કેનોનિકલ ફોર્મ ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટરમાં ઘટાડો. દ્વિરેખીય અને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો

220400 બીજગણિત અને ભૂમિતિ ટોલ્સ્ટિકોવ એ.વી.

પ્રવચનો 16. દ્વિરેખીય અને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો.

યોજના

1. દ્વિભાષી સ્વરૂપ અને તેના ગુણધર્મો.

2. ચતુર્ભુજ આકાર. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ. સંકલન પરિવર્તન.

3. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવું. લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ.

4. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોની જડતાનો કાયદો.

5. eigenvalue પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવું.

6. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની હકારાત્મક નિશ્ચિતતા માટે સિલ્વરસ્ટનો માપદંડ.

1. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ અને રેખીય બીજગણિતનો કોર્સ. એમ.: નૌકા, 1984.

2. બગરોવ યા.એસ., નિકોલ્સ્કી એસ.એમ. રેખીય બીજગણિત અને વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના તત્વો. 1997.

3. વોએવોડિન વી.વી. રેખીય બીજગણિત.. એમ.: નૌકા 1980.

4. કોલેજો માટેની સમસ્યાઓનો સંગ્રહ. રેખીય બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણના ફંડામેન્ટલ્સ. એડ. એફિમોવા એ.વી., ડેમિડોવિચ બી.પી. એમ.: નૌકા, 1981.

5. બુટુઝોવ વી.એફ., ક્રુતિત્સ્કાયા એન.સી.એચ., શિશ્કિન એ.એ. પ્રશ્નો અને સમસ્યાઓમાં રેખીય બીજગણિત. એમ.: ફિઝમેટલીટ, 2001.

, , , ,

1. દ્વિભાષી સ્વરૂપ અને તેના ગુણધર્મો.દો વી - n- ક્ષેત્ર પર પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા પી.

વ્યાખ્યા 1.દ્વિરેખીય સ્વરૂપ, પર વ્યાખ્યાયિત વી,આવા મેપિંગ કહેવામાં આવે છે g: V 2 ® પી, જે દરેક ઓર્ડર કરેલ જોડીને ( x , y ) વેક્ટર x , y માં મૂકે છે વીક્ષેત્રની સંખ્યાને મેચ કરો પી, સૂચિત g(x , y ), અને દરેક ચલોમાં રેખીય x , y , એટલે કે ગુણધર્મો ધરાવે છે:

1) ("x , y , z Î વી)g(x + y , z ) = g(x , z ) + g(y , z );

2) ("x , y Î વી) ("એ ઓ પી)g(એ x , y ) = એ g(x , y );

3) ("x , y , z Î વી)g(x , y + z ) = g(x , y ) + g(x , z );

4) ("x , y Î વી) ("એ ઓ પી)g(x , એ y ) = એ g(x , y ).

ઉદાહરણ 1. વેક્ટર સ્પેસ પર વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ ડોટ પ્રોડક્ટ વીદ્વિરેખીય સ્વરૂપ છે.

2 . કાર્ય h(x , y ) = 2x 1 y 1 - x 2 y 2 +x 2 y 1 જ્યાં x = (x 1 ,x 2), y = (y 1 ,y 2)ઓ આર 2, દ્વિરેખીય ફોર્મ ચાલુ આર 2 .

વ્યાખ્યા 2.દો વિ = (વિ 1 , વિ 2 ,…, વિ n વી.દ્વિરેખીય સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સg(x , y ) આધારને સંબંધિતવિમેટ્રિક્સ કહેવાય છે બી=(b ij)n ´ n, જેનાં ઘટકોની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે b ij = g(વિ i, વિ j):

ઉદાહરણ 3. બાયલિનિયર મેટ્રિક્સ h(x , y ) (ઉદાહરણ 2 જુઓ) આધારને સંબંધિત ઇ 1 = (1,0), ઇ 2 = (0,1) બરાબર છે.

પ્રમેય 1. દોX, Y - અનુક્રમે વેક્ટરના કૉલમ સંકલન કરોx , yઆધાર માંv, B - દ્વિરેખીય સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સg(x , y ) આધારને સંબંધિતવિ. પછી દ્વિરેખીય સ્વરૂપ તરીકે લખી શકાય છે

g(x , y )=X t BY. (1)

પુરાવો.દ્વિરેખીય સ્વરૂપના ગુણધર્મોમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ

ઉદાહરણ 3. દ્વિરેખીય સ્વરૂપ h(x , y ) (ઉદાહરણ 2 જુઓ) ફોર્મમાં લખી શકાય છે h(x , y )=.

પ્રમેય 2. દો વિ = (વિ 1 , વિ 2 ,…, વિ n), u = (u 1 , u 2 ,…, u n) - બે વેક્ટર જગ્યા પાયાV, T - આધારમાંથી સંક્રમણ મેટ્રિક્સv થી આધારu દો બી= (b ij)n ´ n અને સાથે=(ij સાથે)n ´ n - દ્વિરેખીય મેટ્રિસિસg(x , y ) અનુક્રમે પાયા સંબંધિતv અનેu પછી

સાથે=ટી ટી બીટી.(2)

પુરાવો.સંક્રમણ મેટ્રિક્સ અને દ્વિરેખીય ફોર્મ મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા દ્વારા, આપણે શોધીએ છીએ:

વ્યાખ્યા 2.દ્વિરેખીય સ્વરૂપ g(x , y ) કહેવાય છે સપ્રમાણ, જો g(x , y ) = g(y , x કોઈપણ માટે x , y Î વી.

પ્રમેય 3. દ્વિરેખીય સ્વરૂપg(x , y )- સપ્રમાણ જો અને માત્ર જો દ્વિરેખીય સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ કોઈપણ આધારના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ હોય.

પુરાવો.દો વિ = (વિ 1 , વિ 2 ,…, વિ n) - વેક્ટર સ્પેસનો આધાર વી, બી= (b ij)n ´ n- દ્વિરેખીય સ્વરૂપના મેટ્રિસિસ g(x , y ) આધારને સંબંધિત વિ.દ્વિરેખીય સ્વરૂપ દો g(x , y ) - સપ્રમાણ. પછી કોઈપણ માટે વ્યાખ્યા 2 દ્વારા i, જે = 1, 2,…, nઅમારી પાસે છે b ij = g(વિ i, વિ j) = g(વિ j, વિ i) = બી જી. પછી મેટ્રિક્સ બી- સપ્રમાણ.

તેનાથી વિપરીત, મેટ્રિક્સ દો બી- સપ્રમાણ. પછી બીટી= બીઅને કોઈપણ વેક્ટર માટે x = x 1 વિ 1 + …+ x n વિ n =vX, y = y 1 વિ 1 + y 2 વિ 2 +…+ y n વિ n =vY Î વી, સૂત્ર (1) અનુસાર, અમે મેળવીએ છીએ (અમે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ કે સંખ્યા ક્રમ 1 નું મેટ્રિક્સ છે, અને સ્થાનાંતરણ દરમિયાન બદલાતું નથી)

g(x , y ) =g(x , y )t = (X t BY)t = Y t B t X = g(y , x ).

2. ચતુર્ભુજ આકાર. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ. સંકલન પરિવર્તન.

વ્યાખ્યા 1.ચતુર્ભુજ આકારપર વ્યાખ્યાયિત વી,મેપિંગ કહેવાય છે f:V® પી, જે કોઈપણ વેક્ટર માટે x થી વીસમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે f(x ) = g(x , x ), ક્યાં g(x , y ) પર વ્યાખ્યાયિત સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપ છે વી .

મિલકત 1.આપેલ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ અનુસારf(x )દ્વિરેખીય સ્વરૂપ સૂત્ર દ્વારા અનન્ય રીતે જોવા મળે છે

g(x , y ) = 1/2(f(x + y ) - f(x )-f(y )). (1)

પુરાવો.કોઈપણ વેક્ટર માટે x , y Î વીઆપણે દ્વિરેખીય સ્વરૂપના ગુણધર્મોમાંથી મેળવીએ છીએ

f(x + y ) = g(x + y , x + y ) = g(x , x + y ) + g(y , x + y ) = g(x , x ) + g(x , y ) + g(y , x ) + g(y , y ) = f(x ) + 2g(x , y ) + f(y ).

આમાંથી સૂત્ર (1) અનુસરે છે.

વ્યાખ્યા 2.ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સf(x ) આધારને સંબંધિતવિ = (વિ 1 , વિ 2 ,…, વિ n) અનુરૂપ સપ્રમાણ દ્વિરેખીય સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ છે g(x , y ) આધારને સંબંધિત વિ.

પ્રમેય 1. દોએક્સ= (x 1 ,x 2 ,…, x n)t- વેક્ટરની સંકલન કૉલમx આધાર માંv, B - ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સf(x ) આધારને સંબંધિતવિ. પછી ચતુર્ભુજ સ્વરૂપf(x )

વ્યાખ્યા 10.4.પ્રમાણભૂત દૃશ્યચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (10.1) ને નીચેનું સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે: . (10.4)

ચાલો બતાવીએ કે eigenvectors ના આધારે, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (10.1) પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ ધારણ કરે છે. દો

- eigenvalues ને અનુરૂપ સામાન્યકૃત eigenvectors λ 1 , λ 2 , λ 3ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે મેટ્રિસિસ (10.3). પછી જૂના આધારથી નવામાં સંક્રમણ મેટ્રિક્સ મેટ્રિક્સ હશે

નવા આધાર પર મેટ્રિક્સ એવિકર્ણ સ્વરૂપ (9.7) લેશે (ઇજેનવેક્ટર્સની મિલકત દ્વારા). આમ, સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કોઓર્ડિનેટ્સનું પરિવર્તન:

નવા આધારમાં આપણે eigenvalues સમાન ગુણાંક સાથે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ મેળવીએ છીએ λ 1, λ 2, λ 3:

ટિપ્પણી 1. ભૌમિતિક દૃષ્ટિકોણથી, ધ્યાનમાં લેવાયેલ સંકલન પરિવર્તન એ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનું પરિભ્રમણ છે, જે જૂના સંકલન અક્ષોને નવા સાથે સંયોજિત કરે છે.

રિમાર્ક 2. જો મેટ્રિક્સ (10.3) ના કોઈપણ ઇજેનવેલ્યુ એકસરખાં હોય, તો આપણે તેમાંના પ્રત્યેક એકમ વેક્ટર ઓર્થોગોનલને અનુરૂપ ઓર્થોનોર્મલ ઇજેનવેક્ટરમાં ઉમેરી શકીએ છીએ, અને આમ એક આધાર બનાવી શકીએ છીએ જેમાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ લે છે.

ચાલો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવીએ

x² + 5 y² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

તેના મેટ્રિક્સનું સ્વરૂપ છે વ્યાખ્યાન 9 માં ચર્ચા કરાયેલ ઉદાહરણમાં, આ મેટ્રિક્સના ઇજેનવેલ્યુ અને ઓર્થોનોર્મલ ઇજેનવેક્ટર જોવા મળે છે:

ચાલો આ વેક્ટરમાંથી આધાર પર સંક્રમણ મેટ્રિક્સ બનાવીએ:

(વેક્ટર્સનો ક્રમ બદલવામાં આવે છે જેથી તેઓ જમણા હાથે ટ્રિપલ બનાવે છે). ચાલો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કોઓર્ડિનેટ્સનું પરિવર્તન કરીએ:

તેથી, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સના ઇજેનવેલ્યુની સમાન ગુણાંક સાથે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યાન 11.

બીજા ક્રમના વણાંકો. એલિપ્સ, હાઇપરબોલા અને પેરાબોલા, તેમના ગુણધર્મો અને પ્રમાણભૂત સમીકરણો. બીજા ક્રમના સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવું.

વ્યાખ્યા 11.1.બીજા ક્રમના વણાંકોપ્લેન પર એવા પ્લેન સાથેના ગોળાકાર શંકુના આંતરછેદની રેખાઓ કહેવાય છે જે તેના શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતા નથી.

જો આવા પ્લેન શંકુના એક પોલાણના તમામ જનરેટિસને છેદે છે, તો તે વિભાગમાં બહાર આવે છે. લંબગોળ, બંને પોલાણના જનરેટિસના આંતરછેદ પર - અતિશય, અને જો કટીંગ પ્લેન કોઈપણ જનરેટિક્સની સમાંતર હોય, તો શંકુનો વિભાગ પેરાબોલા.

ટિપ્પણી. બધા સેકન્ડ-ઓર્ડર વણાંકો બે ચલોમાં સેકન્ડ-ડિગ્રી સમીકરણો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે.

અંડાકાર.

વ્યાખ્યા 11.2.અંડાકારપ્લેનમાં બિંદુઓનો સમૂહ છે જેના માટે બે નિશ્ચિત બિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો છે એફ 1 અને એફ યુક્તિઓ, એક સ્થિર મૂલ્ય છે.

ટિપ્પણી. જ્યારે પોઈન્ટ એકરૂપ થાય છે એફ 1 અને એફ 2 લંબગોળ વર્તુળમાં ફેરવાય છે.

ચાલો કાર્ટેશિયન સિસ્ટમ પસંદ કરીને અંડાકારનું સમીકરણ મેળવીએ

y M(x,y)સંકલન કરે છે જેથી ધરી ઓહસીધી રેખા સાથે સુસંગત એફ 1 એફ 2, શરૂઆત

r 1 r 2 કોઓર્ડિનેટ્સ – સેગમેન્ટની મધ્ય સાથે એફ 1 એફ 2. આની લંબાઈ દો

સેગમેન્ટ 2 ની બરાબર છે સાથે, પછી પસંદ કરેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં

F 1 O F 2 x એફ 1 (-c, 0), એફ 2 (c, 0). બિંદુ દો M(x, y) લંબગોળ પર આવેલું છે, અને

તેમાંથી અંતરનો સરવાળો એફ 1 અને એફ 2 બરાબર 2 એ.

પછી આર 1 + આર 2 = 2a, પણ ,

તેથી, નોટેશનનો પરિચય b² = a²- c² અને સાદા બીજગણિત પરિવર્તનો કર્યા પછી, આપણે મેળવીએ છીએ પ્રમાણભૂત લંબગોળ સમીકરણ: (11.1)

વ્યાખ્યા 11.3.તરંગીતાલંબગોળની તીવ્રતા કહેવાય છે e=s/a (11.2)

વ્યાખ્યા 11.4.મુખ્ય શિક્ષિકા ડી આઇલંબગોળ ફોકસને અનુરૂપ F i F iધરીને સંબંધિત ઓહધરીને લંબરૂપ ઓહના અંતરે a/eમૂળમાંથી.

ટિપ્પણી. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની અલગ પસંદગી સાથે, લંબગોળ પ્રમાણભૂત સમીકરણ (11.1) દ્વારા નહીં, પરંતુ એક અલગ પ્રકારના સેકન્ડ-ડિગ્રી સમીકરણ દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

લંબગોળ ગુણધર્મો:

1) એક લંબગોળમાં સમપ્રમાણતાના બે પરસ્પર લંબ અક્ષો (અંગ્રવર્તુળની મુખ્ય અક્ષો) અને સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર (અંડાકારનું કેન્દ્ર) હોય છે. જો લંબગોળ પ્રમાણભૂત સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો તેની મુખ્ય અક્ષો સંકલન અક્ષો છે અને તેનું કેન્દ્ર મૂળ છે. મુખ્ય અક્ષો સાથે અંડાકારના આંતરછેદ દ્વારા રચાયેલા ભાગોની લંબાઈ 2 જેટલી હોય છે. એઅને 2 b (2a>2b), પછી ફોસીમાંથી પસાર થતી મુખ્ય અક્ષને અંડાકારની મુખ્ય અક્ષ કહેવામાં આવે છે, અને બીજી મુખ્ય અક્ષને ગૌણ અક્ષ કહેવામાં આવે છે.

2) સમગ્ર લંબગોળ લંબચોરસની અંદર સમાયેલું છે

3) અંડાકાર તરંગીતા ઇ< 1.

ખરેખર,

4) એલિપ્સના ડાયરેક્ટ્રીક્સ એલિપ્સની બહાર સ્થિત છે (કારણ કે એલિપ્સના કેન્દ્રથી ડાયરેક્ટ્રીક્સનું અંતર છે a/e, એ ઇ<1, следовательно, a, અને સમગ્ર લંબગોળ લંબચોરસમાં આવેલું છે)

5) અંતર ગુણોત્તર r iલંબગોળ બિંદુથી ફોકસ સુધી F iઅંતર સુધી d iઆ બિંદુથી ફોકસને અનુરૂપ ડાયરેક્ટ્રીક્સ સુધી લંબગોળની વિષમતા સમાન છે.

પુરાવો.

બિંદુથી અંતર M(x, y)લંબગોળ ના કેન્દ્ર સુધી નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે:

ચાલો ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણો બનાવીએ:

(ડી 1), (ડી 2). પછી અહીંથી r i / d i = e, જે સાબિત કરવાની જરૂર હતી.

હાયપરબોલા.

વ્યાખ્યા 11.5.અતિશયપ્લેનમાં પોઈન્ટનો સમૂહ છે જેના માટે બે નિશ્ચિત બિંદુઓ સુધીના અંતરના તફાવતનું મોડ્યુલસ છે એફ 1 અને એફઆ પ્લેનના 2, કહેવાય છે યુક્તિઓ, એક સ્થિર મૂલ્ય છે.

ચાલો એ જ સંકેતનો ઉપયોગ કરીને અંડાકારના સમીકરણની વ્યુત્પત્તિ સાથે સામ્યતા દ્વારા અતિપરવલયનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ મેળવીએ.

|r 1 - r 2 | = 2a, જ્યાંથી જો આપણે સૂચવીએ છીએ b² = c² - a², અહીંથી તમે મેળવી શકો છો

- પ્રમાણભૂત હાયપરબોલા સમીકરણ. (11.3)

વ્યાખ્યા 11.6.તરંગીતાહાયપરબોલાને જથ્થો કહેવામાં આવે છે e = c/a.

વ્યાખ્યા 11.7.મુખ્ય શિક્ષિકા ડી આઇફોકસને અનુરૂપ હાઇપરબોલા F i, સાથે સમાન અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત સીધી રેખા કહેવાય છે F iધરીને સંબંધિત ઓહધરીને લંબરૂપ ઓહના અંતરે a/eમૂળમાંથી.

હાયપરબોલાના ગુણધર્મો:

1) હાઇપરબોલામાં સમપ્રમાણતાના બે અક્ષો (હાયપરબોલાના મુખ્ય અક્ષો) અને સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર (હાયપરબોલાનું કેન્દ્ર) હોય છે. આ કિસ્સામાં, આ અક્ષોમાંથી એક અધિકતા સાથે બે બિંદુઓ પર છેદાય છે, જેને હાયપરબોલાના શિરોબિંદુઓ કહેવાય છે. તેને હાયપરબોલાની વાસ્તવિક અક્ષ કહેવામાં આવે છે (અક્ષ ઓહકોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની પ્રામાણિક પસંદગી માટે). અન્ય અક્ષમાં હાયપરબોલા સાથે કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી અને તેને તેની કાલ્પનિક અક્ષ કહેવામાં આવે છે (પ્રમાણિક કોઓર્ડિનેટ્સમાં - અક્ષ ઓહ). તેની બંને બાજુએ હાઇપરબોલાની જમણી અને ડાબી શાખાઓ છે. હાયપરબોલાના ફોસી તેના વાસ્તવિક ધરી પર સ્થિત છે.

2) હાયપરબોલાની શાખાઓમાં બે એસિમ્પ્ટોટ્સ હોય છે, જે સમીકરણો દ્વારા નક્કી થાય છે

3) હાયપરબોલા (11.3) ની સાથે, આપણે કેનોનિકલ સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કહેવાતા સંયોજક હાયપરબોલાને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ.

જેના માટે સમાન લક્ષણો જાળવી રાખીને વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક અક્ષની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે.

4) હાયપરબોલાની વિચિત્રતા ઇ> 1.

5) અંતર ગુણોત્તર r iહાઇપરબોલા પોઇન્ટથી ફોકસ સુધી F iઅંતર સુધી d iઆ બિંદુથી ફોકસને અનુરૂપ ડાયરેક્ટ્રીક્સ સુધી, હાયપરબોલાની વિષમતા સમાન છે.

એલિપ્સની જેમ જ સાબિતી હાથ ધરી શકાય છે.

પેરાબોલા.

વ્યાખ્યા 11.8.પેરાબોલાપ્લેન પરના બિંદુઓનો સમૂહ છે જેના માટે અમુક નિશ્ચિત બિંદુનું અંતર છે એફઆ વિમાન અમુક નિશ્ચિત સીધી રેખાના અંતર જેટલું છે. ડોટ એફકહેવાય છે ફોકસ parabolas, અને સીધી રેખા તેની છે મુખ્ય શિક્ષિકા.

પેરાબોલા સમીકરણ મેળવવા માટે, અમે કાર્ટેશિયન પસંદ કરીએ છીએ

સંકલન સિસ્ટમ જેથી તેનું મૂળ મધ્યમાં હોય

D M(x,y) લંબ FD, નિર્દેશ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવાથી અવગણવામાં આવે છે

r su, અને સંકલન અક્ષો સમાંતર સ્થિત હતા અને

ડિરેક્ટરને લંબરૂપ. સેગમેન્ટની લંબાઈ દો FD

D O F x બરાબર છે આર. પછી સમાનતામાંથી r = ડીતે તેને અનુસરે છે

ત્યારથી

બીજગણિત પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, આ સમીકરણને ફોર્મમાં ઘટાડી શકાય છે: y² = 2 px, (11.4)

કહેવાય છે પ્રામાણિક પેરાબોલા સમીકરણ. તીવ્રતા આરકહેવાય છે પરિમાણપેરાબોલાસ

પેરાબોલાના ગુણધર્મો:

1) પેરાબોલામાં સમપ્રમાણતાની ધરી (પેરાબોલા અક્ષ) હોય છે. પેરાબોલા અક્ષને છેદે છે તે બિંદુને પેરાબોલાના શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે. જો પેરાબોલાને પ્રામાણિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે, તો તેની ધરી અક્ષ છે ઓહ,અને શિરોબિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ છે.

2) સમગ્ર પેરાબોલા પ્લેનના જમણા અડધા પ્લેનમાં સ્થિત છે ઓહ.

ટિપ્પણી. એલિપ્સ અને હાઇપરબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સના ગુણધર્મો અને પેરાબોલાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, અમે નીચેના વિધાનને સાબિત કરી શકીએ છીએ:

પ્લેન પરના બિંદુઓનો સમૂહ જેના માટે સંબંધ ઇઅમુક નિશ્ચિત બિંદુથી અમુક સીધી રેખાના અંતર સુધીનું અંતર એક સ્થિર મૂલ્ય છે, તે એક અંડાકાર છે (સાથે ઇ<1), гиперболу (при ઇ>1) અથવા પેરાબોલા (સાથે ઇ=1).

સંબંધિત માહિતી.

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ આપેલ છે (2) એ(x, x) = , ક્યાં x = (x 1 , x 2 , …, x n). અવકાશમાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનો વિચાર કરો આર 3, એટલે કે x = (x 1 , x 2 , x 3), એ(x, x) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(અમે આકાર સમપ્રમાણતાની સ્થિતિનો ઉપયોગ કર્યો છે, એટલે કે એ 12 = એ 21 , એ 13 = એ 31 , એ 23 = એ 32). ચાલો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ લખીએ એઆધારે ( ઇ}, એ(ઇ) =
. જ્યારે આધાર બદલાય છે, ત્યારે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ સૂત્ર અનુસાર બદલાય છે એ(f) = સી t એ(ઇ)સી, ક્યાં સી- આધારથી સંક્રમણ મેટ્રિક્સ ( ઇ) થી આધાર ( f), એ સી t- ટ્રાન્સપોઝ કરેલ મેટ્રિક્સ સી.

વ્યાખ્યા11.12. વિકર્ણ મેટ્રિક્સ સાથેના ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને કહેવામાં આવે છે પ્રમાણભૂત.

તો ચાલો એ(f) =
, પછી એ"(x, x) =
+
+
, ક્યાં x" 1 , x" 2 , x" 3 - વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ xનવા આધાર પર ( f}.

વ્યાખ્યા11.13. અંદર આવવા દો n વીઆવો આધાર પસંદ કરવામાં આવે છે f = {f 1 , f 2 , …, f n), જેમાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું સ્વરૂપ છે

એ(x, x) =
+
+ … +
, (3)

જ્યાં y 1 , y 2 , …, y n- વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ xઆધારે ( f). અભિવ્યક્તિ (3) કહેવાય છે પ્રામાણિક દૃશ્યચતુર્ભુજ સ્વરૂપ. ગુણાંક  1, λ 2, …, λ nકહેવાય છે પ્રમાણભૂત; એક આધાર કે જેમાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ ધરાવે છે તેને કહેવામાં આવે છે પ્રમાણભૂત આધાર.

ટિપ્પણી. જો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ એ(x, x) પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડો થયો છે, પછી, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, બધા ગુણાંક નથી  iશૂન્યથી અલગ છે. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનો ક્રમ કોઈપણ આધાર પર તેના મેટ્રિક્સના ક્રમ સમાન છે.

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનો ક્રમ દો એ(x, x) સમાન છે આર, ક્યાં આર ≤ n. પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ વિકર્ણ સ્વરૂપ ધરાવે છે. એ(f) =
, કારણ કે તેનો ક્રમ સમાન છે આર, પછી ગુણાંક વચ્ચે  iત્યાં હોવું જ જોઈએ આર, શૂન્ય બરાબર નથી. તે અનુસરે છે કે બિનશૂન્ય પ્રમાણભૂત ગુણાંકની સંખ્યા ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના ક્રમની બરાબર છે.

ટિપ્પણી. કોઓર્ડિનેટ્સનું રેખીય રૂપાંતર એ ચલોમાંથી સંક્રમણ છે x 1 , x 2 , …, x nચલો માટે y 1 , y 2 , …, y n, જેમાં જૂના ચલો કેટલાક સંખ્યાત્મક ગુણાંક સાથે નવા ચલો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

x 1 = α 11 y 1 + α 12 y 2 + … + α 1 n y n ,

x 2 = α 2 1 y 1 + α 2 2 y 2 + … + α 2 n y n ,

………………………………

x 1 = α n 1 y 1 + α n 2 y 2 + … + α nn y n .

દરેક આધાર રૂપાંતરણ બિન-ડિજનરેટ રેખીય સંકલન રૂપાંતરણને અનુરૂપ હોવાથી, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનો પ્રશ્ન અનુરૂપ બિન-ડિજનરેટ કોઓર્ડિનેટ રૂપાંતરણને પસંદ કરીને ઉકેલી શકાય છે.

પ્રમેય 11.2 (ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો વિશે મુખ્ય પ્રમેય).કોઈપણ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ એ(x, x), માં ઉલ્લેખિત n-પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા વી, નોન-ડિજનરેટ લીનિયર કોઓર્ડિનેટ ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ઉપયોગ કરીને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે.

પુરાવો. (લૅગ્રેન્જ પદ્ધતિ) આ પદ્ધતિનો વિચાર એ છે કે દરેક ચલ માટે સંપૂર્ણ ચોરસ માટે ચતુર્ભુજ ત્રિપદીને અનુક્રમે પૂરક બનાવવો. અમે તે ધારીશું એ(x, x) ≠ 0 અને આધારમાં ઇ = {ઇ 1 , ઇ 2 , …, ઇ n) ફોર્મ ધરાવે છે (2):

એ(x, x) =
.

જો એ(x, x) = 0, પછી ( a ij) = 0, એટલે કે, ફોર્મ પહેલેથી પ્રમાણભૂત છે. ફોર્મ્યુલા એ(x, x) રૂપાંતરિત કરી શકાય છે જેથી ગુણાંક a 11 ≠ 0. જો a 11 = 0, તો બીજા ચલના વર્ગનો ગુણાંક શૂન્યથી અલગ છે, પછી ચલોને પુનઃક્રમાંકિત કરીને ખાતરી કરવી શક્ય છે કે a 11 ≠ 0. ચલોનું પુનઃક્રમાંકન એ બિન-ડિજનરેટ રેખીય પરિવર્તન છે. જો સ્ક્વેર ચલોના તમામ ગુણાંક શૂન્ય સમાન હોય, તો નીચે મુજબ જરૂરી રૂપાંતરણો પ્રાપ્ત થાય છે. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, a 12 ≠ 0 (એ(x, x) ≠ 0, તેથી ઓછામાં ઓછો એક ગુણાંક a ij≠ 0). પરિવર્તનનો વિચાર કરો

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x i = y i, ખાતે i = 3, 4, …, n.

આ રૂપાંતર બિન-ડિજનરેટ છે, કારણ કે તેના મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક બિન-શૂન્ય છે
= = 2 ≠ 0.

પછી 2 a 12 x 1 x 2 = 2 a 12 (y 1 – y 2)(y 1 + y 2) = 2
– 2
, એટલે કે ફોર્મમાં એ(x, x) બે ચલોના ચોરસ એકસાથે દેખાશે.

એ(x, x) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

ચાલો ફાળવેલ રકમને ફોર્મમાં કન્વર્ટ કરીએ:

એ(x, x) = a 11
, (5)

જ્યારે ગુણાંક a ijમાં બદલો . બિન-અધોગતિ રૂપાંતરણને ધ્યાનમાં લો

y 1 = x 1 + + … + ,

y 2 = x 2 ,

y n = x n .

પછી આપણને મળે છે

એ(x, x) =
. (6).

જો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ
= 0, પછી કાસ્ટિંગનો પ્રશ્ન એ(x, x) પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઉકેલાઈ જાય છે.

જો આ ફોર્મ શૂન્યની બરાબર નથી, તો પછી અમે સંકલન પરિવર્તનને ધ્યાનમાં રાખીને, તર્કનું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ y 2 , …, y nઅને સંકલન બદલ્યા વિના y 1. તે સ્પષ્ટ છે કે આ પરિવર્તનો બિન-અધોગતિ હશે. પગલાંઓની મર્યાદિત સંખ્યામાં, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ એ(x, x)ને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવશે (3).

ટિપ્પણી 1. મૂળ કોઓર્ડિનેટ્સનું જરૂરી પરિવર્તન x 1 , x 2 , …, x nતર્કની પ્રક્રિયામાં જોવા મળતા બિન-અધોગતિ રૂપાંતરણોનો ગુણાકાર કરીને મેળવી શકાય છે: [ x] = એ[y], [y] = બી[z], [z] = સી[t], પછી [ x] = એબી[z] = એબીસી[t], એટલે કે [ x] = એમ[t], ક્યાં એમ = એબીસી.

ટિપ્પણી 2. ચાલો એ(x, x) = એ(x, x) =
+
+ …+
, જ્યાં  i ≠ 0, i = 1, 2, …, આર, અને  1 > 0, λ 2 > 0, …, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ આર < 0.

બિન-અધોગતિ રૂપાંતરણને ધ્યાનમાં લો

y 1 = z 1 , y 2 = z 2 , …, y q = z q , y q +1 =
z q +1 , …, y આર = z આર , y આર +1 = z આર +1 , …, y n = z n. પરિણામે એ(x, x) ફોર્મ લેશે: એ(x, x) = + + … + – – … – જે કહેવાય છે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું સામાન્ય સ્વરૂપ.

ઉદાહરણ11.1. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડો એ(x, x) = 2x 1 x 2 – 6x 2 x 3 + 2x 3 x 1 .

ઉકેલ. ત્યારથી a 11 = 0, રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરો

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x 3 = y 3 .

આ પરિવર્તનમાં મેટ્રિક્સ છે એ =
, એટલે કે [ x] = એ[y] આપણને મળે છે એ(x, x) = 2(y 1 – y 2)(y 1 + y 2) – 6(y 1 + y 2)y 3 + 2y 3 (y 1 – y 2) =

2– 2– 6y 1 y 3 – 6y 2 y 3 + 2y 3 y 1 – 2y 3 y 2 = 2– 2– 4y 1 y 3 – 8y 3 y 2 .

પર ગુણાંક હોવાથી શૂન્ય બરાબર નથી, આપણે એક અજ્ઞાતનો વર્ગ પસંદ કરી શકીએ છીએ, તેને રહેવા દો y 1. ચાલો બધા શબ્દોને પસંદ કરીએ y 1 .

એ(x, x) = 2(– 2y 1 y 3) – 2– 8y 3 y 2 = 2(– 2y 1 y 3 + ) – 2– 2– 8y 3 y 2 = 2(y 1 – y 3) 2 – 2– 2– 8y 3 y 2 .

ચાલો એક રૂપાંતર કરીએ જેનું મેટ્રિક્સ બરાબર હોય બી.

z 1 = y 1 – y 3 ,  y 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = y 2 ,  y 2 = z 2 ,

z 3 = y 3 ;  y 3 = z 3 .

બી =
, [y] = બી[z].

અમને મળે છે એ(x, x) = 2– 2–– 8z 2 z 3. ચાલો આપણે સમાવિષ્ટ શબ્દો પસંદ કરીએ z 2. અમારી પાસે છે એ(x, x) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.