વ્યસ્ત મેટ્રિક્સની ગણતરી. મેટ્રિક્સ બીજગણિત - મેટ્રિક્સ વ્યસ્ત

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવી- એક સમસ્યા જે ઘણીવાર બે પદ્ધતિઓ દ્વારા હલ થાય છે:

• બીજગણિત ઉમેરણોની પદ્ધતિ, જેમાં નિર્ણાયકો શોધવા અને મેટ્રિસિસ ટ્રાન્સપોઝ કરવાની જરૂર છે;
• અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની ગૌસીયન પદ્ધતિ, જેમાં મેટ્રિસીસના પ્રાથમિક રૂપાંતર કરવાની જરૂર છે (પંક્તિઓ ઉમેરો, સમાન સંખ્યા દ્વારા પંક્તિઓનો ગુણાકાર કરો, વગેરે).

જેઓ ખાસ કરીને વિચિત્ર છે, ત્યાં અન્ય પદ્ધતિઓ છે, ઉદાહરણ તરીકે, રેખીય પરિવર્તનની પદ્ધતિ. આ પાઠમાં આપણે આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે ઉલ્લેખિત ત્રણ પદ્ધતિઓ અને અલ્ગોરિધમ્સનું વિશ્લેષણ કરીશું.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ એ, આવા મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે

એ
. (1)

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ , જે આપેલ ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે શોધવાની જરૂર છે એ, આવા મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે

જેનું ઉત્પાદન મેટ્રિસિસ એજમણી બાજુએ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે, એટલે કે.
. (1)

ઓળખ મેટ્રિક્સ એ એક કર્ણ મેટ્રિક્સ છે જેમાં તમામ કર્ણ તત્વો એક સમાન હોય છે.

પ્રમેય.દરેક બિન-એકવચન (નૉન-ડિજનરેટ, બિન-એકવચન) ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે, એક વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધી શકે છે, અને માત્ર એક. વિશિષ્ટ (ડિજનરેટ, એકવચન) ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ અસ્તિત્વમાં નથી.

ચોરસ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે ખાસ નથી(અથવા બિન-અધોગતિ, બિન-એકવચન), જો તેનો નિર્ણાયક શૂન્ય નથી, અને ખાસ(અથવા અધોગતિ, એકવચન) જો તેનો નિર્ણાયક શૂન્ય છે.

મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત માત્ર ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે જ શોધી શકાય છે. સ્વાભાવિક રીતે, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પણ ચોરસ અને આપેલ મેટ્રિક્સ જેવા જ ક્રમમાં હશે. એક મેટ્રિક્સ કે જેના માટે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધી શકાય છે તેને ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે.

માટે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ સંખ્યાના વ્યસ્ત સાથે સંબંધિત સામ્યતા છે. દરેક નંબર માટે a, શૂન્યની બરાબર નથી, આવી સંખ્યા છે bકે કામ aઅને bએક સમાન: ab= 1. નંબર bસંખ્યાનો વ્યસ્ત કહેવાય છે b. ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 7 માટે પારસ્પરિક 1/7 છે, કારણ કે 7*1/7=1.

બીજગણિત ઉમેરણોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવું (સંલગ્ન મેટ્રિક્સ)

બિન-એકવચન ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે એવ્યસ્ત એ મેટ્રિક્સ છે

મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક ક્યાં છે એ, a એ મેટ્રિક્સ સાથે સંકળાયેલ મેટ્રિક્સ છે એ.

ચોરસ મેટ્રિક્સ સાથે જોડાણ એસમાન ક્રમનું મેટ્રિક્સ છે, જેનાં તત્વો મેટ્રિક્સ A ના સંદર્ભમાં સ્થાનાંતરિત મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકના અનુરૂપ ઘટકોના બીજગણિતીય પૂરક છે. આમ, જો

તે

અને

બીજગણિત ઉમેરણોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટેનું અલ્ગોરિધમ

1. આ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શોધો એ. જો નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર હોય, તો વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવાનું બંધ થઈ જાય છે, કારણ કે મેટ્રિક્સ એકવચન છે અને તેનો વ્યસ્ત અસ્તિત્વમાં નથી.

2. આદર સાથે ટ્રાન્સપોઝ કરેલ મેટ્રિક્સ શોધો એ.

3. સ્ટેપ 2 માં મળેલ મેરીટ્ઝના બીજગણિતીય પૂરક તરીકે યુનિયન મેટ્રિક્સના તત્વોની ગણતરી કરો.

4. સૂત્ર (2) લાગુ કરો: મેટ્રિક્સ નિર્ણાયકના વ્યસ્તનો ગુણાકાર કરો એ, પગલું 4 માં મળેલ યુનિયન મેટ્રિક્સ માટે.

5. આ મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરીને સ્ટેપ 4 માં મેળવેલ પરિણામ તપાસો એવ્યસ્ત મેટ્રિક્સ સુધી. જો આ મેટ્રિક્સનું ઉત્પાદન ઓળખ મેટ્રિક્સ સમાન હોય, તો વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ યોગ્ય રીતે મળી આવ્યું હતું. નહિંતર, ઉકેલ પ્રક્રિયા ફરીથી શરૂ કરો.

ઉદાહરણ 1.મેટ્રિક્સ માટે

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધો.

ઉકેલ. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે, તમારે મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શોધવાની જરૂર છે એ. આપણે ત્રિકોણના નિયમ દ્વારા શોધીએ છીએ:

તેથી, મેટ્રિક્સ એ- બિન-એકવચન (બિન-અધોગતિ, બિન-એકવચન) અને તેના માટે એક વ્યસ્ત છે.

ચાલો આ મેટ્રિક્સ સાથે જોડાયેલ મેટ્રિક્સ શોધીએ એ.

ચાલો મેટ્રિક્સના સંદર્ભમાં સ્થાનાંતરિત મેટ્રિક્સ શોધીએ એ:

અમે મેટ્રિક્સના સંદર્ભમાં સ્થાનાંતરિત મેટ્રિક્સના બીજગણિતીય પૂરક તરીકે સંબંધિત મેટ્રિક્સના ઘટકોની ગણતરી કરીએ છીએ એ:

તેથી, મેટ્રિક્સ મેટ્રિક્સ સાથે જોડાયેલું છે એ, ફોર્મ ધરાવે છે

ટિપ્પણી.તત્વોની ગણતરી કરવાનો અને મેટ્રિક્સને સ્થાનાંતરિત કરવાનો ક્રમ અલગ હોઈ શકે છે. તમે પહેલા મેટ્રિક્સના બીજગણિતીય પૂરકની ગણતરી કરી શકો છો એ, અને પછી બીજગણિતીય પૂરક મેટ્રિક્સને સ્થાનાંતરિત કરો. પરિણામ યુનિયન મેટ્રિક્સના સમાન ઘટકો હોવા જોઈએ.

ફોર્મ્યુલા (2) ને લાગુ કરીને, આપણે મેટ્રિક્સને મેટ્રિક્સથી વિપરીત શોધીએ છીએ એ:

ગૌસીઅન અજાણી નાબૂદી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવું

ગૌસિયન એલિમિનેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સના વ્યસ્ત શોધવાનું પ્રથમ પગલું મેટ્રિક્સને સોંપવાનું છે એસમાન ક્રમનું ઓળખ મેટ્રિક્સ, તેમને ઊભી પટ્ટીથી અલગ કરે છે. અમને ડ્યુઅલ મેટ્રિક્સ મળશે. ચાલો આ મેટ્રિક્સની બંને બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરીએ, પછી આપણને મળે છે

,

ગૌસીઅન અજાણી નાબૂદી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ

1. મેટ્રિક્સ માટે એસમાન ક્રમનું ઓળખ મેટ્રિક્સ સોંપો.

2. પરિણામી દ્વિ મેટ્રિક્સનું રૂપાંતર કરો જેથી તેની ડાબી બાજુએ તમને એકમ મેટ્રિક્સ મળે, પછી જમણી બાજુએ, ઓળખ મેટ્રિક્સની જગ્યાએ, તમને આપોઆપ એક વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ મળે. મેટ્રિક્સ એડાબી બાજુ પ્રાથમિક મેટ્રિક્સ પરિવર્તન દ્વારા ઓળખ મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત થાય છે.

2. જો મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશનની પ્રક્રિયામાં હોય એઓળખ મેટ્રિક્સમાં કોઈપણ પંક્તિ અથવા કોઈપણ કૉલમમાં ફક્ત શૂન્ય હશે, પછી મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક શૂન્ય સમાન છે, અને પરિણામે, મેટ્રિક્સ એએકવચન હશે, અને તેમાં વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ નથી. આ કિસ્સામાં, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનું વધુ નિર્ધારણ અટકે છે.

ઉદાહરણ 2.મેટ્રિક્સ માટે

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધો.

અને અમે તેને રૂપાંતરિત કરીશું જેથી ડાબી બાજુએ આપણને ઓળખ મેટ્રિક્સ મળે. અમે પરિવર્તન શરૂ કરીએ છીએ.

ડાબી અને જમણી મેટ્રિક્સની પ્રથમ પંક્તિને (-3) વડે ગુણાકાર કરો અને તેને બીજી પંક્તિમાં ઉમેરો, અને પછી પ્રથમ પંક્તિને (-4) વડે ગુણાકાર કરો અને તેને ત્રીજી પંક્તિમાં ઉમેરો, પછી આપણને મળશે

.

અનુગામી રૂપાંતરણોમાં કોઈ અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ નથી તેની ખાતરી કરવા માટે, ચાલો પહેલા દ્વિ મેટ્રિક્સની ડાબી બાજુએ બીજી હરોળમાં એક એકમ બનાવીએ. આ કરવા માટે, બીજી લીટીને 2 વડે ગુણાકાર કરો અને તેમાંથી ત્રીજી લીટી બાદ કરો, તો આપણને મળશે

.

ચાલો પ્રથમ લીટીને બીજી સાથે ઉમેરીએ અને પછી બીજી લીટીને (-9) વડે ગુણાકાર કરીએ અને તેને ત્રીજી લીટી સાથે ઉમેરીએ. પછી આપણને મળે છે

.

પછી ત્રીજી લાઇનને 8 વડે વિભાજીત કરો

.

ત્રીજી લીટીને 2 વડે ગુણાકાર કરો અને તેને બીજી લીટીમાં ઉમેરો. તે તારણ આપે છે:

.

ચાલો બીજી અને ત્રીજી લાઈનો અદલાબદલી કરીએ, પછી આપણને આખરે મળશે:

.

આપણે જોઈએ છીએ કે ડાબી બાજુ આપણી પાસે ઓળખ મેટ્રિક્સ છે, તેથી, જમણી બાજુ આપણી પાસે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ છે. આમ:

.

તમે મૂળ મેટ્રિક્સને મળેલા વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ વડે ગુણાકાર કરીને ગણતરીઓની સાચીતા ચકાસી શકો છો:

પરિણામ એક વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ હોવું જોઈએ.

ઉદાહરણ 3.મેટ્રિક્સ માટે

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધો.

ઉકેલ. ડ્યુઅલ મેટ્રિક્સનું સંકલન

અને અમે તેને રૂપાંતરિત કરીશું.

આપણે પ્રથમ લીટીને 3 વડે અને બીજી 2 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ, અને બીજીમાંથી બાદ કરીએ છીએ, અને પછી આપણે પ્રથમ લીટીને 5 વડે અને ત્રીજી લીટીને 2 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને ત્રીજી લીટીમાંથી બાદ કરીએ છીએ, પછી આપણને મળે છે.

.

આપણે પ્રથમ લીટીને 2 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને તેને બીજીમાં ઉમેરીએ છીએ, અને પછી ત્રીજી લીટીમાંથી બીજી બાદ કરીએ છીએ, પછી આપણને મળે છે.

.

આપણે જોઈએ છીએ કે ડાબી બાજુની ત્રીજી લીટીમાં બધા તત્વો શૂન્ય સમાન છે. તેથી, મેટ્રિક્સ એકવચન છે અને તેમાં કોઈ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ નથી. અમે વ્યસ્ત મેરિટ્ઝ શોધવાનું બંધ કરીએ છીએ.

જો $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ સંતુષ્ટ હોય, તો મેટ્રિક્સ $A^(-1)$ ને ચોરસ મેટ્રિક્સ $A$ નું વ્યસ્ત કહેવામાં આવે છે, જ્યાં $E $ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે, જેનો ક્રમ મેટ્રિક્સ $A$ ના ક્રમ સમાન છે.

બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ એ મેટ્રિક્સ છે જેનો નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન નથી. તદનુસાર, એકવચન મેટ્રિક્સ એ છે જેનો નિર્ણાયક શૂન્ય બરાબર છે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ $A^(-1)$ અસ્તિત્વમાં છે જો અને માત્ર જો મેટ્રિક્સ $A$ બિન-એકવચન હોય. જો વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ $A^(-1)$ અસ્તિત્વમાં છે, તો તે અનન્ય છે.

મેટ્રિક્સના વ્યસ્ત શોધવાની ઘણી રીતો છે, અને અમે તેમાંથી બે જોઈશું. આ પૃષ્ઠ સંલગ્ન મેટ્રિક્સ પદ્ધતિની ચર્ચા કરશે, જેને ગણિતના મોટાભાગના ઉચ્ચ અભ્યાસક્રમોમાં પ્રમાણભૂત ગણવામાં આવે છે. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ (પ્રાથમિક પરિવર્તનની પદ્ધતિ) શોધવાની બીજી પદ્ધતિ, જેમાં ગૌસ પદ્ધતિ અથવા ગૌસ-જોર્ડન પદ્ધતિનો સમાવેશ થાય છે, તેની ચર્ચા બીજા ભાગમાં કરવામાં આવી છે.

સંલગ્ન મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ

મેટ્રિક્સ $A_(n\times n)$ આપવા દો. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ $A^(-1)$ શોધવા માટે, ત્રણ પગલાં જરૂરી છે:

1. મેટ્રિક્સ $A$ નો નિર્ણાયક શોધો અને ખાતરી કરો કે $\Delta A\neq 0$, એટલે કે. તે મેટ્રિક્સ A બિન-એકવચન છે.
2. મેટ્રિક્સ $A$ ના દરેક તત્વના $A_(ij)$ને પૂરક બનાવે છે અને મળેલા બીજગણિતમાંથી મેટ્રિક્સ $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ લખો પૂરક
3. સૂત્ર $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ને ધ્યાનમાં લઈને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ લખો.

મેટ્રિક્સ $(A^(*))^T$ ને ઘણી વખત મેટ્રિક્સ $A$ સાથે સંલગ્ન (પરસ્પર, સંલગ્ન) કહેવામાં આવે છે.

જો સોલ્યુશન મેન્યુઅલી કરવામાં આવે છે, તો પ્રથમ પદ્ધતિ માત્ર પ્રમાણમાં નાના ઓર્ડરના મેટ્રિસિસ માટે સારી છે: બીજી (), ત્રીજી (), ચોથી (). ઉચ્ચ ક્રમના મેટ્રિક્સના વ્યસ્ત શોધવા માટે, અન્ય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગૌસીયન પદ્ધતિ, જેની ચર્ચા બીજા ભાગમાં કરવામાં આવી છે.

ઉદાહરણ નંબર 1

મેટ્રિક્સ $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 નો વ્યુત્ક્રમ શોધો & -9 અને 0 \end(એરે) \right)$.

ચોથા સ્તંભના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોવાથી, પછી $\Delta A=0$ (એટલે ​​​​કે મેટ્રિક્સ $A$ એકવચન છે). $\Delta A=0$ થી, મેટ્રિક્સ $A$ માટે કોઈ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ નથી.

ઉદાહરણ નંબર 2

મેટ્રિક્સ $A=\left(\begin(array) (cc) -5 અને 7 \\ 9 અને 8 \end(એરે)\right)$ નું વ્યસ્ત શોધો.

અમે સંલગ્ન મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પ્રથમ, ચાલો આપેલ મેટ્રિક્સ $A$ ના નિર્ણાયકને શોધીએ:

$$ \Delta A=\left| \begin(એરે) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(એરે)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

કારણ કે $\Delta A \neq 0$, પછી વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ અસ્તિત્વમાં છે, તેથી આપણે ઉકેલ ચાલુ રાખીશું. બીજગણિતીય પૂરક શોધવી

\begin(સંરેખિત) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(સંરેખિત)

અમે બીજગણિત ઉમેરણોનું મેટ્રિક્સ બનાવીએ છીએ: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

અમે પરિણામી મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સપોઝ કરીએ છીએ: $(A^(*)^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the પરિણામી મેટ્રિક્સને ઘણીવાર મેટ્રિક્સ $A$ સાથે સંલગ્ન અથવા સંલગ્ન મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે). $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ નો ઉપયોગ કરીને, અમારી પાસે છે:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(એરે)\જમણે) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(એરે)\જમણે) $$

તેથી, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ મળે છે: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(એરે )\જમણે) $. પરિણામની સત્યતા ચકાસવા માટે, સમાનતાઓમાંથી એકનું સત્ય તપાસવું પૂરતું છે: $A^(-1)\cdot A=E$ અથવા $A\cdot A^(-1)=E$. ચાલો સમાનતા તપાસીએ $A^(-1)\cdot A=E$. અપૂર્ણાંક સાથે ઓછું કામ કરવા માટે, અમે મેટ્રિક્સ $A^(-1)$ ને બદલીશું $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 ફોર્મમાં નહીં. & 5/103 \ end(array)\right)$, અને $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 સ્વરૂપમાં -5 \end(એરે )\જમણે)$:

જવાબ આપો: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(એરે)\right)$.

ઉદાહરણ નંબર 3

મેટ્રિક્સ $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 અને 7 અને 3 \\ -4 અને 9 અને 4 \\ 0 અને 3 અને 2\end(એરે) \right)$ માટે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધો .

ચાલો મેટ્રિક્સ $A$ ના નિર્ણાયકની ગણતરી કરીને પ્રારંભ કરીએ. તેથી, મેટ્રિક્સ $A$ નો નિર્ણાયક છે:

$$ \Delta A=\left| \begin(એરે) (ccc) 1 અને 7 અને 3 \\ -4 અને 9 અને 4 \\ 0 અને 3 અને 2\અંત(એરે) \right| = 18-36+56-12=26. $$

કારણ કે $\Delta A\neq 0$, પછી વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ અસ્તિત્વમાં છે, તેથી આપણે ઉકેલ ચાલુ રાખીશું. અમને આપેલ મેટ્રિક્સના દરેક તત્વના બીજગણિતીય પૂરક મળે છે:

અમે બીજગણિત ઉમેરણોનું મેટ્રિક્સ બનાવીએ છીએ અને તેને સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

$A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણને મળે છે:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(એરે) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 અને -3/26 અને 37/26 \end(એરે) \જમણે) $$

તેથી $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 અને 37/26 \end(એરે) \right)$. પરિણામની સત્યતા ચકાસવા માટે, સમાનતાઓમાંથી એકનું સત્ય તપાસવું પૂરતું છે: $A^(-1)\cdot A=E$ અથવા $A\cdot A^(-1)=E$. ચાલો સમાનતા તપાસીએ $A\cdot A^(-1)=E$. અપૂર્ણાંક સાથે ઓછું કામ કરવા માટે, અમે મેટ્રિક્સ $A^(-1)$ ને બદલીશું $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ માં નહીં. \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 અને 37/26 \end(એરે) \right)$, અને $\frac(1)(26) સ્વરૂપમાં )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(એરે) \right)$:

ચેક સફળ રહ્યો, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ $A^(-1)$ યોગ્ય રીતે મળી આવ્યું.

જવાબ આપો: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 અને 37/26 \end(એરે) \right)$.

ઉદાહરણ નંબર 4

મેટ્રિક્સ $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 અને -5 અને 8 અને 4\\ 9 અને 7 અને 5 અને 2 \\ 7 અને 5 અને 3 અને 7\\ -4 નું મેટ્રિક્સ વ્યુત્ક્રમ શોધો & 8 & -8 & -3 \end(એરે) \right)$.

ચોથા ક્રમના મેટ્રિક્સ માટે, બીજગણિત ઉમેરણોનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવાનું થોડું મુશ્કેલ છે. જો કે, આવા ઉદાહરણો કસોટી પેપરમાં જોવા મળે છે.

મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધવા માટે, તમારે પહેલા મેટ્રિક્સ $A$ ના નિર્ણાયકની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. આ પરિસ્થિતિમાં આવું કરવાનો શ્રેષ્ઠ માર્ગ એ છે કે એક પંક્તિ (સ્તંભ) સાથે નિર્ણાયકને વિઘટન કરવું. અમે કોઈપણ પંક્તિ અથવા કૉલમ પસંદ કરીએ છીએ અને પસંદ કરેલ પંક્તિ અથવા કૉલમના દરેક ઘટકના બીજગણિતીય પૂરક શોધીએ છીએ.

વ્યાખ્યા 1:મેટ્રિક્સને એકવચન કહેવામાં આવે છે જો તેનો નિર્ણાયક શૂન્ય હોય.

વ્યાખ્યા 2:મેટ્રિક્સને બિન-એકવચન કહેવામાં આવે છે જો તેનો નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન ન હોય.

મેટ્રિક્સ "A" કહેવાય છે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ, જો શરત A*A-1 = A-1 *A = E (એકમ મેટ્રિક્સ) સંતુષ્ટ છે.

ચોરસ મેટ્રિક્સ ફક્ત ત્યારે જ ઉલટાવી શકાય તેવું છે જો તે બિન-એકવચન હોય.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સની ગણતરી કરવાની યોજના:

1) જો મેટ્રિક્સ "A" ના નિર્ણાયકની ગણતરી કરો ∆ A = 0, તો વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ અસ્તિત્વમાં નથી.

2) મેટ્રિક્સ "A" ના તમામ બીજગણિત પૂરક શોધો.

3) બીજગણિત ઉમેરણોનું મેટ્રિક્સ બનાવો (Aij)

4) બીજગણિતીય પૂરક (Aij )T ના મેટ્રિક્સને સ્થાનાંતરિત કરો

5) ટ્રાન્સપોઝ કરેલ મેટ્રિક્સને આ મેટ્રિક્સના નિર્ધારકના વ્યસ્ત વડે ગુણાકાર કરો.

6) તપાસ કરો:

પ્રથમ નજરમાં તે જટિલ લાગે છે, પરંતુ હકીકતમાં બધું ખૂબ સરળ છે. બધા ઉકેલો સરળ અંકગણિત કામગીરી પર આધારિત છે, ઉકેલ કરતી વખતે મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે "-" અને "+" ચિહ્નો સાથે મૂંઝવણમાં ન આવવું અને તેમને ગુમાવવું નહીં.

હવે ચાલો વ્યસ્ત મેટ્રિક્સની ગણતરી કરીને એકસાથે વ્યવહારુ કાર્ય ઉકેલીએ.

કાર્ય: નીચેના ચિત્રમાં બતાવેલ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ "A" શોધો:

1. પ્રથમ વસ્તુ મેટ્રિક્સ "A" ના નિર્ણાયકને શોધવાનું છે:

સમજૂતી:

અમે અમારા નિર્ણાયકને તેના મૂળભૂત કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને સરળ બનાવ્યા છે. પ્રથમ, અમે 2જી અને 3જી લીટીઓમાં પ્રથમ લીટીના તત્વો ઉમેર્યા, એક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર.

બીજું, અમે નિર્ણાયકની 2 જી અને 3 જી કૉલમ બદલી, અને તેના ગુણધર્મો અનુસાર, અમે તેની સામેનું ચિહ્ન બદલ્યું.

ત્રીજે સ્થાને, અમે બીજી લાઇનના સામાન્ય પરિબળ (-1)ને બહાર કાઢ્યા, ત્યાંથી ચિહ્ન ફરીથી બદલ્યું, અને તે હકારાત્મક બન્યું. અમે ઉદાહરણની શરૂઆતમાંની જેમ જ લાઇન 3 ને પણ સરળ બનાવીએ છીએ.

આપણી પાસે ત્રિકોણાકાર નિર્ણાયક છે જેના કર્ણની નીચેના તત્વો શૂન્યના બરાબર છે, અને ગુણધર્મ 7 દ્વારા તે કર્ણ તત્વોના ગુણાંક સમાન છે. અંતે અમને મળ્યું ∆ A = 26, તેથી વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ અસ્તિત્વમાં છે.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. આગળનું પગલું પરિણામી ઉમેરણોમાંથી મેટ્રિક્સનું સંકલન કરવાનું છે:

5. આ મેટ્રિક્સને નિર્ણાયકના વ્યસ્ત વડે ગુણાકાર કરો, એટલે કે 1/26 વડે:

6. હવે આપણે ફક્ત તપાસ કરવાની જરૂર છે:

પરીક્ષણ દરમિયાન, અમને એક ઓળખ મેટ્રિક્સ પ્રાપ્ત થયો, તેથી, ઉકેલ એકદમ યોગ્ય રીતે હાથ ધરવામાં આવ્યો હતો.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સની ગણતરી કરવાની 2 રીત.

1. પ્રાથમિક મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશન

2. પ્રાથમિક કન્વર્ટર દ્વારા વિપરિત મેટ્રિક્સ.

પ્રાથમિક મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશનમાં શામેલ છે:

1. શૂન્યની બરાબર ન હોય તેવી સંખ્યા વડે શબ્દમાળાનો ગુણાકાર કરવો.

2. કોઈપણ લીટીમાં બીજી લીટી ઉમેરીને સંખ્યા વડે ગુણાકાર થાય છે.

3. મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ સ્વેપ કરો.

4. પ્રાથમિક પરિવર્તનની સાંકળ લાગુ કરીને, આપણે બીજું મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ.

એ -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2.એ -1 * A = E

ચાલો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સાથેના વ્યવહારુ ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આને જોઈએ.

વ્યાયામ:વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધો.

ઉકેલ:

ચાલો તપાસીએ:

ઉકેલ પર થોડી સ્પષ્ટતા:

પ્રથમ, અમે મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ 1 અને 2 ને ફરીથી ગોઠવી, પછી પ્રથમ પંક્તિનો (-1) દ્વારા ગુણાકાર કર્યો.

તે પછી, અમે પ્રથમ પંક્તિનો (-2) દ્વારા ગુણાકાર કર્યો અને તેને મેટ્રિક્સની બીજી પંક્તિ સાથે ઉમેરી. પછી આપણે લીટી 2 ને 1/4 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ.

રૂપાંતરણનો અંતિમ તબક્કો બીજી લાઇનને 2 વડે ગુણાકાર કરવો અને તેને પ્રથમ સાથે ઉમેરવાનો હતો. પરિણામે, આપણી પાસે ડાબી બાજુએ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે, તેથી, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ એ જમણી બાજુનું મેટ્રિક્સ છે.

તપાસ કર્યા પછી, અમને ખાતરી થઈ કે નિર્ણય સાચો હતો.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સની ગણતરી કરવી ખૂબ જ સરળ છે.

આ વ્યાખ્યાનના અંતે, હું આવા મેટ્રિક્સના ગુણધર્મો પર થોડો સમય પસાર કરવા માંગુ છું.

ચાલો મેટ્રિસેસ સાથે ક્રિયાઓ વિશે વાતચીત ચાલુ રાખીએ. જેમ કે, આ લેક્ચરના અભ્યાસ દરમિયાન તમે ઇન્વર્સ મેટ્રિક્સ કેવી રીતે શોધવું તે શીખી શકશો. જાણો. ભલે ગણિત અઘરું હોય.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શું છે? અહીં આપણે વ્યસ્ત સંખ્યાઓ સાથે સામ્યતા દોરી શકીએ છીએ: ઉદાહરણ તરીકે, આશાવાદી સંખ્યા 5 અને તેની વ્યસ્ત સંખ્યાને ધ્યાનમાં લો. આ સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન એક સમાન છે: . મેટ્રિસિસ સાથે બધું સમાન છે! મેટ્રિક્સનું ઉત્પાદન અને તેના વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ સમાન છે - ઓળખ મેટ્રિક્સ, જે સંખ્યાત્મક એકમનું મેટ્રિક્સ એનાલોગ છે. જો કે, પ્રથમ વસ્તુઓ - ચાલો પહેલા એક મહત્વપૂર્ણ વ્યવહારિક સમસ્યાને હલ કરીએ, એટલે કે, આ ખૂબ જ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ કેવી રીતે શોધવું તે શીખીએ.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે તમારે શું જાણવાની અને શું કરવાની જરૂર છે? તમે નક્કી કરવા માટે સમર્થ હોવા જ જોઈએ ક્વોલિફાયર. તમારે સમજવું જોઈએ કે તે શું છે મેટ્રિક્સઅને તેમની સાથે કેટલીક ક્રિયાઓ કરવા સક્ષમ બનો.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે બે મુખ્ય પદ્ધતિઓ છે:
ઉપયોગ કરીને બીજગણિત ઉમેરાઓઅને પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને.

આજે આપણે પ્રથમ, સરળ પદ્ધતિનો અભ્યાસ કરીશું.

ચાલો સૌથી ભયંકર અને અગમ્ય સાથે પ્રારંભ કરીએ. ચાલો વિચાર કરીએ ચોરસમેટ્રિક્સ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક ક્યાં છે, તે મેટ્રિક્સના અનુરૂપ ઘટકોના બીજગણિતીય પૂરકનું સ્થાનાંતરિત મેટ્રિક્સ છે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ખ્યાલ ફક્ત ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે જ અસ્તિત્વમાં છે, મેટ્રિસિસ “બે બાય બે”, “ત્રણ બાય ત્રણ”, વગેરે.

હોદ્દો: તમે પહેલેથી જ નોંધ્યું હશે કે, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ સુપરસ્ક્રિપ્ટ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે

ચાલો સૌથી સરળ કેસથી શરૂઆત કરીએ - બે-બાય-બે મેટ્રિક્સ. મોટેભાગે, અલબત્ત, "ત્રણ બાય ત્રણ" આવશ્યક છે, પરંતુ, તેમ છતાં, હું ઉકેલના સામાન્ય સિદ્ધાંતને સમજવા માટે એક સરળ કાર્યનો અભ્યાસ કરવાની ભારપૂર્વક ભલામણ કરું છું.

ઉદાહરણ:

મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધો

ચાલો નક્કી કરીએ. ક્રિયાઓના ક્રમને પોઈન્ટ બાય પોઈન્ટ વિભાજિત કરવાનું અનુકૂળ છે.

1) પ્રથમ આપણે મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શોધીએ છીએ.

જો આ ક્રિયા વિશે તમારી સમજ સારી નથી, તો સામગ્રી વાંચો નિર્ણાયકની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?

મહત્વપૂર્ણ!જો મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક સમાન હોય શૂન્ય- વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ અસ્તિત્વમાં નથી.

વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં, જેમ તે બહાર આવ્યું છે, , જેનો અર્થ છે કે બધું ક્રમમાં છે.

2) સગીરોનું મેટ્રિક્સ શોધો.

અમારી સમસ્યાને હલ કરવા માટે, સગીર શું છે તે જાણવું જરૂરી નથી, જો કે, લેખ વાંચવાની સલાહ આપવામાં આવે છે નિર્ણાયકની ગણતરી કેવી રીતે કરવી.

સગીરોના મેટ્રિક્સમાં મેટ્રિક્સ જેવા જ પરિમાણો છે, એટલે કે, આ કિસ્સામાં.
માત્ર ચાર નંબરો શોધવા અને ફૂદડીને બદલે મૂકવાનું બાકી છે.

ચાલો આપણા મેટ્રિક્સ પર પાછા ફરીએ
ચાલો પહેલા ઉપરના ડાબા તત્વને જોઈએ:

તેને કેવી રીતે શોધવું સગીર?
અને આ આ રીતે કરવામાં આવે છે: માનસિક રીતે પંક્તિ અને કૉલમને ક્રોસ કરો જેમાં આ તત્વ સ્થિત છે:

બાકીની સંખ્યા છે આ તત્વ નાના, જે આપણે સગીરોના અમારા મેટ્રિક્સમાં લખીએ છીએ:

નીચેના મેટ્રિક્સ તત્વને ધ્યાનમાં લો:

માનસિક રીતે પંક્તિ અને કૉલમને પાર કરો જેમાં આ તત્વ દેખાય છે:

જે બાકી રહે છે તે આ તત્વનું ગૌણ છે, જે આપણે આપણા મેટ્રિક્સમાં લખીએ છીએ:

એ જ રીતે, અમે બીજી હરોળના ઘટકોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ અને તેમના સગીર શોધીએ છીએ:


તૈયાર છે.

તે સરળ છે. સગીરોના મેટ્રિક્સમાં તમને જરૂર છે ચિહ્નો બદલોબે નંબરો:

આ તે સંખ્યાઓ છે જે મેં પરિક્રમા કરી છે!

– મેટ્રિક્સના અનુરૂપ ઘટકોના બીજગણિતીય પૂરકનું મેટ્રિક્સ.

અને બસ...

4) બીજગણિત ઉમેરણોનું સ્થાનાંતરિત મેટ્રિક્સ શોધો.

- મેટ્રિક્સના અનુરૂપ ઘટકોના બીજગણિતીય પૂરકનું ટ્રાન્સપોઝ કરેલ મેટ્રિક્સ.

5) જવાબ આપો.

ચાલો આપણા સૂત્રને યાદ કરીએ
બધું મળી ગયું છે!

તેથી વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ છે:

જવાબ જેમ છે તેમ છોડી દેવું વધુ સારું છે. કોઈ જરૂર નથીમેટ્રિક્સના દરેક ઘટકને 2 વડે વિભાજીત કરો, કારણ કે પરિણામ અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે. આ ઉપદ્રવની સમાન લેખમાં વધુ વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે. મેટ્રિસિસ સાથેની ક્રિયાઓ.

ઉકેલ કેવી રીતે તપાસો?

તમારે મેટ્રિક્સ ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે અથવા

પરીક્ષા:

પહેલેથી જ ઉલ્લેખિત પ્રાપ્ત ઓળખ મેટ્રિક્સદ્વારા રાશિઓ સાથે મેટ્રિક્સ છે મુખ્ય કર્ણઅને અન્ય સ્થળોએ શૂન્ય.

આમ, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ યોગ્ય રીતે મળી આવે છે.

જો તમે ક્રિયા કરો છો, તો પરિણામ પણ એક ઓળખ મેટ્રિક્સ હશે. આ એવા કેટલાક કિસ્સાઓમાંનો એક છે જ્યાં મેટ્રિક્સ ગુણાકાર વિનિમયાત્મક છે, વધુ વિગતો લેખમાં મળી શકે છે. મેટ્રિસીસ પર કામગીરીના ગુણધર્મો. મેટ્રિક્સ અભિવ્યક્તિઓ. એ પણ નોંધો કે ચેક દરમિયાન, સતત (અપૂર્ણાંક) આગળ લાવવામાં આવે છે અને ખૂબ જ અંતમાં પ્રક્રિયા કરવામાં આવે છે - મેટ્રિક્સ ગુણાકાર પછી. આ એક પ્રમાણભૂત તકનીક છે.

ચાલો વ્યવહારમાં વધુ સામાન્ય કેસ તરફ આગળ વધીએ - ત્રણ-બાય-ત્રણ મેટ્રિક્સ:

ઉદાહરણ:

મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધો

એલ્ગોરિધમ "બે બાય બે" કેસ માટે બરાબર સમાન છે.

આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધીએ છીએ: , મેટ્રિક્સના અનુરૂપ ઘટકોના બીજગણિતીય પૂરકનું સ્થાનાંતરિત મેટ્રિક્સ ક્યાં છે.

1) મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શોધો.

અહીં નિર્ણાયક પ્રગટ થાય છે પ્રથમ લીટી પર.

ઉપરાંત, તે ભૂલશો નહીં, જેનો અર્થ છે કે બધું સારું છે - વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ અસ્તિત્વમાં છે.

2) સગીરોનું મેટ્રિક્સ શોધો.

સગીરોના મેટ્રિક્સનું પરિમાણ "ત્રણ બાય ત્રણ" છે , અને આપણે નવ સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે.

હું થોડા સગીરોને નજીકથી જોઈશ:

નીચેના મેટ્રિક્સ તત્વને ધ્યાનમાં લો:

માનસિક રીતે તે પંક્તિ અને કૉલમને પાર કરો જેમાં આ તત્વ સ્થિત છે:

આપણે બાકીની ચાર સંખ્યાઓને "બે બાય બે" નિર્ણાયકમાં લખીએ છીએ.

આ બે-બાય-બે નિર્ધારક અને આ તત્વનું નાનું છે. તેની ગણતરી કરવાની જરૂર છે:


બસ, સગીર મળી આવ્યું છે, અમે તેને અમારા સગીરોના મેટ્રિક્સમાં લખીએ છીએ:

જેમ તમે કદાચ અનુમાન લગાવ્યું છે, તમારે નવ બે-બાય-બે નિર્ધારકોની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. પ્રક્રિયા, અલબત્ત, કંટાળાજનક છે, પરંતુ કેસ સૌથી ગંભીર નથી, તે વધુ ખરાબ હોઈ શકે છે.

સારું, એકીકૃત કરવા માટે - ચિત્રોમાં અન્ય સગીર શોધો:

બાકીના સગીરોની જાતે ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો.

અંતિમ પરિણામ:
- મેટ્રિક્સના અનુરૂપ તત્વોના સગીરોનું મેટ્રિક્સ.

હકીકત એ છે કે તમામ સગીરો નકારાત્મક હોવાનું બહાર આવ્યું છે તે ફક્ત એક અકસ્માત છે.

3) બીજગણિત ઉમેરણોનું મેટ્રિક્સ શોધો.

સગીરોના મેટ્રિક્સમાં તે જરૂરી છે ચિહ્નો બદલોનીચેના ઘટકો માટે સખત રીતે:

આ કિસ્સામાં:

અમે "ચાર બાય ચાર" મેટ્રિક્સ માટે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવાનું વિચારતા નથી, કારણ કે માત્ર એક ઉદાસીન શિક્ષક જ આવું કાર્ય આપી શકે છે (વિદ્યાર્થી માટે એક "ચાર બાય ચાર" નિર્ણાયક અને 16 "ત્રણ બાય ત્રણ" નિર્ધારકોની ગણતરી કરવી). મારી પ્રેક્ટિસમાં, આવો એક જ કિસ્સો હતો, અને ટેસ્ટના ગ્રાહકે મારી યાતના માટે ખૂબ મોંઘી કિંમત ચૂકવી =).

સંખ્યાબંધ પાઠ્યપુસ્તકો અને માર્ગદર્શિકાઓમાં તમે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે થોડો અલગ અભિગમ શોધી શકો છો, પરંતુ હું ઉપર દર્શાવેલ ઉકેલ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરું છું. શા માટે? કારણ કે ગણતરી અને ચિહ્નોમાં ગૂંચવાડો થવાની સંભાવના ઘણી ઓછી છે.

ઘણા ગુણધર્મમાં વ્યુત્ક્રમ સમાન.

જ્ઞાનકોશીય YouTube

1 / 5

✪ મેટ્રિક્સનું વ્યસ્ત કેવી રીતે શોધવું - bezbotvy

✪ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ (શોધવાની 2 રીતો)

✪ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ #1

✪ 2015-01-28. વ્યસ્ત 3x3 મેટ્રિક્સ

✪ 2015-01-27. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ 2x2

સબટાઈટલ

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સના ગુણધર્મો

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), ક્યાં det (\displaystyle \\det )નિર્ણાયક સૂચવે છે.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\Displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))બે ચોરસ ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિસિસ માટે A (\Displaystyle A)અને B (\Displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), ક્યાં (... .) T (\displaystyle (...)^(T))ટ્રાન્સપોઝ કરેલ મેટ્રિક્સ સૂચવે છે.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))કોઈપણ ગુણાંક માટે k ≠ 0 (\ડિસ્પ્લેસ્ટાઈલ k\not =0).
• E − 1 = E (\Displaystyle \E^(-1)=E).
• જો રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરવી જરૂરી હોય, તો (b એ શૂન્ય ન હોય તેવા વેક્ટર છે) જ્યાં x (\displaystyle x)ઇચ્છિત વેક્ટર છે, અને જો A − 1 (\Displaystyle A^(-1))અસ્તિત્વમાં છે, તો પછી x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). નહિંતર, કાં તો સોલ્યુશન સ્પેસનું પરિમાણ શૂન્ય કરતા વધારે છે, અથવા ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટેની પદ્ધતિઓ

જો મેટ્રિક્સ ઇન્વર્ટિબલ હોય, તો ઇન્વર્સ મેટ્રિક્સ શોધવા માટે તમે નીચેની પદ્ધતિઓમાંથી એકનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

ચોક્કસ (સીધી) પદ્ધતિઓ

ગૌસ-જોર્ડન પદ્ધતિ

ચાલો બે મેટ્રિસિસ લઈએ: ધ એઅને સિંગલ ઇ. ચાલો મેટ્રિક્સ રજૂ કરીએ એગૉસ-જોર્ડન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઓળખ મેટ્રિક્સ પર, પંક્તિઓ સાથે પરિવર્તન લાગુ કરો (તમે કૉલમ સાથે પણ પરિવર્તનો લાગુ કરી શકો છો, પરંતુ એકબીજા સાથે નહીં). દરેક ઑપરેશનને પ્રથમ મેટ્રિક્સ પર લાગુ કર્યા પછી, તે જ ઑપરેશન બીજા પર લાગુ કરો. જ્યારે પ્રથમ મેટ્રિક્સથી એકમ સ્વરૂપમાં ઘટાડો પૂર્ણ થાય છે, ત્યારે બીજા મેટ્રિક્સ સમાન હશે A−1.

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે, પ્રથમ મેટ્રિક્સને ડાબી બાજુએ પ્રાથમિક મેટ્રિક્સમાંથી એક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવશે. Λ i (\Displaystyle \Lambda _(i))(મુખ્ય કર્ણ પરની સાથે ટ્રાન્સવેક્શન અથવા વિકર્ણ મેટ્રિક્સ, એક સ્થિતિ સિવાય):

તમામ કામગીરી લાગુ કર્યા પછીનો બીજો મેટ્રિક્સ સમાન હશે Λ (\Displaystyle \Lambda), એટલે કે, તે ઇચ્છિત હશે. અલ્ગોરિધમ જટિલતા - O (n 3) (\Displaystyle O(n^(3))).

બીજગણિત પૂરક મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને

મેટ્રિક્સનો મેટ્રિક્સ વ્યસ્ત A (\Displaystyle A), ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

જ્યાં adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- સંલગ્ન મેટ્રિક્સ;

અલ્ગોરિધમની જટિલતા નિર્ણાયક O det ની ગણતરી કરવા માટે અલ્ગોરિધમની જટિલતા પર આધાર રાખે છે અને O(n²)·O det ની બરાબર છે.

LU/LUP વિઘટનનો ઉપયોગ

મેટ્રિક્સ સમીકરણ A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ માટે X (\Displaystyle X)સંગ્રહ તરીકે ગણી શકાય n (\Displaystyle n)ફોર્મની સિસ્ટમો A x = b (\displaystyle Ax=b). ચાલો સૂચિત કરીએ i (\ પ્રદર્શન શૈલી i)મેટ્રિક્સની મી કૉલમ X (\Displaystyle X)દ્વારા X i (\displaystyle X_(i)); પછી A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n), કારણ કે i (\ પ્રદર્શન શૈલી i)મેટ્રિક્સની મી કૉલમ I n (\ displaystyle I_(n))એકમ વેક્ટર છે e i (\ displaystyle e_(i)). બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવું એ સમાન મેટ્રિક્સ અને વિવિધ જમણી બાજુઓ સાથે n સમીકરણો ઉકેલવા માટે નીચે આવે છે. LUP વિઘટન (O(n³) સમય કર્યા પછી, દરેક n સમીકરણોને ઉકેલવામાં O(n²) સમય લાગે છે, તેથી કાર્યના આ ભાગમાં પણ O(n³) સમયની જરૂર પડે છે.

જો મેટ્રિક્સ A બિન-એકવચન છે, તો તેના માટે LUP વિઘટનની ગણતરી કરી શકાય છે P A = L U (\ displaystyle PA=LU). દો P A = B (\Displaystyle PA=B), B − 1 = D (\Displaystyle B^(-1)=D). પછી વ્યસ્ત મેટ્રિક્સના ગુણધર્મોમાંથી આપણે લખી શકીએ: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). જો તમે આ સમાનતાને U અને L વડે ગુણાકાર કરો છો, તો તમે ફોર્મની બે સમાનતા મેળવી શકો છો U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))અને D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). આ સમાનતાઓમાંની પ્રથમ n² રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ છે n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))જેમાંથી જમણી બાજુઓ ઓળખાય છે (ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસના ગુણધર્મોમાંથી). બીજા માટે n² રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ પણ રજૂ કરે છે n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))જેમાંથી જમણી બાજુઓ જાણીતી છે (ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસના ગુણધર્મોમાંથી પણ). તેઓ એકસાથે n² સમાનતાઓની સિસ્ટમનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ સમાનતાઓનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેટ્રિક્સ D ના તમામ n² તત્વોને વારંવાર નિર્ધારિત કરી શકીએ છીએ. પછી સમાનતા (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. આપણે સમાનતા મેળવીએ છીએ. A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

LU વિઘટનનો ઉપયોગ કરવાના કિસ્સામાં, મેટ્રિક્સ Dના કૉલમના ક્રમચયની જરૂર નથી, પરંતુ જો મેટ્રિક્સ A બિન-એકવચન હોય તો પણ ઉકેલ અલગ પડી શકે છે.

અલ્ગોરિધમની જટિલતા O(n³) છે.

પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ

શુલ્ટ્ઝ પદ્ધતિઓ

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\ displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\સમ _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\અંત(કેસ)))

ભૂલ અંદાજ

પ્રારંભિક અંદાજ પસંદ કરી રહ્યા છીએ

અહીં ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી પુનરાવર્તિત મેટ્રિક્સ વ્યુત્ક્રમ પ્રક્રિયાઓમાં પ્રારંભિક અંદાજ પસંદ કરવાની સમસ્યા અમને તેમને સ્વતંત્ર સાર્વત્રિક પદ્ધતિઓ તરીકે સમજવાની મંજૂરી આપતી નથી જે સીધી વ્યુત્ક્રમ પદ્ધતિઓ સાથે સ્પર્ધા કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિસિસના LU વિઘટન પર. પસંદ કરવા માટે કેટલીક ભલામણો છે U 0 (\Displaystyle U_(0)), શરતની પરિપૂર્ણતાની ખાતરી કરવી ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (મેટ્રિક્સની સ્પેક્ટ્રલ ત્રિજ્યા એકતા કરતા ઓછી છે), જે પ્રક્રિયાના કન્વર્જન્સ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે. જો કે, આ કિસ્સામાં, સૌપ્રથમ, ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિક્સ A અથવા મેટ્રિક્સના સ્પેક્ટ્રમ માટેના અંદાજ ઉપરથી જાણવાની જરૂર છે. A A T (\ ડિસ્પ્લેસ્ટાઇલ AA^(T))(એટલે ​​​​કે, જો A એ સપ્રમાણ હકારાત્મક ચોક્કસ મેટ્રિક્સ છે અને ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), પછી તમે લઈ શકો છો U 0 = α E (\Displaystyle U_(0)=(\alpha )E), ક્યાં ; જો A એ મનસ્વી બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ છે અને ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), પછી તેઓ માને છે U 0 = α A T (\Displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), જ્યાં પણ α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); તમે, અલબત્ત, પરિસ્થિતિને સરળ બનાવી શકો છો અને તે હકીકતનો લાભ લઈ શકો છો ρ (A A T) ≤ k A A T k (\ displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), મૂકો U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\Displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). બીજું, આ રીતે પ્રારંભિક મેટ્રિક્સનો ઉલ્લેખ કરતી વખતે, તેની કોઈ ગેરેંટી નથી ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)નાનું હશે (કદાચ તે બહાર પણ આવશે ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), અને કન્વર્જન્સ દરનો ઉચ્ચ ક્રમ તરત જ જાહેર કરવામાં આવશે નહીં.

ઉદાહરણો

મેટ્રિક્સ 2x2

(\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf) (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).) 2x2 મેટ્રિક્સનું વ્યુત્ક્રમ ફક્ત તે શરત હેઠળ જ શક્ય છે.