હેમિંગ અંતર. તેલ અને ગેસનો મહાન જ્ઞાનકોશ

લંબાઈના દ્વિસંગી શબ્દોના સમૂહ પર a અને b શબ્દો વચ્ચેનું m અંતર d(a,b) એ આ શબ્દોની મેળ ન ખાતી સ્થિતિઓની સંખ્યા છે, ઉદાહરણ તરીકે: a = 01101 અને b = 00111 શબ્દો વચ્ચેનું અંતર 2 છે.

આ રીતે વ્યાખ્યાયિત ખ્યાલને હેમિંગ અંતર કહેવામાં આવે છે.

તે નીચેના અંતરના સિદ્ધાંતોને સંતોષે છે:

1) d(a,b)  0 અને d(a,b)=0 જો અને માત્ર જો a = b;

2) d(a,b) = d(b,a) ;

3) d(a,b) + d(b,c)  d(a,c) (ત્રિકોણ અસમાનતા).

શબ્દ a નું વજન w(a) તેના કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેની સંખ્યા છે. પછી a અને b શબ્દો વચ્ચેનું અંતર તેમના સરવાળા a b: d(a,b)=w(a b) નું વજન છે, જ્યાં ચિહ્ન  સંકલન મુજબના ઉમેરણ મોડ્યુલો 2 ની કામગીરી સૂચવે છે. તે સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ છે કે કોડ ભૂલ શોધવા અને સુધારણા માટે વધુ યોગ્ય છે, કોડ શબ્દો જેટલા અલગ છે. હેમિંગ અંતરની વિભાવના આપણને આ સ્પષ્ટ કરવા દે છે.

પ્રમેયકોડ માટે k (અથવા ઓછી) સ્થિતિમાં ભૂલો શોધવા માટે, કોડવર્ડ્સ વચ્ચેનું સૌથી નાનું અંતર  k + 1 હોવું જરૂરી અને પૂરતું છે.

આ પ્રમેયનો પુરાવો નીચેના નિવેદનના પુરાવા જેવો જ છે.

પ્રમેય.કોડને k (અથવા ઓછી) સ્થિતિમાં બધી ભૂલો સુધારવા માટે, કોડવર્ડ્સ વચ્ચેનું સૌથી નાનું અંતર  2k + 1 હોવું જરૂરી અને પૂરતું છે.

32. કોડની સુધારણા ક્ષમતા પર પ્રમેય.

કોડ કે જે ભૂલોને આપમેળે સુધારી શકે છે તેને સ્વ-સુધારણા કહેવામાં આવે છે. એકલ ભૂલોને સુધારવા માટે રચાયેલ સ્વ-સુધારક કોડ બનાવવા માટે, એક ચેક અંક પૂરતો નથી. નીચેનામાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, નિયંત્રણ બિટ્સ k ની સંખ્યા પસંદ કરવી આવશ્યક છે જેથી અસમાનતા 2k≥k+m+1 or k≥log2(k+m+1) સંતોષાય, જ્યાં m એ મૂળભૂત બાઈનરી બિટ્સની સંખ્યા છે. કોડવર્ડનો. હાલમાં, બાઈનરી બ્લોક કરેક્શન કોડ સૌથી વધુ રસ ધરાવે છે. આવા કોડ્સનો ઉપયોગ કરતી વખતે, માહિતી સમાન લંબાઈના બ્લોક્સના સ્વરૂપમાં પ્રસારિત થાય છે અને દરેક બ્લોક એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે એન્કોડ અને ડીકોડ કરવામાં આવે છે. લગભગ તમામ બ્લોક કોડ્સમાં, અક્ષરોને માહિતી અને ચકાસણીમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.

સ્વ-સુધારક કોડની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ છે:

1. મંજૂર અને પ્રતિબંધિત સંયોજનોની સંખ્યા. જો n એ બ્લોકમાં પ્રતીકોની સંખ્યા છે, r એ બ્લોકમાં ચેક પ્રતીકોની સંખ્યા છે, k એ માહિતી પ્રતીકોની સંખ્યા છે, તો 2n એ સંભવિત કોડ સંયોજનોની સંખ્યા છે, 2k એ માન્ય કોડ સંયોજનોની સંખ્યા છે, 2n −2k એ પ્રતિબંધિત સંયોજનોની સંખ્યા છે.

2. કોડ રીડન્ડન્સી. મૂલ્ય rn ને કરેક્શન કોડની રીડન્ડન્સી કહેવાય છે.

3. ન્યૂનતમ કોડ અંતર. ન્યૂનતમ કોડ અંતર d એ એક માન્ય સંયોજનમાંથી બીજામાં સંક્રમણ કરવા માટે જરૂરી વિકૃત પ્રતીકોની ન્યૂનતમ સંખ્યા છે.

4. શોધાયેલ અને સુધારેલ ભૂલોની સંખ્યા. જો g એ કોડ સુધારી શકે તેવી ભૂલોની સંખ્યા છે, તો તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે કે d≥2g+1

5. કોડની સુધારાત્મક ક્ષમતાઓ.

33. મેટ્રિક્સ કોડિંગ. જૂથ કોડ્સ.

જ્યારે ( m, n)-code એ 2 m કોડવર્ડનો ઉલ્લેખ કરવો જોઈએ, જે ખૂબ જ બિનકાર્યક્ષમ છે.

કોડિંગ સ્કીમનું વર્ણન કરવાની એક આર્થિક રીત મેટ્રિક્સ કોડિંગ ટેકનિક છે.

પહેલાં, દરેક એન્કોડિંગ સ્કીમનું વર્ણન કોષ્ટકો દ્વારા લંબાઈના કોડવર્ડનો ઉલ્લેખ કરતા હતા n લંબાઈના દરેક સ્ત્રોત શબ્દ માટે m લાંબા બ્લોક્સ માટે, આ પદ્ધતિને મોટી માત્રામાં મેમરીની જરૂર છે અને તેથી તે અવ્યવહારુ છે. ઉદાહરણ તરીકે, માટે ( 16, 33 ) કોડ માટે 33 * 2 16 = 2,162,688 બિટ્સની જરૂર પડશે.

ઘણી ઓછી મેમરીની જરૂર છે મેટ્રિક્સ કોડિંગ. દો ઇ પરિમાણ મેટ્રિક્સ m×n, તત્વો e ij , જ્યાં સમાવેશ થાય છે i લાઇન નંબર છે, અને j - કૉલમ નંબર. દરેક મેટ્રિક્સ ઘટકો ઇ ij 0 અથવા 1 હોઈ શકે છે. એન્કોડિંગ ઑપરેશન દ્વારા લાગુ કરવામાં આવે છે b = aE અથવા જ્યાં કોડવર્ડ્સને વેક્ટર તરીકે ગણવામાં આવે છે, એટલે કે કદના પંક્તિ મેટ્રિસિસ તરીકે 1×n.

એન્કોડિંગ એ અલગ-અલગ સ્ત્રોત સંદેશાઓને સમાન કોડવર્ડ સોંપવો જોઈએ નહીં. આ હાંસલ કરવાની એક સરળ રીત છે m મેટ્રિક્સ કૉલમ એકમ મેટ્રિક્સ બનાવ્યું. જ્યારે કોઈપણ વેક્ટરને ઓળખ મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે સમાન વેક્ટર પ્રાપ્ત થાય છે, તેથી, વિવિધ સંદેશ વેક્ટર સિસ્ટમેટિક કોડના વિવિધ વેક્ટરને અનુરૂપ હશે.

મેટ્રિક્સ કોડ પણ કહેવાય છે રેખીય કોડ. રેખીય માટે (n − r, n- ન્યૂનતમ હેમિંગ અંતર સાથે કોડ ડી અસ્તિત્વમાં છે Plotkin નીચલા બાઉન્ડ (પ્લોટકીન) ચેક બિટ્સની ન્યૂનતમ સંખ્યા માટે આરખાતે n³ 2d − 1,

દ્વિસંગી (એક m, n) કોડને જૂથ કોડ કહેવામાં આવે છે જો તેના કોડ શબ્દો એક જૂથ બનાવે છે.

નોંધ કરો કે m લંબાઈના તમામ દ્વિસંગી શબ્દોનો સમૂહ કોઓર્ડિનેટ-વાઈઝ એડિશન મોડ્યુલો 2 ની કામગીરી સાથે એક વિનિમય જૂથ બનાવે છે, જેમાં a a સંબંધ ધરાવે છે. પરિણામે, m લંબાઈના સંદેશા શબ્દોનો સમૂહ એક વિનિમયાત્મક જૂથ છે.

બ્લોક કોડ કહેવાય છે સમૂહ જો તેના કોડ શબ્દો એક જૂથ બનાવે છે.

જો કોડ જૂથ કોડ છે, તો બે કોડ શબ્દો વચ્ચેનું સૌથી નાનું અંતર બિન-શૂન્ય શબ્દના સૌથી નાના વજન જેટલું છે.

આ સંબંધમાંથી અનુસરે છે d(b i ,બી j ) = w(b i + b j ).

વાઇલ્ડકાર્ડ કોડનો ઉપયોગ કરતી વખતે, તે અને માત્ર તે જ ભૂલો કે જે કોડવર્ડની બરાબર સમાન ભૂલ સ્ટ્રિંગ્સને અનુરૂપ હોય છે તે શોધી શકાતી નથી.

આવી ભૂલ રેખાઓ એક કોડવર્ડનો બીજામાં અનુવાદ કરે છે.

તેથી, ભૂલ શોધી શકાતી નથી તેવી સંભાવના કોડવર્ડ્સની સમાન તમામ ભૂલ શબ્દમાળાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે.

બધા દ્વિસંગી શબ્દોનો સમૂહ a = a 1 ...અ m લંબાઈ mબીટવાઇઝ ઉમેરણના સંદર્ભમાં એબેલિયન (વિનિમયાત્મક) જૂથ બનાવે છે.

દો ઇ - કોડિંગ m×n-એક મેટ્રિક્સ જે ધરાવે છે m × m-બિનશૂન્ય નિર્ણાયક સાથે સબમેટ્રિક્સ, ઉદાહરણ તરીકે, ઓળખ. પછી મેપિંગ a → a Eલંબાઈના તમામ દ્વિસંગી શબ્દોના જૂથનો અનુવાદ કરે છે m લંબાઈના કોડવર્ડ્સના જૂથમાં n

ચાલો આપણે માની લઈએ કે પછી આપણને મળે છે

એટલે કે તેથી, લંબાઈના દ્વિસંગી શબ્દોના જૂથનું એક-થી-એક મેપિંગ m આપેલ મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને ઇ જૂથ કામગીરીના ગુણધર્મોને સાચવે છે, જેનો અર્થ છે કે કોડવર્ડ્સ જૂથ બનાવે છે.

જૂથ કોડ ગુણધર્મ: કોડ વેક્ટર વચ્ચેનું લઘુત્તમ કોડ અંતર બિન-શૂન્ય વેક્ટરના ન્યૂનતમ વજન જેટલું છે. કોડ વેક્ટરનું વજન કોડ સંયોજનમાંની સંખ્યા જેટલું છે.

મેટ્રિસિસનો ઉપયોગ કરીને જૂથ કોડનો ઉલ્લેખ કરવો અનુકૂળ છે, જેનું પરિમાણ k અને n પરિમાણો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. પંક્તિઓની સંખ્યા k છે અને કૉલમની સંખ્યા n = k+m છે.

આ મેટ્રિસીસ દ્વારા જનરેટ થતા કોડને (n, k)-કોડ કહેવામાં આવે છે, અને અનુરૂપ મેટ્રિસીસને જનરેટર (જનરેટર) કહેવામાં આવે છે.

પૃષ્ઠ 1

સમાન લંબાઈના બે સિક્વન્સ વચ્ચેનું હેમિંગ અંતર બિન-મેળખાતી તત્વો દ્વારા કબજે કરેલી સ્થિતિની સંખ્યાને અનુરૂપ છે. વિવિધ લંબાઈના સિક્વન્સના કિસ્સામાં, હેમિંગ અંતર એ પર બિન-મેળખાતી તત્વો દ્વારા કબજે કરેલી સ્થિતિની ન્યૂનતમ સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

સમાન લંબાઈના બે શબ્દો u અને v વચ્ચેનું હેમિંગ અંતર d (u, v) આ શબ્દોના વિવિધ અંકોની સંખ્યા જેટલું છે. તેનો ઉપયોગ બ્લોક કોડના સિદ્ધાંતમાં થાય છે (વી.

હેમિંગ અંતરના મેટ્રિક ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, તે સીધું જ ચકાસવામાં આવે છે કે /l એ Xt પર મેટ્રિક છે, પરંતુ મિશ્ર-સામયિક ક્રમના સમૂહ પરનું મેટ્રિક નથી.

આ નિકટતા કાર્ય હેમિંગ અંતરની સમકક્ષ છે.

KLOP અલ્ગોરિધમમાં મેટ્રિક p હેમિંગ અંતર દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે.

જો શોધ પ્રક્રિયા એવી સ્થિતિ શોધી શકે કે જ્યાં હેમિંગ અંતર શૂન્ય હોય, તો સમસ્યા હલ થઈ જશે.

અસ્પષ્ટ સબસેટ્સ B અને B3, અસ્પષ્ટતાની ડિગ્રી, તેમજ હેમિંગ અંતરની સરખામણી દર્શાવે છે કે વિચારણા હેઠળના અસ્પષ્ટ સબસેટ્સ અલગ છે. જો કે, જો આપણે તત્વ m2 G Uz ને ગણતરી કરેલ મૂલ્ય તરીકે લઈએ, જેની ડિગ્રી પરિણામી અસ્પષ્ટ સબસેટ સાથે સંબંધિત છે તે મહત્તમ છે, તો આ રીતે ગણતરી કરેલ અસ્પષ્ટ સંબંધ R નો ઉપયોગ વાજબી ગણી શકાય. આ અભિગમ સાથે રિએક્ટરના બીજા ઝોનમાં મહત્તમ તાપમાન અને પોલિઇથિલિન મેલ્ટ ફ્લો રેટ વચ્ચેના સંબંધની બિનરેખીયતાનું વર્ણન કરવું શક્ય છે તે હકીકત સાથે, આ પદ્ધતિ બિન-સ્થિર પ્રકૃતિને ધ્યાનમાં લેતી નથી. એલડીપીઇ મેળવવાની પ્રક્રિયા, જે તકનીકી પ્રક્રિયાની લાક્ષણિકતાઓમાં ફેરફાર સાથે સંકળાયેલ છે.

આ કોડનું ટ્રાન્સફર ફંક્શન સૂચવે છે કે હેમિંગ અંતર d સાથેનો એક જ રસ્તો છે - ઓલ-ઝીરો પાથમાંથી, જે આપેલ નોડ પર ઓલ-ઝીરો પાથ સાથે ભળી જાય છે. ફિગમાં બતાવેલ રાજ્ય રેખાકૃતિમાંથી. 8.2.6, અથવા ફિગમાં બતાવેલ ટ્રેલીસ ડાયાગ્રામ. 8.2.5, તે સ્પષ્ટ છે કે d6 થી માર્ગ acbe છે. ફરીથી રાજ્ય રેખાકૃતિ અથવા જાળીમાંથી આપણે જોઈએ છીએ કે આ માર્ગો acdbe અને acbcbe છે. (8.1.2) માં ત્રીજો શબ્દ સૂચવે છે કે અંતર d 0 અને તેથી વધુ સાથે ચાર રસ્તાઓ છે. આમ, ટ્રાન્સફર ફંક્શન આપણને કન્વોલ્યુશનલ કોડના અંતર ગુણધર્મો આપે છે.

આ પરિણામ એ અવલોકન સાથે સુસંગત છે કે તમામ શૂન્ય (/0) ના પાથમાં પ્રાપ્ત ક્રમથી d3 નું હેમિંગ અંતર છે, જ્યારે /1 ના પાથમાં પ્રાપ્ત પાથથી d5 નું હેમિંગ અંતર છે. આમ, હેમિંગ અંતર એ સખત નિર્ણય ડીકોડિંગ માટે સમકક્ષ મેટ્રિક છે.

સ્ટેફન ઝ્વેઇગના પુસ્તક “હ્યુમેનિટીઝ ફાઇનેસ્ટ અવર્સ” માં ફ્રેન્ચ આર્મી ઓફિસર રૂગેટ ડી લિસ્લે વિશે એક અદ્ભુત વાર્તા “ધ જીનિયસ ઓફ વન નાઈટ” છે, જેણે પ્રેરણાની ગરમીમાં એક રાત દરમિયાન પ્રખ્યાત “લા માર્સેલેઈઝ” લખી હતી. આ ક્રાંતિકારી માર્સેલીમાં 1792 માં હતું. આ ગીત થોડા દિવસોમાં સમગ્ર ફ્રાન્સમાં ફેલાઈ ગયું, ઝડપથી સમગ્ર વિશ્વમાં પ્રચંડ લોકપ્રિયતા મેળવી અને ત્યારબાદ ફ્રેન્ચ રિપબ્લિકનું રાષ્ટ્રગીત બની ગયું. ઇતિહાસે આ એક ગીતને કારણે વંશજોની યાદમાં રૂજ નામ સાચવ્યું છે.

સાદ્રશ્ય દ્વારા, રિચાર્ડ હેમિંગને "એક વિચારની પ્રતિભા" કહી શકાય. તેમણે 1950 માં ભૂલ સુધારણા કોડને સમર્પિત તેમના એકમાત્ર વૈજ્ઞાનિક લેખમાં તેને ઘડ્યું હતું. લેખમાં બ્લોક કોડનું બાંધકામ છે જે સંદેશ ટ્રાન્સમિશન દરમિયાન થતી એકલ ભૂલોને સુધારે છે.

રિચાર્ડ હેમિંગ સતત સક્રિય વૈજ્ઞાનિક સંશોધનમાં રોકાયેલા હતા, પરંતુ માહિતી સિદ્ધાંતના ક્ષેત્રમાં તેમનું એકમાત્ર કાર્ય, જે તેના વોલ્યુમની દ્રષ્ટિએ તેમના વૈજ્ઞાનિક કાર્યની નજીવી ટકાવારી બનાવે છે, તે પ્રખ્યાત બન્યું. આ લેખે ઝડપથી વિશ્વવ્યાપી ખ્યાતિ મેળવી અને તેને સારી રીતે લાયક ખ્યાતિ અપાવી.

જેમ ફેરાડે અને મેક્સવેલની શોધો પછી ટેલિકોમ્યુનિકેશનના ક્ષેત્રમાં અસંખ્ય શોધો થઈ જેણે આપણું જીવન બદલી નાખ્યું, તેવી જ રીતે ક્લાઉડ શેનન અને વ્લાદિમીર કોટેલનિકોવ દ્વારા માહિતી સિદ્ધાંતની રચના પછી, સંભવિત અવાજ રોગપ્રતિકારકતાનો સિદ્ધાંત, નવી તકો ખુલી. ટેલિકોમ્યુનિકેશન્સનો વિકાસ. માહિતી સિદ્ધાંતના સૌથી મહત્વપૂર્ણ વિભાગોમાંનો એક કોડિંગ સિદ્ધાંત છે, જેનો પાયો હેમિંગ દ્વારા નાખવામાં આવ્યો હતો.

શેનોને સ્થાપિત કર્યું કે જો પ્રસારણની ઝડપ તેની ક્ષમતા કરતાં વધી ન જાય તો સંદેશાવ્યવહાર ચેનલ પર માહિતીને ભૂલ-મુક્ત ટ્રાન્સમિટ કરી શકાય છે. જો કે, શેનોનનો પુરાવો રચનાત્મક ન હતો. પાછળથી તેમના અને અન્ય અમેરિકન વૈજ્ઞાનિક એસ.ઓ. રાઇસ દ્વારા કરવામાં આવેલા અભ્યાસોએ દર્શાવ્યું હતું કે લગભગ કોઈપણ અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરાયેલ કોડ સંદેશના સ્વાગત માટે અવાજની પ્રતિરક્ષાની સૈદ્ધાંતિક મર્યાદા હાંસલ કરવાની મંજૂરી આપે છે. જો કે, આવા કોડમાં ઉચ્ચ ડીકોડિંગ જટિલતા હતી: પ્રાપ્ત કોડ સંયોજનને ડીકોડ કરવા માટે જરૂરી કામગીરીની સંખ્યા તેની લંબાઈ સાથે ઝડપથી વધી હતી.

હેમિંગ એ રિડન્ડન્સી અને સરળ ડીકોડિંગ સાથે કોડ બનાવવા માટે રચનાત્મક પદ્ધતિનો પ્રસ્તાવ મૂકનાર પ્રથમ હતો. તેમના કામે આ ક્ષેત્રના મોટા ભાગના કાર્યની દિશા પૂર્વનિર્ધારિત કરી હતી જે પાછળથી આવી હતી.

તેમના સન્માનમાં, ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઑફ ઇલેક્ટ્રીકલ એન્ડ ઇલેક્ટ્રોનિક્સ એન્જિનિયર્સે માહિતી સિદ્ધાંતમાં મહત્વપૂર્ણ યોગદાન આપનારા વૈજ્ઞાનિકોને ઓળખવા માટે એક ચંદ્રકની સ્થાપના કરી.

સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ દરમિયાન (ડિજીટલ કોમ્પ્યુટરમાં કોમ્યુનિકેશન ચેનલો વગેરેમાં) ભૂલો સુધારવા માટે સક્ષમ કોડ્સ હેમિંગ દ્વારા 1948 પહેલા પણ પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યા હતા, જ્યારે શેનોનનો પ્રખ્યાત લેખ "મેથેમેટિકલ થિયરી ઓફ કોમ્યુનિકેશન" પ્રકાશિત થયો હતો, જેણે આ સિદ્ધાંત માટે મજબૂત પાયો નાખ્યો હતો. ક્ષેત્ર.

આ પેપરમાં, શેનોને, તેના બેલ લેબ્સના સાથીદાર રિચાર્ડ હેમિંગ દ્વારા 1947માં કરવામાં આવેલા સંશોધનને ટાંકીને, એક ઉદાહરણ તરીકે લંબાઈ 7નો એક સરળ કોડ વર્ણવ્યો હતો જેણે તમામ એકલ ભૂલોને સુધારી હતી. પેટન્ટના કારણોસર હેમિંગની મૂળ સામગ્રીના પ્રકાશનમાં એપ્રિલ 1950 સુધી વિલંબ થયો હતો. એ નોંધવું જોઈએ કે શેનન દ્વારા ઉલ્લેખિત લેખમાં આપવામાં આવેલ ભૂલ-સુધારણા કોડના ઉદાહરણથી અન્ય અમેરિકન વૈજ્ઞાનિક એમ.ઈ. ગોલેના સંશોધનની શરૂઆત થઈ હતી. ગોલે, હેમિંગથી સ્વતંત્ર રીતે, એકલ ભૂલોને સુધારતા કોડ શોધ્યા. 1949 માં (એટલે કે, હેમિંગ પહેલાં) તેણે IEEEની કાર્યવાહીમાં તેના પરિણામો વિશે ટૂંકી નોંધ (માત્ર અડધુ પૃષ્ઠ) પ્રકાશિત કરી. આ નોંધમાં, તેમણે માત્ર દ્વિસંગી કોડ્સ જ નહીં, પણ સામાન્ય કોડ્સ પણ ધ્યાનમાં લીધા, જેનાં સંયોજનો મર્યાદિત ક્ષેત્ર (ઉમેરા, બાદબાકી, ભાગાકાર અને ગુણાકારની ચોક્કસ ક્રિયાઓ સાથે તત્વોનો ગાણિતિક સમૂહ) સાથે pn તત્વો (p એ અવિભાજ્ય છે). , અને n એ પૂર્ણાંક છે).

એ નોંધવું જોઈએ કે સંદેશાવ્યવહાર સિદ્ધાંતના સંખ્યાબંધ મૂળભૂત વિચારોને સંચાર ચેનલો પર સંદેશાઓના પ્રસારણની સમસ્યાઓ ઉકેલતા વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા લાગુ કરવામાં આવે તે પહેલાં જ ખાનગી ગાણિતિક પરિણામો તરીકે ઓળખાતા હતા. તેમના પુસ્તક "બીજગણિત કોડિંગ થિયરી" માં, કોડિંગ સિદ્ધાંતના ક્ષેત્રના અગ્રણી અમેરિકન નિષ્ણાત, E. Berlekamp એ ખૂબ જ રસપ્રદ ટિપ્પણી કરી હતી. તેમણે નોંધ્યું હતું કે હેમિંગ કોડની ડિઝાઇનનું વર્ણન 1942માં પ્રખ્યાત અમેરિકન ગણિતશાસ્ત્રી આર.એ. ફિશર દ્વારા એક અલગ સંદર્ભમાં કરવામાં આવ્યું હતું, જે પરિબળ વિશ્લેષણના સિદ્ધાંત (ગાણિતિક આંકડાશાસ્ત્રની એક શાખા) અને તેના ગાણિતિક સાથેના જોડાણને સમર્પિત કાર્યમાં હતું. જૂથોનો સિદ્ધાંત. માર્ગ દ્વારા, વી.એ. કોટેલનિકોવનું પ્રમેય, ડિજિટલ સ્વરૂપમાં એનાલોગ સિગ્નલોનું પ્રતિનિધિત્વ કરવાની સંભાવના દર્શાવે છે, તે અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રીઓ E.T. અને J.M. Whitker દ્વારા વીસમી સદીની શરૂઆતમાં ફંક્શન ઇન્ટરપોલેશનના સિદ્ધાંતના ચોક્કસ ગાણિતિક પરિણામોમાંના એક તરીકે શોધાયું હતું. તે પર ભાર મૂકવો જોઈએ કે ફિશર અથવા ઉલ્લેખિત અંગ્રેજી વૈજ્ઞાનિકોએ તેમના પરિણામોને સંદેશાવ્યવહાર ચેનલો દ્વારા માહિતી પ્રસારિત કરવાની આધુનિક દુનિયા માટે સૌથી મહત્વપૂર્ણ સમસ્યાઓ સાથે જોડ્યા નથી.

વુલ્ફગેંગ ગોએથે કહ્યું: “માત્ર જ્ઞાન મેળવવું પૂરતું નથી; મારે તેના માટે એક એપ શોધવાની જરૂર છે. માત્ર ઈચ્છા કરવી પૂરતી નથી; કરવાની જરૂર છે". સિદ્ધાંત અને ટેક્નોલોજી માટે... કોમ્યુનિકેશન્સ માટે, કોટેલનિકોવના પ્રમેય અને હેમિંગ કોડ્સ અસાધારણ મહત્વ ધરાવે છે, કારણ કે તે તેમને આભારી છે કે ઇજનેરો માટે ડિજિટલ સિસ્ટમ્સ બનાવવાની સ્પષ્ટ સંભાવના ખુલી, જેણે વીસમી સદીના અંતમાં ટેલિકોમ્યુનિકેશન્સમાં ક્રાંતિ લાવી અને તેથી તેઓને આ વૈજ્ઞાનિકોના નામથી યોગ્ય રીતે બોલાવવામાં આવે છે.

કોડિંગ સિદ્ધાંતના વિકાસને વેગ આપનાર ઉત્પ્રેરક બનીને, હેમિંગના લેખે વૈજ્ઞાનિક સમુદાયનું ધ્યાન આકર્ષિત કર્યું. તમામ પાઠ્યપુસ્તકોમાં, કોડના આ વર્ગને હેમિંગ કોડ્સ કહેવામાં આવે છે, અને કોડિંગ સિદ્ધાંતની રજૂઆત તેમની ડિઝાઇનના વર્ણનથી શરૂ થાય છે. દેખીતી રીતે, આ કોડ્સને હેમિંગ-ગોલે કોડ્સ કહેવાનું હજુ પણ વધુ ઉચિત રહેશે, જો કે ગોલે સ્વતંત્ર રીતે હેમિંગ જેવા જ વિચારો પર આવ્યા હતા અને તેમને અગાઉ પ્રકાશિત કર્યા હતા. હકીકત એ છે કે તેના લેખે તે ધ્યાન આકર્ષિત કર્યું ન હતું જે તે લાયક હતું તે મોટે ભાગે તકને કારણે હતું.

શેનોનના સિદ્ધાંતની તુલનામાં, હેમિંગ દ્વારા રજૂ કરાયેલા કોડ્સ નિરાશાજનક રીતે નબળા હતા. જો કે, ભૂલ-સુધારણા કોડ બનાવવા માટે હેમિંગની નિયમિત પદ્ધતિઓ મૂળભૂત મહત્વની હતી. તેઓએ ઇજનેરોને માહિતી સિદ્ધાંતના કાયદા દ્વારા દર્શાવેલ મર્યાદાઓને હાંસલ કરવાની વ્યવહારિક સંભાવના દર્શાવી. આ કોડ્સને કોમ્પ્યુટર સિસ્ટમના નિર્માણમાં વ્યવહારુ ઉપયોગ મળ્યો છે. હેમિંગના પેપરને કારણે મર્યાદિત ક્ષેત્રો માટે ગાઢ પેકિંગની સમસ્યાનો ઉકેલ પણ આવ્યો. તેમણે વૈજ્ઞાનિક ઉપયોગમાં કોડિંગ થિયરીના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલો રજૂ કર્યા - વેક્ટર સ્પેસમાં કોડ સંયોજનો વચ્ચેનું હેમિંગ અંતર, દ્વિસંગી કોડ્સ માટે આ સંયોજનોની સ્થિતિની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત વિવિધ પ્રતીકો સાથે, અને બ્લોકની સુધારણા ક્ષમતા માટે હેમિંગ બાઉન્ડ્સ. કોડ સુધારી રહ્યા છે. બાઈનરી કોડ માટે હેમિંગ બાઉન્ડની ગણતરી નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

આ અભિવ્યક્તિમાં, M કોડ સંયોજનો (CjN એ દ્વિપદી ગુણાંક છે) ધરાવતા N લંબાઈના સુધારક બ્લોક કોડ દ્વારા ભૂલોની સંખ્યા e સુધારી શકાય છે.

હેમિંગના કાર્યે કોડિંગ સિદ્ધાંતના અનુગામી વિકાસમાં મુખ્ય ભૂમિકા ભજવી હતી અને ત્યારપછીના વર્ષોમાં હાથ ધરાયેલા વ્યાપક સંશોધનને ઉત્તેજિત કર્યું હતું. 1956 માં, ડેવિડ સ્લેપિયન ગંભીર ગાણિતિક ધોરણે પેરિટી-ચેકિંગ કોડ્સનો સિદ્ધાંત રજૂ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા. કોડિંગ થિયરીના ક્ષેત્રમાં મોટો ફેરફાર ત્યારે થયો જ્યારે ફ્રેન્ચ વૈજ્ઞાનિક એ. હોક્વેન્ગેમ (1959) અને અમેરિકનો આર.કે. બોઝ અને ડી.કે. રોય-ચૌધરી (1960)ને કોડનો મોટો વર્ગ (બીસીએચ કોડ્સ) મળ્યો જે ગુણાંકની ભૂલોને સુધારે છે. અમેરિકન સંશોધકો I. S. Reed અને G. Solomon (1960) એ BCH કોડ્સ સંબંધિત બિન-દ્વિસંગી ચેનલો માટે કોડનો વર્ગ શોધી કાઢ્યો.

1980 માં, હેમિંગે એક તેજસ્વી પાઠ્યપુસ્તક લખી, "કોડિંગ થિયરી અને ઇન્ફર્મેશન થિયરી", જેનો 1983 માં રશિયનમાં અનુવાદ થયો. આ પુસ્તક, તેમની અન્ય કૃતિઓની જેમ, પ્રશ્નોના નિર્માણની મૌલિકતા, પ્રસ્તુતિની લોકપ્રિયતા, વ્યવહારિક સમસ્યાઓની ઊંડી સમજણ, ઉભા કરાયેલા મુદ્દાઓના ગાણિતિક અર્થઘટનની સચોટતા અને વાજબી ડિગ્રી દ્વારા અલગ પડે છે. સામગ્રીની રજૂઆત એવી રીતે રચાયેલ છે કે વાચક સાહજિક રીતે સમજે છે કે આ અથવા તે પ્રમેય શા માટે સાચું છે

) કોડ સિક્વન્સની વેક્ટર સ્પેસમાં, આ કિસ્સામાં બે દ્વિસંગી સિક્વન્સ (વેક્ટર) અને લંબાઈ વચ્ચેનું હેમિંગ અંતર એ સ્થાનોની સંખ્યા છે જેમાં તેઓ અલગ છે - આ ફોર્મ્યુલેશનમાં, હેમિંગ અંતર એલ્ગોરિધમ્સના શબ્દકોશમાં શામેલ છે અને યુએસ નેશનલ સ્ટાન્ડર્ડ ઇન્સ્ટિટ્યુટ (અંગ્રેજી) ના ડેટા સ્ટ્રક્ચર્સ. NIST ડિક્શનરી ઓફ એલ્ગોરિધમ્સ અને ડેટા સ્ટ્રક્ચર્સ ).

આમ, વેક્ટર 0 011 1 અને 1 010 1 વચ્ચેનું હેમિંગ અંતર 2 છે (વિવિધ બિટ્સ લાલ રંગમાં ચિહ્નિત થયેલ છે). ત્યારબાદ, મેટ્રિકને q-ary સિક્વન્સમાં સામાન્યીકરણ કરવામાં આવ્યું હતું: તાર "ચૂંટણી" અને "વાડ" ની જોડી માટે હેમિંગ અંતર ત્રણ જેટલું છે.

સામાન્ય રીતે, વસ્તુઓ અને પરિમાણો માટે હેમિંગ અંતર ફંક્શન દ્વારા આપવામાં આવે છે:

હેમિંગ અંતર મેટ્રિકના ગુણધર્મો ધરાવે છે, જે નીચેની શરતોને સંતોષે છે:

બાયોઇન્ફોર્મેટિક્સ અને જીનોમિક્સમાં હેમિંગ ડિસ્ટન્સ

સાહિત્ય

રિચાર્ડ ડબલ્યુ. હેમિંગ. ભૂલ-શોધ અને ભૂલ-સુધારણા કોડ્સ, બેલ સિસ્ટમ ટેકનિકલ જર્નલ 29(2):147-160, 1950.
રિચાર્ડ Bleichut. ભૂલ નિયંત્રણ કોડનો સિદ્ધાંત અને પ્રેક્ટિસ. એમ., "મીર", 1986

લિંક્સ

રિચાર્ડ હેમિંગ અને કોડિંગ સિદ્ધાંતની શરૂઆત // વર્ચ્યુઅલ કમ્પ્યુટર મ્યુઝિયમ

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.

2010.

અન્ય શબ્દકોશોમાં "હેમિંગ અંતર" શું છે તે જુઓ:હેમિંગ અંતર

- હેમિંગ અંતર સમાન લંબાઈના બે કોડ સિક્વન્સ u અને v વચ્ચેનું અંતર d (u,v) જે પ્રતીકોની સંખ્યાની બરાબર છે જેમાં તેઓ ભિન્ન છે. ન્યૂનતમ હેમિંગ અંતર d સાથેનો બ્લોક કોડ વ્યક્તિને શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે (d 1) અને... ...કોડ અંતર - યુનિફોર્મ કોડમાં વિવિધ કોડવર્ડ્સના તમામ લેર્સ પર લેવામાં આવેલ ન્યૂનતમ હેમિંગ અંતર. [ભલામણ કરેલ શરતોનો સંગ્રહ. મુદ્દો 94. માહિતી ટ્રાન્સમિશનનો સિદ્ધાંત. યુએસએસઆરની એકેડેમી ઓફ સાયન્સ. ટેકનિકલ પરિભાષા સમિતિ. 1979] વિષય સિદ્ધાંત... ...

ટેકનિકલ અનુવાદકની માર્ગદર્શિકા

ગણિત અને માહિતી સિદ્ધાંતના ક્ષેત્રોમાં, રેખીય કોડ એ એક મહત્વપૂર્ણ પ્રકારનો બ્લોક કોડ છે જેનો ઉપયોગ ભૂલ શોધ અને સુધારણા યોજનાઓમાં થાય છે. રેખીય કોડ, અન્ય કોડની સરખામણીમાં, વધુ કાર્યક્ષમ અલ્ગોરિધમ્સના અમલીકરણને મંજૂરી આપે છે... ... વિકિપીડિયા

સંદેશાવ્યવહાર તકનીકમાં ભૂલોની શોધ એ માહિતીને રેકોર્ડ કરતી વખતે / પુનઃઉત્પાદન કરતી વખતે અથવા તેને સંચાર રેખાઓ પર પ્રસારિત કરતી વખતે ડેટાની અખંડિતતા પર દેખરેખ રાખવાની ક્રિયા છે. ભૂલ સુધારણા (ભૂલ સુધારણા) પુનઃપ્રાપ્તિ પ્રક્રિયા... ... વિકિપીડિયા