વિષય નંબર 2.

બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર

આઈ. સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી

મૂળભૂત ખ્યાલો

બીજગણિત અભિવ્યક્તિ: પૂર્ણાંક, અપૂર્ણાંક, તર્કસંગત, અતાર્કિક.

વ્યાખ્યાનો અવકાશ, માન્ય અભિવ્યક્તિ મૂલ્યો.

બીજગણિત અભિવ્યક્તિનો અર્થ.

એકપદી, બહુપદી.

સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો.

અવયવીકરણ, સામાન્ય પરિબળને કૌંસની બહાર મૂકીને.

અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત.

ડિગ્રી, ડિગ્રીના ગુણધર્મો.

કોર્ટીમ, મૂળના ગુણધર્મો.

તર્કસંગત અને અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન.

સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર, તર્કસંગત શક્તિમાં વધારો, મૂળ કાઢવા અને કૌંસનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાઓ અને ચલોની બનેલી અભિવ્યક્તિ કહેવાય છે. બીજગણિત

ઉદાહરણ તરીકે: ;
;
;

;
;
;
.

જો બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિમાં ચલોમાં વિભાજન ન હોય અને ચલોના મૂળ (ખાસ કરીને, અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ઘાતમાં વધારો) ન હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે. સમગ્ર

ઉદાહરણ તરીકે:
;
;
.

જો બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિમાં સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર, પ્રાકૃતિક ઘાતાંક અને ભાગાકાર સાથે ઘાતાંકની ક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાઓ અને ચલોની બનેલી હોય અને ચલ સાથેની સમીકરણોમાં વિભાજનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે, તો તેને કહેવામાં આવે છે. અપૂર્ણાંક.

ઉદાહરણ તરીકે:
;
.

પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક સમીકરણો કહેવામાં આવે છે તર્કસંગતઅભિવ્યક્તિઓ

ઉદાહરણ તરીકે: ;
;

.

જો બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિમાં ચલોના મૂળ લેવાનો સમાવેશ થાય છે (અથવા ચલોને અપૂર્ણાંક શક્તિમાં વધારવું), તો આવી બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિ કહેવામાં આવે છે. અતાર્કિક

ઉદાહરણ તરીકે:
;
.

ચલોના મૂલ્યો કે જેના માટે બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ બને છે તેને કહેવામાં આવે છે માન્ય ચલ મૂલ્યો.

ચલોના તમામ સંભવિત મૂલ્યોના સમૂહને કહેવામાં આવે છે વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર.

સંપૂર્ણ બીજગણિત અભિવ્યક્તિની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.

અપૂર્ણાંક બીજગણિત અભિવ્યક્તિની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે સિવાય કે જે છેદને શૂન્ય બનાવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે: અર્થમાં જ્યારે
;

જ્યારે અર્થ થાય છે
, એટલે કે જ્યારે
.

અતાર્કિક બીજગણિત અભિવ્યક્તિની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે, સિવાય કે જે સમ શક્તિના મૂળના ચિહ્ન હેઠળ અથવા અપૂર્ણાંક શક્તિમાં વધારો કરવાના સંકેત હેઠળ અભિવ્યક્તિને નકારાત્મક સંખ્યામાં ફેરવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે:
જ્યારે અર્થ થાય છે
;

જ્યારે અર્થ થાય છે
, એટલે કે જ્યારે
.

ચલોના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોને બીજગણિત અભિવ્યક્તિમાં બદલીને મેળવેલા આંકડાકીય મૂલ્ય કહેવાય છે. બીજગણિત અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય.

ઉદાહરણ તરીકે: અભિવ્યક્તિ
ખાતે
,
મૂલ્ય લે છે
.

માત્ર સંખ્યાઓ, ચલોની કુદરતી શક્તિઓ અને તેમના ઉત્પાદનો ધરાવતી બીજગણિત અભિવ્યક્તિ કહેવામાં આવે છે એકવિધ

ઉદાહરણ તરીકે:
;
;
.

મોનોમિયલ, પ્રથમ સ્થાને સંખ્યાત્મક પરિબળ અને વિવિધ ચલોની શક્તિઓના ઉત્પાદન તરીકે લખવામાં આવે છે, તે ઘટાડીને પ્રમાણભૂત દૃશ્ય.

ઉદાહરણ તરીકે:
;
.

મોનોમિયલના પ્રમાણભૂત સંકેતનું સંખ્યાત્મક પરિબળ કહેવામાં આવે છે મોનોમિયલનો ગુણાંક. તમામ ચલોના ઘાતાંકનો સરવાળો કહેવાય છે મોનોમિયલ ડિગ્રી.

જ્યારે મોનોમિયલનો એકવિધ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને મોનોમિયલને કુદરતી શક્તિમાં વધારીએ છીએ, ત્યારે આપણે એક મોનોમિયલ મેળવીએ છીએ જે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવું જોઈએ.

મોનોમિયલનો સરવાળો કહેવાય છે બહુપદી.

ઉદાહરણ તરીકે:
; ;
.

જો બહુપદીના તમામ સભ્યો પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લખાયેલા હોય અને સમાન સભ્યો ઓછા કરવામાં આવે તો પરિણામ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપનું બહુપદી.

ઉદાહરણ તરીકે: .

જો બહુપદીમાં માત્ર એક જ ચલ હોય, તો આ ચલનો સૌથી મોટો ઘાત કહેવાય છે. બહુપદીની ડિગ્રી.

ઉદાહરણ તરીકે: બહુપદી પાંચમી ડિગ્રી ધરાવે છે.

ચલની કિંમત કે જેના પર બહુપદીનું મૂલ્ય શૂન્ય છે તેને કહેવામાં આવે છે બહુપદીનું મૂળ.

ઉદાહરણ તરીકે: બહુપદીના મૂળ
1.5 અને 2 નંબરો છે.

સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો

સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાના વિશેષ કિસ્સાઓ

ચોરસનો તફાવત:
અથવા

ચોરસ રકમ:
અથવા

ચોરસ તફાવત:
અથવા

સમઘનનો સરવાળો:
અથવા

ક્યુબ્સનો તફાવત:
અથવા

સરવાળાનું ઘન:
અથવા

તફાવત સમઘન:
અથવા

બહુપદીને અનેક પરિબળો (બહુપદી અથવા એકપદી)ના ઉત્પાદનમાં રૂપાંતરિત કરવું કહેવાય છે. બહુપદીનું પરિબળ બનાવવું.

ઉદાહરણ તરીકે:.

બહુપદીના પરિબળ માટે પદ્ધતિઓ

ઉદાહરણ તરીકે: .

સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને.

ઉદાહરણ તરીકે: .

જૂથ પદ્ધતિ. વિનિમયાત્મક અને સહયોગી કાયદાઓ બહુપદીના સભ્યોને વિવિધ રીતે જૂથબદ્ધ કરવાની મંજૂરી આપે છે. એક પદ્ધતિ એ હકીકત તરફ દોરી જાય છે કે સમાન અભિવ્યક્તિ કૌંસમાં મેળવવામાં આવે છે, જે બદલામાં કૌંસમાંથી લેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે:.

કોઈપણ અપૂર્ણાંક બીજગણિત અભિવ્યક્તિને છેદમાં ચલ સાથે બે તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓના ભાગ તરીકે લખી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે:
.

અપૂર્ણાંક જેમાં અંશ અને છેદ તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ છે અને છેદમાં ચલ હોય છે તેને કહેવામાં આવે છે તર્કસંગત અપૂર્ણાંક.

ઉદાહરણ તરીકે:
;
;
.

જો તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન બિનશૂન્ય સંખ્યા, એકપદી અથવા બહુપદી દ્વારા ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવામાં આવે તો, અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય બદલાતું નથી. આ અભિવ્યક્તિ કહેવાય છે અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત:

.

અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા વડે ભાગવાની ક્રિયા કહેવાય છે અપૂર્ણાંક ઘટાડવો:

.

ઉદાહરણ તરીકે:
;
.

કામ nપરિબળો, જેમાંથી દરેક સમાન છે એ,જ્યાં એએક મનસ્વી બીજગણિત અભિવ્યક્તિ અથવા વાસ્તવિક સંખ્યા છે, અને n- કુદરતી નંબર, કહેવાય છે ડિગ્રીએ :

.

બીજગણિત અભિવ્યક્તિ એકહેવાય છે ડિગ્રીના આધારે, નંબર
n – સૂચક.

ઉદાહરણ તરીકે:
.

તે વ્યાખ્યા દ્વારા માનવામાં આવે છે કે કોઈપણ માટે એ, શૂન્યની બરાબર નથી:

અને
.

જો
, તે
.

ડિગ્રીના ગુણધર્મો

1.
.

2.
.

3.
.

4.
.

5.
.

જો,
, પછી અભિવ્યક્તિ n-મી ડિગ્રી જે બરાબર છે એ, કહેવાય છે મૂળn ની મી ડિગ્રીએ . તે સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવે છે
. તે જ સમયે એકહેવાય છે આમૂલ અભિવ્યક્તિ, nકહેવાય છે રુટ ઇન્ડેક્સ.

ઉદાહરણ તરીકે:
;
;
.

રુટ ગુણધર્મોna ની મી ડિગ્રી

1.
.

2.
,
.

3.
.

4.
.

5.
.

ડિગ્રી અને રુટની વિભાવનાને સામાન્ય બનાવતા, અમે તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીનો ખ્યાલ મેળવીએ છીએ:

.

ખાસ કરીને,
.

મૂળ સાથે કરવામાં આવતી ક્રિયાઓ

ઉદાહરણ તરીકે: .

II. વ્યવહારુ સામગ્રી

કાર્યો પૂર્ણ કરવાના ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 1. અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય શોધો
.

જવાબ: .

ઉદાહરણ 2. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો
.

ચાલો પ્રથમ કૌંસમાં અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરીએ:

, જો
.

ચાલો બીજા કૌંસમાં અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરીએ:

.

ચાલો પ્રથમ કૌંસમાંથી પરિણામને બીજા કૌંસના પરિણામ દ્વારા વિભાજીત કરીએ:

જવાબ:

ઉદાહરણ 3. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

.

ઉદાહરણ 4. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ચાલો પ્રથમ અપૂર્ણાંકને પરિવર્તિત કરીએ:

.

ચાલો બીજા અપૂર્ણાંકને પરિવર્તિત કરીએ:

.

પરિણામે આપણને મળે છે:
.

ઉદાહરણ 5.અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો
.

ઉકેલ. ચાલો નીચેની ક્રિયાઓ નક્કી કરીએ:

1)
;

2)
;

3)
;

6)
;

જવાબ:
.

ઉદાહરણ 6.ઓળખ સાબિત કરો
.

1)
;

2)
;

ઉદાહરણ 7.અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

.

ઉકેલ. આ પગલાં અનુસરો:

;

2)
.

ઉદાહરણ 8.ઓળખ સાબિત કરો
.

ઉકેલ. આ પગલાં અનુસરો:

1)
;

2)

;

3)
.

સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કાર્યો

1. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

અ)
;

b)
;

2. આમાં પરિબળ કરો:

અ)
;

b)
;.દસ્તાવેજ

વિષયનંબર 5.1. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો I. સૈદ્ધાંતિકસામગ્રીમૂળભૂત ખ્યાલો ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ... વિવિધનો ઉપયોગ કરીને બીજગણિતઅને ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો અને પરિવર્તનો. II. વ્યવહારુ સામગ્રીકાર્યો પૂર્ણ કરવાના ઉદાહરણો...

સંખ્યાઓના સરવાળા અને ગુણાકારના મૂળભૂત ગુણધર્મો.

વધારાની વિનિમયાત્મક મિલકત: શરતોને ફરીથી ગોઠવવાથી રકમની કિંમત બદલાતી નથી. કોઈપણ સંખ્યા માટે a અને b સમાનતા સાચી છે

સરવાળોનો સંયુક્ત ગુણધર્મ: બે સંખ્યાના સરવાળામાં ત્રીજી સંખ્યા ઉમેરવા માટે, તમે પ્રથમ નંબરમાં બીજા અને ત્રીજાનો સરવાળો ઉમેરી શકો છો. કોઈપણ સંખ્યાઓ માટે a, b અને c સમાનતા સાચી છે

ગુણાકારની વિનિમયાત્મક મિલકત: પરિબળોને ફરીથી ગોઠવવાથી ઉત્પાદનની કિંમત બદલાતી નથી. કોઈપણ સંખ્યાઓ માટે a, b અને c સમાનતા સાચી છે

ગુણાકારની સંયુક્ત ગુણધર્મ: બે સંખ્યાના ગુણાંકને ત્રીજી સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે, તમે પ્રથમ સંખ્યાને બીજા અને ત્રીજાના ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરી શકો છો.

કોઈપણ સંખ્યાઓ માટે a, b અને c સમાનતા સાચી છે

ડિસ્ટ્રિબ્યુટિવ પ્રોપર્ટી: કોઈ સંખ્યાને સરવાળો દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે, તમે તે સંખ્યાને દરેક પદ વડે ગુણાકાર કરી શકો છો અને પરિણામો ઉમેરી શકો છો. કોઈપણ સંખ્યાઓ માટે a, b અને c સમાનતા સાચી છે

વધારાના વિનિમયાત્મક અને સંયોજન ગુણધર્મોમાંથી તે નીચે મુજબ છે: કોઈપણ રકમમાં તમે શરતોને તમને ગમે તે રીતે ફરીથી ગોઠવી શકો છો અને મનસ્વી રીતે તેમને જૂથોમાં જોડી શકો છો.

ઉદાહરણ 1 ચાલો સરવાળા 1.23+13.5+4.27 ની ગણતરી કરીએ.

આ કરવા માટે, પ્રથમ શબ્દને ત્રીજા સાથે જોડવાનું અનુકૂળ છે. અમને મળે છે:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

ગુણાકારના વિનિમયાત્મક અને સંયોજન ગુણધર્મોમાંથી તે નીચે મુજબ છે: કોઈપણ ઉત્પાદનમાં તમે કોઈપણ રીતે પરિબળોને ફરીથી ગોઠવી શકો છો અને મનસ્વી રીતે તેમને જૂથોમાં જોડી શકો છો.

ઉદાહરણ 2 ચાલો ઉત્પાદન 1.8·0.25·64·0.5નું મૂલ્ય શોધીએ.

પ્રથમ પરિબળને ચોથા સાથે અને બીજાને ત્રીજા સાથે જોડીને, અમારી પાસે છે:

1.8·0.25·64·0.5=(1.8·0.5)·(0.25·64)=0.9·16=14.4.

જ્યારે સંખ્યાને ત્રણ અથવા વધુ પદોના સરવાળાથી ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે વિતરક ગુણધર્મ પણ સાચી હોય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, કોઈપણ સંખ્યાઓ માટે a, b, c અને d સમાનતા સાચી છે

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

આપણે જાણીએ છીએ કે બાદબાકીને સરવાળા દ્વારા બદલી શકાય છે અને બાદબાકીને બાદબાકીની વિરુદ્ધની સંખ્યા ઉમેરીને કરી શકાય છે:

આ a-b ફોર્મની સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિને a અને -b સંખ્યાઓનો સરવાળો ગણવાની મંજૂરી આપે છે, a+b-c-d ફોર્મની સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિને a, b, -c, -d, વગેરે સંખ્યાઓનો સરવાળો ગણવામાં આવે છે. ક્રિયાઓના ગણવામાં આવેલ ગુણધર્મો પણ આવી રકમ માટે માન્ય છે.

ઉદાહરણ 3 ચાલો સમીકરણ 3.27-6.5-2.5+1.73 ની કિંમત શોધીએ.

આ અભિવ્યક્તિ 3.27, -6.5, -2.5 અને 1.73 નંબરોનો સરવાળો છે. ઉમેરાના ગુણધર્મ લાગુ કરવાથી, આપણને મળે છે: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4.

ઉદાહરણ 4 ચાલો ઉત્પાદન 36·()ની ગણતરી કરીએ.

ગુણકને સંખ્યાઓનો સરવાળો ગણી શકાય અને -. ગુણાકારની વિતરક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

36()=36·-36·=9-10=-1.

ઓળખાણ

વ્યાખ્યા. બે સમીકરણો કે જેના અનુરૂપ મૂલ્યો ચલોના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સમાન હોય તેમને સમાન રીતે સમાન કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. સમાનતા જે ચલોના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સાચી હોય તેને ઓળખ કહેવામાં આવે છે.

ચાલો x=5, y=4 માટે 3(x+y) અને 3x+3y સમીકરણોની કિંમતો શોધીએ:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

અમને સમાન પરિણામ મળ્યું. વિતરણ ગુણધર્મમાંથી તે અનુસરે છે કે, સામાન્ય રીતે, ચલોના કોઈપણ મૂલ્યો માટે, 3(x+y) અને 3x+3y સમીકરણોના અનુરૂપ મૂલ્યો સમાન હોય છે.

ચાલો હવે 2x+y અને 2xy સમીકરણોને ધ્યાનમાં લઈએ. જ્યારે x=1, y=2 તેઓ સમાન મૂલ્યો લે છે:

જો કે, તમે x અને y ની કિંમતો એવી રીતે સ્પષ્ટ કરી શકો છો કે આ સમીકરણોની કિંમતો સમાન ન હોય. ઉદાહરણ તરીકે, જો x=3, y=4, તો

અભિવ્યક્તિ 3(x+y) અને 3x+3y સમાન રીતે સમાન છે, પરંતુ 2x+y અને 2xy સમીકરણો સમાન રીતે સમાન નથી.

સમાનતા 3(x+y)=x+3y, x અને y ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સાચી, એક ઓળખ છે.

સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતાને પણ ઓળખ ગણવામાં આવે છે.

આમ, ઓળખ એ સમાનતા છે જે સંખ્યાઓ પરની કામગીરીના મૂળભૂત ગુણધર્મોને વ્યક્ત કરે છે:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

ઓળખના અન્ય ઉદાહરણો આપી શકાય છે:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

અભિવ્યક્તિઓનું સમાન પરિવર્તન

એક અભિવ્યક્તિને બીજી સમાન સમાન અભિવ્યક્તિ સાથે બદલવાને સમાન રૂપાંતર અથવા ફક્ત અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતર કહેવામાં આવે છે.

સંખ્યાઓ પરની ક્રિયાઓના ગુણધર્મોના આધારે ચલો સાથેના અભિવ્યક્તિઓનું સમાન રૂપાંતરણ કરવામાં આવે છે.

x, y, z ની આપેલ કિંમતો માટે xy-xz અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધવા માટે, તમારે ત્રણ પગલાં ભરવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, x=2.3, y=0.8, z=0.2 સાથે આપણને મળે છે:

xy-xz=2.3·0.8-2.3·0.2=1.84-0.46=1.38.

આ પરિણામ માત્ર બે પગલાંઓ કરીને મેળવી શકાય છે, જો તમે x(y-z) અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરો છો, જે xy-xz અભિવ્યક્તિની સમાન છે:

xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3·0.6=1.38.

અમે એક્સપ્રેશન xy-xz ને સમાન એક્સપ્રેશન x(y-z) સાથે બદલીને ગણતરીઓને સરળ બનાવી છે.

અભિવ્યક્તિઓના સમાન રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ અભિવ્યક્તિઓના મૂલ્યોની ગણતરી કરવા અને અન્ય સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે વ્યાપકપણે થાય છે. કેટલાક સમાન રૂપાંતરણો પહેલાથી જ કરવાના હતા, ઉદાહરણ તરીકે, સમાન શરતો લાવવી, કૌંસ ખોલવા. ચાલો આ પરિવર્તનો કરવા માટેના નિયમોને યાદ કરીએ:

સમાન શરતો લાવવા માટે, તમારે તેમના ગુણાંક ઉમેરવાની જરૂર છે અને સામાન્ય અક્ષરના ભાગ દ્વારા પરિણામને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે;

જો કૌંસની પહેલાં વત્તાનું ચિહ્ન હોય, તો કૌંસમાં બંધ દરેક પદની નિશાની સાચવીને, કૌંસને અવગણી શકાય છે;

જો કૌંસની પહેલાં માઈનસ ચિહ્ન હોય, તો કૌંસમાં બંધાયેલ દરેક પદની નિશાની બદલીને કૌંસને અવગણી શકાય છે.

ઉદાહરણ 1 ચાલો સરવાળા 5x+2x-3xમાં સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ.

ચાલો સમાન શરતોને ઘટાડવા માટે નિયમનો ઉપયોગ કરીએ:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

આ રૂપાંતરણ ગુણાકારના વિતરક ગુણધર્મ પર આધારિત છે.

ઉદાહરણ 2 ચાલો 2a+(b-3c) અભિવ્યક્તિમાં કૌંસ ખોલીએ.

વત્તા ચિહ્નની આગળ કૌંસ ખોલવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરવો:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

હાથ ધરવામાં આવેલ રૂપાંતરણ ઉમેરાની સંયુક્ત મિલકત પર આધારિત છે.

ઉદાહરણ 3 ચાલો a-(4b-c) અભિવ્યક્તિમાં કૌંસ ખોલીએ.

ચાલો માઈનસ ચિહ્નની આગળના કૌંસને ખોલવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ:

a-(4b-c)=a-4b+c.

કરવામાં આવેલ રૂપાંતરણ ગુણાકારની વિતરક ગુણધર્મ અને ઉમેરણની સંયુક્ત ગુણધર્મ પર આધારિત છે. ચાલો તે બતાવીએ. ચાલો આ અભિવ્યક્તિમાં બીજા શબ્દ -(4b-c)ને ઉત્પાદન (-1)(4b-c) તરીકે રજૂ કરીએ:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

ક્રિયાઓના ઉલ્લેખિત ગુણધર્મોને લાગુ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

સંખ્યાઓ અને અભિવ્યક્તિઓ જે મૂળ અભિવ્યક્તિ બનાવે છે તે સમાન સમાન અભિવ્યક્તિઓ દ્વારા બદલી શકાય છે. મૂળ અભિવ્યક્તિનું આવું પરિવર્તન એક અભિવ્યક્તિ તરફ દોરી જાય છે જે તેની સમાન હોય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, 3+x અભિવ્યક્તિમાં, સંખ્યા 3 ને સરવાળો 1+2 દ્વારા બદલી શકાય છે, જે અભિવ્યક્તિમાં પરિણમશે (1+2)+x, જે મૂળ અભિવ્યક્તિની સમાન છે. બીજું ઉદાહરણ: અભિવ્યક્તિ 1+a 5 માં, પાવર a 5 ને સમાન સમાન ઉત્પાદન દ્વારા બદલી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, a·a 4 સ્વરૂપનું. આ આપણને 1+a·a 4 અભિવ્યક્તિ આપશે.

આ રૂપાંતર નિઃશંકપણે કૃત્રિમ છે, અને સામાન્ય રીતે કેટલાક વધુ પરિવર્તનો માટેની તૈયારી છે. ઉદાહરણ તરીકે, રકમ 4 x 3 +2 x 2 માં, ડિગ્રીના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેતા, શબ્દ 4 x 3 ને ઉત્પાદન 2 x 2 2 x તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આ રૂપાંતર પછી, મૂળ અભિવ્યક્તિ 2 x 2 2 x+2 x 2 સ્વરૂપ લેશે. દેખીતી રીતે, પરિણામી રકમમાંના શબ્દોમાં 2 x 2 નો સામાન્ય અવયવ હોય છે, તેથી અમે નીચેનું રૂપાંતરણ કરી શકીએ છીએ - કૌંસ. તે પછી આપણે અભિવ્યક્તિ પર આવીએ છીએ: 2 x 2 (2 x+1) .

સમાન સંખ્યા ઉમેરી અને બાદબાકી કરવી

અભિવ્યક્તિનું બીજું કૃત્રિમ પરિવર્તન એ સમાન સંખ્યા અથવા અભિવ્યક્તિનો સરવાળો અને એક સાથે બાદબાકી છે. આ રૂપાંતર સમાન છે કારણ કે તે આવશ્યકપણે શૂન્ય ઉમેરવા સમાન છે, અને શૂન્ય ઉમેરવાથી મૂલ્ય બદલાતું નથી.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો x 2 +2·x અભિવ્યક્તિ લઈએ. જો તમે તેમાં એક ઉમેરો અને એક બાદબાકી કરો, તો આ તમને ભવિષ્યમાં અન્ય સમાન રૂપાંતરણ કરવા દેશે - દ્વિપદીનો વર્ગ કરો: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

સંદર્ભો.

• બીજગણિત:પાઠ્યપુસ્તક 7મા ધોરણ માટે સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / [યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; સંપાદન એસ. એ. ટેલિયાકોવ્સ્કી. - 17મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2008. - 240 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• બીજગણિત:પાઠ્યપુસ્તક 8મા ધોરણ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / [યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; સંપાદન એસ. એ. ટેલિયાકોવ્સ્કી. - 16મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2008. - 271 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• મોર્ડકોવિચ એ. જી.બીજગણિત. 7 મી ગ્રેડ. 2 કલાકમાં ભાગ 1. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / એ. જી. મોર્ડકોવિચ. - 17મી આવૃત્તિ, ઉમેરો. - એમ.: નેમોસીન, 2013. - 175 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 978-5-346-02432-3.

મહત્વપૂર્ણ નોંધો!
1. જો તમને સૂત્રોને બદલે ગોબ્લેડીગુક દેખાય, તો તમારી કેશ સાફ કરો. તમારા બ્રાઉઝરમાં આ કેવી રીતે કરવું તે અહીં લખ્યું છે:
2. તમે લેખ વાંચવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં, માટેના સૌથી ઉપયોગી સંસાધનો માટે અમારા નેવિગેટર પર ધ્યાન આપો

આપણે વારંવાર આ અપ્રિય વાક્ય સાંભળીએ છીએ: "અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો."સામાન્ય રીતે આપણે આના જેવા અમુક પ્રકારના રાક્ષસને જોઈએ છીએ:

"તે ખૂબ સરળ છે," અમે કહીએ છીએ, પરંતુ આવા જવાબ સામાન્ય રીતે કામ કરતું નથી.

હવે હું તમને શીખવીશ કે આવા કોઈપણ કાર્યોથી ડરશો નહીં.

તદુપરાંત, પાઠના અંતે, તમે જાતે જ આ ઉદાહરણને (ફક્ત!) એક સામાન્ય સંખ્યા (હા, આ અક્ષરો સાથે નરકમાં) સરળ બનાવશો.

પરંતુ તમે આ પ્રવૃત્તિ શરૂ કરો તે પહેલાં, તમારે સક્ષમ બનવાની જરૂર છે અપૂર્ણાંકને હેન્ડલ કરોઅને પરિબળ બહુપદી.

તેથી, જો તમે આ પહેલાં ન કર્યું હોય, તો "" અને "" વિષયોમાં નિપુણતા મેળવવાની ખાતરી કરો.

તમે તે વાંચ્યું છે? જો હા, તો હવે તમે તૈયાર છો.

ચાલો જઈએ (ચાલો!)

મૂળભૂત અભિવ્યક્તિ સરળીકરણ કામગીરી

હવે ચાલો મૂળભૂત તકનીકો જોઈએ જેનો ઉપયોગ અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવા માટે થાય છે.

સૌથી સરળ છે

1. સમાન લાવવું

શું સમાન છે? તમે આને 7મા ધોરણમાં લીધું હતું, જ્યારે ગણિતમાં પ્રથમ વખત સંખ્યાને બદલે અક્ષરો દેખાયા હતા.

સમાન- આ સમાન અક્ષરના ભાગ સાથેના શબ્દો (મોનોમિયલ) છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સરવાળે, સમાન શબ્દો છે અને.

શું તમને યાદ છે?

સમાન આપો- એટલે એકબીજા સાથે ઘણી સમાન શરતો ઉમેરવી અને એક પદ મેળવવું.

આપણે અક્ષરોને એકસાથે કેવી રીતે મૂકી શકીએ? - તમે પૂછો.

જો તમે કલ્પના કરો કે અક્ષરો અમુક પ્રકારની વસ્તુઓ છે તો આ સમજવું ખૂબ જ સરળ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, એક પત્ર એ ખુરશી છે. તો પછી અભિવ્યક્તિ શું સમાન છે?

બે ખુરશી વત્તા ત્રણ ખુરશી, કેટલી હશે? તે સાચું છે, ખુરશીઓ: .

હવે આ અભિવ્યક્તિનો પ્રયાસ કરો: .

મૂંઝવણ ટાળવા માટે, વિવિધ અક્ષરો વિવિધ વસ્તુઓને રજૂ કરવા દો.

ઉદાહરણ તરીકે, - (હંમેશની જેમ) ખુરશી છે, અને - એક ટેબલ છે.

ખુરશીઓ કોષ્ટકો ખુરશી કોષ્ટકો ખુરશીઓ ખુરશીઓ કોષ્ટકો

જે સંખ્યાઓ દ્વારા આવા શબ્દોના અક્ષરોનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે તેને કહેવામાં આવે છે ગુણાંક.

ઉદાહરણ તરીકે, એકવિધમાં ગુણાંક સમાન છે. અને તેમાં સમાન છે.

તેથી, સમાન લાવવાનો નિયમ છે:

ઉદાહરણો:

સમાન આપો:

જવાબો:

2. (અને સમાન, કારણ કે, તેથી, આ શબ્દોમાં સમાન અક્ષરનો ભાગ છે).

2. પરિબળીકરણ

આ સામાન્ય રીતે છે અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવાનો સૌથી મહત્વપૂર્ણ ભાગ.

તમે સમાન આપ્યા પછી, મોટેભાગે પરિણામી અભિવ્યક્તિની જરૂર પડે છે કારણભૂત, એટલે કે, ઉત્પાદનના સ્વરૂપમાં પ્રસ્તુત.

ખાસ કરીને આ અપૂર્ણાંકમાં મહત્વપૂર્ણ:છેવટે, અપૂર્ણાંક ઘટાડવા માટે સક્ષમ થવા માટે, અંશ અને છેદને ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરવું આવશ્યક છે.

તમે "" વિષયમાં વિગતવાર અભિવ્યક્તિઓના ફેક્ટરિંગની પદ્ધતિઓમાંથી પસાર થયા છો, તેથી અહીં તમારે ફક્ત તમે જે શીખ્યા તે યાદ રાખવું પડશે.

આ કરવા માટે, ઘણા ઉદાહરણો ઉકેલો (તમારે તેમને ફેક્ટરાઇઝ કરવાની જરૂર છે)

ઉદાહરણો:

ઉકેલો:

3. અપૂર્ણાંક ઘટાડવો.

ઠીક છે, અંશ અને છેદના ભાગને પાર કરીને અને તેમને તમારા જીવનમાંથી બહાર ફેંકી દેવા કરતાં વધુ સુખદ શું હોઈ શકે?

તે ઘટાડાની સુંદરતા છે.

તે સરળ છે:

જો અંશ અને છેદ સમાન પરિબળો ધરાવે છે, તો તે ઘટાડી શકાય છે, એટલે કે, અપૂર્ણાંકમાંથી દૂર કરી શકાય છે.

આ નિયમ અપૂર્ણાંકના મૂળ ગુણધર્મમાંથી અનુસરે છે:

એટલે કે, ઘટાડાની કામગીરીનો સાર એ છે કે આપણે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા (અથવા સમાન અભિવ્યક્તિ દ્વારા) વિભાજીત કરીએ છીએ.

અપૂર્ણાંક ઘટાડવા માટે તમારે જરૂર છે:

1) અંશ અને છેદ કારણભૂત

2) જો અંશ અને છેદ સમાવે છે સામાન્ય પરિબળો, તેઓ ઓળંગી શકાય છે.

ઉદાહરણો:

સિદ્ધાંત, મને લાગે છે, સ્પષ્ટ છે?

સંક્ષિપ્ત કરતી વખતે હું તમારું ધ્યાન એક લાક્ષણિક ભૂલ તરફ દોરવા માંગુ છું. આ વિષય સરળ હોવા છતાં, ઘણા લોકો બધું ખોટું કરે છે, તે સમજતા નથી ઘટાડો- આનો અર્થ છે વિભાજનઅંશ અને છેદ સમાન સંખ્યા છે.

જો અંશ અથવા છેદ રકમ હોય તો કોઈ સંક્ષેપ નથી.

ઉદાહરણ તરીકે: આપણે સરળ બનાવવાની જરૂર છે.

કેટલાક લોકો આવું કરે છે: જે તદ્દન ખોટું છે.

બીજું ઉદાહરણ: ઘટાડો.

"સૌથી હોંશિયાર" આ કરશે:

મને કહો કે અહીં શું ખોટું છે? એવું લાગે છે: - આ એક ગુણક છે, જેનો અર્થ છે કે તે ઘટાડી શકાય છે.

પરંતુ ના: - આ અંશમાં માત્ર એક પદનો અવયવ છે, પરંતુ અંશ પોતે સંપૂર્ણ રીતે અવયવિત નથી.

અહીં બીજું ઉદાહરણ છે: .

આ અભિવ્યક્તિ પરિબળ છે, જેનો અર્થ છે કે તમે તેને ઘટાડી શકો છો, એટલે કે, અંશ અને છેદને આના દ્વારા અને પછી દ્વારા વિભાજીત કરો:

તમે તેને તરત જ વિભાજિત કરી શકો છો:

આવી ભૂલોને ટાળવા માટે, અભિવ્યક્તિ પરિબળ છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવાની એક સરળ રીત યાદ રાખો:

અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરતી વખતે છેલ્લે કરવામાં આવતી અંકગણિત કામગીરી એ "માસ્ટર" ક્રિયા છે.

એટલે કે, જો તમે અક્ષરોને બદલે કેટલીક (કોઈપણ) સંખ્યાઓ બદલો છો અને અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો છો, તો જો છેલ્લી ક્રિયા ગુણાકાર છે, તો અમારી પાસે ઉત્પાદન છે (અભિવ્યક્તિ પરિબળ છે).

જો છેલ્લી ક્રિયા સરવાળો અથવા બાદબાકી હોય, તો તેનો અર્થ એ છે કે અભિવ્યક્તિ પરિબળિત નથી (અને તેથી ઘટાડી શકાતી નથી).

આને મજબૂત કરવા માટે, થોડા ઉદાહરણો જાતે ઉકેલો:

ઉદાહરણો:

ઉકેલો:

4. અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવી. અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીને.

સામાન્ય અપૂર્ણાંકો ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવી એ એક પરિચિત ક્રિયા છે: અમે એક સામાન્ય છેદ શોધીએ છીએ, દરેક અપૂર્ણાંકને ખૂટતા પરિબળ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ અને અંશ ઉમેરી/બાદ કરીએ છીએ.

ચાલો યાદ કરીએ:

જવાબો:

1. છેદ અને પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય છે, એટલે કે, તેમાં સામાન્ય પરિબળો નથી. તેથી, આ સંખ્યાઓનો LCM તેમના ઉત્પાદનની બરાબર છે. આ સામાન્ય છેદ હશે:

2. અહીં સામાન્ય છેદ છે:

3. અહીં, સૌ પ્રથમ, અમે મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અયોગ્યમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ, અને પછી - સામાન્ય યોજના અનુસાર:

જો અપૂર્ણાંકમાં અક્ષરો હોય તો તે સંપૂર્ણપણે અલગ બાબત છે, ઉદાહરણ તરીકે:

ચાલો કંઈક સરળ સાથે પ્રારંભ કરીએ:

a) છેદમાં અક્ષરો હોતા નથી

અહીં બધું સામાન્ય આંકડાકીય અપૂર્ણાંકો જેવું જ છે: આપણે સામાન્ય છેદ શોધીએ છીએ, દરેક અપૂર્ણાંકને ખૂટતા પરિબળ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ અને અંશ ઉમેરી/બાદ કરીએ છીએ:

હવે અંશમાં તમે સમાન આપી શકો છો, જો કોઈ હોય તો, અને તેમને અવયવ કરો:

તેને જાતે અજમાવી જુઓ:

જવાબો:

b) છેદમાં અક્ષરો હોય છે

ચાલો અક્ષરો વિના સામાન્ય છેદ શોધવાના સિદ્ધાંતને યાદ કરીએ:

· સૌ પ્રથમ, અમે સામાન્ય પરિબળો નક્કી કરીએ છીએ;

· પછી આપણે એક સમયે બધા સામાન્ય પરિબળો લખીએ છીએ;

· અને તેમને અન્ય તમામ બિન-સામાન્ય પરિબળો દ્વારા ગુણાકાર કરો.

છેદના સામાન્ય પરિબળોને નિર્ધારિત કરવા માટે, અમે પ્રથમ તેમને મુખ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરીએ છીએ:

ચાલો સામાન્ય પરિબળો પર ભાર મૂકીએ:

હવે ચાલો એક સમયે એક સામાન્ય પરિબળ લખીએ અને તેમાં બધા બિન-સામાન્ય (અન્ડરલાઇન કરેલ નથી) પરિબળો ઉમેરીએ:

આ સામાન્ય છેદ છે.

ચાલો પત્રો પર પાછા જઈએ. છેદ બરાબર એ જ રીતે આપવામાં આવે છે:

· છેદનું પરિબળ;

સામાન્ય (સમાન) પરિબળો નક્કી કરો;

· બધા સામાન્ય પરિબળો એકવાર લખો;

· તેમને અન્ય તમામ બિન-સામાન્ય પરિબળો દ્વારા ગુણાકાર કરો.

તેથી, ક્રમમાં:

1) છેદનું પરિબળ:

2) સામાન્ય (સમાન) પરિબળો નક્કી કરો:

3) બધા સામાન્ય અવયવોને એકવાર લખો અને તેમને અન્ય તમામ (બિન રેખાંકિત) પરિબળો વડે ગુણાકાર કરો:

તેથી અહીં એક સામાન્ય છેદ છે. પ્રથમ અપૂર્ણાંકને વડે ગુણાકાર કરવો જોઈએ, બીજો - વડે:

માર્ગ દ્વારા, ત્યાં એક યુક્તિ છે:

ઉદાહરણ તરીકે: .

આપણે છેદમાં સમાન પરિબળો જોઈએ છીએ, ફક્ત બધા જ અલગ-અલગ સૂચકાંકો સાથે. સામાન્ય છેદ હશે:

એક ડિગ્રી સુધી

એક ડિગ્રી સુધી

એક ડિગ્રી સુધી

એક ડિગ્રી સુધી.

ચાલો કાર્યને જટિલ બનાવીએ:

અપૂર્ણાંકને સમાન છેદ કેવી રીતે બનાવવું?

ચાલો અપૂર્ણાંકની મૂળભૂત મિલકતને યાદ કરીએ:

તે ક્યાંય એવું નથી કહેતું કે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાંથી સમાન સંખ્યાને બાદ કરી શકાય (અથવા ઉમેરી શકાય). કારણ કે તે સાચું નથી!

તમારા માટે જુઓ: કોઈપણ અપૂર્ણાંક લો, ઉદાહરણ તરીકે, અને અંશ અને છેદમાં કેટલીક સંખ્યા ઉમેરો, ઉદાહરણ તરીકે, . તમે શું શીખ્યા?

તેથી, બીજો અવિશ્વસનીય નિયમ:

જ્યારે તમે અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડી દો, ત્યારે માત્ર ગુણાકારની ક્રિયાનો ઉપયોગ કરો!

પરંતુ તમારે શું મેળવવા માટે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે?

તેથી વડે ગુણાકાર કરો. અને વડે ગુણાકાર કરો:

અમે એવા અભિવ્યક્તિઓ કહીશું જેનું પરિબળ "પ્રાથમિક પરિબળો" કરી શકાતું નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, - આ એક પ્રાથમિક પરિબળ છે. - સમાન. પરંતુ ના: તે પરિબળ બની શકે છે.

અભિવ્યક્તિ વિશે શું? શું તે પ્રાથમિક છે?

ના, કારણ કે તે પરિબળ બની શકે છે:

(તમે પહેલેથી "" વિષયમાં ફેક્ટરાઇઝેશન વિશે વાંચ્યું છે).

તેથી, પ્રાથમિક પરિબળો કે જેમાં તમે અક્ષરો સાથે અભિવ્યક્તિનું વિઘટન કરો છો તે સરળ પરિબળોના એનાલોગ છે જેમાં તમે સંખ્યાઓનું વિઘટન કરો છો. અને અમે તેમની સાથે એ જ રીતે વ્યવહાર કરીશું.

આપણે જોઈએ છીએ કે બંને છેદનો ગુણક છે. તે ડિગ્રી સુધી સામાન્ય સંપ્રદાય પર જશે (શા માટે યાદ રાખો?).

પરિબળ પ્રાથમિક છે, અને તેમની પાસે સામાન્ય પરિબળ નથી, જેનો અર્થ છે કે પ્રથમ અપૂર્ણાંકને ફક્ત તેના દ્વારા ગુણાકાર કરવો પડશે:

બીજું ઉદાહરણ:

ઉકેલ:

તમે ગભરાટમાં આ છેદનો ગુણાકાર કરો તે પહેલાં, તમારે તેમને કેવી રીતે પરિબળ બનાવવું તે વિશે વિચારવાની જરૂર છે? તેઓ બંને રજૂ કરે છે:

સરસ! પછી:

બીજું ઉદાહરણ:

ઉકેલ:

હંમેશની જેમ, ચાલો છેદને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ. પ્રથમ છેદમાં આપણે તેને ફક્ત કૌંસની બહાર મૂકીએ છીએ; બીજામાં - ચોરસનો તફાવત:

એવું લાગે છે કે ત્યાં કોઈ સામાન્ય પરિબળો નથી. પરંતુ જો તમે નજીકથી જુઓ, તો તે સમાન છે... અને તે સાચું છે:

તો ચાલો લખીએ:

એટલે કે, તે આના જેવું બહાર આવ્યું: કૌંસની અંદર આપણે શરતોની અદલાબદલી કરી, અને તે જ સમયે અપૂર્ણાંકની સામેનું ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાઈ ગયું. નોંધ લો, તમારે આ વારંવાર કરવું પડશે.

હવે ચાલો તેને સામાન્ય સંપ્રદાય પર લાવીએ:

સમજાયું? ચાલો હવે તેને તપાસીએ.

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેના કાર્યો:

જવાબો:

5. અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર.

સારું, સૌથી મુશ્કેલ ભાગ હવે સમાપ્ત થઈ ગયો છે. અને આપણી આગળ સૌથી સરળ છે, પરંતુ તે જ સમયે સૌથી મહત્વપૂર્ણ:

પ્રક્રિયા

સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરવાની પ્રક્રિયા શું છે? આ અભિવ્યક્તિના અર્થની ગણતરી કરીને યાદ રાખો:

શું તમે ગણતરી કરી?

તે કામ કરવું જોઈએ.

તેથી, ચાલો હું તમને યાદ કરાવું.

પ્રથમ પગલું એ ડિગ્રીની ગણતરી કરવાનું છે.

બીજું ગુણાકાર અને ભાગાકાર છે. જો ત્યાં એક જ સમયે અનેક ગુણાકાર અને વિભાગો હોય, તો તે કોઈપણ ક્રમમાં કરી શકાય છે.

અને અંતે, અમે સરવાળો અને બાદબાકી કરીએ છીએ. ફરીથી, કોઈપણ ક્રમમાં.

પરંતુ: કૌંસમાં અભિવ્યક્તિનું મૂલ્યાંકન બદલામાં કરવામાં આવે છે!

જો ઘણા કૌંસ એકબીજા દ્વારા ગુણાકાર અથવા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, તો આપણે પહેલા દરેક કૌંસમાં અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરીએ છીએ, અને પછી તેમને ગુણાકાર અથવા વિભાજીત કરીએ છીએ.

જો કૌંસની અંદર વધુ કૌંસ હોય તો શું? સારું, ચાલો વિચારીએ: કૌંસની અંદર કેટલીક અભિવ્યક્તિ લખેલી છે. અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરતી વખતે, તમારે પ્રથમ શું કરવું જોઈએ? તે સાચું છે, કૌંસની ગણતરી કરો. સારું, અમે તેને શોધી કાઢ્યું: પહેલા આપણે આંતરિક કૌંસની ગણતરી કરીએ છીએ, પછી બાકીનું બધું.

તેથી, ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિ માટેની પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે (હાલની ક્રિયા લાલ રંગમાં પ્રકાશિત થયેલ છે, એટલે કે, જે ક્રિયા હું અત્યારે કરી રહ્યો છું):

ઠીક છે, તે બધું સરળ છે.

પરંતુ આ અક્ષરો સાથેની અભિવ્યક્તિ સમાન નથી?

ના, તે જ છે! ફક્ત અંકગણિત કામગીરીને બદલે, તમારે બીજગણિતની ક્રિયાઓ કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, અગાઉના વિભાગમાં વર્ણવેલ ક્રિયાઓ: સમાન લાવવું, અપૂર્ણાંક ઉમેરવું, અપૂર્ણાંક ઘટાડવું, વગેરે. માત્ર એટલો જ તફાવત ફેક્ટરિંગ બહુપદીની ક્રિયા હશે (અપૂર્ણાંકો સાથે કામ કરતી વખતે આપણે ઘણીવાર તેનો ઉપયોગ કરીએ છીએ). મોટેભાગે, ફેક્ટરાઇઝ કરવા માટે, તમારે I નો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે અથવા સામાન્ય પરિબળને કૌંસની બહાર મૂકવાની જરૂર છે.

સામાન્ય રીતે અમારો ધ્યેય અભિવ્યક્તિને ઉત્પાદન અથવા ભાગ તરીકે રજૂ કરવાનો છે.

ઉદાહરણ તરીકે:

ચાલો અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવીએ.

1) પ્રથમ, અમે કૌંસમાં અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવીએ છીએ. ત્યાં આપણી પાસે અપૂર્ણાંકનો તફાવત છે, અને અમારો ધ્યેય તેને ઉત્પાદન અથવા ભાગ તરીકે રજૂ કરવાનો છે. તેથી, અમે અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ છીએ અને ઉમેરીએ છીએ:

આ અભિવ્યક્તિને વધુ સરળ બનાવવી અશક્ય છે અહીં તમામ પરિબળો પ્રાથમિક છે (શું તમને હજુ પણ યાદ છે કે આનો અર્થ શું છે?).

2) અમને મળે છે:

અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર: શું સરળ હોઈ શકે છે.

3) હવે તમે ટૂંકી કરી શકો છો:

બસ, બસ. કંઈ જટિલ નથી, બરાબર?

બીજું ઉદાહરણ:

અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

પ્રથમ, તેને જાતે હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો, અને તે પછી જ ઉકેલ જુઓ.

ઉકેલ:

સૌ પ્રથમ, ચાલો ક્રિયાઓનો ક્રમ નક્કી કરીએ.

પ્રથમ, ચાલો કૌંસમાં અપૂર્ણાંક ઉમેરીએ, તેથી બે અપૂર્ણાંકને બદલે આપણને એક મળે છે.

પછી આપણે અપૂર્ણાંકનું વિભાજન કરીશું. સારું, ચાલો છેલ્લા અપૂર્ણાંક સાથે પરિણામ ઉમેરીએ.

હું પગલાઓને યોજનાકીય રીતે નંબર આપીશ:

અંતે, હું તમને બે ઉપયોગી ટીપ્સ આપીશ:

1. જો ત્યાં સમાન હોય, તો તેઓ તરત જ લાવવા જોઈએ. આપણા દેશમાં જે પણ સમયે સમાન મુદ્દાઓ ઉદભવે છે, તેને તાત્કાલિક લાવવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

2. આ જ અપૂર્ણાંક ઘટાડવા માટે લાગુ પડે છે: ઘટાડવાની તક દેખાય કે તરત જ તેનો લાભ લેવો જોઈએ. અપવાદ એ અપૂર્ણાંકો માટે છે જે તમે ઉમેરો અથવા બાદ કરો છો: જો તેઓ હવે સમાન છેદ ધરાવે છે, તો પછી ઘટાડો પછી માટે છોડી દેવો જોઈએ.

તમારા પોતાના પર ઉકેલવા માટે અહીં કેટલાક કાર્યો છે:

અને શરૂઆતમાં શું વચન આપવામાં આવ્યું હતું:

જવાબો:

ઉકેલો (સંક્ષિપ્ત):

જો તમે ઓછામાં ઓછા પ્રથમ ત્રણ ઉદાહરણોનો સામનો કર્યો હોય, તો પછી તમે વિષયમાં નિપુણતા મેળવી લીધી છે.

હવે શીખવા પર!

રૂપાંતરિત અભિવ્યક્તિઓ. સારાંશ અને મૂળભૂત સૂત્રો

મૂળભૂત સરળીકરણ કામગીરી:

• સમાન લાવવું: સમાન શબ્દો ઉમેરવા (ઘટાડવા) માટે, તમારે તેમના ગુણાંક ઉમેરવા અને અક્ષરનો ભાગ સોંપવો પડશે.
• અવયવીકરણ:સામાન્ય પરિબળને કૌંસની બહાર મૂકવું, તેને લાગુ કરવું વગેરે.
• અપૂર્ણાંક ઘટાડવો: અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન બિન-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરી શકાય છે, જે અપૂર્ણાંકના મૂલ્યમાં ફેરફાર કરતું નથી.
  1) અંશ અને છેદ કારણભૂત
  2) જો અંશ અને છેદમાં સામાન્ય અવયવો હોય, તો તેને વટાવી શકાય છે.

  મહત્વપૂર્ણ: માત્ર ગુણક ઘટાડી શકાય છે!

• અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી:
  ;
• અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર:
  ;

બસ, વિષય પૂરો થયો. જો તમે આ પંક્તિઓ વાંચી રહ્યા છો, તો તેનો અર્થ એ છે કે તમે ખૂબ જ શાનદાર છો.

કારણ કે માત્ર 5% લોકો જ પોતાના પર કંઈક માસ્ટર કરવામાં સક્ષમ છે. અને જો તમે અંત સુધી વાંચો છો, તો તમે આ 5% માં છો!

હવે સૌથી મહત્વની વાત.

તમે આ વિષય પરનો સિદ્ધાંત સમજી ગયા છો. અને, હું પુનરાવર્તન કરું છું, આ... આ માત્ર સુપર છે! તમે તમારા મોટા ભાગના સાથીદારો કરતા પહેલાથી જ સારા છો.

સમસ્યા એ છે કે આ પૂરતું નથી...

શેના માટે?

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સફળતાપૂર્વક પાસ કરવા માટે, બજેટમાં કૉલેજમાં દાખલ થવા માટે અને સૌથી મહત્ત્વપૂર્ણ રીતે, જીવન માટે.

હું તમને કંઈપણ સમજાવીશ નહીં, હું ફક્ત એક વાત કહીશ ...

જે લોકોએ સારું શિક્ષણ મેળવ્યું છે તેઓ જેઓએ તે પ્રાપ્ત કર્યું નથી તેના કરતા ઘણું વધારે કમાય છે. આ આંકડા છે.

પરંતુ આ મુખ્ય વસ્તુ નથી.

મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેઓ વધુ ખુશ છે (ત્યાં આવા અભ્યાસો છે). કદાચ કારણ કે તેમની આગળ ઘણી વધુ તકો ખુલે છે અને જીવન તેજસ્વી બને છે? ખબર નથી...

પણ તમારા માટે વિચારો ...

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં અન્ય કરતા વધુ સારા બનવા માટે અને આખરે... વધુ ખુશ થવા માટે શું જરૂરી છે?

આ વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરીને તમારો હાથ મેળવો.

પરીક્ષા દરમિયાન તમને થિયરી માટે પૂછવામાં આવશે નહીં.

તમને જરૂર પડશે સમય સામે સમસ્યાઓ ઉકેલો.

અને, જો તમે તેમને ઉકેલ્યા નથી (ઘણું!), તો તમે ચોક્કસપણે ક્યાંક મૂર્ખ ભૂલ કરશો અથવા તમારી પાસે સમય નહીં હોય.

તે રમતગમતની જેમ છે - ખાતરી માટે જીતવા માટે તમારે તેને ઘણી વખત પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે.

તમે ઇચ્છો ત્યાં સંગ્રહ શોધો, આવશ્યકપણે ઉકેલો, વિગતવાર વિશ્લેષણ સાથેઅને નક્કી કરો, નક્કી કરો, નક્કી કરો!

તમે અમારા કાર્યોનો ઉપયોગ કરી શકો છો (વૈકલ્પિક) અને અમે, અલબત્ત, તેમની ભલામણ કરીએ છીએ.

અમારા કાર્યોને વધુ સારી રીતે ઉપયોગમાં લેવા માટે, તમે હાલમાં વાંચી રહ્યાં છો તે YouClever પાઠ્યપુસ્તકના જીવનને લંબાવવામાં મદદ કરવાની જરૂર છે.

કેવી રીતે? ત્યાં બે વિકલ્પો છે:

1. આ લેખમાં છુપાયેલા તમામ કાર્યોને અનલૉક કરો -
2. પાઠ્યપુસ્તકના તમામ 99 લેખોમાં તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસને અનલૉક કરો - પાઠ્યપુસ્તક ખરીદો - 499 RUR

હા, અમારી પાઠ્યપુસ્તકમાં આવા 99 લેખો છે અને તમામ કાર્યોની ઍક્સેસ છે અને તેમાં છુપાયેલા તમામ પાઠો તરત જ ખોલી શકાય છે.

સાઇટના સમગ્ર જીવન માટે તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસ પ્રદાન કરવામાં આવે છે.

અને નિષ્કર્ષમાં ...

જો તમને અમારા કાર્યો પસંદ નથી, તો અન્યને શોધો. ફક્ત સિદ્ધાંત પર અટકશો નહીં.

"સમજ્યું" અને "હું હલ કરી શકું છું" એ સંપૂર્ણપણે અલગ કુશળતા છે. તમારે બંનેની જરૂર છે.

સમસ્યાઓ શોધો અને તેમને હલ કરો!

સંખ્યાત્મક અને બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓ. અભિવ્યક્તિઓ રૂપાંતરિત.

ગણિતમાં અભિવ્યક્તિ શું છે? શા માટે આપણને અભિવ્યક્તિ રૂપાંતરણોની જરૂર છે?

પ્રશ્ન, જેમ તેઓ કહે છે, રસપ્રદ છે... હકીકત એ છે કે આ ખ્યાલો તમામ ગણિતનો આધાર છે. તમામ ગણિતમાં અભિવ્યક્તિઓ અને તેમના પરિવર્તનનો સમાવેશ થાય છે. ખૂબ સ્પષ્ટ નથી? મને સમજાવવા દો.

ચાલો કહીએ કે તમારી સામે એક દુષ્ટ ઉદાહરણ છે. ખૂબ મોટું અને ખૂબ જટિલ. ચાલો કહીએ કે તમે ગણિતમાં સારા છો અને કંઈપણથી ડરતા નથી! શું તમે તરત જ જવાબ આપી શકો છો?

તમારે કરવું પડશે નક્કી કરોઆ ઉદાહરણ. સતત, પગલું દ્વારા, આ ઉદાહરણ સરળ બનાવવું. ચોક્કસ નિયમો અનુસાર, અલબત્ત. તે. કરવું અભિવ્યક્તિ રૂપાંતર. તમે આ રૂપાંતરણોને જેટલી સફળતાપૂર્વક હાથ ધરો છો, તમે ગણિતમાં જેટલા મજબૂત છો. જો તમને યોગ્ય રૂપાંતરણ કેવી રીતે કરવું તે ખબર નથી, તો તમે તેમને ગણિતમાં કરી શકશો નહીં. કંઈ નહીં...

આવા અસ્વસ્થ ભાવિ (અથવા વર્તમાન...) ટાળવા માટે, આ વિષયને સમજવામાં નુકસાન થતું નથી.)

પ્રથમ, ચાલો શોધી કાઢીએ ગણિતમાં અભિવ્યક્તિ શું છે. શું થયું છે સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઅને શું છે બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિ.

ગણિતમાં અભિવ્યક્તિ શું છે?

ગણિતમાં અભિવ્યક્તિ- આ ખૂબ વ્યાપક ખ્યાલ છે. ગણિતમાં આપણે જેની સાથે વ્યવહાર કરીએ છીએ તે લગભગ દરેક વસ્તુ ગાણિતિક અભિવ્યક્તિઓનો સમૂહ છે. કોઈપણ ઉદાહરણો, સૂત્રો, અપૂર્ણાંક, સમીકરણો અને તેથી વધુ - તે બધા સમાવે છે ગાણિતિક અભિવ્યક્તિઓ.

3+2 એ ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ છે. s 2 - d 2- આ પણ એક ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ છે. તંદુરસ્ત અપૂર્ણાંક અને એક પણ સંખ્યા બંને ગાણિતિક સમીકરણો છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ છે:

5x + 2 = 12

સમાન ચિહ્ન દ્વારા જોડાયેલા બે ગાણિતિક સમીકરણોનો સમાવેશ થાય છે. એક અભિવ્યક્તિ ડાબી બાજુએ છે, બીજી જમણી તરફ.

સામાન્ય રીતે, શબ્દ " ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ"નો ઉપયોગ, મોટે ભાગે, ગુંજારવાનું ટાળવા માટે થાય છે. તેઓ તમને પૂછશે કે સામાન્ય અપૂર્ણાંક શું છે, ઉદાહરણ તરીકે? અને કેવી રીતે જવાબ આપવો?!

પ્રથમ જવાબ: "આ છે ... મમમમમ... આવી વસ્તુ... જેમાં... શું હું અપૂર્ણાંક વધુ સારી રીતે લખી શકું? તમને કયું જોઈએ છે?"

બીજો જવાબ: "એક સામાન્ય અપૂર્ણાંક છે (ઉલ્લાસપૂર્વક અને આનંદથી!) ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ , જેમાં અંશ અને છેદનો સમાવેશ થાય છે!"

બીજો વિકલ્પ કોઈક રીતે વધુ પ્રભાવશાળી હશે, ખરું ને?)

આ વાક્યનો હેતુ છે " ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ "ખૂબ સારું. સાચા અને નક્કર બંને. પરંતુ વ્યવહારિક ઉપયોગ માટે તમારે સારી સમજ હોવી જરૂરી છે ગણિતમાં ચોક્કસ પ્રકારના અભિવ્યક્તિઓ .

વિશિષ્ટ પ્રકાર એ બીજી બાબત છે. આ તે સંપૂર્ણપણે અલગ બાબત છે!દરેક પ્રકારની ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ હોય છે ખાણનિયમો અને તકનીકોનો સમૂહ જેનો ઉપયોગ નિર્ણય લેતી વખતે થવો જોઈએ. અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરવા માટે - એક સેટ. ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિઓ સાથે કામ કરવા માટે - બીજો. લઘુગણક સાથે કામ કરવા માટે - ત્રીજો. અને તેથી વધુ. ક્યાંક આ નિયમો એકરૂપ છે, ક્યાંક તેઓ તીવ્ર રીતે અલગ છે. પરંતુ આ ડરામણા શબ્દોથી ડરશો નહીં. અમે યોગ્ય વિભાગોમાં લઘુગણક, ત્રિકોણમિતિ અને અન્ય રહસ્યમય વસ્તુઓને માસ્ટર કરીશું.

અહીં આપણે બે મુખ્ય પ્રકારના ગાણિતિક અભિવ્યક્તિઓ (અથવા - પુનરાવર્તન, કોના આધારે...) માસ્ટર કરીશું. સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓ અને બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓ.

સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓ.

શું થયું છે સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ? આ એક ખૂબ જ સરળ ખ્યાલ છે. નામ પોતે જ સંકેત આપે છે કે આ સંખ્યાઓ સાથેની અભિવ્યક્તિ છે. હા, તે કેવી રીતે છે. સંખ્યાઓ, કૌંસ અને અંકગણિત પ્રતીકોથી બનેલી ગાણિતિક અભિવ્યક્તિને સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ કહેવામાં આવે છે.

7-3 એ સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ છે.

(8+3.2) 5.4 એ પણ સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ છે.

અને આ રાક્ષસ:

સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ પણ, હા...

એક સામાન્ય સંખ્યા, અપૂર્ણાંક, X અને અન્ય અક્ષરો વિનાની ગણતરીનું કોઈપણ ઉદાહરણ - આ બધા સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓ છે.

મુખ્ય ચિહ્ન સંખ્યાત્મકઅભિવ્યક્તિઓ - તેમાં કોઈ પત્ર નથી. કોઈ નહિ. માત્ર સંખ્યાઓ અને ગાણિતિક પ્રતીકો (જો જરૂરી હોય તો). તે સરળ છે, અધિકાર?

અને તમે સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓ સાથે શું કરી શકો? સંખ્યાત્મક સમીકરણો સામાન્ય રીતે ગણી શકાય. આ કરવા માટે, એવું થાય છે કે તમારે કૌંસ ખોલવા પડશે, ચિહ્નો બદલવા પડશે, સંક્ષિપ્તમાં, શરતોની અદલાબદલી કરવી પડશે - એટલે કે. કરવું અભિવ્યક્તિ રૂપાંતરણો. પરંતુ નીચે તેના પર વધુ.

અહીં આપણે સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ સાથે આવા રમુજી કેસ સાથે વ્યવહાર કરીશું તમારે કંઈ કરવાની જરૂર નથી.સારું, કંઈ જ નહીં! આ સુખદ ઓપરેશન - કંઈ ન કરો)- જ્યારે અભિવ્યક્તિ ચલાવવામાં આવે છે અર્થ નથી.

જ્યારે સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિનો કોઈ અર્થ નથી?

તે સ્પષ્ટ છે કે જો આપણે આપણી સામે કોઈ પ્રકારનો અબ્રાકાડાબ્રા જોયે, જેમ કે

પછી અમે કંઈ કરીશું નહીં. કારણ કે તેના વિશે શું કરવું તે સ્પષ્ટ નથી. અમુક પ્રકારની નોનસેન્સ. કદાચ પ્લીસસની સંખ્યા ગણો...

પરંતુ બાહ્યરૂપે તદ્દન યોગ્ય અભિવ્યક્તિઓ છે. ઉદાહરણ તરીકે આ:

(2+3) : (16 - 2 8)

જો કે, આ અભિવ્યક્તિ પણ અર્થ નથી! સરળ કારણોસર કે બીજા કૌંસમાં - જો તમે ગણતરી કરો - તો તમને શૂન્ય મળશે. પરંતુ તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી! ગણિતમાં આ એક પ્રતિબંધિત કામગીરી છે. તેથી, આ અભિવ્યક્તિ સાથે પણ કંઈ કરવાની જરૂર નથી. આવા અભિવ્યક્તિ સાથેના કોઈપણ કાર્ય માટે, જવાબ હંમેશા સમાન હશે: "અભિવ્યક્તિનો કોઈ અર્થ નથી!"

આવા જવાબ આપવા માટે, અલબત્ત, મારે કૌંસમાં શું હશે તેની ગણતરી કરવી પડી. અને કેટલીકવાર કૌંસમાં ઘણી બધી સામગ્રી હોય છે... સારું, તમે તેના વિશે કંઈ કરી શકતા નથી.

ગણિતમાં આટલી બધી પ્રતિબંધિત ક્રિયાઓ નથી. આ વિષયમાં ફક્ત એક જ છે. શૂન્ય વડે વિભાજન. મૂળ અને લઘુગણકમાં ઉદ્ભવતા વધારાના પ્રતિબંધોની ચર્ચા સંબંધિત વિષયોમાં કરવામાં આવી છે.

તેથી, તે શું છે તેનો વિચાર સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ- પ્રાપ્ત. ખ્યાલ આંકડાકીય અભિવ્યક્તિનો કોઈ અર્થ નથી- સમજાયું. ચાલો આગળ વધીએ.

બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓ.

જો અક્ષરો સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિમાં દેખાય, તો આ અભિવ્યક્તિ બની જાય છે... અભિવ્યક્તિ બની જાય છે... હા! તે બને છે બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિ. ઉદાહરણ તરીકે:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

આવા અભિવ્યક્તિઓ પણ કહેવામાં આવે છે શાબ્દિક અભિવ્યક્તિઓ.અથવા ચલો સાથે અભિવ્યક્તિઓ.તે વ્યવહારીક સમાન વસ્તુ છે. અભિવ્યક્તિ 5a +c, ઉદાહરણ તરીકે, શાબ્દિક અને બીજગણિત બંને, અને ચલો સાથેની અભિવ્યક્તિ.

ખ્યાલ બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિ -સંખ્યાત્મક કરતાં વિશાળ. તે સમાવેશ થાય છેઅને તમામ સંખ્યાત્મક સમીકરણો. તે. સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ પણ એક બીજગણિત અભિવ્યક્તિ છે, ફક્ત અક્ષરો વિના. દરેક હેરિંગ માછલી છે, પરંતુ દરેક માછલી હેરિંગ નથી...)

શા માટે આલ્ફાબેટીક- તે સ્પષ્ટ છે. ઠીક છે, કારણ કે ત્યાં અક્ષરો છે... શબ્દસમૂહ ચલો સાથે અભિવ્યક્તિતે ખૂબ કોયડારૂપ પણ નથી. જો તમે સમજો છો કે અક્ષરોની નીચે નંબરો છુપાયેલા છે. તમામ પ્રકારની સંખ્યાઓ અક્ષરો હેઠળ છુપાવી શકાય છે... અને 5, અને -18, અને બીજું કંઈપણ. એટલે કે, એક પત્ર હોઈ શકે છે બદલોવિવિધ નંબરો માટે. તેથી જ પત્રો કહેવામાં આવે છે ચલો.

અભિવ્યક્તિમાં y+5, ઉદાહરણ તરીકે, ખાતે- ચલ મૂલ્ય. અથવા તેઓ ફક્ત કહે છે " ચલ", "મેગ્નિટ્યુડ" શબ્દ વિના. પાંચથી વિપરીત, જે એક સ્થિર મૂલ્ય છે. અથવા ખાલી - સતત.

મુદત બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિમતલબ કે આ અભિવ્યક્તિ સાથે કામ કરવા માટે તમારે કાયદા અને નિયમોનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે બીજગણિત. જો અંકગણિતપછી ચોક્કસ સંખ્યાઓ સાથે કામ કરે છે બીજગણિત- એક જ સમયે તમામ સંખ્યાઓ સાથે. સ્પષ્ટતા માટે એક સરળ ઉદાહરણ.

અંકગણિતમાં આપણે તે લખી શકીએ છીએ

પરંતુ જો આપણે બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓ દ્વારા આવી સમાનતા લખીએ:

a + b = b + a

અમે તરત જ નિર્ણય લઈશું બધાપ્રશ્નો માટે બધા નંબરોએકમાં તરાપ મારી. અનંત દરેક વસ્તુ માટે. કારણ કે અક્ષરો હેઠળ એઅને bગર્ભિત બધાસંખ્યાઓ અને માત્ર સંખ્યાઓ જ નહીં, પણ અન્ય ગાણિતિક સમીકરણો પણ. બીજગણિત આ રીતે કામ કરે છે.

બીજગણિત અભિવ્યક્તિ ક્યારે અર્થમાં નથી?

સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ વિશે બધું સ્પષ્ટ છે. તમે ત્યાં શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી. અને અક્ષરો વડે, શું આપણે શું વિભાજિત કરીએ છીએ તે શોધવાનું શક્ય છે?!

ચાલો ઉદાહરણ તરીકે આ અભિવ્યક્તિને ચલો સાથે લઈએ:

2: (એ - 5)

શું તે અર્થમાં છે? કોણ જાણે? એ- કોઈપણ નંબર...

કોઈપણ, કોઈપણ... પરંતુ તેનો એક અર્થ છે એ, જેના માટે આ અભિવ્યક્તિ બરાબરઅર્થ નથી! અને આ નંબર શું છે? હા! આ 5 છે! જો ચલ એનંબર 5 સાથે બદલો (તેઓ "અવેજી" કહે છે) કૌંસમાં તમને શૂન્ય મળશે. જેને વિભાજિત કરી શકાતું નથી. તેથી તે તારણ આપે છે કે અમારી અભિવ્યક્તિ અર્થ નથી, જો a = 5. પરંતુ અન્ય મૂલ્યો માટે એશું તે અર્થપૂર્ણ છે? શું તમે અન્ય નંબરો બદલી શકો છો?

ચોક્કસ. આવા કિસ્સાઓમાં તેઓ ફક્ત કહે છે કે અભિવ્યક્તિ

2: (એ - 5)

કોઈપણ મૂલ્યો માટે અર્થપૂર્ણ છે એ, a = 5 સિવાય .

સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ કે કરી શકે છેઆપેલ અભિવ્યક્તિમાં અવેજી કહેવામાં આવે છે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણીઆ અભિવ્યક્તિ.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ત્યાં કંઈ જટિલ નથી. ચાલો ચલ સાથેની અભિવ્યક્તિ જોઈએ અને આકૃતિ કરીએ: ચલના કયા મૂલ્ય પર પ્રતિબંધિત કામગીરી (શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર) પ્રાપ્ત થાય છે?

અને પછી કાર્ય પ્રશ્ન જોવાની ખાતરી કરો. તેઓ શું પૂછે છે?

અર્થ નથી, અમારા પ્રતિબંધિત અર્થ જવાબ હશે.

જો તમે પૂછો કે ચલની કઈ કિંમત છે અર્થપૂર્ણ છે(ફરક અનુભવો!), જવાબ હશે અન્ય તમામ નંબરોપ્રતિબંધિત સિવાય.

શા માટે આપણને અભિવ્યક્તિના અર્થની જરૂર છે? તે ત્યાં છે, તે નથી... શું તફાવત છે?! મુદ્દો એ છે કે હાઇસ્કૂલમાં આ ખ્યાલ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ બની જાય છે. અત્યંત મહત્વપૂર્ણ! સ્વીકાર્ય મૂલ્યોના ડોમેન અથવા ફંક્શનના ડોમેન જેવા નક્કર ખ્યાલોનો આ આધાર છે. આ વિના, તમે ગંભીર સમીકરણો અથવા અસમાનતાઓને હલ કરી શકશો નહીં. આની જેમ.

અભિવ્યક્તિઓ રૂપાંતરિત. ઓળખ પરિવર્તન.

અમને સંખ્યાત્મક અને બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઓનો પરિચય થયો. અમે સમજી ગયા કે "અભિવ્યક્તિનો કોઈ અર્થ નથી" વાક્યનો અર્થ શું છે. હવે આપણે તે શું છે તે શોધવાની જરૂર છે અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન.જવાબ સરળ છે, અપમાનના મુદ્દા સુધી.) આ અભિવ્યક્તિ સાથેની કોઈપણ ક્રિયા છે. બસ એટલું જ. તમે પ્રથમ ધોરણથી આ પરિવર્તનો કરી રહ્યા છો.

ચાલો કૂલ સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ 3+5 લઈએ. તેને કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરી શકાય? હા, ખૂબ જ સરળ! ગણતરી કરો:

આ ગણતરી અભિવ્યક્તિનું પરિવર્તન હશે. તમે સમાન અભિવ્યક્તિને અલગ રીતે લખી શકો છો:

અહીં અમે બિલકુલ ગણતરી કરી નથી. માત્ર અભિવ્યક્તિ લખી એક અલગ સ્વરૂપમાં.આ અભિવ્યક્તિનું પરિવર્તન પણ હશે. તમે તેને આ રીતે લખી શકો છો:

અને આ પણ અભિવ્યક્તિનું પરિવર્તન છે. તમે ઇચ્છો તેટલા આવા પરિવર્તનો કરી શકો છો.

કોઈપણઅભિવ્યક્તિ પર ક્રિયા કોઈપણતેને બીજા સ્વરૂપમાં લખવાને અભિવ્યક્તિનું પરિવર્તન કહેવામાં આવે છે. અને તે બધુ જ છે. તે ખૂબ જ સરળ છે. પણ અહીં એક વાત છે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ નિયમ.એટલું મહત્વનું છે કે તેને સુરક્ષિત રીતે કહી શકાય મુખ્ય નિયમબધા ગણિત. આ નિયમનો ભંગ અનિવાર્યપણેભૂલો તરફ દોરી જાય છે. શું આપણે તેમાં પ્રવેશી રહ્યા છીએ?)

ચાલો કહીએ કે અમે અમારી અભિવ્યક્તિને આડેધડ રીતે રૂપાંતરિત કર્યું, જેમ કે:

રૂપાંતર? ચોક્કસ. અમે અભિવ્યક્તિને અલગ સ્વરૂપમાં લખી છે, અહીં શું ખોટું છે?

તે એવું નથી.) મુદ્દો એ છે કે પરિવર્તન "રેન્ડમ પર"ગણિતમાં બિલકુલ રસ નથી.) તમામ ગણિત પરિવર્તનો પર બનેલ છે જેમાં દેખાવ બદલાય છે, પરંતુ અભિવ્યક્તિનો સાર બદલાતો નથી.ત્રણ વત્તા પાંચ કોઈપણ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે, પરંતુ તે આઠ હોવા જોઈએ.

પરિવર્તન, અભિવ્યક્તિઓ કે જે સારને બદલતા નથીકહેવાય છે સમાન

બરાબર ઓળખ પરિવર્તનઅને જાળવણી કરતી વખતે, અમને એક જટિલ ઉદાહરણને સરળ અભિવ્યક્તિમાં રૂપાંતરિત કરવાની મંજૂરી આપો ઉદાહરણનો સાર.જો આપણે પરિવર્તનની શ્રૃંખલામાં ભૂલ કરીએ, તો આપણે સમાન રૂપાંતરણ ન કરીએ, તો પછી આપણે નક્કી કરીશું અન્યઉદાહરણ અન્ય જવાબો સાથે જે સાચા જવાબો સાથે સંબંધિત નથી.)

કોઈપણ કાર્યોને હલ કરવાનો આ મુખ્ય નિયમ છે: પરિવર્તનની ઓળખ જાળવી રાખવી.

મેં સ્પષ્ટતા માટે સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ 3+5 સાથે ઉદાહરણ આપ્યું. બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓમાં, ઓળખ પરિવર્તન સૂત્રો અને નિયમો દ્વારા આપવામાં આવે છે. ચાલો કહીએ કે બીજગણિતમાં એક સૂત્ર છે:

a(b+c) = ab + ac

આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ ઉદાહરણમાં આપણે અભિવ્યક્તિને બદલે કરી શકીએ છીએ a(b+c)અભિવ્યક્તિ લખવા માટે મફત લાગે ab + ac. અને ઊલટું. આ સમાન રૂપાંતરણ.ગણિત આપણને આ બે અભિવ્યક્તિઓ વચ્ચે પસંદગી આપે છે. અને કયું લખવું તે ચોક્કસ ઉદાહરણ પર આધાર રાખે છે.

બીજું ઉદાહરણ. સૌથી મહત્વપૂર્ણ અને જરૂરી પરિવર્તનોમાંનું એક અપૂર્ણાંકની મૂળભૂત મિલકત છે. તમે લિંક પર વધુ વિગતો જોઈ શકો છો, પરંતુ અહીં હું તમને નિયમની યાદ અપાવીશ: જો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર (વિભાજિત) કરવામાં આવે, અથવા એવી અભિવ્યક્તિ કે જે શૂન્યની બરાબર ન હોય, તો અપૂર્ણાંક બદલાશે નહીં.અહીં આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને ઓળખ પરિવર્તનનું ઉદાહરણ છે:

જેમ તમે કદાચ અનુમાન લગાવ્યું છે, આ સાંકળ અનિશ્ચિત સમય માટે ચાલુ રાખી શકાય છે...) એક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ મિલકત. આ તે છે જે તમને તમામ પ્રકારના ઉદાહરણ રાક્ષસોને સફેદ અને રુંવાટીવાળું બનાવવા દે છે.)

સમાન રૂપાંતરણોને વ્યાખ્યાયિત કરતા ઘણા સૂત્રો છે. પરંતુ સૌથી મહત્વની રાશિઓ તદ્દન વાજબી સંખ્યા છે. મૂળભૂત પરિવર્તનોમાંનું એક પરિબળીકરણ છે. તેનો ઉપયોગ તમામ ગણિતમાં થાય છે - પ્રાથમિકથી અદ્યતન સુધી. ચાલો તેની સાથે શરૂઆત કરીએ. આગામી પાઠમાં.)

જો તમને આ સાઈટ ગમે તો...

માર્ગ દ્વારા, મારી પાસે તમારા માટે કેટલીક વધુ રસપ્રદ સાઇટ્સ છે.)

તમે ઉદાહરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને તમારું સ્તર શોધી શકો છો. ત્વરિત ચકાસણી સાથે પરીક્ષણ. ચાલો શીખીએ - રસ સાથે!)

તમે કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝથી પરિચિત થઈ શકો છો.