છે. આ વિભાજન આના જેવો દેખાય છે.
3. અને અંતે, અન્ય તમામ સંયોજનો (p1, p2) લોબેચેવ્સ્કી પ્લેનના પાર્ટીશનોને અનુરૂપ છે, તે મુજબ, આવા પાર્ટીશનોની અનંત (ગણતરી) સંખ્યા છે. તે ફક્ત તેમાંના કેટલાકને સમજાવવા માટે જ રહે છે, ઉદાહરણ તરીકે.
પરિણામો
આમ, ત્યાં ફક્ત 5 નિયમિત પોલિહેડ્રા છે, તે દ્વિ-પરિમાણીય ગોળાના પાંચ પાર્ટીશનોને અનુરૂપ છે, ત્યાં યુક્લિડિયન પ્લેનના ફક્ત 3 પાર્ટીશનો છે, અને લોબાચેવ્સ્કી પ્લેનના સંખ્યાબંધ પાર્ટીશનો છે.આ જ્ઞાનનો ઉપયોગ શું છે?
એવા લોકો છે કે જેઓ ગોળાના પાર્ટીશનોમાં સીધો રસ ધરાવે છે.
નિયમિત પોલિહેડ્રોન પોલિહેડ્રોનને એવું કહેવામાં આવે છે કે તેના બધા ચહેરા સમાન હોય અને સમાન નિયમિત બહુકોણ હોય, બધી કિનારીઓ અને બધા શિરોબિંદુઓ પણ એકબીજાના સમાન હોય. જ્યારે ત્યાં નિયમિત બહુકોણની સંખ્યા હોય છે, ત્યાં મર્યાદિત સંખ્યામાં નિયમિત પોલિહેડ્રા હોય છે.
જેમ નિયમિત બહુકોણ ત્રિકોણથી શરૂ થાય છે, તેમ નિયમિત બહુકોણ તેના એનાલોગથી શરૂ થાય છે - ટેટ્રાહેડ્રોન (એટલે કે, ગ્રીકમાં, ટેટ્રાહેડ્રોન). તેમાં શિરોબિંદુઓ અને ચહેરાઓની ન્યૂનતમ સંભવિત સંખ્યા છે - દરેકમાંથી ચાર, અને છ ધાર (ત્રણ શિરોબિંદુઓ હંમેશા એક જ પ્લેનમાં રહે છે; વોલ્યુમેટ્રિક બોડી માટે, તેથી, ઓછામાં ઓછા ચાર શિરોબિંદુઓ જરૂરી છે; અવકાશમાં મર્યાદિત વોલ્યુમ મર્યાદિત કરી શકાતું નથી. ત્રણ ફ્લેટ ચહેરાઓ દ્વારા). દરેક શિરોબિંદુ પર ત્રણ ત્રિકોણાકાર ચહેરા અને તે મુજબ, ત્રણ કિનારીઓ એકરૂપ થાય છે. ટેટ્રાહેડ્રોન એ પિરામિડ છે, અને સૌથી સરળ છે ટ્રિહેડ્રલ (કોઈપણ પિરામિડમાં આધાર અને બાજુના ચહેરા હોય છે; પિરામિડમાં n બાજુના ચહેરા હોય તો તેને n-ફેસ્ટેડ કહેવામાં આવે છે; તે જોવાનું સરળ છે કે n-બાજુવાળા પિરામિડ માટે આધારમાં અનિવાર્યપણે n-gonનો આકાર હોવો જોઈએ). ટેટ્રાહેડ્રોન વિશે આપણે અત્યાર સુધી જે કહ્યું છે તે કોઈપણ ટેટ્રાહેડ્રોનને લાગુ પડે છે, તે જરૂરી નથી કે તે નિયમિત હોય; નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોનના ચહેરા નિયમિત ત્રિકોણ હોય છે.
તમે નીચેના નિયમિત પોલિહેડ્રોનથી ખૂબ જ પરિચિત છો - આ છે સમઘન. જો ટેટ્રાહેડ્રોન ચોક્કસ અર્થમાં ત્રિકોણ સમાન હોય, તો સમઘન ચોરસ સમાન હોય છે. સમઘન એ લંબચોરસ સમાંતર નળીઓ છે અને તેના તમામ ચહેરા ચોરસ છે. ચિત્રને જોયા વિના, સમઘન (અને હકીકતમાં, કોઈપણ લંબચોરસ સમાંતર) કેટલા ચહેરાઓ ધરાવે છે, કેટલા શિરોબિંદુઓ, કેટલી કિનારીઓ અને દરેક શિરોબિંદુ પર કેટલા ચહેરા અને કિનારીઓ એકરૂપ થાય છે તે શોધવાનો પ્રયાસ કરો.
અન્ય નિયમિત પોલિહેડ્રોન ધરાવે છે ઓક્ટાહેડ્રોન (એટલે કે ઓક્ટાહેડ્રોન) - સપાટ વિશ્વમાં કોઈ એનાલોગ નથી, કારણ કે તે થોડું ત્રિકોણ જેવું લાગે છે, અને થોડું ચોરસ જેવું લાગે છે. બે ટેટ્રાહેડ્રલ પિરામિડમાંથી તેમના પાયાને ગ્લુઇંગ કરીને એક ઓક્ટાહેડ્રોન બનાવી શકાય છે. નિયમિત ઓક્ટાહેડ્રોનના ચહેરા નિયમિત ત્રિકોણ હોય છે. તેના દરેક શિરોબિંદુ પર, ટેટ્રેહેડ્રોન અને ક્યુબની જેમ ત્રણ નહીં, પરંતુ ચાર ચહેરાઓ મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કુદરતી હીરાના સ્ફટિકો એક અષ્ટકોષીય આકાર ધરાવે છે.
ઓક્ટાહેડ્રોન કહેવાતા સમઘન સાથે નજીકથી સંબંધિત છે પારસ્પરિકતાની મિલકત : સમઘનનાં ચહેરાનાં કેન્દ્રો એ નિયમિત અષ્ટકોષના શિરોબિંદુઓ છે, અને નિયમિત અષ્ટકના ચહેરાના કેન્દ્રો સમઘનનાં શિરોબિંદુઓ છે. જો તમે ક્યુબના અડીને આવેલા ચહેરાના કેન્દ્રોને સેગમેન્ટ્સ સાથે જોડો છો, તો આ સેગમેન્ટ્સ અષ્ટાહેડ્રોનની કિનારીઓ બની જશે; જો તમે ઓક્ટાહેડ્રોન સાથે સમાન ઓપરેશન કરો છો, તો તમને એક ક્યુબ મળશે. માર્ગ દ્વારા, આના આધારે, તે સ્પષ્ટ છે કે ઓક્ટાહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓની સંખ્યા ક્યુબના ચહેરાઓની સંખ્યા જેટલી છે, અને ઊલટું; તદુપરાંત, તેમની ધારની સંખ્યા એકરુપ છે.
ટેટ્રાહેડ્રોન પારસ્પરિકતાની મિલકત દ્વારા પોતાની જાત સાથે સંબંધિત છે
શું નિયમિત બહુકોણ માટે પારસ્પરિકતા ગુણધર્મના કેટલાક એનાલોગ ઘડવાનું શક્ય છે?
માર્ગ દ્વારા, ટેટ્રાહેડ્રોન પણ સમઘન સાથે સંબંધિત છે. જેમ કે, જો તમે ક્યુબના ચાર શિરોબિંદુઓ પસંદ કરો, જેમાંથી કોઈ બે અડીને નથી, અને તેમને સેગમેન્ટ્સ સાથે જોડે છે, તો આ સેગમેન્ટ્સ ટેટ્રાહેડ્રોન બનાવે છે!
 |
|
ચોખા. 3. ક્યુબ અને ટેટ્રાહેડ્રોન |
નિયમિત પોલિહેડ્રાની સૌથી મહત્વપૂર્ણ મિલકત જે તરત જ ધ્યાન આકર્ષિત કરે છે તે તેમની ઉચ્ચ ડિગ્રી સપ્રમાણતા છે. વિવિધ વિમાનોની આસપાસ ચોક્કસ સંખ્યામાં પ્રતિબિંબ, તેમજ વિવિધ અક્ષોની આસપાસ સંખ્યાબંધ પરિભ્રમણ, દરેક પોલિહેડ્રાને પોતાનામાં રૂપાંતરિત કરે છે. તેમાંના દરેકમાં એક કેન્દ્ર છે જેના દ્વારા સમપ્રમાણતા અને અક્ષોના આ તમામ વિમાનો પસાર થાય છે; શિરોબિંદુઓ આ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે છે, તે જ ચહેરા અને કિનારીઓ માટે સાચું છે. તેથી, દરેક નિયમિત પોલિહેડ્રોનમાં એક ગોળા લખી શકાય છે, અને તે દરેકની આસપાસ એક ગોળાને વર્ણવી શકાય છે. (આ સંદર્ભમાં, જો કે, તેઓ નિયમિત બહુકોણ જેવા જ છે, જેમાંના દરેકમાં એક વર્તુળ લખી શકાય છે અને દરેકની આસપાસ એક વર્તુળનું વર્ણન પણ કરી શકાય છે).
ક્યુબ, ટેટ્રેહેડ્રોન અથવા ઓક્ટાહેડ્રોન સમપ્રમાણતાના કેટલા પ્લેન ધરાવે છે? તેમાંના દરેકમાં કેટલા પરિભ્રમણ અક્ષો છે જે પોલીહેડ્રોનને પોતાનામાં પરિવર્તિત કરે છે?
