વ્યાખ્યા. લંબગોળ એ પ્લેન પરના પોઈન્ટનું ભૌમિતિક સ્થાન છે, જેમાંથી પ્રત્યેકના અંતરનો સરવાળો આ પ્લેનના બે આપેલા બિંદુઓથી, ફોસી કહેવાય છે, તે એક સ્થિર મૂલ્ય છે (જો કે આ મૂલ્ય ફોસી વચ્ચેના અંતર કરતાં વધુ હોય) .
ચાલો આપણે ફોસીને તેમની વચ્ચેના અંતર દ્વારા દર્શાવીએ - બાય , અને અંડાકારના દરેક બિંદુથી ફોસી સુધીના અંતરના સરવાળાના સમાન મૂલ્ય (શરત દ્વારા).
ચાલો એક કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ બનાવીએ જેથી ફોસી એબ્સીસા અક્ષ પર હોય, અને કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ સેગમેન્ટની મધ્યમાં એકરુપ હોય (ફિગ. 44). પછી ફોસીમાં નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ હશે: ડાબી ફોકસ અને જમણી ફોકસ. ચાલો આપણે પસંદ કરેલ સંકલન પ્રણાલીમાં અંડાકારનું સમીકરણ મેળવીએ. આ હેતુ માટે, લંબગોળના એક મનસ્વી બિંદુને ધ્યાનમાં લો. લંબગોળની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, આ બિંદુથી કેન્દ્ર સુધીના અંતરનો સરવાળો બરાબર છે:
બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે તેથી મેળવીએ છીએ
આ સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે, અમે તેને ફોર્મમાં લખીએ છીએ
પછી સમીકરણની બંને બાજુઓનું વર્ગીકરણ કરીએ તો આપણને મળે છે
અથવા, સ્પષ્ટ સરળીકરણો પછી:
હવે આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને ફરીથી ચોરસ કરીએ છીએ, જેના પછી આપણી પાસે છે:
અથવા, સમાન રૂપાંતરણો પછી:
કારણ કે, અંડાકારની વ્યાખ્યામાંની સ્થિતિ અનુસાર, પછી સંખ્યા હકારાત્મક છે. ચાલો નોટેશન રજૂ કરીએ
પછી સમીકરણ નીચેનું સ્વરૂપ લેશે:
અંડાકારની વ્યાખ્યા દ્વારા, તેના કોઈપણ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે (26). પરંતુ સમીકરણ (29) એ સમીકરણ (26) નું પરિણામ છે. પરિણામે, તે અંડાકારના કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા પણ સંતુષ્ટ થાય છે.
તે બતાવી શકાય છે કે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ જે લંબગોળ પર આવેલા નથી તે સમીકરણને સંતોષતા નથી (29). આમ, સમીકરણ (29) એ એલિપ્સનું સમીકરણ છે. તેને અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.
ચાલો તેના પ્રમાણભૂત સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને લંબગોળનો આકાર સ્થાપિત કરીએ.
સૌ પ્રથમ, ચાલો એ હકીકત પર ધ્યાન આપીએ કે આ સમીકરણમાં માત્ર x અને y ની સમાન શક્તિઓ છે. આનો અર્થ એ છે કે જો કોઈપણ બિંદુ એલિપ્સ સાથે સંબંધિત હોય, તો તેમાં એબ્સીસા અક્ષને સંબંધિત બિંદુ સાથે સપ્રમાણતાવાળા બિંદુ અને ઓર્ડિનેટ અક્ષને સંબંધિત બિંદુ સાથે સપ્રમાણતા ધરાવતા બિંદુનો સમાવેશ થાય છે. આમ, લંબગોળ સમપ્રમાણતાના બે પરસ્પર લંબ અક્ષો ધરાવે છે, જે અમારી પસંદ કરેલ સંકલન પ્રણાલીમાં સંકલન અક્ષો સાથે મેળ ખાય છે. અમે હવેથી અંડાકારની સમપ્રમાણતાની અક્ષોને અંડાકારની અક્ષો અને તેમના આંતરછેદના બિંદુને અંડાકારનું કેન્દ્ર કહીશું. અક્ષ કે જેના પર અંડાકારનું ફોસી સ્થિત છે (આ કિસ્સામાં, એબ્સીસા અક્ષ) ફોકલ અક્ષ કહેવાય છે.
ચાલો પહેલા ક્વાર્ટરમાં લંબગોળનો આકાર નક્કી કરીએ. આ કરવા માટે, ચાલો y માટે સમીકરણ (28) હલ કરીએ:
તે સ્પષ્ટ છે કે અહીં , કારણ કે y કાલ્પનિક મૂલ્યો લે છે. જેમ જેમ તમે 0 થી a સુધી વધો છો તેમ, y b થી ઘટીને 0 થાય છે. પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં પડેલો અંડાકારનો ભાગ બિંદુ B (0; b) દ્વારા બંધાયેલ ચાપ હશે અને સંકલન અક્ષો પર પડેલો હશે (ફિગ. 45). હવે લંબગોળની સમપ્રમાણતાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે એ નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે અંડાકારનો આકાર ફિગમાં દર્શાવેલ છે. 45.
અક્ષો સાથે અંડાકારના આંતરછેદના બિંદુઓને અંડાકારના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે. લંબગોળની સમપ્રમાણતા પરથી તે અનુસરે છે કે, શિરોબિંદુઓ ઉપરાંત, લંબગોળમાં વધુ બે શિરોબિંદુઓ છે (જુઓ. ફિગ. 45).
એલિપ્સના સેગમેન્ટ્સ અને કનેક્ટિંગ વિરોધી શિરોબિંદુઓ, તેમજ તેમની લંબાઈ, અનુક્રમે અંડાકારની મુખ્ય અને નાની અક્ષો કહેવાય છે. સંખ્યાઓ a અને b ને અનુક્રમે અંડાકારની મુખ્ય અને નાની અર્ધ-અક્ષ કહેવામાં આવે છે.
અંડાકારના અર્ધ-મુખ્ય અક્ષથી ફોસી વચ્ચેના અડધા અંતરના ગુણોત્તરને અંડાકારની વિચિત્રતા કહેવામાં આવે છે અને સામાન્ય રીતે અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:
કારણ કે , લંબગોળની વિષમતા એકતા કરતા ઓછી છે: વિષમતા લંબગોળના આકારને દર્શાવે છે. ખરેખર, સૂત્ર (28) પરથી તે અનુસરે છે કે અંડાકારની વિષમતા જેટલી નાની હોય છે, તેનો અર્ધ-ગૌણ અક્ષ b અર્ધ-મુખ્ય અક્ષથી અલગ પડે છે, એટલે કે, અંડાકાર ઓછો વિસ્તરેલ હોય છે (ફોકલ અક્ષની સાથે).
મર્યાદિત કિસ્સામાં, પરિણામ એ ત્રિજ્યા a: , અથવા નું વર્તુળ છે. તે જ સમયે, લંબગોળનું કેન્દ્રબિંદુ એક બિંદુ પર મર્જ થતું જણાય છે - વર્તુળનું કેન્દ્ર. વર્તુળની તરંગીતા શૂન્ય છે:
લંબગોળ અને વર્તુળ વચ્ચેનું જોડાણ બીજા દૃષ્ટિકોણથી સ્થાપિત કરી શકાય છે. ચાલો બતાવીએ કે અર્ધ-અક્ષો a અને b સાથેના લંબગોળને ત્રિજ્યા a ના વર્તુળના પ્રક્ષેપણ તરીકે ગણી શકાય.
ચાલો આપણે બે વિમાનો P અને Q ને ધ્યાનમાં લઈએ, જે પોતાની વચ્ચે એક એંગલ બનાવે છે, જેના માટે (ફિગ. 46). ચાલો P પ્લેનમાં કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ બનાવીએ, અને Q પ્લેનમાં સામાન્ય મૂળ O સાથે ઑક્સી સિસ્ટમ અને વિમાનોના આંતરછેદની રેખા સાથે એકસાથે સમાન એબ્સિસા અક્ષ. પ્લેન P માં એક વર્તુળનો વિચાર કરો
મૂળમાં કેન્દ્ર અને a ની બરાબર ત્રિજ્યા સાથે. વર્તુળ પર મનસ્વી રીતે પસંદ કરેલ બિંદુ બનવા દો, તેનું Q સમતલ પર પ્રક્ષેપણ બનીએ અને Ox અક્ષ પર બિંદુ M નું પ્રક્ષેપણ થવા દો. ચાલો બતાવીએ કે બિંદુ અર્ધ-અક્ષો a અને b સાથે લંબગોળ પર આવેલું છે.
વ્યાખ્યા 7.1.પ્લેન પરના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ જેના માટે બે નિશ્ચિત બિંદુઓ F 1 અને F 2 સુધીના અંતરનો સરવાળો આપેલ સ્થિર મૂલ્ય કહેવાય છે. લંબગોળ
લંબગોળની વ્યાખ્યા તેના ભૌમિતિક બાંધકામની નીચેની પદ્ધતિ આપે છે. અમે પ્લેન પર બે બિંદુઓ F 1 અને F 2 ઠીક કરીએ છીએ, અને 2a દ્વારા બિન-નકારાત્મક સ્થિર મૂલ્ય દર્શાવીએ છીએ. બિંદુ F 1 અને F 2 વચ્ચેનું અંતર 2c થવા દો. ચાલો કલ્પના કરીએ કે લંબાઈ 2a નો અક્ષમ થ્રેડ F 1 અને F 2 બિંદુઓ પર નિશ્ચિત છે, ઉદાહરણ તરીકે, બે સોયનો ઉપયોગ કરીને. તે સ્પષ્ટ છે કે આ ફક્ત ≥ c માટે જ શક્ય છે. પેંસિલથી દોરાને ખેંચીને, એક રેખા દોરો, જે લંબગોળ હશે (ફિગ. 7.1).
તેથી, વર્ણવેલ સમૂહ ખાલી નથી જો a ≥ c. જ્યારે a = c, લંબગોળ એ F 1 અને F 2 ના અંત સાથેનો સેગમેન્ટ છે અને જ્યારે c = 0, એટલે કે. જો અંડાકારની વ્યાખ્યામાં નિર્દિષ્ટ નિયત બિંદુઓ એકરૂપ થાય, તો તે ત્રિજ્યા a નું વર્તુળ છે. આ અધોગતિના કિસ્સાઓને છોડી દેવાથી, અમે નિયમ તરીકે આગળ ધારીશું કે a > c > 0.
અંડાકારની વ્યાખ્યા 7.1 માં નિશ્ચિત બિંદુઓ F 1 અને F 2 કહેવામાં આવે છે (ફિગ. 7.1 જુઓ) લંબગોળ કેન્દ્ર, તેમની વચ્ચેનું અંતર, 2c દ્વારા દર્શાવેલ છે, - ફોકલ લંબાઈ, અને લંબગોળ પર એક મનસ્વી બિંદુ M ને તેના ફોસી સાથે જોડતા F 1 M અને F 2 M સેગમેન્ટ્સ છે ફોકલ ત્રિજ્યા.
લંબગોળનો આકાર કેન્દ્રીય લંબાઈ |F 1 F 2 | દ્વારા સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત થાય છે = 2c અને પરિમાણ a, અને પ્લેન પર તેની સ્થિતિ - પોઈન્ટ F 1 અને F 2 ની જોડી.
લંબગોળની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે તે ફોસી F 1 અને F 2માંથી પસાર થતી રેખાના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે, તેમજ તે રેખાના સંદર્ભમાં જે F 1 F 2 સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે અને તેની લંબ છે. (ફિગ. 7.2, એ). આ રેખાઓ કહેવામાં આવે છે લંબગોળ અક્ષો. તેમના આંતરછેદનો બિંદુ O એ અંડાકારની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે, અને તેને કહેવામાં આવે છે લંબગોળનું કેન્દ્ર, અને સમપ્રમાણતાની અક્ષો સાથે લંબગોળના આંતરછેદના બિંદુઓ (અંજીર 7.2, a માં A, B, C અને D બિંદુઓ) - લંબગોળના શિરોબિંદુઓ.
નંબર a કહેવાય છે અંડાકારની અર્ધ મુખ્ય ધરી, અને b = √(a 2 - c 2) - તેના નાની અક્ષ. તે જોવાનું સરળ છે કે c > 0 માટે, અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ એ એલિપ્સના કેન્દ્રથી તેના શિરોબિંદુઓ સુધીના અંતર જેટલો છે જે લંબગોળના કેન્દ્રબિંદુ સાથે સમાન ધરી પર છે (શિરોબિંદુ A અને B ફિગ. 7.2, a) માં, અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ b એ કેન્દ્ર લંબગોળથી તેના અન્ય બે શિરોબિંદુઓ (ફિગ. 7.2, a માં શિરોબિંદુઓ C અને D) ના અંતર જેટલું છે.
અંડાકાર સમીકરણ.ચાલો F 1 અને F 2 બિંદુઓ, મુખ્ય અક્ષ 2a પર ફોકસ સાથે સમતલ પરના કેટલાક લંબગોળોને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો 2c ને કેન્દ્રીય લંબાઈ, 2c = |F 1 F 2 |
ચાલો પ્લેન પર એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ ઓક્સી પસંદ કરીએ જેથી તેનું મૂળ લંબગોળના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ હોય અને તેનું ફોસી ચાલુ હોય. x-અક્ષ(ફિગ. 7.2, બી). આવી સંકલન પ્રણાલી કહેવામાં આવે છે પ્રમાણભૂતપ્રશ્નમાં લંબગોળ માટે, અને અનુરૂપ ચલો છે પ્રમાણભૂત.
પસંદ કરેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, ફોસીમાં F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે. બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શરત |F 1 M| લખીએ છીએ + |F 2 M| કોઓર્ડિનેટ્સમાં = 2a:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
આ સમીકરણ અસુવિધાજનક છે કારણ કે તેમાં બે ચોરસ રેડિકલ છે. તો ચાલો તેને રૂપાંતરિત કરીએ. ચાલો સમીકરણ (7.2) માં બીજા રેડિકલને જમણી બાજુએ ખસેડીએ અને તેનો વર્ગ કરીએ:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .
કૌંસ ખોલ્યા પછી અને સમાન શરતો લાવ્યા પછી, આપણને મળે છે
√((x + c) 2 + y 2) = a + εx
જ્યાં ε = c/a. અમે બીજા રેડિકલને દૂર કરવા માટે સ્ક્વેરિંગ ઑપરેશનનું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, અથવા, દાખલ કરેલ પરિમાણ ε, (a 2 - c 2) ના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . ત્યારથી a 2 - c 2 = b 2 > 0, પછી
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)
સમીકરણ (7.4) એલિપ્સ પર આવેલા તમામ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સંતુષ્ટ છે. પરંતુ આ સમીકરણ મેળવતી વખતે, મૂળ સમીકરણ (7.2) ના બિનસમાન રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો - બે સ્ક્વેરિંગ જે ચોરસ રેડિકલને દૂર કરે છે. સમીકરણનું વર્ગીકરણ એ સમકક્ષ રૂપાંતરણ છે જો બંને બાજુઓ સમાન ચિહ્ન સાથેની માત્રા ધરાવે છે, પરંતુ અમે અમારા પરિવર્તનમાં આ તપાસ્યું નથી.
જો આપણે નીચેની બાબતોને ધ્યાનમાં લઈએ તો આપણે પરિવર્તનની સમાનતાને તપાસવાનું ટાળી શકીએ છીએ. પોઈન્ટની જોડી F 1 અને F 2, |F 1 F 2 | = 2c, પ્લેન પર આ બિંદુઓ પર ફોસી સાથે લંબગોળોના પરિવારને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. પ્લેનનો દરેક બિંદુ, F 1 F 2 સેગમેન્ટના બિંદુઓ સિવાય, સૂચવેલ પરિવારના અમુક લંબગોળ સાથે સંબંધિત છે. આ કિસ્સામાં, કોઈ બે લંબગોળ છેદે નથી, કારણ કે કેન્દ્રીય ત્રિજ્યાનો સરવાળો વિશિષ્ટ રીતે ચોક્કસ લંબગોળ નક્કી કરે છે. તેથી, આંતરછેદ વગરના લંબગોળોનું વર્ણવેલ કુટુંબ F 1 F 2 સેગમેન્ટના બિંદુઓ સિવાય, સમગ્ર વિમાનને આવરી લે છે. ચાલો બિંદુઓના સમૂહને ધ્યાનમાં લઈએ કે જેના કોઓર્ડિનેટ સમીકરણ (7.4) ને પરિમાણ a ના આપેલ મૂલ્ય સાથે સંતોષે છે. શું આ સમૂહને અનેક લંબગોળો વચ્ચે વહેંચી શકાય? સમૂહના કેટલાક બિંદુઓ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ a સાથે લંબગોળ સાથે સંબંધિત છે. અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ a સાથે લંબગોળ પર આવેલા આ સમૂહમાં એક બિંદુ રહેવા દો. પછી આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણનું પાલન કરે છે
તે સમીકરણો (7.4) અને (7.5) સામાન્ય ઉકેલો ધરાવે છે. જો કે, તે સિસ્ટમ ચકાસવા માટે સરળ છે
ã ≠ a માટે કોઈ ઉકેલ નથી. આ કરવા માટે, તે બાકાત કરવા માટે પૂરતું છે, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ સમીકરણમાંથી x:
જે પરિવર્તન પછી સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે
જેની પાસે ã ≠ a માટે કોઈ ઉકેલ નથી, ત્યારથી. તેથી, (7.4) એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ a > 0 અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ b =√(a 2 - c 2) > 0 સાથે લંબગોળનું સમીકરણ છે. તેને કહેવામાં આવે છે. પ્રમાણભૂત લંબગોળ સમીકરણ.
લંબગોળ દૃશ્ય.ઉપર ચર્ચા કરેલ એલિપ્સ બનાવવાની ભૌમિતિક પદ્ધતિ એલિપ્સના દેખાવનો પૂરતો ખ્યાલ આપે છે. પરંતુ લંબગોળના આકારનો પણ તેના પ્રામાણિક સમીકરણ (7.4) નો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે y ≥ 0 ધારીને, x દ્વારા y ને વ્યક્ત કરી શકો છો: y = b√(1 - x 2 /a 2), અને, આ કાર્યનો અભ્યાસ કર્યા પછી, તેનો ગ્રાફ બનાવી શકો છો. એલિપ્સ બનાવવાની બીજી રીત છે. લંબગોળ (7.4) ની પ્રામાણિક સંકલન પ્રણાલીના મૂળમાં કેન્દ્ર સાથે ત્રિજ્યા aનું વર્તુળ સમીકરણ x 2 + y 2 = a 2 દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. જો તે ગુણાંક a/b > 1 સાથે સંકુચિત છે y-અક્ષ, પછી તમને એક વળાંક મળે છે જે સમીકરણ x 2 + (ya/b) 2 = a 2, એટલે કે, એક લંબગોળ દ્વારા વર્ણવેલ છે.
ટિપ્પણી 7.1.જો સમાન વર્તુળ a/b અવયવ દ્વારા સંકુચિત હોય
લંબગોળ તરંગીતા. અંડાકારની કેન્દ્રીય લંબાઈ અને તેની મુખ્ય ધરીનો ગુણોત્તર કહેવાય છે અંડાકારની તરંગીતાઅને ε દ્વારા સૂચિત. આપેલ એક લંબગોળ માટે
પ્રમાણભૂત સમીકરણ (7.4), ε = 2c/2a = c/a. જો (7.4) માં પરિમાણો a અને b અસમાનતા a દ્વારા સંબંધિત છે
જ્યારે c = 0, જ્યારે લંબગોળ વર્તુળમાં ફેરવાય છે, અને ε = 0. અન્ય કિસ્સાઓમાં, 0
સમીકરણ (7.3) એ સમીકરણ (7.4) ની સમકક્ષ છે, કારણ કે સમીકરણો (7.4) અને (7.2) સમકક્ષ છે. તેથી, લંબગોળનું સમીકરણ પણ છે (7.3). વધુમાં, સંબંધ (7.3) રસપ્રદ છે કારણ કે તે લંબાઈ |F 2 M| માટે સરળ, આમૂલ-મુક્ત સૂત્ર આપે છે. અંડાકારના બિંદુ M(x; y) ના કેન્દ્રીય ત્રિજ્યામાંથી એક: |F 2 M| = a + εx.
બીજા ફોકલ ત્રિજ્યા માટે સમાન સૂત્ર સપ્રમાણતાના વિચારણાઓમાંથી અથવા ગણતરીઓનું પુનરાવર્તન કરીને મેળવી શકાય છે જેમાં, સમીકરણ (7.2) વર્ગીકરણ કરતા પહેલા, પ્રથમ રેડિકલને જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે, અને બીજામાં નહીં. તેથી, લંબગોળ પર કોઈપણ બિંદુ M(x; y) માટે (જુઓ આકૃતિ. 7.2)
|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)
અને આ દરેક સમીકરણો એલિપ્સનું સમીકરણ છે.
ઉદાહરણ 7.1.ચાલો અર્ધમેજર અક્ષ 5 અને વિલક્ષણતા 0.8 સાથે લંબગોળનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ શોધીએ અને તેનું નિર્માણ કરીએ.
અંડાકાર a = 5 અને વિષમતા ε = 0.8 ના અર્ધ-મુખ્ય અક્ષને જાણીને, આપણે તેની અર્ધ-ગૌણ ધરી b શોધીશું. ત્યારથી b = √(a 2 - c 2), અને c = εa = 4, પછી b = √(5 2 - 4 2) = 3. તેથી પ્રામાણિક સમીકરણનું સ્વરૂપ x 2 /5 2 + y 2 /3 છે 2 = 1. અંડાકાર બાંધવા માટે, કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની ઉત્પત્તિ પર કેન્દ્ર સાથે લંબચોરસ દોરવાનું અનુકૂળ છે, જેની બાજુઓ અંડાકારની સમપ્રમાણતા અક્ષોની સમાંતર છે અને તેના અનુરૂપ અક્ષો (ફિગ. 7.4). આ લંબચોરસ સાથે છેદે છે
લંબગોળની અક્ષો તેના શિરોબિંદુઓ A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), અને તેમાં લંબગોળ પોતે જ અંકિત છે. ફિગ માં. 7.4 એ એલિપ્સનું ફોસી F 1.2 (±4; 0) પણ દર્શાવે છે.
લંબગોળના ભૌમિતિક ગુણધર્મો.ચાલો પ્રથમ સમીકરણને (7.6) માં |F 1 M| તરીકે ફરીથી લખીએ = (a/ε - x)ε. નોંધ કરો કે a > c માટે a/ε - x ની કિંમત ધન છે, કારણ કે ફોકસ F 1 એલિપ્સ સાથે સંબંધિત નથી. આ મૂલ્ય આ રેખાની ડાબી બાજુએ આવેલા બિંદુ M(x; y) થી ઊભી રેખા d: x = a/ε સુધીનું અંતર દર્શાવે છે. લંબગોળ સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય છે
|F 1 M|/(a/ε - x) = ε
તેનો અર્થ એ છે કે આ લંબગોળ પ્લેનના તે બિંદુઓ M(x; y) નો સમાવેશ કરે છે જેના માટે કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા F 1 M ની લંબાઈ અને સીધી રેખા d ના અંતરનો ગુણોત્તર ε (ફિગ. 7.5).
સીધી રેખા d માં "ડબલ" હોય છે - લંબગોળના કેન્દ્રની સાપેક્ષ d ની સપ્રમાણતા, જે સમીકરણ x = -a/ε દ્વારા આપવામાં આવે છે, d ના સંદર્ભમાં, અંડાકારમાં વર્ણવેલ છે એ જ રીતે ડીના સંદર્ભમાં. બંને રેખાઓ d અને d" કહેવામાં આવે છે એલિપ્સના ડાયરેક્ટ્રીક્સ. એલિપ્સના ડાયરેક્ટ્રીક્સ એ એલિપ્સની સમપ્રમાણતાના અક્ષને લંબરૂપ હોય છે કે જેના પર તેનું ફોસી સ્થિત હોય છે, અને તે અંડાકારના કેન્દ્રથી a/ε = a 2 /c (અંજીર 7.5 જુઓ) ના અંતરે આવેલા હોય છે.
ડાયરેક્ટ્રીક્સથી તેની સૌથી નજીકના ફોકસ સુધીનું અંતર p કહેવાય છે લંબગોળનું કેન્દ્રીય પરિમાણ. આ પરિમાણ બરાબર છે
p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c
લંબગોળમાં બીજી મહત્વની ભૌમિતિક મિલકત છે: કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા F 1 M અને F 2 M બિંદુ M (ફિગ. 7.6) પર લંબગોળની સ્પર્શક સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે.
આ ગુણધર્મનો સ્પષ્ટ ભૌતિક અર્થ છે. જો પ્રકાશ સ્ત્રોતને F 1 ફોકસ પર મૂકવામાં આવે છે, તો આ ફોકસમાંથી નીકળતું કિરણ, લંબગોળમાંથી પ્રતિબિંબ પછી, બીજા કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા સાથે જશે, કારણ કે પ્રતિબિંબ પછી તે પ્રતિબિંબ પહેલાંના વળાંકના સમાન ખૂણા પર હશે. આમ, ફોકસ F 1 માંથી નીકળતા તમામ કિરણો બીજા ફોકસ F 2 માં કેન્દ્રિત થશે અને તેનાથી વિપરિત. આ અર્થઘટનના આધારે, આ મિલકત કહેવામાં આવે છે એલિપ્સની ઓપ્ટિકલ પ્રોપર્ટી.
લંબગોળ એ પ્લેન પરના બિંદુઓનું ભૌમિતિક સ્થાન છે, જેમાંથી પ્રત્યેકમાંથી બે આપેલ બિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો F_1, અને F_2 એ સ્થિર મૂલ્ય (2a) છે, જે આ આપેલ બિંદુઓ (ફિગ) વચ્ચેના અંતર (2c) કરતા વધારે છે. 3.36, એ). આ ભૌમિતિક વ્યાખ્યા વ્યક્ત કરે છે લંબગોળની કેન્દ્રીય મિલકત.
લંબગોળની ફોકલ પ્રોપર્ટી
બિંદુઓ F_1 અને F_2 ને અંડાકારનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે, તેમની વચ્ચેનું અંતર 2c=F_1F_2 એ કેન્દ્રીય લંબાઈ છે, F_1F_2 ખંડનો મધ્ય O એ અંડાકારનું કેન્દ્ર છે, સંખ્યા 2a એ અંડાકારના મુખ્ય ધરીની લંબાઈ છે. લંબગોળ (તે મુજબ, સંખ્યા એ એલિપ્સની અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ છે). લંબગોળના મનસ્વી બિંદુ M ને તેના ફોસી સાથે જોડતા F_1M અને F_2M વિભાગોને બિંદુ M ની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે. અંડાકારના બે બિંદુઓને જોડતા ખંડને અંડાકારનો તાર કહેવામાં આવે છે.
e=\frac(c)(a) ગુણોત્તરને અંડાકારની વિષમતા કહેવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા (2a>2c) થી તે અનુસરે છે કે 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
લંબગોળની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા, તેની ફોકલ પ્રોપર્ટી વ્યક્ત કરતી, તેની વિશ્લેષણાત્મક વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છે - અંડાકારના પ્રમાણભૂત સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલી રેખા:
ખરેખર, ચાલો એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (ફિગ. 3.36c) રજૂ કરીએ. અમે અંડાકારના કેન્દ્ર O ને સંકલન પ્રણાલીના મૂળ તરીકે લઈએ છીએ; આપણે ફોસી (ફોકલ અક્ષ અથવા અંડાકારની પ્રથમ અક્ષ)માંથી પસાર થતી સીધી રેખાને એબ્સીસા અક્ષ તરીકે લઈએ છીએ (તેના પરની હકારાત્મક દિશા બિંદુ F_1 થી બિંદુ F_2 સુધી છે); ચાલો કેન્દ્રીય અક્ષને લંબરૂપ એક સીધી રેખા લઈએ અને અંડાકારની મધ્યમાંથી પસાર થઈએ (લંબગોળની બીજી અક્ષ) ઓર્ડિનેટ અક્ષ તરીકે (ઓર્ડિનેટ અક્ષ પરની દિશા પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલી ઑક્સી યોગ્ય હોય) .
ચાલો તેની ભૌમિતિક વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને અંડાકાર માટે એક સમીકરણ બનાવીએ, જે કેન્દ્રીય ગુણધર્મને વ્યક્ત કરે છે. પસંદ કરેલ સંકલન પ્રણાલીમાં, અમે foci ના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ છીએ F_1(-c,0), ~F_2(c,0). અંડાકાર સાથે જોડાયેલા મનસ્વી બિંદુ M(x,y) માટે, અમારી પાસે છે:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
આ સમાનતાને સંકલન સ્વરૂપમાં લખવાથી, આપણને મળે છે:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
અમે બીજા રેડિકલને જમણી બાજુએ ખસેડીએ છીએ, સમીકરણની બંને બાજુએ ચોરસ કરીએ છીએ અને સમાન શબ્દો લાવીએ છીએ:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
4 વડે ભાગતા, આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને ચોરસ કરીએ છીએ:
a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
નિયુક્ત કર્યા b=\sqrt(a^2-c^2)>0, અમને મળે છે b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. બંને બાજુઓને ^2b^2\ne0 વડે વિભાજીત કરીને, આપણે અંડાકારના પ્રમાણભૂત સમીકરણ પર પહોંચીએ છીએ:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
તેથી, પસંદ કરેલ સંકલન પ્રણાલી કેનોનિકલ છે.
જો અંડાકારનું કેન્દ્રબિંદુ એકરુપ હોય, તો અંડાકાર એક વર્તુળ છે (ફિગ. 3.36,6), કારણ કે a=b. આ કિસ્સામાં, બિંદુ પર મૂળ સાથેની કોઈપણ લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમ પ્રમાણભૂત હશે O\equiv F_1\equiv F_2, અને સમીકરણ x^2+y^2=a^2 એ બિંદુ O પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે અને a ની બરાબર ત્રિજ્યા છે.
રિવર્સ ક્રમમાં તર્કને આગળ ધપાવતા, તે બતાવી શકાય છે કે તમામ બિંદુઓ કે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે (3.49), અને માત્ર તે જ, લંબગોળ તરીકે ઓળખાતા બિંદુઓના સ્થાન સાથે સંબંધિત છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અંડાકારની વિશ્લેષણાત્મક વ્યાખ્યા તેની ભૌમિતિક વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છે, જે અંડાકારની કેન્દ્રીય મિલકતને વ્યક્ત કરે છે.
અંડાકારની નિર્દેશક મિલકત
એલિપ્સના ડાયરેક્ટ્રીક્સ એ કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના ઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર ચાલતી બે સીધી રેખાઓ છે જે તેમાંથી સમાન અંતર \frac(a^2)(c) પર છે. c=0 પર, જ્યારે લંબગોળ વર્તુળ હોય છે, ત્યાં કોઈ ડાયરેક્ટ્રીક્સ નથી (આપણે ધારી શકીએ કે ડાયરેક્ટ્રીક્સ અનંત પર છે).
વિલક્ષણતા 0 સાથે લંબગોળ
હકીકતમાં, ઉદાહરણ તરીકે, ફોકસ F_2 અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ d_2 (ફિગ. 3.37,6) માટે સ્થિતિ \frac(r_2)(\rho_2)=eસંકલન સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\જમણે)
અતાર્કિકતાથી છુટકારો મેળવવો અને બદલવું e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, આપણે પ્રામાણિક લંબગોળ સમીકરણ (3.49) પર પહોંચીએ છીએ. ફોકસ F_1 અને ડિરેક્ટર માટે સમાન તર્ક હાથ ધરી શકાય છે d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીમાં લંબગોળનું સમીકરણ
ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલી F_1r\varphi (ફિગ. 3.37, c અને 3.37 (2)) માં અંડાકારનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
જ્યાં p=\frac(b^2)(a) એ એલિપ્સનું ફોકલ પેરામીટર છે.
વાસ્તવમાં, ચાલો ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીના ધ્રુવ તરીકે અંડાકારનું ડાબું ફોકસ F_1 પસંદ કરીએ અને ધ્રુવીય અક્ષ તરીકે F_1F_2 કિરણ (ફિગ. 3.37, c). પછી મનસ્વી બિંદુ M(r,\varphi) માટે, લંબગોળની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા (ફોકલ પ્રોપર્ટી) અનુસાર, આપણી પાસે r+MF_2=2a છે. અમે બિંદુઓ M(r,\varphi) અને F_2(2c,0) વચ્ચેનું અંતર વ્યક્ત કરીએ છીએ (જુઓ):
\begin(સંરેખિત)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(સંરેખિત)
તેથી, સંકલન સ્વરૂપમાં, લંબગોળ F_1M+F_2M=2a ના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે
r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
અમે સમીકરણની બંને બાજુના મૂળ, ચોરસને અલગ કરીએ છીએ, 4 વડે ભાગીએ છીએ અને સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ છીએ:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
ધ્રુવીય ત્રિજ્યા r ને વ્યક્ત કરો અને રિપ્લેસમેન્ટ કરો e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2, ~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
લંબગોળ સમીકરણમાં ગુણાંકનો ભૌમિતિક અર્થ
ચાલો અંડાકારના આંતરછેદ બિંદુઓને શોધીએ (ફિગ. 3.37a જુઓ). y=0 ને સમીકરણમાં બદલીને, આપણે એબ્સીસા અક્ષ (ફોકલ અક્ષ સાથે) સાથે લંબગોળના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધીએ છીએ: x=\pm a. પરિણામે, લંબગોળની અંદર સમાવિષ્ટ ફોકલ અક્ષના સેગમેન્ટની લંબાઈ 2a જેટલી છે. આ સેગમેન્ટ, જેમ ઉપર નોંધ્યું છે, તેને અંડાકારની મુખ્ય અક્ષ કહેવામાં આવે છે, અને સંખ્યા a એ અંડાકારની અર્ધ-મુખ્ય ધરી છે. x=0 ને બદલીને, આપણને y=\pm b મળે છે. તેથી, અંડાકારની અંદર સમાયેલ અંડાકારના બીજા અક્ષના સેગમેન્ટની લંબાઈ 2b જેટલી છે. આ સેગમેન્ટને અંડાકારની નાની અક્ષ કહેવામાં આવે છે, અને સંખ્યા b એ અંડાકારની અર્ધ-માઇનોર અક્ષ છે.
ખરેખર, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, અને સમાનતા b=a માત્ર કેસ c=0 માં પ્રાપ્ત થાય છે, જ્યારે અંડાકાર વર્તુળ હોય છે. વલણ k=\frac(b)(a)\leqslant1એલિપ્સ કમ્પ્રેશન રેશિયો કહેવાય છે.
નોંધો 3.9
1. સીધી રેખાઓ x=\pm a,~y=\pm b કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પરના મુખ્ય લંબચોરસને મર્યાદિત કરે છે, જેની અંદર એક લંબગોળ હોય છે (જુઓ. ફિગ. 3.37, a).
2. એક લંબગોળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે વર્તુળને તેના વ્યાસમાં સંકુચિત કરીને મેળવેલા બિંદુઓનું સ્થાન.
ખરેખર, લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ Oxy માં વર્તુળનું સમીકરણ x^2+y^2=a^2 થવા દો. જ્યારે 0 ના ગુણાંક સાથે x-અક્ષ પર સંકુચિત થાય છે \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(કેસ) વર્તુળો x=x" અને y=\frac(1)(k)y" ને સમીકરણમાં બદલીને, આપણે બિંદુ M(x", y") ની છબી M"(x",y") ના કોઓર્ડિનેટ્સ માટે સમીકરણ મેળવીએ છીએ. y) : (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\જમણે)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} ત્યારથી b=k\cdot a. આ એલિપ્સનું પ્રામાણિક સમીકરણ છે. 3. સંકલન અક્ષો (પ્રમાણિક સંકલન પ્રણાલીની) એ અંડાકારની સમપ્રમાણતાની અક્ષો છે (જેને અંડાકારની મુખ્ય અક્ષો કહેવાય છે), અને તેનું કેન્દ્ર સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે. ખરેખર, જો બિંદુ M(x,y) અંડાકાર સાથે સંબંધિત છે. પછી બિંદુઓ M"(x,-y) અને M""(-x,y), બિંદુ M ના સપ્રમાણતા સંકલન અક્ષો સાથે સંબંધિત છે, તે પણ સમાન લંબગોળ સાથે સંબંધિત છે. 4. ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીમાં અંડાકારના સમીકરણમાંથી r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(જુઓ. ફિગ. 3.37, c), ફોકલ પેરામીટરનો ભૌમિતિક અર્થ સ્પષ્ટ થાય છે - આ લંબગોળની તારની અડધી લંબાઈ છે જે તેના ફોકસ લંબરૂપ ફોકલ અક્ષમાંથી પસાર થાય છે (r=p at \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. વિલક્ષણતા e એ એલિપ્સના આકારને દર્શાવે છે, એટલે કે લંબગોળ અને વર્તુળ વચ્ચેનો તફાવત. જેટલો મોટો e, એલિપ્સ વધુ વિસ્તરેલ છે અને e શૂન્યની નજીક છે, લંબગોળ વર્તુળની નજીક છે (ફિગ. 3.38a). ખરેખર, e=\frac(c)(a) અને c^2=a^2-b^2 ધ્યાનમાં લેતા, આપણને મળે છે e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\જમણે )\^2=1-k^2,
!} જ્યાં k એ એલિપ્સ કમ્પ્રેશન ફેક્ટર છે, 0 6. સમીકરણ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1ખાતે a 7. સમીકરણ \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bબિંદુ O"(x_0,y_0) પર કેન્દ્ર સાથે લંબગોળ વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેની અક્ષો સંકલન અક્ષો (ફિગ. 3.38, c) સાથે સમાંતર હોય છે. સમાંતર અનુવાદ (3.36) નો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણને પ્રમાણભૂત એકમાં ઘટાડવામાં આવે છે. જ્યારે a=b=R સમીકરણ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2બિંદુ O"(x_0,y_0) પર કેન્દ્ર સાથે ત્રિજ્યા R ના વર્તુળનું વર્ણન કરે છે. અંડાકારનું પેરામેટ્રિક સમીકરણકેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ફોર્મ છે \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
ખરેખર, આ સમીકરણોને સમીકરણ (3.49) માં બદલીને, આપણે મુખ્ય ત્રિકોણમિતિ ઓળખ પર પહોંચીએ છીએ \cos^2t+\sin^2t=1. ઉદાહરણ 3.20.એક લંબગોળ દોરો \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ઓક્સી. અર્ધ-અક્ષો, કેન્દ્રીય લંબાઈ, વિષમતા, સંકોચન ગુણોત્તર, ફોકલ પરિમાણ, ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણો શોધો. ઉકેલ.આપેલ સમીકરણને પ્રમાણભૂત સમીકરણ સાથે સરખાવીને, અમે અર્ધ-અક્ષો નક્કી કરીએ છીએ: a=2 - અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ, b=1 - અંડાકારની અર્ધ-ગૌણ અક્ષ. અમે મૂળમાં કેન્દ્ર સાથે બાજુઓ 2a=4, ~2b=2 સાથે મૂળભૂત લંબચોરસ બનાવીએ છીએ (ફિગ. 3.39). અંડાકારની સમપ્રમાણતાને ધ્યાનમાં રાખીને, અમે તેને મુખ્ય લંબચોરસમાં ફિટ કરીએ છીએ. જો જરૂરી હોય તો, અંડાકારના કેટલાક બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો. ઉદાહરણ તરીકે, અંડાકારના સમીકરણમાં x=1 ને બદલીને, આપણને મળે છે \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ ક્વાડ y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). તેથી, કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે પોઈન્ટ \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\જમણે)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\જમણે)- લંબગોળ સાથે સંબંધ ધરાવે છે. કમ્પ્રેશન રેશિયોની ગણતરી k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); ફોકલ લંબાઈ 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); તરંગીતા e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); ફોકલ પરિમાણ p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). અમે ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણો કંપોઝ કરીએ છીએ: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). બીજગણિત અને ભૂમિતિ પર પ્રવચનો. સેમેસ્ટર 1. લેક્ચર 15. એલિપ્સ. પ્રકરણ 15. એલિપ્સ. કલમ 1. મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ. વ્યાખ્યા. લંબગોળ એ પ્લેનનું GMT છે, પ્લેનના બે નિશ્ચિત બિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો, જેને ફોસી કહેવાય છે, તે એક સ્થિર મૂલ્ય છે. વ્યાખ્યા. પ્લેનના મનસ્વી બિંદુ M થી અંડાકારના કેન્દ્ર સુધીના અંતરને M બિંદુની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે. હોદ્દો: અંડાકારની વ્યાખ્યા મુજબ, બિંદુ M એ અંડાકારનો એક બિંદુ છે જો અને માત્ર જો તેની નોંધ લો લંબગોળની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, તેના કેન્દ્રબિંદુઓ નિશ્ચિત બિંદુઓ છે, તેથી તેમની વચ્ચેનું અંતર પણ આપેલ લંબગોળ માટે એક સ્થિર મૂલ્ય છે. વ્યાખ્યા. અંડાકારના ફોસી વચ્ચેના અંતરને કેન્દ્રીય લંબાઈ કહેવામાં આવે છે. હોદ્દો: ત્રિકોણમાંથી ચાલો b દ્વારા સમાન સંખ્યા દર્શાવીએ વ્યાખ્યા. વલણ એલિપ્સની વિલક્ષણતા કહેવાય છે. ચાલો આ પ્લેન પર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ દાખલ કરીએ, જેને આપણે અંડાકાર માટે પ્રમાણભૂત કહીશું. વ્યાખ્યા. અક્ષ કે જેના પર અંડાકારનું કેન્દ્રબિંદુ આવેલું છે તેને કેન્દ્રીય અક્ષ કહેવામાં આવે છે. ચાલો એલિપ્સ માટે પ્રમાણભૂત PDSC બનાવીએ, આકૃતિ 2 જુઓ. અમે ફોકલ અક્ષને એબ્સીસા અક્ષ તરીકે પસંદ કરીએ છીએ, અને સેગમેન્ટની વચ્ચેથી ઓર્ડિનેટ અક્ષ દોરીએ છીએ. પછી foci પાસે કોઓર્ડિનેટ્સ છે કલમ 2. અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ. પ્રમેય. અંડાકાર માટે પ્રમાણભૂત સંકલન પ્રણાલીમાં, અંડાકારના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: પુરાવો. અમે બે તબક્કામાં પુરાવા હાથ ધરીએ છીએ. પ્રથમ તબક્કે, અમે સાબિત કરીશું કે અંડાકાર પર આવેલા કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે (4). બીજા તબક્કે આપણે સાબિત કરીશું કે સમીકરણ (4) નો કોઈપણ ઉકેલ અંડાકાર પર પડેલા બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ આપે છે. અહીંથી તે અનુસરશે કે સમીકરણ (4) તે અને માત્ર સંકલન સમતલના તે બિંદુઓથી સંતુષ્ટ છે જે લંબગોળ પર આવેલા છે. આમાંથી અને વળાંકના સમીકરણની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરશે કે સમીકરણ (4) એ અંડાકારનું સમીકરણ છે. 1) બિંદુ M(x, y) ને લંબગોળનો એક બિંદુ થવા દો, એટલે કે. તેના કેન્દ્રીય ત્રિજ્યાનો સરવાળો 2a છે: ચાલો કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પરના બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ અને આપેલ બિંદુ M ની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા શોધવા માટે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ: ચાલો એક રુટને સમાનતાની જમણી બાજુએ ખસેડીએ અને તેને ચોરસ કરીએ: ઘટાડીને, અમને મળે છે: અમે સમાન રજૂ કરીએ છીએ, 4 થી ઘટાડીએ છીએ અને આમૂલ દૂર કરીએ છીએ: સ્ક્વેરિંગ કૌંસ ખોલો અને ટૂંકા કરો આપણે ક્યાં મેળવીએ છીએ: સમાનતા (2) નો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ: દ્વારા છેલ્લી સમાનતાને વિભાજીત કરવી 2) હવે સંખ્યાઓની જોડી (x, y) સમીકરણ (4) ને સંતોષવા દો અને M(x, y) ને સંકલન સમતલ Oxy પર અનુરૂપ બિંદુ થવા દો. પછી (4) માંથી તે નીચે મુજબ છે: અમે આ સમાનતાને બિંદુ M ના કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા માટે અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ છીએ: અહીં આપણે સમાનતા (2) અને (3) નો ઉપયોગ કર્યો છે. આમ, હવે નોંધ કરો કે સમાનતા (4) થી તે તેને અનુસરે છે અહીંથી તે અનુસરે છે, બદલામાં, તે સમાનતાઓથી (5) તે તેને અનુસરે છે પ્રમેય સાબિત થયો છે. વ્યાખ્યા. સમીકરણ (4) એ અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ કહેવાય છે. વ્યાખ્યા. અંડાકાર માટેના પ્રમાણભૂત સંકલન અક્ષોને અંડાકારની મુખ્ય અક્ષો કહેવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા. અંડાકાર માટે પ્રમાણભૂત સંકલન પ્રણાલીની ઉત્પત્તિને અંડાકારનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે. કલમ 3. એલિપ્સના ગુણધર્મો. પ્રમેય. (એલિપ્સના ગુણધર્મો.) 1. લંબગોળ માટે પ્રમાણભૂત કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, બધું અંડાકારના બિંદુઓ લંબચોરસમાં છે 2. પોઈન્ટ પર આવેલા છે 3. લંબગોળ એ વળાંક છે જે સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે તેમની મુખ્ય ધરીઓ. 4. લંબગોળનું કેન્દ્ર તેની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે. પુરાવો. 1, 2) અંડાકારના પ્રમાણભૂત સમીકરણમાંથી તરત જ અનુસરે છે. 3, 4) M(x, y) એ અંડાકારનું મનસ્વી બિંદુ છે. પછી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે (4). પરંતુ પછી બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ પણ સમીકરણ (4) ને સંતોષે છે, અને તેથી, લંબગોળ બિંદુઓ છે, જેમાંથી પ્રમેયના નિવેદનો અનુસરે છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે. વ્યાખ્યા. જથ્થા 2a ને અંડાકારની મુખ્ય અક્ષ કહેવામાં આવે છે, એક જથ્થાને અંડાકારની અર્ધ-મુખ્ય ધરી કહેવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા. જથ્થા 2b એ અંડાકારની લઘુ અક્ષ કહેવાય છે, જથ્થા b ને અંડાકારની અર્ધ-માઇનોર અક્ષ કહેવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા. અંડાકારના મુખ્ય અક્ષો સાથેના આંતરછેદના બિંદુઓને અંડાકારના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે. ટિપ્પણી. એક લંબગોળ નીચે પ્રમાણે બનાવી શકાય છે. પ્લેનમાં, અમે "ફોકલ પોઈન્ટમાં ખીલી મારીએ છીએ" અને તેમની સાથે દોરીની લંબાઈ બાંધીએ છીએ તરંગીતાની વ્યાખ્યામાંથી તે તેને અનુસરે છે ચાલો નંબર a ને ઠીક કરીએ અને સંખ્યા c ને શૂન્ય તરફ દિશામાન કરીએ. પછી મુ ચાલો હવે નિર્દેશન કરીએ કલમ 4. અંડાકારના પેરામેટ્રિક સમીકરણો. પ્રમેય. દો એલિપ્સ માટે કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં એલિપ્સના પેરામેટ્રિક સમીકરણો છે. પુરાવો. તે સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે કે સમીકરણોની સિસ્ટમ (6) સમીકરણ (4) ની સમકક્ષ છે, એટલે કે. તેમની પાસે ઉકેલોનો સમાન સમૂહ છે. 1) ચાલો (x, y) સિસ્ટમ (6) માટે મનસ્વી ઉકેલ હોઈએ. પ્રથમ સમીકરણને a દ્વારા, બીજાને b દ્વારા વિભાજીત કરો, બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરો અને ઉમેરો: તે. સિસ્ટમનો કોઈપણ ઉકેલ (x, y) (6) સમીકરણને સંતોષે છે (4). 2) તેનાથી વિપરીત, જોડી (x, y) ને સમીકરણ (4) નો ઉકેલ બનવા દો, એટલે કે. આ સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેનો બિંદુ સાઈન અને કોસાઈનની વ્યાખ્યાથી તે તરત જ તેને અનુસરે છે પ્રમેય સાબિત થયો છે. ટિપ્પણી. એબ્સીસા અક્ષ તરફ ત્રિજ્યા a ના વર્તુળના સમાન "સંકોચન" ના પરિણામે એક લંબગોળ મેળવી શકાય છે. દો આ રૂપાંતર સાથે, વર્તુળ પરનો દરેક બિંદુ પ્લેન પરના બીજા બિંદુ પર "સંક્રમણ" કરે છે, જેમાં સમાન એબ્સીસા હોય છે, પરંતુ એક નાનો ઓર્ડિનેટ હોય છે. ચાલો એક બિંદુના જૂના ઓર્ડિનેટને નવા દ્વારા વ્યક્ત કરીએ: અને સમીકરણમાં વર્તુળોને બદલો: અહીંથી આપણને મળે છે: તે આનાથી અનુસરે છે કે જો "કમ્પ્રેશન" રૂપાંતર પહેલાં બિંદુ M(x, y) વર્તુળ પર મૂકે છે, એટલે કે. તેના કોઓર્ડિનેટ્સ વર્તુળના સમીકરણને સંતુષ્ટ કરે છે, પછી "સંકોચન" રૂપાંતર પછી આ બિંદુ બિંદુમાં "રૂપાંતરિત" થાય છે કલમ 5. લંબગોળ માટે સ્પર્શક. પ્રમેય. દો પછી બિંદુ પરના આ લંબગોળ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ પુરાવો. જ્યારે સંકલન વિમાનના પ્રથમ અથવા બીજા ક્વાર્ટરમાં સ્પર્શનો મુદ્દો હોય ત્યારે તે કેસને ધ્યાનમાં લેવા માટે તે પૂરતું છે: ચાલો ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શક સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ જ્યાં અમે વ્યુત્પન્નના મળેલા મૂલ્યને સ્પર્શક સમીકરણ (10) માં બદલીએ છીએ: આપણે ક્યાં મેળવીએ છીએ: તે આમાંથી નીચે મુજબ છે: ચાલો આ સમાનતાને વડે વિભાજીત કરીએ તે નોંધવાનું રહે છે સ્પર્શક સમીકરણ (8) સંકલન સમતલના ત્રીજા કે ચોથા ક્વાર્ટરમાં આવેલા સ્પર્શક બિંદુ પર સમાન રીતે સાબિત થાય છે. અને અંતે, આપણે સરળતાથી ચકાસી શકીએ છીએ કે સમીકરણ (8) બિંદુઓ પર સ્પર્શક સમીકરણ આપે છે પ્રમેય સાબિત થયો છે. કલમ 6. અંડાકારની અરીસાની મિલકત. પ્રમેય. લંબગોળની સ્પર્શક સ્પર્શક બિંદુના કેન્દ્રિય ત્રિજ્યા સાથે સમાન ખૂણા ધરાવે છે. દો પ્રમેય જણાવે છે કે આ સમાનતાને ઘટનાના ખૂણાઓની સમાનતા અને તેના ફોકસમાંથી છૂટેલા અંડાકારમાંથી પ્રકાશના કિરણના પ્રતિબિંબ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. આ ગુણધર્મને એલિપ્સની મિરર પ્રોપર્ટી કહેવામાં આવે છે: અંડાકારના અરીસામાંથી પ્રતિબિંબિત થયા પછી, અંડાકારના કેન્દ્રમાંથી પ્રકાશિત પ્રકાશનો કિરણ, અંડાકારના બીજા કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. પ્રમેયનો પુરાવો. ખૂણાઓની સમાનતા સાબિત કરવા માટે (11), આપણે ત્રિકોણની સમાનતા સાબિત કરીએ છીએ બીજા ક્રમના વણાંકોપ્લેન પર એ સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખાઓ છે જેમાં ચલ સંકલન કરે છે xઅને yબીજી ડિગ્રીમાં સમાયેલ છે. તેમાં એલિપ્સ, હાઇપરબોલા અને પેરાબોલાનો સમાવેશ થાય છે. બીજા ક્રમના વળાંકના સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ નીચે મુજબ છે: જ્યાં A, B, C, D, E, F- સંખ્યાઓ અને ઓછામાં ઓછા એક ગુણાંક A, B, Cશૂન્ય બરાબર નથી. દ્વિતીય ક્રમના વળાંકો સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલતી વખતે, અંડાકાર, હાયપરબોલા અને પેરાબોલાના પ્રમાણભૂત સમીકરણોને મોટાભાગે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. સામાન્ય સમીકરણોમાંથી તેમની તરફ આગળ વધવું સરળ છે; લંબગોળ સાથેની સમસ્યાઓનું ઉદાહરણ 1 આને સમર્પિત કરવામાં આવશે. અંડાકારની વ્યાખ્યા.લંબગોળ એ પ્લેનના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે જેના માટે બિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો ફોસી કહેવાય છે તે ફોસી વચ્ચેના અંતર કરતાં વધુ એક સ્થિર મૂલ્ય છે. ફોકસ નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. અંડાકારના પ્રમાણભૂત સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: જ્યાં aઅને b (a > b) - અર્ધ-અક્ષોની લંબાઈ, એટલે કે કોઓર્ડિનેટ અક્ષો પર લંબગોળ દ્વારા કાપવામાં આવેલા સેગમેન્ટ્સની અડધી લંબાઈ. અંડાકારના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા એ તેની સમપ્રમાણતાની ધરી છે. લંબગોળની સમપ્રમાણતાનો બીજો અક્ષ એ આ સેગમેન્ટને લંબરૂપ સેગમેન્ટની મધ્યમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે. ડોટ વિશેઆ રેખાઓનું આંતરછેદ અંડાકારની સમપ્રમાણતાના કેન્દ્ર તરીકે અથવા ફક્ત અંડાકારના કેન્દ્ર તરીકે કામ કરે છે. લંબગોળની એબ્સીસા અક્ષ બિંદુઓ પર છેદે છે ( a, વિશે) અને (- a, વિશે), અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ પોઈન્ટમાં છે ( b, વિશે) અને (- b, વિશે). આ ચાર બિંદુઓને અંડાકારના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે. એક્સ-અક્ષ પર લંબગોળના શિરોબિંદુઓ વચ્ચેના સેગમેન્ટને તેની મુખ્ય અક્ષ કહેવામાં આવે છે, અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર - તેની નાની અક્ષ. લંબગોળની ટોચથી મધ્ય સુધીના તેમના ભાગોને અર્ધ-અક્ષ કહેવામાં આવે છે. જો a = b, પછી અંડાકારનું સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે. આ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું સમીકરણ છે a, અને વર્તુળ એ એલિપ્સનો વિશેષ કેસ છે. ત્રિજ્યાના વર્તુળમાંથી લંબગોળ મેળવી શકાય છે a, જો તમે તેને સંકુચિત કરો છો a/bધરી સાથે વખત ઓય
. ઉદાહરણ 1.સામાન્ય સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ લીટી છે કે કેમ તે તપાસો ઉકેલ. અમે સામાન્ય સમીકરણને બદલીએ છીએ. અમે મુક્ત શબ્દના સ્થાનાંતરણનો ઉપયોગ જમણી બાજુએ કરીએ છીએ, સમાન સંખ્યા દ્વારા સમીકરણનું ટર્મ-બાય-ટર્મ વિભાજન અને અપૂર્ણાંકના ઘટાડાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: જવાબ આપો. રૂપાંતરણોના પરિણામે મેળવેલ સમીકરણ એ એલિપ્સનું પ્રામાણિક સમીકરણ છે. તેથી, આ રેખા લંબગોળ છે. ઉદાહરણ 2.અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ બનાવો જો તેની અર્ધ-અક્ષ અનુક્રમે 5 અને 4 હોય. ઉકેલ. અમે અંડાકાર અને અવેજીનાં પ્રમાણભૂત સમીકરણ માટે સૂત્ર જોઈએ છીએ: અર્ધ મુખ્ય ધરી છે a= 5, અર્ધ-માઇનોર અક્ષ છે b= 4. અમે અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ મેળવીએ છીએ: બિંદુઓ અને , મુખ્ય ધરી પર લીલા રંગમાં દર્શાવેલ છે, જ્યાં કહેવાય છે યુક્તિઓ. કહેવાય છે તરંગીતાલંબગોળ વલણ b/aઅંડાકારની "ઓબ્લેટનેસ" ની લાક્ષણિકતા. આ ગુણોત્તર જેટલો નાનો હશે, તેટલો અંડાકાર મુખ્ય ધરી સાથે વિસ્તરેલ છે. જો કે, અંડાકારના વિસ્તરણની ડિગ્રી વધુ વખત વિલક્ષણતા દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, જેના માટેનું સૂત્ર ઉપર આપવામાં આવ્યું છે. વિવિધ લંબગોળો માટે, વિલક્ષણતા 0 થી 1 સુધી બદલાય છે, હંમેશા એકતા કરતા ઓછી રહે છે. ઉદાહરણ 3.જો ફોસી વચ્ચેનું અંતર 8 અને મુખ્ય અક્ષ 10 હોય તો લંબગોળનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ બનાવો. ઉકેલ. ચાલો કેટલાક સરળ તારણો કરીએ: જો મુખ્ય ધરી 10 ની બરાબર હોય, તો તેનો અડધો, એટલે કે અર્ધ-અક્ષ a = 5
, જો foci વચ્ચેનું અંતર 8 છે, તો સંખ્યા cફોકલ કોઓર્ડિનેટ્સ 4 ની બરાબર છે. અમે અવેજી અને ગણતરી કરીએ છીએ: પરિણામ એલિપ્સનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ છે: ઉદાહરણ 4.અંડાકારનું પ્રામાણિક સમીકરણ બનાવો જો તેની મુખ્ય ધરી 26 હોય અને તેની વિષમતા હોય. ઉકેલ. મુખ્ય અક્ષના કદ અને તરંગી સમીકરણ બંનેમાંથી નીચે મુજબ, અંડાકારની અર્ધ મુખ્ય ધરી a= 13. તરંગી સમીકરણમાંથી આપણે સંખ્યા વ્યક્ત કરીએ છીએ c, નાના અર્ધ-અક્ષની લંબાઈની ગણતરી કરવા માટે જરૂરી છે: અમે નાના અર્ધ-અક્ષની લંબાઈના ચોરસની ગણતરી કરીએ છીએ: અમે અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ કંપોઝ કરીએ છીએ: ઉદાહરણ 5.પ્રમાણભૂત સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ અંડાકારનું કેન્દ્રબિંદુ નક્કી કરો. ઉકેલ. નંબર શોધો c, જે એલિપ્સના ફોસીના પ્રથમ કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરે છે: અમને અંડાકારના ફોકસ મળે છે: ઉદાહરણ 6.લંબગોળનું કેન્દ્ર ધરી પર સ્થિત છે બળદમૂળ વિશે સપ્રમાણતા. અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ કંપોઝ કરો જો: 1) ફોસી વચ્ચેનું અંતર 30 છે, અને મુખ્ય ધરી 34 છે 2) નાની અક્ષ 24, અને એક ફોકસ બિંદુ પર છે (-5; 0) 3) તરંગીતા, અને એક કેન્દ્રબિંદુ પર છે (6; 0) જો એલિપ્સનું મનસ્વી બિંદુ છે (ડ્રોઇંગમાં અંડાકારના ઉપરના જમણા ભાગમાં લીલા રંગમાં દર્શાવેલ છે) અને ફોસીથી આ બિંદુ સુધીનું અંતર છે, તો અંતર માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે: લંબગોળ સાથે જોડાયેલા દરેક બિંદુ માટે, ફોસીથી અંતરનો સરવાળો 2 ની બરાબર એક સ્થિર મૂલ્ય છે a. સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખાઓ કહેવાય છે મુખ્ય શિક્ષિકાઓલંબગોળ (ડ્રોઇંગમાં કિનારીઓ સાથે લાલ રેખાઓ છે). ઉપરના બે સમીકરણો પરથી તે અંડાકારના કોઈપણ બિંદુ માટે તેને અનુસરે છે ડાયરેક્ટ્રીક્સ અને આ બિંદુનું અંતર ક્યાં અને છે. ઉદાહરણ 7.એક લંબગોળ આપેલ છે. તેના ડાયરેક્ટ્રીક્સ માટે સમીકરણ લખો. ઉકેલ. આપણે ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ જોઈએ છીએ અને શોધી કાઢીએ છીએ કે આપણે અંડાકારની વિષમતા શોધવાની જરૂર છે, એટલે કે. અમારી પાસે આ માટેનો તમામ ડેટા છે. અમે ગણતરી કરીએ છીએ: અમે એલિપ્સના ડાયરેક્ટ્રીક્સનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ: ઉદાહરણ 8.અંડાકારનું પ્રામાણિક સમીકરણ બનાવો જો તેના કેન્દ્રબિંદુઓ હોય અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ રેખાઓ હોય.અંડાકારનું પેરામેટ્રિક સમીકરણ
- લંબગોળનું કેન્દ્રબિંદુ, 
- બિંદુ M ની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા.
- સતત મૂલ્ય. આ સ્થિરાંક સામાન્ય રીતે 2a તરીકે સૂચવવામાં આવે છે:
.
(1)
.
.
તે તેને અનુસરે છે 
, એટલે કે
.
, એટલે કે
.
(2)
(3)
ફોકલ અક્ષને લંબરૂપ.
,
.
.
(4)
.
,
, જ્યાંથી આપણે મેળવીએ છીએ:
.
:
.
, આપણે સમાનતા (4), વગેરે મેળવીએ છીએ.
.
.
. તેવી જ રીતે, 
.
અથવા 
વગેરે 
, પછી અસમાનતા નીચે મુજબ છે:
.
અથવા 
અને
,
.
(5)
, એટલે કે બિંદુ M(x, y) એ અંડાકારનો એક બિંદુ છે, વગેરે.
,
.
. પછી અમે એક પેંસિલ લઈએ છીએ અને તેનો ઉપયોગ થ્રેડને ખેંચવા માટે કરીએ છીએ. પછી અમે પેન્સિલ લીડને પ્લેન સાથે ખસેડીએ છીએ, ખાતરી કરો કે થ્રેડ તંગ છે.
,
અને 
. મર્યાદામાં આપણને મળે છે
અથવા 
- વર્તુળનું સમીકરણ.
. પછી 
,
અને આપણે જોઈએ છીએ કે મર્યાદામાં લંબગોળ એક સીધી રેખાના ભાગમાં અધોગતિ પામે છે 
આકૃતિ 3 ના સંકેતમાં.
- મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ. પછી સમીકરણોની સિસ્ટમ
,
(6)
.
.
મૂળમાં કેન્દ્ર સાથે એકમ ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર આવેલું છે, એટલે કે. ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ પરનો એક બિંદુ છે જેની સાથે ચોક્કસ કોણ અનુરૂપ છે 
:
,
, ક્યાં 
, જેમાંથી તે અનુસરે છે કે જોડી (x, y) એ સિસ્ટમ (6), વગેરેનો ઉકેલ છે.
- મૂળ પર કેન્દ્ર સાથે વર્તુળનું સમીકરણ. એબ્સિસા અક્ષ પર વર્તુળનું "કમ્પ્રેશન" એ નીચેના નિયમ અનુસાર હાથ ધરવામાં આવેલા સંકલન પ્લેનના રૂપાંતર સિવાય બીજું કંઈ નથી. દરેક બિંદુ M(x, y) માટે આપણે સમાન સમતલ પર એક બિંદુ જોડીએ છીએ 
, ક્યાં 
,
- કમ્પ્રેશન રેશિયો.
.
.
(7)
, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ એલિપ્સ સમીકરણ (7) ને સંતોષે છે. જો આપણે અર્ધવર્તુળ અક્ષ સાથે લંબગોળનું સમીકરણ મેળવવા માંગતા હોય, તો આપણે સંકોચન પરિબળ લેવાની જરૂર છે
.
- લંબગોળનું મનસ્વી બિંદુ
.
ફોર્મ ધરાવે છે:
.
(8)
. ઉપલા અર્ધ-વિમાનમાં લંબગોળનું સમીકરણ આ સ્વરૂપ ધરાવે છે:
.
(9)
બિંદુ પર 
:
- એક બિંદુ પર આપેલ કાર્યના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય 
. પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં લંબગોળ કાર્ય (8) ના ગ્રાફ તરીકે ગણી શકાય. ચાલો તેની વ્યુત્પન્નતા અને સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ પર તેની કિંમત શોધીએ:
,
. અહીં આપણે એ હકીકતનો લાભ લીધો કે સ્પર્શ બિંદુ 
એલિપ્સનો એક બિંદુ છે અને તેથી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ એલિપ્સ સમીકરણ (9) ને સંતોષે છે, એટલે કે.
.
,
:
.
, કારણ કે બિંદુ 
એલિપ્સનું છે અને તેના કોઓર્ડિનેટ્સ તેના સમીકરણને સંતોષે છે.
,
:
અથવા 
, અને 
અથવા 
.
- સંપર્ક બિંદુ, 
,
- સ્પર્શક બિંદુની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા, P અને Q - બિંદુ પર લંબગોળ તરફ દોરેલા સ્પર્શક પરના ફોસીના અંદાજો 
.
.
(11)
અને 
, જેમાં પક્ષકારો 
અને 
સમાન હશે. ત્રિકોણ કાટખૂણે હોવાથી, તે સમાનતા સાબિત કરવા માટે પૂરતું છેપ્રમાણભૂત સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ અંડાકાર
, લંબગોળ.
.
.
ચાલો સાથે મળીને લંબગોળ સમસ્યાઓ હલ કરવાનું ચાલુ રાખીએ
,
.
