પરિમાણ સાથે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન. પરિમાણિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્યનું વ્યુત્પન્ન

પ્લેન પર એક રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરવાનું ધ્યાનમાં લો જેમાં x, y ચલ એ ત્રીજા ચલ t (જેને પેરામીટર કહેવાય છે) ના કાર્યો છે:

દરેક મૂલ્ય માટે tચોક્કસ અંતરાલથી ચોક્કસ મૂલ્યો અનુરૂપ છે xઅને y, a, તેથી, પ્લેનનો ચોક્કસ બિંદુ M (x, y). જ્યારે tઆપેલ અંતરાલમાંથી તમામ મૂલ્યોમાંથી પસાર થાય છે, પછી બિંદુ એમ (x, y) અમુક લીટીનું વર્ણન કરે છે એલ. સમીકરણો (2.2) ને પેરામેટ્રિક રેખા સમીકરણો કહેવામાં આવે છે એલ.

જો ફંક્શન x = φ(t) માં વ્યસ્ત t = Ф(x) હોય, તો આ અભિવ્યક્તિને સમીકરણ y = g(t) માં બદલીને, આપણે y = g(Ф(x)) મેળવીએ છીએ, જે સ્પષ્ટ કરે છે yના કાર્ય તરીકે x. આ કિસ્સામાં, અમે કહીએ છીએ કે સમીકરણો (2.2) કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરે છે yપરિમાણિક રીતે.

ઉદાહરણ 1.દો M(x,y)- ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર મનસ્વી બિંદુ આરઅને મૂળ પર કેન્દ્રિત. દો t- ધરી વચ્ચેનો ખૂણો બળદઅને ત્રિજ્યા ઓમ(ફિગ 2.3 જુઓ). પછી x, yદ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે t:

સમીકરણો (2.3) એ વર્તુળના પેરામેટ્રિક સમીકરણો છે. ચાલો સમીકરણોમાંથી t પરિમાણને બાકાત કરીએ (2.3). આ કરવા માટે, આપણે દરેક સમીકરણને ચોરસ કરીએ છીએ અને તેને ઉમેરીએ છીએ, આપણને મળે છે: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) અથવા x 2 + y 2 = R 2 – કાર્ટેશિયનમાં વર્તુળનું સમીકરણ સંકલન સિસ્ટમ. તે બે કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે: આમાંના દરેક કાર્ય પેરામેટ્રિક સમીકરણો (2.3) દ્વારા આપવામાં આવે છે, પરંતુ પ્રથમ કાર્ય માટે , અને બીજા માટે.

ઉદાહરણ 2. પેરામેટ્રિક સમીકરણો

અર્ધ-અક્ષ સાથે લંબગોળ વ્યાખ્યાયિત કરો a, b(ફિગ. 2.4). સમીકરણોમાંથી પરિમાણને બાદ કરતાં t, અમે અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

ઉદાહરણ 3. સાયક્લોઇડ એ એક વર્તુળ પર પડેલા બિંદુ દ્વારા વર્ણવેલ રેખા છે જો આ વર્તુળ સીધી રેખામાં સરક્યા વિના ફરે છે (ફિગ. 2.5). ચાલો સાયક્લોઇડના પેરામેટ્રિક સમીકરણો રજૂ કરીએ. રોલિંગ સર્કલની ત્રિજ્યા રહેવા દો a, બિંદુ એમ, સાયક્લોઇડનું વર્ણન કરતી વખતે, ચળવળની શરૂઆતમાં કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ સાથે સુસંગત છે.

ચાલો કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ x, y પોઈન્ટ એમવર્તુળ એક ખૂણા દ્વારા ફેરવાય પછી t
(ફિગ. 2.5), t = ÐMCB. આર્ક લંબાઈ એમ.બી.સેગમેન્ટની લંબાઈ જેટલી ઓ.બી.કારણ કે વર્તુળ લપસ્યા વિના ફરે છે, તેથી

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – કિંમત).

તેથી, સાયક્લોઇડના પેરામેટ્રિક સમીકરણો મેળવવામાં આવે છે:

પરિમાણ બદલતી વખતે t 0 થી 2πવર્તુળ એક ક્રાંતિ અને બિંદુ ફરે છે એમસાયક્લોઇડના એક ચાપનું વર્ણન કરે છે. સમીકરણો (2.5) આપે છે yના કાર્ય તરીકે x. જોકે કાર્ય x = a(t – sint)એક વ્યસ્ત કાર્ય ધરાવે છે, પરંતુ તે પ્રાથમિક કાર્યોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત થતું નથી, તેથી કાર્ય y = f(x)પ્રાથમિક કાર્યો દ્વારા વ્યક્ત થતો નથી.

ચાલો સમીકરણો (2.2) દ્વારા પરિમાણિત રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્યના તફાવતને ધ્યાનમાં લઈએ. ફેરફાર t ના ચોક્કસ અંતરાલ પર x = φ(t) ફંક્શન વ્યસ્ત કાર્ય ધરાવે છે t = Ф(x), પછી y = g(Ф(x)). દો x = φ(t), y = g(t)ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવે છે, અને x"t≠0. જટિલ કાર્યોના તફાવતના નિયમ અનુસાર y"x=y"t×t"x.વ્યસ્ત કાર્યને અલગ પાડવા માટેના નિયમના આધારે, તેથી:

પરિણામી સૂત્ર (2.6) પેરામેટ્રિક રીતે ઉલ્લેખિત કાર્ય માટે વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે.

ઉદાહરણ 4. કાર્ય કરવા દો y, પર આધાર રાખીને x, પેરામેટ્રિક રીતે ઉલ્લેખિત છે:

ઉકેલ. .
ઉદાહરણ 5.ઢાળ શોધો kપરિમાણના મૂલ્યને અનુરૂપ M 0 બિંદુ પર ચક્રવાતની સ્પર્શક.
ઉકેલ.સાયક્લોઇડ સમીકરણોમાંથી: y" t = asint, x" t = a(1 – કિંમત),તેથી જ

એક બિંદુ પર સ્પર્શક ઢાળ M0પરના મૂલ્યની સમાન t 0 = π/4:

વિભેદક કાર્ય

બિંદુ પર કાર્ય કરવા દો x 0વ્યુત્પન્ન છે. વ્યાખ્યા દ્વારા:
તેથી, મર્યાદાના ગુણધર્મો અનુસાર (કલમ 1.8), જ્યાં a- પર અનંત Δx → 0. અહીંથી

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Δx → 0 તરીકે, સમાનતામાં બીજી મુદત (2.7) ની સરખામણીમાં ઉચ્ચ ક્રમનું અનંત છે. , તેથી Δy અને f " (x 0)×Δx સમકક્ષ છે, અનંત છે (f "(x 0) ≠ 0 માટે).

આમ, ફંક્શન Δy ની વૃદ્ધિમાં બે પદોનો સમાવેશ થાય છે, જેમાંથી પ્રથમ f "(x 0)×Δx છે મુખ્ય ભાગ Δy વધારો, Δx ના સંદર્ભમાં રેખીય (f "(x 0)≠ 0 માટે).

વિભેદકબિંદુ x 0 પર ફંક્શન f(x) ને ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટનો મુખ્ય ભાગ કહેવામાં આવે છે અને તે સૂચવવામાં આવે છે: dyઅથવા df(x0). આથી,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

ઉદાહરણ 1.ફંક્શનનો તફાવત શોધો dyઅને ફંક્શન y = x 2 માટે ફંક્શન Δy નો વધારો
1) મનસ્વી xઅને Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0.1.

ઉકેલ

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) જો x 0 = 20, Δx = 0.1, તો Δy = 40×0.1 + (0.1) 2 = 4.01; dy = 40×0.1 = 4.

ચાલો સમાનતા (2.7) ફોર્મમાં લખીએ:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

ઇન્ક્રીમેન્ટ Δy વિભેદકથી અલગ છે dyΔx ની તુલનામાં ઉચ્ચ ક્રમના અનંત સુધી, તેથી, અંદાજિત ગણતરીઓમાં, અંદાજિત સમાનતા Δy ≈ dy નો ઉપયોગ થાય છે જો Δx પૂરતો નાનો હોય.

Δy = f(x 0 + Δx) - f(x 0) ને ધ્યાનમાં લેતા, અમે અંદાજિત સૂત્ર મેળવીએ છીએ:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

ઉદાહરણ 2. અંદાજે ગણતરી કરો.

ઉકેલ.ધ્યાનમાં લો:

ફોર્મ્યુલા (2.10) નો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

તેથી, ≈ 2.025.

ચાલો વિભેદકના ભૌમિતિક અર્થને ધ્યાનમાં લઈએ df(x 0)(ફિગ. 2.6).

ચાલો M 0 (x0, f(x 0) બિંદુ પર ફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરીએ, ચાલો φ એ સ્પર્શક KM0 અને Ox અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો હોય, પછી f"( x 0) = tanφ ΔM0NP થી:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). પરંતુ PN એ x 0 થી x 0 + Δx માં બદલાતાં સ્પર્શક ઓર્ડિનેટનો વધારો છે.

પરિણામે, x 0 બિંદુ પર ફંક્શન f(x) નો વિભેદક સ્પર્શકના ઓર્ડિનેટની વૃદ્ધિ સમાન છે.

ચાલો ફંક્શનનો તફાવત શોધીએ
y = x. ત્યારથી (x)" = 1, પછી dx = 1×Δx = Δx. અમે ધારીશું કે સ્વતંત્ર ચલ x નું વિભેદક તેની વૃદ્ધિ સમાન છે, એટલે કે dx = Δx.

જો x એક મનસ્વી સંખ્યા છે, તો સમાનતા (2.8) થી આપણે df(x) = f "(x)dx, ક્યાંથી મેળવીએ છીએ .
આમ, ફંક્શન y = f(x) માટે વ્યુત્પન્ન એ દલીલના વિભેદક સાથે તેના વિભેદકના ગુણોત્તર સમાન છે.

ચાલો ફંક્શનના વિભેદક ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ.

જો u(x), v(x) એ વિભેદક કાર્યો છે, તો નીચેના સૂત્રો માન્ય છે:

આ સૂત્રોને સાબિત કરવા માટે, ફંક્શનના સરવાળા, ઉત્પાદન અને ભાગ માટે વ્યુત્પન્ન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ચાલો સાબિત કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, સૂત્ર (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

ચાલો જટિલ કાર્યના વિભેદકને ધ્યાનમાં લઈએ: y = f(x), x = φ(t), એટલે કે. y = f(φ(t)).

પછી dy = y" t dt, પરંતુ y" t = y" x ×x" t, તેથી dy =y" x x" t dt. ધ્યાનમાં રાખીને,

તે x" t = dx, આપણને dy = y" x dx =f "(x)dx મળે છે.

આમ, જટિલ ફંક્શન y = f(x), જ્યાં x =φ(t), ફોર્મ dy = f "(x)dx ધરાવે છે, તે જ કિસ્સામાં જ્યારે x એક સ્વતંત્ર ચલ હોય છે. આ ગુણધર્મ કહેવાય છે વિભેદક સ્વરૂપની અવ્યવસ્થા એ.

લઘુગણક ભિન્નતા

પ્રાથમિક કાર્યોના વ્યુત્પન્ન

ભિન્નતાના મૂળભૂત નિયમો

કાર્ય વિભેદક

ફંક્શન ઇન્ક્રીમેન્ટનો મુખ્ય રેખીય ભાગ એડી xકાર્યની ભિન્નતા નક્કી કરવામાં

ડી f=f(x)-f(x 0)=એ(x - x 0)+o(x - x 0), x®x 0

કાર્યના વિભેદક કહેવાય છે f(x) બિંદુ પર x 0 અને સૂચવવામાં આવે છે

ડીએફ(x 0)=f¢(x 0) ડી x=Aડી x

તફાવત બિંદુ પર આધાર રાખે છે x 0 અને ઇન્ક્રીમેન્ટમાંથી ડી xડી પર xતે જ સમયે તેઓ તેને સ્વતંત્ર ચલ તરીકે જુએ છે, તેથી દરેક બિંદુ પર વિભેદક એ ઇન્ક્રીમેન્ટ Dનું રેખીય કાર્ય છે x

જો આપણે કાર્ય તરીકે ધ્યાનમાં લઈએ f(x)=x, પછી આપણને મળે છે dx=ડી x,dy=Adx. આ લીબનીઝના સંકેત સાથે સુસંગત છે

સ્પર્શકના ઓર્ડિનેટના વધારા તરીકે વિભેદકનું ભૌમિતિક અર્થઘટન.

ચોખા. 4.3

1) f= const , f¢= 0,df= 0ડી x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

પરિણામ. (cf(x))¢=cf¢(x), (c 1 f 1 (x)+…+c n f n(x))¢=c 1 f¢ 1 (x)+…+ c n f¢ n(x)

4) f=u/v, v(x 0)¹0 અને વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં છે, તો પછી f¢=(u¢v-v¢ u)/વિ 2 .

સંક્ષિપ્તતા માટે અમે સૂચિત કરીશું u=u(x), યુ 0 = u(x 0), પછી

ડી ખાતે મર્યાદામાં પસાર થવું x® 0 અમે જરૂરી સમાનતા મેળવીએ છીએ.

5) જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન.

પ્રમેય. જો ત્યાં f¢ છે(x 0), g¢(x 0)અને x 0 =g(t 0), પછી અમુક પડોશમાં ટી 0 જટિલ કાર્ય f વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે(g(t)), તે બિંદુ t પર વિભેદક છે 0 અને

પુરાવો.

f(x)-f(x 0)=f¢(x 0)(x-x 0)+ a( x)(x-x 0), xÎ યુ(x 0).

f(g(t))-f(g(t 0))= f¢(x 0)(g(t)- જી(t 0))+ a( g(t))(g(t)- જી(t 0)).

ચાલો આ સમાનતાની બંને બાજુઓને વિભાજિત કરીએ ( t - t 0) અને ચાલો મર્યાદા પર જઈએ t®t 0 .

6) વ્યસ્ત કાર્યના વ્યુત્પન્નની ગણતરી.

પ્રમેય. f ને સતત અને સખત રીતે એકવિધ રહેવા દો[a,b]. બિંદુ x પર ચાલો 0 Î( a,b)ત્યાં f¢ છે(x 0)¹ 0 , પછી વ્યસ્ત કાર્ય x=f -1 (y)બિંદુ y છે 0 વ્યુત્પન્ન સમાન

પુરાવો. અમે ગણીએ છીએ fસખત રીતે એકવિધ રીતે વધી રહી છે, પછી f -1 (y) સતત છે, એકવિધ રીતે [ f(a),એફ(b)]. ચાલો મૂકીએ y 0 =f(x 0), y=f(x), x - x 0 =D x,

y - y 0 =D y. વ્યસ્ત કાર્યની સાતત્યતાને કારણે ડી y®0 Þ ડી x®0, અમારી પાસે છે

મર્યાદામાં પસાર થતાં, અમે જરૂરી સમાનતા મેળવીએ છીએ.

7) સમ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન વિષમ છે, વિષમ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન સમ છે.

ખરેખર, જો x® - x 0 , તે - x® x 0 , તેથી જ

વિષમ કાર્ય માટે સમ કાર્ય માટે

1) f= const f¢(x)=0.

2) f(x)=x,f¢(x)=1.

3) f(x)=e x, f¢(x)= e x ,

4) f(x)=a x,(a x)¢ = કુહાડી ln a

5) ln a

6) f(x)=ln x,

પરિણામ. (એક સમ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન વિષમ છે)

7) (x m )¢= m x m -1 , x>0, x m =e m ln x .

8) (પાપ x)¢= cos x,

9) (cos x)¢=- પાપ x,(cos x)¢= (પાપ( x+ p/2)) ¢= cos( x+ p/2)=-પાપ x

10) (ટીજી x)¢= 1/cos 2 x

11) (ctg x)¢= -1/પાપ 2 x

16)શ x, ch x.

f(x),, જેમાંથી તે તેને અનુસરે છે f¢(x)=f(x)(ln f(x))¢ .

સમાન સૂત્ર અલગ રીતે મેળવી શકાય છે f(x)=e ln f(x) , f¢=e ln f(x) (ln f(x))¢.

ઉદાહરણ. ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરો f=x x.

=x x = x x = x x = x x(ln x+ 1).

પ્લેન પર પોઈન્ટનું ભૌમિતિક સ્થાન

આપણે તેને ફંક્શનનો ગ્રાફ કહીશું, પેરામેટ્રિકલી આપવામાં આવે છે. તેઓ ફંક્શનના પેરામેટ્રિક સ્પષ્ટીકરણ વિશે પણ વાત કરે છે.

નોંધ 1.જો x, yમાટે સતત [a,b] અને x(t) સેગમેન્ટ પર સખત રીતે એકવિધ (ઉદાહરણ તરીકે, સખત રીતે એકવિધ રીતે વધે છે), પછી [ a,b], a=x(a) , b=x(b) કાર્ય વ્યાખ્યાયિત f(x)=y(t(x)), જ્યાં ટી(x) – inverse function to x(t). આ ફંક્શનનો ગ્રાફ ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે એકરુપ છે

જો વ્યાખ્યાનું ડોમેન પેરામેટ્રિકલી આપેલ ફંક્શનને મર્યાદિત સંખ્યામાં સેગમેન્ટમાં વિભાજિત કરી શકાય છે ,k = 1,2,...,એન,જેમાંના દરેક પર એક કાર્ય છે x(t) સખત રીતે એકવિધ છે, પછી પરિમાણિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્ય મર્યાદિત સંખ્યામાં સામાન્ય કાર્યોમાં વિઘટિત થાય છે fk(x)=y(t -1 (x)) ડોમેન્સ સાથે [ x(એ k), x(b k)] વિભાગો વધારવા માટે x(t) અને ડોમેન્સ સાથે [ x(b k), x(એ k)] ઘટતા કાર્યના ક્ષેત્રો માટે x(t). આ રીતે મેળવેલા કાર્યોને પેરામેટ્રિકલી વ્યાખ્યાયિત ફંક્શનની સિંગલ-વેલ્યુડ શાખાઓ કહેવામાં આવે છે.

આકૃતિ પેરામેટ્રિકલી વ્યાખ્યાયિત કાર્યનો ગ્રાફ બતાવે છે

પસંદ કરેલ પરિમાણીકરણ સાથે, વ્યાખ્યા વિસ્તાર ફંક્શન sin(2 t), બરાબર: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , અને, તે મુજબ, ગ્રાફ આ વિભાગોને અનુરૂપ પાંચ અસ્પષ્ટ શાખાઓમાં વિભાજિત થશે.

ચોખા. 4.4

ચોખા. 4.5

તમે પોઈન્ટના સમાન ભૌમિતિક સ્થાનનું એક અલગ પરિમાણ પસંદ કરી શકો છો

આ કિસ્સામાં આવી માત્ર ચાર શાખાઓ હશે. તેઓ કડક એકવિધતાના ક્ષેત્રોને અનુરૂપ હશે tÎ ,tÎ ,ટીÎ ,tÎ કાર્યો પાપ (2 t).

ચોખા. 4.6

ફંક્શન સિનની એકવિધતાના ચાર વિભાગો(2 t) લાંબા સેગમેન્ટ પર.

ચોખા. 4.7

એક આકૃતિમાં બંને ગ્રાફનું નિરૂપણ તમને બંને કાર્યોના મોનોટોનિસિટી વિસ્તારોનો ઉપયોગ કરીને, પેરામેટ્રિક રીતે ઉલ્લેખિત કાર્યના ગ્રાફનું લગભગ નિરૂપણ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સેગમેન્ટને અનુરૂપ પ્રથમ શાખાને ધ્યાનમાં લો tÎ . આ વિભાગના અંતે કાર્ય x=પાપ (2 t) મૂલ્યો લે છે -1 અને 1 , તેથી આ શાખાને [-1,1] પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવશે. આ પછી, તમારે બીજા કાર્યના એકવિધતાના ક્ષેત્રો જોવાની જરૂર છે y= cos( t), તેણી પાસે છે એકવિધતાના બે વિભાગો . આ અમને કહેવાની મંજૂરી આપે છે કે પ્રથમ શાખામાં એકવિધતાના બે વિભાગો છે. ગ્રાફના અંતિમ બિંદુઓ મળ્યા પછી, તમે ગ્રાફની એકવિધતાની પ્રકૃતિ સૂચવવા માટે તેમને સીધી રેખાઓ સાથે જોડી શકો છો. દરેક શાખા સાથે આ કર્યા પછી, અમે ગ્રાફની અસ્પષ્ટ શાખાઓના એકવિધતાના વિસ્તારો મેળવીએ છીએ (તે આકૃતિમાં લાલ રંગમાં પ્રકાશિત થાય છે)

ચોખા. 4.8

પ્રથમ સિંગલ-વેલ્યુડ શાખા f 1 (x)=y(t(x)) , સાઇટને અનુરૂપ માટે નક્કી કરવામાં આવશે xઓ[-1,1] . પ્રથમ સિંગલ-વેલ્યુડ શાખા tÎ , xઓ[-1,1].

અન્ય તમામ ત્રણ શાખાઓમાં પણ વ્યાખ્યાનું ડોમેન હશે [-1,1] .

ચોખા. 4.9

બીજી શાખા tÎ xઓ[-1,1].

ચોખા. 4.10

ત્રીજી શાખા tÎ xઓ[-1,1]

ચોખા. 4.11

ચોથી શાખા tÎ xઓ[-1,1]

ચોખા. 4.12

ટિપ્પણી 2. સમાન કાર્યમાં વિવિધ પેરામેટ્રિક સેટિંગ્સ હોઈ શકે છે. ભિન્નતાઓ બંને કાર્યોની પોતાની ચિંતા કરી શકે છે x(t), વાય(t) , અને વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર આ કાર્યો.

સમાન કાર્ય માટે વિવિધ પેરામેટ્રિક સોંપણીઓનું ઉદાહરણ

અને tઓ[-1, 1] .

નોંધ 3.જો x,y સતત ચાલુ હોય , x(ટી)-સેગમેન્ટ પર સખત રીતે એકવિધ અને ત્યાં ડેરિવેટિવ્ઝ છે y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, પછી છે f¢(x 0)= .

ખરેખર, .

છેલ્લું વિધાન પેરામેટ્રિકલી વ્યાખ્યાયિત કાર્યની સિંગલ-વેલ્યુડ શાખાઓને પણ લાગુ પડે છે.

4.2 ઉચ્ચ ઓર્ડરના વ્યુત્પન્ન અને તફાવત

ઉચ્ચ ડેરિવેટિવ્ઝ અને ડિફરન્સિયલ્સ. પેરામેટ્રિક રીતે ઉલ્લેખિત કાર્યોનો ભિન્નતા. લીબનીઝનું સૂત્ર.

કાર્યને પેરામેટ્રિક રીતે સ્પષ્ટ કરવા દો:
(1)
જ્યાં અમુક વેરીએબલને પેરામીટર કહેવાય છે. અને ચલના ચોક્કસ મૂલ્ય પર વિધેયોને ડેરિવેટિવ્ઝ રાખવા દો.
(2)

વધુમાં, ફંક્શનમાં બિંદુના ચોક્કસ પડોશમાં વ્યસ્ત કાર્ય પણ છે.
;
.

પછી સિસ્ટમ (2) નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

પુરાવો

શરત દ્વારા, ફંક્શનમાં વ્યસ્ત કાર્ય છે. ચાલો તેને તરીકે દર્શાવીએ
.
પછી મૂળ કાર્યને જટિલ કાર્ય તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:
.
ચાલો જટિલ અને વ્યસ્ત કાર્યોને અલગ પાડવાના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને તેનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:
.

નિયમ સાબિત થયો છે.

બીજી રીતે સાબિતી

ચાલો બિંદુ પરના કાર્યના વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાના આધારે, બીજી રીતે વ્યુત્પન્ન શોધીએ:
.
ચાલો નોટેશન રજૂ કરીએ:
.
પછી પાછલું સૂત્ર ફોર્મ લે છે:
.

ચાલો એ હકીકતનો લાભ લઈએ કે ફંક્શનમાં બિંદુની પડોશમાં વ્યસ્ત કાર્ય છે.
ચાલો નીચે આપેલ સૂચન રજૂ કરીએ:
; ;
; .
અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને આના દ્વારા વિભાજિત કરો:
.
ખાતે, . પછી
.

નિયમ સાબિત થયો છે.

ઉચ્ચ ઓર્ડર ડેરિવેટિવ્ઝ

ઉચ્ચ ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવા માટે, ઘણી વખત ભિન્નતા કરવી જરૂરી છે. ચાલો કહીએ કે આપણે નીચેના ફોર્મમાંથી પેરામેટ્રિક રીતે વ્યાખ્યાયિત ફંક્શનનું સેકન્ડ-ઓર્ડર ડેરિવેટિવ શોધવાની જરૂર છે:
(1)

ફોર્મ્યુલા (2) નો ઉપયોગ કરીને આપણે પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ, જે પેરામેટ્રિક રીતે પણ નક્કી કરવામાં આવે છે:
(2)

ચાલો ચલ દ્વારા પ્રથમ વ્યુત્પન્નતા દર્શાવીએ:
.
પછી, વેરીએબલના સંદર્ભમાં ફંક્શનનું બીજું ડેરિવેટિવ શોધવા માટે, તમારે ચલના સંદર્ભમાં ફંક્શનનું પ્રથમ ડેરિવેટિવ શોધવાની જરૂર છે.
(3)
ચલ પર ચલની અવલંબન પણ પેરામેટ્રિક રીતે સ્પષ્ટ થયેલ છે:

સૂત્રો (1) અને (2) સાથે (3) ની સરખામણી કરીને, આપણે શોધીએ છીએ: હવે ચાલો ફંક્શન્સ દ્વારા પરિણામ વ્યક્ત કરીએ અને . :
.
આ કરવા માટે, ચાલો બદલીએ અને અરજી કરીએ
.

અપૂર્ણાંક વ્યુત્પન્ન સૂત્ર

પછી
.

અહીંથી આપણે ચલના સંદર્ભમાં ફંક્શનનું બીજું ડેરિવેટિવ મેળવીએ છીએ:

તે પેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં પણ આપવામાં આવે છે. નોંધ કરો કે પ્રથમ લીટી નીચે પ્રમાણે પણ લખી શકાય છે:
;
.

પ્રક્રિયા ચાલુ રાખીને, તમે ત્રીજા અને ઉચ્ચ ઓર્ડરના ચલમાંથી ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્સ મેળવી શકો છો.

નોંધ કરો કે આપણે વ્યુત્પન્ન માટે સંકેત દાખલ કરવાની જરૂર નથી.

તમે તેને આ રીતે લખી શકો છો:

ઉદાહરણ 1
પરિમાણિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો: ઉકેલઅમે આદર સાથે ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ છીએ.
;
.
થી

.
વ્યુત્પન્ન કોષ્ટકો

.
વ્યુત્પન્ન કોષ્ટકો

અમે શોધીએ છીએ:
.

અમે અરજી કરીએ છીએ:

અહીં .

આવશ્યક વ્યુત્પન્ન:

તમે તેને આ રીતે લખી શકો છો:

જવાબ આપો ઉદાહરણ 2 :
.

પરિમાણ દ્વારા વ્યક્ત કરેલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો:

.

ચાલો ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને કૌંસ ખોલીએ શક્તિ કાર્યો અને મૂળ.

.

વ્યુત્પન્ન શોધવું:
.

અમે અરજી કરીએ છીએ:

વ્યુત્પન્ન શોધવી.

આ કરવા માટે, અમે ચલ રજૂ કરીએ છીએ અને લાગુ કરીએ છીએ

તમે તેને આ રીતે લખી શકો છો:

જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્ન માટેનું સૂત્ર

અમે ઇચ્છિત વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

ના સંદર્ભમાં બીજું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, આપણે પ્રથમ વ્યુત્પન્નને સંદર્ભમાં શોધવાની જરૂર છે.

ચાલો દ્વારા તફાવત કરીએ.
.
અમને ઉદાહરણ 1 માં નું વ્યુત્પન્ન મળ્યું:
.
આના સંદર્ભમાં સેકન્ડ-ઓર્ડર ડેરિવેટિવ એ આ સંદર્ભમાં પ્રથમ-ક્રમના વ્યુત્પન્ન સમાન છે:
.

તેથી, અમને પેરામેટ્રિક સ્વરૂપના સંદર્ભમાં બીજા-ક્રમનું વ્યુત્પન્ન મળ્યું:

હવે આપણે ત્રીજો ક્રમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ. ચાલો હોદ્દો રજૂ કરીએ.

પછી આપણે ફંક્શનના પ્રથમ-ક્રમનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર છે, જે પેરામેટ્રિક રીતે ઉલ્લેખિત છે:
.
પરિમાણિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો:
.

ના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન શોધો.
.

આ કરવા માટે, અમે તેને સમાન સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ છીએ:

આના સંદર્ભમાં ત્રીજો ક્રમ વ્યુત્પન્ન પ્રથમ ઓર્ડર વ્યુત્પન્ન સમાન છે:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

અમે અરજી કરીએ છીએ:

ટિપ્પણી

તમારે ચલો દાખલ કરવાની જરૂર નથી અને , જે અનુક્રમે અને ના ડેરિવેટિવ્ઝ છે. પછી તમે તેને આની જેમ લખી શકો છો:

પેરામેટ્રિક રજૂઆતમાં, સેકન્ડ-ઓર્ડર ડેરિવેટિવનું નીચેનું સ્વરૂપ છે:

ત્રીજો ક્રમ વ્યુત્પન્ન. ચાલો તણાવ ન કરીએ, આ ફકરામાં બધું પણ એકદમ સરળ છે. તમે પેરામેટ્રિકલી વ્યાખ્યાયિત કાર્ય માટે સામાન્ય સૂત્ર લખી શકો છો, પરંતુ તેને સ્પષ્ટ કરવા માટે, હું તરત જ ચોક્કસ ઉદાહરણ લખીશ. પેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં, કાર્ય બે સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે: . ઘણીવાર સમીકરણો સર્પાકાર કૌંસ હેઠળ લખવામાં આવતાં નથી, પરંતુ ક્રમિક રીતે: , . ચલને પરિમાણ કહેવામાં આવે છે અને તે "માઈનસ અનંત" થી "પ્લસ અનંત" સુધીના મૂલ્યો લઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મૂલ્યને ધ્યાનમાં લો અને તેને બંને સમીકરણોમાં બદલો:.

. અથવા માનવીય શબ્દોમાં: "જો x ચાર બરાબર છે, તો y એક બરાબર છે." તમે કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર એક બિંદુને ચિહ્નિત કરી શકો છો, અને આ બિંદુ પરિમાણના મૂલ્યને અનુરૂપ હશે. એ જ રીતે, તમે પરિમાણ "te" ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે એક બિંદુ શોધી શકો છો. "નિયમિત" કાર્ય માટે, અમેરિકન ભારતીયો માટે પેરામેટ્રિકલી વ્યાખ્યાયિત કાર્ય માટે, તમામ અધિકારોનું પણ આદર કરવામાં આવે છે: તમે ગ્રાફ બનાવી શકો છો, ડેરિવેટિવ્ઝ શોધી શકો છો, વગેરે. માર્ગ દ્વારા, જો તમારે પેરામેટ્રિકલી નિર્દિષ્ટ ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવવાની જરૂર હોય, તો પૃષ્ઠ પર મારો ભૌમિતિક પ્રોગ્રામ ડાઉનલોડ કરો ગાણિતિક સૂત્રો અને કોષ્ટકો સરળ કિસ્સાઓમાં, કાર્યને સ્પષ્ટ રીતે રજૂ કરવું શક્ય છે. ચાલો પ્રથમ સમીકરણમાંથી પરિમાણ વ્યક્ત કરીએ:

- અને તેને બીજા સમીકરણમાં બદલો:

. પરિણામ એ એક સામાન્ય ઘન કાર્ય છે.

વધુ "ગંભીર" કિસ્સાઓમાં, આ યુક્તિ કામ કરતી નથી. પરંતુ તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી, કારણ કે પેરામેટ્રિક ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે એક સૂત્ર છે: અમે "ચલ te ના સંદર્ભમાં રમત" નું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:. ફક્ત માનસિક રીતે કોષ્ટકમાંના તમામ “X’ ને “Te” અક્ષરથી બદલો.

અમે ચલ te ના સંદર્ભમાં "x" નું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

હવે જે બાકી છે તે આપણા ફોર્મ્યુલામાં મળેલા ડેરિવેટિવ્ઝને બદલવાનું છે:

તૈયાર છે. વ્યુત્પન્ન, ફંક્શનની જેમ, પણ પેરામીટર પર આધાર રાખે છે.

નોટેશનની વાત કરીએ તો, તેને ફોર્મ્યુલામાં લખવાને બદલે, કોઈ તેને સબસ્ક્રિપ્ટ વિના જ લખી શકે છે, કારણ કે આ "X ના સંદર્ભમાં" "નિયમિત" વ્યુત્પન્ન છે. પરંતુ સાહિત્યમાં હંમેશા એક વિકલ્પ હોય છે, તેથી હું ધોરણથી વિચલિત થઈશ નહીં.

ઉદાહરણ 6

અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

આ કિસ્સામાં:

આમ:

પેરામેટ્રિક ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવાનું એક વિશિષ્ટ લક્ષણ એ હકીકત છે કે દરેક પગલા પર પરિણામને શક્ય તેટલું સરળ બનાવવું ફાયદાકારક છે. તેથી, ધ્યાનમાં લેવાયેલા ઉદાહરણમાં, જ્યારે મને તે મળ્યું, ત્યારે મેં રુટ હેઠળ કૌંસ ખોલ્યા (જો કે મેં આ કર્યું ન હોઈ શકે). એક સારી તક છે કે જ્યારે ફોર્મ્યુલામાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઘણી વસ્તુઓ સારી રીતે ઓછી થઈ જશે. જોકે, અલબત્ત, અણઘડ જવાબો સાથે ઉદાહરણો છે.

ઉદાહરણ 7

પેરામેટ્રિક રીતે ઉલ્લેખિત કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે જાતે જ હલ કરી શકો છો.

લેખમાં ડેરિવેટિવ્ઝ સાથેની સૌથી સરળ લાક્ષણિક સમસ્યાઓ અમે એવા ઉદાહરણો જોયા જેમાં અમને ફંક્શનનું બીજું ડેરિવેટિવ શોધવાની જરૂર છે. પેરામેટ્રિકલી વ્યાખ્યાયિત કાર્ય માટે, તમે બીજું વ્યુત્પન્ન પણ શોધી શકો છો, અને તે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે: . તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે બીજું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે પ્રથમ પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શોધવું આવશ્યક છે.

ઉદાહરણ 8

પેરામેટ્રિક રીતે આપેલ ફંક્શનના પ્રથમ અને બીજા ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો

પ્રથમ, ચાલો પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ.
અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

આ કિસ્સામાં:

મળેલા ડેરિવેટિવ્સને ફોર્મ્યુલામાં અવેજી કરે છે. સરળીકરણ હેતુઓ માટે, અમે ત્રિકોણમિતિ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

મેં નોંધ્યું છે કે પેરામેટ્રિક ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન શોધવાની સમસ્યામાં, ઘણી વાર સરળીકરણના હેતુ માટે તેનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો . તેમને યાદ રાખો અથવા તેમને હાથમાં રાખો, અને દરેક મધ્યવર્તી પરિણામ અને જવાબોને સરળ બનાવવાની તક ગુમાવશો નહીં. શેના માટે? હવે આપણે નું વ્યુત્પન્ન લેવું પડશે, અને આ નું વ્યુત્પન્ન શોધવા કરતાં સ્પષ્ટપણે સારું છે.

ચાલો બીજું વ્યુત્પન્ન શોધીએ.
અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: .

ચાલો આપણી ફોર્મ્યુલા જોઈએ. અગાઉના પગલામાં છેદ પહેલેથી જ મળી આવ્યું છે. તે અંશ શોધવાનું બાકી છે - ચલ "te" ના સંદર્ભમાં પ્રથમ વ્યુત્પન્નનું વ્યુત્પન્ન: