આધાર બદલતી વખતે બિંદુના સંલગ્ન કોઓર્ડિનેટ્સનું પરિવર્તન. સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતરણોને જોડો

, , , (3)

એક્સપ્રેસ કોઓર્ડિનેટ્સ x,yપોઈન્ટ એમજૂની કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નવી સિસ્ટમમાં આ બિંદુ.

સૂત્રોમાંથી (3) તે અનુસરે છે

; ; . (4)

(ત્રિકોણ નિયમ મુજબ).

કારણ કે , , પછી બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સની વ્યાખ્યા દ્વારા , , એટલે કે ; .

પછી, સૂત્રો (4) નો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

આપણે ક્યાં શોધીએ છીએ:

(5) ;

આ રીતે કોઓર્ડિનેટ્સ વ્યક્ત થાય છે x,yમનસ્વી બિંદુ એમતેના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા જૂની સિસ્ટમમાં નવી સિસ્ટમમાં .

સૂત્રો (5) કહેવાય છે અફિન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમને રૂપાંતરિત કરવા માટેના સૂત્રો.

પર ગુણાંક - જૂની સિસ્ટમમાં નવા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ; ગુણાંક , જૂની સિસ્ટમમાં નવા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ ક્યારે છે, ફ્રી ટર્મ્સ, જૂની સિસ્ટમમાં નવા મૂળના કોઓર્ડિનેટ્સ છે:

પોઈન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સ એમ

નવી સિસ્ટમમાં

ટેબલ સંક્રમણ મેટ્રિક્સને આધારથી આધાર સુધી કહેવામાં આવે છે.

અફિન ટ્રાન્સફોર્મેશનના ખાસ કિસ્સાઓ

કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સ

1. શરૂઆતનું સ્થાનાંતરણ.

આ પરિવર્તન સાથે , , એ (ફિગ. 40).

ચાલો જૂની સિસ્ટમમાં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ, એટલે કે. , , અને:

Þ Þ , ;

Þ Þ , .

પછી સૂત્રો (5) ફોર્મ લેશે:

સૂત્રો (7) કહેવાય છે કોઓર્ડિનેટ વેક્ટરને બદલવા માટેના સૂત્રો.

વેક્ટર્સ વચ્ચેના ડાયરેક્શનલ એન્ગલનો ખ્યાલ.

લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનું રૂપાંતર

વેક્ટર્સ વચ્ચેના ડાયરેક્શનલ એન્ગલની વિભાવના ઓરિએન્ટેડ પ્લેન પર રજૂ કરવામાં આવી છે.

ચોક્કસ ક્રમમાં ઉલ્લેખિત બિન-શૂન્ય વેક્ટર થવા દો ( - પ્રથમ વેક્ટર, - બીજો વેક્ટર).

જો || , તે વેક્ટર અને વેક્ટર વચ્ચેનો દિશાસૂચક કોણકહેવાય છે

તીવ્રતા , જો આધાર , - અધિકાર;

તીવ્રતા , જો આધાર બાકી છે.

જો , તે દિશાસૂચક કોણતેમની વચ્ચે સમાન ગણવામાં આવે છે જો , પછી (ફિગ. 42).

બે લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સ અને . દો M(x;y)વી, વી . લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ એ અફાઈનનો વિશિષ્ટ કેસ હોવાથી, આપણે §12 માંથી સૂત્રો (5) નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ, પરંતુ ગુણાંક , , , હવે મનસ્વી ન હોઈ શકે.

ચાલો જૂની સિસ્ટમમાં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ. ચાલો બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ.

1) પાયા , અને , સમાન રીતે લક્ષી છે (ફિગ. 43).

જમણો ત્રિકોણ અને કર્ણ અને તીવ્ર કોણમાં સમાન (
, ), તેથી, અને .

થી અમે શોધીએ છીએ:

આથી, .

આથી, . પછી સૂત્રો (5) ફોર્મ લેશે:

નોંધ કરો કે સંક્રમણ મેટ્રિક્સના નિર્ણાયક, આધારથી આધાર સુધી,

.

2) પાયા , અને , વિરુદ્ધ લક્ષી છે (ફિગ. 45).

કેસ 1 ની સમાન તર્ક), અમે મેળવીએ છીએ:

આથી, ; .

પછી સૂત્રો (5) ફોર્મ લેશે:

નોંધ કરો કે સંક્રમણ મેટ્રિક્સના નિર્ણાયક, આધારથી, આધાર સુધી, આ કિસ્સામાં

સૂત્રો (8) અને (9) ને જોડી શકાય છે:

.

પરિવર્તનના ખાસ કિસ્સાઓ

લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમ

1. શરૂઆતનું સ્થાનાંતરણ: , .

ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ

જો કોઈ નિયમ નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે જેના દ્વારા વાસ્તવિક સંખ્યાઓની ક્રમબદ્ધ જોડીનો ઉપયોગ કરીને પ્લેન પરના બિંદુઓની સ્થિતિ નક્કી કરી શકાય છે, તો તેઓ કહે છે કે પ્લેન પર એક સંકલન પ્રણાલી નિર્દિષ્ટ છે. અફિન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ ઉપરાંત, જેની ચર્ચા §10 માં કરવામાં આવી હતી, પ્લેન પર ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનો ગણિતમાં વારંવાર ઉપયોગ થાય છે.

ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલી એક ઓરિએન્ટેડ પ્લેન પર રજૂ કરવામાં આવે છે.

એક ટપકું ધરાવતી જોડી વિશેઅને એકમ વેક્ટર કહેવાય છે ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીઅને નિયુક્ત થયેલ છે અથવા . દિશાસૂચક સીધી કહેવાય છે ધ્રુવીય ધરી, ડોટ વિશે- ધ્રુવ(ફિગ. 48).

આમ, . જો એમસાથે મેળ ખાય છે વિશે, તે . કોઈપણ બિંદુ માટે એમતેની ધ્રુવીય ત્રિજ્યા

જો એમધ્રુવ સાથે એકરુપ છે વિશે, પછી j અવ્યાખ્યાયિત છે. વેક્ટર્સ વચ્ચેના ડાયરેક્શનલ એન્ગલની વ્યાખ્યામાંથી (જુઓ §13) તે અનુસરે છે કે ધ્રુવીય કોણ

ચાલો ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સથી લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ અને તેનાથી વિપરીત સંક્રમણ માટેના સૂત્રો મેળવીએ.

ઓરિએન્ટેડ પ્લેન પર ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ બનવા દો, , વી. ચાલો ધ્રુવીય પ્રણાલીને વેક્ટર સાથે એકમ વેક્ટર ઓર્થોગોનલ જોડીએ જેથી આધાર જમણેરી હોય (ફિગ. 51).

, .

દો M(x;y)વી. પછી; (ફિગ. 51).

મળ્યું ધ્રુવીયથી લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સમાં સંક્રમણ માટેના સૂત્રો:

ચાલો આ સમાનતાઓની બંને બાજુઓને ચોરસ કરીએ અને ઉમેરો:

, ક્યાં (રુટ "+" ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે, કારણ કે ). Þ Þ
;
.

M 1 =(x 1,y 1), M=(x,y). કારણ કે બિંદુ M એ સેગમેન્ટ M 0 M 1 ને λ ના સંબંધમાં વિભાજિત કરે છે, પછી

આ સંલગ્ન રૂપાંતર સાથે, બિંદુઓ M 0,M 1,M એ બિંદુઓ M 0 ′,M 1 ′, M′ બિંદુઓ M 0,M 1,M જેવા સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે, પરંતુ માત્ર O" માં જશે. e કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ " 1 e" 2. આ કોઓર્ડિનેટ્સ હજુ પણ સંબંધો (1) દ્વારા જોડાયેલા છે, જેમાંથી તે અનુસરે છે કે M′ સેગમેન્ટ M 0 ′M 1′ ને λના સંદર્ભમાં વિભાજિત કરે છે. આ પ્રમેયને સાબિત કરે છે.

3. અફિન ટ્રાન્સફોર્મેશનની વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ (સંક્રમણ સૂત્રો).

કાર્ય:કેવી રીતે, બીજી સિસ્ટમની તુલનામાં એક સિસ્ટમના પરિમાણોને જાણીને, કોઈ બંને કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સમાં બિંદુની સ્થિતિ નક્કી કરી શકે છે (એટલે ​​​​કે, એક સિસ્ટમ (જૂની) માંથી બીજી નવી સિસ્ટમમાં સંક્રમણ માટે સૂત્રો કેવી રીતે શોધવી.

ચાલો એફાઈન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સ માટે પરિવર્તનના કિસ્સાઓ પર વિચાર કરીએ.

1) સિસ્ટમ R = (O, (e 1, e 2)) આપવા દો અને તેમાં M = (x,y) R આપવા દો, O (0,0) R એ મૂળના કોઓર્ડિનેટ્સ છે. e 1 (1,0) R, e 2 (0,1) R – આધારભૂત વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ.

2) બીજી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ R′=(O, (e 1′, e 2′)) આપવા દો, અને જૂના કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ દ્વારા નવા આધાર અને નવા મૂળને વ્યાખ્યાયિત કરતા પરિમાણો જાણીતા છે, એટલે કે. O′(x 0 ,y 0) R , e 1 ′(C 11 ,C 12) R , e 2 ′(C 12 ,C 22) R

ચાલો નવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (M(x′,y′) R′) માં બિંદુ M ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનું કાર્ય સેટ કરીએ. ચાલો બિંદુ M(x′,y′) ના અજાણ્યા કોઓર્ડિનેટ્સ સૂચવીએ.

ત્રણ બિંદુઓ માટે O,O′,M: O′M=O′O+OM. О′М – નવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં બિંદુ M નું ત્રિજ્યા વેક્ટર, જેનો અર્થ છે કે તેના કોઓર્ડિનેટ્સ R′ સિસ્ટમમાં О′М વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે સુસંગત હશે (О′М↔М R′)=>O′М( x′,y′) R′ => О′М=x′e 1′+y′e 2′ (1) ; О′О - સિસ્ટમ R′ માં બિંદુ О′ ના ત્રિજ્યા વેક્ટર, એટલે કે. તેના કોઓર્ડિનેટ્સ О′О↔ О′ R => О′О(x 0 ,y 0) R => О′О= x 0 e 1 +y 0 e 2 ના કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે મેળ ખાશે. (2) ; OM↔ M R => OM=xe 1 +ye 2 (3). તે. વેક્ટર О′М=ОМ −ОО′ વિસ્તરણ (1), (2) અને (3) ની આ વેક્ટર સમાનતામાં અવેજી પછી ફોર્મ હશે:

x′e 1′+y′e 2′= xe 1 +ye 2 −(x 0 e 1 +y 0 e 2) (4); કારણ કે શરતમાં, પરિમાણોનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે જે જૂના આધાર દ્વારા નવા આધાર વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરે છે, અમે નવા આધાર વેક્ટર માટે નીચેની વેક્ટર સમાનતા મેળવીએ છીએ:

e 1 ′(C 11,C 12) R => e 1 ′= C 11 e 1 +C 21 e 2;

e 2 ′(C 12,C 22) R => e 2 ′= C 12 e 1 +C 22 e 2; (5)

ચાલો (5) ને (4) ની ડાબી બાજુએ બદલીએ અને આધાર વેક્ટર e 1 અને e 2 ના સંદર્ભમાં જૂથ કરીએ.

x′(C 11 e 1 +C 21 e 2)+y′(C 12 e 1 +C 22 e 2)- xe 1 -xe 2 +x 0 e 1 -ye 2 +x 0 e 1 +y 0 e 2 =0.
(x′C 11 + y′C 12 e 1 -x+x 0)e 1 + (x′C 21 +y′ C 22 -y+y 0)e 2 =0.

કારણ કે (e 1, e 2) એક આધાર બનાવે છે, પછી આ એક રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમ છે જેના માટે છેલ્લી વેક્ટર સમાનતા સંતુષ્ટ છે જો કે ડાબી બાજુના તમામ ગુણાંક શૂન્ય સમાન હોય, એટલે કે. કે જે આપેલ

(6) - x′ અને y′ ચલ માટે જૂની સિસ્ટમ R થી નવી સિસ્ટમ R′ માં સંક્રમણ માટેના સૂત્રો.

નિર્ણાયકના સ્તંભો એ બેઝ વેક્ટર e 1′ અને e 2′ ના કોઓર્ડિનેટ્સ હોવાથી, આ નિર્ણાયક ક્યારેય અદૃશ્ય થતો નથી, એટલે કે. સિસ્ટમ (6) x′ અને y′ ચલોના સંદર્ભમાં અનન્ય રીતે ઉકેલી શકાય તેવી છે, જે હંમેશા R′ થી R સુધીના વિપરીત સંક્રમણ માટે સૂત્ર શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે.

સૂત્રો માટે (6) બે વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ છે

1. આધારની બદલી;

2. શરૂઆતનું સ્થાનાંતરણ.

1. સિસ્ટમ R′ એ જ મૂળ R=(O, (e 1 , e 2)) → R′=(O, (e 1′, e 2 ′)), t જાળવી રાખીને આધારને બદલીને સિસ્ટમ Rમાંથી મેળવેલ .ઉ. O′(x 0 ,y 0)=O(0,0)=>x 0 =y 0 =0, પછી આધાર બદલવાના સૂત્રો ફોર્મ લેશે:

2. સમાન આધાર જાળવી રાખીને શરૂઆતને બિંદુ O થી બિંદુ O પર સ્થાનાંતરિત કરીને R માંથી સિસ્ટમ R′ મેળવવા દો:
R=(O, (e 1, e 2))→ R′=(O′, (e 1, e 2))=> e 1 ′(1.0), e 2 ′(0.1),t .O. સૂત્રો ફોર્મ લેશે.

અંગ્રેજી:વિકિપીડિયા સાઇટને વધુ સુરક્ષિત બનાવી રહ્યું છે. તમે જૂના વેબ બ્રાઉઝરનો ઉપયોગ કરી રહ્યાં છો કે જે ભવિષ્યમાં વિકિપીડિયા સાથે કનેક્ટ થઈ શકશે નહીં. કૃપા કરીને તમારું ઉપકરણ અપડેટ કરો અથવા તમારા IT વ્યવસ્થાપકનો સંપર્ક કરો.

中文: 以下提供更长,更具技术性的更新（仅英语）.

સ્પૅનિશ:વિકિપીડિયા está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. વાસ્તવિકતા સુ ડિપોઝિટિવ અથવા સુ એડમિનિસ્ટ્રેડર માહિતીનો સંપર્ક કરો. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

ફ્રાન્સ: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplementaires plus technics et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ????す るか情報は以下に英語で提供しています.

જર્મન: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

ઇટાલિયન: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. સ્ટે યુસેન્ડો અન બ્રાઉઝર વેબ ચે નોન સારા ઇન ગ્રેડો ડી કોન્નેટરસી એ વિકિપીડિયા ઇન ફ્યુચરો. તરફેણમાં, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

મગ્યાર: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

સ્વેન્સ્કા:વિકિપીડિયા gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. IT-administratör સાથે સંપર્ક કરવા માટે અપડેટ કરો. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

અમે અસુરક્ષિત TLS પ્રોટોકોલ સંસ્કરણો, ખાસ કરીને TLSv1.0 અને TLSv1.1 માટેના સમર્થનને દૂર કરી રહ્યા છીએ, જેના પર તમારું બ્રાઉઝર સૉફ્ટવેર અમારી સાઇટ્સ સાથે કનેક્ટ થવા માટે આધાર રાખે છે. આ સામાન્ય રીતે જૂના બ્રાઉઝર અથવા જૂના Android સ્માર્ટફોનને કારણે થાય છે. અથવા તે કોર્પોરેટ અથવા વ્યક્તિગત "વેબ સિક્યુરિટી" સોફ્ટવેરની દખલગીરી હોઈ શકે છે, જે વાસ્તવમાં કનેક્શન સુરક્ષાને ડાઉનગ્રેડ કરે છે.

અમારી સાઇટ્સને ઍક્સેસ કરવા માટે તમારે તમારું વેબ બ્રાઉઝર અપગ્રેડ કરવું પડશે અથવા અન્યથા આ સમસ્યાને ઠીક કરવી પડશે. આ સંદેશ 1 જાન્યુઆરી, 2020 સુધી રહેશે. તે તારીખ પછી, તમારું બ્રાઉઝર અમારા સર્વર સાથે કનેક્શન સ્થાપિત કરી શકશે નહીં.

સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં, કોઈપણ સ્કેલ પરિબળ માટે એક બિંદુ લખવામાં આવે છે. તદુપરાંત, જો કોઈ બિંદુને સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં તેનું પ્રતિનિધિત્વ આપવામાં આવે, તો તેના દ્વિ-પરિમાણીય કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ અને તરીકે શોધી શકાય છે.

સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ભૌમિતિક અર્થ નીચે મુજબ છે (ફિગ. 6). એક લીટી પર મનસ્વી બિંદુ

ચોખા. 6. સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સનું ભૌમિતિક અર્થઘટન

આમ, કોઓર્ડિનેટ્સ (x, y) સાથેના ઉત્પાદક બિંદુ અને ફોર્મની સંખ્યાના ત્રિવિધ સમૂહ (W×x, W×y, W), W≠0 વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત થાય છે, જે પરવાનગી આપે છે. આપણે આ બિંદુના Wxx, Wxy, W નવા કોઓર્ડિનેટ્સને ધ્યાનમાં લઈએ. આમ, સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સને ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં સમતલ z = W (અહીં z = 1) માં પરિબળ W દ્વારા માપવામાં આવેલા દ્વિ-પરિમાણીય સમતલના એમ્બેડિંગ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

એકરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ સરળ સમસ્યાઓને પણ હલ કરતી વખતે અનુકૂળ હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

જો ડિસ્પ્લે ઉપકરણ માત્ર પૂર્ણાંકો સાથે કામ કરે છે (અથવા જો તે માત્ર પૂર્ણાંકો સાથે જ કામ કરવા માટે જરૂરી છે), તો પછી W ના મનસ્વી મૂલ્ય માટે (ઉદાહરણ તરીકે, W=1) સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ (0.5; 0.1; 2.5) સાથેનો બિંદુ હોઈ શકતો નથી. રજૂ કરે છે. જો કે, W ની વાજબી પસંદગી સાથે, આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ પૂર્ણાંકો છે તેની ખાતરી કરવી શક્ય છે. ખાસ કરીને, વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણ માટે W=10 સાથે અમારી પાસે (5; 1; 25) છે.

બીજો કેસ. રૂપાંતરણ પરિણામોને અંકગણિત ઓવરફ્લો તરફ દોરી જતા રોકવા માટે, કોઓર્ડિનેટ્સ (80000; 40000; 1000) સાથેના બિંદુ માટે, તમે ઉદાહરણ તરીકે, W=0.001 લઈ શકો છો. પરિણામે, અમને (80; 40; 1) મળે છે.

જો કે, સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સનો મુખ્ય ઉપયોગ ભૌમિતિક પરિવર્તનો છે, કારણ કે સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ અને ત્રીજા ક્રમના મેટ્રિસેસના ત્રિપુટીઓની મદદથી, પ્લેનમાં કોઈપણ સંલગ્ન રૂપાંતરણનું વર્ણન કરી શકાય છે. એ જ રીતે, એકરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ અને ચોથા ક્રમના મેટ્રિસિસના ચાર ગણો ઉપયોગ કરીને, તમે ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં કોઈપણ પરિવર્તનનું વર્ણન કરી શકો છો.

જેમ જાણીતું છે, મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં અનુવાદ, સ્કેલિંગ અને પરિભ્રમણ પરિવર્તન આ રીતે લખવામાં આવે છે

P' = P × S;

અનુવાદને સ્કેલિંગ અને પરિભ્રમણ (ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને) થી અલગથી (ઉમેરીને) લાગુ કરવામાં આવે છે. જો આપણે સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં બિંદુઓને વ્યક્ત કરીએ, તો ત્રણેય પરિવર્તનો ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને સાકાર કરી શકાય છે. અહીં આપણે 2D પરિવર્તનો જોઈશું.

પરિવહન સમીકરણો નીચે પ્રમાણે સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સના ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે:

P' = P × T(dx, dy),

.

કેટલીકવાર આવા અભિવ્યક્તિઓ નીચે મુજબ લખવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ તરીકે, ડબલ પોઈન્ટ અનુવાદને ધ્યાનમાં લો. બિંદુ P ને બિંદુ P’ થી અંતરે (dx1, dy1) અને પછી P’ પર અંતરે (dx2, dу2) ખસેડવાનું જરૂરી થવા દો. કુલ ટ્રાન્સફર અંતર (dх1+d2, dу1+dу2) જેટલું હોવું જોઈએ. ચાલો ફોર્મમાં ડેટા લખીએ

P’ = P × T (dx1, dy1);

P'' = P' × T (dx2, dy2).

પ્રથમ સૂત્રને બીજામાં બદલીને, આપણને મળે છે

P’ = P × (T (dx1, dy1) × T (dx2, dy2)).

મેટ્રિક્સ ઉત્પાદન T (dx1, dy1) ∙ T (dx2, dy2) છે

આમ, પરિણામી ટ્રાન્સફર છે (dx1+dx2, dy1+dy2), એટલે કે. ક્રમિક કેરી એડિટિવ છે.

સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં સ્કેલિંગ સમીકરણો આ રીતે લખવામાં આવે છે

,

.

P’ = P’ × S(Sx, Sy).

મેટ્રિક્સ ઉત્પાદન S(Sx1, Sy1) × S(Sx2, Sy2) છે

આમ, ક્રમિક સ્કેલિંગ ગુણાકાર છે.

છેલ્લે, પરિભ્રમણ સમીકરણ (જમણા હાથની સિસ્ટમમાં) તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

.

અનુગામી પરિભ્રમણ ઉમેરણ છે.

સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને 2D પરિવર્તનની રચના. મેટ્રિક્સ ઉત્પાદનને વિવિધ કેસોમાં કહેવામાં આવે છે જોડાણ, જોડાણ, જોડાણઅને રચના. અમે સૂચિબદ્ધ શરતોમાંથી છેલ્લીનો ઉપયોગ કરીશું.

ઉદાહરણ તરીકે, કેટલાક મનસ્વી બિંદુ P1 ને સંબંધિત ઑબ્જેક્ટનું પરિભ્રમણ ધ્યાનમાં લો. કારણ કે આપણે ફક્ત મૂળની આસપાસ કેવી રીતે ફેરવવું તે જાણીએ છીએ, અમે મૂળ સમસ્યાને ત્રણ પેટા સમસ્યાઓમાં વહેંચીએ છીએ:

અનુવાદ, જેમાં બિંદુ P1 મૂળમાં ખસેડવામાં આવે છે;

વળવું;

એક અનુવાદ જેમાં મૂળમાંથી એક બિંદુ તેની મૂળ સ્થિતિ P1 પર પાછો આવે છે.

આ પરિવર્તનનો ક્રમ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 7.1.

ચોખા. 7.1. ઑબ્જેક્ટને અમુક મનસ્વી બિંદુ વિશે ફેરવો

પરિણામી રૂપાંતર જેવો દેખાય છે

સમાન અભિગમનો ઉપયોગ કરીને, તમે મનસ્વી બિંદુ P1 થી સંબંધિત ઑબ્જેક્ટને સ્કેલ કરી શકો છો: P1 ને મૂળ તરફ ખસેડો, તેને સ્કેલ કરો, તેને બિંદુ P1 પર પાછા ખસેડો. આ કિસ્સામાં પરિણામી પરિવર્તન જેવો દેખાશે

ચાલો વધુ જટિલ પરિવર્તનને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો ધારીએ કે આપણે ઇચ્છિત સ્થાન (ફિગ. 7.2 માં ઘર), જ્યાં પરિભ્રમણ અને સ્કેલિંગનું કેન્દ્ર બિંદુ P1 છે ત્યાં ઑબ્જેક્ટને માપવા, ફેરવવાની અને સ્થિત કરવાની જરૂર છે.

ચોખા. 7.2. રૂપાંતર ક્રમ ઉદાહરણ

રૂપાંતરણના ક્રમમાં બિંદુ P1 ને મૂળ તરફ ખસેડવું, સ્કેલિંગ કરવું અને ફરવું, અને પછી મૂળમાંથી નવી સ્થિતિ P2 પર ખસેડવું શામેલ છે. એપ્લિકેશન પ્રોગ્રામ ડેટા સ્ટ્રક્ચર કે જેમાં આ ટ્રાન્સફોર્મેશન હોય છે તેમાં સ્કેલ ફેક્ટર(ઓ), રોટેશન એંગલ અને ટ્રાન્સલેશનની માત્રા શામેલ હોઈ શકે છે અથવા પરિણામી ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ લખવામાં આવી શકે છે:

T (-x1, -y1) × S (Sx, Sy) × R (A) × T (x2, y2).

સામાન્ય રીતે, મેટ્રિક્સ ગુણાકાર બિન-વિનિમયાત્મક છે. જો M1 અને M2 પ્રાથમિક અનુવાદ, સ્કેલિંગ અથવા પરિભ્રમણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, તો નીચેના વિશેષ કેસોમાં કોમ્યુટેટીવીટી ધરાવે છે:

આર, એસ અને ટી ઓપરેશન્સથી બનેલા સૌથી સામાન્ય સ્વરૂપની રચનામાં મેટ્રિક્સ હોય છે

તેનો ટોચનો 2 × 2 ભાગ સંયુક્ત પરિભ્રમણ અને સ્કેલિંગ મેટ્રિક્સ છે, જ્યારે tx અને ty ચોખ્ખા અનુવાદનું વર્ણન કરે છે. P∙M ની ગણતરી વેક્ટર અને 3 × 3 મેટ્રિક્સના ઉત્પાદન તરીકે કરવા માટે, 9 ગુણાકારની ક્રિયાઓ અને 6 વધારાની ક્રિયાઓ જરૂરી છે. સામાન્યીકૃત મેટ્રિક્સના છેલ્લા સ્તંભનું માળખું અમને કરવામાં આવેલ વાસ્તવિક ક્રિયાઓને સરળ બનાવવા માટે પરવાનગી આપે છે.

પ્રથમ, ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ કે પરિવર્તન શું છે? ચાલો કહીએ કે અમારી પાસે એક મોડેલ છે (સરળતા માટે, તેને ત્રિકોણ બનવા દો). અને ત્રણ કોઓર્ડિનેટ સ્પેસ: ઑબ્જેક્ટ સ્પેસ (જેમાં આ ત્રિકોણનું વર્ણન છે), વર્લ્ડ સ્પેસ અને કેમેરા સ્પેસ. તેથી, રૂપાંતર એ એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (ઓબ્જેક્ટ) માં સ્થિત ઑબ્જેક્ટના કોઓર્ડિનેટ્સની અભિવ્યક્તિ છે, જે અન્ય કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (પ્રથમ વિશ્વ અને પછી ચેમ્બર) ના કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરે છે.

મેં પહેલા લખ્યું તેમ, વિવિધ કોઓર્ડિનેટ સ્પેસનો ઉપયોગ વર્ચ્યુઅલ વર્લ્ડ બનાવવાનું સરળ બનાવે છે. ઑબ્જેક્ટ ઑબ્જેક્ટ સ્પેસમાં બનાવવામાં આવે છે, અને દરેક ઑબ્જેક્ટની પોતાની સંકલન જગ્યા હોય છે. વર્લ્ડ સ્પેસ વર્ચ્યુઅલ વિશ્વના તમામ ઑબ્જેક્ટ્સને જોડે છે અને તમને ખૂબ જ મુશ્કેલ વસ્તુઓને ખૂબ જ સરળ બનાવવા માટે પરવાનગી આપે છે (ઉદાહરણ તરીકે, ફરતી વસ્તુઓ). દ્રશ્ય બનાવ્યા પછી અને તમામ ઑબ્જેક્ટ ખસેડવામાં આવ્યા પછી, વિશ્વ કોઓર્ડિનેટ્સ કેમેરા કોઓર્ડિનેટ સ્પેસમાં રૂપાંતરિત થાય છે. અમે ફક્ત એક કેમેરાનો ઉપયોગ કરીશું, પરંતુ વાસ્તવિક જીવનની પરિસ્થિતિઓમાં ઘણા બનાવવાનું શક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, કેટલાક કેમેરાનો ઉપયોગ બ્રિલિયન્ટ ગેમ અર્થ 2150: એસ્કેપ ફ્રોમ ધ બ્લુ પ્લેનેટમાં કરવામાં આવ્યો હતો.

તો હું શેના વિશે વાત કરી રહ્યો છું: બહુવિધ કોઓર્ડિનેટ સ્પેસનો ઉપયોગ કરવા માટે પરિવર્તન જરૂરી છે.

પ્રથમ, ચાલો વેક્ટર વિશે કંઈક યાદ કરીએ. નીચેની આકૃતિ અમને આમાં મદદ કરશે:

આપણે અહીં શું જોઈએ છીએ: x, y, z અક્ષો દ્વારા રચાયેલી વિશ્વ સંકલન જગ્યા. એકમ વેક્ટર i, j, kવિશ્વ સંકલન અવકાશના એકમ વેક્ટર અથવા આધાર વેક્ટર કહેવાય છે. આ વેક્ટરના સરવાળાનો ઉપયોગ કરીને, તમે વિશ્વ સંકલન અવકાશમાં કોઈપણ વેક્ટર મેળવી શકો છો.

વિ- એક વેક્ટર જે વિશ્વ કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ અને ઑબ્જેક્ટ કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળને જોડે છે. વેક્ટર v ની લંબાઈ વિશ્વ કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ અને ઑબ્જેક્ટ કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ વચ્ચેના અંતર જેટલી છે. વેક્ટર ફોર્મનો વિચાર કરો વિ=(5,2,5):

મેં ઉપર લખ્યું તેમ, આધાર વેક્ટરની મદદથી તમે આપેલ જગ્યાના કોઈપણ બિંદુ (વેક્ટર)ને રજૂ કરી શકો છો, જે આ સમીકરણ દર્શાવે છે.

વેક્ટર્સ પી,q,આર- ઑબ્જેક્ટ સ્પેસના આધાર વેક્ટર. મહેરબાની કરીને પેલું નોંધો i,j,kજરૂરી નથી કે સમાન હશે પી,q,આર.

આ આકૃતિમાં, મેં સંખ્યાબંધ વિગતોને છોડી દીધી છે: ઑબ્જેક્ટ કોઓર્ડિનેટ સ્પેસમાં, ત્રણ બિંદુઓ ઉલ્લેખિત છે જે ત્રિકોણ બનાવે છે. વધુમાં, મેં કૅમેરાને સૂચવ્યો નથી, જે ત્રિકોણ તરફ નિર્દેશિત છે.

મેટ્રિસિસનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સંકલન પરિવર્તન

પ્રથમ, ચાલો એકમ વેક્ટર જોઈએ i,j,k, જે દિશામાં વિશ્વ અવકાશના સંકલન અક્ષો સાથે મેળ ખાય છે અને તેને વિશ્વ અવકાશના એકમ વેક્ટર અથવા આધાર વેક્ટર કહેવામાં આવે છે.

ચાલો આ વેક્ટર્સને સંકલન સ્વરૂપમાં મેટ્રિસિસ તરીકે લખીએ:

અહીં વેક્ટર્સ 1x3 મેટ્રિસિસ (પંક્તિ મેટ્રિસિસ) દ્વારા રજૂ થાય છે.

આપણે એક મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને આ આધારભૂત વેક્ટર લખી શકીએ છીએ:

અને તે પણ, શું વધુ મહત્વનું છે, આપણે આ વેક્ટર્સને આ રીતે લખી શકીએ છીએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, પરિણામ 3x3 અથવા 4x4 કદનું એકમ મેટ્રિક્સ છે.

એવું લાગે છે કે તેમાં ખોટું શું છે? જરા વિચારો, એક મેટ્રિક્સમાં અવકાશના કેટલાક મૂર્ખ આધાર વેક્ટર લખવાનું શક્ય છે. પરંતુ ના, તમે "વિચારશો નહીં" !!! આ તે છે જ્યાં 3D પ્રોગ્રામિંગનું એક સૌથી ભયંકર રહસ્ય છુપાયેલું છે.

મેં ઉપર લખ્યું તેમ, વર્ચ્યુઅલ વિશ્વમાં હાજર કોઈપણ બિંદુ વેક્ટર સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે:

જ્યાં વિ- અવકાશમાં બિંદુ, x,y,z - બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ વિ, એ i,j,k- અવકાશના આધાર વેક્ટર. નોંધ લો કે આપણે અહીં એક બિંદુ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, પરંતુ આપણે વેક્ટરને જોઈ રહ્યા છીએ. હું આશા રાખું છું કે તમે યાદ રાખો કે વેક્ટર અને બિંદુ અનિવાર્યપણે સમાન વસ્તુ છે.

ઉપરોક્ત સૂત્રને વેક્ટરનું વેક્ટર સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે. બીજું નામ છે - વેક્ટર્સનું રેખીય સંયોજન. આ સાચું છે, માર્ગ દ્વારા.

હવે ચાલો ફરી વેક્ટર જોઈએ વિ. ચાલો તેને એક પંક્તિ મેટ્રિક્સમાં લખીએ: વિ = [ 5 2 5 ]

નોંધ કરો કે વેક્ટર લંબાઈ વિવિશ્વ સંકલન અવકાશની ઉત્પત્તિથી ઑબ્જેક્ટ કોઓર્ડિનેટ સ્પેસની ઉત્પત્તિ સુધીનું અંતર છે.

ચાલો આ વેક્ટરને મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવાનો પ્રયાસ કરીએ જેમાં વિશ્વ અવકાશના આધાર વેક્ટર લખેલા હોય (મને આશા છે કે તમને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સૂત્ર યાદ હશે):

પરિણામે, અમને નીચેના સમીકરણ મળે છે:

અમને વેક્ટર મળ્યો. તે. વેક્ટરને મેટ્રિક્સ વડે ગુણાકાર કરવાનું પરિણામ વેક્ટર છે. આ કિસ્સામાં, વેક્ટર બદલાયો નથી. પરંતુ જો મેટ્રિક્સના તત્વો (મુખ્ય કર્ણ પર) અને શૂન્ય (અન્ય તમામ ઘટકો) ના હોય, પરંતુ કેટલીક અન્ય સંખ્યાઓ હોય, તો વેક્ટર બદલાશે. તેથી, આપણે કહી શકીએ કે મેટ્રિક્સ M કોઓર્ડિનેટ સ્પેસનું રૂપાંતરણ કરે છે. સામાન્ય સૂત્ર ધ્યાનમાં લો:

a, b વેક્ટર છે, M એ કોઓર્ડિનેટ સ્પેસનું ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ છે. સૂત્ર નીચે પ્રમાણે વાંચી શકાય છે: "મેટ્રિક્સ M બિંદુ a થી બિંદુ b માં પરિવર્તિત થાય છે."

સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. આપણે કોઓર્ડિનેટ્સને ઓબ્જેક્ટ સ્પેસ (p,q) થી વર્લ્ડ સ્પેસ (i,j) માં કન્વર્ટ કરવાની જરૂર છે:

i,j- વિશ્વ અવકાશના મૂળભૂત વેક્ટર, પી,q- ઑબ્જેક્ટ સ્પેસના આધાર વેક્ટર. ચિત્રમાં તમે જોઈ શકો છો કે ઑબ્જેક્ટ કોઓર્ડિનેટ સ્પેસ z અક્ષની આસપાસ -45 ડિગ્રી દ્વારા ફેરવાય છે (તે ચિત્રમાં દેખાતું નથી). વધુમાં, વેક્ટર્સ q,પી 1.5 ગણા વધુ વેક્ટર i,j, જેનો અર્થ છે કે ઑબ્જેક્ટ સ્પેસમાં વ્યાખ્યાયિત વસ્તુઓ વિશ્વ અવકાશમાં દોઢ ગણી નાની દેખાશે.

ઑબ્જેક્ટ સ્પેસ મૉડલ પરિવર્તન પછી કેવી રીતે દેખાશે તેની કલ્પના કરવા માટે, તમે વેક્ટર માટે એક ફ્રેમ ઉમેરી શકો છો i,j:

માટે તમે સમાન ફ્રેમ દોરી શકો છો પી,q, પરંતુ મેં ડ્રોઇંગને ગડબડ કરી ન હતી.

હવે, ચાલો કહીએ કે આપણે પદાર્થ અવકાશમાં ત્રિકોણ દોર્યું છે (ફિગ. a). વિશ્વ અવકાશમાં, આ ત્રિકોણ 45 ડિગ્રીથી ફેરવાશે અને ત્રીજા ભાગથી ઘટશે (ફિગ. b):

હવે ચાલો કોયડાના તમામ ઘટકો એકત્રિત કરીએ: જેમ આપણે જાણીએ છીએ, રૂપાંતરણ મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. મેટ્રિસિસની પંક્તિઓ આધાર વેક્ટર છે. ઑબ્જેક્ટ સ્પેસમાં વિશ્વના બેઝિસ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ નીચે મુજબ છે:

અમે કોઓર્ડિનેટ્સ કેવી રીતે શોધી શક્યા? પ્રથમ, આપણે જાણીએ છીએ કે કોઓર્ડિનેટ સ્પેસ એકબીજાની સાપેક્ષમાં 45 ડિગ્રી દ્વારા ફેરવાય છે. બીજું, ઑબ્જેક્ટ સ્પેસ બેઝિસ વેક્ટર્સ વર્લ્ડ સ્પેસ બેઝિસ વેક્ટર કરતાં 1.5 ગણા લાંબા હોય છે. આ જાણીને, અમે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સની સરળતાથી ગણતરી કરી i,j.

પરિણામે, અમને નીચેનું રૂપાંતર મેટ્રિક્સ મળે છે (આ કિસ્સામાં, પરિભ્રમણ અથવા પરિભ્રમણ):

અથવા ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં:

બધા મૂલ્યો અંદાજિત છે.

ઑબ્જેક્ટ સ્પેસથી ઇનર્શિયલ સ્પેસમાં કોઓર્ડિનેટ્સ રૂપાંતરિત કરવા માટે આ એક મેટ્રિક્સ છે (હું તમને યાદ કરાવું છું કે જડતા અવકાશના આધાર વેક્ટર વિશ્વ અવકાશના આધાર વેક્ટર સાથે સુસંગત છે). ત્રિકોણને ઑબ્જેક્ટ સ્પેસમાંથી ઇનર્શિયલ સ્પેસમાં કન્વર્ટ કરવા માટે, તમારે ત્રિકોણના તમામ બિંદુઓ (વેક્ટર્સ) ને ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

છેલ્લા ઉદાહરણમાં, અમે બે પરિવર્તનનો સામનો કર્યો: પરિભ્રમણ અને સ્કેલિંગ. આ બંને પરિવર્તન રેખીય છે.

હવે જ્યારે આપણે રેખીય પરિવર્તનના ઉદાહરણો જોયા છે, તો આપણે વ્યાખ્યાથી પરિચિત થઈ શકીએ છીએ:

લીનિયર ટ્રાન્સફોર્મેશન એ કોઓર્ડિનેટ ટ્રાન્સફોર્મેશન છે જે સ્પેસને વિકૃત કરતા નથી. તે. બધી સમાંતર રેખાઓ સમાંતર રહે છે (જોકે એક અપવાદ છે). અથવા તદ્દન સરળ રીતે: રેખીય પરિવર્તન સાથે, ત્રિકોણ ક્યારેય વર્તુળ અથવા ચોરસમાં ફેરવાશે નહીં, પરંતુ હંમેશા ત્રિકોણ રહેશે.

હવે જ્યારે આપણે લગભગ સમજીએ છીએ કે રેખીય પરિવર્તન શું છે, ચાલો ચોક્કસ સૂત્રો જોઈએ:

સ્કેલ

k 1,k 2,k 3 - માપન પરિબળો. જો k 1, પદાર્થો વધે છે.

પરિભ્રમણ

x અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણ:

y અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણ:

z અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણ:

માર્ગ દ્વારા, તે આ મેટ્રિક્સ છે (z અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણનું) જેનો આપણે ઉપર ઉપયોગ કર્યો છે.

પરિભ્રમણ માત્ર કોઓર્ડિનેટ સ્પેસ બનાવતી અક્ષોની આસપાસ જ નહીં, પણ મનસ્વી સીધી રેખાઓની આસપાસ પણ હોઈ શકે છે. મનસ્વી સીધી રેખાની આસપાસ પરિભ્રમણ માટેનું સૂત્ર ખૂબ જટિલ છે, અમે હજી તેને ધ્યાનમાં લેવા તૈયાર નથી.

તમારે ઉપરથી યાદ રાખવાની સૌથી મહત્વની બાબત આ છે: ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સની પંક્તિઓમાં નવા કોઓર્ડિનેટ સ્પેસના બેઝિક વેક્ટર હોય છે, જે જૂના કોઓર્ડિનેટ સ્પેસના કોઓર્ડિનેટ્સના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. .

જો તમે આ સાદી વાતને સમજો છો (કે મેટ્રિક્સમાં નવી જગ્યાના આધાર વેક્ટર હોય છે), તો પછી ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સને જોતા, તમે સરળતાથી નવી કોઓર્ડિનેટ સ્પેસ જોઈ શકો છો.

અને છેલ્લી વસ્તુ:
લીનિયર ટ્રાન્સફોર્મેશન ઓબ્જેક્ટને ખસેડી શકતા નથી. તે. ઑબ્જેક્ટ્સને મોટું/ઘટાડી શકાય છે, તેને ફેરવી શકાય છે, પરંતુ તે સ્થિર રહેશે.

Affine પરિવર્તનો

Affine ટ્રાન્સફોર્મેશન એ અનુવાદ સાથે રેખીય રૂપાંતરણ છે. અફાઈન ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ઉપયોગ કરીને તમે વસ્તુઓને ખસેડી શકો છો.

સૂત્ર ખૂબ જ સરળ છે:

A = bM + v;

જ્યાં b એ પ્રારંભિક બિંદુ છે, M એ લીનિયર ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ છે, a એ ટ્રાન્સફોર્મ પોઈન્ટ છે અને v એ બે જગ્યાઓને જોડતો વેક્ટર છે. અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે એક વેક્ટર છે જેની લંબાઈ બે સંકલન જગ્યાઓ વચ્ચેના અંતર જેટલી છે.

પાઠની શરૂઆતમાં ચિત્રમાં, તે સંલગ્ન રૂપાંતર છે જેની જરૂર છે: પ્રથમ, ઑબ્જેક્ટ સ્પેસથી ઇનર્શિયલ સ્પેસમાં રેખીય રૂપાંતર, અને પછી વેક્ટર v નો ઉપયોગ કરીને ઑબ્જેક્ટ સ્પેસના તમામ બિંદુઓનું વિશ્વ અવકાશમાં સ્થાનાંતરણ.

3D ગ્રાફિક્સ પ્રોગ્રામિંગમાં ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે, 4D વેક્ટર, 4x4 મેટ્રિસિસ અને કહેવાતા સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ચોથું પરિમાણ કોઈ ભૂમિકા ભજવતું નથી; તે ફક્ત ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે રજૂ કરવામાં આવ્યું છે.

ચાર-પરિમાણીય વેક્ટર, જેમ તમે અનુમાન કર્યું હશે, ચાર ઘટકોનો ઉપયોગ કરે છે: x, y, z અને w. વેક્ટરના ચોથા ઘટકને સજાતીય સંકલન કહેવામાં આવે છે.

ભૌમિતિક રીતે સજાતીય સંકલનનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું ખૂબ જ મુશ્કેલ છે. તેથી, અમે કોઓર્ડિનેટ્સ (x,y,w) સાથે ત્રિ-પરિમાણીય સજાતીય જગ્યાને ધ્યાનમાં લઈશું. ચાલો કલ્પના કરીએ કે દ્વિ-પરિમાણીય સમતલ બિંદુ w=1 પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. તદનુસાર, દ્વિ-પરિમાણીય બિંદુ નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ (x,y,1) દ્વારા સજાતીય જગ્યામાં રજૂ થાય છે. અવકાશના તમામ બિંદુઓ જે પ્લેનમાં નથી (તે પ્લેનમાં છે જ્યાં w != 1) દ્વિ-પરિમાણીય પ્લેન પર પ્રોજેક્ટ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે. આ કરવા માટે, તમારે આ બિંદુના તમામ ઘટકોને સજાતીયમાં વિભાજીત કરવાની જરૂર છે. તે. જો w!=1, "ભૌતિક" માં (જ્યાં આપણે કામ કરીએ છીએ અને જ્યાં w=1) બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નીચે પ્રમાણે હશે: (x/w,y/w,w/w) અથવા (x/w ,y/w ,1). તસ્વીર સામે જો:

વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ નીચે મુજબ છે:

V 1 = [ 3 3 3 ] v 2 = [ 3 1 0 ] v 3 = [ 3 -2 -2 ]

આ વેક્ટર્સ નીચે પ્રમાણે "ભૌતિક" પ્લેન (w=1) પર પ્રક્ષેપિત છે:

V 1 = [ 1 1 1 ] v 3 = [ -1.5 1 1 ]

આકૃતિ ત્રણ વેક્ટર બતાવે છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે જ્યારે કોઈ બિંદુ w=0 સમતલમાં આવેલું હોય, ત્યારે આ બિંદુ ભૌતિક સમતલ (વેક્ટર v 2) પર પ્રક્ષેપિત કરી શકાતું નથી.

ભૌતિક સમતલ પરના દરેક બિંદુ માટે, સજાતીય જગ્યામાં અસંખ્ય બિંદુઓ છે.

ચાર-પરિમાણીય અવકાશમાં બધું બરાબર સમાન છે. અમે ભૌતિક જગ્યામાં કામ કરીએ છીએ જ્યાં w = 1: (x,y,z,1). જો, ગણતરીના પરિણામે, w != 1, તો તમારે બિંદુના તમામ કોઓર્ડિનેટ્સને સજાતીયમાં વિભાજીત કરવાની જરૂર છે: (x/w,y/w,z/w,w/w) અથવા (x/ w,y/w,z/w,1 ). એક ખાસ કેસ પણ છે જ્યારે w = 0. આપણે આને પછી જોઈશું.

હવે ચાલો પ્રેક્ટિસ તરફ આગળ વધીએ: શા માટે આપણને સજાતીય સંકલનની જરૂર છે?

જેમ આપણે પહેલાથી જ શોધી કાઢ્યું છે, 3x3 મેટ્રિક્સ રેખીય પરિવર્તનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, એટલે કે. તેમાં સ્થાનાંતરણ (ચળવળ) શામેલ નથી. ટ્રાન્સફર માટે એક અલગ વેક્ટરનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે (અને આ એક અફાઈન ટ્રાન્સફોર્મેશન છે):

V = aM + b

તે. આપણે ઇનર્શિયલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ પર જવા માટે ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ M દ્વારા ઑબ્જેક્ટના તમામ બિંદુઓ (વેક્ટર્સ) નો ગુણાકાર કરીએ છીએ (જેના આધાર વેક્ટર વિશ્વ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના આધાર વેક્ટર સાથે મેળ ખાય છે), અને પછી આપણે વેક્ટર b નો ઉપયોગ કરીને વિશ્વ અવકાશમાં પહોંચીએ છીએ. . ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે વેક્ટર b ઑબ્જેક્ટ સ્પેસની શરૂઆત અને વર્લ્ડ સ્પેસની શરૂઆતને જોડે છે.

તેથી, ચાર પરિમાણોનો ઉપયોગ કરીને, તમે એક મેટ્રિક્સમાં રેખીય પરિવર્તન (રોટેશન, સ્કેલિંગ) અને અનુવાદ બંનેને ક્રેમ કરી શકો છો.

ચાલો કલ્પના કરીએ કે ચોથો ઘટક હંમેશા એક સમાન હોય છે (જોકે આપણે પહેલેથી જ શોધી કાઢ્યું છે કે આવું નથી). હવે રેખીય પરિવર્તન 4x4 મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરી શકાય છે:

ચાલો ચાર-પરિમાણીય અવકાશમાં ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ દ્વારા વેક્ટર્સનો ગુણાકાર કરવા માટેના સૂત્રને જોઈએ:

V x = (xi x + yj x + zk x + w*0) v y = (xi y + yj y + zk y + w*0) v z = (xi z + yj z + zk z + w*0) v w = (x*0 + y*0 + z*0 + w*1) જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ, 4x4 મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતરિત વેક્ટરના ઘટકો 3x3 મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતરિત વેક્ટરના ઘટકો સમાન છે. ચોથો ઘટક, જેમ આપણે સંમત થયા છીએ, તે હંમેશા એક સમાન હશે, તેથી તેને ખાલી કાઢી શકાય છે. તેથી, આપણે કહી શકીએ કે 3x3 અને 3x4 કદના મેટ્રિસિસ દ્વારા હાથ ધરવામાં આવેલા પરિવર્તનો સમાન છે.

હવે ચાલો ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સ જોઈએ:

આ મેટ્રિક્સ દ્વારા ઑબ્જેક્ટ સ્પેસમાંથી કોઈપણ વેક્ટરનો ગુણાકાર કરો (પાઠની શરૂઆતમાં આકૃતિ જુઓ) અને તમે આ વેક્ટરને વર્લ્ડ કોઓર્ડિનેટ સ્પેસમાં વ્યક્ત કરી શકો છો (આ તે છે જો ઑબ્જેક્ટ અને વર્લ્ડ સ્પેસના આધાર વેક્ટર સમાન હોય).

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે આ પણ એક રેખીય પરિવર્તન છે, માત્ર ચાર-પરિમાણીય અવકાશમાં.

મેટ્રિક્સ ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરીને આપણે પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સ અને અનુવાદ મેટ્રિક્સને જોડી શકીએ છીએ:

આ છેલ્લું મેટ્રિક્સ તે જ છે જેની આપણને શરૂઆતથી જ જરૂર હતી. તમને તેના તમામ ઘટકોનો બરાબર અર્થ શું થાય છે તેની સારી સમજ હોવી જોઈએ (4થી કૉલમના અપવાદ સિવાય).