તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન, પરિવર્તનના પ્રકારો, ઉદાહરણો. તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન: પરિવર્તનના પ્રકારો, ઉદાહરણો

લેખ તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓના પરિવર્તન વિશે વાત કરે છે. ચાલો તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓના પ્રકારો, તેમના રૂપાંતરણો, જૂથો અને સામાન્ય પરિબળને કૌંસમાં લઈએ. ચાલો અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓને તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવાનું શીખીએ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓની વ્યાખ્યા અને ઉદાહરણો

અપૂર્ણાંક રેખાની હાજરી સાથે સંખ્યાઓ, ચલ, કૌંસ, સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકારની ક્રિયાઓ સાથેની શક્તિઓથી બનેલા અભિવ્યક્તિને કહેવામાં આવે છે. તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ.

ઉદાહરણ તરીકે, આપણી પાસે તે 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .

એટલે કે, આ એવા અભિવ્યક્તિઓ છે જે ચલો સાથેના અભિવ્યક્તિઓમાં વિભાજિત નથી. તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓનો અભ્યાસ ગ્રેડ 8 માં શરૂ થાય છે, જ્યાં તેમને અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ કહેવામાં આવે છે, ખાસ ધ્યાન અંશમાં અપૂર્ણાંક પર આપવામાં આવે છે, જે પરિવર્તનના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને પરિવર્તિત થાય છે.

આ આપણને મનસ્વી સ્વરૂપના તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના પરિવર્તન તરફ આગળ વધવાની મંજૂરી આપે છે. આવી અભિવ્યક્તિને ક્રિયા ચિહ્નો સાથે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકો અને પૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓની હાજરી સાથે અભિવ્યક્તિ તરીકે ગણી શકાય.

તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓના રૂપાંતરણના મુખ્ય પ્રકારો

તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓનો ઉપયોગ સમાન રૂપાંતરણ કરવા, જૂથબંધી કરવા, સમાન લાવવા અને સંખ્યાઓ સાથે અન્ય ક્રિયાઓ કરવા માટે થાય છે. આવા અભિવ્યક્તિઓનો હેતુ સરળીકરણ છે.

ઉદાહરણ 1

તર્કસંગત અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતર કરો 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

ઉકેલ

તે જોઈ શકાય છે કે આવી તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ 3 x x y - 1 અને 2 x x y - 1 વચ્ચેનો તફાવત છે. અમે નોંધ્યું છે કે તેમના છેદ સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે સમાન શરતોનો ઘટાડો ફોર્મ લેશે

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

જવાબ: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .

ઉદાહરણ 2

2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) કન્વર્ટ કરો.

ઉકેલ

શરૂઆતમાં, અમે કૌંસમાં ક્રિયાઓ કરીએ છીએ 3 · x − x = 2 · x. અમે આ અભિવ્યક્તિને 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ છીએ. અમે એક અભિવ્યક્તિ પર પહોંચીએ છીએ જેમાં એક પગલા સાથેની ક્રિયાઓ હોય છે, એટલે કે તેમાં સરવાળો અને બાદબાકી હોય છે.

વિભાજન ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને આપણે કૌંસમાંથી છુટકારો મેળવીએ છીએ. પછી આપણને મળે છે કે 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x.

અમે સંખ્યાત્મક પરિબળોને ચલ x સાથે જૂથબદ્ધ કરીએ છીએ, જેના પછી આપણે શક્તિઓ સાથે કામગીરી કરી શકીએ છીએ. અમે તે મેળવીએ છીએ

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

જવાબ: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.

ઉદાહરણ 3

x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતર કરો.

ઉકેલ

પ્રથમ, આપણે અંશ અને છેદનું રૂપાંતર કરીએ છીએ. પછી આપણને ફોર્મની અભિવ્યક્તિ મળે છે (x · (x + 3) - (3 · x + 1)): 1 2 · x · 4 + 2 , અને કૌંસમાંની ક્રિયાઓ પહેલા કરવામાં આવે છે. અંશમાં, કામગીરી કરવામાં આવે છે અને પરિબળોને જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે. પછી આપણને x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ મળે છે. + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .

આપણે અંશમાં ચોરસ સૂત્રના તફાવતને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ, પછી આપણને તે મળે છે

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

જવાબ આપો: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .

તર્કસંગત અપૂર્ણાંક રજૂઆત

બીજગણિત અપૂર્ણાંકને ઉકેલવામાં આવે ત્યારે મોટાભાગે સરળ બનાવવામાં આવે છે. દરેક તર્કસંગતને અલગ અલગ રીતે આમાં લાવવામાં આવે છે. બહુપદી સાથે તમામ જરૂરી ક્રિયાઓ કરવી જરૂરી છે જેથી તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ આખરે તર્કસંગત અપૂર્ણાંક આપી શકે.

ઉદાહરણ 4

તર્કસંગત અપૂર્ણાંક તરીકે પ્રસ્તુત કરો a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.

ઉકેલ

આ અભિવ્યક્તિને 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. ગુણાકાર મુખ્યત્વે નિયમો અનુસાર કરવામાં આવે છે.

આપણે ગુણાકારથી શરૂઆત કરવી જોઈએ, પછી આપણને તે મળે છે

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a) + 5) = a - 5 (a + 3) a

અમે પ્રાપ્ત પરિણામને મૂળ સાથે રજૂ કરીએ છીએ. અમે તે મેળવીએ છીએ

a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a

હવે બાદબાકી કરીએ:

a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 એ 2 - 9

જે પછી તે સ્પષ્ટ છે કે મૂળ અભિવ્યક્તિ 16 a 2 - 9 સ્વરૂપ લેશે.

જવાબ: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .

ઉદાહરણ 5

x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x ને તર્કસંગત અપૂર્ણાંક તરીકે વ્યક્ત કરો.

ઉકેલ

આપેલ અભિવ્યક્તિ અપૂર્ણાંક તરીકે લખાયેલ છે, જેનો અંશ x x + 1 + 1 છે, અને છેદ 2 x - 1 1 + x છે. x x + 1 + 1 રૂપાંતરણ કરવું જરૂરી છે. આ કરવા માટે તમારે અપૂર્ણાંક અને સંખ્યા ઉમેરવાની જરૂર છે. આપણને મળે છે કે x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

તે અનુસરે છે કે x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

પરિણામી અપૂર્ણાંક 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x તરીકે લખી શકાય.

વિભાજન પછી આપણે ફોર્મના તર્કસંગત અપૂર્ણાંક પર પહોંચીએ છીએ

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1

તમે આને અલગ રીતે હલ કરી શકો છો.

2 x - 1 1 + x વડે ભાગવાને બદલે, આપણે તેના વ્યસ્ત 1 + x 2 x - 1 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. ચાલો વિતરણ મિલકત લાગુ કરીએ અને તે શોધીએ

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

જવાબ: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

આ લેખ સમર્પિત છે તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન, મોટે ભાગે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત, 8મા ધોરણના બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં મુખ્ય મુદ્દાઓ પૈકી એક છે. પ્રથમ, આપણે યાદ કરીએ છીએ કે કયા પ્રકારની અભિવ્યક્તિને તર્કસંગત કહેવામાં આવે છે. આગળ આપણે તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ સાથે પ્રમાણભૂત રૂપાંતરણો કરવા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું, જેમ કે શબ્દોને જૂથબદ્ધ કરવા, સામાન્ય પરિબળોને કૌંસની બહાર મૂકવા, સમાન શબ્દો લાવવા વગેરે. છેલ્લે, આપણે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓને તર્કસંગત અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરવાનું શીખીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓની વ્યાખ્યા અને ઉદાહરણો

તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ એ શાળામાં બીજગણિત પાઠોમાં અભ્યાસ કરાયેલા અભિવ્યક્તિઓના પ્રકારોમાંથી એક છે. ચાલો એક વ્યાખ્યા આપીએ.

વ્યાખ્યા.

અંકગણિત ચિહ્નો +, −, · અને: નો ઉપયોગ કરીને જોડાયેલા સંખ્યાઓ, ચલ, કૌંસ, પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓથી બનેલા અભિવ્યક્તિઓ, જ્યાં ભાગાકારને અપૂર્ણાંક રેખા દ્વારા સૂચવી શકાય છે, કહેવામાં આવે છે તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ.

અહીં તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓના કેટલાક ઉદાહરણો છે: .

7 મા ધોરણમાં તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ હેતુપૂર્વક અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કરે છે. તદુપરાંત, 7 મા ધોરણમાં વ્યક્તિ કહેવાતા સાથે કામ કરવાની મૂળભૂત બાબતો શીખે છે સંપૂર્ણ તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ, એટલે કે, તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ સાથે કે જેમાં ચલો સાથેના અભિવ્યક્તિઓમાં વિભાજન નથી. આ કરવા માટે, એકવિધ અને બહુપદીનો અનુક્રમે અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, તેમજ તેમની સાથે ક્રિયાઓ કરવાના સિદ્ધાંતોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. આ તમામ જ્ઞાન આખરે તમને સમગ્ર અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન કરવા દે છે.

ગ્રેડ 8 માં, તેઓ ચલ સાથે અભિવ્યક્તિ દ્વારા વિભાજન ધરાવતી તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓનો અભ્યાસ કરવા આગળ વધે છે. અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ. આ કિસ્સામાં, ખાસ ધ્યાન કહેવાતા ચૂકવવામાં આવે છે તર્કસંગત અપૂર્ણાંક(તેમને પણ કહેવામાં આવે છે બીજગણિત અપૂર્ણાંક), એટલે કે, અપૂર્ણાંક જેના અંશ અને છેદમાં બહુપદી હોય છે. આ આખરે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને કન્વર્ટ કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

હસ્તગત કૌશલ્યો તમને કોઈપણ સ્વરૂપના તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓના પરિવર્તન તરફ આગળ વધવા દે છે. આ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે કે કોઈપણ તર્કસંગત અભિવ્યક્તિને અંકગણિત ક્રિયાઓના સંકેતો દ્વારા જોડાયેલા તર્કસંગત અપૂર્ણાંકો અને પૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓથી બનેલી અભિવ્યક્તિ તરીકે ગણી શકાય. અને આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે સંપૂર્ણ સમીકરણો અને બીજગણિત અપૂર્ણાંક સાથે કેવી રીતે કામ કરવું.

તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓના રૂપાંતરણના મુખ્ય પ્રકારો

તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ સાથે, તમે કોઈપણ મૂળભૂત ઓળખ પરિવર્તનને હાથ ધરી શકો છો, ભલે તે શબ્દો અથવા પરિબળોને જૂથબદ્ધ કરવા, સમાન શબ્દો લાવવા, સંખ્યાઓ સાથે કામગીરી કરવા વગેરે. સામાન્ય રીતે આ પરિવર્તનો કરવાનો હેતુ છે તર્કસંગત અભિવ્યક્તિનું સરળીકરણ.

ઉદાહરણ.

.

ઉકેલ.

તે સ્પષ્ટ છે કે આ તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ એ બે અભિવ્યક્તિઓ અને , વચ્ચેનો તફાવત છે અને આ અભિવ્યક્તિઓ સમાન છે, કારણ કે તેમની પાસે સમાન અક્ષરનો ભાગ છે. આમ, અમે સમાન શરતોનો ઘટાડો કરી શકીએ છીએ:

જવાબ:

.

તે સ્પષ્ટ છે કે જ્યારે તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ સાથે, તેમજ અન્ય કોઈપણ અભિવ્યક્તિઓ સાથે પરિવર્તનો હાથ ધરવા માટે, તમારે ક્રિયાઓના સ્વીકૃત ક્રમમાં રહેવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ.

તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ પરિવર્તન કરો.

ઉકેલ.

આપણે જાણીએ છીએ કે કૌંસમાંની ક્રિયાઓ પહેલા ચલાવવામાં આવે છે. તેથી, સૌ પ્રથમ, આપણે અભિવ્યક્તિને કૌંસમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ: 3·x−x=2·x.

હવે તમે પ્રાપ્ત પરિણામને મૂળ તર્કસંગત અભિવ્યક્તિમાં બદલી શકો છો: . તેથી અમે એક તબક્કાની ક્રિયાઓ ધરાવતી અભિવ્યક્તિ પર આવ્યા - ઉમેરણ અને ગુણાકાર.

ચાલો ઉત્પાદન દ્વારા વિભાજનની મિલકત લાગુ કરીને અભિવ્યક્તિના અંતે કૌંસથી છુટકારો મેળવીએ: .

છેલ્લે, આપણે સંખ્યાત્મક પરિબળો અને પરિબળોને x ચલ સાથે જૂથબદ્ધ કરી શકીએ છીએ, પછી સંખ્યાઓ પર અનુરૂપ ક્રિયાઓ કરી શકીએ છીએ અને લાગુ કરી શકીએ છીએ:.

આ તર્કસંગત અભિવ્યક્તિના પરિવર્તનને પૂર્ણ કરે છે, અને પરિણામે આપણને એકવિધતા મળે છે.

જવાબ:

ઉદાહરણ.

તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ કન્વર્ટ કરો .

ઉકેલ.

પહેલા આપણે અંશ અને છેદનું રૂપાંતર કરીએ છીએ. અપૂર્ણાંકના રૂપાંતરનો આ ક્રમ એ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે કે અપૂર્ણાંકની રેખા આવશ્યકપણે ભાગાકાર માટેનું બીજું હોદ્દો છે, અને મૂળ તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ એ ફોર્મનો એક ભાગ છે. , અને કૌંસમાંની ક્રિયાઓ પહેલા કરવામાં આવે છે.

તેથી, અંશમાં આપણે બહુપદી સાથે ક્રિયાઓ કરીએ છીએ, પ્રથમ ગુણાકાર, પછી બાદબાકી, અને છેદમાં આપણે સંખ્યાત્મક પરિબળોને જૂથબદ્ધ કરીએ છીએ અને તેમના ઉત્પાદનની ગણતરી કરીએ છીએ: .

ચાલો ઉત્પાદનના સ્વરૂપમાં પરિણામી અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદની પણ કલ્પના કરીએ: અચાનક બીજગણિત અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાનું શક્ય છે. આ કરવા માટે, આપણે અંશમાં ઉપયોગ કરીશું ચોરસ ફોર્મ્યુલાનો તફાવત, અને છેદમાં આપણે બેને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીએ છીએ, આપણી પાસે છે .

જવાબ:

.

તેથી, તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓના પરિવર્તન સાથે પ્રારંભિક પરિચય પૂર્ણ ગણી શકાય. ચાલો આગળ વધીએ, તેથી વાત કરવા માટે, સૌથી મધુર ભાગ પર.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંક રજૂઆત

મોટેભાગે, અભિવ્યક્તિઓના પરિવર્તનનો અંતિમ ધ્યેય તેમના દેખાવને સરળ બનાવવાનો છે. આ પ્રકાશમાં, સૌથી સરળ સ્વરૂપ કે જેમાં અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરી શકાય છે તે તર્કસંગત (બીજગણિત) અપૂર્ણાંક છે, અને ખાસ કિસ્સામાં બહુપદી, એકપદી અથવા સંખ્યા.

શું તર્કસંગત અપૂર્ણાંક તરીકે કોઈપણ તર્કસંગત અભિવ્યક્તિનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું શક્ય છે? જવાબ હા છે. ચાલો સમજાવીએ કે આવું શા માટે છે.

આપણે પહેલેથી જ કહ્યું છે તેમ, દરેક તર્કસંગત અભિવ્યક્તિને વત્તા, ઓછા, ગુણાકાર અને ભાગાકાર ચિહ્નો દ્વારા જોડાયેલા બહુપદી અને તર્કસંગત અપૂર્ણાંક તરીકે ગણી શકાય. બહુપદી સાથેની તમામ અનુરૂપ ક્રિયાઓ બહુપદી અથવા તર્કસંગત અપૂર્ણાંક આપે છે. બદલામાં, કોઈપણ બહુપદીને છેદ 1 સાથે લખીને બીજગણિત અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. અને તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોને ઉમેરવા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરવાથી નવા તર્કસંગત અપૂર્ણાંકમાં પરિણમે છે. તેથી, તર્કસંગત અભિવ્યક્તિમાં બહુપદી અને તર્કસંગત અપૂર્ણાંકો સાથેની બધી ક્રિયાઓ કર્યા પછી, આપણને તર્કસંગત અપૂર્ણાંક મળે છે.

ઉદાહરણ.

અભિવ્યક્તિને તર્કસંગત અપૂર્ણાંક તરીકે વ્યક્ત કરો .

ઉકેલ.

મૂળ તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ એ અપૂર્ણાંક અને સ્વરૂપના અપૂર્ણાંકના ઉત્પાદન વચ્ચેનો તફાવત છે . ઑપરેશનના ક્રમ મુજબ, આપણે પહેલા ગુણાકાર કરવું જોઈએ, અને માત્ર પછી ઉમેરવું.

અમે બીજગણિત અપૂર્ણાંકના ગુણાકાર સાથે પ્રારંભ કરીએ છીએ:

અમે પ્રાપ્ત પરિણામને મૂળ તર્કસંગત અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ છીએ: .

અમે વિવિધ છેદ સાથે બીજગણિત અપૂર્ણાંકની બાદબાકી પર આવ્યા છીએ:

તેથી, મૂળ તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ બનાવતા તર્કસંગત અપૂર્ણાંકો સાથે કામગીરી કર્યા પછી, અમે તેને તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના રૂપમાં રજૂ કર્યું.

જવાબ:

.

સામગ્રીને એકીકૃત કરવા માટે, અમે બીજા ઉદાહરણના ઉકેલનું વિશ્લેષણ કરીશું.

ઉદાહરણ.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંક તરીકે તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ વ્યક્ત કરો.

જેમ આપણે નીચે જોઈશું, દરેક પ્રાથમિક કાર્ય પ્રાથમિક કાર્યોમાં અભિન્ન અભિન્ન નથી. તેથી, વિધેયોના વર્ગોને ઓળખવા માટે તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કે જેમના પૂર્ણાંકો પ્રાથમિક કાર્યો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. આ વર્ગોમાં સૌથી સરળ તર્કસંગત કાર્યોનો વર્ગ છે.

કોઈપણ તર્કસંગત કાર્યને તર્કસંગત અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, એટલે કે, બે બહુપદીના ગુણોત્તર તરીકે:

દલીલની સામાન્યતાને મર્યાદિત કર્યા વિના, અમે ધારીશું કે બહુપદીના સામાન્ય મૂળ નથી.

જો અંશની ડિગ્રી છેદની ડિગ્રી કરતા ઓછી હોય, તો અપૂર્ણાંક યોગ્ય કહેવાય છે, અન્યથા અપૂર્ણાંક અયોગ્ય કહેવાય છે.

જો અપૂર્ણાંક અયોગ્ય છે, તો પછી અંશને છેદ દ્વારા વિભાજિત કરીને (બહુપદીને વિભાજિત કરવાના નિયમ મુજબ), તમે આ અપૂર્ણાંકને બહુપદીના સરવાળા તરીકે અને કેટલાક યોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકો છો:

અહીં બહુપદી છે, અને a યોગ્ય અપૂર્ણાંક છે.

ઉદાહરણ ટી. અયોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંક આપવા દો

અંશને છેદ વડે વિભાજિત કરવાથી (બહુપદીના ભાગાકાર માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરીને), આપણને મળે છે

બહુપદીનું સંકલન કરવું મુશ્કેલ ન હોવાથી, તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોને એકીકૃત કરવામાં મુખ્ય મુશ્કેલી એ યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોને એકીકૃત કરવાની છે.

વ્યાખ્યા. ફોર્મના યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંકો

I, II, III અને IV ના સરળ અપૂર્ણાંકો કહેવાય છે.

પ્રકાર I, II અને III ના સરળ અપૂર્ણાંકને એકીકૃત કરવું ખૂબ મુશ્કેલ નથી, તેથી અમે કોઈપણ વધારાની સમજૂતી વિના તેમનું એકીકરણ કરીશું:

વધુ જટિલ ગણતરીઓ માટે પ્રકાર IV ના સરળ અપૂર્ણાંકોનું એકીકરણ જરૂરી છે. ચાલો આ પ્રકારનું એક અભિન્ન અંગ આપીએ:

ચાલો પરિવર્તનો કરીએ:

પ્રથમ અભિન્ન અવેજી દ્વારા લેવામાં આવે છે

બીજો અભિન્ન - અમે તેને ફોર્મમાં લખીને સૂચિત કરીએ છીએ

ધારણા દ્વારા, છેદના મૂળ જટિલ છે, અને તેથી, આગળ આપણે નીચે પ્રમાણે આગળ વધીએ છીએ:

ચાલો અભિન્ન રૂપાંતર કરીએ:

ભાગો દ્વારા સંકલન, અમારી પાસે છે

આ અભિવ્યક્તિને સમાનતા (1) માં બદલીને, આપણે મેળવીએ છીએ

જમણી બાજુએ સમાન પ્રકારનું એક અવિભાજ્ય સમાવિષ્ટ છે પરંતુ અખંડના છેદનું ઘાતાંક એક નીચું છે; આમ, અમે તેના દ્વારા વ્યક્ત કર્યું. એ જ માર્ગે આગળ વધતાં, આપણે જાણીતા અભિન્ન અંગ સુધી પહોંચીએ છીએ.