મેટ્રિસિસને તેમની રેન્કના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવો. પ્રાથમિક પરિવર્તનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સના ક્રમની ગણતરી (ગૌસ અલ્ગોરિધમ)

મેટ્રિક્સ રેન્કની વિભાવના સાથે કામ કરવા માટે, અમને "બીજગણિતીય પૂરક અને સગીર. સગીરોના પ્રકારો અને બીજગણિતીય પૂરક" વિષયમાંથી માહિતીની જરૂર પડશે. સૌ પ્રથમ, આ "મેટ્રિક્સ માઇનોર" શબ્દની ચિંતા કરે છે, કારણ કે અમે સગીરો દ્વારા મેટ્રિક્સનો ક્રમ ચોક્કસપણે નક્કી કરીશું.

મેટ્રિક્સ રેન્કતેના સગીરોનો મહત્તમ ક્રમ છે, જેમાંથી ઓછામાં ઓછો એક એવો છે જે શૂન્યની બરાબર નથી.

સમકક્ષ મેટ્રિસિસ- મેટ્રિસીસ જેની રેન્ક એકબીજાની સમાન છે.

ચાલો વધુ વિગતવાર સમજાવીએ. ધારો કે બીજા-ક્રમના સગીરોમાં ઓછામાં ઓછું એક છે જે શૂન્યથી અલગ છે. અને તમામ સગીરો કે જેનો ક્રમ બે કરતા વધારે છે તે શૂન્ય સમાન છે. નિષ્કર્ષ: મેટ્રિક્સનો ક્રમ 2 છે અથવા, ઉદાહરણ તરીકે, દસમા ક્રમના સગીરોમાં ઓછામાં ઓછું એક છે જે શૂન્યની બરાબર નથી. અને તમામ સગીરો કે જેનો ક્રમ 10 કરતા વધારે છે તે શૂન્ય સમાન છે. નિષ્કર્ષ: મેટ્રિક્સનો ક્રમ 10 છે.

મેટ્રિક્સ $A$ ની રેન્ક નીચે પ્રમાણે સૂચવવામાં આવે છે: $\rang A$ અથવા $r(A)$. શૂન્ય મેટ્રિક્સ $O$ નો ક્રમ શૂન્ય માનવામાં આવે છે, $\rang O=0$. હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે મેટ્રિક્સ માઇનોર બનાવવા માટે તમારે પંક્તિઓ અને કૉલમ્સને ક્રોસ આઉટ કરવાની જરૂર છે, પરંતુ મેટ્રિક્સમાં સમાવિષ્ટ કરતાં વધુ પંક્તિઓ અને કૉલમ્સને ક્રોસ આઉટ કરવાનું અશક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો મેટ્રિક્સ $F$ નું કદ $5\times 4$ છે (એટલે ​​​​કે તેમાં 5 પંક્તિઓ અને 4 કૉલમ છે), તો તેના સગીરનો મહત્તમ ક્રમ ચાર છે. પાંચમા ક્રમના સગીરોનું નિર્માણ કરવાનું હવે શક્ય બનશે નહીં, કારણ કે તેમને 5 કૉલમની જરૂર પડશે (અને અમારી પાસે ફક્ત 4 છે). આનો અર્થ એ છે કે મેટ્રિક્સ $F$ ની રેન્ક ચાર કરતાં વધુ ન હોઈ શકે, એટલે કે. $\rang F≤4$.

વધુ સામાન્ય સ્વરૂપમાં, ઉપરનો અર્થ એ છે કે જો મેટ્રિક્સમાં $m$ પંક્તિઓ અને $n$ કૉલમ્સ હોય, તો તેનો રેન્ક $m$ અને $n$ ની સૌથી નાની કરતાં વધી શકે નહીં, એટલે કે. $\rang A≤\min(m,n)$.

સૈદ્ધાંતિક રીતે, ક્રમની વ્યાખ્યાથી જ તેને શોધવા માટેની પદ્ધતિને અનુસરે છે. મેટ્રિક્સની રેન્ક શોધવાની પ્રક્રિયા, વ્યાખ્યા દ્વારા, નીચે પ્રમાણે યોજનાકીય રીતે રજૂ કરી શકાય છે:

ચાલો હું આ રેખાકૃતિને વધુ વિગતવાર સમજાવું. ચાલો શરૂઆતથી જ તર્ક શરૂ કરીએ, એટલે કે. કેટલાક મેટ્રિક્સ $A$ ના પ્રથમ ઓર્ડર સગીરોમાંથી.

1. જો તમામ પ્રથમ-ક્રમના સગીર (એટલે ​​​​કે, મેટ્રિક્સ $A$ ના ઘટકો) શૂન્ય સમાન હોય, તો $\rang A=0$. જો પ્રથમ-ક્રમના સગીરોમાં ઓછામાં ઓછું એક એવું હોય જે શૂન્યની બરાબર ન હોય, તો $\rang A≥ 1$. ચાલો બીજા-ક્રમના સગીરોને તપાસવા તરફ આગળ વધીએ.
2. જો બીજા ક્રમના તમામ સગીર શૂન્ય સમાન હોય, તો $\rang A=1$. જો બીજા-ક્રમના સગીરોમાં ઓછામાં ઓછું એક એવું હોય જે શૂન્યની બરાબર ન હોય, તો $\rang A≥ 2$. ચાલો ત્રીજા-ક્રમના સગીરોને તપાસવા તરફ આગળ વધીએ.
3. જો તમામ ત્રીજા ક્રમના સગીર શૂન્ય સમાન હોય, તો $\rang A=2$. જો ત્રીજા-ક્રમના સગીરોમાં ઓછામાં ઓછું એક એવું હોય જે શૂન્યની બરાબર ન હોય, તો $\rang A≥ 3$. ચાલો ચોથા ક્રમના સગીરોને તપાસવા આગળ વધીએ.
4. જો તમામ ચોથા ક્રમના સગીર શૂન્ય સમાન હોય, તો $\rang A=3$. જો ચોથા ક્રમના સગીરોમાં ઓછામાં ઓછું એક એવું હોય જે શૂન્યની બરાબર ન હોય, તો $\rang A≥ 4$. અમે પાંચમા ક્રમના સગીર અને તેથી વધુને તપાસવા આગળ વધીએ છીએ.

આ પ્રક્રિયાના અંતે આપણી રાહ શું છે? શક્ય છે કે kth ક્રમના સગીરોમાં ઓછામાં ઓછો એક એવો હશે જે શૂન્યથી અલગ હશે, અને તમામ (k+1) ક્રમના સગીરો શૂન્યની બરાબર હશે. આનો અર્થ એ છે કે k એ સગીરોનો મહત્તમ ક્રમ છે, જેમાંથી ઓછામાં ઓછો એક એવો છે જે શૂન્યની બરાબર નથી, એટલે કે. રેન્ક k ની બરાબર હશે. ત્યાં એક અલગ પરિસ્થિતિ હોઈ શકે છે: kth ક્રમના સગીરોમાં ઓછામાં ઓછો એક એવો હશે જે શૂન્યની બરાબર ન હોય, પરંતુ (k+1) સગીરોને ક્રમાંકિત કરવાનું હવે શક્ય બનશે નહીં. આ કિસ્સામાં, મેટ્રિક્સનો ક્રમ પણ k ની બરાબર છે. ટૂંકમાં, છેલ્લી બનેલી બિન-શૂન્ય માઇનોરનો ક્રમ મેટ્રિક્સના ક્રમ સમાન હશે.

ચાલો એવા ઉદાહરણો તરફ આગળ વધીએ જેમાં મેટ્રિક્સનો રેન્ક શોધવાની પ્રક્રિયા, વ્યાખ્યા દ્વારા, સ્પષ્ટપણે દર્શાવવામાં આવશે. હું ફરી એક વાર ભારપૂર્વક જણાવું કે આ વિષયના ઉદાહરણોમાં આપણે માત્ર ક્રમની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિસિસનો ક્રમ શોધીશું. અન્ય પદ્ધતિઓ (સગીરોની સરહદની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સના ક્રમની ગણતરી, પ્રાથમિક પરિવર્તનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સના ક્રમની ગણતરી) નીચેના વિષયોમાં ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

માર્ગ દ્વારા, સૌથી નાના ક્રમના સગીરો સાથે રેન્ક શોધવા માટેની પ્રક્રિયા શરૂ કરવી બિલકુલ જરૂરી નથી, જેમ કે ઉદાહરણ નંબર 1 અને નંબર 2 માં કરવામાં આવ્યું હતું. તમે તરત જ ઉચ્ચ ઓર્ડરના સગીરો તરફ આગળ વધી શકો છો (ઉદાહરણ નંબર 3 જુઓ).

ઉદાહરણ નંબર 1

મેટ્રિક્સ $A=\left(\begin(array)(cccc) 5 અને 0 અને -3 અને 0 અને 2 \\ 7 અને 0 અને -4 અને 0 અને 3 \\ 2 અને 0 અને -1 નો ક્રમ શોધો & 0 અને 1 \end(એરે) \right)$.

આ મેટ્રિક્સનું કદ $3\ગુણા 5$ છે, એટલે કે. ત્રણ પંક્તિઓ અને પાંચ કૉલમ સમાવે છે. 3 અને 5 નંબરોમાંથી, ન્યૂનતમ 3 છે, તેથી મેટ્રિક્સ $A$ ની રેન્ક 3 કરતાં વધુ નથી, એટલે કે. $\rang A≤ 3$. અને આ અસમાનતા સ્પષ્ટ છે, કારણ કે આપણે હવે ચોથા ક્રમના સગીર બનાવી શકીશું નહીં - તેમને 4 પંક્તિઓની જરૂર છે, અને અમારી પાસે ફક્ત 3 છે. ચાલો આપેલ મેટ્રિક્સની રેન્ક શોધવાની પ્રક્રિયા પર સીધા જ આગળ વધીએ.

પ્રથમ ક્રમ સગીરોમાં (એટલે ​​​​કે મેટ્રિક્સ $A$ ના ઘટકોમાં) બિન-શૂન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 5, -3, 2, 7. સામાન્ય રીતે, અમને બિન-શૂન્ય તત્વોની કુલ સંખ્યામાં રસ નથી. ત્યાં ઓછામાં ઓછું એક બિન-શૂન્ય તત્વ છે - અને તે પૂરતું છે. પ્રથમ-ક્રમના સગીરોમાં ઓછામાં ઓછું એક બિન-શૂન્ય હોવાથી, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે $\rang A≥ 1$ અને બીજા-ક્રમના સગીરોને તપાસવા આગળ વધીએ છીએ.

ચાલો બીજા ક્રમના સગીરોની શોધખોળ શરૂ કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે, પંક્તિ નં. 1, નંબર 2 અને કૉલમ નં. 1, નંબર 4 ના આંતરછેદ પર નીચેના નાના તત્વો છે: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(એરે) \right| $. આ નિર્ણાયક માટે, બીજા સ્તંભના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન છે, તેથી નિર્ણાયક પોતે શૂન્ય સમાન છે, એટલે કે. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (નિર્ધારકોના ગુણધર્મો વિષયમાં પ્રોપર્ટી નંબર 3 જુઓ). અથવા તમે બીજા અને ત્રીજા ક્રમના નિર્ધારકોની ગણતરી કરવાના વિભાગમાંથી સૂત્ર નંબર 1 નો ઉપયોગ કરીને આ નિર્ણાયકની ગણતરી કરી શકો છો:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

અમે પરીક્ષણ કરેલ પ્રથમ સેકન્ડ-ઓર્ડર સગીર શૂન્યની બરાબર હોવાનું બહાર આવ્યું. આનો અર્થ શું છે? બીજા ક્રમના સગીરોને વધુ તપાસવાની જરૂરિયાત વિશે. કાં તો તે બધા શૂન્ય થઈ જશે (અને પછી રેન્ક 1 ની બરાબર હશે), અથવા તેમની વચ્ચે ઓછામાં ઓછો એક સગીર હશે જે શૂન્યથી અલગ હશે. ચાલો સેકન્ડ-ઓર્ડર માઇનોર લખીને વધુ સારી પસંદગી કરવાનો પ્રયાસ કરીએ, જેનાં તત્વો પંક્તિઓ નંબર 1, નંબર 2 અને કૉલમ નંબર 1 અને નંબર 5 ના આંતરછેદ પર સ્થિત છે: $\left|\begin( એરે)(cc) 5 અને 2 \\ 7 અને 3 \end(એરે) \right|$. ચાલો આ બીજા-ક્રમના નાનાનું મૂલ્ય શોધીએ:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

આ સગીર શૂન્ય બરાબર નથી. નિષ્કર્ષ: બીજા ક્રમના સગીરોમાં ઓછામાં ઓછું એક બિન-શૂન્ય છે. તેથી $\rang A≥ 2$. આપણે ત્રીજા ક્રમના સગીરોના અભ્યાસ તરફ આગળ વધવાની જરૂર છે.

જો આપણે ત્રીજા ક્રમના સગીરો બનાવવા માટે કૉલમ નંબર 2 અથવા કૉલમ નંબર 4 પસંદ કરીએ, તો આવા સગીરો શૂન્યના બરાબર હશે (કારણ કે તેમાં શૂન્ય કૉલમ હશે). તે માત્ર એક તૃતીય-ક્રમના નાનાને તપાસવાનું બાકી છે, જેનાં તત્વો કૉલમ નંબર 1, નંબર 3, નંબર 5 અને પંક્તિઓ નંબર 1, નંબર 2, નંબર 3 ના આંતરછેદ પર સ્થિત છે. ચાલો આ નાનાને લખીએ અને તેનું મૂલ્ય શોધીએ:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(એરે) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

તેથી, તમામ ત્રીજા ક્રમના સગીર શૂન્ય સમાન છે. અમે કમ્પાઈલ કરેલ છેલ્લું બિન-શૂન્ય ગૌણ બીજા ક્રમનું હતું. નિષ્કર્ષ: સગીરોનો મહત્તમ ક્રમ, જેમાં ઓછામાં ઓછું એક બિન-શૂન્ય છે, 2 છે. તેથી, $\rang A=2$.

જવાબ આપો: $\rang A=2$.

ઉદાહરણ નંબર 2

મેટ્રિક્સ $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 અને 3 અને 2 અને -3\\ 4 અને -2 અને 5 અને 1\\ -5 અને 0 અને -4 અને 0 નો રેન્ક શોધો \\ 9 અને 7 અને 8 અને -7 \end(એરે) \right)$.

અમારી પાસે ચોથા ક્રમનું ચોરસ મેટ્રિક્સ છે. ચાલો તરત જ નોંધ લઈએ કે આ મેટ્રિક્સનો ક્રમ 4 કરતાં વધી જતો નથી, એટલે કે. $\rang A≤ 4$. ચાલો મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધવાનું શરૂ કરીએ.

પ્રથમ-ક્રમના સગીરોમાં (એટલે ​​​​કે, મેટ્રિક્સ $A$ ના ઘટકોમાં) ઓછામાં ઓછું એક છે જે શૂન્યની બરાબર નથી, તેથી $\rang A≥ 1$. ચાલો બીજા-ક્રમના સગીરોને તપાસવા તરફ આગળ વધીએ. ઉદાહરણ તરીકે, પંક્તિઓ નં. 2, નંબર 3 અને કૉલમ નં. 1 અને નંબર 2 ના આંતરછેદ પર, અમે નીચેનો બીજો-ક્રમ માઇનોર મેળવીએ છીએ: $\left| \begin(એરે) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(એરે) \right|$. ચાલો તેની ગણતરી કરીએ:

$$\left| \begin(એરે) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(એરે) \right|=0-10=-10. $$

બીજા ક્રમના સગીરોમાં ઓછામાં ઓછું એક છે જે શૂન્યની બરાબર નથી, તેથી $\rang A≥ 2$.

ચાલો ત્રીજા ક્રમના સગીર તરફ આગળ વધીએ. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, એક સગીર શોધીએ જેના તત્વો પંક્તિઓ નંબર 1, નંબર 3, નંબર 4 અને કૉલમ નંબર 1, નંબર 2, નંબર 4 ના આંતરછેદ પર સ્થિત છે:

$$\ડાબે | \begin(એરે) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(એરે) \right|=105-105=0. $$

આ ત્રીજા ક્રમના સગીર શૂન્યની બરાબર હોવાનું બહાર આવ્યું હોવાથી, બીજા ત્રીજા ક્રમના સગીરની તપાસ કરવી જરૂરી છે. કાં તો તે બધા શૂન્ય સમાન હશે (પછી રેન્ક 2 ની બરાબર હશે), અથવા તેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક હશે જે શૂન્યની બરાબર નથી (પછી આપણે ચોથા ક્રમના સગીરનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કરીશું). ચાલો ત્રીજા-ક્રમના નાનાને ધ્યાનમાં લઈએ, જેનાં તત્વો પંક્તિઓ નંબર 2, નંબર 3, નંબર 4 અને કૉલમ નંબર 2, નંબર 3, નંબર 4 ના આંતરછેદ પર સ્થિત છે:

$$\left| \begin(એરે) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(એરે) \right|=-28. $$

ત્રીજા ક્રમના સગીરોમાં ઓછામાં ઓછું એક બિન-શૂન્ય છે, તેથી $\rang A≥ 3$. ચાલો ચોથા ક્રમના સગીરોને તપાસવા તરફ આગળ વધીએ.

કોઈપણ ચોથા ક્રમના નાના મેટ્રિક્સ $A$ની ચાર પંક્તિઓ અને ચાર કૉલમના આંતરછેદ પર સ્થિત છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ચોથો ક્રમ ગૌણ મેટ્રિક્સ $A$ નો નિર્ણાયક છે, કારણ કે આ મેટ્રિક્સમાં 4 પંક્તિઓ અને 4 કૉલમ છે. આ મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની ગણતરી વિષયના ઉદાહરણ નંબર 2 માં કરવામાં આવી હતી "નિર્ધારકને એક પંક્તિ (કૉલમ) માં વિઘટિત કરવું", તો ચાલો સમાપ્ત પરિણામ લઈએ:

$$\left| \begin(એરે) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \ end (એરે)\right|=86. $$

તેથી ચોથો ક્રમ ગૌણ શૂન્ય બરાબર નથી. અમે હવે પાંચમા ક્રમના સગીર બનાવી શકતા નથી. નિષ્કર્ષ: સગીરોનો સર્વોચ્ચ ક્રમ, જેમાં ઓછામાં ઓછું એક બિન-શૂન્ય છે, 4 છે. પરિણામ: $\rang A=4$.

જવાબ આપો: $\rang A=4$.

ઉદાહરણ નંબર 3

મેટ્રિક્સ $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 અને 0 અને 2 અને -3\\ 4 અને -2 અને 5 અને 1\\ 7 અને -4 અને 0 અને -5 નો ક્રમ શોધો \end(એરે) \right)$.

ચાલો તરત જ નોંધ લઈએ કે આ મેટ્રિક્સમાં 3 પંક્તિઓ અને 4 કૉલમ છે, તેથી $\rang A≤ 3$. અગાઉના ઉદાહરણોમાં, અમે સૌથી નાના (પ્રથમ) ક્રમના સગીરોને ધ્યાનમાં લઈને રેન્ક શોધવાની પ્રક્રિયા શરૂ કરી હતી. અહીં અમે સૌથી વધુ શક્ય ઓર્ડરના સગીરોને તાત્કાલિક તપાસવાનો પ્રયાસ કરીશું. મેટ્રિક્સ $A$ માટે આ ત્રીજા ક્રમના સગીર છે. ચાલો ત્રીજા-ક્રમના નાનાને ધ્યાનમાં લઈએ, જેનાં તત્વો પંક્તિઓ નંબર 1, નંબર 2, નંબર 3 અને કૉલમ નંબર 2, નંબર 3, નંબર 4 ના આંતરછેદ પર આવેલા છે:

$$\left| \begin(એરે) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(એરે) \right|=-8-60-20=-88. $$

તેથી, સગીરોનો સર્વોચ્ચ ક્રમ, જેમાં ઓછામાં ઓછો એક એવો છે જે શૂન્યની બરાબર નથી, 3 છે. તેથી, મેટ્રિક્સનો ક્રમ 3 છે, એટલે કે. $\રેંગ A=3$.

જવાબ આપો: $\rang A=3$.

સામાન્ય રીતે, વ્યાખ્યા દ્વારા મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધવો એ સામાન્ય કિસ્સામાં શ્રમ-સઘન કાર્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, $5\ગુણા 4$ના કદના પ્રમાણમાં નાના મેટ્રિક્સમાં 60 સેકન્ડ-ઓર્ડર સગીરો છે. અને જો તેમાંથી 59 શૂન્ય સમાન હોય, તો પણ 60મો સગીર બિન-શૂન્ય હોઈ શકે છે. પછી તમારે ત્રીજા ક્રમના સગીરોનો અભ્યાસ કરવો પડશે, જેમાંથી આ મેટ્રિક્સમાં 40 ટુકડાઓ છે. સામાન્ય રીતે તેઓ ઓછી બોજારૂપ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવાનો પ્રયાસ કરે છે, જેમ કે સગીરોની સરહદની પદ્ધતિ અથવા સમકક્ષ પરિવર્તનની પદ્ધતિ.

અગાઉ ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે ક્રમમાં સગીરનો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો
તત્વ . ચાલો યાદ કરીએ કે આ ઓર્ડરના નિર્ધારકને આપવામાં આવેલ નામ છે
, નિર્ણાયક પાસેથી મેળવેલ
પાર કરીને મી લીટી અને મી કૉલમ.

ચાલો હવે માઇનોરનો સામાન્ય ખ્યાલ રજૂ કરીએ. ચાલો કેટલાક ધ્યાનમાં લઈએ ચોરસ હોવું જરૂરી નથીમેટ્રિક્સ . ચાલો અમુક પસંદ કરીએ રેખા નંબરો
અને કૉલમ નંબરો
.

વ્યાખ્યા. નાના ઓર્ડર મેટ્રિસિસ (પસંદ કરેલ પંક્તિઓ અને કૉલમ્સને અનુરૂપ) ક્રમ નિર્ધારક કહેવાય છે , પસંદ કરેલ પંક્તિઓ અને કૉલમ્સના આંતરછેદ પર સ્થિત તત્વો દ્વારા રચાયેલ છે, એટલે કે. સંખ્યા

.

દરેક મેટ્રિક્સમાં આપેલ ઓર્ડરના ઘણા સગીર હોય છે , તમે કેટલી રીતે રેખા નંબરો પસંદ કરી શકો છો
અને કૉલમ
.

વ્યાખ્યા. મેટ્રિક્સમાં માપો
નાનો ઓર્ડર કહેવાય છે મૂળભૂત, જો તે શૂન્ય ન હોય અને તમામ સગીર યોગ્ય હોય
શૂન્ય અથવા નાના ઓર્ડરની બરાબર
મેટ્રિક્સ પર બિલકુલ નહિ.

તે સ્પષ્ટ છે કે મેટ્રિક્સમાં ઘણા અલગ-અલગ બેઝિસ સગીર હોઈ શકે છે, પરંતુ તમામ બેઝિસ સગીરોનો ક્રમ સમાન છે. ખરેખર, જો તમામ સગીરો ઓર્ડરના હોય
શૂન્યની બરાબર છે, તો ક્રમના તમામ સગીર શૂન્ય સમાન છે
, અને, પરિણામે, બધા ઉચ્ચ ઓર્ડર.

વ્યાખ્યા. મેટ્રિક્સ રેન્કબેઝિસ માઇનોરનો ક્રમ કહેવામાં આવે છે, અથવા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સૌથી મોટો ઓર્ડર કે જેના માટે શૂન્ય સિવાય અન્ય સગીરો અસ્તિત્વમાં છે. જો મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય, તો આવા મેટ્રિક્સનો ક્રમ, વ્યાખ્યા દ્વારા, શૂન્ય ગણવામાં આવે છે.

મેટ્રિક્સ રેન્ક અમે પ્રતીક દ્વારા સૂચિત કરીશું
. રેન્કની વ્યાખ્યામાંથી તે મેટ્રિક્સ માટે તેને અનુસરે છે માપો
ગુણોત્તર સાચો છે.

મેટ્રિક્સની રેન્કની ગણતરી કરવાની બે રીતો

અ) બોર્ડરિંગ નાની પદ્ધતિ

મેટ્રિક્સમાં સગીર જોવા દો
-મો ક્રમ, શૂન્યથી અલગ. ચાલો ફક્ત તે સગીરોને ધ્યાનમાં લઈએ
-મો ક્રમ, જેમાં (એજ) નાની હોય છે
: જો તે બધા શૂન્યના સમાન હોય, તો મેટ્રિક્સનો ક્રમ છે . નહિંતર, સરહદી સગીરોમાં બિન-શૂન્ય સગીર છે
-th ઓર્ડર, અને સમગ્ર પ્રક્રિયા પુનરાવર્તિત થાય છે.

ઉદાહરણ 9 . મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધો સગીરોની સરહદની પદ્ધતિ દ્વારા.

ચાલો બીજો ઓર્ડર માઈનોર પસંદ કરીએ
. ત્યાં માત્ર એક તૃતીય-ક્રમ સગીર છે, જે પસંદ કરેલ સગીરને સરહદે છે
. ચાલો તેની ગણતરી કરીએ.

તેથી તે ગૌણ છે
મૂળભૂત, અને મેટ્રિક્સનો ક્રમ તેના ઓર્ડરની સમાન છે, એટલે કે.

તે સ્પષ્ટ છે કે આધારની શોધમાં સગીરો દ્વારા આ રીતે પુનરાવર્તન કરવું એ મોટી ગણતરીઓ સાથે સંકળાયેલ કાર્ય છે, જો મેટ્રિક્સના પરિમાણો ખૂબ નાના ન હોય. જો કે, મેટ્રિક્સનો રેન્ક શોધવાનો એક સરળ રસ્તો છે - પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને.

b) પ્રાથમિક પરિવર્તન પદ્ધતિ

વ્યાખ્યા. પ્રાથમિક મેટ્રિક્સ પરિવર્તનનીચેના રૂપાંતરણોને કહેવામાં આવે છે:

શૂન્ય સિવાયની સંખ્યા દ્વારા શબ્દમાળાનો ગુણાકાર કરવો;

એક લાઇનમાં બીજી લાઇન ઉમેરીને;

રેખાઓનું પુનર્ગઠન;

સમાન સ્તંભ પરિવર્તનો.

રૂપાંતરણ 1 અને 2 તત્વ દ્વારા તત્વ કરવામાં આવે છે.

પ્રથમ અને બીજા પ્રકારનાં રૂપાંતરણોને જોડીને, અમે કોઈપણ સ્ટ્રિંગમાં બાકીની સ્ટ્રિંગ્સનું રેખીય સંયોજન ઉમેરી શકીએ છીએ.

પ્રમેય. પ્રાથમિક પરિવર્તનો મેટ્રિક્સના ક્રમમાં ફેરફાર કરતા નથી.

(કોઈ પુરાવો નથી)

મેટ્રિક્સના ક્રમની ગણતરી કરવા માટે વ્યવહારુ પદ્ધતિનો વિચાર

તે છે કે પ્રાથમિક પરિવર્તનની મદદથી આ મેટ્રિક્સ દેખાવ તરફ દોરી જાય છે

, (5)

જેમાં "કર્ણ" તત્વો છે
શૂન્યથી અલગ છે, અને "વિકર્ણ" ની નીચે સ્થિત તત્વો શૂન્ય સમાન છે. ચાલો મેટ્રિક્સને કૉલ કરવા માટે સંમત થઈએ આ પ્રકારનો ત્રિકોણાકાર (અન્યથા, તેને કર્ણ, ટ્રેપેઝોઇડલ અથવા સીડી કહેવામાં આવે છે). મેટ્રિક્સ ઘટાડા પછી ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં આપણે તે તરત જ લખી શકીએ છીએ
.

હકીકતમાં,
(કારણ કે પ્રાથમિક પરિવર્તનો ક્રમમાં ફેરફાર કરતા નથી). પરંતુ મેટ્રિક્સ બિન-શૂન્ય નાના ઓર્ડર છે :

,

અને કોઈપણ નાનો ઓર્ડર
નલ સ્ટ્રિંગ ધરાવે છે અને તેથી તે શૂન્યની બરાબર છે.

ચાલો હવે પ્રેક્ટિકલ ઘડીએ રેન્કની ગણતરીનો નિયમમેટ્રિસિસ પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને: મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધવા માટે પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને તેને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં લાવવું જોઈએ . પછી મેટ્રિક્સનો ક્રમ પરિણામી મેટ્રિક્સમાં બિન-શૂન્ય પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલી હશે .

ઉદાહરણ 10. મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધો પ્રાથમિક પરિવર્તનની પદ્ધતિ દ્વારા

ઉકેલ.

ચાલો પ્રથમ અને બીજી લાઈનોની અદલાબદલી કરીએ (કેમ કે બીજી લીટીનું પ્રથમ તત્વ −1 છે અને તેની સાથે રૂપાંતરણ કરવા માટે તે અનુકૂળ રહેશે). પરિણામે, અમે આના સમકક્ષ મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ.

ચાલો સૂચિત કરીએ -મેટ્રિક્સની તે પંક્તિ - . આપણે મૂળ મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની જરૂર છે. અમે પ્રથમ લાઇનને અગ્રણી રેખા ગણીશું; તે તમામ પરિવર્તનોમાં ભાગ લેશે, પરંતુ તે પોતે યથાવત રહેશે.

પ્રથમ તબક્કે, અમે પરિવર્તનો કરીશું જે અમને પ્રથમ તત્વ સિવાય, પ્રથમ કૉલમમાં શૂન્ય મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. આ કરવા માટે, બીજી લાઇનમાંથી પ્રથમ લાઇનને બાદ કરો, 2 વડે ગુણાકાર કરો
, ત્રીજી લાઇનમાં પ્રથમ ઉમેરો
, અને ત્રીજામાંથી આપણે પ્રથમને બાદ કરીએ છીએ, 3 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ
અમે એક મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ જેનો ક્રમ આ મેટ્રિક્સના ક્રમ સાથે મેળ ખાય છે. ચાલો તેને સમાન અક્ષરથી સૂચિત કરીએ :

.

આપણે મેટ્રિક્સને (5) બનાવવાની જરૂર હોવાથી, આપણે ચોથી પંક્તિમાંથી બીજાને બાદ કરીએ છીએ. આ કિસ્સામાં અમારી પાસે છે:

.

ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ પ્રાપ્ત થાય છે, અને આપણે તે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ
, એટલે કે બિન-શૂન્ય રેખાઓની સંખ્યા. સંક્ષિપ્તમાં, સમસ્યાનો ઉકેલ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

દરેક મેટ્રિક્સમાં, બે રેન્ક સંકળાયેલા હોઈ શકે છે: એક પંક્તિ ક્રમ (પંક્તિ સિસ્ટમનો ક્રમ) અને કૉલમ ક્રમ (કૉલમ સિસ્ટમનો ક્રમ).

પ્રમેય

મેટ્રિક્સની પંક્તિ રેન્ક તેના કૉલમ રેન્કની બરાબર છે.

મેટ્રિક્સ રેન્ક

વ્યાખ્યા

મેટ્રિક્સ રેન્ક$A$ એ તેની પંક્તિઓ અથવા કૉલમ્સની સિસ્ટમનો ક્રમ છે.

$\operatorname(rang) A$ દ્વારા સૂચિત

વ્યવહારમાં, મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધવા માટે, નીચેના વિધાનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: મેટ્રિક્સનો ક્રમ એચેલોન સ્વરૂપમાં મેટ્રિક્સને ઘટાડ્યા પછી બિન-શૂન્ય પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલો હોય છે.

મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ (સ્તંભો) પર પ્રાથમિક રૂપાંતરણો તેના ક્રમમાં ફેરફાર કરતા નથી.

સ્ટેપ મેટ્રિક્સનો ક્રમ તેની બિન-શૂન્ય પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલો છે.

ઉદાહરણ

વ્યાયામ.મેટ્રિક્સ $ A=\left(\begin(array)(cccc)(0) અને (4) અને (10) અને (1) \\ (4) અને (8) અને (18) અને ( 7) \ \ (10) અને (18) અને (40) અને (17) \\ (1) અને (7) અને (17) અને (3)\અંત(એરે)\જમણે) $

ઉકેલ.તેની પંક્તિઓ પર પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેટ્રિક્સ $A$ ને એકલન સ્વરૂપમાં ઘટાડીએ છીએ. આ કરવા માટે, પ્રથમ ત્રીજી લાઇનમાંથી બીજા બે બાદબાકી કરો:

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) અને (2) અને (4) અને (3) \\ (1) અને (7) અને (17) અને (3)\અંત(એરે)\જમણે) $$

બીજી લીટીમાંથી આપણે ચોથી લીટીને બાદ કરીએ છીએ, 4 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ; ત્રીજા - બે ચોથામાંથી:

$$ A \sim \left(\begin(array)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5) ) \\ (0) અને (-12) અને (-30) અને (-3) \\ (1) અને (7) અને (17) અને (3)\અંત(એરે)\જમણે) $$

અમે પ્રથમ પાંચને બીજી લાઇનમાં અને ત્રીજી ત્રણને ત્રીજી લાઇનમાં ઉમેરીએ છીએ:

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) અને (0) અને (0) અને (0) \\ (1) અને (7) અને (17) અને (3)\અંત(એરે)\જમણે) $$

પ્રથમ અને બીજી લીટીઓ સ્વેપ કરો:

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) અને (0) અને (0) અને (0) \\ (1) અને (7) અને (17) અને (3)\અંત(એરે)\જમણે) $$

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) અને (0) અને (0) અને (0) \\ (0) અને (0) અને (0) અને (0)\અંત(એરે)\જમણે) \Rightarrow \operatorname(rang) A=2 $$

જવાબ આપો.$ \operatorname(rang) A=2 $

સગીરોની સરહદની પદ્ધતિ

મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધવા માટેની બીજી પદ્ધતિ આ પ્રમેય પર આધારિત છે - નાની ધારની પદ્ધતિ. આ પદ્ધતિનો સાર એ સગીરોને શોધવાનો છે, નીચલા ઓર્ડરથી શરૂ કરીને અને ઉચ્ચ લોકો તરફ જવાનું. જો $n$th ક્રમની સગીર શૂન્યની બરાબર ન હોય, અને $n+1$th ક્રમની તમામ સગીર શૂન્યની બરાબર હોય, તો મેટ્રિક્સનો ક્રમ $n$ ની બરાબર હશે.

ઉદાહરણ

વ્યાયામ.મેટ્રિક્સ $ A=\left(\begin(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) નો ક્રમ શોધો & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\end(એરે)\right) $ માઇનોર એજિંગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને.

ઉકેલ.ન્યૂનતમ ક્રમના સગીર એ પ્રથમ ક્રમના સગીર છે, જે મેટ્રિક્સ $A$ ના ઘટકો સમાન છે. ઉદાહરણ તરીકે, નાના $ M_(1)=1 \neq 0 $ ને ધ્યાનમાં લો. પ્રથમ પંક્તિ અને પ્રથમ કૉલમમાં સ્થિત છે. અમે તેને બીજી હરોળ અને બીજા સ્તંભની મદદથી સરહદ કરીએ છીએ, અમને માઇનોર $ M_(2)^(1)=\left| \begin(એરે)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(એરે)\right|=0 $ ; ચાલો બીજા ક્રમના બીજા નાનાને ધ્યાનમાં લઈએ, આ માટે આપણે ગૌણ $M_1$ ને બીજી હરોળ અને ત્રીજા સ્તંભની મદદથી સરહદ કરીએ છીએ, પછી આપણી પાસે માઈનોર $ M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $, એટલે કે, મેટ્રિક્સનો ક્રમ છે ​બે કરતાં ઓછું નહીં. આગળ, અમે ત્રીજા-ક્રમના સગીરોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જે સગીર $ M_(2)^(2) $ ની સરહદ ધરાવે છે. આવા બે સગીર છે: બીજા કૉલમ સાથે અથવા ચોથા કૉલમ સાથે ત્રીજી પંક્તિનું સંયોજન. ચાલો આ સગીરોની ગણતરી કરીએ.

કોઈપણ મેટ્રિક્સ એઓર્ડર m×nસંગ્રહ તરીકે ગણી શકાય mસ્ટ્રિંગ વેક્ટર અથવા nકૉલમ વેક્ટર.

રેન્કમેટ્રિસિસ એઓર્ડર m×nરેખીય રીતે સ્વતંત્ર કૉલમ વેક્ટર અથવા પંક્તિ વેક્ટર્સની મહત્તમ સંખ્યા છે.

જો મેટ્રિક્સ રેન્ક એબરાબર આર, પછી તે લખેલું છે:

મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધવો

દો એમનસ્વી ઓર્ડર મેટ્રિક્સ m× n. મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધવા માટે એઅમે તેના પર ગૌસિયન દૂર કરવાની પદ્ધતિ લાગુ કરીએ છીએ.

નોંધ કરો કે જો નાબૂદીના અમુક તબક્કે અગ્રણી તત્વ શૂન્યની બરાબર હોય, તો અમે આ રેખાને તે રેખા સાથે સ્વેપ કરીએ છીએ જેમાં અગ્રણી તત્વ શૂન્યથી અલગ છે. જો તે તારણ આપે છે કે આવી કોઈ લાઇન નથી, તો પછીની કૉલમ પર જાઓ, વગેરે.

સીધી ગૌસિયન દૂર કરવાની પ્રક્રિયા પછી, અમે એક મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ જેના મુખ્ય કર્ણ હેઠળના તત્વો શૂન્ય સમાન હોય છે. વધુમાં, શૂન્ય પંક્તિ વેક્ટર હોઈ શકે છે.

બિન-શૂન્ય પંક્તિ વેક્ટરની સંખ્યા મેટ્રિક્સનો ક્રમ હશે એ.

ચાલો આ બધાને સરળ ઉદાહરણો સાથે જોઈએ.

ઉદાહરણ 1.

પ્રથમ લીટીને 4 વડે ગુણાકાર કરીને બીજી લીટીમાં ઉમેરો અને પ્રથમ લીટીને 2 વડે ગુણાકાર કરો અને ત્રીજી લીટીમાં ઉમેરીને આપણી પાસે છે:

બીજી લીટીને -1 વડે ગુણાકાર કરો અને તેને ત્રીજી લીટીમાં ઉમેરો:

અમને બે બિન-શૂન્ય પંક્તિઓ પ્રાપ્ત થઈ છે અને તેથી, મેટ્રિક્સનો ક્રમ 2 છે.

ઉદાહરણ 2.

ચાલો નીચેના મેટ્રિક્સનો રેન્ક શોધીએ:

પ્રથમ લીટીને -2 વડે ગુણાકાર કરો અને તેને બીજી લીટીમાં ઉમેરો. એ જ રીતે, અમે પ્રથમ કૉલમની ત્રીજી અને ચોથી પંક્તિઓના ઘટકોને ફરીથી સેટ કરીએ છીએ:

ચાલો બીજી સ્તંભની ત્રીજી અને ચોથી પંક્તિના તત્વોને અનુરૂપ પંક્તિઓને બીજી હરોળમાં નંબર -1 વડે ગુણાકાર કરીને ફરીથી સેટ કરીએ.

મેટ્રિક્સનો ક્રમ એ એક મહત્વપૂર્ણ સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતા છે. સૌથી સામાન્ય સમસ્યા કે જેને મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધવાની જરૂર છે તે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમની સુસંગતતા તપાસવી છે. આ લેખમાં આપણે મેટ્રિક્સ રેન્કનો ખ્યાલ આપીશું અને તેને શોધવા માટેની પદ્ધતિઓનો વિચાર કરીશું. સામગ્રીને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, અમે કેટલાક ઉદાહરણોના ઉકેલોનું વિગતવાર વિશ્લેષણ કરીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

મેટ્રિક્સના ક્રમનું નિર્ધારણ અને જરૂરી વધારાના ખ્યાલો.

મેટ્રિક્સના રેન્કની વ્યાખ્યામાં અવાજ ઉઠાવતા પહેલા, તમારે સગીરના ખ્યાલની સારી સમજ હોવી જોઈએ, અને મેટ્રિક્સના સગીરોને શોધવાનો અર્થ નિર્ણાયકની ગણતરી કરવાની ક્ષમતા સૂચવે છે. તેથી, જો જરૂરી હોય તો, અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે લેખનો સિદ્ધાંત, મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકને શોધવા માટેની પદ્ધતિઓ અને નિર્ણાયકના ગુણધર્મોને યાદ કરો.

ચાલો ઓર્ડરનું મેટ્રિક્સ A લઈએ. ચાલો k એ અમુક કુદરતી સંખ્યા છે જે m અને n સંખ્યાઓમાંથી સૌથી નાની સંખ્યા કરતાં વધી નથી, એટલે કે, .

વ્યાખ્યા.

માઇનોર kth ઓર્ડરમેટ્રિક્સ A એ મેટ્રિક્સ A ના તત્વોથી બનેલા ક્રમના ચોરસ મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક છે, જે પૂર્વ-પસંદ કરેલ k પંક્તિઓ અને k કૉલમ્સમાં સ્થિત છે અને મેટ્રિક્સ A ના ઘટકોની ગોઠવણી સાચવેલ છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો મેટ્રિક્સ A માં આપણે (p–k) પંક્તિઓ અને (n–k) કૉલમ કાઢી નાખીએ છીએ, અને બાકીના ઘટકોમાંથી આપણે મેટ્રિક્સ બનાવીએ છીએ, મેટ્રિક્સ A ના ઘટકોની ગોઠવણી જાળવી રાખીએ છીએ, તો પછી નિર્ધારક પરિણામી મેટ્રિક્સ એ મેટ્રિક્સ A ના ક્રમ k નો નાનો છે.

ચાલો ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સ માઇનોરની વ્યાખ્યા જોઈએ.

મેટ્રિક્સ ધ્યાનમાં લો .

ચાલો આ મેટ્રિક્સના કેટલાક પ્રથમ ક્રમના સગીરો લખીએ. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે મેટ્રિક્સ A ની ત્રીજી પંક્તિ અને બીજી કૉલમ પસંદ કરીએ, તો અમારી પસંદગી પ્રથમ-ક્રમના નાનાને અનુરૂપ છે. . બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ ગૌણ મેળવવા માટે, અમે મેટ્રિક્સ Aમાંથી પ્રથમ અને બીજી પંક્તિઓ તેમજ પ્રથમ, ત્રીજી અને ચોથી કૉલમને પાર કરી અને બાકીના ઘટકમાંથી નિર્ણાયક બનાવ્યા. જો આપણે મેટ્રિક્સ A ની પ્રથમ પંક્તિ અને ત્રીજી કોલમ પસંદ કરીએ, તો આપણને માઇનોર મળે છે .

ચાલો આપણે પ્રથમ-ક્રમના સગીરોને મેળવવા માટેની પ્રક્રિયાને સમજાવીએ
અને .

આમ, મેટ્રિક્સના પ્રથમ-ક્રમના સગીર પોતે મેટ્રિક્સ તત્વો છે.

ચાલો કેટલાક બીજા-ક્રમના સગીર બતાવીએ. બે પંક્તિઓ અને બે કૉલમ પસંદ કરો. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ અને બીજી પંક્તિઓ અને ત્રીજી અને ચોથી કૉલમ લો. આ પસંદગી સાથે અમારી પાસે બીજા ક્રમના નાના છે . મેટ્રિક્સ Aમાંથી ત્રીજી પંક્તિ, પ્રથમ અને બીજી કૉલમ કાઢી નાખીને પણ આ માઇનોર બનાવી શકાય છે.

મેટ્રિક્સ A નો બીજો બીજો ક્રમ માઇનોર છે.

ચાલો આ બીજા ક્રમના સગીરોના બાંધકામનું ઉદાહરણ આપીએ
અને .

એ જ રીતે, મેટ્રિક્સ A ના ત્રીજા ક્રમના સગીર શોધી શકાય છે. મેટ્રિક્સ A માં માત્ર ત્રણ પંક્તિઓ હોવાથી, અમે તે બધી પસંદ કરીએ છીએ. જો આપણે આ પંક્તિઓની પ્રથમ ત્રણ કૉલમ પસંદ કરીએ, તો અમને ત્રીજો-ક્રમ માઇનોર મળે છે

તે મેટ્રિક્સ A ના છેલ્લા કૉલમને પાર કરીને પણ બનાવી શકાય છે.

બીજો ત્રીજો ક્રમ નાનો છે

મેટ્રિક્સ A ની ત્રીજી કૉલમ કાઢી નાખીને મેળવી.

અહીં આ ત્રીજા ક્રમના સગીરોનું બાંધકામ દર્શાવતી આકૃતિ છે
અને .

આપેલ મેટ્રિક્સ A માટે ત્રીજા કરતા વધુ ક્રમના કોઈ સગીર નથી, કારણ કે.

ઓર્ડરના મેટ્રિક્સ A ના kth ક્રમના કેટલા સગીર છે?

ક્રમ k ના સગીરોની સંખ્યા , ક્યાં તરીકે ગણી શકાય અને - અનુક્રમે p થી k અને n થી k ના સંયોજનોની સંખ્યા.

અમે ક્રમ p બાય n ના મેટ્રિક્સ A ના ક્રમ k ના બધા સગીર કેવી રીતે બનાવી શકીએ?

આપણને ઘણા મેટ્રિક્સ પંક્તિ નંબરો અને ઘણા કૉલમ નંબરોની જરૂર પડશે. અમે બધું લખીએ છીએ k દ્વારા p તત્વોના સંયોજનો(તેઓ મેટ્રિક્સ A ની પસંદ કરેલી પંક્તિઓને અનુરૂપ હશે જ્યારે k ની નાની રચના બનાવશે). પંક્તિ સંખ્યાઓના દરેક સંયોજનમાં આપણે k કૉલમ નંબરોના n તત્વોના તમામ સંયોજનો ક્રમિક રીતે ઉમેરીએ છીએ. મેટ્રિક્સ A ની પંક્તિ સંખ્યાઓ અને કૉલમ નંબરોના સંયોજનોના આ સેટ k ક્રમના તમામ સગીરોને કંપોઝ કરવામાં મદદ કરશે.

ચાલો તેને ઉદાહરણ સાથે જોઈએ.

ઉદાહરણ.

મેટ્રિક્સના તમામ બીજા ક્રમના સગીર શોધો.

ઉકેલ.

મૂળ મેટ્રિક્સનો ક્રમ 3 બાય 3 હોવાથી, બીજા ક્રમના કુલ સગીર .

ચાલો મેટ્રિક્સ A: 1, 2 ની 3 થી 2 પંક્તિ સંખ્યાઓના બધા સંયોજનો લખીએ; 1, 3 અને 2, 3. 3 થી 2 કૉલમ નંબરોના તમામ સંયોજનો 1, 2 છે; 1, 3 અને 2, 3.

ચાલો મેટ્રિક્સ A ની પ્રથમ અને બીજી પંક્તિઓ લઈએ. આ પંક્તિઓ માટે પ્રથમ અને બીજી કૉલમ, પ્રથમ અને ત્રીજી કૉલમ, બીજી અને ત્રીજી કૉલમ પસંદ કરીને, અમે અનુક્રમે સગીર મેળવીએ છીએ.

પ્રથમ અને ત્રીજી પંક્તિઓ માટે, કૉલમની સમાન પસંદગી સાથે, અમારી પાસે છે

તે બીજી અને ત્રીજી પંક્તિઓમાં પ્રથમ અને બીજી, પ્રથમ અને ત્રીજી, બીજી અને ત્રીજી કૉલમ ઉમેરવાનું બાકી છે:

તેથી, મેટ્રિક્સ A ના તમામ નવ બીજા ક્રમના સગીર મળી આવ્યા છે.

હવે આપણે મેટ્રિક્સની રેન્ક નક્કી કરવા આગળ વધી શકીએ છીએ.

વ્યાખ્યા.

મેટ્રિક્સ રેન્કમેટ્રિક્સના બિન-શૂન્ય માઇનોરનો સર્વોચ્ચ ક્રમ છે.

મેટ્રિક્સ A નો રેન્ક રેન્ક(A) તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. તમે Rg(A) અથવા Rang(A) નામો પણ શોધી શકો છો.

મેટ્રિક્સ રેન્ક અને મેટ્રિક્સ માઇનોરની વ્યાખ્યાઓ પરથી, આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે શૂન્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ શૂન્યની બરાબર છે, અને નોનઝીરો મેટ્રિક્સનો રેન્ક એક કરતા ઓછો નથી.

વ્યાખ્યા દ્વારા મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધવો.

તેથી, મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધવા માટેની પ્રથમ પદ્ધતિ છે સગીરોની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિ. આ પદ્ધતિ મેટ્રિક્સની રેન્ક નક્કી કરવા પર આધારિત છે.

ચાલો ઓર્ડરના મેટ્રિક્સ A નો રેન્ક શોધવાની જરૂર છે.

ચાલો ટૂંકમાં વર્ણન કરીએ અલ્ગોરિધમસગીરોની ગણતરી કરીને આ સમસ્યાનું નિરાકરણ.

જો ત્યાં મેટ્રિક્સનું ઓછામાં ઓછું એક ઘટક હોય જે શૂન્યથી અલગ હોય, તો મેટ્રિક્સનો ક્રમ ઓછામાં ઓછો એક સમાન હોય છે (કારણ કે ત્યાં પ્રથમ-ક્રમ માઇનોર છે જે શૂન્યની બરાબર નથી).

આગળ આપણે બીજા ક્રમના સગીરોને જોઈએ છીએ. જો બીજા ક્રમના તમામ સગીર શૂન્ય સમાન હોય, તો મેટ્રિક્સનો ક્રમ એક સમાન છે. જો બીજા ક્રમમાં ઓછામાં ઓછો એક બિન-શૂન્ય સગીર હોય, તો અમે ત્રીજા ક્રમના સગીરોની ગણતરી કરવા આગળ વધીએ છીએ, અને મેટ્રિક્સનો ક્રમ ઓછામાં ઓછો બે સમાન છે.

તેવી જ રીતે, જો તમામ ત્રીજા ક્રમના સગીર શૂન્ય હોય, તો મેટ્રિક્સનો ક્રમ બે છે. જો શૂન્ય સિવાય ઓછામાં ઓછો એક તૃતીય-ક્રમ સગીર હોય, તો મેટ્રિક્સનો ક્રમ ઓછામાં ઓછો ત્રણ છે, અને અમે ચોથા ક્રમના સગીરોની ગણતરી કરવા આગળ વધીએ છીએ.

નોંધ કરો કે મેટ્રિક્સનો ક્રમ p અને n ની સૌથી નાની સંખ્યાને ઓળંગી શકતો નથી.

ઉદાહરણ.

મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધો .

ઉકેલ.

મેટ્રિક્સ બિન-શૂન્ય હોવાથી, તેનો ક્રમ એક કરતા ઓછો નથી.

બીજા ક્રમના નાના શૂન્યથી અલગ છે, તેથી, મેટ્રિક્સ A ની રેન્ક ઓછામાં ઓછી બે છે. અમે ત્રીજા ક્રમના સગીરોની ગણતરી કરવા આગળ વધીએ છીએ. તેમાંથી કુલ વસ્તુઓ

તમામ ત્રીજા ક્રમના સગીર શૂન્ય સમાન છે. તેથી, મેટ્રિક્સનો ક્રમ બે છે.

જવાબ:

રેન્ક(A) = 2 .

સગીરોને કિનારી કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધવો.

મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધવા માટેની અન્ય પદ્ધતિઓ છે જે તમને ઓછા કોમ્પ્યુટેશનલ કાર્ય સાથે પરિણામ મેળવવાની મંજૂરી આપે છે.

આવી એક પદ્ધતિ છે ધાર નાની પદ્ધતિ.

ચાલો સાથે વ્યવહાર કરીએ ધાર માઇનોરનો ખ્યાલ.

એવું કહેવાય છે કે મેટ્રિક્સ A ના (k+1)મા ક્રમનો માઇનોર M ok એ મેટ્રિક્સ A ના ક્રમ k ના નાના M ની કિનારી કરે છે જો માઇનોર M ok ને અનુરૂપ મેટ્રિક્સ માઇનોરને અનુરૂપ મેટ્રિક્સ "સમાવે છે" એમ.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક પંક્તિ અને એક કૉલમના ઘટકોને કાઢી નાખીને કિનારી માઇનોર M ને અનુરૂપ મેટ્રિક્સ બોર્ડરિંગ માઇનોર M ok ને અનુરૂપ મેટ્રિક્સમાંથી મેળવવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સને ધ્યાનમાં લો અને બીજો ઓર્ડર માઇનોર લો. ચાલો બધા સરહદી સગીરોને લખીએ:

સગીરોની સરહદની પદ્ધતિ નીચેના પ્રમેય દ્વારા વાજબી છે (અમે પુરાવા વિના તેની રચના રજૂ કરીએ છીએ).

પ્રમેય.

જો p બાય n ના ક્રમના મેટ્રિક્સ A ના kth ક્રમના સગીર કિનારી ધરાવતા તમામ સગીર શૂન્ય સમાન હોય, તો મેટ્રિક્સ A ના ક્રમના તમામ સગીર (k+1) શૂન્ય સમાન છે.

આમ, મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધવા માટે તે તમામ સગીરોમાંથી પસાર થવું જરૂરી નથી કે જેઓ પર્યાપ્ત સરહદ ધરાવતા હોય. ક્રમના મેટ્રિક્સ A ના kth ક્રમની સગીર કિનારી ધરાવતા સગીરોની સંખ્યા, સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે . નોંધ કરો કે મેટ્રિક્સ A ના (k + 1) ક્રમના સગીરો કરતાં મેટ્રિક્સ A ના k-th ક્રમની સગીર કિનારે કોઈ વધુ સગીર નથી. તેથી, મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, સગીરોની સરહદની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો એ તમામ સગીરોની ગણતરી કરતાં વધુ નફાકારક છે.

ચાલો સગીરોની સરહદની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધવા તરફ આગળ વધીએ. ચાલો ટૂંકમાં વર્ણન કરીએ અલ્ગોરિધમઆ પદ્ધતિ.

જો મેટ્રિક્સ A નોનશૂન્ય હોય, તો પછી પ્રથમ-ક્રમના નાના તરીકે આપણે મેટ્રિક્સ Aનું કોઈપણ ઘટક લઈએ જે શૂન્યથી અલગ હોય. ચાલો તેની સરહદી સગીરોને જોઈએ. જો તે બધા શૂન્ય સમાન હોય, તો મેટ્રિક્સનો ક્રમ એક સમાન છે. જો ત્યાં ઓછામાં ઓછું એક બિન-શૂન્ય કિનારી સગીર હોય (તેનો ક્રમ બે છે), તો અમે તેના કિનારી સગીરોને ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ છીએ. જો તે બધા શૂન્ય હોય, તો રેન્ક(A) = 2. જો ઓછામાં ઓછું એક કિનારી સગીર બિન-શૂન્ય છે (તેનો ક્રમ ત્રણ છે), તો અમે તેના કિનારી સગીરોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. અને તેથી વધુ. પરિણામે, રેન્ક(A) = k જો મેટ્રિક્સ A ના (k + 1)મા ક્રમના તમામ કિનારી સગીર શૂન્ય સમાન હોય, અથવા રેન્ક(A) = min(p, n) જો ત્યાં બિન- શૂન્ય નાના ઓર્ડરની નાની સરહદે (મિનિટ(p, n) – 1) .

ચાલો ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધવા માટે સગીરોની સરહદની પદ્ધતિ જોઈએ.

ઉદાહરણ.

મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધો સગીરોની સરહદની પદ્ધતિ દ્વારા.

ઉકેલ.

મેટ્રિક્સ A નું 1 1 તત્વ બિનશૂન્ય હોવાથી, અમે તેને પ્રથમ-ક્રમના નાના તરીકે લઈએ છીએ. ચાલો શૂન્યથી અલગ હોય તેવા કિનારી સગીર શોધવાનું શરૂ કરીએ:

શૂન્યથી અલગ, બીજા ક્રમનો એક કિનારો માઇનોર જોવા મળે છે. ચાલો તેની સરહદી સગીરોને જોઈએ (તેમના વસ્તુઓ):

બીજા ક્રમની સગીર કિનારી ધરાવતા તમામ સગીર શૂન્ય સમાન છે, તેથી, મેટ્રિક્સ A ની રેન્ક બેની બરાબર છે.

જવાબ:

રેન્ક(A) = 2 .

ઉદાહરણ.

મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધો સરહદી સગીરોનો ઉપયોગ કરીને.

ઉકેલ.

પ્રથમ ક્રમના બિન-શૂન્ય ગૌણ તરીકે, અમે મેટ્રિક્સ A નું 1 1 = 1 તત્વ લઈએ છીએ. બીજા ક્રમની આસપાસની સગીર શૂન્ય બરાબર નથી. આ સગીર ત્રીજા ક્રમના સગીર દ્વારા સરહદે છે
. કારણ કે તે શૂન્યની બરાબર નથી અને તેના માટે એક પણ કિનારી સગીર નથી, મેટ્રિક્સ A ની રેન્ક ત્રણની બરાબર છે.

જવાબ:

રેન્ક(A) = 3 .

પ્રાથમિક મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશન્સ (ગૌસ પદ્ધતિ) નો ઉપયોગ કરીને ક્રમ શોધવો.

ચાલો મેટ્રિક્સની રેન્ક શોધવાની બીજી રીત પર વિચાર કરીએ.

નીચેના મેટ્રિક્સ પરિવર્તનોને પ્રાથમિક કહેવામાં આવે છે:

• મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ (અથવા કૉલમ) ફરીથી ગોઠવવી;
• મેટ્રિક્સની કોઈપણ પંક્તિ (કૉલમ) ના તમામ ઘટકોને શૂન્યથી અલગ, મનસ્વી સંખ્યા k દ્વારા ગુણાકાર કરવો;
• પંક્તિ (કૉલમ) ના ઘટકોમાં મેટ્રિક્સની બીજી પંક્તિ (કૉલમ) ના અનુરૂપ ઘટકો ઉમેરીને, એક મનસ્વી સંખ્યા k વડે ગુણાકાર.

મેટ્રિક્સ B ને મેટ્રિક્સ A ની સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે, જો B એ પ્રાથમિક રૂપાંતરણોની મર્યાદિત સંખ્યાનો ઉપયોગ કરીને A માંથી મેળવવામાં આવે છે. મેટ્રિસિસની સમાનતા "~" પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, એટલે કે, A ~ B લખાયેલ છે.

પ્રાથમિક મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સનો રેન્ક શોધવો એ વિધાન પર આધારિત છે: જો મેટ્રિક્સ B એ પ્રાથમિક પરિવર્તનની મર્યાદિત સંખ્યાનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સ Aમાંથી મેળવવામાં આવે છે, તો રેન્ક(A) = રેન્ક(B) .

આ નિવેદનની માન્યતા મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકના ગુણધર્મોને અનુસરે છે:

• મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ (અથવા કૉલમ) ને ફરીથી ગોઠવતી વખતે, તેના નિર્ણાયક ફેરફારોનું ચિહ્ન. જો તે શૂન્યની બરાબર હોય, તો જ્યારે પંક્તિઓ (કૉલમ્સ) ફરીથી ગોઠવવામાં આવે છે, તો તે શૂન્યની બરાબર રહે છે.
• જ્યારે મેટ્રિક્સની કોઈપણ પંક્તિ (કૉલમ) ના તમામ ઘટકોને શૂન્ય સિવાયની એક મનસ્વી સંખ્યા k દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે પરિણામી મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક મૂળ મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકને k વડે ગુણાકાર કરે છે. જો મૂળ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન હોય, તો પછી કોઈપણ પંક્તિ અથવા કૉલમના તમામ ઘટકોનો k સંખ્યા વડે ગુણાકાર કર્યા પછી, પરિણામી મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક પણ શૂન્યની બરાબર થશે.
• મેટ્રિક્સની ચોક્કસ પંક્તિ (કૉલમ) ના ઘટકોમાં મેટ્રિક્સની બીજી પંક્તિ (કૉલમ) ના અનુરૂપ ઘટકો ઉમેરવાથી, ચોક્કસ સંખ્યા k વડે ગુણાકાર કરવાથી તેના નિર્ણાયકમાં ફેરફાર થતો નથી.

પ્રાથમિક પરિવર્તનની પદ્ધતિનો સારપ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સને ઘટાડવાનો સમાવેશ થાય છે જેની રેન્ક આપણે ટ્રેપેઝોઇડલ (ચોક્કસ કિસ્સામાં, ઉપરના ત્રિકોણાકારમાં) શોધવાની જરૂર છે.

આ કેમ કરવામાં આવી રહ્યું છે? આ પ્રકારના મેટ્રિસિસનો રેન્ક શોધવામાં ખૂબ જ સરળ છે. તે ઓછામાં ઓછા એક બિન-શૂન્ય તત્વ ધરાવતી રેખાઓની સંખ્યા જેટલી છે. અને પ્રાથમિક રૂપાંતર કરતી વખતે મેટ્રિક્સનો ક્રમ બદલાતો નથી, પરિણામે પરિણામી મૂલ્ય મૂળ મેટ્રિક્સનો ક્રમ હશે.

અમે મેટ્રિસિસના ચિત્રો આપીએ છીએ, જેમાંથી એક રૂપાંતરણ પછી મેળવવો જોઈએ. તેમનો દેખાવ મેટ્રિક્સના ક્રમ પર આધાર રાખે છે.

આ ચિત્રો એવા નમૂનાઓ છે કે જેના પર આપણે મેટ્રિક્સ A ને રૂપાંતરિત કરીશું.

ચાલો વર્ણન કરીએ પદ્ધતિ અલ્ગોરિધમનો.

ચાલો આપણે ઓર્ડરના બિન-શૂન્ય મેટ્રિક્સ A નો રેન્ક શોધવાની જરૂર છે (p એ n ની બરાબર હોઈ શકે છે).

તેથી, . ચાલો મેટ્રિક્સ A ની પ્રથમ પંક્તિના તમામ ઘટકોનો ગુણાકાર કરીએ. આ કિસ્સામાં, અમે સમકક્ષ મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ, તેને A (1) સૂચિત કરીને:

પરિણામી મેટ્રિક્સ A (1) ની બીજી પંક્તિના ઘટકોમાં આપણે પ્રથમ પંક્તિના અનુરૂપ તત્વો ઉમેરીએ છીએ, જેનો ગુણાકાર કરીએ છીએ. ત્રીજી લીટીના તત્વોમાં આપણે પ્રથમ લીટીના અનુરૂપ તત્વો ઉમેરીએ છીએ, જેનો ગુણાકાર કરીએ છીએ. અને તેથી p-મી લાઇન સુધી. ચાલો એક સમકક્ષ મેટ્રિક્સ મેળવીએ, તેને A (2) દર્શાવો:

જો બીજાથી p-th સુધીની પંક્તિઓમાં સ્થિત પરિણામી મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય, તો આ મેટ્રિક્સનો ક્રમ એક સમાન છે, અને પરિણામે, મૂળ મેટ્રિક્સનો ક્રમ સમાન છે. એકને.

જો બીજાથી p-th સુધીની રેખાઓમાં ઓછામાં ઓછું એક બિન-શૂન્ય તત્વ હોય, તો અમે પરિવર્તન કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ. તદુપરાંત, અમે સંપૂર્ણપણે તે જ રીતે કાર્ય કરીએ છીએ, પરંતુ માત્ર આકૃતિમાં ચિહ્નિત મેટ્રિક્સ A (2) ના ભાગ સાથે.

જો , તો પછી આપણે મેટ્રિક્સ A (2) ની પંક્તિઓ અને (અથવા) કૉલમ ફરીથી ગોઠવીએ છીએ જેથી "નવું" ઘટક શૂન્ય ન બને.