ગાણિતિક ઇન્ડક્શન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, સૂત્ર સાબિત કરો. ગાણિતિક ઇન્ડક્શનનો સિદ્ધાંત

ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, તે સાબિત કરો કે કોઈપણ કુદરતી માટે nનીચેની સમાનતાઓ માન્ય છે:
અ) ;
b) .

ઉકેલ.

એ) ક્યારે n= 1 સમાનતા સાચી છે. પર સમાનતાની માન્યતા ધારી રહ્યા છીએ n, ત્યારે પણ અમે તેની માન્યતા બતાવીશું n+ 1. ખરેખર,

Q.E.D.

b) ક્યારે n= 1 સમાનતાની માન્યતા સ્પષ્ટ છે. પર તેની માન્યતાની ધારણાથી nજોઈએ

સમાનતા 1 + 2 + ... + આપેલ છે n = n(n+ 1)/2, આપણને મળે છે

1 3 + 2 3 + ... + n 3 + (n + 1) 3 = (1 + 2 + ... + n + (n + 1)) 2 ,

એટલે કે નિવેદન પણ સાચું છે જ્યારે n + 1.

ઉદાહરણ 1.નીચેની સમાનતાઓ સાબિત કરો

ઉકેલ.એ) ક્યારે n= 1 સમાનતા 1=1 સ્વરૂપ લેશે, તેથી, પી(1) સાચું છે. ચાલો માની લઈએ કે આ સમાનતા સાચી છે, એટલે કે તે ધરાવે છે

આમ, ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિ અનુસાર, મૂળ સમાનતા કોઈપણ કુદરતી માટે માન્ય છે n.

નોંધ 2.આ ઉદાહરણ અલગ રીતે ઉકેલી શકાય છે. ખરેખર, સરવાળો 1 + 2 + 3 + ... + છે nપ્રથમનો સરવાળો છે nપ્રથમ પદ સાથે અંકગણિત પ્રગતિની શરતો a 1 = 1 અને તફાવત ડી= 1. જાણીતા સૂત્રના આધારે , અમને મળે છે

b) ક્યારે n= 1 સમાનતા ફોર્મ લેશે: 2 1 - 1 = 1 2 અથવા 1=1, એટલે કે, પી(1) સાચું છે. ચાલો ધારીએ કે સમાનતા

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2 અને સાબિત કરો કે તે થાય છેપી(n + 1): 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2(n + 1) - 1) = (n+ 1) 2 અથવા 1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) + (2n + 1) = (n + 1) 2 .

ઇન્ડક્શન પૂર્વધારણાનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = n 2 + (2n + 1) = (n + 1) 2 .

આમ, પી(n+ 1) સાચું છે અને તેથી, જરૂરી સમાનતા સાબિત થાય છે.

નોંધ 3.આ ઉદાહરણ ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યા વિના (અગાઉના એક જેવું જ) ઉકેલી શકાય છે.

c) ક્યારે n= 1 સમાનતા સાચી છે: 1=1. ચાલો માની લઈએ કે સમાનતા સાચી છે

ડી) ક્યારે n= 1 સમાનતા સાચી છે: 1=1. ચાલો ધારીએ કે તે થાય છે

ખરેખર,

e) મંજૂરી પી(1) સાચું: 2=2. ચાલો ધારીએ કે સમાનતા

પરિણામે, મૂળ સમાનતા કોઈપણ કુદરતી માટે ધરાવે છે n.

f) પી(1) સાચું: 1/3 = 1/3. સમાનતા રહેવા દો પી(n):

ખરેખર, તે ધ્યાનમાં લેતા પી(n) ધરાવે છે, અમે મેળવીએ છીએ

આમ, સમાનતા સાબિત થાય છે.

g) ક્યારે n= 1 અમારી પાસે છે a + b = b + aઅને તેથી સમાનતા વાજબી છે.

ન્યૂટનના દ્વિપદી સૂત્રને માન્ય ગણવા દો n = k, તે જ,

ઉદાહરણ 2.અસમાનતાઓ સાબિત કરો

ઉકેલ.એ) ક્યારે n= 1 આપણને સાચી અસમાનતા મળે છે

1 + a ≥ 1 + a . ચાલો ધારીએ કે અસમાનતા છે

ખરેખર, કારણ કે a > -1 એ + 1 > 0 સૂચવે છે, પછી અસમાનતા (1) ની બંને બાજુઓને (a + 1) વડે ગુણાકાર કરીએ તો, આપણે મેળવીએ છીએ.

(1 + a) n(1 + a) ≥ (1 + n a )(1 + a ) અથવા (1 + a ) n + 1 ≥ 1 + (n+ 1) એ + n a 2 થી n a 2 ≥ 0, તેથી(1 + a) n + 1 ≥ 1 + (n+ 1) એ + n a 2 ≥ 1 + ( n+ 1) એ.

આમ, જો પી(n) તો સાચું છે પી(n+ 1) સાચું છે, તેથી, ગાણિતિક ઇન્ડક્શનના સિદ્ધાંત અનુસાર, બર્નૌલીની અસમાનતા સાચી છે.

b) ક્યારે n= 1 આપણને મળે છે x 1 = 1 અને તેથી x 1 ≥ 1 એટલે કે પી(1) વાજબી નિવેદન છે. ચાલો તે ડોળ કરીએ પી(n) સાચું છે, એટલે કે, જો એડિકા, x 1 ,x 2 ,...,x n - nધન સંખ્યાઓ કે જેનું ઉત્પાદન એક સમાન છે, x 1 x 2 ·...· x n= 1, અને x 1 + x 2 + ... + x n ≥ n.

ચાલો બતાવીએ કે આ વાક્ય નીચેનાની સત્યતાનો સમાવેશ કરે છે: જો x 1 ,x 2 ,...,x n ,x n+1 - (n+ 1) ધન સંખ્યાઓ જેમ કે x 1 x 2 ·...· x n · x n+1 = 1, પછી x 1 + x 2 + ... + x n + x n + 1 ≥n + 1.

નીચેના બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લો:

1) x 1 = x 2 = ... = x n = x n+1 = 1. પછી આ સંખ્યાઓનો સરવાળો છે ( n+ 1), અને જરૂરી અસમાનતા સંતુષ્ટ છે;

2) ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા એકથી અલગ છે, ઉદાહરણ તરીકે, એક કરતા મોટી થવા દો. પછી, ત્યારથી x 1 x 2 · ... · x n · x n+ 1 = 1, ત્યાં ઓછામાં ઓછી એક વધુ સંખ્યા એકથી અલગ છે (વધુ ચોક્કસ રીતે, એક કરતા ઓછી). દો x n+ 1 > 1 અને x n < 1. Рассмотрим nહકારાત્મક સંખ્યાઓ

કારણ કે

(1 - x n)(x n+1 - 1) > 0, પછી n + x n + x n+1 - x n x n+1 = n + 1 + x n+1 (1 - x n) - 1 + x n =
= n + 1 + x n+1 (1 - x n) - (1 - x n) = n + 1 + (1 - x n)(x n+1 - 1) ≥ n+ 1. તેથી, x 1 + x 2 + ... + x n + x n+1 ≥ n+1, એટલે કે, જો પી(n) તો સાચું છેપી(n+ 1) વાજબી. અસમાનતા સાબિત થઈ છે.

નોંધ 4.સમાન ચિહ્ન જો અને માત્ર જો ધરાવે છે x 1 = x 2 = ... = x n = 1.

c) ચાલો x 1 ,x 2 ,...,x n- મનસ્વી હકારાત્મક સંખ્યાઓ. નીચેનાનો વિચાર કરો nહકારાત્મક સંખ્યાઓ:

નોંધ 5.સમાનતા ધરાવે છે જો અને માત્ર જો x 1 = x 2 = ... = x n .

ડી) પી(1) એક વાજબી વિધાન છે: sin 2 a + cos 2 a = 1. ચાલો ધારીએ કે પી(n) એક સાચું નિવેદન છે:

પાપ 2 n a + cos 2 n a ≤ 1 અને શું થાય છે તે બતાવોપી(n+ 1). ખરેખર,પાપ 2( n+ 1) a + cos 2( n+ 1) a = sin 2 n a sin 2 a + cos 2 n a cos 2 a< sin 2n a + cos 2 n a ≤ 1 (જો પાપ 2 a ≤ 1, તો cos 2 a < 1, и обратно: если cos 2 a ≤ 1, પછી sin 2 a < 1). Таким образом, для любого nવિશે એનપાપ 2 n a + cos 2 n ≤ 1 અને સમાનતા ચિહ્ન ત્યારે જ પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારેn = 1.

e) ક્યારે n= 1 વિધાન સાચું છે: 1< 3 / 2 .

ચાલો માની લઈએ અને અમે તે સાબિત કરીશું

f) ટિપ્પણી 1 ને ધ્યાનમાં રાખીને, ચાલો તપાસ કરીએ પી(10): 2 10 > 10 3, 1024 > 1000, તેથી, માટે n= 10 વિધાન સાચું છે. ચાલો ધારીએ કે 2 n > n 3 (n> 10) અને સાબિત કરો પી(n+ 1), એટલે કે 2 n+1 > (n + 1) 3 .

જ્યારે થી n> 10 અમારી પાસે છે અથવા , તે અનુસરે છે

2n 3 > n 3 + 3n 2 + 3n+ 1 અથવા n 3 > 3n 2 + 3n + 1. અસમાનતાને જોતાં (2 n > n 3 ), આપણને 2 મળે છે n+1 = 2 n· 2 = 2 n + 2 n > n 3 + n 3 > n 3 + 3n 2 + 3n + 1 = (n + 1) 3 .

આમ, ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિ અનુસાર, કોઈપણ કુદરતી માટે nવિશે એન, n≥ 10 આપણી પાસે 2 છે n > n 3 .

ઉદાહરણ 3.તે કોઈપણ માટે સાબિત કરો nવિશે એન

ઉકેલ. a) પી(1) સાચું વિધાન છે (0 એ 6 વડે ભાગ્યા છે). દો પી(n) વાજબી છે, એટલે કે n(2n 2 - 3n + 1) = n(n - 1)(2n- 1) 6 વડે વિભાજ્ય છે. ચાલો બતાવીએ કે પછી શું થાય છે પી(n+ 1), એટલે કે, ( n + 1)n(2n+ 1) 6 વડે વિભાજ્ય છે. ખરેખર, ત્યારથી

આમ, પી(n+ 1) વાજબી નિવેદન છે, અને તેથી n(2n 2 - 3n+ 1) કોઈપણ માટે 6 વડે વિભાજ્ય nવિશે એન.

b) ચાલો તપાસીએ પી(1): 6 0 + 3 2 + 3 0 = 11, તેથી, પી(1) વાજબી નિવેદન છે. તે સાબિત થવું જોઈએ કે જો 6 2 n-2 + 3 n+1 + 3 n-1 ને 11 વડે ભાગવામાં આવે છે ( પી(n)), પછી 6 2 n + 3 n+2 + 3 n 11 વડે પણ વિભાજ્ય ( પી(n+ 1)). ખરેખર, ત્યારથી

6 2n + 3 n+2 + 3 n = 6 2n-2+2 + 3 n+1+1 + 3 n-1+1 = = 6 2 6 2 n-2 + 3 3 n+1 + 3 3 n-1 = 3·(6 2 n-2 + 3 n+1 + 3 n-1) + 33 6 2 n-2 અને લાઇક 6 2 n-2 + 3 n+1 + 3 n-1 અને 33 6 2 n-2 11 વડે ભાગી શકાય છે, તો તેમનો સરવાળો 6 છે 2n + 3 n+2 + 3 n 11 વડે વિભાજ્ય છે. વિધાન સાબિત થયું છે. ભૂમિતિમાં ઇન્ડક્શન

ઉદાહરણ 4.સાચા 2 ની બાજુની ગણતરી કરો n- ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં કોતરેલ ત્રિકોણ આર.

ગ્રંથસૂચિ વર્ણન:બદાનિન એ.એસ., સિઝોવા એમ. યુ. 2015. નંબર 2. પૃષ્ઠ 84-86..02.2019).

ગણિતના ઓલિમ્પિયાડ્સમાં પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની વિભાજ્યતાને સાબિત કરવા માટે ઘણી વખત ઘણી મુશ્કેલ સમસ્યાઓ હોય છે. શાળાના બાળકોને સમસ્યાનો સામનો કરવો પડે છે: સાર્વત્રિક ગાણિતિક પદ્ધતિ કેવી રીતે શોધવી જે તેમને આવી સમસ્યાઓ હલ કરવાની મંજૂરી આપે?

તે તારણ આપે છે કે વિભાજ્યતા સાબિત કરવામાં મોટાભાગની સમસ્યાઓ ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલી શકાય છે, પરંતુ શાળાના પાઠ્યપુસ્તકો આ પદ્ધતિ પર બહુ ઓછું ધ્યાન આપે છે, મોટે ભાગે સંક્ષિપ્ત સૈદ્ધાંતિક વર્ણન આપવામાં આવે છે અને ઘણી સમસ્યાઓનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે.

સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં આપણે ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિ શોધીએ છીએ. નંબર થિયરીના પ્રારંભે, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ઘણી હકીકતો પ્રેરક રીતે શોધી કાઢી હતી: એલ. યુલર અને કે. ગૌસે સંખ્યાત્મક પેટર્નની નોંધ લેતા અને તેના પર વિશ્વાસ કરતા પહેલા હજારો ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લીધા હતા. પરંતુ તે જ સમયે, તેઓ સમજી ગયા કે "અંતિમ" કસોટી પસાર કરનારી કલ્પનાઓ કેટલી ભ્રામક હોઈ શકે છે. મર્યાદિત સબસેટ માટે ચકાસાયેલ સ્ટેટમેન્ટમાંથી સમગ્ર અનંત સેટ માટે સમાન સ્ટેટમેન્ટમાં પ્રેરક રીતે ખસેડવા માટે, એક સાબિતી જરૂરી છે. આ પદ્ધતિ બ્લેઈસ પાસ્કલ દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી, જેમણે અન્ય કોઈ પૂર્ણાંક દ્વારા કોઈપણ પૂર્ણાંકની વિભાજ્યતાના ચિહ્નો શોધવા માટે એક સામાન્ય અલ્ગોરિધમ શોધી કાઢ્યું હતું ("સંખ્યાઓની વિભાજ્યતાની પ્રકૃતિ પર" ગ્રંથ).

ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ તમામ કુદરતી સંખ્યાઓ માટે ચોક્કસ વિધાનની સત્યતા અથવા ચોક્કસ સંખ્યા n થી શરૂ થતા વિધાનની સત્યતાને તર્ક દ્વારા સાબિત કરવા માટે થાય છે.

ગાણિતિક ઇન્ડક્શન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ વિધાનની સત્યતા સાબિત કરવા માટે સમસ્યાઓનું નિરાકરણ ચાર તબક્કાઓ ધરાવે છે (ફિગ. 1):

ચોખા. 1. સમસ્યા ઉકેલવા માટેની યોજના

1. ઇન્ડક્શન આધાર . તેઓ સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા માટે વિધાનની માન્યતા તપાસે છે જેના માટે નિવેદનનો અર્થ થાય છે.

2. પ્રેરક પૂર્વધારણા . અમે ધારીએ છીએ કે વિધાન k ના અમુક મૂલ્ય માટે સાચું છે.

3. ઇન્ડક્શન સંક્રમણ . અમે સાબિત કરીએ છીએ કે વિધાન k+1 માટે સાચું છે.

4. નિષ્કર્ષ . જો આવી સાબિતી પૂર્ણ થઈ ગઈ હોય, તો ગાણિતિક ઇન્ડક્શનના સિદ્ધાંતના આધારે, એવી દલીલ કરી શકાય છે કે નિવેદન કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે સાચું છે.

ચાલો પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની વિભાજ્યતાને સાબિત કરવા માટે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ 1. સાબિત કરો કે સંખ્યા 5 એ 19 નો ગુણાંક છે, જ્યાં n એ કુદરતી સંખ્યા છે.

પુરાવો:

1) ચાલો તપાસીએ કે આ સૂત્ર n = 1 માટે સાચું છે: સંખ્યા = 19 એ 19 નો ગુણાંક છે.

2) આ સૂત્ર n = k માટે સાચું રહેવા દો, એટલે કે સંખ્યા 19 નો ગુણાંક છે.

તે 19 નો ગુણાંક છે. ખરેખર, પ્રથમ પદ ધારણા (2) ને કારણે 19 વડે વિભાજ્ય છે; બીજું પદ પણ 19 વડે વિભાજ્ય છે કારણ કે તેમાં 19 નો અવયવ છે.

ઉદાહરણ 2.સાબિત કરો કે સળંગ ત્રણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમઘનનો સરવાળો 9 વડે વિભાજ્ય છે.

પુરાવો:

ચાલો વિધાનને સાબિત કરીએ: “કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે, અભિવ્યક્તિ n 3 +(n+1) 3 +(n+2) 3 એ 9 નો ગુણાંક છે.

1) ચાલો તપાસીએ કે આ સૂત્ર n = 1: 1 3 +2 3 +3 3 =1+8+27=36 9 ના ગુણાંક માટે સાચું છે.

2) આ સૂત્ર n = k માટે સાચું રહેવા દો, એટલે કે k 3 +(k+1) 3 +(k+2) 3 એ 9 નો ગુણાંક છે.

3) ચાલો સાબિત કરીએ કે સૂત્ર n = k + 1 માટે પણ સાચું છે, એટલે કે (k+1) 3 +(k+2) 3 +(k+3) 3 એ 9 નો ગુણાંક છે. (k+1) 3 +( k+2) 3 +(k+3) 3 =(k+1) 3 +(k+2) 3 + k 3 + 9k 2 +27 k+ 27=(k 3 +(k+1) 3 +(k +2) 3)+9(k 2 +3k+3).

પરિણામી અભિવ્યક્તિમાં બે પદો છે, જેમાંથી દરેક 9 વડે વિભાજ્ય છે, તેથી સરવાળો 9 વડે વિભાજ્ય છે.

4) ગાણિતિક ઇન્ડક્શનના સિદ્ધાંતની બંને શરતો સંતુષ્ટ છે, તેથી, વાક્ય n ના તમામ મૂલ્યો માટે સાચું છે.

ઉદાહરણ 3.સાબિત કરો કે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે, સંખ્યા 3 2n+1 +2 n+2 એ 7 વડે વિભાજ્ય છે.

પુરાવો:

1) ચાલો તપાસીએ કે આ સૂત્ર n = 1: 3 2*1+1 +2 1+2 = 3 3 +2 3 = 35 માટે સાચું છે, 35 એ 7 નો ગુણાંક છે.

2) આ સૂત્ર n = k માટે સાચું રહેવા દો, એટલે કે 3 2 k +1 +2 k +2 ને 7 વડે ભાગ્યા છે.

3) ચાલો સાબિત કરીએ કે સૂત્ર n = k + 1 માટે પણ સાચું છે, એટલે કે.

3 2(k +1)+1 +2 (k +1)+2 =3 2 k +1 ·3 2 +2 k +2 ·2 1 =3 2 k +1 ·9+2 k +2 ·2 =3 2 k +1 ·9+2 k +2 ·(9–7)=(3 2 k +1 +2 k +2)·9–7·2 k +2.T. k.

4) ગાણિતિક ઇન્ડક્શનના સિદ્ધાંતની બંને શરતો સંતુષ્ટ છે, તેથી, વાક્ય n ના તમામ મૂલ્યો માટે સાચું છે.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વિભાજ્યતાના સિદ્ધાંતમાં ઘણી સાબિત સમસ્યાઓને ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે; પરંતુ આ પદ્ધતિને સાર્વત્રિક કહી શકાય નહીં, કારણ કે તેમાં ગેરફાયદા પણ છે: પ્રથમ, તે ફક્ત કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહ પર જ સાબિત થઈ શકે છે, અને બીજું, તે ફક્ત એક ચલ માટે સાબિત થઈ શકે છે.

તાર્કિક વિચારસરણી અને ગાણિતિક સંસ્કૃતિના વિકાસ માટે, આ પદ્ધતિ જરૂરી સાધન છે, કારણ કે મહાન રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી એ.એન. કોલમોગોરોવ કહે છે: “ગાણિતિક ઇન્ડક્શનના સિદ્ધાંતને યોગ્ય રીતે સમજવાની અને તેને લાગુ કરવાની ક્ષમતા એ તાર્કિક પરિપક્વતાનો એક સારો માપદંડ છે, જે એકદમ યોગ્ય છે. ગણિતશાસ્ત્રી માટે જરૂરી છે.

સાહિત્ય:

1. વિલેન્કિન એન. યા. સંયોજનશાસ્ત્ર. - એમ.: શિક્ષણ, 1976. - 48 પૃ.

2. ગાણિતિક ઇન્ડક્શન પર Genkin L. - એમ., 1962. - 36 પૃ.

3. સોલોમિન્સકી I. S. ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિ. - એમ.: નૌકા, 1974. - 63 પૃ.

4. ગણિતનો વૈકલ્પિક અભ્યાસક્રમ: સમસ્યાનું નિરાકરણ: ​​10મા ધોરણ માટે પાઠ્યપુસ્તક. શાળા સરેરાશ - એમ.: શિક્ષણ, 1989. - 252 પૃષ્ઠ.

5. શેન એ. ગાણિતિક ઇન્ડક્શન. - એમ.: MTsNMO, 2007. - 32 પૃ.

ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિ

પરિચય

મુખ્ય ભાગ

1. સંપૂર્ણ અને અપૂર્ણ ઇન્ડક્શન
2. ગાણિતિક ઇન્ડક્શનનો સિદ્ધાંત
3. ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિ
4. ઉદાહરણો ઉકેલવા
5. સમાનતા
6. સંખ્યાઓ વિભાજન
7. અસમાનતા

નિષ્કર્ષ

વપરાયેલ સાહિત્યની સૂચિ

પરિચય

કોઈપણ ગાણિતિક સંશોધનનો આધાર અનુમાણિક અને પ્રેરક પદ્ધતિઓ છે. તર્કની આનુમાનિક પદ્ધતિ સામાન્યથી વિશિષ્ટ સુધીની તર્ક છે, એટલે કે. તર્ક, જેનું પ્રારંભિક બિંદુ સામાન્ય પરિણામ છે, અને અંતિમ બિંદુ ચોક્કસ પરિણામ છે. ઇન્ડક્શનનો ઉપયોગ જ્યારે ચોક્કસ પરિણામોમાંથી સામાન્ય પરિણામો તરફ જાય છે, એટલે કે. આનુમાનિક પદ્ધતિની વિરુદ્ધ છે.

ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિને પ્રગતિ સાથે સરખાવી શકાય. આપણે સૌથી નીચાથી શરૂઆત કરીએ છીએ, અને તાર્કિક વિચારસરણીના પરિણામે આપણે ઉચ્ચતમ પર આવીએ છીએ. માણસે હંમેશા પ્રગતિ માટે પ્રયત્ન કર્યો છે, તેના વિચારોને તાર્કિક રીતે વિકસાવવાની ક્ષમતા માટે, જેનો અર્થ છે કે કુદરતે તેને પ્રેરક રીતે વિચારવાનું નક્કી કર્યું છે.

જો કે ગાણિતિક ઇન્ડક્શન પદ્ધતિના ઉપયોગનો અવકાશ વધ્યો છે, તેમ છતાં શાળાના અભ્યાસક્રમમાં તેના માટે થોડો સમય ફાળવવામાં આવ્યો છે. સારું, મને કહો કે તે બે કે ત્રણ પાઠ વ્યક્તિ માટે ઉપયોગી થશે, જે દરમિયાન તે સિદ્ધાંતના પાંચ શબ્દો સાંભળશે, પાંચ આદિમ સમસ્યાઓ હલ કરશે, અને પરિણામે, તે હકીકત માટે A પ્રાપ્ત કરશે કે તે કંઈપણ જાણતો નથી.

પરંતુ પ્રેરક રીતે વિચારવામાં સક્ષમ બનવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.

મુખ્ય ભાગ

તેના મૂળ અર્થમાં, "ઇન્ડક્શન" શબ્દનો ઉપયોગ તર્ક માટે થાય છે જેના દ્વારા સંખ્યાબંધ ચોક્કસ નિવેદનોના આધારે સામાન્ય તારણો મેળવવામાં આવે છે. આ પ્રકારના તર્કની સૌથી સરળ પદ્ધતિ સંપૂર્ણ ઇન્ડક્શન છે. અહીં આવા તર્કનું ઉદાહરણ છે.

તે સ્થાપિત કરવું જરૂરી છે કે 4 ની અંદર દરેક સમ કુદરતી સંખ્યા n છે< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

આ નવ સમાનતાઓ દર્શાવે છે કે અમને રસ છે તે દરેક સંખ્યા ખરેખર બે સરળ શબ્દોના સરવાળા તરીકે રજૂ થાય છે.

આમ, સંપૂર્ણ ઇન્ડક્શનમાં દરેક મર્યાદિત સંખ્યામાં સંભવિત કેસોમાં સામાન્ય નિવેદનને અલગથી સાબિત કરવાનો સમાવેશ થાય છે.

કેટલીકવાર સામાન્ય પરિણામની આગાહી બધાને ધ્યાનમાં લીધા પછી કરી શકાય છે, પરંતુ પૂરતા પ્રમાણમાં મોટી સંખ્યામાં ચોક્કસ કેસ (કહેવાતા અપૂર્ણ ઇન્ડક્શન).

અપૂર્ણ ઇન્ડક્શન દ્વારા મેળવેલ પરિણામ, જો કે, તમામ વિશેષ કેસોને આવરી લેતા, ચોક્કસ ગાણિતિક તર્ક દ્વારા સાબિત ન થાય ત્યાં સુધી માત્ર એક પૂર્વધારણા જ રહે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ગણિતમાં અપૂર્ણ ઇન્ડક્શનને કઠોર પુરાવાની કાયદેસર પદ્ધતિ ગણવામાં આવતી નથી, પરંતુ નવા સત્યો શોધવા માટેની એક શક્તિશાળી પદ્ધતિ છે.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, તમે પ્રથમ n સળંગ બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધવા માંગો છો. ચાલો ખાસ કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ:

1+3+5+7+9=25=5 2

આ કેટલાક વિશેષ કેસોને ધ્યાનમાં લીધા પછી, નીચેના સામાન્ય નિષ્કર્ષ પોતે સૂચવે છે:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

તે પ્રથમ n સળંગ બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો n 2 છે

અલબત્ત, કરવામાં આવેલ અવલોકન હજુ સુધી આપેલ ફોર્મ્યુલાની માન્યતાના પુરાવા તરીકે સેવા આપી શકતું નથી.

પૂર્ણ ઇન્ડક્શનમાં ગણિતમાં માત્ર મર્યાદિત એપ્લિકેશનો છે. ઘણા રસપ્રદ ગાણિતિક નિવેદનો અનંત સંખ્યામાં વિશિષ્ટ કેસોને આવરી લે છે, પરંતુ અમે તેમને અસંખ્ય કેસોની તપાસ કરવામાં સક્ષમ નથી. અપૂર્ણ ઇન્ડક્શન ઘણીવાર ખોટા પરિણામો તરફ દોરી જાય છે.

ઘણા કિસ્સાઓમાં, આ પ્રકારની મુશ્કેલીમાંથી બહાર નીકળવાનો માર્ગ તર્કની વિશેષ પદ્ધતિનો આશરો લેવો છે, જેને ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિ કહેવાય છે. તે નીચે મુજબ છે.

ધારો કે તમારે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે અમુક વિધાનની માન્યતા સાબિત કરવાની જરૂર છે (ઉદાહરણ તરીકે, તમારે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે પ્રથમ n બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો n 2 બરાબર છે). n ના દરેક મૂલ્ય માટે આ વિધાનની સીધી ચકાસણી અશક્ય છે, કારણ કે કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ અનંત છે. આ વિધાનને સાબિત કરવા માટે, પહેલા n=1 માટે તેની માન્યતા તપાસો. પછી તેઓ સાબિત કરે છે કે k ના કોઈપણ કુદરતી મૂલ્ય માટે, n=k માટે વિચારણા હેઠળના નિવેદનની માન્યતા n=k+1 માટે તેની માન્યતા સૂચવે છે.

પછી નિવેદન બધા n માટે સાબિત માનવામાં આવે છે. હકીકતમાં, વિધાન n=1 માટે સાચું છે. પરંતુ તે પછીની સંખ્યા n=1+1=2 માટે પણ સાચું છે. n=2 માટે સ્ટેટમેન્ટની માન્યતા n=2+ માટે તેની માન્યતા સૂચવે છે

1=3. આ n=4, વગેરે માટે નિવેદનની માન્યતા સૂચવે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે, અંતે, આપણે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n સુધી પહોંચીશું. આનો અર્થ એ છે કે નિવેદન કોઈપણ n માટે સાચું છે.

શું કહેવામાં આવ્યું છે તેનો સારાંશ આપતા, અમે નીચેના સામાન્ય સિદ્ધાંતને ઘડીએ છીએ.

ગાણિતિક ઇન્ડક્શનનો સિદ્ધાંત.

જો વાક્ય A(n), કુદરતી સંખ્યા n પર આધાર રાખીને, n=1 માટે સાચું છે અને હકીકત એ છે કે તે n=k માટે સાચું છે (જ્યાં k કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા છે), તે અનુસરે છે કે તે માટે પણ સાચું છે પછીની સંખ્યા n=k +1, પછી ધારણા A(n) કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે સાચી છે.

સંખ્યાબંધ કેસોમાં, ચોક્કસ વિધાનની માન્યતા તમામ કુદરતી સંખ્યાઓ માટે નહીં, પરંતુ માત્ર n>p માટે જ સાબિત કરવી જરૂરી હોઈ શકે છે, જ્યાં p એ નિશ્ચિત કુદરતી સંખ્યા છે. આ કિસ્સામાં, ગાણિતિક ઇન્ડક્શનનો સિદ્ધાંત નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવે છે.

જો પ્રસ્તાવ A(n) n=p માટે સાચો છે અને જો A(k)ÞA(k+1) કોઈપણ k>p માટે, તો પ્રસ્તાવ A(n) કોઈપણ n>p માટે સાચો છે.

ગાણિતિક ઇન્ડક્શન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સાબિતી નીચે મુજબ હાથ ધરવામાં આવે છે. પ્રથમ, સાબિત કરવા માટેનું નિવેદન n=1 માટે તપાસવામાં આવે છે, એટલે કે. વિધાન A(1) નું સત્ય સ્થાપિત થયેલ છે. પુરાવાના આ ભાગને ઇન્ડક્શન આધાર કહેવામાં આવે છે. આ પછી પુરાવાના એક ભાગને ઇન્ડક્શન સ્ટેપ કહેવાય છે. આ ભાગમાં, તેઓ n=k (ઇન્ડક્શન ધારણા) માટેના નિવેદનની માન્યતાની ધારણા હેઠળ n=k+1 માટેના નિવેદનની માન્યતા સાબિત કરે છે, એટલે કે. સાબિત કરો કે A(k)ÞA(k+1).

સાબિત કરો કે 1+3+5+…+(2n-1)=n 2.

ઉકેલ: 1) આપણી પાસે n=1=1 2 છે. આથી,

નિવેદન n=1 માટે સાચું છે, એટલે કે. A(1) સાચું છે.

2) ચાલો સાબિત કરીએ કે A(k)ÞA(k+1).

k ને કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા ગણવા દો અને n=k માટે વિધાન સાચું રહેવા દો, એટલે કે.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

ચાલો સાબિત કરીએ કે પછી વિધાન આગામી પ્રાકૃતિક સંખ્યા n=k+1 માટે પણ સાચું છે, એટલે કે. શું

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

ખરેખર,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

તેથી, A(k)ÞA(k+1). ગાણિતિક ઇન્ડક્શનના સિદ્ધાંતના આધારે, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે A(n) ધારણા કોઈપણ nÎN માટે સાચી છે.

તે સાબિત કરો

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), જ્યાં x¹1

ઉકેલ: 1) n=1 માટે આપણને મળે છે

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

તેથી, n=1 માટે સૂત્ર સાચું છે; A(1) સાચું છે.

2) k ને કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા ગણવા દો અને સૂત્રને n=k માટે સાચું રહેવા દો, એટલે કે.

1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1).

ચાલો સાબિત કરીએ કે પછી સમાનતા છે

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

ખરેખર

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

તેથી, A(k)ÞA(k+1). ગાણિતિક ઇન્ડક્શનના સિદ્ધાંતના આધારે, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે સૂત્ર કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે સાચું છે.

સાબિત કરો કે બહિર્મુખ n-gon ના કર્ણની સંખ્યા n(n-3)/2 ની બરાબર છે.

ઉકેલ: 1) n=3 માટે વિધાન સાચું છે

અને 3 અર્થપૂર્ણ છે, કારણ કે ત્રિકોણમાં

 A 3 =3(3-3)/2=0 કર્ણ;

A 2 A(3) સાચું છે.

2) ચાલો ધારીએ કે દરેકમાં

બહિર્મુખ કે-ગોન પાસે છે-

A 1 x A k =k(k-3)/2 કર્ણ.

અને k ચાલો તે પછી બહિર્મુખમાં સાબિત કરીએ

(k+1)-ગોન નંબર

કર્ણ A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 ને બહિર્મુખ (k+1)-ગોન થવા દો. ચાલો તેમાં કર્ણ A 1 A k દોરીએ. આ (k+1)-ગોનના કર્ણની કુલ સંખ્યાની ગણતરી કરવા માટે, તમારે k-gon A 1 A 2 ...A k માં કર્ણની સંખ્યા ગણવાની જરૂર છે, પરિણામી સંખ્યામાં k-2 ઉમેરો, એટલે કે. A k+1 શિરોબિંદુમાંથી નીકળતા (k+1)-ગોનના કર્ણની સંખ્યા અને વધુમાં, કર્ણ A 1 A k ધ્યાનમાં લેવો જોઈએ.

આમ,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

તેથી, A(k)ÞA(k+1). ગાણિતિક ઇન્ડક્શનના સિદ્ધાંતને કારણે, નિવેદન કોઈપણ બહિર્મુખ n-ગોન માટે સાચું છે.

સાબિત કરો કે કોઈપણ n માટે નીચેનું વિધાન સાચું છે:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

ઉકેલ: 1) ચાલો n=1, પછી

X 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1.

આનો અર્થ છે કે n=1 માટે વિધાન સાચું છે.

2) ધારો કે n=k

X k =k 2 =k(k+1)(2k+1)/6.

3) n=k+1 માટે આ વિધાનને ધ્યાનમાં લો

X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

અમે n=k+1 માટે સમાનતા સાચી હોવાનું સાબિત કર્યું છે, તેથી, ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિના આધારે, વિધાન કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે સાચું છે.

સાબિત કરો કે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા માટે સમાનતા સાચી છે:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

ઉકેલ: 1) ચાલો n=1.

પછી X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

આપણે જોઈએ છીએ કે n=1 માટે વિધાન સાચું છે.

2) ધારો કે સમાનતા n=k માટે સાચી છે

X k =k 2 (k+1) 2 /4.

3) ચાલો n=k+1 માટે આ વિધાનની સત્યતા સાબિત કરીએ, એટલે કે.

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.

ઉપરોક્ત પુરાવા પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે વિધાન n=k+1 માટે સાચું છે, તેથી, સમાનતા કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે સાચી છે.

તે સાબિત કરો

((2 3 +1)/(2 3 -1))´((3 3 +1)/(3 3 -1))´…´((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), જ્યાં n>2.

ઉકેલ: 1) n=2 માટે ઓળખ આના જેવી દેખાય છે: (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3´2´3)/2(2 2 +2+1),

તે તે સાચું છે.

2) ધારો કે અભિવ્યક્તિ n=k માટે સાચી છે

(2 3 +1)/(2 3 -1)´…´(k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1).

3) ચાલો n=k+1 માટે અભિવ્યક્તિની શુદ્ધતા સાબિત કરીએ.

(((2 3 +1)/(2 3 -1))´…´((k 3 +1)/(k 3 -1)))'(((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)'((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2´

´((k+1) 2 +(k+1)+1).

અમે n=k+1 માટે સમાનતા સાચી હોવાનું સાબિત કર્યું છે, તેથી, ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિના આધારે, વિધાન કોઈપણ n>2 માટે સાચું છે.

તે સાબિત કરો

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)

કોઈપણ કુદરતી n માટે.

ઉકેલ: 1) ચાલો n=1, પછી

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.

2) ધારો કે n=k, તો

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3).

3) ચાલો n=k+1 માટે આ વિધાનની સત્યતા સાબિત કરીએ

(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3).

n=k+1 માટે સમાનતાની માન્યતા પણ સાબિત થઈ છે, તેથી વિધાન કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે સાચું છે.

ઓળખ સાચી છે તે સાબિત કરો

(1 2 /1´3)+(2 2 /3´5)+…+(n 2 /(2n-1)´(2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)

કોઈપણ કુદરતી n માટે.

1) n=1 માટે ઓળખ સાચી છે 1 2 /1´3=1(1+1)/2(2+1).

2) ધારો કે n=k માટે

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)´(2k+1))=k(k+1)/2(2k+1).

3) ચાલો સાબિત કરીએ કે ઓળખ n=k+1 માટે સાચી છે.

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1))´((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2)´ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (k+2)/2(2(k+1)+1).

ઉપરોક્ત પુરાવા પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિધાન કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે સાચું છે.

સાબિત કરો કે (11 n+2 +12 2n+1) શેષ વિના 133 વડે ભાગી શકાય છે.

ઉકેલ: 1) ચાલો n=1, પછી

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23´133.

પરંતુ (23´133) શેષ વિના 133 વડે વિભાજ્ય છે, જેનો અર્થ છે કે n=1 માટે વિધાન સાચું છે; A(1) સાચું છે.

2) ધારો કે (11 k+2 +12 2k+1) શેષ વિના 133 વડે વિભાજ્ય છે.

3) ચાલો આ કિસ્સામાં તે સાબિત કરીએ

(11 k+3 +12 2k+3) શેષ વિના 133 વડે વિભાજ્ય છે. ખરેખર, 11 k+3 +12 2k+3 =11´11 k+2 +12 2´ 12 2k+1 =11´11 k+2 +

+(11+133)´12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133´12 2k+1 .

પરિણામી સરવાળો શેષ વગર 133 વડે ભાગવામાં આવે છે, કારણ કે તેની પ્રથમ અવધિ ધારણા દ્વારા શેષ વિના 133 વડે ભાગી શકાય છે, અને બીજામાં એક પરિબળ 133 છે. તેથી, A(k)ÞA(k+1). ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિના આધારે, નિવેદન સાબિત થયું છે.

સાબિત કરો કે કોઈપણ n 7 માટે n -1 શેષ વિના 6 વડે ભાગી શકાય છે.

ઉકેલ: 1) ચાલો n=1, પછી X 1 =7 1 -1=6 ને 6 વડે ભાગ્યા વિના શેષ. આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે n=1 વિધાન સાચું છે.

2) ધારો કે n=k માટે

7 k -1 એ શેષ વિના 6 વડે વિભાજ્ય છે.

3) ચાલો સાબિત કરીએ કે વિધાન n=k+1 માટે સાચું છે.

X k+1 =7 k+1 -1=7´7 k -7+6=7(7 k -1)+6.

પ્રથમ પદ 6 વડે વિભાજ્ય છે, કારણ કે 7 k -1 ધારણા દ્વારા 6 વડે વિભાજ્ય છે, અને બીજી પદ 6 છે. આનો અર્થ છે 7 n -1 એ કોઈપણ કુદરતી n માટે 6 નો ગુણાંક છે. ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિના આધારે, નિવેદન સાબિત થાય છે.

સાબિત કરો કે મનસ્વી કુદરતી n માટે 3 3n-1 +2 4n-3 એ 11 વડે વિભાજ્ય છે.
ઉકેલ: 1) ચાલો n=1, પછી

X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 ને શેષ વિના 11 વડે ભાગવામાં આવે છે. આનો અર્થ છે કે n=1 માટે વિધાન સાચું છે.

2) ધારો કે n=k માટે

X k =3 3k-1 +2 4k-3 એ શેષ વિના 11 વડે વિભાજ્ય છે.

3) ચાલો સાબિત કરીએ કે વિધાન n=k+1 માટે સાચું છે.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3´ 3 3k-1 +2 4´ 2 4k-3 =

27´3 3k-1 +16´2 4k-3 =(16+11)´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16´3 3k-1 +

11´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11´3 3k-1 .

પ્રથમ પદ શેષ વિના 11 વડે વિભાજ્ય છે, કારણ કે 3 3k-1 +2 4k-3 ધારણા દ્વારા 11 વડે વિભાજ્ય છે, બીજો 11 વડે વિભાજ્ય છે, કારણ કે તેના પરિબળ પૈકી એક સંખ્યા 11 છે. આનો અર્થ એ થાય કે સરવાળો કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે શેષ વિના 11 વડે ભાગી શકાય છે. ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિના આધારે, નિવેદન સાબિત થાય છે.

સાબિત કરો કે મનસ્વી કુદરતી n માટે 11 2n -1 એ શેષ વિના 6 વડે વિભાજ્ય છે.

ઉકેલ: 1) ચાલો n=1, પછી 11 2 -1=120 એ 6 વડે ભાગ્યા વિના શેષ છે. આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે n=1 વિધાન સાચું છે.

2) ધારો કે n=k માટે

11 2k -1 એ શેષ વિના 6 વડે ભાગી શકાય છે.

11 2(k+1) -1=121´11 2k -1=120´11 2k +(11 2k -1).

બંને શબ્દો શેષ વિના 6 વડે વિભાજ્ય છે: પ્રથમમાં 6 નો ગુણાંક છે, સંખ્યા 120 છે, અને બીજી ધારણા દ્વારા શેષ વિના 6 વડે વિભાજ્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે સરવાળો શેષ વિના 6 વડે ભાગી શકાય છે. ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિના આધારે, નિવેદન સાબિત થાય છે.

સાબિત કરો કે મનસ્વી પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે 3 3n+3 -26n-27 એ શેષ વિના 26 2 (676) વડે વિભાજ્ય છે.

ઉકેલ: સૌપ્રથમ આપણે સાબિત કરીએ છીએ કે 3 3n+3 -1 એ 26 વડે વિભાજ્ય શેષ વિના છે.

1. જ્યારે n=0

3 3 -1=26 ને 26 વડે ભાગ્યા છે

2. ચાલો ધારીએ કે n=k માટે

3 3k+3 -1 26 વડે વિભાજ્ય છે

3. ચાલો તે નિવેદન સાબિત કરીએ

n=k+1 માટે સાચું.

3 3k+6 -1=27´3 3k+3 -1=26´3 3л+3 +(3 3k+3 -1) – ભાગ્યા 26

હવે અમે પ્રોબ્લેમ સ્ટેટમેન્ટમાં ઘડવામાં આવેલા નિવેદનના પુરાવાને હાથ ધરીશું.

1) દેખીતી રીતે, જ્યારે n=1 વિધાન સાચું છે

3 3+3 -26-27=676

2) ધારો કે n=k માટે

અભિવ્યક્તિ 3 3k+3 -26k-27 શેષ વિના 26 2 વડે ભાગવામાં આવે છે.

3) ચાલો સાબિત કરીએ કે વિધાન n=k+1 માટે સાચું છે

3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27).

બંને પદો 26 2 વડે વિભાજ્ય છે; પ્રથમ 26 2 વડે વિભાજ્ય છે કારણ કે આપણે કૌંસમાં અભિવ્યક્તિની વિભાજ્યતાને 26 વડે સાબિત કરી છે, અને બીજું ઇન્ડક્શન પૂર્વધારણા દ્વારા વિભાજ્ય છે. ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિના આધારે, નિવેદન સાબિત થાય છે.

સાબિત કરો કે જો n>2 અને x>0, તો અસમાનતા સાચી છે

(1+x) n >1+n´x.

ઉકેલ: 1) n=2 માટે અસમાનતા માન્ય છે, ત્યારથી

(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x.

તેથી A(2) સાચું છે.

2) ચાલો સાબિત કરીએ કે A(k)ÞA(k+1), જો k> 2. ધારીએ કે A(k) સાચું છે, એટલે કે, અસમાનતા

(1+x) k >1+k´x. (3)

ચાલો સાબિત કરીએ કે પછી A(k+1) પણ સાચું છે, એટલે કે, અસમાનતા

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

વાસ્તવમાં, અસમાનતાની બંને બાજુઓ (3) ને ધન સંખ્યા 1+x વડે ગુણાકાર કરવાથી, આપણને મળે છે

(1+x) k+1 >(1+k´x)(1+x).

ચાલો છેલ્લી અસમાનતાની જમણી બાજુનો વિચાર કરીએ

stva; અમારી પાસે

(1+k´x)(1+x)=1+(k+1)´x+k´x 2 >1+(k+1)´x.

પરિણામે, અમે તે મેળવીએ છીએ

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

તેથી, A(k)ÞA(k+1). ગાણિતિક ઇન્ડક્શનના સિદ્ધાંતના આધારે, એવી દલીલ કરી શકાય છે કે બર્નૌલીની અસમાનતા કોઈપણ માટે સાચી છે.

અસમાનતા સાચી છે તે સાબિત કરો

(1+a+a 2) m > 1+m´a+(m(m+1)/2)´a 2 a > 0 માટે.

ઉકેલ: 1) જ્યારે m=1

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2)´a 2 બંને બાજુઓ સમાન છે.

2) ધારો કે m=k માટે

(1+a+a 2) k >1+k´a+(k(k+1)/2)´a 2

3) ચાલો સાબિત કરીએ કે m=k+1 માટે અસમાનતા સાચી છે

(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k´a+

+(k(k+1)/2)´a 2)=1+(k+1)´a+((k(k+1)/2)+k+1)´a 2 +

+(k(k+1)/2)+k)´a 3 +(k(k+1)/2)´a 4 > 1+(k+1)´a+

+((k+1)(k+2)/2)´a 2 .

અમે m=k+1 માટે અસમાનતાની માન્યતા સાબિત કરી છે, તેથી, ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિના આધારે, અસમાનતા કોઈપણ કુદરતી m માટે માન્ય છે.

સાબિત કરો કે n>6 માટે અસમાનતા સાચી છે

3 n > n´2 n+1 .

ઉકેલ: ચાલો ફોર્મમાં અસમાનતાને ફરીથી લખીએ

1. n=7 માટે આપણી પાસે છે

3 7 /2 7 =2187/128>14=2´7

અસમાનતા સાચી છે.

2. ચાલો ધારીએ કે n=k માટે

3) ચાલો n=k+1 માટે અસમાનતાની માન્યતા સાબિત કરીએ.

3 k+1 /2 k+1 =(3 k /2 k)´(3/2)>2k´(3/2)=3k>2(k+1).

k>7 થી, છેલ્લી અસમાનતા સ્પષ્ટ છે.

ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિના આધારે, અસમાનતા કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે માન્ય છે.

સાબિત કરો કે n>2 માટે અસમાનતા સાચી છે

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n).

ઉકેલ: 1) n=3 માટે અસમાનતા સાચી છે

1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180<246/180=1,7-(1/3).

1. ચાલો ધારીએ કે n=k માટે

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k).

3) ચાલો આપણે બિન-ની માન્યતા સાબિત કરીએ

n=k+1 માટે સમાનતા

(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2).

ચાલો સાબિત કરીએ કે 1.7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)Û

Û(1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/kÛ(k+2)/(k+1) 2 <1/kÛ

Ûk(k+2)<(k+1) 2Û k 2 +2k

બાદમાં સ્પષ્ટ છે, અને તેથી

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1).

ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિના આધારે, અસમાનતા સાબિત થાય છે.

નિષ્કર્ષ

ખાસ કરીને, ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિનો અભ્યાસ કરીને, મેં ગણિતના આ ક્ષેત્રમાં મારા જ્ઞાનમાં વધારો કર્યો, અને અગાઉ મારી શક્તિની બહારની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરવાનું પણ શીખ્યું.

આ મુખ્યત્વે તાર્કિક અને મનોરંજક કાર્યો હતા, એટલે કે. માત્ર તે કે જેઓ ગણિતમાં વિજ્ઞાન તરીકે રસ વધારે છે. આવી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ એક મનોરંજક પ્રવૃત્તિ બની જાય છે અને વધુને વધુ જિજ્ઞાસુ લોકોને ગાણિતિક ભુલભુલામણી તરફ આકર્ષિત કરી શકે છે. મારા મતે, આ કોઈપણ વિજ્ઞાનનો આધાર છે.

ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિનો અભ્યાસ કરવાનું ચાલુ રાખીને, હું તેને માત્ર ગણિતમાં જ નહીં, પણ ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર અને જીવનની સમસ્યાઓના ઉકેલમાં પણ કેવી રીતે લાગુ કરવું તે શીખવાનો પ્રયત્ન કરીશ.

ગણિત:

પ્રવચનો, સમસ્યાઓ, ઉકેલો

પાઠ્યપુસ્તક / વી.જી., યુ.વી. શબુનિન. પોટપોરી એલએલસી 1996.

બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત

પાઠ્યપુસ્તક / I.T. Demidov, A.N. Shvartsburg, O.S. Weitz. "બોધ" 1975.

ઇન્ડક્શન એ ચોક્કસ અવલોકનોમાંથી સામાન્ય નિવેદન મેળવવાની એક પદ્ધતિ છે. એવા કિસ્સામાં જ્યાં ગાણિતિક વિધાન મર્યાદિત સંખ્યામાં ઑબ્જેક્ટને લગતું હોય, તે દરેક ઑબ્જેક્ટ માટે પરીક્ષણ દ્વારા સાબિત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, વિધાન: "દરેક બે-અંકની સમાન સંખ્યા એ બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો છે," સમાનતાઓની શ્રેણીમાંથી અનુસરે છે જે સ્થાપિત કરવા માટે તદ્દન શક્ય છે:

10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 . . . 92=3+89 94=5+89 96=7+89 98=19+79.

એક સાબિતી પદ્ધતિ કે જેમાં તમામ શક્યતાઓને ખતમ કરતા મર્યાદિત સંખ્યામાં કેસો માટે નિવેદનની ચકાસણી કરવામાં આવે છે તેને સંપૂર્ણ ઇન્ડક્શન કહેવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ પ્રમાણમાં ભાગ્યે જ થાય છે, કારણ કે ગાણિતિક નિવેદનો, નિયમ તરીકે, મર્યાદિત નથી, પરંતુ ઑબ્જેક્ટના અનંત સમૂહોની ચિંતા કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંપૂર્ણ ઇન્ડક્શન દ્વારા ઉપર સાબિત થયેલ બે-અંકની સંખ્યાઓ વિશેનું વિધાન એ પ્રમેયનો માત્ર એક વિશિષ્ટ કેસ છે: "કોઈપણ સમ સંખ્યા એ બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો છે." આ પ્રમેય હજુ સુધી સાબિત કે ખોટો સાબિત થયો નથી.

ગાણિતિક ઇન્ડક્શન એ ગાણિતિક ઇન્ડક્શનના સિદ્ધાંત પર આધારિત કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે ચોક્કસ વિધાનને સાબિત કરવાની પદ્ધતિ છે: “જો વિધાન n=1 માટે સાચું હોય અને n=k માટે તેની માન્યતા n=k માટે આ વિધાનની માન્યતા સૂચવે છે. +1, તો તે બધા n માટે સાચું છે " ગાણિતિક ઇન્ડક્શન દ્વારા સાબિતીની પદ્ધતિ નીચે મુજબ છે:

1) ઇન્ડક્શનનો આધાર: તેઓ n=1 (ક્યારેક n=0 અથવા n=n 0) માટે નિવેદનની માન્યતાને સાબિત કરે છે અથવા સીધી રીતે ચકાસે છે;

2) ઇન્ડક્શન સ્ટેપ (સંક્રમણ): તેઓ અમુક કુદરતી સંખ્યા n=k માટે સ્ટેટમેન્ટની માન્યતાને ધારે છે અને, આ ધારણાના આધારે, n=k+1 માટે સ્ટેટમેન્ટની માન્યતા સાબિત કરે છે.

ઉકેલો સાથે સમસ્યાઓ

1. સાબિત કરો કે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે, સંખ્યા 3 2n+1 +2 n+2 એ 7 વડે વિભાજ્ય છે.

ચાલો A(n)=3 2n+1 +2 n+2 સૂચવીએ.

ઇન્ડક્શન બેઝ. જો n=1, તો A(1)=3 3 +2 3 =35 અને દેખીતી રીતે, 7 વડે વિભાજ્ય છે.

ઇન્ડક્શન ધારણા. ચાલો A(k) ને 7 વડે ભાગી શકાય.

ઇન્ડક્શન સંક્રમણ. ચાલો સાબિત કરીએ કે A(k+1) 7 વડે વિભાજ્ય છે, એટલે કે n=k માટે સમસ્યાના વિધાનની માન્યતા.

A(k+1)=3 2(k+1)+1 +2 (k+1)+2 =3 2k+1 ·3 2 +2 k+2 ·2 1 =3 2k+1 ·9+2 k+2 ·2=

3 2k+1 9+2 k+2 (9–7)=(3 2k+1 +2 k+2) 9–7 2 k+2 =9 A(k)–7 2 k +2.

છેલ્લી સંખ્યા 7 વડે વિભાજ્ય છે, કારણ કે તે 7 વડે વિભાજ્ય બે પૂર્ણાંકોનો તફાવત છે. તેથી, 3 2n+1 +2 n+2 કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે 7 વડે વિભાજ્ય છે.

2. સાબિત કરો કે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે, સંખ્યા 2 3 n +1 એ 3 n+1 વડે વિભાજ્ય છે અને 3 n+2 વડે વિભાજ્ય નથી.

ચાલો સંકેત રજૂ કરીએ: a i =2 3 i +1.

n=1 માટે આપણી પાસે છે, અને 1 =2 3 +1=9. તેથી, 1 એ 3 2 વડે વિભાજ્ય છે અને 3 3 વડે વિભાજ્ય નથી.

n=k માટે ચાલો a k એ 3 k+1 વડે વિભાજ્ય છે અને 3 k+2 વડે વિભાજ્ય નથી, એટલે કે, a k =2 3 k +1=3 k+1 m, જ્યાં m 3 વડે વિભાજ્ય નથી.

અને k+1 =2 3 k+1 +1=(2 3 k) 3 +1=(2 3 k +1)(2 3 k ·2 –2 3 k +1)=3 k+1 ·m· ((2 3 k +1) 2 –3·2 3 k)=3 k+1 ·m·((3 k+1 ·m) 2 –3·2 3 k)=

3 k+2 ·m·(3 2k+1 ·m 2 –2 3 k).

દેખીતી રીતે, એક k+1 3 k+2 વડે વિભાજ્ય છે અને 3 k+3 વડે વિભાજ્ય નથી.

તેથી, વિધાન કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે સાબિત થાય છે.

3. તે જાણીતું છે કે x+1/x એ પૂર્ણાંક છે. સાબિત કરો કે x n +1/x n એ કોઈપણ પૂર્ણાંક n માટે પણ પૂર્ણાંક છે.

ચાલો નોટેશન રજૂ કરીએ: a i =х i +1/х i અને તરત જ નોંધ લો કે a i =а –i, તેથી આપણે કુદરતી સૂચકાંકો વિશે વાત કરવાનું ચાલુ રાખીશું.

નોંધ: એ 1 સંમેલન દ્વારા પૂર્ણાંક છે; અને 2 એ પૂર્ણાંક છે, કારણ કે 2 = (a 1) 2 –2; અને 0 =2.

ચાલો માની લઈએ કે k એ કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા k માટે પૂર્ણાંક છે જે n થી વધુ ન હોય. પછી 1 ·a n એ પૂર્ણાંક છે, પરંતુ 1 ·a n =a n+1 +a n–1 અને n+1 =a 1 ·a n –a n–1 . જો કે, n–1, ઇન્ડક્શન પૂર્વધારણા અનુસાર, પૂર્ણાંક છે. આનો અર્થ એ છે કે n+1 પણ પૂર્ણાંક છે. તેથી, x n +1/x n એ કોઈપણ પૂર્ણાંક n માટે પૂર્ણાંક છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

4. સાબિત કરો કે 1 કરતા મોટી કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે બેવડી અસમાનતા સાચી છે

5. સાબિત કરો કે કુદરતી n > 1 અને |x| માટે

(1–x)n +(1+x)n

n=2 માટે અસમાનતા સાચી છે. ખરેખર,

(1–x) 2 +(1+x) 2 = 2+2 x 2

જો અસમાનતા n=k માટે સાચી હોય, તો n=k+1 માટે આપણી પાસે છે

(1–x) k+1 +(1+x) k+1

કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n > 1 માટે અસમાનતા સાબિત થઈ છે.

6. પ્લેનમાં n વર્તુળો છે. સાબિત કરો કે આ વર્તુળોની કોઈપણ ગોઠવણી માટે, તેઓ બનાવેલા નકશાને બે રંગોથી યોગ્ય રીતે રંગીન કરી શકાય છે.

ચાલો ગાણિતિક ઇન્ડક્શન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ.

n=1 માટે વિધાન સ્પષ્ટ છે.

ચાલો ધારીએ કે વિધાન n વર્તુળો દ્વારા બનેલા કોઈપણ નકશા માટે સાચું છે, અને પ્લેન પર n+1 વર્તુળો હોવા દો. આ વર્તુળોમાંથી એકને દૂર કરીને, અમને એક નકશો મળે છે, જે ધારણાને કારણે, બે રંગોથી યોગ્ય રીતે રંગીન થઈ શકે છે (નીચેનું પ્રથમ ચિત્ર જુઓ).

પછી આપણે કાઢી નાખેલ વર્તુળને પુનઃસ્થાપિત કરીશું અને તેની એક બાજુએ, ઉદાહરણ તરીકે અંદર, આપણે દરેક વિસ્તારના રંગને વિરુદ્ધમાં બદલીશું (બીજું ચિત્ર જુઓ). તે જોવાનું સરળ છે કે આ કિસ્સામાં આપણે બે રંગોથી યોગ્ય રીતે રંગીન નકશો મેળવીશું, પરંતુ હવે ફક્ત n+1 વર્તુળો માટે, જે આપણને સાબિત કરવાની જરૂર છે.

7. જો નીચેની શરતો પૂરી થાય તો અમે બહિર્મુખ બહુકોણને "સુંદર" કહીશું:

1) તેના દરેક શિરોબિંદુ ત્રણમાંથી એક રંગમાં દોરવામાં આવ્યા છે;

2) કોઈપણ બે અડીને આવેલા શિરોબિંદુઓ વિવિધ રંગોમાં દોરવામાં આવે છે;

3) બહુકોણનો ઓછામાં ઓછો એક શિરોબિંદુ ત્રણ રંગોમાંના દરેકમાં દોરવામાં આવ્યો છે.

સાબિત કરો કે કોઈપણ સુંદર n-gon ને "સુંદર" ત્રિકોણમાં વિભાજિત કર્ણ દ્વારા કાપી શકાય છે.

ચાલો ગાણિતિક ઇન્ડક્શન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ.

ઇન્ડક્શન બેઝ. સૌથી નાનું શક્ય n=3 સાથે, સમસ્યાનું નિવેદન સ્પષ્ટ છે: "સુંદર" ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ ત્રણ જુદા જુદા રંગોમાં દોરવામાં આવ્યા છે અને કોઈ કાપની જરૂર નથી.

ઇન્ડક્શન ધારણા. ચાલો ધારીએ કે સમસ્યાનું નિવેદન કોઈપણ "સુંદર" એન-ગોન માટે સાચું છે.

ઇન્ડક્શન પગલું. ચાલો આપણે મનસ્વી “સુંદર” (n+1)-ગોનનો વિચાર કરીએ અને ઇન્ડક્શન પૂર્વધારણાનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરીએ કે તેને અમુક કર્ણ દ્વારા “સુંદર” ત્રિકોણમાં કાપી શકાય છે. ચાલો A ​​1, A 2, A 3, ... A n, A n+1 દ્વારા (n+1)-ગોનના ક્રમિક શિરોબિંદુઓને સૂચિત કરીએ. જો (n+1)-ગોનનો માત્ર એક શિરોબિંદુ ત્રણમાંથી કોઈપણ રંગમાં રંગીન હોય, તો પછી આ શિરોબિંદુને તેની બાજુમાં ન હોય તેવા તમામ શિરોબિંદુઓ સાથે કર્ણ સાથે જોડીને, આપણે (n+1) નું જરૂરી પાર્ટીશન મેળવીએ છીએ. -"સુંદર" ત્રિકોણમાં જાઓ.

જો એક (n+1)-ગોનના ઓછામાં ઓછા બે શિરોબિંદુઓ દરેક ત્રણ રંગોમાં રંગીન હોય, તો આપણે શિરોબિંદુ A 1 નો રંગ નંબર 1 દ્વારા અને શિરોબિંદુ A 2 નો રંગ નંબર 2 દ્વારા સૂચવીએ છીએ. ચાલો k એ સૌથી નાની સંખ્યા છે જેમ કે શિરોબિંદુ A k ત્રીજા રંગમાં રંગીન હોય. તે સ્પષ્ટ છે કે k > 2. ચાલો ત્રિકોણ A k–2 A k–1 A k ને (n+1)-ગોનમાંથી કર્ણ A k–2 A k સાથે કાપી નાખીએ. k નંબરની પસંદગી અનુસાર, આ ત્રિકોણના તમામ શિરોબિંદુઓ ત્રણ જુદા જુદા રંગોમાં દોરવામાં આવ્યા છે, એટલે કે, આ ત્રિકોણ "સુંદર" છે. બહિર્મુખ n-gon A 1 A 2 ... A k–2 A k A k+1 ... A n+1 , જે રહે છે, તે પણ પ્રેરક ધારણાના આધારે, "સુંદર" હશે, જેનો અર્થ થાય છે તે "સુંદર" ત્રિકોણમાં વહેંચાયેલું છે, જે અને સાબિત કરવાની જરૂર છે.

8. સાબિત કરો કે બહિર્મુખ n-gon માં n વિકર્ણ કરતાં વધુ પસંદ કરવાનું અશક્ય છે જેથી તેમાંથી કોઈપણ બેમાં સમાન બિંદુ હોય.

ચાલો ગાણિતિક ઇન્ડક્શન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સાબિતી હાથ ધરીએ.

ચાલો આપણે એક વધુ સામાન્ય વિધાન સાબિત કરીએ: બહિર્મુખ n-gon માં n કરતાં વધુ બાજુઓ અને કર્ણ પસંદ કરવાનું અશક્ય છે જેથી તેમાંથી કોઈપણ બેમાં સમાન બિંદુ હોય. n = 3 માટે વિધાન સ્પષ્ટ છે. ચાલો ધારીએ કે આ વિધાન મનસ્વી n-gon માટે સાચું છે અને આનો ઉપયોગ કરીને, અમે મનસ્વી (n+1)-gon માટે તેની માન્યતા સાબિત કરીશું.

ચાલો ધારીએ કે આ વિધાન (n+1)-ગોન માટે સાચું નથી. જો (n+1)-ગોનના દરેક શિરોબિંદુમાંથી બે કરતાં વધુ પસંદ કરેલી બાજુઓ અથવા વિકર્ણો નીકળતા નથી, તો તેમાંથી n+1 કરતાં વધુ પસંદ કરવામાં આવતાં નથી. તેથી, અમુક શિરોબિંદુ A માંથી ઓછામાં ઓછી ત્રણ પસંદ કરેલી બાજુઓ અથવા કર્ણ AB, AC, AD હોય છે. AC ને AB અને AD વચ્ચે રહેવા દો. બિંદુ C અને CA સિવાયની કોઈપણ બાજુ અથવા વિકર્ણ એકસાથે AB અને AD ને છેદે નહીં, તેથી માત્ર એક પસંદ કરેલ વિકર્ણ CA બિંદુ C માંથી બહાર આવે છે.

વિકર્ણ CA સાથે બિંદુ C ને એકસાથે કાઢી નાખવાથી, આપણે એક બહિર્મુખ n-gon મેળવીએ છીએ જેમાં n કરતાં વધુ બાજુઓ અને કર્ણ પસંદ કરવામાં આવે છે, જેમાંથી કોઈપણ બેમાં સમાન બિંદુ હોય છે. આમ, અમે એવી ધારણા સાથે વિરોધાભાસ પર આવીએ છીએ કે નિવેદન એક મનસ્વી બહિર્મુખ n-gon માટે સાચું છે.

તેથી, (n+1)-ગોન માટે નિવેદન સાચું છે. ગાણિતિક ઇન્ડક્શનના સિદ્ધાંત મુજબ, નિવેદન કોઈપણ બહિર્મુખ n-ગોન માટે સાચું છે.

9. પ્લેનમાં n સીધી રેખાઓ હોય છે, જેમાંથી કોઈ બે સમાંતર નથી અને કોઈ ત્રણ સમાન બિંદુમાંથી પસાર થતા નથી. આ રેખાઓ વિમાનને કેટલા ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે?

પ્રાથમિક રેખાંકનોનો ઉપયોગ કરીને, તમે સરળતાથી ચકાસી શકો છો કે એક સીધી રેખા પ્લેનને 2 ભાગોમાં, બે સીધી રેખાઓને 4 ભાગોમાં, ત્રણ સીધી રેખાઓને 7 ભાગોમાં અને ચાર સીધી રેખાઓને 11 ભાગોમાં વહેંચે છે.

ચાલો N(n) દ્વારા તે ભાગોની સંખ્યા દર્શાવીએ કે જેમાં n સીધી રેખાઓ સમતલને વિભાજિત કરે છે. તે નોંધી શકાય છે

N(2)=N(1)+2=2+2,

N(3)=N(2)+3=2+2+3,

N(4)=N(3)+4=2+2+3+4.

એવું માની લેવું સ્વાભાવિક છે

N(n)=N(n–1)+n=2+2+3+4+5+…+n,

અથવા, અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ n શરતોના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સ્થાપિત કરવું સરળ છે,

N(n)=1+n(n+1)/2.

ચાલો ગાણિતિક ઇન્ડક્શન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ સૂત્રની માન્યતા સાબિત કરીએ.

n=1 માટે ફોર્મ્યુલા પહેલાથી જ ચકાસાયેલ છે.

ઇન્ડક્શન ધારણા કર્યા પછી, અમે k+1 રેખાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જે સમસ્યાની શરતોને સંતોષે છે. ચાલો તેમાંથી k સીધી રેખાઓ મનસ્વી રીતે પસંદ કરીએ. ઇન્ડક્શન પૂર્વધારણા દ્વારા, તેઓ પ્લેનને 1+ k(k+1)/2 ભાગોમાં વિભાજિત કરશે. બાકીની (k+1)મી સીધી રેખાને પસંદ કરેલી k સીધી રેખાઓ દ્વારા k+1 ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવશે અને તેથી, તે (k+1)મા ભાગ સાથે પસાર થશે જેમાં પ્લેન પહેલેથી વિભાજિત કરવામાં આવ્યું છે, અને દરેક આ ભાગોમાંથી 2 ભાગોમાં વહેંચવામાં આવશે, એટલે કે, અન્ય k+1 ભાગ ઉમેરવામાં આવશે. તેથી,

N(k+1)=N(k)+k+1=1+ k(k+1)/2+k+1=1+(k+1)(k+2)/2,

Q.E.D.

10. અભિવ્યક્તિ x 1: x 2: ... : x n, ક્રિયાઓનો ક્રમ સૂચવવા માટે કૌંસ મૂકવામાં આવે છે અને પરિણામ અપૂર્ણાંક તરીકે લખવામાં આવે છે:

(આ કિસ્સામાં, દરેક અક્ષર x 1, x 2, ..., x n કાં તો અપૂર્ણાંકના અંશમાં છે અથવા છેદમાં છે). કૌંસ મૂકવાની તમામ સંભવિત રીતો સાથે આ રીતે કેટલા વિવિધ અભિવ્યક્તિઓ મેળવી શકાય છે?

સૌ પ્રથમ, તે સ્પષ્ટ છે કે પરિણામી અપૂર્ણાંકમાં x 1 અંશમાં હશે. તે લગભગ એટલું જ સ્પષ્ટ છે કે x 2 એ છેદમાં હશે, પછી ભલેને કૌંસ કેવી રીતે મૂકવામાં આવે (x 2 ની સામેનું વિભાજન ચિહ્ન કાં તો x 2 ને અથવા અંશમાં x 2 ધરાવતી અમુક અભિવ્યક્તિનો સંદર્ભ આપે છે).

એવું માની શકાય છે કે અન્ય તમામ અક્ષરો x 3, x 4, ..., x n સંપૂર્ણપણે મનસ્વી રીતે અંશ અથવા છેદમાં સ્થિત હોઈ શકે છે. તે અનુસરે છે કે કુલ મળીને તમે 2 n–2 અપૂર્ણાંક મેળવી શકો છો: દરેક n–2 અક્ષરો x 3, x 4, ..., x n અંશ અથવા છેદમાં અન્યથી સ્વતંત્ર રીતે દેખાઈ શકે છે.

ચાલો આ વિધાનને ઇન્ડક્શન દ્વારા સાબિત કરીએ.

n=3 સાથે તમે 2 અપૂર્ણાંક મેળવી શકો છો:

તેથી નિવેદન સાચું છે.

ચાલો ધારીએ કે તે n=k માટે સાચું છે અને તેને n=k+1 માટે સાબિત કરીએ.

સમીકરણ x 1: x 2: ... : x k ને કૌંસના અમુક સ્થાન પછી ચોક્કસ અપૂર્ણાંક Q ના રૂપમાં લખવા દો. જો આ અભિવ્યક્તિમાં x k ને બદલે આપણે x k: x k+1 બદલીએ, તો x k હશે અપૂર્ણાંક Q માં હતું તે જ જગ્યાએ, અને x k+1 જ્યાં x k હતો ત્યાં નહીં હોય (જો x k છેદમાં હોય, તો x k+1 અંશમાં હશે અને ઊલટું).

હવે આપણે સાબિત કરીશું કે જ્યાં x k સ્થિત છે તે જ જગ્યાએ આપણે x k+1 ઉમેરી શકીએ છીએ. અપૂર્ણાંક Q માં, કૌંસ મૂક્યા પછી, આવશ્યકપણે q:x k ફોર્મની અભિવ્યક્તિ હશે, જ્યાં q એ x k–1 અક્ષર છે અથવા કૌંસમાં કેટલીક અભિવ્યક્તિ છે. q:x k ને અભિવ્યક્તિ (q:x k):x k+1 =q:(x k ·x k+1) સાથે બદલીને, આપણને દેખીતી રીતે સમાન અપૂર્ણાંક Q મળે છે, જ્યાં x k ને બદલે x k ·x k+1 છે.

આમ, n=k+1 કેસમાં તમામ સંભવિત અપૂર્ણાંકોની સંખ્યા n=k કેસ કરતાં 2 ગણી વધારે છે અને તે 2 k–2 ·2=2 (k+1)–2 ની બરાબર છે. આમ નિવેદન સાબિત થાય છે.

જવાબ: 2 n–2 અપૂર્ણાંક.

ઉકેલો વિના સમસ્યાઓ

1. સાબિત કરો કે કોઈપણ કુદરતી n માટે:

a) સંખ્યા 5 n –3 n +2n 4 વડે વિભાજ્ય છે;

b) સંખ્યા n 3 +11n 6 વડે વિભાજ્ય છે;

c) સંખ્યા 7 n +3n–1 9 વડે વિભાજ્ય છે;

d) સંખ્યા 6 2n +19 n –2 n+1 17 વડે વિભાજ્ય છે;

e) સંખ્યા 7 n+1 +8 2n–1 એ 19 વડે વિભાજ્ય છે;

e) સંખ્યા 2 2n–1 –9n 2 +21n–14 27 વડે વિભાજ્ય છે.

2. સાબિત કરો કે (n+1)·(n+2)· …·(n+n) = 2 n ·1·3·5·…·(2n–1).

3. અસમાનતા |sin nx| સાબિત કરો n|sin x| કોઈપણ કુદરતી n માટે.

4. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ a, b, c શોધો જે 10 વડે વિભાજ્ય ન હોય અને જેમ કે કોઈપણ પ્રાકૃતિક n માટે a n + b n અને c n એ સમાન છેલ્લા બે અંકો હોય.

5. સાબિત કરો કે જો n બિંદુઓ એક જ રેખા પર ન હોય, તો પછી તેમને જોડતી રેખાઓમાં ઓછામાં ઓછા n અલગ હોય છે.

પીઆનોના સ્વયંસિદ્ધ 4 પર આધારિત સાબિતી પદ્ધતિનો ઉપયોગ ઘણા ગાણિતિક ગુણધર્મો અને વિવિધ નિવેદનોને સાબિત કરવા માટે થાય છે. આનો આધાર નીચેનો પ્રમેય છે.

પ્રમેય. જો નિવેદન A(n)કુદરતી ચલ સાથે nમાટે સાચું n= 1 અને હકીકત એ છે કે તે માટે સાચું છે n = k, તે અનુસરે છે કે તે આગામી નંબર માટે સાચું છે n=k,પછી નિવેદન A(n) n.

પુરાવો. ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ એમતે અને માત્ર તે કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ જેના માટે નિવેદન છે A(n)સાચું. પછી પ્રમેયની શરતોમાંથી આપણી પાસે છે: 1) 1 એમ; 2) કિમીkએમ. અહીંથી, સ્વયંસિદ્ધ 4 ના આધારે, અમે તે તારણ કાઢીએ છીએ એમ =એન, એટલે કે નિવેદન A(n)કોઈપણ કુદરતી માટે સાચું n.

આ પ્રમેય પર આધારિત સાબિતી પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે ગાણિતિક ઇન્ડક્શન પદ્ધતિ દ્વારા,અને સ્વયંસિદ્ધ એ ઇન્ડક્શનનું સ્વયંસિદ્ધ છે. આ પુરાવા બે ભાગો સમાવે છે:

1) તે નિવેદન સાબિત કરો A(n)માટે સાચું n= A(1);

2) ધારો કે નિવેદન A(n)માટે સાચું n = k, અને, આ ધારણાના આધારે, નિવેદન સાબિત કરો A(n)માટે સાચું n = k + 1, એટલે કે. કે નિવેદન સાચું છે A(k) A(k + 1).

જો A( 1) એ(k) A(k + 1) - સાચું નિવેદન, પછી તેઓ નિષ્કર્ષ પર આવે છે કે નિવેદન A(n)કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા માટે સાચું n.

ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિ દ્વારા સાબિતી ફક્ત નિવેદનની સત્યતાની પુષ્ટિ સાથે જ શરૂ થઈ શકે છે n= 1, પણ કોઈપણ કુદરતી સંખ્યામાંથી m. આ કિસ્સામાં નિવેદન A(n)તમામ કુદરતી સંખ્યાઓ માટે સાબિત થશે nm.

સમસ્યા: ચાલો સાબિત કરીએ કે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા માટે સમાનતા 1 + 3 + 5 … + (2 n- 1) = n

ઉકેલ.સમાનતા 1 + 3 + 5 … + (2 n- 1) = nએ એક સૂત્ર છે જેનો ઉપયોગ પ્રથમ સળંગ વિચિત્ર કુદરતી સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધવા માટે થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (સરવાળામાં 4 પદો છે), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (સરવાળામાં 6 પદો છે); જો આ રકમમાં દર્શાવેલ પ્રકારના 20 શબ્દો હોય, તો તે 20 = 400, વગેરેની બરાબર છે. આ સમાનતાના સત્યને સાબિત કર્યા પછી, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉલ્લેખિત પ્રકારના કોઈપણ શબ્દોનો સરવાળો શોધી શકીશું.

1) ચાલો આપણે આ સમાનતાના સત્યને ચકાસીએ n= 1. ક્યારે n= 1 સમાનતાની ડાબી બાજુ 1 ની બરાબર એક પદ ધરાવે છે, જમણી બાજુ 1 = 1 ની બરાબર છે. ત્યારથી 1 = 1, પછી માટે n= 1 આ સમાનતા સાચી છે.

2) ધારો કે આ સમાનતા માટે સાચું છે n = k, એટલે કે કે 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) = kઆ ધારણાના આધારે, અમે સાબિત કરીએ છીએ કે તે માટે સાચું છે n = k + 1, એટલે કે. 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1).

ચાલો છેલ્લી સમાનતાની ડાબી બાજુ જોઈએ.

ધારણા દ્વારા, પ્રથમનો સરવાળો kશરતો સમાન છે kઅને તેથી 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k- 1) + (2k+ 1)=

= k+(2k + 1) = k+ 2k + 1. અભિવ્યક્તિ k+ 2k + 1 એ અભિવ્યક્તિ સમાન છે ( k + 1).

તેથી, માટે આ સમાનતા સત્ય n = k + 1 પુરવાર થયો છે.

આમ, આ સમાનતા માટે સાચી છે n= 1 અને તેના સત્યમાંથી n = kમાટે સાચું હોવું જોઈએ n = k + 1.

આ સાબિત કરે છે કે આ સમાનતા કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા માટે સાચી છે.

ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, તમે માત્ર સમાનતાઓ જ નહીં, પણ અસમાનતાઓનું સત્ય સાબિત કરી શકો છો.

કાર્ય. તે સાબિત કરો, ક્યાં nN.

ઉકેલ.પર અસમાનતાનું સત્ય તપાસીએ n= 1. આપણી પાસે છે - સાચી અસમાનતા.

ચાલો ધારીએ કે અસમાનતા માટે સાચું છે n = k,તે - સાચી અસમાનતા. ચાલો આપણે સાબિત કરીએ, ધારણાના આધારે, તે માટે પણ સાચું છે n = k + 1, એટલે કે. (*).

ચાલો અસમાનતા (*) ની ડાબી બાજુનું રૂપાંતર કરીએ, તે ધ્યાનમાં લેતા: .

પણ , મતલબ કે .

તેથી, આ અસમાનતા માટે સાચું છે n= 1, અને, હકીકત એ છે કે અસમાનતા કેટલાક માટે સાચી છે n= k, અમને જાણવા મળ્યું કે તે માટે પણ સાચું છે n= k + 1.

આમ, સ્વયંસિદ્ધ 4 નો ઉપયોગ કરીને, અમે સાબિત કર્યું કે આ અસમાનતા કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા માટે સાચી છે.

અન્ય વિધાનોને ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છે.

કાર્ય. સાબિત કરો કે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા માટે નિવેદન સાચું છે.

ઉકેલ. ચાલો નિવેદનની સત્યતા તપાસીએ જ્યારે n= 1:-સાચું નિવેદન.

ચાલો ધારીએ કે આ વિધાન માટે સાચું છે n = k: . ચાલો, આનો ઉપયોગ કરીને, જ્યારે નિવેદનની સત્યતા બતાવીએ n = k + 1: .

ચાલો અભિવ્યક્તિને પરિવર્તિત કરીએ: . ચાલો તફાવત શોધીએ kઅને k+ 1 સભ્યો. જો તે તારણ આપે છે કે પરિણામી તફાવત 7 નો ગુણાકાર છે, અને ધારણા દ્વારા સબટ્રેહેન્ડ 7 વડે વિભાજ્ય છે, તો મિનુએન્ડ પણ 7 નો ગુણાંક છે:

ઉત્પાદન 7 નો ગુણાંક છે, તેથી, અને .

આમ, આ નિવેદન માટે સાચું છે n= 1 અને તેના સત્યમાંથી n = kમાટે સાચું હોવું જોઈએ n = k + 1.

આ સાબિત કરે છે કે આ વિધાન કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા માટે સાચું છે.

કાર્ય. કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા માટે તે સાબિત કરો n 2 વિધાન (7-1)24 સાચું છે.

ઉકેલ. 1) ચાલો વિધાનની સત્યતા ક્યારે તપાસીએ n= 2:- સાચું નિવેદન.