રેન્કના આંકડા. નોનપેરામેટ્રિક આંકડાઓના સિદ્ધાંતનો સાર

નમૂના તત્વનો ક્રમ એ ભિન્નતા શ્રેણીમાં આ તત્વનો સીરીયલ નંબર છે અથવા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, નમૂના તત્વોની સંખ્યા કરતાં ઓછી અથવા સમાન

પરિણામે, નમૂના મૂલ્ય વિવિધતા શ્રેણીના ક્રમાંકિત આંકડાઓને અનુરૂપ છે.

નમૂનાનો રેન્ક વેક્ટર એ 1, 2 નંબરોનું ક્રમચય છે, જે નમૂનાના ઘટકોને તેમની રેન્ક સાથે બદલીને મેળવવામાં આવે છે. રેન્ક સ્ટેટિસ્ટિક એ રેન્ક વેક્ટરનું મનસ્વી કાર્ય છે. રેન્કિંગ અલ્ગોરિધમ માટે અમુક રેન્કિંગ આંકડાઓની થ્રેશોલ્ડ સાથે સરખામણી કરવાની જરૂર છે.

મૂળ નમૂનાનું પુનઃનિર્માણ કરી શકાય છે જો ક્રમના આંકડાનો વેક્ટર અને રેન્ક વેક્ટર R અલગ-અલગ રીતે જાણીતો હોય, તો આ બેમાંથી કોઈપણ વેક્ટર મૂળ નમૂનાના અફર ન થઈ શકે તેવા બિનરેખીય રૂપાંતરણને રજૂ કરે છે. સજાતીય સ્વતંત્ર નમૂના માટે, રેન્ડમ વેક્ટર અને R સ્વતંત્ર છે.

યુનિટ જમ્પ ફંક્શન અથવા સાઇન ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને નમૂનાના કદના તત્વની રેન્ક નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે:

(13.168 એ)

(13.168 a અને b) થી તે અનુસરે છે કે રેન્ક એ નમૂના મૂલ્યો વચ્ચેના તફાવતોના આંકડા પર સહી કરેલ છે.

સજાતીય સ્વતંત્ર નમૂના માટે, સંભાવના કાર્ય દલીલોના ક્રમચયોના જૂથ માટે અવિચલ છે. તે અનુસરે છે કે આપેલ નમૂના માટે તમામ રેન્ક વેક્ટર સમાન રીતે સંભવિત છે, ભલે તે વિતરણ ગમે તે નમૂનો હોય. કદના નમૂનાને અનુરૂપ સંભવિત રેન્ક વેક્ટરની કુલ સંખ્યા સંખ્યાઓના ક્રમચયોની સંખ્યા જેટલી હોય છે, એટલે કે, રેન્ક વેક્ટરના નમૂનાની જગ્યામાં -પરિમાણીય યુક્લિડિયન જગ્યાના અલગ બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે. આ અલગ સેટના કોઈપણ બિંદુમાં આવતા અવલોકન કરેલ નમૂનાના રેન્ક વેક્ટર R ની સંભાવના સમાન છે, એટલે કે, સજાતીય સ્વતંત્ર નમૂનાના કોઈપણ વિતરણ માટે.

આમ, ક્રમાંકન અલ્ગોરિધમ એ પૂર્વધારણા H ના સંદર્ભમાં બિન-પેરામેટ્રિક છે કે મનસ્વી વિતરણમાંથી નમૂના એકરૂપ અને સ્વતંત્ર છે. વૈકલ્પિક K માટે, કે સ્વતંત્ર નમૂના વિજાતીય છે, રેન્ક હવે સમાન રીતે સંભવિત નથી. વૈકલ્પિક K હેઠળ રેન્ક વેક્ટરના વિતરણ કાર્યને નિર્ધારિત કરવા માટે, અવિભાજ્યની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

જ્યાં એરિયામાં સેમ્પલ સ્પેસના તે બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે, જ્યારે ઓર્ડર આપવામાં આવે ત્યારે આપેલ વેક્ટર અનુરૂપ હોય છે

આ અભિન્ન

(13.170)

ખાસ કિસ્સાઓને બાદ કરતાં સૂત્ર (13.170) નો વ્યવહારિક ઉપયોગ મુશ્કેલ ગણતરીઓનો સમાવેશ કરે છે. વિતરણની જટિલતાને કારણે (13.170), નેમેન-પિયરસન માપદંડ અનુસાર મર્યાદિત નમૂનાના કદ સાથે પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ કરવા માટે શ્રેષ્ઠ રેન્ક અલ્ગોરિધમનું સંશ્લેષણ અમલમાં મૂકવું વ્યવહારીક રીતે અશક્ય છે. આ પણ એક કારણ છે કે આ સંશ્લેષણ સંશોધનાત્મક ધોરણે હાથ ધરવામાં આવે છે (જુઓ કલમ 13.7.4).

નોંધ કરો કે સજાતીય સ્વતંત્ર નમૂનાનું રેન્ક વેક્ટર નમૂનાના જડતા-મુક્ત પરિવર્તન માટે અવિચલ છે

કારણ કે આવા રૂપાંતરણથી નમૂના તત્વોનું સંબંધિત સ્થાન બદલાતું નથી. (13.171) થી તે અનુસરે છે કે રેન્ક અલ્ગોરિધમ ઉલ્લેખિત બિનરેખીય રૂપાંતર પછી પણ નોનપેરામેટ્રિક ગુણધર્મ જાળવી રાખે છે.

વૈજ્ઞાનિક અને વ્યવહારુ હેતુઓ માટે જાહેર આરોગ્ય અને આરોગ્યસંભાળનો અભ્યાસ કરતી વખતે, સંશોધકને ઘણીવાર આંકડાકીય વસ્તી (કારણ સંબંધ) ના પરિબળ અને પ્રદર્શન લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના સંબંધોનું આંકડાકીય વિશ્લેષણ કરવું પડે છે અથવા આ વસ્તીની કેટલીક લાક્ષણિકતાઓમાં સમાંતર ફેરફારોની અવલંબન નક્કી કરવી પડે છે. કેટલાક ત્રીજા મૂલ્ય પર (તેમના સામાન્ય કારણ પર). આ જોડાણની વિશેષતાઓનો અભ્યાસ કરવા, તેનું કદ અને દિશા નિર્ધારિત કરવા અને તેની વિશ્વસનીયતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે સક્ષમ હોવું જરૂરી છે. આ હેતુ માટે, સહસંબંધ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

1. લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના માત્રાત્મક સંબંધોના અભિવ્યક્તિના પ્રકાર
   • કાર્યાત્મક જોડાણ
   • સહસંબંધ જોડાણ
2. કાર્યાત્મક અને સહસંબંધીય જોડાણની વ્યાખ્યાઓ

   કાર્યાત્મક જોડાણ- બે લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેનો આ પ્રકારનો સંબંધ જ્યારે તેમાંના એકનું પ્રત્યેક મૂલ્ય બીજાના સખત રીતે વ્યાખ્યાયિત મૂલ્યને અનુરૂપ હોય છે (વર્તુળનો વિસ્તાર વર્તુળની ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે, વગેરે). કાર્યાત્મક જોડાણ એ ભૌતિક અને ગાણિતિક પ્રક્રિયાઓની લાક્ષણિકતા છે.

   સહસંબંધ- એવો સંબંધ કે જેમાં એક લાક્ષણિકતાનું પ્રત્યેક વિશિષ્ટ મૂલ્ય તેની સાથે સંકળાયેલ અન્ય લાક્ષણિકતાના ઘણા મૂલ્યોને અનુરૂપ હોય છે (વ્યક્તિની ઊંચાઈ અને વજન વચ્ચેનો સંબંધ; શરીરનું તાપમાન અને પલ્સ રેટ, વગેરે વચ્ચેનો સંબંધ). તબીબી અને જૈવિક પ્રક્રિયાઓ માટે સહસંબંધ લાક્ષણિક છે.

3. સહસંબંધ જોડાણ સ્થાપિત કરવાનું વ્યવહારુ મહત્વ. પરિબળ અને પરિણામી લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના કારણ-અને-અસર સંબંધોની ઓળખ (શારીરિક વિકાસનું મૂલ્યાંકન કરતી વખતે, કામ કરવાની પરિસ્થિતિઓ, જીવનની સ્થિતિ અને આરોગ્યની સ્થિતિ વચ્ચેના સંબંધને નિર્ધારિત કરવા માટે, જ્યારે બીમારીઓની આવર્તનની અવલંબન વય, સેવાની લંબાઈ, વ્યવસાયિક જોખમોની હાજરી, વગેરે)

   કેટલાક ત્રીજા મૂલ્ય પર વિવિધ લાક્ષણિકતાઓમાં સમાંતર ફેરફારોની અવલંબન. ઉદાહરણ તરીકે, વર્કશોપમાં ઉચ્ચ તાપમાનના પ્રભાવ હેઠળ, બ્લડ પ્રેશરમાં ફેરફાર, રક્ત સ્નિગ્ધતા, પલ્સ રેટ, વગેરે થાય છે.

4. લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના સંબંધની દિશા અને તાકાત દર્શાવતું મૂલ્ય. સહસંબંધ ગુણાંક, જે એક નંબરમાં સંકેતો (અસાધારણ ઘટના) વચ્ચેના જોડાણની દિશા અને શક્તિનો ખ્યાલ આપે છે, તેની 0 થી ± 1 સુધીની વધઘટની મર્યાદા
5. સહસંબંધો રજૂ કરવાની પદ્ધતિઓ
   • આલેખ (સ્કેટર પ્લોટ)
   • સહસંબંધ ગુણાંક
6. સહસંબંધની દિશા
   • સીધા
   • વિપરીત
7. સહસંબંધની મજબૂતાઈ
   • મજબૂત: ±0.7 થી ±1
   • સરેરાશ: ±0.3 થી ±0.699
   • નબળા: 0 થી ±0.299
8. સહસંબંધ ગુણાંક અને સૂત્રો નક્કી કરવા માટેની પદ્ધતિઓ
   • ચોરસ પદ્ધતિ (પિયર્સન પદ્ધતિ)
   • ક્રમ પદ્ધતિ (સ્પીયરમેન પદ્ધતિ)
9. સહસંબંધ ગુણાંકનો ઉપયોગ કરવા માટેની પદ્ધતિસરની આવશ્યકતાઓ
   • સંબંધનું માપન માત્ર ગુણાત્મક રીતે સજાતીય વસ્તીમાં જ શક્ય છે (ઉદાહરણ તરીકે, લિંગ અને વય દ્વારા સજાતીય વસ્તીમાં ઊંચાઈ અને વજન વચ્ચેના સંબંધને માપવા)
   • ગણતરી નિરપેક્ષ અથવા વ્યુત્પન્ન મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે
   • સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી કરવા માટે, જૂથ વિનાની વિવિધતા શ્રેણીનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે (ચોરસની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી કરતી વખતે જ આ જરૂરિયાત લાગુ પડે છે)
   • અવલોકનોની સંખ્યા ઓછામાં ઓછી 30
10. ક્રમ સહસંબંધ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટેની ભલામણો (સ્પિયરમેનની પદ્ધતિ)
    • જ્યારે કનેક્શનની મજબૂતાઈને ચોક્કસ રીતે સ્થાપિત કરવાની જરૂર નથી, પરંતુ અંદાજિત ડેટા પૂરતો છે
    • જ્યારે લાક્ષણિકતાઓ માત્ર માત્રાત્મક દ્વારા જ નહીં, પણ વિશેષતા મૂલ્યો દ્વારા પણ દર્શાવવામાં આવે છે
    • જ્યારે લાક્ષણિકતાઓની વિતરણ શ્રેણીમાં ખુલ્લા વિકલ્પો હોય છે (ઉદાહરણ તરીકે, 1 વર્ષ સુધીનો કાર્ય અનુભવ, વગેરે)
11. ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટેની ભલામણો (પિયર્સનની પદ્ધતિ)
    • જ્યારે લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચે જોડાણની મજબૂતાઈનો ચોક્કસ નિર્ધારણ જરૂરી છે
    • જ્યારે ચિહ્નોમાં માત્ર માત્રાત્મક અભિવ્યક્તિ હોય છે
12. સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી માટે પદ્ધતિ અને પ્રક્રિયા

    1) ચોરસ પદ્ધતિ

    2) ક્રમ પદ્ધતિ

    
13. સહસંબંધ ગુણાંકનો ઉપયોગ કરીને સહસંબંધ સંબંધનું મૂલ્યાંકન કરવાની યોજના
14. સહસંબંધ ગુણાંકની ભૂલની ગણતરી
15. ક્રમ સહસંબંધ પદ્ધતિ અને ચોરસની પદ્ધતિ દ્વારા મેળવેલ સહસંબંધ ગુણાંકની વિશ્વસનીયતાનો અંદાજ

    પદ્ધતિ 1
    વિશ્વસનીયતા સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

    

    t માપદંડનું મૂલ્યાંકન t મૂલ્યોના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યાને ધ્યાનમાં લઈને (n - 2), જ્યાં n એ જોડી વિકલ્પોની સંખ્યા છે. t માપદંડ, p ≥99% સંભાવનાને અનુરૂપ, કોષ્ટક એકની બરાબર અથવા તેનાથી મોટો હોવો જોઈએ.

    પદ્ધતિ 2
    પ્રમાણભૂત સહસંબંધ ગુણાંકના વિશિષ્ટ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને વિશ્વસનીયતાનું મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, સહસંબંધ ગુણાંકને વિશ્વસનીય ગણવામાં આવે છે જ્યારે, સ્વતંત્રતાની અમુક ડિગ્રી (n - 2) સાથે, તે ટેબ્યુલરની બરાબર અથવા તેનાથી વધુ હોય, જે ભૂલ-મુક્ત અનુમાન p ≥95% ની ડિગ્રીને અનુરૂપ હોય. .

વ્યાયામ:સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી કરો, પાણીમાં કેલ્શિયમની માત્રા અને પાણીની કઠિનતા વચ્ચેના સંબંધની દિશા અને તાકાત નક્કી કરો, જો નીચેનો ડેટા જાણીતો હોય (કોષ્ટક 1). સંબંધની વિશ્વસનીયતાનું મૂલ્યાંકન કરો. એક નિષ્કર્ષ દોરો.

કોષ્ટક 1

પદ્ધતિની પસંદગી માટેનું સમર્થન.સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, ચોરસ (પિયર્સન) ની પદ્ધતિ પસંદ કરવામાં આવી હતી, કારણ કે દરેક ચિહ્નો (પાણીની કઠિનતા અને કેલ્શિયમની માત્રા) ની સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ છે; ખુલ્લો વિકલ્પ નથી.

ઉકેલ.
ગણતરીઓનો ક્રમ ટેક્સ્ટમાં વર્ણવેલ છે, પરિણામો કોષ્ટકમાં રજૂ કરવામાં આવે છે. જોડી કરેલ તુલનાત્મક લાક્ષણિકતાઓની શ્રેણી બનાવીને, તેમને x (ડિગ્રીમાં પાણીની કઠિનતા) અને y (mg/l માં પાણીમાં કેલ્શિયમની માત્રા) દ્વારા દર્શાવો.

1. સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને પંક્તિ વિકલ્પ "x" માં M x અને પંક્તિ વિકલ્પ "y" માં M y ની સરેરાશ કિંમતો નક્કી કરો:
   M x = Σх/n (કૉલમ 1) અને
   M y = Σу/n (કૉલમ 2)
2. શ્રેણી “x” અને શ્રેણી “y” માં ગણતરી કરેલ સરેરાશના મૂલ્યમાંથી દરેક વિકલ્પનું વિચલન (d x અને d y) શોધો
   d x = x - M x (કૉલમ 3) અને d y = y - M y (કૉલમ 4).
3. વિચલનો d x x d y નું ઉત્પાદન શોધો અને તેમનો સરવાળો કરો: Σ d x x d y (સ્તંભ 5)
4. દરેક વિચલન d x અને d y નો વર્ગ કરો અને "x" શ્રેણી અને "y" શ્રેણી સાથે તેમના મૂલ્યોનો સરવાળો કરો: Σ d x 2 = 982 (કૉલમ 6) અને Σ d y 2 = 51056 (કૉલમ 7).
5. ઉત્પાદન Σ d x 2 x Σ d y 2 નક્કી કરો અને આ ઉત્પાદનમાંથી વર્ગમૂળ કાઢો
6. પરિણામી મૂલ્યો Σ (d x x d y) અને √ (Σd x 2 x Σd y 2)સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી માટે સૂત્રમાં અવેજી:
7. સહસંબંધ ગુણાંકની વિશ્વસનીયતા નક્કી કરો:
   1લી પદ્ધતિ. સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સહસંબંધ ગુણાંક (mr xy) અને t માપદંડની ભૂલ શોધો:

   

   માપદંડ t = 14.1, જે ભૂલ-મુક્ત આગાહી p > 99.9% ની સંભાવનાને અનુરૂપ છે.

   2જી પદ્ધતિ. સહસંબંધ ગુણાંકની વિશ્વસનીયતાનું મૂલ્યાંકન કોષ્ટક "માનક સહસંબંધ ગુણાંક" નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે (જુઓ પરિશિષ્ટ 1). સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા સાથે (n - 2)=6 - 2=4, અમારું ગણતરી કરેલ સહસંબંધ ગુણાંક r xу = + 0.99 એ ટેબ્યુલેટેડ કરતા વધારે છે (r કોષ્ટક = + 0.917 at p = 99%).

   નિષ્કર્ષ.પાણીમાં વધુ કેલ્શિયમ, તે સખત (કનેક્શન સીધા, મજબૂત અને અધિકૃત: r xy = + 0.99, p > 99.9%).

   રેન્કિંગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે

   વ્યાયામ:રેન્ક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, જો નીચેના ડેટા મેળવવામાં આવે તો વર્ષોના કામના અનુભવ અને ઇજાઓની આવર્તન વચ્ચેના સંબંધની દિશા અને તાકાત સ્થાપિત કરો:

   પદ્ધતિ પસંદ કરવા માટેનું સમર્થન:સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, માત્ર ક્રમ સહસંબંધ પદ્ધતિ પસંદ કરી શકાય છે, કારણ કે એટ્રિબ્યુટની પ્રથમ પંક્તિ "વર્ષોમાં કામનો અનુભવ" માં ખુલ્લા વિકલ્પો છે (1 વર્ષ અને 7 કે તેથી વધુ વર્ષ સુધીનો કાર્ય અનુભવ), જે કનેક્શન સ્થાપિત કરવા માટે વધુ સચોટ પદ્ધતિ - ચોરસ પદ્ધતિ - નો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપતું નથી. તુલનાત્મક લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચે.

   ઉકેલ. ગણતરીઓનો ક્રમ ટેક્સ્ટમાં રજૂ કરવામાં આવે છે, પરિણામો કોષ્ટકમાં રજૂ કરવામાં આવે છે. 2.

   કોષ્ટક 2

   વર્ષોમાં કામનો અનુભવ	ઇજાઓની સંખ્યા	ઓર્ડિનલ નંબર્સ (રેન્ક)		ક્રમ તફાવત	રેંકનો વર્ગ તફાવત
   		એક્સ	વાય	d(x-y)	ડી 2
   1 વર્ષ સુધી	24	1	5	-4	16
   1-2	16	2	4	-2	4
   3-4	12	3	2,5	+0,5	0,25
   5-6	12	4	2,5	+1,5	2,25
   7 અથવા વધુ	6	5	1	+4	16
   					Σ d 2 = 38.5

   
   

   પ્રમાણભૂત સહસંબંધ ગુણાંક કે જે વિશ્વસનીય માનવામાં આવે છે (એલ.એસ. કામિન્સકી અનુસાર)

   સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા - 2	સંભાવના સ્તર p (%)
   	95%	98%	99%
   1	0,997	0,999	0,999
   2	0,950	0,980	0,990
   3	0,878	0,934	0,959
   4	0,811	0,882	0,917
   5	0,754	0,833	0,874
   6	0,707	0,789	0,834
   7	0,666	0,750	0,798
   8	0,632	0,716	0,765
   9	0,602	0,885	0,735
   10	0,576	0,858	0,708
   11	0,553	0,634	0,684
   12	0,532	0,612	0,661
   13	0,514	0,592	0,641
   14	0,497	0,574	0,623
   15	0,482	0,558	0,606
   16	0,468	0,542	0,590
   17	0,456	0,528	0,575
   18	0,444	0,516	0,561
   19	0,433	0,503	0,549
   20	0,423	0,492	0,537
   25	0,381	0,445	0,487
   30	0,349	0,409	0,449

   
   
   1. વ્લાસોવ વી.વી. રોગશાસ્ત્ર. - એમ.: GEOTAR-MED, 2004. - 464 પૃષ્ઠ.
   2. લિસિટ્સિન યુ.પી. જાહેર આરોગ્ય અને આરોગ્ય સંભાળ. યુનિવર્સિટીઓ માટે પાઠયપુસ્તક. - એમ.: GEOTAR-MED, 2007. - 512 પૃષ્ઠ.
   3. મેડિક વી.એ., યુરીયેવ વી.કે. જાહેર આરોગ્ય અને આરોગ્યસંભાળ પર વ્યાખ્યાનોનો અભ્યાસક્રમ: ભાગ 1. જાહેર આરોગ્ય. - એમ.: મેડિસિન, 2003. - 368 પૃ.
   4. મિન્યાએવ વી.એ., વિશ્ન્યાકોવ એન.આઈ. અને અન્ય સામાજિક દવા અને આરોગ્યસંભાળ સંસ્થા (2 વોલ્યુમમાં મેન્યુઅલ). - સેન્ટ પીટર્સબર્ગ, 1998. -528 પૃષ્ઠ.
   5. કુચેરેન્કો V.Z., Agarkov N.M. અને અન્ય સામાજિક સ્વચ્છતા અને આરોગ્ય સંભાળ સંસ્થા (ટ્યુટોરીયલ) - મોસ્કો, 2000. - 432 પૃષ્ઠ.
   6. એસ. ગ્લેન્ઝ. તબીબી અને જૈવિક આંકડા. અંગ્રેજીમાંથી અનુવાદ - એમ., પ્રકટિકા, 1998. - 459 પૃ.

અંદાજે R.s. ટી,અને જ્યારે તફાવત નજીવો છે. જો પૂર્વધારણા H 0 સાચી હોય, તો કટ ઘટક X 1 મુજબ , ... , એક્સએનરેન્ડમ વેક્ટર X એ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે, R.s નું પ્રક્ષેપણ. સૂત્ર દ્વારા નિર્ધારિત

જ્યાં (જુઓ).

R. s વચ્ચે આંતરિક જોડાણ છે. અને . માં બતાવ્યા પ્રમાણે, જો પૂર્વધારણા H 0 સાચી હોય, તો પ્રક્ષેપણ કેન્ડલ સહસંબંધ ગુણાંક રેખીય રેખીય સિસ્ટમોના પરિવારમાં. સતત પરિબળ સુધી સ્પીયરમેન રેન્ક સહસંબંધ ગુણાંક સાથે એકરુપ છે, એટલે કે:

આ સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે સહસંબંધ ગુણાંક કોર અને તેની સમાન છે

એટલે કે મોટા પ્રમાણમાં પી.આર. સાથે. અને એસિમ્પ્ટોટિકલી સમકક્ષ છે (જુઓ).

લિટ.: G a e k Ya., Sh i d a k Z., થિયરી ઓફ રેન્ક માપદંડ, ટ્રાન્સ. અંગ્રેજીમાંથી, એમ., 1971; K e n d a l l M. G., ક્રમ સહસંબંધ પદ્ધતિઓ, 4ed., L., 1970. એમ.એસ. નિકુલીન.

ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ. - એમ.: સોવિયેત જ્ઞાનકોશ.

આઇ.એમ. વિનોગ્રાડોવ.

રેન્કિંગના આંકડા- - [એ.એસ. ગોલ્ડબર્ગ. અંગ્રેજી-રશિયન ઊર્જા શબ્દકોશ. 2006] એનર્જી વિષયો સામાન્ય રીતે EN રેન્કના આંકડા... ટેકનિકલ અનુવાદકની માર્ગદર્શિકા

આ શબ્દના અન્ય અર્થો છે, જુઓ આંકડાશાસ્ત્ર (અર્થો). આંકડા (સંકુચિત અર્થમાં) એ નમૂનાનું માપી શકાય તેવું સંખ્યાત્મક કાર્ય છે, જે અજ્ઞાત વિતરણ પરિમાણોથી સ્વતંત્ર છે. વ્યાપક અર્થમાં, શબ્દ (ગાણિતિક) ... ... વિકિપીડિયા

- (આંકડા) 1. વિવિધ ચલો વચ્ચેના સંબંધોનો અભ્યાસ કરવા માટે વપરાતી માહિતી અને ગાણિતિક પદ્ધતિઓનો સમૂહ. તેમાં રેખીય રીગ્રેસન અને રેન્ક સહસંબંધ જેવી પદ્ધતિઓનો સમાવેશ થાય છે. 2. વપરાયેલ મૂલ્યો... ... આર્થિક શબ્દકોશ

આંકડા- 1. એક પ્રકારની પ્રવૃત્તિ જેનો હેતુ માહિતી મેળવવા, પ્રક્રિયા કરવા અને તેનું વિશ્લેષણ કરવાનો છે જે જીવનની માત્રાત્મક પેટર્નને તેની તમામ વિવિધતામાં, તેની ગુણાત્મક સામગ્રી સાથે અસ્પષ્ટ જોડાણમાં દર્શાવે છે. શબ્દના સાંકડા અર્થમાં... ... રશિયન સમાજશાસ્ત્રીય જ્ઞાનકોશ

- (બિન પેરામેટ્રિક આંકડા) આંકડાકીય તકનીકો કે જે ચલ વચ્ચેના સંબંધો માટે વિશેષ કાર્યાત્મક સ્વરૂપોને મંજૂરી આપતી નથી. બે ચલોનો ક્રમ સહસંબંધ આનું ઉદાહરણ છે. આવી તકનીકીનો ઉપયોગ ... ... આર્થિક શબ્દકોશ- કે.એમ., જેને તેમનું નામ મળ્યું. હકીકત એ છે કે તેઓ "સહ-સંબંધ" ચલો પર આધારિત છે, તે આંકડાકીય પદ્ધતિઓ છે, જેની શરૂઆત 19મી સદીના અંતમાં કાર્લ પીયર્સનની રચનાઓમાં કરવામાં આવી હતી. તેઓ નજીકથી સંબંધિત છે ... ... મનોવૈજ્ઞાનિક જ્ઞાનકોશ

ડેવલપર ડિજિટલ ઇલ્યુઝન સીઇ પબ્લિશર... વિકિપીડિયા

કાર્લ પીયર્સન કાર્લ (કાર્લ) પીયર્સન જન્મ તારીખ ... વિકિપીડિયા

લક્ષણો વચ્ચેના જોડાણની નિકટતાના ગુણાંક, જેની ચર્ચા અગાઉના વિભાગમાં કરવામાં આવી છે, જો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી લાક્ષણિકતાઓ માત્રાત્મક હોય તો તેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, મુખ્ય વિતરણ પરિમાણો (સરેરાશ મૂલ્યો, ભિન્નતા) ની ગણતરીનો ઉપયોગ થાય છે, એટલે કે. પેરામેટ્રિક પદ્ધતિ.

સામાજિક-આર્થિક ઘટનાઓ અને પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરવાની આંકડાકીય પ્રેક્ટિસમાં, વ્યક્તિએ ગુણાત્મક લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના સંબંધને માપવાની સમસ્યાઓનો સામનો કરવો પડે છે, જેના માટે તેમના સામાન્ય સ્વરૂપમાં વિશ્લેષણની પેરામેટ્રિક પદ્ધતિઓ લાગુ પડતી નથી. આ કિસ્સામાં, કહેવાતા ઉપયોગ કરો નોનપેરામેટ્રિક પદ્ધતિઓ.

સામાજિક-આર્થિક ઘટનાના વિશ્લેષણમાં, ક્રમ સહસંબંધ ગુણાંક (ક્રમ સહસંબંધ ગુણાંક) નો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે જ્યારે x ના બિન-પ્રત્યક્ષ મૂલ્યો અને y,અને તેમના રેન્ક,તે ચડતા અથવા ઉતરતા ક્રમમાં મૂલ્યોની દરેક પંક્તિમાં તેમના સ્થાનોની સંખ્યા. આવા નોનપેરામેટ્રિક ગુણાંકનો સમાવેશ થાય છે સ્પીયરમેન રેન્ક ગુણાંકઅને કેન્ડલ.

જો nશ્રેણીમાંના વિકલ્પો x ની લાક્ષણિકતાના વધારા અથવા ઘટાડા અનુસાર ગોઠવવામાં આવે છે, પછી ઑબ્જેક્ટને આ લાક્ષણિકતા અનુસાર ક્રમાંકિત કરવામાં આવે છે. x માટેનો ક્રમ તે જે સ્થાન ધરાવે છે તે દર્શાવે છે i-eઅન્ય લોકો વચ્ચે વિશેષતાનું મૂલ્ય nવિશેષતા x (/ = 1,2,___, p).

ઉદાહરણ તરીકે, બજારનું સંશોધન કરતી વખતે, તમે ઉત્પાદન પસંદ કરતી વખતે (જ્યારે સ્ટોક, આઈસ્ક્રીમ, કાર વગેરે ખરીદતા હોય ત્યારે) ગ્રાહકોની પસંદગીઓ શોધવાનું લક્ષ્ય એવી રીતે સેટ કરી શકો છો કે તેઓ ઉત્પાદનને ચડતા (ચડતા) માં વિતરિત કરે. અથવા ઉતરતા) તેમની ઉપભોક્તા પસંદગીઓનો ક્રમ. જો તમારી પાસે ક્રમાંકિત ડેટાના બે સેટ છે, તો તમે તેમની વચ્ચે રેખીય સંબંધની ડિગ્રી સ્થાપિત કરી શકો છો.

ઉદાહરણ 6.7.ધારો કે ત્યાં 5 પ્રોડક્ટ્સ છે (કોષ્ટક 6.7), જે બે લાક્ષણિકતાઓ અનુસાર પસંદગીના ક્રમમાં 1 થી 5 ક્રમાંકિત છે. ઓ વી.

મૂળ રેન્કિંગ

કોષ્ટક 6.7

લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના આંકડાકીય સંબંધની નિકટતાની તપાસ કરવી જરૂરી છે.

ઉકેલ.લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના સંબંધની તીવ્રતા નક્કી કરવા માટે પીયર્સન ગુણાંકનો ઉપયોગ કરવો ખોટો હશે, કારણ કે આ ગુણાંકનો ઉપયોગ માત્રાત્મક રીતે માપવામાં આવતી લાક્ષણિકતાઓ માટે થાય છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, ઊંચાઈ અને વજન વચ્ચેનો સંબંધ નક્કી કરતી વખતે, અમે ઊંચાઈને સેન્ટીમીટરમાં અને વજનને કિલોગ્રામમાં માપીએ છીએ, જ્યારે માપન સ્કેલ પર કોઈ પણ વ્યક્તિ માટે આ લાક્ષણિકતાઓના મૂલ્યોમાં તફાવત ચોક્કસ રીતે નક્કી કરવાનું શક્ય છે (માં બીજા શબ્દોમાં, માપન સ્કેલ પર તેમની વચ્ચેનું અંતર). ચાલો રેન્કિંગ સ્કેલ પર માપવામાં આવેલ લાક્ષણિકતા લઈએ - એક પરીક્ષા ગ્રેડ. શું તેનો અર્થ એ છે કે D મેળવનાર વિદ્યાર્થી પાસે B મેળવનાર વિદ્યાર્થી કરતાં અડધું જ્ઞાન છે? અથવા C ગ્રેડ મેળવનાર બે વિદ્યાર્થીઓનું જ્ઞાનનું સ્તર બરાબર સમાન છે? જવાબ ના છે, શિક્ષક તેમના જ્ઞાનના સ્તરને ચોક્કસ ક્રમમાં, ચોક્કસ વિષયમાં જ્ઞાનનું મૂલ્યાંકન કરવાના માપદંડો અનુસાર ગોઠવે છે, પરંતુ આવા સ્કેલ પરના સંકેતોના મૂલ્યો વચ્ચેનું અંતર સખત રીતે નિશ્ચિત નથી.

રેન્કિંગ સ્કોર્સ વચ્ચે કોઈ સંબંધ છે કે કેમ તે નક્કી કરવા માટે, તેનો ઉપયોગ થાય છે સ્પીયરમેનનો ક્રમ સહસંબંધ ગુણાંક.તેની ગણતરી રેન્ક વચ્ચેના તફાવત પર આધારિત છે.

ચાલો ક્રમ તફાવત દર્શાવીએ d =રેન્ક A~રેન્ક IN

સ્પીયરમેન ગુણાંક

જ્યાં n- ક્રમાંકિત અવલોકનોની જોડીની સંખ્યા.

INઉદાહરણ તરીકે, અમારી પાસે રેન્કની પાંચ જોડી છે, તેથી, p- 5. સરવાળો સીટીની સમાન

પછી સ્પીયરમેન ગુણાંક

સ્પીયરમેન ગુણાંક અંતરાલમાં બદલાય છે [-1; 1] અને પીયર્સન ગુણાંકની જેમ જ અર્થઘટન કરવામાં આવે છે. તફાવત એ છે કે તે ક્રમાંકિત ડેટા પર ગણવામાં આવે છે.

0.6 નું મૂલ્ય અમને નિષ્કર્ષ પર આવવા દે છે કે બે ઉત્પાદન લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચે નોંધપાત્ર રેખીય સંબંધ છે.

સ્પીયરમેન ગુણાંકનું મહત્વ તેના આધારે તપાસવામાં આવે છે tફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને વિદ્યાર્થીની ટી ટેસ્ટ

ગુણાંક મૂલ્ય નોંધપાત્ર ગણવામાં આવે છે જો t calc > > 6fit;a (અને - 2) આપેલ મહત્વના સ્તર માટે a.

ક્રમના સહસંબંધ ગુણાંક (જો રેન્કનું પુનરાવર્તન ન થાય તો) પણ અંગ્રેજી આંકડાશાસ્ત્રી એમ. કેન્ડલ દ્વારા પ્રસ્તાવિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે:

જ્યાં એસ- રેન્કમાં વાસ્તવિક તફાવત; ~n(n- l) - રેન્કનો મહત્તમ સરવાળો.

આ ગુણાંક [-1; થી શ્રેણીમાં બદલાય છે; 1] અને પીયર્સન ગુણાંકની જેમ જ અર્થઘટન કરવામાં આવે છે, પરંતુ વધુ કડક આપે છે

સ્પીયરમેન ગુણાંક કરતાં સંબંધનું મૂલ્યાંકન, અને p = - m આ સંબંધ મોટી સંખ્યામાં અવલોકનો માટે ધરાવે છે (n> 30), અને નબળા અથવા સાધારણ બંધ જોડાણો.

કેન્ડલ ગુણાંકની ગણતરી કરતી વખતે, ક્રિયાઓનો નીચેનો ક્રમ જોવા મળે છે:

• 1. x મૂલ્યોને ચડતા ક્રમમાં ક્રમાંકિત કરવામાં આવે છે.
• 2. મૂલ્યો ખાતેમૂલ્યોને અનુરૂપ ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે એક્સ.
• 3. દરેક ક્રમ y માટે, તેને અનુસરતા અને તેના મૂલ્ય કરતાં વધી જતા ક્રમ મૂલ્યોની સંખ્યા નક્કી કરવામાં આવે છે. પરિણામ “+” કૉલમમાં લખેલું છે.
• 4. દરેક રેન્ક માટે ખાતેતેને અનુસરતા નાના ક્રમના મૂલ્યોની સંખ્યા નક્કી કરવામાં આવે છે. પરિણામ "-" કૉલમમાં લખેલું છે.
• 5. રકમ “+” કૉલમમાં સ્થિત છે અને નિયુક્ત કરવામાં આવી છે આર,"-" કૉલમમાં અને નિયુક્ત કરેલ છે પ્ર.નિર્ધારિત S = P-Q.

કેન્ડલ રેન્ક સહસંબંધ ગુણાંકનું મહત્વ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તપાસવામાં આવે છે

જ્યાં sch_ a/2 (p- 2) - પસંદ કરેલ મહત્વ સ્તર a અને a માટે સામાન્ય વિતરણ કોષ્ટકમાંથી નિર્ધારિત પરિમાણ પી.

ઉદાહરણ 6.8. ચાલો ઉદાહરણ 6.7 માં ડેટાના આધારે કેન્ડલ ગુણાંકની ગણતરી કરીએ.

ઉકેલ.ચાલો કોષ્ટકમાં જરૂરી ગણતરીઓ કરીએ. 6.8.

ખરેખર, જો મેળવેલ મૂલ્ય m ને 1.5 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો આપણે 0.6 મેળવીએ છીએ - ઉદાહરણ 6.7 માં ગણવામાં આવેલ સ્પીયરમેન ગુણાંકનું મૂલ્ય.

ગણતરી કોષ્ટક

ચાલો વૈકલ્પિક સુવિધાઓના સહસંબંધને ધ્યાનમાં લઈએ, એટલે કે લક્ષણો કે જે ફક્ત બે સંભવિત મૂલ્યો લે છે. તેમના સહસંબંધનો અભ્યાસ ચાર-સેલ કોષ્ટકો પર બનેલા સૂચકાંકો પર આધારિત છે, જે આપેલ લાક્ષણિકતા મૂલ્યો માટે એકમોની સંખ્યાનો સારાંશ આપે છે:

ઉકેલ.લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના સંબંધની નિકટતાને માપવા માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આકસ્મિક ગુણાંકની ગણતરી કરવામાં આવે છે.

આકસ્મિક ગુણાંક અંતરાલમાં મૂલ્યો લે છે [-1; 1]. અર્થઘટન સહસંબંધ ગુણાંક જેવું જ છે. અમને નબળું નેગેટિવ કનેક્શન મળ્યું.

એસોસિએશનને માપવાની બીજી પદ્ધતિ એસોસિએશનના ગુણાંકની ગણતરી પર આધારિત છે:

„l 30x5-20x15 l“

અમને મળે છે: પ્ર =-= -0,33

ગુણાંકની સામે માઈનસ ચિહ્ન સૂચવે છે કે ઈન્ફલ્યુએન્ઝા સામે જેટલા વધુ વિદ્યાર્થીઓને રસી આપવામાં આવી હતી, તેટલી ઓછી ઘટનાઓ.

આકસ્મિક ગુણાંક હંમેશા એસોસિએશન ગુણાંક કરતા ઓછો હોય છે અને જોડાણની નિકટતાનું વધુ યોગ્ય મૂલ્યાંકન આપે છે.

લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના સંબંધની નિકટતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે કે જે કોઈપણ સંખ્યાના વિવિધ મૂલ્યો (નિર્ધારિત, નામાંકિત લાક્ષણિકતાઓ) લે છે, પરસ્પર આકસ્મિકતાના પીયર્સનના ગુણાંકનો ઉપયોગ થાય છે. વર્ગીકૃત લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના સંબંધનો અભ્યાસ કરવાનો આધાર એક આકસ્મિક કોષ્ટક છે - લાક્ષણિકતાઓ અનુસાર વસ્તી એકમોનું દ્વિ-પરિમાણીય વિતરણ. જોડાણની હાજરી અથવા ગેરહાજરી વિશેની તમામ માહિતી સુવિધાઓના સંયોજનોની સંયુક્ત ફ્રીક્વન્સીઝમાં સમાયેલ છે.

આ સંબંધનું મૂલ્યાંકન કરવા માટેની માહિતી કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં જૂથબદ્ધ કરવામાં આવી છે (ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ લાક્ષણિકતાના ત્રણ મૂલ્યો અને બીજાના બે માટે), કોષ્ટક. 6.10.

કોષ્ટક 6.10

આકસ્મિક કોષ્ટકનું ઉદાહરણ

હોદ્દો: કે- બે વિશેષતા લાક્ષણિકતાઓના પરસ્પર સંયોજનની આવર્તન; n = YLmy- અવલોકનોની સંખ્યા.

પિયર્સનનો ક્રોસ-આકસ્મિક ગુણાંક સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

જ્યાં cf એ સરેરાશ ચોરસ સમન્વયની અનુક્રમણિકા છે:

ક્રોસ-આકસ્મિક ગુણાંક અંતરાલમાં મૂલ્યો લે છે અને પીયર્સન જોડી પ્રમાણે રેખીય સહસંબંધ ગુણાંકની જેમ જ અર્થઘટન કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 6.10.ટીમમાં સંબંધો પર કામ કરવાની પરિસ્થિતિઓના પ્રભાવનો અભ્યાસ કરવા માટે, એન્ટરપ્રાઇઝના 250 કર્મચારીઓનું નમૂનાનું સર્વેક્ષણ હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું, જેના જવાબો કોષ્ટકમાં પ્રસ્તુત કર્યા મુજબ વિતરિત કરવામાં આવ્યા હતા. 6.11.

કોષ્ટક 6.11

ટીમમાં કામ કરવાની પરિસ્થિતિઓ અને સંબંધો પર પ્રારંભિક ડેટા

પરસ્પર આકસ્મિકતાના પીયર્સન ગુણાંકનો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ કરેલા સૂચકાંકો વચ્ચેના સંબંધને દર્શાવવા માટે તે જરૂરી છે.

ઉકેલ.

આકસ્મિક ગુણાંકનું પ્રાપ્ત મૂલ્ય સૂચવે છે કે કાર્યકારી પરિસ્થિતિઓ અને ટીમમાં સંબંધો વચ્ચેનો સંબંધ મધ્યમ છે.