ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?

પ્રથમ, સામાન્ય સૂત્ર. કદાચ તે દરેકને તરત જ સ્પષ્ટ થશે નહીં... હા, કાર્લસન તમારી સાથે છે - વ્યવહારુ ઉદાહરણો બધું સ્પષ્ટ કરશે! શાંત. માત્ર શાંતિ.

ચાલો ચોક્કસ અવિભાજ્યને ધ્યાનમાં લઈએ, જ્યાં અંતરાલ પર સતત કાર્ય છે. ચાલો સેગમેન્ટને વિભાજિત કરીએ સમાનવિભાગો:
. આ કિસ્સામાં, તે સ્પષ્ટ છે: (એકીકરણની નીચલી મર્યાદા) અને (સંકલનની ઉપલી મર્યાદા). પોઈન્ટ તરીકે પણ ઓળખાય છે ગાંઠો.

પછી ચોક્કસ અભિન્ન આશરે ગણતરી કરી શકાય છે ટ્રેપેઝોઇડલ સૂત્ર અનુસાર:
, ક્યાં:
- દરેક નાના સેગમેન્ટની લંબાઈ અથવા પગલું;
- પોઈન્ટ પર ઈન્ટીગ્રેન્ડના મૂલ્યો .

ઉદાહરણ 1

ટ્રેપેઝોઇડલ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને લગભગ ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો. પરિણામોને ત્રણ દશાંશ સ્થાનો પર રાઉન્ડ કરો.

a) એકીકરણના સેગમેન્ટને 3 ભાગોમાં વિભાજીત કરવું.
b) એકીકરણના સેગમેન્ટને 5 ભાગોમાં વિભાજીત કરવું.

ઉકેલ:
a) ખાસ કરીને ડમીઝ માટે, મેં પ્રથમ બિંદુને ડ્રોઇંગ સાથે જોડ્યું છે જે પદ્ધતિના સિદ્ધાંતને સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે. જો તે મુશ્કેલ હોય, તો તમે ટિપ્પણી કરો છો તેમ ડ્રોઇંગ જુઓ, અહીં તેનો એક ભાગ છે:

શરત અનુસાર, એકીકરણ સેગમેન્ટને 3 ભાગોમાં વિભાજિત કરવું આવશ્યક છે, એટલે કે.
ચાલો દરેક પાર્ટીશન સેગમેન્ટની લંબાઈની ગણતરી કરીએ: . પરિમાણ, હું તમને યાદ કરું છું, તેને પણ કહેવામાં આવે છે પગલું.

કેટલા બિંદુઓ (પાર્ટીશન નોડ્સ) હશે? ત્યાં હશે એક વધુવિભાગોની સંખ્યા કરતાં:

આમ, ટ્રેપેઝોઇડ્સના સામાન્ય સૂત્રને સુખદ કદમાં ઘટાડવામાં આવે છે:

ગણતરીઓ માટે, તમે નિયમિત માઇક્રોકેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

નોંધ કરો કે, સમસ્યાની શરતો અનુસાર, તમામ ગણતરીઓ 3જી દશાંશ સ્થાન પર ગોળાકાર હોવી જોઈએ.

છેલ્લે:

ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે પરિણામી મૂલ્ય એ વિસ્તારનું અંદાજિત મૂલ્ય છે (ઉપરની આકૃતિ જુઓ).

b) ચાલો એકીકરણ સેગમેન્ટને 5 સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ, એટલે કે. આ શા માટે જરૂરી છે? ફોબોસ-ગ્રન્ટને સમુદ્રમાં પડતા અટકાવવા માટે, વિભાગોની સંખ્યામાં વધારો કરીને, અમે ગણતરીઓની ચોકસાઈ વધારીએ છીએ.

જો , તો પછી ટ્રેપેઝોઇડલ સૂત્ર નીચેનું સ્વરૂપ લે છે:

ચાલો પાર્ટીશન સ્ટેપ શોધીએ:
, એટલે કે, દરેક મધ્યવર્તી સેગમેન્ટની લંબાઈ 0.6 છે.

કાર્યને અંતિમ સ્વરૂપ આપતી વખતે, ગણતરી કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને તમામ ગણતરીઓને ઔપચારિક બનાવવાનું અનુકૂળ છે:

પ્રથમ લાઇનમાં આપણે "કાઉન્ટર" લખીએ છીએ

મને લાગે છે કે દરેક વ્યક્તિ જોઈ શકે છે કે બીજી લાઇન કેવી રીતે રચાય છે - પ્રથમ આપણે એકીકરણની નીચલી મર્યાદા લખીએ છીએ, બાકીના મૂલ્યો ક્રમિક રીતે ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે.

મને લાગે છે કે લગભગ દરેક જણ તે સિદ્ધાંતને સમજે છે જેના દ્વારા નીચેની લાઇન ભરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો, પછી . જેમ તેઓ કહે છે, ગણતરી કરો, આળસુ ન બનો.

પરિણામ સ્વરૂપ:

ઠીક છે, ત્યાં ખરેખર એક સ્પષ્ટતા છે, અને એક ગંભીર છે!
જો 3 પાર્ટીશન સેગમેન્ટ માટે, તો 5 સેગમેન્ટ માટે. આમ, ઉચ્ચ આત્મવિશ્વાસ સાથે આપણે કહી શકીએ કે, ઓછામાં ઓછું.

ઉદાહરણ 2

બે દશાંશ સ્થાનો (0.01 સુધી) માટે સચોટ ટ્રેપેઝોઇડલ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને અંદાજે ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો.

ઉકેલ:લગભગ સમાન કાર્ય, પરંતુ થોડી અલગ રચનામાં. ઉદાહરણ 1 થી મૂળભૂત તફાવત એ છે કે આપણે અમને ખબર નથી, બે સાચા દશાંશ સ્થાનો મેળવવા માટે આપણે એકીકરણ સેગમેન્ટને કેટલા સેગમેન્ટમાં વિભાજિત કરવું જોઈએ? બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે તેનો અર્થ જાણતા નથી.

ત્યાં એક વિશિષ્ટ સૂત્ર છે જે તમને જરૂરી ચોકસાઈની બાંયધરી આપવા માટે પાર્ટીશન સેગમેન્ટ્સની સંખ્યા નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે, પરંતુ વ્યવહારમાં તેને લાગુ કરવું ઘણીવાર મુશ્કેલ હોય છે. તેથી, સરળ અભિગમનો ઉપયોગ કરવો ફાયદાકારક છે.

પ્રથમ, એકીકરણ સેગમેન્ટને કેટલાક મોટા ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે, સામાન્ય રીતે 2-3-4-5. ચાલો એકીકરણના સેગમેન્ટને વિભાજીત કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, સમાન 5 ભાગોમાં. સૂત્ર પહેલેથી જ પરિચિત છે:

અને પગલું, અલબત્ત, પણ જાણીતું છે:

પરંતુ બીજો પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: પરિણામોને કયા અંક સુધી ગોળાકાર કરવા જોઈએ? કેટલા દશાંશ સ્થાનો છોડવા તે વિશે શરત કંઈ કહેતી નથી. સામાન્ય ભલામણ છે: તમારે જરૂરી ચોકસાઈમાં 2-3 અંકો ઉમેરવાની જરૂર છે. આ કિસ્સામાં, જરૂરી ચોકસાઈ 0.01 છે. ભલામણ મુજબ, દશાંશ બિંદુ પછી આપણે દશાંશ બિંદુ પછી પાંચ અક્ષરો છોડીશું (ચાર શક્ય હતા):

પરિણામ સ્વરૂપ:

પ્રાથમિક પરિણામ પછી, વિભાગોની સંખ્યા ડબલ. આ કિસ્સામાં, તેને 10 ભાગોમાં વિભાજિત કરવું જરૂરી છે. અને જ્યારે સેગમેન્ટ્સની સંખ્યા વધે છે, ત્યારે મગજમાં એક તેજસ્વી વિચાર આવે છે કે હું માઇક્રોકેલ્ક્યુલેટર પર આંગળીઓ ઉઠાવીને કંટાળી ગયો છું. તેથી, હું ફરી એકવાર મારા અર્ધ-સ્વચાલિત કેલ્ક્યુલેટરને ડાઉનલોડ કરવા અને તેનો ઉપયોગ કરવાનું સૂચન કરું છું (પાઠની શરૂઆતમાં લિંક).

ટ્રેપેઝોઇડ ફોર્મ્યુલા માટે નીચેનું સ્વરૂપ લે છે:

પેપર વર્ઝનમાં, એન્ટ્રી સુરક્ષિત રીતે આગલી લાઇનમાં ખસેડી શકાય છે.

ચાલો પાર્ટીશન સ્ટેપની ગણતરી કરીએ:

ચાલો કોષ્ટકમાં ગણતરીના પરિણામોનો સારાંશ આપીએ:


જ્યારે નોટબુકમાં સમાપ્ત થાય, ત્યારે લાંબા ટેબલને બે માળના ટેબલમાં ફેરવવું ફાયદાકારક છે.

મૉડલિંગમાં ઇન્ટિગ્રલ્સની ગણતરી ઘણી વાર થાય છે. સામાન્ય રીતે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જ્યારે અગાઉ ટેબ્યુલેટેડ ફંક્શન્સમાંથી બિન-પર્ફોર્મેબલ ઇન્ટિગ્રલ્સ લેતી વખતે અથવા ટેબ્યુલેટેડ ફંક્શન્સને એકીકૃત કરતી વખતે, જે આર્થિક એપ્લિકેશન્સમાં વધુ સામાન્ય છે.

સંખ્યાત્મક એકીકરણ ખ્યાલ.

તમામ આંકડાકીય પદ્ધતિઓ એ હકીકત પર આધારિત છે કે ઇન્ટિગ્રેંડને લગભગ એક સરળ (આડી અથવા વળેલી સીધી રેખા, 2જી, 3જી અથવા ઉચ્ચ ક્રમની પેરાબોલા) દ્વારા બદલવામાં આવે છે, જેમાંથી અભિન્ન સરળતાથી લેવામાં આવે છે. પરિણામે, એકીકરણ સૂત્રો, જેને ચતુર્થાંશ કહેવાય છે, વ્યક્તિગત બિંદુઓ પર ઇન્ટિગ્રેન્ડના ઓર્ડિનેટ્સના ભારિત સરવાળાના સ્વરૂપમાં મેળવવામાં આવે છે:

નાના અંતરાલ કે જેના પર રિપ્લેસમેન્ટ કરવામાં આવે છે, તેટલી વધુ ચોક્કસ રીતે ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવામાં આવે છે. તેથી, ચોકસાઈ સુધારવા માટે, મૂળ સેગમેન્ટ [a, b] ને કેટલાક સમાન અથવા અસમાન અંતરાલોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જેમાંના દરેક પર એકીકરણ સૂત્ર લાગુ કરવામાં આવે છે, અને પછી પરિણામો ઉમેરવામાં આવે છે.

મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં, સંખ્યાત્મક એકીકરણની ભૂલ ડબલ એકીકરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: પ્રારંભિક પગલા સાથે (પગલું નક્કી કરવામાં આવે છે સેગમેન્ટ b-a ને સેગમેન્ટની સંખ્યા દ્વારા સમાનરૂપે વિભાજીત કરીને n\h=(b-a)/n) u એક પગલું વધે છે 2 વખત દ્વારા. ઇન્ટિગ્રલ્સના ગણતરી કરેલ મૂલ્યોમાં તફાવત ભૂલ નક્કી કરે છે.

વિવિધ પદ્ધતિઓની અસરકારકતાની તુલના બહુપદીની ડિગ્રી અનુસાર કરવામાં આવે છે, જે આ પદ્ધતિ દ્વારા, ભૂલ વિના, ચોક્કસ રીતે સંકલિત કરવામાં આવે છે. આવા બહુપદીની ડિગ્રી જેટલી વધારે છે, પદ્ધતિની ચોકસાઈ જેટલી વધારે છે, તે વધુ અસરકારક છે.

સૌથી સરળ પદ્ધતિઓમાં પદ્ધતિઓનો સમાવેશ થાય છે લંબચોરસ(ડાબે અને જમણે) અને ટ્રેપેઝોઇડપ્રથમ કિસ્સામાં, ઇન્ટિગ્રેન્ડને ઓર્ડિનેટ મૂલ્ય સાથે આડી સીધી રેખા (y = c0) દ્વારા બદલવામાં આવે છે, એટલે કે. ફંક્શનના મૂલ્યો અનુક્રમે વિભાગની ડાબી અથવા જમણી બાજુએ છે, બીજા કિસ્સામાં - એક વલણવાળી સીધી રેખા (y = c 1 x + c 0). સેગમેન્ટ [a, b] ને એક સમાન પગલા h સાથે n ભાગોમાં વિભાજીત કરવા માટેના એકીકરણ સૂત્રો અનુક્રમે ફોર્મ લે છે:

એકીકરણના એક વિભાગ માટે:

માટે પીએકીકરણ વિસ્તારો:

તે જોવાનું સરળ છે કે લંબચોરસ પદ્ધતિમાં પૂર્ણાંકની ગણતરી ત્યારે જ થઈ શકે છે જ્યારે f(x) = સાથે(const), અને ટ્રેપેઝોઇડ પદ્ધતિમાં - સાથે f(x) રેખીય અથવા પીસવાઇઝ રેખીય.

ફિગ માં. સરખામણી માટે, આકૃતિ 4 વિભાગોની વિવિધ સંખ્યાઓ સાથે લંબચોરસના ઉદાહરણો બતાવે છે. તે સ્પષ્ટપણે જોવામાં આવે છે કે જમણી આકૃતિમાં તમામ લંબચોરસનો વિસ્તાર વળાંક હેઠળના વિસ્તાર કરતા ઓછો અલગ છે f(x),ડાબી બાજુ કરતાં.

ચોખા. 4. ડાબી લંબચોરસ પદ્ધતિનું ચિત્રણ:

એ- એકીકરણ સેગમેન્ટના પાર્ટીશનના 3 વિભાગો સાથે [a, b];

b- એકીકરણ સેગમેન્ટના પાર્ટીશનના 6 વિભાગો સાથે [a, b]

નોંધપાત્ર ભૂલોને કારણે લંબચોરસ પદ્ધતિ વ્યવહારુ ઉપયોગ શોધી શકતી નથી, જે ફિગમાંથી પણ સ્પષ્ટ છે. 4.

ફિગ માં. આકૃતિ 5 ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઇન્ટિગ્રલની ગણતરીનું ઉદાહરણ બતાવે છે. લંબચોરસ પદ્ધતિની તુલનામાં, ટ્રેપેઝોઇડ પદ્ધતિ વધુ સચોટ છે, કારણ કે ટ્રેપેઝોઇડ લંબચોરસ કરતાં વધુ સચોટ રીતે સંબંધિત વળાંકવાળા ટ્રેપેઝોઇડને બદલે છે. ફિગ 5.

ભૂલ આરવ્યવહારમાં ડબલ ગણતરીનો ઉપયોગ કરીને ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિ દ્વારા ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી નીચેના સંબંધમાંથી નક્કી કરી શકાય છે:

જ્યાં હું એનઅને I p/2- અનુક્રમે, પાર્ટીશનોની સંખ્યા સાથે ઇન્ટિગ્રલનું મૂલ્ય પીઅને p/2.ભૂલ નક્કી કરવા માટે વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિઓ પણ છે, પરંતુ તેમને ઇન્ટિગ્રેન્ડના બીજા વ્યુત્પન્નનું જ્ઞાન જરૂરી છે, અને તેથી તેનું માત્ર સૈદ્ધાંતિક મહત્વ છે. બેવડી ગણતરીનો ઉપયોગ કરીને, આપેલ એકીકરણ ભૂલ (ક્રમશઃ પગલું બમણું કરવું અને ભૂલને નિયંત્રિત કરવી) સુનિશ્ચિત કરવા માટે એકીકરણ પગલાની સ્વચાલિત પસંદગી (એટલે ​​​​કે, પાર્ટીશનોની સંખ્યા n) ગોઠવવાનું શક્ય છે.

અમે ડાબી લંબચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેળવીએ છીએ:

અમે જમણી લંબચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેળવીએ છીએ:

અમે ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિ દ્વારા મેળવીએ છીએ:

શૈક્ષણિક કાર્યો:

• ડિડેક્ટિક હેતુ. વિદ્યાર્થીઓને ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની અંદાજિત ગણતરીની પદ્ધતિઓનો પરિચય આપો.
• શૈક્ષણિક હેતુ. આ પાઠનો વિષય ખૂબ જ વ્યવહારુ અને શૈક્ષણિક મહત્વનો છે. સંખ્યાત્મક એકીકરણના વિચાર સુધી પહોંચવાની સૌથી સરળ રીત એ છે કે અવિભાજ્ય રકમની મર્યાદા તરીકે ચોક્કસ અવિભાજ્યની વ્યાખ્યા પર આધાર રાખવો. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે સેગમેન્ટનું પૂરતું નાનું પાર્ટીશન લઈએ તો [ a; b] અને તેના માટે એક અવિભાજ્ય સરવાળો બનાવો, પછી તેનું મૂલ્ય અનુરૂપ અવિભાજ્યના મૂલ્ય તરીકે અંદાજે લઈ શકાય. તે જ સમયે, કમ્પ્યુટર તકનીકનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ ઝડપથી અને યોગ્ય રીતે હાથ ધરવી મહત્વપૂર્ણ છે.

મૂળભૂત જ્ઞાન અને કુશળતા. લંબચોરસ અને ટ્રેપેઝોઇડ્સના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવા માટેની અંદાજિત પદ્ધતિઓની સમજ રાખો.

વર્ગો પૂરા પાડે છે

• હેન્ડઆઉટ. સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કાર્ડ્સ-કાર્યો.
• TSO. મલ્ટી-પ્રોજેક્ટર, પીસી, લેપટોપ.
• TSO સાધનો. પ્રસ્તુતિઓ: "ડેરિવેટિવ્ઝનો ભૌમિતિક અર્થ", "લંબચોરસની પદ્ધતિ", "ટ્રેપેઝોઇડ્સની પદ્ધતિ". (પ્રસ્તુતિઓ લેખક પાસેથી મેળવી શકાય છે).
• કમ્પ્યુટિંગ સાધનો: પીસી, માઇક્રોકેલ્ક્યુલેટર.
• માર્ગદર્શિકા

પાઠનો પ્રકાર. સંકલિત વ્યવહારુ.

વિદ્યાર્થીઓની જ્ઞાનાત્મક પ્રવૃત્તિની પ્રેરણા. ઘણી વાર ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલ્સની ગણતરી કરવી જરૂરી છે જેના માટે એન્ટિડેરિવેટિવ શોધવાનું અશક્ય છે. આ કિસ્સામાં, ચોક્કસ પૂર્ણાંકોની ગણતરી માટે અંદાજિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. જો ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી તર્કસંગત ન હોય તો કેટલીકવાર અંદાજિત પદ્ધતિનો ઉપયોગ "લેવામાં આવેલા" પૂર્ણાંકો માટે પણ થાય છે. ઇન્ટિગ્રલની અંદાજિત ગણતરીનો વિચાર એ છે કે વળાંકને નવા વળાંક દ્વારા બદલવામાં આવે છે જે તેની પૂરતા પ્રમાણમાં "નજીક" છે. નવા વળાંકની પસંદગીના આધારે, એક અથવા બીજા અંદાજિત સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

પાઠનો ક્રમ.

1. લંબચોરસ સૂત્ર.
2. ટ્રેપેઝોઇડ ફોર્મ્યુલા.
3. કસરતોનો ઉકેલ.

પાઠ ની યોજના

1. વિદ્યાર્થીઓના મૂળભૂત જ્ઞાનનું પુનરાવર્તન.

વિદ્યાર્થીઓ સાથે પુનરાવર્તન કરો: એકીકરણના મૂળભૂત સૂત્રો, એકીકરણની અભ્યાસ કરેલી પદ્ધતિઓનો સાર, ચોક્કસ અભિન્નનો ભૌમિતિક અર્થ.

1. વ્યવહારુ કામ કરવું.

ઘણી તકનીકી સમસ્યાઓનો ઉકેલ ચોક્કસ પૂર્ણાંકોની ગણતરીમાં આવે છે, જેની ચોક્કસ અભિવ્યક્તિ જટિલ છે, લાંબી ગણતરીઓની જરૂર છે અને વ્યવહારમાં હંમેશા ન્યાયી નથી. અહીં તેમનું અંદાજિત મૂલ્ય તદ્દન પર્યાપ્ત છે.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, તમારે એક રેખા દ્વારા બંધાયેલ વિસ્તારની ગણતરી કરવાની જરૂર છે જેનું સમીકરણ અજ્ઞાત છે. આ કિસ્સામાં, તમે આ રેખાને એક સરળ સાથે બદલી શકો છો, જેનું સમીકરણ જાણીતું છે. આ રીતે મેળવેલ વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર ઇચ્છિત અભિન્નના અંદાજિત મૂલ્ય તરીકે લેવામાં આવે છે.

સૌથી સરળ અંદાજિત પદ્ધતિ એ લંબચોરસ પદ્ધતિ છે. ભૌમિતિક રીતે, લંબચોરસ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ પૂર્ણાંકની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિનો વિચાર એ છે કે વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર એ બી સી ડીલંબચોરસના ક્ષેત્રોના સરવાળા દ્વારા બદલવામાં આવે છે, જેની એક બાજુ બરાબર છે , અને બીજી - .

જો આપણે લંબચોરસના વિસ્તારોનો સરવાળો કરીએ કે જે વક્ર ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર ગેરલાભ સાથે દર્શાવે છે [આકૃતિ 1], તો આપણે સૂત્ર મેળવીએ છીએ:

[ચિત્ર 1]

પછી આપણને સૂત્ર મળે છે:

જો વધારે હોય

[આકૃતિ2],

તે

મૂલ્યો y 0, y 1,..., y nસમાનતાઓમાંથી મળે છે , k = 0, 1..., n.આ સૂત્રો કહેવાય છે લંબચોરસ સૂત્રોઅને અંદાજિત પરિણામ આપો. વધારો સાથે nપરિણામ વધુ સચોટ બને છે.

તેથી, ઇન્ટિગ્રલનું અંદાજિત મૂલ્ય શોધવા માટે, તમારે આની જરૂર છે:

ગણતરીની ભૂલ શોધવા માટે, તમારે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે:

ઉદાહરણ 1. લંબચોરસ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો. ગણતરીઓની સંપૂર્ણ અને સંબંધિત ભૂલો શોધો.

ચાલો સેગમેન્ટને વિભાજિત કરીએ [ a b] અનેક (ઉદાહરણ તરીકે, 6) સમાન ભાગોમાં. પછી a = 0, b = 3 ,

x k = a + k x
એક્સ 0 = 2 + 0 = 2
એક્સ 1 = 2 + 1 = 2,5
એક્સ 2 = 2 + 2 =3
એક્સ 3 = 2 + 3 = 3
એક્સ 4 = 2 + 4 = 4
એક્સ 5 = 2 + 5 = 4,5

f(x 0) = 2 2 = 4
f (x 1) = 2 ,5 2 = 6,25
f (x 2) = 3 2 = 9
f (x 3) = 3,5 2 = 12,25
f (x 4) = 4 2 = 16
f (x 5) = 4,5 2 = 20,25.

સૂત્ર (1) મુજબ:

ગણતરીઓની સંબંધિત ભૂલની ગણતરી કરવા માટે, અવિભાજ્યનું ચોક્કસ મૂલ્ય શોધવું જરૂરી છે:

ગણતરીમાં લાંબો સમય લાગ્યો અને અમે એક જગ્યાએ રફ રાઉન્ડિંગ સાથે સમાપ્ત થયા. નાના અંદાજ સાથે આ અભિન્ન ગણતરી કરવા માટે, તમે કમ્પ્યુટરની તકનીકી ક્ષમતાઓનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

લંબચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ પૂર્ણાંક શોધવા માટે, તમારે પૂર્ણાંકની કિંમતો દાખલ કરવી આવશ્યક છે f(x)રેન્જમાં એક્સેલ વર્કશીટમાં એક્સઆપેલ પગલા સાથે એક્સ= 0,1.

1. ડેટા ટેબલ બનાવવું (એક્સઅને f(x)). એક્સ f(x). દલીલ, અને સેલ B1 માં - શબ્દ કાર્ય2 2,1 ). પછી, સેલ A2:A3 ના બ્લોકને પસંદ કરીને, ઑટોફિલનો ઉપયોગ કરીને અમને દલીલની બધી કિંમતો મળે છે (આપણે બ્લોકના નીચેના જમણા ખૂણેને સેલ A32 પર ખેંચીએ છીએ, મૂલ્ય સુધી x=5).
2. આગળ, આપણે ઇન્ટિગ્રેન્ડના મૂલ્યો દાખલ કરીએ છીએ. સેલ B2 માં તમારે તેનું સમીકરણ લખવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, કોષ B2 માં ટેબલ કર્સર મૂકો અને કીબોર્ડમાંથી ફોર્મ્યુલા દાખલ કરો =A2^2(અંગ્રેજી કીબોર્ડ લેઆઉટ સાથે). કી દબાવો દાખલ કરો. સેલ B2 માં દેખાય છે 4 . હવે તમારે સેલ B2 માંથી ફંક્શનની નકલ કરવાની જરૂર છે. ઑટોફિલનો ઉપયોગ કરીને, આ ફોર્મ્યુલાને B2:B32 શ્રેણીમાં કૉપિ કરો.
   પરિણામ એ ઇન્ટિગ્રલ શોધવા માટે ડેટાનું ટેબલ હોવું જોઈએ.
3. હવે સેલ B33 માં ઇન્ટિગ્રલનું અંદાજિત મૂલ્ય શોધી શકાય છે. આ કરવા માટે, સેલ B33 માં સૂત્ર દાખલ કરો = 0,1*, પછી ફંક્શન વિઝાર્ડને કૉલ કરો (ટૂલબાર પર ફંક્શન શામેલ કરો બટનને ક્લિક કરીને (f(x)). દેખાતા સંવાદ બોક્સમાં, ફંક્શન વિઝાર્ડ - સ્ટેપ 1 માંથી 2, કેટેગરી ફીલ્ડમાં ડાબી બાજુએ, મેથેમેટિકલ પસંદ કરો. ફંક્શન ફીલ્ડમાં જમણી બાજુએ સમ ફંક્શન છે. બટન દબાવો બરાબર.રકમ સંવાદ બોક્સ દેખાય છે. માઉસનો ઉપયોગ કરીને, કાર્યક્ષેત્રમાં સમીકરણ શ્રેણી B2:B31 દાખલ કરો. બટન દબાવો બરાબર.સેલ B33 માં, ઇચ્છિત પૂર્ણાંકનું અંદાજિત મૂલ્ય ગેરલાભ સાથે દેખાય છે ( 37,955 ) .

પ્રાપ્ત કરેલ અંદાજિત મૂલ્યની સાચા મૂલ્ય સાથે તુલના કરવી ( 39 ), કોઈ જોઈ શકે છે કે આ કિસ્સામાં લંબચોરસ પદ્ધતિની અંદાજિત ભૂલ બરાબર છે

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

ઉદાહરણ 2. લંબચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, આપેલ પગલા સાથે ગણતરી કરો એક્સ = 0,05.

મેળવેલ અંદાજિત મૂલ્યની ઇન્ટિગ્રલના સાચા મૂલ્ય સાથે સરખામણી કરવી , કોઈ જોઈ શકે છે કે આ કિસ્સામાં લંબચોરસ પદ્ધતિની અંદાજિત ભૂલ બરાબર છે

ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિ સામાન્ય રીતે લંબચોરસ પદ્ધતિ કરતાં વધુ સચોટ અભિન્ન મૂલ્ય આપે છે. વળાંકવાળા ટ્રેપેઝોઇડને કેટલાક ટ્રેપેઝોઇડ્સના સરવાળા દ્વારા બદલવામાં આવે છે અને ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનું અંદાજિત મૂલ્ય ટ્રેપેઝોઇડ્સના વિસ્તારોના સરવાળા તરીકે જોવા મળે છે.

[આકૃતિ3]

ઉદાહરણ 3. ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પગલાંઓમાં શોધો એક્સ = 0,1.

1. ખાલી વર્કશીટ ખોલો.
2. ડેટા ટેબલ બનાવવું (એક્સઅને f(x)).પ્રથમ સ્તંભને મૂલ્યો બનવા દો એક્સ, અને અનુરૂપ સૂચકાંકો સાથે બીજું f(x).આ કરવા માટે, સેલ A1 માં શબ્દ દાખલ કરો દલીલ, અને સેલ B1 માં - શબ્દ કાર્ય. દલીલનું પ્રથમ મૂલ્ય સેલ A2 માં દાખલ કરવામાં આવ્યું છે - શ્રેણીની ડાબી સરહદ ( 0 ). દલીલનું બીજું મૂલ્ય સેલ A3 માં દાખલ કરવામાં આવ્યું છે - શ્રેણીની ડાબી સીમા વત્તા બાંધકામ પગલું ( 0,1 ). પછી, સેલ A2:A3 ના બ્લોકને પસંદ કરીને, ઑટોફિલનો ઉપયોગ કરીને અમને દલીલના તમામ મૂલ્યો મળે છે (આપણે બ્લોકના નીચેના જમણા ખૂણેને સેલ A33 પર ખેંચીએ છીએ, મૂલ્યમાં x=3.1).
3. આગળ, આપણે ઇન્ટિગ્રેન્ડના મૂલ્યો દાખલ કરીએ છીએ. સેલ B2 માં તમારે તેના સમીકરણ (સાઇનના ઉદાહરણમાં) લખવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, ટેબલ કર્સર સેલ B2 માં મૂકવો આવશ્યક છે. અહીં સેલ A2 માં દલીલના મૂલ્યને અનુરૂપ સાઈન મૂલ્ય હોવું જોઈએ. સાઈન વેલ્યુ મેળવવા માટે, અમે એક ખાસ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીશું: ટૂલબાર પર ઈન્સર્ટ ફંક્શન બટન પર ક્લિક કરો. f(x). દેખાતા સંવાદ બોક્સમાં, ફંક્શન વિઝાર્ડ - સ્ટેપ 1 માંથી 2, કેટેગરી ફીલ્ડમાં ડાબી બાજુએ, મેથેમેટિકલ પસંદ કરો. ફંક્શન ફીલ્ડમાં જમણી બાજુએ - ફંક્શન SIN. બટન દબાવો બરાબર.એક સંવાદ બોક્સ દેખાય છે SIN. વિન્ડોના ગ્રે ફીલ્ડ પર માઉસ પોઇન્ટર મૂકીને, ડાબું બટન દબાવવાથી, ડેટા કૉલમ ખોલવા માટે ફીલ્ડને જમણી તરફ ખસેડો ( એ). અમે સેલ A2 પર ક્લિક કરીને સાઈન દલીલનું મૂલ્ય સૂચવીએ છીએ. બટન દબાવો બરાબર.સેલ B2 માં 0 દેખાય છે હવે તમારે સેલ B2 માંથી ફંક્શનની નકલ કરવાની જરૂર છે. ઑટોફિલનો ઉપયોગ કરીને, આ ફોર્મ્યુલાને B2:B33 શ્રેણીમાં કૉપિ કરો. પરિણામ એ ઇન્ટિગ્રલ શોધવા માટે ડેટાનું ટેબલ હોવું જોઈએ.
4. હવે સેલ B34 માં ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઇન્ટિગ્રલનું અંદાજિત મૂલ્ય શોધી શકાય છે. આ કરવા માટે, સેલ B34 માં સૂત્ર દાખલ કરો = 0.1*((B2+B33)/2+,પછી ફંક્શન વિઝાર્ડને કૉલ કરો (ટૂલબાર પર ફંક્શન શામેલ કરો બટનને ક્લિક કરીને (f(x)). દેખાતા સંવાદ બોક્સમાં, ફંક્શન વિઝાર્ડ - સ્ટેપ 1 માંથી 2, કેટેગરી ફીલ્ડમાં ડાબી બાજુએ, મેથેમેટિકલ પસંદ કરો. ફંક્શન ફીલ્ડમાં જમણી બાજુએ સમ ફંક્શન છે. બટન દબાવો બરાબર.રકમ સંવાદ બોક્સ દેખાય છે. માઉસ વડે વર્ક ફીલ્ડમાં સમેશન રેન્જ B3:B32 દાખલ કરો. બટન દબાવો બરાબરફરી એકવાર બરાબર.સેલ B34 માં, ઇચ્છિત ઇન્ટિગ્રલનું અંદાજિત મૂલ્ય ગેરલાભ સાથે દેખાય છે ( 1,997 ) .

મેળવેલ અંદાજિત મૂલ્યને પૂર્ણાંકના સાચા મૂલ્ય સાથે સરખાવતા, તમે જોઈ શકો છો કે આ કિસ્સામાં લંબચોરસ પદ્ધતિની અંદાજિત ભૂલ પ્રેક્ટિસ માટે તદ્દન સ્વીકાર્ય છે.

1. કસરતોનો ઉકેલ.

ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કેવી રીતે કરવી
ટ્રેપેઝોઇડલ ફોર્મ્યુલા અને સિમ્પસનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને?

સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ ઉચ્ચ ગણિતનો એકદમ મોટો વિભાગ છે અને આ વિષય પરના ગંભીર પાઠ્યપુસ્તકોમાં સેંકડો પૃષ્ઠો છે. વ્યવહારમાં, પરીક્ષણ પેપર પરંપરાગત રીતે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને કેટલીક સમસ્યાઓ હલ કરવાનો પ્રસ્તાવ મૂકે છે, અને સામાન્ય સમસ્યાઓમાંની એક અંદાજિત ગણતરી છે. ચોક્કસ અવિભાજ્ય. આ લેખમાં હું ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની અંદાજિત ગણતરી માટે બે પદ્ધતિઓ જોઈશ - ટ્રેપેઝોઇડ પદ્ધતિઅને સિમ્પસન પદ્ધતિ.

આ પદ્ધતિઓમાં નિપુણતા મેળવવા માટે તમારે શું જાણવાની જરૂર છે? તે રમુજી લાગે છે, પરંતુ તમે સંકલનને બિલકુલ લઈ શકતા નથી. અને તમે એ પણ સમજી શકતા નથી કે અવિભાજ્ય શું છે. તકનીકી માધ્યમથી તમારે માઇક્રોકેલ્ક્યુલેટરની જરૂર પડશે. હા, હા, શાળાની નિયમિત ગણતરીઓ આપણી રાહ જુએ છે. હજી વધુ સારું, ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિ અને સિમ્પસન પદ્ધતિ માટે મારું અર્ધ-સ્વચાલિત કેલ્ક્યુલેટર ડાઉનલોડ કરો. કેલ્ક્યુલેટર એક્સેલમાં લખાયેલું છે અને સમસ્યાઓ ઉકેલવા અને પૂર્ણ કરવા માટે જરૂરી સમય દસ ગણો ઘટાડશે. એક્સેલ ડમીઝ માટે, વિડિઓ મેન્યુઅલ શામેલ છે! માર્ગ દ્વારા, મારા અવાજ સાથે પ્રથમ વિડિઓ રેકોર્ડિંગ.

પ્રથમ, ચાલો આપણી જાતને પૂછીએ: શા માટે આપણને અંદાજિત ગણતરીઓની જરૂર છે? એવું લાગે છે કે તમે ફંક્શનનું એન્ટિડેરિવેટિવ શોધી શકો છો અને ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલના ચોક્કસ મૂલ્યની ગણતરી કરીને, ન્યૂટન-લેબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો. પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, ચાલો તરત જ ચિત્ર સાથેનું ડેમો ઉદાહરણ જોઈએ.

ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો

બધું સારું હશે, પરંતુ આ ઉદાહરણમાં અવિભાજ્ય લેવામાં આવ્યું નથી - તમારી સામે એક અવિભાજ્ય અભિન્ન છે, કહેવાતા અભિન્ન લઘુગણક. શું આ અભિન્ન પણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે? ચાલો ડ્રોઇંગમાં ઇન્ટિગ્રેન્ડ ફંક્શનના ગ્રાફનું નિરૂપણ કરીએ:

બધું બરાબર છે. ઇન્ટિગ્રેંડ સેગમેન્ટ પર સતત હોય છે અને ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલ સંખ્યાત્મક રીતે છાંયેલા વિસ્તારની બરાબર હોય છે. ત્યાં માત્ર એક કેચ છે: અભિન્ન લઈ શકાતું નથી. અને આવા કિસ્સાઓમાં, સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ બચાવમાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, સમસ્યા બે ફોર્મ્યુલેશનમાં થાય છે:

1) ચોક્કસ અવિભાજ્યની આશરે ગણતરી કરો , પરિણામને ચોક્કસ દશાંશ સ્થાન પર રાઉન્ડિંગ. ઉદાહરણ તરીકે, બે દશાંશ સ્થાનો સુધી, ત્રણ દશાંશ સ્થાનો સુધી, વગેરે. ચાલો ધારીએ કે અંદાજિત જવાબ 5.347 છે. વાસ્તવમાં, તે સંપૂર્ણપણે સાચું ન પણ હોઈ શકે (વાસ્તવમાં, કહો, વધુ સચોટ જવાબ 5.343 છે). અમારું કાર્ય છે માત્ર તેપરિણામને ત્રણ દશાંશ સ્થાનો પર રાઉન્ડ કરવા માટે.

2) લગભગ ચોક્કસ અભિન્નની ગણતરી કરો, ચોક્કસ ચોકસાઈ સાથે. ઉદાહરણ તરીકે, લગભગ 0.001 ની ચોકસાઈ સાથે ચોક્કસ અવિભાજ્યની ગણતરી કરો. તેનો અર્થ શું છે? આનો અર્થ એ છે કે આપણે અંદાજિત મૂલ્ય શોધવું જોઈએ મોડ્યુલો (એક રીતે અથવા બીજી રીતે)સત્યથી 0.001 કરતા વધારે અલગ નથી.

ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની અંદાજિત ગણતરી માટે ઘણી મૂળભૂત પદ્ધતિઓ છે જે સમસ્યાઓમાં થાય છે:

એકીકરણ સેગમેન્ટને કેટલાક ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે અને એક સ્ટેપ્ડ આકૃતિ બનાવવામાં આવે છે, જે ઇચ્છિત વિસ્તારની નજીક છે:

રેખાંકનો દ્વારા સખત રીતે નિર્ણય ન કરો, ચોકસાઈ આદર્શ નથી - તે ફક્ત પદ્ધતિઓના સારને સમજવામાં મદદ કરે છે.

વિચાર સમાન છે. એકીકરણ સેગમેન્ટ કેટલાક મધ્યવર્તી ભાગોમાં વિભાજિત થયેલ છે, અને ઇન્ટિગ્રેન્ડ ફંક્શનનો ગ્રાફ નજીક આવે છે તૂટેલી લાઇનરેખા:

આમ, આપણો વિસ્તાર (વાદળી શેડિંગ) ટ્રેપેઝોઇડ્સ (લાલ) ના વિસ્તારોના સરવાળા દ્વારા અંદાજે છે. તેથી પદ્ધતિનું નામ. તે જોવાનું સરળ છે કે ટ્રેપેઝોઇડ પદ્ધતિ લંબચોરસ પદ્ધતિ (પાર્ટીશન વિભાગોની સમાન સંખ્યા સાથે) કરતાં વધુ સારી અંદાજ આપે છે. અને, સ્વાભાવિક રીતે, આપણે જેટલા નાના મધ્યવર્તી ભાગોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, તેટલી વધુ ચોકસાઈ હશે. ટ્રેપેઝોઇડ પદ્ધતિનો વ્યવહારિક કાર્યોમાં સમયાંતરે સામનો કરવામાં આવે છે, અને આ લેખમાં ઘણા ઉદાહરણોની ચર્ચા કરવામાં આવશે.

સિમ્પસનની પદ્ધતિ (પેરાબોલા પદ્ધતિ). આ એક વધુ અદ્યતન પદ્ધતિ છે - ઇન્ટિગ્રેન્ડનો ગ્રાફ તૂટેલી રેખા દ્વારા નહીં, પરંતુ નાના પેરાબોલાસ દ્વારા અંદાજવામાં આવે છે. મધ્યવર્તી ભાગો જેટલા નાના પેરાબોલાસ છે. જો આપણે સમાન ત્રણ સેગમેન્ટ લઈએ, તો સિમ્પસનની પદ્ધતિ લંબચોરસ પદ્ધતિ અથવા ટ્રેપેઝોઈડ પદ્ધતિ કરતાં પણ વધુ સચોટ અંદાજ આપશે.

મને ડ્રોઇંગ બનાવવાનો મુદ્દો દેખાતો નથી, કારણ કે વિઝ્યુઅલ અંદાજ ફંક્શનના ગ્રાફ પર સુપરઇમ્પોઝ કરવામાં આવશે (અગાઉના ફકરાની તૂટેલી લાઇન - અને તે પછી પણ તે લગભગ એકરુપ છે).

સિમ્પસનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ અવિભાજ્યની ગણતરી કરવાની સમસ્યા વ્યવહારમાં સૌથી લોકપ્રિય કાર્ય છે. અને પેરાબોલા પદ્ધતિ પર નોંધપાત્ર ધ્યાન આપવામાં આવશે.

ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?

પ્રથમ, સામાન્ય સૂત્ર. કદાચ તે દરેકને તરત જ સ્પષ્ટ થશે નહીં... હા, કાર્લસન તમારી સાથે છે - વ્યવહારુ ઉદાહરણો બધું સ્પષ્ટ કરશે! શાંત. માત્ર શાંતિ.

ચાલો ચોક્કસ અવિભાજ્યને ધ્યાનમાં લઈએ, જ્યાં અંતરાલ પર સતત કાર્ય છે. ચાલો સેગમેન્ટને વિભાજિત કરીએ સમાનવિભાગો:
. આ કિસ્સામાં, તે સ્પષ્ટ છે: (એકીકરણની નીચલી મર્યાદા) અને (સંકલનની ઉપલી મર્યાદા). પોઈન્ટ તરીકે પણ ઓળખાય છે ગાંઠો.

પછી ચોક્કસ અભિન્ન આશરે ગણતરી કરી શકાય છે ટ્રેપેઝોઇડલ સૂત્ર અનુસાર:
, ક્યાં:
પગલું;
- પોઈન્ટ પર ઈન્ટીગ્રેન્ડના મૂલ્યો .

ઉદાહરણ 1

ટ્રેપેઝોઇડલ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને લગભગ ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો. પરિણામોને ત્રણ દશાંશ સ્થાનો પર રાઉન્ડ કરો.

a) એકીકરણના સેગમેન્ટને 3 ભાગોમાં વિભાજીત કરવું.
b) એકીકરણના સેગમેન્ટને 5 ભાગોમાં વિભાજીત કરવું.

ઉકેલ:
a) ખાસ કરીને ડમીઝ માટે, મેં પ્રથમ બિંદુને ડ્રોઇંગ સાથે જોડ્યું છે જે પદ્ધતિના સિદ્ધાંતને સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે. જો તે મુશ્કેલ હોય, તો તમે ટિપ્પણી કરો છો તેમ ડ્રોઇંગ જુઓ, અહીં તેનો એક ભાગ છે:

શરત અનુસાર, એકીકરણ સેગમેન્ટને 3 ભાગોમાં વિભાજિત કરવું આવશ્યક છે, એટલે કે.
ચાલો દરેક પાર્ટીશન સેગમેન્ટની લંબાઈની ગણતરી કરીએ: . પરિમાણ, હું તમને યાદ કરું છું, તેને પણ કહેવામાં આવે છે પગલું.

કેટલા બિંદુઓ (પાર્ટીશન નોડ્સ) હશે? ત્યાં હશે એક વધુવિભાગોની સંખ્યા કરતાં:

ઠીક છે, ટ્રેપેઝોઇડ્સનું સામાન્ય સૂત્ર એક સુખદ કદમાં ઘટાડવામાં આવે છે:

ગણતરીઓ માટે, તમે નિયમિત માઇક્રોકેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

નોંધ કરો કે, સમસ્યાની શરતો અનુસાર, તમામ ગણતરીઓ 3જી દશાંશ સ્થાન પર ગોળાકાર હોવી જોઈએ.

છેલ્લે:

ભૌમિતિક દૃષ્ટિકોણથી, અમે ત્રણ ટ્રેપેઝોઇડ્સના ક્ષેત્રોના સરવાળાની ગણતરી કરી. (ઉપરનું ચિત્ર જુઓ).

b) ચાલો એકીકરણ સેગમેન્ટને 5 સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ, એટલે કે. આ શા માટે જરૂરી છે? ફોબોસ-ગ્રન્ટને સમુદ્રમાં પડતા અટકાવવા માટે, વિભાગોની સંખ્યામાં વધારો કરીને, અમે ગણતરીઓની ચોકસાઈ વધારીએ છીએ.

જો , તો પછી ટ્રેપેઝોઇડલ સૂત્ર નીચેનું સ્વરૂપ લે છે:

ચાલો પાર્ટીશન સ્ટેપ શોધીએ:
, એટલે કે, દરેક મધ્યવર્તી સેગમેન્ટની લંબાઈ 0.6 છે.

કાર્યને અંતિમ સ્વરૂપ આપતી વખતે, ગણતરી કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને તમામ ગણતરીઓને ઔપચારિક બનાવવાનું અનુકૂળ છે:

પ્રથમ લાઇનમાં આપણે "કાઉન્ટર" લખીએ છીએ

મને લાગે છે કે દરેક વ્યક્તિ જોઈ શકે છે કે બીજી લાઇન કેવી રીતે રચાય છે - પ્રથમ આપણે એકીકરણની નીચલી મર્યાદા લખીએ છીએ, બાકીના મૂલ્યો ક્રમિક રીતે ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે.

મને લાગે છે કે લગભગ દરેક જણ તે સિદ્ધાંતને સમજે છે જેના દ્વારા નીચેની લાઇન ભરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો, પછી . જેમ તેઓ કહે છે, ગણતરી કરો, આળસુ ન બનો.

પરિણામ સ્વરૂપ:

ઠીક છે, ત્યાં ખરેખર એક સ્પષ્ટતા છે, અને એક ગંભીર છે! જો પાર્ટીશનના 3 સેગમેન્ટ્સ માટે અંદાજિત મૂલ્ય હતું, તો પછી 5 સેગમેન્ટ્સ માટે. આમ, ઉચ્ચ આત્મવિશ્વાસ સાથે આપણે કહી શકીએ કે, ઓછામાં ઓછું.

ઉદાહરણ 2

બે દશાંશ સ્થાનો (0.01 સુધી) માટે સચોટ ટ્રેપેઝોઇડલ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને અંદાજે ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો.

ઉકેલ:લગભગ સમાન કાર્ય, પરંતુ થોડી અલગ રચનામાં. ઉદાહરણ 1 થી મૂળભૂત તફાવત એ છે કે આપણે અમને ખબર નથી, બે સાચા દશાંશ સ્થાનો મેળવવા માટે આપણે એકીકરણ સેગમેન્ટને કેટલા સેગમેન્ટમાં વિભાજિત કરવું જોઈએ? બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે તેનો અર્થ જાણતા નથી.

ત્યાં એક વિશિષ્ટ સૂત્ર છે જે તમને જરૂરી ચોકસાઈની બાંયધરી આપવા માટે પાર્ટીશન સેગમેન્ટ્સની સંખ્યા નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે, પરંતુ વ્યવહારમાં તેને લાગુ કરવું ઘણીવાર મુશ્કેલ હોય છે. તેથી, સરળ અભિગમનો ઉપયોગ કરવો ફાયદાકારક છે.

પ્રથમ, એકીકરણ સેગમેન્ટને કેટલાક મોટા ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે, સામાન્ય રીતે 2-3-4-5. ચાલો એકીકરણના સેગમેન્ટને વિભાજીત કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, સમાન 5 ભાગોમાં. સૂત્ર પહેલેથી જ પરિચિત છે:

અને પગલું, અલબત્ત, પણ જાણીતું છે:

પરંતુ બીજો પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: પરિણામોને કયા અંક સુધી ગોળાકાર કરવા જોઈએ? કેટલા દશાંશ સ્થાનો છોડવા તે વિશે શરત કંઈ કહેતી નથી. સામાન્ય ભલામણ છે: તમારે જરૂરી ચોકસાઈમાં 2-3 અંકો ઉમેરવાની જરૂર છે. આ કિસ્સામાં, જરૂરી ચોકસાઈ 0.01 છે. ભલામણ મુજબ, દશાંશ બિંદુ પછી આપણે દશાંશ બિંદુ પછી પાંચ અક્ષરો છોડીશું (ચાર શક્ય હતા):

પરિણામ સ્વરૂપ:
, ચાલો દ્વારા અંદાજ દર્શાવીએ.

પ્રાથમિક પરિણામ પછી, વિભાગોની સંખ્યા ડબલ. આ કિસ્સામાં, તેને 10 ભાગોમાં વિભાજિત કરવું જરૂરી છે. અને જ્યારે સેગમેન્ટ્સની સંખ્યા વધે છે, ત્યારે મગજમાં એક તેજસ્વી વિચાર આવે છે કે હું માઇક્રોકેલ્ક્યુલેટર પર આંગળીઓ ઉઠાવીને કંટાળી ગયો છું. તેથી, હું ફરી એકવાર મારા અર્ધ-સ્વચાલિત કેલ્ક્યુલેટરને ડાઉનલોડ કરવા અને તેનો ઉપયોગ કરવાનું સૂચન કરું છું (પાઠની શરૂઆતમાં લિંક).

ટ્રેપેઝોઇડ ફોર્મ્યુલા માટે નીચેનું સ્વરૂપ લે છે:

પેપર વર્ઝનમાં, એન્ટ્રી સુરક્ષિત રીતે આગલી લાઇનમાં ખસેડી શકાય છે.

ચાલો પાર્ટીશન સ્ટેપની ગણતરી કરીએ:

ચાલો કોષ્ટકમાં ગણતરીના પરિણામોનો સારાંશ આપીએ:


જ્યારે નોટબુકમાં સમાપ્ત થાય, ત્યારે લાંબા ટેબલને બે માળના ટેબલમાં ફેરવવું ફાયદાકારક છે.

પરિણામ સ્વરૂપ:

હવે ચાલો અંદાજો વચ્ચેની વિસંગતતાની ગણતરી કરીએ:

અહીં આપણે મોડ્યુલસ ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, કારણ કે અમને રસ છે સંપૂર્ણ તફાવત, અને એવું નથી કે કયું પરિણામ વધારે છે અને કયું ઓછું છે.

આગળની ક્રિયાઓ માટે, મેં વ્યક્તિગત રીતે વ્યવહારમાં 2 ઉકેલો મેળવ્યા છે:

1) પ્રથમ પદ્ધતિ "હેડ-ઓન કમ્પેરિઝન" છે. પરિણામી ભૂલ અંદાજ થી વધુજરૂરી ચોકસાઈ કરતાં: , પછી પાર્ટીશનના સેગમેન્ટની સંખ્યાને ફરી એક વખત બમણી કરવી અને ગણતરી કરવી જરૂરી છે. એક્સેલ કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને, તમે થોડીક સેકંડમાં સમાપ્ત પરિણામ મેળવી શકો છો: . હવે અમે ફરીથી ભૂલનો અંદાજ લગાવીએ છીએ: . સ્કોર મેળવ્યો ઓછુંજરૂરી ચોકસાઈ કરતાં: તેથી, ગણતરીઓ પૂર્ણ થાય છે. જે બાકી છે તે છેલ્લું (સૌથી સચોટ) પરિણામને બે દશાંશ સ્થાનો પર રાઉન્ડ કરવાનું અને જવાબ આપવાનું છે.

2) અન્ય, વધુ અસરકારક પદ્ધતિ કહેવાતા ઉપયોગ પર આધારિત છે રંજના નિયમો, જે મુજબ આપણે ચોક્કસ અવિભાજ્યનું અનુમાન કરવામાં ભૂલ કરીએ છીએ. અમારી સમસ્યામાં: આમ, ગણતરીની જરૂર નથી. જો કે, આ કિસ્સામાં ઉકેલની ઝડપ ચોકસાઈના ખર્ચે આવી હતી: . તેમ છતાં, આ પરિણામ સ્વીકાર્ય છે, કારણ કે અમારી "ભૂલ માટેની મર્યાદા" બરાબર એકસોમું છે.

શું પસંદ કરવું? તમારી શિક્ષણ પદ્ધતિ અથવા શિક્ષકની પસંદગીઓ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરો.

જવાબ: 0.01 સુધી સચોટ (રંજના નિયમનો ઉપયોગ કરીને).

ઉદાહરણ 3

0.001 ની સચોટતા સાથે ટ્રેપેઝોઇડલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અંદાજે ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો.

અહીં ફરીથી એક અવિભાજ્ય અભિન્ન (લગભગ અવિભાજ્ય કોસાઇન) છે. નમૂનાના ઉકેલમાં, પ્રથમ પગલું 4 ભાગોમાં વહેંચાયેલું છે, એટલે કે. સંપૂર્ણ ઉકેલ અને પાઠના અંતે અંતિમ ડિઝાઇનનો અંદાજિત નમૂનો.

સિમ્પસનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ પૂર્ણાંકની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?

જો તમે આ પૃષ્ઠ પર ફક્ત સિમ્પસન પદ્ધતિ શોધી રહ્યાં હોવ, તો હું ભારપૂર્વક ભલામણ કરું છું કે તમે પહેલા પાઠની શરૂઆત વાંચો અને ઓછામાં ઓછું પ્રથમ ઉદાહરણ જુઓ. કારણ કે ઘણા વિચારો અને તકનીકો ટ્રેપેઝોઇડ પદ્ધતિ જેવી જ હશે.

ફરીથી, ચાલો સામાન્ય સૂત્ર સાથે પ્રારંભ કરીએ
ચાલો ચોક્કસ અવિભાજ્યને ધ્યાનમાં લઈએ, જ્યાં અંતરાલ પર સતત કાર્ય છે. ચાલો સેગમેન્ટને વિભાજિત કરીએ સમજથ્થો સમાનસેગમેન્ટ્સ વિભાગોની એક સમાન સંખ્યા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

વ્યવહારમાં, વિભાગો આ હોઈ શકે છે:
બે:
ચાર:
આઠ:
દસ:
વીસ:
મને અન્ય કોઈ વિકલ્પો યાદ નથી.

ધ્યાન આપો!નંબરને સિંગલ નંબર તરીકે સમજવામાં આવે છે. તે જ, તે પ્રતિબંધિત છેઘટાડવું, ઉદાહરણ તરીકે, બે દ્વારા, મેળવવું. રેકોર્ડ માત્ર માટે વપરાય છે, કે સેગમેન્ટ્સની સંખ્યા સમ. અને તેમાં કોઈ ઘટાડો કરવાની કોઈ વાત નથી

તેથી, અમારું પાર્ટીશન આના જેવું દેખાય છે:

શરતો ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિની સમાન છે:
પોઈન્ટ કહેવાય છે ગાંઠો.

સિમ્પસનનું સૂત્રચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલની અંદાજિત ગણતરી માટે નીચેનું સ્વરૂપ છે:
, ક્યાં:
- દરેક નાના સેગમેન્ટની લંબાઈ અથવા પગલું;
- પોઈન્ટ પર ઈન્ટિગ્રેન્ડના મૂલ્યો.

આ ઢગલાની વિગતો આપતાં, હું સૂત્રનું વધુ વિગતમાં વિશ્લેષણ કરીશ:
- ઇન્ટિગ્રેન્ડના પ્રથમ અને છેલ્લા મૂલ્યોનો સરવાળો;
- સાથે શરતોનો સરવાળો સમઅનુક્રમણિકાઓ 2 દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે;
- સાથે શરતોનો સરવાળો એકીઅનુક્રમણિકાઓને 4 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 4

0.001 ની સચોટતા સાથે સિમ્પસનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને લગભગ ચોક્કસ પૂર્ણાંકની ગણતરી કરો. બે વિભાગો સાથે વિભાજન શરૂ કરો

અભિન્ન, માર્ગ દ્વારા, ફરીથી અદ્રાવ્ય છે.

ઉકેલ:હું તરત જ તમારું ધ્યાન કાર્યના પ્રકાર તરફ દોરું છું - ચોક્કસ અભિન્ન ગણતરી કરવી જરૂરી છે ચોક્કસ ચોકસાઈ સાથે. આનો અર્થ શું છે તે લેખની શરૂઆતમાં પહેલેથી જ ટિપ્પણી કરવામાં આવી છે, તેમજ અગાઉના ફકરામાં ચોક્કસ ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને. ટ્રેપેઝોઇડ પદ્ધતિની જેમ, ત્યાં એક સૂત્ર છે જે તમને જરૂરી ચોકસાઈની બાંયધરી આપવા માટે તરત જ જરૂરી સંખ્યામાં સેગમેન્ટ્સ ("en" મૂલ્ય) નક્કી કરવાની મંજૂરી આપશે. સાચું, તમારે ચોથું વ્યુત્પન્ન શોધવું પડશે અને આત્યંતિક સમસ્યા હલ કરવી પડશે. જેઓ મારો મતલબ સમજી ગયા અને કામની રકમની પ્રશંસા કરી, તેઓ હસ્યા. જો કે, આ કોઈ હાસ્યજનક બાબત નથી; આવા સંકલિત કાર્યનું ચોથું વ્યુત્પન્ન શોધવું હવે મેગા-નર્ડ નહીં, પરંતુ ક્લિનિકલ સાયકોપેથ હશે. તેથી, વ્યવહારમાં, એક સરળ ભૂલ અંદાજ પદ્ધતિ લગભગ હંમેશા ઉપયોગમાં લેવાય છે.

ચાલો નક્કી કરવાનું શરૂ કરીએ. જો આપણી પાસે પાર્ટીશનના બે સેગમેન્ટ હોય, તો ત્યાં નોડ્સ હશે એક વધુ: . અને સિમ્પસનનું સૂત્ર ખૂબ જ કોમ્પેક્ટ સ્વરૂપ લે છે:

ચાલો પાર્ટીશન સ્ટેપની ગણતરી કરીએ:

ચાલો ગણતરી કોષ્ટક ભરીએ:

ટેબલ કેવી રીતે ભરાય છે તેના પર મને ફરી એકવાર ટિપ્પણી કરવા દો:

ટોચની લાઇનમાં આપણે અનુક્રમણિકાઓનું "કાઉન્ટર" લખીએ છીએ

બીજી પંક્તિમાં, આપણે પહેલા એકીકરણની નીચલી મર્યાદા લખીએ છીએ, અને પછી ક્રમિક રીતે પગલું ઉમેરીએ છીએ.

ત્રીજી લાઇનમાં આપણે ઇન્ટિગ્રેન્ડના મૂલ્યો દાખલ કરીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, જો , તો . મારે કેટલા દશાંશ સ્થાનો છોડવા જોઈએ?ખરેખર, શરત ફરીથી આ વિશે કશું કહેતી નથી. સિદ્ધાંત ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિની જેમ જ છે, અમે જરૂરી ચોકસાઈ જોઈએ છીએ: 0.001. અને વધારાના 2-3 અંકો ઉમેરો. એટલે કે, તમારે 5-6 દશાંશ સ્થાનો પર રાઉન્ડ કરવાની જરૂર છે.

પરિણામ સ્વરૂપ:

પ્રાથમિક પરિણામ આવ્યું છે. હવે ડબલચાર સુધીના વિભાગોની સંખ્યા: . આ પાર્ટીશન માટે સિમ્પસનનું સૂત્ર નીચેનું સ્વરૂપ લે છે:

ચાલો પાર્ટીશન સ્ટેપની ગણતરી કરીએ:

ચાલો ગણતરી કોષ્ટક ભરીએ:


આમ:

ચાલો અંદાજો વચ્ચેના તફાવતનું ચોક્કસ મૂલ્ય શોધીએ:

સિમ્પસનની પદ્ધતિ માટે રંજનો નિયમ ખૂબ જ સ્વાદિષ્ટ છે. જો ઉપયોગ કરતી વખતે મધ્યમ લંબચોરસ પદ્ધતિઅને ટ્રેપેઝોઇડ પદ્ધતિમાં આપણને ત્રીજા ભાગનો "ભોગ" આપવામાં આવે છે, પરંતુ હવે - એક પંદરમા જેટલો:
, અને અહીં ચોકસાઈ હવે પીડાય નથી:

પરંતુ ચિત્ર પૂર્ણ કરવા માટે, હું એક "સરળ" ઉકેલ પણ આપીશ, જ્યાં તમારે એક વધારાનું પગલું ભરવું પડશે: કારણ કે ત્યાં વધુ ચોકસાઈની જરૂર છે: , પછી સેગમેન્ટ્સની સંખ્યાને ફરીથી બમણી કરવી જરૂરી છે: .

સિમ્પસનનું સૂત્ર કૂદકે ને ભૂસકે વધી રહ્યું છે:

ચાલો પગલાની ગણતરી કરીએ:

અને ફરીથી ગણતરી કોષ્ટક ભરો:

આમ:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અહીં ગણતરીઓનું વધુ વિગતમાં વર્ણન કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, કારણ કે સિમ્પસનનું સૂત્ર ખૂબ જ બોજારૂપ છે, અને જો તમે તરત જ બેંગ કરો છો:
, તો આ દારૂ હેક વર્ક જેવો દેખાશે. અને વધુ વિગતવાર નોંધ સાથે, શિક્ષકની સારી છાપ હશે કે તમે એક સારા કલાક માટે માઇક્રોકેલ્ક્યુલેટરની ચાવીઓ પ્રમાણિકપણે ભૂંસી નાખી છે. મારા કેલ્ક્યુલેટરમાં "હાર્ડ" કેસ માટે વિગતવાર ગણતરીઓ ઉપલબ્ધ છે.

અમે ભૂલનો અંદાજ લગાવીએ છીએ:

ભૂલ જરૂરી ચોકસાઈ કરતા ઓછી છે: . જે બાકી રહે છે તે સૌથી સચોટ અંદાજ લેવાનું છે, તેને ત્રણ દશાંશ સ્થાનો પર રાઉન્ડ કરો અને લખો:

જવાબ આપો: 0.001 સુધી સચોટ

ઉદાહરણ 5

0.0001 ની સચોટતા સાથે સિમ્પસનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને લગભગ ચોક્કસ પૂર્ણાંકની ગણતરી કરો. બે વિભાગો સાથે વિભાજન શરૂ કરો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે જાતે જ હલ કરી શકો છો. અંતિમ ડિઝાઇનનો અંદાજિત નમૂનો અને પાઠના અંતે જવાબ.

પાઠના અંતિમ ભાગમાં, અમે થોડા વધુ સામાન્ય ઉદાહરણો જોઈશું.

ઉદાહરણ 6

ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલના અંદાજિત મૂલ્યની ગણતરી કરો સિમ્પસનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, એકીકરણ સેગમેન્ટને 10 ભાગોમાં વિભાજીત કરીને. ગણતરીઓ ત્રીજા દશાંશ સ્થાન પર ચોક્કસ હોવી જોઈએ.

આજે આપણે સંખ્યાત્મક એકીકરણની બીજી પદ્ધતિ, ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિથી પરિચિત થઈશું. તેની મદદથી, અમે આપેલ ચોકસાઈની ડિગ્રી સાથે ચોક્કસ પૂર્ણાંકોની ગણતરી કરીશું. લેખમાં આપણે ટ્રેપેઝોઈડ પદ્ધતિના સારનું વર્ણન કરીશું, સૂત્ર કેવી રીતે મેળવ્યું છે તેનું વિશ્લેષણ કરીશું, લંબચોરસ પદ્ધતિ સાથે ટ્રેપેઝોઈડ પદ્ધતિની તુલના કરીશું અને પદ્ધતિની સંપૂર્ણ ભૂલનો અંદાજ લખીશું. સામગ્રીની ઊંડી સમજ માટે અમે દરેક વિભાગને ઉદાહરણો સાથે સમજાવીશું.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ધારો કે આપણે ચોક્કસ પૂર્ણાંક ∫ a b f (x) d x ની અંદાજે ગણતરી કરવાની જરૂર છે, જેનો પૂર્ણાંક y = f (x) અંતરાલ પર સતત છે [ a ; b] આ કરવા માટે, સેગમેન્ટને વિભાજીત કરો [a; b ] બિંદુઓ a = x 0 સાથે h લંબાઈના કેટલાક સમાન અંતરાલોમાં< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

ચાલો પાર્ટીશન સ્ટેપ શોધીએ: h = b - a n. ચાલો સમાનતા x i = a + i · h, i = 0, 1, માંથી ગાંઠો નક્કી કરીએ. . . , એન.

પ્રાથમિક વિભાગો પર આપણે ઇન્ટિગ્રેન્ડ ફંક્શન x i - 1 ને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ; x i, i = 1, 2, . . , એન.

જેમ જેમ n અનંતપણે વધે છે, અમે તમામ કેસોને ચાર સરળ વિકલ્પોમાં ઘટાડીશું:

ચાલો x i - 1 સેગમેન્ટ્સ પસંદ કરીએ; x i, i = 1, 2, . . . , એન. ચાલો દરેક ગ્રાફ પરના ફંક્શન y = f (x) ને એક સીધી રેખા સેગમેન્ટ સાથે બદલીએ જે કોઓર્ડિનેટ્સ x i - 1 સાથેના બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે; f x i - 1 અને x i ; f x i . ચાલો તેમને ચિત્રોમાં વાદળી રંગમાં ચિહ્નિત કરીએ.

ચાલો f (x i - 1) + f (x i) 2 · h અભિન્ન ∫ x i - 1 x i f (x) d x ના અંદાજિત મૂલ્ય તરીકે લઈએ. તે. ચાલો ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h લઈએ.

ચાલો જોઈએ કે આપણે જે સંખ્યાત્મક એકીકરણ પદ્ધતિનો અભ્યાસ કરી રહ્યા છીએ તેને ટ્રેપેઝોઈડલ પદ્ધતિ શા માટે કહેવામાં આવે છે. આ કરવા માટે, આપણે ભૌમિતિક દૃષ્ટિકોણથી લેખિત અંદાજિત સમાનતાનો અર્થ શું છે તે શોધવાની જરૂર છે.

ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, તેના પાયાના અડધા સરવાળાને તેની ઊંચાઈથી ગુણાકાર કરવો જરૂરી છે. પ્રથમ કિસ્સામાં, વક્ર ટ્રેપેઝોઇડનું ક્ષેત્રફળ લગભગ f (x i - 1), f (x i) ઊંચાઈ h સાથેના ટ્રેપેઝોઇડ જેટલું છે. ચોથા કેસમાં આપણે વિચારી રહ્યા છીએ, આપેલ અભિન્ન ∫ x i - 1 x f (x) d x લગભગ પાયા - f (x i - 1), - f (x i) અને ઊંચાઈવાળા ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે. h, જે "-" ચિહ્ન સાથે લેવું આવશ્યક છે. ધ્યાનમાં લેવાયેલા બીજા અને ત્રીજા કેસમાં ચોક્કસ અભિન્ન ∫ x i - 1 x i f (x) d x ના અંદાજિત મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે, આપણે લાલ અને વાદળી પ્રદેશોના ક્ષેત્રોમાં તફાવત શોધવાની જરૂર છે, જેને આપણે ચિહ્નિત કર્યા છે. નીચેની આકૃતિમાં હેચિંગ.

ચાલો સારાંશ આપીએ. ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિનો સાર નીચે મુજબ છે: અમે ચોક્કસ અભિન્ન ∫ a b f (x) d x ને દરેક પ્રાથમિક સેગમેન્ટ પર અને અનુગામી અંદાજિત રિપ્લેસમેન્ટ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ફોર્મના પૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકીએ છીએ. x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h.

ટ્રેપેઝોઇડ પદ્ધતિ સૂત્ર

ચાલો નિશ્ચિત અભિન્ન અંગની પાંચમી મિલકત યાદ કરીએ: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિનું સૂત્ર મેળવવા માટે, પૂર્ણાંક ∫ x i - 1 x i f (x) d x: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ની જગ્યાએ તેમના અંદાજિત મૂલ્યોને બદલવાની જરૂર છે. ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f ( x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

વ્યાખ્યા 1

ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિ સૂત્ર:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિની સંપૂર્ણ ભૂલનો અંદાજ

ચાલો નીચે પ્રમાણે ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિની સંપૂર્ણ ભૂલનો અંદાજ કાઢીએ:

વ્યાખ્યા 2

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2

ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિનું ગ્રાફિક ચિત્ર આકૃતિમાં બતાવવામાં આવ્યું છે:

ગણતરી ઉદાહરણો

ચાલો ચોક્કસ પૂર્ણાંકોની અંદાજિત ગણતરી માટે ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણો જોઈએ. અમે બે પ્રકારના કાર્યો પર વિશેષ ધ્યાન આપીશું:

• સેગમેન્ટ n ના આપેલ પાર્ટીશન નંબર માટે ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિ દ્વારા ચોક્કસ અવિભાજ્યની ગણતરી;
• નિર્દિષ્ટ ચોકસાઈ સાથે ચોક્કસ ઈન્ટિગ્રલનું અંદાજિત મૂલ્ય શોધવું.

આપેલ n માટે, તમામ મધ્યવર્તી ગણતરીઓ પર્યાપ્ત ઉચ્ચ સ્તરની ચોકસાઈ સાથે હાથ ધરવામાં આવશ્યક છે. ગણતરીઓની ચોકસાઈ વધારે હોવી જોઈએ, મોટી એન.

જો આપણી પાસે ચોક્કસ અવિભાજ્યની ગણતરીમાં આપેલ ચોકસાઈ હોય, તો પછી તમામ મધ્યવર્તી ગણતરીઓ વધુ સચોટતાના બે કે તેથી વધુ ક્રમમાં થવી જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, જો ચોકસાઈ 0.01 પર સેટ કરેલ હોય, તો અમે 0.0001 અથવા 0.00001 ની ચોકસાઈ સાથે મધ્યવર્તી ગણતરીઓ કરીએ છીએ. મોટા n માટે, મધ્યવર્તી ગણતરીઓ પણ વધુ સચોટતા સાથે હાથ ધરવામાં આવશ્યક છે.

ચાલો ઉપરના નિયમને ઉદાહરણ સાથે જોઈએ. આ કરવા માટે, ન્યુટન-લીબનીઝ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરાયેલ અને ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ ચોક્કસ અભિન્ન મૂલ્યોની તુલના કરો.

તેથી, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9, 613805.

ઉદાહરણ 1

ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે 10 ની બરાબર n માટે ચોક્કસ અભિન્ન ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x ની ગણતરી કરીએ છીએ.

ઉકેલ

ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિ માટેનું સૂત્ર છે ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

સૂત્ર લાગુ કરવા માટે, આપણે h = b - a n સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પગલા h ની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, નોડ્સ x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n, integrand ફંક્શન f (x) = 7 x 2 + 1 ના મૂલ્યોની ગણતરી કરો.

પાર્ટીશનનું પગલું નીચે પ્રમાણે ગણવામાં આવે છે: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0. 5 ગાંઠો x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n આપણે ચાર દશાંશ સ્થાનો લઈશું:

i = 0: x 0 = 0 + 0 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0 5 ⇒ f (x 1) = f (0. 5) = 7 0. 5 2 + 1 = 5. 6. . . i = 10: x 10 = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0, 2692

ચાલો કોષ્ટકમાં ગણતરીના પરિણામો દાખલ કરીએ:

ચાલો પ્રાપ્ત મૂલ્યોને ટ્રેપેઝોઈડલ પદ્ધતિના સૂત્રમાં બદલીએ: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0, 5 2 7 + 2 5.6 + 3.5 + 2.1538 + 1.4 + 0.9655 + 0.7 + 0.5283 + 0.4117 + 0.3294 + 0.2692 = 9.6117

ચાલો અમારા પરિણામોની તુલના ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ પરિણામો સાથે કરીએ. પ્રાપ્ત મૂલ્યો સોમાં એકરુપ છે.

જવાબ:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117

ઉદાહરણ 2

ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે 0.01 ની ચોકસાઈ સાથે ચોક્કસ અભિન્ન ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ની કિંમતની ગણતરી કરીએ છીએ.

ઉકેલ

સમસ્યાની સ્થિતિ અનુસાર a = 1; b = 2 , f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; δn ≤ 0.01.

ચાલો આપણે n શોધીએ, જે સંપૂર્ણ ભૂલ δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 . આપણે આ નીચે પ્રમાણે કરીશું: આપણે n ના મૂલ્યો શોધીશું જેના માટે અસમાનતા m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0.01. n જોતાં, ટ્રેપેઝોઇડલ સૂત્ર આપણને આપેલ ચોકસાઈ સાથે ચોક્કસ પૂર્ણાંકનું અંદાજિત મૂલ્ય આપશે.

પ્રથમ, ચાલો અંતરાલ [ 1 ; 2].

f " (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 " = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

બીજું વ્યુત્પન્ન કાર્ય એ ચતુર્ભુજ પેરાબોલા f "" (x) = x 2 છે. તેના ગુણધર્મો પરથી આપણે જાણીએ છીએ કે તે હકારાત્મક છે અને અંતરાલ પર વધે છે [1; 2]. આ સંદર્ભે, m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .

આપેલ ઉદાહરણમાં, m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) એકદમ સરળ બહાર આવ્યું. જટિલ કેસોમાં, તમે ગણતરીઓ કરવા માટે ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરી શકો છો. આ ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લીધા પછી, અમે m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .

ચાલો પરિણામી મૂલ્યને અસમાનતામાં બદલીએ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0.01

4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0.01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5.7735

પ્રાથમિક અંતરાલોની સંખ્યા જેમાં એકીકરણ સેગમેન્ટ n ને વિભાજિત કરવામાં આવે છે તે કુદરતી સંખ્યા છે. ગણતરીની વર્તણૂક માટે, આપણે n બરાબર છ લઈએ છીએ. n નું આ મૂલ્ય અમને ન્યૂનતમ ગણતરીઓ સાથે ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિની સ્પષ્ટ ચોકસાઈ પ્રાપ્ત કરવાની મંજૂરી આપશે.

ચાલો પગલાની ગણતરી કરીએ: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .

ચાલો ગાંઠો શોધીએ x i = a + i · h, i = 1, 0, . . . , n , અમે આ ગાંઠો પર ઇન્ટિગ્રેન્ડના મૂલ્યો નક્કી કરીએ છીએ:

i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0, 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 1 6 = 7 6 ⇒ f (x 1) = f 7 6 = 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0.5266. . . i = 6: x 10 = 1 + 6 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1.9833

અમે ગણતરીના પરિણામો કોષ્ટકના રૂપમાં લખીએ છીએ:

ચાલો ટ્રેપેઝોઇડલ ફોર્મ્યુલામાં પ્રાપ્ત પરિણામોને બદલીએ:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0, 4 + 2 0.5266 + 0.6911 + 0.9052 + 1.1819 + 1.5359 + 1.9833 ≈ 1.0054

સરખામણી કરવા માટે, અમે ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મૂળ અભિન્નની ગણતરી કરીએ છીએ:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અમે ગણતરીની ચોકસાઈ પ્રાપ્ત કરી છે.

જવાબ: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1.0054

જટિલ સ્વરૂપના સંકલન માટે, સંપૂર્ણ ભૂલનો અંદાજ કાઢવા માટે અસમાનતામાંથી નંબર n શોધવો હંમેશા સરળ નથી. આ કિસ્સામાં, નીચેની પદ્ધતિ યોગ્ય રહેશે.

ચાલો ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનું અંદાજિત મૂલ્ય દર્શાવીએ, જે n નોડ્સ માટે ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવ્યું હતું, જેમ કે I n. ચાલો મનસ્વી સંખ્યા n પસંદ કરીએ. ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે સિંગલ (n = 10) અને ડબલ (n = 20) ગાંઠોની સંખ્યા માટે પ્રારંભિક પૂર્ણાંકની ગણતરી કરીએ છીએ અને બે પ્રાપ્ત અંદાજિત મૂલ્યો I 20 વચ્ચેના તફાવતનું ચોક્કસ મૂલ્ય શોધીએ છીએ - હું 10.

જો બે પ્રાપ્ત અંદાજિત મૂલ્યો વચ્ચેના તફાવતનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય જરૂરી ચોકસાઈ I 20 - I 10 કરતાં ઓછું હોય< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

જો બે પ્રાપ્ત અંદાજિત મૂલ્યો વચ્ચેના તફાવતનું ચોક્કસ મૂલ્ય જરૂરી ચોકસાઈ કરતા વધારે હોય, તો પછી ગાંઠોની બમણી સંખ્યા (n = 40) સાથે પગલાંઓનું પુનરાવર્તન કરવું જરૂરી છે.

આ પદ્ધતિમાં મોટી માત્રામાં ગણતરીઓની જરૂર પડે છે, તેથી સમય બચાવવા માટે કોમ્પ્યુટર ટેક્નોલોજીનો ઉપયોગ કરવો તે મુજબની છે.

ચાલો ઉપરોક્ત અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યા હલ કરીએ. સમય બચાવવા માટે, અમે ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મધ્યવર્તી ગણતરીઓને છોડી દઈશું.

ઉદાહરણ 3

0.001 ની ચોકસાઈ સાથે ટ્રેપેઝોઈડલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ અભિન્ન ∫ 0 2 x e x d x ની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

ઉકેલ

ચાલો n બરાબર 10 અને 20 લઈએ. ટ્રેપેઝોઇડલ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને, અમે I 10 = 8.4595380, I 20 = 8.4066906 મેળવીએ છીએ.

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, જેને વધુ ગણતરીઓની જરૂર છે.

ચાલો n બરાબર 40 લઈએ: I 40 = 8, 3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, જેના માટે સતત ગણતરીઓ પણ જરૂરી છે.

ચાલો n બરાબર 80 લઈએ: I 80 = 8, 3901585.

I 80 - I 40 = 8.3901585 - 8.3934656 = 0.0033071 > 0.001, જેને નોડ્સની સંખ્યાના બીજા બમણા કરવાની જરૂર છે.

ચાલો n બરાબર 160 લઈએ: I 160 = 8, 3893317.

I 160 - I 80 = 8.3893317 - 8.3901585 = 0.0008268< 0 , 001

મૂળ ઇન્ટિગ્રલનું અંદાજિત મૂલ્ય I 160 = 8, 3893317 થી હજારમા ભાગ સુધી ગોળાકાર કરીને મેળવી શકાય છે: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389.

સરખામણી માટે, ચાલો ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મૂળ ચોક્કસ પૂર્ણાંકની ગણતરી કરીએ: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8, 3890561. જરૂરી ચોકસાઈ હાંસલ કરવામાં આવી છે.

જવાબ: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389

ભૂલો

ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનું મૂલ્ય નક્કી કરવા માટે મધ્યવર્તી ગણતરીઓ મોટે ભાગે અંદાજે હાથ ધરવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે જેમ જેમ n વધે છે, ગણતરીની ભૂલ એકઠા થવાનું શરૂ થાય છે.

ચાલો ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિ અને સરેરાશ લંબચોરસ પદ્ધતિની સંપૂર્ણ ભૂલોના અંદાજોની તુલના કરીએ:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 24 n 2 .

કોમ્પ્યુટેશનલ કાર્યની સમાન રકમ સાથે આપેલ n માટે લંબચોરસ પદ્ધતિ અડધી ભૂલ આપે છે. આ પદ્ધતિને એવા કિસ્સાઓમાં વધુ પ્રાધાન્યક્ષમ બનાવે છે કે જ્યાં પ્રાથમિક સેગમેન્ટના મધ્ય સેગમેન્ટમાં ફંક્શનના મૂલ્યો જાણીતા છે.

એવા કિસ્સાઓમાં જ્યાં એકીકૃત કરવાના કાર્યો વિશ્લેષણાત્મક રીતે ઉલ્લેખિત નથી, પરંતુ નોડ્સ પર મૂલ્યોના સમૂહ તરીકે, અમે ટ્રેપેઝોઇડલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

જો આપણે ટ્રેપેઝોઇડ પદ્ધતિ અને જમણી અને ડાબી લંબચોરસ પદ્ધતિની ચોકસાઈની તુલના કરીએ, તો પરિણામની ચોકસાઈમાં પ્રથમ પદ્ધતિ બીજી કરતાં શ્રેષ્ઠ છે.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો