ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણ ઉકેલો. ક્રેમરનો નિયમ

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં સ્વતંત્ર ચલોની સંખ્યા જેટલા સમીકરણો હોવા દો, એટલે કે. જેવો દેખાય છે

રેખીય સમીકરણોની આવી પ્રણાલીઓને ચતુર્ભુજ કહેવામાં આવે છે. સિસ્ટમના સ્વતંત્ર ચલો (1.5) માટે ગુણાંકથી બનેલા નિર્ણાયકને સિસ્ટમનો મુખ્ય નિર્ણાયક કહેવામાં આવે છે. અમે તેને ગ્રીક અક્ષર ડી દ્વારા દર્શાવીશું. આમ,

. (1.6)

જો મુખ્ય નિર્ણાયકમાં મનસ્વી ( j th) કૉલમ, સિસ્ટમની મફત શરતોની કૉલમ સાથે બદલો (1.5), પછી તમે મેળવી શકો છો nસહાયક લાયકાત:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

ક્રેમરનો નિયમરેખીય સમીકરણોની ચતુર્ભુજ પ્રણાલીઓનું નિરાકરણ નીચે મુજબ છે. જો સિસ્ટમનો મુખ્ય નિર્ણાયક D (1.5) શૂન્યથી અલગ હોય, તો સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે, જે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

(1.8)

ઉદાહરણ 1.5.ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

.

ચાલો સિસ્ટમના મુખ્ય નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ:

D¹0 થી, સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે, જે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે (1.8):

આમ,

મેટ્રિસિસ પરની ક્રિયાઓ

1. સંખ્યા વડે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર.મેટ્રિક્સને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની ક્રિયા નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.

2. મેટ્રિક્સને સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે તેના તમામ ઘટકોને આ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. એટલે કે

. (1.9)

ઉદાહરણ 1.6. .

મેટ્રિક્સ ઉમેરો.

આ ઑપરેશન માત્ર સમાન ક્રમના મેટ્રિસિસ માટે રજૂ કરવામાં આવ્યું છે.

બે મેટ્રિક્સ ઉમેરવા માટે, એક મેટ્રિક્સના ઘટકોમાં બીજા મેટ્રિક્સના અનુરૂપ ઘટકો ઉમેરવા જરૂરી છે:

(1.10)
મેટ્રિક્સ એડિશનની કામગીરીમાં સહયોગીતા અને કોમ્યુટેટીવીટીના ગુણધર્મો છે.

ઉદાહરણ 1.7. .

મેટ્રિક્સ ગુણાકાર.

જો મેટ્રિક્સ કૉલમની સંખ્યા એમેટ્રિક્સ પંક્તિઓની સંખ્યા સાથે એકરુપ છે IN, પછી આવા મેટ્રિસીસ માટે ગુણાકાર કામગીરી રજૂ કરવામાં આવે છે:

2

આમ, મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરતી વખતે એપરિમાણો m´ nમેટ્રિક્સ માટે INપરિમાણો n´ kઅમને મેટ્રિક્સ મળે છે સાથેપરિમાણો m´ k. આ કિસ્સામાં, મેટ્રિક્સ તત્વો સાથેનીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે:

સમસ્યા 1.8.જો શક્ય હોય તો, મેટ્રિસિસનું ઉત્પાદન શોધો એબીઅને બી.એ.:

ઉકેલ. 1) કામ શોધવા માટે એબી, તમારે મેટ્રિક્સ પંક્તિઓની જરૂર છે એમેટ્રિક્સ કૉલમ દ્વારા ગુણાકાર કરો બી:

2) કામ બી.એ.અસ્તિત્વમાં નથી, કારણ કે મેટ્રિક્સ કૉલમની સંખ્યા બીમેટ્રિક્સ પંક્તિઓની સંખ્યા સાથે મેળ ખાતી નથી એ.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ. મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી

મેટ્રિક્સ A- 1 ને ચોરસ મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત કહેવામાં આવે છે એ, જો સમાનતા સંતુષ્ટ છે:

જ્યાં મારફતે આઈમેટ્રિક્સ જેવા જ ક્રમના ઓળખ મેટ્રિક્સને દર્શાવે છે એ:

.

ચોરસ મેટ્રિક્સને વ્યસ્ત રાખવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે તેનો નિર્ણાયક શૂન્યથી અલગ હોય. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે:

, (1.13)

જ્યાં એક આઈજી- તત્વોમાં બીજગણિત ઉમેરાઓ એક ijમેટ્રિસિસ એ(નોંધ કરો કે મેટ્રિક્સ પંક્તિઓમાં બીજગણિતીય ઉમેરણો એઅનુરૂપ કૉલમના સ્વરૂપમાં વ્યસ્ત મેટ્રિક્સમાં સ્થિત છે).

ઉદાહરણ 1.9.વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધો A- 1 થી મેટ્રિક્સ

.

અમે સૂત્ર (1.13) નો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધીએ છીએ, જે કેસ માટે n= 3 ફોર્મ ધરાવે છે:

.

ચાલો તે શોધીએ એ = | એ| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. મૂળ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક બિનશૂન્ય હોવાથી, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ અસ્તિત્વમાં છે.

1) બીજગણિતીય પૂરક શોધો એક આઈજી:

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવાની સગવડતા માટે, અમે સંબંધિત કૉલમમાં મૂળ મેટ્રિક્સની પંક્તિઓમાં બીજગણિતીય ઉમેરણો મૂક્યા છે.

મેળવેલા બીજગણિત ઉમેરણોમાંથી આપણે એક નવું મેટ્રિક્સ બનાવીએ છીએ અને તેને નિર્ણાયક ડીટ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ. એ. આમ, આપણને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ મળે છે:

બિનશૂન્ય મુખ્ય નિર્ણાયક સાથે રેખીય સમીકરણોની ચતુર્ભુજ પ્રણાલીઓને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. આ કરવા માટે, સિસ્ટમ (1.5) મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં લખાયેલ છે:

જ્યાં

સમાનતાની બંને બાજુ (1.14) ને ડાબેથી વડે ગુણાકાર કરો A- 1, અમને સિસ્ટમનો ઉકેલ મળે છે:

, ક્યાં

આમ, ચોરસ સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધવા માટે, તમારે સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સના વ્યસ્ત મેટ્રિક્સને શોધવાની જરૂર છે અને તેને જમણી બાજુએ ફ્રી ટર્મ્સના કૉલમ મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

સમસ્યા 1.10.રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને.

ઉકેલ.ચાલો સિસ્ટમને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં લખીએ: ,

જ્યાં - સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ, - અજ્ઞાતની કૉલમ અને - મફત શરતોની કૉલમ. સિસ્ટમના મુખ્ય નિર્ણાયક હોવાથી , પછી સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ એવ્યસ્ત મેટ્રિક્સ ધરાવે છે એ-1. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે એ-1 , અમે મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો માટે બીજગણિતીય પૂરકની ગણતરી કરીએ છીએ એ:

મેળવેલી સંખ્યાઓમાંથી આપણે મેટ્રિક્સ (અને મેટ્રિક્સની પંક્તિઓમાં બીજગણિતીય ઉમેરણો) કંપોઝ કરીશું એતેને યોગ્ય કૉલમમાં લખો) અને તેને નિર્ણાયક D વડે વિભાજીત કરો. આમ, અમને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ મળ્યું છે:

અમે ફોર્મ્યુલા (1.15) નો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધીએ છીએ:

આમ,

સામાન્ય જોર્ડન એલિમિનેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ્સ ઉકેલવી

રેખીય સમીકરણોની મનસ્વી (જરૂરી નથી કે ચતુર્ભુજ) સિસ્ટમ આપવામાં આવે:

(1.16)

તે સિસ્ટમ માટે ઉકેલ શોધવા માટે જરૂરી છે, એટલે કે. આવા ચલોનો સમૂહ જે સિસ્ટમની તમામ સમાનતાને સંતોષે છે (1.16). સામાન્ય કિસ્સામાં, સિસ્ટમ (1.16) પાસે માત્ર એક જ ઉકેલ નથી, પણ અસંખ્ય ઉકેલો પણ હોઈ શકે છે. તેનો કોઈ ઉકેલ પણ ન હોઈ શકે.

આવી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની જાણીતી શાળા અભ્યાસક્રમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જેને સામાન્ય જોર્ડન દૂર કરવાની પદ્ધતિ પણ કહેવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિનો સાર એ છે કે સિસ્ટમના સમીકરણોમાંના એકમાં (1.16) ચલોમાંના એકને અન્ય ચલોની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. આ ચલને પછી સિસ્ટમમાં અન્ય સમીકરણોમાં બદલવામાં આવે છે. પરિણામ એ એક સિસ્ટમ છે જેમાં એક સમીકરણ અને એક ચલ મૂળ સિસ્ટમ કરતાં ઓછું છે. સમીકરણ જેમાંથી ચલ વ્યક્ત કરવામાં આવ્યું હતું તે યાદ છે.

સિસ્ટમમાં એક છેલ્લું સમીકરણ રહે ત્યાં સુધી આ પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે. અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની પ્રક્રિયા દ્વારા, કેટલાક સમીકરણો સાચી ઓળખ બની શકે છે, દા.ત. આવા સમીકરણોને સિસ્ટમમાંથી બાકાત રાખવામાં આવ્યા છે, કારણ કે તેઓ ચલોના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સંતુષ્ટ છે અને તેથી, સિસ્ટમના ઉકેલને અસર કરતા નથી. જો, અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની પ્રક્રિયામાં, ઓછામાં ઓછું એક સમીકરણ સમાનતા બની જાય છે જે ચલોના કોઈપણ મૂલ્યો (ઉદાહરણ તરીકે) માટે સંતુષ્ટ થઈ શકતું નથી, તો અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી.

જો ઉકેલ દરમિયાન કોઈ વિરોધાભાસી સમીકરણો ઉદ્ભવતા નથી, તો તેમાં બાકીના ચલોમાંથી એક છેલ્લા સમીકરણમાંથી મળે છે. જો છેલ્લા સમીકરણમાં માત્ર એક જ ચલ બાકી હોય, તો તે સંખ્યા તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. જો અન્ય ચલો છેલ્લા સમીકરણમાં રહે છે, તો તે પરિમાણો ગણવામાં આવે છે, અને તેમના દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલ ચલ આ પરિમાણોનું કાર્ય હશે. પછી કહેવાતા "વિપરીત ચાલ" થાય છે. મળેલ ચલને છેલ્લા યાદ કરેલા સમીકરણમાં બદલવામાં આવે છે અને બીજું ચલ જોવા મળે છે. પછી મળેલા બે ચલોને ઉપાંતીય યાદ સમીકરણમાં બદલવામાં આવે છે અને ત્રીજું ચલ જોવા મળે છે, અને તેથી આગળ, પ્રથમ યાદ કરાયેલ સમીકરણ સુધી.

પરિણામે, અમે સિસ્ટમનો ઉકેલ મેળવીએ છીએ. જો મળેલ ચલો સંખ્યાઓ હોય તો આ ઉકેલ અનન્ય હશે. જો પ્રથમ ચલ મળી આવે, અને પછી અન્ય તમામ, પરિમાણો પર આધાર રાખે છે, તો સિસ્ટમ પાસે અસંખ્ય ઉકેલો હશે (પરિમાણોનો દરેક સમૂહ નવા ઉકેલને અનુરૂપ છે). ફોર્મ્યુલા કે જે તમને પરિમાણોના ચોક્કસ સમૂહના આધારે સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધવાની મંજૂરી આપે છે તેને સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1.11.

x

પ્રથમ સમીકરણ યાદ કર્યા પછી અને બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોમાં સમાન શબ્દો લાવીને આપણે સિસ્ટમ પર પહોંચીએ છીએ:

ચાલો વ્યક્ત કરીએ yબીજા સમીકરણમાંથી અને તેને પ્રથમ સમીકરણમાં બદલો:

ચાલો બીજું સમીકરણ યાદ રાખીએ અને પ્રથમમાંથી આપણે શોધીએ z:

પાછળની તરફ કામ કરતા, અમે સતત શોધીએ છીએ yઅને z. આ કરવા માટે, આપણે પહેલા છેલ્લા યાદ સમીકરણમાં બદલીએ છીએ, જ્યાંથી આપણને મળે છે y:

.

પછી આપણે તેને પ્રથમ યાદ કરેલા સમીકરણમાં બદલીશું જ્યાં આપણે તેને શોધી શકીએ છીએ x:

સમસ્યા 1.12.અજાણ્યાઓને દૂર કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

. (1.17)

ઉકેલ.ચાલો પ્રથમ સમીકરણમાંથી ચલ વ્યક્ત કરીએ xઅને તેને બીજા અને ત્રીજા સમીકરણમાં બદલો:

.

ચાલો પ્રથમ સમીકરણ યાદ કરીએ

આ સિસ્ટમમાં, પ્રથમ અને બીજા સમીકરણો એકબીજા સાથે વિરોધાભાસી છે. ખરેખર, વ્યક્ત y , આપણને તે 14 = 17 મળે છે. આ સમાનતા ચલોની કોઈપણ કિંમતો માટે હોતી નથી x, y, અને z. પરિણામે, સિસ્ટમ (1.17) અસંગત છે, એટલે કે. કોઈ ઉકેલ નથી.

અમે વાચકોને પોતાને તપાસવા માટે આમંત્રિત કરીએ છીએ કે મૂળ સિસ્ટમનો મુખ્ય નિર્ણાયક (1.17) શૂન્ય બરાબર છે.

ચાલો એક એવી સિસ્ટમને ધ્યાનમાં લઈએ જે સિસ્ટમ (1.17) થી માત્ર એક જ ફ્રી ટર્મથી અલગ હોય.

સમસ્યા 1.13.અજાણ્યાઓને દૂર કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

. (1.18)

ઉકેલ.પહેલાની જેમ, આપણે પ્રથમ સમીકરણમાંથી ચલ વ્યક્ત કરીએ છીએ xઅને તેને બીજા અને ત્રીજા સમીકરણમાં બદલો:

.

ચાલો પ્રથમ સમીકરણ યાદ કરીએ અને બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોમાં સમાન શબ્દો રજૂ કરો. અમે સિસ્ટમ પર પહોંચીએ છીએ:

વ્યક્ત કરે છે yપ્રથમ સમીકરણમાંથી અને તેને બીજા સમીકરણમાં બદલીને , અમને ઓળખ 14 = 14 મળે છે, જે સિસ્ટમના ઉકેલને અસર કરતું નથી, અને તેથી, તેને સિસ્ટમમાંથી બાકાત કરી શકાય છે.

છેલ્લા યાદ સમાનતામાં, ચલ zઅમે તેને એક પરિમાણ ગણીશું. અમે માનીએ છીએ. પછી

ચાલો અવેજી કરીએ yઅને zપ્રથમ યાદ સમાનતામાં અને શોધો x:

.

આમ, સિસ્ટમ (1.18) પાસે અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો છે, અને કોઈપણ ઉકેલ ફોર્મ્યુલા (1.19) નો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે, પરિમાણનું મનસ્વી મૂલ્ય પસંદ કરીને t:

(1.19)
તેથી સિસ્ટમના ઉકેલો, ઉદાહરણ તરીકે, ચલોના નીચેના સેટ છે (1; 2; 0), (2; 26; 14), વગેરે. ફોર્મ્યુલા (1.19) સિસ્ટમના સામાન્ય (કોઈપણ) ઉકેલને વ્યક્ત કરે છે (1.18) ).

એવા કિસ્સામાં જ્યારે મૂળ સિસ્ટમ (1.16) માં પૂરતી મોટી સંખ્યામાં સમીકરણો અને અજાણ્યાઓ હોય, ત્યારે સામાન્ય જોર્ડન નાબૂદીની સૂચવેલ પદ્ધતિ બોજારૂપ લાગે છે. જોકે, આ સાચું નથી. સામાન્ય સ્વરૂપમાં એક પગલા પર સિસ્ટમ ગુણાંકની પુનઃગણતરી કરવા અને વિશિષ્ટ જોર્ડન કોષ્ટકોના રૂપમાં સમસ્યાના ઉકેલને ઔપચારિક બનાવવા માટે અલ્ગોરિધમનો મેળવવા માટે તે પૂરતું છે.

રેખીય સ્વરૂપો (સમીકરણો) ની સિસ્ટમ આપવામાં આવે છે:

, (1.20)
જ્યાં x જે- સ્વતંત્ર (ઇચ્છિત) ચલો, એક ij- સતત ગુણાંક
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). સિસ્ટમના જમણા ભાગો y i (i = 1, 2,…, m) ક્યાં તો ચલ (આશ્રિત) અથવા સ્થિરાંકો હોઈ શકે છે. અજાણ્યાઓને દૂર કરીને આ સિસ્ટમના ઉકેલો શોધવાની જરૂર છે.

ચાલો આપણે નીચેના ઓપરેશનને ધ્યાનમાં લઈએ, જેને નીચે "સામાન્ય જોર્ડન નાબૂદીનું એક પગલું" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. મનસ્વી થી ( આર th) સમાનતા આપણે મનસ્વી ચલ વ્યક્ત કરીએ છીએ ( xs) અને અન્ય તમામ સમાનતાઓમાં બદલો. અલબત્ત, આ તો જ શક્ય છે એક રૂ¹ 0. ગુણાંક એક રૂનિરાકરણ (ક્યારેક માર્ગદર્શક અથવા મુખ્ય) તત્વ કહેવાય છે.

અમને નીચેની સિસ્ટમ મળશે:

. (1.21)

થી s- સિસ્ટમની સમાનતા (1.21), અમે પછીથી ચલ શોધીએ છીએ xs(બાકીના ચલો મળી ગયા પછી). એસ-મી લીટી યાદ રાખવામાં આવે છે અને ત્યારબાદ સિસ્ટમમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે. બાકીની સિસ્ટમમાં મૂળ સિસ્ટમ કરતાં એક સમીકરણ અને એક ઓછું સ્વતંત્ર ચલ હશે.

ચાલો મૂળ સિસ્ટમ (1.20) ના ગુણાંક દ્વારા પરિણામી સિસ્ટમ (1.21) ના ગુણાંકની ગણતરી કરીએ. સાથે શરૂઆત કરીએ આરમી સમીકરણ, જે ચલ વ્યક્ત કર્યા પછી xsબાકીના ચલો દ્વારા તે આના જેવો દેખાશે:

આમ, નવા ગુણાંક આરનીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની ગણતરી કરવામાં આવે છે:

(1.23)
ચાલો હવે નવા ગુણાંકની ગણતરી કરીએ b ij(i¹ આર) એક મનસ્વી સમીકરણનું. આ કરવા માટે, ચાલો (1.22) માં દર્શાવેલ ચલને બદલીએ. xsવી iસિસ્ટમનું મી સમીકરણ (1.20):

સમાન શરતો લાવ્યા પછી, અમને મળે છે:

(1.24)
સમાનતા (1.24) થી આપણે એવા સૂત્રો મેળવીએ છીએ જેના દ્વારા સિસ્ટમના બાકીના ગુણાંક (1.21) ની ગણતરી કરવામાં આવે છે (અપવાદ સિવાય આરમી સમીકરણ):

(1.25)
સામાન્ય જોર્ડન નાબૂદીની પદ્ધતિ દ્વારા રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોનું પરિવર્તન કોષ્ટકો (મેટ્રિસિસ) ના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે. આ કોષ્ટકોને "જોર્ડન કોષ્ટકો" કહેવામાં આવે છે.

આમ, સમસ્યા (1.20) નીચેના જોર્ડન ટેબલ સાથે સંકળાયેલ છે:

કોષ્ટક 1.1

જોર્ડન કોષ્ટક 1.1 માં ડાબી હેડર કૉલમ છે જેમાં સિસ્ટમના જમણા ભાગો (1.20) લખેલા છે અને એક ઉપલા હેડર પંક્તિ જેમાં સ્વતંત્ર વેરિયેબલ લખેલા છે.

કોષ્ટકના બાકીના ઘટકો સિસ્ટમના ગુણાંકનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ બનાવે છે (1.20). જો તમે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો એટોચની શીર્ષક પંક્તિના ઘટકો ધરાવતા મેટ્રિક્સમાં, તમને ડાબી શીર્ષક સ્તંભના ઘટકોનો સમાવેશ કરતું મેટ્રિક્સ મળે છે. એટલે કે, આવશ્યકપણે, જોર્ડન ટેબલ એ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ લખવાનું મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ છે: . સિસ્ટમ (1.21) નીચેના જોર્ડન કોષ્ટકને અનુરૂપ છે:

કોષ્ટક 1.2

અનુમતિશીલ તત્વ એક રૂ અમે તેમને બોલ્ડમાં પ્રકાશિત કરીશું. યાદ કરો કે જોર્ડન નાબૂદીના એક પગલાને અમલમાં મૂકવા માટે, નિરાકરણનું તત્વ બિન-શૂન્ય હોવું આવશ્યક છે. સક્ષમ તત્વ ધરાવતી કોષ્ટક પંક્તિને સક્ષમ પંક્તિ કહેવામાં આવે છે. સક્ષમ તત્વ ધરાવતી કૉલમને સક્ષમ કૉલમ કહેવામાં આવે છે. આપેલ કોષ્ટકમાંથી આગલા કોષ્ટકમાં જતી વખતે, એક ચલ ( xs) કોષ્ટકની ટોચની હેડર પંક્તિમાંથી ડાબી હેડર કૉલમમાં ખસેડવામાં આવે છે અને તેનાથી વિપરીત, સિસ્ટમના મુક્ત સભ્યોમાંથી એક ( y આર) કોષ્ટકની ડાબી હેડ કૉલમમાંથી ટોચની હેડ પંક્તિ પર ખસે છે.

ચાલો આપણે જોર્ડન ટેબલ (1.1) થી કોષ્ટક (1.2) તરફ જતી વખતે ગુણાંકની પુનઃગણતરી કરવા માટેના અલ્ગોરિધમનું વર્ણન કરીએ, જે સૂત્રો (1.23) અને (1.25) થી અનુસરે છે.

1. રિઝોલ્વિંગ એલિમેન્ટને વ્યસ્ત નંબર દ્વારા બદલવામાં આવે છે:

2. રિઝોલ્વિંગ સ્ટ્રિંગના બાકીના ઘટકોને રિઝોલ્વિંગ એલિમેન્ટમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે અને ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલો:

3. રિઝોલ્યુશન કોલમના બાકીના ઘટકોને રિઝોલ્યુશન એલિમેન્ટમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યા છે:

4. એલિમેન્ટ્સ કે જે મંજૂરી આપતી પંક્તિ અને મંજૂરી આપતી કૉલમમાં સમાવિષ્ટ નથી તે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને પુનઃગણતરી કરવામાં આવે છે:

છેલ્લું સૂત્ર યાદ રાખવું સરળ છે જો તમે નોંધ્યું કે ઘટકો જે અપૂર્ણાંક બનાવે છે , આંતરછેદ પર છે i-ઓહ અને આરમી લીટીઓ અને jમી અને sમી કૉલમ્સ (પંક્તિનું નિરાકરણ, કૉલમનું નિરાકરણ, અને છેદન પરની પંક્તિ અને કૉલમ કે જેના પર પુનઃગણતરી કરેલ ઘટક સ્થિત છે). વધુ સ્પષ્ટ રીતે, સૂત્ર યાદ રાખતી વખતે તમે નીચેના ડાયાગ્રામનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

જોર્ડન અપવાદોનું પ્રથમ પગલું ચલાવતી વખતે, તમે કોષ્ટક 1.3 ના કોઈપણ ઘટકને નિરાકરણ ઘટક તરીકે પસંદ કરી શકો છો. x 1 ,…, x 5 (બધા ઉલ્લેખિત ઘટકો શૂન્ય નથી). ફક્ત છેલ્લી કૉલમમાં સક્ષમ ઘટક પસંદ કરશો નહીં, કારણ કે તમારે સ્વતંત્ર ચલો શોધવાની જરૂર છે x 1 ,…, x 5. ઉદાહરણ તરીકે, અમે ગુણાંક પસંદ કરીએ છીએ 1 ચલ સાથે x 3 કોષ્ટક 1.3 ની ત્રીજી પંક્તિમાં (સક્ષમ તત્વ બોલ્ડમાં બતાવવામાં આવ્યું છે). જ્યારે ટેબલ 1.4 પર જઈએ ત્યારે ચલ xટોચની હેડર પંક્તિમાંથી 3 ડાબી હેડર કૉલમ (ત્રીજી પંક્તિ) ના સતત 0 સાથે અદલાબદલી થાય છે. આ કિસ્સામાં, ચલ x 3 બાકીના ચલો દ્વારા વ્યક્ત થાય છે.

શબ્દમાળા x 3 (કોષ્ટક 1.4) અગાઉથી યાદ રાખ્યા પછી, કોષ્ટક 1.4 માંથી બાકાત કરી શકાય છે. ટોચની શીર્ષક લાઇનમાં શૂન્ય સાથેની ત્રીજી કૉલમ પણ કોષ્ટક 1.4 માંથી બાકાત છે. મુદ્દો એ છે કે આપેલ કૉલમના ગુણાંકને ધ્યાનમાં લીધા વિના b i 3 દરેક સમીકરણ 0 ના તમામ અનુરૂપ શબ્દો b i 3 સિસ્ટમ શૂન્ય સમાન હશે. તેથી, આ ગુણાંકની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી. એક ચલ દૂર કરી રહ્યા છીએ x 3 અને સમીકરણોમાંથી એકને યાદ રાખીને, અમે કોષ્ટક 1.4ને અનુરૂપ સિસ્ટમ પર પહોંચીએ છીએ (રેખા ઓળંગીને x 3). કોષ્ટક 1.4 માં ઉકેલના તત્વ તરીકે પસંદ કરી રહ્યા છીએ b 14 = -5, ટેબલ 1.5 પર જાઓ. કોષ્ટક 1.5 માં, પ્રથમ પંક્તિ યાદ રાખો અને તેને ચોથા કૉલમ (ટોચ પર શૂન્ય સાથે) સાથે કોષ્ટકમાંથી બાકાત રાખો.

કોષ્ટક 1.5 કોષ્ટક 1.6

છેલ્લા કોષ્ટક 1.7 થી આપણે શોધીએ છીએ: x 1 = - 3 + 2x 5 .

પહેલેથી જ મળેલા ચલોને યાદ કરેલી રેખાઓમાં સતત બદલીને, આપણે બાકીના ચલો શોધીએ છીએ:

આમ, સિસ્ટમ પાસે અસંખ્ય ઉકેલો છે. ચલ x 5, મનસ્વી મૂલ્યો અસાઇન કરી શકાય છે. આ ચલ પરિમાણ તરીકે કાર્ય કરે છે x 5 = ટી. અમે સિસ્ટમની સુસંગતતા સાબિત કરી અને તેનો સામાન્ય ઉકેલ શોધી કાઢ્યો:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

પરિમાણ આપવું tવિવિધ મૂલ્યો, અમે મૂળ સિસ્ટમ માટે અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો મેળવીશું. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, સિસ્ટમનો ઉકેલ એ ચલોનો નીચેનો સમૂહ છે (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

આ ફકરામાં નિપુણતા મેળવવા માટે, તમારે નિર્ણાયકોને "બે બાય બે" અને "ત્રણ બાય ત્રણ" જાહેર કરવા સક્ષમ હોવા જોઈએ. જો તમે ક્વોલિફાયર સાથે ખરાબ છો, તો કૃપા કરીને પાઠનો અભ્યાસ કરો નિર્ણાયકની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?

પ્રથમ, આપણે બે અજાણ્યામાં બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ક્રેમરના નિયમને નજીકથી જોઈશું. શેના માટે? – છેવટે, શાળા પદ્ધતિ, ટર્મ-બાય-ટર્મ એડિશનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સૌથી સરળ સિસ્ટમ ઉકેલી શકાય છે!

હકીકત એ છે કે કેટલીકવાર, પરંતુ કેટલીકવાર એવું કાર્ય હોય છે - ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને બે અજાણ્યા સાથેના બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે. બીજું, એક સરળ ઉદાહરણ તમને વધુ જટિલ કેસ માટે ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે સમજવામાં મદદ કરશે - ત્રણ અજ્ઞાત સાથે ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમ.

વધુમાં, બે ચલો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો છે, જે ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવા માટે સલાહભર્યું છે!

સમીકરણોની સિસ્ટમનો વિચાર કરો

પ્રથમ પગલા પર, અમે નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ છીએ, તેને કહેવામાં આવે છે સિસ્ટમનો મુખ્ય નિર્ધારક.

ગૌસ પદ્ધતિ.

જો , તો સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે, અને મૂળ શોધવા માટે આપણે વધુ બે નિર્ણાયકોની ગણતરી કરવી જોઈએ:
અને

વ્યવહારમાં, ઉપરોક્ત ક્વોલિફાયર્સને લેટિન અક્ષર દ્વારા પણ સૂચવી શકાય છે.

અમે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના મૂળ શોધીએ છીએ:
,

ઉદાહરણ 7

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ: આપણે જોઈએ છીએ કે સમીકરણના ગુણાંક ખૂબ મોટા છે જમણી બાજુએ અલ્પવિરામ સાથે દશાંશ અપૂર્ણાંકો છે. ગણિતના વ્યવહારિક કાર્યોમાં અલ્પવિરામ એ એક દુર્લભ અતિથિ છે;

આવી સિસ્ટમ કેવી રીતે ઉકેલવી? તમે એક ચલને બીજાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો, પરંતુ આ કિસ્સામાં તમે કદાચ ભયંકર ફેન્સી અપૂર્ણાંકો સાથે સમાપ્ત થશો જેની સાથે કામ કરવા માટે અત્યંત અસુવિધાજનક છે, અને સોલ્યુશનની ડિઝાઇન ફક્ત ભયંકર દેખાશે. તમે બીજા સમીકરણને 6 વડે ગુણાકાર કરી શકો છો અને પદ વડે અવધિ બાદ કરી શકો છો, પરંતુ અહીં પણ તે જ અપૂર્ણાંકો ઊભા થશે.

શું કરવું? આવા કિસ્સાઓમાં, ક્રેમરના સૂત્રો બચાવમાં આવે છે.

;

;

જવાબ આપો: ,

બંને મૂળમાં અનંત પૂંછડીઓ છે અને તે લગભગ જોવા મળે છે, જે અર્થમિતિની સમસ્યાઓ માટે તદ્દન સ્વીકાર્ય (અને સામાન્ય પણ) છે.

અહીં ટિપ્પણીઓની જરૂર નથી, કારણ કે કાર્ય તૈયાર ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવામાં આવે છે, જો કે, એક ચેતવણી છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે, ફરજિયાતકાર્ય ડિઝાઇનનો ટુકડો નીચેનો ટુકડો છે: "આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે". નહિંતર, સમીક્ષક તમને ક્રેમરના પ્રમેયનો અનાદર કરવા બદલ સજા કરી શકે છે.

તે તપાસવું અનાવશ્યક રહેશે નહીં, જે કેલ્ક્યુલેટર પર સરળતાથી હાથ ધરવામાં આવી શકે છે: અમે સિસ્ટમના દરેક સમીકરણની ડાબી બાજુએ અંદાજિત મૂલ્યોને બદલીએ છીએ. પરિણામે, નાની ભૂલ સાથે, તમારે જમણી બાજુઓ પર હોય તેવા નંબરો મેળવવું જોઈએ.

ઉદાહરણ 8

જવાબ સામાન્ય અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રજૂ કરો. ચેક કરો.

આ તમારા માટે જાતે ઉકેલવા માટેનું ઉદાહરણ છે (અંતિમ ડિઝાઇનનું ઉદાહરણ અને પાઠના અંતે જવાબ).

ત્રણ અજ્ઞાત સાથેના ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ક્રેમરના નિયમને ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ:

અમે સિસ્ટમના મુખ્ય નિર્ણાયકને શોધીએ છીએ:

જો , તો સિસ્ટમ પાસે અનંત રીતે ઘણા ઉકેલો છે અથવા તે અસંગત છે (કોઈ ઉકેલો નથી). આ કિસ્સામાં, ક્રેમરનો નિયમ મદદ કરશે નહીં, તમારે ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.

જો , તો સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે અને મૂળ શોધવા માટે આપણે વધુ ત્રણ નિર્ણાયકોની ગણતરી કરવી જોઈએ:
, ,

અને અંતે, જવાબની ગણતરી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, “ત્રણ બાય ત્રણ” કેસ મૂળભૂત રીતે “બે બાય બે” કેસથી અલગ નથી;

ઉદાહરણ 9

ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને ઉકેલો.

ઉકેલ: ચાલો ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલીએ.

, જેનો અર્થ છે કે સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે.

જવાબ આપો: .

વાસ્તવમાં, અહીં ફરીથી ટિપ્પણી કરવા માટે કંઈ ખાસ નથી, કારણ કે ઉકેલ તૈયાર ફોર્મ્યુલાને અનુસરે છે. પરંતુ ત્યાં એક દંપતિ ટિપ્પણીઓ છે.

એવું બને છે કે ગણતરીઓના પરિણામે, "ખરાબ" અફર અપૂર્ણાંક પ્રાપ્ત થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે: .
હું નીચેના "સારવાર" અલ્ગોરિધમની ભલામણ કરું છું. જો તમારી પાસે કમ્પ્યુટર નથી, તો આ કરો:

1) ગણતરીમાં ભૂલ હોઈ શકે છે. જલદી તમે "ખરાબ" અપૂર્ણાંકનો સામનો કરો છો, તમારે તરત જ તપાસ કરવાની જરૂર છે શું સ્થિતિ યોગ્ય રીતે ફરીથી લખાઈ છે?. જો શરત ભૂલો વિના ફરીથી લખવામાં આવે છે, તો તમારે બીજી પંક્તિ (કૉલમ) માં વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને નિર્ધારકોની પુનઃગણતરી કરવાની જરૂર છે.

2) જો ચકાસણીના પરિણામે કોઈ ભૂલો ઓળખવામાં આવતી નથી, તો સંભવતઃ કાર્યની પરિસ્થિતિઓમાં ટાઇપ કરવામાં આવી હતી. આ કિસ્સામાં, શાંતિથી અને કાળજીપૂર્વક કાર્ય દ્વારા અંત સુધી કાર્ય કરો, અને પછી તપાસવાની ખાતરી કરોઅને અમે નિર્ણય પછી તેને સ્વચ્છ શીટ પર દોરીએ છીએ. અલબત્ત, આંશિક જવાબ ચકાસવું એ એક અપ્રિય કાર્ય છે, પરંતુ તે શિક્ષક માટે નિઃશસ્ત્ર દલીલ હશે, જે ખરેખર કોઈપણ બુલશીટ માટે માઈનસ આપવાનું પસંદ કરે છે. અપૂર્ણાંકને કેવી રીતે હેન્ડલ કરવું તે ઉદાહરણ 8 ના જવાબમાં વિગતવાર વર્ણવેલ છે.

જો તમારી પાસે કમ્પ્યુટર છે, તો પછી તપાસવા માટે સ્વચાલિત પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરો, જે પાઠની શરૂઆતમાં જ મફતમાં ડાઉનલોડ કરી શકાય છે. માર્ગ દ્વારા, પ્રોગ્રામનો તરત જ ઉપયોગ કરવો સૌથી વધુ નફાકારક છે (સોલ્યુશન શરૂ કરતા પહેલા પણ તમે તરત જ મધ્યવર્તી પગલું જોશો જ્યાં તમે ભૂલ કરી છે! સમાન કેલ્ક્યુલેટર મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમના ઉકેલની આપમેળે ગણતરી કરે છે.

બીજી ટીકા. સમયાંતરે સમીકરણોમાં એવી પ્રણાલીઓ હોય છે કે જેમાં કેટલાક ચલો ખૂટે છે, ઉદાહરણ તરીકે:

અહીં પ્રથમ સમીકરણમાં કોઈ ચલ નથી, બીજામાં કોઈ ચલ નથી. આવા કિસ્સાઓમાં, મુખ્ય નિર્ણાયકને યોગ્ય રીતે અને કાળજીપૂર્વક લખવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે:
- ગુમ થયેલ ચલોની જગ્યાએ શૂન્ય મૂકવામાં આવે છે.
માર્ગ દ્વારા, તે પંક્તિ (કૉલમ) અનુસાર શૂન્ય સાથે નિર્ધારકો ખોલવા માટે તર્કસંગત છે જેમાં શૂન્ય સ્થિત છે, કારણ કે ત્યાં નોંધપાત્ર રીતે ઓછી ગણતરીઓ છે.

ઉદાહરણ 10

ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને ઉકેલો.

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે આ એક ઉદાહરણ છે (અંતિમ ડિઝાઇનનો નમૂનો અને પાઠના અંતે જવાબ).

4 અજાણ્યાઓ સાથે 4 સમીકરણોની સિસ્ટમના કિસ્સામાં, ક્રેમરના સૂત્રો સમાન સિદ્ધાંતો અનુસાર લખવામાં આવે છે. તમે નિર્ધારકોના ગુણધર્મો પાઠમાં જીવંત ઉદાહરણ જોઈ શકો છો. નિર્ણાયકનો ક્રમ ઘટાડવો - પાંચ ચોથા ક્રમના નિર્ધારકો તદ્દન ઉકેલી શકાય તેવા છે. જો કે કાર્ય પહેલાથી જ નસીબદાર વિદ્યાર્થીની છાતી પર પ્રોફેસરના જૂતાની યાદ અપાવે છે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને હલ કરવી

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ અનિવાર્યપણે એક વિશિષ્ટ કેસ છે મેટ્રિક્સ સમીકરણ(નિર્દિષ્ટ પાઠનું ઉદાહરણ નંબર 3 જુઓ).

આ વિભાગનો અભ્યાસ કરવા માટે, તમારે નિર્ણાયકોને વિસ્તૃત કરવા, મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધવા અને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર કરવા સક્ષમ હોવા જોઈએ. સમજૂતીની પ્રગતિ સાથે સંબંધિત લિંક્સ પ્રદાન કરવામાં આવશે.

ઉદાહરણ 11

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલચાલો સિસ્ટમને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં લખીએ:
, ક્યાં

કૃપા કરીને સમીકરણો અને મેટ્રિસિસની સિસ્ટમ જુઓ. મને લાગે છે કે દરેક જણ તે સિદ્ધાંતને સમજે છે જેના દ્વારા આપણે ઘટકોને મેટ્રિસિસમાં લખીએ છીએ. એકમાત્ર ટિપ્પણી: જો સમીકરણોમાંથી કેટલાક ચલો ખૂટે છે, તો શૂન્યને મેટ્રિક્સમાં અનુરૂપ સ્થાનો પર મૂકવા પડશે.

આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધીએ છીએ:
, મેટ્રિક્સના અનુરૂપ તત્વોના બીજગણિતીય પૂરકનું સ્થાનાંતરિત મેટ્રિક્સ ક્યાં છે.

પ્રથમ, ચાલો નિર્ણાયક જોઈએ:

અહીં નિર્ણાયક પ્રથમ લીટી પર વિસ્તૃત છે.

ધ્યાન આપો! જો , તો વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ અસ્તિત્વમાં નથી, અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને હલ કરવી અશક્ય છે. આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમ અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની પદ્ધતિ (ગૌસ પદ્ધતિ) દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે.

હવે આપણે 9 સગીરોની ગણતરી કરવાની અને તેમને સગીર મેટ્રિક્સમાં લખવાની જરૂર છે

સંદર્ભ:રેખીય બીજગણિતમાં ડબલ સબસ્ક્રિપ્ટનો અર્થ જાણવો ઉપયોગી છે. પ્રથમ અંક એ રેખાની સંખ્યા છે જેમાં તત્વ સ્થિત છે. બીજો અંક એ સ્તંભની સંખ્યા છે જેમાં તત્વ સ્થિત છે:

એટલે કે, ડબલ સબસ્ક્રિપ્ટ સૂચવે છે કે તત્વ પ્રથમ પંક્તિ, ત્રીજી કૉલમમાં છે અને, ઉદાહરણ તરીકે, તત્વ 3 પંક્તિ, 2 કૉલમમાં છે.

ઉકેલ દરમિયાન, સગીરોની ગણતરીનું વિગતવાર વર્ણન કરવું વધુ સારું છે, જો કે, કેટલાક અનુભવ સાથે, તમે તેમને મૌખિક રીતે ભૂલો સાથે ગણતરી કરવા માટે ટેવ પાડી શકો છો.

ક્રેમરની પદ્ધતિ અથવા કહેવાતા ક્રેમરનો નિયમ એ સમીકરણોની સિસ્ટમોમાંથી અજાણ્યા જથ્થાને શોધવાની પદ્ધતિ છે. તેનો ઉપયોગ ફક્ત ત્યારે જ થઈ શકે છે જ્યારે માંગેલ મૂલ્યોની સંખ્યા સિસ્ટમમાં બીજગણિતીય સમીકરણોની સંખ્યાની સમકક્ષ હોય, એટલે કે, સિસ્ટમમાંથી બનાવેલ મુખ્ય મેટ્રિક્સ ચોરસ હોવો જોઈએ અને તેમાં શૂન્ય પંક્તિઓ ન હોવી જોઈએ, અને તે પણ જો તેનો નિર્ધારક હોવો જોઈએ. શૂન્ય ન બનો.

પ્રમેય 1

ક્રેમરનું પ્રમેયજો મુખ્ય મેટ્રિક્સનો મુખ્ય નિર્ણાયક $D$, સમીકરણોના ગુણાંકના આધારે સંકલિત, શૂન્યની બરાબર નથી, તો સમીકરણોની સિસ્ટમ સુસંગત છે, અને તેનો એક અનન્ય ઉકેલ છે. આવી સિસ્ટમના ઉકેલની ગણતરી રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે કહેવાતા ક્રેમર સૂત્રો દ્વારા કરવામાં આવે છે: $x_i = \frac(D_i)(D)$

ક્રેમર પદ્ધતિ શું છે?

ક્રેમરની પદ્ધતિનો સાર નીચે મુજબ છે:

1. ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધવા માટે, સૌ પ્રથમ આપણે મેટ્રિક્સ $D$ના મુખ્ય નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ છીએ. જ્યારે મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ગણતરી કરેલ નિર્ણાયક, જ્યારે ક્રેમરની પદ્ધતિ દ્વારા ગણતરી કરવામાં આવે છે, ત્યારે શૂન્યની બરાબર થાય છે, ત્યારે સિસ્ટમ પાસે એક પણ ઉકેલ નથી અથવા તેની પાસે અસંખ્ય ઉકેલો નથી. આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમ માટે સામાન્ય અથવા કેટલાક મૂળભૂત જવાબ શોધવા માટે, ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે.
2. પછી તમારે મુખ્ય મેટ્રિક્સની સૌથી બહારની કૉલમને મફત શરતોના કૉલમ સાથે બદલવાની અને નિર્ણાયક $D_1$ની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
3. તમામ કૉલમ માટે સમાન પુનરાવર્તન કરો, $D_1$ થી $D_n$ સુધી નિર્ધારકો મેળવો, જ્યાં $n$ એ સૌથી જમણી બાજુની કૉલમની સંખ્યા છે.
4. બધા નિર્ધારકો $D_1$...$D_n$ મળી ગયા પછી, અજ્ઞાત ચલોની ગણતરી $x_i = \frac(D_i)(D)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.

મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની ગણતરી કરવા માટેની તકનીકો

2 બાય 2 કરતા વધુ પરિમાણ સાથે મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની ગણતરી કરવા માટે, તમે ઘણી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

• ત્રિકોણનો નિયમ, અથવા સરરસનો નિયમ, સમાન નિયમની યાદ અપાવે છે. ત્રિકોણ પદ્ધતિનો સાર એ છે કે નિર્ણાયકની ગણતરી કરતી વખતે, જમણી બાજુની લાલ રેખા દ્વારા આકૃતિમાં જોડાયેલ તમામ સંખ્યાઓના ઉત્પાદનો વત્તા ચિહ્ન સાથે લખવામાં આવે છે, અને બધી સંખ્યાઓ ડાબી બાજુની આકૃતિમાં સમાન રીતે જોડાયેલ હોય છે. માઈનસ ચિહ્ન સાથે લખવામાં આવે છે. બંને નિયમો 3 x 3 માપના મેટ્રિક્સ માટે યોગ્ય છે. સરરસ નિયમના કિસ્સામાં, મેટ્રિક્સ પોતે જ પ્રથમ ફરીથી લખવામાં આવે છે, અને તેની બાજુમાં તેના પ્રથમ અને બીજા કૉલમ ફરીથી લખવામાં આવે છે. મેટ્રિક્સ દ્વારા કર્ણ દોરવામાં આવે છે અને મુખ્ય કર્ણ અથવા તેની સમાંતર પર પડેલા આ વધારાના સ્તંભો વત્તા ચિહ્ન સાથે લખવામાં આવે છે, અને ગૌણ કર્ણ પર અથવા તેની સમાંતર પડેલા તત્વો ઓછા ચિહ્ન સાથે લખવામાં આવે છે.

આકૃતિ 1. ક્રેમરની પદ્ધતિ માટે નિર્ણાયકની ગણતરી માટે ત્રિકોણ નિયમ

• ગૌસીયન પદ્ધતિ તરીકે ઓળખાતી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, આ પદ્ધતિને કેટલીકવાર નિર્ણાયકનો ક્રમ ઘટાડવા પણ કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, મેટ્રિક્સ રૂપાંતરિત થાય છે અને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડો થાય છે, અને પછી મુખ્ય કર્ણ પરની બધી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર થાય છે. તે યાદ રાખવું જોઈએ કે આ રીતે નિર્ણાયકની શોધ કરતી વખતે, તમે પંક્તિઓ અથવા કૉલમને ગુણાકાર અથવા વિભાજક તરીકે બહાર કાઢ્યા વિના સંખ્યાઓ દ્વારા ગુણાકાર અથવા વિભાજિત કરી શકતા નથી. નિર્ણાયકની શોધના કિસ્સામાં, પંક્તિઓ અને કૉલમ્સને એકબીજામાં બાદબાકી કરવી અને ઉમેરવાનું જ શક્ય છે, અગાઉ બાદબાકી કરેલ પંક્તિનો બિન-શૂન્ય પરિબળ વડે ગુણાકાર કર્યા પછી. ઉપરાંત, જ્યારે પણ તમે મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ અથવા કૉલમ્સને ફરીથી ગોઠવો છો, ત્યારે તમારે મેટ્રિક્સની અંતિમ ચિહ્ન બદલવાની જરૂરિયાત યાદ રાખવી જોઈએ.
• ક્રેમર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને 4 અજાણ્યાઓ સાથે SLAE ઉકેલતી વખતે, નિર્ણાયકોને શોધવા અને શોધવા માટે અથવા સગીરોની શોધ કરીને નિર્ણાયકને નિર્ધારિત કરવા માટે ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો શ્રેષ્ઠ રહેશે.

ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી

ચાલો 2 સમીકરણો અને બે જરૂરી માત્રાની સિસ્ટમ માટે ક્રેમરની પદ્ધતિ લાગુ કરીએ:

$\begin(કેસો) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(કેસો)$

ચાલો તેને સગવડ માટે વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં પ્રદર્શિત કરીએ:

$A = \begin(એરે)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(એરે)$

ચાલો મુખ્ય મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકને શોધીએ, જેને સિસ્ટમનો મુખ્ય નિર્ણાયક પણ કહેવાય છે:

$D = \begin(એરે)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(એરે) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

જો મુખ્ય નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર ન હોય, તો પછી ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સ્લોઉને ઉકેલવા માટે, બે મેટ્રિક્સમાંથી કેટલાક વધુ નિર્ણાયકોની ગણતરી કરવી જરૂરી છે જેમાં મુક્ત શરતોની પંક્તિ દ્વારા બદલાયેલ મુખ્ય મેટ્રિક્સના કૉલમ્સ સાથે:

$D_1 = \begin(એરે)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(એરે) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(એરે)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(એરે) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

ચાલો હવે અજ્ઞાત $x_1$ અને $x_2$ શોધીએ:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

ઉદાહરણ 1

3જી ક્રમ (3 x 3)ના મુખ્ય મેટ્રિક્સ અને ત્રણ જરૂરી સાથે SLAE ઉકેલવા માટેની ક્રેમરની પદ્ધતિ.

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

$\begin(કેસ) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \\ અંત(કેસ)$

ચાલો બિંદુ નંબર 1 હેઠળ ઉપર જણાવેલ નિયમનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સના મુખ્ય નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ:

$D = \begin(એરે)(|ccc -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - 64$

અને હવે ત્રણ અન્ય નિર્ધારકો:

$D_1 = \begin(એરે)(|ccc 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - $296

$D_2 = \begin(એરે)(|ccc + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $108

$D_3 = \begin(એરે)(|ccc \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - $60

ચાલો જરૂરી માત્રા શોધીએ:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

પદ્ધતિઓ ક્રેમરઅને ગૌસ- સૌથી લોકપ્રિય ઉકેલ પદ્ધતિઓમાંની એક SLAU. વધુમાં, કેટલાક કિસ્સાઓમાં ચોક્કસ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. સત્ર નજીક છે, અને હવે તેમને શરૂઆતથી પુનરાવર્તન અથવા માસ્ટર કરવાનો સમય છે. આજે આપણે ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ જોઈશું. છેવટે, ક્રેમર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરવી એ ખૂબ જ ઉપયોગી કુશળતા છે.

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ એ ફોર્મના સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:

મૂલ્ય સેટ x , જેમાં સિસ્ટમના સમીકરણો ઓળખમાં ફેરવાય છે, તેને સિસ્ટમનો ઉકેલ કહેવામાં આવે છે, a અને b વાસ્તવિક ગુણાંક છે. બે અજાણ્યા સમીકરણો ધરાવતી એક સરળ સિસ્ટમ તમારા માથામાં અથવા એક ચલને બીજાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીને ઉકેલી શકાય છે. પરંતુ SLAE માં બે કરતા વધુ ચલો (xes) હોઈ શકે છે, અને અહીં સરળ શાળા મેનિપ્યુલેશન્સ પર્યાપ્ત નથી. શું કરવું? ઉદાહરણ તરીકે, ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને SLAE ઉકેલો!

તેથી, સિસ્ટમનો સમાવેશ થવા દો n સાથે સમીકરણો n અજ્ઞાત

આવી સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકાય છે

અહીં એ - સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ, એક્સ અને બી , અનુક્રમે, અજાણ્યા ચલો અને મુક્ત શરતોના કૉલમ મેટ્રિસિસ.

ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને SLAE ઉકેલવા

જો મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર ન હોય (મેટ્રિક્સ બિન-એકવચન છે), તો ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને ઉકેલી શકાય છે.

ક્રેમરની પદ્ધતિ અનુસાર, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ જોવા મળે છે:

અહીં ડેલ્ટા મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક છે, અને ડેલ્ટા x nth – nth કૉલમને ફ્રી ટર્મ્સના કૉલમ સાથે બદલીને મુખ્ય મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકમાંથી મેળવેલ નિર્ણાયક.

આ ક્રેમર પદ્ધતિનો સંપૂર્ણ સાર છે. ઉપરોક્ત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને મળેલા મૂલ્યોની અવેજીમાં x ઇચ્છિત પ્રણાલીમાં, અમે અમારા ઉકેલની શુદ્ધતા (અથવા તેનાથી વિપરીત) માટે સહમત છીએ. તમને ઝડપથી સારને સમજવામાં મદદ કરવા માટે, અમે ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને SLAE ના વિગતવાર ઉકેલનું ઉદાહરણ આપીએ છીએ:

જો તમે પ્રથમ વખત સફળ ન થાવ, તો પણ નિરાશ થશો નહીં! થોડી પ્રેક્ટિસ સાથે, તમે બદામ જેવા SLAU ને તોડવાનું શરૂ કરશો. તદુપરાંત, હવે નોટબુક પર છીદ્રો નાખવાની, બોજારૂપ ગણતરીઓ ઉકેલવા અને મૂળ લખવા માટે બિલકુલ જરૂરી નથી. તમે ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને SLAE ને સરળતાથી ઉકેલી શકો છો, માત્ર ફિનિશ્ડ ફોર્મમાં ગુણાંકને બદલીને. તમે ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઑનલાઇન સોલ્યુશન કેલ્ક્યુલેટર અજમાવી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, આ વેબસાઇટ પર.

અને જો સિસ્ટમ હઠીલા હોવાનું બહાર આવ્યું છે અને છોડતું નથી, તો તમે હંમેશા મદદ માટે અમારા લેખકોને ચાલુ કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, માટે. જો સિસ્ટમમાં ઓછામાં ઓછા 100 અજાણ્યા હોય, તો અમે ચોક્કસપણે તેને યોગ્ય રીતે અને સમયસર ઉકેલીશું!

પ્રથમ ભાગમાં, અમે કેટલીક સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી, અવેજી પદ્ધતિ, તેમજ સિસ્ટમ સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ એડિશનની પદ્ધતિ પર ધ્યાન આપ્યું. હું દરેકને ભલામણ કરું છું કે જેણે આ પૃષ્ઠ દ્વારા સાઇટને ઍક્સેસ કરી હોય તે પ્રથમ ભાગ વાંચે. કદાચ કેટલાક મુલાકાતીઓને સામગ્રી ખૂબ જ સરળ લાગશે, પરંતુ રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં, મેં સામાન્ય રીતે ગાણિતિક સમસ્યાઓના ઉકેલ અંગે ઘણી મહત્વપૂર્ણ ટિપ્પણીઓ અને તારણો કર્યા છે.

હવે આપણે ક્રેમરના નિયમનું વિશ્લેષણ કરીશું, તેમજ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ (મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ) નો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીશું. બધી સામગ્રીઓ સરળ રીતે, વિગતવાર અને સ્પષ્ટ રીતે રજૂ કરવામાં આવી છે;

પ્રથમ, આપણે બે અજાણ્યામાં બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ક્રેમરના નિયમને નજીકથી જોઈશું. શેના માટે? – છેવટે, શાળા પદ્ધતિ, ટર્મ-બાય-ટર્મ એડિશનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સૌથી સરળ સિસ્ટમ ઉકેલી શકાય છે!

હકીકત એ છે કે કેટલીકવાર, પરંતુ કેટલીકવાર એવું કાર્ય હોય છે - ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને બે અજાણ્યા સાથેના બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે. બીજું, એક સરળ ઉદાહરણ તમને વધુ જટિલ કેસ માટે ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે સમજવામાં મદદ કરશે - ત્રણ અજ્ઞાત સાથે ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમ.

વધુમાં, બે ચલો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો છે, જે ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવા માટે સલાહભર્યું છે!

સમીકરણોની સિસ્ટમનો વિચાર કરો

પ્રથમ પગલા પર, અમે નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ છીએ, તેને કહેવામાં આવે છે સિસ્ટમનો મુખ્ય નિર્ધારક.

ગૌસ પદ્ધતિ.

જો , તો સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે, અને મૂળ શોધવા માટે આપણે વધુ બે નિર્ણાયકોની ગણતરી કરવી જોઈએ:
અને

વ્યવહારમાં, ઉપરોક્ત ક્વોલિફાયર્સને લેટિન અક્ષર દ્વારા પણ સૂચવી શકાય છે.

અમે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના મૂળ શોધીએ છીએ:
,

ઉદાહરણ 7

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ: આપણે જોઈએ છીએ કે સમીકરણના ગુણાંક ખૂબ મોટા છે જમણી બાજુએ અલ્પવિરામ સાથે દશાંશ અપૂર્ણાંકો છે. ગણિતના વ્યવહારિક કાર્યોમાં અલ્પવિરામ એ એક દુર્લભ અતિથિ છે;

આવી સિસ્ટમ કેવી રીતે ઉકેલવી? તમે એક ચલને બીજાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો, પરંતુ આ કિસ્સામાં તમે કદાચ ભયંકર ફેન્સી અપૂર્ણાંકો સાથે સમાપ્ત થશો જેની સાથે કામ કરવા માટે અત્યંત અસુવિધાજનક છે, અને સોલ્યુશનની ડિઝાઇન ફક્ત ભયંકર દેખાશે. તમે બીજા સમીકરણને 6 વડે ગુણાકાર કરી શકો છો અને પદ વડે અવધિ બાદ કરી શકો છો, પરંતુ અહીં પણ તે જ અપૂર્ણાંકો ઊભા થશે.

શું કરવું? આવા કિસ્સાઓમાં, ક્રેમરના સૂત્રો બચાવમાં આવે છે.

;

;

જવાબ આપો: ,

બંને મૂળમાં અનંત પૂંછડીઓ છે અને તે લગભગ જોવા મળે છે, જે અર્થમિતિની સમસ્યાઓ માટે તદ્દન સ્વીકાર્ય (અને સામાન્ય પણ) છે.

અહીં ટિપ્પણીઓની જરૂર નથી, કારણ કે કાર્ય તૈયાર ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવામાં આવે છે, જો કે, એક ચેતવણી છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે, ફરજિયાતકાર્ય ડિઝાઇનનો ટુકડો નીચેનો ટુકડો છે: "આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે". નહિંતર, સમીક્ષક તમને ક્રેમરના પ્રમેયનો અનાદર કરવા બદલ સજા કરી શકે છે.

તે તપાસવું અનાવશ્યક રહેશે નહીં, જે કેલ્ક્યુલેટર પર સરળતાથી હાથ ધરવામાં આવી શકે છે: અમે સિસ્ટમના દરેક સમીકરણની ડાબી બાજુએ અંદાજિત મૂલ્યોને બદલીએ છીએ. પરિણામે, નાની ભૂલ સાથે, તમારે જમણી બાજુઓ પર હોય તેવા નંબરો મેળવવું જોઈએ.

ઉદાહરણ 8

જવાબ સામાન્ય અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રજૂ કરો. ચેક કરો.

આ તમારા માટે જાતે ઉકેલવા માટેનું ઉદાહરણ છે (અંતિમ ડિઝાઇનનું ઉદાહરણ અને પાઠના અંતે જવાબ).

ત્રણ અજ્ઞાત સાથેના ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ક્રેમરના નિયમને ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ:

અમે સિસ્ટમના મુખ્ય નિર્ણાયકને શોધીએ છીએ:

જો , તો સિસ્ટમ પાસે અનંત રીતે ઘણા ઉકેલો છે અથવા તે અસંગત છે (કોઈ ઉકેલો નથી). આ કિસ્સામાં, ક્રેમરનો નિયમ મદદ કરશે નહીં, તમારે ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.

જો , તો સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે અને મૂળ શોધવા માટે આપણે વધુ ત્રણ નિર્ણાયકોની ગણતરી કરવી જોઈએ:
, ,

અને અંતે, જવાબની ગણતરી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, “ત્રણ બાય ત્રણ” કેસ મૂળભૂત રીતે “બે બાય બે” કેસથી અલગ નથી;

ઉદાહરણ 9

ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને ઉકેલો.

ઉકેલ: ચાલો ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલીએ.

, જેનો અર્થ છે કે સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે.

જવાબ આપો: .

વાસ્તવમાં, અહીં ફરીથી ટિપ્પણી કરવા માટે કંઈ ખાસ નથી, કારણ કે ઉકેલ તૈયાર ફોર્મ્યુલાને અનુસરે છે. પરંતુ ત્યાં એક દંપતિ ટિપ્પણીઓ છે.

એવું બને છે કે ગણતરીઓના પરિણામે, "ખરાબ" અફર અપૂર્ણાંક પ્રાપ્ત થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે: .
હું નીચેના "સારવાર" અલ્ગોરિધમની ભલામણ કરું છું. જો તમારી પાસે કમ્પ્યુટર નથી, તો આ કરો:

1) ગણતરીમાં ભૂલ હોઈ શકે છે. જલદી તમે "ખરાબ" અપૂર્ણાંકનો સામનો કરો છો, તમારે તરત જ તપાસ કરવાની જરૂર છે શું સ્થિતિ યોગ્ય રીતે ફરીથી લખાઈ છે?. જો શરત ભૂલો વિના ફરીથી લખવામાં આવે છે, તો તમારે બીજી પંક્તિ (કૉલમ) માં વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને નિર્ધારકોની પુનઃગણતરી કરવાની જરૂર છે.

2) જો ચકાસણીના પરિણામે કોઈ ભૂલો ઓળખવામાં આવતી નથી, તો સંભવતઃ કાર્યની પરિસ્થિતિઓમાં ટાઇપ કરવામાં આવી હતી. આ કિસ્સામાં, શાંતિથી અને કાળજીપૂર્વક કાર્ય દ્વારા અંત સુધી કાર્ય કરો, અને પછી તપાસવાની ખાતરી કરોઅને અમે નિર્ણય પછી તેને સ્વચ્છ શીટ પર દોરીએ છીએ. અલબત્ત, આંશિક જવાબ ચકાસવું એ એક અપ્રિય કાર્ય છે, પરંતુ તે શિક્ષક માટે નિઃશસ્ત્ર દલીલ હશે, જે ખરેખર કોઈપણ બુલશીટ માટે માઈનસ આપવાનું પસંદ કરે છે. અપૂર્ણાંકને કેવી રીતે હેન્ડલ કરવું તે ઉદાહરણ 8 ના જવાબમાં વિગતવાર વર્ણવેલ છે.

જો તમારી પાસે કમ્પ્યુટર છે, તો પછી તપાસવા માટે સ્વચાલિત પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરો, જે પાઠની શરૂઆતમાં જ મફતમાં ડાઉનલોડ કરી શકાય છે. માર્ગ દ્વારા, પ્રોગ્રામનો તરત જ ઉપયોગ કરવો સૌથી વધુ નફાકારક છે (સોલ્યુશન શરૂ કરતા પહેલા પણ તમે તરત જ મધ્યવર્તી પગલું જોશો જ્યાં તમે ભૂલ કરી છે! સમાન કેલ્ક્યુલેટર મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમના ઉકેલની આપમેળે ગણતરી કરે છે.

બીજી ટીકા. સમયાંતરે સમીકરણોમાં એવી પ્રણાલીઓ હોય છે કે જેમાં કેટલાક ચલો ખૂટે છે, ઉદાહરણ તરીકે:

અહીં પ્રથમ સમીકરણમાં કોઈ ચલ નથી, બીજામાં કોઈ ચલ નથી. આવા કિસ્સાઓમાં, મુખ્ય નિર્ણાયકને યોગ્ય રીતે અને કાળજીપૂર્વક લખવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે:
- ગુમ થયેલ ચલોની જગ્યાએ શૂન્ય મૂકવામાં આવે છે.
માર્ગ દ્વારા, તે પંક્તિ (કૉલમ) અનુસાર શૂન્ય સાથે નિર્ધારકો ખોલવા માટે તર્કસંગત છે જેમાં શૂન્ય સ્થિત છે, કારણ કે ત્યાં નોંધપાત્ર રીતે ઓછી ગણતરીઓ છે.

ઉદાહરણ 10

ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને ઉકેલો.

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે આ એક ઉદાહરણ છે (અંતિમ ડિઝાઇનનો નમૂનો અને પાઠના અંતે જવાબ).

4 અજાણ્યાઓ સાથે 4 સમીકરણોની સિસ્ટમના કિસ્સામાં, ક્રેમરના સૂત્રો સમાન સિદ્ધાંતો અનુસાર લખવામાં આવે છે. તમે નિર્ધારકોના ગુણધર્મો પાઠમાં જીવંત ઉદાહરણ જોઈ શકો છો. નિર્ણાયકનો ક્રમ ઘટાડવો - પાંચ ચોથા ક્રમના નિર્ધારકો તદ્દન ઉકેલી શકાય તેવા છે. જો કે કાર્ય પહેલાથી જ નસીબદાર વિદ્યાર્થીની છાતી પર પ્રોફેસરના જૂતાની યાદ અપાવે છે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને હલ કરવી

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ અનિવાર્યપણે એક વિશિષ્ટ કેસ છે મેટ્રિક્સ સમીકરણ(નિર્દિષ્ટ પાઠનું ઉદાહરણ નંબર 3 જુઓ).

આ વિભાગનો અભ્યાસ કરવા માટે, તમારે નિર્ણાયકોને વિસ્તૃત કરવા, મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધવા અને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર કરવા સક્ષમ હોવા જોઈએ. સમજૂતીની પ્રગતિ સાથે સંબંધિત લિંક્સ પ્રદાન કરવામાં આવશે.

ઉદાહરણ 11

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલચાલો સિસ્ટમને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં લખીએ:
, ક્યાં

કૃપા કરીને સમીકરણો અને મેટ્રિસિસની સિસ્ટમ જુઓ. મને લાગે છે કે દરેક જણ તે સિદ્ધાંતને સમજે છે જેના દ્વારા આપણે ઘટકોને મેટ્રિસિસમાં લખીએ છીએ. એકમાત્ર ટિપ્પણી: જો સમીકરણોમાંથી કેટલાક ચલો ખૂટે છે, તો શૂન્યને મેટ્રિક્સમાં અનુરૂપ સ્થાનો પર મૂકવા પડશે.

આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધીએ છીએ:
, મેટ્રિક્સના અનુરૂપ તત્વોના બીજગણિતીય પૂરકનું સ્થાનાંતરિત મેટ્રિક્સ ક્યાં છે.

પ્રથમ, ચાલો નિર્ણાયક જોઈએ:

અહીં નિર્ણાયક પ્રથમ લીટી પર વિસ્તૃત છે.

ધ્યાન આપો! જો , તો વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ અસ્તિત્વમાં નથી, અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને હલ કરવી અશક્ય છે. આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમ અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની પદ્ધતિ (ગૌસ પદ્ધતિ) દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે.

હવે આપણે 9 સગીરોની ગણતરી કરવાની અને તેમને સગીર મેટ્રિક્સમાં લખવાની જરૂર છે

સંદર્ભ:રેખીય બીજગણિતમાં ડબલ સબસ્ક્રિપ્ટનો અર્થ જાણવો ઉપયોગી છે. પ્રથમ અંક એ રેખાની સંખ્યા છે જેમાં તત્વ સ્થિત છે. બીજો અંક એ સ્તંભની સંખ્યા છે જેમાં તત્વ સ્થિત છે:

એટલે કે, ડબલ સબસ્ક્રિપ્ટ સૂચવે છે કે તત્વ પ્રથમ પંક્તિ, ત્રીજી કૉલમમાં છે અને, ઉદાહરણ તરીકે, તત્વ 3 પંક્તિ, 2 કૉલમમાં છે.